Συνδυασµένες µονάδες πολλαπλασιασµού / αθροίσµατος τετραγώνων για αριθµητικά συστήµατα υπολοίπων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνδυασµένες µονάδες πολλαπλασιασµού / αθροίσµατος τετραγώνων για αριθµητικά συστήµατα υπολοίπων"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ «ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ» Μεταπτυχιακή ιπλωµατική Εργασία Τίτλος: Συνδυασµένες µονάδες πολλαπλασιασµού / αθροίσµατος τετραγώνων για αριθµητικά συστήµατα υπολοίπων Αδαµίδης ηµήτριος (ΑΜ: 38) Επιβλέπων Καθηγητής : Χ. Βέργος Πάτρα, Μάιος 5

2 Περιεχόµενα Περιεχόµενα.... Εισαγωγή.... Προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU Παραδείγµατα modulo πολλαπλασιασµού και αθροίσµατος τετραγώνων...9. Απλή αρχιτεκτονική MMSSU Αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου MMSSU Ποιοτικές συγκρίσεις Προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU Παραδείγµατα modulo πολλαπλασιασµού και αθροίσµατος τετραγώνων Απλή αρχιτεκτονική MMSSU Αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου MMSSU Ποιοτικές συγκρίσεις Ποσοτικές συγκρίσεις Συµπεράσµατα...45 Αναφορές...47

3 . Εισαγωγή Τα αριθµητικά συστήµατα υπολοίπων (Resdue Number Systems, RNS), αποτελούν µια αξιόλογη εναλλακτική πρόταση έναντι του δυαδικού συστήµατος για εφαρµογές οι οποίες περιορίζονται στις αριθµητικές πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασµού και του τετραγωνισµού. Ένα αριθµητικό σύστηµα υπολοίπων καθορίζεται από ένα σύνολο F ακεραίων, π.χ. είναι ανά δύο πρώτοι µεταξύ τους. Ας υποθέσουµε ότι το { m, m,..., m F }, οι οποίοι A υποδηλώνει το modulo M Μ του Α, δηλαδή το µικρότερο µη αρνητικό υπόλοιπο της ακέραιης διαίρεσης του A µε το M. Τότε, ένας ακέραιος A έχει µια µοναδική αναπαράσταση στο RNS, η οποία δίνεται από το σύνολο υπολοίπων {,,..., F }, όπου A αν A και m M A αν A <, όπου m M m m... m και F. Μια πράξη του F RNS καθορίζεται ως z, z,..., z ) (,,..., ) ( b, b,..., b ), όπου ( F F F z b. m Παρατηρούµε ότι ο υπολογισµός του z εξαρτάται µόνο από τα α, b και m. Συνεπώς, ο υπολογισµός του κάθε z µπορεί να γίνεται παράλληλα σε µια ξεχωριστή αριθµητική µονάδα, η οποία καλείται συχνά κανάλι. Παρατηρούµε ότι κάθε κανάλι χειρίζεται µόνο µικρά υπόλοιπα και όχι µεγάλους αριθµούς, καθώς και ότι όλα τα κανάλια λειτουργούν παράλληλα χωρίς διάδοση κρατουµένου από το ένα στο άλλο. Αυτό σηµαίνει ότι µπορεί εύκολα να επιτευχθεί µια σηµαντική επιτάχυνση της διαδικασίας έναντι της αντίστοιχης του δυαδικού συστήµατος. Αρκετοί επεξεργαστές ψηφιακών σηµάτων (Dgtl Sgl Processors, DSP), οι οποίοι χρησιµοποιούνται σε τηλεπικοινωνιακές και άλλες εφαρµογές, έχουν κατασκευαστεί µε χρήση RNS συστηµάτων και πολλοί ακόµα αναµένονται στο µέλλον, δεδοµένου ότι θα υπάρχουν διαθέσιµα αποδοτικά modulo m αριθµητικά υποσυστήµατα. Στην ανοιχτή βιβλιογραφία έχουν παρουσιαστεί πολύ αποδοτικές αρχιτεκτονικές για αθροιστές, πολλαπλασιαστές και τετραγωνιστές όπου το m είναι σύνολο ή. Είναι εποµένως λογικό ότι τα RNS συστήµατα που βασίζονται στο {,, } βρίσκονται στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος και χρησιµοποιούνται συχνά.

4 το modulo Παρόλα αυτά, το παραπάνω σύνολο ακεραίων δηµιουργεί ένα νέο πρόβληµα: κανάλι χειρίζεται αριθµούς οι οποίοι είναι κατά ένα bt µεγαλύτεροι σε σχέση µε τα άλλα δύο κανάλια. Σε µια πρόχειρη υλοποίηση εποµένως η απόδοση του καναλιού θα ήταν µικρότερη από αυτή των άλλων δύο καναλιών και θα περιόριζε την συνολική ταχύτητα των RNS υπολογισµών. Για να ξεπεραστεί αυτό το πρόβληµα, ο Lebowtz πρότεινε τη χρήση της ελαττωµένης κατά ένα (dmshed-) αναπαράστασης. Στην ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση, κάθε αριθµός παρουσιάζεται µειωµένος κατά ένα modulo. Επιπλέον, όλες οι αριθµητικές πράξεις απαγορεύονται για µηδενικούς αριθµούς (οι οποίοι αναγνωρίζονται εύκολα επειδή η ελαττωµένη κατά ένα αναπαράστασή τους έχει µονάδα στην περισσότερο σηµαντική θέση). Η αναπαράσταση αυτή έχει το σηµαντικό πλεονέκτηµα ότι όλοι οι αριθµοί µπορούν να αναπαρασταθούν µε τη χρήση bts. Το µόνο µειονέκτηµα είναι ότι χρειάζονται µετατροπείς από και προς την ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση. Παρόλα αυτά, ο χρόνος που απαιτείται για τις µετατροπές αποτελεί µόνο ένα πολύ µικρό ποσοστό του συνολικού χρόνου των υπολογισµών, δεδοµένου ότι ένα RNS σύστηµα χρησιµοποιείται όταν πραγµατοποιείται µια σειρά αριθµητικών πράξεων προτού απαιτηθεί µια µετατροπή. Στην ανοιχτή βιβλιογραφία έχουν παρουσιαστεί διάφοροι αποδοτικοί αθροιστές, πολλαπλασιαστές και τετραγωνιστές για το ελαττωµένο κατά ένα αριθµητικό σύστηµα. Μια ακόµα λειτουργία που συναντάται συχνά σε αλγορίθµους πολυµέσων και DSP είναι ο υπολογισµός του αθροίσµατος τετραγώνων. Αυτή χρησιµοποιείται συχνά σε υπολογισµό Ευκλείδειων διακλαδώσεων, συµπίεση εικόνων, αναγνώριση προτύπων, εκτίµηση κίνησης σε υπολογιστικά συστήµατα όρασης, κώδικες συνέλιξης Vterb, ισοστάθµιση καναλιών, εφαρµογές φίλτρων και στατιστική. Για την εκτέλεση της πράξης του αθροίσµατος τετραγώνων µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένα ζευγάρι πολλαπλασιαστή και αθροιστή, ή ένα ζευγάρι τετραγωνιστή και αθροιστή. Αυτή η προσέγγιση όµως εισάγει µια σηµαντική καθυστέρηση και καθιστά αναγκαία τη χρήση µιας ενδιάµεσης µνήµης αποθήκευσης. Μια ξεχωριστή µονάδα αθροίσµατος τετραγώνων µπορεί να δώσει πολύ καλύτερα αποτελέσµατα. Αυτή η λύση όµως αυξάνει σηµαντικά τις χωρικές απαιτήσεις της υλοποίησης. Στην παρούσα εργασία προτείνεται µια λύση η οποία τοποθετείται κάπου ανάµεσα στις δύο παραπάνω ακραίες περιπτώσεις, εφαρµόζοντας την ιδέα του 3

5 διαµοιρασµού χώρου ανάµεσα σε δύο µονάδες. Αυτές οι νέες µονάδες µπορούν να εκτελέσουν είτε την πράξη του πολλαπλασιασµού είτε την πράξη του αθροίσµατος τετραγώνων, ανάλογα µε την τιµή ενός σήµατος ελέγχου. Εξετάζεται τόσο η περίπτωση όσο και η περίπτωση. Οι µονάδες που παρουσιάζονται ονοµάζονται στην πρώτη περίπτωση MMSSU -, ενώ στην δεύτερη περίπτωση MMSSU. Για την περίπτωση, υποθέτουµε ότι χρησιµοποιείται για όλους τους αριθµούς η ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση. Τόσο οι χωρικές όσο και οι χρονικές απαιτήσεις των νέων µονάδων συγκρίνονται µε τις απαιτήσεις των αντίστοιχων πολλαπλασιαστών και αποδεικνύεται ότι µπορούν να κατασκευαστούν µε σχετικά µικρή επιβάρυνση. Το υπόλοιπο της εργασίας αυτής είναι οργανωµένο ως εξής. Στο τµήµα παρουσιάζονται δύο προτεινόµενες αρχιτεκτονικές για µονάδες modulo. Αντίστοιχα, στο τµήµα 3 παρουσιάζονται δύο προτεινόµενες αρχιτεκτονικές για µονάδες modulo. Σε κάθε περίπτωση, παρουσιάζονται οι απαιτήσεις σε χώρο και οι καθυστερήσεις των σχεδιασµών, καθώς και αποτελέσµατα ποιοτικών συγκρίσεων. Αποτελέσµατα ποσοτικών συγκρίσεων παρουσιάζονται στο τµήµα 4, όπου οι προτεινόµενες αρχιτεκτονικές συγκρίνονται µε τους αντίστοιχους πολλαπλασιαστές. Τέλος, στο τµήµα 5 υπάρχει µια σύντοµη ανασκόπηση καθώς και διάφορα συµπεράσµατα που προκύπτουν από τα προηγούµενα. 4

6 . Προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU - Θεωρούµε δύο αριθµούς Α, Β των bts, όπου... A και. Έστω ακόµα ότι οι αριθµοί αυτοί ακολουθούν την modulo αναπαράσταση. Προφανώς ισχύει... b b b b B A και. b B Για τον modulo πολλαπλασιασµό των αριθµών αυτών θα ισχύει PP b b b B A όπου b PP. Το PP αναπαριστά ένα µερικό γινόµενο στον πίνακα του modulo πολλαπλασιασµού των Α και Β. Έστω τώρα ένας αριθµός... c c c c C ο οποίος βρίσκεται µέσα στο ). Στο [] έχει δειχθεί ότι ισχύει, [ c c c c C.... () Αυτό σηµαίνει ότι οι όροι PP µπορούν να αναπαρασταθούν µε bts, ολισθαίνοντας τα bts των µερικών γινοµένων µε βάρος στην θέση. Έστω ότι 8. Τότε θα έχουµε τον παρακάτω πίνακα. 5

7 PP α 7 b α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b PP α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b α 7 b PP α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b α 7 b α 6 b PP 3 α 4 b 3 α 3 b 3 α b 3 α b 3 α b 3 α 7 b 3 α 6 b 3 α 5 b 3 PP 4 α 3 b 4 α b 4 α b 4 α b 4 α 7 b 4 α 6 b 4 α 5 b 4 α 4 b 4 PP 5 α b 5 α b 5 α b 5 α 7 b 5 α 6 b 5 α 5 b 5 α 4 b 5 α 3 b 5 PP 6 α b 6 α b 6 α 7 b 6 α 6 b 6 α 5 b 6 α 4 b 6 α 3 b 6 α b 6 PP 7 α b 7 α 7 b 7 α 6 b 7 α 5 b 7 α 4 b 7 α 3 b 7 α b 7 α b 7 Πίνακας. Μερικά γινόµενα για πολλαπλασιασµό modulo. Για την modulo µείωση των µερικών γινοµένων σε δύο µόνο προσθετέους µπορεί να χρησιµοποιηθεί µια αρχιτεκτονική που βασίζεται σε ένα δέντρο πλήρων αθροιστών (δέντρο Wllce). Επιπλέον, στην αρχιτεκτονική αυτή θα πρέπει να έχουµε ed-roud-crry, δηλαδή το κρατούµενο της πιο σηµαντικής βαθµίδας θα πρέπει να επιστρέφει στην λιγότερο σηµαντική βαθµίδα κάθε γραµµής. H χρήση του δέντρου Wllce σε έναν δυαδικό πολλαπλασιαστή περιπλέκει τη δοµή του και οι διασυνδέσεις ανάµεσα στους πλήρεις αθροιστές δεν παρουσιάζουν κάποια κανονικότητα. Το γεγονός αυτό αποτελεί ένα µεγάλο πρόβληµα και για το λόγο αυτό δεν υπάρχουν πολλές VLSI υλοποιήσεις δυαδικών πολλαπλασιαστών οι οποίοι χρησιµοποιούν το δέντρο Wllce. Σε έναν δυαδικό πολλαπλασιαστή, η κάθε στήλη του πίνακα των µερικών γινοµένων έχει διαφορετικό µέγεθος και αυτό είναι η κυριότερη πηγή των προβληµάτων. Αντίθετα, σε έναν modulo πολλαπλασιαστή το µέγεθος κάθε στήλης είναι το ίδιο. Στην περίπτωση αυτή το δέντρο Wllce παρουσιάζει µεγάλη κανονικότητα και εποµένως η υλοποίησή του γίνεται πολύ ευκολότερη. Ας θεωρήσουµε ότι c είναι το κρατούµενο της πιο σηµαντικής βαθµίδας κατά τη διάρκεια ενός σταδίου της µείωσης. Προφανώς το c έχει βάρος. Εφόσον c, () c το c µπορεί πολύ απλά να προστεθεί στην λιγότερο σηµαντική βαθµίδα του επόµενου σταδίου της µείωσης. Με τον τρόπο αυτό σχηµατίζεται µια αρχιτεκτονική δέντρου modulo άθροισης µε ed-roud-crry ([33]). Μετά από το δέντρο αυτό της modulo άθροισης θα πρέπει να έχουν αποµείνει µόνο δύο προσθετέοι. Αυτοί οι δύο προσθετέοι θα πρέπει να προστεθούν modulo προκειµένου να πάρουµε το 6

8 τελικό αποτέλεσµα. Για αυτή την τελική άθροιση µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένας παράλληλος modulo αθροιστής ([8], [9] και []). Ας εξετάσουµε τώρα την περίπτωση του modulo αθροίσµατος τετραγώνων. Γνωρίζουµε ότι ισχύει A A A και b b b B B B. Το άθροισµα τετραγώνων Α Β παράγει ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b b b B A (3) Ο όρος µπορεί να αντικατασταθεί από τα αντίστοιχα αθροίσµατα και κρατούµενα για κάθε βαθµίδα. Με άλλα λόγια ισχύει ( ) b ( ) ( ) ( ) b b b b b. Εποµένως το άθροισµα τετραγώνων A B µπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: ( ) ( ) b b b b B A. (4) Τα µερικά γινόµενα του modulo αθροίσµατος τετραγώνων µπορούν να παραχθούν µε τρόπο ανάλογο της περίπτωσης του πολλαπλασιασµού, εφαρµόζοντας δηλαδή την () στους όρους της (4). Παρατηρούµε ότι στην γενική περίπτωση απαιτούνται µερικά γινόµενα για τον σχηµατισµό του πίνακα του modulo αθροίσµατος τετραγώνων. Όπως και στην περίπτωση του πολλαπλασιασµού, µπορεί να χρησιµοποιηθεί µια βασιζόµενη σε πλήρεις αθροιστές αρχιτεκτονική δέντρου µε ed-roud-crry για την µείωση των γραµµών σε δύο προσθετέους, ενώ για την τελική modulo πρόσθεση µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένας modulo παράλληλος αθροιστής. Προφανώς η έξοδος του αθροιστή αυτού είναι το επιθυµητό αποτέλεσµα. Για παράδειγµα, όταν έχουµε 8 8 γραµµές µερικών γινοµένων, όπως φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα. 7

9 PP α 6 α α 5 α α 4 α α 3 α α α α α α b α 7 α PP α 5 α α 4 α α 3 α α α α b b b α 7 α α 6 α PP α 4 α α 3 α α b b b b b α 7 α α 6 α α 5 α PP 3 α 3 b 3 b b 3 b b 3 b b 3 α 7 α 3 α 6 α 3 α 5 α 3 α 4 α 3 PP 4 b b 4 b b 4 b b 4 α 7 α 4 α 6 α 4 α 5 α 4 α 4 b 4 b 3 b 4 PP 5 b b 5 b b 5 α 7 α 5 α 6 α 5 α 5 b 5 b 4 b 5 b 3 b 5 b b 5 PP 6 b b 6 α 7 α 6 α 6 b 6 b 5 b 6 b 4 b 6 b 3 b 6 b b 6 b b 6 PP 7 α 7 b 7 b 6 b 7 b 5 b 7 b 4 b 7 b 3 b 7 b b 7 b b 7 b b 7 PP 8 α 3 b 3 α b α b α b PP 9 α 7 b 7 α 6 b 6 α 5 b 5 α 4 b 4 Πίνακας. Μερικά γινόµενα για άθροισµα τετραγώνων modulo. Όπως είδαµε παραπάνω, ο πίνακας του αθροίσµατος τετραγώνων έχει δύο παραπάνω γραµµές σε σχέση µε τον πίνακα του πολλαπλασιασµού. Προκειµένου να γίνει δυνατή η υλοποίηση και των δύο λειτουργιών από το ίδιο κύκλωµα, ο πίνακας του πολλαπλασιασµού ξαναγράφεται ως εξής για µια MMSSU PP α 7 b α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b PP α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b α 7 b PP α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b α 7 b α 6 b PP 3 α 4 b 3 α 3 b 3 α b 3 α b 3 α b 3 α 7 b 3 α 6 b 3 α 5 b 3 PP 4 α 3 b 4 α b 4 α b 4 α b 4 α 7 b 4 α 6 b 4 α 5 b 4 α 4 b 4 PP 5 α b 5 α b 5 α b 5 α 7 b 5 α 6 b 5 α 5 b 5 α 4 b 5 α 3 b 5 PP 6 α b 6 α b 6 α 7 b 6 α 6 b 6 α 5 b 6 α 4 b 6 α 3 b 6 α b 6 PP 7 α b 7 α 7 b 7 α 6 b 7 α 5 b 7 α 4 b 7 α 3 b 7 α b 7 α b 7 PP 8 PP 9 Πίνακας 3. Μερικά γινόµενα για πολλαπλασιασµό modulo, υλοποιηµένο από µια MMSSU -. 8

10 Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει ότι ο modulo πολλαπλασιαστής και η modulo µονάδα αθροίσµατος τετραγώνων έχουν παρόµοια δοµή. Αρχικά έχουµε ένα υποκύκλωµα παραγωγής µερικών γινοµένων, έπειτα µια µονάδα modulo µείωσης των µερικών γινοµένων σε δύο προσθετέους και τέλος έναν modulo παράλληλο αθροιστή. Βασιζόµενοι σε αυτά τα αποτελέσµατα, παρακάτω προτείνουµε δύο αρχιτεκτονικές για την ενοποίηση των παραπάνω σχεδιασµών σε ένα µόνο κύκλωµα. Η πρώτη αρχιτεκτονική που παρουσιάζεται καλείται απλή αρχιτεκτονική MMSSU-, λόγω του απλού τρόπου υλοποίησής της. Η δεύτερη αρχιτεκτονική στοχεύει στη µείωση του συνολικού χώρου που απαιτείται για την υλοποίησή της και καλείται αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου MMSSU -.. Παραδείγµατα modulo πολλαπλασιασµού και αθροίσµατος τετραγώνων Πριν προχωρήσουµε παρακάτω, είναι χρήσιµο να εξετάσουµε από κοντά πώς ακριβώς πραγµατοποιούνται ο πολλαπλασιασµός και το άθροισµα τετραγώνων σε αριθµητική modulo. Παρακάτω φαίνεται πώς εκτελείται ο πολλαπλασιασµός από µια MMSSU-. Έστω ότι 8. Οι αριθµοί που πολλαπλασιάζονται είναι οι 55 () και 9 (). Το αποτέλεσµα της πράξης 55*9 modulo 55 είναι 65 (). (55) * (9) Α 9

11 s Β c s c s c s C c s c s D c s E c s F c G (65) H Κάθε τρεις γραµµές «συµπιέζονται» σε δύο χρησιµοποιώντας πλήρεις αθροιστές. Οι τρεις αυτές γραµµές µπορεί να είναι µερικά γινόµενα, ενδιάµεσα αθροίσµατα ή κρατούµενα. Μια γραµµή αθροισµάτων σηµειώνεται µε s, ενώ µια γραµµή κρατουµένων σηµειώνεται µε c. Κάθε κρατούµενο της πιο σηµαντικής βαθµίδας σε κάθε γραµµή υπογραµµίζεται και µεταφέρεται στην λιγότερο σηµαντική

12 βαθµίδα της γραµµής. Επίσης υπογραµµίζεται το bt που µετακινήθηκε. Το A είναι το βήµα που απαιτείται για την παραγωγή του πίνακα των µερικών γινοµένων. Οι δέκα γραµµές που φαίνονται αντιστοιχούν στις γραµµές του πίνακα 3. Τα B, C, D, Ε και F είναι τα βήµατα της συµπίεσης που πραγµατοποιείται από το δέντρο Wllce. Χρησιµοποιώντας πλήρεις αθροιστές, οι γραµµές συµπιέζονται από δέκα που ήταν αρχικά σε δύο. Το κρίσιµο µονοπάτι κάθε βήµατος αυτής της φάσης παρουσιάζει καθυστέρηση ίση µε αυτή ενός πλήρους αθροιστή. Εποµένως, η συνολική καθυστέρηση αυτής της φάσης είναι η καθυστέρηση πέντε πλήρων αθροιστών. Τα δύο τελευταία βήµατα, G και H, αναπαριστούν έναν γρήγορο modulo 55 αθροιστή. Ειδικότερα, το G αναπαριστά έναν γρήγορο αθροιστή των 8 bts, ενώ το H αναπαριστά την διόρθωση κρατουµένου που απαιτείται για άθροιση modulo 55. Τώρα θα εξετάσουµε πώς υπολογίζεται το άθροισµα τετραγώνων modulo. Θεωρούµε πάλι τους ίδιους αριθµούς, δηλαδή B 9 (). Ισχύει A 55 () και A B modulo 55 6 (). Η διαδικασία για την εύρεση του αποτελέσµατος προχωράει όπως στο παρακάτω παράδειγµα. (55) (9) A s B c s c s

13 c s C c s c s D c s E c s F c G (6) H Η µόνη διαφορά της πράξης του αθροίσµατος τετραγώνων µε την πράξη του πολλαπλασιασµού είναι ο τρόπος µε τον οποίο σχηµατίζονται τα αρχικά µερικά γινόµενα. Από εκεί και πέρα ακολουθείται ακριβώς η ίδια λογική προκειµένου να φτάσουµε στο τελικό αποτέλεσµα. Όπως και στο παράδειγµα του πολλαπλασιασµού, το A είναι το βήµα που απαιτείται για την παραγωγή του πίνακα των µερικών γινοµένων. Οι δέκα γραµµές του βήµατος Α αντιστοιχούν στα µερικά γινόµενα του πίνακα. Τα B, C, D, E και F είναι τα βήµατα της συµπίεσης που πραγµατοποιείται από το δέντρο Wllce. Χρησιµοποιώντας πλήρεις αθροιστές, οι γραµµές συµπιέζονται από δέκα που ήταν αρχικά σε δύο. Το κρίσιµο µονοπάτι κάθε βήµατος αυτής της φάσης παρουσιάζει καθυστέρηση ίση µε αυτή ενός πλήρους αθροιστή. Εποµένως, η συνολική καθυστέρηση αυτής της φάσης είναι η καθυστέρηση πέντε πλήρων αθροιστών. Τα δύο τελευταία βήµατα, G και H, αναπαριστούν έναν γρήγορο modulo 55 αθροιστή. Ειδικότερα, το G αναπαριστά έναν γρήγορο αθροιστή των 8

14 bts, ενώ το H αναπαριστά την διόρθωση κρατουµένου που απαιτείται για άθροιση modulo 55.. Απλή αρχιτεκτονική MMSSU - Μία απλή λύση για την ενοποίηση των δύο πράξεων σε ένα µόνο κύκλωµα είναι η χρησιµοποίηση ενός πολυπλέκτη για κάθε bt που διαφέρει στους πίνακες των A B και A B. Μια τέτοια αρχιτεκτονική απαιτεί στην χειρότερη περίπτωση: πύλες XOR για τον σχηµατισµό των bts της µορφής b. ( ) πύλες AND για την παραγωγή των bts της µορφής α α ή b b. πύλες AND για την παραγωγή των bts της µορφής α b. πολυπλέκτες για την επιλογή των σωστών µερικών γινοµένων ανάλογα µε την επιθυµητή πράξη. Οι πολυπλέκτες αυτοί χρησιµοποιούνται για τον σχηµατισµό των πρώτων γραµµών. πύλες AND για την παραγωγή των όρων s( b ). Μία βασιζόµενη σε πλήρεις αθροιστές αρχιτεκτονική δέντρου µε ed-roudcrry για την µείωση των µερικών γινοµένων σε δύο τελικούς προσθετέους. Έστω ότι k. Τότε ο αριθµός των σταδίων του δέντρου αυτού είναι µια συνάρτηση του αριθµού των µερικών γινοµένων, D(k). Το D(k) φαίνεται στον πίνακα 4 για όλες τις πρακτικές τιµές που µπορεί να πάρει το. Ο αριθµός των πλήρων αθροιστών που απαιτούνται για το δέντρο αυτό είναι. Έναν modulo παράλληλο αθροιστή. Προφανώς το κρίσιµο µονοπάτι αυτής της αρχιτεκτονικής αρχίζει στην είσοδο µιας πύλης XOR και περνάει µέσα από µια πύλη AND, το δέντρο των αθροιστών και τελικά µέσα από τον παράλληλο αθροιστή. 3

15 k D(k) 4 5 k k 9 4 k k 9 6 k k k k 94 Πίνακας 4. Βήµατα που απαιτούνται για ένα δέντρο µε k εισόδους. Ένα συχνά χρησιµοποιούµενο µοντέλο για τη σύγκριση διαφόρων αρχιτεκτονικών είναι το µοντέλο ut-gte ([3]). Σύµφωνα µε το µοντέλο αυτό, όλες οι µονοτονικές πύλες δύο εισόδων ισοδυναµούν µε µία πύλη τόσο από άποψη χώρου όσο και καθυστέρησης. Επιπλέον, µια πύλη XOR ή XNOR δύο εισόδων, καθώς και ένας δύο-σε-ένα πολυπλέκτης, ισοδυναµεί µε δύο πύλες τόσο από άποψη χώρου όσο και καθυστέρησης. Χρησιµοποιώντας το παραπάνω µοντέλο, µπορούµε να υπολογίσουµε τον χώρο A smple,- και την καθυστέρηση T smple,- της απλής αρχιτεκτονικής MMSSU -. Υποθέτουµε ότι για τον τελικό παράλληλο αθροιστή χρησιµοποιείται η υλοποίηση που προτείνεται στο [8]. Τότε έχουµε A smple 3 log 6 T smple, ( ) log 6, 4D.3 Αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου MMSSU - Η απλή αρχιτεκτονική MMSSU - χρησιµοποιεί πολλούς πολυπλέκτες προκειµένου να επιλέξει τα σωστά µερικά γινόµενα ανάλογα µε την επιθυµητή πράξη. Η αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου στοχεύει στη µείωση αυτών ακριβώς των πολυπλεκτών, εκµεταλλευόµενη τις οµοιότητες που υπάρχουν στα µερικά γινόµενα των δύο πράξεων. Έστω ότι το s είναι το σήµα επιλογής της επιθυµητής πράξης. Όταν 4

16 s επιλέγεται η πράξη του modulo επιλέγεται η πράξη του modulo : πολλαπλασιασµού, ενώ όταν αθροίσµατος τετραγώνων. s Βασιζόµενοι στη µεταβλητή s, ορίζουµε τις παρακάτω µεταβλητές για c s d s e s b s b s ( b ) Στις παραπάνω σχέσεις το σύµβολο υποδηλώνει την λογική πράξη OR. Στη συνέχεια ξαναγράφουµε τους πίνακες πολλαπλασιασµού και αθροίσµατος τετραγώνων χρησιµοποιώντας τις παραπάνω µεταβλητές. Ο µετασχηµατισµός αυτός των πινάκων γίνεται µε πολύ απλό τρόπο. Κάθε bt της µορφής α b αντικαθίσταται µε α c όταν >, ενώ όταν < αντικαθίσταται µε db. Τα bts της µορφής α b παραµένουν ως έχουν. Στην περίπτωση του πίνακα αθροίσµατος τετραγώνων, τα bts της µορφής α α αντικαθίστανται µε α c, ενώ τα bts της µορφής b b αντικαθίστανται µε d b. Ακόµα, τα bts της µορφής b αντικαθίστανται µε e. Και πάλι τα bts της µορφής α b παραµένουν ως έχουν. Για 8, οι πίνακες πολλαπλασιασµού και αθροίσµατος τετραγώνων µετασχηµατίζονται ως εξής PP α 7 c α 6 c α 5 c α 4 c α 3 c α c α c α b PP α 6 c α 5 c α 4 c α 3 c α c α b d b α 7 c PP α 5 c α 4 c α 3 c α b d b d b α 7 c α 6 c PP 3 α 4 c 3 α 3 b 3 d b 3 d b 3 d b 3 α 7 c 3 α 6 c 3 α 5 c 3 PP 4 d 3 b 4 d b 4 d b 4 d b 4 α 7 c 4 α 6 c 4 α 5 c 4 α 4 b 4 PP 5 d b 5 d b 5 d b 5 α 7 c 5 α 6 c 5 α 5 b 5 d 4 b 5 d 3 b 5 PP 6 d b 6 d b 6 α 7 c 6 α 6 b 6 d 5 b 6 d 4 b 6 d 3 b 6 d b 6 PP 7 d b 7 α 7 b 7 d 6 b 7 d 5 b 7 d 4 b 7 d 3 b 7 d b 7 d b 7 PP 8 e e 3 e e PP 9 e 4 e 7 e 6 e 5 Πίνακας 5. Νέα µορφή των µερικών γινοµένων του πολλαπλασιασµού. 5

17 PP α 6 c α 5 c α 4 c α 3 c α c α c α b α 7 c PP α 5 c α 4 c α 3 c α c α b d b α 7 c α 6 c PP α 4 c α 3 c α b d b d b α 7 c α 6 c α 5 c PP 3 α 3 b 3 d b 3 d b 3 d b 3 α 7 c 3 α 6 c 3 α 5 c 3 α 4 c 3 PP 4 d b 4 d b 4 d b 4 α 7 c 4 α 6 c 4 α 5 c 4 α 4 b 4 d 3 b 4 PP 5 d b 5 d b 5 α 7 c 5 α 6 c 5 α 5 b 5 d 4 b 5 d 3 b 5 d b 5 PP 6 d b 6 α 7 c 6 α 6 b 6 d 5 b 6 d 4 b 6 d 3 b 6 d b 6 d b 6 PP 7 α 7 b 7 d 6 b 7 d 5 b 7 d 4 b 7 d 3 b 7 d b 7 d b 7 d b 7 PP 8 e 3 e e e PP 9 e 7 e 6 e 5 e 4 Πίνακας 6. Νέα µορφή των µερικών γινοµένων του αθροίσµατος τετραγώνων. Εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι ο πίνακας του πολλαπλασιασµού µπορεί να γίνει ίδιος µε αυτόν του αθροίσµατος τετραγώνων, αρκεί η πρώτη του στήλη να µεταφερθεί τελευταία. Χρησιµοποιούµε λοιπόν σαν βάση για την MMSSU - τον πίνακα του αθροίσµατος τετραγώνων. Η ίδια αρχιτεκτονική δέντρου για τη µείωση των µερικών γινοµένων µπορεί να χρησιµοποιηθεί και πάλι, όπως και ο τελικός παράλληλος αθροιστής. Στην περίπτωση του πολλαπλασιασµού όµως, όταν δηλαδή s, το πιο σηµαντικό bt του αποτελέσµατος βρίσκεται στην λιγότερο σηµαντική θέση. Για τον λόγο αυτό, µετά από τον παράλληλο αθροιστή, χρησιµοποιούνται πολυπλέκτες προκειµένου να πραγµατοποιήσουν µια δεξιά κυκλική ολίσθηση του αποτελέσµατος όταν s. Η παραπάνω αρχιτεκτονική απαιτεί λοιπόν: πύλες XOR για τον σχηµατισµό των bts της µορφής b. πύλες AND για τον σχηµατισµό των όρων e. δύο-σε-ένα πολυπλέκτες για τον σχηµατισµό των όρων c και d. ( ) πύλες AND για την παραγωγή των bts της µορφής α c ή d b. πύλες AND για την παραγωγή των όρων α b. Μία βασιζόµενη σε πλήρεις αθροιστές αρχιτεκτονική δέντρου για τη µείωση των µερικών γινοµένων. Το βάθος του δέντρου αυτού είναι αριθµός των πλήρων αθροιστών που απαιτούνται είναι. D( ), ενώ ο 6

18 Έναν modulo παράλληλο αθροιστή. δύο-σε-ένα πολυπλέκτες προκειµένου να πραγµατοποιήσουν µια δεξιά κυκλική ολίσθηση του αποτελέσµατος όταν s. Το κρίσιµο µονοπάτι της παραπάνω αρχιτεκτονικής αρχίζει στην είσοδο µιας πύλης XOR και περνάει µέσα από µια πύλη AND για την παραγωγή ενός όρου e, µέσα από το δέντρο των πλήρων αθροιστών, τον παράλληλο αθροιστή και τελικά από έναν πολυπλέκτη ο οποίος χρησιµοποιείται για την δεξιά κυκλική ολίσθηση. Χρησιµοποιώντας και πάλι το ut-gte µοντέλο, µπορούµε να υπολογίσουµε τον χώρο A reduced,- και την καθυστέρηση T reduced,- της αρχιτεκτονικής µειωµένου χώρου MMSSU -. Υποθέτουµε ότι για τον τελικό παράλληλο αθροιστή χρησιµοποιείται η υλοποίηση που προτείνεται στο [8]. Τότε έχουµε MMSSU - για A reduced 8 3 log 3 T reduced, ( ) log 8, 4D Το σχήµα παρακάτω απεικονίζει την αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου 4. Οι παραγωγή των όρων c, d και e δεν φαίνεται στο σχήµα για λόγους απλότητας. Έπειτα από την παραγωγή των µερικών γινοµένων, χρησιµοποιείται µια βασιζόµενη σε πλήρεις αθροιστές αρχιτεκτονική δέντρου για τη µείωσή τους σε δύο τελικούς προσθετέους. Τον παράλληλο modulo αθροιστή ακολουθούν οι πολυπλέκτες που είναι απαραίτητοι για την δεξιά κυκλική ολίσθηση του αποτελέσµατος για την περίπτωση που ισχύει s. 7

19 Σχήµα. 4-bt αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου MMSSU -..4 Ποιοτικές συγκρίσεις Θεωρούµε δύο βασικές αρχιτεκτονικές οι οποίες µπορούν να πραγµατοποιήσουν modulo πολλαπλασιασµό και άθροισµα τετραγώνων, τις οποίες 8

20 καλούµε σύστηµα Α και σύστηµα Β. Το σύστηµα Α διαθέτει µόνο έναν πολλαπλασιαστή και έναν modulo αθροιστή. Εποµένως, ο πολλαπλασιασµός στο σύστηµα αυτό πραγµατοποιείται σε έναν κύκλο, ενώ το άθροισµα τετραγώνων απαιτεί τρεις συνεχόµενους κύκλους: δύο κύκλους πολλαπλασιασµού και έναν κύκλο πρόσθεσης. Το σύστηµα Β διαθέτει έναν πολλαπλασιαστή, έναν τετραγωνιστή και έναν modulo αθροιστή. Ο πολλαπλασιασµός στο σύστηµα αυτό πραγµατοποιείται σε έναν κύκλο, ενώ το άθροισµα τετραγώνων απαιτεί τρεις συνεχόµενους κύκλους: δύο κύκλους τετραγωνισµού και έναν κύκλο πρόσθεσης. Προφανώς το σύστηµα Β υπολογίζει το άθροισµα τετραγώνων γρηγορότερα από το σύστηµα Α, διότι ένας τετραγωνιστής είναι πολύ γρηγορότερος από έναν πολλαπλασιαστή που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του τετραγώνου ενός αριθµού. Παρακάτω θα χρησιµοποιήσουµε και πάλι το µοντέλο ut-gte προκειµένου να πραγµατοποιήσουµε συγκρίσεις ανάµεσα στις προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU - και τα συστήµατα Α και Β. Θεωρούµε ότι τα συστήµατα Α και Β χρησιµοποιούν τον πολλαπλασιαστή που προτείνεται στο [33] και τον αθροιστή που προτείνεται στο [8]. Μπορούµε τότε να υπολογίσουµε τον χώρο και την καθυστέρηση των αρχιτεκτονικών αυτών όταν πραγµατοποιούν την πράξη του αθροίσµατος τετραγώνων. A multpler 8 3 log T multpler, ( ) log 4, 4D A dder 3 log 4 T dder,, log 3 Σύµφωνα µε το [4], ένας modulo γινόµενα από ότι ο αντίστοιχος modulo τετραγωνιστής έχει τα µισά µερικά πολλαπλασιαστής. Μπορούµε εποµένως να υπολογίσουµε τον χώρο και την καθυστέρηση του τετραγωνιστή ως εξής. A squrer, 7 3 log T squrer, 4D log 4 Χρησιµοποιώντας τις παραπάνω προσεγγίσεις, υπολογίζουµε τον χώρο και την καθυστέρηση των βασικών συστηµάτων Α και Β ως εξής: 9

21 A A 8 6log 6 T A, ( ) 6log, 8D A B, 8 7 9log 33 T B, 8D 6log Τώρα είµαστε έτοιµοι να συγκρίνουµε τα βασικά συστήµατα Α και Β µε συστήµατα τα οποία χρησιµοποιούν κάποια από τις προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU -. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει για διάφορες τιµές του τις προσεγγίσεις για τον χώρο και την καθυστέρηση των συγκρινόµενων συστηµάτων. A A,- A B,- A smple,- A reduced,- T A,- T B,- T smple,- T reduced, Πίνακας 7. Ποιοτικές συγκρίσεις για συστήµατα modulo. Όπως ήταν αναµενόµενο, οι τιµές του παραπάνω πίνακα δείχνουν ότι ο χώρος που απαιτούν οι προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU - βρίσκεται µεταξύ του χώρου του συστήµατος Α και του χώρου του συστήµατος Β. Η προτεινόµενη αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου απαιτεί µόνο 6% περισσότερο χώρο σε σχέση µε το βασικό σύστηµα Α όταν 6. Από την άλλη πλευρά, ο χώρος του βασικού συστήµατος Β είναι αρκετά µεγαλύτερος από τον χώρο οποιασδήποτε από τις προτεινόµενες αρχιτεκτονικές. Για, ο χώρος του βασικού συστήµατος Β είναι 4% µεγαλύτερος από τον χώρο που απαιτεί η προτεινόµενη αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου. Λόγω των υψηλών δυνατοτήτων ολοκλήρωσης που προσφέρουν οι σύγχρονες κατασκευαστικές τεχνολογίες, έχει δηµιουργηθεί εσφαλµένα η εντύπωση ότι το υλικό

22 είναι φτηνό. εδοµένου όµως ότι µια % αύξηση του χώρου του ολοκληρωµένου οδηγεί σε 5% αύξηση του συνολικού κόστους ([34]), η µείωση του χρησιµοποιούµενου υλικού παραµένει ένας πολύ σηµαντικός στόχος. Και οι δύο προτεινόµενες αρχιτεκτονικές έχουν πολύ µικρότερες καθυστερήσεις για το άθροισµα τετραγώνων σε σχέση µε οποιοδήποτε από τα βασικά συστήµατα για 8. Στην περίπτωση που χρησιµοποιείται η απλή αρχιτεκτονική και 3, επιτυγχάνεται 45% µείωση της συνολικής καθυστέρησης. Προκειµένου να εξαλειφθεί αυτή η διαφορά, θα µπορούσαµε βέβαια να προσθέσουµε µια ξεχωριστή µονάδα αθροίσµατος τετραγώνων σε οποιοδήποτε από τα βασικά συστήµατα Α και Β. Μια τέτοια κίνηση θα οδηγούσε όµως σε περαιτέρω αύξηση του απαιτούµενου χώρου. Παρόλα αυτά, οι προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU- αναπόφευκτα έχουν µεγαλύτερες καθυστερήσεις από τα βασικά συστήµατα όταν πραγµατοποιείται πολλαπλασιασµός. Για παράδειγµα, παρατηρούµε µια µέση αύξηση % στον χρόνο που απαιτεί ο πολλαπλασιασµός όταν 6. Φυσικά όλα τα αποτελέσµατα που παρουσιάστηκαν παραπάνω βασίζονται σε ένα απλό µοντέλο το οποίο δεν λαµβάνει υπόψη διάφορες σηµαντικές παραµέτρους, όπως π.χ. τη δροµολόγηση και την ικανότητα οδήγησης. Για τον λόγο αυτό, στο τµήµα 4 παρουσιάζονται αποτελέσµατα που βασίζονται σε πλήρεις στατικές υλοποιήσεις CMOS.

23 3. Προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU Ο πολλαπλασιασµός και το άθροισµα τετραγώνων modulo πολλές οµοιότητες µε τις αντίστοιχες πράξεις modulo modulo παρουσιάζει. Για όλες τις πράξεις θεωρούµε ότι χρησιµοποιείται η ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση για όλους τους αριθµούς. Με άλλα λόγια, τόσο οι είσοδοι Α και Β, όσο και το τελικό αποτέλεσµα ακολουθούν την ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση. Στο [] έχει δειχθεί ότι τα µερικά γινόµενα του modulo πολλαπλασιασµού δύο αριθµών µπορούν να αναπαρασταθούν µε bts. Τα bts µε βάρος, όπου, συµπληρώνονται και τοποθετούνται στη θέση. Για κάθε τέτοια συµπλήρωση και ολίσθηση όµως, πρέπει να προστεθεί ένας παράγοντας διόρθωσης ο οποίος ισούται µε. Έστω ότι το X - δηλώνει την ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση του X, δηλαδή ισχύει αποτέλεσµα του modulo X X και X. Έστω ακόµα ότι το P αναπαριστά το αναπαριστά το αποτέλεσµα του modulo A... και B b b... bb πολλαπλασιασµού των Α και Β, ενώ το SS αθροίσµατος τετραγώνων, όπου. Τότε για την ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση των αποτελεσµάτων των παραπάνω πράξεων θα ισχύει: SS ( A )( B ) A B A B P P (5) ( A ) ( B ) SS A B A B (6) Οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι χρειάζονται δύο επιπλέον µερικά γινόµενα σε σχέση µε την περίπτωση modulo. Για τον πολλαπλασιασµό απαιτείται µία επιπλέον γραµµή για το A και µία ακόµα για το απαιτείται µία επιπλέον γραµµή για το B. Για το άθροισµα τετραγώνων A και µία ακόµα για το.. Τέλος, απαιτείται µία ακόµα γραµµή για τον παράγοντα συνολικής διόρθωσης που πρέπει να ληφθεί υπόψη. Σηµειώνεται ότι στην περίπτωση του αθροίσµατος τετραγώνων ο παραπάνω παράγοντας θα πρέπει να ενσωµατώνει τον όρο της (6). Εφόσον στην περίπτωση modulo θα πρέπει να έχουµε είχαµε B µερικά γινόµενα, για την περίπτωση modulo 5 µερικά γινόµενα.

24 Παρόλα αυτά, στην συγκεκριµένη περίπτωση οι παράγοντες συνολικής διόρθωσης µπορούν να ενσωµατωθούν µέσα στα υπόλοιπα µερικά γινόµενα. Εποµένως, στην περίπτωση αυτή δεν χρειάζεται να χρησιµοποιηθεί µία επιπλέον γραµµή για τον παράγοντα συνολικής διόρθωσης. Οι προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU χρησιµοποιούν λοιπόν 4 µερικά γινόµενα. Αρχικά ας θεωρήσουµε την περίπτωση του πολλαπλασιασµού. Τα µερικά γινόµενα που απαιτούνται όταν 8 φαίνονται στον πίνακα 8. Σηµειώνεται ότι το σύµβολο ~ στους επόµενους πίνακες υποδηλώνει το συµπλήρωµα. Για την αναπαράσταση καθενός από τα µερικά γινόµενα χρησιµοποιούνται bts, µε τις συµπληρώσεις και ολισθήσεις που αναφέρθηκαν προηγουµένως. Παρακάτω θα υπολογίσουµε τον παράγοντα συνολικής διόρθωσης που απαιτείται και θα δείξουµε ότι µπορεί να αναπαρασταθεί µε δύο επιπλέον σειρές, οδηγώντας έτσι σε µερικά γινόµενα συνολικά. Έστω ότι CP είναι ο παράγοντας συνολικής διόρθωσης για την περίπτωση του πολλαπλασιασµού PP α 7 b α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b PP α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b ~α 7 b PP α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b ~α 7 b ~α 6 b PP 3 α 4 b 3 α 3 b 3 α b 3 α b 3 α b 3 ~α 7 b 3 ~α 6 b 3 ~α 5 b 3 PP 4 α 3 b 4 α b 4 α b 4 α b 4 ~α 7 b 4 ~α 6 b 4 ~α 5 b 4 ~α 4 b 4 PP 5 α b 5 α b 5 α b 5 ~α 7 b 5 ~α 6 b 5 ~α 5 b 5 ~α 4 b 5 ~α 3 b 5 PP 6 α b 6 α b 6 ~α 7 b 6 ~α 6 b 6 ~α 5 b 6 ~α 4 b 6 ~α 3 b 6 ~α b 6 PP 7 α b 7 ~α 7 b 7 ~α 6 b 7 ~α 5 b 7 ~α 4 b 7 ~α 3 b 7 ~α b 7 ~α b 7 PP 8 α 7 α 6 α 5 α 4 α 3 α α α PP 9 b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b b b Πίνακας 8. Μερικά γινόµενα για πολλαπλασιασµό modulo. Χρησιµοποιώντας τις διαδικασίες που παρουσιάζονται στα [] και [], το CP µπορεί να υπολογιστεί ως CP CP CP, όπου CP είναι η διόρθωση που απαιτείται για την παραγωγή των µερικών γινοµένων και CP είναι η διόρθωση που απαιτείται κατά τη µείωση των µερικών γινοµένων. Στον παραπάνω πίνακα, κάθε όρος ο οποίος εµφανίζεται συµπληρωµένος προέρχεται από ολίσθηση και εποµένως 3

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρώτο Κεφάλαιο. Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα. Δεύτερο Κεφάλαιο. Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Περιεχόμενα. Πρώτο Κεφάλαιο. Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα. Δεύτερο Κεφάλαιο. Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Πρώτο Κεφάλαιο Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα 1.1 Αναλογικά και Ψηφιακά Σήματα και Συστήματα... 1 1.2 Βασικά Ψηφιακά Κυκλώματα... 3 1.3 Ολοκληρωμένα κυκλώματα... 4 1.4 Τυπωμένα κυκλώματα... 7 1.5 Εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits Δρ. Γκόγκος Χρήστος Κατηγορίες πράξεων με bits Πράξεις με δυαδικά ψηφία Αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Αριθµητικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

1 η Θεµατική Ενότητα : Αριθµητικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός η Θεµατική Ενότητα : Αριθµητικά Κυκλώµατα Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Άθροιση + + + + a +b 2c+s + Κρατούµενο προηγούµενης βαθµίδας κρατούµενο άθροισµα Μεταφέρεται στην επόµενη βαθµίδα σηµαντικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα µε MSI. υαδικός Αθροιστής & Αφαιρέτης

Κυκλώµατα µε MSI. υαδικός Αθροιστής & Αφαιρέτης 5 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστικά Κυκλώµατα µε MSI υαδικός Αθροιστής & Αφαιρέτης A i B i FA S i C i C i+1 D Σειριακός Αθροιστής Σειριακός Αθροιστής: απαιτεί 1 πλήρη αθροιστή, 1 στοιχείο µνήµης και παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Θεωρητική εισαγωγή

4.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΥΑ ΙΚΟΣ ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ Σκοπός: Να µελετηθούν αριθµητικά κυκλώµατα δυαδικής πρόσθεσης και αφαίρεσης. Να σχεδιαστούν τα κυκλώµατα από τους πίνακες αληθείας

Διαβάστε περισσότερα

PLD. Εισαγωγή. 5 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστικά. PLAs. PLDs FPGAs

PLD. Εισαγωγή. 5 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστικά. PLAs. PLDs FPGAs 5 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστικά Κυκλώµατα µε MSI και Εισαγωγή Οι προγραµµατιζόµενες διατάξεις είναι ολοκληρωµένα µε εσωτερικές πύλες οι οποίες µπορούν να υλοποιήσουν οποιαδήποτε συνάρτηση αν υποστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΨΗΦΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΜΑ Α Α Αριθµητική Λογική Μονάδα των 8-bit 1. Εισαγωγή Γενικά µια αριθµητική λογική µονάδα (ALU, Arithmetic Logic Unit)

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

Αθροιστές. Ημιαθροιστής

Αθροιστές. Ημιαθροιστής Αθροιστές Η πιο βασική αριθμητική πράξη είναι η πρόσθεση. Για την πρόσθεση δύο δυαδικών ψηφίων υπάρχουν τέσσερις δυνατές περιπτώσεις: +=, +=, +=, +=. Οι τρεις πρώτες πράξεις δημιουργούν ένα άθροισμα που

Διαβάστε περισσότερα

σύνθεση και απλοποίησή τους θεωρήµατα της άλγεβρας Boole, αξιώµατα του Huntington, κλπ.

σύνθεση και απλοποίησή τους θεωρήµατα της άλγεβρας Boole, αξιώµατα του Huntington, κλπ. Εισαγωγή Εργαστήριο 2 ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Σκοπός του εργαστηρίου είναι να κατανοήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο εκφράζεται η ψηφιακή λογική υλοποιώντας ασκήσεις απλά και σύνθετα λογικά κυκλώµατα (χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ : ΒΟΥΛΓΑΡΙ ΟΥ ΜΑΡΙΑ, ΑΕΜ: 2109 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΚΑΛΟΜΟΙΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ : ΒΟΥΛΓΑΡΙ ΟΥ ΜΑΡΙΑ, ΑΕΜ: 2109 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΚΑΛΟΜΟΙΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Τίτλος: «Σχεδίαση και προσοµοίωση παράλληλης αριθµητικής λογικής µονάδας (ALU) για την επεξεργασία δυαδικών αριθµών εύρους 4-bit, µε το πρόγραµµα Multisim» ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ : ΒΟΥΛΓΑΡΙ ΟΥ ΜΑΡΙΑ, ΑΕΜ: 2109 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης.

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005 Κεφάλαιο 5 -ii: Αριθµητικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αφαίρεση δυαδικών Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Οργάνωση Δεδομένων (1/2) Bits: Η μικρότερη αριθμητική μονάδα ενός υπολογιστικού συστήματος, η οποία δείχνει δύο καταστάσεις, 0 ή 1 (αληθές η ψευδές). Nibbles: Μονάδα 4 bit που παριστά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Αρχιτεκτονική-Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ 1.1 Εισαγωγή...11 1.2 Τα κύρια αριθμητικά Συστήματα...12 1.3 Μετατροπή αριθμών μεταξύ των αριθμητικών συστημάτων...13 1.3.1 Μετατροπή ακέραιων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Πράξεις µε µπιτ 1 Πράξεις µε µπιτ 2 Αριθµητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση στο επίπεδο του

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Υλοποιήσεις Ψηφιακών Φίλτρων

Υλοποιήσεις Ψηφιακών Φίλτρων Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 10 Υλοποιήσεις Ψηφιακών Φίλτρων Α. Εισαγωγή Οποιοδήποτε γραµµικό χρονικά αµετάβλητο σύστηµα διακριτού χρόνου χαρακτηρίζεται πλήρως από τη συνάρτηση µεταφοράς του η οποία έχει

Διαβάστε περισσότερα

7 η διάλεξη Ακολουθιακά Κυκλώματα

7 η διάλεξη Ακολουθιακά Κυκλώματα 7 η διάλεξη Ακολουθιακά Κυκλώματα 1 2 3 4 5 Παραπάνω παρουσιάζεται ο πιο συνήθης χωροθέτηση αριθμητικών, λογικών κυκλωμάτων. Η μονάδα επεξεργασίας είναι η λέξη (λ.χ. 32-bit σε επεξεργαστές, 8-bit σε DSP)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4. Εισαγωγή στην Πληροφορική. Αναπαράσταση δεδοµένων. Αναπαράσταση πληροφορίας. υαδικοί αριθµοί. Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07

Ενότητα 4. Εισαγωγή στην Πληροφορική. Αναπαράσταση δεδοµένων. Αναπαράσταση πληροφορίας. υαδικοί αριθµοί. Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07 Ενότητα 4 Εισαγωγή στην Πληροφορική Κεφάλαιο 4Α: Αναπαράσταση πληροφορίας Κεφάλαιο 4Β: Επεξεργαστές που χρησιµοποιούνται σε PCs Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07 ρ. Παναγιώτης Χατζηδούκας (Π..407/80) Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τρία: Ψηφιακά Ηλεκτρονικά

Κεφάλαιο Τρία: Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Κεφάλαιο Τρία: 3.1 Τι είναι αναλογικό και τι ψηφιακό µέγεθος Αναλογικό ονοµάζεται το µέγεθος που µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή σε µια συγκεκριµένη περιοχή τιµών π.χ. η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου. Ψηφιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Πράξεις με δυαδικούς

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ και ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σκοπός: Η κατανόηση της σχέσης µιας λογικής συνάρτησης µε το αντίστοιχο κύκλωµα. Η απλοποίηση λογικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 2013 Διάρκεια εξέτασης : 160 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών:

Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 2013 Διάρκεια εξέτασης : 160 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών: Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 23 Διάρκεια εξέτασης : 6 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών: Θέμα (,5 μονάδες) Στις εισόδους του ακόλουθου κυκλώματος c b a εφαρμόζονται οι κάτωθι κυματομορφές.

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

2 η Θεµατική Ενότητα : Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

2 η Θεµατική Ενότητα : Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 2 η Θεµατική Ενότητα : Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα Πύλες AND Πύλες OR Πύλες NAND Τυχαία Λογική Πύλες NOR Πύλες XNOR Η ολοκληρωµένη

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 ΑριθμητικέςΠράξειςσεΑκέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Πληροφορικής. Οργάνωση Η/Υ. Γιώργος ηµητρίου. Μάθηµα 2 ο Σύντοµη Επανάληψη

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Πληροφορικής. Οργάνωση Η/Υ. Γιώργος ηµητρίου. Μάθηµα 2 ο Σύντοµη Επανάληψη Γιώργος ηµητρίου Μάθηµα 2 ο Σύντοµη Επανάληψη Από την Εισαγωγή στους Η/Υ Γλώσσες Μηχανής n Πεδία εντολής n Μέθοδοι διευθυνσιοδότησης n Αρχιτεκτονικές συνόλου εντολών n Κύκλος εντολής Αλγόριθµοι/Υλικό Αριθµητικών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα 1η Θεµατική Θ ή Ενότητα Ε ό : υαδικά δ ά Συστήµατα Σ ή Μονάδα Ελέγχου Ψηφιακοί Υπολογιστές Αριθµητική Μονάδα Κρυφή Μνήµη Μονάδα Μνήµης ιαχείριση Μονάδων Ι/Ο ίσκοι Οθόνες ικτυακές Μονάδες Πληκτρολόγιο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών BOOLEAN ALGEBRA

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών BOOLEAN ALGEBRA ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μάθηµα: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών OOLEN LGER ιδάσκων: ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης clam@unp.gr Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης Άλγεβρα OOLE Οι µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας

Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα Επεξεργασίας Δεδομένων Μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Ø Η πολυπλοκότητα του κυκλώµατος που υλοποιεί µια συνάρτηση oole σχετίζεται άµεσα µε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 2 ο. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 2 ο. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 1 Άλγεβρα Βοοle η θεωρητική βάση των λογικών κυκλωμάτων Η άλγεβρα Βοοle ορίζεται επάνω στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός 4. Πρόσθεση στο πρότυπο ΙΕΕΕ Πολλαπλασιασμός στο πρότυπο ΙΕΕΕ

3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός 4. Πρόσθεση στο πρότυπο ΙΕΕΕ Πολλαπλασιασμός στο πρότυπο ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΙΠΕ Ο ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ - ΙΙ Γ. Τσιατούχας 3 ο Κεφάλαιο 1. Γενική δομή CPU ιάρθρωση 2. Αριθμητική και λογική μονάδα 3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής

Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής Αριθµοί Διαφόρων Βάσεων Δυαδικά Συστήµατα 2 Υπολογιστική Ακρίβεια Ο αριθµός των δυαδικών ψηφίων αναπαράστασης αριθµών καθορίζει την ακρίβεια των αριθµών σε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της

Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της Στην ενότητα αυτή θα αναφερθούµε εκτενέστερα στη λειτουργία και την οργάνωση της κρυφής µνήµης. Θα προσδιορίσουµε τις βασικές λειτουργίες που σχετίζονται µε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

a -j a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0, a -1 a -2 a -3

a -j a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0, a -1 a -2 a -3 ΑΣΚΗΣΗ 5 ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ - ΑΦΑΙΡΕΤΕΣ 5.1. ΣΚΟΠΟΣ Η πραγματοποίηση της αριθμητικής πρόσθεσης και αφαίρεσης με λογικά κυκλώματα. 5.2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ: Κάθε σύστημα αρίθμησης χαρακτηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (λογικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Εκτέλεση πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων 2.1 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 2.1 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 2.2 Γλώσσα Μηχανής 2.3 Εκτέλεση προγράµµατος 2.4 Αριθµητικές και λογικές εντολές 2.5 Επικοινωνία µε άλλες συσκευές

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων

ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων ΗΜΥ-2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 28 Αριθμητικές Συναρτήσεις και Κυκλώματα Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2015-2016 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ε. Μαρκάκης, Θ. Ντούσκας Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβληµα 1 (12 µονάδες) 1) Υπολογίστε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΙΚΡΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΙΚΡΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-482) 1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΙΚΡΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ A. Πίνακες αληθείας λογικών πυλών. Στη θετική λογική το λογικό 0 παριστάνεται µε ένα χαµηλό δυναµικό, V L, ενώ το λογικό 1

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

7 η Θεµατική Ενότητα : Καταχωρητές, Μετρητές και Μονάδες Μνήµης

7 η Θεµατική Ενότητα : Καταχωρητές, Μετρητές και Μονάδες Μνήµης 7 η Θεµατική Ενότητα : Καταχωρητές, Μετρητές και Εισαγωγή Καταχωρητής: είναι µία οµάδα από δυαδικά κύτταρα αποθήκευσης και από λογικές πύλες που διεκπεραιώνουν την µεταφορά πληροφοριών. Οι µετρητές είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Τµήµα Πληροφορικής Ενότητα 8η: Συσκευές Ε/Ε - Αρτηρίες Άσκηση 1: Υπολογίστε το µέσο χρόνο ανάγνωσης ενός τµήµατος των 512 bytes σε µια µονάδα σκληρού δίσκου µε ταχύτητα περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Εκτίµησης Καθυστέρησης και

Αλγόριθµοι Εκτίµησης Καθυστέρησης και Αλγόριθµοι Εκτίµησης Καθυστέρησης και Βελτιστοποίησης Εισαγωγή Το κύριο πρόβληµα στην σχεδίαση κυκλωµάτων είναι η επίτευξη της µέγιστης απόδοσης για την δεδοµένη τεχνολογία. Μεγιστοποίηση απόδοσης: (α)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κεφάλαιο 3 Δυαδική λογική Με τον όρο λογική πρόταση ή απλά πρόταση καλούμε κάθε φράση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής με βάση το νόημα της. π.χ. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λογικές πύλες Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 2006 2007 Γραπτή Εργασία #2 Ηµεροµηνία Παράδοσης 28-0 - 2007 ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση : [5 µονάδες] Έχετε στη

Διαβάστε περισσότερα