Συνδυασµένες µονάδες πολλαπλασιασµού / αθροίσµατος τετραγώνων για αριθµητικά συστήµατα υπολοίπων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνδυασµένες µονάδες πολλαπλασιασµού / αθροίσµατος τετραγώνων για αριθµητικά συστήµατα υπολοίπων"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ «ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ» Μεταπτυχιακή ιπλωµατική Εργασία Τίτλος: Συνδυασµένες µονάδες πολλαπλασιασµού / αθροίσµατος τετραγώνων για αριθµητικά συστήµατα υπολοίπων Αδαµίδης ηµήτριος (ΑΜ: 38) Επιβλέπων Καθηγητής : Χ. Βέργος Πάτρα, Μάιος 5

2 Περιεχόµενα Περιεχόµενα.... Εισαγωγή.... Προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU Παραδείγµατα modulo πολλαπλασιασµού και αθροίσµατος τετραγώνων...9. Απλή αρχιτεκτονική MMSSU Αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου MMSSU Ποιοτικές συγκρίσεις Προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU Παραδείγµατα modulo πολλαπλασιασµού και αθροίσµατος τετραγώνων Απλή αρχιτεκτονική MMSSU Αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου MMSSU Ποιοτικές συγκρίσεις Ποσοτικές συγκρίσεις Συµπεράσµατα...45 Αναφορές...47

3 . Εισαγωγή Τα αριθµητικά συστήµατα υπολοίπων (Resdue Number Systems, RNS), αποτελούν µια αξιόλογη εναλλακτική πρόταση έναντι του δυαδικού συστήµατος για εφαρµογές οι οποίες περιορίζονται στις αριθµητικές πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασµού και του τετραγωνισµού. Ένα αριθµητικό σύστηµα υπολοίπων καθορίζεται από ένα σύνολο F ακεραίων, π.χ. είναι ανά δύο πρώτοι µεταξύ τους. Ας υποθέσουµε ότι το { m, m,..., m F }, οι οποίοι A υποδηλώνει το modulo M Μ του Α, δηλαδή το µικρότερο µη αρνητικό υπόλοιπο της ακέραιης διαίρεσης του A µε το M. Τότε, ένας ακέραιος A έχει µια µοναδική αναπαράσταση στο RNS, η οποία δίνεται από το σύνολο υπολοίπων {,,..., F }, όπου A αν A και m M A αν A <, όπου m M m m... m και F. Μια πράξη του F RNS καθορίζεται ως z, z,..., z ) (,,..., ) ( b, b,..., b ), όπου ( F F F z b. m Παρατηρούµε ότι ο υπολογισµός του z εξαρτάται µόνο από τα α, b και m. Συνεπώς, ο υπολογισµός του κάθε z µπορεί να γίνεται παράλληλα σε µια ξεχωριστή αριθµητική µονάδα, η οποία καλείται συχνά κανάλι. Παρατηρούµε ότι κάθε κανάλι χειρίζεται µόνο µικρά υπόλοιπα και όχι µεγάλους αριθµούς, καθώς και ότι όλα τα κανάλια λειτουργούν παράλληλα χωρίς διάδοση κρατουµένου από το ένα στο άλλο. Αυτό σηµαίνει ότι µπορεί εύκολα να επιτευχθεί µια σηµαντική επιτάχυνση της διαδικασίας έναντι της αντίστοιχης του δυαδικού συστήµατος. Αρκετοί επεξεργαστές ψηφιακών σηµάτων (Dgtl Sgl Processors, DSP), οι οποίοι χρησιµοποιούνται σε τηλεπικοινωνιακές και άλλες εφαρµογές, έχουν κατασκευαστεί µε χρήση RNS συστηµάτων και πολλοί ακόµα αναµένονται στο µέλλον, δεδοµένου ότι θα υπάρχουν διαθέσιµα αποδοτικά modulo m αριθµητικά υποσυστήµατα. Στην ανοιχτή βιβλιογραφία έχουν παρουσιαστεί πολύ αποδοτικές αρχιτεκτονικές για αθροιστές, πολλαπλασιαστές και τετραγωνιστές όπου το m είναι σύνολο ή. Είναι εποµένως λογικό ότι τα RNS συστήµατα που βασίζονται στο {,, } βρίσκονται στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος και χρησιµοποιούνται συχνά.

4 το modulo Παρόλα αυτά, το παραπάνω σύνολο ακεραίων δηµιουργεί ένα νέο πρόβληµα: κανάλι χειρίζεται αριθµούς οι οποίοι είναι κατά ένα bt µεγαλύτεροι σε σχέση µε τα άλλα δύο κανάλια. Σε µια πρόχειρη υλοποίηση εποµένως η απόδοση του καναλιού θα ήταν µικρότερη από αυτή των άλλων δύο καναλιών και θα περιόριζε την συνολική ταχύτητα των RNS υπολογισµών. Για να ξεπεραστεί αυτό το πρόβληµα, ο Lebowtz πρότεινε τη χρήση της ελαττωµένης κατά ένα (dmshed-) αναπαράστασης. Στην ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση, κάθε αριθµός παρουσιάζεται µειωµένος κατά ένα modulo. Επιπλέον, όλες οι αριθµητικές πράξεις απαγορεύονται για µηδενικούς αριθµούς (οι οποίοι αναγνωρίζονται εύκολα επειδή η ελαττωµένη κατά ένα αναπαράστασή τους έχει µονάδα στην περισσότερο σηµαντική θέση). Η αναπαράσταση αυτή έχει το σηµαντικό πλεονέκτηµα ότι όλοι οι αριθµοί µπορούν να αναπαρασταθούν µε τη χρήση bts. Το µόνο µειονέκτηµα είναι ότι χρειάζονται µετατροπείς από και προς την ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση. Παρόλα αυτά, ο χρόνος που απαιτείται για τις µετατροπές αποτελεί µόνο ένα πολύ µικρό ποσοστό του συνολικού χρόνου των υπολογισµών, δεδοµένου ότι ένα RNS σύστηµα χρησιµοποιείται όταν πραγµατοποιείται µια σειρά αριθµητικών πράξεων προτού απαιτηθεί µια µετατροπή. Στην ανοιχτή βιβλιογραφία έχουν παρουσιαστεί διάφοροι αποδοτικοί αθροιστές, πολλαπλασιαστές και τετραγωνιστές για το ελαττωµένο κατά ένα αριθµητικό σύστηµα. Μια ακόµα λειτουργία που συναντάται συχνά σε αλγορίθµους πολυµέσων και DSP είναι ο υπολογισµός του αθροίσµατος τετραγώνων. Αυτή χρησιµοποιείται συχνά σε υπολογισµό Ευκλείδειων διακλαδώσεων, συµπίεση εικόνων, αναγνώριση προτύπων, εκτίµηση κίνησης σε υπολογιστικά συστήµατα όρασης, κώδικες συνέλιξης Vterb, ισοστάθµιση καναλιών, εφαρµογές φίλτρων και στατιστική. Για την εκτέλεση της πράξης του αθροίσµατος τετραγώνων µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένα ζευγάρι πολλαπλασιαστή και αθροιστή, ή ένα ζευγάρι τετραγωνιστή και αθροιστή. Αυτή η προσέγγιση όµως εισάγει µια σηµαντική καθυστέρηση και καθιστά αναγκαία τη χρήση µιας ενδιάµεσης µνήµης αποθήκευσης. Μια ξεχωριστή µονάδα αθροίσµατος τετραγώνων µπορεί να δώσει πολύ καλύτερα αποτελέσµατα. Αυτή η λύση όµως αυξάνει σηµαντικά τις χωρικές απαιτήσεις της υλοποίησης. Στην παρούσα εργασία προτείνεται µια λύση η οποία τοποθετείται κάπου ανάµεσα στις δύο παραπάνω ακραίες περιπτώσεις, εφαρµόζοντας την ιδέα του 3

5 διαµοιρασµού χώρου ανάµεσα σε δύο µονάδες. Αυτές οι νέες µονάδες µπορούν να εκτελέσουν είτε την πράξη του πολλαπλασιασµού είτε την πράξη του αθροίσµατος τετραγώνων, ανάλογα µε την τιµή ενός σήµατος ελέγχου. Εξετάζεται τόσο η περίπτωση όσο και η περίπτωση. Οι µονάδες που παρουσιάζονται ονοµάζονται στην πρώτη περίπτωση MMSSU -, ενώ στην δεύτερη περίπτωση MMSSU. Για την περίπτωση, υποθέτουµε ότι χρησιµοποιείται για όλους τους αριθµούς η ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση. Τόσο οι χωρικές όσο και οι χρονικές απαιτήσεις των νέων µονάδων συγκρίνονται µε τις απαιτήσεις των αντίστοιχων πολλαπλασιαστών και αποδεικνύεται ότι µπορούν να κατασκευαστούν µε σχετικά µικρή επιβάρυνση. Το υπόλοιπο της εργασίας αυτής είναι οργανωµένο ως εξής. Στο τµήµα παρουσιάζονται δύο προτεινόµενες αρχιτεκτονικές για µονάδες modulo. Αντίστοιχα, στο τµήµα 3 παρουσιάζονται δύο προτεινόµενες αρχιτεκτονικές για µονάδες modulo. Σε κάθε περίπτωση, παρουσιάζονται οι απαιτήσεις σε χώρο και οι καθυστερήσεις των σχεδιασµών, καθώς και αποτελέσµατα ποιοτικών συγκρίσεων. Αποτελέσµατα ποσοτικών συγκρίσεων παρουσιάζονται στο τµήµα 4, όπου οι προτεινόµενες αρχιτεκτονικές συγκρίνονται µε τους αντίστοιχους πολλαπλασιαστές. Τέλος, στο τµήµα 5 υπάρχει µια σύντοµη ανασκόπηση καθώς και διάφορα συµπεράσµατα που προκύπτουν από τα προηγούµενα. 4

6 . Προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU - Θεωρούµε δύο αριθµούς Α, Β των bts, όπου... A και. Έστω ακόµα ότι οι αριθµοί αυτοί ακολουθούν την modulo αναπαράσταση. Προφανώς ισχύει... b b b b B A και. b B Για τον modulo πολλαπλασιασµό των αριθµών αυτών θα ισχύει PP b b b B A όπου b PP. Το PP αναπαριστά ένα µερικό γινόµενο στον πίνακα του modulo πολλαπλασιασµού των Α και Β. Έστω τώρα ένας αριθµός... c c c c C ο οποίος βρίσκεται µέσα στο ). Στο [] έχει δειχθεί ότι ισχύει, [ c c c c C.... () Αυτό σηµαίνει ότι οι όροι PP µπορούν να αναπαρασταθούν µε bts, ολισθαίνοντας τα bts των µερικών γινοµένων µε βάρος στην θέση. Έστω ότι 8. Τότε θα έχουµε τον παρακάτω πίνακα. 5

7 PP α 7 b α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b PP α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b α 7 b PP α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b α 7 b α 6 b PP 3 α 4 b 3 α 3 b 3 α b 3 α b 3 α b 3 α 7 b 3 α 6 b 3 α 5 b 3 PP 4 α 3 b 4 α b 4 α b 4 α b 4 α 7 b 4 α 6 b 4 α 5 b 4 α 4 b 4 PP 5 α b 5 α b 5 α b 5 α 7 b 5 α 6 b 5 α 5 b 5 α 4 b 5 α 3 b 5 PP 6 α b 6 α b 6 α 7 b 6 α 6 b 6 α 5 b 6 α 4 b 6 α 3 b 6 α b 6 PP 7 α b 7 α 7 b 7 α 6 b 7 α 5 b 7 α 4 b 7 α 3 b 7 α b 7 α b 7 Πίνακας. Μερικά γινόµενα για πολλαπλασιασµό modulo. Για την modulo µείωση των µερικών γινοµένων σε δύο µόνο προσθετέους µπορεί να χρησιµοποιηθεί µια αρχιτεκτονική που βασίζεται σε ένα δέντρο πλήρων αθροιστών (δέντρο Wllce). Επιπλέον, στην αρχιτεκτονική αυτή θα πρέπει να έχουµε ed-roud-crry, δηλαδή το κρατούµενο της πιο σηµαντικής βαθµίδας θα πρέπει να επιστρέφει στην λιγότερο σηµαντική βαθµίδα κάθε γραµµής. H χρήση του δέντρου Wllce σε έναν δυαδικό πολλαπλασιαστή περιπλέκει τη δοµή του και οι διασυνδέσεις ανάµεσα στους πλήρεις αθροιστές δεν παρουσιάζουν κάποια κανονικότητα. Το γεγονός αυτό αποτελεί ένα µεγάλο πρόβληµα και για το λόγο αυτό δεν υπάρχουν πολλές VLSI υλοποιήσεις δυαδικών πολλαπλασιαστών οι οποίοι χρησιµοποιούν το δέντρο Wllce. Σε έναν δυαδικό πολλαπλασιαστή, η κάθε στήλη του πίνακα των µερικών γινοµένων έχει διαφορετικό µέγεθος και αυτό είναι η κυριότερη πηγή των προβληµάτων. Αντίθετα, σε έναν modulo πολλαπλασιαστή το µέγεθος κάθε στήλης είναι το ίδιο. Στην περίπτωση αυτή το δέντρο Wllce παρουσιάζει µεγάλη κανονικότητα και εποµένως η υλοποίησή του γίνεται πολύ ευκολότερη. Ας θεωρήσουµε ότι c είναι το κρατούµενο της πιο σηµαντικής βαθµίδας κατά τη διάρκεια ενός σταδίου της µείωσης. Προφανώς το c έχει βάρος. Εφόσον c, () c το c µπορεί πολύ απλά να προστεθεί στην λιγότερο σηµαντική βαθµίδα του επόµενου σταδίου της µείωσης. Με τον τρόπο αυτό σχηµατίζεται µια αρχιτεκτονική δέντρου modulo άθροισης µε ed-roud-crry ([33]). Μετά από το δέντρο αυτό της modulo άθροισης θα πρέπει να έχουν αποµείνει µόνο δύο προσθετέοι. Αυτοί οι δύο προσθετέοι θα πρέπει να προστεθούν modulo προκειµένου να πάρουµε το 6

8 τελικό αποτέλεσµα. Για αυτή την τελική άθροιση µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένας παράλληλος modulo αθροιστής ([8], [9] και []). Ας εξετάσουµε τώρα την περίπτωση του modulo αθροίσµατος τετραγώνων. Γνωρίζουµε ότι ισχύει A A A και b b b B B B. Το άθροισµα τετραγώνων Α Β παράγει ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b b b B A (3) Ο όρος µπορεί να αντικατασταθεί από τα αντίστοιχα αθροίσµατα και κρατούµενα για κάθε βαθµίδα. Με άλλα λόγια ισχύει ( ) b ( ) ( ) ( ) b b b b b. Εποµένως το άθροισµα τετραγώνων A B µπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: ( ) ( ) b b b b B A. (4) Τα µερικά γινόµενα του modulo αθροίσµατος τετραγώνων µπορούν να παραχθούν µε τρόπο ανάλογο της περίπτωσης του πολλαπλασιασµού, εφαρµόζοντας δηλαδή την () στους όρους της (4). Παρατηρούµε ότι στην γενική περίπτωση απαιτούνται µερικά γινόµενα για τον σχηµατισµό του πίνακα του modulo αθροίσµατος τετραγώνων. Όπως και στην περίπτωση του πολλαπλασιασµού, µπορεί να χρησιµοποιηθεί µια βασιζόµενη σε πλήρεις αθροιστές αρχιτεκτονική δέντρου µε ed-roud-crry για την µείωση των γραµµών σε δύο προσθετέους, ενώ για την τελική modulo πρόσθεση µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένας modulo παράλληλος αθροιστής. Προφανώς η έξοδος του αθροιστή αυτού είναι το επιθυµητό αποτέλεσµα. Για παράδειγµα, όταν έχουµε 8 8 γραµµές µερικών γινοµένων, όπως φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα. 7

9 PP α 6 α α 5 α α 4 α α 3 α α α α α α b α 7 α PP α 5 α α 4 α α 3 α α α α b b b α 7 α α 6 α PP α 4 α α 3 α α b b b b b α 7 α α 6 α α 5 α PP 3 α 3 b 3 b b 3 b b 3 b b 3 α 7 α 3 α 6 α 3 α 5 α 3 α 4 α 3 PP 4 b b 4 b b 4 b b 4 α 7 α 4 α 6 α 4 α 5 α 4 α 4 b 4 b 3 b 4 PP 5 b b 5 b b 5 α 7 α 5 α 6 α 5 α 5 b 5 b 4 b 5 b 3 b 5 b b 5 PP 6 b b 6 α 7 α 6 α 6 b 6 b 5 b 6 b 4 b 6 b 3 b 6 b b 6 b b 6 PP 7 α 7 b 7 b 6 b 7 b 5 b 7 b 4 b 7 b 3 b 7 b b 7 b b 7 b b 7 PP 8 α 3 b 3 α b α b α b PP 9 α 7 b 7 α 6 b 6 α 5 b 5 α 4 b 4 Πίνακας. Μερικά γινόµενα για άθροισµα τετραγώνων modulo. Όπως είδαµε παραπάνω, ο πίνακας του αθροίσµατος τετραγώνων έχει δύο παραπάνω γραµµές σε σχέση µε τον πίνακα του πολλαπλασιασµού. Προκειµένου να γίνει δυνατή η υλοποίηση και των δύο λειτουργιών από το ίδιο κύκλωµα, ο πίνακας του πολλαπλασιασµού ξαναγράφεται ως εξής για µια MMSSU PP α 7 b α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b PP α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b α 7 b PP α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b α 7 b α 6 b PP 3 α 4 b 3 α 3 b 3 α b 3 α b 3 α b 3 α 7 b 3 α 6 b 3 α 5 b 3 PP 4 α 3 b 4 α b 4 α b 4 α b 4 α 7 b 4 α 6 b 4 α 5 b 4 α 4 b 4 PP 5 α b 5 α b 5 α b 5 α 7 b 5 α 6 b 5 α 5 b 5 α 4 b 5 α 3 b 5 PP 6 α b 6 α b 6 α 7 b 6 α 6 b 6 α 5 b 6 α 4 b 6 α 3 b 6 α b 6 PP 7 α b 7 α 7 b 7 α 6 b 7 α 5 b 7 α 4 b 7 α 3 b 7 α b 7 α b 7 PP 8 PP 9 Πίνακας 3. Μερικά γινόµενα για πολλαπλασιασµό modulo, υλοποιηµένο από µια MMSSU -. 8

10 Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει ότι ο modulo πολλαπλασιαστής και η modulo µονάδα αθροίσµατος τετραγώνων έχουν παρόµοια δοµή. Αρχικά έχουµε ένα υποκύκλωµα παραγωγής µερικών γινοµένων, έπειτα µια µονάδα modulo µείωσης των µερικών γινοµένων σε δύο προσθετέους και τέλος έναν modulo παράλληλο αθροιστή. Βασιζόµενοι σε αυτά τα αποτελέσµατα, παρακάτω προτείνουµε δύο αρχιτεκτονικές για την ενοποίηση των παραπάνω σχεδιασµών σε ένα µόνο κύκλωµα. Η πρώτη αρχιτεκτονική που παρουσιάζεται καλείται απλή αρχιτεκτονική MMSSU-, λόγω του απλού τρόπου υλοποίησής της. Η δεύτερη αρχιτεκτονική στοχεύει στη µείωση του συνολικού χώρου που απαιτείται για την υλοποίησή της και καλείται αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου MMSSU -.. Παραδείγµατα modulo πολλαπλασιασµού και αθροίσµατος τετραγώνων Πριν προχωρήσουµε παρακάτω, είναι χρήσιµο να εξετάσουµε από κοντά πώς ακριβώς πραγµατοποιούνται ο πολλαπλασιασµός και το άθροισµα τετραγώνων σε αριθµητική modulo. Παρακάτω φαίνεται πώς εκτελείται ο πολλαπλασιασµός από µια MMSSU-. Έστω ότι 8. Οι αριθµοί που πολλαπλασιάζονται είναι οι 55 () και 9 (). Το αποτέλεσµα της πράξης 55*9 modulo 55 είναι 65 (). (55) * (9) Α 9

11 s Β c s c s c s C c s c s D c s E c s F c G (65) H Κάθε τρεις γραµµές «συµπιέζονται» σε δύο χρησιµοποιώντας πλήρεις αθροιστές. Οι τρεις αυτές γραµµές µπορεί να είναι µερικά γινόµενα, ενδιάµεσα αθροίσµατα ή κρατούµενα. Μια γραµµή αθροισµάτων σηµειώνεται µε s, ενώ µια γραµµή κρατουµένων σηµειώνεται µε c. Κάθε κρατούµενο της πιο σηµαντικής βαθµίδας σε κάθε γραµµή υπογραµµίζεται και µεταφέρεται στην λιγότερο σηµαντική

12 βαθµίδα της γραµµής. Επίσης υπογραµµίζεται το bt που µετακινήθηκε. Το A είναι το βήµα που απαιτείται για την παραγωγή του πίνακα των µερικών γινοµένων. Οι δέκα γραµµές που φαίνονται αντιστοιχούν στις γραµµές του πίνακα 3. Τα B, C, D, Ε και F είναι τα βήµατα της συµπίεσης που πραγµατοποιείται από το δέντρο Wllce. Χρησιµοποιώντας πλήρεις αθροιστές, οι γραµµές συµπιέζονται από δέκα που ήταν αρχικά σε δύο. Το κρίσιµο µονοπάτι κάθε βήµατος αυτής της φάσης παρουσιάζει καθυστέρηση ίση µε αυτή ενός πλήρους αθροιστή. Εποµένως, η συνολική καθυστέρηση αυτής της φάσης είναι η καθυστέρηση πέντε πλήρων αθροιστών. Τα δύο τελευταία βήµατα, G και H, αναπαριστούν έναν γρήγορο modulo 55 αθροιστή. Ειδικότερα, το G αναπαριστά έναν γρήγορο αθροιστή των 8 bts, ενώ το H αναπαριστά την διόρθωση κρατουµένου που απαιτείται για άθροιση modulo 55. Τώρα θα εξετάσουµε πώς υπολογίζεται το άθροισµα τετραγώνων modulo. Θεωρούµε πάλι τους ίδιους αριθµούς, δηλαδή B 9 (). Ισχύει A 55 () και A B modulo 55 6 (). Η διαδικασία για την εύρεση του αποτελέσµατος προχωράει όπως στο παρακάτω παράδειγµα. (55) (9) A s B c s c s

13 c s C c s c s D c s E c s F c G (6) H Η µόνη διαφορά της πράξης του αθροίσµατος τετραγώνων µε την πράξη του πολλαπλασιασµού είναι ο τρόπος µε τον οποίο σχηµατίζονται τα αρχικά µερικά γινόµενα. Από εκεί και πέρα ακολουθείται ακριβώς η ίδια λογική προκειµένου να φτάσουµε στο τελικό αποτέλεσµα. Όπως και στο παράδειγµα του πολλαπλασιασµού, το A είναι το βήµα που απαιτείται για την παραγωγή του πίνακα των µερικών γινοµένων. Οι δέκα γραµµές του βήµατος Α αντιστοιχούν στα µερικά γινόµενα του πίνακα. Τα B, C, D, E και F είναι τα βήµατα της συµπίεσης που πραγµατοποιείται από το δέντρο Wllce. Χρησιµοποιώντας πλήρεις αθροιστές, οι γραµµές συµπιέζονται από δέκα που ήταν αρχικά σε δύο. Το κρίσιµο µονοπάτι κάθε βήµατος αυτής της φάσης παρουσιάζει καθυστέρηση ίση µε αυτή ενός πλήρους αθροιστή. Εποµένως, η συνολική καθυστέρηση αυτής της φάσης είναι η καθυστέρηση πέντε πλήρων αθροιστών. Τα δύο τελευταία βήµατα, G και H, αναπαριστούν έναν γρήγορο modulo 55 αθροιστή. Ειδικότερα, το G αναπαριστά έναν γρήγορο αθροιστή των 8

14 bts, ενώ το H αναπαριστά την διόρθωση κρατουµένου που απαιτείται για άθροιση modulo 55.. Απλή αρχιτεκτονική MMSSU - Μία απλή λύση για την ενοποίηση των δύο πράξεων σε ένα µόνο κύκλωµα είναι η χρησιµοποίηση ενός πολυπλέκτη για κάθε bt που διαφέρει στους πίνακες των A B και A B. Μια τέτοια αρχιτεκτονική απαιτεί στην χειρότερη περίπτωση: πύλες XOR για τον σχηµατισµό των bts της µορφής b. ( ) πύλες AND για την παραγωγή των bts της µορφής α α ή b b. πύλες AND για την παραγωγή των bts της µορφής α b. πολυπλέκτες για την επιλογή των σωστών µερικών γινοµένων ανάλογα µε την επιθυµητή πράξη. Οι πολυπλέκτες αυτοί χρησιµοποιούνται για τον σχηµατισµό των πρώτων γραµµών. πύλες AND για την παραγωγή των όρων s( b ). Μία βασιζόµενη σε πλήρεις αθροιστές αρχιτεκτονική δέντρου µε ed-roudcrry για την µείωση των µερικών γινοµένων σε δύο τελικούς προσθετέους. Έστω ότι k. Τότε ο αριθµός των σταδίων του δέντρου αυτού είναι µια συνάρτηση του αριθµού των µερικών γινοµένων, D(k). Το D(k) φαίνεται στον πίνακα 4 για όλες τις πρακτικές τιµές που µπορεί να πάρει το. Ο αριθµός των πλήρων αθροιστών που απαιτούνται για το δέντρο αυτό είναι. Έναν modulo παράλληλο αθροιστή. Προφανώς το κρίσιµο µονοπάτι αυτής της αρχιτεκτονικής αρχίζει στην είσοδο µιας πύλης XOR και περνάει µέσα από µια πύλη AND, το δέντρο των αθροιστών και τελικά µέσα από τον παράλληλο αθροιστή. 3

15 k D(k) 4 5 k k 9 4 k k 9 6 k k k k 94 Πίνακας 4. Βήµατα που απαιτούνται για ένα δέντρο µε k εισόδους. Ένα συχνά χρησιµοποιούµενο µοντέλο για τη σύγκριση διαφόρων αρχιτεκτονικών είναι το µοντέλο ut-gte ([3]). Σύµφωνα µε το µοντέλο αυτό, όλες οι µονοτονικές πύλες δύο εισόδων ισοδυναµούν µε µία πύλη τόσο από άποψη χώρου όσο και καθυστέρησης. Επιπλέον, µια πύλη XOR ή XNOR δύο εισόδων, καθώς και ένας δύο-σε-ένα πολυπλέκτης, ισοδυναµεί µε δύο πύλες τόσο από άποψη χώρου όσο και καθυστέρησης. Χρησιµοποιώντας το παραπάνω µοντέλο, µπορούµε να υπολογίσουµε τον χώρο A smple,- και την καθυστέρηση T smple,- της απλής αρχιτεκτονικής MMSSU -. Υποθέτουµε ότι για τον τελικό παράλληλο αθροιστή χρησιµοποιείται η υλοποίηση που προτείνεται στο [8]. Τότε έχουµε A smple 3 log 6 T smple, ( ) log 6, 4D.3 Αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου MMSSU - Η απλή αρχιτεκτονική MMSSU - χρησιµοποιεί πολλούς πολυπλέκτες προκειµένου να επιλέξει τα σωστά µερικά γινόµενα ανάλογα µε την επιθυµητή πράξη. Η αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου στοχεύει στη µείωση αυτών ακριβώς των πολυπλεκτών, εκµεταλλευόµενη τις οµοιότητες που υπάρχουν στα µερικά γινόµενα των δύο πράξεων. Έστω ότι το s είναι το σήµα επιλογής της επιθυµητής πράξης. Όταν 4

16 s επιλέγεται η πράξη του modulo επιλέγεται η πράξη του modulo : πολλαπλασιασµού, ενώ όταν αθροίσµατος τετραγώνων. s Βασιζόµενοι στη µεταβλητή s, ορίζουµε τις παρακάτω µεταβλητές για c s d s e s b s b s ( b ) Στις παραπάνω σχέσεις το σύµβολο υποδηλώνει την λογική πράξη OR. Στη συνέχεια ξαναγράφουµε τους πίνακες πολλαπλασιασµού και αθροίσµατος τετραγώνων χρησιµοποιώντας τις παραπάνω µεταβλητές. Ο µετασχηµατισµός αυτός των πινάκων γίνεται µε πολύ απλό τρόπο. Κάθε bt της µορφής α b αντικαθίσταται µε α c όταν >, ενώ όταν < αντικαθίσταται µε db. Τα bts της µορφής α b παραµένουν ως έχουν. Στην περίπτωση του πίνακα αθροίσµατος τετραγώνων, τα bts της µορφής α α αντικαθίστανται µε α c, ενώ τα bts της µορφής b b αντικαθίστανται µε d b. Ακόµα, τα bts της µορφής b αντικαθίστανται µε e. Και πάλι τα bts της µορφής α b παραµένουν ως έχουν. Για 8, οι πίνακες πολλαπλασιασµού και αθροίσµατος τετραγώνων µετασχηµατίζονται ως εξής PP α 7 c α 6 c α 5 c α 4 c α 3 c α c α c α b PP α 6 c α 5 c α 4 c α 3 c α c α b d b α 7 c PP α 5 c α 4 c α 3 c α b d b d b α 7 c α 6 c PP 3 α 4 c 3 α 3 b 3 d b 3 d b 3 d b 3 α 7 c 3 α 6 c 3 α 5 c 3 PP 4 d 3 b 4 d b 4 d b 4 d b 4 α 7 c 4 α 6 c 4 α 5 c 4 α 4 b 4 PP 5 d b 5 d b 5 d b 5 α 7 c 5 α 6 c 5 α 5 b 5 d 4 b 5 d 3 b 5 PP 6 d b 6 d b 6 α 7 c 6 α 6 b 6 d 5 b 6 d 4 b 6 d 3 b 6 d b 6 PP 7 d b 7 α 7 b 7 d 6 b 7 d 5 b 7 d 4 b 7 d 3 b 7 d b 7 d b 7 PP 8 e e 3 e e PP 9 e 4 e 7 e 6 e 5 Πίνακας 5. Νέα µορφή των µερικών γινοµένων του πολλαπλασιασµού. 5

17 PP α 6 c α 5 c α 4 c α 3 c α c α c α b α 7 c PP α 5 c α 4 c α 3 c α c α b d b α 7 c α 6 c PP α 4 c α 3 c α b d b d b α 7 c α 6 c α 5 c PP 3 α 3 b 3 d b 3 d b 3 d b 3 α 7 c 3 α 6 c 3 α 5 c 3 α 4 c 3 PP 4 d b 4 d b 4 d b 4 α 7 c 4 α 6 c 4 α 5 c 4 α 4 b 4 d 3 b 4 PP 5 d b 5 d b 5 α 7 c 5 α 6 c 5 α 5 b 5 d 4 b 5 d 3 b 5 d b 5 PP 6 d b 6 α 7 c 6 α 6 b 6 d 5 b 6 d 4 b 6 d 3 b 6 d b 6 d b 6 PP 7 α 7 b 7 d 6 b 7 d 5 b 7 d 4 b 7 d 3 b 7 d b 7 d b 7 d b 7 PP 8 e 3 e e e PP 9 e 7 e 6 e 5 e 4 Πίνακας 6. Νέα µορφή των µερικών γινοµένων του αθροίσµατος τετραγώνων. Εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι ο πίνακας του πολλαπλασιασµού µπορεί να γίνει ίδιος µε αυτόν του αθροίσµατος τετραγώνων, αρκεί η πρώτη του στήλη να µεταφερθεί τελευταία. Χρησιµοποιούµε λοιπόν σαν βάση για την MMSSU - τον πίνακα του αθροίσµατος τετραγώνων. Η ίδια αρχιτεκτονική δέντρου για τη µείωση των µερικών γινοµένων µπορεί να χρησιµοποιηθεί και πάλι, όπως και ο τελικός παράλληλος αθροιστής. Στην περίπτωση του πολλαπλασιασµού όµως, όταν δηλαδή s, το πιο σηµαντικό bt του αποτελέσµατος βρίσκεται στην λιγότερο σηµαντική θέση. Για τον λόγο αυτό, µετά από τον παράλληλο αθροιστή, χρησιµοποιούνται πολυπλέκτες προκειµένου να πραγµατοποιήσουν µια δεξιά κυκλική ολίσθηση του αποτελέσµατος όταν s. Η παραπάνω αρχιτεκτονική απαιτεί λοιπόν: πύλες XOR για τον σχηµατισµό των bts της µορφής b. πύλες AND για τον σχηµατισµό των όρων e. δύο-σε-ένα πολυπλέκτες για τον σχηµατισµό των όρων c και d. ( ) πύλες AND για την παραγωγή των bts της µορφής α c ή d b. πύλες AND για την παραγωγή των όρων α b. Μία βασιζόµενη σε πλήρεις αθροιστές αρχιτεκτονική δέντρου για τη µείωση των µερικών γινοµένων. Το βάθος του δέντρου αυτού είναι αριθµός των πλήρων αθροιστών που απαιτούνται είναι. D( ), ενώ ο 6

18 Έναν modulo παράλληλο αθροιστή. δύο-σε-ένα πολυπλέκτες προκειµένου να πραγµατοποιήσουν µια δεξιά κυκλική ολίσθηση του αποτελέσµατος όταν s. Το κρίσιµο µονοπάτι της παραπάνω αρχιτεκτονικής αρχίζει στην είσοδο µιας πύλης XOR και περνάει µέσα από µια πύλη AND για την παραγωγή ενός όρου e, µέσα από το δέντρο των πλήρων αθροιστών, τον παράλληλο αθροιστή και τελικά από έναν πολυπλέκτη ο οποίος χρησιµοποιείται για την δεξιά κυκλική ολίσθηση. Χρησιµοποιώντας και πάλι το ut-gte µοντέλο, µπορούµε να υπολογίσουµε τον χώρο A reduced,- και την καθυστέρηση T reduced,- της αρχιτεκτονικής µειωµένου χώρου MMSSU -. Υποθέτουµε ότι για τον τελικό παράλληλο αθροιστή χρησιµοποιείται η υλοποίηση που προτείνεται στο [8]. Τότε έχουµε MMSSU - για A reduced 8 3 log 3 T reduced, ( ) log 8, 4D Το σχήµα παρακάτω απεικονίζει την αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου 4. Οι παραγωγή των όρων c, d και e δεν φαίνεται στο σχήµα για λόγους απλότητας. Έπειτα από την παραγωγή των µερικών γινοµένων, χρησιµοποιείται µια βασιζόµενη σε πλήρεις αθροιστές αρχιτεκτονική δέντρου για τη µείωσή τους σε δύο τελικούς προσθετέους. Τον παράλληλο modulo αθροιστή ακολουθούν οι πολυπλέκτες που είναι απαραίτητοι για την δεξιά κυκλική ολίσθηση του αποτελέσµατος για την περίπτωση που ισχύει s. 7

19 Σχήµα. 4-bt αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου MMSSU -..4 Ποιοτικές συγκρίσεις Θεωρούµε δύο βασικές αρχιτεκτονικές οι οποίες µπορούν να πραγµατοποιήσουν modulo πολλαπλασιασµό και άθροισµα τετραγώνων, τις οποίες 8

20 καλούµε σύστηµα Α και σύστηµα Β. Το σύστηµα Α διαθέτει µόνο έναν πολλαπλασιαστή και έναν modulo αθροιστή. Εποµένως, ο πολλαπλασιασµός στο σύστηµα αυτό πραγµατοποιείται σε έναν κύκλο, ενώ το άθροισµα τετραγώνων απαιτεί τρεις συνεχόµενους κύκλους: δύο κύκλους πολλαπλασιασµού και έναν κύκλο πρόσθεσης. Το σύστηµα Β διαθέτει έναν πολλαπλασιαστή, έναν τετραγωνιστή και έναν modulo αθροιστή. Ο πολλαπλασιασµός στο σύστηµα αυτό πραγµατοποιείται σε έναν κύκλο, ενώ το άθροισµα τετραγώνων απαιτεί τρεις συνεχόµενους κύκλους: δύο κύκλους τετραγωνισµού και έναν κύκλο πρόσθεσης. Προφανώς το σύστηµα Β υπολογίζει το άθροισµα τετραγώνων γρηγορότερα από το σύστηµα Α, διότι ένας τετραγωνιστής είναι πολύ γρηγορότερος από έναν πολλαπλασιαστή που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του τετραγώνου ενός αριθµού. Παρακάτω θα χρησιµοποιήσουµε και πάλι το µοντέλο ut-gte προκειµένου να πραγµατοποιήσουµε συγκρίσεις ανάµεσα στις προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU - και τα συστήµατα Α και Β. Θεωρούµε ότι τα συστήµατα Α και Β χρησιµοποιούν τον πολλαπλασιαστή που προτείνεται στο [33] και τον αθροιστή που προτείνεται στο [8]. Μπορούµε τότε να υπολογίσουµε τον χώρο και την καθυστέρηση των αρχιτεκτονικών αυτών όταν πραγµατοποιούν την πράξη του αθροίσµατος τετραγώνων. A multpler 8 3 log T multpler, ( ) log 4, 4D A dder 3 log 4 T dder,, log 3 Σύµφωνα µε το [4], ένας modulo γινόµενα από ότι ο αντίστοιχος modulo τετραγωνιστής έχει τα µισά µερικά πολλαπλασιαστής. Μπορούµε εποµένως να υπολογίσουµε τον χώρο και την καθυστέρηση του τετραγωνιστή ως εξής. A squrer, 7 3 log T squrer, 4D log 4 Χρησιµοποιώντας τις παραπάνω προσεγγίσεις, υπολογίζουµε τον χώρο και την καθυστέρηση των βασικών συστηµάτων Α και Β ως εξής: 9

21 A A 8 6log 6 T A, ( ) 6log, 8D A B, 8 7 9log 33 T B, 8D 6log Τώρα είµαστε έτοιµοι να συγκρίνουµε τα βασικά συστήµατα Α και Β µε συστήµατα τα οποία χρησιµοποιούν κάποια από τις προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU -. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει για διάφορες τιµές του τις προσεγγίσεις για τον χώρο και την καθυστέρηση των συγκρινόµενων συστηµάτων. A A,- A B,- A smple,- A reduced,- T A,- T B,- T smple,- T reduced, Πίνακας 7. Ποιοτικές συγκρίσεις για συστήµατα modulo. Όπως ήταν αναµενόµενο, οι τιµές του παραπάνω πίνακα δείχνουν ότι ο χώρος που απαιτούν οι προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU - βρίσκεται µεταξύ του χώρου του συστήµατος Α και του χώρου του συστήµατος Β. Η προτεινόµενη αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου απαιτεί µόνο 6% περισσότερο χώρο σε σχέση µε το βασικό σύστηµα Α όταν 6. Από την άλλη πλευρά, ο χώρος του βασικού συστήµατος Β είναι αρκετά µεγαλύτερος από τον χώρο οποιασδήποτε από τις προτεινόµενες αρχιτεκτονικές. Για, ο χώρος του βασικού συστήµατος Β είναι 4% µεγαλύτερος από τον χώρο που απαιτεί η προτεινόµενη αρχιτεκτονική µειωµένου χώρου. Λόγω των υψηλών δυνατοτήτων ολοκλήρωσης που προσφέρουν οι σύγχρονες κατασκευαστικές τεχνολογίες, έχει δηµιουργηθεί εσφαλµένα η εντύπωση ότι το υλικό

22 είναι φτηνό. εδοµένου όµως ότι µια % αύξηση του χώρου του ολοκληρωµένου οδηγεί σε 5% αύξηση του συνολικού κόστους ([34]), η µείωση του χρησιµοποιούµενου υλικού παραµένει ένας πολύ σηµαντικός στόχος. Και οι δύο προτεινόµενες αρχιτεκτονικές έχουν πολύ µικρότερες καθυστερήσεις για το άθροισµα τετραγώνων σε σχέση µε οποιοδήποτε από τα βασικά συστήµατα για 8. Στην περίπτωση που χρησιµοποιείται η απλή αρχιτεκτονική και 3, επιτυγχάνεται 45% µείωση της συνολικής καθυστέρησης. Προκειµένου να εξαλειφθεί αυτή η διαφορά, θα µπορούσαµε βέβαια να προσθέσουµε µια ξεχωριστή µονάδα αθροίσµατος τετραγώνων σε οποιοδήποτε από τα βασικά συστήµατα Α και Β. Μια τέτοια κίνηση θα οδηγούσε όµως σε περαιτέρω αύξηση του απαιτούµενου χώρου. Παρόλα αυτά, οι προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU- αναπόφευκτα έχουν µεγαλύτερες καθυστερήσεις από τα βασικά συστήµατα όταν πραγµατοποιείται πολλαπλασιασµός. Για παράδειγµα, παρατηρούµε µια µέση αύξηση % στον χρόνο που απαιτεί ο πολλαπλασιασµός όταν 6. Φυσικά όλα τα αποτελέσµατα που παρουσιάστηκαν παραπάνω βασίζονται σε ένα απλό µοντέλο το οποίο δεν λαµβάνει υπόψη διάφορες σηµαντικές παραµέτρους, όπως π.χ. τη δροµολόγηση και την ικανότητα οδήγησης. Για τον λόγο αυτό, στο τµήµα 4 παρουσιάζονται αποτελέσµατα που βασίζονται σε πλήρεις στατικές υλοποιήσεις CMOS.

23 3. Προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU Ο πολλαπλασιασµός και το άθροισµα τετραγώνων modulo πολλές οµοιότητες µε τις αντίστοιχες πράξεις modulo modulo παρουσιάζει. Για όλες τις πράξεις θεωρούµε ότι χρησιµοποιείται η ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση για όλους τους αριθµούς. Με άλλα λόγια, τόσο οι είσοδοι Α και Β, όσο και το τελικό αποτέλεσµα ακολουθούν την ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση. Στο [] έχει δειχθεί ότι τα µερικά γινόµενα του modulo πολλαπλασιασµού δύο αριθµών µπορούν να αναπαρασταθούν µε bts. Τα bts µε βάρος, όπου, συµπληρώνονται και τοποθετούνται στη θέση. Για κάθε τέτοια συµπλήρωση και ολίσθηση όµως, πρέπει να προστεθεί ένας παράγοντας διόρθωσης ο οποίος ισούται µε. Έστω ότι το X - δηλώνει την ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση του X, δηλαδή ισχύει αποτέλεσµα του modulo X X και X. Έστω ακόµα ότι το P αναπαριστά το αναπαριστά το αποτέλεσµα του modulo A... και B b b... bb πολλαπλασιασµού των Α και Β, ενώ το SS αθροίσµατος τετραγώνων, όπου. Τότε για την ελαττωµένη κατά ένα αναπαράσταση των αποτελεσµάτων των παραπάνω πράξεων θα ισχύει: SS ( A )( B ) A B A B P P (5) ( A ) ( B ) SS A B A B (6) Οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι χρειάζονται δύο επιπλέον µερικά γινόµενα σε σχέση µε την περίπτωση modulo. Για τον πολλαπλασιασµό απαιτείται µία επιπλέον γραµµή για το A και µία ακόµα για το απαιτείται µία επιπλέον γραµµή για το B. Για το άθροισµα τετραγώνων A και µία ακόµα για το.. Τέλος, απαιτείται µία ακόµα γραµµή για τον παράγοντα συνολικής διόρθωσης που πρέπει να ληφθεί υπόψη. Σηµειώνεται ότι στην περίπτωση του αθροίσµατος τετραγώνων ο παραπάνω παράγοντας θα πρέπει να ενσωµατώνει τον όρο της (6). Εφόσον στην περίπτωση modulo θα πρέπει να έχουµε είχαµε B µερικά γινόµενα, για την περίπτωση modulo 5 µερικά γινόµενα.

24 Παρόλα αυτά, στην συγκεκριµένη περίπτωση οι παράγοντες συνολικής διόρθωσης µπορούν να ενσωµατωθούν µέσα στα υπόλοιπα µερικά γινόµενα. Εποµένως, στην περίπτωση αυτή δεν χρειάζεται να χρησιµοποιηθεί µία επιπλέον γραµµή για τον παράγοντα συνολικής διόρθωσης. Οι προτεινόµενες αρχιτεκτονικές MMSSU χρησιµοποιούν λοιπόν 4 µερικά γινόµενα. Αρχικά ας θεωρήσουµε την περίπτωση του πολλαπλασιασµού. Τα µερικά γινόµενα που απαιτούνται όταν 8 φαίνονται στον πίνακα 8. Σηµειώνεται ότι το σύµβολο ~ στους επόµενους πίνακες υποδηλώνει το συµπλήρωµα. Για την αναπαράσταση καθενός από τα µερικά γινόµενα χρησιµοποιούνται bts, µε τις συµπληρώσεις και ολισθήσεις που αναφέρθηκαν προηγουµένως. Παρακάτω θα υπολογίσουµε τον παράγοντα συνολικής διόρθωσης που απαιτείται και θα δείξουµε ότι µπορεί να αναπαρασταθεί µε δύο επιπλέον σειρές, οδηγώντας έτσι σε µερικά γινόµενα συνολικά. Έστω ότι CP είναι ο παράγοντας συνολικής διόρθωσης για την περίπτωση του πολλαπλασιασµού PP α 7 b α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b PP α 6 b α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b ~α 7 b PP α 5 b α 4 b α 3 b α b α b α b ~α 7 b ~α 6 b PP 3 α 4 b 3 α 3 b 3 α b 3 α b 3 α b 3 ~α 7 b 3 ~α 6 b 3 ~α 5 b 3 PP 4 α 3 b 4 α b 4 α b 4 α b 4 ~α 7 b 4 ~α 6 b 4 ~α 5 b 4 ~α 4 b 4 PP 5 α b 5 α b 5 α b 5 ~α 7 b 5 ~α 6 b 5 ~α 5 b 5 ~α 4 b 5 ~α 3 b 5 PP 6 α b 6 α b 6 ~α 7 b 6 ~α 6 b 6 ~α 5 b 6 ~α 4 b 6 ~α 3 b 6 ~α b 6 PP 7 α b 7 ~α 7 b 7 ~α 6 b 7 ~α 5 b 7 ~α 4 b 7 ~α 3 b 7 ~α b 7 ~α b 7 PP 8 α 7 α 6 α 5 α 4 α 3 α α α PP 9 b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b b b Πίνακας 8. Μερικά γινόµενα για πολλαπλασιασµό modulo. Χρησιµοποιώντας τις διαδικασίες που παρουσιάζονται στα [] και [], το CP µπορεί να υπολογιστεί ως CP CP CP, όπου CP είναι η διόρθωση που απαιτείται για την παραγωγή των µερικών γινοµένων και CP είναι η διόρθωση που απαιτείται κατά τη µείωση των µερικών γινοµένων. Στον παραπάνω πίνακα, κάθε όρος ο οποίος εµφανίζεται συµπληρωµένος προέρχεται από ολίσθηση και εποµένως 3

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρώτο Κεφάλαιο. Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα. Δεύτερο Κεφάλαιο. Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Περιεχόμενα. Πρώτο Κεφάλαιο. Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα. Δεύτερο Κεφάλαιο. Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Πρώτο Κεφάλαιο Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα 1.1 Αναλογικά και Ψηφιακά Σήματα και Συστήματα... 1 1.2 Βασικά Ψηφιακά Κυκλώματα... 3 1.3 Ολοκληρωμένα κυκλώματα... 4 1.4 Τυπωμένα κυκλώματα... 7 1.5 Εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα µε MSI. υαδικός Αθροιστής & Αφαιρέτης

Κυκλώµατα µε MSI. υαδικός Αθροιστής & Αφαιρέτης 5 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστικά Κυκλώµατα µε MSI υαδικός Αθροιστής & Αφαιρέτης A i B i FA S i C i C i+1 D Σειριακός Αθροιστής Σειριακός Αθροιστής: απαιτεί 1 πλήρη αθροιστή, 1 στοιχείο µνήµης και παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης.

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005 Κεφάλαιο 5 -ii: Αριθµητικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αφαίρεση δυαδικών Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ 1.1 Εισαγωγή...11 1.2 Τα κύρια αριθμητικά Συστήματα...12 1.3 Μετατροπή αριθμών μεταξύ των αριθμητικών συστημάτων...13 1.3.1 Μετατροπή ακέραιων

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 ΑριθμητικέςΠράξειςσεΑκέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4. Εισαγωγή στην Πληροφορική. Αναπαράσταση δεδοµένων. Αναπαράσταση πληροφορίας. υαδικοί αριθµοί. Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07

Ενότητα 4. Εισαγωγή στην Πληροφορική. Αναπαράσταση δεδοµένων. Αναπαράσταση πληροφορίας. υαδικοί αριθµοί. Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07 Ενότητα 4 Εισαγωγή στην Πληροφορική Κεφάλαιο 4Α: Αναπαράσταση πληροφορίας Κεφάλαιο 4Β: Επεξεργαστές που χρησιµοποιούνται σε PCs Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07 ρ. Παναγιώτης Χατζηδούκας (Π..407/80) Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

2 η Θεµατική Ενότητα : Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

2 η Θεµατική Ενότητα : Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 2 η Θεµατική Ενότητα : Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα Πύλες AND Πύλες OR Πύλες NAND Τυχαία Λογική Πύλες NOR Πύλες XNOR Η ολοκληρωµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων 2.1 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 2.1 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 2.2 Γλώσσα Μηχανής 2.3 Εκτέλεση προγράµµατος 2.4 Αριθµητικές και λογικές εντολές 2.5 Επικοινωνία µε άλλες συσκευές

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 2 ο. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 2 ο. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 1 Άλγεβρα Βοοle η θεωρητική βάση των λογικών κυκλωμάτων Η άλγεβρα Βοοle ορίζεται επάνω στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (λογικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Εκτέλεση πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της

Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της Στην ενότητα αυτή θα αναφερθούµε εκτενέστερα στη λειτουργία και την οργάνωση της κρυφής µνήµης. Θα προσδιορίσουµε τις βασικές λειτουργίες που σχετίζονται µε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 2006 2007 Γραπτή Εργασία #2 Ηµεροµηνία Παράδοσης 28-0 - 2007 ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση : [5 µονάδες] Έχετε στη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες 1.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Ένα αριθμητικό σύστημα ορίζει ένα σύνολο τιμών που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση μίας ποσότητας. Ποσοτικοποιώντας τιμές και αντικείμενα και

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Καθυστέρηση στατικών πυλών CMOS

Καθυστέρηση στατικών πυλών CMOS Καθυστέρηση στατικών πυλών CMOS Πρόχειρες σημειώσεις Γιώργος Δημητρακόπουλος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Άνοιξη 2008 Παρόλο που οι εξισώσεις των ρευμάτων των MOS τρανζίστορ μας δίνουν

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 20 Huffman codes 1 / 12 Κωδικοποίηση σταθερού μήκους Αν χρησιμοποιηθεί κωδικοποίηση σταθερού μήκους δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λογικές πύλες Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Θεωρητική εισαγωγή

8.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 8 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΝΗΜΗΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ Σκοπός: Η µελέτη της λειτουργίας των καταχωρητών. Θα υλοποιηθεί ένας απλός στατικός καταχωρητής 4-bit µε Flip-Flop τύπου D και θα µελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Λογικά Κυκλώµατα Ø Τα λογικά κυκλώµατα διακρίνονται σε συνδυαστικά (combinational) και ακολουθιακά (sequential). Ø Τα συνδυαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Κεφάλαιο 3 Αριθµητική για υπολογιστές Ασκήσεις Η αρίθµηση των ασκήσεων είναι από την 4 η έκδοση του «Οργάνωση και Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Λύσεις µε κατάλληλο σχολιασµό και παρατηρήσεις σε θέµατα από παλαιότερες πανελλαδικές εξετάσεις. Γενικές οδηγίες και παρατηρήσεις κατά την αντιµετώπιση

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ 1 1-1 Σχηµατισµός Μηνύµατος 1 1-2 Βάση Αρίθµησης 2 1-3 Παράσταση Αριθµών στο εκαδικό Σύστηµα 2 Μετατροπή υαδικού σε εκαδικό 3 Μετατροπή εκαδικού σε υαδικό 4

Διαβάστε περισσότερα

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (2/2) 1.1 Τα bits και ο τρόπος που αποθηκεύονται 1.2 Κύρια µνήµη 1.3 Αποθηκευτικά µέσα 1.4 Αναπαράσταση πληροφοριών ως σχηµάτων bits

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ενότητα 3 Λειτουργίες σε Bits, Αριθμητικά Συστήματα Χρήστος Γκουμόπουλος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Φύση υπολογιστών Η

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 24-5 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (λογικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης ; Ποιες κατηγορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 21: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 2009 2010 Γραπτή Εργασία #3 Παράδοση: 28 Μαρτίου 2010 Άσκηση 1 (15 µονάδες) Ένας επεξεργαστής υποστηρίζει τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Πρόλογος 11. 0 Εισαγωγή 21

Περιεχόµενα. Πρόλογος 11. 0 Εισαγωγή 21 Περιεχόµενα Πρόλογος 11 Σκοπός αυτού του βιβλίου 11 Σε ποιους απευθύνεται αυτό το βιβλίο 12 Βασικά χαρακτηριστικά του βιβλίου 12 Κάλυψη συστηµάτων CAD 14 Εργαστηριακή υποστήριξη 14 Συνοπτική παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Βιβλιογραϕικές σηµειώσεις 59. Ασκήσεις 19

Βιβλιογραϕικές σηµειώσεις 59. Ασκήσεις 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέρος I Εισαγωγή 1 Η ψηφιακή αφαίρεση 3 1.1 Ψηϕιακά σήµατα 4 1.2 Τα ψηϕιακά σήµατα είναι ανεκτικά στον θόρυβο 5 1.3 Τα ψηϕιακά σήµατα αναπαριστούν σύνθετα δεδοµένα 9 1.3.1 Αναπαράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

9. OIΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ

9. OIΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61 9. OIΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ I. Βασική Θεωρία Οι πύλες NAND και NOR ονομάζονται οικουμενικές πύλες (universal gates) γιατί κάθε συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Σχ.6.1. Απλή συνδεσµολογία καθρέπτη ρεύµατος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Σχ.6.1. Απλή συνδεσµολογία καθρέπτη ρεύµατος. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6.1 ΚΑΘΡΕΠΤΕΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Σε ένα καθρέπτη ρεύµατος, το ρεύµα του κλάδου της εξόδου είναι πάντα ίσο µε το ρεύµα του κλάδου της εισόδου, αποτελεί δηλαδή το είδωλο του. Μία τέτοια διάταξη δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Επεξεργαστών Ψ.Ε.Σ

Αρχιτεκτονική Επεξεργαστών Ψ.Ε.Σ ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Αρχιτεκτονική Επεξεργαστών Ψ.Ε.Σ Βιβλιογραφία Ενότητας Kehtarnavaz [2005]: Chapter 3 Kuo [2005]: Chapters 1 & 4-5 Lapsley [2002]: Chapter 4 Hayes [2000]: Κεφάλαιo 8

Διαβάστε περισσότερα

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε 2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε Η εντολή Εκτύπωσε χρησιµοποιείται προκειµένου να εµφανίσουµε κάτι στην οθόνη του υπολογιστή. Για τον λόγο αυτό ονοµάζεται και εντολή εξόδου. Ισοδύναµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί και

Διαβάστε περισσότερα

15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής

15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής 15/3/9 Από το προηγούμενο μάθημα... Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου Μάθημα: «Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου» Δάλ Διάλεξη 3 η : «Επεξεργαστές Ε ξ έ Δυναμικής Περιοχής» Φλώρος

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Ασκηση 2- Κυκλικοί Κώδικες

Εργαστηριακή Ασκηση 2- Κυκλικοί Κώδικες Εργαστηριακή άσκηση 2 Θεωρία ΚΩ ΙΚΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Οι κώδικες διόρθωσης σφαλµάτων χρησιµοποιούνται µερικές φορές για µετάδοση δεδοµένων, για παράδειγµα, όταν το κανάλι είναι µονόδροµο (simplex)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

o AND o IF o SUMPRODUCT

o AND o IF o SUMPRODUCT Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

i Το τρανζίστορ αυτό είναι τύπου NMOS. Υπάρχει και το συμπληρωματικό PMOS. ; Τι συμβαίνει στο τρανζίστορ PMOS; Το τρανζίστορ MOS(FET)

i Το τρανζίστορ αυτό είναι τύπου NMOS. Υπάρχει και το συμπληρωματικό PMOS. ; Τι συμβαίνει στο τρανζίστορ PMOS; Το τρανζίστορ MOS(FET) Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 25-6 Το τρανζίστορ MOS(FET) πύλη (gate) Ψηφιακή και Σχεδίαση πηγή (source) καταβόθρα (drai) (σχεδίαση συνδυαστικών κυκλωμάτων) http://di.ioio.gr/~mistral/tp/comparch/

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Εισαγωγή στην C Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Τµήµα Α Με την εντολή include συµπεριλαµβάνω στο πρόγραµµα τα πρότυπα των συναρτήσεων εισόδου/εξόδου της C.Το αρχείο κεφαλίδας stdio.h είναι ένας κατάλογος

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Αριθμητικοί τελεστές Οι αριθμητικοί τελεστές είναι: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση +,-,*,/ ύψωση σε δύναμη ^ πηλίκο ακέραιης διαίρεσης δύο ακεραίων αριθμών div υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 19 Hashing - Κατακερματισμός 1 / 23 Πίνακες απευθείας πρόσβασης (Direct Access Tables) Οι πίνακες απευθείας

Διαβάστε περισσότερα