ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περιεχόμενα..1 Πρόλογος...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 1.1 Εισαγωγή στο μοντέλο εξέλιξης πληθυσμού του Tomas Malthus Η λογιστική εξίσωση (εξίσωση του Verhulst) H περιοδικώς διαταραγμένη λογιστική εξίσωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΞΕΛΙΞΗ ΔΥΟ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΩΝΤΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ: ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ LOTKA-VOLTERRA 2.1 Σύντομη βιογραφία των δημιουργών του συστήματος Το σύστημα διαφορικών εξισώσεων Lotka-Volterra Τροποποιημένο σύστημα Lotka-Volterra μέσω προσθήκης μη γραμμικών όρων δεύτερης τάξης H περίπτωση της ανθρώπινης παρέμβασης μέσω προσθήκης περιοδικής συνάρτησης...47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΣΤΗΜΑ LOTKA-VOLTERRA ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΤΡΙΩΝ ΕΙΔΩΝ 3.1 Η περίπτωση συνύπαρξης δυο αρπακτικών διαφορετικών ειδών με ενός είδους θήραμα Η περίπτωση της τροφικής αλυσίδας και η μελέτη της μέσω του συστήματος Lotka- Volterra Η προσθήκη της συνάρτησης διαταραχής στο σύστημα Lοtka-Volterra αλληλεπίδρασης τριών ειδών...91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ LOTKA-VOLTERRA ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ VERHULST 4.1 H περίπτωση αλληλεπίδρασης βακτηρίων και ιών (φάγων) Ένα σύστημα εξισώσεων διαφορών. Το μοντέλο Nicholson- Bailey Εφαρμογές της λογιστικής εξίσωσης. Το μοντέλο του Verhulst στην υπηρεσία του αθλητισμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Καθώς βρισκόμουν στα μισά του προπτυχιακού προγράμματος σπουδών του τμήματος μαθηματικών Πάτρας, κατάλαβα ότι είχα ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τις μη γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Έτσι θεώρησα σωστό να κάνω μεταπτυχιακές σπουδές πάνω σε αυτό το αντικείμενο και γι αυτό το λόγο τα τελευταία δυο χρόνια παρακολούθησα το μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών << ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ >> της προαναφερθείσας σχολής και συγκεκριμένα τον τομέα εφαρμοσμένων μαθηματικών και την κατεύθυνση Διαφορικές Εξισώσεις και Δυναμικά Συστήματα. Η διαδικασία των σπουδών αυτών ολοκληρώθηκε με την εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Η εργασία αυτή προέκυψε με τον συνδυασμό γνώσεων πάνω στα δυναμικά συστήματα και ενδιαφερόντων βιολογικού και οικολογικού χαρακτήρα. Η βασική ιδέα είναι να ερμηνεύσουμε ποικίλα οικολογικά φαινόμενα με την βοήθεια των δυναμικών συστημάτων ( και του υπολογιστή). Σε αυτή την δύσκολη προσπάθεια δεν ήμουν μόνος. Είχα την αμέριστη βοήθεια και συμπαράσταση του αξιότιμου καθηγητού Αναστάσιου Μπούντη, ο οποίος είναι και ο επιβλέπων καθηγητής της παρούσας εργασίας, κάτι που με τιμά ιδιαίτερα. Παρά τον μεγάλο φόρτο εργασίας του, ήταν πάντα πρόθυμος να με στηρίζει και να με συμβουλεύει έτσι ώστε να καταλήξουμε στο παρόν έργο. Για τις συμβουλές αυτές, και την συνολική του συνεισφορά τον ευχαριστώ θερμά. Επιπλέον όμως επιθυμώ να ευχαριστήσω θερμά και τους συνεπιβλέποντες καθηγητές κ. Ιάκωβο βαν ντερ Βέϊλε και κ. Μιχάλη Βραχάτη για τις πολύτιμες συμβουλές και τα σχόλια τους, τα οποία ανέδειξαν ορισμένες πτυχές της διατριβής που μπορούν να αναπτυχθούν ερευνητικά στο μέλλον. 2

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Όπως είναι γνωστό, οι μη γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις δυναμικών συστημάτων μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών, αποτελούν σημαντικό εργαλείο για τους επιστήμονες, που προσπαθούν να δώσουν λύσεις σε ερωτήματα που αφορούν στην εξέλιξη των συστημάτων αυτών στον χρόνο. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν δυναμικά συστήματα που περιγράφουν προβλήματα της Φυσικής, της Βιολογίας, της Τεχνολογίας και των Οικονομικών Επιστημών. Στην παρούσα εργασία θα μελετήσουμε ορισμένα μη γραμμικά μοντέλα εξέλιξης πληθυσμών καθώς και διάφορες παραλλαγές αυτών που προκύπτουν από την προσθήκη μη γραμμικών όρων και περιοδικών συναρτήσεων. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο θα κάνουμε μια εισαγωγή εξετάζοντας γνωστά μοντέλα μιας διάστασης, όπως το γραμμικό μοντέλο του Malthus, και το μη γραμμικό μοντέλο του Verhulst αναφέροντας κάποια παρατηρησιακά δεδομένα που επιβεβαιώνουν τη χρησιμότητα αλλά και τους περιορισμούς των μοντέλων αυτών. Θα αναφερθούμε επίσης στην εξίσωση του Verhulst υπό την επίδραση μιας εξωτερικής περιοδικής διαταραχής. Στο Κεφάλαιο 2, το οποίο αποτελεί και το κυρίως θέμα της παρούσας εργασίας, θα μελετήσουμε ένα μη γραμμικό σύστημα αλληλεπίδρασης δυο πληθυσμών διαφορετικών βιολογικών ειδών, που περιγράφεται από το σύστημα εξισώσεων Lotka- Volterra. Ξεκινώντας από την απλή περιοδική συμπεριφορά του αδιατάρακτου μοντέλου, προσθέτουμε επιπλέον όρους που περιγράφουν θανάτους λόγω ανταγωνισμού των μελών ενός είδους. Στη συνέχεια θα προχωρήσουμε στη μελέτη περιοδικώς διαταραγμένων συστημάτων τύπου Lotka-Volterra, η δυναμική των οποίων φανερώνει ένα μεγάλο μέρος της ομορφιάς της μη γραμμικής επιστήμης: Μπορούμε δηλαδή να δούμε απλά φαινόμενα όπως ένα ευσταθή οριακό κύκλο, εώς ένα πολύ εντυπωσιακό χαοτικό ελκυστή! Στη συνέχεια, θα εστιάσουμε τη μελέτη μας στο σύστημα Lotka-Volterra τριών μεταβλητών που είναι πολύ σημαντικό για την μελέτη πληθυσμών τριών διαφορετικών βιολογικών ειδών. Υπάρχουν για παράδειγμα περιπτώσεις οικοσυστημάτων όπου δυο διαφορετικοί κυνηγοί, ένας ισχυρότερος και ένας ασθενέστερος, τρέφονται με το ίδιο είδος θηραμάτων. Επίσης υπάρχει η περίπτωση που ένας ασθενής κυνηγός καταναλώνει ένα θήραμα και ο ίδιος καταναλώνεται από έναν ασθενέστερο. Αυτό είναι το λεγόμενο μοντέλο της τροφικής αλυσίδας. Έτσι, στις τρεις διαστάσεις θα δούμε φαινόμενα που ήδη παρατηρήσαμε στις δυο, αλλά θα αντιμετωπίσουμε και νέες ενδιαφέρουσες δυναμικές συμπεριφορές. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο θα αναφέρουμε κάποιες εφαρμογές που έχουν τα μοντέλα που εξετάσαμε. Θα δούμε δηλαδή πως το σύστημα Lotka-Volterra έχει εφαρμογή στην αλληλεπίδραση ιών και βακτηριοφάγων καθώς και πως βάσει της λογιστικής απεικόνισης μπορούμε να εκτιμήσουμε το μικρότερο δυνατό χρόνο που χρειάζεται ένας δρομέας για να διανύσει τα 100 μέτρα. 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 1.1 Εισαγωγή στο μοντέλο εξέλιξης πληθυσμού του Tomas Malthus Γνωρίζουμε ότι οι διαφορικές εξισώσεις (συνήθεις ή μερικές ) χρησιμοποιούνται για την κατασκευή και μελέτη μαθηματικών μοντέλων που περιγράφουν φυσικά, βιολογικά και οικονομικά συστήματα που εξελίσσονται στο χρόνο. Είναι λογικό λοιπόν να έχουν εφαρμογές στην ανάλυση και πρόβλεψη της αύξησης και μείωσης πληθυσμών οποιουδήποτε βιολογικού είδους, από βακτηρία μέχρι ανθρώπους, αλλά και σε κύτταρα που έχουν προσβληθεί από κάποια ασθένεια. Ακόμα μεγαλύτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν περιπτώσεις, όπου δυο ή περισσότεροι πληθυσμοί διαφορετικών ειδών αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Υπάρχουν πολλά μοντέλα που έχουν εφαρμογή και στις δυο περιπτώσεις. Στο πρωτο κεφαλαιο της παρούσας εργασίας θα μελετήσουμε δυο από τα απλούστερα μοντέλα εξέλιξης του πληθυσμού ενός είδους: Α) Η γραμμική διαφορική εξίσωση του Malthus. Β) Η μη γραμμική διαφορική εξίσωση του Verhulst (ή λογιστική εξίσωση). Ας ξεκινήσουμε λοιπόν εισάγοντας την εξίσωση εκθετικής εξέλιξης, ή εξίσωση του Malthus η οποία αποτελεί το απλούστερο μοντέλο μελέτης εξέλιξης πληθυσμών. Ο Tomas Malthus ήταν καθηγητής ιστορίας στο πανεπιστήμιο του Cambridge και για ένα διάστημα διατέλεσε υπουργός στην Αγγλία. Η ιδέα του, που σήμερα φαντάζει αρκετά προφανής, αποτέλεσε πραγματική καινοτομία πριν από περισσότερα από 200 χρόνια, όταν δημοσιεύτηκε (1798). Η ιδέα αυτή βασίζεται στο γεγονός ότι ο ρυθμός αύξησης ενός πληθυσμού είναι ανάλογος του παρόντος μεγέθους του. 4

5 Η ιδέα αυτή, αν και φαίνεται απλοϊκή, έχει μια λογική βάση: Ο Malthus σκέφτηκε ότι είναι λογικό ο αριθμός των παιδιών σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμη να είναι σταθερό πολλαπλάσιο του υπάρχοντος πληθυσμού και έτσι κατέληξε στο συμπέρασμα του. Αν θέλουμε βέβαια το μοντέλο μας να γίνει πιο ρεαλιστικό, πρέπει να λάβουμε υπόψη μας ότι υπάρχουν και θάνατοι σε κάθε πληθυσμό, π.χ. από γεράματα ή από ανταγωνισμό ενός είδους με τον εαυτό του. Αυτό λαμβάνεται υπόψη ως ένα βαθμό από το μέγεθος της σταθεράς αναλογίας του ρυθμού εξέλιξης του πληθυσμού με τον υπάρχοντα. Λαμβάνοντας υπόψη την ιδέα του Malthus, ότι δηλαδή ο ρυθμός εξέλιξης του πληθυσμού είναι ανάλογος του υπάρχοντος, ορίζουμε ως : 1) pt () τον πληθυσμό την χρονική στιγμή t. dp 2) pt & () = τον ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού αυτού. dt 3) k την σταθερά αναλογίας μεταξύ του p ( t ) και του p& ( t). οπότε η ζητούμενη εξίσωση είναι η ακόλουθη: p& ( t) = kp( t) (1) Είναι πολύ εύκολο να λύσουμε την (1), με τη μέθοδο χωρισμού μεταβλητών, αλλά αυτό που θα προκύψει δεν είναι μια συνάρτηση, αλλά μια μονοπαραμετρική οικογένεια συναρτήσεων. Πιο συγκεκριμένα, η γενική λύση που προκύπτει από την (1) είναι: kt + p( t) = C e, C (2) Για να προκύψει η ειδική λύση που επιθυμούμε χρειαζόμαστε την λεγόμενη αρχική συνθήκη. Δηλαδή, χρειάζεται να γνωρίζουμε το μέγεθος του πληθυσμού την χρονική στιγμή t 0 = 0, p (0) = p 0. Από την ανωτέρω συνθήκη λοιπόν και την σχέση (2) προκύπτει το τελικό αποτέλεσμα: p ( t) = p e 0 kt (3) Παρατήρηση 1.1 Από την (3) προκύπτει ότι αν k < 0, ο αριθμός θανάτων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό γεννήσεων, οπότε προφανώς lim pt ( ) = 0, δηλαδή το συγκεκριμένο είδος t εξαφανίζεται. Από την άλλη πλευρά, αν k > 0, παρατηρούμε ότι ο πληθυσμός μας αυξάνεται απεριόριστα, χωρίς να υπάρχει κάποιο άνω φράγμα. Τέλος, αν k = 0, τότε ισχύει : p() t = p0 t > 0. 5

6 1.2 Η λογιστική εξίσωση ( εξίσωση του Verhulst) Το μοντέλο του Malthus δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα μόνο για ένα μικρό χρονικό διάστημα μετά την αρχική συνθήκη. Με την πάροδο του χρόνου η ακρίβεια του μοντέλου μειώνεται, ώστε μετά από μεγάλο χρονικό διάστημα να δίνει αποτελέσματα που αποκλίνουν πολύ από την πραγματικότητα. Για να γίνει η ανωτέρω παρατήρηση κατανοητή, ας δούμε πως εφαρμόζεται το συγκεκριμένο μοντέλο στην πρόβλεψη του πληθυσμού μιας μεγάλης χώρας, π.χ. των Η.Π.Α. Παράδειγμα 1.1 Έστω ότι η αρχική μας συνθήκη, δηλαδή ο αρχικός πληθυσμός των Η.Π.Α. είναι p 0 = 5.3 εκατομμύρια, όπως πράγματι ήταν ο αριθμός των κατοίκων της χώρας το έτος Η εξίσωση που θα μας δώσει αποτελέσματα για τον μελλοντικό πληθυσμό αυτής της χώρας είναι: p ( t) = 5.3e 0.03t Όπου με t συμβολίζουμε την πάροδο του χρόνου σε έτη. Ας συγκρίνουμε λοιπόν τα πραγματικά αποτελέσματα με τα προσεγγιστικά μετά την πάροδο 30 ετών: ΠΙΝΑΚΑΣ 1 ΕΤΗ Αποτελέσματα μοντέλου. Αληθινά αποτελέσματα

7 Παρατηρούμε ότι η εξίσωση του Malthus για μικρά χρονικά διαστήματα δίνει αρκετά καλές προσεγγίσεις. Καθώς περνούν τα χρόνια όμως, παρατηρούμε ότι οι τιμές του μοντέλου είναι πολύ μεγαλύτερες από τις πραγματικές. Φανταζόμαστε λοιπόν πόσο μεγαλύτερο σφάλμα θα υπάρχει μεταξύ πραγματικών και προσεγγιστικών τιμών του πληθυσμού, όταν περάσει ακόμα μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. Η πολύ μεγάλη αυτή απόκλιση μας αναγκάζει να βελτιώσουμε το μοντέλο του Malthus με την προσθήκη ενός μη γραμμικού όρου. Η εξίσωση που προέκυψε από αυτή την βελτίωση καλείται λογιστική εξίσωση ή εξίσωση του Verhulst. Ο Pierre Verhulst ήταν Βέλγος μαθηματικός που εγκατέλειψε τις σπουδές του πάνω στη λογοτεχνία για να αφιερωθεί στην επιστήμη των μαθηματικών. Όταν ήταν ακόμα προπτυχιακός φοιτητής, στο Πανεπιστήμιο του Gent, τιμήθηκε με δυο ακαδημαϊκά βραβεία. Αργότερα δημοσίευσε εργασίες του πάνω στη θεωρία αριθμών και τη φυσική. Η λογιστική εξίσωση δημοσιεύτηκε από τον Pierre Verhulst το 1838 ως ένα μοντέλο εξέλιξης του πληθυσμού ενός μόνο είδους. Ο τύπος της εξίσωσης αυτής είναι: r Δ N r N ( K N ) = (4) Δ t K όπου είναι η παράμετρος του Malthus ή ο ρυθμός της μέγιστης δυνατής εξέλιξης του πληθυσμού και K είναι ένας συντελεστής που σχετίζεται με την δυνατότητα του υπάρχοντος οικοσυστήματος να συντηρήσει μέχρι ένα συγκεκριμένο αριθμό των ειδών ( carrying capacity). 7

8 N Διαιρώντας και τα δυο μέλη της εξίσωσης με K, θέτοντας x = και παίρνοντας το K όριο Δt 0, έχουμε: x& ( t) = rx( t)(1 x( t)) (5) Σύμφωνα με την εξίσωση (2) ο ρυθμός εξέλιξης του πληθυσμού είναι βέβαια ανάλογος του υπάρχοντος πληθυσμού (όπως και στην περίπτωση του μοντέλου του Malthus) επηρεάζεται όμως και αρνητικά αφού περιέχει έναν όρο θανάτων rx 2. Η γενική λύση της εξίσωσης (2) για δοθείσα αρχική συνθήκη ( t, x ) είναι: 0 0 x ( t ) = ( x 1) e 0 rt (6) t Βάσει της (6) ισχύει ότι: lim xt ( ) 1, καθώς. Από την άλλη έχουμε lim xt ( ) 0, για t. Αυτό σημαίνει πως η εξίσωση (2) έχει ως ευσταθές σημείο ισορροπίας το σημείο x 2 = 1, ενώ το σημείο x 1 = 0 είναι ασταθές (βλ. Σχήμα 1 πιο κάτω). Αυτό σημαίνει ότι ο πληθυσμός τείνει να ισορροπήσει πάντα στο μέγιστο δυνατό αριθμό που του επιτρέπει το οικοσύστημα. Αυτό βέβαια για r > 0, γιατί όταν η παράμετρος Malthus είναι αρνητική, ισχύουν τα αντίστροφα. Σε αυτή την περίπτωση δηλαδή, ο πληθυσμός απειλείται με εξαφάνιση. Ας εξετάσουμε τα ακόλουθα γραφήματα της εξίσωσης (6) για αρνητικές και θετικές τιμές της παραμέτρου r, στο Σχήμα 1. ΣΧΗΜΑ 1 Γραφήματα της λογιστικής εξίσωσης (5) για διάφορες τιμές της παραμέτρου r. 8

9 Παρατηρούμε πως όταν αυτή παίρνει αρνητικές τιμές ο πληθυσμός μας τείνει να εξαφανιστεί με την πάροδο του χρόνου. Αντιθέτως, για θετικές τιμές της ίδιας παραμέτρου, ο πληθυσμός μας δεν αυξάνεται επ άπειρον, αλλά υπάρχει ένα άνω φράγμα το οποίο οφείλεται στην εσωτερική αλληλεπίδραση των ειδών. Ας δούμε ακόμη ένα ενδιαφέρον παράδειγμα. Παράδειγμα 1.2 Ας εξετάσουμε την εξέλιξη του πληθυσμού των Η.Π.Α. χρησιμοποιώντας το μοντέλο της λογιστικής εξίσωσης. Σε αυτές τις περιπτώσεις σημαντικό ρόλο παίζει η παράμετρος K, δηλαδή ο μέγιστος δυνατός πληθυσμός που μπορεί να αντέξει το οικοσύστημα. Θεωρούμε λοιπόν ότι K = 330 εκατομμύρια και r = 0.03, όπως στην περίπτωση του προηγούμενου παραδείγματος. Παίρνουμε πάλι ως αρχική συνθήκη τον πληθυσμό των Η.Π.Α. το 1700, δηλαδή N (0) = 5.3. Υπό αυτές τις συνθήκες ένας πίνακας αντίστοιχος με τον Πίνακα 1 θα ήταν: ΠΙΝΑΚΑΣ 2 Έτη Αποτελέσματα μοντέλου Πραγματικά αποτελέσματα Σχετικά σφάλματα

10 Από τα αποτελέσματα του Πίνακα 2 συμπεραίνουμε ότι πράγματι το μοντέλο του Verhulst δίνει πολύ καλύτερες προσεγγίσεις από το μοντέλο του Malthus ακόμα και όταν περάσει πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα. Αξίζει όμως να συνεχίσουμε τις παρατηρήσεις μας για να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα. Σύμφωνα με το μοντέλο της λογιστικής απεικόνισης ο πληθυσμός των Η.Π.Α. σήμερα θα έπρεπε να ήταν εκατομμύρια, ενώ γνωρίζουμε ότι είναι ήδη κοντά στα 305! Παρατηρούμε δηλαδή ότι τα τελευταία χρόνια ο πληθυσμός των Η.Π.Α. αυξάνεται με πολύ γρηγορότερους ρυθμούς από το αναμενόμενο. Στο ακόλουθο σχήμα παρατηρούμε τα γραφήματα των λύσεων της εξίσωσης του Verhulst για τις ακόλουθες τιμές των παραμέτρων ( rk, ): {(0.1,330), (0.03,400), (0.03,330)}. Επιπλέον, στο ίδιο σχήμα παρατηρούμε και αληθινές τιμές του πληθυσμού των Η.Π.Α. στο ίδιο χρονικό διάστημα. ΣΧΗΜΑ Το γράφημα της λύσης της λογιστικής εξίσωσης για x (0) = 5.3. Αυτή είναι η εξέλιξη του πληθυσμού των Η.Π.Α. σύμφωνα με την λογιστική εξίσωση για ( rk, ) = (0.1,330) ( αστεράκια), ( rk, ) = (0.03,400) (κουτάκια), ( rk, ) = (0.03,330) (τριγωνάκια) καθώς και πραγματικές τιμές του πληθυσμού των Ηνωμένων Πολιτειών (πολύγωνα). 10

11 Λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα του Σχήματος 2 μπορούμε να οδηγηθούμε σε κάποιες ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις. Πρώτα όμως θα εισαγάγουμε τη συνάρτηση μέσου τετραγωνικού σφάλματος, η οποία συμβολίζεται με ErK (, ), όπου r, K οι γνωστές παράμετροι της λογιστικής μας εξίσωσης. Έστω xπ () t τα πραγματικά δεδομένα και xε () t η εκτίμηση του μοντέλου συναρτήσει του χρόνου t. Η συνάρτηση μέσου τετραγωνικού σφάλματος αποτελεί ένα χρήσιμο μέσο για να υπολογίσουμε την απόκλιση που υπάρχει ανάμεσα στα πραγματικά και τα εκτιμώμενα δεδομένα. Το ζητούμενο σε κάθε περίπτωση είναι η ErK (, ) να παίρνει όσο το δυνατό μικρότερες τιμές. Ισχύει ο ακόλουθος τύπος: E( r, K) = n i = 1 ( x ( t ) x ( t )) π i n ε i 2 Χρησιμοποιώντας τον τύπο και τα αποτελέσματα των προηγούμενων σχημάτων θα εξετάσουμε στον ακόλουθο πίνακα ποια επιλογή παραμέτρων μας δίνει την καλύτερη προσέγγιση. ΠΙΝΑΚΑΣ 3 r K E(r,K) Επομένως, μετά από όλες αυτές τις εκτιμήσεις, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η επιλογή των παραμέτρων ( rk, ) = (0.03,330) στη λογιστική εξίσωση προσεγγίζει τις πραγματικές τιμές του πληθυσμού των Η.Π.Α από το 1810 μέχρι το 2000, πολύ καλύτερα από τα άλλα ζεύγη παραμέτρων. 11

12 Η περίπτωση της λογιστικής απεικόνισης. Σε περίπτωση που θέλουμε να μελετήσουμε την εξέλιξη πληθυσμών σαν ένα δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τη διαφορική εξίσωση του Verhulst από μια εξίσωση διαφορών. Η λογιστική απεικόνιση είναι μια πολυωνυμική εξίσωση διαφορών δευτέρου βαθμού και αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα πως μια απλή εξίσωση μπορεί να οδηγήσει σε φαινόμενα χαοτικής συμπεριφοράς. Δημοσιεύτηκε το 1976 από τον βιολόγο Robert May σε μια προσπάθεια να δημιουργήσει ένα διακριτό δημογραφικό μοντέλο στα πρότυπα του μοντέλου του Verhulst. Η εξίσωση της εν λόγω λογιστικής απεικόνισης έχει τη μορφή: x n + 1 = rxn (1 xn ), (7) όπου με n n+ 1 εννοούμε μετάβαση στο επόμενο χρονικό διάστημα (ή την επόμενη γενιά) ενώ 0 < x είναι ο αριθμός του πληθυσμού την περίοδο και n < 1, n x, n + 1 ο πληθυσμός την επόμενη χρονική περίοδο. Τέλος, έχουμε r > 0 ως παράμετρο αναλογίας που συμβολίζει τον ρυθμό αύξησης του πληθυσμού αλλά θανάτων λόγω ανταγωνισμού. Οι τιμές του συντελεστή αυτού είναι πολύ σημαντικές για την εξέλιξη της δυναμικής της ανωτέρω εξίσωσης, αφού διαφορετικές τιμές της παραμέτρου r δίνουν πολύ διαφορετικά αποτελέσματα. Πιο συγκεκριμένα ισχύουν τα ακόλουθα: Α) Για r (0,1], ο πληθυσμός τείνει στο μηδέν ανεξάρτητα από την αρχική συνθήκη. Β) Για r (1, 3], ο πληθυσμός έχει ως ευσταθές σημείο ισορροπίας την τιμή: x = r r 1 Γ) Όταν η παράμετρός παίρνει τιμές μέσα στο διάστημα (3,1 + 6] ο πληθυσμός τείνει να παίρνει περιοδικά μόνο δυο τιμές, ενώ για r (1 + 6,3.54] οι λύσεις τείνουν προς μια τροχιά περιόδου 4. Δ) Για μεγαλύτερες τιμές του r, η περίοδος των τιμών που παίρνει ο πληθυσμός συνεχίζει να διπλασιάζεται μέχρι να καταλήξουμε σε χάος για r > 3.57 μετά από άπειρες διακλαδώσεις διπλασιασμού περιόδων ( βλ. Α. Μπούντης Δυναμικά συστήματα και Χάος, Τόμος Α ). Ε) Όταν η παράμετρος είναι περίπου 3.83, ο πληθυσμός μας παίρνει μόνο τρεις τιμές. Έχουμε δηλαδή μια ευσταθή τροχιά περιόδου 3. Για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου οδηγούμαστε πάλι στο χάος. Στ) Τέλος, για τιμές μεγαλύτερες του 4, οι τιμές του πληθυσμού διαφεύγουν από το διάστημα [ 0,1] και τείνουν στο άπειρο. Ας δούμε πως παρουσιάζονται αυτά στα ακόλουθα σχήματα. 12

13 ΣΧΗΜΑ 3 Το διάγραμμα διακλάδωσης της λογιστικής εξίσωσης για r [2.4,4.0]. Παρατηρούμε πως οι διακλαδώσεις διπλασιασμού περιόδου οδηγούν σε τροχιά περιόδου 2, 4 και τελικά στο χάος. Είναι εμφανές ακόμα ότι για r > 3.8 ( περίπου 3.83) έχουμε τροχιά περιόδου 3. Για μεγαλύτερες τιμές οδηγούμαστε πάλι στο χάος. 13

14 ΣΧΗΜΑ 4 Το ανωτέρω σχήμα δείχνει τις λύσεις που παρουσιάζει η λογιστική απεικόνιση για συγκεκριμένες τιμές της παραμέτρου r. Βλέπουμε για παράδειγμα ότι για r = 0.5, καταλήγουμε στη μηδενική λύση από μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Για r = 2.5, έχουμε μη μηδενική σταθερή λύση, ενώ για r 3.4 αμφιταλαντευόμαστε μεταξύ δυο ή περισσοτέρων σημείων. Τέλος, για r = 4 η συμπεριφορά της απεικόνισης είναι πλήρως απρόβλεπτη και χαοτική, για όλες τις αρχικές συνθήκες. Θα ολοκληρώσουμε τις παρατηρήσεις μας πάνω στη λογιστική απεικόνιση, εξετάζοντας το πώς εφαρμόζονται οι εκθέτες Liapunov στην απεικόνιση αυτή. Πρώτα όμως θα πρέπει να κάνουμε μια αναφορά πάνω στο συγκεκριμένο αυτό θέμα. 14

15 Εκθέτες Liapunov Έστω δυο σημεία στον n, x r 0 και r r x + Δx, από τα οποία διέρχονται δυο γειτονικές 0 τροχιές που αποτελούν λύσεις ενός δυναμικού συστήματος m μεταβλητών. Θέλουμε να βρούμε ένα τρόπο ώστε να μετράμε την απόσταση των δυο αυτών τροχιών καθώς ο χρόνος εξελίσσεται. Αν ορίσουμε την μια εκ των δυο ως τροχιά αναφοράς, τότε η απόσταση μεταξύ των τροχιών θα είναι συνάρτηση του χρόνου αλλά και της αρχικής συνθήκης x r 0 της τροχιάς αναφοράς, έστω Δ x r ( x r 0, t). Όταν οι τροχιές είναι κοντά σε ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας (ή ευσταθή περιοδική τροχιά) η συνάρτηση Δ r ( x r, t) τείνει να μηδενιστεί, ενώ αν το σύστημα είναι διατηρητικό, η συνάρτηση x 0 Δ x r ( x r, t) είναι σταθερή ή αμφιταλαντεύεται εντός ενός συγκεκριμένου 0 διαστήματος. Όταν όμως βρίσκεται σε μια χαοτική περιοχή, η απόσταση μεταξύ γειτονικών τροχιών αυξάνεται εκθετικά με αποτέλεσμα μια ολόκληρη περιοχή στο χώρο των φάσεων να καλύπτεται από οποιαδήποτε σχεδόν τροχιά έχει αρχικές συνθήκες στην περιοχή αυτή. ΣΧΗΜΑ 5 Παρατηρούμε πως δυο τροχιές του ίδιου συστήματος που ξεκινούν από πολύ κοντινές αρχικές συνθήκες, με την πάροδο του χρόνου απομακρύνονται η μια από την άλλη. Με την βοήθεια αυτής της συνάρτησης θα ορίσουμε τον ακόλουθο τύπο: λ = lim t 1 ln t r r Δ x ( x, t ) Δ 0 r (8) x 0 Ο ανωτέρω αριθμός καλείται μέγιστος εκθέτης Liapunov και αποτελεί κριτήριο για να μπορούμε να κατηγοριοποιούμε τις τροχιές του εκάστοτε συστήματος. Πιο συγκεκριμένα: Α) Αν ισχύει λ < 0, η τροχιά έλκεται από ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας ή μια ευσταθή περιοδική τροχιά, η οποία καλείται ασυμπτωτικώς ευσταθής κατάσταση. Το αντίστοιχο σύστημα καλείται μη διατηρητικό, αφού αυτό συνεπάγεται απώλειες όγκου στο χώρο φάσεων. 15

16 Β) Αν έχουμε λ = 0, τότε έχουμε την περίπτωση του διατηρητικού συστήματος και της ουδέτερης ευστάθειας των τροχιών του. Πρόκειται για τροχιές που ταλαντώνονται γύρω από ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας ή μια ευσταθή περιοδική τροχιά. Γ) Αν τέλος ισχύει λ > 0, οι τροχιές του συστήματος μας είναι ασταθείς και χαοτικές, με την έννοια ότι σχεδόν παντού σε μια περιοχή του χώρου φάσεων γειτονικές τροχιές αποκλίνουν εκθετικά μεταξύ τους στο χρόνο. Αυτό είναι που ονομάζουμε και ευαίσθητη εξάρτηση των λύσεων από τις αρχικές συνθήκες. ΣΧΗΜΑ 6 Τρεις διαφορετικές περιπτώσεις που ο εκθέτης Liapunov είναι αρνητικός ή μηδέν. Στη περίπτωση του ανωτέρω χαοτικού ελκυστή έχουμε λ > 0. Ας δούμε τώρα πως εφαρμόζεται ο τύπος (8) στην περίπτωση της λογιστικής απεικόνισης. Στην περίπτωση της εξίσωσης αυτής διακριτού χρόνου, ο αριθμός Liapunov μπορεί να βρεθεί από τον τύπο: (βλ. Μπούντης 1995, 2004) N 1 λ = lim log f ( x n ) (9) N N n = 1 16

17 Από τον τελευταίο τύπο, για xn+ 1 = f( xn) = rxn 1(1 x n 1) προκύπτει: λ 1 N N log r 2rx, (10) n n = 1 όπου x n είναι τα σημεία της τροχιάς αναφοράς που μελετάμε. Ο ακόλουθος πίνακας δείχνει αναλυτικά, για συγκεκριμένες τιμές της παραμέτρου τις τιμές του εκθέτη Liapunov λ και το αντίστοιχο είδος ευστάθειας που προκύπτει. Τα κάτωθι ισχύουν για αρχική συνθήκη x 0 = 0.5 και N = ΠΙΝΑΚΑΣ 4 r, r λ [εκθέτης Liapunov] Σχόλια Εμφάνιση ευσταθούς σημείου ισορροπίας Ασυμπτωτική ευστάθεια στο x = x << << << Το x 0 = ευσταθές σημείο ισορροπίας Ασυμπτωτική ευστάθεια στο x = x << << << Αποσταθεροποίηση ευσταθούς σημείου και εμφάνιση ευσταθούς τροχιάς περιόδου * Ευσταθής τροχιά περιόδου 2 (1 + 5) Ευσταθής τροχιά περιόδου 4 (1 + 6) Αρχή χαοτικής συμπεριφοράς Επίσης χαοτική συμπεριφορά Ευσταθής τροχιά περιόδου 3(1 + 8) Χάος στο μεγαλύτερο μέρος του [0,1] Πλήρες χάος σε όλο το [0,1] Στο σημείο αυτό ολοκληρώσαμε τις παρατηρήσεις μας πάνω στην εξίσωση του Verhulst αλλά και πάνω στην διακριτή περίπτωση αυτής. Στην τρίτη και τελευταία ενότητα του παρόντος κεφαλαίου, θα τροποποιήσουμε την εξίσωση Verhulst αντικαθιστώντας την σταθερή παράμετρο r με μια παράμετρο της μορφής: r ( t) = r0 + cos( t). Ο λόγος που γίνεται αυτό είναι διότι στην πραγματικότητα καμία παράμετρος δεν μπορεί να θεωρηθεί σταθερή. Συνήθως υπάρχουν περιοδικές μεταβολές στη φύση που επιβάλλουν μια αντίστοιχη ταλάντωση στις παραμέτρους μας. 17

18 1.3 Η περιοδικώς διαταραγμένη λογιστική εξίσωση Στην προηγούμενη ενότητα μελετήσαμε τη λογιστική εξίσωση και εξηγήσαμε πως αποτελεί πολύ πιο ρεαλιστικό μοντέλο από την εξίσωση του Malthus, μέσω συγκεκριμένων παραδειγμάτων. Όλα αυτά έγιναν θεωρώντας πως η παράμετρος του Malthus που συμβολίσαμε με r είναι σταθερή. Στην τρίτη και τελευταία ενότητα αυτού του κεφαλαίου θα τροποποιήσουμε την λογιστική εξίσωση θεωρώντας τη παράμετρο r μεταβλητή. Αυτό θα γίνει με την προσθήκη της τριγωνομετρικής συνάρτησης cos( t) στην εξίσωσή μας r = r0 + a cos t (11) Ισχύει ότι r και a θετικά και επιπλέον ότι r 0 >> a. Έτσι η τροποποιημένη λογιστική εξίσωση γράφεται: x& ( t) = ( r + a cos t) x( t)(1 x( t)) (12) 0 Το ανωτέρω μοντέλο μπορεί να περιγράψει την πληθυσμιακή εξέλιξη ενός οικοσυστήματος στο οποίο παρεμβαίνει ο άνθρωπος θετικά και αρνητικά μαζί. Φανταστείτε για παράδειγμα έναν πληθυσμό άγριων πτηνών τα οποία για ένα χρονικό διάστημα θηρεύονται από κυνηγούς μέχρι ο πληθυσμός τους να φτάσει σε χαμηλά επίπεδα ( αυτή είναι η περίπτωση των αρνητικών τιμών του συνημιτόνου), μετά όμως ο πληθυσμός αυξάνεται και πάλι. Ας εξετάσουμε τώρα πως διαφοροποιούνται οι λύσεις της τροποποιημένης εξίσωσης από αυτές της αρχικής. Η γενική λύση της εξίσωσης (12) εύκολα βρίσκεται ότι είναι : x ( t ) = e e r0 t + a sin t r0 t + a sin t + C (13) Εφαρμόζοντας στην (12) τη γνωστή μέθοδο του χωρισμού μεταβλητών. Ας εξετάσουμε τώρα μερικά γραφήματα της (13) για διάφορες τιμές της παραμέτρου a και της σταθερής ολοκλήρωσης C. Για ευκολία θεωρούμε r 0 = 1 και 1 παρατηρούμε ότι C = 1+. x 0 18

19 ΣΧΗΜΑ 7 Τα γραφήματα των λύσεων για αρχικές συνθήκες x 1 (0) = 0.5, x και 2 (0) = 1.5 a = 0.1. Στα ανωτέρω σχήματα, εκτός από τα γραφήματα παρατηρούμε και το διανυσματικό πεδίο της εξίσωσης (2) (αυτά είναι τα βελάκια). 19

20 Παρατηρούμε στο σχήμα 7 ότι η ευθεία x = 1 αποτελεί οριζόντια ασύμπτωτη των γραφημάτων της (13), δηλαδή ισχύει lim xt ( ) = 1, όπως και στην περίπτωση της t λογιστικής εξίσωσης που εξετάσαμε στην προηγούμενη ενότητα. Με άλλα λόγια το σημείο x = 1 παραμένει ευσταθές σημείο ισορροπίας. Υπάρχει όμως μια διαφορά που γίνεται αισθητή για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου a : Παρατήρηση 1.2 Ο συντελεστής a σχετίζεται με την ταχύτητα που το γράφημα της λύσης x ( t ) τείνει στην οριζόντια ασύμπτωτη x = 1. Για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου a, ο πληθυσμός τείνει πιο αργά στο σημείο x = 1 ενώ για τιμές του a μεγαλύτερες του r 0 παρατηρούμε ότι εμφανίζονται ταλαντώσεις. Ας δούμε το ακόλουθο γράφημα με x (0) = 1.5 και a = 2.0, ( διατηρώντας το r 0 = 1). ΣΧΗΜΑ 8 Αυξάνοντας την τιμή της παραμέτρου στο a = 2, η συνάρτηση x() t τείνει πιο αργά στην μονάδα και μετά από ταλαντώσεις, κάτι που δεν ισχύει για μικρά a, όπως a = 0.1, αφού στην περίπτωση αυτή η επιρροή της συνάρτησης διαταραχής είναι πολύ μικρή ( r = 1.0 ). 0 20

21 Παρατήρηση 1.3 Όπως παρατηρούμε στο Σχήμα 8 υπάρχουν σημεία t = t k, k = 1,2,... στα οποία η λύση (13) φαίνεται να παρουσιάζει ιδιομορφίες, δηλαδή διαφυγή στο άπειρο. Θα δείξουμε ότι κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει στο προβλημά μας. Έστω μια αρχική συνθήκη της εξίσωσης (12), x(0) = x0, με x 0 > 1. Γνωρίζοντας ότι x0 1 C = < 0, για να προκύψουν ιδιομορφίες πρέπει να ικανοποιείται η εξίσωση: x0 t0 + 2sint x0 1 e = 0, ή ισοδύναμα η εξίσωση: x 0 t 1 ln x sint0 = (14) x0 x0 1 Επειδή όμως ισχύει ότι ln < 0, η εξίσωση (14) έχει μόνο αρνητικές ρίζες, x 0 δηλαδή ικανοποιείται μόνο για t 0 < 0, επομένως συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης παρουσιάζουν ιδιομορφίες, μόνο αν θέσουμε t < 0, ενώ για t > 0, δεν έχουμε διαφυγή στο άπειρο. Για να επιτύχουμε ιδιομορφία για θετικό t, 0 θα πρέπει να έχουμε αρνητική αρχική συνθήκη, κάτι που δεν ισχύει στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Ας εξετάσουμε μια συγκεκριμένη περίπτωση: Έστω ότι ισχύει x (0) = 10, τότε προκύπτει ότι C = 0.9. Για να παρουσιαστούν ιδιομορφίες πρέπει να ικανοποιείται η εξίσωση: t0 + 2sint0 = ln0.9. Η λύση της τελευταίας είναι: t 0 = Αντιθέτως, θέτοντας ως αρχική συνθήκη: x (0) = 10 και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία προκύπτει η εξίσωση: t + 2sint = ln1.1. Η 0 0 λύση της τελευταίας είναι: t0 = Βέβαια, για οποιαδήποτε αρχική συνθήκη x (0) > 1 αν ολοκληρώσουμε την (12) πίσω στο χρόνο, για t < 0, θα συναρτήσουμε μια χρονική στιγμή t 0 < 0 που είναι ρίζα της (14). Για το λόγο αυτό παρατηρούνται στο Σχήμα 8 για x > 1 βελάκια που φαίνεται να έρχονται από το άπειρο ( και με μεγάλη αρνητική κλίση). Φυσικά, για 0< x0 < 1, η (14) δεν έχει πραγματικές ρίζες και οι ταλαντώσεις εξελίσσονται ομαλά. Αποδείξαμε λοιπόν ότι, αν και γενικότερα οι λύσεις της εξίσωσης (2) μπορούν να παρουσιάσουν ιδιομορφίες, επειδή όμως για το συγκεκριμένο πρόβλημα προϋποθέτουμε ότι ο χρόνος και οι αρχικές συνθήκες είναι θετικές, δεν μπορούμε να έχουμε ιδιομορφίες. 21

22 Πριν ολοκληρώσουμε το παρόν κεφάλαιο, αξίζει να εξετάσουμε ένα σύστημα του οποίου η περιοδική διαταραχή είναι προσθετική: & (15) x() t = axt ()(1 xt ()) h(1+ sin(2 π t)) Με ah, θετικές παραμέτρους. Η εξίσωση (15) περιγράφει την εξέλιξη θηραμάτων (π.χ. ψαριών) που αλιεύονται από διάφορους θηρευτές με τρόπο περιοδικό κατά την περίοδο διάφορων εποχών του έτους. Παρατηρούμε ότι στη περίπτωση αυτή ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού επηρεάζεται μόνο αρνητικά από την περιοδική συνάρτηση διαταραχής. Για την εξίσωση (15), αν και δεν μπορούμε να βρούμε μια αναλυτική λύση όπως πριν, μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι η λύση του x(), t που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη x (0) = 1, οδηγεί σε περιοδικές συναρτήσεις. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το γράφημά της, όπως θα δούμε παρακάτω, να συμπεριφέρεται ταλαντωτικά. Ακολουθώντας την προσεγγιστική θεωρία διαταραχών, αφού 0< h << 1, θεωρούμε ότι η λύση μας μπορεί να γραφεί υπό την μορφή σειράς δυνάμεων του h : xt ( ) = x( t) + hx( t) + hx( t) (16) όπου για να ικανοποιήσουμε την αρχική συνθήκη θέτουμε x (0) = 1 και x i (0) = 0, i = 1,2,.... Υποθέτοντας ότι οι όροι xk () t στην (16) είναι φραγμένοι για όλα τα k =1,2,..., από κάποιο M > 0, μπορούμε να δείξουμε ότι η σειρά (16) θα συγκλίνει για h M. Αν προσπαθήσουμε λοιπόν να προσεγγίσουμε την λύση μας κρατώντας μόνο τους δυο πρώτους όρους στην (5), δηλαδή x() t = 1 + hx ( t), οπότε 1 αντικαθιστώντας στο σύστημα (15) προκύπτει η ακόλουθη γραμμική Σ.Δ.Ε..: x& () t + ax () t = (1+ sin(2 πt)), (17) 1 1 κρατώντας μέχρι όρους τάξης ότι : h. Λύνοντας την (6), με x (0) 0 1 =, εύκολα προκύπτει 1 2π at 1 1 x1 ( t) = ( ) e + (2π cos(2 πt) + asin(2 π t)) (18) a a + 4π a a + 4π Παρατηρώντας την ανωτέρω λύση, είναι φανερό ότι η λύση x() t περιέχει περιοδικές συναρτήσεις και όρους που τείνουν στο μηδέν καθώς t. Επομένως, τείνει τελικά προς μια ευσταθή περιοδική τροχιά xˆ ε () t γράφεται μέχρι όρους τάξης h : h h xˆ ε () t = 1+ lim[ hx1 ()] t = 1 + [2π cos(2 πt) + asin(2 πt)] t 2 2 a a + 4π Λόγω των ανωτέρω προκύπτουν ( βλ. Σχήμα 11) τα γραφήματα των αναλυτικών λύσεων της (15), όταν a = 5.0 και h = 0.8. Πρώτα όμως, θα υπολογίσουμε την ευσταθή περιοδική λύση της (15) αριθμητικά. 22

23 ΣΧΗΜΑ 9 Εδώ παρατηρούμε τα γραφήματα των λύσεων της (15), οι οποίες προέκυψαν με αριθμητική ολοκλήρωση, για διάφορες αρχικές συνθήκες που δείχνουν να τείνουν ασυμπτωτικά προς την ευσταθή περιοδική λύση, ( εδώ h = 0.8 και a = 5.0 ). Τα ως άνω αποτελέσματα αντιστοιχούν σε λύσεις που αποτελούν συνέχιση της λύσης ευσταθούς ισορροπίας x = 1 της περίπτωσης h = 0. Αν ξεκινήσουμε όμως με λύσεις που συνεχίζονται από το x = 0 σημείο ισορροπίας θέτουμε x() t = 0 + hx1 () t και αντικαθιστώντας την στην αρχική μας εξίσωση παίρνουμε: x& () t = ax () t (1+ sin(2 πt)) 1 1 θεωρώντας x (0) = x 1 (0) = A. Έτσι προκύπτει μια νέα μορφή λύσεων της εξίσωσης που εκφράζεται μέσω του τύπου: at 1 2π a x1 ( t) = ce + + cos(2 πt) + sin(2 πt) a 4π + a 4π + a A 1 2π Λαμβάνοντας υπόψη την αρχική συνθήκη προκύπτει ότι c = ( + ) 2 2 h a 4π + a. τα ως άνω συμπεραίνουμε ότι για c = 0 έχουμε την ασταθή περιοδική λύση: h 2π h ah xˆ a () t = hx1 () t = + cos(2 πt) + sin(2 πt) a 4π + a 4π + a Από (19) 23

24 Το αποτέλεσμα αυτό φανερώνει ότι η εξίσωση (15) έχει και ασταθή περιοδική λύση (19) με περίοδο T = 1, η οποία απωθεί καθώς t, όλες τις άλλες τροχιές του συστήματος. Την ύπαρξη περιοδικών λύσεων δυναμικών συστημάτων συνεχούς χρόνου μπορούμε να την εξετάσουμε και μέσω της γνωστής απεικόνισης Poincare. Πιο συγκεκριμένα, για την απεικόνιση αυτή, x 1 = px ( ) ισχύει ότι κάθε απλή περιοδική λύση του n+ n συνεχούς συστήματος ανάγεται σε σημείο ισορροπίας της pˆ( x0) = x 0. Δηλαδή, επιλύοντας την εξίσωση p( x0) = x0 μπορούμε να βρούμε συγκεκριμένες περιοδικές τροχιές και στη συνέχεια με γραμμική ανάλυση γύρω από τα σημεία αυτά μπορούμε να συμπεράνουμε αν έχουμε ευσταθή ή ασταθή περιοδική τροχιά. Δυστυχώς όμως ο υπολογισμός της απεικόνισης αυτής αναλυτικά είναι δύσκολος. Από την άλλη πλευρά, όταν πρόκειται για Σ.Δ.Ε. μιας μεταβλητής μπορούμε να βγάλουμε σημαντικά συμπεράσματα για την p( x 0) εργαζόμενοι με την διαφορική εξίσωση (15) ως εξής (βλ. Hirsch, Smale και Devorney): Ως εναλλακτικό ορισμό ενός δυναμικού συστήματος που ικανοποιεί μια Σ.Δ.Ε. της μορφής (15) και μια αρχική συνθήκη x(0) = x0, ορίζουμε την ροή : φ : ως εξής: φ(, tx0) x, για x 0 σταθερό. Έτσι μια εξίσωση της μορφής x& = f(, t x), μέσω ολοκλήρωσης των δυο μερών της γράφεται στη μορφή: t x() t = φ(, t x ) = x + f(, s φ(, s x )) ds (20) όπου, f (, tx) = ax(1 x) h(1+ sin(2 πt)) ϕ(, tx0) Εφόσον ισχύει ότι = f (, t ϕ(, t x0)) t την (20) ως προς x, προκύπτει: 0 και φ (0, x0) = x 0, τότε παραγωγίζοντας t f ϕ 0 = + φ ϕ (, tx) 1 (, s (, sx)) (, sx) ds x x x φ Θέτοντας τώρα zt () = (, tx0 ), ισχύει προφανώς z (0) = 1. Η πρώτη παράγωγος της x0 zt () ως προς t είναι: t f f z () t = (, t φ(, t x0 )) z() t zt ( ) = exp[ ( s, φ( sx, 0)) ds] x x 0 T φ f Κατά συνέπεια ισχύει: ( T, x0) = exp[ (, s φ(, s x0)) ds] x 0 x 0 0 Επειδή όμως p( x0) = φ( T, x 0 ), η πρώτη παράγωγος της απεικόνισης Poincare ως προς x 0 είναι: T f ( s, φ ( s, x0 )) ds x 0 0 p ( x ) = e >

25 Το πρώτο μας συμπέρασμα λοιπόν είναι ότι η συγκεκριμένη απεικόνιση είναι γνησίως αύξουσα ως προς x 0. Η δεύτερη παράγωγος της απεικόνισης Poincare είναι: s f T 2 ( u, φ ( u, x0 )) du f x = 0 φ 2 0 x 0 0 p ( x ) p ( x )( ( s, ( s, x )) e ) ds 2 f Επειδή = 2a < 0 και p ( x συμπεραίνουμε ότι 2 0) > 0 p ( x0 ) < 0. Κατά συνέπεια x0 η απεικόνιση p( x 0) είναι αύξουσα και κοίλη. Από τα ανωτέρω προκύπτει ένα πολύ βασικό συμπέρασμα: Λόγω της γεωμετρικής μορφής της p( x 0), η εξίσωση p( x0) = x0 έχει το πολύ δυο λύσεις. Επομένως η απεικόνιση Poincare έχει το πολύ δυο σημεία ισορροπίας και κατά συνέπεια η εξίσωση (4) έχει το πολύ δυο απλές περιοδικές λύσεις. Γνωρίζουμε ήδη από τα ανωτέρω σχήματα ότι η περιοδική τροχιά που εξελίσσεται σε μια περιοχή του σημείου x = 1 είναι ευσταθής, ενώ υπάρχει και η δεύτερη περιοδική τροχιά που είναι ασταθής. Αυτό φαίνεται και από τo ακόλουθo σχήμα όπου παρατηρούμε λύσεις της εξίσωσης (5) για a = 5.0 και h = 0.8. ΣΧΗΜΑ 10 Από τo ανωτέρω σχήμα, το οποίο προέκυψε με αριθμητική ολοκλήρωση προκύπτει το συμπέρασμα ότι η δεύτερη περιοδική τροχιά, xˆ a () t είναι ασταθής, καθώς για αρχικές συνθήκες με πολύ μικρή απόκλιση μεταξύ τους, άλλες τροχιές απωθούνται και τείνουν προς την ευσταθή λύση (μπλε χρώμα), ενώ άλλες μηδενίζονται ( κόκκινο χρώμα). 25

26 Παρατήρηση 1.4 Θα συγκρίνουμε τα γραφήματα της αναλυτικής λύσης (18) της εξίσωσης (15) με την λύση που προκύπτει με αριθμητική ολοκλήρωση για h = 0.1, a = 5.0 και αρχική συνθήκη x (0) = 1. ΣΧΗΜΑ 11 Παρατηρούμε στο ανωτέρω σχήμα την αριθμητική λύση (μπλε χρώμα) και την αναλυτική λύση (18) ( κόκκινο χρώμα). Ισχύει ότι h = 0.1, a = 5.0 και x (0) = 1. Παρατηρούμε ότι τόσο η αριθμητική, όσο και η αναλυτική λύση παρουσιάζουν παρόμοια (περιοδική) συμπεριφορά. Επομένως τα αριθμητικά αποτελέσματα συμφωνούν με τα αναλυτικά. Είναι προφανές πως για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου h η αναλυτική λύση δεν προσεγγίζει τόσο ικανοποιητικά την αντίστοιχη αριθμητική. Ας δούμε πως διαφοροποιούνται τα ανωτέρω αποτελέσματα αν θέσουμε h =

27 ΣΧΗΜΑ 12 Παρατηρούμε στο ανωτέρω σχήμα την αριθμητική λύση (μπλε χρώμα) και την αναλυτική λύση (18) ( κόκκινο χρώμα). Ισχύει ότι h = 0.8, a = 5.0 και x (0) = 1. Παρατηρούμε ότι η αριθμητική και αναλυτική λύση αποκλίνουν περισσότερο σε σχέση με το προηγούμενο σχήμα, αυτό οφείλεται στο ότι αυξήσαμε την τιμή της παραμέτρου h από 0.1 σε

28 Παρατήρηση 1.5 Ισχύει ότι f = (1 + sin(2 πt) 0, όπου f (, tx) = ax(1 x) h(1+ sin(2 πt)). Είναι h προφανές λοιπόν, πως όσο η παράμετρος h παίρνει μεγαλύτερες τιμές, τόσο οι κλίσεις του διανυσματικού πεδίου μειώνονται προς τα αρνητικά. Επομένως, υπάρχει μια μοναδική τιμή της παραμέτρου h, έστω h, για την οποία η απεικόνιση Poincare έχει ακριβώς ένα σταθερό σημείο. Για h> h, η απεικόνιση p δεν έχει κανένα σημείο ισορροπίας και ισχύει p( x0) < x0 για κάθε αρχική συνθήκη. Θα εξετάσουμε αρχικά με την βοήθεια του υπολογιστή, για διάφορες τιμές της παραμέτρου h,την συμπεριφορά της ευσταθούς περιοδικής τροχιάς της εξίσωσης (15). Θέτουμε ως αρχική συνθήκη x (0) = 1.0 και a = 5.0. Τα ακόλουθα σχήματα προκύπτουν με αριθμητική ολοκλήρωση. ΣΧΗΜΑ 12 Παρατηρούμε ότι όταν h = 1.1, a = 5.0 και x (0) = 1.0 η ευσταθής περιοδική τροχιά διατηρείται. Τα πράγματα αλλάζουν για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου h. 28

29 ΣΧΗΜΑ 13 Σύμφωνα με το ανωτέρω σχήμα δεν υφίσταται πλέον περιοδική τροχιά καθώς η τιμή της παραμέτρου μας είναι h 0 = 1.2 (ισχύει ότι a = 5.0 ). Παρατηρούμε ότι η τροχιά μας μηδενίζεται για πεπερασμένο. t 0 Στη συνέχεια, με την βοήθεια της απεικόνισης Poincare θα εξετάσουμε την συμπεριφορά της περιοδικής τροχιάς για περισσότερες τιμές της παραμέτρου. h 29

30 ΣΧΗΜΑ 14 Παρατηρούμε από την ανωτέρω τομή Poincare ( ισχύει πάντα ότι x (0) = 1) ότι η ευσταθής περιοδική τροχιά υπάρχει μέχρις ότου η παράμετρος h πάρει την τιμή h0 1.1 ( μπλε κύκλοι). Για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου δεν υφίσταται πλέον περιοδική τροχιά ( κόκκινοι κύκλοι). Είναι προφανές λοιπόν πως εδώ παρατηρούμε διακλάδωση της μορφής σάγματος-κόμβου. Για να προσδιορίσουμε την ασταθή περιοδική τροχιά θέτουμε (15) μετασχηματίζεται στο ακόλουθο: t t. Το σύστημα x& () t = ax()(1 t x()) t + h(1 sin(2 πt)) (21) Η ευσταθής περιοδική τροχιά του (21) αποτελεί την αντίστοιχη ασταθή του συστήματος (15). Για να επιβεβαιώσουμε τα ανωτέρω συμπεράσματα θα προσθέσουμε το διάγραμμα διακλάδωσης της εξίσωσης (15), το οποίο προκύπτει καθώς η παράμετρος h μεταβάλλεται. 30

31 ΣΧΗΜΑ Σύμφωνα με το παρόν διάγραμμα διακλάδωσης, η ευσταθής περιοδική τροχιά ( μπλε χρώμα) υφίσταται και για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου h, το ίδιο ισχύει και για την ασταθή περιοδική τροχιά (κόκκινο χρώμα). Το σημείο διακλάδωσης προσδιορίζεται με μεγαλύτερη ακρίβεια, είναι h = Για μεγαλύτερες τιμές δεν υφίσταται περιοδική τροχιά. Πρόκειται λοιπόν για διακλάδωση σάγματος-κόμβου. Παρατήρηση 1.6 Αξίζει να ολοκληρώσουμε το παρόν κεφάλαιο υπολογίζοντας την αναλυτική λύση 2 2 της εξίσωσης (15) μέχρι όρους h. Θέτουμε λοιπόν x() t = 1 + hx1() t + h x2() t και αντικαθιστούμε την τελευταία σχέση στην εξίσωση (15). Απαλείφοντας όρους 2 μεγαλύτερους του h προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: Για όρους τάξης h : Προκύπτει η εξίσωση (17) η λύση της οποίας είναι η (18). Για όρους τάξης 2 h : Προκύπτει η εξίσωση: x& () t + ax () t = ax () t (22)

32 Γνωρίζουμε ότι ισχύει: 1 2π at 1 1 x1 ( t) = ( ) e + (2π cos(2 πt) + asin(2 πt)), a a + 4π a a + 4π x (0) 0 2 και 1 2π θέτουμε πάλι a = 5.0, όμως επειδή ο όρος at x1 () t = ( e 2 2 a a + 4π θεωρείται αμελιταίος μιας και φθίνει πολύ γρήγορα στο μηδέν, αντικαθιστούμε στο δεξί μέρος 1 1 της (22) την x1() t = li 1() (2 cos(2 ) sin(2 2 2 t m x t = + π πt + a πt)). a a + 4π Υπό αυτή την συνθήκη, η λύση της (22) που ικανοποιεί την δοθείσα αρχική συνθήκη είναι: e ( e 35000π π e 8800π π e 512π 5t 5t 2 2 5t 4 4 5t 6 6 5t 5t 5t 2 5t 2 5t 512π e 15625e cos(4 πt) 7500e π cos(4 πt) 62500e sin(2 πt) 50000π e sin(2 πt) 4 5t 3 5t 6400π e sin(2 πt) π e sin(4 πt)) x2() t = ( π ) ( π ) Θέλοντας να εστιάσουμε στην λύση που περιγράφει αυστηρά την περιοδική τροχιά της αναλυτικής λύσης βρίσκουμε το όριο της x () 2 t για t. Αυτό είναι το ακόλουθο: π π 512π 15625cos(4 π ) 7500π cos(4 π ) 62500sin(2 π ) t t t 250(25+ 4 π ) ( π ) π sin(2 π ) 6400π sin(2 π ) π sin(4 π ) 2() = x t t t t (1) Λαμβάνοντας υπόψη την ανωτέρω σχέση, θέτουμε x () t = 1 + hx 1 () t την 2 αναλυτική λύση μέχρι όρους τάξης h και (2) x () t = 1+ hx1() t + h x2() t την αναλυτική 2 λύση μέχρι όρους τάξης h. Θα ολοκληρώσουμε τις παρατηρήσεις μας συγκρίνοντας τα γραφήματα των λύσεων xh () t και x 2 ( t) για h = 0.1.Πρώτα όμως θα εξετάσουμε h πόσο επηρεάζει η προσθήκη του όρου hx 2 () t 2 την αναλυτική λύση x (1) () t, όταν hx 2 h = 0.1. Γι αυτό το λόγο αξίζει να δούμε το ακόλουθο γράφημα της () t 2. 32

33 ΣΧΗΜΑ Η περιοδική λύση hx 2 () t 2 για h = 0.1, παρουσιάζει εξαιρετικά μικρές ταλαντώσεις. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τα γραφήματα των δυο αναλυτικών λύσεων x (1) () t και x (2) () t δεν θα έχουν καμία διαφορά. 33

34 ΣΧΗΜΑ Παρατηρούμε ότι τα γραφήματα των δυο αναλυτικών λύσεων είναι ουσιαστικά 2 πανομοιότυπα. Αυτό οφείλεται στο γεγο τι η hx νός ό () t 2 παρουσιάζει μηδενικό πλάτος ταλάντωσης και ακόμα στο ότι η x (1) () t αποτελεί πολύ καλή προσέγγιση της αριθμητικής λύσης όπως είδαμε στο σχήμα

35 Σε αυτό το σημείο ολοκληρώσαμε το πρώτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας. Στα πλαίσια αυτού του κεφαλαίου μελετήσαμε δυο πολύ βασικά μοντέλα εξέλιξης πληθυσμών και καταλήξαμε σε ενδιαφέροντα συμπεράσματα μέσω παραδειγμάτων. Στα επόμενα κεφάλαια θα μελετήσουμε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων, το οποίο έχει εφαρμογή σε οικοσυστήματα στα οποία δυο ή περισσότερα βιολογικά είδη αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Βασικό εργαλείο για την μελέτη που θα κάνουμε στη συνέχεια είναι το σύστημα διαφορικών εξισώσεων Lotka-Volterra. 35

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΔΥΟ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΩΝΤΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ LOTKA- VOLTERRA 2.1 Σύντομη βιογραφία των δημιουργών του συστήματος A) Alfred James Lotka Alfred James Lotka Ο Alfred James Lotka, γεννήθηκε στις 2 Μαρτίου του 1880 στο Lemberg της τότε Αυστροουγγαρίας, (σημερινό Lviv της Ουκρανίας) από Αμερικανούς γονείς. Έλαβε διεθνή μόρφωση, ( Αγγλία, Γαλλία, Γερμανία) συμπεριλαμβανομένου ενός πτυχίου θετικών επιστημών (bachelor of science) από το Πανεπιστήμιο του Birmingham στην Αγγλία το Ανάλωσε τέλος ένα χρόνο σπουδάζοντας Χημεία στο πανεπιστήμιο Leipzig. Νυμφεύτηκε το 1935 την Romola Beattie, αλλά χωρίς να αποκτήσουν παιδιά. Απεβίωσε στις 5 Δεκεμβρίου του Στην διάρκεια της ζωής του εργάστηκε ως μαθηματικός, αλλά και ως φυσικοχημικός και επιπλέον στατιστικολόγος. Έγινε διάσημος στον χώρο του για την ερευνά του πάνω στην δυναμική πληθυσμών. Άνθρωπος δραστήριος, ήταν εκδότης στο Scientific American Supplement από το 1911 εώς το Στη συνέχεια έγινε μέλος του γνωστού πανεπιστημίου Johns Hopkins αλλά μόνο για δυο χρόνια, από το 1922 εώς το Τέλος, εργάστηκε ως στατιστικολόγος στην Metropolitan Life, μια ασφαλιστική εταιρία, στην Νέα Υόρκη, από το 1924 μέχρι να πάρει σύνταξη. Κατά την διάρκεια της παραμονής στο Johns Hopkins ολοκλήρωσε το βιβλίο του Elements of Physical Biology (1924) στο οποίο διεύρυνε τις εργασίες που ήδη είχαν ξεκινήσει οι Pierre Verhulst και Vito Voltera. 36

37 Έγινε ακόμα γνωστός και για το περίφημο σύστημα διαφορικών εξισώσεων Lotka- Volterra, το οποίο θα μελετήσουμε εκτενέστερα σε αυτή την εργασία, ως αφετηρία των δικών μας επεκτάσεων. Τέλος, σημαντικές διακρίσεις που έλαβε στην ζωή του ήταν οι ακόλουθες: 1) Διατέλεσε πρόεδρος του Population Association of America, για ένα χρόνο, από το 1938 έως το ) Εξελέγη πρόεδρος του American Statistical Association το B) Vito Volterra Vito Volterra Ο Vito Volterra γεννήθηκε στην Ancona της Ιταλίας στις 3 Μαΐου του 1860 από πολύ φτωχούς Εβραίους γονείς. Σπούδασε στο Πανεπιστήμιο της Pisa, όπου φάνηκε από πολύ νωρίς η κλίση που είχε στα μαθηματικά. Στο ίδιο πανεπιστήμιο μάλιστα έγινε καθηγητής μόλις το 1983 σε ηλικία 23 ετών. Αυτό του έδωσε την ευκαιρία να δουλέψει πάνω στις ολοκληρωτικές και ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις. Το έργο του πάνω σε αυτό τον τομέα των Μαθηματικών συγκεντρώθηκε στο βιβλίο που δημοσίευσε το 1930 με τίτλο Theory of Functionals and of Integral and of Integro-Differential Equations. Επιπλέον, το 1892 έγινε Καθηγητής Μηχανικής στο Πανεπιστήμιο του Τορίνο και το 1900 κέρδισε τη θέση του Καθηγητή Μαθηματικής Φυσικής στο πανεπιστήμιο Rome La Sapienza. Κατά την διάρκεια του πρώτου παγκόσμιου πολέμου βοήθησε τον ιταλικό στρατό δουλεύοντας πάνω στην κατασκευή αεροσκαφών υπό την εποπτεία του Jiulio Douhet. Μετά τον πρώτο παγκόσμιο πόλεμο, ο Volterra έστρεψε το ενδιαφέρον του στην εφαρμογή μαθηματικών μεθόδων στον τομέα της Βιολογίας. Αυτός ήταν ο λόγος που αρχικά μελέτησε τα έργα του Pierre Verhulst και στη συνέχεια έκανε περαιτέρω μελέτη βασιζόμενος πάνω σε αυτά. Από τα έργα του που ξεχωρίζουν και τον κατέστησαν γνωστό στον τομέα αυτό ήταν το σύστημα διαφορικών εξισώσεων που φέρει ( και ) το όνομα του. 37

38 Αναφερόμαστε στο διάσημο σύστημα Lotka-Volterra, ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει την εξέλιξη των πληθυσμών δυο διαφορετικών ειδών, που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Το σύστημα αυτό είναι επίσης γνωστό ως σύστημα κυνηγού-θηράματος (prey predator system). Πριν το ξέσπασμα του δευτέρου παγκοσμίου πολέμου και επειδή τα φρονήματα του ήταν αντίθετα με το φασιστικό ιταλικό καθεστώς, αρνήθηκε να ορκιστεί υποταγή στην κυβέρνηση Mussolini και κατά συνέπεια αναγκάστηκε να παραιτηθεί από το πανεπιστήμιο στο οποίο εργαζόταν αλλά και από διάφορες άλλες επιστημονικές Ακαδημίες στις οποίες ήταν μέλος και να φύγει από την Ιταλία για αρκετά χρόνια. Ωστόσο επέστρεψε στην Ρώμη λίγο πριν πεθάνει. Απεβίωσε στις 11 Οκτωβρίου του

39 2.2 Το σύστημα διαφορικών εξισώσεων Lotka-Volterra Οι εξισώσεις Lotka-Volterra, οι οποίες είναι επίσης γνωστές ως εξισώσεις θηράματος κυνηγού (prey-predator), είναι ένα ζεύγος μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, πρώτης τάξης, οι οποίες χρησιμοποιούνται με σκοπό να περιγράψουμε την εξέλιξη των πληθυσμών δυο διαφορετικών βιολογικών ειδών που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Πιο συγκεκριμένα, το ένα είδος που ονομάζεται κυνηγοί (τα αρπακτικά) επιβιώνει σε βάρος του άλλου, αυτό που αποτελεί το θήραμα. Το σύστημα αυτό μελετήθηκε ξεχωριστά από τον Alfred James Lotka το 1925 και από τον Vito Volterra ένα χρόνο αργότερα και αυτός είναι ο λόγος που το σύστημα φέρει τα ονόματά τους. Οι εξισώσεις Lotka-Volterra γράφονται αρχικά στη μορφή: x& () t = axt () xt () yt () (1 α ) yt &() = cyt () + xt () yt () (1β) Όπου : Α) x( t) είναι ο πληθυσμός των θηραμάτων που εξελίσσεται συναρτήσει του χρόνου t, ενώ x& () t είναι ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού των θηραμάτων ανά μονάδα χρόνου. Β) y( t ) είναι ο πληθυσμός των κυνηγών που ζει εις βάρος των θηραμάτων, ενώ y& () t παριστάνει τον ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού των κυνηγών. Γ) Οι παράμετροι ac, είναι θετικές και παριστάνουν, αντιστοίχως, τον ρυθμό αύξησης των θηραμάτων όταν απουσιάζουν οι κυνηγοί και τον ρυθμό θανάτου των κυνηγών αν δεν υπήρχαν τα θηράματα. Πριν προχωρήσουμε σε περισσότερα σχόλια σχετικά με το σύστημα (1) θα πρέπει να τονίσουμε τα ακόλουθα: 1) Ο όρος ax() t στην (1 α ) δηλώνει ότι τα θηράματα έχουν ατελείωτα αποθέματα τροφής και για αυτό το λόγο ο πληθυσμός τους, αν δεν υπήρχαν οι κυνηγοί, αυξάνεται εκθετικά. 2) Από την άλλη πλευρά, ο ρυθμός εξόντωσης των θηραμάτων είναι ανάλογος του ρυθμού με τον οποίο θηράματα και κυνηγοί συναντιούνται, όπως φαίνεται από τον όρο x() t y() t στην (1 α ). 3) Στην εξίσωση (1β), ο όρος cy() t δηλώνει τον εκθετικό θάνατο του υπάρχοντος αριθμού των κυνηγών αν δεν βρουν τροφή. 4) Τέλος, ο όρος + x ( t) y( t) στην (1β) δηλώνει την αύξηση του πληθυσμού των κυνηγών όταν αυτοί αλληλεπιδρούν με τα θηράματα και είναι ίδιος (με αντίθετο πρόσημο) με τον ρυθμό μείωσης των θηραμάτων. Στη συνέχεια θα προχωρήσουμε στη μελέτη της δυναμικής του συστήματος (1). Σε αυτή την περίπτωση, ως γνωστό, είναι η σημαντική η εύρεση και μελέτη ευστάθειας των σημείων ισορροπίας του συστήματος μας. Αυτά προκύπτουν από την επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων. x ( a y ) = 0 y ( c + x ) = 0 (2) 39

40 Τα σημεία που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: ( x, y ) = {(0,0),( c, a )} (3) Το επόμενο βήμα είναι να γραμμικοποιήσουμε το σύστημα μας γύρω από τα σημεία αυτά, για να μελετήσουμε την ευστάθειά τους. Στην προσπάθεια αυτή η χρήση του Ιακωβιανού πίνακα είναι απαραίτητη.τα στοιχεία του εν λόγω πίνακα είναι οι μερικές παράγωγοι του διαν υσματικού πεδίου : r f ( x, y) = ( ax xy, cy + xy) (4) Έτσι, πίνακας που προκύπτει είναι ο εξής: a y x y c + x (5) Οι ιδιοτιμές που προκύπτουν για το ση μείο (0,0) είναι λ 1 = a και λ 2 = c. Επομένως, το σημείο (0,0) είναι σαγματικό. Για το δεύτερο σημείο ( c, a ), οι ιδιοτιμές που προκύπτουν είναι καθαρά φανταστικές και συγκεκριμένα είναι λ =± Επομένως η προσθήκη των μη γραμμικών όρων 1,2 i ca. ( x y, xy) δεν μας επιτρέπει να εξαγάγουμε άμεσα συμπεράσματα. Όμως εδώ τα πράγματα είναι αρκετά απλά, επειδή διαθέτουμε για το δοθέν σύστημα ένα ολοκλήρωμα της κίνησης F( xy, ) = K, όπου K σταθερά ολοκλήρωσης. Πιο συγκεκριμένα το αρχικό μας σύστημα με απαλοιφή του χρόνου ανάγεται στην ακόλουθη Σ.Δ.Ε.: d y c y + x y = (6) d x a x x y Από την (6) με χωρισμό μεταβλητών προκύπτει η σχέση : ( a y) ( c + x) a c dy = dx a ln y y = c ln x + x + K1 ln( y x ) = x + y + K1, y x με K 1 σταθερά ολοκλήρωσης. Από την ως άνω σχέση προκύπτει εύκολα το ολοκλήρωμα της κίνησης: a c x y y x = Ke +, (7) K1 με K = e πραγματική θετική σταθερά, που προσδιορίζεται από τις εκάστοτε αρχικές συνθήκες του προβλήματος.. Επομένως, τα σημεία ισορροπίας (0,0) και ( c, a ) είναι σάγμα και κέντρο αντιστοίχως. Ο χαρακτήρας τους δε, λόγω του ολοκληρώματος (7) είναι ολικός και όχι τοπικός. Θα παρουσιάσουμε τώρα ορισμένες ολοκληρωτικές καμπύλες που προκύπτουν από το ολο κλήρωμα (7) για διάφορες τιμές της παραμέτρου K. 40

41 ΣΧΗΜΑ 18 Ολοκληρωτικές καμπύλες του ολοκληρώματος (7) για διάφορες τιμές της παραμέτρου K. Παρατηρούμε εδώ πως το κέντρο διατηρεί την ιδιότητα του, παρά την προσθήκη των μη γραμμικών όρων. Εδώ παρουσιάζο υμε τα γραφήματα των λύσεων ( x( t), y( t )) για τις ( x, y ) = (2.0,2.0) αρχικές συνθήκες και για a = c=