ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΙΚΗΣ ΙΑΣΤΡΟΦΗΣ ΥΠΕΡΕΥΡΥΓΩΝΙΩΝ ΦΑΚΩΝ ΑΠΟ ΛΗΨΕΙΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΙΚΗΣ ΙΑΣΤΡΟΦΗΣ ΥΠΕΡΕΥΡΥΓΩΝΙΩΝ ΦΑΚΩΝ ΑΠΟ ΛΗΨΕΙΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΙΚΗΣ ΙΑΣΤΡΟΦΗΣ ΥΠΕΡΕΥΡΥΓΩΝΙΩΝ ΦΑΚΩΝ ΑΠΟ ΛΗΨΕΙΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΟΥΝΤΡΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ 1998

2 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Γεώργιο Καρρά, Λέκτορα Ε.Μ.Π. για την ανάθεση και επίβλεψη του θέµατος, την παροχή βιβλιογραφίας και τις χρήσιµες υποδείξεις του κατά την διάρκεια εκπόνησης της εργασίας. Επίσης τον κ. Νίκο Τζελέπη για την ευγενή παραχώρηση του αλγορίθµου µετατροπής αρχείου µορφής TIF σε ASCII αλλά και ASCII σε TIF. Ιδιαίτερα πολύτιµη ήταν και η βοήθεια του διαχειριστή του Κέντρου Γεωπληροφορικής, κ. Σταµάτη Αντωνάκου, κατά την εκπόνηση και παρουσίαση της εργασίας. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς µου για την αµέριστη συµπαράσταση τους, υλική και κυρίως ηθική, την κ. Αθανασία Μαρτζάκλη, φιλόλογο, για τις συµβουλές και διορθώσεις της και τον συνάδελφο κ. Μιχάλη Παναγιωτάκη για την βοήθεια του στην εκτύπωση της εργασίας.

3 Στόχος και διάρθρωση εργασίας Στόχος της διπλωµατικής εργασίας είναι η δηµιουργία µοντέλου περιγραφής των συστηµατικών, µη γραµµικών, σφαλµάτων που εµφανίζονται σε µη-µετρητικές µηχανές επιγείων λήψεων. Η µεθοδολογία βασίζεται στην προβολική αρχή ότι η εικόνα ευθείας του χώρου οφείλει να απεικονίζεται σαν ευθεία και στην εικόνα. Ο υπολογισµός των σφαλµάτων στηρίχτηκε στην απόκλιση των ευθειών από την γραµµικότητα. Η τεχνική έκθεση που ακολουθεί χωρίζεται σε τρία µέρη. Το πρώτο µέρος περιλαµβάνει το θεωρητικό υπόβαθρο της εργασίας. Στο επόµενο µέρος επιχειρείται µια παρουσίαση των δυνατοτήτων του λογισµικού που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της εργασίας ενώ στο τρίτο µέρος παρατίθεται η εφαρµογή της µεθόδου σε τρεις υπερευρυγώνιους φακούς του εµπορίου. Η τεχνική έκθεση ολοκληρώνεται µε τα τρία παραρτήµατα του αφινικού µετασχηµατισµού, των ηµισφαιρικών φακών και τµήµατος του αλγορίθµου του προγράµµατος.

4 Πίνακας Περιεχοµένων Μέρος Α. Θεωρητικό υπόβαθρο 1.1 Επίγεια Φωτογραµµετρία και οι εφαρµογές της Κατηγορίες αναλογικών φωτογραφικών µηχανών επίγειων λήψεων Μετρητικές και ηµιµετρητικές µηχανές Μη-µετρητικές µηχανές Ο Εσωτερικός προσανατολισµός της εικόνας Ακτινική διαστροφή Η Ακτινική διαστροφή σαν φυσικό µέγεθος Οπτική και φωτογραµµετρική διαστροφή Κατηγορίες παραµόρφωσης διαστροφής Η βαθµονόµηση της ακτινικής διαστροφής Προσδιορισµός της ακτινικής διαστροφής Προσαρµογή ευθείας σε καµπύλη Μέτρηση και παρεµβολή ευθείας στην εικόνα Αλγόριθµοι προσαρµογής εξίσωσης ευθείας στο επίπεδο Αφινικός ή οµοπαράλληλος µετασχηµατισµός Μέθοδος γενικής συνόρθωσης 19 Μέρος Β. Λογισµικό διπλωµατικής 2.1 Το πρόγραµµα Προϋποθέσεις λειτουργίας του προγράµµατος Γλώσσα προγραµµατισµού Βασική οθόνη του προγράµµατος Κατάλογοι, υποκατάλογοι και εντολές Κατάλογος «ιόρθωση» Κατάλογος «Επεξεργασία» Κατάλογος «Μετατροπή» Κατάλογος «Μετασχηµατισµός» Κατάλογος «Συνόρθωση» Κατάλογος «Βαθµονόµηση» Κατάλογος «Γράφηµα» Κατάλογος «Πληροφορίες» Κατάλογος «Προβολή βίντεο» Εγκατάσταση προγράµµατος 53 Μέρος Γ. Εφαρµογές µεθόδου 3.1 ιερεύνηση µεθόδου Πρώτη εφαρµογή - Φακός Tokina εύτερη εφαρµογή - Φακός Tamron Τρίτη εφαρµογή - Φακός Soligor Σχετικός προσανατολισµός Αναλυτική εφαρµογή 191

5 3.7 Τελικά συµπεράσµατα 202 Παραρτήµατα Παράρτηµα 1 - Θεωρητική προσέγγιση Αφινικού Μετασχηµατισµού 203 Παράρτηµα 2 - Παρουσίαση ηµισφαιρικών φακών 209 Παράρτηµα 3 - Αλγόριθµος διόρθωσης Ακτινικής διαστροφής σε αρχείο DXF 214 Βιβλιογραφία 238

6 Εισαγωγικό Σηµείωµα Σκεπτόµενοι την Φωτογραµµετρία και τα πεδία εφαρµογής της ανατρέχουµε συνήθως σε λήψεις από αεροπλάνα, δορυφόρους και γενικά λήψεις από µεγάλες αποστάσεις. Ένας σηµαντικός, όµως, αριθµός εφαρµογών σχετίζεται µε λήψεις από µικρές αποστάσεις (<50 m) που αποτελούν αντικείµενο της Φωτογραµµετρίας «µικρών αποστάσεων» (Close-range Photogrammetry). Η Φωτογραµµετρία «µικρών αποστάσεων» εξαιτίας της διαφορετικής προσέγγισης του αντικειµένου παρουσιάζει κάποιες ιδιαιτερότητες. Οι µετρητικές µηχανές,που έχουν δηµιουργηθεί αποκλειστικά για φωτογραµµετρικούς σκοπούς, λόγω του υψηλού κόστους και της περιορισµένης ευελιξίας, δεν είναι πάντα η καταλληλότερη λύση. Έτσι η αναζήτηση νέων δρόµων οδήγησε τα τελευταία χρόνια στην ευρεία χρήση των µη- µετρητικών µηχανών για τις εφαρµογές αυτές. Οι µη-µετρητικές µηχανές παρουσιάζουν σηµαντικά πλεονεκτήµατα αφού χαρακτηρίζονται από χαµηλό κόστος και ευχρηστία. Βασικό, όµως, µειονέκτηµα των µη-µετρητικών (ερασιτεχνικών) µηχανών είναι η καταρχήν άγνωστη αλλά και ασταθής εσωτερική γεωµετρία τους, µε αποτέλεσµα την περιορισµένη ακρίβεια. Σκοπός της διπλωµατικής εργασίας είναι η δηµιουργία µοντέλου περιγραφής συστηµατικών σφαλµάτων (ακτινική διαστροφή) που εµφανίζονται σε µη-µετρητικές µηχανές. Ειδικότερα, στις συγκεκριµένες µηχανές προσαρµόστηκαν υπερευρυγώνιοι φακοί (συγκεκριµένα εστιακής απόστασης 17mm), που παρουσιάζουν και την µεγαλύτερη διαστροφή, λόγω των πιθανών σηµαντικών εφαρµογών τους εκεί όπου ο χώρος είναι περιορισµένος ή οι λήψεις πρέπει να γίνουν από µικρό ύψος. ηµιουργώντας το µοντέλο η εσωτερική γεωµετρία αποκαθίσταται και κατά συνέπεια είναι εφικτός ο περιορισµός των σφαλµάτων της απεικόνισης. Κύρια έκφραση των συστηµατικών σφαλµάτων είναι η διαστροφή των φακών. Σε οξυγώνιους ή κανονικούς φακούς οι τιµές της είναι γενικά µικρότερες από 100 µm και η διόρθωση της εξαρτάται από την επιθυµητή ακρίβεια ενώ σε ευρυγώνιους και κυρίως σε υπερευρυγώνιους, που εξετάζονται στην συγκεκριµένη εργασία, µπορεί να ξεπερνάει τα 300 µm καθιστώντας την διόρθωση της επιβεβληµένη. Για τον προσδιορισµό και τη διόρθωση της διαστροφής χρησιµοποιείται ένα πολυώνυµο περιττής τάξης κατά τον Conrady (1919). Έτσι η µοντελοποίηση του συγκεκριµένου συστηµατικού σφάλµατος των φακών ανάγεται στον προσδιορισµό των συντελεστών του πολυώνυµου. Ο προσδιορισµός πραγµατοποιήθηκε, αποκλειστικά, µε την λήψη φωτογραφιών ευθειογενών αντικειµένων. Ψηφιοποιήθηκαν οι απεικονιζόµενες ευθείες και µε την χρήση της µεθόδου των ελάχιστων τετραγώνων και συγκεκριµένα της γενικής µεθόδου συνόρθωσης, υπολογίστηκαν οι τιµές των συντελεστών. Για την περάτωση της εργασίας δηµιουργήθηκε το απαιτούµενο λογισµικό, προσαρµοσµένο στις ανάγκες και τις απαιτήσεις που παρουσιάστηκαν κατά την εκτέλεσή της.

7 ΜΕΡΟΣ Α` ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Σελίδα :7

8 1.1 Επίγεια Φωτογραµµετρία και οι εφαρµογές της Η Φωτογραµµετρία ταξινοµείται σε δυο γενικές κατηγορίες µε κριτήριο τον τρόπο λήψης της φωτογραφίας. ιακρίνεται στην από αέρα Φωτογραµµετρία στην περίπτωση των αεροφωτογραφιών σε αντίθεση µε την Επίγεια Φωτογραµµετρία όπου ο σταθµός λήψης των φωτογραφιών βρίσκεται στο έδαφος. Η Επίγεια Φωτογραµµετρία διευρύνει συνεχώς τα τελευταία χρόνια τις µεθόδους και εφαρµογές της. Σηµαντικός τους αριθµός επικεντρώνεται για λήψεις από µικρά ύψη, αποτελώντας αντικείµενο της Φωτογραµµετρίας «µικρών αποστάσεων». Η Φωτογραµµετρία «µικρών αποστάσεων» κατέστησε δυνατή την εφαρµογή της Φωτογραµµετρίας σε νέους τοµείς. Μερικοί από αυτούς είναι : αρχιτεκτονική, διατήρηση µνηµείων, µετρήσεις ακριβείας κτιρίων και άλλων τεχνητών αντικειµένων και κατασκευών, µετρήσεις ελέγχου κατασκευών και ελέγχου ζηµιών, µέτρηση και επιµέτρηση τεχνητών και µηχανικών οµοιωµάτων, µετρήσεις παραµορφώσεων, µέτρηση και διαχρονική παρακολούθηση δυναµικών φαινοµένων, ιατρική. Οι σηµαντικές εφαρµογές που αναφέρθηκαν οδήγησαν στην εξέταση χρήσης εναλλακτικών µεθόδων. Μια από αυτές ήταν η εύρεση της καταλληλότερης κατηγορίας µηχανών λήψης. 1.2 Κατηγορίες αναλογικών φωτογραφικών µηχανών επίγειων λήψεων Μετρητικές και ηµιµετρητικές µηχανές Οι µετρητικές µηχανές είναι κατασκευασµένες αποκλειστικά για φωτογραµµετρικές λήψεις. Χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη εικονοσηµάτων ή και την σήµανση του πρωτεύοντος σηµείου. ιαθέτουν µηχανικές διατάξεις για την επιπέδωση του φιλµ, υψηλής ποιότητας φακούς και γνωστή εστιακή απόσταση. ιακρίνονται για την υψηλού επιπέδου οπτική και γεωµετρική ποιότητα ώστε να µπορούν να ανταποκριθούν σε µεγάλες απαιτήσεις ακρίβειας. Έχουν πολύ µικρή διαστροφή των φακών (<5 µm). Είναι ρυθµισµένες από τους κατασκευαστές µε τέτοιο τρόπο ώστε γενικά το σηµείο της αυτοευθυγράµµισης και το σηµείο καλύτερης συµµετρίας να απέχουν απόσταση µικρότερη από 20 µm από το κέντρο της εικόνας. Το κέντρο της εικόνας ορίζεται µε µεγάλη ακρίβεια λόγω της ύπαρξης των σηµείων πλαισίου. Έχουν φορµάτ που κυµαίνεται από 6x9 cm 2 έως 13x18 cm 2 και κατά περίπτωση δέχονται γυάλινες πλάκες ή φιλµ. Εξαιτίας της µηχανικής-γεωµετρικής σταθερότητας που παρουσιάζουν, έχουν την ικανότητα επανάληψης της εσωτερικής γεωµετρίας τους από λήψη σε λήψη. Έτσι δεν απαιτούν συχνή βαθµονόµηση (συνήθως βαθµονοµούνται µια φορά το χρόνο στο εργαστήριο). Σε πολλές επίγειες εφαρµογές δεν είναι απαραίτητη η διόρθωση της διαστροφής και του πρωτεύοντος σηµείου αφού οι απαιτούµενες ακρίβειες καλύπτονται από αυτές των µετρητικών µηχανών χωρίς τις παραπάνω διορθώσεις. Παρόλα αυτά,το µεγάλο µέγεθος και βάρος τους σε συνδυασµό µε το υψηλό κόστος καθιστούν πολλές φορές την χρήση τους ασύµφορη. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιµοποιούνται οι µη-µετρητικές µηχανές που παρουσιάζονται παρακάτω. Σελίδα :8

9 1.2.2 Μη-µετρητικές µηχανές Στην κατηγορία αυτή ανήκουν οι ερασιτεχνικές µηχανές του εµπορίου. Παρουσιάζουν σηµαντικά πλεονεκτήµατα ειδικά για επίγειες µετρητικές εφαρµογές. Τα βασικότερα από αυτά είναι το χαµηλό κόστος, το µικρό µέγεθος και βάρος, η δυνατότητα εναλλαγής φακών, η συνεχής εστίαση και η καλή ποιοτικά εικόνα που παράγουν. Το βασικό µειονέκτηµά τους είναι η περιορισµένη ακρίβεια που παρέχουν, απόρροια της απουσίας εικονοσηµάτων και σηµείων reseau, της έλλειψης αξιόλογων διατάξεων επιπέδωσης του φιλµ, του µικρού φορµάτ (συνήθως 35 mm) και των µειωµένης αξιοπιστίας φακών τους. Η διαστροφή που παρατηρείται,ακόµα και αν πρόκειται για καλής ποιότητας φακούς, µπορεί να υπερβεί τα 300 µm, ειδικά σε περιπτώσεις υπερευρυγώνιων φακών. Σκοπός της εργασίας ήταν η µοντελοποίηση της διαστροφής και ο έλεγχος της επαναληψιµότητας που εµφάνισαν τρεις υπερευρυγώνιοι φακοί. Προτού, όµως, προχωρήσουµε στην διαδικασία δηµιουργίας του µοντέλου θα επιχειρηθεί µια παρουσίαση της εσωτερικής γεωµετρίας των φακών, των σφαλµάτων που παρουσιάζουν και µετά θα ακολουθήσει η µέθοδος περιορισµού τους. 1.3 Ο Εσωτερικός προσανατολισµός της εικόνας Αναφερόµενοι στον εσωτερικό προσανατολισµό της εικόνας εννοούµε την ανακατασκευή της ιδεατής δέσµης ακτινών που υπήρχε κατά την στιγµή έκθεσης στον χώρο και δηµιούργησε την εικόνα. Ως πρότυπο συσχέτισης της εικόνας µε τον χώρο έχει επικρατήσει αυτό της µαθηµατικής κεντρικής προβολής. Η κεντρική προβολή, όµως, δεν προσεγγίζει ιδεατά το πρόβληµα. Στην πραγµατικότητα υπάρχουν δυο εντελώς ξεχωριστές προβολές µε δυο χωριστά κέντρα προβολής, την κόρη εισόδου και εξόδου αντίστοιχα. Ακόµα και µε την χρήση των δυο (ξεχωριστών) προβολών τα φυσικά κέντρα της απεικόνισης, δηλαδή οι κόρες εισόδου και εξόδου δεν συµπίπτουν µε τα αντίστοιχα δεσµικά σηµεία του φακού µε αποτέλεσµα οι εξερχόµενες ακτίνες από τον φακό να σχηµατίζουν γωνία µε τον οπτικό άξονα διαφορετική από την αντίστοιχη των εισερχόµενων ακτινών. Με τον εσωτερικό προσανατολισµό ορίζουµε τα απαιτούµενα γεωµετρικά στοιχεία για την αποκατάσταση της απόκλισης των ακτινών (διαδικασία βαθµονόµησης). Απώτερος σκοπός είναι η εκλογή ενός σηµείου Ο Π που θα βρίσκεται πάνω στον άξονα συµµετρίας του φακού και θα συγχωνεύει την δέσµη του αντικειµενικού χώρου µε τα εικονοσηµεία δηµιουργώντας µια ενιαία κεντρική προβολή. Η απόσταση c του σηµείου Ο Π από το εστιακό επίπεδό του ονοµάζεται σταθερά της µηχανής. Επιλέγεται τέτοιο ώστε για τις ανηγµενες στο Η` ακτινικές αποστάσεις r` στην εικόνα να ισχύει : r`=ctan(τ) (1) Η αυστηρή κεντρική προβολή, αν και επιθυµητή δεν υλοποιείται σε πραγµατικές απεικονίσεις. Κατόπιν µελέτης των διαταραχών (σφαλµάτων) που παρουσιάζει έχει αποδειχτεί ότι το κύριο µέρος τους εµφανίζει επαναληψιµότητα, πρόκειται δηλαδή για συστηµατικό σφάλµα. Εποµένως για την βέλτιστη ανακατασκευή της δέσµης θα πρέπει στην διαδικασία του εσωτερικού προσανατολισµού να προσαρτηθούν και οι συστηµατικές διαταραχές. Σαν κύριος εκφραστής των συστηµατικών σφαλµάτων έχει Σελίδα :9

10 r` c τ τ` Οπ τ Σχήµα 1 τεκµηριωθεί η διαστροφή των φακών, προσδιορισµός της οποίας αποτελεί τον βασικό στόχο της παρούσας εργασίας. 1.4 Ακτινική διαστροφή Η Ακτινική διαστροφή σαν φυσικό µέγεθος Έστω ότι µία φωτεινή δέσµη προερχόµενη από το σηµείο Α του αντικειµενικού χώρου, εισέρχεται στο σύστηµα των φακών, περνάει από το εξωτερικό προβολικό κέντρο Ο και κατά την έξοδο του από το σύστηµα περνάει από το εσωτερικό προβολικό κέντρο Ο`. Η γωνία τ που σχηµατίζει η δέσµη µε τον οπτικό άξονα κατά την είσοδο της, γενικά δεν είναι ίση µε την αντίστοιχη γωνία τ` κατά την έξοδο (Σχήµα 2). Η διάφορα των γωνιών τ και τ` οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι είναι πρακτικά αδύνατο να κατασκευαστούν φακοί των οποίων οι επιφάνειες να είναι παραβολοειδείς εκ περιστροφής. Στην πράξη οι φακοί κατασκευάζονται µε επιφάνειες που προσεγγίζουν τις σφαιρικές. Έτσι το είδωλο του σηµείου Α στο επίπεδο του αρνητικού θα είναι το σηµείο α` και όχι το α που προβλέπεται από την κλασσική οπτική. Η απόκλιση α και α` ορίζεται σαν την συµµετρική ακτινική διαστροφή και η σχέση που την περιγράφει προκύπτει από το σχήµα 2 και δίνεται από τον τύπο : r=r`-ctanτ (2) Σελίδα :10

11 α` r`` r ` ctanτ α τ O O`` τ`` τ O` c`` τ τ` c` H` A Σχήµα 2 εδοµένα από την απεικόνιση µπορούµε να έχουµε τα r` και τ. Κατά συνέπεια υπάρχουν άπειροι συνδυασµοί των r,c που να ικανοποιούν την σχέση ανάλογα µε την επιλεγµένη κεντρική προβολή. Μια αυθαίρετα εκλεγµένη τιµή του c δίνει κάποιες τιµές r ενώ µεταβολή του c κατά ποσότητα c θα επιφέρει και ανάλογη µεταβολή του r κατά δ r=- ctanτ. Στην περίπτωση απεικονίσεων απαλλαγµένων από ακτινική διαστροφή (δηλαδή για r`=ctanτ αφού r=0) εσφαλµένη επιλογή του c κατά c θα εµφανίσει µια διαστροφή r=-(tanτ) c=-(r`/c) c (3) Βλέπουµε ότι η διαστροφή είναι ανάλογη του r`. Ισοδυναµεί δηλαδή µε µια ενιαία γραµµική µεταβολή κλίµακας στην εικόνα. Και αντίστροφα κάθε ενιαία µεγέθυνση ή σµίκρυνση προερχόµενη από την ακτινική διαστροφή µπορεί να αντισταθµιστεί µέσω µιας µεταβολής του c κατά την κατάλληλη ποσότητα c. Παρατηρώντας την παραπάνω εξίσωση η διαστροφή εκφράζεται σαν µια µεταβολή της κλίµακας για τον κάθε κύκλο ακτίνας r`. Μπορεί έτσι να εκφραστεί εναλλακτικά ως µεταβολή της σταθεράς c για κάθε r` ως c r tanτ όπου c r η µεταβολή του c που αντιστοιχεί σε κάθε τιµή της ακτινικής απόστασης r`. Σε αυτή την περίπτωση το c είναι πλέον µια συνάρτηση της µορφής c=f(τ) και όχι µια σταθερά για ολόκληρη την εικόνα. Στο σηµείο αυτό να αναφερθεί ότι η σταθερά c της µηχανής διαφέρει από την εστιακή απόσταση f του φακού. εν πρόκειται κατά ανάγκη για φυσικό µέγεθος όπως η εστιακή απόσταση του φακού που εκφράζει την απόσταση του εσωτερικού κύριου σηµείου του από το εστιακό επίπεδο για εστίαση στο άπειρο. Όπως χρησιµοποιήθηκε στον υπολογισµό της ακτινικής διαστροφής περιγράφεται σαν ένα καθαρά γεωµετρικό µέγεθος, ένας συντελεστής κλίµακας που επιτρέπει την µετατροπή της προβολής σε κεντρική προβολή. Σελίδα :11

12 1.4.2 Οπτική και φωτογραµµετρική διαστροφή Στο προηγούµενο εδάφιο περιγράφεται η ακτινική διαστροφή ως σφάλµα των φακών. Σαν αποκλειστική, όµως, ιδιότητα του φακού για να προσδιοριστεί η «οπτική» ακτινική διαστροφή θα πρέπει να γίνει µε τρόπο ανεξάρτητο του c ώστε να συνοδεύει τα τεχνικά χαρακτηριστικά του φακού. Εκτός της οπτικής ή απόλυτης (Γκαουσιανής) η ακτινική διαστροφή προσεγγίζεται και σαν µια µαθηµατική-γεωµετρική παράσταση διόρθωσης που εφαρµόζεται πάνω στην εικόνα και µεταβάλλεται µε το c. Και αυτό γιατί στην φωτογραµµετρία µας ενδιαφέρει η τελική απεικόνιση από την οποία θα εξαχθούν τα µετρητικά στοιχεία, και όχι ο ίδιος ο φακός Κατηγορίες παραµόρφωσης διαστροφής Συµµετρική ακτινική διαστροφή Η διαστροφή των φακών είναι κατά το µεγαλύτερο µέρος της συµµετρική ως προς τον οπτικό άξονα και για αυτό ονοµάζεται ακτινική διαστροφή (Σχήµα 3). Συναντιέται και µε τον όρο παραµόρφωση Seidel και έχει αποδειχτεί ότι η τιµή της σε όλο το επίπεδο της εικόνας εκφράζεται ικανοποιητικά από το πολυώνυµο των περιττών δυνάµεων των ακτινικών αποστάσεων r = K 1 r + K 3 r 3 + K 5 r (4) Ο αριθµός των συντελεστών του πολυώνυµου που θα χρησιµοποιηθούν εξαρτάται από την απαιτούµενη ακρίβεια. Συνήθως οι Κ 1,Κ 3 και Κ 5 κρίνονται αρκετοί για αποτυπώσεις υψηλής ακρίβειας. Η συµµετρική ακτινική διαστροφή κυµαίνεται από µερικά µm µέχρι τιµές άνω των 300 µm (υπερευρυγώνιοι φακοί). Στις εφαρµογές που ακολουθούν λαµβάνεται υπόψη µόνο η συµµετρική ακτινική διαστροφή λόγω των µικρών σχετικά τιµών που παρουσιάζουν οι υπόλοιπες παραµορφώσεις. Σχήµα 3 Σελίδα :12

13 Ασύµµετρη διαστροφή Μια δεύτερη αιτία που οφείλεται και πάλι σε κατασκευαστική ατέλεια των φακών προκαλεί αυτή την φορά µια ασύµµετρη παραµόρφωση που ονοµάζεται παραµόρφωση εκκεντρότητας. Προέρχεται από την αδυναµία ακριβούς κεντρώσεις των φακών µέσα στο σύστηµά τους. Αναλυµένη η έκκεντρη διαστροφή σε δυο συνιστώσες, µια ακτινική δr r και µια εγκάρσια δr t, έχει υπολογιστεί ότι η ακτινική είναι υπερτριπλάσια της εγκάρσιας (Σχήµα 4). Σχήµα 4 Η ακτινική συνιστώσα έχει ως αποτέλεσµα οι οπτικές ακτίνες που τέµνουν τον κύριο άξονα υπό γωνίες ίσες να απέχουν στην εικόνα διαφορετικές ακτινικές αποστάσεις από το πρωτεύον σηµείο. Ως συνέπεια της εγκάρσιας (εφαπτοµενικής) συνιστώσας είναι µια ευθεία του αντικειµένου να εµφανίζεται ως καµπύλη στην εικόνα ακόµα και αν διέρχεται από το πρωτεύον σηµείο. Σχήµα 5 Γενικά πάντως η ασύµµετρη διαστροφή µετατρέπει ένα τετράγωνο συµµετρικά τοποθετηµένο ως προς τον άξονα και για αυστηρά κάθετη λήψη σύµφωνα µε το σχήµα 6. Σελίδα :13

14 Σχήµα 6 Ένα µοντέλο περιγραφής της ασύµµετρης παραµόρφωσης εκκεντρότητας ήταν το µοντέλο του «λεπτού πρίσµατος». Οι ακτινικές και εφαπτοµενικές συνιστώσες περιγράφονται από τις σχέσεις : δr r =3(J 1 r 2 +J 2 r 4 + )sin(θ-θ ο ) (5) δr t =(J 1 r 2 +J 2 r 4 + )cos(θ-θ ο ) (6) όπου θ η γωνία διεύθυνσης της ευθείας που ενώνει το πρωτεύον σηµείο µε το συγκεκριµένο σηµείο και θ ο η διεύθυνση της µέγιστης εγκάρσιας συνιστώσας δr t. Μεταγενέστερα χρησιµοποιήθηκαν και αλλά µοντέλα περιγραφής της ολικής διαστροφής (συµµετρικής και ασύµµετρης). Μεθοδολογίες που στηρίζονται στην χρήση παράλληλων πλακών, φακών σύµφωνα µε την αρχή του Porro-Koope, διορθωτικών φακών και διορθωτικών σφαιρικών γυάλινων πλακών, εφαρµόστηκαν κατά καιρούς σε φωτογραµµετρικά όργανα που δεν µετρούνται συντεταγµένες και οι διορθώσεις µεσώ της ακτινικής απόστασης r δεν µπορούν να εφαρµοστούν Η βαθµονόµηση της ακτινικής διαστροφής Όπως αναφέρθηκε, στη φωτογραµµετρία η ακτινική διαστροφή r εκφράζεται µέσω του γνωστού πολυωνύµου περιττής τάξης r = K 1 r + K 3 r 3 + K 5 r (7) όπου Κ i οι συντελεστές του πολυωνύµου. Προσδιορισµός της διαστροφής σηµαίνει προσδιορισµός αυτών των συντελεστών. Για κάθε φακό υπάρχει µία συνάρτηση αυτής της µορφής για κάθε τιµή του c. Ο Brown (1957) αποδεικνύει ότι υπάρχει πάντοτε µία πραγµατική σταθερά c για την οποία Κ 1 = 0. Εάν το c είναι εκ των προτέρων δεδοµένο πρέπει να χρησιµοποιηθεί η πλήρης εξίσωση. Αν το c πρόκειται να προσδιοριστεί ταυτόχρονα µε τη διαστροφή, είναι σκόπιµο να επιβληθεί εκ των προτέρων ότι Κ 1 =0. Και οι δύο προσεγγίσεις οδηγούν σε ταυτόσηµα αποτελέσµατα αφού είναι προβολικά ισοδύναµες. Εάν r οι ακτινικές αποστάσεις στην εικόνα, c η σταθερά της µηχανής και r η αντίστοιχη διαστροφή, η διαστροφή r που αντιστοιχεί σε µεταβολή του c κατά c δίδεται ως εξής, όπως προκύπτει από το σχήµα 2 της σελίδας 11: r = r(1 + c/c) - ( c/c)r (8) Σελίδα :14

15 Μέσω αυτής της σχέσης είναι δυνατός ο µετασχηµατισµός µιας δεδοµένης καµπύλης διαστροφής σε µία άλλη µε συγκεκριµένες απαιτούµενες ιδιότητες και χωρίς καµιά µεταβολή του φακού. Από τις (7) και (8) προκύπτει ότι αν Κ 3, Κ 5,... είναι οι συντελεστές του αρχικού πολυωνύµου µε Κ 1 = 0, οι νέοι για c + c θα είναι (i = 3,5,...) K 1 = ( c/c) (9) K i = (1 + c/c)k i (10) Υπάρχουν περισσότερα του ενός κριτήρια ώστε οι τιµές r να είναι κατά το δυνατόν µικρές σε ολόκληρο το ωφέλιµο πεδίο της εικόνας. Συνηθέστερος τρόπος είναι να ζητείται ο µηδενισµός της διαστροφής σε κάποια συγκεκριµένη ακτινική απόσταση r o, οπότε από την (8) προκύπτει ότι τότε c = c r o / (r o - r o ) c/c= r o / (r o - r o ) c K r 3 K r 5 3 o + 5 = o c r -K r 3 K r 5 (11) o 3 o 5 o Μπορεί επίσης να ζητηθεί να είναι κατ απόλυτη τιµή ίσες η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή της διαστροφής. Άλλος µετασχηµατισµός που προτιµάται είναι να µηδενίζεται το άθροισµα ή να ελαχιστοποιείται το άθροισµα των τετραγώνων των τιµών της διαστροφής µέχρι κάποια ακραία ακτινική απόσταση r max. Στις περιπτώσεις αυτές µπορεί κανείς να εργαστεί είτε µε πεπερασµένο αριθµό τιµών r είτε και µε ολοκλήρωση. Ειδικά για την περίπτωση της ελαχιστοποίησης της µέσης τετραγωνικής τιµής της διαστροφής µέχρι κάποια ακραία ακτινική απόσταση r max, η απαίτηση είναι βάσει της (8) να ελαχιστοποιηθεί η τιµή του ορισµένου ολοκληρώµατος (από 0 έως r max ). 2 [ ] D = r(1+ e) er dr όπου e = c/c. Από εδώ προκύπτει το άθροισµα των ορισµένων ολοκληρωµάτων D= (1+e) 2 D 1-2(1+e)eD 2 + e 2 D 2 + e 2 D 3 όπου D = ( r) 2 dr, D 1 = (r r)dr, D = (r 2 )dr 2 3 Η τιµή του D (της µέσης τετραγωνικής ακτινικής διαστροφής σε ολόκληρο το πεδίο µέχρι r max ) γίνεται ελάχιστη όταν µηδενιστεί η παράγωγός του ως προς e, δηλαδή τελικά για c(d2 D 1) c = D 2D + D Από την τελευταία σχέση,αφού υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα, βρίσκουµε ότι (3.11). Σελίδα :15

16 c c = r 5 r 7 K K - K 2 r 7 r 9-2K K - K 2 r K 2 r 7 r 9 r r r r + 2K K + K K K (12) Στο σηµείο αυτό να επαναληφθεί η επισήµανση ότι γενικά είναι µόνο η συµµετρική ακτινική διαστροφή, και συγκεκριµένα οι δύο πρώτοι το πολύ συντελεστές της, που θεωρείται ότι έχουν σηµασία στις µη µετρικές µηχανές - ειδικά µάλιστα τις µέσου και µικρού φορµάτ - ενώ τα άλλα σφάλµατα της απεικόνισης µπορούν να αγνοούνται Προσδιορισµός της ακτινικής διαστροφής Συνήθως η εύρεση της ακτινικής διαστροφής του φακού πραγµατοποιείται µε βαθµονόµηση της µηχανής, η ακτινική διαστροφή υπολογίζεται δηλαδή µαζί µε τα υπόλοιπα στοιχεία του εσωτερικού προσανατολισµού. Υπάρχουν όµως και τρόποι να προσδιορίζεται η διαστροφή ανεξάρτητα (µερικός εσωτερικός προσανατολισµός).κατά καιρούς έχουν παρουσιαστεί τόσο απλές όσο και σύνθετες µέθοδοι ανεξάρτητου προσδιορισµού. Στην παρούσα εργασία εφαρµόστηκε µια σχετικά απλή µέθοδος µερικού εσωτερικού προσανατολισµού. Βασίστηκε κυρίως στην εκµετάλλευση της παραµόρφωσης που υφίστανται οι ευθείες γραµµές στην εικόνα. Η προσέγγιση που επιλέχτηκε βασίζεται στην µέθοδο των νηµάτων της στάθµης που πρωτοπαρουσίασε ο Brown στις αρχές της δεκαετίας του ` Προσαρµογή ευθείας σε καµπύλη Ο Brown στην συγκεκριµένη µέθοδο προσδιορισµού της διαστροφής (plumb-line method) βασίστηκε στην προβολική αρχή ότι, µε την απουσία διαστροφών κάθε είδους, η εικόνα ευθείας είναι και η ίδια ευθεία. Κάθε απόκλιση από τη γραµµικότητα αποδίδεται κατ αρχήν - αν αµεληθούν οι άλλες παραµορφώσεις - στην ακτινική και στην έκκεντρη διαστροφή. Στην ίδια προβολική αρχή βασίστηκε και η µέθοδος της εργασίας. Από φωτογραµµετρική άποψη, η µέθοδος των νηµάτων της στάθµης κρίνεται ως σχετικά γρήγορη και πρακτική µέθοδος, προσφερόµενη ιδιαίτερα για εύρος κλιµάκων από 1:5 έως 1:20, ενώ ταυτόχρονα παραµένει αυστηρή επιτρέποντας ακρίβεια στον προσδιορισµό της διαστροφής. Οι Fryer and Fraser (1986) βρήκαν έτσι ότι η µέθοδος έδωσε για µη µετρική µηχανή ίδια αποτελέσµατα µε τη διαδικασία αυτορρύθµισης της µηχανής (self-calibration). Σηµαντική παρατήρηση είναι εν προκειµένω ότι οι εξισώσεις προσδιορισµού της διαστροφής είναι εντελώς ανεξάρτητες τόσο από όλα τα έξι στοιχεία του εξωτερικού προσανατολισµού όσο όµως και από την σταθερά c της µηχανής. Πρόκειται έτσι για µέθοδο µερικού εσωτερικού προσανατολισµού που δεν επιτρέπει προσδιορισµό του c. Η ακτινική διαστροφή εποµένως που προκύπτει αφορά κατά βάση την Γκαουσιανή διαστροφή. Η διαστροφή θεωρείται ότι εκτιµάται µε µεγάλη ακρίβεια. Στην πλήρη εξίσωση παρατήρησης δεν κρίθηκε σκόπιµη η εισαγωγή της έκκεντρης διαστροφής λόγω του µικρού µεγέθους που από προηγούµενες µελέτες έχει εκτιµηθεί ότι είναι της τάξης των 20 µε 30 µm. Υποθετηκε εκ των προτέρων ότι οι συντεταγµένες του πρωτεύοντος σηµείου είναι Σελίδα :16

17 x o = y o = 0. Ο προσδιορισµός του ορίστηκε σαν το σηµείο τοµής των δυο διαγωνίων. Ταυτόχρονα αγνοήθηκε ο συντελεστής Κ 7 του πολυώνυµου µια που όπως αποδείχτηκε από τις εφαρµογές δεν προσδίδει σηµαντική βελτίωση στην ακρίβεια της µεθόδου. Με τον τρόπο αυτό οι υπολογισµοί απλοποιούνται σηµαντικά και οι άγνωστοι περιορίζονται σε 2 + 2k όπου k ο αριθµός των ευθειών Μέτρηση και παρεµβολή ευθείας στην εικόνα Η αναγνώριση και µέτρηση ενός σηµειοσυνόλου που απαρτίζει µία ευθεία ψηφιακής εικόνας µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους : απευθείας στην οθόνη (στην κατάλληλη µεγέθυνση) από τον παρατηρητή που θα µετρήσει τις συντεταγµένες pixel σηµείων επαρκούς πυκνότητας, στα οποία εν συνεχεία θα παρεµβληθεί εξίσωση ευθείας µε κατάλληλο λογισµικό αυτόµατης εξαγωγής ακµών και τελικό προϊόν - ανάλογα µε τον αλγόριθµο - είτε ένα σηµειοσύνολο της ευθείας (στο οποίο εν συνεχεία θα προσαρµοστεί η εξίσωση ευθείας) είτε και την ίδια την εξίσωση της ευθείας. Επιλέχτηκε ο πρώτος τρόπος ψηφιοποίησης λόγω της ευκολίας υλοποίησης του. Συγκεκριµένα η ψηφιοποίηση των ευθειών έγινε µε την χρήση του σχεδιαστικού πακέτου Autocad έκδοσης Αλγόριθµος προσαρµογής εξίσωσης ευθείας στο επίπεδο Στην βιβλιογραφία υπάρχει µια πληθώρα αλγορίθµων προσαρµογής εξίσωσης ευθείας. Κατόπιν αξιολόγησής τους επιλέχτηκε σαν βασικός αλγόριθµος εκείνος της εξίσωσης (13): x x y y x + t x y + d x = 0 (13α) 1 N 1 N x x > y y t y x + y + d y = 0 (13β) 1 N 1 N Ανάλογα µε την διεύθυνσή της όπως αυτή εκτιµάται βάσει του πρώτου (x 1, y 1 ) και του τελευταίου (x N, y N ) σηµείου της, χρησιµοποιήθηκαν οι εναλλακτικές µορφές της (13α) και (13β). Ο αλγόριθµος αντιµετωπίζει όλες τις, θεωρούµενες ως ισοβαρείς, εικονοσυντεταγµένες x, y των σηµείων της κάθε ευθείας ως παρατηρήσεις (αν οι συντεταγµένες είναι σε pixel, προηγείται αφινικός µετασχηµατισµός τους σε εικονοσυντεταγµένες). Βασικό του πλεονέκτηµα είναι η αποφυγή των δυσκολιών των ακραίων περιπτώσεων των αυστηρών κατακόρυφων ή οριζόντιων ευθειών, αφού δεν αντιµετωπίζει πρόβληµα σε καµία διεύθυνση και θέση της ευθείας. Θεωρείται ως αριθµητικά σταθερός αλγόριθµος και είναι δοκιµασµένος σε πολλές εφαρµογές. Σελίδα :17

18 1.5 Αφινικός ή οµοπαράλληλος µετασχηµατισµός Ο αφινικός µετασχηµατισµός συνιστά έναν γενικότερο βασικό δισδιάστατο µετασχηµατισµό συντεταγµένων από ένα σύστηµα σε άλλο. Πραγµατοποιείται µε τον υπολογισµό έξι γεωµετρικών παραµέτρων (Σχήµα 7): την γωνία στροφής του ενός συστήµατος ως προς το άλλο (γωνία θ) τις δυο µεταθέσεις στους αντιστοίχους άξονες (c 1,c 2 ) τις δύο µεταβολές κλίµακας κατά τους δύο άξονες του ενός των συστηµάτων την απόκλιση των δύο αξόνων από την ορθογωνικότητα (γωνία ε). Σχήµα 7 Ο αφινικός µετασχηµατισµός είναι ο γενικότερος και συνηθέστερα εφαρµοζόµενος µετασχηµατισµός στις περιπτώσεις µεταφοράς µετρήσεων από το σύστηµα του οργάνου (συγκριτή, ψηφιοποιητή) ή της ψηφιακής εικόνας στο σύστηµα των εικονοσυντεταγµένων, αλλά και στην περίπτωση ψηφιοποίησης χαρτών και διαγραµµάτων, τον προβλέπουν άλλωστε και τα περισσότερα περιβάλλοντα λογισµικού που επιτρέπουν ψηφιοποίηση (π.χ. AUTOCAD, ARC/INFO) αλλά και τα ψηφιακά φωτογραµµετρικά συστήµατα. Η εφαρµογή του λαµβάνει ταυτόχρονα υπόψη και διορθώνει τυχόν ελαττώµατα µη ορθογωνικότητας και διαφορικής κλίµακας («αφινικές παραµορφώσεις»). Έτσι, ο αφινικός µετασχηµατισµός αποτελεί απλό ενδιάµεσο βήµα στο πλαίσιο µίας µετρητικής διαδικασίας. Άρα δεν ενδιαφέρει εν προκειµένω η γνώση τυχόν αφινικών παραµορφώσεων του φιλµ ή του φωτογραφικού χαρτιού, του χάρτη, των συστηµάτων µέτρησης των οργάνων κ.λ.π., ενδιαφέρει µόνον η διόρθωσή τους : υπολογισµός των έξι συντελεστών και εν συνεχεία, µέσω αυτών, µετατροπή των συντεταγµένων. Για να βρεθούν οι 6 συντελεστές του µετασχηµατισµού απαιτούνται τουλάχιστον τρία σηµεία γνωστά στα δύο συστήµατα και µη κείµενα επ ευθείας. Γενικά όµως χρησιµοποιούνται τουλάχιστον 4 σηµεία (εικονοσήµατα, σηµεία reseau ή άκρα της εικόνας, σηµεία καννάβου του χάρτη).υιοθετείται το µοντέλο συνόρθωσης των έµµεσων παρατηρήσεων και υπολογίζονται οι έξι συντελεστές. Αναλυτική περιγραφή των γεωµετρικών στοιχείων και της µεθόδου υπολογισµού του αφινικου µετασχηµατισµού υπάρχει στο αντίστοιχο παράρτηµα. Σελίδα :18

19 1.6 Γενική Συνόρθωση Η µέθοδος της γενικής συνόρθωσης εφαρµόζεται συνήθως όταν ορισµένες από τις ανεξάρτητες παραµέτρους µετριούνται άµεσα και ενδιαφέρει ο προσδιορισµός των παραµέτρων που δεν είναι δυνατόν να µετρηθούν. Τέτοιες περιπτώσεις παρουσιάζονται σε προβλήµατα προσαρµογής γραµµών ή επιφανειών, σε µετρήσεις στη φωτογραµµετρία και σε προβλήµατα µετατροπών συστηµάτων αναφοράς. Γενικά αν έχουν γίνει n µετρήσεις και οι ανεξάρτητες παράµετροι του µοντέλου είναι m ο βαθµός ελευθέριας είναι r = η - m. Οι εξισώσεις συνθήκης που σχηµατίζονται είναι c όπου c = r + m o µε m o τον αριθµό παραµέτρων που πρόκειται να προσδιοριστούν. Η µορφή του συστήµατος των εξισώσεων συνθήκης θα είναι : Ax + B(l + u) = k όπου: Α ο πίνακας των συντελεστών των παραµέτρων που ενδιαφέρουν Β ο πίνακας των συντελεστών των µετρηµένων στοιχείων x το διάνυσµα των καλύτερων τιµών των παραµέτρων l το διάνυσµα των µετρήσεων u το διάνυσµα των σφαλµάτων των µετρήσεων k το διάνυσµα των σταθερών όρων Τελικά ο πίνακας των άγνωστων υπολογίζεται από την σχέση : x = (A` (BB`) -1 A) -1 A` (BB`) -1 W ενώ το a posteriori τυπικό σφάλµα της µονάδας βάρους από τον τύπο : ^ 2 σ = -1-1 (W`(BB`) W) - (x`a`(bb`) Ax) n - m όπου n ο αριθµός των σηµείων και m ο ελάχιστος αριθµός εξισώσεων που απαιτούνται για την επίλυση του συστήµατος δηλαδή το διπλάσιο του αριθµού των ευθειών (t i,d i ) συν δυο (για τα Κ 3,Κ 5 ). Παρατηρούµε ότι θα πρέπει να υπολογιστούν οι τρεις πίνακες Α,Β και W. Αρχικά δηµιουργούµε τις εξισώσεις συνθήκης, οι οποίες είναι όσες και τα εισαγόµενα σηµεία. Αν τα σηµεία ανήκουν σε ευθεία που συγκλίνει προς τον άξονα xx` τότε η εξίσωση συνθήκης είναι : t y x (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) + y (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) +d y = 0 (xx`) ενώ αν τα σηµεία ανήκουν σε ευθεία που συγκλίνει προς τον άξονα yy` τότε η εξίσωση συνθήκης που χρησιµοποιείται είναι : x (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) + t x y (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) +d x = 0 (yy`) Σελίδα :19

20 Υπολογισµός πίνακα Α Ο πίνακας A περιέχει τις µερικές παραγώγους των αγνώστων ως προς την κατάλληλη εξίσωση συνθήκης ανάλογα τον άξονα που συγκλίνει. Οι διαστάσεις του είναι: n A 2k + 2 όπου n ο αριθµός των σηµείων και k ο αριθµός των ευθειών Η πρώτη στήλη του πίνακα περιέχει την µερική παράγωγο της συνθήκης ως προς τον συντελεστή Κ 3. f/ Κ 3 = t y x r 2 + y r 2 (xx`) ή f/ Κ 3 = x r 2 + t x y r 2 (yy`) Η δεύτερη στήλη του πίνακα περιέχει την µερική παραγωγό της συνθήκης ως προς τον συντελεστή Κ 5. f/ Κ 5 = t y x r 4 + y r 4 (xx`) ή f/ Κ 5 = x r 4 + t x y r 4 (yy`) Οι επόµενες στήλες του πίνακα περιέχουν ανά δυο τις µερικές παραγωγούς της συνθήκης ως προς τους συντελεστές της ευθείας f/ t y = x (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) (xx`) f/ d y = 1 ή (xx`) f/ t x = y (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) f/ d x = 1 (yy`) (yy`) Σελίδα :20

Φωτογραμμετρία II Ψηφιακή εικόνα. Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π.

Φωτογραμμετρία II Ψηφιακή εικόνα. Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. Φωτογραμμετρία II Ψηφιακή εικόνα Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. dag@cental.ntua.g Άδεια χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Cmmns και δημιουργήθηκε στο πλαίσιο των Ανοιχτών

Διαβάστε περισσότερα

Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας

Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας Μια εικόνα είναι: Κεντρική Προβολή 2D προβολή του 3D χώρου Το επιθυµητό τελικό προϊόν πρέπει να είναι: Ορθή προβολή 2D προβολή του 3D χώρου Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π.

ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. dag@cental.ntua.g Άδεια χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commons και δημιουργήθηκε στο πλαίσιο των Ανοιχτών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας

Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας Μια εικόνα είναι: Κεντρική Προβολή 2D προβολή του 3D χώρου Το επιθυµητό τελικό προϊόν πρέπει να είναι: Ορθή προβολή 2D προβολή του 3D χώρου Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Χ, Υ, Ζ σηµείων. Εικονιστικό προϊόν

Χ, Υ, Ζ σηµείων. Εικονιστικό προϊόν Στην ουσία η Φωτογραµµετρία: Χ, Υ, Ζ σηµείων Γραµµικό σχέδιο Εικονιστικό προϊόν Επεξήγηση η Μηχανισµού µ Προσοµοίωση της ανθρώπινης όρασης B A C Μαθηµατική γεωµετρική περιγραφή ενός φυσικού φαινοµένου

Διαβάστε περισσότερα

Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας

Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας Μια εικόνα είναι: Κεντρική Προβολή 2D προβολή του 3D χώρου Το επιθυµητό τελικό προϊόν πρέπει να είναι: Ορθή προβολή 2D προβολή του 3D χώρου Εξαγωγή µετρητικής πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Πληροφορικής στην Τοπογραφία

Εφαρμογές Πληροφορικής στην Τοπογραφία Εφαρμογές Πληροφορικής στην Τοπογραφία 11η Ενότητα - Μετασχηματισμός Κεντρικής Προβολής (αναγωγή) με σημεία φυγής στο λογισμικό VeCAD- Photogrammetry και ψηφιοποίηση λεπτομερειών στο AutoCAD Τσιούκας Βασίλειος,

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

Φωτογραμμετρία ΙΙ Προσανατολισμοί φωτογραμμετρικώνεικόνων (Υπενθύμιση βασικών εννοιών- Αλγοριθμική προσέγγιση)

Φωτογραμμετρία ΙΙ Προσανατολισμοί φωτογραμμετρικώνεικόνων (Υπενθύμιση βασικών εννοιών- Αλγοριθμική προσέγγιση) Φωτογραμμετρία ΙΙ Προσανατολισμοί φωτογραμμετρικώνεικόνων (Υπενθύμιση βασικών εννοιών- Αλγοριθμική προσέγγιση) Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. dag@ental.ntua.g Άδεια χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος Φωτογραμμετρία Εισαγωγή Ορισμοί Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Εφαρμογές Εισαγωγή Προσδιορισμός θέσεων Με τοπογραφικά όργανα Σχήμα Μέγεθος Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

µε την βοήθεια του Συστήµατος Συγχρονικής Λήψης Απεικόνισης.

µε την βοήθεια του Συστήµατος Συγχρονικής Λήψης Απεικόνισης. 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ () ΜΕ ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ µε την βοήθεια του Συστήµατος Συγχρονικής Λήψης Απεικόνισης. Το φύλλο εργασίας στηρίζεται στο αντίστοιχο του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ο Οδηγός γρήγορης εκκίνησης

Ο Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Ο Οδηγός γρήγορης εκκίνησης του Microsoft PowerPoint 2013 έχει διαφορετική εμφάνιση από προηγούμενες εκδόσεις. Γι αυτό το λόγο, δημιουργήσαμε αυτόν τον οδηγό για να ελαχιστοποιήσουμε την καμπύλη εκμάθησης.

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριµία µε τη Microsoft Access

Γνωριµία µε τη Microsoft Access Γνωριµία µε τη Microsoft Access ηµιουργία νέας βάσης δεδοµένων Έναρξη - Προγράµµατα - Microsoft Access - ηµιουργία νέας βάσης δεδοµένων µε χρήση Κενής βάσης δεδοµένων - ΟΚ Επιλέγουµε Φάκελο και στο Όνοµα

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών

Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών Τάξη - Τµήµα: Ονόµατα µαθητών οµάδας: ) 2).. 3) 4) Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης ) Μέτρηση των γεωµετρικών χαρακτηριστικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή 6 Εντάξεις δικτύων GPS 6.1 Εισαγωγή Oι απόλυτες (X, Y, Z ή σχετικές (ΔX, ΔY, ΔZ θέσεις των σηµείων, έτσι όπως προσδιορίζονται από τις µετρήσεις GPS, αναφέρονται στο γεωκεντρικό σύστηµα WGS 84 (Wrld Gedetic

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

5/3/2010. A. Στη δηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλουέ B. Στη συσχέτισή του µε το γεωδαιτικό σύστηµα

5/3/2010. A. Στη δηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλουέ B. Στη συσχέτισή του µε το γεωδαιτικό σύστηµα 5/3/ Για να είναι δυνατή η επεξεργασία στα φωτογραµµετρικά όργανα χρειάζεται κάποιο στάδιο προετοιµασίας του ζεύγους των εικόνων. Η προετοιµασία αυτή αφορά: A. Στη δηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλουέ.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ

Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ» 2000-2006 ΑΞΟΝΑΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ: 1 - ΠΑΙ ΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΟ: 1.3 ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ, ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑ ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΑ, ΣΥΣΚΕΥΕΣ ΚΑΙ ΥΛΙΚΑ Ηλεκτρονικός υπολογιστής Βιντεοπροβολέας

ΟΡΓΑΝΑ, ΣΥΣΚΕΥΕΣ ΚΑΙ ΥΛΙΚΑ Ηλεκτρονικός υπολογιστής Βιντεοπροβολέας ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Εργαστηριακή άσκηση 4 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΣ ΒΟΛΗΣ (Προσαρµογή του εργαστηριακού οδηγού - Βαγγέλης ηµητριάδης, 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου) ΣΤΟΧΟΙ Στόχοι αυτής της εργαστηριακής άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες . Ιδιότητες φακών 2 Απριλίου 203 Λεπτοί φακοί. Βασικές έννοιες Φακός είναι ένα οπτικό σύστημα με δύο διαθλαστικές επιφάνειες. Ο απλούστερος φακός έχει δύο σφαιρικές επιφάνειες αρκετά κοντά η μία με την

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Άσκηση 4: Σφάλματα φακών: Ι Σφαιρική εκτροπή Εξεταζόμενες γνώσεις: σφάλματα σφαιρικής εκτροπής. Α. Γενικά περί σφαλμάτων φακών Η βασική σχέση του Gauss 1/s +1/s = 1/f που

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Το Microsoft Word 2013 έχει διαφορετική εμφάνιση από προηγούμενες εκδόσεις. Γι αυτό το λόγο, δημιουργήσαμε αυτόν τον οδηγό για να ελαχιστοποιήσουμε την καμπύλη εκμάθησης. Γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και επεξεργασία δεδοµένων

Εισαγωγή και επεξεργασία δεδοµένων Μάθηµα 4 Εισαγωγή και επεξεργασία δεδοµένων Εισαγωγή δεδοµένων σε πίνακα 1. Ανοίγουµε το παράθυρο του πίνακα Υπάλληλοι σε προβολή φύλλου δεδοµένων. 2. Η κενή γραµµή, η οποία υπάρχει πάντα στον πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Παράθυρα των εγγράφων Επιφάνεια του σχεδίου. Σχεδιάστε εδώ νέα αντικείμενα με τα εργαλεία σημείων, διαβήτη, σχεδίασης ευθύγραμμων αντικειμένων και κειμένου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ηδηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλου περιλαµβάνει:

Ηδηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλου περιλαµβάνει: Προσανατολισµoί στερεοσκοπικών ζευγών Για να είναι δυνατή η συνεχής απόδοση στα φωτογραµµετρικά όργανα χρειάζεται κάποιο στάδιο προετοιµασίας του ζεύγους των εικόνων. Η προετοιµασία αυτή αφορά: A. Στη

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ ΟΜΑΔΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ 1)... 2)... 3)... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ Με το πείραµα αυτό θα προσδιορίσουµε: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. 7 Ψηφιακή επεξεργασία εικόνας. 7.1 Παραμορφώσεις. 7.2 Γεωμετρικές διορθώσεις

Κεφάλαιο 7. 7 Ψηφιακή επεξεργασία εικόνας. 7.1 Παραμορφώσεις. 7.2 Γεωμετρικές διορθώσεις Κεφάλαιο 7 7 Ψηφιακή επεξεργασία εικόνας 7.1 Παραμορφώσεις Η δορυφορική εικόνα μπορεί να υποστεί διάφορες γεωμετρικές παραμορφώσεις, που μπορούν γενικά να οφείλονται στην κίνηση του δορυφόρου ως προς τη

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη συστήματος φακών με τη Μέθοδο του Newton

Μελέτη συστήματος φακών με τη Μέθοδο του Newton Μελέτη συστήματος φακών με τη Μέθοδο του Newton.Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η μελέτη της εστιακής απόστασης συστήματος φακών, η εύρεση της ισοδύναμης εστιακής απόστασης του συστήματος αυτού καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016 Εισαγωγή στα Δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Τι είναι δίκτυο;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο ΠΑΛΙΟ http://eclass.survey.teiath.gr NEO

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005 Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η µελέτη των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Πληροφορικής στην Τοπογραφία 7η Ενότητα Μονάδες, εντολές Text, List, μετρήσεις, μετασχηματισμοί και άσκηση χάραξης

Εφαρμογές Πληροφορικής στην Τοπογραφία 7η Ενότητα Μονάδες, εντολές Text, List, μετρήσεις, μετασχηματισμοί και άσκηση χάραξης Εφαρμογές Πληροφορικής στην Τοπογραφία 7η Ενότητα Μονάδες, εντολές Text, List, μετρήσεις, μετασχηματισμοί και άσκηση χάραξης Τσιούκας Βασίλειος, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Cubitech Hellas Ακροπόλεως 24, Καλλιθέα, Αθήνα Τ.Κ. 176 75, Ελλάδα, Τηλ. 210 9580887-8 Φαξ.2109580885

Cubitech Hellas Ακροπόλεως 24, Καλλιθέα, Αθήνα Τ.Κ. 176 75, Ελλάδα, Τηλ. 210 9580887-8 Φαξ.2109580885 CubisLITE Client Οδηγίες Χρήσεως Cubitech Hellas Ακροπόλεως 24, Καλλιθέα, Αθήνα Τ.Κ. 176 75, Ελλάδα, Τηλ. 210 9580887-8 Φαξ.2109580885 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Γενικά 1. Τι είναι ο CubisLITE Server 2. Τι είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Φωτογραμμετρία

Αναλυτική Φωτογραμμετρία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αναλυτική Φωτογραμμετρία Ενότητα # 5: Βασικά Φωτογραμμετρικά προβλήματα I Καθηγήτρια Όλγα Γεωργούλα Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 61 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ Άγγελος Βασιλάς, Σπουδαστής ΕΜΠ Κωνσταντίνος Αποστολέρης, Πολιτικός Μηχανικός, MSc Σοφία Βαρδάκη, Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας.

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 21 Μαίου 2009 Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. Επίσης γράψετε το password σας. Στο τέλος της εξέτασης θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Geogebra. Μακρή Βαρβάρα. Λογισµικό Geogebra

Geogebra. Μακρή Βαρβάρα. Λογισµικό Geogebra Λογισµικό Geogebra 1 Τι είναι το πρόγραµµα Geogebra; Το πρόγραµµα GeoGebra, είναι ένα δυναµικό µαθηµατικό λογισµικό που συνδυάζει Γεωµετρία, Άλγεβρα και λογισµό. Αναπτύσσεται από τον Markus Hohenwarter

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

2. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

2. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 2. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ εισαγωγή \γράφηµα επιλέγουµε το τύπο του γραφήµατος από τους βασικούς ή προσαρµοσµένους τύπους. Συνεχίζοντας µπορούµε να ορίσουµε τη περιοχή των δεδοµένων και αν είναι κατά γραµµές

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Το Microsoft Publisher 2013 έχει διαφορετική εμφάνιση από προηγούμενες εκδόσεις. Γι αυτό το λόγο, δημιουργήσαμε αυτόν τον οδηγό για να ελαχιστοποιήσουμε την καμπύλη εκμάθησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD Σε ορισµένες περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµη η δηµιουργία ιστοσελίδων ενηµερωτικού περιεχοµένου οι οποίες στη συνέχεια µπορούν να δηµοσιευθούν σε κάποιο τόπο

Διαβάστε περισσότερα

Version X. Οδηγίες χρήσης

Version X. Οδηγίες χρήσης Version 1.0.1.X Οδηγίες χρήσης Πρόλογος Η εφαρµογή CallReceiver σχεδιάστηκε για την υποστήριξη ξενοδοχείων ή επιχειρήσεων, όσον αφορά στις τηλεφωνικές κλήσεις που διαχειρίζεται το τηλεφωνικό κέντρο (Τ/Κ).

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ Κωδικός Πακέτου ACTA CCU/2-012 Τίτλος Πακέτου Εκπαιδευτικές Ενότητες ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ Χρήση Η/Υ και ιαχείριση Αρχείων - Windows Περιβάλλον Η/Υ - Βασικές Λειτουργίες και Ρυθµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ OΠΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ OΠΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ OΠΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoira.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΛΥΣΕΙΣ ΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση (α) Οι συνορθωμένες συντεταγμένες του σημείου P είναι: ˆ 358.47 m, ˆ 4.46 m (β) Η a-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΙΜΕΝΟΥ 1. ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΩΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΙΜΕΝΟΥ 1.1. Ορισµός εγγράφου, προτύπου, πρωτεύοντος και δευτερεύοντος εγγράφου 1.2. Πρότυπα 1.2.1. Δηµιουργία, µεταβολή, χρήση και διαγραφή προτύπων εγγράφων 1.2.2.

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχ. Τοµέας Τοπογραφίας Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία Φωτογραµµετρική Οπισθοτοµία Υποδειγµατικά λυµένη άσκηση εδοµένα Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ 7.1 ΑΣΚΗΣΗ 7 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Όταν φωτεινή παράλληλη δέσμη διαδιδόμενη από οπτικό μέσο α με δείκτη διάθλασης n 1 προσπίπτει σε άλλο οπτικό μέσο β με δείκτη διάθλασης n 2 και

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop.

Σχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop. Ο βρόγχος While-loop 1. Ο βρόγχος while-loop εκτελείται έως ότου ικανοποιηθεί µία προκαθορισµένη συνθήκη. 2. Ο αριθµός των επαναλήψεων ενός βρόγχου while-loop δεν είναι εκ των προτέρων προκαθορισµένος,

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων (RLS Recursive Least Squares)

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων (RLS Recursive Least Squares) ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων RLS Rcrsiv Last Sqars 27 iclas sapatslis

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για την Άσκηση 1

Οδηγίες για την Άσκηση 1 Οδηγίες για την Άσκηση 1 Για τον προσδιορισµό της µέσης κλίµακας της αριστερής αεροφωτογραφίας θα χρειαστεί να εκτελέσετε ορισµένες µετρήσεις µηκών πάνω στην φωτογραφία και στον αντίστοιχο χάρτη. Επειδή

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλης Φωτεινόπουλος Νικόλαος Ζαχαριάς ΑΤΜ

Βασίλης Φωτεινόπουλος Νικόλαος Ζαχαριάς ΑΤΜ Βασίλης Φωτεινόπουλος Νικόλαος Ζαχαριάς ΑΤΜ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΣΚΟΠΟΣ 2. ΑΕΡΟΦΩΤΟΓΡΑΦΗΣΗ 3. ΤΡΙΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΦΩΤΟΣΤΑΘΕΡΩΝ 4. ΣΥΝΘΕΣΗ ΟΡΘΟΕΙΚΟΝΑΣ 5. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 7. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ MULTILOG

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ MULTILOG 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 Α. ΣΤΟΧΟΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ MULTILOG Η πραγματοποίηση αρμονικής ταλάντωσης μικρού πλάτους με τη χρήση μάζας δεμένης σε ελατήριο. Η εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Μεγεθυντικός φακός. 1. Σκοπός. 2. Θεωρία. θ 1

Μεγεθυντικός φακός. 1. Σκοπός. 2. Θεωρία. θ 1 Μεγεθυντικός φακός 1. Σκοπός Οι μεγεθυντικοί φακοί ή απλά μικροσκόπια (magnifiers) χρησιμοποιούνται για την παρατήρηση μικροσκοπικών αντικειμένων ώστε να γίνουν καθαρά παρατηρήσιμες οι λεπτομέρειες τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΙΧΝΟΥΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ: ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΟΠΗΣ ΩΣ ΒΑΣΙΚΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟΥ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ

ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΙΧΝΟΥΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ: ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΟΠΗΣ ΩΣ ΒΑΣΙΚΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟΥ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΙΧΝΟΥΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ: ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα