ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΙΚΗΣ ΙΑΣΤΡΟΦΗΣ ΥΠΕΡΕΥΡΥΓΩΝΙΩΝ ΦΑΚΩΝ ΑΠΟ ΛΗΨΕΙΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΙΚΗΣ ΙΑΣΤΡΟΦΗΣ ΥΠΕΡΕΥΡΥΓΩΝΙΩΝ ΦΑΚΩΝ ΑΠΟ ΛΗΨΕΙΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΙΚΗΣ ΙΑΣΤΡΟΦΗΣ ΥΠΕΡΕΥΡΥΓΩΝΙΩΝ ΦΑΚΩΝ ΑΠΟ ΛΗΨΕΙΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΟΥΝΤΡΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ 1998

2 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Γεώργιο Καρρά, Λέκτορα Ε.Μ.Π. για την ανάθεση και επίβλεψη του θέµατος, την παροχή βιβλιογραφίας και τις χρήσιµες υποδείξεις του κατά την διάρκεια εκπόνησης της εργασίας. Επίσης τον κ. Νίκο Τζελέπη για την ευγενή παραχώρηση του αλγορίθµου µετατροπής αρχείου µορφής TIF σε ASCII αλλά και ASCII σε TIF. Ιδιαίτερα πολύτιµη ήταν και η βοήθεια του διαχειριστή του Κέντρου Γεωπληροφορικής, κ. Σταµάτη Αντωνάκου, κατά την εκπόνηση και παρουσίαση της εργασίας. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς µου για την αµέριστη συµπαράσταση τους, υλική και κυρίως ηθική, την κ. Αθανασία Μαρτζάκλη, φιλόλογο, για τις συµβουλές και διορθώσεις της και τον συνάδελφο κ. Μιχάλη Παναγιωτάκη για την βοήθεια του στην εκτύπωση της εργασίας.

3 Στόχος και διάρθρωση εργασίας Στόχος της διπλωµατικής εργασίας είναι η δηµιουργία µοντέλου περιγραφής των συστηµατικών, µη γραµµικών, σφαλµάτων που εµφανίζονται σε µη-µετρητικές µηχανές επιγείων λήψεων. Η µεθοδολογία βασίζεται στην προβολική αρχή ότι η εικόνα ευθείας του χώρου οφείλει να απεικονίζεται σαν ευθεία και στην εικόνα. Ο υπολογισµός των σφαλµάτων στηρίχτηκε στην απόκλιση των ευθειών από την γραµµικότητα. Η τεχνική έκθεση που ακολουθεί χωρίζεται σε τρία µέρη. Το πρώτο µέρος περιλαµβάνει το θεωρητικό υπόβαθρο της εργασίας. Στο επόµενο µέρος επιχειρείται µια παρουσίαση των δυνατοτήτων του λογισµικού που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της εργασίας ενώ στο τρίτο µέρος παρατίθεται η εφαρµογή της µεθόδου σε τρεις υπερευρυγώνιους φακούς του εµπορίου. Η τεχνική έκθεση ολοκληρώνεται µε τα τρία παραρτήµατα του αφινικού µετασχηµατισµού, των ηµισφαιρικών φακών και τµήµατος του αλγορίθµου του προγράµµατος.

4 Πίνακας Περιεχοµένων Μέρος Α. Θεωρητικό υπόβαθρο 1.1 Επίγεια Φωτογραµµετρία και οι εφαρµογές της Κατηγορίες αναλογικών φωτογραφικών µηχανών επίγειων λήψεων Μετρητικές και ηµιµετρητικές µηχανές Μη-µετρητικές µηχανές Ο Εσωτερικός προσανατολισµός της εικόνας Ακτινική διαστροφή Η Ακτινική διαστροφή σαν φυσικό µέγεθος Οπτική και φωτογραµµετρική διαστροφή Κατηγορίες παραµόρφωσης διαστροφής Η βαθµονόµηση της ακτινικής διαστροφής Προσδιορισµός της ακτινικής διαστροφής Προσαρµογή ευθείας σε καµπύλη Μέτρηση και παρεµβολή ευθείας στην εικόνα Αλγόριθµοι προσαρµογής εξίσωσης ευθείας στο επίπεδο Αφινικός ή οµοπαράλληλος µετασχηµατισµός Μέθοδος γενικής συνόρθωσης 19 Μέρος Β. Λογισµικό διπλωµατικής 2.1 Το πρόγραµµα Προϋποθέσεις λειτουργίας του προγράµµατος Γλώσσα προγραµµατισµού Βασική οθόνη του προγράµµατος Κατάλογοι, υποκατάλογοι και εντολές Κατάλογος «ιόρθωση» Κατάλογος «Επεξεργασία» Κατάλογος «Μετατροπή» Κατάλογος «Μετασχηµατισµός» Κατάλογος «Συνόρθωση» Κατάλογος «Βαθµονόµηση» Κατάλογος «Γράφηµα» Κατάλογος «Πληροφορίες» Κατάλογος «Προβολή βίντεο» Εγκατάσταση προγράµµατος 53 Μέρος Γ. Εφαρµογές µεθόδου 3.1 ιερεύνηση µεθόδου Πρώτη εφαρµογή - Φακός Tokina εύτερη εφαρµογή - Φακός Tamron Τρίτη εφαρµογή - Φακός Soligor Σχετικός προσανατολισµός Αναλυτική εφαρµογή 191

5 3.7 Τελικά συµπεράσµατα 202 Παραρτήµατα Παράρτηµα 1 - Θεωρητική προσέγγιση Αφινικού Μετασχηµατισµού 203 Παράρτηµα 2 - Παρουσίαση ηµισφαιρικών φακών 209 Παράρτηµα 3 - Αλγόριθµος διόρθωσης Ακτινικής διαστροφής σε αρχείο DXF 214 Βιβλιογραφία 238

6 Εισαγωγικό Σηµείωµα Σκεπτόµενοι την Φωτογραµµετρία και τα πεδία εφαρµογής της ανατρέχουµε συνήθως σε λήψεις από αεροπλάνα, δορυφόρους και γενικά λήψεις από µεγάλες αποστάσεις. Ένας σηµαντικός, όµως, αριθµός εφαρµογών σχετίζεται µε λήψεις από µικρές αποστάσεις (<50 m) που αποτελούν αντικείµενο της Φωτογραµµετρίας «µικρών αποστάσεων» (Close-range Photogrammetry). Η Φωτογραµµετρία «µικρών αποστάσεων» εξαιτίας της διαφορετικής προσέγγισης του αντικειµένου παρουσιάζει κάποιες ιδιαιτερότητες. Οι µετρητικές µηχανές,που έχουν δηµιουργηθεί αποκλειστικά για φωτογραµµετρικούς σκοπούς, λόγω του υψηλού κόστους και της περιορισµένης ευελιξίας, δεν είναι πάντα η καταλληλότερη λύση. Έτσι η αναζήτηση νέων δρόµων οδήγησε τα τελευταία χρόνια στην ευρεία χρήση των µη- µετρητικών µηχανών για τις εφαρµογές αυτές. Οι µη-µετρητικές µηχανές παρουσιάζουν σηµαντικά πλεονεκτήµατα αφού χαρακτηρίζονται από χαµηλό κόστος και ευχρηστία. Βασικό, όµως, µειονέκτηµα των µη-µετρητικών (ερασιτεχνικών) µηχανών είναι η καταρχήν άγνωστη αλλά και ασταθής εσωτερική γεωµετρία τους, µε αποτέλεσµα την περιορισµένη ακρίβεια. Σκοπός της διπλωµατικής εργασίας είναι η δηµιουργία µοντέλου περιγραφής συστηµατικών σφαλµάτων (ακτινική διαστροφή) που εµφανίζονται σε µη-µετρητικές µηχανές. Ειδικότερα, στις συγκεκριµένες µηχανές προσαρµόστηκαν υπερευρυγώνιοι φακοί (συγκεκριµένα εστιακής απόστασης 17mm), που παρουσιάζουν και την µεγαλύτερη διαστροφή, λόγω των πιθανών σηµαντικών εφαρµογών τους εκεί όπου ο χώρος είναι περιορισµένος ή οι λήψεις πρέπει να γίνουν από µικρό ύψος. ηµιουργώντας το µοντέλο η εσωτερική γεωµετρία αποκαθίσταται και κατά συνέπεια είναι εφικτός ο περιορισµός των σφαλµάτων της απεικόνισης. Κύρια έκφραση των συστηµατικών σφαλµάτων είναι η διαστροφή των φακών. Σε οξυγώνιους ή κανονικούς φακούς οι τιµές της είναι γενικά µικρότερες από 100 µm και η διόρθωση της εξαρτάται από την επιθυµητή ακρίβεια ενώ σε ευρυγώνιους και κυρίως σε υπερευρυγώνιους, που εξετάζονται στην συγκεκριµένη εργασία, µπορεί να ξεπερνάει τα 300 µm καθιστώντας την διόρθωση της επιβεβληµένη. Για τον προσδιορισµό και τη διόρθωση της διαστροφής χρησιµοποιείται ένα πολυώνυµο περιττής τάξης κατά τον Conrady (1919). Έτσι η µοντελοποίηση του συγκεκριµένου συστηµατικού σφάλµατος των φακών ανάγεται στον προσδιορισµό των συντελεστών του πολυώνυµου. Ο προσδιορισµός πραγµατοποιήθηκε, αποκλειστικά, µε την λήψη φωτογραφιών ευθειογενών αντικειµένων. Ψηφιοποιήθηκαν οι απεικονιζόµενες ευθείες και µε την χρήση της µεθόδου των ελάχιστων τετραγώνων και συγκεκριµένα της γενικής µεθόδου συνόρθωσης, υπολογίστηκαν οι τιµές των συντελεστών. Για την περάτωση της εργασίας δηµιουργήθηκε το απαιτούµενο λογισµικό, προσαρµοσµένο στις ανάγκες και τις απαιτήσεις που παρουσιάστηκαν κατά την εκτέλεσή της.

7 ΜΕΡΟΣ Α` ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Σελίδα :7

8 1.1 Επίγεια Φωτογραµµετρία και οι εφαρµογές της Η Φωτογραµµετρία ταξινοµείται σε δυο γενικές κατηγορίες µε κριτήριο τον τρόπο λήψης της φωτογραφίας. ιακρίνεται στην από αέρα Φωτογραµµετρία στην περίπτωση των αεροφωτογραφιών σε αντίθεση µε την Επίγεια Φωτογραµµετρία όπου ο σταθµός λήψης των φωτογραφιών βρίσκεται στο έδαφος. Η Επίγεια Φωτογραµµετρία διευρύνει συνεχώς τα τελευταία χρόνια τις µεθόδους και εφαρµογές της. Σηµαντικός τους αριθµός επικεντρώνεται για λήψεις από µικρά ύψη, αποτελώντας αντικείµενο της Φωτογραµµετρίας «µικρών αποστάσεων». Η Φωτογραµµετρία «µικρών αποστάσεων» κατέστησε δυνατή την εφαρµογή της Φωτογραµµετρίας σε νέους τοµείς. Μερικοί από αυτούς είναι : αρχιτεκτονική, διατήρηση µνηµείων, µετρήσεις ακριβείας κτιρίων και άλλων τεχνητών αντικειµένων και κατασκευών, µετρήσεις ελέγχου κατασκευών και ελέγχου ζηµιών, µέτρηση και επιµέτρηση τεχνητών και µηχανικών οµοιωµάτων, µετρήσεις παραµορφώσεων, µέτρηση και διαχρονική παρακολούθηση δυναµικών φαινοµένων, ιατρική. Οι σηµαντικές εφαρµογές που αναφέρθηκαν οδήγησαν στην εξέταση χρήσης εναλλακτικών µεθόδων. Μια από αυτές ήταν η εύρεση της καταλληλότερης κατηγορίας µηχανών λήψης. 1.2 Κατηγορίες αναλογικών φωτογραφικών µηχανών επίγειων λήψεων Μετρητικές και ηµιµετρητικές µηχανές Οι µετρητικές µηχανές είναι κατασκευασµένες αποκλειστικά για φωτογραµµετρικές λήψεις. Χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη εικονοσηµάτων ή και την σήµανση του πρωτεύοντος σηµείου. ιαθέτουν µηχανικές διατάξεις για την επιπέδωση του φιλµ, υψηλής ποιότητας φακούς και γνωστή εστιακή απόσταση. ιακρίνονται για την υψηλού επιπέδου οπτική και γεωµετρική ποιότητα ώστε να µπορούν να ανταποκριθούν σε µεγάλες απαιτήσεις ακρίβειας. Έχουν πολύ µικρή διαστροφή των φακών (<5 µm). Είναι ρυθµισµένες από τους κατασκευαστές µε τέτοιο τρόπο ώστε γενικά το σηµείο της αυτοευθυγράµµισης και το σηµείο καλύτερης συµµετρίας να απέχουν απόσταση µικρότερη από 20 µm από το κέντρο της εικόνας. Το κέντρο της εικόνας ορίζεται µε µεγάλη ακρίβεια λόγω της ύπαρξης των σηµείων πλαισίου. Έχουν φορµάτ που κυµαίνεται από 6x9 cm 2 έως 13x18 cm 2 και κατά περίπτωση δέχονται γυάλινες πλάκες ή φιλµ. Εξαιτίας της µηχανικής-γεωµετρικής σταθερότητας που παρουσιάζουν, έχουν την ικανότητα επανάληψης της εσωτερικής γεωµετρίας τους από λήψη σε λήψη. Έτσι δεν απαιτούν συχνή βαθµονόµηση (συνήθως βαθµονοµούνται µια φορά το χρόνο στο εργαστήριο). Σε πολλές επίγειες εφαρµογές δεν είναι απαραίτητη η διόρθωση της διαστροφής και του πρωτεύοντος σηµείου αφού οι απαιτούµενες ακρίβειες καλύπτονται από αυτές των µετρητικών µηχανών χωρίς τις παραπάνω διορθώσεις. Παρόλα αυτά,το µεγάλο µέγεθος και βάρος τους σε συνδυασµό µε το υψηλό κόστος καθιστούν πολλές φορές την χρήση τους ασύµφορη. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιµοποιούνται οι µη-µετρητικές µηχανές που παρουσιάζονται παρακάτω. Σελίδα :8

9 1.2.2 Μη-µετρητικές µηχανές Στην κατηγορία αυτή ανήκουν οι ερασιτεχνικές µηχανές του εµπορίου. Παρουσιάζουν σηµαντικά πλεονεκτήµατα ειδικά για επίγειες µετρητικές εφαρµογές. Τα βασικότερα από αυτά είναι το χαµηλό κόστος, το µικρό µέγεθος και βάρος, η δυνατότητα εναλλαγής φακών, η συνεχής εστίαση και η καλή ποιοτικά εικόνα που παράγουν. Το βασικό µειονέκτηµά τους είναι η περιορισµένη ακρίβεια που παρέχουν, απόρροια της απουσίας εικονοσηµάτων και σηµείων reseau, της έλλειψης αξιόλογων διατάξεων επιπέδωσης του φιλµ, του µικρού φορµάτ (συνήθως 35 mm) και των µειωµένης αξιοπιστίας φακών τους. Η διαστροφή που παρατηρείται,ακόµα και αν πρόκειται για καλής ποιότητας φακούς, µπορεί να υπερβεί τα 300 µm, ειδικά σε περιπτώσεις υπερευρυγώνιων φακών. Σκοπός της εργασίας ήταν η µοντελοποίηση της διαστροφής και ο έλεγχος της επαναληψιµότητας που εµφάνισαν τρεις υπερευρυγώνιοι φακοί. Προτού, όµως, προχωρήσουµε στην διαδικασία δηµιουργίας του µοντέλου θα επιχειρηθεί µια παρουσίαση της εσωτερικής γεωµετρίας των φακών, των σφαλµάτων που παρουσιάζουν και µετά θα ακολουθήσει η µέθοδος περιορισµού τους. 1.3 Ο Εσωτερικός προσανατολισµός της εικόνας Αναφερόµενοι στον εσωτερικό προσανατολισµό της εικόνας εννοούµε την ανακατασκευή της ιδεατής δέσµης ακτινών που υπήρχε κατά την στιγµή έκθεσης στον χώρο και δηµιούργησε την εικόνα. Ως πρότυπο συσχέτισης της εικόνας µε τον χώρο έχει επικρατήσει αυτό της µαθηµατικής κεντρικής προβολής. Η κεντρική προβολή, όµως, δεν προσεγγίζει ιδεατά το πρόβληµα. Στην πραγµατικότητα υπάρχουν δυο εντελώς ξεχωριστές προβολές µε δυο χωριστά κέντρα προβολής, την κόρη εισόδου και εξόδου αντίστοιχα. Ακόµα και µε την χρήση των δυο (ξεχωριστών) προβολών τα φυσικά κέντρα της απεικόνισης, δηλαδή οι κόρες εισόδου και εξόδου δεν συµπίπτουν µε τα αντίστοιχα δεσµικά σηµεία του φακού µε αποτέλεσµα οι εξερχόµενες ακτίνες από τον φακό να σχηµατίζουν γωνία µε τον οπτικό άξονα διαφορετική από την αντίστοιχη των εισερχόµενων ακτινών. Με τον εσωτερικό προσανατολισµό ορίζουµε τα απαιτούµενα γεωµετρικά στοιχεία για την αποκατάσταση της απόκλισης των ακτινών (διαδικασία βαθµονόµησης). Απώτερος σκοπός είναι η εκλογή ενός σηµείου Ο Π που θα βρίσκεται πάνω στον άξονα συµµετρίας του φακού και θα συγχωνεύει την δέσµη του αντικειµενικού χώρου µε τα εικονοσηµεία δηµιουργώντας µια ενιαία κεντρική προβολή. Η απόσταση c του σηµείου Ο Π από το εστιακό επίπεδό του ονοµάζεται σταθερά της µηχανής. Επιλέγεται τέτοιο ώστε για τις ανηγµενες στο Η` ακτινικές αποστάσεις r` στην εικόνα να ισχύει : r`=ctan(τ) (1) Η αυστηρή κεντρική προβολή, αν και επιθυµητή δεν υλοποιείται σε πραγµατικές απεικονίσεις. Κατόπιν µελέτης των διαταραχών (σφαλµάτων) που παρουσιάζει έχει αποδειχτεί ότι το κύριο µέρος τους εµφανίζει επαναληψιµότητα, πρόκειται δηλαδή για συστηµατικό σφάλµα. Εποµένως για την βέλτιστη ανακατασκευή της δέσµης θα πρέπει στην διαδικασία του εσωτερικού προσανατολισµού να προσαρτηθούν και οι συστηµατικές διαταραχές. Σαν κύριος εκφραστής των συστηµατικών σφαλµάτων έχει Σελίδα :9

10 r` c τ τ` Οπ τ Σχήµα 1 τεκµηριωθεί η διαστροφή των φακών, προσδιορισµός της οποίας αποτελεί τον βασικό στόχο της παρούσας εργασίας. 1.4 Ακτινική διαστροφή Η Ακτινική διαστροφή σαν φυσικό µέγεθος Έστω ότι µία φωτεινή δέσµη προερχόµενη από το σηµείο Α του αντικειµενικού χώρου, εισέρχεται στο σύστηµα των φακών, περνάει από το εξωτερικό προβολικό κέντρο Ο και κατά την έξοδο του από το σύστηµα περνάει από το εσωτερικό προβολικό κέντρο Ο`. Η γωνία τ που σχηµατίζει η δέσµη µε τον οπτικό άξονα κατά την είσοδο της, γενικά δεν είναι ίση µε την αντίστοιχη γωνία τ` κατά την έξοδο (Σχήµα 2). Η διάφορα των γωνιών τ και τ` οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι είναι πρακτικά αδύνατο να κατασκευαστούν φακοί των οποίων οι επιφάνειες να είναι παραβολοειδείς εκ περιστροφής. Στην πράξη οι φακοί κατασκευάζονται µε επιφάνειες που προσεγγίζουν τις σφαιρικές. Έτσι το είδωλο του σηµείου Α στο επίπεδο του αρνητικού θα είναι το σηµείο α` και όχι το α που προβλέπεται από την κλασσική οπτική. Η απόκλιση α και α` ορίζεται σαν την συµµετρική ακτινική διαστροφή και η σχέση που την περιγράφει προκύπτει από το σχήµα 2 και δίνεται από τον τύπο : r=r`-ctanτ (2) Σελίδα :10

11 α` r`` r ` ctanτ α τ O O`` τ`` τ O` c`` τ τ` c` H` A Σχήµα 2 εδοµένα από την απεικόνιση µπορούµε να έχουµε τα r` και τ. Κατά συνέπεια υπάρχουν άπειροι συνδυασµοί των r,c που να ικανοποιούν την σχέση ανάλογα µε την επιλεγµένη κεντρική προβολή. Μια αυθαίρετα εκλεγµένη τιµή του c δίνει κάποιες τιµές r ενώ µεταβολή του c κατά ποσότητα c θα επιφέρει και ανάλογη µεταβολή του r κατά δ r=- ctanτ. Στην περίπτωση απεικονίσεων απαλλαγµένων από ακτινική διαστροφή (δηλαδή για r`=ctanτ αφού r=0) εσφαλµένη επιλογή του c κατά c θα εµφανίσει µια διαστροφή r=-(tanτ) c=-(r`/c) c (3) Βλέπουµε ότι η διαστροφή είναι ανάλογη του r`. Ισοδυναµεί δηλαδή µε µια ενιαία γραµµική µεταβολή κλίµακας στην εικόνα. Και αντίστροφα κάθε ενιαία µεγέθυνση ή σµίκρυνση προερχόµενη από την ακτινική διαστροφή µπορεί να αντισταθµιστεί µέσω µιας µεταβολής του c κατά την κατάλληλη ποσότητα c. Παρατηρώντας την παραπάνω εξίσωση η διαστροφή εκφράζεται σαν µια µεταβολή της κλίµακας για τον κάθε κύκλο ακτίνας r`. Μπορεί έτσι να εκφραστεί εναλλακτικά ως µεταβολή της σταθεράς c για κάθε r` ως c r tanτ όπου c r η µεταβολή του c που αντιστοιχεί σε κάθε τιµή της ακτινικής απόστασης r`. Σε αυτή την περίπτωση το c είναι πλέον µια συνάρτηση της µορφής c=f(τ) και όχι µια σταθερά για ολόκληρη την εικόνα. Στο σηµείο αυτό να αναφερθεί ότι η σταθερά c της µηχανής διαφέρει από την εστιακή απόσταση f του φακού. εν πρόκειται κατά ανάγκη για φυσικό µέγεθος όπως η εστιακή απόσταση του φακού που εκφράζει την απόσταση του εσωτερικού κύριου σηµείου του από το εστιακό επίπεδο για εστίαση στο άπειρο. Όπως χρησιµοποιήθηκε στον υπολογισµό της ακτινικής διαστροφής περιγράφεται σαν ένα καθαρά γεωµετρικό µέγεθος, ένας συντελεστής κλίµακας που επιτρέπει την µετατροπή της προβολής σε κεντρική προβολή. Σελίδα :11

12 1.4.2 Οπτική και φωτογραµµετρική διαστροφή Στο προηγούµενο εδάφιο περιγράφεται η ακτινική διαστροφή ως σφάλµα των φακών. Σαν αποκλειστική, όµως, ιδιότητα του φακού για να προσδιοριστεί η «οπτική» ακτινική διαστροφή θα πρέπει να γίνει µε τρόπο ανεξάρτητο του c ώστε να συνοδεύει τα τεχνικά χαρακτηριστικά του φακού. Εκτός της οπτικής ή απόλυτης (Γκαουσιανής) η ακτινική διαστροφή προσεγγίζεται και σαν µια µαθηµατική-γεωµετρική παράσταση διόρθωσης που εφαρµόζεται πάνω στην εικόνα και µεταβάλλεται µε το c. Και αυτό γιατί στην φωτογραµµετρία µας ενδιαφέρει η τελική απεικόνιση από την οποία θα εξαχθούν τα µετρητικά στοιχεία, και όχι ο ίδιος ο φακός Κατηγορίες παραµόρφωσης διαστροφής Συµµετρική ακτινική διαστροφή Η διαστροφή των φακών είναι κατά το µεγαλύτερο µέρος της συµµετρική ως προς τον οπτικό άξονα και για αυτό ονοµάζεται ακτινική διαστροφή (Σχήµα 3). Συναντιέται και µε τον όρο παραµόρφωση Seidel και έχει αποδειχτεί ότι η τιµή της σε όλο το επίπεδο της εικόνας εκφράζεται ικανοποιητικά από το πολυώνυµο των περιττών δυνάµεων των ακτινικών αποστάσεων r = K 1 r + K 3 r 3 + K 5 r (4) Ο αριθµός των συντελεστών του πολυώνυµου που θα χρησιµοποιηθούν εξαρτάται από την απαιτούµενη ακρίβεια. Συνήθως οι Κ 1,Κ 3 και Κ 5 κρίνονται αρκετοί για αποτυπώσεις υψηλής ακρίβειας. Η συµµετρική ακτινική διαστροφή κυµαίνεται από µερικά µm µέχρι τιµές άνω των 300 µm (υπερευρυγώνιοι φακοί). Στις εφαρµογές που ακολουθούν λαµβάνεται υπόψη µόνο η συµµετρική ακτινική διαστροφή λόγω των µικρών σχετικά τιµών που παρουσιάζουν οι υπόλοιπες παραµορφώσεις. Σχήµα 3 Σελίδα :12

13 Ασύµµετρη διαστροφή Μια δεύτερη αιτία που οφείλεται και πάλι σε κατασκευαστική ατέλεια των φακών προκαλεί αυτή την φορά µια ασύµµετρη παραµόρφωση που ονοµάζεται παραµόρφωση εκκεντρότητας. Προέρχεται από την αδυναµία ακριβούς κεντρώσεις των φακών µέσα στο σύστηµά τους. Αναλυµένη η έκκεντρη διαστροφή σε δυο συνιστώσες, µια ακτινική δr r και µια εγκάρσια δr t, έχει υπολογιστεί ότι η ακτινική είναι υπερτριπλάσια της εγκάρσιας (Σχήµα 4). Σχήµα 4 Η ακτινική συνιστώσα έχει ως αποτέλεσµα οι οπτικές ακτίνες που τέµνουν τον κύριο άξονα υπό γωνίες ίσες να απέχουν στην εικόνα διαφορετικές ακτινικές αποστάσεις από το πρωτεύον σηµείο. Ως συνέπεια της εγκάρσιας (εφαπτοµενικής) συνιστώσας είναι µια ευθεία του αντικειµένου να εµφανίζεται ως καµπύλη στην εικόνα ακόµα και αν διέρχεται από το πρωτεύον σηµείο. Σχήµα 5 Γενικά πάντως η ασύµµετρη διαστροφή µετατρέπει ένα τετράγωνο συµµετρικά τοποθετηµένο ως προς τον άξονα και για αυστηρά κάθετη λήψη σύµφωνα µε το σχήµα 6. Σελίδα :13

14 Σχήµα 6 Ένα µοντέλο περιγραφής της ασύµµετρης παραµόρφωσης εκκεντρότητας ήταν το µοντέλο του «λεπτού πρίσµατος». Οι ακτινικές και εφαπτοµενικές συνιστώσες περιγράφονται από τις σχέσεις : δr r =3(J 1 r 2 +J 2 r 4 + )sin(θ-θ ο ) (5) δr t =(J 1 r 2 +J 2 r 4 + )cos(θ-θ ο ) (6) όπου θ η γωνία διεύθυνσης της ευθείας που ενώνει το πρωτεύον σηµείο µε το συγκεκριµένο σηµείο και θ ο η διεύθυνση της µέγιστης εγκάρσιας συνιστώσας δr t. Μεταγενέστερα χρησιµοποιήθηκαν και αλλά µοντέλα περιγραφής της ολικής διαστροφής (συµµετρικής και ασύµµετρης). Μεθοδολογίες που στηρίζονται στην χρήση παράλληλων πλακών, φακών σύµφωνα µε την αρχή του Porro-Koope, διορθωτικών φακών και διορθωτικών σφαιρικών γυάλινων πλακών, εφαρµόστηκαν κατά καιρούς σε φωτογραµµετρικά όργανα που δεν µετρούνται συντεταγµένες και οι διορθώσεις µεσώ της ακτινικής απόστασης r δεν µπορούν να εφαρµοστούν Η βαθµονόµηση της ακτινικής διαστροφής Όπως αναφέρθηκε, στη φωτογραµµετρία η ακτινική διαστροφή r εκφράζεται µέσω του γνωστού πολυωνύµου περιττής τάξης r = K 1 r + K 3 r 3 + K 5 r (7) όπου Κ i οι συντελεστές του πολυωνύµου. Προσδιορισµός της διαστροφής σηµαίνει προσδιορισµός αυτών των συντελεστών. Για κάθε φακό υπάρχει µία συνάρτηση αυτής της µορφής για κάθε τιµή του c. Ο Brown (1957) αποδεικνύει ότι υπάρχει πάντοτε µία πραγµατική σταθερά c για την οποία Κ 1 = 0. Εάν το c είναι εκ των προτέρων δεδοµένο πρέπει να χρησιµοποιηθεί η πλήρης εξίσωση. Αν το c πρόκειται να προσδιοριστεί ταυτόχρονα µε τη διαστροφή, είναι σκόπιµο να επιβληθεί εκ των προτέρων ότι Κ 1 =0. Και οι δύο προσεγγίσεις οδηγούν σε ταυτόσηµα αποτελέσµατα αφού είναι προβολικά ισοδύναµες. Εάν r οι ακτινικές αποστάσεις στην εικόνα, c η σταθερά της µηχανής και r η αντίστοιχη διαστροφή, η διαστροφή r που αντιστοιχεί σε µεταβολή του c κατά c δίδεται ως εξής, όπως προκύπτει από το σχήµα 2 της σελίδας 11: r = r(1 + c/c) - ( c/c)r (8) Σελίδα :14

15 Μέσω αυτής της σχέσης είναι δυνατός ο µετασχηµατισµός µιας δεδοµένης καµπύλης διαστροφής σε µία άλλη µε συγκεκριµένες απαιτούµενες ιδιότητες και χωρίς καµιά µεταβολή του φακού. Από τις (7) και (8) προκύπτει ότι αν Κ 3, Κ 5,... είναι οι συντελεστές του αρχικού πολυωνύµου µε Κ 1 = 0, οι νέοι για c + c θα είναι (i = 3,5,...) K 1 = ( c/c) (9) K i = (1 + c/c)k i (10) Υπάρχουν περισσότερα του ενός κριτήρια ώστε οι τιµές r να είναι κατά το δυνατόν µικρές σε ολόκληρο το ωφέλιµο πεδίο της εικόνας. Συνηθέστερος τρόπος είναι να ζητείται ο µηδενισµός της διαστροφής σε κάποια συγκεκριµένη ακτινική απόσταση r o, οπότε από την (8) προκύπτει ότι τότε c = c r o / (r o - r o ) c/c= r o / (r o - r o ) c K r 3 K r 5 3 o + 5 = o c r -K r 3 K r 5 (11) o 3 o 5 o Μπορεί επίσης να ζητηθεί να είναι κατ απόλυτη τιµή ίσες η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή της διαστροφής. Άλλος µετασχηµατισµός που προτιµάται είναι να µηδενίζεται το άθροισµα ή να ελαχιστοποιείται το άθροισµα των τετραγώνων των τιµών της διαστροφής µέχρι κάποια ακραία ακτινική απόσταση r max. Στις περιπτώσεις αυτές µπορεί κανείς να εργαστεί είτε µε πεπερασµένο αριθµό τιµών r είτε και µε ολοκλήρωση. Ειδικά για την περίπτωση της ελαχιστοποίησης της µέσης τετραγωνικής τιµής της διαστροφής µέχρι κάποια ακραία ακτινική απόσταση r max, η απαίτηση είναι βάσει της (8) να ελαχιστοποιηθεί η τιµή του ορισµένου ολοκληρώµατος (από 0 έως r max ). 2 [ ] D = r(1+ e) er dr όπου e = c/c. Από εδώ προκύπτει το άθροισµα των ορισµένων ολοκληρωµάτων D= (1+e) 2 D 1-2(1+e)eD 2 + e 2 D 2 + e 2 D 3 όπου D = ( r) 2 dr, D 1 = (r r)dr, D = (r 2 )dr 2 3 Η τιµή του D (της µέσης τετραγωνικής ακτινικής διαστροφής σε ολόκληρο το πεδίο µέχρι r max ) γίνεται ελάχιστη όταν µηδενιστεί η παράγωγός του ως προς e, δηλαδή τελικά για c(d2 D 1) c = D 2D + D Από την τελευταία σχέση,αφού υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα, βρίσκουµε ότι (3.11). Σελίδα :15

16 c c = r 5 r 7 K K - K 2 r 7 r 9-2K K - K 2 r K 2 r 7 r 9 r r r r + 2K K + K K K (12) Στο σηµείο αυτό να επαναληφθεί η επισήµανση ότι γενικά είναι µόνο η συµµετρική ακτινική διαστροφή, και συγκεκριµένα οι δύο πρώτοι το πολύ συντελεστές της, που θεωρείται ότι έχουν σηµασία στις µη µετρικές µηχανές - ειδικά µάλιστα τις µέσου και µικρού φορµάτ - ενώ τα άλλα σφάλµατα της απεικόνισης µπορούν να αγνοούνται Προσδιορισµός της ακτινικής διαστροφής Συνήθως η εύρεση της ακτινικής διαστροφής του φακού πραγµατοποιείται µε βαθµονόµηση της µηχανής, η ακτινική διαστροφή υπολογίζεται δηλαδή µαζί µε τα υπόλοιπα στοιχεία του εσωτερικού προσανατολισµού. Υπάρχουν όµως και τρόποι να προσδιορίζεται η διαστροφή ανεξάρτητα (µερικός εσωτερικός προσανατολισµός).κατά καιρούς έχουν παρουσιαστεί τόσο απλές όσο και σύνθετες µέθοδοι ανεξάρτητου προσδιορισµού. Στην παρούσα εργασία εφαρµόστηκε µια σχετικά απλή µέθοδος µερικού εσωτερικού προσανατολισµού. Βασίστηκε κυρίως στην εκµετάλλευση της παραµόρφωσης που υφίστανται οι ευθείες γραµµές στην εικόνα. Η προσέγγιση που επιλέχτηκε βασίζεται στην µέθοδο των νηµάτων της στάθµης που πρωτοπαρουσίασε ο Brown στις αρχές της δεκαετίας του ` Προσαρµογή ευθείας σε καµπύλη Ο Brown στην συγκεκριµένη µέθοδο προσδιορισµού της διαστροφής (plumb-line method) βασίστηκε στην προβολική αρχή ότι, µε την απουσία διαστροφών κάθε είδους, η εικόνα ευθείας είναι και η ίδια ευθεία. Κάθε απόκλιση από τη γραµµικότητα αποδίδεται κατ αρχήν - αν αµεληθούν οι άλλες παραµορφώσεις - στην ακτινική και στην έκκεντρη διαστροφή. Στην ίδια προβολική αρχή βασίστηκε και η µέθοδος της εργασίας. Από φωτογραµµετρική άποψη, η µέθοδος των νηµάτων της στάθµης κρίνεται ως σχετικά γρήγορη και πρακτική µέθοδος, προσφερόµενη ιδιαίτερα για εύρος κλιµάκων από 1:5 έως 1:20, ενώ ταυτόχρονα παραµένει αυστηρή επιτρέποντας ακρίβεια στον προσδιορισµό της διαστροφής. Οι Fryer and Fraser (1986) βρήκαν έτσι ότι η µέθοδος έδωσε για µη µετρική µηχανή ίδια αποτελέσµατα µε τη διαδικασία αυτορρύθµισης της µηχανής (self-calibration). Σηµαντική παρατήρηση είναι εν προκειµένω ότι οι εξισώσεις προσδιορισµού της διαστροφής είναι εντελώς ανεξάρτητες τόσο από όλα τα έξι στοιχεία του εξωτερικού προσανατολισµού όσο όµως και από την σταθερά c της µηχανής. Πρόκειται έτσι για µέθοδο µερικού εσωτερικού προσανατολισµού που δεν επιτρέπει προσδιορισµό του c. Η ακτινική διαστροφή εποµένως που προκύπτει αφορά κατά βάση την Γκαουσιανή διαστροφή. Η διαστροφή θεωρείται ότι εκτιµάται µε µεγάλη ακρίβεια. Στην πλήρη εξίσωση παρατήρησης δεν κρίθηκε σκόπιµη η εισαγωγή της έκκεντρης διαστροφής λόγω του µικρού µεγέθους που από προηγούµενες µελέτες έχει εκτιµηθεί ότι είναι της τάξης των 20 µε 30 µm. Υποθετηκε εκ των προτέρων ότι οι συντεταγµένες του πρωτεύοντος σηµείου είναι Σελίδα :16

17 x o = y o = 0. Ο προσδιορισµός του ορίστηκε σαν το σηµείο τοµής των δυο διαγωνίων. Ταυτόχρονα αγνοήθηκε ο συντελεστής Κ 7 του πολυώνυµου µια που όπως αποδείχτηκε από τις εφαρµογές δεν προσδίδει σηµαντική βελτίωση στην ακρίβεια της µεθόδου. Με τον τρόπο αυτό οι υπολογισµοί απλοποιούνται σηµαντικά και οι άγνωστοι περιορίζονται σε 2 + 2k όπου k ο αριθµός των ευθειών Μέτρηση και παρεµβολή ευθείας στην εικόνα Η αναγνώριση και µέτρηση ενός σηµειοσυνόλου που απαρτίζει µία ευθεία ψηφιακής εικόνας µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους : απευθείας στην οθόνη (στην κατάλληλη µεγέθυνση) από τον παρατηρητή που θα µετρήσει τις συντεταγµένες pixel σηµείων επαρκούς πυκνότητας, στα οποία εν συνεχεία θα παρεµβληθεί εξίσωση ευθείας µε κατάλληλο λογισµικό αυτόµατης εξαγωγής ακµών και τελικό προϊόν - ανάλογα µε τον αλγόριθµο - είτε ένα σηµειοσύνολο της ευθείας (στο οποίο εν συνεχεία θα προσαρµοστεί η εξίσωση ευθείας) είτε και την ίδια την εξίσωση της ευθείας. Επιλέχτηκε ο πρώτος τρόπος ψηφιοποίησης λόγω της ευκολίας υλοποίησης του. Συγκεκριµένα η ψηφιοποίηση των ευθειών έγινε µε την χρήση του σχεδιαστικού πακέτου Autocad έκδοσης Αλγόριθµος προσαρµογής εξίσωσης ευθείας στο επίπεδο Στην βιβλιογραφία υπάρχει µια πληθώρα αλγορίθµων προσαρµογής εξίσωσης ευθείας. Κατόπιν αξιολόγησής τους επιλέχτηκε σαν βασικός αλγόριθµος εκείνος της εξίσωσης (13): x x y y x + t x y + d x = 0 (13α) 1 N 1 N x x > y y t y x + y + d y = 0 (13β) 1 N 1 N Ανάλογα µε την διεύθυνσή της όπως αυτή εκτιµάται βάσει του πρώτου (x 1, y 1 ) και του τελευταίου (x N, y N ) σηµείου της, χρησιµοποιήθηκαν οι εναλλακτικές µορφές της (13α) και (13β). Ο αλγόριθµος αντιµετωπίζει όλες τις, θεωρούµενες ως ισοβαρείς, εικονοσυντεταγµένες x, y των σηµείων της κάθε ευθείας ως παρατηρήσεις (αν οι συντεταγµένες είναι σε pixel, προηγείται αφινικός µετασχηµατισµός τους σε εικονοσυντεταγµένες). Βασικό του πλεονέκτηµα είναι η αποφυγή των δυσκολιών των ακραίων περιπτώσεων των αυστηρών κατακόρυφων ή οριζόντιων ευθειών, αφού δεν αντιµετωπίζει πρόβληµα σε καµία διεύθυνση και θέση της ευθείας. Θεωρείται ως αριθµητικά σταθερός αλγόριθµος και είναι δοκιµασµένος σε πολλές εφαρµογές. Σελίδα :17

18 1.5 Αφινικός ή οµοπαράλληλος µετασχηµατισµός Ο αφινικός µετασχηµατισµός συνιστά έναν γενικότερο βασικό δισδιάστατο µετασχηµατισµό συντεταγµένων από ένα σύστηµα σε άλλο. Πραγµατοποιείται µε τον υπολογισµό έξι γεωµετρικών παραµέτρων (Σχήµα 7): την γωνία στροφής του ενός συστήµατος ως προς το άλλο (γωνία θ) τις δυο µεταθέσεις στους αντιστοίχους άξονες (c 1,c 2 ) τις δύο µεταβολές κλίµακας κατά τους δύο άξονες του ενός των συστηµάτων την απόκλιση των δύο αξόνων από την ορθογωνικότητα (γωνία ε). Σχήµα 7 Ο αφινικός µετασχηµατισµός είναι ο γενικότερος και συνηθέστερα εφαρµοζόµενος µετασχηµατισµός στις περιπτώσεις µεταφοράς µετρήσεων από το σύστηµα του οργάνου (συγκριτή, ψηφιοποιητή) ή της ψηφιακής εικόνας στο σύστηµα των εικονοσυντεταγµένων, αλλά και στην περίπτωση ψηφιοποίησης χαρτών και διαγραµµάτων, τον προβλέπουν άλλωστε και τα περισσότερα περιβάλλοντα λογισµικού που επιτρέπουν ψηφιοποίηση (π.χ. AUTOCAD, ARC/INFO) αλλά και τα ψηφιακά φωτογραµµετρικά συστήµατα. Η εφαρµογή του λαµβάνει ταυτόχρονα υπόψη και διορθώνει τυχόν ελαττώµατα µη ορθογωνικότητας και διαφορικής κλίµακας («αφινικές παραµορφώσεις»). Έτσι, ο αφινικός µετασχηµατισµός αποτελεί απλό ενδιάµεσο βήµα στο πλαίσιο µίας µετρητικής διαδικασίας. Άρα δεν ενδιαφέρει εν προκειµένω η γνώση τυχόν αφινικών παραµορφώσεων του φιλµ ή του φωτογραφικού χαρτιού, του χάρτη, των συστηµάτων µέτρησης των οργάνων κ.λ.π., ενδιαφέρει µόνον η διόρθωσή τους : υπολογισµός των έξι συντελεστών και εν συνεχεία, µέσω αυτών, µετατροπή των συντεταγµένων. Για να βρεθούν οι 6 συντελεστές του µετασχηµατισµού απαιτούνται τουλάχιστον τρία σηµεία γνωστά στα δύο συστήµατα και µη κείµενα επ ευθείας. Γενικά όµως χρησιµοποιούνται τουλάχιστον 4 σηµεία (εικονοσήµατα, σηµεία reseau ή άκρα της εικόνας, σηµεία καννάβου του χάρτη).υιοθετείται το µοντέλο συνόρθωσης των έµµεσων παρατηρήσεων και υπολογίζονται οι έξι συντελεστές. Αναλυτική περιγραφή των γεωµετρικών στοιχείων και της µεθόδου υπολογισµού του αφινικου µετασχηµατισµού υπάρχει στο αντίστοιχο παράρτηµα. Σελίδα :18

19 1.6 Γενική Συνόρθωση Η µέθοδος της γενικής συνόρθωσης εφαρµόζεται συνήθως όταν ορισµένες από τις ανεξάρτητες παραµέτρους µετριούνται άµεσα και ενδιαφέρει ο προσδιορισµός των παραµέτρων που δεν είναι δυνατόν να µετρηθούν. Τέτοιες περιπτώσεις παρουσιάζονται σε προβλήµατα προσαρµογής γραµµών ή επιφανειών, σε µετρήσεις στη φωτογραµµετρία και σε προβλήµατα µετατροπών συστηµάτων αναφοράς. Γενικά αν έχουν γίνει n µετρήσεις και οι ανεξάρτητες παράµετροι του µοντέλου είναι m ο βαθµός ελευθέριας είναι r = η - m. Οι εξισώσεις συνθήκης που σχηµατίζονται είναι c όπου c = r + m o µε m o τον αριθµό παραµέτρων που πρόκειται να προσδιοριστούν. Η µορφή του συστήµατος των εξισώσεων συνθήκης θα είναι : Ax + B(l + u) = k όπου: Α ο πίνακας των συντελεστών των παραµέτρων που ενδιαφέρουν Β ο πίνακας των συντελεστών των µετρηµένων στοιχείων x το διάνυσµα των καλύτερων τιµών των παραµέτρων l το διάνυσµα των µετρήσεων u το διάνυσµα των σφαλµάτων των µετρήσεων k το διάνυσµα των σταθερών όρων Τελικά ο πίνακας των άγνωστων υπολογίζεται από την σχέση : x = (A` (BB`) -1 A) -1 A` (BB`) -1 W ενώ το a posteriori τυπικό σφάλµα της µονάδας βάρους από τον τύπο : ^ 2 σ = -1-1 (W`(BB`) W) - (x`a`(bb`) Ax) n - m όπου n ο αριθµός των σηµείων και m ο ελάχιστος αριθµός εξισώσεων που απαιτούνται για την επίλυση του συστήµατος δηλαδή το διπλάσιο του αριθµού των ευθειών (t i,d i ) συν δυο (για τα Κ 3,Κ 5 ). Παρατηρούµε ότι θα πρέπει να υπολογιστούν οι τρεις πίνακες Α,Β και W. Αρχικά δηµιουργούµε τις εξισώσεις συνθήκης, οι οποίες είναι όσες και τα εισαγόµενα σηµεία. Αν τα σηµεία ανήκουν σε ευθεία που συγκλίνει προς τον άξονα xx` τότε η εξίσωση συνθήκης είναι : t y x (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) + y (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) +d y = 0 (xx`) ενώ αν τα σηµεία ανήκουν σε ευθεία που συγκλίνει προς τον άξονα yy` τότε η εξίσωση συνθήκης που χρησιµοποιείται είναι : x (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) + t x y (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) +d x = 0 (yy`) Σελίδα :19

20 Υπολογισµός πίνακα Α Ο πίνακας A περιέχει τις µερικές παραγώγους των αγνώστων ως προς την κατάλληλη εξίσωση συνθήκης ανάλογα τον άξονα που συγκλίνει. Οι διαστάσεις του είναι: n A 2k + 2 όπου n ο αριθµός των σηµείων και k ο αριθµός των ευθειών Η πρώτη στήλη του πίνακα περιέχει την µερική παράγωγο της συνθήκης ως προς τον συντελεστή Κ 3. f/ Κ 3 = t y x r 2 + y r 2 (xx`) ή f/ Κ 3 = x r 2 + t x y r 2 (yy`) Η δεύτερη στήλη του πίνακα περιέχει την µερική παραγωγό της συνθήκης ως προς τον συντελεστή Κ 5. f/ Κ 5 = t y x r 4 + y r 4 (xx`) ή f/ Κ 5 = x r 4 + t x y r 4 (yy`) Οι επόµενες στήλες του πίνακα περιέχουν ανά δυο τις µερικές παραγωγούς της συνθήκης ως προς τους συντελεστές της ευθείας f/ t y = x (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) (xx`) f/ d y = 1 ή (xx`) f/ t x = y (1 - K 3 r 2 - K 5 r 4 ) f/ d x = 1 (yy`) (yy`) Σελίδα :20

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος Φωτογραμμετρία Εισαγωγή Ορισμοί Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Εφαρμογές Εισαγωγή Προσδιορισμός θέσεων Με τοπογραφικά όργανα Σχήμα Μέγεθος Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ

Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ» 2000-2006 ΑΞΟΝΑΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ: 1 - ΠΑΙ ΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΟ: 1.3 ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ, ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑ ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ ΟΜΑΔΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ 1)... 2)... 3)... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ Με το πείραµα αυτό θα προσδιορίσουµε: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016 Εισαγωγή στα Δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Τι είναι δίκτυο;

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο ΠΑΛΙΟ http://eclass.survey.teiath.gr NEO

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Το Microsoft Word 2013 έχει διαφορετική εμφάνιση από προηγούμενες εκδόσεις. Γι αυτό το λόγο, δημιουργήσαμε αυτόν τον οδηγό για να ελαχιστοποιήσουμε την καμπύλη εκμάθησης. Γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και επεξεργασία δεδοµένων

Εισαγωγή και επεξεργασία δεδοµένων Μάθηµα 4 Εισαγωγή και επεξεργασία δεδοµένων Εισαγωγή δεδοµένων σε πίνακα 1. Ανοίγουµε το παράθυρο του πίνακα Υπάλληλοι σε προβολή φύλλου δεδοµένων. 2. Η κενή γραµµή, η οποία υπάρχει πάντα στον πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Cubitech Hellas Ακροπόλεως 24, Καλλιθέα, Αθήνα Τ.Κ. 176 75, Ελλάδα, Τηλ. 210 9580887-8 Φαξ.2109580885

Cubitech Hellas Ακροπόλεως 24, Καλλιθέα, Αθήνα Τ.Κ. 176 75, Ελλάδα, Τηλ. 210 9580887-8 Φαξ.2109580885 CubisLITE Client Οδηγίες Χρήσεως Cubitech Hellas Ακροπόλεως 24, Καλλιθέα, Αθήνα Τ.Κ. 176 75, Ελλάδα, Τηλ. 210 9580887-8 Φαξ.2109580885 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Γενικά 1. Τι είναι ο CubisLITE Server 2. Τι είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Η προέλευση του Sketchpad 1

Η προέλευση του Sketchpad 1 Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον...

Περιεχόμενα. Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον... Περιεχόμενα Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον... 111 Πρόλογος Στο κείμενο αυτό παρουσιάζονται οι νέες δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΙΜΕΝΟΥ 1. ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΩΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΙΜΕΝΟΥ 1.1. Ορισµός εγγράφου, προτύπου, πρωτεύοντος και δευτερεύοντος εγγράφου 1.2. Πρότυπα 1.2.1. Δηµιουργία, µεταβολή, χρήση και διαγραφή προτύπων εγγράφων 1.2.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005 Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η µελέτη των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός ελαστικού άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Γενικά... 2 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου.... 2 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος.... 3 5. Στρεπτική ευαισθησία κτιρίου... 3 6. Εκκεντρότητες

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ 7.1 ΑΣΚΗΣΗ 7 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Όταν φωτεινή παράλληλη δέσμη διαδιδόμενη από οπτικό μέσο α με δείκτη διάθλασης n 1 προσπίπτει σε άλλο οπτικό μέσο β με δείκτη διάθλασης n 2 και

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD Σε ορισµένες περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµη η δηµιουργία ιστοσελίδων ενηµερωτικού περιεχοµένου οι οποίες στη συνέχεια µπορούν να δηµοσιευθούν σε κάποιο τόπο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ Άσκηση 4. Διαφράγματα. Θεωρία Στο σχεδιασμό οπτικών οργάνων πρέπει να λάβει κανείς υπόψη και άλλες παραμέτρους πέρα από το πού και πώς σχηματίζεται το είδωλο ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 20130510 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εγκατάσταση προγράμματος DCAD 2 2. Ενεργοποίηση Registration 2 3. DCAD 3 3.1 Εισαγωγή σημείων 3 3.2 Εξαγωγή σημείων 5 3.3 Στοιχεία ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου J-GANNO ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΑΚΕΤΟ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΗΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ JAVA Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ. Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ.

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ. Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ. ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Είσοδος στην εφαρμογή 2) Δημιουργία Περιόδου Υποβολής 2.α) Ακύρωση Περιόδου Υποβολής 3) Μέθοδος Υποβολής: Συμπλήρωση Φόρμας 3.α) Συμπλήρωση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Singular Report Generator. Σχ 1 ηµιουργία Καταστάσεων SRG

Singular Report Generator. Σχ 1 ηµιουργία Καταστάσεων SRG Μια από τις πιο σηµαντικές ανάγκες που αντιµετωπίζει µια επιχείρηση κατά την εγκατάσταση ενός λογισµικού «πακέτου» (Οικονοµικής & Εµπορικής ιαχείρισης), είναι ο τρόπος µε τον οποίο πρέπει να ανταποκριθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στη Microsoft Access

Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στη Microsoft Access Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στη Microsoft Access Το κεφάλαιο αυτό περιλαµβάνει µια συνοπτική εισαγωγή στην Microsoft Access 2000, που είναι και το σχεσιακό σύστηµα διαχείρισης βάσεων δεδοµένων µε το οποίο θα ασχοληθούµε.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Μάρκος Ν. ενδρινός Καθηγητής Πληροφορικής ΤΕΙ-Α Microsoft Office Power Point 2003

ρ. Μάρκος Ν. ενδρινός Καθηγητής Πληροφορικής ΤΕΙ-Α Microsoft Office Power Point 2003 ρ. Μάρκος Ν. ενδρινός Καθηγητής Πληροφορικής ΤΕΙ-Α Microsoft Office Power Point 2003 8-10 Νοεµβρίου 2010 1 1. PowerPoint. Ενας επεξεργαστής παρουσιάσεων. Το PowerPoint είναι ένα πρόγραµµα, ίσως όχι τόσο

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

1. PHOTOMOD Montage Desktop (βασικό πρόγραμμα)

1. PHOTOMOD Montage Desktop (βασικό πρόγραμμα) PHOTOMOD 4.4 Lite Προσοχή: Πριν από την εκκίνηση του PHOTOMOD πρέπει να ενεργοποιηθεί η λειτουργία PHOTOMOD System Monitor (παρουσιάζεται με το εικονίδιο ) με την εντολή: START Programs PHOTOMOD Utility

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΡΧΕΙΩΝ

ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΡΧΕΙΩΝ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΡΧΕΙΩΝ 1. ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 1.1. Βασικές Λειτουργίες και Ρυθµίσεις 1.1.1 Εκκίνηση, Τερµατισµός, Επανεκκίνηση του Η/Υ ακολουθώντας τις κατάλληλες διαδικασίες 1.1.2

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και αποκατάσταση συνέπειας χρονοσειρών βροχόπτωσης Παράδειγµα Η ετήσια βροχόπτωση του σταθµού Κάτω Ζαχλωρού Χ και η αντίστοιχη βροχόπτωση του γειτονικού του σταθµού Τσιβλός Υ δίνονται στον Πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Ξεκινήστε από αυτό το σηµείο

Ξεκινήστε από αυτό το σηµείο Ξεκινήστε από αυτό το σηµείο Ευθυγράµµιση των κασετών εκτύπωσης χωρίς υπολογιστή Ολοκληρώστε την εγκατάσταση του υλικού εξοπλισµού σύµφωνα µε τα βήµατα που περιγράφονται στο Φυλλάδιο εγκατάστασης. Συνεχίστε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP Για να κλείσουµε µία χρήση στο InnovEra ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: Από το κεντρικό µενού επιλέγουµε διαδοχικά «Οικονοµική ιαχείριση», «Γενική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

η σύνθεση ενός υπολογιστή

η σύνθεση ενός υπολογιστή ιδακτικό υλικό µαθητή η σύνθεση ενός υπολογιστή Αν παρατηρήσουµε έναν υπολογιστή βλέπουµε ότι αποτελείται από τα ακόλουθα µέρη: Οθόνη Μονάδα συστήµατος Ποντίκι Πληκτρολόγιο τη µονάδα συστήµατος, όπου βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Αναφορά εργασιών για το τρίµηνο Μάρτιος - Μάϊος 2013

Αναφορά εργασιών για το τρίµηνο Μάρτιος - Μάϊος 2013 Στο πλαίσιο της πράξης «Αναβάθµιση και Εµπλουτισµός των Ψηφιακών Υπηρεσιών της Βιβλιοθήκης του Παντείου Πανεπιστηµίου». Η Πράξη συγχρηµατοδοτείται από το Ευρωπαϊκό Ταµείο Περιφερειακής Ανάπτυξης (ΕΤΠΑ).

Διαβάστε περισσότερα

Γεωγραφικά Πληροφοριακά Συστήµατα (Geographical Information Systems GIS)

Γεωγραφικά Πληροφοριακά Συστήµατα (Geographical Information Systems GIS) Γεωγραφικά Πληροφοριακά Συστήµατα (Geographical Information Systems GIS) ρ. ΧΑΛΚΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ xalkias@hua.gr Χ. Χαλκιάς - Εισαγωγή στα GIS 1 Ορισµοί ΓΠΣ Ένα γεωγραφικό πληροφοριακό σύστηµα Geographic Information

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Με το σχεδιασµό επιφάνειας (Custom επιφάνεια) µπορούµε να σχεδιάσουµε επιφάνειες και αντικείµενα που δεν υπάρχουν στους καταλόγους του 1992. Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ Ο ΗΓΟΣ ΕΚΚΙΝΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟ Corel DRAW Graphics Suite X4

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ Ο ΗΓΟΣ ΕΚΚΙΝΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟ Corel DRAW Graphics Suite X4 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ Ο ΗΓΟΣ ΕΚΚΙΝΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟ Corel DRAW Graphics Suite X4 1 Περιεχόµενα 1. Εισαγωγή...3 2. Eγκατάσταση CorelDRAW...3 3. Συνοπτική παρουσίαση του περιβάλλοντος εργασίας της εφαρµογής coreldraw...5

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

B) Ετοιμάζοντας μια Παρουσίαση

B) Ετοιμάζοντας μια Παρουσίαση B) Ετοιμάζοντας μια Παρουσίαση Τι είναι μια παρουσίαση με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Ο υπολογιστής με την κατάλληλη εφαρμογή, μπορεί να μας βοηθήσει στη δημιουργία εντυπωσιακών εγγράφων, διαφανειών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΕΡΑΣΤΗΡΙ ΕΦΑΡΜΣΜΕΝΗΣ ΠΤΙΚΗΣ Άσκηση 1: Λεπτοί φακοί Εξεταζόμενες γνώσεις. Εξίσωση κατασκευαστών των φακών. Συστήματα φακών. Διαγράμματα κύριων ακτινών. Είδωλα και μεγέθυνση σε λεπτούς φακούς. Α. Λεπτοί

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ TOPCON GPT-3100Ν Reflectorless

ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ TOPCON GPT-3100Ν Reflectorless ΝΕΑ ΣΕΙΡΑ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΩΝ ΣΤΑΘΜΩΝ 3100N TOPCON REFLECTORLESS, ΣΤΑ 350m H σειρά Γεωδαιτικών Σταθμών 3100Ν με δυνατότητα μέτρησης απόστασης χωρίς πρίσμα στα 350 μέτρα περιλαμβάνει στην γκάμα της όργανα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εικονίδια ιαχείρισης Φορολογικών ηλώσεων. ηµιουργία Φορολογούµενου. ηµιουργία και υπολογισµός του εντύπου ΕΣΠ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εικονίδια ιαχείρισης Φορολογικών ηλώσεων. ηµιουργία Φορολογούµενου. ηµιουργία και υπολογισµός του εντύπου ΕΣΠ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εικονίδια ιαχείρισης Φορολογικών ηλώσεων ηµιουργία Φορολογούµενου ηµιουργία και υπολογισµός του εντύπου Ε1 ηµιουργία και υπολογισµός του εντύπου Ε2 ηµιουργία και υπολογισµός του εντύπου Ε3

Διαβάστε περισσότερα

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων 5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o προβλέπετε με βάση τη συμμετρία αν ένα μόριο έχει μόνιμη

Διαβάστε περισσότερα

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων.

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. POWERPOINT 2003 1. Τι είναι το PowerPoint (ppt)? Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. 2. Τι δυνατότητες έχει? Δημιουργία παρουσίασης. Μορφοποίηση παρουσίασης. Δημιουργία γραφικών. Δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Εισαγωγή στον προγραµµατισµό Η έννοια του προγράµµατος Ο προγραµµατισµός ασχολείται µε τη δηµιουργία του προγράµµατος, δηλαδή του συνόλου εντολών που πρέπει να δοθούν στον υπολογιστή ώστε να υλοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι τα Συστήµατα Γεωγραφικών Πληροφοριών. (Geographical Information Systems GIS)

Τι είναι τα Συστήµατα Γεωγραφικών Πληροφοριών. (Geographical Information Systems GIS) Τι είναι τα Συστήµατα Γεωγραφικών Πληροφοριών (Geographical Information Systems GIS) ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ, ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΛΚΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ Εισαγωγή στα GIS 1 Ορισµοί ΣΓΠ Ένα σύστηµα γεωγραφικών πληροφοριών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες, περιγράµµατα και σκίαση

Πίνακες, περιγράµµατα και σκίαση Πίνακες, περιγράµµατα και σκίαση Οι πίνακες Οι πίνακες είναι ορθογώνια πλαίσια που χωρίζονται σε γραµµές και στήλες. Η τοµή µιας γραµµής µε µια στήλη προσδιορίζει ένα κελί. Τα στοιχεία, που παρουσιάζουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Λογισμικό Συστήματος

Κεφάλαιο 4: Λογισμικό Συστήματος Κεφάλαιο 4: Λογισμικό Συστήματος Ερωτήσεις 1. Να αναφέρετε συνοπτικά τις κατηγορίες στις οποίες διακρίνεται το λογισμικό συστήματος. Σε ποια ευρύτερη κατηγορία εντάσσεται αυτό; Το λογισμικό συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα