Υπερβολική Γεωμετρία

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Υπερβολική Γεωμετρία ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη Επιβλέπων: Στυλιανός Σταματάκης Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάιος 01

2 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη ii

3 Υπερβολική Γεωμετρία. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη Υπερβολική Γεωμετρία Επιβλέπων: Στυλιανός Σταματάκης Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 5 η Απριλίου 01. Σ. Σταματάκης Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Δ. Παπαδοπούλου Επ. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Φ. Πεταλίδου Λέκτορας Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάιος 01 iii

4 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη.. Παναγιώτης Α. Χατζηκράχτης. Πτυχιούχος Μαθηματικός Α. Π. Θ. Copyright Παναγιώτης Α. Χατζηκράχτης 01. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α. Π. Θ. iv

5 Υπερβολική Γεωμετρία. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή πραγματεύεται τις βασικές έννοιες της υπερβολικής γεωμετρίας, όπως επίσης και το ιστορικό μοτίβο της ανακάλυψής της. Η αδυναμία των μαθηματικών να αποδείξουν το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη οδήγησε στην ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών, στις οποίες ανήκει και η υπερβολική γεωμετρία. Ο Lobachevsky κυρίως, ήταν αυτός που στην ουσία ανακάλυψε την υπερβολική γεωμετρία και στις διάφορες δημοσιεύσεις που έκανε την ανέπτυξε πλήρως. Έχοντας σαν αφετηρία τις ιδέες του Lobachevsky, άλλοι μαθηματικοί, όπως ο Klein και ο Poincaré, συσχέτισαν αυτή τη νέα γεωμετρία με την ευκλείδεια, κάνοντας έτσι την υπόσταση της υπερβολικής γεωμετρίας υπαρκτή. Στο κεφάλαιο 1 παρουσιάζουμε το σύστημα αξιωμάτων του Hilbert μαζί με τα πέντε αιτήματα του Ευκλείδη, καθώς και την ιστορική αναδρομή της ανακάλυψης της υπερβολικής γεωμετρίας από την αρχαιότητα μέχρι την εποχή του Lobachevsky. Στο κεφάλαιο αναλύουμε τις βασικές έννοιες και χαρακτηριστικά της υπερβολικής γεωμετρίας, καθώς και τα τρίγωνα του υπερβολικού επιπέδου. Στο κεφάλαιο 3 παραθέτουμε τα τρία βασικά μοντέλα (Klein, Poincaré) της υπερβολικής γεωμετρίας και συγκρίνουμε τα αποτελέσματα του κάθε μοντέλου με τα πέντε αιτήματα της υπερβολικής γεωμετρίας. Επίσης, αναφερόμαστε στην υπερβολική τριγωνομετρία. Στο παράρτημα Α κάνουμε μία μικρή αναφορά στις υπερβολικές μετρικές του άνω ημιεπιπέδου και του δίσκου του Poincaré. Τέλος, στο παράρτημα Β παραθέτουμε μερικές επιφάνειες με αρνητική καμπυλότητα Gauss του τρισδιάστατου υπερβολικού χώρου. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Υπερβολική γεωμετρία, Lobachevsky, Μοντέλα της υπερβολικής γεωμετρίας. v

6 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη ABSTRACT This thesis is a study of the main concepts of hyperbolic geometry as well, the historical pattern of its discovery. The weakness of the mathematicians to find a proof of Euclid s fifth postulate pushed them to find non Euclidean geometries. Part of them is the hyperbolic geometry. A Russian mathematician named Lobachevsky found the answer to the parallel postulate, discovered hyperbolic geometry and developed it through his publications. Thus, beginning with Lobachevsky s ideas of this new geometry, other mathematicians like Klein and Poincaré, years after his first publication, associated hyperbolic geometry with Euclidean geometry making hyperbolic geometry consistent. In the first chapter, there is a presentation of Hilbert s system of axioms along with the five postulates of Euclid and also the historical background of the discovery of hyperbolic geometry from antiquity since Lobachevsky s era. The second chapter contains the main concepts and propositions of hyperbolic geometry as well the triangles in hyperbolic plane. The third chapter deals with the three basic models of Klein and Poincaré of hyperbolic geometry. It contains also the comparison of the results of each model with the five postulates of hyperbolic geometry. Furthermore, there is an extensive reference to hyperbolic trigonometry. In appendix Α there are some examples of metrics in hyperbolic surfaces. Finally, appendix Β contains surfaces with negative Gauss curvature in 3-dimensional hyperbolic space. KEY WORDS Hyperbolic Geometry, Lobachevsky, Models of Hyperbolic Geometry. vi

7 Υπερβολική Γεωμετρία. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ευχαριστώ θερμά τον επιβλέποντα αναπληρωτή καθηγητή κ. Σταματάκη Στυλιανό, τόσο για τις διαφωτιστικές υποδείξεις του, όσο και για την συνολική επίβλεψη της εργασίας. Θερμές ευχαριστίες οφείλω και στα υπόλοιπα μέλη της επιτροπής, την επίκουρη καθηγήτρια κα. Παπαδοπούλου Δέσποινα και την λέκτορα κα. Πεταλίδου Φανή για τον χρόνο που αφιέρωσαν στη μελέτη, καθώς και στην αξιολόγηση της εργασίας. Επίσης, ευχαριστώ τον καθηγητή κ. Στάμου Γεώργιο τόσο για το ενδιαφέρον που έδειξε για την εργασία, όσο και για τις υποδείξεις του. Τέλος, ευχαριστώ τους γονείς μου, Στέλιο και Εύη, στους οποίους και αφιερώνω αυτή την εργασία. vii

8 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη viii

9 Υπερβολική Γεωμετρία. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ...v ABSTRACT... vi ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Από τον Ευκλείδη στο σύστημα αξιωμάτων του Hilbert Αξιώματα της συνύπαρξης Αξιώματα της διάταξης Αξιώματα της ισότητας Αξιώματα της συνέχειας Αξίωμα της παραλληλίας Έρευνες που σχετίζονται με το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη Πρώιμες έρευνες Οι έρευνες του Saccheri Οι έρευνες του Lambert Οι έρευνες του Legendre Ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών και της υπερβολικής γεωμετρίας Οι έρευνες των Gauss, Bolyai Η ανακάλυψη της γεωμετρίας Lobachevsky...6 ix

10 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Βασικές προτάσεις και ορισμοί της υπερβολικής γεωμετρίας Τα τρίγωνα στην υπερβολική γεωμετρία Κριτήρια ισότητας τριγώνων στην υπερβολική γεωμετρία Το έλλειμμα ενός τριγώνου Το εμβαδόν ενός τριγώνου Ασυμπτωτικά τρίγωνα ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Το μοντέλο του δίσκου του Poincaré (P.D.M.) Η αντιστροφή στον ευκλείδειο κύκλο Παραλληλία και μέτρο γωνίας στο μοντέλο του δίσκου του Poincaré Η έννοια της απόστασης στο μοντέλο του δίσκου του Poincaré Επαλήθευση των αιτημάτων της υπερβολικής γεωμετρίας στο μοντέλο του δίσκου του Poincaré Το μοντέλο του Klein (K.D.M.) Η έννοια της απόστασης στο μοντέλο του Klein Καθετότητα και μέτρο γωνίας στο μοντέλο του Klein Ισομορφία μεταξύ των μοντέλων Klein και Poincaré Επαλήθευση των αιτημάτων της υπερβολικής γεωμετρίας στο μοντέλο του Klein...80 x

11 Υπερβολική Γεωμετρία Το μοντέλο του άνω ημιεπιπέδου του Poincaré (U.H.P.) Η έννοια της απόστασης στο άνω ημιεπίπεδο του Poincaré Επαλήθευση των αιτημάτων της υπερβολικής γεωμετρίας στο μοντέλο του άνω ημιεπιπέδου του Poincaré Υπερβολική τριγωνομετρία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗΣ ΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β - ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕ ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ GAUSS.108 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ xi

12 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη xii

13 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 1.1. Από τον Ευκλείδη στο σύστημα αξιωμάτων του Hilbert. Η υπερβολική γεωμετρία δημιουργήθηκε από την αδυναμία, επί πολλούς αιώνες, των γεωμετρών να αποδείξουν το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη. Ο Ευκλείδης έδρασε στην Αλεξάνδρεια τον 3 ο αιώνα π.χ και στο έργο του Στοιχεία, που αποτελείται από 13 βιβλία, περιέχεται μια λογική θεμελίωση της γεωμετρίας πάνω σε ένα σύστημα αξιωμάτων, δηλαδή σε λογικές προτάσεις που θεωρούνται αληθείς. Στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων περιέχονται τα 5 αιτήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας που είναι τα εξής: 1 ο ΑΙΤΗΜΑ. Από δύο σημεία περνά μία ευθεία γραμμή. ο ΑΙΤΗΜΑ. Μια πεπερασμένη ευθεία εκτείνεται άπειρα και ευθύγραμμα. 3 ο ΑΙΤΗΜΑ. Με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα μπορεί να διαγραφεί κύκλος. 4 ο ΑΙΤΗΜΑ. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 5 ο ΑΙΤΗΜΑ. Αν μια ευθεία τέμνει δύο ευθείες και το άθροισμα των εντός και επί ταυτά γωνιών είναι μικρότερο από ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται και μάλιστα προς το μέρος των γωνιών αυτών. Όσο πλήρες και αν φαινόταν το σύστημα αξιωμάτων του Ευκλείδη είχε αρκετά μειονεκτήματα και ελλείψεις και ήδη από την αρχαιότητα πολλοί ήταν οι μαθηματικοί που προσπάθησαν να τα εξαλείψουν. Από όλα τα συστήματα αξιωμάτων που παρουσιάστηκαν επί αιώνες από διάφορους μαθηματικούς το κοντινότερο προς το σύστημα αξιωμάτων του Ευκλείδη

14 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη ήταν το σύστημα αξιωμάτων του David Hilbert ( ), το οποίο και παρουσίασε στο βιβλίο του Grundlagen der Geometrie το Ο Hilbert θεώρησε ένα σύστημα τριών συνόλων. Τα στοιχεία του πρώτου συνόλου τα ονόμασε σημεία και τα συμβόλισε με τα γράμματα A, B, C,. Τα στοιχεία του δεύτερου συνόλου τα ονόμασε ευθείες και τα συμβόλισε με g, h, c,. Τα στοιχεία του τρίτου συνόλου τα ονόμασε επίπεδα και τα συμβόλισε με τα γράμματα α, β, γ,... Σε αντίθεση με τον Ευκλείδη, θεώρησε ότι οι ορισμοί των σημείων, των ευθειών και των επιπέδων δεν έχουν καμιά σημασία για την λογική κατασκευή του οικοδομήματος της γεωμετρίας. Εκείνο που πραγματικά έχει σημασία και τόνισε ιδιαίτερα ο Hilbert είναι οι μεταξύ τους σχέσεις. Η ακριβής περιγραφή αυτών των σχέσεων προκύπτει ως αποτέλεσμα από τα αξιώματα τα οποία κατανέμονται ανάλογα με το περιεχόμενό τους σε πέντε ομάδες. Αυτές οι ομάδες είναι οι εξής: I. Τα αξιώματα της συνύπαρξης. II. Τα αξιώματα της διάταξης. III. Τα αξιώματα της ισότητας. IV. Τα αξιώματα της συνέχειας. V. Το αξίωμα της παραλληλίας. ΟΡΙΣΜΟΣ Το σύστημα των τριών συνόλων (σημείων, ευθειών, επιπέδων) μαζί με τις ομάδες των αξιωμάτων Ι μέχρι V, στις οποίες θα αναφερθούμε παρακάτω, ονομάζεται ευκλείδειος χώρος και τον συμβολίζουμε με Ε. ΟΡΙΣΜΟΣ Το σύνολο των προτάσεων που προκύπτουν από τα αξιώματα των ομάδων Ι- IV, ονομάζεται Απόλυτη Γεωμετρία. Στις παρακάτω παραγράφους αναφέρουμε εκτενέστερα το σύστημα αξιωμάτων του Hilbert, ωστόσο οι ορισμοί και οι προτάσεις που παραθέτουμε είναι ενδεικτικοί και το σύνολό τους περιέχεται στο βιβλίο του Hilbert [9].

15 Υπερβολική Γεωμετρία Αξιώματα της συνύπαρξης. Στα επόμενα όταν αναφερόμαστε σε δύο, τρία ή και παραπάνω σημεία, ευθείες ή επίπεδα, θα εννοούμε πάντα ότι αυτά είναι διάφορα μεταξύ τους. Υποθέτουμε ότι μεταξύ των σημείων αφενός και των ευθειών ή των επιπέδων αφετέρου υπάρχει μια σχέση, που ονομάζουμε συνύπαρξη ή σύνδεση. Η σχέση της συνύπαρξης πληροί τα εξής αξιώματα: ΑΞΙΩΜΑ Ι.1. Από δύο σημεία Α, Β διέρχεται πάντα μία ευθεία g, που συνυπάρχει με τα σημεία A και B. ΑΞΙΩΜΑ Ι.. Από δύο σημεία Α, Β δεν διέρχονται περισσότερες από μία ευθείες, που συνυπάρχουν με τα σημεία Α, Β. Τα δύο αυτά αξιώματα μπορούμε να τα συμπτύξουμε σε ένα, ως εξής: ΑΞΙΩΜΑ (Ι.1 και Ι.). Δύο τυχαία σημεία Α, Β διάφορα μεταξύ τους ορίζουν ακριβώς μία ευθεία g, που διέρχεται από αυτά. Γράφουμε A+B=g ή B+A=g. ΑΞΙΩΜΑ Ι.3. Πάνω σε κάθε ευθεία βρίσκονται τουλάχιστον δύο σημεία. Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία που δεν βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία. ΑΞΙΩΜΑ Ι.4. Από κάθε τριάδα μη συνευθειακών σημείων Α, Β, C διέρχεται πάντα ένα επίπεδο α, που συνυπάρχει με τα σημεία Α, Β, C. Σε κάθε επίπεδο ανήκει ένα τουλάχιστον σημείο. ΑΞΙΩΜΑ Ι.5. Από κάθε τριάδα μη συνευθειακών σημείων Α, Β, C διέρχεται το πολύ ένα επίπεδο, που συνυπάρχει με τα σημεία Α, Β, C. Γράφουμε A+B+C=α. ΑΞΙΩΜΑ Ι.6. Αν δύο σημεία Α, Β μιας ευθείας g βρίσκονται πάνω σε ένα επίπεδο α, τότε όλα τα σημεία της ευθείας g βρίσκονται πάνω στο επίπεδο α. ΑΞΙΩΜΑ Ι.7. Αν δύο επίπεδα α, β έχουν κοινό ένα σημείο Α, τότε θα έχουν ένα τουλάχιστον ακόμα σημείο Β κοινό. 3

16 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη ΑΞΙΩΜΑ Ι.8. Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα σημεία που δεν βρίσκονται πάνω σε ένα επίπεδο. Τα αξιώματα Ι.1 - Ι.3 ονομάστηκαν από τον Hilbert επίπεδα αξιώματα της ομάδας Ι. Τα αξιώματα Ι.4 Ι.8 ονομάζονται αξιώματα του χώρου της ομάδας Ι. ΠΡΟΤΑΣΗ α) Δύο ευθείες έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο. β) Δύο επίπεδα ή δεν έχουν κοινό σημείο ή έχουν μια ευθεία κοινή, πάνω στην οποία βρίσκονται όλα τα κοινά σημεία τους. γ) Ένα επίπεδο και μια ευθεία, που δεν βρίσκεται πάνω σε αυτό, έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο. ΠΡΟΤΑΣΗ α) Από μια ευθεία g και ένα σημείο A, που δεν ανήκει στην g, διέρχεται πάντα ένα και μόνον ένα επίπεδο. β) Από δύο ευθείες g και h, που έχουν ένα κοινό σημείο A, διέρχεται πάντα ένα και μόνον ένα επίπεδο. ΠΡΟΤΑΣΗ Σε κάθε επίπεδο βρίσκονται τρία τουλάχιστον σημεία. 4

17 Υπερβολική Γεωμετρία Αξιώματα της διάταξης. Με τα αξιώματα της ομάδας ΙΙ θεμελιώνονται οι σημαντικότερες έννοιες που σχετίζονται με την διάταξη των σημείων μιας ευθείας. Η σημαντικότερη έννοια, με την βοήθεια της οποίας ορίζονται όλες οι άλλες, είναι η έννοια του μεταξύ και ορίζεται ως εξής: Υποθέτουμε ότι για κάθε τριάδα συνευθειακών σημείων υπάρχει μια σχέση, βάσει της οποίας ένα από αυτά βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων. Η σχέση αυτή πληροί τα εξής αξιώματα: ΑΞΙΩΜΑ ΙΙ.1. Αν ένα σημείο B βρίσκεται μεταξύ του σημείου A και του σημείου C, τότε τα σημεία A, B, C είναι τρία διαφορετικά σημεία μιας ευθείας και το B βρίσκεται επίσης μεταξύ των C και A. ΑΞΙΩΜΑ ΙΙ.. Δοθέντων δύο σημείων A, B υπάρχει πάντα ένα τουλάχιστον σημείο C της ευθείας A+B, τέτοιο ώστε το B να βρίσκεται μεταξύ των A και C. ΑΞΙΩΜΑ ΙΙ.3. Δοθέντων τριών σημείων μιας ευθείας, υπάρχει το πολύ ένα σημείο από αυτά, που βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων. Τα αξιώματα ΙΙ.1 ΙΙ.3 ονομάστηκαν από τον Hilbert γραμμικά αξιώματα της διάταξης. ΟΡΙΣΜΟΣ Ένα ζεύγος σημείων A, B ονομάζεται ευθύγραμμο τμήμα και συμβολίζεται με AB ή BA. Τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ των A, B ονομάζονται εσωτερικά σημεία, τα A, B ονομάζονται πέρατα και όλα τα άλλα σημεία της ευθείας A+B εξωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος AB. ΑΞΙΩΜΑ ΙΙ.4 (Αξίωμα του Pasch). Έστω A, B, C τρία μη συνευθειακά σημεία και g μια ευθεία του επιπέδου A+B+C που δεν περνά από κανένα από τα σημεία A, B, C. Αν η g διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος AB, τότε θα διέρχεται αναγκαστικά και από ένα εσωτερικό σημείο ή του ευθύγραμμου τμήματος AC ή του BC. 5

18 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη Η σύλληψη του αξιώματος ΙΙ.4 οφείλεται στον Γερμανό μαθηματικό Moritz Pasch ( ). Με την κατασκευή αυτή μπαίνουν αξιόπιστες βάσεις για τις προτάσεις εκείνες της γεωμετρίας του επιπέδου, στις οποίες υπεισέρχεται η έννοια της διάταξης. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια τριάδα σημείων A, B, C ονομάζεται τρίγωνο και συμβολίζεται με ABC ή ACB ή BAC κλπ. Τα σημεία A, B, C ονομάζονται κορυφές και οι ευθείες A+B, B+C, C+A ονομάζονται πλευρές του τριγώνου ABC. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω O τυχαίο σημείο μιας ευθείας g και A, B δύο άλλα σημεία της g διάφορα μεταξύ τους. Όταν το O βρίσκεται μεταξύ των A, B θα λέμε ότι τα A, B βρίσκονται σε διαφορετικά μέρη της g ως προς το O. Όταν το O δεν βρίσκεται μεταξύ των A, B θα λέμε ότι τα A, B βρίσκονται στο ίδιο μέρος της g ως προς το O. ΠΡΟΤΑΣΗ Ένα σημείο O μιας ευθείας g χωρίζει όλα τα άλλα σημεία της g σε δύο κλάσεις, έτσι ώστε τυχαία σημεία της ίδιας κλάσης να βρίσκονται στο ίδιο μέρος της g ως προς το O και τυχαία σημεία διαφορετικών κλάσεων να βρίσκονται σε διαφορετικά μέρη της g ως προς το O. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω O τυχαίο σημείο μιας ευθείας g. Κάθε κλάση από τις δύο που αναφέρουμε στην Πρόταση , στην οποία έχουμε προσαρτήσει το σημείο O, ονομάζεται ημιευθεία της g με αρχή το O και κάθε ημιευθεία ονομάζεται αντικείμενη της άλλης. ΠΡΟΤΑΣΗ Κάθε ευθεία g που βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο α χωρίζει τα σημεία του, που δεν βρίσκονται πάνω στην g, σε δύο μη κενές κλάσεις, τέτοιες ώστε αν τα Α, Β ανήκουν στην ίδια κλάση, η g να μην διέρχεται από εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος AB, ενώ αν τα Α, Β ανήκουν σε διαφορετικές κλάσεις, η g να διέρχεται από εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος AB. ΠΡΟΤΑΣΗ Μεταξύ δύο δοθέντων σημείων Α, Β και ευθείας g, βρίσκονται άπειρα άλλα σημεία της g. 6

19 Υπερβολική Γεωμετρία. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω g τυχαία ευθεία του επιπέδου α και A, B δύο σημεία του που δεν βρίσκονται πάνω στην g. Αν τα A, B ανήκουν στην ίδια κλάση (ή σε διαφορετικές κλάσεις) τότε θα λέμε, ότι βρίσκονται στο ίδιο μέρος (ή σε διαφορετικά μέρη) του α ως προς την g. Κάθε κλάση, από αυτές που αναφέρονται στην Πρόταση , στην οποία έχουμε προσαρτήσει την ευθεία g ονομάζεται ημιεπίπεδο του α με σύνορο την ευθεία g. 7

20 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη Αξιώματα της ισότητας. Υποθέτουμε ότι στο σύνολο των ευθύγραμμων τμημάτων είναι ορισμένη μία σχέση, που την ονομάζουμε ισότητα, την συμβολίζουμε και πληροί τα παρακάτω αξιώματα: ΑΞΙΩΜΑ ΙΙΙ.1. Δοθέντων δύο σημείων A, B μιας ευθείας g και ενός σημείου Α της g ή μιας άλλης ευθείας g, υπάρχει πάντα μοναδικό σημείο B, που ανήκει σε μια δοθείσα από τις δύο ημιευθείες της g ή της g με αρχή το Α, έτσι ώστε το ευθύγραμμο τμήμα Α B να είναι ίσο με το ευθύγραμμο τμήμα AB, δηλαδή να ισχύει AB Α B. Για κάθε ευθύγραμμο τμήμα AB ισχύει ΑΒ ΒΑ. Α Β. ΑΞΙΩΜΑ ΙΙΙ.. Όταν είναι ΑΒ Α B και Α Β ΑΒ, τότε είναι και Α B ΠΡΟΤΑΣΗ Για τυχόντα ευθύγραμμα τμήματα ισχύει: α) Όταν ΑΒ Α B τότε ΑΒ B Α, β) ΑΒ ΑB, γ) Όταν ΑΒ Α B τότε Α B ΑΒ, δ) Όταν ΑΒ Α B και Α B Α Β, τότε ΑΒ Α Β. Από την παραπάνω πρόταση προκύπτει ότι η σχέση στο σύνολο των ευθυγράμμων τμημάτων είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική, άρα η ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων είναι σχέση ισοδυναμίας, οπότε το σύνολο των ευθύγραμμων τμημάτων χωρίζεται σε κλάσεις ίσων ευθύγραμμων τμημάτων. ΟΡΙΣΜΟΣ Δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, Α B για τα οποία ισχύει ΑΒ Α B θα τα λέμε ίσα. ΑΞΙΩΜΑ ΙΙΙ. 3. Έστω A, B, C τρία σημεία μιας ευθείας g, τέτοια ώστε το B να βρίσκεται μεταξύ των A, C και Α, B, C τρία σημεία της g ή μιας άλλης ευθείας g, τέτοια ώστε το B να βρίσκεται μεταξύ των Α, C. Αν ΑΒ Α B και BC B C, τότε είναι και AC A C. ΟΡΙΣΜΟΣ Ένα ζεύγος ημιευθειών g1, h 1 με κοινή αρχή το O που δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία ονομάζεται γωνία και τη συμβολίζουμε με g, h 1 1 8

21 Υπερβολική Γεωμετρία. ή h, g 1 1. Τις ημιευθείες g, h. Αντί του συμβόλου g, h O, A, B ή O, B, A σημεία των ημιευθειών g1, h 1. g, h τις ονομάζουμε πλευρές και το O κορυφή της γωνίας θα χρησιμοποιούμε στα επόμενα και το σύμβολο 1 1, όπου O είναι η κορυφή της γωνίας και A, B είναι τυχαία ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό σημείο της γωνίας g, h κάθε σημείο του επιπέδου α, που βρίσκεται αφενός στο ημιεπίπεδο με σύνορο την ευθεία g ( g g ), στο οποίο βρίσκεται και η ημιευθεία 1 h 1 και αφετέρου στο ημιεπίπεδο με σύνορο την ευθεία h ( h 1 h ), στο οποίο βρίσκεται και η ημιευθεία g 1. Το σύνολο των εσωτερικών σημείων μιας γωνίας ονομάζεται εσωτερικό αυτής. Τα σημεία του επιπέδου α που είναι διάφορα της κορυφής O, δεν βρίσκονται πάνω στις ημιευθείες g1, h 1 και δεν είναι εσωτερικά αυτής, ονομάζονται εξωτερικά σημεία της γωνίας g, h σύνολο αυτών εξωτερικό της και το Υποθέτουμε ότι στο σύνολο των γωνιών είναι ορισμένη μια σχέση, που θα τη λέμε ισότητα και θα τη συμβολίζουμε με, που πληροί τα εξής: ΑΞΙΩΜΑ ΙΙΙ.4. Δίνονται: α) μια γωνία g, h κείμενη σε επίπεδο α, β) ευθεία g του επιπέδου α ή ενός άλλου επιπέδου α, γ) το ένα από τα δύο ημιεπίπεδα του α με σύνορο την g που το συμβολίζουμε με ' και δ) μια ημιευθεία 1 g ' 1 της g με αρχή ένα 1 1 σημείο Ο. Τότε υπάρχει μοναδική ημιευθεία h ' 1 του επιπέδου α με αρχή το σημείο Ο, τέτοια ώστε αφενός να είναι g, h g ', h ' 1 1 και αφετέρου το εσωτερικό της g ', h ' να κείται στο ημιεπίπεδο ' 1 g, h h, g Τέλος, ισχύει g, h g, h και

22 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη ΑΞΙΩΜΑ ΙΙΙ.5. Αν σε δύο τρίγωνα ABC και Α B C ισχύουν ΑΒ Α B, AC A C και A, B, C A', B ', C ', τότε είναι C, A, B C ', A', B ' B, A, C B ', A', C '. και ΠΡΟΤΑΣΗ Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από κάθε απέναντι εσωτερική γωνία του τριγώνου. ΟΡΙΣΜΟΣ Δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και μια πλευρά κοινή και των οποίων οι άλλες πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες ονομάζονται παραπληρωματικές. Δύο γωνίες με κοινή την κορυφή τους και των οποίων οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες ονομάζονται κατά κορυφή. Μία γωνία που είναι ίση με μια παραπληρωματική της ονομάζεται ορθή. ΠΡΟΤΑΣΗ Κάθε γωνία μπορεί να διχοτομηθεί κατά μοναδικό τρόπο. ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω g ευθεία και A ένα σημείο εκτός αυτής. Τότε υπάρχει μοναδική ευθεία που διέρχεται από το A και είναι κάθετη στην g. ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω α ένα επίπεδο, g ευθεία του α και Α ένα σημείο της g. Τότε υπάρχει μοναδική ευθεία που βρίσκεται πάνω στο α, διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην g. Ο Hilbert όρισε την έννοια της μετατόπισης με την βοήθεια της ισότητας ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω M, Μ τυχαία σημειοσύνολα του E και φ: Μ Μ μια απεικόνιση, τέτοια ώστε A, B M να είναι ΑΒ φ(α)φ(β). Τότε τα δύο σημειοσύνολα M, Μ ονομάζονται ίσα και η απεικόνιση φ μετατόπιση. ΠΡΟΤΑΣΗ Τα σημεία μιας ευθείας απεικονίζονται μέσω κάθε μετατόπισης σε σημεία μιας ευθείας. ΠΡΟΤΑΣΗ Τα σημεία ενός επιπέδου απεικονίζονται μέσω κάθε μετατόπισης σε σημεία ενός επιπέδου. 10

23 Υπερβολική Γεωμετρία Αξιώματα της συνέχειας. ΑΞΙΩΜΑ ΙV.1 (Αξίωμα του Αρχιμήδη). Δοθέντων δύο ευθύγραμμων τμημάτων AB και CD υπάρχουν σημεία A1, A,, An της ευθείας A+B, έτσι ώστε α) το A 1 να βρίσκεται μεταξύ των A, A, το A 3 να βρίσκεται μεταξύ των A1, A,, το An 1 να βρίσκεται μεταξύ των A, n An, β) να είναι AA1 A1 A An 1 An CD και γ) το B να βρίσκεται μεταξύ των A, 1 A n n. ΑΞΙΩΜΑ IV. (Αξίωμα της Γραμμικής Πληρότητας). Το σύστημα των σημείων μιας ευθείας εφοδιασμένο με τα αξιώματα ΙΙ.1 ΙΙ.4, ΙΙΙ.1 ΙΙΙ.3 και το αξίωμα IV.1, δεν επιδέχεται επέκταση, τέτοια ώστε να εξακολουθούν να ισχύουν τα αξιώματα αυτά. Αντί του αξιώματος αυτού χρησιμοποιείται το ακόλουθο: ΑΞΙΩΜΑ IV. (Αξίωμα του Cantor). Αν A 1 B 1, A B, είναι μια άπειρη ακολουθία ευθύγραμμων τμημάτων μιας ευθείας g, τέτοια ώστε: α) κάθε ευθύγραμμο τμήμα να είναι εσωτερικό των προηγούμενών του και β) για κάθε ευθύγραμμο τμήμα AB υπάρχει φυσικός αριθμός n, τέτοιος ώστε το ευθύγραμμο τμήμα AB να είναι μεγαλύτερο του An B n, τότε υπάρχει σημείο X της ευθείας g το οποίο είναι εσωτερικό όλων των ευθύγραμμων τμημάτων A 1 B 1, A B,. ΟΡΙΣΜΟΣ Με το αξίωμα IV.1 είναι δυνατό να αντιστοιχισθεί μονότιμα σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα ένας θετικός αριθμός, που τον ονομάζουμε μήκος του ευθύγραμμου τμήματος. Από το αξίωμα IV. έπεται ότι υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα, του οποίου το μήκος είναι ίσο με δοθέντα θετικό αριθμό. 11

24 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη Αξίωμα της παραλληλίας. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν οι ευθείες g, h, k βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο α και η k τέμνει τις g, h στα A, B και σχηματίζει με αυτές ίσες εντός εναλλάξ γωνίες, τότε οι g, h δεν τέμνονται. Απόδειξη Έστω ότι οι g, h τέμνονται, αν τις επεκτείνουμε, στο C. Το τρίγωνο ABC έχει μια εξωτερική γωνία ίση με μια απέναντι εσωτερική, άτοπο από Πρόταση Άρα οι g, h δεν τέμνονται. ΠΟΡΙΣΜΑ Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είναι κάθετες στην ίδια ευθεία δεν τέμνονται. ΟΡΙΣΜΟΣ Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο ονομάζονται παράλληλες. ΠΡΟΤΑΣΗ (Ύπαρξη Παράλληλων Ευθειών). Από δοθέν σημείο A, που δεν ανήκει σε μια δοθείσα ευθεία g, διέρχεται ευθεία h παράλληλη στην g. Απόδειξη Έστω k η κάθετη στην g, που διέρχεται από το σημείο A (Πρόταση ) και h η κάθετη στην k, που διέρχεται από το A και βρίσκεται στο επίπεδο των ευθειών g, k (Πρόταση ). Οι ευθείες g και h είναι παράλληλες (Πόρισμα ). ΑΞΙΩΜΑ V.1. Έστω ευθεία g, A δοθέν σημείο, που δεν ανήκει στην g και α το επίπεδο που διέρχεται από το Α και την g. Υπάρχει το πολύ μια ευθεία, που διέρχεται από το A, βρίσκεται στο επίπεδο α και δεν τέμνει την ευθεία g. 1

25 Υπερβολική Γεωμετρία. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τρίτη, σχηματίζουν ίσες εναλλάξ γωνίες. Απόδειξη Θεωρούμε g, h παράλληλες ευθείες και k την ευθεία που τις τέμνει στα A, B αντίστοιχα και φ, ω τις εντός εναλλάξ γωνίες. Έστω ότι οι φ, ω δεν είναι ίσες. Από το A θεωρούμε ευθεία m που σχηματίζει με την k γωνία ίση με την ω. Τότε οι ευθείες m, g είναι παράλληλες (Πρόταση ), δηλαδή από το A διέρχονται δύο παράλληλες προς την g, οι h, m, άτοπο (Αξίωμα V.1). ΠΡΟΤΑΣΗ Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο με ορθές. ΠΡΟΤΑΣΗ Το αξίωμα V.1 του Hilbert και το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη είναι ισοδύναμα. Απόδειξη Έστω ότι ισχύει το αξίωμα V.1. Θεωρούμε δύο ευθείες g, h και μια τρίτη k που τις τέμνει και σχηματίζει με αυτές τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες φ, χ για τις οποίες ισχύει φ+χ<. Έστω ψ, ω οι παραπληρωματικές των φ, χ. Αν οι g, h ήταν παράλληλες, θα ίσχυε χ=ψ (Πρόταση ), άρα φ+ψ<, άτοπο, αφού φ+ψ=. Άρα οι g, h τέμνονται σε σημείο C, προς το μέρος των γωνιών φ, χ γιατί αλλιώς το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ABC θα ήταν μεγαλύτερο των ορθών, άτοπο (Πρόταση ). Άρα ισχύει το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη. ω B χ k h ψ A φ g Σχήμα

26 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη Έστω ότι ισχύει το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη. Θεωρούμε ευθεία g, σημείο A εκτός αυτής και το επίπεδο α, που διέρχεται από το A και την g. Πάνω στο επίπεδο θεωρούμε από το A την κάθετη h στην g (Πρόταση ) και την κάθετη k στην h (Πρόταση ). Επειδή φ=χ=1, οι ευθείες g, k είναι παράλληλες από την Πρόταση Θεωρούμε τυχαία ευθεία m, που διέρχεται από το A και είναι διάφορη της k. Η μία από τις δύο γωνίες που σχηματίζουν οι h, m είναι οξεία και την ονομάζω ψ. Τότε είναι φ+ψ< και οι g, m τέμνονται. Άρα, η k είναι μοναδική και το αξίωμα V.1 ισχύει. h A χ ψ k B φ m g Σχήμα 1. Έτσι λοιπόν από την Πρόταση που αποδείξαμε παραπάνω, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αντί του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη το αξίωμα της παραλληλίας του Hilbert το οποίο διατύπωσε για πρώτη φορά ο John Playfair ( ) το

27 Υπερβολική Γεωμετρία. 1.. Έρευνες που σχετίζονται με το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη. Η απόδειξη του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη υπήρξε ένα από μεγαλύτερα προβλήματα της γεωμετρίας από την αρχαιότητα μέχρι το τέλος του 19 ου αιώνα. Πολλοί ήταν οι μαθηματικοί που πρότειναν διάφορες αποδείξεις κατά την διάρκεια των 3 αυτών αιώνων, όμως όλες ήταν, ύστερα από προσεκτικότερη μελέτη, λανθασμένες. Συνήθως, οι μαθηματικοί που τις πρότειναν, χρησιμοποιούσαν σιωπηρά κάποια παραδοχή, που ήταν προφανής εποπτικά, αλλά δεν μπορούσε να αποδειχτεί χωρίς τη βοήθεια του πέμπτου αιτήματος. Οι ανεπιτυχείς προσπάθειες των μαθηματικών να αποδείξουν το πέμπτο αίτημα, συντέλεσαν στην εύρεση πολλών σημαντικών συμπερασμάτων που οδήγησαν στην τελική απόδειξη του προβλήματος αλλά και στην ανακάλυψη νέων γεωμετριών. Επιπλέον, από τις προσπάθειες απόδειξης του πέμπτου αιτήματος προέκυψε και μια σειρά προτάσεων, που είναι ισοδύναμες με αυτό Πρώιμες έρευνες. Ήδη από την αρχαιότητα οι μαθηματικοί εξέφρασαν την ανάγκη απόδειξης του αξιώματος της παραλληλίας. Ένας από αυτούς ήταν ο Ποσειδώνιος ( 135 π.χ 51 π.χ). Παρά τις προσπάθειές του δεν κατάφερε να αποδείξει το πέμπτο αίτημα αλλά ανακάλυψε μία ισοδύναμη με αυτό πρόταση: Όλα τα σημεία ενός επιπέδου α, που απέχουν σταθερή απόσταση από μία δοσμένη ευθεία g του επιπέδου α και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο του α με σύνορο την g, βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία. Ένας άλλος μαθηματικός που ασχολήθηκε με την απόδειξη του πέμπτου αιτήματος ήταν ο Πρόκλος ( ), ο οποίος προσπάθησε να το αποδείξει ως εξής: Έστω δύο παράλληλες ευθείες g, h και έστω ότι η k τέμνει την h στο P. Τότε η k τέμνει και την g. 15

28 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη Στην απόδειξη αυτής της πρότασης ο Πρόκλος συνάντησε πρόβλημα, καθώς ενώ οι υποθέσεις του ήταν ορθές σχηματικά δεν μπορούσαν να αποδειχτούν με την βοήθεια αξιωμάτων ή άλλων αποδεδειγμένων θεωρημάτων και έπρεπε να χρησιμοποιηθεί το αξίωμα της παραλληλίας, πράγμα που δεν αποδείκνυε το πέμπτο αίτημα αλλά το επαλήθευε. Η απόπειρα του Πρόκλου μας έδωσε μια παρόμοια πρόταση με το πέμπτο αίτημα που είναι η εξής: Η απόσταση δύο ευθειών, που είναι κάθετες στην ίδια ευθεία είναι πεπερασμένη. Μία σημαντική προσπάθεια για την απόδειξη του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη, έγινε ύστερα από πολλούς αιώνες από τον John Wallis ( ). Ο Wallis πρότεινε ένα νέο αξίωμα το οποίο θεώρησε ότι ήταν πιο προφανές από το αξίωμα της παραλληλίας και μέσω αυτού και των υπόλοιπων αξιωμάτων της ευκλείδειας γεωμετρίας προσπάθησε να αποδείξει το πέμπτο αίτημα. Το αξίωμα του Wallis είναι το εξής: Έστω τρίγωνο ABC και ευθύγραμμο τμήμα DE. Τότε υπάρχει τρίγωνο DEF που είναι όμοιο με το ABC. ΟΡΙΣΜΟΣ Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν οι πλευρές τους είναι ανάλογες και οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες. Με την απόδειξη που έδωσε ο Wallis κατέληξε στο να επαληθεύσει και όχι να αποδείξει το πέμπτο αίτημα. Μία παρόμοια πρόταση που προέκυψε από την απόδειξη του Wallis είναι η εξής: Δοθέντος οποιουδήποτε σχήματος μπορεί να κατασκευαστεί όμοιο σχήμα με οσοδήποτε μεγάλο εμβαδόν. Μερικές ακόμη από τις ισοδύναμες με το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη προτάσεις είναι οι εξής: Υπάρχει ευθεία που διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο γωνίας και τέμνει τις πλευρές της, που οφείλεται στον Έλληνα μαθηματικό Σιμπλίκιο (6 ος αιώνας). Όταν δύο ευθείες πλησιάζουν απεριόριστα η μία την άλλη, τότε τέμνονται. Αυτή η πρόταση οφείλεται στον Πέρση μαθηματικό Omar Khayyam ( ). Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται πάντα μία περιφέρεια κύκλου, που οφείλεται στον Ούγγρο Farkas Bolyai ( ). 16

29 Υπερβολική Γεωμετρία Οι έρευνες του Saccheri. Μεταξύ αυτών που προσπάθησαν να αποδείξουν το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη ήταν και ο Ιησουίτης μοναχός Gerolamo Saccheri ( ). Ο Saccheri κατασκεύασε ένα τετράπλευρο ABCD με δύο ίσες πλευρές AD, BC που είναι κάθετες στην πλευρά AB και οι γωνίες A, B είναι ορθές. Η πλευρά AB λέγεται βάση, η DC λέγεται κορυφή και οι ίσες πλευρές AD, BC λέγονται βραχίονες του τετραπλεύρου. Το τετράπλευρο λέγεται δυορθογώνιο ισοσκελές τετράπλευρο ή πιο απλά τετράπλευρο του Saccheri. ΠΡΟΤΑΣΗ Οι γωνίες C, D ενός τετραπλεύρου του Saccheri είναι ίσες. Απόδειξη Έστω Μ, Μ τα μέσα των AB, DC αντίστοιχα. Από τον ορισμό του τετραπλεύρου του Saccheri έχω AD=BC, AM=BM και (A, D, M)= (B, C, M)=90, οπότε τα τρίγωνα ADM, BCM είναι ίσα. Επομένως, (D, A, M)= (C, B, M), DM=CM. Έχω DM=CM, DM =CM και η πλευρά ΜΜ είναι κοινή άρα τα τρίγωνα DMM και CMM είναι ίσα, οπότε ισχύει (Μ, D, M)= (Μ, C, M)=90 και (D, Μ, M)= (C, Μ, M). Συνεπώς, (D, Μ, A) = (C, Μ, B), δηλαδή οι γωνίες C, D είναι ίσες. D Μ C A Μ B Σχήμα 1.3: Τετράπλευρο Saccheri. 17

30 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη Ο Saccheri θεώρησε 3 περιπτώσεις για τις γωνίες C, D: Ι. Και οι δύο να είναι ορθές. ΙΙ. Και οι δύο να είναι αμβλείες. ΙΙΙ. Και οι δύο να είναι οξείες. Αυτές οι τρεις περιπτώσεις ονομάζονται υπόθεση της ορθής γωνίας, υπόθεση της αμβλείας γωνίας και υπόθεση της οξείας γωνίας αντίστοιχα. Ο Saccheri απέδειξε ότι αν οι γωνίες C, D είναι ορθές τότε το τετράπλευρο ABCD είναι ορθογώνιο και ισχύει το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη. Προσπάθησε στη συνέχεια, να αποδείξει ότι οι υποθέσεις της αμβλείας και οξείας γωνίας καταλήγουν σε άτοπο. Κατάφερε να αποδείξει ότι η υπόθεση της αμβλείας γωνίας οδηγεί σε άτοπο, αλλά δεν μπόρεσε να κάνει το ίδιο και για την υπόθεση της οξείας γωνίας λέγοντας χαρακτηριστικά ότι Η υπόθεση της οξείας γωνίας είναι εντελώς λανθασμένη διότι είναι αντίθετη με τη φύση της ευθείας γραμμής. Τα περισσότερα συμπεράσματα του Saccheri ήταν όμως σωστά. Μερικά από τα σημαντικότερα αναφέρουμε παρακάτω. ΠΡΟΤΑΣΗ 1... Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα της βάσης και της κορυφής ενός τετραπλεύρου του Saccheri είναι κάθετο και στις δύο και ονομάζεται ύψος του τετραπλεύρου. Απόδειξη Στην απόδειξη της Πρότασης δείξαμε ότι M ', D, M M ', C, M 90, οπότε το ευθύγραμμο τμήμα ΜΜ είναι κάθετο στην κορυφή DC. Επίσης, έχουμε ότι τα τρίγωνα ADM=BCM, οπότε,,,, M A D M B C (βλ. Σχήμα 1.3). Ακόμη, ισχύει για τα τρίγωνα DΜΜ =CΜΜ. Άρα, M, M ', D M, M ', C. 18

31 Υπερβολική Γεωμετρία. Συνεπώς, M M D M A D M M C M B C, ',,,, ',,, 90 o, γιατί οι γωνίες M, M ', A, M, M ', B είναι παραπληρωματικές. Άρα, το ευθύγραμμο τμήμα ΜΜ είναι κάθετο και στην βάση AB. ΠΡΟΤΑΣΗ Η βάση και η κορυφή ενός τετραπλεύρου του Saccheri είναι παράλληλες. Απόδειξη Από το βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη έχουμε την πρόταση: Δύο ευθείες που τέμνονται από μια τρίτη και σχηματίζουν εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα δύο ορθές, είναι παράλληλες. Στην περίπτωσή μας ισχύει το δεύτερο σκέλος της πρότασης καθώς οι γωνίες o M ', M, C M, M ', B 90 και το άθροισμά τους είναι δύο ορθές. Άρα, η βάση και η κορυφή του τετραπλεύρου του Saccheri είναι παράλληλες. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν σε ένα τετράπλευρο ABCD οι γωνίες A, B είναι ορθές και ισχύει AD >BC, τότε D, A, C C, B, D. Απόδειξη Πάνω στην πλευρά AD θεωρούμε σημείο E τέτοιο ώστε AE=BC. Επομένως, το τετράπλευρο AECB είναι τετράπλευρο του Saccheri, οπότε E, A, C C, B, E (Πρόταση 1...1). Όμως, E, A, C D, A, C DEC (Πρόταση ). ως εξωτερική γωνία του τριγώνου Συνεπώς, έχουμε D, A, C E, A, C C, B, E C, B, D. 19

32 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη D E C A Σχήμα 1.4 B ΠΡΟΤΑΣΗ Αν σε ένα τετράπλευρο ABCD οι γωνίες A, B είναι ορθές και ισχύει D, A, C C, B, D, τότε AD >BC. Απόδειξη Έστω D, A, C C, B, D. Αν AD=BC, τότε D, A, C C, B, D Saccheri, άτοπο (βλ. Σχήμα 1.4). αφού το ABCD είναι τετράπλευρο του Αν AD<BC, τότε D, A, C C, B, D (Πρόταση 1...4), άτοπο. Επομένως, ισχύει AD >BC. ΠΡΟΤΑΣΗ Σε ένα τετράπλευρο του Saccheri η κορυφή είναι μεγαλύτερη από τη βάση. Απόδειξη Θεωρούμε ένα τετράπλευρο του Saccheri ABCD και φέρνουμε το ύψος του (βλ. Σχήμα 1.3). Στο τετράπλευρο ADΜ M έχουμε ότι οι γωνίες A, M, Μ είναι ορθές και D, A, M ' A, M, D άρα AM< DΜ (Πρόταση 1...5). Όμως DC=DΜ και AB=AM. Συνεπώς, DC >AB. 0

33 Υπερβολική Γεωμετρία. ΠΡΟΤΑΣΗ Σε ένα τετράπλευρο του Saccheri το ύψος είναι μικρότερο από τους βραχίονες. Απόδειξη Θεωρούμε πάλι ένα τετράπλευρο του Saccheri ABCD και φέρνουμε το ύψος του (Σχήμα 1.3). Στο τετράπλευρο ADM Μ έχουμε ότι οι γωνίες Α, Μ, Μ είναι ορθές και η D είναι οξεία, οπότε D, A, M ' M ', M, D. Άρα AD >ΜΜ (Πρόταση 1...5). Γενικότερα ο Saccheri απέδειξε τα εξής: ΠΡΟΤΑΣΗ Αν το άθροισμα των γωνιών δοθέντος τριγώνου είναι μικρότερο, ίσο ή μεγαλύτερο των ορθών, τότε ισχύει αντίστοιχα η υπόθεση της οξείας, της ορθής ή της αμβλείας γωνίας. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν ισχύει η υπόθεση της οξείας, της ορθής ή της αμβλείας γωνίας, τότε το άθροισμα των μη ορθών γωνιών κάθε ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα μικρότερο, ίσο ή μεγαλύτερο της μιας ορθής. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν ισχύει η υπόθεση της ορθής ή της αμβλείας γωνίας, τότε ισχύει το πέμπτο αίτημα. ΠΡΟΤΑΣΗ Η υπόθεση της αμβλείας γωνίας δεν ισχύει. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν ισχύει η υπόθεση της οξείας, της ορθής ή της αμβλείας γωνίας σε ένα τετράπλευρο του Saccheri, τότε ισχύει σε κάθε τετράπλευρο του Saccheri. 1

34 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη Οι έρευνες του Lambert. Ένας άλλος μαθηματικός που ασχολήθηκε εκτενώς με το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη ήταν ο Johann Heinrich Lambert ( ). Οι μελέτες του είναι παρόμοιες με αυτές του Saccheri. Το σχήμα που χρησιμοποίησε ο Lambert ήταν ένα τετράπλευρο ABCD που έχει τρεις γωνίες ορθές, έστω τις A, B, C και ονομάζεται τρισορθογώνιο τετράπλευρο ή απλούστερα τετράπλευρο του Lambert. D C A B Σχήμα 1.5: Τετράπλευρο Lambert. Όπως και στο τετράπλευρο του Saccheri η γωνία D του τετραπλεύρου του Lambert είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία. Ο Lambert απέδειξε την υπόθεση της ορθής γωνίας, η οποία είναι ισοδύναμη με το πέμπτο αίτημα, απέκλεισε την υπόθεση της αμβλείας γωνίας και επικέντρωσε τις έρευνές του στην υπόθεση της οξείας γωνίας. Πολύ προσεκτικά δεν εξέδωσε το έργο του Theorie der Parallellinien, (αν και εκδόθηκε το 1786 μετά τον θάνατό του) καθώς περιείχε μια λάθος προσπάθεια της απόδειξης ότι δεν ισχύει η υπόθεση της οξείας γωνίας. Ο Lambert ήταν αυτός που πλησίασε περισσότερο από κάθε άλλον στην επίλυση του πέμπτου αιτήματος και από τους λίγους που σε κανένα σημείο των μελετών του δεν ισχυρίστηκε ότι απέδειξε το πέμπτο αίτημα.

35 Υπερβολική Γεωμετρία Οι έρευνες του Legendre. Περίπου έναν αιώνα μετά τον Saccheri ο Γάλλος Adrien Legendre ( ) προσπάθησε να αποδείξει το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη. Ο Legendre είναι γνωστός για το έργο του Elements de Geometrié το οποίο δημοσίευσε το Αυτό που τον δυσκόλεψε ιδιαίτερα ήταν το αξίωμα της παραλληλίας και μέχρι το θάνατό του άλλαζε συνεχώς το περιεχόμενο των επανεκδόσεων του βιβλίου του δίνοντας σε κάθε έκδοση μια διαφορετική απόδειξη του πέμπτου αιτήματος. Ωστόσο, οι μελέτες του είναι αξιοπρόσεκτες, γιατί αποκάλυψαν την σχέση που έχει το πέμπτο αίτημα με το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. Μερικές από τις προτάσεις του Legendre δίνονται παρακάτω. ΠΡΟΤΑΣΗ Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι το πολύ ίσο με δύο ορθές. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν υπάρχει τρίγωνο του οποίου το άθροισμα των γωνιών είναι ορθές, τότε το ίδιο ισχύει για κάθε τρίγωνο. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ορθές, τότε ισχύει το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν για ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC το άθροισμα των γωνιών του είναι ίσο με ορθές, τότε για κάθε ορθογώνιο τρίγωνο A B C το άθροισμα των γωνιών του είναι ίσο με ορθές. ΠΡΟΤΑΣΗ Το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε γωνιών κάθε τριγώνου ABC είναι μικρότερο των δύο ορθών. Οι μελέτες των Saccheri, Legendre και Lambert αν και δεν οδήγησαν στην απόδειξη του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη, ήταν εξίσου σημαντικές, καθώς άνοιξαν τον δρόμο για την ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών. 3

36 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη 1.3. Ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών και της υπερβολικής γεωμετρίας. Όπως προαναφέραμε μέχρι τα τέλη του 19 ου αιώνα η απόδειξη του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη παρέμενε ένα άλυτο μυστήριο. Όταν όμως η στιγμή είναι κατάλληλη για να έρθει μια νέα ιδέα στην επιφάνεια, τότε η ιδέα αυτή εμφανίζεται σε μερικούς ανθρώπους σχεδόν ταυτόχρονα. Έτσι έγινε και με την ανακάλυψη της μη ευκλείδειας γεωμετρίας Οι έρευνες των Gauss, Bolyai. Ο πρώτος που βρήκε την λύση του προβλήματος του πέμπτου αιτήματος ήταν ο Carl Friedrich Gauss ( ). Ο Gauss ήταν μεγάλος μαθηματικός της εποχής του και ξεκίνησε να ασχολείται με το πρόβλημα της παραλληλίας το 179 από την ηλικία δηλαδή των 15 ετών. Έπειτα από έρευνες που διήρκεσαν αρκετά χρόνια ο Gauss κατέληξε στο συμπέρασμα ότι υπάρχει μια (μη ευκλείδεια) γεωμετρία η οποία περιέχει όλα τα αξιώματα και αιτήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας εκτός του πέμπτου αιτήματος, η οποία μπορεί να θεμελιωθεί με ένα επιπλέον αίτημα που αντίκειται στο πέμπτο αίτημα. Ανέπτυξε λοιπόν, μια τέτοια γεωμετρία ξεκινώντας από την υπόθεση της οξείας γωνίας για να κατασκευάσει μια νέα, μη ευκλείδεια, γεωμετρία η οποία είναι συνεπής όπως και η ευκλείδεια. Παρά την μεγάλη του φήμη, ο Gauss απέφυγε να δημοσιεύσει τα αποτελέσματα των ερευνών του για την μη ευκλείδεια γεωμετρία καθώς θεώρησε ότι οι ανακαλύψεις του ήταν επαναστατικές και οι μαθηματικοί εκείνης της εποχής δεν θα μπορούσαν να τις καταλάβουν, με αποτέλεσμα το έργο του να κατακριθεί. Έτσι λοιπόν, αρκέστηκε στην αναφορά των ανακαλύψεών του σε κάποιες επιστολές του με αποτέλεσμα τα ευρήματά του να μην δημοσιευτούν ποτέ. Από αυτές τις επιστολές γνωρίζουμε ότι ο Gauss είχε φτάσει στην θεμελίωση βασικών εννοιών της μη ευκλείδειας γεωμετρίας ήδη από το

37 Υπερβολική Γεωμετρία. Ένας άλλος μαθηματικός που ασχολήθηκε με την επίλυση του πέμπτου αιτήματος ήταν ο Ούγγρος Janos Bolyai ( ). Ο Janos Bolyai ήταν γιός του Farkas Bolyai, ο οποίος ήταν αξιόλογος μαθηματικός της εποχής του και είχε ασχοληθεί και αυτός με το πέμπτο αίτημα, χωρίς όμως να καταλήξει σε κάποιο συμπέρασμα. Ο Janos, παρά τις προειδοποιήσεις του πατέρα του να μην ασχοληθεί με το αξίωμα της παραλληλίας, είχε μια εντελώς καινούργια ιδέα. Υπέθεσε ότι η άρνηση του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη δεν ήταν αδύνατη και το 183 ανακάλυψε την μη ευκλείδεια γεωμετρία. Σε μια επιστολή που έστειλε στον πατέρα του Farkas αναφέρει χαρακτηριστικά: Από το τίποτα δημιούργησα ένα νέο παράξενο σύμπαν. Έτσι, το 183 ο Janos δημοσίευσε τις ανακαλύψεις του σε ένα παράρτημα 6 σελίδων ενός δίτομου βιβλίου του πατέρα του, το Tentamen, που περιείχε τις προσπάθειες του Farkas να αποδείξει το πέμπτο αίτημα. Θεωρώντας ότι οι ανακαλύψεις του γιού του ήταν σημαντικές ο Farkas έστειλε ένα αντίγραφο του παραρτήματος του Janos στον παλιό συμφοιτητή και φίλο του Gauss. Βέβαια η απογοήτευση του Janos ήταν μεγάλη όταν διάβασε το γράμμα που έστειλε ο Gauss στον πατέρα του, λέγοντας ανάμεσα στα άλλα, ότι ο ίδιος είχε καταλήξει στα ίδια συμπεράσματα με τον Janos λίγα χρόνια πιο πριν. Συγκεκριμένα ο Gauss έγραψε: Δεν τολμώ να επαινέσω την εργασία αυτή γιατί θα ήταν σαν να επαινώ τον εαυτό μου καθώς τα συμπεράσματα του γιού σου συμπίπτουν με τα δικά μου. Δεν σκοπεύω όμως να δημοσιεύσω τίποτα από όλα αυτά κατά τη διάρκεια της ζωής μου γιατί πολλοί δεν θα είχαν την ικανότητα να αντιληφθούν την αξία των συμπερασμάτων μου. Ύστερα από αυτό ο Janos Bolyai δεν δημοσίευσε τίποτα άλλο από την έρευνά του με αποτέλεσμα το έργο του να μείνει στην αφάνεια. 5

38 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη Η ανακάλυψη της γεωμετρίας Lobachevsky. Περίπου στα 1815 ένας Ρώσος μαθηματικός, ο Nikolai Ivanovich Lobachevsky ( ) του Πανεπιστημίου του Καζάν, άρχισε να ασχολείται με την θεωρία των παραλλήλων. Μεταξύ 183 και 185 ο Lobachevsky ανακάλυψε τη μη ευκλείδεια γεωμετρία και έλυσε το πρόβλημα του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη. Σε αντίθεση με τους Gauss και Bolyai ο Lobachevsky ήταν ο πρώτος που εξέφρασε τις νέες ιδέες του δημόσια, πρώτα προφορικά στις 3 Φεβρουαρίου 186 σε συγκέντρωση της Φυσικομαθηματικής σχολής του Καζάν, όπου ανακοίνωσε μια εργασία πάνω στην θεωρία των παραλλήλων κι ύστερα γραπτά το 189, όταν δημοσίευσε το περιεχόμενό της εργασίας αυτής στο περιοδικό του Πανεπιστημίου του Καζάν. Σε αυτή την πρώτη δημοσίευση ο Lobachevsky παρουσιάζει τη λογική θεμελίωση της νέας γεωμετρίας που προκύπτει από την υπόθεση της οξείας γωνίας. Ακόμη, πρέπει να αναφέρουμε ότι επειδή οι ιδέες του Lobachevsky ήταν ριζοσπαστικές για την εποχή εκείνη, πολλοί ήταν αυτοί που τις αμφισβήτησαν. Ο ίδιος, όμως, δεν πτοήθηκε και το 1835 εξέδωσε στα Ρώσικα το έργο Φανταστική Γεωμετρία, καθώς έτσι ονόμασε την νέα αυτή γεωμετρία που ανακάλυψε. Το 1855, έναν χρόνο πριν τον θάνατό του και όντας τυφλός, δημοσίευσε το βιβλίο Πανγεωμετρία που περιέχει μια ανακεφαλαίωση όλων των ερευνών του πάνω στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες και στις εφαρμογές τους. Αυτό που σκέφτηκε ο Lobachevsky ήταν ότι το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη δεν μπορεί να αποδειχτεί από τα υπόλοιπα αξιώματα και αιτήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας. Έτσι λοιπόν, σαν υπόθεση πήρε το αντίθετο του αξιώματος της παραλληλίας το οποίο ονομάζεται Αξίωμα του Lobachevsky: Υπάρχει ευθεία g και σημείο A εκτός αυτής, έτσι ώστε από το A να διέρχονται τουλάχιστον δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο με την g και δεν την τέμνουν. Συνεπώς, ο Lobachevsky προσάρτησε στα βασικά αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας, αντί του αξιώματος της παραλληλίας το παραπάνω αξίωμα, με αποτέλεσμα να μπορεί να αναπτυχθεί μια τέλεια και κατανοητή γεωμετρία, διαφορετική από την ευκλείδεια, που ονομάστηκε Γεωμετρία Lobachevsky. 6

39 Υπερβολική Γεωμετρία. Διευκρινίζουμε ότι οι προτάσεις που απορρέουν από τα αξιώματα των ομάδων Ι-ΙV του συστήματος αξιωμάτων του Hilbert ισχύουν στην γεωμετρία Lobachevsky και όσες προτάσεις σχετίζονται με το αξίωμα V.1 της παραλληλίας δεν ισχύουν στην γεωμετρία Lobachevsky. Έτσι λοιπόν, στην γεωμετρία αυτή, ο Lobachevsky βρήκε όλα τα αποτελέσματα που είναι ανάλογα με αυτά της ευκλείδειας γεωμετρίας, δηλαδή από την μη ευκλείδεια τριγωνομετρία και την επίλυση τριγώνων, μέχρι τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων. 7

40 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ.1. Βασικές προτάσεις και ορισμοί της υπερβολικής γεωμετρίας. Σε αυτή την ενότητα θα παραθέσουμε μια σειρά βασικών συμπερασμάτων της υπερβολικής γεωμετρίας του επιπέδου, με τα οποία γίνονται σαφείς τόσο η δομή της, όσο και οι διαφορές της από την ευκλείδεια γεωμετρία. Είναι αναγκαίο να αναφέρουμε ότι τα σχήματα που θα χρησιμοποιήσουμε από εδώ και στο εξής θα έχουν μικρή ή καμιά σχέση με την πραγματικότητα. Απλώς, τα χρησιμοποιούμε για να βοηθήσουμε την φαντασία μας να κατανοήσει καλύτερα τα θεωρήματα και τις αποδείξεις, στις οποίες αναφέρεται το κάθε σχήμα. ΑΞΙΩΜΑ LOBACHEVSKY. Υπάρχει μία ευθεία g και ένα σημείο A, που δεν βρίσκεται πάνω στην g, έτσι ώστε από το A να διέρχονται τουλάχιστον δύο ευθείες, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο α με την g και δεν την τέμνουν. ΟΡΙΣΜΟΣ.1.1. Κάθε χώρος στον οποίο ικανοποιούνται τα αξιώματα των ομάδων Ι-ΙV του Hilbert και το αξίωμα του Lobachevsky ονομάζεται μη ευκλείδειος υπερβολικός χώρος, ή απλούστερα υπερβολικός χώρος. Το σύνολο των προτάσεων, που ισχύουν σε έναν τέτοιο χώρο, ονομάζεται υπερβολική μη ευκλείδεια γεωμετρία, ή απλούστερα υπερβολική γεωμετρία. ΠΡΟΤΑΣΗ.1.. Έστω τυχούσα ευθεία g και τυχόν σημείο A g. Τότε από το A διέρχονται άπειρες ευθείες που δεν τέμνουν την g και ανήκουν στο ίδιο επίπεδο με αυτήν. Απόδειξη Έστω ευθεία g και σημείο A εκτός αυτής από το οποίο διέρχεται μοναδική ευθεία g, που δεν τέμνει την g. Θεωρούμε την προβολή Β του A πάνω στην g, οπότε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι κάθετο στην g. Επίσης, θεωρούμε σημείο C πάνω στην g

41 Υπερβολική Γεωμετρία. διάφορο του Β. Τότε οι εντός εναλλάξ γωνίες, που σχηματίζονται από το ευθύγραμμο τμήμα AC που τέμνει τις g, g, είναι ίσες. Αυτό ισχύει, γιατί αλλιώς θα υπήρχε ευθεία h διερχόμενη από το A που θα σχημάτιζε με το AC γωνία ίση με την C, A, B, οπότε η h δεν θα έτεμνε την g, άτοπο, γιατί η g υποτέθηκε μοναδική. Άρα, το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ABC είναι ίσο με ορθές, οπότε ισχύει το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη (Πρόταση ) και από την Πρόταση ισχύει και το αξίωμα V.1 του Hilbert και όχι το αξίωμα του Lobachevsky, άτοπο. g ω A g C ω B h Σχήμα.1 ΠΡΟΤΑΣΗ.1.3. (Θεμελιώδες θεώρημα της παραλληλίας στην υπερβολική γεωμετρία). Έστω ευθεία g, σημείο Α εκτός αυτής και η προβολή Β του Α στην g. Τότε υπάρχουν δύο μοναδικές ημιευθείες Αk, Al, δεξιά και αριστερά του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, που δεν τέμνουν την g τέτοιες ώστε να ισχύουν τα εξής: i) Οποιαδήποτε ευθεία που περνά από το Α και βρίσκεται στην γωνία που σχηματίζουν οι Αk, Al και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να τέμνει την ευθεία g. ii) Οι γωνίες A, B, k,,, A B l είναι ίσες και οξείες. Απόδειξη i) Έχουμε ευθεία g, σημείο Α εκτός αυτής και την προβολή Β του Α στην g. Θεωρούμε ευθεία m κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που δεν τέμνει την g. Έστω C ένα σημείο της m στα αριστερά του Α και φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΒC. Έστω Σ το σύνολο όλων των σημείων Τ του ευθύγραμμου τμήματος ΒC τέτοια ώστε η ημιευθεία που ορίζεται από το ευθύγραμμο τμήμα ΑΤ να τέμνει την g και Σ το συμπλήρωμά του. 9

42 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη Παρατηρούμε ότι αν το ΤBC είναι ένα στοιχείο του συνόλου Σ, τότε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα ΤΒ ανήκουν στο Σ. Επίσης, το C είναι ένα στοιχείο του συνόλου Σ, οπότε Σ. Επομένως, υπάρχει ένα μοναδικό σημείο Χ του ευθύγραμμου τμήματος BC τέτοιο ώστε όλα τα σημεία του ΧΒ να ανήκουν στο σύνολο Σ και όλα τα σημεία του XC να ανήκουν στο σύνολο Σ (βλ. Σχήμα.α). C Α m k X T Σχήμα.α Β g Άρα, η ημιευθεία Αk που ορίζεται από το ευθύγραμμο τμήμα ΑΧ είναι αυτή που ζητάμε και δεν τέμνει την ευθεία g. Έστω ότι η Αk τέμνει την g σε ένα σημείο D. Θεωρούμε ένα σημείο Ε g τέτοιο ώστε το D να βρίσκεται μεταξύ των Ε και Β. Η ημιευθεία Εk που ορίζεται από το ευθύγραμμο τμήμα ΑΕ τέμνει την g, αλλά κόβει το ευθύγραμμο τμήμα ΧC, άτοπο (βλ. Σχήμα.β). Άρα, η Αk δεν τέμνει την g. C A m E k k D X Σχήμα.β B g Το ίδιο ισχύει και για ένα σημείο Χ στα δεξιά του ΑΒ το οποίο ορίζει την ημιευθεία Al που δεν τέμνει την g. 30

43 Υπερβολική Γεωμετρία. ii) Έστω ότι A, B, X >,, A B X. Επιλέγουμε σημείο Υ στην πλευρά του ΑΒ που βρίσκεται και το Χ τέτοιο ώστε A, B, Y =,, A B X. Η ημιευθεία που ορίζεται από το ευθύγραμμο τμήμα ΑΥ τέμνει την ευθεία g στο σημείο F. Τότε υπάρχει μοναδικό σημείο F της g τέτοιο ώστε FB=F B. Από ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Γ-Π) (βλ...1.), έχουμε ότι τα τρίγωνα AFB, AF B είναι ίσα (βλ. Σχήμα.γ). Άρα, A, B, F = A, B, F =,, A B X, άτοπο γιατί τότε το F θα βρίσκονταν πάνω στην ημιευθεία Al. Συνεπώς, A, B, X =,, A B X. Οι γωνίες αυτές είναι οξείες, καθώς αν ήταν ορθές θα ίσχυε το αξίωμα της παραλληλίας του Ευκλείδη, ενώ αν ήταν αμβλείες κάθε ευθεία που θα περνούσε από το Α θα έτεμνε την g. A m k X Y X l F B F g Σχήμα.γ ΟΡΙΣΜΟΣ.1.4. Οι ημιευθείες Ak, Αl της παραπάνω πρότασης η οποίες δεν τέμνουν την g ονομάζονται οριακές ημιευθείες και οι ευθείες στις οποίες ανήκουν οι ημιευθείες αυτές ονομάζονται οριακές ευθείες. Ανάλογα με το που βρίσκεται η οριακή ευθεία ως προς την κάθετο AB ονομάζεται δεξιά ή αριστερή οριακή ευθεία. ΟΡΙΣΜΟΣ.1.5. Η δεξιά και η αριστερή οριακή ευθεία λέγονται παράλληλες της ευθείας g. 31

44 Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη A g Σχήμα.3: Οι διακεκομμένες ευθείες είναι οι παράλληλες στην g που διέρχονται από το σημείο Α. ΠΡΟΤΑΣΗ.1.6. Έστω ευθεία g και σημείο Α εκτός αυτής. Αν η k που περνά από το Α είναι η δεξιά οριακή ευθεία της g, τότε θα είναι δεξιά οριακή ευθεία της g για κάθε σημείο Α k. Απόδειξη Έστω η προβολή Β του Α στην ευθεία g. Τότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Περίπτωση Ι: Θεωρούμε σημείο Α της οριακής ευθείας k στα δεξιά του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και την προβολή Β του Α στην ευθεία g. Έστω ευθεία h που διέρχεται από το Α και βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας A, B, k. Αρκεί να δείξουμε ότι η h τέμνει την g. Παίρνουμε ένα σημείο C h και φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα AC. Τότε η ευθεία που ορίζεται από το AC τέμνει την ευθεία g στο σημείο D, καθώς η ευθεία k είναι δεξιά οριακή ευθεία της g (βλ. Σχήμα.4α). Συνεπώς, στο τρίγωνο ΑΒD η ευθεία h τέμνει την πλευρά ΑD και από το αξίωμα ΙΙ. 4 τέμνει και την πλευρά ΒD, δηλαδή την ευθεία g. 3

45 Υπερβολική Γεωμετρία. A h A k C g B B D Σχήμα.4α Περίπτωση ΙΙ: Θεωρούμε σημείο Α της οριακής ευθείας k στα αριστερά του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και την προβολή Β του Α στην ευθεία g. Έστω ευθεία m που διέρχεται από το Α και βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας A, B, k. Αρκεί να δείξουμε ότι η ευθεία m τέμνει την g. Παίρνουμε ένα σημείο C της ευθείας m τέτοιο ώστε η ευθεία n που ορίζεται από το ευθύγραμμο τμήμα ΑC να τέμνει την g σε ένα σημείο D (αυτό συμβαίνει γιατί η k είναι οριακή ευθεία της g). Συνεπώς, η ευθεία m τέμνει την n στο C που είναι εξωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑD, οπότε η m τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα B D (βλ. Σχήμα.4β). Άρα, η m τέμνει την g. C Α m A k n g B B D Σχήμα.4β 33