2(z 2) οι εικόνες των z 1

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το μιγαδικό επίπεδο και έστω M (z ) και M (z ) οι εικόνες των z,z με διανυσματικές ακτίνες OM, OM αντίστοιχα Τότε παρατηρούμε ότι: i Το άθροισμα z+ z παριστάνεται με τη διανυσματική ακτίνα OM του σημείου M(z+ z ) η οποία βρίσκεται με κανόνα του παραλληλογράμμου Δηλαδή OM = OM+ OM άρα OM = z + z

2 ii Η διαφορά z z παριστάνεται με τη διανυσματική ακτίνα ON του σημείου N(z z ) η οποία βρίσκεται αν προσθέσουμε τη διανυσματική ακτίνα OM δηλαδή την OM 3 στην OM Είναι ON = OM+ OM3 ON = M M = z z Άρα Eπομένως το μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους

3 ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Ερμηνεία της τριγωνικής ανισότητας: z z z+ z z + z Στο τρίγωνο OMM εφαρμόζοντας την τριγωνική ανισότητα της ευκλείδιας γεωμετρίας έχουμε ότι ( OM ) ( M M) ( OM) ( OM ) ( M M) + άρα z z z+ z z + z 3

4 Bασικές παρατηρήσεις Η εξίσωση z z =ρ με z μιγαδικό και ρ> 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο K(z ) και ακτίνα το ρ Παράδειγμα Η εξίσωση z i z i = + = είναι ισοδύναμη με ( ) Άρα παριστάνει κύκλο με κέντρο K(, ) και ακτίνα το ρ= Άρα τον κύκλο με εξίσωση c : (x ) + (y + ) = Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήγαμε αν θεωρούσαμε z = x + yi, x και y πραγματικοί Τότε x + yi + i = Άρα χωρίζοντας πραγματικό απο φανταστικό μέρος έχουμε: (x ) + (y + )i = Εφαρμόζοντας τον τύπο του μέτρου μιγαδικού θα πάρουμε υψώσουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη παίρνουμε (x ) + (y + ) = Που είναι η εξίσωση κύκλου με κέντρο K (, ) και ακτίνα το ρ= Η ανίσωση z z0 ακτίνα ρ Η ανίσωση z z0 ακτίνα ρ (x ) + (y + ) = και αφού K z και >ρ αναφέρεται στα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο ( ) <ρ αναφέρεται στα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο ( ) 0 K z και Η ανίσωση ρ < z z0 <ρ παριστάνει τα εσωτερικά σημεία του δακτύλιου μεταξύ δυο ομόκεντρων κύκλων με κέντρο K( z 0 ) και ακτίνες ρ και ρ 0 Η εξίσωση z z = z z με z,z μιγαδικούς παριστάνει την μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος MM Όπου M,M οι εικόνες των μιγαδικών z,z αντίστοιχα 4

5 Παράδειγμα Η εξίσωση z + i = z 3 + i παριστάνει την μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος MM όπου M,M οι εικόνες των μιγαδικών z = i, z = 3 i αντίστοιχα Πιο συγκεκριμένα αν θεωρήσουμε z = x + yi, x, y τότε x + yi + i = x + yi 3 + i = x + ( y+ i ) = x 3+ ( y+ i ) = ( x ) (y ) x = ( ) + (y + ) Υψώνοντας στο τετράγωνο τα δύο μέλη (x ) + (y + ) = ( x 3 ) + (y + ) Τότε έχουμε ( x ) + ( y+ ) = ( x 3) + ( y+ ) Άρα x x+ + y + 4y+ 4= x 6x+ 9+ y + y+ Άρα 4x + y 5 = 0 που είναι η εξίσωση της ζητούμενης μεσοκαθέτου 3 Η εξίσωση z z + z z = α όπου z,z μιγαδικοί και 0 α>, με z z < α παριστάνει έλλειψη με εστίες τα M( z ),M( z ) και μήκος μεγάλου άξονα α Παράδειγμα + + = παριστάνει έλλειψη με εστίες τα M ( 0,3 ), M ( 0, 3) Η εξίσωση z 3i z 3i 0 μεγάλου άξονα 0 και μήκος 4 Η εξίσωση z z z z = α όπου z,z μιγαδικοί και α> 0, με z z > α παριστάνει υπερβολή με εστίες τα M( z ),M( z ) και σταθερή διαφορά α Παράδειγμα + = παριστάνει υπερβολή με εστίες τα M ( 0,5 ), M ( 0, 5) Η εξίσωση z 5i z 5i 8 σταθερή διαφορά 8 και 5

6 Άλλες σημαντικές παρατηρήσεις Ισχύει: z z = z z, με z,z C αφού όπως γνωρίζουμε αντίθετοι μιγαδικοί έχουν ίσα μέτρα Aν ισχύει z z = z z3 = z z3 και Α, Β, Γ οι εικόνες των z,z,z3 C με z z z3 z αντίστοιχα τότε προφανώς το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο 3 Αν z = z = z z και O( 0,0 ) η αρχή των αξόνων και ( ) ( ) z,z C,z z αντίστοιχα τότε το ΟΑΒ είναι ισόπλευρο * 4 Αν ( ) ( ) ( ) 3 3 A z,b z οι εικόνες των A z,b z, Γ z,z,z,z C κορυφές τριγώνου ΑΒΓ και για z μιγαδικό ισχύει z z z z z z, = = 3 με 3 περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου z z,z,z τότε οι εικόνες του z είναι το κέντρο του 5 Αν ισχύει z z < z z συμπεραίνουμε ότι οι εικόνες του z βρίσκονται στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την μεσοκάθετο του M (z )M (z ) και προς το μέρος του M (z ) Αν έχουμε συμπεριλαμβάνουμε και τα σημεία που ανήκουν στη μεσοκάθετο 6 Αν έχουμε z z = z z με z,z C σημαίνει ότι τα σημεία M( z ), οι εικόνες του z ισαπέχουν από τα M (z ), M (z ) τις εικόνες των z,z αντίστοιχα, άρα ανήκουν στον άξονα xx 7 Αν έχουμε z z = z + z, z,z C σημαίνει ότι τα σημεία M( z ), οι εικόνες του z ισαπέχουν από τα M(z),M( z) τις εικόνες των z, z αντίστοιχα, άρα ανήκουν στον άξονα yy 8 Αν έχουμε z α = z+α με yy * α R και z C οι εικόνες τoυ z ανήκουν στον άξονα 9 Αν έχουμε z z + z z3 = z z3, τότε οι εικόνες των z,z,z3 C, με z z z3 z σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο αφού ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα για τις αποστάσεις των εικόνων των μιγαδικών 6