Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σημειώσεις Σταύρος Τουμπής ΟΠΑ, 24

2

3 i Οδηγίες Χρήσης Το παρόν ΔΕΝ είναι διδακτικό βιβλίο. Είναι οι σημειώσεις του μαθήματος «Μαθηματικά Ι», όπως το διδάσκω στο πρώτο εξάμηνο του Τμήματος Πληροφορικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών. Στις σημειώσεις έχουν ενσωματωθεί ορισμένες α- πλές έννοιες που δεν υπάρχει λόγος να αναφέρονται στο μάθημα, αλλά παρατίθενται εδώ για λόγους πληρότητας (π.χ. γνωστές τριγωνομετρικές ιδιότητες.) Υπάρχουν επίσης ελαφρώς περισσότερα παραδείγματα από όσα προλαβαίνω να καλύψω στις διαλέξεις. Ευτυχώς, για το μάθημα υπάρχουν διαθέσιμα πολλά εξαιρετικά βιβλία γραμμένα στα Ελληνικά, ή σε καλές μεταφράσεις από τα Αγγλικά. Μερικά από αυτά αναφέρονται στην βιβλιογραφία. Σύμφωνα με τον νόμο, στους φοιτητές προσφέρεται δωρεάν ένα βιβλίο, με δυνατότητα επιλογής ανάμεσα σε δύο. Στο συγκεκριμένο μάθημα τα βιβλία αυτά είναι του Spivak και του Thomas, και τα δύο διαθέσιμα σε καλές μεταφράσεις από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Δεν υπάρχει υποκατάστατο της εις βάθος μελέτης ενός καλού βιβλίου για την κατανόηση του αντικειμένου. Δεν συνιστώ στους φοιτητές, ειδικά σε αυτούς που δεν παρακολούθησαν τις διαλέξεις, να χρησιμοποιήσουν το παρόν ως βιβλίο, καθώς δεν έχει στόχο να υποκαταστήσει τα βιβλία που μοιράζονται. Ο σκοπός αυτών των σημειώσεων είναι. να διευκολύνουν την παρακολούθηση των φοιτητών, που δεν χρειάζεται να αντιγράφουν ό,τι γράφεται στον πίνακα, συνήθως υπό δυσμενείς συνθήκες, 2. να διευκολύνουν την μελέτη της ύλης που διδάχτηκε σε συνδυασμό με το βιβλίο, 3. να βοηθούν τους φοιτητές που δεν παρακολουθούν κάποιες διαλέξεις (ή και όλες) να μείνουν σε επαφή με το μάθημα, 4. να αποθαρρύνουν τους φοιτητές από το να έρχονται στις διαλέξεις απλώς και μόνο για να «πάρουν τις σημειώσεις». Επιπλέον, η συγγραφή των σημειώσεων με βοήθησε να καταλάβω (κατά το δυνατόν) πως πρέπει να διδάσκεται ο Λογισμός σε πρωτοετείς. Το αντικείμενο του μαθήματος είναι ο Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής. Η διαμόρφωση της ύλης έχει γίνει λαμβάνοντας υπ όψιν τις υφιστάμενες γνώσεις, το

4 ii γεγονός ότι το μάθημα γίνεται σε τμήμα Πληροφορικής, και το ότι δεν υπάρχει στο τμήμα άλλο μάθημα Λογισμού, πέραν από κάποια στοιχεία Λογισμού πολλών μεταβλητών ως υποσύνολο του μαθήματος «Μαθηματικά ΙΙ» του δευτέρου εξαμήνου. Ο,τι υπάρχει εδώ πιστεύω μπορεί να καλυφθεί σε 3 εβδομάδες διδασκαλίας. Προσπάθησα να δομήσω έτσι την ύλη ώστε οι φοιτητές που παρακολουθούν το μάθημα να μπορούν να διαβάζουν ταυτόχρονα οποιοδήποτε από τα δύο βιβλία που τους παρέχονται (Spivak και Thomas) χωρίς πολλά μπρος - πίσω. Ακολούθησα επίσης όσο μπορούσα τους συμβολισμούς αυτών των βιβλίων (και όπου υπήρχε απόκλιση μεταξύ τους, τους συμβολισμούς του Spivak). Οι άμεσοι στόχοι του μαθήματος είναι:. Οι φοιτητές να εμβαθύνουν στην ύλη που ήδη ξέρουν, δηλαδή τις βασικές έννοιες των παραγώγων και των ολοκληρωμάτων. Εξ ου και δίνεται έμφαση στον ορισμό του ορίου, στην έννοια του supremum, τον αυστηρό ορισμό (κατά Darboux) του ολοκληρώματος, κ.ο.κ. 2. Οι φοιτητές να μάθουν ορισμένα νέα κομμάτια θεωρίας (π.χ. συνέχεια Lipschitz) και νέες εφαρμογές των ήδη γνωστών τους εννοιών (π.χ. υπολογισμοί διάφορων όγκων). 3. Οι φοιτητές να εκτεθούν σε περιοχές ύλης όπως τα πολυώνυμα Taylor και διάφορες αριθμητικές μεθόδους, που αργότερα θα αντιμετωπίσουν διεξοδικότερα, στα πλαίσια άλλων μαθημάτων. Πέραν από τους άμεσους διδακτικούς στόχους του μαθήματος, στην διαμόρφωση και παρουσίαση της ύλης και των ασκήσεων συνυπολογίστηκαν και οι ακόλουθοι απώτεροι στόχοι:. Η ύλη να είναι σχετικά μεγάλη, ώστε οι φοιτητές να «μάθουν να μαθαίνουν γρήγορα». 2. Η ύλη να παρουσιάζεται κατά το δυνατόν αυστηρά, ώστε να ενισχυθεί η ικανότητα των φοιτητών για λογικές δομημένες σκέψεις. 3. Οι ασκήσεις να μπορούν να λυθούν από όσους έχουν καταλάβει την ύλη και όχι από όσους έχουν απομνημονεύσει κάποιες μηχανιστικές μεθόδους, ώστε να δίνεται έμφαση στην κατανόηση των 5-6 απλών εννοιών του Λογισμού, και όχι στην απομνημόνευση. Η εντύπωση που έχω αποκομίσει από αρκετά χρόνια διδασκαλίας σε πρωτοετείς, είναι ότι η διδασκαλία των μαθηματικών στο Λύκειο, και ειδικά το σύστημα εξετάσεων, έχουν περίπου αντίθετους στόχους.

5 iii Το παρόν κείμενο είναι υπό διαρκή εξέλιξη. Θα εκτιμήσω ιδιαιτέρως οποιαδήποτε πρόταση για τη βελτίωσή του, και τυχόν παρατηρήσεις σχετικά με ορθογραφικά και τυπογραφικά σφάλματα, λάθη στις ασκήσεις, και κάθε φύσεως άλλο πρόβλημα. Θα είναι χαρά μου επίσης αν το χρησιμοποιήσουν αυτούσιο ή με τροποποιήσεις και άλλοι διδάσκοντες. Σταύρος Τουμπής, c 2-24 Σταύρος Τουμπής Επιτρέπεται η χρήση μέρους ή όλου του παρόντος καθώς και η αναπαραγωγή του με οποιονδήποτε τρόπο για οποιαδήποτε μη κερδοσκοπική και όχι εμπορική διδακτική ή ερευνητική δραστηριότητα

6 iv

7 Περιεχόμενα Αριθμοί. Αξιώματα Πεδίου Αξιώματα Διάταξης Αξίωμα Πληρότητας Συνέπειες του Αξιώματος της Πληρότητας Διαστήματα Συναρτήσεις Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Οριο Βασική Ιδέα Ορίου Ορισμός Ιδιότητες Ορίου Ορια Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Ορια στο Άπειρο, Απειρίζοντα Ορια Οριο Ακολουθίας Συνέχεια Ορισμός και Βασικές Ιδιότητες Συνέχειας Συνέπειες Συνέχειας σε Κλειστό Φραγμένο Διάστημα Μέθοδος Διχοτόμησης Αντίστροφη Συνεχούς Συνάρτησης Συνέχεια Lipschitz Παράγωγος Ορισμός Βασικές Ιδιότητες Παραγώγων Παράγωγος Αντίστροφης Συνάρτησης Θεώρημα Μέσης Τιμής Παράγουσες Εφαρμογές Παραγώγου 3 5. Προσεγγίσεις Η Μέθοδος του Νεύτωνα Μονοτονία και Ακρότατα Συναρτήσεων Κυρτές Συναρτήσεις Κανόνας του L Hôpital v

8 vi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 6 Ολοκλήρωμα 9 6. Ορισμός Κριτήρια Ολοκληρωσιμότητας Ιδιότητες Ολοκληρώματος Ολοκλήρωμα Riemann Ολοκλήρωση Θεμελιώδη Θεωρήματα Λογισμού Λογαριθμική και Εκθετική Συνάρτηση Ασκήσεις με την Λογαριθμική και την Εκθετική Συνάρτηση Καταχρηστικά Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός Εμβαδού σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες Υπολογισμός Εμβαδού σε Πολικές Συντεταγμένες Υπολογισμός Ογκου με τη Μέθοδο των Δίσκων Υπολογισμός Ογκου με τη Μέθοδος των Κελύφων Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Διαφορικές Εξισώσεις Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως Διαχωρίσιμες Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως Η Μέθοδος του Euler Πολυώνυμο Taylor 225. Ορισμός και Βασικές Ιδιότητες Υπόλοιπο Σειρές 237. Σειρές Σειρές μη Αρνητικών Ορων Παραδείγματα Διανύσματα R n R R Κωνικές Τομές Κωνικές Τομές Αλλαγή Συντεταγμένων Παραβολή Ελλειψη Υπερβολή Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii 4 Παράρτημα 3 4. Βιβλιογραφία Συμβολισμοί Λεξικό

10 viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

11 Κεφάλαιο Αριθμοί. Αξιώματα Πεδίου Ορισμός.. (Αξιώματα Πεδίου): Εστω R το σύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x, y, z οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί. Απαιτούμε να ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες, που καλούνται αξιώματα πεδίου:. (Αντιμεταθετική ιδιότητα) x + y = y + x, xy = yx. 2. (Προσεταιριστική ιδιότητα) x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z. 3. (Επιμεριστική ιδιότητα) x(y + z) = xy + xz. 4. ( Υπαρξη ουδέτερων στοιχείων) Υπάρχουν δύο διαφορετικοί μεταξύ τους πραγματικοί αριθμοί, οι και, τέτοιοι ώστε να έχουμε +x = x και x = x για κάθε x R. Ο καλείται το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, και ο το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. 5. ( Υπαρξη αντίθετων) Για κάθε πραγματικό αριθμό x, υπάρχει πραγματικός αριθμός y τέτοιος ώστε x + y =. Ο y συμβολίζεται x και καλείται αντίθετος του x. 6. ( Υπαρξη αντίστροφων) Για κάθε πραγματικό αριθμό x, υπάρχει πραγματικός αριθμός y τέτοιος ώστε xy =. Ο y συμβολίζεται x και καλείται αντίστροφος του x. Παρατήρηση: Οποιοδήποτε σύνολο S εφοδιασμένο με δύο πράξεις ικανοποιεί τα άνω αξιώματα καλείται πεδίο ή σώμα. Υπάρχουν πολλά πεδία: οι ρητοί, οι πραγματικοί, οι μιγαδικοί, και άλλα, ακόμα πιο ασυνήθιστα. Δείτε το ακόλουθο παράδειγμα. Παράδειγμα.. (GF(5)) Εστω το σύνολο GF(5) = {,, 2, 3, 4}, για το οποίο έχουμε ορίσει δύο πράξεις ως εξής:

12 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι. Την πρόσθεση modulo 5, που τη συμβολίζουμε με, και σύμφωνα με την οποία το x y ισούται με το υπόλοιπο της διαίρεσης του x + y με το 5. Ισοδύναμα, x y = x + y 5k, όπου k είναι ο μοναδικός ακέραιος για τον οποίο x + y 5k < 5, και προφανώς k {, }. 2. Τον πολλαπλασιασμό modulo 5, που τον συμβολίζουμε με, και σύμφωνα με τον οποίο το x y ισούται με το υπόλοιπο της διαίρεσης του xy με το 5. Ισοδύναμα, x y = xy 5k, όπου k είναι ο μοναδικός ακέραιος για τον οποίο xy 5k < 5, και προφανώς k {,, 2, 3}. Το σύνολο GF(5), εφοδιασμένο με τις άνω πράξεις, ικανοποιεί τα αξιώματα πεδίου. Πράγματι, η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης προκύπτει παρατηρώντας ότι: x (y z) = x + (y + z 5k ) 5k 2 = x + y + z 5(k + k 2 ), (x y) z = (x + y 5k 3 ) + z 5k 4 = x + y + z 5(k 3 + k 4 ). Στα άνω, οι ακέραιοι k, k 2, k 3, k 4 είναι τέτοιοι ώστε το αντίστοιχο άθροισμα να είναι πάντοτε ανάμεσα στο και το 4. Παρατηρήστε τώρα ότι υπάρχει μόνο ένας k τέτοιος ώστε το x + y + z 5k να είναι ανάμεσα στο και το 4. Άρα k + k 2 = k 3 + k 4, και τελικά x (y z) = (x y) z. Η προσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασμό, η αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού και της πρόσθεσης και η επιμεριστική ιδιότητα προκύπτουν ανάλογα. (Μπορείτε να γράψετε τις αποδείξεις;) Σχετικά με την ύπαρξη ουδετέρων, είναι προφανές ότι το είναι και πάλι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Σχετικά με την ύπαρξη αντίθετων, είναι προφανές ότι + =, + 4 =, =, άρα υπάρχει αντίθετος για κάθε στοιχείο στο GF(5). Σχετικά με τους αντίστροφους, με λίγες δοκιμές βρίσκουμε ότι =, 2 3 =, 4 4 =, άρα όλοι οι αριθμοί εκτός του έχουν αντίστροφο. Πράγματι, λοιπόν, το GF(5) είναι πεδίο. Αν, αντί να χρησιμοποιούσαμε το 5, χρησιμοποιούσαμε το 6, θα ήταν το προκύπτον σύνολο πεδίο;

13 .. ΑΞΙ ΩΜΑΤΑ ΠΕΔ ΙΟΥ 3 Ορισμός.2. (Ακέραιες δυνάμεις). Για κάθε a R, n N, ορίζουμε a n a } a {{ a}. n φορές 2. Για κάθε a R, a, n N ορίζουμε a n (a ) n. 3. Για κάθε a R, ορίζουμε a =. Παρατήρηση: Σχεδόν όλες οι γνωστές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών που εμπλέκουν μόνο ισότητες μπορούν να αποδειχθούν βάσει των αξιωμάτων πεδίου. Δείτε το ακόλουθο παράδειγμα για μερικές από αυτές Παράδειγμα.2. (Ιδιότητες που απορρέουν από τα αξιώματα πεδίου) Χρησιμοποιώντας μόνο τα αξιώματα πεδίου, μπορούμε να αποδείξουμε ότι για κάθε a, b, c, d R ισχύουν τα ακόλουθα:. (Κανόνας της Απαλοιφής) Αν a + b = a + c, τότε b = c. Άρα, το είναι ο μοναδικός αριθμός με την ιδιότητα + x = x για όλα τα x, και επίσης ο αντίθετος ( a) ενός αριθμού a είναι μοναδικός. 2. (Ορισμός Αφαίρεσης) Υπάρχει ακριβώς ένας x τέτοιος ώστε a + x = b. Ο x ισούται με x = b + ( a), και συμβολίζεται με b a. Παρατηρήστε πως a = + ( a) = a. 3. ( a) = a. 4. a =. 5. ( a)b = (ab), ( a)( b) = ab. 6. a(b c) = ab ac. 7. Αν ab = ac και a, τότε b = c. Άρα το είναι ο μοναδικός αριθμός με την ιδιότητα x = x για όλα τα x, και επίσης ο αντίστροφος a ενός αριθμού a είναι μοναδικός. 8. (Ορισμός Διαίρεσης) Αν a, υπάρχει ακριβώς ένας x τέτοιος ώστε ax = b. Ο αριθμός αυτός καλείται το πηλίκο των b, a, συμβολίζεται με b/a ή b a, και ισούται με b/a = b a. Παρατηρήστε πως /a = a = a. 9. (a ) = a.. Αν ab =, τότε είτε a = είτε b =, είτε και τα δύο.

14 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι. (ab) = a b, εφόσον a, b. 2. (a/b)(c/d) = (ac)/(bd), εφόσον b, d. 3. a/b + c/d = (ad + bc)/(bd), εφόσον b, d. 4. (a + b) = a b. 5. (a b) + (b c) = a c. 6. a n = (a n ). Θα δείξουμε μόνο τις πρώτες τέσσερις ιδιότητες. Οι αποδείξεις των υπολοίπων παραλείπονται.. Εστω y το αντίθετο του a: y+a =. Το y υπάρχει λόγω του σχετικού αξιώματος πεδίου. Εχουμε: a + b = a + c y + (a + b) = y + (a + c) (y + a) + b = (y + a) + c (Προσεταιριστική ιδιότητα) + b = + c b = c. (Υπόθεση) (Ουδέτερο στοιχείο) Εστω τώρα πως υπάρχουν άνω του ενός ουδέτερα στοιχεία. Εστω για παράδειγμα πως τα b, c είναι ουδέτερα στοιχεία. Τότε, με εφαρμογή του κανόνα της απαλοιφής για τα b, c και ένα οποιοδήποτε a, προκύπτει πως b = c. Παρόμοια, προκύπτει πως υπάρχει μόνο ένας αντίθετος για κάθε αριθμό a. Πράγματι, έστω πως για κάποιον a υπάρχουν δύο, οι x, y. Θα έχουμε x + a = και y + a =, άρα x + a = y + a, και από τον κανόνα της απαλοιφής, x = y. 2. Εστω a ο αντίθετος του a, δηλαδή ο αριθμός y για τον οποίο y + a =. Παρατηρούμε πως για τον αριθμό x = b + ( a) ισχύει: a + x = a + (b + ( a)) = a + (( a) + b) = (a + ( a)) + b = + b = b. Άρα βρήκαμε έναν x για τον οποίο a + x = b. Εστω πως υπήρχε και δεύτερος x x με την ίδια ιδιότητα. Τότε a + x = b και από τον κανόνα της απαλοιφής x = x, δηλαδή άτοπο. 3. Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του αντίθετου. Πράγματι, ο a ικανοποιεί την συνθήκη για να είναι αντίθετος του ( a), άρα είναι ο ( a).

15 .. ΑΞΙ ΩΜΑΤΑ ΠΕΔ ΙΟΥ 5 4. Παρατηρήστε πως + a = a = ( + )a = a + a a =. Στις πρώτες δύο ισότητες εφαρμόσαμε το γεγονός ότι το είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. Στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την επιμεριστική ιδιότητα, και στην συνεπαγωγή τον κανόνα της απαλοιφής. Παρατηρήστε ότι οι άνω ιδιότητες ισχύουν για κάθε πεδίο, αφού προκύπτουν αποκλειστικά με χρήση των αξιωμάτων πεδίου, άρα, για παράδειγμα, και για το πεδίο του Παραδείγματος.. Μπορείτε να αποδείξετε τις υπόλοιπες ιδιότητες; Μην κάνετε το λάθος να χρησιμοποιήσετε στις αποδείξεις σας ιδιότητες που δεν έχουν αποδειχθεί ήδη!

16 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι.2 Αξιώματα Διάταξης Ορισμός.3. (Υποσύνολα) Εστω σύνολα A, B πραγματικών αριθμών. Γράφουμε A B και λέμε πως το A είναι υποσύνολο του B αν x A θα έχουμε και x B. Γράφουμε A B και λέμε πως το A είναι γνήσιο υποσύνολο του B αν είναι υποσύνολο του B και επιπλέον x B : x A. Ορισμός.4. (Αξιώματα Διάταξης): Υπάρχει υποσύνολο R + R, που καλείται το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών, με τις ακόλουθες ιδιότητες:. Αν x, y R +, τότε x + y, xy R Αν x, τότε είτε x R +, είτε x R +, αλλά όχι και τα δύο. 3. R +. Ορισμός.5. (Αρνητικοί, ανισότητες και απόλυτη τιμή) Ορίζουμε τα ακόλουθα:. Ενας αριθμός x καλείται αρνητικός αν ο x είναι θετικός. 2. Εστω R το σύνολο των αρνητικών αριθμών. 3. x < y σημαίνει ότι ο y x είναι θετικός. 4. x > y σημαίνει ότι y < x. 5. x y σημαίνει ότι x < y ή x = y. 6. x y σημαίνει ότι y x. 7. Η απόλυτη τιμή a ενός πραγματικού a ορίζεται ως { a, a, a a, a. Παρατηρήσεις. Από τα άνω, προκύπτει πως a είναι θετικός a >, a είναι αρνητικός a <, 2. Σχεδόν όλες οι γνωστές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών που εμπλέκουν ανισότητες προκύπτουν από τα αξιώματα πεδίου και διάταξης. (Δείτε το παρακάτω παράδειγμα.)

17 .2. ΑΞΙ ΩΜΑΤΑ ΔΙ ΑΤΑΞΗΣ 7 3. Τα αξιώματα πεδίου και διάταξης δεν αρκούν για να προσδιορίζουν πλήρως τους πραγματικούς. (Παρατηρήστε ότι ικανοποιούνται και από τους ρητούς.) 4. Για να προσδιορίζουμε πλήρως τις ιδιότητες των πραγματικών, και να τους διαχωρίζουμε από τους ρητούς, χρειαζόμαστε το Αξίωμα της Πληρότητας, που θα δούμε σε λίγο. Παράδειγμα.3. (Ιδιότητες που απορρέουν από τα Αξιωμάτων Διάταξης) Για κάθε a, b, c, d R και n N, ισχύουν τα ακόλουθα:. (Κανόνας της Τριχοτόμησης) Ισχύει ακριβώς ένα από τα ακόλουθα: (i) a < b, (ii) a > b, (iii) a = b. 2. Αν a < b και b < c, τότε a < c. 3. a < b, c > ac < bc. 4. a a 2 >. 5. a < b, c d a + c < b + d. 6. a < b b < a. 7. a < b, c > d a c < b d 8. a < b, c < ac > bc. 9. a > a 2 > a.. < a < a 2 < a.. a < b, c < d ac < bd. 2. a < b a 2 < b a, b, a 2 < b 2 a < b. 4. a < b a n < b n. 5. a < b, n = 2k + a n < b n. 6. a b a + b a + b (Τριγωνική ανισότητα). Θα αποδείξουμε μόνο τις πρώτες τρεις ιδιότητες. Οι αποδείξεις των υπολοίπων παραλείπονται.. Εστω ο αριθμός x = a b. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, x = και x.

18 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι (αʹ) Εστω πως έχουμε την πρώτη περίπτωση: x = a b = a = b. Εστω πως επιπλέον a > b. Εξ ορισμού της ανισότητας, έχουμε ότι ο x = a b είναι θετικός, που είναι άτοπο γιατί ο x = δεν ανήκει στους θετικούς, από το τρίτο αξίωμα της διάταξης. Εστω πως a < b. Τότε ο b a είναι θετικός, και έχω πάλι άτοπο, γιατί εύκολα προκύπτει ότι a b = b a = από τα αξιώματα του πεδίου. (βʹ) Εστω τώρα η δεύτερη περίπτωση: x. Τότε αποκλείεται a = b, γιατί φτάνω σε άτοπο. Επιπλέον, από το δεύτερο αξίωμα της διάταξης, είτε θα έχω x R +, δηλαδή a > b, είτε x R +, δηλαδή (a b) > b a > b > a, αλλά όχι και τα δύο. 2. Εξ ορισμού, a < b σημαίνει ότι ο b a είναι θετικός, και b < c σημαίνει ότι ο c b είναι θετικός. Άρα, από το πρώτο αξίωμα διάταξης, θα είναι θετικός και ο (b a) + (c b) = c a, δηλαδή a < c. 3. a < b σημαίνει ότι ο b a είναι θετικός, άρα από το πρώτο αξίωμα διάταξης, θα είναι θετικός και ο c(b a) = cb ca, δηλαδή ca < cb. Μπορείτε να αποδείξετε τις υπόλοιπες ιδιότητες; Μην κάνετε το λάθος να χρησιμοποιήσετε στις αποδείξεις σας ιδιότητες που δεν έχουν αποδειχθεί ήδη!

19 .3. ΑΞ ΙΩΜΑ ΠΛΗΡ ΟΤΗΤΑΣ 9.3 Αξίωμα Πληρότητας Ορισμός.6. (Φράγματα) Εστω μη κενό S R. Αν υπάρχει b τέτοιο ώστε x b για κάθε x S, τότε το b καλείται άνω φράγμα του S και το S καλείται άνω φραγμένο. Αν, επιπλέον, b S, το b καλείται το μέγιστο στοιχείο (ή maximum) του S, και γράφουμε b = max S. Αντίστοιχα ορίζουμε τις έννοιες κάτω φράγμα, κάτω φραγμένο, και ελάχιστο στοιχείο (ή minimum) min S. Τα άνω και κάτω φράγματα καλούνται από κοινού φράγματα. Αν ένα σύνολο είναι και άνω φραγμένο, και κάτω φραγμένο, καλείται φραγμένο. Παρατήρηση: Δεν έχουν όλα τα σύνολα μέγιστο ή/και ελάχιστο στοιχείο. Για παράδειγμα, τι ισχύει για τα N = {, 2,... }, S = (, ); Ορισμός.7. (Supremum, infimum) Ενας αριθμός καλείται ελάχιστο άνω φράγμα ή supremum ενός μη κενού συνόλου S, και συμβολίζεται sup S αν:. Το sup S είναι άνω φράγμα του S, και 2. Κανένας αριθμός μικρότερος του sup S δεν είναι άνω φράγμα του S. Αντίστοιχα ορίζεται η έννοια του μέγιστου κάτω φράγματος, ή infimum, inf S. Παράδειγμα.4. Μπορείτε να βρείτε τα supremum, infimum, minimum, και maximum των ακόλουθων συνόλων, όπου υπάρχουν;. (, ), 2. (, ), 3. {, 2, 3, 4,... }, 4. {x R : < x 2 2}, 5. {x Q : x, < x 2 2}. Παράδειγμα.5. Εστω οι διαδοχικές δεκαδικές προσεγγίσεις του π, δηλαδή το σύνολο των ρητών {3, 3., 3.4, 3.4, 3.45,... }. Εχει το σύνολο αυτό supremum; Ποιο είναι; Εχει supremum αν αγνοήσουμε την ύπαρξη των άρρητων;

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι Λήμμα.. (maximum=supremum) Αν ένα σύνολο S έχει maximum max S, τότε έχει και supremum sup S, και sup S = max S. Επιπλέον, αν ένα σύνολο S έχει minimum min S, τότε έχει και infimum inf S, και inf S = min S. Απόδειξη. Προφανής. Λήμμα.2. (Μοναδικότητα supremum/infimum) Ενα σύνολο δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικά supremum ή infimum. Απόδειξη. Προφανής. Λήμμα.3. (Βασικές ιδιότητες supremum/infimum). Αν το S έχει supremum, τότε για κάθε h >, υπάρχει x S τέτοιο ώστε x > sup S h. 2. Αν το S έχει infimum, τότε για κάθε h >, υπάρχει x S τέτοιο ώστε x < inf S + h. Απόδειξη.. Θα χρησιμοποιήσουμε εις άτοπο απαγωγή. Εστω λοιπόν πως δεν ισχύει η δοσμένη πρόταση. Η άρνησή της μας λέει πως υπάρχει κάποιο h > για το οποίο δεν υπάρχει x τέτοιο ώστε x > sup S h. Δηλαδή, x, x sup S h. Τότε το sup S h είναι άνω φράγμα του S, και μάλιστα μικρότερο του sup S, κάτι που είναι αδύνατο. 2. Ανάλογα. Παράδειγμα.6. (Τράγκας/Μακρή) Για εξάσκηση σε αρνήσεις, όπως αυτή που χρησιμοποιήσαμε στην άνω απόδειξη, ας εξετάσουμε τις ακόλουθες στιχομυθίες, παρμένες από πρόσφατα δελτία των 8, που αποτελούνται από μια πρόταση και μια άρνησή της.. (αʹ) Γιώργος Τράγκας: «Δεν υπάρχει υπουργός της κυβέρνησης με λιγότερο από 4 συμβούλους». (βʹ) Κάτια Μακρή: «Υπάρχει τουλάχιστον ένας υπουργός της κυβέρνησης που έχει λιγότερους από 4 συμβούλους». 2. (αʹ) Κάτια Μακρή: «Σε όλες τις προηγούμενες κυβερνήσεις πάνω από τους μισούς υπουργούς είχαν αποτύχει».

21 .3. ΑΞ ΙΩΜΑ ΠΛΗΡ ΟΤΗΤΑΣ (βʹ) Γιώργος Τράγκας: «Υπάρχει τουλάχιστον μια κυβέρνηση από τις προηγούμενες της οποίας είχαν αποτύχει οι μισοί ή λιγότεροι υπουργοί». 3. Δίνονται σταθερά C, συνάρτηση f : R R, και σύνολο I R. (αʹ) Γιώργος Τράγκας: «x, y I, f(y) f(x) C y x». Με λόγια, για όλα τα ζεύγη αριθμών στο I, ικανοποιείται η f(y) f(x) C y x. (βʹ) Κάτια Μακρή: «x, y I : f(y) f(x) > C y x». Με άλλα λόγια, υπάρχει ζεύγος x, y για το οποίο δεν ικανοποιείται η f(y) f(x) C y x. 4. Εστω συνάρτηση f : R R, και έστω x, L R. (αʹ) Γιώργος Τράγκας: «ɛ >, δ > : < x x < δ f(x) L < ɛ». Με λόγια, για κάθε ɛ >, υπάρχει κάποιο δ > έτσι ώστε αν < x x < δ, τότε ισχύει f(x) L < ɛ. (βʹ) Κάτια Μακρή: «ɛ > : δ >, x : < x x < δ, f(x) L ɛ. Με λόγια, υπάρχει ένα ɛ > τέτοιο ώστε όσο μικρό δ και να πάρουμε, θα βρούμε ένα x για το οποίο ναι μεν < x x < δ, αλλά η f(x) L < ɛ δεν θα ισχύει, δηλαδή f(x) L ɛ. Ορισμός.8. (Αξίωμα Πληρότητας): Κάθε μη κενό, φραγμένο άνω σύνολο S έχει supremum. Λήμμα.4. ( Υπαρξη infimum) Κάθε μη κενό, φραγμένο κάτω σύνολο S έχει infimum. Απόδειξη. Εστω σύνολο S μη κενό και φραγμένο κάτω, δηλαδή υπάρχει L τέτοιο ώστε για κάθε x S, x L. Εστω το σύνολο S {y : y S}. Το σύνολο S είναι προφανώς μη κενό. Είναι επίσης και φραγμένο άνω από το L. Πράγματι, έστω οποιοδήποτε στοιχείο του y S. Το y ανήκει στο S, άρα y L y L και το L είναι άνω φράγμα. Άρα, από το αξίωμα της πληρότητας, το S έχει supremum, που το συμβολίζω με sup( S). Θα δείξουμε ότι το S έχει για infimum το sup( S). Καταρχήν, το sup( S) είναι κάτω φράγμα, δηλαδή x S, x sup( S). Πράγματι, έστω ότι υπάρχει κάποιο x στο S με x < sup( S). Τότε x > sup( S) και έχω άτοπο, αφού x S. Είναι όμως και το μέγιστο κάτω φράγμα. Εστω πως δεν είναι, και πως υπάρχει ɛ > τέτοιο ώστε για κάθε x S, x sup( S) + ɛ. Ομως, υπάρχει y ( S) τέτοιο

22 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι ώστε y > sup( S) ɛ, αλλιώς το sup( S) δεν θα ήταν supremum του S. Άρα y < sup( S) + ɛ. Επειδή το y ανήκει στο S, καταλήξαμε σε άτοπο. Παράδειγμα.7. (Supremum/infimum υποσυνόλου) Εστω B A, με το B μη κενό, και το A φραγμένο. Θα δείξουμε ότι inf A inf B sup B sup A. Καταρχήν παρατηρήστε ότι το A είναι μη κενό γιατί έχει ένα μη κενό υποσύνολο, και αφού είναι και φραγμένο, θα έχει supremum και infimum. Επίσης, προφανώς και το B θα είναι φραγμένο, και αφού θα είναι και μη κενό, θα έχει supremum και infimum. Παρατηρούμε διαδοχικά:. Αν inf A > inf B δημιουργείται άτοπο. Πράγματι, έστω h = inf A inf B. 2 Εξ ορισμού του inf B, υπάρχει x B, άρα και x A, για το οποίο x < inf B + h = inf A + inf B 2 < inf A, που είναι άτοπο, αφού το inf A είναι κάτω φράγμα του A. 2. Εστω οποιοδήποτε b B. Αφού b inf B και b sup B, τότε inf B sup B. 3. Αν sup B > sup A προκύπτει άτοπο όπως και στο πρώτο σκέλος. Παράδειγμα.8. (Supremum/infimum ένωσης) Αν τα A, B έχουν supremum και infimum, θα έχει και η ένωσή τους A B, και μάλιστα:. sup(a B) = max{sup A, sup B}. 2. inf(a B) = min{inf A, inf B}. Θα αποδείξουμε το πρώτο σκέλος μόνο, καθώς το δεύτερο προκύπτει εντελώς ανάλογα. Εστω λοιπόν ένα x A B. Είτε x A, οπότε x sup A, είτε x B, οπότε x sup B, οπότε πάντα x max{sup A, sup B}. Άρα το max{sup A, sup B} είναι άνω φράγμα του A B, οπότε για το ελάχιστο άνω φράγμα sup(a B) θα ισχύει sup(a B) max{sup A, sup B}. (.) Από την άλλη, παρατηρήστε πως, επειδή A A B, θα έχουμε sup A sup(a B).

23 .3. ΑΞ ΙΩΜΑ ΠΛΗΡ ΟΤΗΤΑΣ 3 Το άνω είναι διαισθητικά προφανές, και έχει αποδειχθεί αυστηρά και στο Παράδειγμα.7. Για τον ίδιο λόγο έχουμε και sup B sup(a B), οπότε συνδυάζοντας τις δύο ανισότητες έχουμε max{sup A, sup B} sup(a B). (.2) Συνδυάζοντας τις (.), (.2), προκύπτει η ζητούμενη ισότητα. Παράδειγμα.9. (Σύγκριση συνόλων) Εστω μη κενά σύνολα A, B R. Αν για κάθε a A, και για κάθε b B, έχουμε a b, τότε θα δείξουμε ότι το A έχει supremum, το B έχει infimum, και sup A inf B. Πράγματι, το A είναι μη κενό και φραγμένο άνω από κάποιο τυχαίο b B, άρα έχει supremum. Ομοίως, το B είναι μη κενό και φραγμένο κάτω από κάποιο τυχαίο a A, άρα έχει infimum. Εστω τώρα ότι sup A > inf B. Άρα θα υπάρχει ɛ > τέτοιο ώστε sup A = inf B + ɛ. Ομως από την κατασκευή του supremum και του infimum, θα υπάρχουν a A, b B, με a > sup A ɛ 2, b < inf B + ɛ 2. Άρα, a b > sup A inf B ɛ = a > b, που είναι άτοπο εξ υποθέσεως. Άρα, sup A inf B. Παράδειγμα.. Εστω A, B δύο μη κενά και φραγμένα υποσύνολα του R. Αν sup A = inf B, θα δείξουμε ότι για κάθε ɛ > υπάρχουν a A και b B ώστε b a < ɛ. Εστω οποιοδήποτε ɛ >. Τότε και ɛ/2 >, και κατά τα γνωστά για τα supremum, infimum θα υπάρχουν a A, b B, τέτοια ώστε sup A ɛ 2 < a sup A sup A a < ɛ 2 sup A, inf B b < inf B + ɛ 2 Προσθέτοντας κατά μέλη τις διπλές ανισότητες, και παρατηρώντας πως inf B = sup A, προκύπτει τελικά το ζητούμενο.

24 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι.4 Συνέπειες του Αξιώματος της Πληρότητας Πολλές από τις ιδιότητες των πραγματικών που παίρνουμε για δεδομένες δεν μπορούν να αποδειχθούν μόνο με τα Αξιώματα Πεδίου και Διάταξης, αλλά πρέπει στην απόδειξή τους να γίνει χρήση και του Αξιώματος Πληρότητας. Για παράδειγμα: Θεώρημα.. (Αρχιμήδεια ιδιότητα). Οι φυσικοί αριθμοί δεν είναι φραγμένοι άνω. 2. Για κάθε πραγματικό x υπάρχει φυσικός n με n > x. 3. Αν x, y είναι πραγματικοί με x >, τότε υπάρχει φυσικός n τέτοιος ώστε nx > y. Θεώρημα.2. (Πυκνά σύνολα). Εστω δύο πραγματικοί x, y, με x < y. Υπάρχει ανάμεσά τους τουλάχιστον ένας ρητός. (Δηλαδή οι ρητοί είναι πυκνοί στους πραγματικούς.) 2. Εστω δύο πραγματικοί x, y, με x < y. Υπάρχει ανάμεσά τους τουλάχιστον ένας άρρητος. (Δηλαδή οι άρρητοι είναι πυκνοί στους πραγματικούς.) 3. Εστω x πραγματικός. Υπάρχουν αυθαίρετα κοντά του, και από αριστερά και από δεξιά, ένας ρητός και ένας άρρητος. Δηλαδή: x R, δ >, y Q : x δ < y < x, x R, δ >, y Q : x < y < x + δ, x R, δ >, y R Q : x δ < y < x, x R, δ >, y R Q : x < y < x + δ. Θεώρημα.3. ( Υπαρξη ριζών). Εστω n περιττός θετικός ακέραιος και x. Υπάρχει μοναδικός y με την ιδιότητα Ο y συμβολίζεται ως n x ή x n. Επίσης, ορίζουμε y n = x. (.3) x n (x ) n. 2. Εστω n άρτιος θετικός ακέραιος και x >. Υπάρχει μοναδικός θετικός y που να ικανοποιεί την εξίσωση (.3). Ο y συμβολίζεται ως n x ή x n. Ο μοναδικός άλλος αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση (.3) είναι ο αρνητικός n x.

25 .4. ΣΥΝ ΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΑΞΙ ΩΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΠΛΗΡ ΟΤΗΤΑΣ 5 x f(y) =y n x f(y) =y n y y y = x n y = x n y = x n Σχήμα.: Οι περιπτώσεις του περιττού και του άρτιου εκθέτη n του Θεωρήματος.3. Επίσης, ορίζουμε x n (x ) n. 3. Για κάθε n θετικό ακέραιο, αν x = τότε ο μοναδικός y που ικανοποιεί την (.3) είναι ο, και γράφουμε n =. Ορισμός.9. (Ρητές δυνάμεις) Εστω r = p q, όπου οι ακέραιοι p, q είναι θετικοί και πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι η μονάδα), και έστω πως ισχύει ένα από τα ακόλουθα:. q άρτιος και x, 2. q περιττός και x R. Ορίζουμε x r (x q ) p, και, αν x, x r (x ) r = ((x ) q ) p. Παρατήρηση: Οταν x, ισχύουν και στην περίπτωση των ρητών εκθετών όλες οι συνήθεις ιδιότητες των φυσικών εκθετών, για παράδειγμα r, r 2 Q, x r x r 2 = x r +r 2, (x r ) r 2 = x r r 2, x r y r = (xy) r. Οταν x <, υπάρχουν εξαιρέσεις. Για παράδειγμα: 5 = (( 5) 2 3 ) 3 2 ( 5) = ( 5) = 5.

26 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι.5 Διαστήματα Ορισμός.. (Διαστήματα). Τα σύνολα της ακόλουθης μορφής καλούνται διαστήματα: (a, b) {x : a < x < b}, (a, b] {x : a < x b}, [a, b) {x : a x < b}, [a, b] {x : a x b}, (a, ) {x : a < x}, [a, ) {x : a x}, (, b) {x : x < b}, (, b] {x : x b}, (, ) R, όπου a, b R με a < b. 2. Τα (a, b), (a, ), (, b), (, ) καλούνται ανοικτά. 3. Τα [a, b], [a, ), (, b], (, ) καλούνται κλειστά. 4. Αν I διάστημα και c I, το I καλείται γειτονιά του c. 5. Το εσωτερικό του διαστήματος [a, b], int[a, b] ορίζεται ως int[a, b] (a, b). Αντίστοιχα, int(a, b] (a, b), int[a, b) (a, b), int(, b] (, b], κ.ο.κ. Τα σημεία που ανήκουν στο εσωτερικό καλούνται εσωτερικά. 6. Τα άκρα του (a, b) ορίζονται ως τα a (αριστερό άκρο) και b (δεξιό άκρο). Παρόμοιοι ορισμοί ισχύουν και για τα άλλα διαστήματα. Παρατηρήσεις. Γενικώς όταν γράφουμε I θα εννοούμε ένα διάστημα. 2. Γιατί το R είναι και ανοικτό και κλειστό; Η εξήγηση βασίζεται στο ορισμό παρακάτω. Ορισμός.. (Σύνολα) Γενικότερα:. Το εσωτερικό ενός συνόλου S R είναι το σύνολο των σημείων x του S για τα οποία υπάρχει ανοιχτή γειτονιά I τέτοια ώστε x I S. Τα σημεία του εσωτερικού ενός συνόλου καλούνται εσωτερικά. 2. Ορίζουμε το συμπλήρωμα ενός συνόλου S ως το σύνολο S c {x R : x S}. 3. Καλούμε ένα σύνολο S ανοικτό όταν όλα τα σημεία του είναι εσωτερικά, και κλειστό όταν το συμπλήρωμα του S c είναι ανοικτό.

27 .6. ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ 7.6 Συναρτήσεις Ορισμός.2. (Συνάρτηση) Ορίζουμε ως συνάρτηση f : A R μια απεικόνιση από το πεδίο ορισμού domf A στο R. Το f(a) {y : f(x) = y για κάποιο x A} καλείται πεδίο τιμών της f. Ορισμός.3. (Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων). Μια συνάρτηση καλείται περιοδική με περίοδο p > αν ο p είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός για τον οποίο (i) το πεδίο ορισμού της περιλαμβάνει το x + p όποτε περιλαμβάνει το x, και επιπλέον (ii) f(x + p) = f(x) για όλα τα x στο domf. 2. Μια συνάρτηση f καλείται άρτια αν το πεδίο ορισμού της περιλαμβάνει το x όποτε περιλαμβάνει το x, και επιπλέον f( x) = f(x) για όλα τα x στο domf. 3. Μια συνάρτηση f καλείται περιττή αν το πεδίο ορισμού της περιλαμβάνει το x όποτε περιλαμβάνει το x, και επιπλέον f( x) = f(x) για όλα τα x στο domf. 4. Μια συνάρτηση f καλείται γνησίως αύξουσα αν x < x 2 f(x ) < f(x 2 ). 5. Μια συνάρτηση f καλείται αύξουσα αν x < x 2 f(x ) f(x 2 ). 6. Αντίστοιχα ορίζονται οι γνησίως φθίνουσες και φθίνουσες συναρτήσεις. 7. Οι (γνησίως) αύξουσες και (γνησίως) φθίνουσες συναρτήσεις καλούνται από κοινού (γνησίως) μονότονες. 8. Μια συνάρτηση f καλείται άνω φραγμένη αν υπάρχει U R τέτοιο ώστε f(x) U για όλα τα x στο πεδίο ορισμού της f, δηλαδή το πεδίο τιμών της είναι φραγμένο άνω από το U. 9. Μια συνάρτηση f καλείται κάτω φραγμένη αν υπάρχει L R τέτοιο ώστε f(x) L για όλα τα x στο πεδίο ορισμού της f, δηλαδή το πεδίο τιμών της είναι φραγμένο κάτω από το L.. Μια συνάρτηση καλείται φραγμένη αν είναι άνω και κάτω φραγμένη.. Μια συνάρτηση f : A R καλείται ένα προς ένα (-) αν f(x ) = f(x 2 ) x = x 2.

28 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι Ορισμός.4. (Ολικά ακρότατα συνάρτησης) Εστω συνάρτηση f : A R. Ορίζουμε τα supremum, infimum, maximum (ή (ολικό) μέγιστο), minimum (ή (ολικό) ελάχιστο) της f σε ένα σύνολο B A ως supf sup{f(x) : x B}, x B f max{f(x) : x B}, min max x B inf f inf{f(x) : x B}, x B x B f min{f(x) : x B}, εφόσον τα δεξιά μέλη υπάρχουν. Τα άνω καλούνται από κοινού ολικά ακρότατα, ή απλώς ακρότατα στο B. Οταν δεν διευκρινίζεται το B, δηλαδή γράφουμε sup B, max B, inf B, ή min f, εννοείται ότι B = A. Αν c B και f(c) = max x B c B και f(c) = min x B f, τότε το c καλείται θέση (ολικού) μέγιστου στο B. Αν f, τότε το c καλείται θέση (ολικού) ελάχιστου στο B. Ορισμός.5. (Τοπικά ακρότατα συνάρτησης) Εστω συνάρτηση f : A R. Η f έχει τοπικό μέγιστο (τοπικό ελάχιστο) το f(c) αν υπάρχει ανοικτό διάστημα I με c I τέτοιο ώστε f(x) f(c) (f(x) f(c)) x I A. Το c καλείται θέση τοπικού μεγίστου (θέση τοπικού ελάχιστου). Τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα καλούνται από κοινού τοπικά ακρότατα, και οι θέσεις τοπικών μέγιστων και ελάχιστων καλούνται από κοινού θέσεις τοπικών ακρότατων. Παρατηρήσεις. Οταν δεν διευκρινίζεται το είδος του μεγίστου ή ελάχιστου, εννοείται ολικό. 2. Μπορεί μια συνάρτηση να έχει άπειρα τοπικά μέγιστα/ελάχιστα, αν έχει ορισθεί σε ένα φραγμένο διάστημα A; 3. Μπορεί να μην υπάρχει c B τέτοιο ώστε f(c) = supf ή f(c) = inf f! x B x B Παράδειγμα.. Για τις επόμενες συναρτήσεις, προσδιορίστε σε ποιες ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων του Ορισμού.3 ανήκουν, και επιπλέον προσδιορίστε όλα τα τοπικά και ολικά ακρότατά τους.. f (x) = sin x, x (, π/2). 2. f 2 (x) = sin x, x (π/2, π).

29 .6. ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ 9 f 7 (x) x Σχήμα.2: Η συνάρτηση f 7 (x) του Παραδείγματος.. 3. f 3 (x) = sin x, x R. 4. f 4 (x) = mx + b, x R. 5. f 5 (x) = sin(/x), x >. 6. Η συνάρτηση του Dirichlet: f 6 (x) = {, x Q,, x Q. 7. Η συνάρτηση f 7 (x) του Σχήματος.2. Ορισμός.6. Εστω συναρτήσεις f : A R και g : B R με g(b) A. Ορίσουμε την σύνθεση ή σύνθετη συνάρτηση f g : B R των συναρτήσεων f, g ως τη συνάρτηση f g(x) f(g(x)) για κάθε x A. Παράδειγμα.2. Πόσες συνθέσεις μπορείτε να κάνετε με τις ακόλουθες;. f (x) = x 2, x R. 2. f 2 (x) = sin x, x R. 3. f 3 (x) = sin x, x [, π/2]. 4. f 4 (x) = /x, x R {}. 5. f 5 (x) = x, x [, ). 6. f 6 (x) = (x + )/(x ), x R {}.

30 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι.7 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ορισμός.7. (Τριγωνομετρικές συναρτήσεις) Εστω μοναδιαίος κύκλος με κέντρο το σημείο O = (, ). Εστω τόξο AB μήκους x με αρχή το σημείο A = (, ), που διαγράφεται αντίθετα από τη φορά του ρολογιού αν x > και σύμφωνα με τη φορά του ρολογιού αν x <. Το συνημίτονο cos x και το ημίτονο sin x ορίζονται ως η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου B αντίστοιχα. Επίσης, ορίζουμε την εφαπτομένη tan x sin x cos x cos x και την συνεφαπτομένη cot x sin x, εφόσον οι παρονομαστές είναι διάφοροι του μηδενός. Παρατήρηση: Εξ ορισμού, η επίκεντρη γωνιά AOB που βαίνει στο τόξο AB μήκους x του μοναδιαίου κύκλου ισούται με x. Λήμμα.5. (Βασικές ιδιότητες τριγωνομετρικών συναρτήσεων) Οι ακόλουθες ιδιότητες προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό:. sin =, sin π 2 =, sin π =, sin 3π 2 =, cos =, cos π 2 =, cos π =, cos 3π 2 =. 2. Οι συναρτήσεις sin x, tan x, cot x είναι περιττές, ενώ η cos x είναι άρτια. Συνεπώς, για κάθε x στο πεδίο ορισμού τους, sin( x) = sin x, cos( x) = cos x, tan( x) = tan x, cot( x) = cot x. 3. sin 2 x + cos 2 x =. 4. Οι sin x, cos x είναι περιοδικές με περίοδο 2π, ενώ οι tan x, cot x είναι περιοδικές με περίοδο π. Συνεπώς, για κάθε x στο πεδίο ορισμού τους, sin(x+2π) = sin x, cos(x+2π) = cos x, tan(x+π) = tan x, cot(x+π) = cot x sin(x + π) = sin x, cos(x + π) = cos x. ( π ) sin 2 x ( π ) 2 x tan = cos x, cos ( π 2 x) = sin x, = cot x, cot ( π 2 x) = tan x. sin x < x, x.

31 .7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ 2 (,sinx) B=(cosx, sinx) x O=(,) x (cosx,) A=(,) Σχήμα.3: Ορισμός του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Απόδειξη. Προκύπτει με απλά γεωμετρικά επιχειρήματα. Λήμμα.6. (Συνημίτονο διαφοράς) Για κάθε x, y R ισχύει: cos(y x) = cos x cos y + sin x sin y. Απόδειξη. Θα δείξουμε την απόδειξη μόνο για την περίπτωση x < y π/2. (Η γενική περίπτωση μπορεί να αποδειχθεί με χρήση της ειδικής αυτής περίπτωσης και ιδιοτήτων του Θεωρήματος.5, αλλά η απόδειξη παραλείπεται.) Από το ορθογώνιο τρίγωνο AQP του Σχήματος.4 έχουμε: Ομοίως, από το τρίγωνο BQP έχουμε: (cos x cos y) 2 + (sin y sin x) 2 = d 2. sin 2 (y x) + ( cos(y x)) 2 = d 2.

32 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι (,) Q=(cosy,siny) d A B P=(cosx,sinx) y x O=(,) (,) Σχήμα.4: Η απόδειξη του Λήμματος.6. (Για να καταλάβετε την τελευταία ισότητα, υπολογίστε τις συντεταγμένες των σημείων P, Q σε ένα σύστημα συντεταγμένων περιστραμμένο κατά γωνία x.) Εξισώνοντας τα δύο σκέλη, και αναπτύσσοντας το τετράγωνο, προκύπτει το ζητούμενο. Λήμμα.7. (Τριγωνομετρικές ιδιότητες) cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y, sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y, sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x = 2 sin 2 x, ( x cos x ( x + cos x sin = ±, cos = ±, 2) 2 2) 2 ( ) ( ) x + y x y sin x + sin y = 2 sin cos, 2 2

33 .7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ 23 ( x + y cos x + cos y = 2 cos 2 ( x + y sin x sin y = 2 cos 2 ( x + y cos x cos y = 2 sin 2 ) cos ) sin ) sin ( x y 2 ( x y 2 ( x y sin x sin y = [cos(x y) cos(x + y)], 2 2 ), ), ), cos x cos y = [cos(x + y) + cos(x y)], 2 sin x cos y = [sin(x + y) + sin(x y)]. 2 Απόδειξη. Οι εξισώσεις προκύπτουν με απλή εφαρμογή των βασικών ιδιοτήτων των Πορισμάτων.5,.6.

34 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΟ Ι

35 Κεφάλαιο 2 Οριο 2. Βασική Ιδέα Ορίου «Ορισμός»: Μια συνάρτηση f έχει όριο το L, ή τείνει στο L, καθώς το x τείνει στο c, αν, όταν το x είναι «κοντά» στο c, αλλά διαφορετικό από το c, τότε η f(x) είναι «κοντά» στο L. Γράφουμε Παρατηρήσεις lim f(x) = L ή εναλλακτικά f(x) L καθώς x c. x c. Υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους μας ενδιαφέρει το όριο σαν έννοια: (αʹ) Η παράγωγος είναι ένα όριο. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 2., καθώς τα x i τείνουν στο a, η κλίση του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα σημεία (x i, f(x i )) και (a, f(a)) τείνει στην παράγωγο f (a) στο a. (βʹ) Η προσημασμένη επιφάνεια που περικλείεται από μια καμπύλη και τον άξονα των x μεταξύ δύο ορίων (δηλαδή το απλό της ολοκλήρωμα μεταξύ αυτών των ορίων) είναι ένα όριο. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 2.2, η επιφάνεια της κλιμακωτής συνάρτησης τείνει στην επιφάνεια του ημιτόνου, καθώς το πλάτος των βημάτων τείνει στο. (γʹ) Το μήκος μιας καμπύλης είναι ένα όριο. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 2.3 το μήκος της τμηματικά ευθύγραμμης, διακεκομμένης καμπύλης τείνει στο μήκος της συνεχούς καμπύλης καθώς το μήκος των ευθύγραμμων τμημάτων τείνει στο. (δʹ) Ο προσημασμένος όγκος που περικλείεται από μια επιφάνεια και ένα χωρίο του R 2 (δηλαδή το διπλό ολοκλήρωμα της επιφάνειας στο χωρίο) είναι ένα όριο. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 2.4 ο όγκος της κλιμακωτής συνάρτησης 25

36 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ y tanθ=f (a) f(x) y y 2 y 3 θ y x a x 3 x 2 x Σχήμα 2.: Η παράγωγος ως όριο. τείνει στον όγκο του στερεού μεταξύ της f(x, y) = x 2 + y 2 και του χωρίου [, ] [, ] καθώς η επιφάνεια της βάσης κάθε κλίμακας τείνει στο. (εʹ) Το όριο εμφανίζεται και σε πολλούς άλλους ορισμούς. 2. Συμπερασματικά, μπορούμε να πούμε πως ολόκληρος ο Μαθηματικός Λογισμός είναι η μελέτη ορίων. Παράδειγμα 2.. Μπορείτε να βρείτε τις τιμές των ακόλουθων ορίων, εφόσον υπάρχουν; ( ) sin x lim (2x 5), lim lim x lim sin x 3 x x x 2 x x (Η συνάρτηση x του ακέραιου μέρους του x είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος μικρότερος ή ίσος του x.) Μπορείτε να βρείτε τα x όπου έχουν όριο οι ακόλουθες συναρτήσεις; f(x) = {, x Q,, x R Q, g(x) = { x, x Q,, x R Q. Οπως μπορείτε να διαπιστώσετε, το ηθικό δίδαγμα του παραδείγματος είναι ότι χωρίς αυστηρούς ορισμούς δεν μπορούμε να αντιμετωπίσουμε δύσκολες περιπτώσεις.

37 2.. ΒΑΣΙΚ Η ΙΔ ΕΑ ΟΡ ΙΟΥ 27 y y x x y y x x Σχήμα 2.2: Το ολοκλήρωμα ως όριο.

38 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ Σχήμα 2.3: Το μήκος μιας καμπύλης ως όριο.

39 2.. ΒΑΣΙΚ Η ΙΔ ΕΑ ΟΡ ΙΟΥ 29 Σχήμα 2.4: Το διπλό ολοκλήρωμα ως όριο.

40 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ 2.2 Ορισμός Ορισμός 2.. ( Οριο συνάρτησης) Εστω συνάρτηση f : A R, ορισμένη παντού σε μια ανοικτή γειτονιά του c, εκτός ίσως από το c. Η f έχει όριο το L, ή τείνει στο L, καθώς το x τείνει στο c, και γράφουμε lim x c f(x) = L, αν Παρατηρήσεις ɛ > δ > : < x c < δ f(x) L < ɛ.. Ο Ορισμός 2. σημαίνει χονδρικά ότι εγγυημένα μπορούμε να κρατήσουμε όσο κοντά θέλουμε το f(x) στο L, αρκεί να περιοριστούμε σε αυτά τα x που είναι αρκετά κοντά στο c. 2. Η τιμή της f για x = c δεν μας ενδιαφέρει! (Μπορεί το f(c) να μην ορίζεται καν.) 3. Αν η f είναι ορισμένη παντού σε μια ανοικτή γειτονιά του c, εκτός ίσως από το c, τότε υπάρχουν a, b, τέτοια ώστε (a, c) (c, b) A. 4. Η απαίτηση να είναι η f ορισμένη σε μια ανοικτή γειτονιά (εκτός ίσως του c) είναι αναγκαία, αλλιώς αν αυτό δεν ισχύει η συνεπαγωγή < x c < δ f(x) L < ɛ δεν έχει νόημα, ανεξάρτητα του δ, αφού η f(x) δεν θα ορίζεται για κάποια x. 5. Σε ορισμένα βιβλία η άνω απαίτηση υπονοείται χωρίς να αναφέρεται ρητώς. 6. Η τιμή του δ που αντιστοιχεί σε κάθε ɛ δεν είναι μοναδική! Αν η συνεπαγωγή ικανοποιείται για ένα δ, θα ικανοποιείται και για κάθε θετικό δ < δ. 7. Το μέγιστο επιτρεπτό δ είναι συνήθως συνάρτηση του c και του ɛ, και βέβαια εξαρτάται και από την f(x). 8. Ο άνω ορισμός είναι το μόνο που αξίζει να απομνημονεύσετε σε αυτό το μάθημα! 9. Ο ορισμός δεν είναι καθόλου προφανής. Ο Gauss ( ) δεν τον σκέφτηκε καν, ο Cauchy ( ) έφτιαξε μια λανθασμένη μορφή, και ο πρώτος που τον βρήκε ήταν ο Weierstrass (85-897).. Μια γεωμετρική περιγραφή του ορισμού εμφανίζεται στο Σχήμα 2.5. Παράδειγμα 2.2. Θα δείξουμε ότι lim x 3 (2x 5) =. Εστω ɛ >. Παρατηρώ πως: (2x 5) < ɛ 2x 6 < ɛ x 3 < ɛ 2. (2.)

41 2.2. ΟΡΙΣΜ ΟΣ 3 y f(x) L+ε L L-ε BHMA c-δ c c+δ BHMA 2 x Σχήμα 2.5: Γεωμετρική περιγραφή του ορισμού του ορίου. Για κάθε πάχος 2ɛ οριζόντιας λωρίδας περί την ευθεία y = L (ΒΗΜΑ ), υπάρχει ένα αντίστοιχο πάχος 2δ κάθετης λωρίδας περί την ευθεία x = c (που δεν περιλαμβάνει τη γραμμή x = c) (ΒΗΜΑ 2) τέτοιο ώστε αν το (x, f(x)) είναι εντός της κάθετης λωρίδας, να είναι και εντός της οριζόντιας λωρίδας. Άρα για το συγκεκριμένο ɛ θέτω δ = ɛ 2. Εστω τώρα < x 3 < δ. Τότε και x 3 < δ και από την (2.) έχουμε (2x 5) < ɛ, άρα προκύπτει το ζητούμενο. Παράδειγμα 2.3. Θα δείξουμε ότι lim x c (ax + b) = ac + b. Καταρχήν, έστω a. Εστω ɛ >. Παρατηρώ πως: (ax + b) (ac + b) < ɛ a(x c) < ɛ x c < ɛ a. (2.2) Άρα για το συγκεκριμένο ɛ > θέτω δ = ɛ a >. Εστω τώρα < x c < δ. Τότε από την (2.2) έχουμε (ax + b) (ac + b) < ɛ, άρα προκύπτει το ζητούμενο. Αν a =, τότε πρέπει να δείξουμε ότι lim b = b. Πράγματι, έστω ɛ >. Αν x c επιλέξουμε οποιοδήποτε δ >, για παράδειγμα το δ =, παρατηρούμε πως πράγματι αν < x c < δ τότε και f(x) b = b b = < ɛ. ( Παράδειγμα 2.4. Θα δείξουμε ότι lim ) x c x = c, αν c.

42 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ Καταρχήν παρατηρούμε πως: x c = c x cx = c x. c x { } Θέτουμε δ = min c 2, ɛc2 2, και έστω πως < x c < δ. Εχουμε: x c < δ x c < c 2 Στα άνω χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα c x < c 2 a < min(b, c) a < b και a < c. x > c 2 x < 2 c, (2.3) x c < δ c x < δ < ɛ c2 2. (2.4) Χρησιμοποιώντας τις δύο ανισότητες (2.3), (2.4), έχουμε, όταν x c < δ: x c = c x < c x c 2 c ɛc2 2 = ɛ, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Παράδειγμα 2.5. Θα δείξουμε ότι lim x = c, αν c >. x c Εστω οποιοδήποτε ɛ > και έστω δ = min{c, ɛ c}. Τότε αν < x c < δ θα έχουμε x, και επιπλέον x c = ( x c)( x + c) = x c x + c x + c και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. = x c x + c Παράδειγμα 2.6. Αν f(x) και lim f(x) =, τότε lim f(x) =. x c x c Πράγματι, έστω ɛ >. Επειδή ɛ 2 >, υπάρχει δ > τέτοιο ώστε x c c < δ c ɛ, < x c < δ f(x) < ɛ 2 f(x) < ɛ 2 f(x) < ɛ, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Παράδειγμα 2.7. Αν lim f(x) >, τότε lim f(x) = lim f(x). Η απόδειξη θα x c x c x c δοθεί αργότερα, ως εφαρμογή του Θεωρήματος 3.3.

43 2.2. ΟΡΙΣΜ ΟΣ 33 Παράδειγμα 2.8. Τέλος, θα δούμε και μια συνάρτηση που δεν έχει όριο σε κάποιο c. Συγκεκριμένα, έστω η f(x) = x. Θα δείξουμε ότι δεν έχει όριο στο c = 2, χρησιμοποιώντας απαγωγή σε άτοπο. Εστω λοιπόν πως έχει όριο, το L, και έστω πως L 3 2. (Η περίπτωση L < 3 2 προκύπτει ανάλογα, και για αυτό την παραλείπουμε.) Εστω ɛ = 4. Από τον ορισμό του ορίου, θα υπάρχει κάποιο δ έτσι ώστε όποτε < x 2 < δ, να έχουμε f(x) L < 4. Παρατηρήστε όμως, ότι όποια και να είναι η τιμή του δ, μπορούμε να βρούμε κάποιον αριθμό y (2 δ, 2) για τον οποίο f(y) =, και άρα (αφού L 3 2 ) θα έχουμε f(y) L 2 > 4 = ɛ. Άρα, έχουμε άτοπο. Ορισμός 2.2. (Πλευρικά όρια) Εστω συνάρτηση f : A R, και c R.. Εστω πως (c, b) A για κάποιο b > c. Η f έχει (πλευρικό) όριο το L καθώς το x τείνει στο c από δεξιά, και γράφουμε lim f(x) = L αν x c + ɛ > δ > : c < x < c + δ f(x) L < ɛ. 2. Εστω πως (a, c) A για κάποιο a < c. Η f έχει (πλευρικό) όριο το L καθώς το x τείνει στο c από αριστερά, και γράφουμε lim f(x) = L αν x c ɛ > δ > : c δ < x < c f(x) L < ɛ. Παρατήρηση: Μια γεωμετρική περιγραφή του ορισμού του ορίου από τα δεξιά εμφανίζεται στο Σχήμα 2.6. Η γεωμετρική περιγραφή του ορίου από τα αριστερά είναι αντίστοιχη και παραλείπεται. Παράδειγμα 2.9. Θα δείξουμε ότι lim x + Εστω ɛ >. Θέτω δ = ɛ 2 >. Εχουμε: και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. x =. < x < + δ < x < ɛ x < ɛ, Παράδειγμα 2.. Θα δείξουμε ότι lim x = 2, ενώ lim x 2 + x 2 x =. Εστω ɛ >. Θέτω δ = 2 >. Τότε: 2 < x < 2 + δ x = 2 x 2 = < ɛ. Άρα, για κάθε ɛ > υπάρχει ένα δ > ώστε να ισχύει η συνεπαγωγή του ορισμού. Μάλιστα, σε αυτή την περίπτωση βρήκαμε ένα δ που κάνει για κάθε ɛ. (Ποια άλλα υπάρχουν;) Άρα αποδείξαμε την ύπαρξη του δεξιά ορίου. Το αριστερά όριο υπολογίζεται εντελώς ανάλογα.

44 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ y f(x) L+ε L L-ε BHMA c c+δ BHMA 2 x Σχήμα 2.6: Γεωμετρική περιγραφή του ορισμού του ορίου από τα δεξιά. Για κάθε πάχος 2ɛ οριζόντιας λωρίδας περί την ευθεία y = L (ΒΗΜΑ ), υπάρχει ένα αντίστοιχο πάχος δ κάθετης λωρίδας μεταξύ των ευθειών x = c και x = c + δ (χωρίς αυτές να περιλαμβάνονται) (ΒΗΜΑ 2) τέτοιο ώστε αν το (x, f(x)) είναι εντός της κάθετης λωρίδας, να είναι και εντός της οριζόντιας λωρίδας. Παράδειγμα 2.. Θα υπολογίσουμε τα πλευρικά όρια x lim x + x, lim x x x. Παρατηρούμε πως όταν x >, τότε η συνάρτηση f(x) = x x =. Εστω ένα οποιοδήποτε ɛ >. Τότε για δ =, έχουμε ότι αν < x < δ x x = f(x) = < ɛ. Άρα, το δεξί πλευρικό όριο είναι το. Παρατηρήστε ότι εδώ θα μπορούσαμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε τιμή για το δ. Με ανάλογο τρόπο, προκύπτει πως το αριστερά πλευρικό όριο είναι το. Παρατήρηση: Οπως μπορείτε να διαπιστώσετε, με τους ορισμούς δεν πάμε μακρυά! Χρειαζόμαστε πολλές πράξεις και σκέψη, ακόμα και για προφανή αποτελέσματα. Η λύση στο πρόβλημα είναι τα θεωρήματα της επόμενης παραγράφου.

45 2.3. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ ΟΡ ΙΟΥ Ιδιότητες Ορίου Λήμμα 2.. (Μοναδικότητα ορίου) Αν lim f(x) = L και lim f(x) = M, τότε L = M. x c x c Δηλαδή, κάθε συνάρτηση έχει σε ένα σημείο το πολύ ένα όριο. Απόδειξη. Εστω ότι lim f(x) = L και lim f(x) = M, και ότι L M. Θα δείξουμε ότι x c x c τότε προκύπτει άτοπο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω L > M. (Η απόδειξη για L < M είναι εντελώς ανάλογη.) Εστω ɛ = L M 2 >. Αφού το L είναι όριο, υπάρχει δ τέτοιο ώστε < x c < δ f(x) L < ɛ = L M 2 f(x) L > M L 2 Αφού όμως και το M είναι όριο, υπάρχει δ 2 τέτοιο ώστε < x c < δ 2 f(x) M < ɛ = L M 2 f(x) M < L M 2 f(x) > L + M 2 f(x) < L + M 2 Αν επιλέξω δ = min{δ, δ 2 }, τότε για όλα τα x με < x c < δ πρέπει να ισχύουν δύο αμοιβαίως αποκλειόμενες ανισότητες. Άρα προκύπτει άτοπο, και πρέπει L = M. Λήμμα 2.2. (Υπάρχει όριο υπάρχουν πλευρικά όρια) lim f(x) = L ανν υπάρχουν x c και τα δύο πλευρικά όρια και είναι ίσα, δηλαδή lim f(x) = L και lim x c + x c f(x) = L. Απόδειξη. Κατ αρχάς, έστω πως lim x c = L. Εστω ɛ >. Τότε υπάρχει δ > τέτοιο ώστε < x c < δ f(x) L < ɛ. Άρα c < x < c + δ < x c < δ f(x) L < ɛ και άρα υπάρχει το δεξιά όριο, ενώ επίσης c δ < x < c < x c < δ f(x) L < ɛ, και άρα υπάρχει και το αριστερά όριο. Αντιστρόφως, έστω πως υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όρια. Εστω ɛ >. Θα υπάρχουν δ, δ 2 > τέτοια ώστε c < x < c + δ f(x) L < ɛ, c δ 2 < x < c f(x) L < ɛ...

46 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ Άρα, αν επιλέξω δ = min{δ, δ 2 }, τότε όποτε < x c < δ, θα ισχύει είτε η πρώτη, είτε η δεύτερη περίπτωση, και έτσι σίγουρα f(x) L < ɛ, άρα lim x c f(x) = L. Παράδειγμα 2.2. Με χρήση του άνω λήμματος και του Παραδείγματος 2., προκύπτει πως η συνάρτηση f(x) = x δεν έχει όριο στο 2. Ακόμα, με χρήση του άνω λήμματος και του Παραδείγματος 2., προκύπτει πως η συνάρτηση f(x) = x x επίσης δεν έχει όριο στο. Αντίθετα, με χρήση του άνω λήμματος μπορούμε να δείξουμε ότι η f(x) = x έχει όριο το στο, αφού τα πλευρικά όριά της στο είναι ίσα με. (Προφανώς, απευθείας από τον ορισμό προκύπτει πως η f(x) = x έχει όριο στο c το c για όλα τα c.) Λήμμα 2.3. (Συνθήκες μη ύπαρξης ορίου) Εστω συνάρτηση f : A R, ορισμένη παντού σε μια ανοικτή γειτονιά του c, εκτός ίσως από το c.. Η f δεν έχει όριο το L ανν υπάρχει κάποιο ɛ > τέτοιο ώστε (αʹ) να μην υπάρχει δ > ώστε να ισχύει η συνεπαγωγή < x c < δ f(x) L < ɛ, ή ισοδύναμα, (βʹ) για κάθε δ > να υπάρχει ένα x τέτοιο ώστε < x c < δ και f(x) L ɛ. 2. Η f(x) δεν έχει όριο στο c ανν υπάρχει κάποιο ɛ > τέτοιο ώστε για κάθε δ >, να υπάρχουν x, x 2 (c δ, c) (c, c + δ) με f(x ) f(x 2 ) > ɛ. Απόδειξη. Παραλείπεται. Παράδειγμα 2.3. Βάσει του άνω λήμματος, εύκολα προκύπτει (μπορείτε να συμπληρώσετε τις λεπτομέρειες;) πως. Η συνάρτηση Dirichlet f(x) = {, x Q,, x R Q, δεν έχει πουθενά όριο. 2. Η συνάρτηση f(x) = δεν έχει όριο σε κανένα x. 3. Η συνάρτηση sin ( x) δεν έχει όριο στο. { x, x Q,, x R Q,

47 2.3. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ ΟΡ ΙΟΥ 37 Θεώρημα 2.. (Αλγεβρικές πράξεις ορίων) Εστω συναρτήσεις f, g με όρια L = lim f(x) και M = lim g(x) στο c. Εστω n θετικός ακέραιος, και k R σταθερά. x c x c Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:. lim x c k = k. 2. lim x c x = c. 3. lim x c kf(x) = klim x c f(x). 4. lim x c [f(x) + g(x)] = lim x c f(x) + lim x c g(x). 5. lim x c [f(x) g(x)] = lim x c f(x) lim x c g(x). 6. lim x c [f(x)g(x)] = lim x c f(x)lim x c g(x). 7. lim x c f(x) g(x) = lim f(x) x c lim x c 8. lim x c [f(x)] n = g(x), εφόσον lim g(x). x c [ ] n. lim f(x) x c Τα σκέλη 3-8 πρέπει να ερμηνευτούν ως εξής: αν υπάρχουν όλα τα όρια στα δεξιά, υπάρχει και το αντίστοιχο όριο στα αριστερά. Απόδειξη. Οι αποδείξεις των σκελών,2 προκύπτουν από το Παράδειγμα 2.3. Η απόδειξη του σκέλους 3 είναι απλή και παραλείπεται. ɛ Η απόδειξη του σκέλους 4 έχει ως εξής: Εστω ɛ >. Τότε και 2 >, και εξ υποθέσεως θα υπάρχει δ > τέτοιο ώστε Ομοίως, θα υπάρχει δ 2 > τέτοιο ώστε < x c < δ f(x) L < ɛ 2. < x c < δ 2 g(x) M < ɛ 2. Επιλέγουμε δ = min{δ, δ 2 }, και παρατηρούμε πως: f(x) + g(x) L M f(x) L + g(x) M < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Η πρώτη ανισότητα προκύπτει από την τριγωνική ανισότητα. Η δεύτερη ισχύει όταν < x c < δ δ, δ 2. Άρα για το συγκεκριμένο ɛ > βρήκαμε το δ > που χρειαζόμασταν, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Οι αποδείξεις των υπόλοιπων παραλείπονται.