Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA"

Transcript

1 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 11 Predavanje br TRANSPORT I LOGISTIKA 006/007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA Dimenzionisanje čeličnih konstrukcija se izvodi na bazi poznavanja rasporeda spoljašnjih dejstava (sila i momenata) i analitičkog utvrdjivanja rasporeda unutrašnjih sila i momenata, odnosno prostiranja naprezanja unutar konstrukcije. Ovi uticaji se odredjuju na osnovu teorija otpornosti (elastičnosti) materijala. Odredjivanje rasporeda opterećenja unutar konstrukcije vrši se metodama analize statike i dinamike konstrukcija. Utvrdjivanje sposobnosti konstrukcija da prenese zadate uticaje vrši se na osnovu karakteristika ugradjenog materijala - dopuštenih napona. Dopušteni naponi su propisani za čelične konstrukcije i odredjuju se u funkciji izabranog materijala i karaktera spoljašnjeg opterećenja. Karakter opterećenja nosećih konstrukcija mašina, teških vozila i raznovrsne druge opreme je statički i dinamički. Osobine ponašanja materijala pri statičkom opterećenju (pokazane svojstvima čelika na dijagramu -ε, za Č 061 dat na slici I-10) osnova su za određivanje svih vrsta dozvoljenih napona. kn/cm ε % Slika I-10 Dijagram naponi deformacije (-ε) Ponašanje konstrukcionog čelika pri statičkom zatezanju je karakteristično po nekoliko zakona promene deformacija od unutrašnjeg napona. Prva zona je zona elastičnosti u kojoj postoji linearna promena -ε. Daljim zatezanjem prelazi se granica proporcionalnosti i elastičnosti (pri kojoj je stalna - plastična deformacija ε = 0.01%) i počinje razvlačenje materijala. To je zona plastičnosti u kojoj postoji donja i gornja granica razvlačenja. Kod osnovnih konstrukcionih čelika ova granica ide od 0.15 %. Tečenje materijala traje približno pri stalnom naponu. Nakon toga nastupa treći period rada: ojačanje čelika, kada čelik pruža veći otpor daljem razvlačenju, sve do granice maksimalnog otpora zatezanju nakon čega počinje razaranje materijala. Ova granica maksimalnog otpora naziva se granicom kidanja. (Za Č061 ε=15 0 %). Prekid materijala nastupa nešto kasnije pri ε=0 0 %. U čeličnim konstrukcijama praktičan značaj ima donja granica razvlačenja u odnosu na koju se definišu dozvoljeni naponi. Za noseće strukture očuvanje forme - geometrije je od posebnog značaja pa se konstrukcija dovodi najviše do granice elastičnosti. Pouzdano poznavanje rasporeda unutrašnjih napona ima poseban značaj jer omogućava bolje iskorišćenje čelika. Ispitivanje kvaliteta čelika obavezno se obavlja iz potrebe tačnog utvrđivanja njegovih karakterističnih granica. Kvalitet čelika se utvrdjuje: 1. hemijskom analizom,. ispitivanjima opštih fizičkih osobina (gustina, spec.težina, spec. toplota, koeficijent lin. širenja, modul elastičnosti, modul klizanja, magnetne osobine),. metalografskim ispitivanjima (mikro strukture), 4. rendgenološkim ispitivanjima, 5. tehnološkim ispitivanjima (pogodnost zavarivanja, kovanja, presovanja), 6. mehaničkim ispitivanjima (kidanje, pritisak, smicanje, savijanje), 7. ispitivanjima posebnih mehaničkih osobina pri različitim opterećenjima Dobijene karakteristike materijala su osnov za uporedjivanje sa svojstvima projektovane konstrukcije. Sa druge strane sva opterećenja konstrukcija se dele na statička i dinamička. PONAŠANJE ČELIKA PRI STATIČKOM OPTEREĆENJU Pod statičkim opterećenjem podrazumevamo opterećenja koja se po intenzitetu ne menjaju u toku vremena. Takva opterećenja postoje u praksi i imaju oblik: F F=const. t Slika I-11 Dijagram toka sile u funkciji vremena kod stalnih statičkih uticaja

2 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 1 Klasifikacija opterećenja nosećih (odgovornih) konstrukcija 1 definiše se prema broju promena opterećenja. Konstrukcije koje u eksploatacionom veku budu izložene do promena opterećenja, sa izrazito umerenim dejstvom (bezudarno opterećenje) se smatraju statički opterećene. Konstrukcije koje budu izložene preko promena opterećenja se smatraju dinamički opterećene i treba ih dimenzionisati u vremenskom domenu, prema jačini zamora materijala. Konstrukcije sa više od ciklusa opterećenja treba računati prema trajnoj čvrstoći. PONAŠANJE ČELIKA PRI PROMENLJIVOM OPTEREĆENJU Ovo pitanje ima posebnu - osnovnu važnost jer je utvrdjeno da se konstruktivni elementi mogu lomiti i pri nižim naponima od statičke jačine materijala. Naime ako se dovoljan broj puta izazove promena napona u materijalu, nastaće zamor materijala i sniženje njegove jačine kidanja. To opasno opterećenje konstruktivnog elementa je promenljivo opterećenje koje osciluje izmedju gornje g i donje granice napona d. Karakteristično je da na lom direktno utiče promena napona g - d i srednji prednapon SR =( d + g )/. Pri tome je utvrdjeno da što je viši srednji napon to je potrebna za lom manja razlika gornjeg i donjeg graničnog napona. Maksimalni napon g = MAX koji materijal može da izdrži bezbroj puta pri promenljivom opterećenju a da pri tome ne nastupi lom konstruktivnog elementa, naziva se napon jačine zamora (dinamička jačina) D. Prirode statičkog i dinamičkog naprezanja materijala se razlikuju. Lom u konstrukciji nastao od zamora drugačijeg je izgleda od loma izazvanog statičkom silom kidanja. Lom izazvan zamorom materijala karakteriše se odsustvom plastične deformacije. Mehanizam zamora je specifičan po nastanku na mestu nekog diskontinuiteta u dinamički najnapregnutijoj zoni. Uzroci su mikro ili makro nepravilnost koji dovode do prekoračenja čvrstoće materijala u lokalnoj zoni. Time se povećava prslina smanjujući površinu zdravog - nosivog dela. To je uzrok daljeg razvoja prsline koja ubrzano zahvata veliku površinu. Kada konstruktivni element više ne može da nosi ni srednji napon nastaje slom konstrukcije. Na pojavu zamora materijala utiče kvalitet izrade, obrade i spoljni oblik elementa. VRSTE PROMENLJIVIH OPTEREĆENJA Dinamička opterećenja se prema karakteru promene, dele na dve osnovne grupe: I -grupa: Promenljiva opterećenja sa pravilnim (harmonijskim) zakonom, II-grupa: Promenljiva opterećenja sa slučajnim (nepravilnim) zakonom promene Prva grupa naprezanja odlikuje sa pravilnim zakonom u vidu sledećih podkategorija: - Jednosmerno promenljivo opterećenje, - Čisto jednosmerno promenljivo opterećenje, - Naizmenično promenljivo opterećenje, - Čisto naizmenično promenljivo opterećenje, Ovu klasifikaciju ilustruju dijagrami sa četiri moguća stanja dinamičkog naprezanja konstruktivnog elementa (slika I-1, slika I-1): 4 JEDNOSMERNO PROMENLJIVO OPTEREĆENJE NAPON A A MAX ČISTO JEDNOSMERNO PROMENLJIVO OPTEREĆENJE 1 MIN SR MAX = A 0 Slika I-1 Dijagram jednosmernih dinamičkih kategorija opterećenja Jednosmerno promenljivo opterećenje ima svojstva: SR >, r = MIN > 0 (I-.1) Napon pri jednosmerno promenljivom opterećenju se označava sa j. Kod čisto jednosmernog opterećenja važe relacije: MAX 1 Milosavljević M., Radojković M., Kuzmanović B: OSNOVI ČELIČNIH KONSTRUKCIJA-Beograd 1978

3 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 1 SR =, r = MIN = 0 (I-.) MAX Kod naizmenično - promenljivog opterećenja (napon se obeležava sa n ) važi: NAIZMENIČNO PROMENLJIVO OPTEREĆENJE A Č ISTO NAIZMENIČ NO PROMENLJIVO OPTEREĆ ENJE SR = = MAX N APON 0.0 A SR -0.5 = MIN -1.0 Slika I-1 Dijagram naizmeničnih dinamičkih kategorija opterećenja SR <, r = MIN < 0 (I-.) Kod čisto naizmenično - promenljivog opterećenja (napon se obeležava sa no ), važe relacije: MIN SR = 0, r = MAX = 1. (I-.4) Pri tome važe osnovne relacije kod svih ovih zakona: MAX + MAX MIN SR =, = SR +, MAX MAX MIN =, = SR,. MIN (I-.5) Dinamička čvrstoća materijala (jačina zamora) označava se konvencionalno: Kod jednosmerno - promenljivog opterećenja je: Dj Kod čisto jednosmerno - promenljivog opterećenja je: Djo Kod naizmenično - promenljivog opterećenja je: Dn Kod čisto naizmenično - promenljivog opterećenja je: Dinamička čvrstoća se odredjuje eksperimentalno i ti rezultati dati su u Smitovom dijagramu. Podaci o kritičnom broju opterećenja koji izaziva lom, dati su u Velerovoj krivoj za pojedine materijale. Tako se kod čelika Č061, nakon ciklusa, naglo se smanjuje jačina zamora sa 0 na 0 kn/cm, a posle ciklusa ima vrednost 16.5 kn/cm. Eksperimentalne vrednosti za Dno i Djo za konstrukcione čelike Č061 i Č0561 su: Č061 Dno = 15.0 kn/cm, Djo = 4 kn/cm, Č0561 Dno = 17.0 kn/cm, Djo = 0 kn/cm, (I-.6) Druga grupa promenljivih opterećenja su sa nepravilnim karakterom i slučajnom distribucijom i odsustvom periodičnog karaktera promene dejstva. Za ocenu toka zamora, kod ove kategorije opterećenja, potreban je pokazatelj napona. Jedan takav parametar može biti učestalost prisustva pojedinih intenziteta naprezanja. Dobijanje učestalosti vrši se tako što se najpre definiše dužina eksploatacije (vek) i srednji normalni napon SR. Analiza se vrši nad skupom eksperimentalnih podataka iz dinamičkog opterećenja konstrukcije. Dijagram se analizira selekcijom naponskih nivoa amplituda dinamičke pojave. To se operativno realizuje na osnovu eksperimentalnih zapisa, povlačenjem paralelnih linija jednakih napona dinamičke pojave. Time se dobija slučajan niz preseka linija jednakih napona sa krivom izmerenog napona. Iz tih preseka utvrdjuje se broj pojedinih napona na različitim nivoima. Iz pojedinačnog broja napona istog nivoa, dobija se kriva zbirne učestanosti naprezanja. Napon koji materijal može da izdrži, pri stalno promenljivom opterećenju, naziva se radna jačina zamora materijala. Zapis dinamičke pojave Kriva učestalosti Dno SR SR Vreme (sec) Učestalost napona N Slika I-14 Dijagram zapisa dinamičke pojave i njegov odgovarajući dijagram učestalosti opterećenja

4 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 14 Poznavanje radne jačine zamora materijala omogućava realnije dimenzionisanje: Mali broj ekstremnih uticaja nema značaja za dimenzionisanje i može, suprotno očekivanju da usled plastične deformacije rastereti lokalnu zonu ekstremnog napona. Takodje mali naponi nemaju uticaja na vek konstrukcije. Eliminacijom nisko prisutnih uticaja, odredjuje se opseg napona merodavan za dimenzionisanje. Utizaj zamora materijala praktično se obuhvata po jednoj metodologiji tako što se umanjuje dozvoljeni napon posredstvom koeficijenta zamora z. (jednačina I-.7). Ovaj uticaj se uzima samo kod konstrukcija kod kojih objektivno postoji zamor materijala. To su dizalica visoke radne učestalosti i relativne opterećenosti koje su klasifikovane u 5-6 klasu po FEM propisima. Ddop = z dop (I-.7) Gde je: Ddop dopušteni napon za delove izložene zamaranju, dop dopušteni napon za statički napregnut materijal prema I sl.opterećenja, z - Koeficijent zamora materijala se odredjuje prema tabeli I-11: Tabela I-11 Čelik + > zatezanje Koeficijent zamaranja z + < pritisak A A Č ( ) ( ) B B A A Č ( ) ( ) B B U slučaju da se dobije z >1 uzima se z =1 A - po apsolutnoj vrednosti, najmanji iznos napona, sile ili momenta savijanja, B - po apsolutnoj vrednosti, najveći iznos napona, sile ili momenta savijanja, A/B može biti r iz predhodnih analiza. A i B se uzimaju sa predznakom. DOPUŠTENI NAPONI ČELIKA ZA NOSEĆE KONSTRUKCIJE Opšti konstrukcioni čelici propisani su prema JUS C.B Ovi čelici imaju garantovanu granicu razvlačenja R e prema kojoj se dalje utvrdjuju dozvoljeni naponi. Osnov za dimenzionisanje je opšti izraz (I-.8), pa shodno korišćenim materijalima (Tabela I-1), koriste se sledeće vrednosti garantovane granice plastičnosti : rač < dop (I-.8) Tabela I-1 JUS C.B0.500 Č 061 Č 06 Č 06 Č 0451 Č 045 Č 045 Č 0561 Č 056 Č 056 Garantovana granica plastičnosti R e kn/cm, (za dim. 100 mm) Pri tome se dopuštena naprezanja utvrdjuju prema računskim stepenima sigurnosti. Jugoslovenski propisi odredjuju dopuštena naprezanja za materijale u projektovanju spojeva zavrtnjima i zakivcima. Osnovna klasifikacija opterećenja izvršena je prema uporednom trajanju na osnovna i dopunska. U osnovna opterećenja spadaju: sopstvena težina konstrukcije, stalno opterećenje na njoj, korisno opterećenje, sneg i druge kategorije čije prisustvo je višestruko trajnije od dopunskih uticaja. U dopunska opterećenja spada: uticaj vetra, uticaj inercijalnih sila, temperaturni uticaji i druga dejstva povremeno i kratkotrajno prisutna. Iz toga su izdvojena dva osnovna slučaja opterećenja konstrukcija: I - osnovno, II- osnovno i dopunsko zajedno Za osnovne materijale od kojih je napravljena konstrukcija naš standard JUS U.E7.145 iz godine (kao i JUS U.E7.145/1 od 1991.) predvidja tri osnovna slučaja opterećenja sa odgovarajućim koeficijentima sigurnosti za odredjivanje dozvoljenih napona. Propisani koeficijenti sigurnosti za ove slučajeve opterećenja konstrukcije su kod prvog slučaja opterećenja 1.5

5 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 15 a kod drugog slučaja 1.. Osim ovih radnih slučajeva opterećenja, postoji i treći (III) slučaj opterećenja konstrukcija od slučajnih (izuzetnih) uticaja: udar drumskog vozila u stub hale, zatim uticaj inercijalnih sila izazvanih slučajnim vibracijama, naprezanja izazvana montažom, transportom kao i seizmički uticaji. Koeficijent sigurnosti za takva stanja je 1.. Deljenjem napona na granici razvlačenja stepenom sigurnosti dobija se dopušteni napon: R = e dop (I-.9) ν 4 6 ν ( I) = = 1.5, ν(ii) = = 1., ν(iii) = = 1., (I-.10) 5 Dopušteni naponi se odnose na opterećenja od zatezanja, pritiska i savijanja. Tangentni napon od smicanja se odredjuje u odnosu na napon na granici razvlačenja R e za odredjeni slučaj opterećenja, prema obrascu (I-.11): R τ e dop = (I-.11) νs (i) Za I,II i III slučaj opterećenja, koeficijent sigurnosti od smicanja ν S iznosi: 4 6 ν S (I) = =.5980, νs(ii) = =.094, νs(iii) = =.0785, (I-.1) 5 Za praktičnu realizaciju, računske vrednosti napona su zaokružene. Primenom na Č061, (JUS U.E7.145, Č 061, Č 06, Č 06), dozvoljeni naponi su: Tabela I-1a Vrsta napona Prvi sličaj opterećenja Drugi slučaj opterećenja Treći slučaj opterećenja dop kn/cm τ dop kn/cm U slučaju čelika Č 0451, Č 045, Č 045 (JUS U.E7.145), dozvoljeni naponi su: Tabela I-1b Prvi sličaj Drugi slučaj Treći slučaj opterećenja Vrsta napona opterećenja opterećenja dop kn/cm τ dop kn/cm U slučaju čelika Č 0561, Č 056, Č 056, (JUS U.E7.145), dozvoljeni naponi su: Tabela I-1c Prvi sličaj Drugi slučaj Treći slučaj opterećenja Vrsta napona opterećenja opterećenja dop kn/cm τ dop kn/cm Kod složenih naponskih stanja konstrukcija sa prisustvom normalnih i tangencijalnih napona, dozvoljeni naponi se uporedjuju sa uporednim računskim naponima U određenim prema karakteru procesa deformacije. Osnov za izbor hipoteze o slaganju napona je karakter energije rada utrošenog na proces deformacije. Uporedni napon za dvodimen. naponsko stanje određuje se prema obrascu: U = X + Y X Y + τ (I-.1) XY U slučaju trodimenzionalnog radnog stanja, uporedni napon se može odrediti prema obrascu: [( ) + ( ) + ( ) ] + ( τ + τ + τ ) 1 U = X Y Y Z Z X (I-.14) XY XY XY Naponi X, Y, Z, τ XY, τ YZ, τ, su komponente naponskog tenzora u posmatranoj tački. ZX EVROKOD (EC ) LITERATURA: D.Buđevac, Proračun čeličnih konstrukcija, Građevinski fakultet Beograd, Sadržaj: Opšta pravila za proračun objekata od čelika), EN 1005 (vruće valjani proizvodi od nelegiranih konstrukcionih čelika tehnički uslovi isporuke), Nacionalni dokumenti za primenu EC. Ujedinjenog kraljevstva, Nemačke i Francuske.

6 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 16 Ova knjiga je izvod iz EVROKODA kojim se uređuju tehnički odnosi između zemalja Evropske zajednice. EC se odnosi na proračun čeličnih konstrukcija. Predlagač EC je Evropski komitet za standardizaciju (CEN) Tehnički komitet CEN/TC 50 ( Konstrukcijski Evrokodovi ), formiran godine. Program Evrokodova ima devet svezaka (EC 1 EC 9). EC tretira proračun čeličnih konstrukcija. On ima osam delova. Oni tretiraju proračun zgrada, mostove i limene konstrukcije, tornjeve, rezervoare sa cevnim instalacijama, šipove, opremu u moru i priobalju, opremu za poljoprivredu. Deo 6 ovog standarda se odnosi na konstrukcije dizalica. Prvi odobren standard bio je ENV , 199. godine i odnosio se na proračun zgrada. Svojim Aneksima C (projektovanje na krti lom), E(dužine izvijanja štapova), F(bočno torziono izvijanje), J(veze greda-stub), K(veze cevnih profila u rešetkama), M(alternativni proračun ugaonih šavova), tretira pitanja koja se odnose na konstruktivne elemente čeličnih konstrukcija. EC je moderan standard napisan sa aspekta ekonomski racionalnih konstrukcija, definisan za kompjutersku podršku. EC je istovremeno najproverovaniji standard. Bazira se na savremenom konceptu graničnih stanja za razliku od nacionalnih standarda koji se baziraju na konceptu dopuštenih napona. EN 1005 je standard za zavarljive konstrukcione čelike. (Obuhvata važnu kategoriju Fe 60, Fe 40, Fe 510, ali i druge čelike). EC ne obuhvata posebne zahteve za seizmički proračun. Ta pitanja tretira ENV 1998 Evrokod 8 Proračun konstrukcija na seizmičku otpornost. Numeričke vrednosti dejstva na zgrade i druge građevinske konstrukcije nisu date ovim standardom. One su date u ENV 1991 Evrokod 1 Osnove proračuna i dejstva na konstrukcije. ISO definiše pojam konstrukcije: Konstrukcija je organizovan sistem povezanih delova, projektovanih da se obezbedi određena mera krutosti. EC : Pojam skeleta: Deo konstrukcije koji obuhvata skup direktno povezanih konstrukcijskih elemenata proračunatih da deluju zajedno pri prijemu opterećenja. Ovaj termin se odnosi na kruto spojene skelete, skelete trougaonih struktura, ravne i trodimenzionalne skelete. EC : Vrlo lepo definiše oznake. Tako recimo sa S se označavaju unutrašnje sile u konstrukciji. Sa F dejstvo odnosno sila. Sa R se označava otpornost (reakcija), sa Q promenljivo dejstvo. Sa N aksijalna sila, sa M moment savijanja, sa T moment torzije, sa V smičuća sila. Sa W otporni moment, sa I moment inercije, sa A površina, sa L dužina. Sa E modul elastičnosti, sa G modul smicanja. Sa X vrednost svojstva materijala. Malim slovom f u označena je čvrstoća na zatezanje, slovom f y granica razvlačenja. Grčkim slovom ε (epsilon) označena je dilatacija, sa λ (lambda) vitkost, sa µ (mi) koeficijent trenja, sa ν (ni) Poasonov koeficijent, sa (sigma) normalni napon, sa τ (tau) smičući napon. Simbol označava upravnost a simbol = paralelnost. ENV definiše pojam graničnih stanja: Granična stanja su ona čijim prekoračenjem konstrukcija više ne ispunjava proračunske zahteve. Granična stanja su razvrstana na granično stanja nosivosti i granično stanje upotrebljivosti. Granična stanja nosivosti su vezana za rušenje ili gubitak stabilnosti, gubitak ravnoteže konstrukcije, gubitak nosivosti usled prekomerne deformacije (usled loma ili gubitka stabilnosti dela konstrukcije uključujući i oslonce i temelje). Granična stanja upotrebljivosti su izazvana deformacija i ugibima koji nepovoljno utiču na efikasnu eksploataciju opreme, funkcionisanje mašina ili izaziva oštećenje mašina i opreme. Granična stanja upotrebljivosti su određena i nepovoljnim vibracionim dejstvima koja izazivaju nelagodnost ljudi, oštećenja opreme ili umanjuju upotrebljivost opreme. Kod izvođenja dokaza graničnih stanja, dokazuje se ispravnost. Tako se recimo kod provere graničnog stanja statičke ravnoteže dokazuje da je uticaj destabilizirajućih dejstava manji od uticaja stabilizirajućih dejstava (E dest E stab ). Ili kod provere graničnog stanja loma, dokazuje se da je računska vrednost unutrašnje sile manja od otpornosti konstrukcije na lom (S d R d ). ENV definiše pojam dejstva. Dejstvo je sila ili opterećenje (direktno dejstvo) koje deluje na konstrukciju. ili prinudna deformacija (indirektno dejstvo) kao kod temperaturnog uticaja ili sleganja oslonca konstrukcije. Dejstva se klsifikuju u dve osnovne grupe: Prvu grupu čine dejstva sa promenljivim svojstvima u toku vremena. To su stalna dejstva (od sopstvene težine konstrukcije), promenljiva dejstva (od korisnog tereta, uticaja vetra, snega) i izuzetna dejstva (od eksplozija, udara vozila). Drugu grupu dejstava izvedena je prema promenljivosti u prostoru. To su fiksna dejstva (od sopstvenih težina uvek u istim nepokretnim tačkama težišta) i slobodna dejstva sa različitim rasporedom delovanja. (pokretna opterećenja, uticajiu vetra). Dejstva su obuhvaćena primenom koeficijenata (kombinacije, učestalosti, kvazistalnosti) na karakteristične reprezentativne vrednosti dejstva. Materijali: Svojstva vruće valjanih čelika: Granice razvlačenja f y i čvrstoće na zatezanje f u vruće valjanih čelika date su tabelom za čelike Fe 60, Fe 40 i Fe 510 prema EN 1005 a za Fe E 75 i Fe E 55 prema pren U proračunima se koriste sledeći podaci kada su u pitanju konstrukcioni čelici: Modul elastičnosti E= N/mm, modul klizanja G=E/[(1+ν)], Poasonov koeficijent ν=0., koeficijent linearnog toplotnog širenja α= / C, gustina (specifična masa) ρ=7850 kg/m. Tabela Nominalne vrednosti granice razvlačenja f y i čvrstoće na zatezanje f u prema EN 1005 i pren 1011 Debljina t (mm)* Vrsta čelika t 40 mm 40 < t 100 mm** f y (N/mm ) f u (N/mm ) f y (N/mm ) f u (N/mm ) EN 1005 Fe

7 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 17 Fe 40 Fe 510 pren 1011 Fe E 75 Fe E * t normalna debljina elementa, ** 6 mm za ploče i ostale ravne proizvode od čelika prema pren NAD G (Nemački komitet za čelične konstrukcije): Smernice za primenu DIN V ENV 199, Deo 1-1 EVROKOD Dimenzionisanje i konstruisanje čeličnih konstrukcija. Ovaj prilog EC se u jednom delu bavi ispitivanjem čvrstoće na zamor nosača dizalica. Osnova - izvor je prema DIN 41. Namena ove klasifikacije svrstavanje dizalice u određenu grupu naprezanja. Izvodi se korišđenjem kolektiva napona (S 0 S ) i ukupnog broja naponskih ciklusa (N 1 N 4 ). Kolektivi napona su sa Gausovom normalnom raspodelom dati prema slici ispod tabele. Grupe naprezanja date su klasama B1 B6. Kolektiv napona N1 N N N4 Ukupan broj predviđenih ciklusa napona Više od 10 4 do 10 5 Više od 10 5 do Više od do 10 6 Više od 10 6 Povremena i neredovna upotreba sa dugim intervalima mirovanja Redovna upotreba kod rada sa prekidima Redovna upotreba kod neprekidnog rada Redovna upotreba kod teškog neprekidnog rada Kolektiv napona Grupa naprezanja nosača dizalica S 0 vrlo lak B1 B B B4 S 1 lak B B B4 B5 S srednji B B4 B5 B6 S težak B4 B5 B6 B6 Slika xx. Idealizovani kolektiv napona Dokaz otpornosti na zamor se izvodi za normalne i smičuće napone prema relacijama: γ Ff γ Ff Φ λ Φ λ max c γmf τmax τc γ Mf U ovim jednačinama γ Ff je parcijalni koeficijent sigurnosti za opterećenje pri zamoru. Može se pretpostaviti γ Ff =1.00. Slično prethodnom, γ Mf je parcijalni koeficijent sigurnosti za čvrstoću na zamor. Može se pretpostaviti γ Mf =1.00. Φ je dinamički koeficijent dizalice. Određuje se prema tabeli 1, DIN 41. max odnosno τ max su maksimalne vrednosti promene normalnih i smičućih napona. λ je koeficijent redukcije koji zavisi od grupe naprezanja B1 B6 i oblast promene

8 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 18 (varijacije) napona max odnosno τ max, prema tabeli Txz. C odnosno τ C je granična vrednost čvrstoće na zamor pri 10 6 promena opterećenja za određenu kategoriju detalja. Kategorije detalja su sistematizovane tabelarno za razvrstavanje, označene brojevima 6, 40, 45,50, 56, 6, 71, 80, 90, 100, 11, 15, 140, 160. Obuhvataju spojeve (preseke) izvedene: nezavarenim detaljima, zavarenim složenim presecima, poprečnim sučeonim šavovima, zavarenim priključnim vezama sa nenosećim šavovima i zavarenim spojevima sa nosećim šavovima. Spojevi su klasifikovani prema osetljivosti na zamor. Granične vrednosti čvrstoća C i τ C date su na dijagramima koji će posebno biti tretirani kroz oblast zamora materijala (ENV ). Tabela xz Koeficijent redukcije λ: Grupa naprezanja B1 B B B4 B5 B6 za normalne napone za smičuće napone τ Važnu kategoriju osobina materijala čini svojstvo graničnog pritiska po Hercu za ležišta. Privremeno se koriste podaci prema DIN Deo 1. Granični pritisak prema Hercu H,Rd = H,k / γ M, gde su vrednosti H,k (N/mm ) utvrđene za ležište sa najviše dva valjka, γ M je parcijalni koeficijent sigurnosti spoja, pokazuje tabela: Materijal H,k (N/mm ) 1 St St 5, GS C5N 950 Marta (Aprila 199. Izmena A1) CEN (Evropski Komitet za Standardizaciju) izdao je standard EN On se odnosi na vruće valjane proizvode od nelegiranih konstrukcionih čelika. Shodno poslovniku CEN/CENELEC a sledeće zemlje su preuzele ovaj standard: Belgija, Danska, Nemačka, Finska, Francuska, Grčka, Irska, Island, Italija, Luksemburg, Holandija, Norveška, Austrija, Portugal, Švedska, Španija i Ujedinjeno Kraljevstvo. Ovi čelici su namenjeni za upotrebu na temperaturi okoline, za veze izvedene zavarivanjem, zakivcima i zavrtnjima. Nisu predviđeni za termičku obradu sa izuzetkom čelika u stanju isporuke N. Žarenje radi otpuštanja napona je dozvoljeno. Ovaj standard se ne odnosi na čelike propisane drugim Evronormama kao: konstrukcioni čelici za kovanje, zavarljivi sitnozrni konstrukcioni čelici (EN 1011), čelici otporni na koroziju (EN 10155), limovi i široki pljosnati proizvodi od poboljšanih sitnozrnih konstrukcionih čelika pogodnih za zavarivanje (pren 1017), pljosnati čelici visoke granice razvlačenja za obradu na hladno (pren 10149), brodski čelici (Evronorma 156) itd. Vrste čelika prema EN 1005: S185, S5, S75, S55, E95, E5, i E60 izvedene su prema razlikama u mehaničkim karakteristikama. Čelici se mogu isporučiti u različitim grupama kvaliteta. Čelici S5 i S75 se mogu isporučiti u kvalitetu JR, JO, J (JG, JG4), K (KG, KG4). Čelici S55 se isporučuju u kvalitetu JR, JO, J (JG, JG4), K (KG, KG4). Razlike u kvalitetu se odnose na zavarljivost i udarnu žilavost. Označavanje čelika izvedeno je prema redosledu: Napred stoji EN 1005, standard po kome je izvršena klasifikacija. Naredna oznaka u navodu je slovo S. Odmah zatim dođe karakterističan broj vrednosti najmanje granice razvlačenja u N-mm (δ 16 mm). Iza toga sledi oznaka za grupu kvaliteta (odnosi se na zavarivost i energiju udara). Iza toga sledi oznaka za način dezoksidacije (G1), za neumiren čelik (FU), kada nije dozvoljen neumiren čelik stoji (FN), potpuno umiren čelik sa propisanim sadržajem azota (FF). Iza ove oznake stoji oznaka C kod podobnosti za posebne namene i oznaka +N kod isporuke u stanju N. Primer: Čelik EN 1005 S75JRC. Naredna tabela pokazuje hemijski sastav konstrukcionih čelika prema EN 1005.

9 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 19 1 Videti 7. Navedene vrednosti dopušteno je prekoraciti ako se na svakih 0.001% N, najviša vrednost sadrzaja smanji za 0.005%; sadrzaj azota pri tome ne sme da prekoraci vrednost od 0.01% u analizi šarze. Najviša vrednost sadrzaja azota ne vazi ako celik sadrzi ukupno najmanje 0.0% aluminijuma, ili dovoljno drugih elemenata koji vezuju azot. Elemente koji vezuju azot treba navesti u potvrdi o ispitivanju. 4 BS: osnovni celik; QS: kvalitetni celik. 5 Kod profila sa nazivnom debljinom>100 mm sadrzaj ugljenika treba dogovoriti. Dopunski zahtev 5. 6 Isporucivo samo u nazivnim debljinama <5 mm. 7 Maksimalno 0.0 % C pri nazivnim debljinama > 150 mm. 8 Videti 7... i Maksimalno 0. % C pri nazivnim debljinama > 0 mm i kod celika podobnih za profilisanje valjanjem (videti 7.5..). * Ostavljeno slobodno, FU - neumiren celik, FN - neumiren celik nije dozvoljen, FF - potpuno umiren celik; videti 7.1. (napomena strucnih redaktora) (ENV : 199) ZAMOR Definicije: Zamor je oštećenje dela konstrukcije usled postepene propagacije prsline izazvane promenama naprezanja koje se ponavljaju. Opterećenja koja prouzrokuju zamor su komplet reprezentativnih događaja opterećenja opisan položajem opterećenja, intenzitetima i relativnim frekvencijama događanja. Događaj opterećenja je definisani skup razvoja opterećenja na konstrukciju, nivoa koji stvara istorijat naprezanja. Opterećenje koje prouzrokuje zamor ekvivalentne konstantne amplitude je uprošćeno opterećenje konstantne amplitude usled zamora od realnih događaja opterećenja promenljive amplitude. Istorijat naprezanja je zapis ili proračun toka promene napona određene tačke konstrukcije u toku događaja opterećenja. Naponska razlika je algebarska razlika između dva naponska ekstrema cikličnog opterećenja iz dela istorijata naprezanja. = MAX - MIN i τ=τ MAX -τ MIN. Nominalni napon je napon u osnovnom materijalu na lokaciji potencijalne prsline, određen prema osnonoj teoriji elastičnosti, bez obuhvatanja svih efekata koncentracije napona. Modifikovani nominalni napon je nominalni napon uvećan odgovarajućim faktorom koncentracije napona sa ciljem obuhvatanja geometrijskog diskontinuiteta koji nije obuhvaćen karakterističnom klasifikacijom detalja konstrukcije. Geometrijski napon je maksimalni glčavni napon u osnovnom materijalu, neposredno uz ivicu šava koji uzima u obzir efekte koncentracije napona usled geometrijskih osobina detalja konstrukcije, ali isključivo lokalne efekte koncentracije napona usled geometrije šava i diskontinuiteta u šavu u susednom osnovnom materijalu. Ovaj pojam je poznat kao napon tople tačke. Metoda Kišnog toka i metoda Rezervoara su specijalne metode za izradu spektra naponskih razlika iz datog istorijata naprezanja. Spektar naponskih razlika (spektar promene napona) je histogram frekvencije svih naponskih razlika koji je registrovan ili izračunat za dati događaj opterećenja.

10 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 0 Računski spektar je komplet svih spektara naponskih razlika, relevantan za dokaz na zamor. Računski spektar ilustruje dijagram: Naponska razlika ekvivalentne konstantne amplitude je naponska promena koja bi pri konstantnoj amplitudi promene opterećenja proizvela isti vek trajanja sklopa na zamor kao za slučaj spektra promene napona pri promenljivoj amplitudi. Ovo poređenje je zasnovano na Palmgren-Miner-ovoj linearnoj teoriji sumiranja (akumulacije) oštećenja. Po ovom konceptu, može se smatrati da se ekvivalentna konstantna promena napona odnosi na broj od miliona ciklusa promene napona, promenljive amplitude. Vek trajanja na zamor je broj ciklusa naponskih promena koji je predviđen da dovede do loma usled zamora. Granica zamora pri konstantnoj amplitudi ( D ) je granična vrednost promene napona iznad koje je potrebno dokazivati otpornost na zamor. Kategorija detalja To je određena konstruktivna kategorija sklopa (zavarenog ili sa zavrtnjima) koja se odlikuje istom klasom osetljivosti na zamor. Svakoj kategoriji detalja pripada odgovarajuća kriva otpornosti na zamor koja se primenjuje kod izvođenja dokaza otpornosti na zamor. Kriva otpornosti na zamor je kvantitativna kriva koja definiše lom usled zamora u zavisnosti od naponske razlike i broja naponskih ciklusa tačno određene kategorije detalja konstrukcije. Na krivoj otpornosti na zamor sa C je označena referentna otpornost na zamor pri N C = miliona ciklusa promene normalnog napona. N D je broj promena opterećenja za koji je definisana granica zamora pri konstantnoj amplitudi (5 miliona ciklusa). N L je broj promena napona (5 miliona) pri kome je definisana rubna granica. Nagib krive otpornosti na zamor definisan je koeficijentom m=, m=5. Krivu otpornosti na zamor pokazuje naredna slika: Računski vek trajanja je referentan period vremena u kome se traži da konstrukcija sigurno funkcioniše sa prihvatljivim stepenom verovatnoće da neće doći do loma usled prslina izazvanih zamorom. Rubna granica je granica ispod koje naponske promene računskog spektra nemaju uticaj na sračunato kumulativno oštećenje. Opterećenje koje prouzrokuje zamor obuhvata različite događaje koji unose promenu opterećenja realizacije sa sopstvenim tokom opterećivanja a svako opterećivanje realizuje se sa specifičnom amplitudom i frekvencijom pojavljivanja na poziciji koja se analizira na zamor. Analiza se sprovodi na osnovu poznatog dinamičkog ponašanja konstrukcije. Dinamičko stanje je određeno ili na bazi zadatih režima i tehnologija eksploatacije mašina ili je snimljeno konkretno na sličnoj (istoj) konstrukciji. U tu svrhu se merenjem formiraju istorijati naprezanja. Tada se radi o tačnom proračunu na zamor jer se izvodi na bazi kompletnog spektra događaja opterećenja. Znatno prostiji je metod proračuna zasnovan na ekvivalentnom opterećenju koje prouzrokuje zamor. U slučajevima kada nedostaju tačni podaci o ponašanju, mogu se koristiti faktori dinamičke amplifikacije koji se primenjuju na proračune statičkog graničnog stanja. Cilj proračuna na zamor (granično stanje zamora) projektovanje konstrukcija sa vremenski zadatim vekom trajanja. Pri tome konstrukcija mora da obezbedi pravilnu funkcionalnost bez otkaza, lomova ili sanacija. Da bi se to postiglo provera na zamor se sprovodi nad svim odgovornim delovima i detaljima strukture sa detaljnošću koja odgovara tipu tehničkog

11 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 1 rešenja. Takav proračun na zamor podrazumeva upotrebu parcijalnih koeficijenata sigurnosti. Provera na zamor tretira konstrukciju u elastičnom naponskom domenu, u normalnim uslovima eksploatacije (za maksimalne temperature do 150 C i blagu korozionu sredinu). Iz osobina materijala i tehničkog rešenja sklopa, proizilazi otpornost na zamor konstrukcije. To je sposobnost sklopa da prenese spoljašnje dinamičke uticaje, propisanog nivoa i karaktera tačno određen (izračunat) period do loma. Proveri na zamor podležu konstrukcije dizalica (rad sa teretom koji se podiže i premešta), konstrukcije vibromašina (sa naponskim ciklusima koji se ponavljaju), konstrukcije tehničkih sistema sa oscilatornim ponašanjem usled dejstva vetra. Provera na zamor se ne mora obuhvatiti proračunom ako je zadovoljen jedan od sledećih uslova: γ Ff 6 γ Mf, N, mm 6 6 γ Mf N 10, γ Ff E. (xxxx) E. je naponska razlika ekvivalentne konstantne amplitude u N/mm. γ Ff je parcijalni koeficijent sigurnosti na zamor koji uzima u obzir mogućnost nepovoljnih devijacija dejstva, nepreciznog modeliranja dejstva, neizvesnosti procene uticaja dejstva i neizvesnost tačne procene razmatranog graničnog stanja. Koeficijent γ Ff je određen u ENV 1991 Evrokod 1, koji definiše osnove proračuna i dejstva na konstrukcije. Ako nije drugačije utvrđeno u Evrokodu ili u standardima za opterećenje koje prouzrokuje zamor, treba uzimati γ Ff =1.0. Parcijalni koeficijent sigurnosti γ Mf je koeficijent otpornosti preseka ili veze na zamor. Ovi koeficijenti se određuju za više klasa razloga otpornosti na zamor: To je kategorija parcijalnih koeficijenta sigurnosti za opterećenja koja prouzrokuju zamor γ Ff i parcijalnih koeficijenata sigurnosti za otpornost na zamor γ Mf. Kod zavarenih detalja γ Mf se odnosi na format detalja, dimenzije, oblik i blizinu diskontinuiteta, lokalne koncentracije usled neizvesnosti zavarivanja, različite tehnologije zavarivanja i metalurške uticaje. Koeficijent γ Mf može se odrediti na bazi mogućeg utvrđivanja pojave prsline uslovljene pristupačnošću detalja i na bazi stepena posledica koje ima lom detalja (elementa) konstrukcije. Stepen posledica definiše dve kategorije posledica: lombezbedne i lom nebezbedne elemente konstrukcije. Lom-bezbedni elementi imaju umanjene posledice jer lokalni lom ne dovodi do sloma cele konstrukcije. Drugi stepen posledica su lom-nebezbedni elementi konstrukcije gde lokalni lom dovodi do sloma konstrukcije kao celine. Preporučene vrednosti parcijalnog koeficijenta sigurnosti date su tabelom: Tabela parcijalnih koeficijenata sigurnosti γ Mf Pregled i pristup Lom-bezbedni elementi Lom-nebezbedni elementi Pristupačan detalj veze Nedovoljna pristupačnost detalja Periodičnim pregledom mogu da se utvrde prsline usled zamora pre nego što one izazovu oštećenje. Periodičan pregled je vizuelan osim ako nije drugačije specificirano. Postupak dokaza na zamor Izvodi se jednom od dveju metoda: 1. Korišćenjem teorije kumulativnog oštećenja, poređenjem proizvedenog oštećenja sa graničnim oštećenjem,. Korišćenjem ekvivalentne naponske razlike (promene) koja se upoređuje sa otpornošću na zamor za dati broj naponskih ciklusa, Dokaz na zamor koristi Postupak normalne naponske razlike (promene) kod pojedinih kategorija detalja različitih konstruktivnih rešenja. Kategorije detalja su date klasifikacionim tabelama ovog standarda 9.81 do Tabele skicom i opisom razvrstavaju pojedina konstruktivna rešenja u kategorije detalja. Kategorije detalja su označene brojevima: 160, 140, 15, 11, 100, 90, 80, 71, 6, 56, 50, 45, 40, 6. U slučaju da se detalj konstrukcije razlikuje od detalja propisanih klasifikacionim tabelama, a sadrži geometrijski diskontinuitet, tada treba koristiti postupak geometrijske naponske razlike (promene). Ova metoda je takođe razrađena u tekstu. DOKAZ NA ZAMOR ZASNOVAN NA NORMALNIM NAPONSKIM RAZLIKAMA Za opterećenje konstantne amplitude, kriterijum dokaza na zamor dat je narednom jednačinom u kojoj je nominalna naponska razlika (promena), R otpornost na zamor odgovarajuće kategorije detalja, za ukupan broj naponskih ciklusa N tokom zahtevanog računskog veka trajanja. γ R Ff, γmf U slučaju opterećenja promenljive amplitude, definisanog računskim spektrom opterećenja, dokaz na zamor treba da se zasniva na Palgrem-Miner-ovoj teoriji kumulativnog oštećenja. Ako je maksimalna naponska razlika usled opterećenja

12 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA promenljive amplitude, veća od granice zamora konstantne amplitude, tada se primenjuje jedna od dve metode dokaza na zamor: 1. Metoda kumulativnog oštećenja,. Metoda ekvivalentne konstantne amplitude Dokaz metodom kumulativnog oštećenja, izvodi se prema narednoj relaciji (XZ), gde je D d oštećenje promenljive amplitude, n i broj ciklusa naponske razlike i tokom zahtevanog računskog veka trajanja, N i je broj ciklusa naponske razlike γ Ff γ Mf i koji izaziva lom, za odgovarajuću kategoriju detalja prema Tabeli detalja. n D i d = Ni 1, (XZ) Proračun metodom kumulativnog oštećenja može da se zasniva na jednoj od sledećih kriva otpornosti na zamor: 1. Kriva otpornosti na zamor sa jednom konstantom nagiba (m=),. Kriva otpornosti na zamor sa dve konstante nagiba (m=, m=5), koja menja nagib na granici zamora pri konstantnoj amplitudi,. Kriva otpornosti na zamor sa dve konstante nagiba (m=, m=5) i rubnom granicom kod N=100 miliona ciklusa, 4. Kriva otpornosti na zamor sa jednom konstantom nagiba (m=5) i rubnom granicom kod N=100 miliona ciklusa, Slučaj je najopštiji. Uticaji promena napona (naponskih razlika) ispod rubne granice ne utiču na kumulaciju oštećenja i mogu da se zanemare. Broj ciklusa naponskih promena (naponske razlike) N i, može da se odredi u ovom trećem slučaju (kod zamora pri konstantnoj amplitudi D ) na 5 miliona ciklusa, prema sledećim relacijama, koje napred definišu uslov razvrstavanja: Ako D je : D 6, Onda je : Ni 5 10 γ γ Mf Ff =, γ Mf γ Mf D Ako je : D L 6, Onda je : Ni 5 10 γ > γ Mf Ff i = γ Mf γ Mf γ Ff i Ako je : γ L Ff i <, Onda je : Ni =, γ Mf N L je broj promena napona (5 miliona) pri kome je definisana rubna granica. 5, Kod primene metode ekvivalentne konstantne amplitude, dokaz na zamor sprovodi se prema kriterijumu: γ R Ff E, γmf U ovoj relaciji, E je naponska promena (razlika) ekvivalentne konstantne amplitude koja za dati broj ciklusa, dovodi do istog kumulativnog oštećenja kao i računski spektar. R je otpornost na zamor odgovarajuće kategorije detalja, za isti broj ciklusa koji se koristi pri određivanju E. Kod određivanja E i R može da se usvoji pretpostavka upotrebe krive otpornosti na zamor sa jedinstvenom konstantom nagiba m=. Ova pretpostavka je na strani sigurnosti konstrukcije. Alternativno, dokaz na zamor pri ekvivalentnoj konstantnoj amplitudi, može da se izvede proverom specifičnog kriterijuma, dole datog, u kome je E. naponska promena (razlika) ekvivalentne konstantne amplitude za miliona ciklusa, C je referentna vrednost otpornosti na zamor za miliona ciklusa i odgovarajuću kategoriju detalja. Nominalne naponske razlike smičućih napona tretiraju se slično sa nominalnim naponskim razlikama normalnih napona ali se koristi samo jedan deo krive otpornosti sa nagibom m=5. Broj ciklusa naponskih promena (naponske razlike) N i smičućih napona, može da se odredi prema sledećim uslovima: 5 τc τ Ako je : L 6, Onda je : Ni 10 γ γ Mf Ff τi =, γ Mf γ Ff τi τ Ako je : γ L Ff τi <, Onda je : Ni =, γ Mf U slučaju kombinovanog prisustva normalnih i smičućih napona, dokaz na zamor treba da uzme njihovo kombinovano prisustvo. U slučaju kada je ekvivalentna nominalna naponska razlika smičućih napona, manja od 15% ekvivalentne nominalne naponske razlike normalnih napona, uticaji naponskih razlika smičućih napona mogu da se zanemare. Na lokacijama koje se proveravaju, ukoliko su normalni i smičući naponi menjaju istovremeno pri istim događanjem opterećenja, ili se pravci glavnih napona ne menjaju značajno pri promeni opterećenja, može se koristiti naponska razlika maksimalnog glavnog napona. U suprotnom slučaju, ukoliko se na istoj lokaciji, normalni i smičući naponi menjaju nezavisno jedan od drugog, primenjuje se pojedinačno određivanje komponenata oštećenja D d. i D d.τ korišćenjem Palgrem-Miner-ovu teoriju oštećenja za kombinaciju dejstva:

13 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA n n D D 1, D i, D i d. d. τ d. d. τ, Ni N + = = (XXXZ) i τ Kod korišćenja naponskih razlika ekvivalentne konstantne amplitude, ovaj kriterijum ima formu: γ Ff E R γ Mf γ Ff τ + E τr γ Mf 5 1, DOKAZ NA ZAMOR ZASNOVAN NA GEOMETRIJSKIM NAPONSKIM RAZLIKAMA Geometrijski napon je maksimalni glavni napon u osnovnom materijalu, neposredno do ivice šava (kod zavarenih spojeva), koji obuhvata samo spoljašnju geometriju detalja, isključujući uticaje lokalnih koncentracija napona usled geometrije šava i diskontinuitete na ivici šava. U cilju provere na zamor, mora da se pronađe maksimalna vrednost geometrijske naponske razlike različitih tačaka na ivici šava oko zavarenog spoja, odnosno oblast koncentracije napona. Geometrijski naponi dalje mogu biti određeni korišćenjem koeficijenata koncentracije napona za parametarske odnose geometrija detalja. Takođe može biti upotrebljena analiza metodom konačnih elemenata ili eksperimentalna analiza. Dalje se dokaz na zamor tretira slično kao dokaz na zamor zasnovan na nominalnim naponskim razlikama, pri čemu se logično nominalna naponska razlika ovde zamenjuje pojmom geometrijske naponske razlike. OTPORNOST NA ZAMOR Otpornost na zamor definisana je grupom kriva na dijagramu log R log N. Svaka kriva se odnosi na određenu kategoriju detalja za koju je definisana vrednost otpornosti na zamor u N/mm. Krive otpornosti na zamor za naponske promene (razlike) normalnih napona, date su na sledećem dijagramu. Jednačine kriva otpornosti na zamor date su relacijom: log N = log a m log R U ovoj relaciji R je otpornost na zamor, N je broj ciklusa trajanja naponske promene, m=, m=5, je nagib krive otpornosti na zamor, log a je konstanta krive otpornosti na zamor. Slična je kategorija sledećeg dijagrama za smičuće napone. Krive otpornosti na zamor dobijene su iz eksperimentalnih istraživanja za odgovarajuće kategorije detalja u kojima učestvuju diskontinuiteti šavova, zaostali naponi, metalurški uslovi, uticaji tehnologije zavarivanja. Neke specifičnosti se ispoljavaju i u niskom naponskom nivou zaostalih napona kod geometrijski malih uzoraka. Tamo gde detalji nisu klasifikovani, primenjuje se metoda geometrijskih naponskih razlika.

14 ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 4

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 Napomene: Pitanja služe kao priprema za izradu testova iz Otpornosti Materijala I, koji se polažu parcijalno i integralno. Testovi su koncipirani kao

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON Gredni nosač može biti spoljnim silama napregnut na razne načine, pa tako postoji aksijalno naprezanje, čisto savijanje, savijanje silama, torzija,

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Zgradarstvo : Mostogradnja: Specijalne (inženjerske) konstrukcije: Prednosti čeličnih konstrukcija Nedostaci čeličnih konstrukcija

Zgradarstvo : Mostogradnja: Specijalne (inženjerske) konstrukcije: Prednosti čeličnih konstrukcija Nedostaci čeličnih konstrukcija 1. Primena celicnih konstrukcija u gradjevinarstvu Zgradarstvo : sportske dvorane izložbene hale, višespratne zgrade, industrijske hale, krovovi stadiona, hangari... Mostogradnja: drumski mostovi, železnički

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE U SPLITU SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA Predavanja za stručni studij BRODOGRADNJE za šk. god. 2006/2007. Split, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja Osnovni pojmovi Kruto telo Rastojanje ma koje tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa a. zadatak Sračuna i konstruisa montažni nastavak nosača izrađenog od vruce valjanog profila prema zadam presečnim silama:ved = 300 kn MEd = 1000 knm. Za nosač usvoji odgovarajući HEB valjani profil. Nastavak

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d Proračun štapova na zatezanje i pritisak Osnova za proračun je zadovojenje nejednačine, max d gde je max maksimum apsoutne vrednosti normanog napona štapa a d je dozvojeni normani napon Ovakva nejednakost

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ : BROJNI PRIMER 4 Armrano etonsk temeljn nosač (slka 63), fundran je na dun od D f =15m, u sloju poto-pljenog peska relatvne zjenost D r 75% Odredt sleganje w, nag θ, transverzalnu slu T, moment savjanja

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

unutrašnja opterećenja

unutrašnja opterećenja * Ravnoteža u deformabilnom tijelu Koncentrisana sila (idealizacija) Površinska sila Spoljašnja opterećenja: površinske i zapreminske sile Reakcije oslonaca Jednačine ravnoteže Linearna raspodjela opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Proračun toplotne zaštite

Proračun toplotne zaštite Proračun toplotne zaštite za objekat Stambeni objekat urađen prema JUS U.J5.600 iz 1998 i JUS U.J5.510 iz 1987 godine. Sadržaj - analiza konstrukcija - analiza linijskih gubitaka - proračun toplotnih transmisionih

Διαβάστε περισσότερα

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I ODRŽAVANJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I ODRŽAVANJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Odsek za konstrukcije Katedra za materijale i konstrukcije (MIK) IV godina studija (28+14) VIII semester (2+1) SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I ODRŽAVANJE BETONSKIH

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1.1 PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON I OPŠTE ODREDBE 1 Ovim pravilnikom propisuju se uslovi i zahtevi koji moraju biti ispunjeni pri projektovanju,

Διαβάστε περισσότερα

Snimanje karakteristika dioda

Snimanje karakteristika dioda FIZIČKA ELEKTRONIKA Laboratorijske vežbe Snimanje karakteristika dioda VAŽNA NAPOMENA: ZA VREME POSTAVLJANJA VEŽBE (SASTAVLJANJA ELEKTRIČNE ŠEME) I PRIKLJUČIVANJA MERNIH INSTRUMENATA MAKETA MORA BITI ODVOJENA

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine ašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ ašinski elementi 1/ Predavanje.1 OSOVINE I VRATILA.1.1. Uvod Vratila i osovine, kao osnovni elementi obrtnog kretanja, moraju uvek biti preko kliznih i kotrljajnih

Διαβάστε περισσότερα

11. ZUPČASTI PRENOSNICI

11. ZUPČASTI PRENOSNICI . ZUČASTI RENOSNICI.. CILINDRIČNI ZUČANICI SA RAVIM ZUBIMA (CZZ) Zadatak... (Skica CZZ) otrebno je skicirati cilindrični cilindrični zupčanik sa pravim zupcima, obeležiti njegove dimenzije i navesti podatke

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

5. ANALIZE STABILNOSTI KOSINA

5. ANALIZE STABILNOSTI KOSINA 5. ANALIZE STABILNOSTI KOSINA 1 UVOD Analize stabilnosti kosine provode se radi utvrđivanja moguće pojave sloma u prirodnoj ili umjetnoj kosini ili radi utvrđivanja parametara čvrstoće materijala u kosinama

Διαβάστε περισσότερα

Preuzeto iz elektronske pravne baze Paragraf Lex

Preuzeto iz elektronske pravne baze Paragraf Lex www.paragraf.rs Preuzeto iz elektronske pravne baze Paragraf Lex Ukoliko ovaj propis niste preuzeli sa Paragrafovog sajta ili niste sigurni da li je u pitanju važeća verzija propisa, poslednju verziju

Διαβάστε περισσότερα

Otvorene mreže. Zadatak 1

Otvorene mreže. Zadatak 1 Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1)

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) UNIVERZITET U NOVOM SADU 2012 03 FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 07. April 2012 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) Zadatak 1 (100%) - eliminatorni

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα