BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar"

Transcript

1 BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

2 Sadržaj Granična stanja prslina 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

3 Sadržaj Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

4 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Kada u AB elementima naponi zatezanja dostignu čvrstoću betona pri zatezanju, dolazi do pojave prslina Naponi zatezanja se javljaju, pre svega, kao posledica delovanja opterećenja, ali i kao posledica prinudnih deformacija, npr. skupljanja betona, promene temperature Podrazumeva se da u AB elementu postoji dovoljna količina armature (minimalna armatura) koja je sposobna da, posle otvaranja prslina, bez plastifikacije prihvati celokupne napone zatezanja

5 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Osnovni uzrok pojave prslina je relativno niska čvrstoća betona pri zatezanju Oblik, širina, dužina i dubina prslina, njihov položaj, pravac prostiranja, međusobno rastojanje i ukupan broj, kao i trenutak pojave prslina i njihove promene u toku vremena, veoma su različiti i zavise od čitavog niza faktora Posmatraju se prsline izazvane naponima u betonu (naponske prsline)

6 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama U normalno projektovanim AB konstrukcijama prsline su neminovnost Proračun prslina se vrši zbog kontrole širine prslina Ograničenje širine prslina je zbog sprečavanja ulaska tečnosti i gasova kroz prsline radi: - zaštite armature od korozije - zaštite betona od korozije - obezbeđenja vodonepropustljivosti AB konstrukcija - obezbeđenja prihvatljivog estetskog izgleda isprskalih AB konstrukcija

7 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Proračunom prema graničnom stanju prslina dokazuje se da karakteristična širina prslina a pk (t) nije veća od granične vrednosti širine prslina a pu : a pk (t) a pu (1) Karakteristična širina prslina a pk (t) data je sa gde je a pm srednja širina prslina a pk (t) = 1.7 a pm (2) Ovim se obezbeđuje da verovatnoća da stvarna širina pojedinih prslina neće da bude veća od karakteristične širine iznosi 95%

8 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Proračun prslina zasniva se na pretpostavkama idealizovanog stanja prslina: - sve prsline su upravne na osu nosača - sve prsline se prostiru na celoj visini zategnute zone preseka - sve prsline su međusobno jednake širine, odn. širina svih prslina jednaka je srednjoj širini prslina a pm - sve prsline su ravnomerno raspoređene po dužini nosača, odn. međusobno rastojanje svih susednih prslina jednako je srednjem rastojanju prslina l pm - slika prslina je stabilizovana

9 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Srednja širina prslina a pm pretstavlja izduženje zategnute armature, relativno u odnosu na okolni zategnuti beton, na dužini jednakoj l pm

10 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Nastanak i pojava prslina pretstavljaju veoma kompleksnu pojavu Da bi se analizirala tako složena pojava, posmatra se jednostavno naponsko stanje - centrično zatezanje Rešenja za takav slučaj se proširuju i prilagođavaju složenijim naponskim stanjima Analiza prslina je u značajnoj meri empirijskog karaktera - zasnovana je na brojnim eksperimentima

11 Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Eksperimentalna istraživanja prslina u AB nosačima

12 Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Eksperimentalna istraživanja prslina u AB nosačima

13 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Rastojanje između prslina Posmatra se simetrično armirana AB zatega opterećena centričnom silom zatezanja Z Posle otvaranja prve prsline pod opterećenjem Z r sve napone zatezanja u preseku na mestu armature prihvata armatura Na nekom rastojanju l p od prve prsline, zahvaljujući naponima prijanjanja između betona i čelika, ponovo se uspostavlja homogeno naponsko stanje Drugim rečima, stvara se uslov za pojavu sledeće prsline

14 Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Centrično zategnut AB štap i pojava prslina

15 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Rastojanje između prslina Zanemarujući uticaj armature u Fazi I, koji je generalno mali, postavlja se uslov ravnoteže podužnih sila na dužini l p između dve susedne prsline: A b,ef f bz = lp 0 τ p (n π Φ) dx (3) gde je - n... broj armaturnih šipki prečnika Φ - τ p... napon prijanjanja između betona i armature - A b,ef... efektivna površina betona neposredno oko zategnute armature - f bz... čvrstoća betona pri zatezanju

16 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Rastojanje između prslina Ako se na dužini l p usvoji osrednjena vrednost napona prijanjnja τ pm, iz (3) može da se dobije srednje rastojanje između prslina: l pm = f bz τ pm A b,ef n π Φ2 4 Φ 4 = k Φ 1 k 2 (4) µ z gde je: - Φ... prečnik armature - µ z... koeficijent armiranja u odnosu na efektivnu površinu betona: µ z = A a A b,ef

17 Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Srednje rastojanje između prslina i koeficijent k 2

18 Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Efektivna širina zategnutog betona A b,eff

19 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Rastojanje između prslina kao i: - k 1... koeficijent koji zavisi od kvaliteta adhezije armature - k 2... koeficijent koji zavisi od vrste naprezanja Koeficijent k 1 ima vrednosti: - za GA... k 1 = za RA... k 1 = 0.4 Koeficijent k 2 ima vrednosti: - za čisto savijanje... k 2 = za čisto zatezanje... k 1 = 0.25

20 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Rastojanje između prslina Eksperimenti su pokazali da izraz (4) ne daje dovoljno dobre rezultate, jer izrazom nije obuhvaćen uticaj koji na razmak prslina ima zaštitni sloj betona i međusobni razmak šipki armature Uzimajući u obzir i ove parametre, predložen je izraz za srednje rastojanje prslina u obliku ( l pm = 2 a 0 + e Φ 10 ) + k 1 k 2 Φ µ z (5) gde je - a 0... debljina zaštitnog sloja betona, uključujući i debljinu uzengije - e Φ... osovinsko rastojanje šipki armature

21 Sadržaj Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

22 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Kada ne bi postojala veza između betona i armature, srednja širina prsline a pm bila bi jednaka izduženju armature između dve prsline: a pm = ε II a l pm (6) gde je sa ε II a označena dilatacija armature u Fazi II Kako beton između prslina prihvata deo napona zatezanja, izduženje armature treba da se umanji za sadejstvo betona

23 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Prema tome, srednja vrednost dilatacije armature između dve prsline iznosi: ε am = ε II a ε a (7) gde ja sa ε a označeno umanjenje dilatacije zategnute armature zbog uticaja zategnute zone betona između prslina Posmatra se srednja dilatacija zategnute armature između prslina

24 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Srednja dilatacija zategnute armature ima vrednost koja se nalazi između najmanje moguće vrednosti ε I a za naponsko stanje Faze I (za računski model bez prsline) i najveće moguće vrednosti ε II a, za naponsko stanje Faze II (za računski model sa prslinom) Vrednost srednje dilatacije zategnute armature zavisi od sadejstva betona između prslina u prenošenju napona zatezanja Sa porastom sadejstva betona u prenošenju napona zatezanja srednja dilatacija zategnute armature opada, a sa smanjenjem sadejstva dilatacija armature raste

25 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Dilatacija zategnute armature na dužini l pm je promenljiva - zavisi od sadejstva okolnog zategnutog betona Dilatacija zategnute armature se kreće između dve vrednosti: 1 ε I a... dilatacija u preseku bez prsline... dilatacija u preseku bez prsline 2 ε II a Srednja dilatacija zategnute armature ε am između prslina data je sa ε am = (1 ζ) ε I a + ζ ε II a (8)

26 Srednja širina prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina

27 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina U izrazu (8) sa ζ je označen koeficijent raspodele koji je funkcija intenziteta opterećenja: ( ) 2 ζ = 1 β 1 β σar 2 σ 0.4 za Z > Zr (M > M a II r ) ζ = 0 za Z Z r (M M r ) (9) gde je: - β 1... koeficijent koji zavisi od vrste čelika: za RA β 1 = 0.5, za GA β 1 = β 2... koeficijent kojim se uvodi uticaj vremenskih deformacija: za kratkotrajna dejstva β 2 = 1.0, za dugotrajna dejstva β 2 = σ ar... napon u zategnutoj armaturi neposredno pre pojave prslina

28 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Za čisto savijanje izraz (9) se koristi u obliku: ( ) 2 Mr ζ = 1 β 1 β (10) M Za čisto zatezanje izraz (9) se koristi u obliku: ( ) 2 Zr ζ = 1 β 1 β (11) Z Za složeno savijanje koristi se izraz (9) sa naponima σ ar i σ II gde je σa II napon u zategnutoj armaturi, u kritičnom preseku, od eksploatacionog opterećenja a,

29 Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Momenat savijanja M r pri nastanku prslina

30 Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Sila zatezanja Z r pri nastanku prslina

31 Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Složeno savijanje i nastanak prslina

32 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Relativna srednja dilatacija je data sa ε am,r (t) = ε am (t) ε I bz (t) gde je ε am srednja dilatacija zategnute armature data sa (8), dok je ε I bz dilatacija betona u preseku bez prsline data sa ε I b = (1 ζ) εi a Konačno, relativna srednja dilatacija dobija se u obliku ε am,r (t) = ζ ε II a (t)

33 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Srednja širina prslina a pm (t) data je sa a pm = ε am,r l pm, odn. sa a pm (t) = ζ ε II a l pm (12) Karakteristična širina prslina a pk (t) je za 70% veća od srednje širine: a pk (t) = 1.7 a pm (13) Karakteristična širina prsline mora da bude manja od granične prsline a pu a pk(t) a pu (14)

34 Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Granična širina prslina a pu [mm], BAB 87

35 Sadržaj Granična stanja prslina 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

36 Proračun ugiba Najznačajnije deformacije konstrukcija su ugibi Ugibi konstrukcija su bitan aspekt u pravilnom funkcionisanju konstrukcija Bitan je uticaj deformacija i na nekonstruktivne elemente - pregradne zidove, ispune, fasade,... Proračunom prema graničnom stanju deformacija (odn. ugiba) dokazuje se da najveće deformacije (ugibi) v max (t) ne prelaze dozvoljene vrednosti: v max (t) v u (15)

37 Proračun ugiba Dozvoljene (granične) vrednosti ugiba su definisane relativno, u odnosu na raspon posmatranog dela konstrukcije Prema BAB 87 dozvoljene vrednosti ugiba su: - l/ proste i kontinualne grede - l/ konzole - l/ kranske staze

38 Proračun ugiba Proračun ugiba u AB konstrukcijama ne može da se tačno izvrši Glavni razlozi zbog kojih je nemoguće da se precizno izračunaju deformacije su: - karakteristike materijala su (komplikovano) promenljive sa vremenom (skupljanje i tečenje betona) - preseci AB konstrukcija su isprskali - geometrijske karakteristike preseka se menjaju duž ose nosača na komplikovan način - samim tim, krutost AB nosača ne može da se tačno odredi - krutost oslonaca ne može da se precizno odredi (ne samo u pešačkom proračunu) - tačan intenzitet i trajanje opterećenja ne može da se tačno odredi

39 Proračun ugiba Određivanje deformacija (ugiba) vrši se primenom Principa virtuelnih sila, uz zanemarenje uticaja pomeranja oslonaca: ξ = s MM E J ds = 1 s r m (t) M ds = K m (t) M ds (16) s gde je: - ξ... generalisano pomeranje usled generalisane virtuelne jedinične sile P = 1 - M... momenti savijanja usled virtuelne sile P = 1 - M... momenti savijanja usled merodavnog eksploatacionog opterećenja - r m (t)... radijus krivine usled eksploatacionog opterećenja - K m (t)... krivina usled merodavnog eksploatacionog opterećenja

40 Proračun ugiba Krivina AB nosača se menja sa intenzitetom opterećenja koje deluje U početnoj fazi nižih naprezanja, kada se AB element nalazi u Fazi I, deformacije, odn. krivina u merodavnom preseku nije izražena i približno se linearno menja sa intenzitetom opterećenja U Fazi II, kada su preseci sa prslinama, krivina se povećava i znatno više se povećava sa povećanjem opterećenja Sa daljim porastom opterećenja dolazi do formiranja plastičnog zgloba u preseku i krivina se još više povećava (u skladu sa kapacitetom rotacije)

41 Promena krivine AB nosača sa opterećenjem

42 Proračun ugiba Faza I je elastično stanje u kome još uvek ni u jednom preseku grede nije prekoračena čvrstoća betona na zatezanje Deformacije mogu da se izračunaju preko linearne veze momenat - krivina koja važi za homogene materijale Faza II je stanje u kome je došlo do pojave prslina Određivanje zavisnosti momenat - krivina je znatno složenije zbog postojanja diskontinuiteta usled pojave prslina

43 Proračun ugiba Već posle pojave prve prsline znatno opada krutost AB elementa, odn. dolazi do naglog porasta krivine Kada se završi faza formiranja prslina, dostignuto je stabilizovano stanje prslina, dalji porast deformacija se odvija na račun proširenja već postojećih prslina Faza III je stanje pred lom nosača i dolazi do naglog porasta deformacija

44 Proračun ugiba Ako je procenat armiranja mali, u čeliku se javljaju prve plastične deformacije Deformisanje armature omogućava i betonu da uđe u stanje plastičnosti i da se formira plastični zglob Ako je procenat armiranja relativno veliki, u betonu nastaje krti lom pre nego što se formira plastični zglob

45 Proračun ugiba Srednja krivina AB elementa u vremenu t data je, približno, sa 1 r m (t) = K m(t) = dθ m(t) dx Prvi izvod obrtanja po koordinati duž ose štapa je, koristeći Bernulijevu hipotezu o ravnim presecima, jednak dθ m (t) dx = ε bm(t) y = ε bm(t) + ε am (t) h (17) Ovim se dobija veza između krivine i dilatacija poprečnog preseka

46 Promena krivine AB nosača sa opterećenjem

47 Proračun srednje krivine Srednja krivina u vremenu t zavisi od sadejstva okolnog zategnutog betona Srednja krivina se kreće između dve granične vrednosti: 1 K I (t)... krivina u preseku bez prsline 2 K II (t)... krivina u preseku sa prslinom Srednja krivina u vremenu t, za AB gredu izloženu čistom savijanju, može da se prikaže u obliku: K m (t) = K I (t) M M r K m (t) = (1 ζ) K I (t) + ζ K II (18) (t) M > M r

48 Proračun srednje krivine U izrazu (18) uvedene su oznake, osim K I (t) i K II (t), još i: - M r... momenat savijanja pri nastanku prslina - ζ... koeficijent raspodele (kao i u analizi prslina) dat sa ( ζ = 1 β 1 β Mr ) 2 2 M 0.4 za M > Mr (19) ζ = 0 za M M r - β 1... koeficijent koji zavisi od vrste čelika: za RA β 1 = 0.5, za GA β 1 = β 2... koeficijent kojim se uvodi uticaj vremenskih deformacija: za kratkotrajna dejstva β 2 = 1.0, za dugotrajna dejstva β 2 = 0.5

49 Zavisnost srednje krivine K m i opterećenja (M)

50 Proračun srednje krivine u vremenu t 0 Početna srednja krivina K m (t 0 ) u vremenu t = t 0 AB elementa izloženog čistom savijanju takođe se nalazi između dve granične vrednosti krivina: za presek bez prsline i za presek sa prslinom Zato se srednja krivina u vremenu t = t 0 prikazuje analogno izrazu (18): K m (t 0 ) = K I (t 0 ) M M r K m (t 0 ) = (1 ζ) K I (t 0 ) + ζ K II (20) (t 0 ) M > M r

51 Proračun srednje krivine K m (t 0 ) u vremenu t 0 Presek bez prslina u Fazi I Presek sa prslinom u Fazi II

52 Proračun srednje krivine u vremenu t 0 Krivine za presek bez prslina i za presek sa prslinom, prikazane u izrazu (20), date su, redom sa K I (t 0 ) = M E b (t 0 ) Ji I K II (t 0 ) = M E b (t 0 ) Ji II Uvodi se oznaka za krivinu preseka u vremenu t = t 0 usled momenta savijanja M, zasnovanu na momentu inercije bruto betonskog preseka J b : K b = (21) M E b (t 0 ) J b (22)

53 Proračun srednje krivine u vremenu t 0 Uvode se oznake za koeficijente za uticaj armature k I a = J b J I i k II a = J b J II i (23) To su odnosi momenta inercije bruto preseka i idealizovanih momenata inercije za presek bez i sa prslinom Sa ovim oznakama i sa (22), krivine preseka za presek bez prslina i sa prslinom (21) mogu da se prikažu kao K I (t 0 ) = k I a K b K II (t 0 ) = k II a K b (24) Sa ovim, srednja krivina u vremenu t 0 data je sa (20), pri čemu je koeficijent ζ dat sa (19)

54 Proračun srednje krivine u vremenu t Srednja krivina u vremenu t određuje se kao zbir početne krivine i promene krivine usled skupljanja i tečenja betona za naponska stanja I i II: K I (t) = K I (t 0 ) + K I (t) K II (t) = K II (t 0 ) + K II (t) Krivina AB elementa za naponsko stanje Faze I u vremenu t data je sa: K I (t) = ka I [ 1 + k I ϕ ϕ(t, t 0 ) ] K b + ks I ε s (t, t 0 ) d (25)

55 Proračun srednje krivine u vremenu t Slično, krivina AB elementa za naponsko stanje Faze II u vremenu t data je sa: K II (t) = k II a [ 1 + k II ϕ ϕ(t, t 0 ) ] K b + ks II ε s (t, t 0 ) d U izrazima (25) i (26) sa d je označena visina preseka, a uvedeni su koeficijenti ka, I ka II, kϕ, I kϕ II, ks I i ks II Preko koeficijenata ka, I ka II uvodi se uticaj armature i dati su sa (23) (26)

56 Proračun srednje krivine u vremenu t Preko koeficijenata k I ϕ, k II ϕ k I ϕ = 1 n J I i k II ϕ = 1 n J II i uvodi se uticaj tečenja betona: [ Ja + A a (y a2 y I i2)(y a2 y I i2 ) ] [ Ja + A a (y a2 y II i2 )(y a2 y II i2 ) ] (27) Preko koeficijenata k I s, k II s uvodi se uticaj skupljana betona: ks I = n Ji I A a d (y a2 yi2 I ) ks II = n Ji II A a d (y a2 yi2 II ) (28)

57 Proračun srednje krivine u vremenu t U izrazima (27) i (28) uvedene su oznake sa gornjim idneksom (...) U takvim oznakama figuriše n, što je broj ekvivalencije modula elastičnosti armature i betona ali u vremenu t, dakle odnos modula elastičnosti armature i efektivnog modula elastičnosti betona u skladu sa odredbama BAB 87 (odn. AAEM): n = E a E b,eff = E a = n (1 + χ ϕ) (29) E b0 /(1 + χ ϕ) jer je n = Ea E b0

58 Proračun srednje krivine u vremenu t Konačno, srednja krivina preseka u vremenu t data je sa (18): K m (t) = K I (t) M M r K m (t) = (1 ζ) K I (t) + ζ K II (30) (t) M > M r Sa izračunatom krivinom, ugib u vremenu t određuje se prema (16): v(t) = K m (t) M ds (31) Problem je što je potrebno da se odrede krivine u svim presecima nosača s

59 Proračun srednje krivine u vremenu t Ugib može da se odredi primenom numeričke integracije (za nosač jednostavnije konfiguracije) Raspon se podeli na izvestan broj konačnih delova, uz prethodno određivanje preseka gde je momenat savijanja jednak M r (nastanak prslina) U svim diskretnim presecima izračunaju se krivine u vremenu t i vrši se numerička integracija integrala (31) Primenom, npr. trapeznog pravila, dobija se v(t) = l jk [ Km,j (2M j + M k ) + K m,k (M j + 2M k ) ] l jk 6 (32)

60 Numerička integracija u proračunu ugiba

61 Sadržaj Granična stanja prslina 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

62 za proračun deformacija za proračun deformacija je preporučena od strane Evropskog komiteta za beton (CEB) se zasniva na pretpostavci o uprošćenom bilinearnom dijagramu opterećenje - ugib Vrednost ugiba u najvećoj meri zavisi od stanja deformacija u zoni nosača gde virtuelni momenti M i stvarni momenti savijanja M od posmatranog opterećenja dostižu svoje najveće vrednosti To je kritična zona, a presek u kome je najveći (stvarni) momenat savijanja M = M D označava se kao kritičan presek

63 za proračun deformacija za proračun deformacija zasniva se na pretpostavci da je koeficijent raspodele ζ konstantan duž raspona U proračunu koeficijenta ζ koristi se momenat pojave prsline za koji se usvaja da je jednak momentu pojave prsline M rd u kritičnom preseku Za momenat savijanja M u određivanju ζ usvaja se da je jednak vrednosti koje je jednaka geometrijskoj sredini momenata M rd i M D : M = M rd M D (33)

64 za proračun deformacija Sa ovim, naponi u armaturi koji figurišu u izrazu za koeficijent raspodele zeta dati su sa: σ r a1 = M rd z A a1 σ II a1 = M z A a1 gde je z krak unutrašnjih sila u kritičnom preseku Ako se posmatra nosač napregnut na čisto savijanje, izraz za određivanje koeficjenta raspodele ζ dat je sa ( ) 2 MrD ζ = ζ b = 1 β 1 β 2 (34) M D

65 za proračun deformacija Ako se u izraz (34) unese relacija (33), dobija se konačan izraz za koeficijent raspodele: ( ζ b = 1 β 1 β MrD 2 za M D > M rd (35) ζ b = 0 za M M r M D ) Kako je, sa učinjenim pretpostavkama, koeficijent raspodele u bilinearnoj metodi konstantna duž raspona ζ b = const, u proračunu ugiba ζ b može da se izvuče ispred integrala

66 za proračun deformacija Prema tome, izraz za ugib prema bilinearnoj metodi ima oblik: v = (1 ζ b ) K I M dx + ζ b K II M dx (36) s Prvi integral pretstavlja ugib u Fazi I, a drugi integral ugib u Fazi II na mestu prsline Proračuni krivina K I za homogeni presek i K II za isprskali presek za proizvoljan trenutak vremena vrši se primenom AAEM metode (na prikazan način) s

67 za proračun deformacija Ugib (36) može da se prikaže u obliku v(t) = v I (t) M M r v(t) = (1 ζ b ) v I (t) + ζ b v II (37) (t) M > M r Uvode se dodatne pretpostavke da su koeficijenti k a, k ϕ i k s konstantni duž raspona

68 za proračun deformacija Sa ovim pretpostavkama izrazi za ugibe za naponaska stanja za Fazu I i Fazu II mogu da se prikažu u obliku v I (t) = ka I [1 + kϕ I ϕ(t, t 0 )] K b M dx s + ks I ε s (t, t 0 ) M dx d s (38) v II (t) = ka II [1 + kϕ II ϕ(t, t 0 )] K b M dx s + ks II ε s (t, t 0 ) M dx d s

69 za proračun deformacija Uvode se oznake s K b M dx = v b s M dx = δ s l 2 8 gde je - v b... početni ugib neisprskalog elementa konstantne krutosti E b (t 0 ) J b - δ s... koeficijent koji zavisi od statičkog sistema nosača

70 za proračun deformacija Sa ovim oznakama izrazi za ugibe za naponaska stanja za Fazu I i Fazu II mogu da se prikažu u konačnom obliku v I (t) = ka I [1 + kϕ I ϕ(t, t 0 )] v b + ks I l 2 δ s 8d ε s(t, t 0 ) v II (t) = ka II [1 + kϕ II ϕ(t, t 0 )] v b + ks II l 2 δ s 8d ε s(t, t 0 ) (39) Linearizacija koja je usvojena u bilinearnoj metodi omogućava da se izrade odgovarajući dijagrami sa korekcionim koeficijentima koji uzimaju u obzir uticaje armature, prslina, tečenja i skupljanja betona

71 za proračun deformacija Proračun ugiba vrši se na način koji je uobičajen za elastične ugibe greda od homogenog materijala Posle toga, se uticaji koji su karakteristični za AB grede (armatura, prsline, skupljanje i tečenje) uzimaju u obzir primenom korekcionih koeficijenata Korekcioni koeficijenti se određuju pomoću odgovarajućih dijagrama (dati su u Priručniku CEB-a)

72 Sadržaj Granična stanja prslina 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

73 za proračun deformacija je približna emoirijska metoda dobijena na osnovu brojnih eksperimenata Koristi se posebno u USA, ali i u drugim zemljama, jer je (relativno) jednostavna i daje zadovoljavajuće rezultate Ugibi sa računaju na uobičajen način kao za elastične grede od homogenog materijala, ali se pri tome koristi efektivni momenat inercije J ef Ovaj postupak unet je u američke propise za betonske konstrukcije ACI

74 za proračun deformacija Efektivni momenat inercije J ef je definisan u obliku J ef = ( ) [ 3 Mr J b + 1 M ( ) ] 3 Mr Ji II (40) M Uvedene su sledeće oznake u (40): - J b... momenat inercije betonskog poprečnog preseka - Ji II... momenat inercije idealizovanog poprečnog preseka u Fazi II - M r... momenat pojave prsline, određen kao M r f bzs W b1 - M... momenat savijanja od opterećenja za koje se vrši proračun ugiba

75 Efektivni momenat inercije usled prslina

76 za proračun deformacija Upotrebom izraza (40) dovoljno dobro se aproksimira stvarno ponašanje AB elemenata sa prslinama opterećenim na savijenje, u domenu eksploatacionog opterećenja Za momente savijanja M > M r vrednost efektivnog momenta inercije kreće se između dve granične vrednosti J b i Ji II Što je veći odnos M/M r, vrednost J ef teži ka Ji II, odn. udeo zategnute zone betona između prslina na veličinu J ef postaje sve manji, čime se znatno manjuje i krutost grede

77 Odnos M K kod grednih nosača

78 za proračun deformacija Primenjujući izraz (40) za određivanje efektivnog momenta inercije grednog nosača, ugibu vremenu t = t 0 izračunava se prema relaciji - za uticaje stalnog opterećenja g: v g = k M g l 2 E b J ef (41) - za uticaje stalnog i korisnog opterećenja g + p: v g+p = k M g+p l 2 E b J ef (42) gde je k koeficijent koji zavisi od statičkog sistema (npr., za prostu gredu je k = 5/48)

79 za proračun deformacija Povećanje ugiba usled vremenskih deformacija betona, za stalno opterećenje, određuje se preko izraza: v g (t) = α ϕ v g (t 0 ) (43) gde je ϕ koeficijent tečenja, dok je α koeficijent kojim se uzima u obzir činjenica da prisustvo pritisnute armature smanjuje deo ugiba koji nastaje kao posledica vremenskih deformacija betona: α = A a2 A a1 0.8

80 za proračun deformacija Da bi se smanjili ugibi usled tečenja, treba da se poveća količina pritisnute armature Ugib u proizvoljnom trenutku vremena t, usled stalnog i povremenog opterećenja, dobija se kao zbir početnog ugiba od ukupnog opterećenja g + p i priraštaj u vremenu t od stalnog opterećenja: v(t) = v g+p (t 0 ) + v g (t) (44) Treba da se istakne da superpozicija ugiba od dva različita opterećenja važi samo za stanje bez prslina

81 za proračun deformacija Kada se javljaju prsline, što je redovno slučaj u AB konstrukcijama pri delovanju maksimalnog eksploatacionog opterećenja, postoji izrazita nelinearnost funkcije opterećenje - deformacije, pa direktna superpozicije nije moguća: v g+p v g + v p Ugib u trenutku t, na delu elementa koji je isprskao, nelinearna je funkcija M, odn. opterećenja, tako da ne važi superpozicija

82 Superpozicija uticaja kod isprskalih AB elemenata Kod isprskalih AB elemenata veza opterećenja i ugiba je nelinearna, tako da ne važi princip superpozicije

83 Početno nadvišenje dela konstrukcije Jedna od mera za smanjenje ugiba usled stalnog opterećenja je da se delovi konstrukcije izvode sa početnim nadvišenjem To znači da se skela (i oplata) dela konstrukcije izvedu tako da postoji početno nadvišenje (ugib na gore) Skela se uklanja posle očvršćavanja betona i posle apliciranja dodatnog stalnog i korisnog opterećenja može da se postigne da konačni ugibi budu minimalni (ili nula)

84 Sadržaj Granična stanja prslina Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

85 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Posmatra se pravougaoni presek AB elementa u kome vlada čisto savijanje, pod uticajem eksploatacionog opterećenja Poznate su geometrijske i mehaničke karakteristike preseka: dimenzije preseka, količina i raspored armature, kvalitet materijala, kao i sile u preseku, u ovom slučaju samo momenat savijanja Nepoznati su naponi i odgovarajuće dilatacije u preseku

86 Određivanje napona u preseku Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Dvostruko armiran pravougaoni presek pod uticajem čistog savijanja: naponi i dilatacije

87 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Usvajaju se sledeće pretpostavke: 1 važi Bernulijeva hipoteza ravnih preseka - raspordela dilatacija po visini preseka je linearna 2 kompletnu silu zatezanja prihvata samo armatura - na delu ispod neutralne linije naponi u betonu jednaki su nuli (σ b 0) 3 veza napon - dilatacija za oba materijala (beton i čelik) data je Hukovim zakonom: σ b = E b ε b σ a = E a ε a = n E b ε a n = E a E b Odavde sledi da je i raspodela napona po visini preseka linearna

88 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Na osnovu usvojenih pretpostavki i definisanja odgovarajućih relacija između nepoznatih, broj nepoznatih veličina može da se svede na dve Za nepoznate veličine se biraju koeficijent položaja neutralne linije s i napon u betonu σ b (u najudaljenijem pritisnutom vlaknu) Broj uslova ravnoteže između spoljašnjih i unutrašnjih sila je takođe dva: N = 0, kao i M a = 0

89 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Uslovi ravnoteže između spoljašnjih i unutrašnjih sila su: N = 0 : Db + D a Z a = N = 0 Ma = 0 : D b (h x 3 ) + D a (h a 2 ) = M a = M (45) Položaj neutralne linije i dilatacije u zategnutoj i pritisnutoj armaturi mogu da se izraze preko dilatacije u betonu

90 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Koeficijent položaja neutralne ose s definisan je sa s = x/h i može da se prikaže preko dilatacija: s = x h = ε b ε b + ε a1 (46) Iz relacije (46) dobija se dilatacija u zategnutoj armaturi ε a1 = 1 s s ε b (47)

91 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Iz sličnosti trouglova raspodele dilatacija dobija se dilatacija u pritisnutoj armaturi ε a2 = x a 2 x ε b = s α 2 s gde je α 2 koeficijent položaja pritisnute armature α 2 = a 2 h ε b (48)

92 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Unutrašnja sila u betonu može da se prikaže kao D b = σ b b x 2 (49) Sile u pritisnutoj i zategnutoj armaturi date su u obliku: D a = σ a2 A a2 = E a ε a2 µ 2 b h = n E b s α 2 ε b µ 2 b h s Z a = σ a1 A a1 = E a ε a1 µ 1 b h = n E b 1 s ε b µ 1 b h s (50)

93 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Izrazi za sile D b, D a i Z a unose se u uslov ravnoteže normalnih sila (45)/1, pa se dobija s 2 + n µ 2 s α 2 n µ 1 1 s = s s N b h E b ε b = 0 Sređivanjem se dobija kvadratna jednačina po koeficijentu položaja neutralne ose s: s n (µ 1 + µ 2 ) s 2 n (µ 1 + µ 2 + α 2 ) = 0 (51)

94 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku U prikazanim izrazima, kao što je poznato, n je broj ekvivalencije, t.j. odnos modula elastičnosti čelika i betona: n = E a /E b Položaj neutralne ose s određuje se iz uslova ravnoteže normalnih sila Iz dobijeog izraza za koeficijent s (51) vidi se da položaj neutralne ose ne zavisi od intenziteta spoljašnjeg opterećenja, već samo od količine i rasporeda armature u preseku Povećanjem spoljašnjih uticaja povećavaju se naponi u betonu iarmaturi, ali položaj neutralne ose ostaje isti

95 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Napon u betonu σ b određuje se iz uslova ravnoteže momenata Unošenjem izraza za unutrašnje sile u uslov ravnoteže momenata (45)/2 dobija se: σ b b x 2 (h x 3 ) + n σ b x a 2 x Deljenjem izraza sa b h 2 dobija se µ 2 b h (h a 2 ) = M a = M s σ b 2 (1 s 3 ) + n σ s α 2 b µ 2 (1 α 2 ) = M s b h 2 (52)

96 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Najzad, rešavanjem jednačine (52) po σ b dobija se konačan izraz za napon u betonu σ b : σ b = M b h 2 s s 2 2 (1 s 3 ) + n µ 2 (s α 2 ) (1 α 2 ) (53) Izraz (53) se češće piše u obliku koji važi za poprečni presek proizvoljnog oblika, sa jednom ravni simetrije, koja se poklapa sa ravni savijanja i koji je izložen proizvoljnom savijanju (čistom ili složenom): σ b = M a b h 2 s J IIb + n µ 2 (s α 2 ) (1 α 2 ) (54)

97 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Iz izraza (54) dobija se dilatacija u betonu ε b : ε b = σ b E b (55) U izrazu (54) uvedena je oznaka za integralnu funkciju J IIb koja je zavisna od oblika pritisnute zone betonskog preseka Za pravougaoni presek integralna funkcija J IIb zavisi samo od položaja neutralne ose: J IIb = s2 2 (1 s 3 ) = J Ib ζ b (56)

98 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku U izrazu (56) uvedene su oznake - J Ib... integralna funkcija zavisna od oblika preseka, pomnožena sa bh σ b pretstavlja statički momenat površine pritisnuteog dela preseka u odnosu na težište idealizovanog preseka (pretstavlja neutralnu liniju) - J IIb /s... integralna funkcija zavisna od oblika preseka, pomnožena sa bh 2 σ b pretstavlja statički momenat sile pritiska u betonu u odnosu na težište zategnute armature - ζ b... krak unutrašnjih sila ζ b = J IIb J Ib 0.90

99 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Najzad, naponi u zategnutoj i pritisnutoj armaturi dobijaju se prema izrazima σ a1 = n σ b 1 s s σ a2 = n σ b s α (57) 2 s Dilatacije u armaturi date su, posle izračunatih napona, sa ε a1 = σ a1 E a ε a2 = σ a2 E a (58)

100 Sadržaj Granična stanja prslina Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

101 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Posmatra se pravougaoni presek AB elementa u kome vlada složeno savijanje, pod uticajem eksploatacionog opterećenja Poznate su geometrijske i mehaničke karakteristike preseka: dimenzije preseka, količina i raspored armature, kvalitet materijala, kao i sile u preseku, u ovom slučaju momenat savijanja i normalna sila pritiska Nepoznati su naponi i odgovarajuće dilatacije u preseku

102 Određivanje napona u preseku Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Dvostruko armiran pravougaoni presek pod uticajem složenog savijanja: naponi i dilatacije

103 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Sve pretpostavke, kao i postupak proračuna isti su kao što je prikazano za slučaj čistog savijanja Iz uslova ravnoteže normalnih sila dobija se kubna jednačina za keoficijent s: ( s 3 ea n ) h 1 s 2 + 6n ( ea1 h µ 1 + e ) a2 h µ 2 α 2 = 0 ( ea1 h µ 1 + e ) a2 h µ 2 s (59)

104 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku U jednačini (59) uvedene su oznake za ekscentricitet normalne sile N u odnosu na zategnutu i pritisnutu armaturu (videti prikazanu sliku): e a1 = e + y a1 = M N + d 2 a 1 e a2 = e y a2 = M N d 2 + a 2 (60) Kada se odredi položaj neutralne linije rešavanjem kubne jednačine, napon u betonu se izračunava iz izraza (54) Sa izračunatim naponom u betonu, naponi u armaturi se određuju iz relacija (57)

105 Sadržaj Granična stanja prslina Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

106 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Posmatra se presek oblika T AB elementa u kome vlada čisto ili složeno savijanje, pod uticajem eksploatacionog opterećenja Poznate su geometrijske i mehaničke karakteristike preseka: dimenzije preseka, količina i raspored armature, kvalitet materijala, kao i sile u preseku, u ovom slučaju momenat savijanja i normalna sila pritiska Nepoznati su naponi i odgovarajuće dilatacije u preseku Pretpostavlja se da je neutralna osa unutar rebra x > d p

107 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Uz uobičajne oznake za gredu T preseka (B je aktivna širina ploče, d p je debljina ploče, b je širina rebra, d je ukupna visina grede), uvode se i oznake: µ 1 = A a1 bh δ = d p h µ 2 = A a2 bh α 2 = a 2 h n = E a E b (61)

108 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Može da se pokaže da u integralne funkicje za gredu T preseka date sa J Ib = B s 2 ( ) B (s δ) 2 b 2 b 1 2 J IIb = B s 2 b 2 (1 s ( ) ( B (s δ) 2 3 ) b 1 1 s + 2δ ) 2 3 (62)

109 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Položaj neutralne linije s određuje se iz uslova ravnoteže normalnih sila Za slučaj čistog savijanja dobija se jednačina n(µ 1 + µ 2 ) s J Ib + n(µ 1 + µ 2 α 2 ) = 0 (63) Za slučaj složenog savijanja dobija se jednačina ( ea1 n h µ 1 + e ) a2 h µ 2 s + J IIb e a1 h J Ib ( ea1 + n h µ 1 + e ) (64) a2 h µ 2 α 2

110 Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Prvo se odrede integralne funkcije za T presek (62), kao i koeficijenti (61) Kada se odredi položaj neutralne linije rešavanjem jednačina (63) ili (64), napon u betonu se izračunava iz izraza (54) Sa izračunatim naponom u betonu, naponi u armaturi se određuju iz relacija (57) Ukoliko se neutralna osa nalazi u ploči x < d p, proračun se (ponovo) sprovodi za pravougaoni presek širine B, pri čemu su koeficijenti armiranja µ 1 i µ 2 određeni u odnosu na B

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - "T" PRESEK Na skici dole su prikazane sve potrene geometrijske veličine, dijagrami dilatacija i napona,

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A Odsek za konstrukcije 25.01.2012. grupa A 1. 1.1 Za nosač prikazan na skici 1 odrediti dijagrame presečnih sila. Sopstvena težina je uključena u stalno opterećenje (g), a povremeno opterećenje (P1 i P2)

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit ODSEK ZA KONSTRUKCIJE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA. grupa A. p=60 kn/m. 7.

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit ODSEK ZA KONSTRUKCIJE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA. grupa A. p=60 kn/m. 7. ODSEK ZA KONSTRUKCIJE 28.01.2015. grupa A g=50 kn/m p=60 kn/m 60 45 15 75 MB 35, RA 400/500 7.5 m 5 m 25 1.1 Odrediti potrebnu površinu armature u karakterističnim presecima (preseci na mestima maksimalnih

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca . Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 25.12.2012. grupa A 1. 1.1 Dimenzionisati prema momentima savijanja (Mu) karakteristične preseke nosača prikazanog na skici 1. Prilikom dimenzionisanja obezbediti graničnu

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br i email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje

Διαβάστε περισσότερα

Bočno-torziono izvijanje. Metalne konstrukcije 1 P7-1

Bočno-torziono izvijanje. Metalne konstrukcije 1 P7-1 Bočno-torziono izvijanje etalne konstrukcije 1 P7-1 etalne konstrukcije 1 P7- etalne konstrukcije 1 P7-3 Teorijske osnove Problem je prvi analizirao Timošenko. Linearno elastična teorija bočno-torzionog

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON Gredni nosač može biti spoljnim silama napregnut na razne načine, pa tako postoji aksijalno naprezanje, čisto savijanje, savijanje silama, torzija,

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1

Betonske konstrukcije 1 Betonske konstrukcije 1 Prof.dr Snežana Marinković Doc.dr Ivan Ignjatović GF Beograd Betonske konstrukcije 1 1 Sadržaj Uvod Osnove proračuna Osobine materijala ULS-Savijanje ULS-Smicanje ULS-Stabilnost

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE ESPB: 6. Semestar: V. Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović

BETONSKE KONSTRUKCIJE ESPB: 6. Semestar: V. Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović 1 BETONSKE KONSTRUKCIJE Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović Semestar: V ESPB: 6 LITERATURA BETONSKE KONSTRUKCIJE Najdanović Dušan BETON I ARMIRANI BETON 87 1 Priručnik 2 Prilozi OSOBINE

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

METALNE KONSTRUKCIJE II

METALNE KONSTRUKCIJE II METALNE KONSTRUKCIJE II 1 Predmet br. teme Dodatne napomene objašnjenja uputstva NASLOV PODNASLOV PODNASLOV Osnovni sadržaj. Važniji pojmovi i sadržaji su štampani kao bold. Legenda dodatnih grafičkih

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

MASTER RAD KONTROLNI PRORAČUN IZVEDENIH MOSTOVA SEKTORA 8, AUTOPUTNOG PRAVCA E80 (KORIDOR 10)

MASTER RAD KONTROLNI PRORAČUN IZVEDENIH MOSTOVA SEKTORA 8, AUTOPUTNOG PRAVCA E80 (KORIDOR 10) Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet MASTER RAD KONTROLNI PRORAČUN IZVEDENIH MOSTOVA SEKTORA 8, AUTOPUTNOG PRAVCA E80 (KORIDOR 10) Petar Radosavljević MRG 148/12 Niš, oktobar 2015. Ispitna

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 Napomene: Pitanja služe kao priprema za izradu testova iz Otpornosti Materijala I, koji se polažu parcijalno i integralno. Testovi su koncipirani kao

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

Totalni napon u tački preseka. Normalni i tangencijalni napon.

Totalni napon u tački preseka. Normalni i tangencijalni napon. Totalni napon u tački preseka. Normalni i tangencijalni napon. Zamislimo da je opterećeno elastično telo nekom proizvoljnom ravni presečeno na dva dela. Odbačeni desni deo tela, na posmatrani levi, na

Διαβάστε περισσότερα

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I ODRŽAVANJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I ODRŽAVANJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Odsek za konstrukcije Katedra za materijale i konstrukcije (MIK) IV godina studija (28+14) VIII semester (2+1) SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I ODRŽAVANJE BETONSKIH

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE

Διαβάστε περισσότερα

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI 3/7/013 CETRIČO PRITISUTI ELEMETI 1 Primeri primene 1 3/7/013 Oblici poprečnih presea 3 Specifičnosti pritisnutih elemenata ivijanje Konrola napona u poprečnom preseu nije dovoljan uslov a dimenionisanje;

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKTOVANJEI GRA ENJEBETONSKIH KONSTRUKCIJA

PROJEKTOVANJEI GRA ENJEBETONSKIH KONSTRUKCIJA GRA EVINSKI FAKULTET UBEOGRADU PROJEKTOVANJEI GRA ENJEBETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 12.06.2013. p=10 kn/m 2 p=8kn/m 2 p=10 kn/m 2 25 W=±60 kn 16 POS 1 80 60 25 25 POS 1 60 POS 3 60 POS 4 POS 2 POS 3 POS 4 POS

Διαβάστε περισσότερα

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Odsek za konstrukcije Katedra za materijale i konstrukcije (MIK) Master studije (28+28) I semester (2+2) Prof. dr Dušan Najdanović SANACIJE, REKONSTRUKCIJE

Διαβάστε περισσότερα

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa a. zadatak Sračuna i konstruisa montažni nastavak nosača izrađenog od vruce valjanog profila prema zadam presečnim silama:ved = 300 kn MEd = 1000 knm. Za nosač usvoji odgovarajući HEB valjani profil. Nastavak

Διαβάστε περισσότερα

Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka

Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka Metalne konstrukcije 1 P6-1 Osobenosti višedelnih štapova Poprečni presek se sastoji od više samostalnih elemenata koji su mestimično povezani;

Διαβάστε περισσότερα

METALNE I DRVENE KONSTRUKCIJE VEŽBE BR.1-1. Označavanje čelika je visoko standardizovano. Usvojen je Evropski sistem označavanja.

METALNE I DRVENE KONSTRUKCIJE VEŽBE BR.1-1. Označavanje čelika je visoko standardizovano. Usvojen je Evropski sistem označavanja. 3/7/013 Označavanjeavanje čelika i osnove proračuna METLNE I DRVENE KONSTRUKCIJE VEŽBE BR.1-1 1 Označavanje čelika Označavanje čelika je visoko standardizovano. Usvojen je Evropski sistem označavanja.

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: TORZIJA GREDE

OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: TORZIJA GREDE O1 V10 V11 me i prezime: nde br: 1 9.1.015. 9. TORZJA GREDE 9.1 TORZJE GREDE KRUŽNOG PRSTENASTOG POPREČNOG PRESEKA orzije grede kružnog poprečnog preseka Slika 9.4 r (9.8) 0 0 r R 0 0 1 R (9.11) π (9.1)

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 BETONSKE KONSTRUKCIJE RAMOVSKE KONSTRUKCIJE Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović Semestar: V ESPB: Ramovske konstrukcije 1.1. Podela 1.2. Statički sistemi i statički proračun 1.3. Proračun

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1)

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) UNIVERZITET U NOVOM SADU 2012 03 FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 07. April 2012 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) Zadatak 1 (100%) - eliminatorni

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja Osnovni pojmovi Kruto telo Rastojanje ma koje tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

Određivanje statičke šeme glavnog nosača

Određivanje statičke šeme glavnog nosača 1 PRORAČUN GLAVNIH NOSAČA Određivanje statičke šeme glavnog nosača Konstrukcijska i statička šema za jednobrodnu halu Konstrukcijska i statička šema za dvobrodnu halu 3 Metode globalne analize materijalna

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 017. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) () () 600 (B) 600 (B) 500 () 500 () SDRŽJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01... 3.1. naliza opterećenja ploče POZ 01-01...

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 27. avgust 2012 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU

UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 27. avgust 2012 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU UNIVERZITET U NOVOM SADU 01 08 FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 7. avgust 01 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit Zadatak 1 je eliminatornog tipa (kvalifikuje

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα