3.2 PET ako ukážka modernej fyziky
|
|
- Καλυψώ Γαλάνη
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Cenou, ktorú však fyzici za to museli zaplatiť, bolo, že veľa pojmov a predstáv klasickej fyziky stratilo zmysel alebo nadobudlo nový ak sa vzďaľujeme od oblasti javov našej každodennej skúsenosti. Napríklad o elektróne v atóme už nemôžeme uvažovať ako o častici klasickej fyziky, akou je hoci zrnko peľu či prachu. Pri interakcii žiarenia s atómom nemôžeme žiarenie považovať za vlnenie s energiou spojito rozloženou v priestore, pretože sa tu prejavujú kvantové vlastnosti žiarenia. Kvantová fyzika je veľmi náročná teória, ktorá patrí skôr na vysokú školu. V tejto učebnici sa budeme zaoberať len s niektorými experimentmi, ktoré viedli k jej vzniku. Pokus o jednoduchý výklad princípov kvantovej fyziky možno nájsť v predchádzajúcom vydaní tejto učebnice alebo na serveri FYZIKUS. Ako úvod na zahriatie si podrobnejšie všimneme, ako sa nové poznatky z fyziky mikrosveta využívajú v jednom zo súčasných vedou podložených prístrojov modernej medicíny. 3.2 PET ako ukážka modernej fyziky Úvodná poznámka V roku 1896 vzrušené auditórium zhromaždení vedci, profesori a študenti, ale aj lekári, inžinieri a ďalší s napätím očakávali prednášku profesora WILHELMA RÖNTGENA o objave tajomných X-lúčov. Profesor Röntgen ich očakávania nesklamal. V praktickej ukážke počas prednášky dal zhotoviť pomocou týchto lúčov snímok ruky jedného z účastníkov. Pri pohľade na zobrazené kosti ruky na snímke nadšené obecenstvo nevychádzalo z údivu a navrhlo okamžite pomenovať lúče röntgenovým žiarením. Röntgenové žiarenie preniklo ľudským telom, akoby bolo priesvitné, a dokázalo vytvoriť negatívnu fotografiu vnútra človeka. Vznikla prvá revolučná neinvazívna (povrch tela neporušujúca) diagnostická metóda. Za tento objav bola Röntgenovi udelená prvá Nobelova cena za fyziku. V súčasnosti je röntgen neodmysliteľnou pomôckou lekára a nájdeme ho v každej nemocnici. Lenže, ak skúmame pracujúce mäkké orgány (a nie kosti), ktoré sa môžu navyše prekrývať, tak röntgenová snímka nám prakticky nič neodhalí. Napríklad detailnejšie zobrazenie práce a aktivovania mozgu röntgenové žiarenie nedovoľuje. Napriek tomu moderná veda a medicína majú v súčasnosti k dispozícii prístroj PET, ktorý to dokáže a lekár môže sledovať, ako sa aktivujú rôzne časti mozgu počas takých činností, akým je počúvanie, čítanie, rozmýšľanie, 70
2 či rozprávanie. Pomocou PET lekári a výskumníci napríklad odhalili, čo sa deje v mozgu človeka postihnutého na Alzheimerovu chorobu a hoci doteraz nepoznáme liečbu, posunulo to výskum výrazne dopredu. Na akom princípe funguje PET? Ako je možné, že sa vieme pozrieť do vnútra lebky, ba dokonca do vnútra mozgu a vidieť ako pracuje? Čo znamená skratka PET? Môže mať vyšetrenie pomocou PET aj škodlivé účinky? Každý nový objav vo fyzike sa pomerne rýchlo premietne v rozvoji nových technológií a pri konštrukcii nových prístrojov na použitie v medicíne a v technike. V tomto článku budeme hovoriť o zariadení PET (pozitrónová emisná tomografia) a uvidíme s čím všetkým z modernej fyziky sa môžeme stretnúť pri tomto prístroji na obr Obr. 3-1 Princíp PET. Po vyšetrení pacienta pomocou PET sa objaví na obrazovke u lekára snímka zobrazená na obr V skutočnosti to nie je snímka ale počítačom skonštruovaný obrázok. V niektorých častiach tela pacienta sa na snímke objavia miesta s väčšou intenzitou (čo môže 71
3 byť vyznačené aj určitou farbou), ktoré hovoria, že príslušný orgán intenzívne pracuje. Čo to znamená? Pred vyšetrením pomocou PET sa do tela pacienta zavedú napríklad injekciou alebo potravou označené molekuly. Takáto molekula, napríklad O 2, alebo H 2 O sa skladá z niekoľkých atómov, pričom jeden z atómov kyslíka má označené jadro. V našom prípade by štruktúra jedného označeného jadra kyslíka bola daná ako 15 8O. Symbol 15 8O označuje jadro chemického prvku kyslíka (preto O), ďalej hovorí, že toto jadro obsahuje 8 protónov (toľko ich má kyslík vždy) a súčet počtu protónov a neutrónov je 15. Teda v jadre je 15 8 = 7 neutrónov. Niekedy sa takéto jadro označuje jednoducho ako 15 O (toto označenie používajú často lekári). Normálne jadro kyslíka má štruktúru 16 8O a má 8 protónov a 8 neutrónov. Označené jadro kyslíka má teda o jeden neutrón menej ako normálne jadro kyslíka. 72 Obr. 3-2 PET vidí na ktoré miesto v tele sa dostanú takto označené jadrá kyslíka a ukazuje to na obrázku. Z toho, koľko molekúl O 2 a H 2 O vidí PET v srdcovom svale, vie skúsený lekár usúdiť ako srdcový sval pracuje, prípadne, ktorá časť mozgu je aktivovaná. Pri skúmaní mozgu sa vyrobí napríklad označený cukor glukóza s označeným atómom uhlíka 11 6C, ktorý je potravou pre mozgové bunky. Z pohľadu fyzika je zaujímavé ako PET vidí, na ktoré miesto sa označené molekuly O 2 alebo H 2 O dostali. Jadro kyslíka 15 8O je nestabilné.
4 Toto jadro má priveľa protónov na 7 neutrónov, a tak sa jeden z jeho protónov vnútri jadra premení podľa schémy p n + e + + ν (1) Jeden z protónov v jadre 15 8O sa zmení na neutrón a z jadra vyletí pozitrón, označený ako e + a neutríno ν. V jadre zostane 7 protónov a 8 neutrónov, takže nové jadro už je jadrom iného prvku. Pohľad do Mendelejevovej tabuľky nám prezradí, že je to jadro dusíka 15 7N. Jadrovú premenu, ktorá tu nastala, zapisujeme takto: 15 8O 15 7N + e + + ν (2) Neutríno ν prakticky s ničím v organizme neinteraguje a odletí bez stopy. Pozitrón čaká iný osud. Pozitrón je častica, ktorá vyzerá úplne rovnako ako elektrón, t. j. má rovnakú hmotnosť ako elektrón m(e + ) = m(e ) = 9, kg (3) ale v jednom sa líši, má opačný náboj. Ak sa pozitrón a elektrón dostanú blízko k sebe, tak sa elektrón a pozitrón stratia a vzniknú dva fotóny podľa schémy e + + e γ + γ (4) Tomuto deju hovoríme anihilácia. Pri reakcii (4) platí zákon zachovania energie a hybnosti. Hybnosti elektrónu a pozitrónu pred anihiláciou sú malé, zatiaľ čo hybnosti oboch fotónov sú veľké (prečo je to tak, povieme neskôr), preto obidva fotóny vyletia proti sebe, tak ako je to znázornené na obr Obr. 3-3 Pozitrón (e + ) vylieta z jadra označeného atómu v molekule rádiofarmaka. Pri zrážke s elektrónom (e ) v atóme molekuly v tele pacienta nastáva anihilácia na dva fotóny (γ 1 a γ 2 ) 73
5 Obidva fotóny sú potom zachytené v detektoroch D 1 a D 2. Počítač v PET to zaregistruje a vie, že pozitrón vznikol na mieste, ktoré leží na spojnici dvoch miest, v ktorých do detektorov dopadli dva fotóny. Označené jadro 15 8O ale nie je na danom mieste samo. Je ich tam viacero. Iné označené jadro kyslíka sa tiež rozpadne a iné dva detektory (alebo iné miesta toho istého detektora) zachytia zas dva fotóny letiace opačnými smermi a počítač si zakreslí inú priamku, pri ktorej musí ležať zdroj pozitrónov. Počítač zachytí mnoho párov fotónov rôznymi detektormi a nájde v organizme miesto, ktoré má blízko ku všetkým priamkam daným dvojicami zachytených fotónov. A toto miesto zakreslí na obraz, ktorý sa dostane do rúk ošetrujúceho lekára. Počítač vie takéto obrázky nakresliť spredu, zboku alebo tak, aby to vyzeralo ako trojrozmerná schéma a skúsený lekár vie, aký orgán je v zobrazovanom mieste v tele pacienta a ako momentálne pracuje. Cyklotrón Ďalšou otázkou, ktorá tu prirodzene vzniká je: odkiaľ má lekár k dispozícii atómy kyslíka s označenými jadrami. Navyše označené jadro kyslíka sa rozpadá podľa schémy (2) a jadroví fyzici vedia, že toto jadro kyslíka žije v priemere len 2,1 minúty, takže každá zásoba atómov s označenými jadrami sa po pomerne krátkom čase stratí a PET sa nebude dať použiť. Problém je vyriešený v praxi tak, že neďaleko PET musí byť výrobňa označených jadier. Tieto jadrá sa musia veľmi rýchlo dostať do príslušných molekúl a do tela pacienta, a to skôr, ako sa rozpadnú. Ak je výrobňa označených jadier ďaleko od miesta, kde sa PET používa, treba používať označené jadrá s dlhšou dobou života, aby ich bolo možné k PET priviezť. V praxi je výrobňou malý urýchľovač protónov nazývaný cyklotrón, ktorý vyrába označené jadrá a ďalšie zariadenie ich rýchlo dostane do potrebných atómov a molekúl. V jazyku lekárov sa takto označené molekuly nazývajú rádiofarmaká. V cyklotróne sa protóny najprv urýchlia, potom sú vyvedené von z cyklotrónu a dopadajú na terčík z vhodného materiálu, pričom vznikajú jadrá 15 8O. O cyklotróne ešte budeme hovoriť v ďalšom texte a s jadro- 74
6 vými reakciami sa budeme tiež zaoberať. Spomeňme len to, že jadro označeného kyslíka vzniká v reakcii 2 1D N 15 8O + 1 0n V ktorej jadro deutéria (jeden protón a jeden neutrón) dopadá na jadro normálneho dusíka (7 neutrónov a 7 protónov), pričom vznikne jadro označeného kyslíka (8 protónov a 7 neutrónov) a uvoľní sa jeden neutrón. Poznamenajme, že elektróny v atóme kyslíka vedia len to, že v strede atómu je 8 protónov. O tom, či je tam o jeden neutrón menej ako by malo byť, prakticky nevedia. Atóm kyslíka 15 8O sa preto v chemických reakciách v bunkách a tele človeka správa rovnako ako normálny kyslíkový atóm 16 8O a v organizme pôjde tam, kde je veľká spotreba atómov kyslíka. Pri analýzach pomocou PET sa používa viacero druhov označených jadier, tu je stručný prehľad niektorých z nich: polčas rozpadu 6C uhlík 20,4 minúty 7N dusík 10,0 minút 8O kyslík 2,1 minúty 9F fluór 109 minút 2 7Rb rubídium 1,25 minúty Každé z týchto jadier môže byť súčasťou mnohých molekúl a PET takto môže študovať mnoho procesov prebiehajúcich v tele pacienta vrátane činnosti srdca, tvorby nádorov, napr. v pľúcach, funkcií mozgu, účinkov drog, funkcie metabolizmu a mnoho ďalších. Zachovanie energie v rovnici (4) Zachovanie energie v rovnici (4) je klasickou ukážkou platnosti asi najznámejšej rovnice fyziky, Einsteinovej rovnice m c 2 = E (5) o ktorej už viacero ľudí povedalo, že je tiež najslávnejšou rovnicou 75
7 na svete. Zachovanie energie v reakcii (4) zapisujeme takto m(e + )c 2 + E kin (e + ) + m(e )c 2 + E kin (e ) = E(γ 1 ) + E(γ 2 ) (6) kde na ľavej strane 2) m(e + )c 2 je energia spojená s hmotnosťou pozitrónu m(e + ), E kin (e + ) je kinetická energia pozitrónu, m(e )c 2 a E kin (e ) je to isté pre elektrón. Na pravej strane sú E(γ 1 ) a E(γ 2 ) energie dvoch fotónov. Podrobnejšia analýza ukazuje, že E kin (e + ) je oveľa menšia ako m(e + )c 2 a E kin (e ) je oveľa menšia ako m(e )c 2, takže rovnica (7) približne vyzerá takto m(e + )c 2 + m(e )c 2 E(γ 1 ) + E(γ 2 ) (7) a to je rovnica (5) v našej situácii. Z nej sa ľahko dá vypočítať, že energia vyletujúcich fotónov je 511 kev. Niekoľko ďalších podrobností je na serveri FYZIKUS. Zhrnutie: Aké poznatky využíva PET Pokúsme sa zhrnúť to, čo všetko využíva z fyziky PET a čo nevidíme, ak sa pozrieme len na pacienta v prístroji a na obrázok, ktorý sa z tlačiarne prístroja dostáva do ruky lekára. Pri svojej práci PET využíva označené atómy (rádiofarmaká) vyrobené na špeciálnom urýchľovači a príslušné poznatky jadrovej fyziky, ktoré sú potrebné pri výbere jadrovej reakcie na výrobu rádiofarmaka, anihiláciu elektrónu a pozitrónu na dva fotóny (γ-kvantá) opísanú špeciálnou teóriou relativity, v anihilácii sa prejavuje aj kvantový charakter žiarenia (pozri článok o fotoefekte). Pozitrón je aj časticou antihmoty zodpovedajúcej elektrónu, detektory γ-kvánt a príslušné poznatky experimentálnej jadrovej a časticovej fyziky, spracovanie dát počítačmi. Samozrejme, využitie PET by nebolo možné bez znalostí medicíny o tom, ako pracuje zdravý a chorý organizmus, skúseností a znalostí lekárov, ktorí vyšetrenie uskutočnia a vyhodnotia, 2) Pozor nezabudnite, že výraz m(e + ) neznamená m-krát e +, ale je to jeden spoločný symbol pre hmotnosť m častice e +. 76
8 infraštruktúry zdravotníckej starostlivosti, znalosti technikov udržujúcich prístroj v chode, znalostí medicíny o pohybe označených molekúl v organizme. Tento úvodný článok k základom fyziky mikrosveta by nemal byť chápaný ako učebná látka, ktorú sa žiaci majú naučiť. Je to skôr návod na seminár alebo prednášku, pričom si prednášajúci môže na základe tohto článku pripraviť prezentáciu a môže si tiež stiahnuť niečo viac zo servera FYZIKUS. Odporúčame tiež, ak je to možné, vybrať sa na exkurziu do nemocnice, kde PET používajú alebo si pozvať odborníka na seminár a diskusiu. Téma na referáty (študentov) 1. Nájdite informácie o tom, aká bola história vzniku a vývoja PET. Koľko prístrojov PET je na svete, koľko na Slovensku? Aká je rozlišovacia schopnosť týchto prístrojov? (Vyhľadávače na web nájdu viacero informácií ak im zadáte na vstup Positron Emission Tomography.) 2. V súčasnosti existujú aj vylepšené metódy využívajúce to isté žiarenie ako röntgen, napr. CT-počítačová tomografia. V článku 3.1 sme spomenuli magnetickú rezonanciu. Skúste pohľadať informácie a nájsť odpovede, ako fungujú tieto moderné metódy, napr. CT-počítačová tomografia a ďalšie. Skúste ich porovnať s PET. Kde sa v tomto prípade využívajú poznatky modernej fyziky? 3.3 Fotoelekrický jav V druhej polovici 19. storočia mali fyzici v rukách dve veľmi úspešné teórie klasickú mechaniku, základom, ktorej sú Newtonove zákony, a elektrodynamiku vychádzajúcu z Maxwellových rovníc. Keďže tieto teórie významne umocnili priemyselnú revolúciu a rozvoj techniky, vo vedeckých kruhoch zavládol značne oprávnený optimizmus, že tieto teórie by mali byť schopné opísať principiálne akýkoľvek fyzikálny objekt alebo dej. JAMES CLERK MAXWELL to vyjadril vo svojej inauguračnej prednáške (1871) slovami: v niekoľkých nasledujúcich rokoch by mali byť približne odhadnuté všetky dôležité fyzikálne konštant a jedinou úlohou, ktorá zostane mužom vedy, bude vykonávanie meraní ďalších 77
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραStavba atómového jadra
Objavy stavby jadra: 1. H. BECQUEREL (1852 1908) objavil prenikavé žiarenie vysielané zlúčeninami prvku uránu. 2. Pomocou žiarenia α objavil Rutherford so svojimi spolupracovníkmi atómové jadro. Žiarenie
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα2.2 Rádioaktivita izotopy stabilita ich atómových jadier rádioaktivita žiarenie jadrové
2.2 Rádioaktivita Koniec 19. storočia bol bohatý na významné objavy vo fyzike a chémii, ktoré poskytli základy na vybudovanie moderných predstáv o zložení atómu. Medzi najvýznamnejšie objavy patrí objavenie
Διαβάστε περισσότεραAnalýza údajov. W bozóny.
Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραKlasifikácia látok LÁTKY. Zmesi. Chemické látky. rovnorodé (homogénne) rôznorodé (heterogénne)
Zopakujme si : Klasifikácia látok LÁTKY Chemické látky Zmesi chemické prvky chemické zlúčeniny rovnorodé (homogénne) rôznorodé (heterogénne) Chemicky čistá látka prvok Chemická látka, zložená z atómov,
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραZrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα1. Ionizujúce žiarenie (zdroje- alfa, beta, gama, neutrónové, rtg. žiarenie, fyzikálne vlastnosti žiarenia, zákony premeny)
1. Ionizujúce žiarenie (zdroje- alfa, beta, gama, neutrónové, rtg. žiarenie, fyzikálne vlastnosti žiarenia, zákony premeny) Ionizujúce žiarenie je schopné pri prechode prostredím spôsobiť jeho ionizáciu,
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότερα1 Aké veľké sú atómy a z čoho sa skladajú (I. časť)
1 Aké veľké sú atómy a z čoho sa skladajú (I.časť) 1 1 Aké veľké sú atómy a z čoho sa skladajú (I. časť) 1.1 Avogadrova konštanta a veľkosť atómov Najprv sa vrátime trocha podrobnejšie k zákonu o stálych
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραElektrónová štruktúra atómov
Verzia z 29. októbra 2015 Elektrónová štruktúra atómov Atóm vodíka a jednoelektrónové atómy Najjednoduchším atómom je atóm vodíka. Skladá sa z jadra (čo je len jediný protón) a jedného elektrónu. Atóm
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVA NA VYUČOVACIU HODINU CHÉMIE
Gymnázium Exnárova 10, Košice PRÍPRAVA NA VYUČOVACIU HODINU CHÉMIE 3. hodina Meno vyučujúcej: RNDr. Marcela Vladimírová Dátum:... Ročník a trieda:... Téma vyučovacej hodiny: RÁDIOAKTIVITA Výchovno-vzdelávací
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED KVANTUM. Aba Teleki Boris Lacsny ¼ubomir Zelenicky N I T R A
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED KVANTUM Aba Teleki Boris Lacsny ¼ubomir Zelenicky N I T R A 2010 Aba Teleki Boris Lacsný Ľubomír Zelenický KVANTUM KEGA 03/6472/08 Nitra,
Διαβάστε περισσότεραGLOSSAR A B C D E F G H CH I J K L M N O P R S T U V W X Y Z Ž. Hlavné menu
GLOSSAR A B C D E F G H CH I J K L M N O P R S T U V W X Y Z Ž Hlavné menu A Atóm základná stavebná častica látok pozostávajúca z jadra a obalu obsahujúcich príslušné častice Atómová teória teória pochádzajúca
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMetódy diagnostiky materiálov Marcel MiGLiERiNi
Metódy diagnostiky materiálov Marcel MiGLiERiNi 9. Diagnostika v nukleárnej medicíne gama kamera CT PET kombinované techniky Obsah historické poznámky diagnostika metódy o gama kamera o CT o PET kombinované
Διαβάστε περισσότερα3 ELEKTRÓNOVÝ OBAL ATÓMU. 3.1 Modely atómu
3 ELEKTRÓNOVÝ OBAL ATÓMU 3.1 Modely atómu Elektrón objavil Joseph John Thomson (1856-1940) (pozri obr. č. 3) v roku 1897 ako súčasť atómov. Elektróny sú elementárne častice s nepatrnou hmotnosťou m e =
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραZ čoho sa svet skladá? Čo ho drží pokope?
4 ŠTANDARDNÝ MODEL 4.1 História Počiatkom všetkých vied je úžas nad tým, čím veci sú a čo sú. Aristoteles Z čoho sa svet skladá? Čo ho drží pokope? Odpovede na tieto otázky, na dnešnej úrovni nášho poznania,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραCHÉMIA Ing. Iveta Bruončová
Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov
Διαβάστε περισσότεραBiogénne pozitrónové PET rádionuklidy
Netradičné rádionuklidy pre prípravu pravu PET rádiofarmák. P. Rajec 1,2, J. Ometáková 2 1.Biont, a.s., BIONT a.s., Karlovesk8 63, 842 29 Bratislava 2.Katedra jadrovej chémie Prírodovedecká fakulta Univerzity
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Διαβάστε περισσότεραFYZIKA A SÚČASNÁ SPOLOČNOSŤ
Trnavská univerzita v Trnave Pedagogická fakulta FYZIKA A SÚČASNÁ SPOLOČNOSŤ Július Krempaský Žaneta Gerhátová Trnava 014 Trnavská univerzita v Trnave Pedagogická fakulta Recenzenti: doc. RNDr. Anna. Danihelová,
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραCHÉMIA PRE BIOLÓGOV ŠTUDIJNÝ TEXT
CHÉMIA PRE BIOLÓGOV ŠTUDIJNÝ TEXT Mária Linkešová, Ivona Paveleková CHÉMIA AKO PRÍRODNÁ VEDA Chémia je prírodná veda, ktorá študuje štruktúru atómov, molekúl a látok z nich utvorených, sleduje ich vlastnosti
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραPRE UČITEĽOV BIOLÓGIE
Trnavská univerzita v Trnave Pedagogická fakulta Mária Linkešová, Ivona Paveleková ZÁKLADY CHÉMIE PRE UČITEĽOV BIOLÓGIE 1 Táto publikácia vznikla v rámci riešenia a s podporou grantu MŠVaV SR KEGA 004TTU-4/2013
Διαβάστε περισσότεραVŠEOBECNÁ A ANORGANICKÁ CHÉMIA
VŠEOBECNÁ A ANORGANICKÁ CHÉMIA RNDr. Erik Rakovský, PhD. CH2-211 http://anorganika.fns.uniba.sk 1. VYMEDZENIE POJMU CHÉMIE Látka skladá sa z častíc s nenulovou pokojovou hmotnosťou (m 0 0), napr. súbory
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραHarmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť
Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότερα2 Stavba atómu. 2.1 Jadro atómu Energia atómového jadra a jadrové reakcie
Stavba atómu Objavenie atómového jadra (E. Rutherford 1911) bolo jedným z kľúčových poznatkov o stavbe atómu. V pôvodnom experimente Rutherford a jeho žiaci zisťovali prechod tenkého lúča žiarenia α (kladne
Διαβάστε περισσότερα7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY
7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity (ďalej len ŠTR) len rozširujúcim učivom. Preto si dovolíme výklad len fundamentálnych myšlienok
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότερα2.2 Elektrónový obal atómu
2.2 Elektrónový obal atómu Chemické vlastnosti prvkov závisia od usporiadania elektrónov v elektrónových obaloch ich atómov, presnejšie od počtu elektrónov vo valenčnej vrstve atómov. Poznatky o usporiadaní
Διαβάστε περισσότεραPríklady, úlohy a problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou
Príklady, úlohy, problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou 55 Príklady, úlohy a problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou Ľudia si často myslia, že múdrosť vchádza do hlavy očami a ušami, ale nie
Διαβάστε περισσότεραKATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta JADROVÁ CHÉMIA
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta ÚSTAV CHEMICKÝCH VIED JADROVÁ CHÉMIA UČEBNÉ TEXTY Autor: RNDr. Andrea Morovská Turoňová, PhD. Názov: Jadrová chémia Rozsah strán: 128
Διαβάστε περισσότεραPríbeh atómov. O atómoch. Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina Bratislava
Príbeh atómov Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro Aktualizované 26. septembra 2017 Krátky
Διαβάστε περισσότεραPoznámky k prednáškam z Termodynamiky z Fyziky 1.
Poznámky k prednáškam z Termodynamiky z Fyziky 1. Peter Bokes, leto 2010 1 Termodynamika Doposial sme si budovali predstavu popisu látky pomocou mechanických stupňov vol nosti, ako boli súradnice hmotného
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραČLOVEK A PRÍRODA. (neúplný) experimentálny učebný text
ČLOVEK A PRÍRODA Zem náš domov (neúplný) experimentálny učebný text V Z D E L Á V A C I A O B L A S Ť Č L O V E K A P R Í R O D A tematický celok Zem náš domov Martin Mojžiš, František Kundracik, Alexandra
Διαβάστε περισσότεραAUTORIZOVANÝ PREDAJCA
AUTORIZOVANÝ PREDAJCA Julianovi Verekerovi, už zosnulému zakladateľovi spoločnosti, bol v polovici deväťdesiatych rokov udelený rad Britského impéria za celoživotnú prácu v oblasti audio elektroniky a
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia
Διαβάστε περισσότεραHydromechanika II. Viskózna kvapalina Povrchové napätie Kapilárne javy. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013)
Hyomechanika II Viskózna kvaaina Povchové naäie Kaiáne javy Donkové maeiáy k enáškam z yziky I e E Dušan PUDIŠ (013 Lamináne vs. Tubuenné úenie Pi úení eánej kvaainy ôsobia mezi voma susenými vsvami i
Διαβάστε περισσότεραVzorce a definície z fyziky 3. ročník
1 VZORCE 1.1 Postupné mechanické vlnenie Rovnica postupného mechanického vlnenia,=2 (1) Fáza postupného mechanického vlnenia 2 (2) Vlnová dĺžka postupného mechanického vlnenia λ =.= (3) 1.2 Stojaté vlnenie
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραSLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH)
Hofatex UD strecha / stena - exteriér Podkrytinová izolácia vhodná aj na zaklopenie drevených rámových konštrukcií; pero a drážka EN 13171, EN 622 22 580 2500 1,45 5,7 100 145,00 3,19 829 hustota cca.
Διαβάστε περισσότεραŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE
bulletin občianskeho združenia 2 /6.11.2006/ ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE akvá ri um pr pree kre vet y, raky a krab y akva foto gr afi e Ji Jiřříí Plí š
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότερα7.8 Niektoré paradoxy ŠTR
7.8 Niektoré paradoxy ŠTR Veľký Websterov výkladový slovník 18) uvádza dva významy slova paradox : 1. tvrdenie alebo návrh, ktorý vyzerá ako vnútorne protirečivý alebo absurdný, ale v skutočnosti môže
Διαβάστε περισσότεραRadiačná bezpečnosť a ochrana pred žiarením
Slovenská technická univerzita Bratislava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra jadrovej fyziky a techniky Ing. Róbert Hinca, PhD. Radiačná bezpečnosť a ochrana pred žiarením Učebný text pre postgraduálne
Διαβάστε περισσότεραFyzika atómu. 1. Kvantové vlastnosti častíc
Fyzika atómu 1. Kvantové vlastnosti častíc Veličiny a jednotky Energiu budeme často merať v elektrónvoltoch (ev, kev, MeV...) 1 ev = 1,602 176.10-19 C. 1 V = 1,602 176.10-19 J Hmotnosť sa dá premeniť na
Διαβάστε περισσότερα