Poznámky k prednáškam z Termodynamiky z Fyziky 1.
|
|
- Ισοκράτης Αναγνώστου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Poznámky k prednáškam z Termodynamiky z Fyziky 1. Peter Bokes, leto Termodynamika Doposial sme si budovali predstavu popisu látky pomocou mechanických stupňov vol nosti, ako boli súradnice hmotného stredu ideálne tuhého telesa alebo pole výchylok hmotných elementov pružnej tyče. Z našej každodennej skúsenosti, ale aj z mnohých experimentálnych skúmaní vieme, že stav telies nie je daný len ich polohou v priestore. Jedným z dobre známych stupňov vol nosti je aj teplota telesa. Gumová pružina bude mat pri rôznej teplote rôznu dĺžku, rôzny Youngov modul pružnosti a podobne. Naopak, ak bude takáto pružina kmitat, jej teplota sa mierne zvýši, spolu s čím dôjde nielen k zmene frekvencii (pretože sa zmení jej tuhost ), ale aj k zníženiu amplitúdy kmitov, čo predstavuje tlmenie. Vidíme, že zmeny teploty telies vplývajú na dynamiku fyzikálnych procesov, a preto teplota tiež predstavuje stupeň vol nosti, ktorého popisom sa treba zaoberat. Práve toto je ciel om termodynamiky, ako to naznačuje aj jej samotný názov. 1.1 Zavedenie a meranie teploty Ked sa dotýkame telies, máme subjektívny pocit, že telesá môžu mat rôznu teplotu. S týmto pocitom sa spája skúsenost, že telesá, ktoré sú dostatočne dlho v kontakte, majú nakoniec obe rovnakú teplotu. Hovoríme, že medzi telesami sa prenieslo teplo tak, že ich teploty sa vyrovnali. Ak prvé z telies je podstatne menšie ako to druhé, potom po vyrovnaní sa teplôt bude teplota druhého telesa takmer identická s pôvodnou teplotou a teplota prvého telesa bude identická s touto teplotou nezávisle od jeho pôvodnej teploty. Tento proces nám umožňuje zaviest meranie teploty telies. Subjektívny pocit, že dané teleso je teplejšie alebo chladnejšie, možno kvantifikovat zavedením teploty pomocou zmien, ktoré zmeny teploty vyvolávajú na kvantifikovatel ných vlastnostiach telies. Celziova stupnica teploty, t s označením jednotiek [t] = C, je odvodená od teploty vody v momente zmeny jej usporiadania: nulová teplota je priradená teplote, ked voda začína zamŕzat pri štandartnom atmosferickom tlaku. a 100 stupňov Celzia teplote varu pri štandartnom atmosferickom tlaku. Teleso bude mat 0 C alebo 100 C, ak bude dostatočne dlho v kontakte s takto udržiavanou vodou. Teplota medzi týmito dvomi hodnotami je určená pomocou zmeny objemu referenčnej látky - ideálneho plynu. Bežné plyny pri atmosférickom tlaku a rozsahu teplôt t = C dostatočne dobre reprezentujú ideálny plyn. Z meraní vieme, že takéto plyny menia svoj objem, ak je jeho tlak držaný na nemennej hodnote (napr.pri atmosferickom tlaku), pričom táto zmena je nezávislá od druhu plynu. Tento fakt môžeme využit na zavedenie ostatných hodnôt teploty takou vol bou, že teplotou nazveme veličinu, ktorá sa mení lineárne s objemom ideálneho plynu. Potom, ak nameriame objem plynu pri t = 0 C (V 0 ) a objem plynu pri t = 100 C (V 100 ), tak vzhl adom na zavedenú linearitu bude platit V (t) = V 0 (1 + βt), β = V 100 V 0 V C. (1) Ukazuje sa, že hodnota tohto koeficienta sa rovná sa približne β = C = 1 T 0, (2) 1
2 kde sme zaviedli označenie T 0 = C. Zaujímavým pozorovaním je fakt, že pri dosiahnutí teploty t = T 0 = C by musel objem plynu byt takmer nulový na to, aby dokázal vyvinút nezmenený tlak. Ak uvážime, že tlak, ako sa s tým o chvíl u oboznámime, je prejavom nárazov molekúl plynu na stenu, indikuje to, že pre teploty blížiace sa k C molekuly plynu spomal ujú k nulovej rýchlosti. Teplota t = C teda asi zodpovedá stojacim molekulám, a teda najnižšej možnej teplote. Nakol ko existuje minimálna teplota, lord Kelvin navrhol Kelvinovú stupnicu teploty, ktorá sa líši od Celziovej posunutím nulovej teploty tak, že minimálnej teplote t = T 0 = C zodpovedá Kelvinova teplota T = 0K. Samotná vel kost stupňa je rovnaká, t.j. T = 1K= t = 1 C. Ak vyjadríme vzt ah pre objemovú rozt ažnost pomocou Kelvinovej stupnice dostaneme Gay-Lussacov vzt ah pre izobarický dej v plynoch, V T = V 0, (3) T 0 ktorý hovorí, že pri konštantnom tlaku je podiel objemu a Kelvinovej teploty vždy taký istý. Samotný pomer ale závisí od zvoleného konštantného tlaku. Vel mi podobnú závislost vykazujú plyny, ktorých objem držíme nemenný, a naopak, sledujeme zmenu tlaku pri zmene objemu, p = p 0 ( 1 + t T 0 ), (4) a teda podobne pomocou Kelvinovej stupnice p T = p 0 T 0. (5) Táto rovnica hovorí, že pomer tlaku a teploty ideálneho plynu je pri konštantnom objeme vždy rovnaký, no podobne ako pri izobarickom vzt ahu, aj tu hodnota tohto pomeru závisí od objemu uvažovaného plynu. Vyššie spomínané udržiavanie konštantnosti tlaku pri izobarickom deji alebo konštantnosti objemu (izochorický dej) je jedným z kl účových postupov termodynamiky. Ak pre (fixovaný) konštantný tlak a vybranú teplotu jednoznačne existuje objem, ktorý daný plyn nadobudne, potom je zrejmé, že ako termodynamický systém má len 2 stupne vol nosti - tlak a teplotu. Ostatné vlastnosti - v tomto prípade jeho objem - sú už určené jednoznačne našou vol bou tlaku a teploty. Vybrat si môžeme ale aj inú dvojicu stupňov vol nosti, napríklad objem a teplotu, a tlak je potom už určený rovnicou (5). Predstavme si nakoniec, že plyn sa nachádza v stave s teplotou T 0 a objemom V 0, a teda aj tlakom p 0. Ak je možné dostat tento plyn do stavu s inými hodnotami týchto veličín T 1,V 1, p 1, potom to možno realizovat nasledovne: najprv zmeníme objem na konečnú požadovanú hodnotu pri konštantnom tlaku p 0 pričom podl a rovnice (3) dosiahneme istú teplotu T, V 0 /T 0 = V 1 /T, p = p 0. (6) V druhom kroku pri konštantnom objeme (ktorý má už požadovanú hodnotu) zmeníme tlak na p 1, pričom podl a (5) bude p 0 /T = p 1 /T 1, V = V 1. (7) Fakt, že pri nadobudnutí tlaku p 1 bude teplota akurát tá, ktorú sme požadovali, t.j. T 1, je priamo zviazaný s predpokladom, že stav s hodnotami p 1,T 1 a V 1 môže náš uvažovaný plyn nadobudnút. Kombináciou rovníc (6) a (7) dostaneme súvis medzi týmito troma parametrami, p 0 V 0 T 0 = p 1V 1 T 1 = const, (8) 2
3 ktorý tiež nazývame stavová rovnica ideálneho plynu, pretože nám udáva súvis medzi parametrami určujúcimi stav plynu. Experimenty ukazujú, že hodnota tejto konštanty je priamo úmerná počtu molekúl uvažovaného plynu, N, pričom konštanta úmernosti je univerzálna konštanta ktorú voláme Boltzmanova konštanta, t.j. stavová rovnica má tvar k B = JK 1, (9) pv T = Nk B. (10) Experimentálne však takáto forma pravej strany stavovej rovnice nebola známa, pretože nebolo známe ako určit počet molekúl daného množstva plynu. Pôvodná miera množstva bola tzv. látkové množstvo n, s ktorým sa oboznámime v nasledujúcej časti. 1.2 Počet atómov v látke Vzt ah medzi hmotnost ou daného množstva látky a počtom atómov, z ktorých sa daná látka skladá, je jednoduchá úmernost m = Nm A, (11) kde m je hmotnost celej látky, N počet atómov a m A hmotnost jedného atómu 1. Hoci m odmerat vieme priamo, N ani m A l udia dlho určit nevedeli. Výrazný pokrok v tomto smere urobil John Dalton (v roku 1803), ked určil pomery hmotností atómov v molekulách plynov na základe chemických reakcií medzi nimi. Ako referenčná látka sa berie uhlík 12 C, pričom za množstvo uhlíku 1 mól volíme taký počet atómov uhlíka, ktoré váži m = 12g. Pripomeňme, že 12 v označení atómu uhlíka znamená počet nukleónov v jadre, a teda určuje hmotnost atómu ako približne rovnú 12-násobku hmotnosti protónu alebo atómu vodíka. Z uvedeného vyplýva, že hmotnost jedného mólu atomárneho vodíka by bola 1 gram, alebo že hmotnost jedného mólu molekúl vody, t.j. H 2 0, by bola 18 gramov, nakol ko najčastejší izotop kyslíka je 16 O. Hmotnost jedného mólu látky sa nazýva aj mólová hmotnost a označuje sa ako M m. Počet mólov danej látky, n, sa dá potom priamo určit pomocou mólovej hmotnosti danej látky, t.j. n = m/m m, (12) kde m je celková hmotnost uvažovanej látky. Zoberme ako príklad Daltonov pokus, ked kombinoval 32g plynného kyslíku s 4g plynného vodíka (H 2 ), dostal 36g vody. Ak však kombinoval 32g kyslíku s 6g vodíka, získal opät len 36g vody a ostalo ešte 2g nezreagovaného vodíka. Mohol teda predpokladat, že ak molekula vody sa skladá z 2 atómov vodíka a jedného atómu kyslíka, potom pomer ich mólových, a teda aj atómových hmotností musí byt 32/2 = 16. Ak by predpokladal, že molekula vody je jeden kyslík a jeden vodík, pomer mólových hmotností by bol 32/4 = 8. Pomocou realizovaní iných reakcií kyslíka s inými prvkami sa mu podarilo vylúčit druhú možnost a našiel mólové hmotnosti mnohých prvkov, ale aj stochiometriu množstva molekúl. Z takýchto úvah pre rôzne reakcie dospel Dalton k predstave o molekulách ako zoskupeniach atómov a k pomerom mólových hmotností takýchto atómov. 1 Predpokladáme látku skladajúcu sa len z jedného druhu atómov, rozšírenie na viacero je priamočiare, ak zavedieme počty rôznych druhov atómov. 3
4 Ak sa teraz vrátime k stavovej rovnici ideálneho plynu, môžeme si ju zapísat vo forme, ako ju poznali chemici predtým, ako sa oboznámili s počtom atómov v jednom móle látky. Zavedením látkového množstva ako miery počtu atómov má stavová rovnica tvar pv T = Rn, R = 8.314JK 1 (13) kde R sa nazýva mólová plynová konštanta. Predpoklad, že jednému mólu zodpovedá istý presný počet častíc vyslovil ako prvý Avogadro, no trvalo prakticky celé storočie, kým toto číslo dostatočne presne experimentálne ustanovil Jean Perrin (Nobelova cena 1926). Tento počet sa na počest Avogadra nazýva Avogadrovou konštantou, N A = , (14) a vzhl adom k zavedeným konštantám porovnaním pravých strán stavových rovníc (10) a (13) pre 1 mol nájdeme, že platí N A k B = R. 1.3 Mikroskopický pôvod tlaku a teploty V prvej polovici semestra sme sa oboznámili s postupmi, ako popísat pohyb hmotného bodu pomocou Newtonových zákonov. Každá látka predstavuje zoskupenie asi takýchto hmotných bodov, alebo častíc, a je teda asi zrejmé, že priamy výpočet tol kých rovníc nebude ten najúspešnejší prístup ku skúmaniu jej vlastností. Metóda, ktorá je pri takto vysokých počtoch stupňov vol nosti úspešná, je založená na pravdepodobnostnom počte a matematickej štatistike. Pre krátkost času sa tu nemôžeme takýmto prístupom zaoberat, namiesto toho pre náš ciel porozumiet mikroskopickej podstate tlaku v plynoch spravíme o pohybe atómov plynu len nasledovný štatistický predpoklad: počet atómov, ktoré sa pohybujú smerom ku stene nádoby, v ktorej je plyn, je v každom okamihu 1/6 všetkých atómov plynu a ich priemerná hodnota vel kosti rýchlosti je v. Potom počet atómov, ktoré dopadnú na plochu S steny za jednotku času, bude daný už nám známym výrazom pre tok, Sv 1 N 6 V, (15) kde N je počet atómov plynu a V objem nádoby, v ktorej sa plyn nachádza. Pri odraze od steny sa hybnost každého atómu zmení z mv na mv, takže celková zmena hybnosti atómov za jednotku času bude dp dt = 2mvSv1 N 6 V = 1 N 3 msv2 (16) V Zmena hybnosti ale zodpovedá celkovej sile, ktorou plyn pôsobí na stenu, t.j. z čoho nájdeme výraz pre tlak, akým pôsobí plyn na stenu nádoby, dp dt = F = ps (17) p = 1 3 mv2 N V = 1 V N 2 3 E k, (18) kde E k = (1/2)mv 2 je stredná kinetická energia translečného pohybu jednej častice plynu. Porovnaním so stavovou rovnicou ideálneho plynu vidíme, že medzi strednou kinetickou energiou translačného pohybu častice a teplotou platí vzt ah E k = 1 2 mv2 = 3 2 k BT, (19) 4
5 ktorý poukazuje na mikroskopický pôvod teploty ako prejavu pohybu atómov alebo molekúl plynu. Dáva tiež jasný zmysel absolútnej nule v teplote ako situácii, ked akýkol vek pohyb atómov ustal. Z odvodenia rovnice (18) je zrejmé, že k tlaku prispieva len translačná čast kinetickej energie atómov alebo molekúl plynu, nakol ko len translačný pohyb (t.j. pohyb t ažiska častice) spôsobuje odovzdávanie hybnosti stene nádoby. Ak však uvažujeme plyn, ktorého častice sú molekuly, ktoré okrem translačnej kinetickej energie môžu mat aj kinetickú energiu uloženú vo svojom rotačnom pohybe, t.j. E rot = (1/2)Iω 2, potom sa dá ukázat, že za každý rotačný stupeň vol nosti, v ktorom má molekula nenulový moment zotrvačnosti, má molekula príspevok k strednej hodnote jej kinetickej energie v tvare E = (1/2)k B T. Tak napríklad molekula vodíka, H 2, má nenulový moment zotrvačnosti okolo dvoch osí, kolmých na os symetrie dvoj-atómovej molekuly, a preto jej celková stredná energia v plyne bude E k = 3 2 k BT }{{} 2 k BT = 5 }{{} 2 k BT. (20) pohyb t ažiska rotácia okolo 2 kolmých osí Molekuly s 3 a viac atómami, ktoré neležia na priamke, majú nenulový moment zotrvačnosti vzhl adom na všetky 3 osi rotácie, a preto ich stredná kinetická energia v plyne bude E k = 3 2 k BT }{{} 2 k BT = 3k B T. (21) }{{} pohyb t ažiska rotácia okolo 3 kolmých osí Dôvodu, prečo dôjde k takémuto rozdeleniu energie aj do rotačných stupňov vol nosti, môžeme porozumiet, ak si predstavíme náhodné zrážky medzi molekulami. Ak sa dve molekuly zrazia, potom na seba pôsobia nielen silou, ktorá spôsobí zmenu smeru ich pohybu a možné prerozdelenie translačných energií, ale aj momentom síl, pomocou ktorých dôjde k rôznemu vzájomnému roztočeniu, a teda k prerozdeleniu celkovej energie do rotačnej energie prvej či druhej molekuly. Dôsledok mnohých náhodných zrážok je, že každý rýchlostný stupeň vol nosti nadobudne strednú energiu (1/2)k B T. V tomto svetle môžeme chápat aj výsledok pre translačnú kinetickú energiu ako tri príspevky od strednej rýchlosti v smere osi x, y a z, E k = 3 2 k BT = k BT = 1 2 mv2 x, (22) pričom uvažujeme, že stredné rýchlosti vo všetkých smeroch sú rovnaké, v 2 x = v 2 y = v 2 z. Tvrdenie, že stredná hodnota energie jedného rýchlostného stupňa vol nosti má hodnotu (1/2)k B T, sa nazýva ekvipartičný teorém a jeho platnost sa dá dokázat štatistickým prístupom k popisu mnohých častíc. 1.4 Vnútorná energia látky (plynu) V mechanike hmotného bodu sme sa oboznámili so zákonom zachovania energie, ktorý hovoril, že práca vykonaná na hmotnom bode sa rovná nárastu súčtu jeho kinetickej a potenciálnej energie. S podobným tvrdením sme sa stretli v mechanike ideálne tuhého telesa a platí aj pre súbor mnohých ideálne tuhých telies. Preto aj pre plyn, ako súbor molekúl či atómov, môžeme zaviest podobné tvrdenie, pričom celková energia plynu bude daná súčtom energií jednotlivých molekúl. Ak od celkovej energie odpočítame kinetickú energiu hmotného stredu plynu, ktorá bude vo všetkých našich nasledovných úvahách nulová, dostaneme tzv. vnútornú energiu študovaného systému. V tejto súvislosti dokážeme presne zaviest definíciu ideálneho plynu, ako takého plynu, ktorého celková vnútorná energia sa skladá len z translačnej a prípadne rotačnej kinetickej energie jeho jednotlivých 5
6 molekúl. V predchádzajúcom sme videli, že teplota T úzko súvisí s kinetickou energiou pripadajúcou na jeden stupeň vol nosti molekuly ideálneho plynu, t.j. napr. (1/2)k B T = (1/2)mv 2 x, a preto vnútorná energia ideálneho plynu je daná vzt ahom U = NE k = 3 2 Nk BT pre mono-atomárne molekuly 5 2 Nk BT pre dvoj-atomárne molekuly 3Nk B T pre 3 a viac-atomárne molekuly, (23) kde N je počet molekúl plynu. Ideálny plyn teda nemá žiaden príspevok ku energii z dôvodu vzájomného prit ahovania sa alebo odpudzovania sa molekúl, resp. z dôvodu vnútorných stupňov vol nosti atómov alebo dokonca elektrónov v jednotlivých molekulách. Vzhl adom na to, že stavová rovnica ideálneho plynu spol ahlivo vystihuje správanie sa mnohých plynov v bežných podmienkach, môžeme usudzovat, že vyššie spomenuté príspevky ku vnútornej energii plynov sú často zanedbatel ne malé. Samozrejme, akonáhle plyn stačíme natol ko, že repulzia alebo prit ahovanie sa jednotlivých molekúl začne byt významné, plyn prestáva byt ideálnym a stavová rovnica takéhoto reálneho plynu sa odlišuje od stavovej rovnice ideálneho plynu. Vnútorná energia plynu je jednoznačnou funkciou teploty, U = U(T ), aj ked jej konkrétny tvar je rôzny a líši sa už aj v závislosti od toho, z kol ko-atomárnych molekúl sa plyn skladá. Pretože teplota je stavovým parametrom, bude aj vnútorná energia stavovou veličinou, a teda namiesto kombinácie p a T, ktorá jednoznačne určí stav plynu, môžeme používat aj U a p alebo U a V. Pre reálne plyny bude vnútorná energia funkciou nielen jedného, ale dvoch stavových veličín, napr. U(T,V ). Napríklad, plyn, ktorého molekuly sa odpudzujú, bude mat pri menšom objeme väčšiu vnútornú energiu ako pri väčšom objeme, pokial v oboch situáciach máme rovnakú teplotu (a, samozrejme, aj počet molekúl), pretože na to, aby sme dostali molekuly k sebe, v prvom prípade musíme vykonat väčšiu prácu proti ich vzájomnej repulzii. Podobne možno zovšeobecnit pojem vnútornej energie na l ubovol nú látku ako stavovú veličinu závisiacu od teploty, geometrických parametrov (napr. objem), a prípadne aj vonkajších elektromagnetických polí. Dôležité je, že ide o stavovú veličinu, a teda jej hodnota nám charakterizuje stav, v ktorom sa látka nachádza. 1.5 Práca, teplo a 1. veta termodynamická Už v predošlej časti sme spomenuli, že stláčaním plynu môžu externé sily konat prácu. Z mechaniky vieme, že malý prírastok práce, ktorú koná externá sila F ext pri posunutí jej pôsobiska o vzdialenost d s, definujeme vzt ahom dw = F ext d s (24) Ak externou silou pôsobíme na posuvnú stenu nádoby s plochou S (smer vektora plochy je orientovaný smerom von z nádoby), v ktorej sa nachádza plyn, potom nato, aby sa stena nepohybovala, musí externá sila presne kompenzovat tlak plynu na stenu, t.j. preto pre prácu nájdeme F ext = p S, (25) dw = p S ds = pdv, (26) kde dv = S ds je prírastok objemu plynu spôsobený posunutím sa steny o d s. Integrovaním získame celkovú prácu, čo zodpovedá ploche pod krivkou v pv diagrame. 6
7 V prípade, ak je nádoba s plynom tepelne izolovaná od okolia, potom táto práca musí predstavovat prírastok vnútornej energie plynu, du = dw. (27) Nakol ko vnútorná energia ideálneho plynu závisí len od jeho teploty, môžeme túto rovnicu tiež napísat v tvare U dt = pdv, (28) T ktorá hovorí, že konanie práce na plyne (dv < 0) vedie k zvýšeniu jeho vnútornej energie, čo sa prejaví zmenou jeho teploty dt, fakt známy z rýchlej vynútenej kompresie plynov. Naopak, ak plyn koná prácu, t.j. dv > 0, bude jeho teplota klesat, jav opät známy z expanzie horúcich plynov. Príklad: (Adiabatický dej) O kol ko sa zmení teplota 1 litru vzduchu pri izbovej teplote a pôvodne atmosferickom tlaku, ak ho expandujeme na 2 litre? Akú prácu pri tom vykonáme? 5 2 k BNdT = p(v,t )dv, p(v,t ) = Nk B T /V (29) 5 2 dt = T V dv, 1/T, (30) 5 ln(t ) 2 = ln(v ) + c (31) T = cv 2/5 (32) c = T 0 V 2/5 0 (33) ( ) 2/5 V0 T = T 0 = 300K/2 2/5 = 227K = 46 C (34) V W = U = 5 2 k BN T = 5 2 p 0 V 0 T 0 T = = 38J (35) 300 Stavové zmeny prebiehajúce v izolovanej sústave nazývame aj adiabatickými. Ako sme našli, pre takéto deje v ideálnom plyne platí V 2/5 T = const, (36) ale pomocou pv = Nk B T nájdeme, že to je ekvivalentné aj pv 2/5+1 = pv κ = const κ = 2/5 + 1 (37) Zo skúsenosti, ako aj z mnohých dôsledných experimentov, vieme, že plyn (alebo aj látka všeobecne) mení svoju teplotu nielen v dôsledku zmeny svojho objemu, teda ak naň pôsobia vonkajšie sily, ale aj ak príde do kontaktu s iným teplejším telesom. Hovoríme, že plyn prijal teplo Q, ktoré navýšilo jeho vnútornú energiu, U = Q, V = const (38) Vo všeobecnosti sa môže vnútorná energia látky menit z oboch dôvodov - aj v dôsledku konania práce, aj v dôsledku prijímania tepla, takže môžeme formulovat 1. zákon termodynamický, du = pdv + dq. (39) 7
8 Dôležitou súčast ou tohto zápisu je fakt, že kým vnútorná energia je stavovou veličinou, samotná práca ani teplo stavovými veličinami nie sú. Prejavuje sa to tým, že kým zmene z jedného stavu plynu daného napr. p 0 a V 0 do p 1 a V 1 zodpovedá jednoznačne jediná hodnota zmeny vnútornej energie U, naopak, teplo alebo práca, ktorá bola konaná na túto zmenu môže byt rôzna: pre jeden spôsob prechodu môžeme konat viac práce, pre iný spôsob prijímat viac tepla. Jedným z dôležitých dôsledkov je aj to, že pre kruhový dej, t.j. taký proces, ked začíname a končíme v tom istom stave, je celková zmena vnútornej energie nulová, kým celková vykonaná práca môže byt nenulová. Vd aka tomu existujú cyklické kompresné stroje. 1.6 Špecifické tepelné kapacity Pre kvantifikovanie množstva tepla sa zavádza špecifická tepelná kapacita látok pri konštantnom objeme 2, (t.j. pre prípad, ak dodávame teplo bez toho, aby sme konali prácu na plyne) pomocou vzt ahu c V = 1 U m T, (40) kde m je hmotnost látky s vnútornou energiou U, t.j. jej zmysel je teplo, ktoré musí prijat jeden kilogram látky nato, aby zvýšila svoju teplotu o 1 C. Z výrazu pre vnútornú energiu plynu l ahko nájdeme, že špecifická tepelná kapacita (pri konštantnom objeme) je c V = 5 N 2 m k B = 5 2 R = 0.71JK 1 g 1 (41) M m čo sa potvrdzuje aj experimentálne pre rôzne plyny. Toto nepriamo slúži aj ako experimentálna verifikácia ekvipartičného teorému. V reálnych aplikáciach objem látky nie je pri prijímaní tepla konštantný; konštantným ostáva tlak, určovaný atmosferickým tlakom. Vtedy, ak chceme zvýšit teplotu plynu o T, bude plyn konat zároveň prácu svojou expanziou tak, aby mal tlak nemenný, a teda mc v dt = p a dv + dq = RndT + dq, (42) dq = (mc v + Rn)dT = m(c v + R/M m )dt. (43) Preto sa zavádza aj špecifická tepelná kapacita pri konštantnom tlaku, ako množstvo tepla, ktoré musí 1kg látky prijat, aby sa jej teplota zvýšila o 1 C, c p = c v + R/M m. (44) Tento vzt ah medzi kapacitami sa nazýva aj Mayerov vzt ah. Ak by sme sa vrátili k príkladu o expanzii vzduchu a k adiabatickému deju, l ahko nájdeme, že pre exponent κ v rovnici adiabatického deja platí κ = c P /c V. (45) Špecifická tepelná kapacita vody slúžila v minulosti ako miera energetického obsahu s jednotkou c p = 1kalória g 1 ( C) 1 (46) Neskôr Joule a nezávisle Mayer zistili, že práca zodpovedá teplu, pričom mechanický ekvivalent tepla bol nájdený ako 1 kalória = 4.2 J. 2 Často, napríklad v príkladoch na webstránke KF FEI, sa miesto slova špecifická používa aj slovo merná. 8
9 Obrázok 1: Cyklický dej pozostávajúci zo štyroch kvalitatívne odlišných procesov: A. Expanzia spolu s prijímaním tepla zo zásobníka, B. expanzia tepelne izolovaného systému, C. kompresia spolu s odovzdávaním tepla zásobníku, D. kompresia tepelne izolovaného systému. 1.7 Cyklický dej a účinnost strojov Cyklickým rovnovážnym termodynamickým dejom nazývame opakujúcu sa následnost stavov, cez ktoré plyn (alebo látka vo všeobecnosti) prechádza. V p V diagrame ho môžeme zobrazit pomocou uzavretej krivky, ako je to ukázané na Obr. 1 Skutočný cyklický dej je komplikovaný dej, ktorý môže prebiehat natol ko rýchlo, že v niektorých okamžikoch ani tlak ani teplota nebudú v termodynamicky rovnovážnom stave (t.j. v rôznych častiach plynu môže byt iná teplota a pod.). Takýmito procesmi sa zaoberá nerovnovážna termodynamika. My budeme uvažovat, že reálny cyklický dej môžeme dostatočne dobre popísat následnost ou rovnovážnych termodynamických stavov. Ukazuje sa, že prakticky ide o mimoriadne užitočný odhad situácie, ktorá sa v skutočnosti realizuje. Plyn si bude počas cyklického deja vymienat teplo s okolím, čo modelujeme pomocou kontaktu plynu s tzv. rezervoárami. Tieto predstavujú tak vel ké systémy, že ak odovzdajú teplo Q plynu, tak ich teplota ostane nezmenená. Sú teda rezervoárami energie, ktorú odovzdávajú vo forme tepla. Príklad rezervoáru je uhol ná pec v tepelnej elektrárni, ktorá odovzdáva teplo vode, resp. vodnej pare, predstavujúcej plyn v našich úvahách. V prípade benzínových motorov je teplo uschované v chemických väzbách benzínu a uvol ní sa iniciovaním reakcie medzi vzduchom a benzínom elektrickou iskrou. Na druhej strane, v každom cyklickom deji prichádza aj k odovzdávaniu tepla okoliu, čo môže byt realizované chladičom a pod. V našom modeli cyklického deja použijeme dva rezervoáre: rezervoár s vyššou teplotou T 1, ktorý odovzdá teplo Q 1 počas jedného cyklu a rezervoár s nižšou teplotou T 2, ktorý prijme teplo Q 2 počas jedného cyklu (Vid Obr. 2). Štyri druhy stavov, ktoré vykazuje typický cyklický proces, sú: A. expanzia spolu s prijímaním tepla Q 1 zo zásobníka s teplotou T 1, B. expanzia tepelne izolovaného systému, C. kompresia spolu s odovzdávaním tepla Q 2 zásobníku s teplotou T 2 a D. kompresia tepelne izolovaného systému. Z Obr. 1 vidíme, že za cyklus plyn vykoná nenulovú celkovú prácu W = W A W B W C W D, (47) kde W A = pdv (48) 9
10 Obrázok 2: Symbolické zobrazenie fáz cyklického deju pozostávajúceho zo štyroch procesov: A. Expanzia spolu s prijímaním tepla zo zásobníka, B. expanzia tepelne izolovaného systému, C. kompresia spolu s odovzdávaním tepla zásobníku, D. kompresia tepelne izolovaného systému. Animovaný GIF je na je plocha pod krivkou zodpovedajúcou expanzii pri prijímaní tepla. Z grafu vidíme, že W A > 0,W B > 0,W C < 0 a W D < 0 pričom celkovo W > 0, t.j. plyn vykoná pôsobením silou F kladnú prácu. Táto práca sa koná na úkor tepla prijatého z teplejšieho zásobníka, preto účinnost ou budeme nazývat pomer η = W Q 1. (49) Pretože plyn koná cyklický dej a vnútorná energia je stavová veličina, musí platit, že celková zmena vnútornej energie za jeden cyklus je nulová, U = 0. Na druhej strane, z 1. vety termodynamickej máme U = W + Q 1 Q 2, (50) t.j. zmena vnútornej energie je celková práca vykonaná na plyne a celkové prijaté teplo, z čoho máme a teda účinnost je W Q 1 Q 2, (51) η = Q 1 Q 2 Q 1. (52) Carnot sa ako prvý zaoberal teoretickou analýzou účinnosti termodynamických cyklických strojov, a našiel, že vyššie zavedená účinnost je zhora ohraničená hodnotou η T 1 T 2 T 1, (53) 10
11 kde T 1 a T 2 sú teploty rezervoárov, ktoré dodávajú a odovzdávajú teplo. Vzhl adom na fakt, že nulovú termodynamickú teplotu nemožno dosiahnut, uvedené je ekvivalentné tvrdeniu, že neexistuje cyklický stroj so 100%-nou účinnost ou, resp. že neexistuje tzv. perpetuum mobile 2. druhu 3. Priamočiaru demonštráciu vzt ahu (53) možno spravit uvažovaním, že procesy A. a C. sú izotermické a procesy B. a D. adiabatické. Pre teplo prijaté/odovzdané počas izotermických dejov nájdeme Q 1 = W 1 = pdv = RT 1 ln ( ) V 1,z /V 1,k (54) Q 2 = W 2 = pdv = RT 2 ln ( ) V 2,z /V 2,k. (55) Zo vzt ahov pre adiabatické deje nájdeme podl a ktorých platí T 2 V 1+κ 2,z = T 1 V 1+κ 1,k, proces B (56) T 2 V 1+κ 2,k = T 1 V 1+κ 1,z, proces D (57) ln ( ) ( ) V 2,z /V 2,k = ln V1,k 1+κ /V1,z 1+κ = 1 + κ 1 + κ ln( ) ( ) V 1,k /V 1,z = ln V1,z /V 1,k. (58) Dosadením (58) do (57) a výsledok toho spolu s (56) do (52) dostaneme hl adaný vzt ah (53). Všeobecnost tohto výsledku vyplýva z predstavy, že každý termodynamický cyklický dej môžeme rozložit na vel ký počet adiabatických a izotermických dejov, ktoré spolu dajú rovnaký výsledok, ako keby sme mali idealizovaný Carnotov cyklus zložený len zo štyroch dejov v presne zavedenom poradí. 3 Perpetuum mobile 1. druhu je stroj konajúci prácu bez dodávania energie. Netreba asi zdôrazňovat, že zákony prírody ako ich poznáme ich existenciu nepripúšt ajú. 11
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα11 Základy termiky a termodynamika
171 11 Základy termiky a termodynamika 11.1 Tepelný pohyb v látkach Pohyb častíc v látke sa dá popísať tromi experimentálne overenými poznatkami: Látky ktoréhokoľvek skupenstva sa skladajú z častíc. Častice
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika kruhovych tepelnych strojov
Termodynamika kruhovych tepelnych strojov Juro Tekel juraj(dot)tekel(at)gmail(dot)com Poznamky k prednaske o tom, ako po teoretickej stranke funguje tepelne stroje ako zo termodynamiky vyplyvaju ich obmedzenia
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED. Termodynamika. Aba Teleki Boris Lacsny N I T R A
UNIVERZIA KONŠANÍNA FILOZOFA V NIRE FAKULA PRÍRODNÝCH VIED ermodynamika Aba eleki Boris Lacsny N I R A 2010 Aba eleki Boris Lacsný ERMODYNAMIKA KEGA 03/6472/08 Nitra, 2010 Obsah 1 Základné pojmy a prvotné
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013)
Termodynamika Teelný ohyb Teelná rozťažnosť látok Stavová rovnica ideálneho lynu nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραCHÉMIA Ing. Iveta Bruončová
Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika v biologických systémoch
Termodynamika v biologických systémoch A. Einstein: Klasická termodynamika je jediná univerzálna fyzikálna teória, v ktorej aplikovateľnosť jej základných konceptov nebude nikdy narušená. A.S. Eddington
Διαβάστε περισσότεραPOHYB VO VEĽKOM SÚBORE ČASTÍC
POHYB VO VEĽKOM SÚBORE ČASTÍC Štatistika makroskopických systémov vo fyzikálnych systémoch s obrovským počtom častíc ( 10 25 ) makroskopických systémoch -sa pohyb každej častice riadi Newtonovými zákonmi
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα1.Základné poznatky o molekulách
1.Základné poznatky o molekulách Ciel om je zopakovat základné fakty o molekulách a upevnit predstavu o typických hodnotách relevantných veličín. Sú to N = 6.022 10 26 kmol 1... Avogadrova konštanta k
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIA 3 ČASŤ
RIEŠENIA 3 ČASŤ - 2009-10 1. PRÁCA RAKETY Raketa s hmotnosťou 1000 kg vystúpila do výšky 2000 m nad povrch Zeme. Vypočítajte prácu, ktorú vykonali raketové motory, keď predpokladáme pohyb rakety v homogénnom
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραPRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO
ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραÚVOD DO TERMODYNAMIKY
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA ÚSTAV FYZIKÁLNYCH VIED MICHAL JAŠČUR MICHAL HNATIČ ÚVOD DO TERMODYNAMIKY Vysokoškolské učebné texty Košice 2013 ÚVOD DO TERMODYNAMIKY
Διαβάστε περισσότερα4 Dynamika hmotného bodu
61 4 Dynamika hmotného bodu V predchádzajúcej kapitole - kinematike hmotného bodu sme sa zaoberali pohybom a pokojom telies, čiže formou pohybu. Neriešili sme príčiny vzniku pohybu hmotného bodu. A práve
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραpriemer d a vložíme ho do mosadzného kalorimetra s vodou. Hmotnosť vnútornej nádoby s miešačkou je m a začiatočná teplota vody t3 17 C
6 Náuka o teple Teplotná rozťažnosť Úloha 6. Mosadzná a hliníková tyč majú pri teplote 0 C rovnakú dĺžku jeden meter. Aký bude rozdiel ich dĺžok, keď obidve zohrejeme na teplotu 00 C. [ l 0,04 cm Úloha
Διαβάστε περισσότεραFYZIKA DUSˇAN OLCˇA K - ZUZANA GIBOVA - OL GA FRICˇOVA Aprı l 2006
FYZIKA DUŠAN OLČÁK - ZUZANA GIBOVÁ - OL GA FRIČOVÁ Apríl 2006 2 Obsah 1 o-g-f:mechanický pohyb tuhého telesa 5 1.1 Kinematika hmotného bodu......................... 6 1.1.1 Rýchlost a zrýchlenie pohybu....................
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότεραZrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Διαβάστε περισσότεραFyzika (Fyzika pre geológov)
Fyzika (Fyzika pre geológov) Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci odboru geológie 4. prednáška základy termodynamiky, stavové veličiny, prenos tepla, plyny Obsah prednášky:
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραMatematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom
Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Demonštračný modul Úlohy. Zostavte matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom 2. Vytvorte simulačný model robota v simulačnom
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika a molekulová fyzika
Termodynamika a molekulová fyzika 1. Teplota telesa sa zvýšila zo začiatočnej hodnoty 25,8 C na konečnú hodnotu 64,8 C. Aká bude začiatočná a konečná teplota v kelvinoch? Aký je rozdiel konečnej a začiatočnej
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότερα8 TERMIKA A TEPELNÝ POHYB
Posledná aktualizácia: 11. mája 2012. Čo bolo aktualizované (oproti predošlej verzii zo 14. apríla 2012): Pomerne rozsiahle zmeny, napr. niekoľko nových príkladov a oprava nekorektnej formulácie pr. 8.20
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραElektromagnetické pole
Elektromagnetické pole Elektromagnetická vlna. Maxwellove rovnice v integrálnom tvare a diferenciálnom tvare. Vlnové rovnice pre E a. Vjadrenie rýchlosti elektromagnetickej vln. Vlastnosti a znázornenie
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότερα3 VLASTNOSTI PLYNOV, IDEÁLNY PLYN. 3.1 Žijeme na dne vzdušného oceánu
3 VLASNOSI PLYNOV, IDEÁLNY PLYN Pri konštrukcii tepelných strojov vynaliezavos ich konštruktérov predbehla teóriu. udia postupne pozbierali a vytriedili staršie poznatky, zbavili sa predsudkov a omylov,
Διαβάστε περισσότεραHistorický prístup k zavedeniu stavovej rovnice ideálneho plynu
Historický prístup k zavedeniu stavovej rovnice ideálneho plynu PEER HORVÁH Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK, Bratislava Gymnázium Alberta Einsteina, Bratislava, Slovensko Poďakovanie Ďakujem
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραu R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραSLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH)
Hofatex UD strecha / stena - exteriér Podkrytinová izolácia vhodná aj na zaklopenie drevených rámových konštrukcií; pero a drážka EN 13171, EN 622 22 580 2500 1,45 5,7 100 145,00 3,19 829 hustota cca.
Διαβάστε περισσότεραŠtatistická fyzika a termodynamika.
Štatistická fyzika a termodynamika. 1.1. Odhadnite na akú plochu sa rozleje 5ml oleja, ktorý sa po vodnej hladine dokonale rozteká. 1.2. Odhadnite rozmer molekuly vody ak viete, že koeficient povrchového
Διαβάστε περισσότεραModul pružnosti betónu
f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραAnalýza údajov. W bozóny.
Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke
Διαβάστε περισσότεραPrílohy INŠTRUKČNÉ LISTY
Prílohy INŠTRUKČNÉ LISTY ZÁKLADNÉ POZNATKY MOLEKULOVEJ FYZIKY A TERMODYNAMIKY 1. VH: Kinetická teória látok 2. VH: Medzimolekulové pôsobenie 3. VH: Modely štruktúr látok 4. VH: Termodynamická rovnováha
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραKomentáre a súvislosti Úvodu do anorganickej chémie
Anorganická chémia I časť 1: Komentáre a súvislosti (R. Boča) 1 Komentáre a súvislosti Úvodu do anorganickej chémie Prof. Ing. Roman Boča, DrSc. 0. Ciele komentárov Cieľom predložených Komentárov je poskytnúť
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραRočník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín
OKTÓBER SEPTEMBER Skúmanie vlastností kvapalín,, tuhých látok a Mesiac Hodina Tematic ký celok Prierezo vé témy Poznám ky Rozpis učiva predmetu: Fyzika Ročník: šiesty 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότεραHarmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť
Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραKlasifikácia látok LÁTKY. Zmesi. Chemické látky. rovnorodé (homogénne) rôznorodé (heterogénne)
Zopakujme si : Klasifikácia látok LÁTKY Chemické látky Zmesi chemické prvky chemické zlúčeniny rovnorodé (homogénne) rôznorodé (heterogénne) Chemicky čistá látka prvok Chemická látka, zložená z atómov,
Διαβάστε περισσότεραREZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických
REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραÚstav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF STU Bratislava;
Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF SU Bratislava; wwwatcsjfstubask echnická mechanika 0 3 BEK, 0 0 BDS pre bakalárov, zimný sem docingfrantišek Palčák, PhD, ÚAMM 000 7 Cvičenie: Dynamika všeobecného
Διαβάστε περισσότεραKATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότερα