Robert P. Kirshner: Výstřední vesmír. Explodujíci hvězdy, temná energie a zrychlováni kozmu

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Robert P. Kirshner: Výstřední vesmír. Explodujíci hvězdy, temná energie a zrychlováni kozmu"

Transcript

1 Sborník je doplněn bibliografií filozofa Pavla Cmoreje (s ), jsou zde uvedeny všechny jeho monografie a sborníky jeho článků, také všechny jeho statě. Už při letmém pohledu čtenáře překvapí, kolik prací Pavel Cmorej publikoval a jak mnoha různým naprosto odlišným tématům se věnoval. Cmoreje však rozhodně nelze obviňovat z povrchnosti: najdeme zde také témata, kterým se Cmorej věnoval několikrát z mnoha různých úhlů a především systematicky. Cmorej např. velmi sofistikovaně diskutoval s hegeliány o tom, zda se pojmy mohou vyvíjet, dále, jak už jsem zdůraznil, přišel s naprosto novou koncepcí empirických a zároveň (!) esenciálních vlastností, věnoval se několikrát terminologii a ontologii Wittgensteinova Traktátu, studoval povahu jazyka, logiky, promýšlel metodologii věd, své filozofické úsilí věnoval mnoha sémantickým problémům atd. výčet by mohl ještě velmi dlouho pokračovat. Editoři jistě bez nadsázky mohou tvrdit, že Pavel Cmorej sehrál při propagaci a šíření analytické filozofie na Slovensku klíčovou úlohu (s. 9). Já jen mohu dodat, že do značné míry ovlivnil také filozofování v Česku, a to nejen skrze časopis Organon F. Domnívám se, že pod patronací editorů Tomáše Marvana a Mariána Zouhara vznikla vskutku reprezentativní publikace, která svůj účel popřát Pavlu Cmorejovi k jeho jubileu jistě skvěle plní. A mně nezbývá než se ke gratulacím připojit: pane profesore, mnoho dobrých let nejen ve filozofii, ale také v osobním životě! Antonín Dolák Robert P. Kirshner: Výstřední vesmír. Explodujíci hvězdy, temná energie a zrychlováni kozmu Preložil Jiří Podolský, Paseka, Praha 2005, 316 s. Koniec XX. storočia (milénium) a prechod do nového tisícročia sa stal podnetom na rekapituláciu výsledkov vedeckého poznania v predchádzajúcom období. Poprední svetoví vedci z každého vedného odboru sa pokúsili zhrnúť dosiahnuté výsledky a načrtnúť perspektívy ďalších vedeckých výskumov s cieľom preniknúť na hlbšiu úroveň podstaty objektívnej skutočnosti. (Pozri napr. v SR známu edíciu Majstri vedy Kalligram, alebo v ČR edíciu Mistři vědy Academia.) R. P. Kirschner, profesor astronómie na Harvardovej univerzite a zástupca riaditeľa Centra pre astrofyziku Harvardovej univerzity a Smithsonovho ústavu, nie je výnimkou. Ako špecialista v oblasti výskumu supernov, dynamiky galaxií a vesmíru v recenzovanej práci zhrňuje výsledky doterajších výskumov spätých ORGANON F 15 (2008), No. 3, Copyright Filozofický 409 ústav SAV, Bratislava

2 s vývojom vesmíru a prezentuje svoje názory na jeho štruktúru, dynamiku a najmä na problém rozpínania vesmíru. Práca má jedenásť kapitol a úvod, pričom vytvára jedinečnú kompaktnú štruktúru. Skladá sa z niekoľkých vrstiev, ktoré sú navzájom poprepletané do zaujímavého koherentného celku: 1. História objavov v kozmológii v XX. stor. aj s výstižnými charakteristikami kozmológov, ktorí sa na nich aktívne podieľali. 2. Osobné spomienky autora na mnohé stretnutia s významnými osobnosťami astronómie a kozmológie a jeho aktívna účasť na výskume nov a supernov. 3. Výklad podstaty teórie súčasnej kozmológie (samozrejme bez matematického aparátu, ale pritom korektne, výstižne a vedecky presne), ktorý vedie autora k záveru o výstrednosti nášho vesmíru. 4. Zaujímavé filozofické a metodologické postrehy, ktoré súvisia s kozmologickými objavmi a ktoré poukazujú na teoreticko-metodologické východiská autorových prístupov. Tie sú pre filozofa zvlášť podnetné vo vzťahu k súčasným kozmologickým teóriám. My sa zameriame predovšetkým na problémy súvisiace so štvrtou vrstvou, pričom sa budeme opierať o jeho závery formulované v tretej vrstve. Hneď v úvode R. Kirshner formuluje niekoľko základných problémov - záhad, pred ktorými stojí súčasná kozmológia a na ktoré zatiaľ nepoznáme uspokojivé odpovede. Ukazuje, ako problém merania vzdialeností supernov postupne viedol k úplne novému pohľadu na zloženie vesmíru. a. Ukázalo sa, že kozmu dominuje tmavá energia, ktorá vyviera zo samotných vlastností prázdneho priestoru. (s. 9) Charakter tejto energie však nepoznáme. b. Tmavá energia úzko súvisí s ďalším problémom a to s hmotným obsahom vesmíru. Väčšina gravitujúceho materiálu vo vesmíre je neviditeľná, záhadou je, že ho nie je dostatočné množstvo, a hlavolamom je, že aj keby tejto skrytej hmoty bolo dostatok, malo by to negatívny vedľajší dôsledok, že by vesmír musel byť mladší ako hviezdy a galaxie v ňom obsiahnuté. (s. 10) c. Záhadou je, že všetka viditeľná a skrytá hmota vo vesmíre tvorí len tretinu množstva, ktoré vyžaduje naša najobľúbenejšia kozmológická teória, aby model vesmíru bol čo najúhľadnejší. (s. 10) d. Veľkým problémom sa stali kozmické časové škály. Najstaršie hviezdy v našej galaxii majú okolo 12 miliárd rokov. Ak by bol vesmír plný len gravitujúcej hmoty, potom by sa jeho rozpínanie postupne spomaľovalo, takže by sme dnes žili v dobe približne 10 miliárd rokov po veľkom tresku. (s. 11) To je však značný rozpor medzi teóriou a pozorovanými údajmi. Ako konštatuje autor, poukazuje to na závažné koncepčné problémy hypotézy veľkého tresku, alebo nám niečo uniká. (s. 11) Podľa R. Kirshnera tmavá energia je tou chýbajúcou zložkou v bilancii hmoty-energie, ktorú teoretici hľadali: dáva do súladu vek vesmírnych objektov so 410

3 súčasným rozpínaním vesmíru a výborne doplňuje nové merania dosvitu samotného veľkého tresku. Získali sme tým usporiadaný a prekvapivý obraz materiálneho obsahu nášho vesmíru. (s. 12) Autor zároveň poukazuje na niektoré teoreticko-metodologické problémy súvisiace s poznávaním vesmíru. a. Vesmír ovládaný tmavou energiou poukazuje na naše hlboké neznalosti mikroskopických vlastností prázdneho priestoru, správanie samotného vákua. (s. 12) b. Žiadne laboratórne experimenty ani žiadna fyzikálna teória dnes nepredpovedajú také množstvo tmavej energie, ktoré naznačujú naše astronomické pozorovania. (s. 12) c. Ďalším krokom na ceste k lepšiemu pochopeniu vesmíru najmenších meradiel bude zjednotenie gravitácie s ostatnými silami v prírode. (s. 12) Prečo autor považuje náš vesmír za výstredný? Odpovedá. Pracovná verzia dnešného obrazu vesmíru je naozaj extravagantná: neutrína v ňom tvoria horúcu tmavú hmotu, niečo neznáme utvára chladnú tmavú hmotu, v čase sekundy po veľkom tresku prešiel inflačnou fázou a dnes, kedy je krát starší je zrýchľovaný tmavou energiou. (s. 12) Je to naozaj model veľmi divoký, podivný a extravagantný. Ale opiera sa o najnovšie vedecké pozorovania a nimi získané vedecké poznatky. Prvá kapitola Veľký obraz nás uvádza do uceleného fyzikálneho obrazu histórie a vývoja kozmu. (s. 15) Autor konštatuje, že aj napriek naším nepatrným rozmerom a veľmi krátkym životom vzhľadom k rozmerom kozmu a jeho časovej existencii, dokázal človek vypracovať empirické a teoretické metódy, ktoré mu umožňujú skúmať štruktúru vesmíru a jeho históriu, a tak máme dnes k dispozícii prvý reálny ucelený obraz kozmickej histórie a kozmickej geometrie. (s. 19) Zásluhu na tom má súčasná úroveň vedeckého poznania, ale aj nové technológie a nová technika. Vychádza sa tiež z predpokladu, že fyzikálne zákony objavené tu na Zemi platia i vo veľmi vzdialených miestach vesmíru. Ale aj napriek dosiahnutým úspechom je naša ľudská obrazotvornosť veľmi slabá. Vesmír je výstrednejší, než si dokážeme predstaviť.... Objekty, ktoré pozorujeme, sú podivnejšie a exotickejšie, ako nám ukazujú aj tie najodvážnejšie špekulácie. (s. 20) Problém je predovšetkým v tom, že obraz vesmíru je zostavovaný len z fragmentov informácií, nepriamych dôkazov a špekulácií. Ďalšou bariérou výskumu je skutočnosť, že neskúmame aktuálnu súčasnosť vesmíru, ale len jeho minulosť, čo však z hľadiska poznania vývoja vesmíru je aj určitou výhodou, pretože priamo pozorujeme niektoré stavy vznikania a formovania kozmických štruktúr. Konečná doba, ktorá uplynula od veľkého tresku, spolu s konečnou rýchlosťou šírenia svetla určujú prirodzenú hranicu nášho bezprostredného poznania vesmíru oblasť ktorú môžeme priamo pozorovať, má polomer len 14 miliárd svetelných rokov. (s. 28) Z uvedeného vyplýva, že prevažná časť vesmíru je pre nás nepozorovateľná. Vesmír, ktorý vidíme, je ovládaný vesmírom, ktorý nevidíme: tmavou hmotou nepodobnou protónom 411

4 a neutrónom, z ktorých sú zložené naše telá, a záhadnou tmavou energiou, ktorá sa prejavuje v zrýchľujúcom sa rozpínaní vesmíru. Druhá kapitola Divokí aktéri kozmických zmien je venovaná spektroskopii, empirickej metóde, prostredníctvom ktorej sa skúma chemické zloženie žiariacich vesmírnych objektov. Spektroskopia sa stala mocným nástrojom analýzy fyzikálneho sveta z kvalitatívneho ako aj kvantitatívneho aspektu. Vieme určiť nielen to, z akých chemických prvkov sa vesmírna štruktúra skladá, ale aj to, koľko je daného prvku v danej štruktúre. Chemické prvky sa rodia vo hviezdach, ktoré adekvátne s vysokou presnosťou opisuje jadrová fyzika. Autor veľmi názorne ukazuje, ako výskumom supernov typu Ia, ktoré sú vlastne termonukleárne explózie, vybuchujúce atómové bomby o hmotnosti hviezd (s. 46), sme získali základné informácie o formovaní tzv. bielych trpaslíkov, ale i klasifikáciu vývoja hviezd podľa určitej hmotnosti. Na základe týchto teórií dnes vieme, prečo je naša forma života založená na uhlíku a prečo sa hovorí, že sme deti zrodené z popola hviezd. Tretia kapitola Iný druh explózie je venovaná životu a smrti hviezd, ktorých hmotnosť prevyšuje osemkrát hmotnosť nášho slnka. Nazývajú sa supernovy typu II, u ktorých stelárny život nekončí formou bieleho trpaslíka, ale formou čiernej diery. Explodujú iným spôsobom. Ich energia pochádza z gravitačného kolapsu. Výskum supernov typu I a II ukázal, ako sa hviezdy postupne za milióny a miliardy rokov menia a prechádzajú rôznymi stavmi až po svoj zánik. Počas svojho života syntetizujú ťažké prvky z ľahších a vyvrhujú tieto produkty do medzihviezdneho plynu. Tak vzniká materiál, z ktorého sa formujú nové, na prvky bohatšie hviezdy. (s. 66) Štvrtá kapitola Einstein pridáva konštantu a piata kapitola Rozpínanie vesmíru sa venujú všeobecnej teórii relativity a dôsledkom, ktoré z nej vyplývajú, ako aj ich experimentálnemu overovaniu (posun obežnej dráhy Merkúra o 43 uhlových sekúnd a ohyb svetelných lúčov prechádzajúcich zakriveným priestorom okolo slnka), kozmologickej konštante Λ, ktorá mala zabezpečiť stacionárnosť vesmíru, problémom rozpínania vesmíru, Hubblovej konštante H 0, kritickej hustote a strednej hustote (nameranej) hmoty vo vesmíre. Šiesta kapitola Koľko je hodín je venovaná metódam určenia veku vesmíru na základe Hubblovej konštanty H 0. Ako zdôrazňuje autor hĺbka času, s ktorou pracuje geológia, astronómia a kozmológia, je nesúmerateľná s písanými záznamami ľudskej kultúry. Veľká história od veľkého tresku siaha neporovnateľne ďalej, ako siaha naša kolektívna pamäť. (s. 105) Ak Hubblova konštanta H 0 = 70 km.s -1.Mgp -1, potom vek vesmíru vychádza približne (t 0 = 1/H 0) na 14 miliárd rokov. Dnešná hodnota H 0 = 70 ± 7 kilometrov za sekundu na megaparsek, ktorá bola získaná meraním vzdialenosti supernov, sa javí ako najadekvátnejšie vyjadrenie veku vesmíru, potvrdené empirickými metódami výskumu kozmických štruktúr. Siedma kapitola Horúci deň v Holmdelu sa zaoberá reliktným žiarením, ktoré je pozostatkom začiatočného horúceho stavu vesmíru, a ktoré má dnes teplotu 412

5 2,725 kelvina. Reliktné žiarenie nesie informáciu o vesmíre, keď prestal byť nepriehľadný a stal sa viditeľný. Reliktné žiarenie je na prvý pohľad izotrópne. Problém je to, ako vysvetliť túto uniformitu vesmíru. Jednou z teórií, ktorá hľadá odpoveď, je inflačná kozmológia. Ako však ukázali najnovšie empirické merania (družica COBE, družica WMAP), už v začiatkoch rozpínania vesmíru existovali hustotné nehomogenity, ktoré sa v neskorších vývojových fázach vesmíru stali zárodkami galaktických štruktúr. Na začiatku boli náhodné fluktuácie, gravitácia ich zorganizovala do podoby galaxií a hviezd. (s. 142) Inflačná kozmológia však nevie vysvetliť, z čoho sa skladá merané množstvo hmoty. Merania ukazujú, že celková hmota sústredená v galaxiách je oveľa väčšia ako množstvo hmoty vo hviezdach. Z uvedeného vyplýva, že väčšina hmoty v kopách galaxií je tmavá. Ale my nevieme, aká je jej podstata. Väčšina tmavej hmoty vesmíru nemôže byť tvorená neutrónmi alebo protónmi, teda ani obvyklými chemickými prvkami, ktoré tvoria aj naše telo. (s. 150) Kandidátov je viacej axióny, neutralíno, častice WIMP atď. Ôsma kapitola Naučiť sa plávať, deviata kapitola Byť prví a desiata kapitola Mať pravdu sú venované výskumu supernov a ich spätosti s problémom expanzie vesmíru, kozmologickou konštantou, ktorú A. Einstein pôvodne zaviedol do svojich gravitačných rovníc, aby zachoval stacionárnosť vesmíru, ale následne ju vylúčil, keď Hubble empiricky dokázal rozpínanie vesmíru. Súčasné výskumy ukazujú, že ak chceme pochopiť svet, v ktorom žijeme, musíme brať do úvahy aj kozmologickú konštantu. Už to nie je len vec estetiky alebo záležitosť sebapoznania. Nie je to len strnište pre Occamovu britvu. Musíme sa s kozmologickou konštantou naučiť žiť. (s. 254) Pozornosť sa venuje tiež kozmickej hustote hmoty m a jej vplyvu na typ modelu vesmíru, ako aj hustote energie. Jedenásta kapitola Skutočný dôkaz syntetizuje výsledky výskumu supernov. K akým záverom sa výskumné tímy dopracovali? 1. Podarilo sa na súčasnej úrovni stanoviť, koľko tmavej energie a koľko tmavej hmoty obsahuje náš vesmír m = 0,3 a = 0,7. Inak povedané vesmír sa približne z dvoch tretín skladá z tmavej energie a jednej tretiny z tmavej hmoty. (s. 286) Ako konštatuje autor, možno sa nám podarilo sčítať celkovú hmotu a energiu vesmíru, bohužiaľ však nevieme presne, o čom vlastne hovoríme. Tmavou energiou môže byť kozmologická konštanta, ale kľudne aj niečo iné so záporným tlakom. A pokiaľ je inflačný scenár správny, už po druhé je vesmír ovládaný tmavou energiou po prvé tomu bolo v čase sekundy a teraz po druhé v čase sekundy po veľkom tresku. (s. 286) Tmavá hmota sa skladá s neutrónov, protónov a neutrin, ale jej väčšiu časť tvorí niečo iné a my nevieme čo. 2. Problémom sa v súčasnosti stala hodnota kozmologickej konštanty. Predpoveď časticových teórií určuje jej hodnotu približne na alebo 0. Nameraná hodnota je však 0,7. Existuje tu značný rozpor medzi teoretickou predpoveďou a empirickou hodnotou. 413

6 3. Vzhľadom na to, že v budúcnosti bude hustota energie tmavej hmoty ďalej klesať (zrýchľovanie rozpínania vesmíru), kozmologická konštanta, ktorá zostáva rovnaká, bude tvoriť čím ďalej väčší podiel celkovej hustoty energie vesmíru. (s. 287) Inak povedané, ak existuje kozmologická konštanta, potom bude tmavá energia dominovať nad tmavou hmotou. Vzniká otázka. Prečo žijeme v takto výnimočnom a z kozmologického hľadiska krátkom období, keď majú obe veličiny porovnateľnú hodnotu? Aký je fyzikálny dôvod takéhoto stavu? 4. Pokiaľ existuje kozmologická konštanta, ktorá spôsobuje v posledných 5 miliardách rokov zrýchľovanie kozmickej expanzie, potom bude vesmír v rozpínaní pokračovať exponenciálne. Jedným z dôsledkov bude nemožnosť detekcie mnohých vesmírnych štruktúr. Vesmír sa stane osamelým, nudným, chladným a tmavým miestom. Preto máme dobrý dôvod pozorovaciu prácu previesť už teraz. Za pár stoviek miliárd rokov už to možno nepôjde. (s. 290) Ale je to skutočne tak? Nemôžu naše budúce znalosti o vesmíre úplne zmeniť tento náš neúplný scenár vývoja vesmíru? Vesmír je divokejší, ako si obvykle dokážeme predstaviť. Vesmír obsahuje tmavú energiu a tmavú hmotu, pritom ani jedno z toho nepoznáme z našej každodennej skúsenosti ani zo žiadnych pozemských experimentov. Viditeľná zložka vesmíru a nádherne prepracované štruktúry atómov nášho tela i nášho sveta nie sú zložené z prevládajúceho materiálu kozmu. Ale na druhej strane tento materiál má potenciálne vytvárať zložité a nepredvídateľné formy, ako sú napr. aj ľudské bytosti. R. Kirshner v predloženej práci nepredkladá len obraz súčasného výstredného a neobyčajného nášho vesmíru. V rámci svojich kozmologických úvah vyslovuje veľa podnetných, ale i provokujúcich myšlienok o vede, metodológii vedeckého poznania ale aj samotnej vedeckej práci a jej zmysle pre spoločnosť. a. Vychádza z reálnej existencie nášho vesmíru, ktorý je síce pre nás nateraz veľmi podivný, v neustálej zmene a pohybe, ale poznávateľný. Toto poznávanie je dobrodružstvo, pri ktorom vzrušujúce zážitky vyvierajú z porozumenia. (s. 13) b. Zaujímavé sú autorove názory na vedu. Veda je tým pravým tvorcom, ktorá sa neustále zdokonaľuje a umožňuje čerpať z poznatkov tých najväčších mozgov minulosti... a využívať rýchle sa zlepšujúce technológie k preosievaniu veľkej záplavy nových pozorovacích dát.... Dnešná veda je rozhodne lepšia ako veda minulých storočí. Dnes môžeme zužitkovať naprosto všetky dobré myšlienky i merania prevedené v minulosti... Dokážeme dešifrovať vesmír, pretože fyzikálne zákony objavené tu na Zemi platia i vo veľmi vzdialených miestach. (s. 19) Veda nie je rozsiahlou encyklopédiou, je skôr malým ohníkom rozumu plápolajúcim nad širokými vodami nevedomosti. (s. 30) Veda nehlása absolútne pravdy, môže sa aj mýliť, ale v kritickej reflexii sa vždy dopracuje k relatívnej pravde, teda k adekvátnym poznatkom na danej historickej úrovni poznania. Na rozdiel od politických teórií nepokladáme vedecké pravdy za nedotknuteľné. Overujeme ich meraním. (s. 89) Na vede je nádherné práve to, že nakoniec 414

7 nám príroda sama povie, či zo seba nerobíme bláznov. Skutočné objekty môže zmerať znovu niekto iný, čím sa mylné dáta nakoniec odhalia. (s. 65) Veda nie je to isté čo právny systém. Nestačí presvedčiť porotu. Aj keď sa vždy snažíte presvedčiť poučenú porotu o správnosti svojho názoru, konečný verdikt vynesú až pozorované fakty.... Teoretici majú svoju váhu, pokiaľ sú stimulujúci. Pre nich nie je ani tak dôležité, či majú pravdu. Naproti tomu pozorovania sú užitočné len vtedy, ak sú správne. (s. 221) Každá vedecká predstava musí byť dostatočne rozumná a zároveň nesmie porušovať medze určené pozorovaním. (s. 259) Podľa neho nastal čas pre menej propagandy a viacej dát. (s. 263) c. Veľká časť astronómie síce aplikuje známe fyzikálne zákony na astronomické javy, ale často neexistuje vôbec žiadny spôsob, ako otestovať astronomické teórie pomocou riadeného experimentu. Astronómia nie je čisto experimentálnou vedou, v ktorej sa skvele vymyslené predpovede fyzikálnych teórií len overujú. Je to veda hnaná vpred objavmi, pretože objekty, ktoré pozorujeme, sú podivnejšie a exotickejšie, ako nám dovoľujú i tie najodvážnejšie špekulácie. (s. 20) Astronómia je pozorovacia veda, čo znamená, že musíme byť trpezliví, mať šťastie a svoje myšlienky overovať rôznymi metódami. (s. 56) d. Podľa autora sa astrológovia mýlia, keď predpovedajú našu budúcnosť z hviezd. My predpovedáme budúcnosť hviezd, a to na základe spoľahlivej znalosti javov odohrávajúcich sa v atómových jadrách, vďaka ktorým hviezdy žiaria. Tieto predpovede môžu byť ľahko testované. (s. 20) e. R. Kirshner si veľmi jasne uvedomuje, že objektívna realita je oveľa zložitejšia a bohatšia, ako ju vidíme dnes z pohľadu modernej vedy. Ako konštatuje, v kozmickej knihe je ešte veľa ďalších stránok, ktoré sme doposiaľ neprečítali. (s. 21) f. Naše empirické metódy sú vždy zaťažené určitou nepresnosťou a chybami. Podľa autora napr. v astronómii môže byť znalosť chyby merania rovnako dôležitá ako vlastná nameraná hodnota, pretože vám hovorí, akú dôveru v túto hodnotu môžete mať.... Neistota nie je nič dobré, zato znalosť neistoty áno. Chráni vás pred aroganciou, keď dáta nie sú spoľahlivé, a naopak vám dodáva odvahu, keď to údaje oprávňujú. (s. 40) g. Autor má podnetné postrehy aj z metodológie vedeckého poznávania. Odporúča, že ak chcete získať správne výsledky, musíte porovnávať rovnaké objekty, (s. 51)... a ak máte dve súhlasiace nezávislé merania, môžete mať dôveru v to, že ste namerali skutočný efekt, a nie šum zariadenia. (s. 61) Ak niečo skutočne existuje, iné skupiny s porovnateľným technickým vybavením by mali byť schopné to preukázať. Až keď viacej skupín preukáže niečo dôležité, možno to považovať za fakt. (s. 63) h. Mnohé omyly vo vede často vyplývajú z nesprávnych začiatočných východísk. Pekným príkladom z dejín vedy je sám veľký A. Einstein. V r po konzultácii s W. de Sitterom, profesorom astronómie v holandskom Leidene, vyšiel pri konštrukcii všeobecnej teórii relativity z predpokladu, že naša galaxia je 415

8 celý vesmír. Ale pretože Mliečna cesta nie je celý vesmír, zaviedlo to Einsteina na legendárne scestie, ku slávnemu omylu a potom k ľútosti nad ním. (s. 69) i. R. Kirshner si veľmi dobre uvedomuje, že matematická krása vedeckej teórie (estetický prístup) ešte nezaručuje jej pravdivosť a adekvátnosť. Teoretická fyzika si cení jednoduchosť a eleganciu a bráni sa zavádzaniu matematických členov, ktoré nie sú nevyhnutné. Tento estetický princíp nazýva sa Occamova britva a bol už dávno povýšený na krédo vyjadruje potrebu redukovať myšlienky až na ich holú podstatu. Occamova britva hlása, že entity nemajú byť bezdôvodne zmnožované, alebo stručne vyjadrené, že najjednoduchšie opisy sú tie najlepšie; Einstein sa však rozhodol pridať kozmologickú konštantu, a to preto, aby dosiahol súlad s astronomickými dátami. (s. 77) Konečným testom teórie nie je to, ako veľmi sa vám tá ktorá idea páči, ale to, ako dobre opisuje skutočný svet. (s. 71). A to môže preveriť len príslušný experiment. Až po experimentálnej previerke môžeme uvažovať, či je daná teória správna. Vedec nemôže vzdať väčšiu poctu teórii ako tú, že ju osobne overí. (s. 73) Samozrejme, nie všetky kozmologické teórie vieme dnes reálne testovať, ale musia pripúšťať principiálne overenie. To však môže byť aj hrobárom danej teórie. j. Každá vedecká teória má aj explanačnú a predikčnú funkciu. Vysvetliť, čo už je známe, je určite dobrá vec, ale urobiť úplne novú predpoveď je vynikajúcim rysom novej vedeckej teórie. Poskytuje to pozorovateľom možnosť overiť, či sa mýlite. Predpovede sú veľmi riskantným spôsobom života každej dobrej teórie. (s. 72) k. Vo vede dôležitú úlohu zohrávajú vedecké rozpravy, v rámci ktorých sa vyjasňujú stanoviská k diskutovaným problémom. Podľa autora vo vedeckom výskume sa však debata rozhorí len vtedy, ak neexistuje presvedčivý dôkaz, takže je potreba veľkej dávky intuície, aby sa dostupné dáta vyložili. Dobre, pravda niekde existuje, ale my sme na ňu zatiaľ nedosiahli. A pretože pravda na nás trpezlivo čaká, až odvrhneme dlhoročné predsudky a omyly, majú chybujúce ľudské bytosti dosť času na to, aby mohli tápavo hľadať cestu vpred k tomu skutočnému príbehu. Dobré nástroje tomu pomáhajú. (s. 82) l. Jazykom prírodných vied je matematika, prostredníctvom ktorej dokážu efektívnejšie, jednoduchšie a adekvátnejšie vyjadriť reálne vzťahy medzi štruktúrami objektívnej skutočnosti. Týka sa to aj astronómie a kozmológie. Podľa R. Kirshnera, keď majú vedci k dispozícii dva zoznamy údaje o červených posunoch a údaje o vzdialenostiach je hneď jasné, čo urobia. Nakreslia graf. To preto, že hľadajú matematický vzťah, ktorý stojí v pozadí pozorovaných skutočností. Kniha prírody je písaná v jazyku matematiky a graf je tým najnázornejším spôsobom, ako môžu zistiť vzájomnú súvislosť dvoch veličín. (s. 87) m. Pri pozorovaní podobne ako i pri iných empirických metódach vznikajú rôzne chyby, ktoré skresľujú získané poznatky. Autor vydeľuje dve. Existujú prinajmenšom dva spôsoby, ktorými sa možno pri pozorovaní mýliť. Jedným je, že pozorovania sú zlé, realizované pomocou nekvalitných prístrojov, takže neistota spojená s každým meraním je vysoká. Chyby sú náhodilé, ale veľké. To sa 416

9 často stáva v nových oboroch vedy, akým bola observačná kozmológia okolo roku Nech robíte čo robíte, výsledky sú stále neuspokojivé. Druhým prípadom sú systematické chyby; vaše výsledky navzájom spolu dobre súhlasia, ale všetky sa zároveň odchyľujú od skutočnej hodnoty, pretože meriate zlú vec alebo opakujete stále rovnakú chybu. To je oveľa horšia situácia, pretože taká chyba sa ťažko odhaľuje. Vysliediť systematickú chybu vyžaduje hlbšie premýšľanie alebo čo je zďaleka najlepšie nezávislé merania rovnakej veličiny. (s. 113) V prípade, že robíte systematickú chybu a slepo sa spoľahnete na Gaussovu štatistiku, ľahko môžete prísť o svoju zlatú rybku alebo psa. (s. 115) Ľudský mozog je omylný a existuje mnoho spôsobov, ktorými sa možno dopúšťať jemných, a napriek tomu podstatných chýb, dokonca aj omylov, ktoré nemožno napraviť ani žiadnym vylepšeným štatistickým spracovaním dát. (s. 118) n. Problémom sa stala aj diskutovaná kozmologická konštanta. Ako konštatuje autor, dnes však máme k dispozícii širší rámec, ktorý nám hovorí, čo by kozmologická konštanta mohla byť: dívame sa na ňu ako na tmavú energiu vákua so záporným tlakom. Po sedemdesiatich rokoch zavrhovania nielenže ju nové fakty pripúšťajú, oni dokonca niečo ako kozmologickú konštantu vyžadujú. (s. 158) Tmavá energia, ktorá môže byť kozmologickou konštantou alebo je niečím veľmi podobným, čo sa v čase mierne mení, prestala byť divokou myšlienkou nevhodnou do slušnej diskusie, a stala sa základným rysom nášho dnešného pohľadu na vesmír. (s. 161) o. Na viacerých miestach venuje autor pozornosť metóde empirickej a teoretickej. Empirická metóda, ktorej podstatu nechápete, je horšia ako metóda, ktorá má logické vysvetlenie. (s. 163) Keď sa výsledky úplne nezávislých postupov zhodujú, možno zbadať kus pravdy. (s. 283) p. V závere svojej práce sa autor zmieňuje aj o vzťahu vedy a spoločnosti, kde vyjadruje svoj vlastný vzťah k vede ako profesionálny vedec. Ilustruje to na príklade zasadania Americkej fyzikálnej spoločnosti. Na pódiu sedela celá rada prezidentských poradcov pre otázky vedy, z ktorých niektorí zažili ešte Trumanovu éru. Počúval som ich, keď hovorili o úlohe vedy v Spojených štátoch, a bol so čím ďalej podráždenejší a netrpezlivejší. Hovorili o význame vedy pre ekonomický rast cez technologické inovácie. O vede ako sliepke znášajúcej zlaté vajcia. Hovorili o význame vedy pre obranyschopnosť zeme. O vede doplňujúcej tajomstvá rýchlejšie, ako unikajú. Hovorili o význame vedy pre liečbu chorôb a predlžovanie ľudského života. O vede ako živej vode. Predpokladám, že každý chce byť bohatý, žiť v bezpečí a byť nesmrteľný. Prinajmenšom každý kongresman. A tak si myslím, že je to vcelku rozumná sada cieľov, ktoré môžu prezidentskí poradcovia pre otázky vedy propagovať. Veda o vesmíre nie je zameraná na tvorbu bohatstva, zvyšovanie obranyschopnosti alebo liečbu chorôb. Jej cieľom je prehlbovať naše poznanie sveta, ale o tom sa žiadny rečník nezmienil.... Našou najvyššou túžbou nie je dosiahnuť dokonalého prepychu. Byť bohatý, bezpečný, nesmrteľný, ale znudený nenaplňuje našu predstavu raja. Kozmické 417

10 objavy živia našu hlbokú túžbu po poznaní toho, čo je svet a ako funguje. (s. 292) Samozrejme, nemusíme so všetkými názormi autora súhlasiť. Spomenieme na ilustráciu niektoré z nich. Autor síce spomína inflačnú kozmológiu, ale nikde nehovorí o mnohosti vesmírov ani o vyššej kozmickej štruktúre, ako je supervesmír. Z jeho výkladu nie je celkom jasné, či náš vesmír je jediný a možno ho považovať za celé univerzum. Nie je tiež jasné, ak náš vesmír vznikol veľkým treskom z fyzikálneho vákua (vákuový modul), v čom sa tento modul predtým nachádzal, čoho súčasťou ako konkrétna forma existencie hmoty bol. Na mnohých miestach autor hovorí o premene hmoty na energiu, čo je treba v danom kontexte chápať skôr ako premenu látkovej formy hmoty na polovú formu existencie a nie akúkoľvek formu hmoty na energiu. Práve v nevyjasnenosti samotného pojmu vesmír je potom problematické vysvetľovanie aj problému rozpínania priestoru. Mohli by sme menovať mnohé ďalšie. Sympatické na danej práci je to, že autor svoje názory neabsolutizuje a bez problémov priznáva to, čo z hľadiska súčasnej úrovne vedeckého poznania nevieme, čomu nerozumieme a kde vytvárame len určité hypotézy, ba dokonca i špekulácie, pretože sa nemôžeme zatiaľ oprieť o empirickú bázu poznania. V tomto smere je daná monografia aj podnetnou informáciou o neriešených problémoch na špici výskumov súčasnej kozmológie. Ale aj napriek tomu považujeme danú monografiu R. Kirshnera za fundovaný príspevok profesionálneho astronóma k hlbšiemu pochopeniu podstaty nášho vesmíru, jeho vývoja ako i miesta poznávajúceho subjektu človeka v ňom. Ján Dubnička 418

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

Hranice poznania. Aristoteles ( p.n.l.), Aristarchos ( p.n.l.),... Vesmír = slnečná sústava (sféry planét + sféra stálic), geocentrizmus

Hranice poznania. Aristoteles ( p.n.l.), Aristarchos ( p.n.l.),... Vesmír = slnečná sústava (sféry planét + sféra stálic), geocentrizmus NA KONIEC VESMÍRU Stroj času Hranice poznania Aristoteles (384 322 p.n.l.), Aristarchos (310 230 p.n.l.),... Vesmír = slnečná sústava (sféry planét + sféra stálic), geocentrizmus Hranice poznania Aristoteles

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania 2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Analýza údajov. W bozóny.

Analýza údajov. W bozóny. Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27

Διαβάστε περισσότερα

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017 Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

FYZIKA A SÚČASNÁ SPOLOČNOSŤ

FYZIKA A SÚČASNÁ SPOLOČNOSŤ Trnavská univerzita v Trnave Pedagogická fakulta FYZIKA A SÚČASNÁ SPOLOČNOSŤ Július Krempaský Žaneta Gerhátová Trnava 014 Trnavská univerzita v Trnave Pedagogická fakulta Recenzenti: doc. RNDr. Anna. Danihelová,

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

FYZIKÁLNEHO EXPERIMENTU VANIA VZDELÁVANIA. RNDr. Karol Kvetan, CSc. Ing. Robert Riedlmajer, PhD.

FYZIKÁLNEHO EXPERIMENTU VANIA VZDELÁVANIA. RNDr. Karol Kvetan, CSc. Ing. Robert Riedlmajer, PhD. DIAĽKOV KOVÉ OVLÁDANIE FYZIKÁLNEHO EXPERIMENTU AKO SÚČASS ASŤ E-LEARNINGOVÉHO VZDELÁVANIA VANIA RNDr. Karol Kvetan, CSc. Ing. Robert Riedlmajer, PhD. Je známa skutočnosť, že výučba technických disciplín

Διαβάστε περισσότερα

Zadání úloh. Úloha 4.1 Sirky. Úloha 4.2 Zvuk. (4b) (4b) Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4. Termín odeslání 24. 3.

Zadání úloh. Úloha 4.1 Sirky. Úloha 4.2 Zvuk. (4b) (4b) Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4. Termín odeslání 24. 3. Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4 Termín odeslání 24. 3. 2003 Milí kamarádi, jetunovéčíslonašehočasopisuasnímiprvníinformaceojarnímsoustředění.budesekonat3. 11.května2003vCelnémuTěchonínavokreseÚstí

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu

Διαβάστε περισσότερα

Kozmológia. Vladimír Balek. (prednáška pre 5.roč. ftf) xxxxxx. xxxxxx. xxxxxx. xxxxx

Kozmológia. Vladimír Balek. (prednáška pre 5.roč. ftf) xxxxxx. xxxxxx. xxxxxx. xxxxx Kozmológia (prednáška pre 5.roč. ftf) Vladimír Balek xxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxx xx Obsah 1. Súčasná predstava o vesmíre 2. Robertsonova Walkerova metrika 3. Hubblov zákon 4. Dynamika vesmíru 5. Modely

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Heslo vypracoval: RNDr. Ladislav Hric, CSc. Astronomický ústav Slovenskej akadémie vied

Heslo vypracoval: RNDr. Ladislav Hric, CSc. Astronomický ústav Slovenskej akadémie vied 1 rozpínanie Vesmíru encyklopedické heslo V roku 1915 Albert Einstein postuloval všeobecnú teóriu relativity, z ktorej vyplynulo, že celý pozorovaný Vesmír sa rozpína. Toto rozpínanie pomocou pozorovaní

Διαβάστε περισσότερα

ČLOVEK A PRÍRODA. (neúplný) experimentálny učebný text

ČLOVEK A PRÍRODA. (neúplný) experimentálny učebný text ČLOVEK A PRÍRODA Zem náš domov (neúplný) experimentálny učebný text V Z D E L Á V A C I A O B L A S Ť Č L O V E K A P R Í R O D A tematický celok Zem náš domov Martin Mojžiš, František Kundracik, Alexandra

Διαβάστε περισσότερα

výber myšlienok, výrokov i aforizmov pre súčasných aj budúcich učiteľov matematiky (ale nielen pre nich) Vybral a zostavil Dušan Jedinák

výber myšlienok, výrokov i aforizmov pre súčasných aj budúcich učiteľov matematiky (ale nielen pre nich) Vybral a zostavil Dušan Jedinák výber myšlienok, výrokov i aforizmov pre súčasných aj budúcich učiteľov matematiky (ale nielen pre nich) Vybral a zostavil Dušan Jedinák 2010 2 Slovo na úvod Ak človek chápe svoju prácu ako povolanie,

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008) ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály

Διαβάστε περισσότερα

Heslo vypracoval : RNDr. Vojtech Rušin, DrSc. Astronomický ústav Slovenskej akadémie vied

Heslo vypracoval : RNDr. Vojtech Rušin, DrSc. Astronomický ústav Slovenskej akadémie vied astronómia encyklopedické heslo Vedný odbor, ktorý sa zaoberá výskumom vesmíru ako celku a všetkými nebeskými telesami, ktoré sa v ňom nachádzajú, napr. hviezdy, planéty a ich mesiace, medzihviezdna hmota,

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

Riadenie elektrizačných sústav

Riadenie elektrizačných sústav Riaenie elektrizačných sústav Paralelné spínanie (fázovanie a kruhovanie) Pomienky paralelného spínania 1. Rovnaký sle fáz. 2. Rovnaká veľkosť efektívnych honôt napätí. 3. Rovnaká frekvencia. 4. Rovnaký

Διαβάστε περισσότερα

Teória pravdepodobnosti

Teória pravdepodobnosti 2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia

Διαβάστε περισσότερα

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet

Διαβάστε περισσότερα

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín OKTÓBER SEPTEMBER Skúmanie vlastností kvapalín,, tuhých látok a Mesiac Hodina Tematic ký celok Prierezo vé témy Poznám ky Rozpis učiva predmetu: Fyzika Ročník: šiesty 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích

Διαβάστε περισσότερα

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky

Διαβάστε περισσότερα

STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY

STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

VÝVOJ VESMÍRU A JEHO BUDÚCNOSŤ

VÝVOJ VESMÍRU A JEHO BUDÚCNOSŤ VÝVOJ VESMÍRU A JEHO BUDÚCNOSŤ Martin Vaňko Astronomický ústav SAV, 059 60 Tatranská Lomnica Hvezdáreň a planetárium Prešov, 8.10.2015 História v kocke (Starovek) Najstaršie zmienky (úvahy) o vzniku sveta

Διαβάστε περισσότερα

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE bulletin občianskeho združenia 2 /6.11.2006/ ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE akvá ri um pr pree kre vet y, raky a krab y akva foto gr afi e Ji Jiřříí Plí š

Διαβάστε περισσότερα

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore. Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.

Διαβάστε περισσότερα

Materiály pro vakuové aparatury

Materiály pro vakuové aparatury Materiály pro vakuové aparatury nízká tenze par malá desorpce plynu tepelná odolnost (odplyňování) mechanické vlastnosti způsoby opracování a spojování elektrické a chemické vlastnosti Vakuová fyzika 2

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy matematiky I

Numerické metódy matematiky I Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom

Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Demonštračný modul Úlohy. Zostavte matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom 2. Vytvorte simulačný model robota v simulačnom

Διαβάστε περισσότερα

Z čoho sa svet skladá? Čo ho drží pokope?

Z čoho sa svet skladá? Čo ho drží pokope? 4 ŠTANDARDNÝ MODEL 4.1 História Počiatkom všetkých vied je úžas nad tým, čím veci sú a čo sú. Aristoteles Z čoho sa svet skladá? Čo ho drží pokope? Odpovede na tieto otázky, na dnešnej úrovni nášho poznania,

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

Priezvisko: Ročník: Katedra chemickej fyziky. Krúžok: Meno: Dátum cvičenia: Dvojica:

Priezvisko: Ročník: Katedra chemickej fyziky. Krúžok: Meno: Dátum cvičenia: Dvojica: Katedra chemickej fyziky Dátum cvičenia: Ročník: Krúžok: Dvojica: Priezvisko: Meno: Úloha č. 7 URČENIE HUSTOTY KVPLÍN Známka: Teória Tabuľka Výpočet Zaokrúhľovanie Záver Meranie 1. Úlohy: a) Určte hustotu

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Rádioaktivita izotopy stabilita ich atómových jadier rádioaktivita žiarenie jadrové

2.2 Rádioaktivita izotopy stabilita ich atómových jadier rádioaktivita žiarenie jadrové 2.2 Rádioaktivita Koniec 19. storočia bol bohatý na významné objavy vo fyzike a chémii, ktoré poskytli základy na vybudovanie moderných predstáv o zložení atómu. Medzi najvýznamnejšie objavy patrí objavenie

Διαβάστε περισσότερα

AUTORIZOVANÝ PREDAJCA

AUTORIZOVANÝ PREDAJCA AUTORIZOVANÝ PREDAJCA Julianovi Verekerovi, už zosnulému zakladateľovi spoločnosti, bol v polovici deväťdesiatych rokov udelený rad Britského impéria za celoživotnú prácu v oblasti audio elektroniky a

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Stavba atómového jadra

Stavba atómového jadra Objavy stavby jadra: 1. H. BECQUEREL (1852 1908) objavil prenikavé žiarenie vysielané zlúčeninami prvku uránu. 2. Pomocou žiarenia α objavil Rutherford so svojimi spolupracovníkmi atómové jadro. Žiarenie

Διαβάστε περισσότερα

Spojitosť a limity trochu inak

Spojitosť a limity trochu inak Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho

Διαβάστε περισσότερα

Příloha č. 1 etiketa. Nutrilon Nenatal 0

Příloha č. 1 etiketa. Nutrilon Nenatal 0 Příloha č. 1 etiketa Nutrilon Nenatal 0 Čelní strana Logo Nutrilon + štít ve štítu text: Speciální výživa pro nedonošené děti a děti s nízkou porodní hmotností / Špeciálna výživa pre nedonosené deti a

Διαβάστε περισσότερα

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Επιστολή

Εμπορική αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Mr. J. Rhodes Rhodes & Rhodes Corp. 212 Silverback Drive California Springs CA 92926 Αμερικανική γραφή διεύθυνσης: όνομα εταιρείας Αριθμός κατοικίας + όνομα οδού Ονομασία πόλης + συντομογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Tematický výchovno - vzdelávací plán

Tematický výchovno - vzdelávací plán Tematický výchovno - vzdelávací plán Stupeň vzdelania: ISCED 2 Vzdelávacia oblasť: Človek a príroda Predmet: Fyzika Školský rok: 2016/2017 Trieda: VI.A, VI.B Spracovala : RNDr. Réka Kosztyuová Učebný materiál:

Διαβάστε περισσότερα

O T Č E N Á Š VÝKLAD MODLITBY PÁNOVEJ

O T Č E N Á Š VÝKLAD MODLITBY PÁNOVEJ HCJB SLOVENSKO HLAS EVANJELIA Relácie spracované do 26 častí v r. 2005. O T Č E N Á Š VÝKLAD MODLITBY PÁNOVEJ AUTOR: MGR. PAVEL HANES PHD. Spracoval kol. HCJB-Sk ved. M. Hudec MODLITBA PÁNOVÁ ÚVOD: /vyjadrenie

Διαβάστε περισσότερα

Modelovanie dynamickej podmienenej korelácie kurzov V4

Modelovanie dynamickej podmienenej korelácie kurzov V4 Modelovanie dynamickej podmienenej korelácie menových kurzov V4 Podnikovohospodárska fakulta so sídlom v Košiciach Ekonomická univerzita v Bratislave Cieľ a motivácia Východiská Cieľ a motivácia Cieľ Kvantifikovať

Διαβάστε περισσότερα

Modul pružnosti betónu

Modul pružnosti betónu f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Testament obchodníka s nábytkom. Malý slovník ΙΚΕΑ

Testament obchodníka s nábytkom. Malý slovník ΙΚΕΑ VYDÁVA INTER IKEA SYSTEMS B.V. 2007 Testament obchodníka s nábytkom Malý slovník ΙΚΕΑ Ingvar Kamprad, zakladateľ IKEA Obsah Testament obchodníka s nábytkom Vytvárať lepší každodenný život pre väčšinu ľudí

Διαβάστε περισσότερα