Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Transcript

1

2

3 Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της Α Λυκείου που θέλουν ένα μεθοδικό και πλήρες βοήθημα στην Άλγεβρα. Το μάθημα αυτό αποτελεί τη γέφυρα ανάμεσα στο γυμνάσιο και το λύκειο και συμβάλλει στη βαθμιαία κατάκτηση των πιο βασικών μαθηματικών εννοιών. Με το παρόν βιβλίο ο μαθητής θα αποκτήσει βήμα βήμα όλες τις αλγεβρικές και μαθηματικές δεξιότητες που θα του εξασφαλίσουν στέρεα θεμέλια για την ομαλή πορεία του και στις τρεις τάξεις του λυκείου, αλλά και για την απόκτηση κριτικής και συστηματικής ορθολογικής σκέψης, ανεξάρτητα από τις σπουδές που θα θελήσει να ακολουθήσει. Ένας ακόμα ουσιαστικός σκοπός του είναι να βοηθήσει τον μαθητή στην καθημερινή του μελέτη, ώστε να ανταποκρίνεται με απόλυτη επιτυχία στις απαιτήσεις του σχολείου ή των εξετάσεων. Το βιβλίο αυτό περιέχει Τη βασική θεωρία με σχόλια ή διευκρινίσεις, όπου αυτό κρίνεται σκόπιμο. Μεθόδους και τεχνικές για τη λύση των ασκήσεων, όπου κάτι τέτοιο είναι εφικτό. Πολλές υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις, κλιμακούμενης δυσκολίας, καθώς και θέματα με απαιτήσεις. Ασκήσεις για εξάσκηση και προτεινόμενα θέματα σε κάθε ενότητα. Ασκήσεις που απευθύνονται σε μαθητές με κλίση στα μαθηματικά και επιθυμούν να συμμετάσχουν σε μαθηματικούς διαγωνισμούς. Ενδιάμεσες επαναληπτικές ενότητες με σκοπό την ανακεφαλαίωση και τη σύνδεση όλης της προηγούμενης ύλης. Διαγωνίσματα ανά κεφάλαιο, που δίνουν τη δυνατότητα για παραπάνω εξάσκηση και αφορμή για σύνθεση της διδαχθείσας ύλης, αλλά και γενικά διαγωνίσματα στο τέλος του βιβλίου. Επαναληπτικά θέματα με όλη τη θεωρία αλλά και ασκήσεις για την άριστη οργάνωση της επανάληψης πριν από την περίοδο των εξετάσεων. Τις απαντήσεις και τις υποδείξεις σε όλα τα προτεινόμενα θέματα. Πιστεύουμε ότι η ποιότητα, το πλήθος και η διάταξη των θεμάτων, σε συνδυασμό με τα σχόλια και τις αναγκαίες μεθοδεύσεις, θα καταστήσουν το παρόν βιβλίο ένα χρήσιμο καθημερινό εργαλείο γνώσης και μελέτης για κάθε μαθητή. Θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε τη συνάδελφο Φωτεινή Καλδή για τις παρατηρήσεις της, τη φοιτήτρια Αρετή Δεσίπρη που βοήθησε στον έλεγχο των αποτελεσμάτων, καθώς και τον συνάδελφο Δημήτρη Τσάκο για τις συζητήσεις που είχαμε κατά τη συγγραφή του βιβλίου. Οι συγγραφείς

4

5 Περιεχόμενα. Σύνολα.... Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες...8. Διάταξη πραγματικών αριθμών Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Ρίζες πραγματικών αριθμών... Επανάληψη η Εξισώσεις ου βαθμού Η εξίσωση ν α Εξισώσεις ου βαθμού...87 Επανάληψη η Ανισώσεις ου βαθμού Ανισώσεις ου βαθμού... Επανάληψη η...6. Ακολουθίες Πρόοδοι...68 Επανάληψη η Η έννοια της συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης Η συνάρτηση f () α β Μελέτη της συνάρτησης f() α β γ, α Επανάληψη 5η Ασκήσεις Τράπεζας Θεμάτων Θέματα θεωρίας Επαναληπτικά διαγωνίσματα...0 Γενική Επανάληψη 6η... Υποδείξεις Απαντήσεις... Λύσεις ασκήσεων σχολικού βιβλίου...689

6

7 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες Θεωρία και εφαρμογές A. Οι πραγματικοί αριθμοί Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά του λυκείου λέγονται πραγματικοί. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με R. Οι πραγματικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο μεγάλα σύνολα Το σύνολο Q των ρητών. Το σύνολο των άρρητων αριθμών. Ρητοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή, όπου α, β είναι ακέραιοι αριθμοί με β! 0. Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός αριθμός και αντιστρόφως Κάθε δεκαδικός αριθμός ή περιοδικός δεκαδικός αριθμός είναι ρητός, δηλαδή μπορεί να πάρει την κλασματική μορφή με α, β! Z και β! 0. Παραδείγματα Οι αριθμοί, 7,, είναι ρητοί. 9 5 Οι αριθμοί i) 0,5 ii),7 iii) 6,555 είναι ρητοί. Οι αριθμοί 0, και,78888 είναι περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί, οπότε είναι ρητοί. Οι αριθμοί, 7, 7,,000000, είναι άρρητοι. 8

8 Θυμίζουμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να τοποθετηθούν σε έναν άξονα, που λέγεται άξονας των πραγματικών αριθμών. Εφαρμογή. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι; α) 7 β) 0 γ) δ) 8 7 ε) 7 στ) ζ) 5 η) θ) 0, ι),555 ια),555 Λύση α) Ο αριθμός 7 είναι ρητός και μάλιστα είναι ακέραιος. Ας παρατηρήσουμε ότι 7 7 δηλαδή παίρνει τη μορφή με α 7 και β. β) Ο αριθμός 0 είναι ρητός και μάλιστα είναι φυσικός (αλλά και ακέραιος). γ) Ο αριθμός είναι ρητός και μάλιστα θετικός. 8 δ) Ο αριθμός 7 είναι ρητός και μάλιστα αρνητικός. ε), στ) Οι αριθμοί 7 και είναι άρρητοι αριθμοί, διότι οι αριθμοί 7 και δεν είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών. ζ), η) Επειδή 5 5 και, οι αριθμοί 5 και είναι ρητοί. θ) Ο αριθμός 0, είναι περιοδικός δεκαδικός αριθμός (με περίοδο ), οπότε είναι ρητός. Μπορούμε να γράψουμε 0, 0, 9 ι) Ο αριθμός,555 έχει περίοδο 5, οπότε είναι ρητός. Μπορούμε να γράψουμε, Μετατροπή περιοδικού σε κλάσμα 0, 9 0, 90 0, 900 0, , Η παύλα δείχνει την περίοδο. 5 9

9 ια) Ο αριθμός,555 είναι περιοδικός δεκαδικός αριθμός με περίοδο 5. Είναι, Ας παρατηρήσουμε ότι στον παρονομαστή βάζουμε τόσα «9», όσα ψηφία έχει η περίοδος και στο τέλος τόσα μηδενικά, όσα είναι τα ψηφία από την υποδιαστολή μέχρι την περίοδο. Μπορούμε λοιπόν αντιστοίχως να γράψουμε 7, , ,56, 56 W chf W chf Γενικός τύπος, fr gg f gn r f gg fg f 999f9 000f0 \ \ n r n r n r A. Πράξεις Ιδιότητες στο R Α. Στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών ορίζεται η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Με τη βοήθεια αυτών ορίζεται η αφαίρεση και η διαίρεση. Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι ιδιότητες που αναγράφονται στον παρακάτω πίνακα και αποτελούν τη βάση του αλγεβρικού λογισμού. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Αντιμεταθετική α β β α αβ βα Προσεταιριστική α (β γ) (α β) γ α(βγ) (αβ)γ Ουδέτερο στοιχείο α 0 α α α Αντίθετος/Αντίστροφος αριθμού α (α) 0 α, α! 0 Επιμεριστική α(β γ) αβ αγ Ο αριθμός 0 λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, αφού για κάθε πραγματικό αριθμό α. α 0 0 α α και α α α 0 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

10 Η αφαίρεση και η διαίρεση στο σύνολο R ορίζονται ως εξής α β α (β) και α β α, β! 0 Β. α) Στα δύο μέλη μιας ισότητας μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό α β, α γ β γ Η ιδιότητα αυτή λέγεται ιδιότητα της διαγραφής για την πρόσθεση. β) Τα δύο μέλη μιας ισότητας μπορούμε να τα πολλαπλασιάσουμε ή να τα διαιρέσουμε με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό Η ιδιότητα Αν γ! 0, τότε α β, αγ βγ αγ βγ ( α β, όπου γ! 0 λέγεται ιδιότητα της διαγραφής για τον πολλαπλασιασμό. Επειδή δεν υπάρχει διαίρεση με το 0, τονίζουμε ότι στη διαγραφή πρέπει ο διαγραφόμενος παράγοντας να είναι διάφορος του μηδενός. γ) Το γινόμενο δύο ή περισσότερων πραγματικών αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς αυτούς είναι ίσος με το μηδέν Από την ιδιότητα αυτή παίρνουμε ότι αβ 0, (α 0 ή β 0) αβ! 0, (α! 0 και β! 0) Εφαρμογή. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις α) Α (α β) [(α β) (β α)] β) Β (β α) [(α β) (β α) ] γ) Γ (α β γ) [(β γ) (γ α) γ]

11 Λύση α) Απαλείφουμε τις παρενθέσεις από μέσα προς τα έξω Α (α β) [ (α β) (β α)] α β (α β β α) α β α β β α α β β) Ακολουθούμε τη διαδικασία που περιγράφει το σχόλιο, εκτελώντας τις πράξεις με την επιμεριστική ιδιότητα. Β (β α) [(α β) (β α) ] 6β α (6α β β α ) 6β α 6α β β α β γ) Γ (α β γ) [(β γ) (γ α) γ] α β γ (β γ γ α γ) α β γ β γ γ α γ β Για την απλοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων πρέπει να έχουμε υπόψιν τα εξής. Ισχύει ότι (α β) α β και (α β) α β Έτσι, για να παραλείψουμε μια παρένθεση που μπροστά έχει το σύμβολο (), αλλάζουμε το πρόσημο όλων των όρων που περιέχονται σε αυτή.. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, αγκύλες ή άγκιστρα, τότε η εξαγωγή των παρενθέσεων γίνεται εφόσον είναι δυνατόν από μέσα προς τα έξω. Εφαρμογή. Να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων α) Α 5 Λύση 5 α) Α β) Επειδή οι όροι της παράστασης Β είναι επίσης αριθμητικές παραστάσεις, είναι προτιμότερο να απλοποιήσουμε ξεχωριστά τον αριθμητή από τον παρονομαστή. Έχουμε β) Β f p f p Σύνθετο κλάσμα d g g d g g g g g g d d g g d g Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

12 Άρα θα είναι Β Εφαρμογή. Δίνεται ο αριθμός Α() ( )( )(6 ). α) Για ποιες τιμές του είναι Α() 0; β) Να βρεθούν οι τιμές του, ώστε Α()! 0. γ) Να βρεθούν οι τιμές του, ώστε ο Α() να έχει αντίστροφο. Λύση α) Για να είναι ένα γινόμενο μηδέν, πρέπει και αρκεί ένας τουλάχιστον από τους παράγοντές του να είναι ίσος με μηδέν. Επομένως Α() 0,, ( )( )(6 ) 0,, ( 0 ή 0 ή 6 0),, ( ή ή 6),, ( ή ή ) Βασική ιδιότητα αβ 0,, (α 0 ή β 0) αβγ 0,, (α 0 ή β 0 ή γ 0) Για να είναι λοιπόν ένα γινόμενο ίσο με μηδέν, αρκεί ένας τουλάχιστον από τους παράγοντές του να είναι ίσος με το μηδέν. β) Για να είναι ένα γινόμενο διάφορο του μηδενός, πρέπει και αρκεί κάθε παράγοντάς του να είναι διαφορετικός από το μηδέν. Έτσι Α()! 0, ( )( )(6 )! 0,, (! 0 και! 0 και 6! 0),, (! και! και! ) Για να έχει ένας αριθμός α αντίστροφο, πρέπει α! 0. Για να είναι αβ 0 πρέπει α 0 ή β 0 Ισχύει ότι αβ! 0, (α! 0 και β! 0) Είναι προφανές ότι η απάντηση μπορεί να δοθεί αμέσως, από τη στιγμή που έχει απαντηθεί το πρώτο ερώτημα. γ) Για να έχει ένας αριθμός αντίστροφο, πρέπει αυτός να είναι διαφορετικός από το μηδέν. Επομένως ο Α() έχει αντίστροφο, μόνο αν! και! και!

13 Β. Ιδιότητες των δυνάμεων A. α) Έστω α ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας φυσικός αριθμός. Τότε ορίζουμε f αν nprgontew Ο α λέγεται βάση και ο ν εκθέτης της δύναμης α ν. β) Ισχύει επιπλέον ότι α 0, όπου α! 0 α ν, όπου α! 0 n γ) Αν α β, τότε α κ β κ για κάθε ακέραιο αριθμό κ. (Αν ο κ είναι αρνητικός, τότε πρέπει α, β! 0.) δ) Για τη δύναμη ενός κλάσματος ισχύει η ιδιότητα n n Β. α) Οι σημαντικότερες ιδιότητες για τις δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη είναι οι παρακάτω α μ α ν α μ ν (αβ) ν α ν β ν, m n α μ ν n n n (α μ ) ν α μν β) Υπενθυμίζουμε ότι (α) ν α ν και (α) ν α ν Για παράδειγμα () 6, διότι ο εκθέτης είναι άρτιος () 5 5, διότι ο εκθέτης 5 είναι περιττός Αξίζει να τονίσουμε ότι α ν! (α) ν. Για παράδειγμα είναι 6 και () 6 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

14 Γ. Μια δύναμη μπορεί να αλλάζει θέση από τον αριθμητή στον παρονομαστή ενός κλάσματος ή αντίστροφα, αρκεί να αλλάζουμε το πρόσημο του εκθέτη της δύναμης k ακ β λ ή k k ή k k Εφαρμογή.5 Να γραφούν ως μία δύναμη οι παραστάσεις α) A γ) Γ β) Β ( ) ( 8 ) δ) Δ ( 6 ) ( ) 5 α) Είναι β) Είναι Λύση ( ) ( ) A ( ) ( ) ( ) ( ) B ( ) 5 γ) Είναι G ( ) ( ) δ) Είναι ( ) ( 8 ) 8 ( ) ( ) D ( 6 ) ( ) 6 ( ) ( ) 9 Εφαρμογή.6 Δίνονται οι παραστάσεις Α [(α β ) (αβ ) ] (α β ) ( ) ( ) ( ) και Β ( ) ( ) ( ) με α 07 και β 07. Να αποδειχθεί ότι Α και Β. 5

15 Λύση Θα εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων. Είναι Α [(α β ) (α β ) ] (α β ) [(α β 6 )(α β )] (α 9 β ) (α β 6 ) (α 9 β ) (α 0 β 6 ) (α 9 β ) α 9 β 6 α 9 β 9 (α β) 9 (07 07 ) 9 9 ( ) ( ) ( ) Β ( ) ( ) ( ) α β 7 0 α β (α β) (07 07 ) Εφαρμογή.7 Δίνονται οι αριθμοί α και β (5 ) ( ). Πόσα μηδενικά έχουν στο τέλος οι αριθμοί αυτοί; Λύση α) Για να βρούμε πόσα μηδενικά έχει στο τέλος ο αριθμός α 5 8 8, αρκεί να γράψουμε τον α στη μορφή β 0 ν, όπου ν! N * και β ένας αριθμός που το τελευταίο ψηφίο του δεν είναι μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, που είναι δηλαδή α β 0 ν, ο α τελειώνει σε ν μηδενικά. Είναι λοιπόν α (5 ) 8 ( ) (5 ) Επομένως ο α τελειώνει σε μηδενικά. β) Για τον αριθμό β (5 ) ( ) παρατηρούμε ότι β (5 ) ( ) (5 ) ( 0) Άρα ο β τελειώνει σε 6 μηδενικά. Ας παρατηρήσουμε επίσης ότι β ( ) (5 ) Γ. Ταυτότητες A. α) Οι ταυτότητες είναι ισότητες που χρησιμοποιούνται για τη γρηγορότερη εκτέλεση πράξεων ή απλοποίηση παραστάσεων. Υπάρχει ένα μεγάλο πλήθος ταυτοτήτων και καθένας μπορεί να δημιουργήσει μία ακόμα. Οι πιο χρήσιμες όμως από αυτές είναι οι επόμενες 6 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

16 (α β) α αβ β και (α β) α αβ β (α β)(α β) α β (α β) α α β αβ β, (α β) α α β αβ β α β (α β)(α αβ β ) α β (α β)(α αβ β ) (α β γ) α β γ αβ βγ γα β) Σε ορισμένες περιπτώσεις χρήσιμες είναι και οι ταυτότητες α β (α β) αβ και α β (α β) αβ α β (α β) αβ(α β) α β (α β) αβ(α β) α β γ αβγ (α β γ)(α β γ αβ βγ γα) α β γ αβγ (α β γ)[(α β) (β γ) (γ α) ] (Ταυτότητα Euer) (α β γ) α β γ (α β)(β γ)(γ α) Β. Ενώ οι προηγούμενες ταυτότητες ισχύουν για κάθε τιμή των μεταβλητών τους, υπάρχουν και ταυτότητες που ισχύουν όταν οι μεταβλητές τους υπόκεινται σε περιορισμούς. Τέτοιες ταυτότητες λέγονται «υπό συνθήκη». Από τις ταυτότητες υπό συνθήκη αξίζει να γνωρίζουμε τις εξής Αν α β γ 0, τότε α β γ αβγ. Αν α β γ αβγ, τότε α β γ 0 ή α β γ. Εφαρμογή.8 Να αποδειχθούν οι ταυτότητες α) (α β) (α β) (α β ) β) (α β) (α β) (β α αβ) αβ γ) (α ) (α ) α(α 0) α δ) (α β γ) (α β) (β γ) (γ α) (αβ βγ γα) 7

17 Λύση Για να αποδείξουμε μια ταυτότητα που έχει τη μορφή Α Β, ακολουθούμε συνήθως έναν από τους εξής τρόπους Ξεκινάμε από το α μέλος και καταλήγουμε στο β μέλος. Ξεκινάμε από το β μέλος και καταλήγουμε στο α μέλος. Υπολογίζουμε ξεχωριστά το κάθε μέλος και οδηγούμαστε στο ίδιο αποτέλεσμα Γ. Εργαζόμαστε συγχρόνως με ισοδυναμίες στην ισότητα Α Β και καταλήγουμε σε μια σχέση που ισχύει. α) Εκτελούμε τις πράξεις στο α μέλος (α β) (α β) (α β ) (α αβ β ) (α αβ β ) α β Οι υπόλοιποι όροι απλοποιούνται στην αναγωγή. β) (α β) (α β) (β α αβ) (α αβ β ) (α αβ β ) β α 6αβ α αβ β α αβ β β α 6αβ 8αβ 6αβ αβ γ) (α ) (α ) α(α 0) (α α α ) (α α α ) α 0α (α 6α α 8) (α 6α α 8) α 0α α 0α α δ) Επειδή (α β γ) α β γ αβ βγ γα, παίρνουμε (α β γ) (α β) (β γ) (γ α) (α β γ αβ βγ γα) (α αβ β ) (β βγ γ ) (γ γα α ) α β γ αβ βγ γα α αβ β β βγ γ γ γα α αβ βγ γα (αβ βγ γα) Εφαρμογή.9 Αν αβ βγ γα 007, να αποδειχθεί ότι (α β γ) (α β) (β γ) (γ α) 0 8 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

18 Λύση Παρατηρούμε ότι στο πρώτο μέλος μπορούν να γίνουν πολλές και ουσιαστικές πράξεις, όχι όμως και στο δεύτερο. Ξεκινάμε λοιπόν από το πρώτο μέλος. Είναι (α β γ) (α β) (β γ) (γ α) (α β γ αβ βγ γα) (α αβ β ) (β βγ γ ) (γ γα α ) α β γ αβ βγ γα α αβ β β βγ γ γ γα α αβ βγ γα (αβ βγ γα) Επομένως η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Δ. Παραγοντοποίηση Η παραγοντοποίηση μιας παράστασης, δηλαδή η μετατροπή της σε γινόμενο παραγόντων, έχει ξεχωριστή σημασία στην Άλγεβρα και γίνεται συνήθως με τους επόμενους τρόπους A. Με κοινό παράγοντα 6y ( y) y y 6 y y( y ) Αν ο κοινός παράγοντας έχει πρόσημο πλην (), τότε τα πρόσημα όλων των όρων της παρένθεσης αλλάζουν. Β. Με ομάδες α αy β βy α( y) β( y) ( y)(α β) (α αβ)( ) β β (α αβ)( ) β ( ) ( )(α αβ β ) ( )(α β) Τονίζουμε ότι η ομαδοποίηση γίνεται άλλοτε παίρνοντας το ίδιο πλήθος όρων και άλλοτε διαφορετικό πλήθος όρων στην κάθε ομάδα. Γ. Με χρήση ταυτοτήτων α) Λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων α β (α β)(α β) παίρνουμε y ( ) (y ) ( y )( y ) ( y)( y)( y ) (α β ) α β (α β αβ)(α β αβ) (α β) (α β) 9

19 β) Λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα της διαφοράς κύβων α β (α β)(α αβ β ) έχουμε 8 ( )( ) 7 y () y ( y)(9 y y ) γ) Λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα του αθροίσματος κύβων α β (α β)(α αβ β ) προκύπτει 8 y 6 () (y ) ( y )( y y ) 6 y 6 ( ) (y ) ( y )( y ) ( y)( y y )( y)( y y ) δ) Λαμβάνοντας υπόψη τις ταυτότητες του τέλειου τετραγώνου και του τέλειου κύβου έχουμε α! αβ β (α! β) α! α β αβ! β (α! β) ( ) ( ) 5 0 (5 ) 5 (5 ) ( ) Δ. Με τη μεικτή μέθοδο α) Με διάσπαση ενός ή περισσότερων όρων. α β 5α β α β α β α β (α β ) (αβ) (α β αβ)(α β αβ) (α β)(α β)(α β)(α β) β) Με προσθαφαίρεση κάποιου όρου. α β α β α β α β (α β ) (αβ) (α β αβ)(α β αβ) Για την κατανόηση και την εμπέδωση των παραπάνω περιπτώσεων προτείνουμε στους μαθητές τη μελέτη των λυμένων θεμάτων και τη λύση των προτεινόμενων ασκήσεων. 0 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

20 Εφαρμογή.0 Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις α) Α α β β) Β 8y γ) Γ ω 6 7 δ) Δ 8 6 ε) Ε 9 (9 ) στ) Κ Λύση Θα χρησιμοποιήσουμε τις βασικές μεθόδους που περιγράψαμε στα σχόλια. α) Α α β α (β) (α β)(α β) β) Β 8y (y) ( y)( y y ) γ) Γ ω 6 7 (ω ) (ω )(ω ω 9) δ) Δ 8 6 ( ) ( ) [( )( )] ( ) ( ) ε) Ε 9 (9 ) ( 9) ( 9) ( 9)( ) ( )( )( )( ) στ) Κ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Εφαρμογή. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις α) Α 5 8 β) B 5 γ) Γ α α β β δ) Δ y Λύση α) Θα χωρίσουμε τους όρους της παράστασης σε ομάδες. Επειδή υπάρχουν όροι, επιχειρούμε να τους πάρουμε ανά δύο Α 5 8 ( ) 8( ) ( )( 8) Όμως ( )( ), με βάση την ταυτότητα α β (α β)(α β) 8 ( )( ), με βάση την ταυτότητα α β (α β)(α αβ β ) Άρα Α ( ) ( )( ).

21 β) Ο χωρισμός σε ομάδες των δύο όρων δε φέρνει αμέσως αποτέλεσμα. Για τον λόγο αυτό χωρίζουμε την παράσταση σε δύο ομάδες των τριών όρων. Έτσι παίρνουμε Β ( 5 ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) γ) Στο ερώτημα αυτό τα πράγματα είναι πιο σύνθετα. Με προσεκτική παρατήρηση διαπιστώνουμε ότι αν είχαμε α α β β, τότε η παράσταση θα ήταν το τέλειο τετράγωνο (α β ). Για να συμβεί όμως αυτό πρέπει να έχουμε α β και όχι α β. Για τον λόγο αυτό προσθέτουμε και αφαιρούμε τον όρο α β και παίρνουμε Γ α α β β α α β (α β α β ) β α α β β α β (α β ) (αβ) (α β αβ)(α β αβ) δ) Θα προσθέσουμε και θα αφαιρέσουμε κατάλληλο όρο Δ y ( ) (y ) ( ) (y ) y y ( y ) (y) ( y y)( y y) Άλλος τρόπος Από τη βοηθητική ταυτότητα α β (α β) αβ παίρνουμε Δ y ( ) (y ) ( y ) y ( y ) y ( y ) (y) ( y y)( y y) Χρήσιμες ταυτότητες α β (α β) αβ α β (α β) αβ α β (α β) αβ(α β) α β (α β) αβ(α β) Ε. Πεδίο ορισμού ρητής παράστασης A. Η διαίρεση με το μηδέν είναι αδύνατη. Για τον λόγο αυτό το μηδέν (0) είναι ο μόνος αριθμός που δεν έχει αντίστροφο. Αν κατά λάθος διαιρέσουμε με 0, θα καταλήξουμε σε αδιέξοδο. Ένα κλάσμα Κ είναι στην πραγματικότητα η διαίρεση α β. Για να έχει λοιπόν νόημα το Κ, πρέπει β! 0. Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

22 Β. Αν μια παράσταση έχει ως όρους ένα ή περισσότερα κλάσματα, τότε πρέπει να θέσουμε περιορισμούς. Οι περιορισμοί αυτοί προκύπτουν αν απαιτήσουμε κάθε παρονομαστής (ακόμα και αν είναι παρονομαστής σε παρονομαστή) να είναι διάφορος του μηδενός. Γ. Υπενθυμίζουμε ότι αβγ! 0, (α! 0 και β! 0 και γ! 0) Επομένως για να είναι ένα γινόμενο διάφορο από το μηδέν, πρέπει κάθε όρος να είναι διάφορος από το μηδέν. Για παράδειγμα είναι ( )( )! 0, (! 0 και! και! ) Επίσης, από προηγούμενη τάξη, γνωρίζουμε ότι Z ] D ] α β γ 0 με α! 0, [ ki, όπου Δ β αγ με Δ 0 D ] \ Με τους παραπάνω τύπους βρίσκουμε τις λύσεις κάθε εξίσωσης ου βαθμού, αρκεί να είναι Δ 0. Δ. Συχνά, για να βρούμε πότε μια παράσταση Α() είναι διαφορετική από το μηδέν, βρίσκουμε πρώτα πότε αυτή είναι ίση με το μηδέν (λύνοντας την εξίσωση Α() 0) και τις τιμές που προκύπτουν τις απορρίπτουμε. Αυτό σημαίνει ότι Α()! 0 ακριβώς για κάθε τιμή του που είναι διαφορετική από τις τιμές για τις οποίες είναι Α() 0. Εφαρμογή. Δίνεται η παράσταση A(). Να βρεθούν οι τιμές του, ώστε α) να ορίζεται η παράσταση Α(), β) A() ( )(. ) Λύση α) Για να ορίζεται μια παράσταση που περιέχει κλάσματα, πρέπει όλοι οι παρονομαστές να είναι διάφοροι από το μηδέν.

23 Θέτουμε λοιπόν τους περιορισμούς Όμως! 0 () και! 0 ()! 0, ( )! 0, (! 0 και! 0), (! 0 και! )! 0,! 0, ( )( )! 0,, (! 0 και! 0), (! και! ) Επομένως για να ορίζεται η παράσταση Α, πρέπει! 0,!,! και! Οι παραπάνω περιορισμοί γράφονται και με τη μορφή! R {, 0,, }. β) Το κλάσμα ορίζεται για! και!, τιμές για τις οποίες ( )( ) ορίζεται και η παράσταση Α(). Έτσι A (), ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π., που είναι το ( )( )( ), και παίρνουμε ( )( ) ( ) ( ),, ( )( ) ( ) 8,, 8 8 8,, 8, 8 Η τιμή αυτή είναι δεκτή, διότι δεν αντιτίθεται σε κανέναν περιορισμό. Ε. Ασκήσεις με αναλογίες A. α) Μια ισότητα ανάμεσα σε δύο κλάσματα g λέγεται αναλογία. Εννοείται ότι d τα παραπάνω κλάσματα ορίζονται, δηλαδή β! 0 και δ! 0. β) Οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών είναι g, αδ βγ, βδ! 0 d g g d, d, βδ! 0 d g g, d, βγδ! 0 d Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

24 Αν g d g,, βδ(β α)(δ γ)! 0 d g g, τότε d g g d, βδ(β δ)! 0 d Β. Αν στα δεδομένα μιας άσκησης δίνεται μια αναλογία ή μια σχέση της μορφής g e d z τότε ακολουθούμε τα επόμενα βήματα. Θέτουμε g e d z.. Γράφουμε g λ, α λβ, λ, γ λδ, e λ, ε λζ. d z. Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των α, γ και ε στις δοσμένες σχέσεις της άσκησης και μετά τις απλοποιήσεις καταλήγουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Εφαρμογή. Αν g!, να αποδειχθεί ότι d ( ) α) g d β) gd ( g d ) Επειδή έχουμε την αναλογία α) Είναι g d ( ) ( d) Λύση g, θέτουμε d λ, α λβ και d d d ( ) gd ( d) d () d d g d g d. Έτσι προκύπτει g λ, γ λδ d ( ) () d ( ) d Από τις σχέσεις () και () παίρνουμε τη ζητούμενη ισότητα. β) Είναι ( ) ( g d) ( ) ( d d) 7 ( ) A 7d ( ) A ( ) d ( ) d (), διότι λ! 5

25 g d ( ) ( d) d ( ) () d ( ) d Από τις σχέσεις () και () συμπεραίνουμε ότι η προς απόδειξη σχέση. ( ) ( g d) g, η οποία είναι και d Ζ. Απλοποίηση κλασμάτων α) Για να απλοποιήσουμε έναν όρο από τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος, πρέπει Ο όρος αυτός να είναι διάφορος από το μηδέν. Ο όρος αυτός να είναι παράγοντας και στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Επομένως είναι g και g (α, β, γ! 0) g g ( ) ( )( ), όπου! και! β) Υπενθυμίζουμε ότι αβ! 0, (α! 0 και β! 0). γ) Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα, πρέπει πρώτα να παραγοντοποιήσουμε τους όρους του, δηλαδή τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Προσοχή g Είναι! και! β γ. g g Εφαρμογή. Να απλοποιηθούν τα κλάσματα α) Α 9 β) Β Λύση α) Είναι A 9 ( )( ) ( ) Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα Παραγοντοποιούμε τους όρους του, δηλαδή τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Διαγράφουμε σε αριθμητή και παρονομαστή μόνο τους κοινούς παράγοντες. 6 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

26 Για να ορίζεται το κλάσμα Α πρέπει! 0 και!. Έτσι β) Είναι Επομένως B ( )( ) A ( ) ( ). Για να ορίζεται το κλάσμα Β, πρέπει ( )( ) ( )( )! 0, (! και! ) ( ) B ( )( ). Παρατηρήσεις i) Αν η παραγοντοποίηση των όρων ενός κλάσματος είναι επίπονη, παραγοντοποιούμε πρώτα ξεχωριστά τους όρους αυτούς και τους αντικαθιστούμε στη συνέχεια. ii) Οι περιορισμοί είναι προτιμότερο να γράφονται τη στιγμή που οι όροι του κλάσματος έχουν τη μορφή γινομένου, χωρίς ωστόσο αυτό να αποτελεί απαράβατο κανόνα. Εφαρμογή.5 Να απλοποιηθούν τα κλάσματα α) Α β) Β Λύση α) Το Α είναι σύνθετο κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η παράσταση λ και ο παρονομαστής είναι η παράσταση μ. Επειδή οι παραστάσεις λ και μ δεν είναι κλάσματα, εκτελούμε τις πράξεις ( )( ) m Επομένως A ( ) ( )( ) ( )( ) Οι περιορισμοί για να ορίζεται το κλάσμα Α είναι β! 0, α! β και α! β Σε περίπτωση που θέλουμε να απλοποιήσουμε σύνθετο κλάσμα, είναι προτιμότερο να παίρνουμε αριθμητή και παρονομαστή ξεχωριστά και να εκτελούμε πρώτα εκεί τις δυνατές πράξεις, παραγοντοποιήσεις και απλοποιήσεις. 7

27 β) Το Β είναι σύνθετο κλάσμα, του οποίου ο αριθμητής είναι η παράσταση ο παρονομαστής είναι η παράσταση. Είναι και () () Άρα (),( ) ( ) B ( ) ( ) Για να ορίζεται το κλάσμα Β πρέπει να τεθούν οι περιορισμοί β! 0, α! 0 και α! β. και Ζ. Πολλαπλασιασμός Διαίρεση κλασμάτων Για τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων βασιζόμαστε στις ιδιότητες A B G AG D BD, A B G AB G Για τη διαίρεση κλασμάτων βασιζόμαστε στις ιδιότητες A G A D B D, A G A B G B B G B A G Εφαρμογή.6 Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις α) Α β) Β γ) Γ ( ) ( ) 8 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

28 α) Α ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Λύση α β (α β)(α β) α αβ β (α β) α αβ β (α β) β) Β ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) Γ ( ) ( ) α β (α β)(α αβ β ) α β (α β)(α αβ β ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) αφού όλοι οι παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή διαγράφονται. Εφαρμογή.7 Να γίνουν οι διαιρέσεις α) ( ) 9 β) ( ) α) ( 9) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9 β) ( ) ( 5)( ) ( 5) ( )( 5) ( 5) Λύση ( )( ) 0 5 ( )( )

29 Ζ. Πρόσθεση Αφαίρεση κλασμάτων Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσματα, ακολουθούμε τα εξής βήματα Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές των κλασμάτων. Απλοποιούμε τα κλάσματα, όπου αυτό είναι δυνατόν. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών και κάνουμε ομώνυμα. Εκτελούμε στον αριθμητή που δημιουργείται όλες τις δυνατές πράξεις. Εξετάζουμε αν το τελικό κλάσμα απλοποιείται. Εφαρμογή.8 Να γίνουν οι πράξεις α) β) γ) α),. ( ) ( ) ( ) ( ) β) Παραγοντοποιούμε πρώτα τον παρονομαστή ( ) Είναι Ε.Κ.Π. ( )( ), οπότε Λύση ( ) ( ) ;;;; < ; ; < ;;;; < ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και όλες τις δυνατές πράξεις. Απλοποιούμε, αν γίνεται, το τελικό κλάσμα. 50 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

30 γ) Παραγοντοποιούμε πρώτα τους παρονομαστές. ( ), ( ), ( ) ( )( ) Ε.Κ.Π. ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Εφαρμογή.9 Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις α) Α y y y y β) Β γ) Γ δ) Δ 6 y y ; ; < ; ; < α) Α y d y y n y ( y) ( y) y ( y)( y) y ( y)( y) ( y )( y ) y β) Επειδή παίρνουμε α β (α β)(α β) Λύση y ;;;;; < ;;;;; < B ( ) ( ) ( )( ) Παραγοντοποιούμε όσο το δυνατόν περισσότερους όρους. Στα αθροίσματα κλασμάτων κάνουμε ομώνυμα και πράξεις. Ακολουθούμε την προτεραιότητα των πράξεων. Παραγοντοποιούμε τους όρους των κλασμάτων και απλοποιούμε όπου είναι δυνατόν. 5

31 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ;;;; < ;;;; <, ( ) ( ) γ) Γ / d nd n ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) δ) Παρατηρούμε ότι α α 6α α( α α) α( α) α α α( α ) α( α)( α) Επομένως παίρνουμε 6 ( ) ( ) ( ) D ( )( ) ( ) ( ) Εφαρμογή.0 Να αποδειχθεί ότι α) α) Παρατηρούμε ότι Λύση β) Σε σύνθετα κλάσματα Ξεκινάμε τις πράξεις στους πιο απομακρυσμένους όρους. Μετατρέπουμε τα σύνθετα κλάσματα σε απλά. Συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι να καταλήξουμε σε ένα κλάσμα. 5 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

32 ;; < ;; < ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Επομένως αντικαθιστώντας παίρνουμε ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) β) Συμφέρει να κάνουμε χωριστά τις πράξεις όπου παρουσιάζονται σύνθετα κλάσματα ( ) Επομένως η τιμή του αρχικού σύνθετου κλάσματος είναι. Εφαρμογή. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις α) Α e o β) Β 5

33 Λύση α) Επειδή στην παρένθεση υπάρχουν αφαιρέσεις, θα παραγοντοποιήσουμε πρώτα όλους τους παρονομαστές (εδώ τον τρίτο), θα κάνουμε ομώνυμα και θα εκτελέσουμε τις πράξεις. Έτσι A d n ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Είναι φανερό ότι οι απλοποιήσεις έγιναν με τον περιορισμό ότι α! 0, β! 0, α! β και α! β διότι μόνο τότε ορίζονται τα εμφανιζόμενα κλάσματα. β) Για ευκολία θα απλοποιήσουμε τον κάθε παράγοντα ξεχωριστά. Είναι ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Επομένως η παράσταση Β γίνεται B Είναι φανερό ότι α! β, α αβ β! 0, α! β, α! β και α! 0. 5 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

34 Διαμάντια από την Άλγεβρα Οι παρακάτω ασκήσεις προτείνεται να μελετηθούν από μαθητές με ιδιαίτερη κλίση στα μαθηματικά και αφού πρώτα έχουν κατακτήσει τις βασικές γνώσεις που παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες παραγράφους.. Αν α β γ αβ βγ γα 0, να αποδειχθεί ότι α β γ. Λύση Πρόκειται για μια βασική άσκηση. Έχουμε α β γ αβ βγ γα 0,, α β γ αβ βγ γα 0, (πολλαπλασιάσαμε τους όρους με ) Ισχύει ότι α 0, α 0 α β 0, α β 0 α β γ 0,, α β γ 0, α α β β γ γ αβ βγ γα 0,, (α β αβ) (β γ βγ) (γ α αγ) 0,, (α β) (β γ) (γ α) 0 Στην τελευταία σχέση έχουμε άθροισμα άρτιων δυνάμεων ίσο με μηδέν. Κάθε όρος οφείλει λοιπόν να ισούται με μηδέν. Έτσι Z _ Z _ 0 ] ] [ g 0 `, [ g`, α β γ ] g 0 ] g \ \. Δίνονται οι αριθμοί, y, z! R με y yz z. Να αποδειχθεί ότι α) ( y)( z) β) y z y z ( y)( y z)( z ) Λύση α) Από την υπόθεση έχουμε y yz z. Έτσι (y yz z) ( y) (yz z) ( y) z(y ) ( y)( z) 55

35 β) Από το ερώτημα (α) έχουμε ( y)( z), y (y z)(y ), z (z )(z y) Αντικαθιστούμε τους παρονομαστές και παίρνουμε y z y z y z ( y)( z) ( y z)( y ) ( z )( z y) y ( z) y( z ) z ( y) y z yz y z zy ( y)( y z)( z ) ( y)( y z)( z ) ( y yz z) ( y)( y z)( z ) ( y)( y z)( z ). Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις α) Α α(β βγ γ ) β(γ γα α ) γ(α αβ β ) β) Β αβ(α β) βγ(β γ) γα(γ α) αβγ Λύση α) Εκτελούμε αρχικά τις πράξεις και ομαδοποιούμε κατάλληλα Α α(β βγ γ ) β(γ γα α ) γ(α αβ β ) (αβ αβγ αγ ) (βγ αβγ α β) (α γ αβγ β γ) (αβ α β αβγ) (αγ α γ αβγ) (βγ β γ αβγ) αβ(β α γ) αγ(γ α β) βγ(γ β α) (α β γ)(αβ βγ γα) β) Β αβ(α β) βγ(β γ) γα(γ α) αβγ αβ(α β) β γ βγ γ α γα αβγ αβγ αβ(α β) (βγ γ α) (β γ αβγ) (γα αβγ) αβ(α β) γ (α β) βγ(β α) αγ(α β) (α β)(αβ γ βγ αγ) (α β)[(αβ βγ) (γ αγ)] (α β)[β(α γ) γ(γ α)] (α β)(α γ)(β γ) (α β)(β γ)(γ α).5 Αν αβγ, να αποδειχθεί ότι g g g g 56 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

36 Έχουμε Λύση αβγ, α g διότι βγ! 0. Θα αντικαταστήσουμε την τιμή αυτή του α σε όλους τους όρους της παράστασης g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g.6 Αν α β γ 0, να αποδειχθεί ότι α) (α β) (β γ) (γ α) α β γ β) g g g g g γ) g 0 g g Λύση 0 α) Επειδή α β γ 0, παίρνουμε α β γ, β γ α, γ α β Επομένως το α μέλος γίνεται (α β) (β γ) (γ α) (γ) (α) (β) γ α β α β γ β) Επειδή α β γ 0, παίρνουμε α β γ, οπότε (α β) (γ), α αβ β γ,, α β γ αβ β γ α, οπότε (β γ) (α), β βγ γ α,, β γ α βγ 57

37 Όμοια προκύπτει ότι γ α β γα Το α μέλος λοιπόν γίνεται g g g g g d g g n διότι α β γ 0. g g 0 g g γ) Επειδή y ( y)( y y ), παίρνουμε g g g g g ( g)( g g ) ( g )( g g ) ( )( ) g g g α(β βγ γ ) β(γ γα α ) γ(α αβ β ) (αβ αβγ αγ ) (βγ αβγ α β) (α γ αβγ β γ) (αβ α β αβγ) (βγ β γ αβγ) (γα γ α αβγ) αβ(β α γ) βγ(γ β α) γα(α γ β) (α β γ)(αβ βγ γα) 0 (αβ βγ γα) 0.7 Αν α β γ 0, να αποδειχθεί ότι α) (α β) (β γ) (γ α) α β γ β) g g g g g g 0 Λύση α) Εκτελούμε τις πράξεις στο πρώτο μέλος και παίρνουμε (α β) (β γ) (γ α) (α αβ β ) (β βγ γ ) (γ γα α ) α β γ αβ βγ γα () 58 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

38 Αλλά η σχέση α β γ 0 δίνει (α β γ) 0, α β γ αβ βγ γα 0,, αβ βγ γα (α β γ ) () Άρα από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι (α β) (β γ) (γ α) α β γ (α β γ ) α β γ β) Ιδιαίτερα χρήσιμη είναι η εξής βασική ταυτότητα «Αν α β γ 0, τότε α β γ αβγ» Επομένως είναι β γ αβγ α, γ α αβγ β, α β αβγ γ Άρα το πρώτο μέλος γράφεται g g g g g g g ( ) ( ) ( α β γ (α β γ) 0 g ) Έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Ιδιότητες φυσικών και ακεραίων A. α) Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με N, το σύνολο των ακεραίων συμβολίζεται με Z και το σύνολο των ρητών συμβολίζεται με Q. β) Για να δηλώσουμε ότι το α είναι στοιχείο ενός συνόλου Α, γράφουμε α! Α, ενώ για να δηλώσουμε ότι το α δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε α " Α. Έτσι 7! N, " N, 8! Z, 0! Z, 9 " Z, 8! Q και 5 " Q γ) Ισχύει ότι Το N είναι υποσύνολο του Z, το Z είναι υποσύνολο του Q και το Q είναι υποσύνολο του R. 59

39 Β. α) Οι ακέραιοι αριθμοί χωρίζονται σε άρτιους και περιττούς. Οι άρτιοι έχουν τη μορφή ν, ενώ οι περιττοί τη μορφή ν (ή ν ), όπου ν! Z. β) Διαδοχικοί λέγονται οι ακέραιοι που έχουν τη μορφή α, α, α κ.λπ., όπου α είναι κάποιος ακέραιος αριθμός (α! Z). Γ. Έστω ένας φυσικός αριθμός α με ψηφία, y και ω. Αν το ω δηλώνει τις μονάδες, το y τις δεκάδες και το τις εκατοντάδες, τότε γράφουμε α yω. Για να μη δημιουργείται σύγχυση με το γινόμενο yω, γράφουμε α yv. Το βασικό ερώτημα είναι Πόσες μονάδες έχει ο αριθμός yv; Απαντηση Ο αριθμός α έχει εκατοντάδες y δεκάδες ω μονάδες. Είναι δηλαδή yv 00 0y ω () Σύμφωνα με την () μπορούμε να γράψουμε y 0 y, yvf y 0ω φ yv 00 yv 00 0y ω, yv 0y ω Η σχέση () αποτελεί το κλειδί για τη λύση ασκήσεων οι οποίες αναφέρονται σε ακέραιους αριθμούς και στα ψηφία τους. Τονίζουμε ότι τα, y, ω κ.λπ. είναι ψηφία, δηλαδή κάποιοι από τους αριθμούς 0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9..8 Να αποδειχθεί ότι α) το άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού αριθμού είναι περιττός αριθμός, β) το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι άρτιος, γ) το γινόμενο δύο περιττών αριθμών είναι επίσης περιττός. Λύση α) Έστω ότι ο α είναι άρτιος και ο β είναι περιττός. Τότε α λ και β μ όπου λ και μ είναι ακέραιοι αριθμοί. Επομένως α β λ (μ ) (λ μ) ν δηλαδή α β ν, όπου (θέσαμε) ν λ μ. Όμως ο ν λ μ είναι ακέραιος και έτσι ο ν είναι περιττός. Άρα ο α β είναι περιττός. 60 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

40 β) Έστω α και β δύο περιττοί αριθμοί. Τότε α λ και β μ όπου λ, μ! Z. Επομένως α β (λ ) (μ ) λ μ (λ μ ) ν όπου ν λ μ! Z. Επειδή ο α β έχει τη μορφή ν, με ν! Z, συμπεραίνουμε ότι ο α β είναι άρτιος. γ) Έστω α και β δύο περιττοί αριθμοί. Τότε α λ και β μ με λ, μ! Z. Έτσι αβ (λ )(μ ) λμ λ μ (λμ λ μ) (λμ λ μ) ν όπου ν λμ λ μ! Z. Επομένως ο αβ είναι περιττός, διότι έχει τη μορφή ν, ν! Z. Φυσική γλώσσα και σύμβολα Οι επόμενοι πίνακες δείχνουν έναν απλό τρόπο μετάβασης από τη φυσική γλώσσα στη συμβολική (μαθηματική) γλώσσα και αντιστρόφως. ΠΙΝΑΚΑΣ Α Φυσική γλώσσα Άρτιος ακέραιος Περιττός ακέραιος Διαδοχικοί ακέραιοι Διαδοχικοί άρτιοι Διαδοχικοί περιττοί Ρητός αριθμός Ο ακέραιος α διαιρείται με τον ν. Ο ακέραιος α δε διαιρείται με τον ν. Μαθηματική γλώσσα ν, ν! Z ν ή ν, ν! Z α, α, α, με α! Z ή, α, α, α, με α! Z ν, ν, ν, ν 6, με ν! Z ν, ν, ν 5, ν 7, με ν! Z με α! Z και β! Z * α λν με λ! Z α λν υ με 0 υ ν και λ! Z 6

41 ΠΙΝΑΚΑΣ Β Φυσική γλώσσα Μαθηματική γλώσσα Ο αριθμός α είναι φυσικός. α! N Ο αριθμός β δεν είναι ακέραιος. β " Z Ο αριθμός γ είναι ρητός. γ! Q ή γ με α! Z και β! Z * Ο αριθμός είναι πραγματικός. Ο αριθμός y είναι διάφορος του μηδενός. Ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς α και β είναι μη μηδενικός. Η πρόταση t ισχύει, αν και μόνο αν ισχύει η πρόταση r.! R y! R * (ή y! 0) α β! 0 (α! 0 ή β! 0) t, r.9 Να αποδειχθεί ότι α) το τετράγωνο ενός περιττού ακεραίου α είναι επίσης περιττός αριθμός, β) αν ο α είναι ακέραιος και ο α είναι άρτιος, τότε και ο α είναι άρτιος. Λύση α) Επειδή ο α είναι περιττός, θα ισχύει α λ, όπου ο λ είναι ακέραιος. Επομένως α (λ ) λ λ (λ λ) κ όπου ο αριθμός κ λ λ είναι ακέραιος. Επειδή ο α έχει τη μορφή συμπεραίνουμε ότι ο α είναι περιττός. κ με κ! Z β) Για να αποδείξουμε ότι και ο α είναι άρτιος, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι ο α δεν είναι άρτιος. Αυτό σημαίνει ότι ο α είναι περιττός. Έτσι, σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα, και ο α είναι περιττός. Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού από την υπόθεση ο α είναι άρτιος. 6 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

42 .0 Να υπολογίσετε τα αθροίσματα α) Α () () () () (5) β) Β (0) (7) (0) (0) (7) γ) Γ (7) () (6) (8) δ) Δ (5) (9) (6) (8) (5). Να υπολογίσετε τα αθροίσματα α) β) γ) δ) ε) στ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α () () (5) () β) Β (8) () () () γ) Γ (5 ) (7 0) (8 6) (7 5) δ) Δ ( 8) ( 6) ( 7) (8 ) ε) Ε [ ( ) (7 )] [ () (5 6)] ( 5) στ) Ζ [( 8 ) ( )] [(5 ) ( 6 )] ( ). Να υπολογίσετε τις επόμενες παραστάσεις α) Α Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. Ασκήσεις για εξάσκηση Α. Πράξεις και ιδιότητες στο R β) Β γ) Γ δ) Δ Να κάνετε τις πράξεις α) ()(5) ()(6) ()(5) β) ()(8) ()() (6)(7) γ) ()()() ()()() δ) ()()(5) ()()()() ε) ()()() (5)() ()()() στ) (0)()() ()()() ()()(5).5 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α (7 5)() () β) Β ( 5)(7 ) ()() ()(9)() γ) Γ ( )(5 )(8 7) (7 6)(7 9)( 0) δ) Δ ( )(7 6) (9 6)(0 ) (7 6).6 Να υπολογίσετε τις επόμενες παραστάσεις α) Α β) Β γ) Γ

43 δ) Δ ε) Ε 5 ( ) 6 στ) Ζ Να κάνετε τις πράξεις α) (0) () β) (0) (5) γ) (0) (0) δ) (5) (5) ε) 9 στ) ζ) η) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α (8) () (6) (8) () () β) Β (5) () (8) (9) (7) ( ) γ) Γ [()] () [(5) ()] (5) δ) Δ () (7) () [(6) ()]() ε) Ε [() () ()] (5) [ (8) ()] στ) Ζ [(9) () () ()]() [( )] ζ) H (8) () [5 ( ) (5) 5] () η) Θ [()()] () [() ()] (6) (5) (5).9 Να υπολογίσετε τις επόμενες παραστάσεις ()( )( ) α) Α ( ) ( )( ) ()()( 8)( ) β) Β ( )( ) ( 0 )( ) γ) Γ 7 ( ) δ) Δ ( ) ε) Ε 5 ( )( ) 5 ; E στ) Ζ < F ζ) Η 5 5 < F η) Θ ( ) 6 < F 8 < F.0 Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων ( )( ) (5)( ) ()(5 ) α) A ( 0)( )(5)()5( ) ( 8)( ) ( 8)( ) ()( 6 8) β) B ()( ) ( 5)( 5) ( 5) ( ) (5)( ) ( )( 6) 0 () γ) Γ 78( ) A( 7) ( ) ( 7)( ) 9 ( ) k k δ) Δ 5 ; ( ) ( 5 )( ) k E. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων α) Α β) Β 7 k γ) Γ 7 k δ) Δ k 0 k k 6 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

44 . α) Αν α 7 και β, να αποδείξετε ότι β) Αν είναι α, β, γ και 5 8 g Α g να αποδείξετε ότι Α.. Να απλοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις α) Α (α β ) (α β ) β) Β (α β ) (α β 5) γ) Γ [(α β) (α β)] (α β) δ) Δ [(α β) (β α)] (α β) ε) Ε [( ) ( )] 5[( ) ( )] στ) Ζ 7 6{5 [ ( )]} 6( 8). Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων α) Α α (α β), όταν α β β) Β (α β) (α β) β, όταν α β γ) Γ 7 [α (β )] [ (y )], όταν α β 5 και y δ) Δ α y β γ, όταν y και α β γ ε) Ε (α β γ) (β α γ) (α γ), όταν α β γ.5 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α () () () () 07 () 5 β) Β () () () 5 () 6 (5) γ) Γ () () 08 () 07 δ) Δ () () (5) [ ()] () ε) Ε [() () ] () (6) [() ] (8 5) ( ) 7 ( ) () στ) Ζ (5) 7 [() ] (5) Β. Οι δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη ( ) ( ) () 6 ( ) () Να υπολογίσετε τις επόμενες παραστάσεις α) Α () (9) () β) Β () () (6) (5) () 5 (0) 5 γ) Γ 9 ( ) δ) Δ 6 6 ( ) ( ) 5 ε) Ε < F (0,) (0,) 0 R 0 ( ) V S k W στ) Z S W 5 5 S ( ) k W T X.7 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α y y, όταν, y y 5y β) Β y y y, όταν, y 7 γ) Γ 6 7, όταν δ) Δ () 07, όταν.8 Να γράψετε με τη μορφή μίας δύναμης τις παραστάσεις που ακολουθούν 65

45 α) 6 5 β) 7 8 γ) 9 5 δ) 8 9 ε) στ) () () 5 () 6 ζ) 0 5 η) θ) 6 (7) ( 9) 5 () 09 ι) (8) () Να γράψετε με τη μορφή μίας δύναμης τις παραστάσεις α) 5 5 β) γ) (6) 0 () 0 δ) (6) 9 () 9 ε) ( ) 6 στ) [() 6 ] ζ) [() 5 ].50 Να γράψετε με τη μορφή μίας δύναμης τις παραστάσεις α) ( ) 5 8 β) ( ) γ) 7 9 δ) (56 5 ) ε) ( 5 ) [() () ] στ) ( ) ( ) 7 A (8) () (5) 5 ζ) 7 η) 6 (7) (65).5 Να γράψετε με τη μορφή μίας δύναμης τις παραστάσεις α) 7 β) 7 0 γ) ( ) δ) (5 )(5) 5 5 ε) στ) ζ) 0 5 () (6) η) 7 (6).5 Να γράψετε με τη μορφή μίας δύναμης τις επόμενες παραστάσεις α) 5 5 β) (6) 9 (5) 9 γ) δ) 8 ε) (0,) 0 (5) 0 στ) ζ) η) 5 5 θ) ( 5 ) 5 ι) [() 5 ].5 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α ( ) β) Β ( ) () () γ) Γ ( ) ( 5 ) 5 δ) Δ 5 ( 5 ) 5 5 ( ) ( ) () ε) Ε ( ) ( ) ( ) στ) Ζ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α (0,5) β) Β 000 (,5) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α , β) Β , Να κάνετε τις πράξεις α) Α d n G (αβ) ( y v ) β) Β ( y v ) γ) Γ d n 5 6 ( y) ( ) δ) Δ y ( y ) ( y v ) ( y v ) y 5 y 7( y) ( y y) A ε) Ε ( ) ( y ) ( y ) ( y ) 66 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

46 .57 Να γράψετε ως μία δύναμη τις παραστάσεις α) Α (0,5) 5 [() ] β) Β () 60 (,5) 0 γ) Γ ( ,5 50 ) 6 δ) Δ [ 5 (y ) ] ( y) ε) Ε [(y ) ( y 7 ) ] ( y ) 0.58 Να βρείτε την αριθμητική τιμή των παρακάτω παραστάσεων για 0, και y,5 α) Α [ 5 ( y ) ] ( y) β) Β [( y ) ( y 7 ) ].59 Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων α) Α ( y ) ( ), όταν y β) Β [ (y ) ] [( y ) ], όταν.60 Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α [( y ) (y ) ] ( y ) για 07 και y και να τη γράψετε ως 07 μία δύναμη με βάση φυσικό αριθμό..6 Να υπολογίσετε τις επόμενες παραστάσεις α) Α [(α β ) α (β ) ] e o, όπου α 0,0 και β 0, ( ) ( ) β) Β, ( ) όπου α 0 και β 0 γ) Γ [( y ) (y ) ] ( y ), όπου 00 και y 00.6 Δίνεται η παράσταση 5 g ( g ) Α G (α β γ ) g ( g ) α) Να αποδείξετε ότι Α α 5 β 5 γ 5. β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α για α 0 5, β και γ 0, Αν οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι, να υπολογίσετε τις παραστάσεις 5 ( ) ( ) α) Α 5 G ( ) ( ) β) Β ( ) 5 γ) Γ > e o H < F.6 Σε πόσα μηδενικά τελειώνουν οι αριθμοί; α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) η) () 000 (,5) Να συγκρίνετε τους αριθμούς α 5 5 και β 60 9 Γ. Ταυτότητες.66 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α ( ) ( ) ( ) β) Β ( ) ( ) ( ) γ) Γ ( ) ( ) ( ) δ) Δ ( ) ( ) ( 7).67 Να κάνετε τις πράξεις α) Α (α β) (α β) (α β)(α β) (β α ) β) Β (α ) (α ) (α )(α ).68 Να αποδείξετε τις επόμενες ταυτότητες α) (α β) (α β) αβ 67

47 β) (α β ) (α β ) (αβ) 0 γ) α(α β) β(β α) (α β) δ) (α β ) (α β ) α β (α β) (αβ) ε) (α ν ) (α ν ) 0(α ν ) 5 στ) (α ν β ν ) (α ν β ν ) (α ν β ν )(α ν β ν ) β ν ζ) (α β γ) (α β γ) α(β γ) 0 η) (α β γ) (α β γ) (α β γ) (α β γ) 8βγ θ) (α β)(α β ) αβ(α β ) 6α β (α β).69 Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά α) ( ) 6 β) ( ) 8 γ) ( ) δ) ( ) 8 ε) ( ) στ) ( ) 5.70 Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά α) ( ) β) 7y 7y ( ) γ) 8 ( ) δ) 8 6 ( ) ε) 6 ( ) στ) 8 y ff Ειδικές μορφές ταυτοτήτων.7 α) Να αποδείξετε ότι α β (α β) αβ β) Αν α β και αβ, να αποδείξετε ότι α β 5 γ) Αν α, να αποδείξετε ότι α. δ) Αν α 5, να υπολογίσετε την παράσταση α 9..7 α) Να αποδείξετε ότι α β (α β) αβ β) Αν α β και αβ, να αποδείξετε ότι α β 7 γ) Αν α, να υπολογίσετε την παράσταση α δ) Αν α, να υπολογίσετε την παράσταση 9α.7 α) Να αποδείξετε ότι α β (α β) αβ(α β) β) Αν α β και αβ, να αποδείξετε ότι α β γ) Αν α, να υπολογίσετε την παράσταση δ) Αν α α, να υπολογίσετε την παράσταση 8α 7.7 Αν α β και αβ, να υπολογίσετε τις παραστάσεις α β και α β..75 Αν α β και αβ, να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α α β β) Β α β γ) Γ α β δ) Δ α 6 β 6 ε) Ε α( α α ) β( β β ).76 Αν, να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α β) Β.77 Αν, να υπολογίσετε τις παραστάσεις που ακολουθούν 68 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

48 α) Α β) Β γ) Γ δ) Δ Αν α, να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) α β) α γ) α δ) α5 5 ε) α( α α ).79 α) Να αποδείξετε ότι α β (α β) αβ(α β) β) Αν α β και αβ, να αποδείξετε ότι α β 6 γ) Αν α, να υπολογίσετε την παράσταση α δ) Αν α, να υπολογίσετε την παράσταση 7α 8.80 Αν α β και αβ, να υπολογίσετε τις παραστάσεις α β και α β..8 Αν α β και αβ 6, να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α α β β) Β α β γ) Γ α β δ) Δ α( α α ) β( β β ).8 Αν, να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) β) γ).8 Αν, να υπολογίσετε τις επόμενες παραστάσεις α) Α β) Β γ) Γ δ) Δ Αν α, να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α τις παραστάσεις α) Α β) Β.85 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός α) 6 είναι πολλαπλάσιο του 50, β) 85 5 διαιρείται με το 00, γ) 9 9 διαιρείται με το 9, δ) 0 9 διαιρείται με τον αριθμό Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α ( )( ) β) Β ( )( ) γ) Γ ( )( ) δ) Δ ( )(9 ) ε) Ε ( y)( y y ) στ) Ζ (α )(α α ).87 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) Α ( )( )( )( ) β) Β ( )( )( 9)( 9) γ) Γ (α β)(α β)(α αβ β )(α αβ β ) δ) Δ (α 8 )(α )(α )(α )(α ) Ταυτότητες με συνθήκη.88 Αν α β, να αποδείξετε ότι α) α β αβ β) α (β ) β (α ) α β.89 Να αποδείξετε ότι α) αν α β, τότε Α α(α ) β(β ) αβ 0 69

49 β) αν α β, τότε Β (α α ) (β β ).90 Αν αβ, να αποδείξετε ότι α β.9 Να αποδείξετε ότι α) αν (α β) d n, τότε α β, β) αν α β (α β), τότε α β, γ) αν α β γ (α β γ), τότε α β γ δ) αν (α β) (α β ), τότε α β, ε) αν α β αβ(α β), τότε α β, στ) αν 5, τότε α β..9 α) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) (α β) αβ β) Να υπολογίσετε την παράσταση Α γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ( ) ( ) έχει 06 μηδενικά..9 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του διπλανού ορθογώνιου τριγώνου..9 Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα μήκη των δύο πλευρών δύο τριγώνων. Αν ένα από τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α ή στο Δ, να αποδείξετε ότι και το άλλο τρίγωνο είναι ορθογώνιο..95 Αν α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει (αβ γ ) (α β)(α β γ) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο..96 Να αποδείξετε ότι α) β),65 0,65,65 γ),5,5,5 Δ. Παραγοντοποίηση.97 Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) α αy αω β) α α y α ω γ) α α α δ) αβ γ αβγ αβγ ε) 6α α y 8αy στ) 5 y 0 y 5 y.98 Να κάνετε γινόμενα τις επόμενες παραστάσεις α) (α β) (α β) β) (α β) (β α) γ) α( y) β(y ) δ) (α β) 6(β α) ε) (α β)( y) (α β)(y ) στ) ( ) ( ) ζ) ( 5) (5 ) η) ( y )( ) y( ).99 Να κάνετε γινόμενα τις επόμενες παραστάσεις α) (α β) (α β)y 70 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

50 β) (α β) (β α)y γ) ( y)α β (y ) δ) αβ(y ω) (ω y) ε) α( y) y στ) ( ) 6.00 Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) ( ) ( ) β) (α β)( y) (y ) γ) α( ) β( ) δ) 6(α β) (β α) ε) ( )(α β) ( )(α β) στ) ( y)(α β) (β α)( y).0 Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) α βy αy β β) 6 γ) δ) y α αy ε) α 5y αy 5 στ) α αy β βy ζ) α αβ α β η) α α βγ αβγ.0 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α) y ω yω β) αβ α β γ) yω y ω δ) yω y ω ε) α α α στ) y ω (ω y).0 Να κάνετε γινόμενα τις επόμενες παραστάσεις α) ( ) β) α( y) βy β γ) δ) 5 0 ε) α 8 α στ) 0β 5α 8β 9αβ.0 Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) (α β)( y) γ γy β) α ( α) γ) y y ω 6ω δ) (α β)( y) γ γy ε) α( y) βy β στ) αβ α β.05 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α) 6 β) y 9 γ) β δ) α β 5 ε) στ) 5α 0β.06 Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) 9 y β) 5 9 γ) y δ) 6 ε) ( ) στ) (y ) 9y.07 Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) β) α β 9 γ) 9y δ) ( ) 9 ε) 6 στ) α β ζ) α β η) 6 y.08 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α) 8 β) y γ) αβ αγ δ) 8 50y ε) α α στ) y ω.09 Να κάνετε γινόμενα τα τριώνυμα α) Α β) B y y 5 γ) Γ α α 6 δ) Δ β β 8 7

51 .0 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α) β) γ) 8 δ) 8 ε) 8 y στ) 8 7y ζ) 6α 7β η) 8α 7. Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) ( ) 6 β) (y ) 9 γ) 8 y δ) α 8β ε) 7 στ) 8α β 6. Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) Α β) B 6 9 γ) Γ y y δ) Δ y 8y 6 ε) E στ) Ζ α α β β. Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) Α y 9y β) Β 9α α β β 6. Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) ( ) ( ) β) (y ) (y ) γ) (α ) 6(α ) 9 δ) (α 5) 0(α 5) 50.5 Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) α α α β) y 6 y y γ) ( ) ( ) ( ) δ) (α ) (α ) (α ).6 Να κάνετε γινόμενα τις επόμενες παραστάσεις α) Α 6 α α β) B 9 8 γ) Γ y δ) Δ α γ αβ β ε) Ε α γ α β β στ) Ζ α β γ δ αβ γδ.7 Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) α β αβ β) α αβ β γ) α α α δ) α (α ) (α ) ε) α (α ) (α ) στ) y y.8 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α) α αβ β α β β) y y y γ) y α α δ) y y ω ε) y 6y 9 στ) 9 α αβ β.9 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α) α β βγ γ β) y γ) y 6 6y δ) y y ε) α 5 α α στ) α β α β ζ) α α η) α β α β θ) Να παραγοντοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις α) y y β) 7 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

52 γ) ( ) δ) ( 9) 6 ε) α αβ β α β στ) y y ω ζ) α αβ β η) y 0y 5 θ) ( )( ) 5( )( ) ι) (y ) (y ) ια) (α β γ ) α β ιβ) ( 9)(α ) (α 6). Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α) Α α (γ ) (α )γ β) Β (α β )γ α β ( γ ) γ) Γ α β ( y ) y(α β ) δ) Δ α β ( y ) y(α β ). Να κάνετε γινόμενα τις επόμενες παραστάσεις α) Α β) Β 5 γ) Γ δ) Δ y y ε) Ε ( ) στ) Ζ ( ). Να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) Α (α β αβγδ γ δ ) (α β γ δ ) β) Β αβγ αβ βγ γα α β γ. Αν α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ, με X A 90, να κάνετε γινόμενα τις παραστάσεις α) Α α γ αβ αγ βγ β) Β α β γ.5 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α) Α α β β γ γ α αβ βγ γα β) Β α (β γ) β (γ α) γ (α β) αβγ γ) Γ α (β γ) β (γ α) γ (α β) αβγ δ) Δ α( y) β(y ω) γ(ω ) β γy αω Ε. Απλοποίηση παραστάσεων.6 Δίνεται η παράσταση Α() α) Να κάνετε γινόμενο την παράσταση Α. β) Να λύσετε την εξίσωση Α() 0..7 Δίνεται ο αριθμός α ( )( ) α) Για ποιες τιμές του ορίζεται ο αντίστροφος του α; β) Να απλοποιήσετε την παράσταση ( )( ) Β ( )( ) γ) Να λύσετε την εξίσωση Β 0..8 Δίνεται η παράσταση Α ( )( ) α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζεται η παράσταση Α. β) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε Α 0. γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α..9 Δίνονται οι παραστάσεις ( )( ) A ( )( ) και ( )( ) ( )( 5 ) Β 7

53 α) Για ποιες τιμές του ορίζονται οι παραστάσεις Α και Β; β) Να αποδείξετε ότι Α και Β..0 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις α) A β) Β γ) Γ 6 9 ( ) δ) Δ. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις α) Α β) Β γ) Γ δ) Δ. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις α) β) γ) δ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 5). Να απλοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις α) Α β) Β γ) Γ δ) Δ. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις α) Α β) Β γ) Γ y y y δ) Δ y y y.5 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις α) Α β) Β y y γ) Γ y 5 5 δ) Δ ε) Ε Να απλοποιήσετε τα κλάσματα α) Α β) Β y y y y.7 Να απλοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις, αφού πρώτα βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται. α) Α β) Β γ) Γ δ) Δ 7 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

54 ε) Ε ( ) ( ) στ) Ζ.8 Να αποδείξετε ότι 50 f Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A f Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις α) β) γ) 8 9 ( ) ( )( ) ( )( ) 9 ( ) ( ) ( ) y y δ) ( y ) y y ε) στ) ζ) η) y y ( y) y. Να αποδείξετε ότι α) y y ( ) ( ) ( ) ( ) d n d n y y β) y y y y y γ) ( y ) y y δ) d n d ng y y. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις α) Α β) Β γ) Γ ( m n ) m n ( m n ) m n m n d n G δ) Δ d n ε) Ε y y y y e o e oe o y y. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις α) Α d nd ng ( ) ( ) β) Β > e oe oh R V S g g γ) Γ W S e ow d g g g n g G S g W T X y y d n y y y y δ) Δ ( y) y y ( y) y y. Να αποδείξετε ότι α) e o d n d ng 75

55 β) (α β ) γ) δ) (α β ) f p f p αβ ( )( ) ( )( ).5 Να αποδείξετε ότι α) < F < F β) (y ω) y (ω ) ω ( y) γ) ( y)(y ω)(ω ) y ( y)( v) ( y v)( y ) v ( v )( v y) Αναλογίες.6 Να αποδείξετε ότι α) αν 8, τότε, 9 β) αν g d, τότε g 5 g. d 5 d.7 Αν g g, να αποδείξετε ότι d d n g d.8 Αν g g d d, να αποδείξετε ότι ( )( g d) ( g)( d).9 Αν αβ γδ, όπου α, β, γ, δ είναι αριθμοί διαφορετικοί από το μηδέν, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α g d.50 Να βρείτε τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν η περίμετρός του είναι 0 και οι πλευρές είναι ανάλογες προς τους αριθμούς, 5 και 6.5 Αν οι γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς τους αριθμούς, και 5, να βρείτε τα μέτρα των γωνιών αυτών..5 Αν είναι α! β! γ! α και m n g g να αποδείξετε ότι λ μ ν..5 Αν είναι g y και y ω! 0 v να αποδείξετε ότι ( g) g ( y v) yv Άρτιοι Περιττοί ακέραιοι.5 Να αποδείξετε ότι α) το άθροισμα δύο άρτιων αριθμών είναι άρτιος, β) το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι άρτιος, γ) το άθροισμα ενός άρτιου αριθμού και ενός περιττού αριθμού είναι περιττός..55 Να αποδείξετε ότι α) το γινόμενο δύο άρτιων αριθμών είναι άρτιος, β) το γινόμενο δύο περιττών αριθμών είναι περιττός, γ) το γινόμενο ενός άρτιου αριθμού με έναν περιττό αριθμό είναι άρτιος. 76 Οι πραγματικοί αριθμοί Πράξεις και ιδιότητες

56 .56 Να αποδείξετε ότι α) αν ο α είναι άρτιος ακέραιος, τότε και ο α είναι άρτιος, β) αν ο α είναι περιττός, τότε και ο α είναι περιττός..57 Να αποδείξετε ότι α) ο αριθμός ν(ν ) είναι άρτιος για κάθε ν! Z, β) αν ο α είναι περιττός, τότε ο α έχει τη μορφή 8ν γ) αν οι α και β είναι περιττοί, τότε ο α β είναι πολλαπλάσιο του Δίνονται οι διαδοχικοί ακέραιοι α, β, γ και δ. Να αποδείξετε ότι α) ο αριθμός βδ αγ είναι περιττός, β) ο αριθμός α β γ δ είναι άρτιος, αλλά δε διαιρείται με τον, g d γ) ο αριθμός είναι ακέραιος. Απαγωγή σε άτοπο.59 Να αποδείξετε ότι αν το γινόμενο 5 αριθμών είναι διάφορο του μηδενός, τότε όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι διάφοροι από το μηδέν..60 Να αποδείξετε ότι α) το γινόμενο ενός άρτιου και ενός περιττού αριθμού είναι άρτιος αριθμός, β) αν το γινόμενο δύο ακεραίων είναι περιττός, τότε και οι δύο αριθμοί είναι περιττοί..6 Να αποδείξετε ότι όταν το άθροισμα ή το γινόμενο κάποιων ακέραιων αριθμών είναι περιττός, τότε ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι περιττός..6 Να αποδείξετε ότι α) ο είναι άρρητος, β) αν ο αριθμός α είναι ρητός, τότε ο α είναι άρρητος. 77