ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Transcript

1 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 12 Γενική μερική και ιδιάζουσα λύση ΔΕ Πρόβλημα αρχικών και πρόβλημα συνοριακών τιμών Το αντίστροφο του κυρίου προβλήματος 121 Παρατήρηση Η πιο απλή μορφή ΔΕ είναι η (1) όπου είναι γνωστή συνάρτηση Στη ΔΕ (1) δίνεται η παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης και ζητείται η συνάρτηση 122 Πρόταση Η λύση της ΔΕ (1) δίνεται από τον τύπο όπου c είναι αυθαίρετο στοιχείο του R (2) Απόδειξη Σύμφωνα με το βασικό Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού για κάθε συνάρτηση της οποίας η παράγωγος έχουμε (στο διάστημα αυτό) είναι συνεχής σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών (3) όπου c είναι η αυθαίρετη σταθερή της ολοκλήρωσης Ο ζητούμενος τύπος (2) προκύπτει από τον (3) αν θέσουμε σ αυτόν όπου την ίση με αυτήν συνάρτηση 123 Παρατήρηση Η ΔΕ (1) δεν έχει μια μόνο λύση αλλά άπειρες που αντιστοιχούν στις διάφορες τιμές της αυθαίρετης σταθερής c 124 Παρατήρηση Το σύνολο των λύσεων της ΔΕ (1) είναι ένα μονοπαραμετρικό σύνολο συναρτήσεων αφού τα διάφορα στοιχεία του αντιστοιχούν στις τιμές που παίρνει μια παράμετρος (η c R ) 125 Παρατήρηση Θεωρούμε μια εξίσωση της μορφής όπου R είναι μεταβλητή παράμετρος Για μια ορισμένη τιμή του η εξίσωση (4) ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο Το σύνολο όλων των καμπύλων του επιπέδου που ορίζονται από την (4) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λέγεται στην Αναλυτική Γεωμετρία μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων και η εξίσωση (4) λέγεται εξίσωση της οικογένειας 126 Παρατήρηση Με την έννοια της Παρατήρησης 125 οι λύσεις της ΔΕ (1) αποτελούν (4)

2 2 μονοπαραμετρική οικογένεια ( 1 ) καμπύλων του επιπέδου με εξίσωση την (4) 127 Παρατήρηση Σύμφωνα με την Πρόταση 132 η λύση της ΔΕ (1) βρίσκεται με μια ολοκλήρωση των μελών της και εξαρτάται από μία αυθαίρετη σταθερή 128 Παράδειγμα Η ΔΕ έχει λύση H εξίσωση 2 1 είναι η εξίσωση της οικογένειας των παρα- βολών του Σχ 2 Οι διάφορες καμπύλες της Σχ Πρόταση Η λύση της ΔΕ ν τάξης οικογένειας αυτής είναι οι διάφορες θέσεις που παίρνει μία από τις παραβολές όταν κινείται σαν στερεό σύστημα παράλληλα προς τον άξονα δίνεται από τον τύπο (5) όπου είναι αυθαίρετα στοιχεία του R Απόδειξη Αν στον τύπο (3) θέσουμε όπου τη συνάρτηση τότε παίρνουμε την ισότητα Με νέα εφαρμογή του τύπου (3) παίρνουμε Μετά από ν τέτοια βήματα φθάνουμε στον τύπο (7) (1) Οι λέξεις οικογένεια και σύνολο είναι συνώνυμες στα Μαθηματικά

3 3 Τέλος αν στον τύπο (7) θέσουμε τότε παίρνουμε τον τύπο (6) = 1210 Παρατήρηση Το σύνολο των λύσεων της ΔΕ (5) είναι ένα παραμετρικό σύνολο συναρτήσεων ή με άλλα λόγια οι λύσεις της ΔΕ (5) αποτελούν μια παραμετρική οικογένεια καμπύλων του επιπέδου 1211 Παρατήρηση Σύμφωνα με την Πρόταση 129 η λύση της ΔΕ (5) βρίσκεται με ν διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της και εξαρτάται από ν ακριβώς αυθαίρετες σταθερές 1212 Παρατήρηση Αν το είναι αυθαίρετο στοιχείο του R και το είναι ένα συγκεκριμένο στοιχείο του R τότε και τα είναι αυθαίρετα στοιχεία του R Λύση 3 Παράδειγμα Να λυθεί η Δ Ε Αυτή είναι μια ΔΕ της μορφής (5) Επειδή η λύση της βρίσκεται με δυο διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της Με την πρώτη ολοκλήρωση των μελών της έχουμε και με τη δεύτερη ολοκλήρωση βρίσκουμε = ή 1214 Ορισμός Κάθε λύση μιας ΔΕ οστής τάξης (8) η οποία εξαρτάται από ν ακριβώς αυθαίρετες σταθερές και η οποία δίνεται σε (λυμένη) μορφή (9) ή σε πλεγμένη μορφή

4 4 (10) λέγεται γενική λύση ή γενικό ολοκλήρωμα της ΔΕ (8) 1215 Παρατήρηση Από γεωμετρική άποψη μια γενική λύση της ΔΕ (8) είναι η εξίσωση μιας ν παραμετρικής οικογένειας καμπύλων του επιπέδου Οι διάφορες καμπύλες της οικογένειας αντιστοιχούν στις διάφορες τιμές των αυθαιρέτων σταθερών 1216 Ορισμός Κάθε λύση της ΔΕ (8) που προκύπτει από μια γενική της λύση αν δοθούν συγκεκριμένες τιμές σε όλες τις αυθαίρετες σταθερές λέγεται μερική λύση ή ολοκληρωτική καμπύλη της ΔΕ (8) 1217 Ορισμός Μια λύση της ΔΕ(8) η οποία δεν εξαρτάται από αυθαίρετες σταθερές και η οποία δεν προκύπτει από κάποια γενική της λύση (εφόσον υπάρχει) λέγεται ιδιάζουσα λύση της 1218 Ορισμός Για να εκλέξουμε μια μερική λύση της ΔΕ (8) δηλ για να υπολογίσουμε τις τιμές των ν αυθαιρέτων σταθερών που αντιστοιχούν σ αυτήν πρέπει να μας δοθούν ν ανεξάρτητες μεταξύ τους συνθήκες που ικανοποιεί η ζητούμενη μερική λύση Οι συνθήκες αυτές έχουν συνήθως τη μορφή (9) δηλ υποχρεώνουν τις συναρτήσεις να πάρουν καθορισμένες τιμές για καθορισμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής και λέγονται αρχικές συνθήκες της ΔΕ Το πρόβλημα της εύρεσης μιας μερικής λύσης που ικανοποιεί αρχικές συνθήκες λέγεται πρόβλημα αρχικών τιμών 1219 Ορισμός Υποθέτουμε ότι ζητούμε μια μερική λύση της ΔΕ (8) ορισμένη στο κλειστό διάστημα Αν οι συνθήκες που ικανοποιεί η ζητούμενη μερική λύση υποχρεώνουν κάποιες από τις συναρτήσεις όπου να πάρουν καθορισμένες τιμές στο ένα άκρο του και τις υπόλοιπες να πάρουν καθορισμένες τιμές στο άλλο άκρο του τότε οι συνθήκες αυτές λέγονται συνοριακές συνθήκες Το πρόβλημα της εύρεσης μιας μερικής λύσης που ικανοποιεί συνοριακές συνθήκες λέγεται πρόβλημα συνοριακών τιμών 1220 Παράδειγμα ( Πρόβλημα αρχικών τιμών ) Να βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ η οποία επαληθεύει τη συνθήκη (10) ( Ισοδύναμη διατύπωση Να βρεθεί η ολοκληρωτική καμπύλη της ΔΕ (10) η οποία περνά από το σημείο του επιπέδου ) Λύση Μια γενική λύση της ΔΕ (10) είναι η

5 5 δηλ η (11) Υπολογίζουμε τώρα την τιμή της αυθαίρετης σταθερής έτσι ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη Για το σκοπό αυτό θέτουμε στην (11) και έχουμε ή Άρα η ζητούμενη μερική λύση είναι η συνάρτηση 1221 Παράδειγμα (Πρόβλημα συνοριακών τιμών) Να βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες και 3 ( είναι το δυναμικό σε απόσταση α από το κοινό κέντρο δύο σφαιρικών αγωγών με ακτίνες α και β και δυναμικά και 0 αντίστοιχα) Λύση Βρίσκουμε πρώτα μια γενική λύση της ΔΕ (12) Με μια ολοκλήρωση (ως προς ) των μελών της (12) έχουμε (12) ή ή (13) Με νέα ολοκλήρωση των μελών της (13) έχουμε ή (14) Η συνάρτηση που ορίζεται από τη (14) είναι γενική λύση της ΔΕ(12) Υπολογίζουμε τώρα τις αυθαίρετες σταθερές και έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες που δίνονται Για το σκοπό αυτό θέτουμε στη (14) και έχουμε Θέτουμε ακόμη στη (14) και έχουμε (15)

6 6 Λύνοντας το ως προς και σύστημα των (15) και (16) βρίσκουμε (16) Τέλος αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των και στη (14) και έχουμε τη ζητούμενη μερική λύση 17 Το πρόβλημα των ισογώνιων τροχιών 171 Ορισμός Γωνία τομής δύο καμπύλων του επιπέδου σε ένα κοινό τους σημείο Ρ λέγεται η γωνία των εφαπτομένων τους και (Σχ3) 172 Παρατήρηση Αν είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των εφαπτομένων και και η γωνία τους τότε είναι και δηλ είναι Σχ 3 Σχ 3 (1) 173 Παρατήρηση Λύνοντας την ισότητα (1) ως προς έχουμε (2) 174 Παρατήρηση Αν οι καμπύλες έχουν εξισώσεις και είναι οι συντεταγμένες του Ρ τότε είναι και ο τύπος (2) δίνει (3)

7 7 175 Παρατήρηση Αν οι καμπύλες τέμνονται ορθογώνια τότε είναι και 2 = 1 ή (4) 176 Ορισμός Θωρούμε μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων του επιπέδου με εξίσωση (5) όπου R είναι μεταβλητή παράμετρος Μια άλλη καμπύλη του επιπέδου λέγεται ισογώνια τροχιά της οικογένειας (5) αν τέμνει κάθε καμπύλη της οικογένειας (5) και μάλιστα υπό σταθερή γωνία Αν η σταθερή γωνία είναι ορθή τότε η ισογώνια τροχιά της οικογένειας (5) λεγεται ορθογώνια τροχιά 177 Ορισμός Η μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων του επιπέδου όπου R είναι μεταβλητή παράμετρος λέγεται οικογένεια των ω ισογώνιων τροχιών της οικογένειας (5) αν κάθε καμπύλη της είναι ισογώνια τροχιά της οικογένειας (5) Η οικογένεια των ισογώνιων τροχιών της οικογένειας (5) λέγεται οικογένεια των ορθογώνιων τροχιών της (5) Επειδή η σχέση καθετότητας των ευθειών έχει τη συμμετρική ιδιότητα όταν η (β) είναι η οικογένεια των ορθογώνιων τροχιών της οικογένιεας (α) τότε και η (α) είναι η οικογένεια των ορθογώνιων τροχιών της (β) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι κάθε μια οικογένεια είναι ορθογώνιος τροχιά της άλλης ή ισοδύναμα ότι οι δύο οικογένειες καμπύλων είναι ορθογώνιες 178 Παράδειγμα Η οικογένεια των ομόκεντρων κύκλων του επιπέδου με κέντρο το σημείο και η επίπεδη δέσμη ευθειών του επιπέδου με κέντρο δηλ η οικογένεια των ευθειών που περνούν από το ) είναι ορθογώνιες Με άλλα λόγια οι δυο οικογένειες καμπύλων του επιπέδου με εξισώσεις είναι ορθογώνιες (Βλέπε 116 Άσκηση 4) (7) και (8) 179 Παρατήρηση Το πρόβλημα των ισογώνιων τροχιών είναι το ακόλουθο : (6) και ζητείται η οικογέ- Δίνεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων του επιπέδου νεια των ισογώνιων τροχιών της 1710 ΠαρατήρησηΗ επίλυση του προβλήματος των ισογώνιων τροχιών επιτυγχάνεται όταν γνωρίζουμε και τη ΔΕ της δοσμένης οικογένειας καμπύλων 1711 Πρόταση Θεωρούμε μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων του επιπέδου με εξίσωση

8 8 (9) Αν ) = 0 (10) είναι η ΔΕ της οικογένειας (9) τότε η ΔΕ της οικογένειας των ισογώνιων τροχιών της προκύπτει από τη (10) αν θέσουμε σ αυτήν όπου το δηλ είναι η (11) και επομένως η εξίσωση της οικογένειας των λύση της ΔΕ (11) ισογώνιων τροχιών της (9) δίνεται από τη γενική 1712 Πόρισμα Η ΔΕ της οικογένειας των ορθογώνιων τροχιών της (9) προκύπτει από τη (10) αν θέσουμε σ αυτήν όπου το δηλ είναι η ) = 0 (12) και κατά συνέπεια η εξίσωση της οικογένειας των ορθογώνιων τροχιών της (9) δίνεται από τη γενική λύση της ΔΕ(12) 1713 Παρατήρηση Στην πράξη για να επιλύσουμε το πρόβλημα των ισογώνιων ( αντ ορθογώνιων) τροχιών ακολουθούμε τα παρακάτω τρία βήματα : Βρίσκουμε τη ΔΕ της οικογένειας που δίνεται Θέτουμε στη ΔΕ της οικογένειας όπου το (αντ το ) Λύνουμε τη νέα ΔΕ που έτσι προκύπτει 1714 Παράδειγμα Να βρεθούν οι ισογώνιες τροχιές της οικογένειας των κύ-κλων (13) Λύση Βρίσκουμε τη ΔΕ της οικογένειας (13) Για το σκοπό αυτό παραγωγίζουμε τα μέλη της (13) ως προς θεωρούμε το συνάρτηση του και κρατούμε το σταθερό Έτσι έχουμε = 0 ή = 0 (14) Στη συνέχεια απαλείφουμε την αυθαίρετη σταθερή από τις εξισώσεις (13) και (14) Επειδή στη (14) δεν εμφανίζεται η η εξίσωση που προκύπτει από τις (13) και (14) με απαλοιφή της είναι η (14) Επομένως η (14) είναι η ΔΕ της οικογένειας των κύκλων (13) Αντικαθιστούμε στη ΔΕ (14) όπου το και παίρ-νουμε τη ΔΕ

9 9 Λύνουμε τη ΔΕ (15) Αυτή γράφεται διαδοχικά = 0 (15) και άρα είναι ομογενής ΔΕ με συνάρτηση Έχουμε = και ο τύπος δίνει ή Θέτοντας στον τελευταίο τύπο έχουμε = (16) Η (16) είναι η ζητούμενη εξίσωση της οικογένειας των κύκλων (13) ισογώνιων τροχιών της οικογένειας των 1715 Παράδειγμα Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές της οικογένειας των παραβολών (17) Λύση Βρίσκουμε τη ΔΕ της οικογένειας (17) Παραγωγίζουμε τα μέλη της (17) ως προς και έχουμε ή (18) Στην (18) δεν εμφανίζεται η αυθαίρετη σταθερή α και άρα αυτή είναι η ΔΕ της οικογένειας (17) Αντικαθιστούμε στη (18) όπου το και έχουμε τη ΔΕ Λύνουμε τη ΔΕ (19) Αυτή γράφεται διαδοχικά = 2 (19)

10 10 και άρα είναι ΔΕ χωριζόμενων μεταβλητών Ολοκληρώνοντας τα μέλη της τελευταίας ισότητας παίρνουμε ή ή ή (20) Η (20) είναι η ζητούμενη εξίσωση της οικογένειας των ορθογώνιων τροχιών της οικογένειας των παραβολών (17) 1716 Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση 1 Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές της οικογένειας των ισοσκελών υπερβολών (1) Λύση Βρίσκουμε τη ΔΕ της οικογένειας (1) Παραγωγίζουμε τα μέλη της (1) ως προς θεωρούμε το συνάρτηση του και κρατούμε το α σταθερό Έτσι έχουμε ή (2) Επειδή στη (2) δεν εμφανίζεται το α αυτή είναι η σχέση που προκύπτει από τις (1) και (2) με απαλοιφή του α δηλ αυτή είναι η ΔΕ της οικογένειας (1) Θέτουμε στη (2) όπου το και παίρνουμε τη ΔΕ Λύνουμε τη ΔΕ (3) Αυτή γράφεται διαδοχικά = 0 (3) και άρα είναι ΔΕ χωριζόμενων μεταβλητών Μια γενική της λύση δίνεται από τον τύπο και είναι η R (4) Η οικογένεια καμπύλων (4) είναι κι αυτή οικογένεια ισοσκελών υπερβολών οι οποίες όμως έχουν ασυμπτώτους τους άξονες συντεταγμένων (Η οικογένεια των ισοσκελών υπερβολών (1) έχουν ασυμπτώτους τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων)

11 11 Άσκηση 2 Να βρεθούν οι ισογώνιες τροχιές της επίπεδης δέσμης ευθειών (1) Λύση έχουμε Βρίσκουμε τη ΔΕ της οικογένειας (1) Παραγωγίζουμε τα μέλη της (1) ως προς και (2) Η απαλοιφή του από τις (1) και (2) δίνει την εξίσωση (3) η οποία είναι η ΔΕ της οικογένειας (1) Θέτουμε στην (3) όπου το και παίρνουμε τη ΔΕ Λύνουμε τη ΔΕ (4) Αυτή γράφεται (4) ή ή και άρα είναι ομογενής με συνάρτηση Έχουμε = και ο τύπος δίνει

12 12 ή Τέλος θέτοντας στην τελευταία ισότητα έχουμε τη γενική λύση της ΔΕ (4) Η λύση αυτή γράφεται και υπό τη μορφή και είναι η ζητούμενη εξίσωση της οικογένειας των ισογώνιων τροχιών της οικο-γένειας (1) Άσκηση 3 Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές της οικογένειας καμπύλων (1) Λύση και έχουμε Βρίσκουμε τη ΔΕ της οικογένειας (1) Παραγωγίζουμε τα μέλη της (1) ως προς (2) από τις (1) και (2) θέτουμε την τιμή του α από τη (2) στην (1) Έτσι έχου- Για να απαλείψουμε το με την εξίσωση η οποία γράφεται (3) και είναι η ΔΕ της οικογένειας (1) Θέτουμε στην (3) όπου το και παίρνουμε τη ΔΕ (4) Λύνουμε τη ΔΕ (4) Αυτή γράφεται ή (5) και άρα είναι ομογενής ΔΕ με συνάρτηση λύση της ΔΕ (5) είναι η Κατά τα γνωστά βρίσκουμε ότι γενική 3 η οποία είναι η ζητούμενη εξίσωση της οικογένειας των ορθογώνιων τροχιών της (1)

13 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 21 Συναρτήσεις περισσοτέρων μεταβλητών Όριο και συνέχεια 211Ορισμοί Ας είναι δυο υποσύνολα του R και το Καρτεσιανό τους γινόμενο δηλ το σύνολο των διατεταγμένων ζευγ ν όπου Μια μονοσ μαντη αντιστοιχία R (1) λέγεται πραγματική συνάρτηση δυο ανεξάρτητων πραγματικών μεταβλητών και Ο συμβολισμός (1) σημαίνει ότι η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το πεδίο τιμών το R και ότι με την το αντιστοιχίζεται στο R Ο πραγματικός αριθμός λέγεται τιμή της συνάρτησης στο και συμβολίζεται με Η έκφραση λέγεται τύπος της συνάρτησης (1) Μια μονοσήμαντη αντιστοιχία (2) R (3) όπου R λέγεται πραγματικ συνάρτηση τρι ν ανεξάρτητων πραγματικ ν μεταβλητων Ανάλογα ορίζονται και οι πραγματικές συναρτ σεις τεσσάρων πέντε κ λπ πραγματικ ν ανεξάρτητων μεταβλητ ν Σε ότι ακολουθεί ονομάζουμε τις πραγματικές συναρτ - σεις δύο τρι ν τεσσάρων κ λπ μεταβλητ ν απλά συναρτ σεις περισσοτέρων μεταβλητ ν όπως έχει πια καθιερωθεί στα Μαθηματικά Συχνά δίνεται μόνο ο τύπος ( ή κλπ ) μιας συνάρτησης δύο (ή τριών κλπ ) μεταβλητών και αποσιωπάται το πεδίο ορισμού της Τότε σαν πεδίο ορισμού της θεωρείται το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (ή τριάδων ( ) κλπ πραγματικών αριθμών τέτοιων ώστε το ( ή ) έχει έννοια πραγματικού αριθμού 212 Παράδειγμα Ο τύπος oρίζει μια συνάρτηση δυο μεταβλητ ν της οποίας πεδίο ορισμού είναι το υποσύνολο του Καρτεσιανού γινομένου R R R δηλ ο κυκλικός δίσκος με κέντρο και ακτίνα του επιπέδου 213 Ορισμοί Θεωρούμε τ ρα σημείο του επιπέδου και θετικό πραγματικό

14 14 αριθμό Το σύνολο των σημείων του επιπέδου των οποίων οι συντεταγμένες επαληθεύουν την ανισότητα 2 λέγεται κυκλική γειτονία ( ή απλά γειτονία ) του σημείου (Βλέπε Σχ 12) και συμβολίζεται με 214 Παρατήρηση Για όλα τα σημεία της γειτονίας ενός σημείου ισχύουν Πράγματι Αλλά επειδ είναι και και από την ανισότητα προκύπτει ότι είναι και ή ισοδύναμα ότι και 215 Ορισμός Θεωρούμε τώρα μια συνάρτηση δυο μεταβλητών ορισμένη στο R και ένα σημείο ) του R τέτοιο ώστε κάθε γειτονία του να περιέχει ένα τουλάχιστον σημείο του διάφορο του Λέμε ότι το όριο της συνάρτησης όταν το σημείο τείνει στο ) είναι το R και γράφουμε ή y 2δ Σχ 12 γειτονία του σημείου ) ή αν για κάθε υπάρχει θετικός 3 τέτοιος ώστε να είναι 216 Παράδειγμα Η συνάρτηση ( 2 ) απόσταση των σημείων και ( 3 ) O θετικός εξαρτάται γενικά από τον ε + R

15 15 έχει όριο το 2 όταν Απόδειξη Ας είναι ένας θετικός (οσονδήποτε μικρός) και ας εκλέξουμε σαν θετικό τον Τότε εξ αιτίας της Παρατήρησής μας 214 για όλα τα σημεία της δ γειτονίας του σημείου είναι και άρα είναι και 4 δηλ είναι ότι θέλαμε να δείξουμε 217 Ορισμός Λέμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο του πεδίου ορισμού της αν (α) υπάρχει το όριο (β) είναι δηλ αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης όταν και ισούται με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο 218 Παράδειγμα Η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε σημείο R Απόδειξη 219 Ορισμός Λέμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του 2110 Παρατήρηση Ανάλογα ορίζονται και το όριο και η συνέχεια των συναρτήσεων περισσοτέρων των δύο μεταβλητών 22 Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων περισσοτέρων μεταβλητών 221 Ορισμός Ας είναι μια συνάρτηση δυο μεταβλητών ορισμένη σε μια γειτονία του σημείου του επιπέδου To όριο εφόσον υπάρχει λέγεται πρώτη μερική παράγωγος της συνάρτησης ως προς x και συμβολίζεται με ή (απλά) με ( 4 ) Πήραμε σιωπηλά υπόψη μας ότι

16 16 το όριο εφόσον υπάρχει λέγεται πρώτη μερική παράγωγος της συνάρτησης ως προς y και συμβολίζεται με ή (απλά) με Οι μερικές παράγωγοι και της συνάρτησης λέγονται μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της συνάρτησης 222 Παρατήρηση Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι : «η μερική παράγωγος είναι η παράγωγος της συνάρτησης ως προς του θεωρουμένου σταθερού» και «η μερική παράγωγος είναι η παράγωγος της συνάρτησης ως προς του θεωρουμένου σταθερού» 223 Παράδειγμα Για τη συνάρτηση έχουμε και = Ορισμός Ας είναι τώρα μια συνάρτηση τριών μεταβλητών ορισμένη σε μια γειτονία του σημείου του χώρου Το όριο εφόσον υπάρχει λέγεται πρώτη μερική παράγωγος της ως προς και συμβολίζεται με Ανάλογα τα όρια και

17 17 εφόσον υπάρχουν λέγονται πρώτη μερική παράγωγος της ως προς και πρώτη μερική παράγωγος της ως προς και συμβολίζονται αντίστοιχα με και 225 Παρατήρηση Μια συνάρτηση τριών μεταβλητών έχει τρεις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης τις και Η μερική παράγωγος της ως προς μία μεταβλητή της είναι η παράγωγος της ως προς τη μεταβλητή αυτή όλων των άλλων μεταβλητών της θεωρουμένων σταθερών Έτσι για να βρούμε τη μερική παράγωγο παραγωγίζουμε τη ως προς και κρατούμε τις άλλες δύο ανεξάρτητες μεταβλητές ( δηλ τις και ) σταθερές 226 Παράδειγμα Να βρεθούν οι αριθμητικές τιμές των μερικών παραγώγων πρώτης τάξης της συνάρτησης στο σημείο Λύση Έχουμε 3 3 και και άρα : 3 3 = = Παρατήρηση Ανάλογα ορίζονται και οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης των συναρτήσεων τεσσάρων πέντε κλπ μεταβλητών Γενικά μια συνάρτηση ανεξαρτήτων μεταβλητών έχει μερικές παραγώγους πρώτης τάξης 228 Ορισμός Μια συνάρτηση μεταβλητών λέγεται παραγωγίσιμη μια φορά αν είναι παραγωγίσιμη ως προς κάθε μεταβλητή της δηλ αν υπάρχουν όλες οι μερικές της παράγωγοι πρώτης τάξης

18 18 23 Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης 231 Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση δυο μεταβλητών και παρατηρούμε ότι οι μερικές της παράγωγοι πρώτης τάξης και είναι κι αυτές συναρτήσεις των δύο μεταβλητών και H μερική παράγωγος ως προς της δηλ η λέγεται δεύτερη μερική παράγωγος της συνάρτησης ως προς και συμβολίζεται με H μερική παράγωγος ως προς της δηλ η λέγεται δεύτερη μερική παράγωγος της συνάρτησης ως προς x και y και συμβολίζεται με Η μερική παράγωγος ως προς x της δηλ η λέγεται δεύτερη μερική παράγωγος της συνάρτησης ως προς y και x και συμβολίζεται με Τέλος η μερική παράγωγος ως προς της δηλ η λέγεται δεύτερη μερική παράγωγος της συνάρτησης ως προς και συμβολίζεται με Οι παραπάνω παράγωγοι δηλ οι και λέγονται μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης της συνάρτησης 232 Παρατήρηση Για να βρούμε τη δεύτερη μερική παράγωγο της συνάρτησης παραγωγίζουμε την πρώτα ως προς x και κατόπιν το εξαγόμενο ως προς ενώ για να βρούμε την παραγωγίζουμε την πρώτα ως προς και κατόπιν το εξαγόμενο ως προς Στη δεύτερη περίπτωση αλλάζει η σειρά των ανεξαρτήτων μεταβλητών με την οποία γίνονται οι δυο παραγωγίσεις Αυτή ακριβώς η αλλαγή της σειράς των μεταβλητών με την οποία γίνονται οι δυο παραγωγίσεις δεν έχει σημασία όταν οι μερικές παράγωγοι και είναι συνεχείς συναρτήσεις Συγκεκριμένα αποδεικνύεται στα Μαθηματικά ότι : 233 Πρόταση Ας είναι μια συνάρτηση δυο μεταβλητών ορισμένη σε μια γειτονία ενός σημείου (x του επιπέδου Αν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι και της συνάρτησης και επιπλέον η συνάρτηση είναι συνεχής στη γειτονία τότε υπάρχει και η στην παραπάνω γειτονία και είναι ίση με την δηλ και είναι στην περιοχή (1) 234 Παρατήρηση Σε ότι ακολουθεί ασχολούμαστε μόνο με συναρτήσεις που πληρούν τις προϋποθέσεις της Πρότασης 233 δηλ για τις οποίες ισχύει ο παραπάνω τύπος (1) 235 Παρατήρηση Μετά την Παρατ 234 μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση δυο μεταβλητών έχει τρεις διάφορες μεταξύ τους μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης τις

19 19 27 Τοπικά μέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων δυο μεταβλητών 271 Ορισμός Ας είναι μια συνάρτηση δυο μεταβλητών Λέμε ότι η συνάρτηση (1) έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο του επιπέδου αν υπάρχει γειτονία του σημείου τέτοια ώστε να είναι (1) 5 (2) Λέμε ότι η συνάρτηση (1) έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο του επιπέδου αν υπάρχει γειτονία του σημείου τέτοια ώστε να είναι (3) Λέμε ότι η συνάρτηση (1) έχει τοπικό ακρότατο στο σημείο τοπικό ελάχιστο αν έχει σ αυτό τοπικό μέγιστο ή 272 Παρατήρηση Από Γεωμετρική άποψη η (1) είναι η εξίσωση μιας επιφάνειας όπως είπαμε και στην προηγούμενη παράγραφο Η συνάρτηση (1) έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο το είναι κορυφή ενός λόφου της επιφάνειας ενώ έχει τοπικό ελάχιστο στο αν το είναι το χαμηλότερο σημείο μιας κοιλάδας της επιφάνειας αν 273 Πρόταση Αν η συνάρτηση (1) έχει συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης τάξης σε μια γειτονία του σημείου και στο σημείο αυτό έχει τοπικό ακρότατο τότε είναι και (4) Απόδειξη Αν η συνάρτηση (1) έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο που ορίζεται από την ισότητα τότε και η συνάρτηση (5) έχει τοπικό μέγιστο για Αλλά τότε όπως γνωρίζουμε από τα Μαθηματικά Ι η παράγωγος της συνάρτησης (5) μηδενίζεται για δηλ τότε είναι ( Η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο της είναι τότε παράλληλη προς τον άξονα (Βλέπε 262) ) Ανάλογα η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα ( 5 ) Εξυπακούεται ότι η συνάρτηση (1) ορίζεται σε κάθε

20 20 (6) έχει κι αυτή τοπικό μέγιστο για και άρα μηδενίζεται η παράγωγός της για δηλ είναι Η απόδειξη είναι ανάλογη και στην περίπτωση που η συνάρτηση (1) έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο 274 Ορισμός Ένα σημείο του επιπέδου του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν το σύστημα των εξισώσεων (7) λέγεται σημείο στασιμότητας της συνάρτησης (1) 275 Παρατήρηση Οι πραγματικές λύσεις του συστήματος (7) μας δίνουν τις συντεταγμένες των σημείων στασιμότητας της συνάρτησης (1) 276 Παράδειγμα Να βρεθούν τα σημεία στασιμότητας της συνάρτησης + 1 (8) Λύση Έχουμε και και το σύστημα (7) γράφεται και έχει τέσσερεις πραγματικές λύσεις ( ) ( ) ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση (8) έχει τέσσερα σημεία στασιμότητας τα ) ) ) και ) 277 Παρατήρηση Από την Πρόταση 273 προκύπτει ότι κάθε σημείο τοπικού ακρότατου μιας συνάρτησης δυο μεταβλητών είναι και σημείο στασιμότητας αυτής Το αντίστροφο αυτού δεν είναι αληθές όπως μας βεβαιώνει το επόμενο Παράδειγμα 278 Παράδειγμα Θεωρούμε τη συνάρτηση και παρατηρούμε ότι γι αυτήν είναι και Επομένως το σύστημα (9)

21 21 γράφεται και έχει μια μόνο λύση Σαν συνέπεια η συνάρτηση (9) έχει ένα μόνο σημείο στασιμότητας το Το σημείο όμως αυτό O δεν είναι ούτε σημείο τοπικού μέγιστου ούτε σημείο τοπικού ελάχιστου αφού κάθε γειτονία του περιέχει σημεία ( πχ το ) στα οποία είναι = και σημεία ( πχ το ) στα οποία είναι = 279 Παρατήρηση Στο επόμενο Θεώρημα το οποίο δεχόμαστε χωρίς απόδειξη δίνεται μια ικανή συνθήκη για να είναι ένα σημείο στασιμότητας της συνάρτησης (1) και σημείο τοπικού ακρότατου 2710 Θεώρημα Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση (1) ορίζεται σε μια γειτονία του σημείου ότι έχει σ αυτήν μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης συνεχείς ότι το είναι σημείο στασιμότητάς της και θέτουμε Αν είναι : Δ( 1) Δ( και ( ή < 0 ) τότε η συνάρτηση (1) έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο 2) Δ( και ( ή > 0 ) τότε η συνάρτηση (1) έχει τοπικό ελάχιστο στο 3) Δ( τότε η συνάρτηση (1) δεν έχει τοπικό ακρότατο στο σημείο 4) Δ( τότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε για τοπικό ακρότατο στο σημείο δηλ τότε η μέθοδος δεν εφαρμόζεται 2711 Παράδειγμα Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3 (10) Λύση Βρίσκουμε πρώτα τα σημεία στασιμότητας της Έχουμε 3 3 και 3 3 Το σύστημα των εξισώσεων γράφεται 3 3 ή

22 22 Αντικαθιστώντας την τιμή του διαδοχικά από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος στην πρώτη έχουμε Επειδή το τριώνυμο έχει μιγαδικές ρίζες η τελευταία εξίσωση έχει δυο (μόνο) πραγματικές ρίζες Από την βρίσκουμε ότι και από την βρίσκουμε ότι Επομένως το σύστημά μας έχει δυο πραγματικές λύσεις και και άρα η συνάρτηση έχει δυο σημεία στασιμότητας και Εξετάζουμε τώρα αν τα σημεία είναι και σημεία τοπικού ακρότατου της Επειδή είναι έχουμε 3 3 Επομένως είναι : 3 = και στο σημείο η συνάρτηση δεν έχει τοπικό ακρότατο 3 και στο σημείο η συνάρτηση έχει τοπικό ακρότατο Ακόμη επειδή είναι η έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο Η (τοπικά) μέγιστη τιμή της είναι η 3 = Παράδειγμα Μεταξύ των ακάλυπτων δοχείων σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου τα οποία έχουν τον ίδιο όγκο να βρεθεί εκείνο που έχει τη μικρότερη επιφάνεια Λύση Αν είναι οι διαστάσεις της βάσης ενός τέτοιου παραλληλεπιπέδου και το ύψος του (Βλέπε Σχ 16) τότε έχουμε ή Το εμβαδόν της επιφάνειας του δοχείου αυτού είναι το z Εξετάζουμε τώρα αν η συνάρτηση δυο μεταβλητών έχει τοπικά ακρότατα Το σύστημα των εξισώσεων όπου γράφεται και αντικαθιστώντας την τιμή του από την πρώτη εξίσωση του συστήματος στην δεύτερη έχουμε διαδοχικά

23 23 όπου Επειδ το τρι νυμο έχει μιγαδικές ρίζες η τελευταία εξίσωση έχει δυο μόνο πραγματικές ρίζες Από τις τιμές αυτές η απορρίπτεται γιατί δεν βρίσκεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ε Μένει επομένως μόνο η τιμ Θέτοντας τ ρα στην εξίσωση παίρνουμε β και άρα η συνάρτηση έχει ένα μόνο σημείο στασιμότητας το Εύκολα βρίσκουμε τ ρα ότι είναι Επειδ είναι = 3 και Το είναι σημείο τοπικού ελάχιστου της συνάρτησης Η τοπικά ελάχιστη τιμ της είναι η + = Τέλος επειδ η συνάρτηση δεν έχει άλλο τοπικό ελάχιστο για το παραπάνω τοπικό ελάχιστο είναι το απόλυτο ελάχιστο της Έχουμε δείξει ότι την ελάχιστη επιφάνεια έχει το δοχείο του οποίου η βάση είναι τετράγωνο πλευράς και του οποίου το ύψος ίσο με 3 Ασκ σεις Άσκηση Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης των συναρτήσεων και που ορίζονται από τις ισότητες : (α) (β) Λύση (α) Έχουμε και

24 (β) Έχουμε 3 3 Άσκηση 2 Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης της συνάρτησης την ισότητα που ορίζεται από Λύση Βρίσκουμε πρώτα τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης Έχουμε = και ανάλογα Βρίσκουμε τώρα τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης Έχουμε και

25 25 Άσκηση 3 Η συνάρτηση ορίζεται από την ισότητα όπου είναι πραγματικές μεταβλητές και Nα δειχτεί ότι είναι δηλ ) Λύση Έχουμε και άρα + = Άσκηση 4 Να βρεθούν οι αριθμητικές τιμές των μερικών παραγώγων και της πλεγμένης συνάρτησης για που ορίζεται από την ισότητα (1) Λύση Παραγωγίζουμε τα μέλη της (1) ως προς θεωρούμε το σταθερό και το συνάρτηση των Έτσι έχουμε διαδοχικά + 2

26 26 Παρατηρούμε ότι αν θέσουμε στην (1) και τότε έχουμε και Άρα Παραγωγίζουμε τώρα τα μέλη της (1) ως προς θεωρούμε το σταθερό και το συνάρτηση των Έτσι έχουμε διαδοχικά = 0 και άρα

27 27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 3 Πείραμα τύχης-δειγματικός χ ρος Η Θεωρία Πιθανοτ των είναι ο κλάδος των Μαθηματικ ν που μελετά τα φαινόμενα των οποίων η έκβαση εξαρτάται από την τύχη Η ανάγκη δημιουργίας της προ λθε από την ανάγκη μελέτης και ερμηνείας των τυχερ ν παιγνιδι ν τα οποία ανέκαθεν ταν πολύ δημοφιλ 3 Ορισμοί-Παραδείγματα Ένα πείραμα λέγεται πείραμα τύχης αν έχει τα εξ ς δύο χαρακτηριστικά α Μπορούμε να το επαναλάβουμε κάτω από τις ίδιες συνθ κες όσες φορές θέλουμε β Έχει περισσότερα του ενός αποτελέσματα καταλ ξεις και κάθε φορά που το εκτελούμε δεν είμαστε βέβαιοι εκ των προτέρων ποιό θα είναι το αποτέλεσμά η κατάληξ του Όταν θερμαίνουμε νερό υπό ατμοσφαιρικ πίεση cm Hg σπου η θερμοκρασία του να ξεπεράσει τους 0 C και το ενδιαφέρον μας στρέφεται στο αν θα μετατραπεί όχι το νερό σε ατμό τότε δεν κάνουμε ένα πείραμα τύχης Το πείραμα αυτό έχει ένα μόνο αποτέλεσμα τη μετατροπ του νερού σε ατμό την οποία και προβλέπουμε με βεβαιότητα Όταν στρίβουμε ένα κέρμα στον αέρα και ενδιαφερόμαστε μόνο για το ποιά θα είναι η ένδειξη της πάνω όψης του μετά την πτ ση και ηρεμία του στο επίπεδο έδαφος τότε κάνουμε ένα πείραμα τύχης αφού δεν μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα αν το αποτέλεσμά του θα είναι 6 Κορ να Κ Γράμμα Γ Όλα τα δυνατά και αδιαίρετα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγονται απλά ενδεχόμενα απλά γεγονότα του πειράματος Το σύνολο των απλ ν ενδεχομένων ενός πειράματος τύχης λέγεται δειγματικός χ ρος του πειράματος και ένας δειγματικός χ ρος λέγεται διακριτός αν είναι πεπερασμένο αριθμ σιμο σύνολο αν δηλ είναι απαριθμητό σύνολο Το τμ μα της Θεωρίας Πιθανοτ των που μελετά τα πειράματα τύχης των οποίων ο δειγματικός χ ρος είναι διακριτός λέγεται σύντομα) Διακριτές Πιθανότητες Για να μπορέσουμε να μελετ σουμε σωστά και με κάθε λεπτομέρεια ένα πείραμα τύχης πρέπει να ορίσουμε σωστά το δειγματικό του χ ρο Αν δεν τον ορίσουμε σωστά τότε ενδέχεται να χάσουμε πολύτιμες πληροφορίες που αφορούν το πείραμα να οδηγηθούμε σε σφάλματα και παράδοξα 31 Παραδείγματα πειραμάτων τύχης α Ο δειγματικός χ ρος στο στρίψιμο ενός κέρματος είναι το σύνολο Ω Κ Γ β Όταν ρίχνουμε ένα ζάρι πάνω σε οριζόντια επίπεδη επιφάνεια και η προσοχ μας στρέφεται μόνο στο ποια θα είναι μετά την πτ ση και ηρεμία του στην επίπεδη επιφάνεια η ένδειξη της πάνω όψης του τότε κάνουμε ένα πείραμα τύχης αφού δεν μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα ποιόν από τους έξη αριθμούς θα δείχνει η πάνω όψη του Ο δειγματικός χ ρος του πειράματος αυτού είναι το πεπερασμένο σύνολο 3 Εξυπακούεται ότι δεν παίρνουμε υπόψη μας τις περιπτώσεις που το κέρμα στέκεται όρθιο

28 28 Ω 3 5 και άρα είναι διακριτός δειγματικός χ ρος Εξυπακούεται κι εδ ότι δεν παίρνουμε υπόψη μας τις περιπτ σεις που η πάνω όψη του ζαριού μετά την πτ ση και ηρεμία του δεν είναι οριζόντια γ Για να νοικιάσει κάποιος ένα κατάστημα μετρά το πλ θος των ατόμων που περνούν μπροστά από αυτό από τις π μ έως τις μ μ και από τις 5 μ μ έως τις μ μ Τότε κάνει ένα πείραμα τύχης του οποίου δειγματικός χ ρος είναι το σύνολο των μη αρνητικ ν ακεραίων αριθμ ν Ω ν Ο χ ρος αυτός είναι αριθμ σιμος και άρα διακριτός δ Το Τμ μα τροχαίας κίνησης για να εκτιμ σει την ανάγκη τοποθέτησης φωτειν ν σηματοδοτ ν σε μια διασταύρωση μετρά επί ένα /ωρο τη διαφορά χρόνου μεταξύ δύο διασταυρουμένων αυτοκιν των που περνούν από το σημείο Τότε κάνει ένα πείραμα τύχης του οποίου ο δειγματικός χ ρος είναι το σύνολο των μη αρνητικ ν πραγματικ ν αριθμ ν R Ο χ ρος αυτός είναι άπειρο και μη αριθμ σιμο σύνολο και άρα είναι μη διακριτός ε Η ταυτόχρονη εκτέλεση ν πειραμάτων τύχης Π 1 Π 2 Π ν ν ν αποτελεί ένα νέο πείραμα τύχης Π Αν Ω 1 Ω 2 Ω ν είναι αντίστοιχα οι δειγματικοί χ ροι των πειραμάτων Π 1 Π 2 Π ν τότε σαν δειγματικό χ ρο του πειράματος Π δεχόμαστε το Καρτεσιανό γινόμενο των δειγματικ ν τους χ ρων Έτσι τα απλά ενδεχόμενα του πειράματος τύχης Π είναι όλες οι διατεταγμένες ν-άδες της μορφ ς ω 1 ω 2 ω ν όπου ω j είναι απλό ενδεχόμενο του πειράματος Π j για κάθε j ν Αν οι δειγματικοί χ ροι Ω 1 Ω 2 Ω ν είναι πεπερασμένα σύνολα τότε και ο δειγματικός χ ρος Ω είναι πεπερασμένος και μάλιστα είναι ζ Η επανάληψη ν-φορές ν ν ενός πειράματος τύχης αποτελεί ένα νέο πείραμα τύχης Π Σαν δειγματικό χ ρο του πειράματος Π δεχόμαστε το Καρτεσιανό γινόμενο έ / η Το ταυτόχρονο στρίψιμο δύο κερμάτων το στρίψιμο ενός κέρματος δύο φορές είναι πείραμα τύχης του οποίου τα απλά ενδεχόμενα είναι τα 1 ο κέρμα 2 ο κέρμα Κορ να-κορ να Κ Κ Κορ να-γράμμα Κ Γ 3 Γράμμα-Κορ να Γ Κ Γράμμα-Γράμμα Γ Γ και του οποίου δειγματικός χ ρος είναι το σύνολο Ω Κ Κ Κ Γ Γ Κ Γ Γ

29 29 θ Η ταυτόχρονη ρίψη δυο ζαρι ν η ρίψη ενός ζαριού δυο φορές είναι πείραμα τύχης του οποίου τα απλά ενδεχόμενα είναι τα 3 σε πλ θος διατεταγμένα ζεύγη της μορφ ς όπου Επομένως ο δειγματικός χ ρος του πειράματος αυτού είναι το σύνολο Ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης και πράξεις μ αυτά 321 Ορισμός Αν ο δειγματικός χ ρος Ω ενός πειράματος τύχης είναι διακριτός δηλ είναι πεπερασμένο αριθμ σιμο σύνολο τότε κάθε υποσύνολο του Ω ονομάζεται ενδεχόμενο γεγονός του πειράματος Αν ο δειγματικός χ ρος Ω ενός πειράματος τύχης είναι το σύνολο των πραγματικ ν αριθμ ν R ένα διάστημα πραγματικ ν αριθμ ν τότε ενδεχόμενα του πειράματος ονομάζονται : 1) όλα τα σημεία του Ω δηλ όλα τα απλά του ενδεχόμενα 2) όλα τα ημιανοικτά εκ των άνω διαστ ματα του Ω 3) όλα τα ημιανοικτά εκ των κάτω διαστ ματα του Ω 4) όλα τα ανοικτά διαστ ματα του Ω 5) όλα τα κλειστά διαστ ματα του Ω 322 Συμβολισμός Το σύνολο των ενδεχομένων ενός πειράματος τύχης Π συμβολίζουμε με Π απλά με όταν δεν υπάρχει φόβος σύγχυσης με άλλο πείραμα 323 Παρατ ρηση Αν ο δειγματικός χ ρος Ω ενός πειράματος τύχης Π είναι πεπερασμένο σύνολο και δηλ και έχει στοιχεία τότε αποδεικνύεται στα Μαθηματικά Βλέπε Σελ το σύνολο Ω έχει υποσύνολα Επειδ τότε κάθε υποσύνολο του Ω είναι ενδεχόμενο του πειράματος το πείραμα Π έχει ενδεχόμενα δηλ το σύνολο Π περιέχει ακριβ ς στοιχεία 324 Παράδειγμα Το πείραμα τύχης του στριψίματος ενός κέρματος έχει δύο απλά ενδεχόμενα άρα έχει και 2 ενδεχόμενα τα Κ Γ Κ Γ Το πείραμα τύχης της ρίψης ενός ζαριού έχει απλά ενδεχόμενα άρα έχει και 6 = 64 ενδεχόμενα μερικά από τα οποία είναι τα Α φέρνουμε αριθμό μικρότερο του 3 Β φέρνουμε άρτιο αριθμό Γ φέρνουμε αριθμό μεγαλύτερο του 2 > = { } 325 Παράδειγμα Το πείραμα τύχης της ρίψης δυο ζαρι ν έχει 3 απλά ενδεχόμενα άρα έχει και 36 ενδεχόμενα μερικά από τα οποία είναι τα Α φέρνουμε διπλ Β φέρνουμε άθροισμα ενδείξεων Γ φέρνουμε άθροισμα ενδείξεων Παράδειγμα Στρίβουμε ένα κέρμα σπου να φέρουμε γράμμα Γ για πρ τη φορά Αν συμβολίσουμε με

30 30 το απλό ενδεχόμενο να φέρουμε Γ για πρ τη φορά στη ν-οστ προσπάθεια τότε ο δειγματικός χ ρος του πειράματος γράφεται και άρα είναι αριθμ σιμο σύνολο δηλ είναι διακριτός δειγματικός χ ρος Επομένως όλα τα υποσύνολα του Ω είναι ενδεχόμενα του πειράματος Μερικά ενδεχόμενά του είναι τα Α φέρνουμε Γ πριν από την τρίτη προσπάθεια Γ ΚΓ Β φέρνουμε Γ μετά την τρίτη προσπάθεια ΚΚΚΓ ΚΚΚΚΓ Γ φέρνουμε Γ σε άρτια προσπάθεια ΚΓ ΚΚΚΓ ΚΚΚΚΚΓ 327 Ορισμός Ας είναι Π ένα πείραμα τύχης Ω ο δειγματικός του χ ρος και Α ένα ενδεχόμενο του πειράματος Λέμε ότι το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται στην εκτέλεση του πειράματος που έχει κατάληξη το απλό ενδεχόμενο ω αν το ω είναι στοιχείο του συνόλου Α δηλ αν ω Α Ισοδύναμα λέμε ότι το απλό ενδεχόμενο ω είναι ευνοϊκό για το Α 328 Παράδειγμα Το ενδεχόμενο Α φέρνουμε άθροισμα των δύο ενδείξεων μικρότερο του 5 του πειράματος τύχης της ρίψης δυο ζαρι ν πραγματοποιείται όταν φέρνουμε μία από τις ενδείξεις (11) (12) (21) (22) (13) (31) 329 Ορισμός Θεωρούμε ένα πείραμα τύχης και ονομάζουμε Ω το δειγματικό του χ ρο Το κενό σύνολο και το ίδιο το Ω είναι υποσύνολα του Ω άρα είναι και ενδεχόμενα του πειράματος Το ενδεχόμενο λέγεται αδύνατο ενδεχόμενο γιατί δεν πραγματοποιείται ποτέ σε καμία εκτέλεση του πειράματος Το ενδεχόμενο Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο γιατί πραγματοποιείται πάντοτε σε κάθε εκτέλεση του πειράματος 3210 Ορισμός Ας είναι Ω ο δειγματικός χ ρος ενός πειράματος τύχης και Α ένα ενδεχόμενο του πειράματος Όπως γνωρίζουμε το Α είναι υποσύνολο του Ω Το συμπληρωματικό του Α υποσύνολο του Ω δηλ το σύνολο = είναι κι αυτό ενδεχόμενο και λέγεται συμπληρωματικό αντίθετο του Α ενδεχόμενο Σημεινουμε ότι το ενδεχόμενο πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α 3211 Ορισμός Στοιχει δεις πράξεις στα ενδεχόμενα Ας είναι Ω ο δειγματικός χ ρος ενός πειράματος τύχης και Α Β δύο ενδεχόμενα του πειράματος δηλ δυο υποσύνολα του Ω Η ένωση και η τομ Α Β ω Ω / ω Α ω Β και Α Β ω Ω / ω Α και ω Β των συνόλων Α και Β είναι υποσύνολα του Ω άρα είναι και ενδεχόμενα του πειράματος Το ενδεχόμενο Α Β λέγεται ένωση των ενδεχομένων Α και Β εν το ενδεχόμενο Α Β λέγεται τομ των ενδεχομένων Α και Β Σημει νουμε ακόμη ότι το ενδεχόμενο Α Β πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α Β εν το ενδεχόμενο Α Β πραγματοποιείται όταν πραγματοποιούνται και τα δύο δηλ όταν πραγματοποιείται και το Α και το Β 3212 Παραδείγματα Στο πείραμα τύχης της ρίψης δυο ζαρι ν θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α φέρνουμε άθροισμα ενδείξεων μικρότερο του

31 31 Τότε είναι Β φέρνουμε διαφορά ενδείξεων μικρότερη του φέρνουμε άθροισμα ενδείξεων μεγαλύτερο ίσο του φέρνουμε διαφορά ενδείξεων μεγαλύτερη ίση του 5 5 Ακόμη φέρνουμε ενδείξεις που να έχουν άθροισμα μικρότερο του διαφορά μικρότερη του και φέρνουμε ενδείξεις που να έχουν άθροισμα μικρότερο του και διαφορά μικρότερη του = Παρατ ρηση Αν είναι μια ακολουθία ενδεχομένων ενός πειράματος τύχης τότε σαν ενδεχόμενο του πειράματος δεχόμαστε και α την ένωσ τους β την τομ τους / για κάποιο 3 = 3 / 3214 Παρατ ρηση Αν είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χ ρο Ω τότε έχουμε και 3215 Ορισμός Δυο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος τύχης λέγονται ασυμβίβαστα ξένα μεταξύ τους αν είναι Α Β δηλ αν η πραγματοποίηση του ενός αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου 3216 Παράδειγμα Στο πείραμα τύχης της ρίψης δυο ζαρι ν τα ενδεχόμενα Α φέρνουμε διπλ δηλ ίδιες ενδείξεις Β φέρνουμε άθροισμα ενδείξεων είναι ασυμβίβαστα 3 3 Μαθηματικ πιθανότητα 331 Ορισμοί

32 32 Επαναλαμβάνουμε ένα πείραμα τύχης πολλές φορές και σημει νουμε πόσες φορές πραγματοποι θηκε το ενδεχόμενο Α Αν το ενδεχόμενο Α πραγματοποι θηκε φορές στις ν επαναλ ψεις του περάματος τότε το πηλίκο λέγεται σχετικ συχνότητα του Α στις ν επαναλ ψεις του πειράματος Έχει παρατηρηθεί ότι όταν το πλ θος ν των επαναλ ψεων τείνει στο άπειρο τότε η σχετικ συχνότητα τείνει σε έναν αριθμό (A Ο Von Mises ονόμασε τον αριθμό (A) πιθανότητα του ενδεχομένου Α δηλ δέχτηκε ότι (1) Αργότερα δόθηκε από τον Laplace ο κλασσικός ορισμός της πιθανότητας Ο ορισμός αυτός προϋποθέτει ότι το πείραμα τύχης έχει πεπερασμένο πλ θος απλ ν ενδεχομένων και ότι είναι συμμετρικό ως προς τα απλά του ενδεχόμενα Με τον όρο συμμετρικό εννοούμε ότι το πείραμα τύχης είναι τέτοιο στε δεν έχουμε λόγους να πιστεύουμε ότι στην εκτέλεσ του θα πραγματοποιηθεί ένα ορισμένο απλό ενδεχόμενο και όχι κάποιο από τα υπόλοιπα ότι δηλ όλα τα απλά ενδεχόμενά του είναι ισοπίθανα Τέτοια πειράματα είναι το στρίψιμο κανονικ ν κερμάτων ενός δύο τρι ν κ λπ και η ρίψη κανονικ ν ζαρι ν ενός δύο τρι ν κ λπ Ο Laplece ονόμασε πιθανότητα του ενδεχομένου Α το πηλίκο του πλ θους των ευνοϊκ ν για το Α απλ ν ενδεχομένων δια του πλ θους όλων των απλ ν ενδεχομένων δηλ δέχτηκε ότι ό ϊ έ έ (2) Σημει νουμε τέλος ότι από τον τύπο έχουμε ότι δηλ για κάθε ενδεχόμενο Α είναι (3) 332 Παράδειγμα Επειδ το αδύνατο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης δεν έχει στοιχεία το πλ θος των ευνοϊκ ν για το απλ ν ενδεχομένων είναι μηδέν και επομένως είναι Επειδ το βέβαιο ενδεχόμενο Ω ενός πειράματος τύχης περιέχει όλα στοιχεία του Ω το πλ - θος των ευνοϊκ ν για το Ω απλ ν ενδεχομένων είναι ίσο με το πλ θος όλων των απλ ν ενδεχομένων και επομένως είναι για κάθε πείραμα τύχης 333 Παράδειγμα Στρίβουμε ταυτόχρονα δυο κανονικά κέρματα Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων Α φέρνουμε δύο Γ Β φέρνουμε ένα Γ και ένα Κ Λύση Ο δειγματικός χ ρος του πειράματος είναι το σύνολο Ω Γ Γ Γ Κ Κ Γ Κ Κ το οποίο έχει στοιχεία Επειδ Α Γ Γ υπάρχει ένα μόνο ευνοϊκό για το Α απλό ενδεχόμενο και επομένως είναι Επειδ είναι Β Γ Κ Κ Γ υπάρχουν δύο ευνοϊκά για το Β απλά ενδεχόμενα και επομένως είναι

33 Παράδειγμα Ρίχνουμε ταυτόχρονα δυο κανονικά ζάρια Να βρεθεί η πιθανότητα των τρι ν ενδεχομένων Α φέρνουμε διπλ Β φέρνουμε άθροισμα ενδείξεων Γ φέρνουμε διαδοχικούς αριθμούς Λύση Ο δειγματικός χ ρος του πειράματος είναι Παράδ 3 5 θ το σύνολο το οποίο περιέχει 3 απλά ενδεχόμενα Επειδ υπάρχουν ευνοϊκά για το Α απλά ενδεχόμενα και επομένως είναι Επειδ υπάρχουν Β ευνοϊκά για το Β απλά ενδεχόμενα και άρα είναι 3 3 Τέλος επειδ υπάρχουν ευνοϊκά για το Γ απλά ενδεχόμενα και άρα είναι Παράδειγμα Από μια τράπουλα με 5 φύλλα βγάζουμε τυχαία ένα Να βρεθεί η πιθανότητα των τρι ν ενδεχομένων Α το φύλλο είναι άσσος Β το φύλλο είναι σπαθί Γ το φύλλο είναι καρό ντάμα 5 Λύση Ο δειγματικός χ ρος του πειράματος περιέχει 5 απλά ενδεχόμενα τα 5 φύλλα της τράπουλας Επειδ στην τράπουλα υπάρχουν άσσοι υπάρχουν ευνοϊκά για το Α απλά ενδεχόμενα και επομένως είναι έχουμε Επειδ η τράπουλα περιέχει 3 σπαθιά Επειδ η τράπουλα περιέχει 3 φύλλα καρό και τέσσερεις ντάμες από τις οποίες η μία είναι καρό και οι υπόλοιπες τρεις είναι διαφορετικού είδους άρα διαφορετικές από τα 3 καρό τα ευνοϊκά για το Γ απλά ενδεχόμενα είναι σε πλ θος 3 3 και επομένως έχουμε 336 Παράδειγμα Στρίβουμε στον αέρα ένα κέρμα και κατόπιν ρίχνουμε ένα κανονικό όχι φαλκιδευμένο ζάρι Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων Α φέρνουμε γράμμα Γ και αριθμό μικρότερο του 3 Β φέρνουμε κορ να Κ και άρτιο αριθμό

34 34 Λύση Οι δειγματικοί χ ροι στο στρίψιμο ενός κέρματος και στη ρίψη ενός ζαριού είναι αντίστοιχα και 3 5 και επομένως ο δειγματικός χ ρος του πειράματος είναι το Καρτεσιανό τους γινόμενο 3 5 = το οποίο περιέχει στοιχεία απλά ενδεχόμενα Επειδ Α τα ευνοϊκά για το Α απλά ενδεχόμενα είναι δύο και άρα έχουμε Επειδ Β τα ευνοϊκά για το Β απλά ενδεχόμενα είναι 3 και επομένως έχουμε Παρατ ρηση Οι ορισμοί της πιθανότητας που δόθηκαν από τους Vo Mises και Laplace έχουν σοβαρά μειονεκτ ματα Ο πρ τος είναι π χ δύσχρηστος γιατί για να βρούμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου με αρκετ προσέγγιση πρέπει να επαναλάβουμε το πείραμα πάρα πολλές φορές και ο δεύτερος γιατί π χ δεν εφαρμόζεται σε πειράματα τα οποία δεν είναι συμμετρικά ως προς τα απλά τους ενδεχόμενα σε πειράματα δηλ των οποίων τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα Για το λόγο αυτόν οι Μαθηματικοί αναζ τησαν και έδωσαν Kolmogorov 3 έναν «μαθηματικό» ορισμό της πιθανότητας ο οποίος να εφαρμόζεται σε όλες τις περιπτ σεις 338 Ορισμός (της πιθανότητας από τον Kolmogorov 3 Ας είναι Π ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χ ρο Ω και οικογένεια ενδεχομένων την Μια συνάρτηση R δηλ μια συνάρτηση η οποία σε κάθε ενδεχόμενο Α αντιστοιχίζει έναν πραγματικό αριθμό λέγεται πιθανότητα στο δειγματικό χ ρο Ω αν επαληθεύει τα αξι ματα 1) 2) 3) για κάθε πεπερασμένη κ άπειρη κ ακολουθία ασυμβίβαστων ανά δύο ενδεχομένων δηλ τέτοιων στε να είναι 339 Παράδειγμα Θεωρούμε το διακριτό δειγματικό χ ρο Ω ενός πειράματος τύχης Π και τη συνάρτηση R που ορίζεται από τις ισότητες και για κάθε άλλο πεπερασμένο άπειρο κ υποσύνολο του Ω Όπως είναι φανερό έχουμε και άρα η συνάρτηση επαληθεύει το αξίωμα Επειδ το άθροισμα των απείρων όρων φθίνουσας γεωμετρικ ς προόδου με πρ το όρο 5 και λόγο 5 είναι ίσο με έχουμε Επομένως η συνάρτηση επαληθεύει και το αξίωμα Αποδεικνύεται στα Μαθηματικά ότι η συνάρτηση επαληθεύει και το αξίωμα 3 Επομένως η συνάρτηση είναι μια πιθανότητα στον Ω 3310 Θε ρημα Οι σπουδαιότερες ιδιότητες της συνάρτησης πιθανότητα

35 35 Αν η συνάρτηση R όπου είναι η οικογένεια των ενδεχομένων ενός πειράματος τύχης Π είναι πιθανότητα τότε ισχύουν: 1) 2) ) = 1 3) 4) 5) Η τελευταία ιδιότητα λέγεται νόμος των ολικ ν πιθανοτ των ) 6) Αν τα ευνοϊκά για το ενδεχόμενο Α απλά ενδεχόμενα είναι τα δηλ αν Α τότε έχουμε Απόδειξη 1) Τα ενδεχόμενα και Ω επαληθεύουν την Επομένως είναι Σύμφωνα με το αξίωμα είναι και άρα έχουμε Ακόμη επειδ τα ενδεχόμενα και Ω είναι ασυμβίβαστα ξένα μεταξύ τους και σύμφωνα με το αξίωμα 3 έχουμε Επομένως είναι 2) Επειδ Ω και = εφαρμόζοντας το αξίωμα 3 για τα ενδεχόμενα και έχουμε Αλλά και άρα = 3) Από το αξίωμα έχουμε και Από τις = και προκύπτει τ ρα ότι είναι 4) Επειδ και = εφαρμόζοντας το αξίωμα 3 έχουμε 5) Επειδ και εφαρμόζοντας το αξίωμα 3 και την ιδιότητα έχουμε = δηλ = 6) Τα υποσύνολα είναι ασυμβίβαστα ανά δύο και επαληθεύουν την Σύμφωνα με το αξίωμα 3 έχουμε Αν γνωρίζουμε μια από τις δύο πιθανότητες και τοτε από την ιδιότητα της συνάρτησης πιθανότητας δηλ την ισότητα + βρίσκουμε

36 36 και την άλλη Στις περιπτ σεις που ο υπολογισμός του αριθμού είναι πιο εύκολος από το υπολογισμό του μας συμφέρει να υπολογίσουμε πρ τα τον αριθμό και κατόπιν να βρούμε και την εφαρμόζοντας την ιδιότητα 3312 Εφαρμογ Ρίχνουμε τρία κανονικά ζάρια Να βρεθεί η πιθανότητα να φέρουμε ένα τουλάχιστον Λύση Ο δειγματικός χ ρος του πειράματος είναι το σύνολο των διατεταγμένων τριάδων το οποίο περιέχει στοιχεία απλά ενδεχόμενα Ζητούμε την πιθανότητα του ενδεχομένου φέρνουμε ένα τουλάχιστον Το συμπληρωματικό του ενδεχόμενο δεν φέρνουμε κανένα περιέχει απλά ενδεχόμενα και άρα είναι Επομένως 3313 Εφαρμογ Να βρεθεί η πιθανότητα στη ρίψη ενός κανονικού ζαριού να φέρουμε άρτια ένδειξη ένδειξη μεγαλύτερη του Λύση Ο δειγματικός χ ρος του πειράματος είναι το σύνολο 3 5 Αν ονομάσουμε Α το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτια ένδειξη και Β το ενδεχόμενο να φέρουμε ένδειξη μεγαλύτερη του τότε το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτια ένδειξη ένδειξη μεγαλύτερη του είναι το Σύμφωνα με το νόμο των ολικ ν πιθανοτ των έχουμε Τέλος επειδ 5 και έχουμε και άρα 3314 Εφαρμογ 3 Από μια τράπουλα με 5 φύλλα βγάζουμε τυχαία ένα Να βρεθεί η πιθανότητα το φύλλο να είναι κούπα βαλές Λύση Ο δειγματικός χ ρος του πειράματος έχει 5 στοιχεία απλά ενδεχόμενα Αν θέσουμε το φύλλο που εκλέγουμε είναι κούπα και Β το φύλλο που εκλέγουμε είναι βαλές> τότε έχουμε το φύλλο που εκλέγουμε είναι κούπα βαλές Εφαρμόζοντας το νόμο των ολικ ν πιθανοτ των παίρνουμε Όπως γνωρίζουμε έχουμε και Παρατηρούμε ακόμη ότι είναι το φύλλο είναι και κούπα και βαλές το φύλλο είναι βαλές κούπα και ότι τα ευνοϊκά για το Α απλά ενδεχόμενα είναι σε πλ θος το φύλο είναι βαλές κούπα Επομένως έχουμε και άρα 3

37 Εφαρμογ Εκλέγουμε τυχαία έναν θετικό ακέραιο ν με Να βρεθεί η πιθανότητα ο ακέραιος που εκλέγουμε να διαιρείται δια του του Δίνεται ότι ένας ακέραιος ν διαιρείται δια του και δια του αν και μόνο αν διαιρείται δια του 5 αφού οι αριθμοί και είναι σχετικά πρ τοι Λύση Αν θέσουμε Α ο ακέραιος που εκλέγουμε διαιρείται δια του Β ο ακέραιος που εκλέγουμε διαιρείται δια του τότε το ενδεχόμενο του οποίου ζητούμε την πιθανότητα είναι το Α και ο νόμος των ολικ ν πιθανοτ των δίνει Επειδ είναι = 7 και 5 υπάρχουν πολλαπλάσια του στο διάστημα και 5 πολλαπλάσια του στο ίδιο διάστημα Επομένως είναι και Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι είναι ο ακέραιος που εκλέγουμε διαιρείται δια του και δια του > = = (ο ακέραιος που εκλέγουμε διαιρείται δια του 56 > Τέλος επειδ είναι 5 3 υπάρχουν πολλαπλάσια του 5 στο διάστημα άρα είναι και επομένως είναι