III. ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΥΨΗΛΩΝ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΩΝ ΣΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "III. ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΥΨΗΛΩΝ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΩΝ ΣΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ"

Transcript

1 III. ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΥΨΗΛΩΝ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΩΝ ΣΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ III.1 ΓΕΝΙΚΑ Είναι γνωστό ότι η ανάπτυξη υψηλών θερμοκρασιών στα υλικά δομήσεως επηρεάζει δυσμενώς τόσο τα μηχανικά χαρακτηριστικά τους (όπως την θλιπτική και εφελκυστική αντοχή, όρια διαρροής και θραύσεως, μέτρο ελαστικότητας κ.λπ.) όσο και τις φυσικοχημικές ιδιότητές τους (αλλαγή κρυσταλλικής δομής, πορώδες κ.λπ.). Συνέπεια αυτών των μεταβολών είναι αντίστοιχες μειώσεις στην φέρουσα ικανότητα των δομικών μελών, αύξηση των παραμορφώσεών τους υπό σταθερό φορτίο, ανακατανομές εντάσεως κ.λπ., όπως αναλυτικά περιγράφεται στο Κεφάλαιο IV αυτού του Πρακτικού Οδηγού. Στο παρόν κεφάλαιο δίνονται στοιχεία τα οποία αφορούν βασικές ιδιότητες των δομικών υλικών υπό υψηλές θερμοκρασίες, καθώς και σχετικά διαγράμματα μεταβολής ιδιοτήτων προς χρήση κατά την αποτίμηση και τον ανασχεδιασμό. Οι πληροφορίες οι οποίες αφορούν τον Μηχανικό σχετίζονται με τις ιδιότητες των υλικών: Κατά την διάρκεια της έκθεσής τους σε υψηλές θερμοκρασίες, διότι τότε επηρεάζουν: την πυρασφάλεια των κατασκευών (δυνατότητα διαφυγής των χρηστών), καθώς και την ασφάλεια της ζωής των πυροσβεστών. Μετά την απόψυξή τους και επαναφορά στην θερμοκρασία περιβάλλοντος προκειμένου να ληφθούν υπόψη κατά: την αποτίμηση και την επισκευή των κατασκευών μετά από μια πυρκαγιά Στα επόμενα γίνεται συνοπτική αναφορά στην δράση της πυρκαγιάς στις κατασκευές ( ΙΙΙ.2), και εξετάζεται η έναντι υψηλών θερμοκρασιών συμπεριφορά τεσσάρων από τα βασικότερα δομικά υλικά τόσο των υφισταμένων όσο και των νέων κτηρίων στην χώρα μας: Σκυρόδεμα ( ΙΙΙ.3) Χάλυβας ( ΙΙΙ.4) Ξύλο ( ΙΙΙ.5) και Τοιχοποιία ( ΙΙΙ.6) Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 57

2 III.2 Η ΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ ΣΤΙΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Για την δράση της πυρκαγιάς στις κατασκευές, εξετάζονται δύο καταστάσεις: Η κατασκευή κατά την διάρκεια της πυρκαγιάς: Για τις νέες κατασκευές, απαιτείται να έχει γίνει ο αντίστοιχος σχεδιασμός έναντι πυρκαγιάς, ο οποίος να αποδεικνύει ότι η κατασκευή θα έχει επαρκή πυρασφάλεια ( III.2.1) Η κατασκευή μετά την πυρκαγιά: Για τις υφιστάμενες κατασκευές πρέπει να μελετηθούν οι απαραίτητες επεμβάσεις αποκαταστάσεως ( III.2.2) III.2.1 Σχεδιασμός έναντι πυρκαγιάς Οι βασικές απαιτήσεις κατά τον σχεδιασμό έναντι πυρκαγιάς είναι η προστασία: των ατόμων, της κοινωνίας, της περιουσίας και του περιβάλλοντος Κριτήρια για την ικανοποίηση των απαιτήσεων είναι: Η εξασφάλιση της φέρουσας ικανότητας της κατασκευής για ένα χρονικό διάστημα (π.χ. 30min ή 60min κ.λπ.) Ο περιορισμός της ανάπτυξης και της επέκτασης της φωτιάς και του καπνού Δυνατότητα διαφυγής ή/και διάσωσης των Χρηστών Μέριμνα για την ασφάλεια των διασωστών πυροσβεστών Οι σχετικοί Ευρωκώδικες για τον σχεδιασμό έναντι πυρκαγιάς είναι οι: EN : Actions on structures exposed to fire EN :Design of concrete structures Structural fire design ΕΝ : Design of steel structures Structural fire design EN : Design of composite steel and concrete structures Structural fire design. EN : Design of timber structures Structural fire design EN : Design of masonry structures Structural fire design EN : Design of aluminium structures Structural fire design Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 58

3 III.2.2 Επεμβάσεις σε κατασκευές μετά την πυρκαγιά Η διαδικασία περιλαμβάνει τις εξής φάσεις (όπως περιγράφεται αναλυτικότερα στα επόμενα κεφάλαια): Την αποτίμηση της κατασκευής ως έχει (μετά την πυρκαγιά και πριν απ τις επεμβάσεις) Τον σχεδιασμό των επεμβάσεων Την εκτέλεση των επεμβάσεων Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 59

4 ΙΙΙ.3 ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ ΙΙΙ.3.1 Γενικά Το σκυρόδεμα δεν καίγεται, έχει μικρή θερμική αγωγιμότητα, ενώ παρουσιάζει ενδόθερμες αντιδράσεις στον τσιμεντοπολτό. Κατά την έκθεση σε υψηλές θερμοκρασίες, παρουσιάζεται το φαινόμενο της αποφλοίωσης του σκυροδέματος λόγω υπέρβασης της εφελκυστικής αντοχής του (βλ. τις φωτογραφίες του Σχήματος ΙΙΙ.1). Αυτό συμβαίνει κυρίως λόγω: της αύξησης της πίεσης των πόρων που προκαλείται από τους υδρατμούς και της θερμικής διαστολής των αδρανών. Η έκταση της αποφλοίωσης εξαρτάται από: το ποσοστό της περιεχομένης υγρασίας, την ταχύτητα της θέρμανσης, και το πορώδες και την περατότητα του επιφανειακού τμήματος του σκυροδέματος. Η έκταση της αποφλοίωσης μειώνεται με: την προσθήκη ινών προπυλενίου τον ψεκασμό της επιφάνειας με υλικά που επιβραδύνουν την μετάδοση της θερμότητας τοποθέτηση επιφανειακής μονωτικής επίστρωσης (π.χ. σε σήραγγες) Σχήμα ΙΙΙ.1 Αποφλοίωση σκυροδέματος μετά από πυρκαγιά. Στην 2 η φωτογραφία διακρίνεται και η θραύση των ράβδων οπλισμού της πλάκας λόγω των πολύ μεγάλων αναπτυχθεισών θερμοκρασιών. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 60

5 Σε ό,τι αφορά τα ειδικά σκυροδέματα αναφέρεται ότι: 1. Το ελαφροσκυρόδεμα σε γενικές γραμμές παρουσιάζει καλύτερη συμπεριφορά από το σύνηθες σκυρόδεμα. 2. Τα σκυροδέματα υψηλής αντοχής παρουσιάζουν εντονότερη αποφλοίωση, και μεγαλύτερη ποσοστιαία μείωση της αντοχής έναντι των συνήθων σκυροδεμάτων. 3. Το προεντεταμένο σκυρόδεμα είναι πιο ευάλωτο λόγω: Της μεγαλύτερης ευαισθησίας των χαλύβων προέντασης σε υψηλές θερμοκρασίες Της απώλειας συνάφειας στις περιπτώσεις προεντεταμένης κλίνης (προκατασκευασμένα στοιχεία). 4. Στην περίπτωση των ινωπλισμένων σκυροδεμάτων: η αντοχή των επιφανειακών υφασμάτων έναντι πυρκαγιάς είναι πρακτικώς μηδενική, αλλά η παραμένουσα αντοχή της υπόλοιπης διατομής είναι συνήθως επαρκής. ΙΙΙ.3.2 Θερμικές ιδιότητες σκυροδέματος ΙΙΙ Ειδική θερμότητα Ειδική θερμότητα σκυροδέματος, cp(θ), είναι το ποσόν της θερμικής ενέργειας που απαιτείται για να ανέβει η θερμοκρασία σκυροδέματος μάζας ενός kg κατά ένα βαθμό. Η ειδική θερμότητα εξαρτάται από την θερμοκρασία, θ, αλλά και από την περιεχόμενη υγρασία u, ιδιαίτερα στην περιοχή των θερμοκρασιών από 100 ο C έως 200 ο C λόγω του βρασμού και εξάτμισης του ύδατος (βλ. Σχ.ΙΙΙ.2). Κατά τον Ευρωκώδικα 2, η ειδική θερμότητα μπορεί να λαμβάνεται (όταν u= 0%) : cp(θ) = 900 (J/kg K) για 20 C θ 100 C (1) cp(θ) = (θ 100) (J/kg K) για 100 C θ 200 C (2) cp(θ) = (θ 200)/2 (J/kg K) για 200 C θ 400 C (3) cp(θ) = 1100 (J/kg K) για 400 C θ 1200 C (4) όπου: θ είναι η θερμοκρασία του σκυροδέματος σε ( C). Η γραφική παράσταση της cp(θ) (σε kj/kgk) φαίνεται στο Σχήμα ΙΙΙ.2. Σχήμα ΙΙΙ.2 Μεταβολή της ειδικής θερμότητας, cp(θ) συναρτήσει της θερμοκρασίας, θ, για τρια διαφορετικά ποσοστά της περιεχόμενης υγρασίας (u= 3%, 1.5% και 0%) κατά τον Ευρωκώδικα 2 [10] Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 61

6 Στο Σχήμα ΙΙΙ.3 φαίνεται η μεταβολή της ειδικής θερμότητας για διάφορους τύπους σκυροδεμάτων όπως έχει προκύψει από δοκιμές. Είναι και εδώ φανερό ότι η περιεχόμενη υγρασία επιδρά στην περιοχή των θερμοκρασιών από 100 ο C έως 200 ο C. Νωπά σκυροδέµατα Σκυρόδεµα µε ασβεστολιθικά αδρανή Γαρµπιλοσκυρόδεµα Σκυρόδεµα µε ανθρακικά αδρανή Ελαφροσκυρόδεµα Σκυρόδεµα µε γρανιτικά αδρανή Σχήμα ΙΙΙ.3 Μεταβολή της ειδικής θερμότητας, cp(θ), του σκυροδέματος συναρτήσει της θερμοκρασίας, θ, για διάφορους τύπους σκυροδεμάτων κατά Schneider (1986) [11]. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 62

7 Ο Harmathy (1970) έχει μελετήσει την μεταβολή της ειδικής θερμότητας του τσιμεντοκονιάματος. Οι αιχμές κοντά στους 500 C, αντιστοιχούν στην απελευθέρωση του δεσμευμένου ύδατος. Το πλάτος και το ύψος τέτοιων αιχμών εξαρτώνται σημαντικά από τον ρυθμό θέρμανσης. Ειδικώς για συνήθεις θερμοκρασίες περιβάλλοντος, οι Fu και Chung μέτρησαν την ειδική θερμότητα τσιμεντοκονίας με αναλογία νερού/τσιμέντου 0,45 και πυκνότητα 1,99gr/cm 3, και βρήκαν τιμή περίπου 0,7j/grK. Θερµοκρασία ( o C) Σχήμα ΙΙΙ.4 Μεταβολή της ειδικής θερμότητας, cp(θ) συναρτήσει της θερμοκρασίας, θ, τριών διαφορετικών τσιμεντοκονιαμάτων. (Harmathy, 1970 [3,4] από το [55]) Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 63

8 ΙΙΙ Θερμική αγωγιμότητα Η θερμική αγωγιμότητα είναι μια βασική θερμική ιδιότητα για την πρόβλεψη της μεταφοράς θερμότητας δια μέσου της μάζας του σκυροδέματος που εκτίθεται σε πυρκαγιά. Η θερμική αγωγιμότητα του σκυροδέματος εξαρτάται από το πορώδες της τσιμεντοκονίας και των αδρανών, από τον τύπο και την ποσότητα των αδρανών, καθώς και από την περιεχόμενη υγρασία. Η πυκνότητα γενικώς δεν φαίνεται να επηρεάζει την αγωγιμότητα, αλλά ειδικώς στα ελαφροσκυροδέματα (λόγω της μικρής θερμικής αγωγιμότητας του αέρα) η αγωγιμότητα μεταβάλλεται με την πυκνότητα. Η θερμική αγωγιμότητα σκυροδεμάτων υψηλής αντοχής μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την θερμική αγωγιμότητα σκυροδεμάτων συνήθους αντοχής. Στο Σχήμα ΙΙΙ.5 παρουσιάζεται η επίδραση της υγρασίας στην θερμική αγωγιμότητα σε θερμοκρασία δωματίου. Προφανώς, αυτή η επίδραση θα ήταν πολύ μικρότερη σε υψηλότερες θερμοκρασίες, μιας και με την αύξηση της θερμοκρασίας αποβάλλεται μέρος του ύδατος. Επισημαίνεται ότι είναι πολύ δύσκολο να μετρηθούν τιμές της θερμικής αγωγιμότητας χωρίς να συμβεί μεταβολή της υγρασίας ή/και στέγνωμα. Γαρµπιλοσκυρόδεµα Σκυρόδεµα µε βαρυτίνη Κονίαµα Σκυρόδεµα ιπτάµενης τέφρας Σκυρόδεµα διογκούµενης αργίλου Περιεκτικότητα σε υγρασία (%) Σχήμα ΙΙΙ.5 Η θερμική αγωγιμότητα σκυροδεμάτων συναρτήσει της περιεκτικότητάς τους σε υγρασία [6]. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 64

9 Με την αύξηση της θερμοκρασίας, και καθώς αποβάλλεται μέρος του ύδατος και δημιουργούνται μικρο ρωγμές, η θερμική αγωγιμότητα του σκυροδέματος μειώνεται. Ο EN δίνει την σχέση (5) σαν ανώτερο όριο, και την σχέση (6) σαν κατώτερο, για την θερμική αγωγιμότητα των σκυροδεμάτων κανονικού βάρους (W/mK) [10]: (Για θερμοκρασίες από 20 C έως 1200 C) (βλ. και Σχήμα ΙΙΙ.6). Άνω όριο Κάτω όριο Άνω όριο: λ c = 2-0, 2451( θc / 100 ) + 0, 0107( θc / 100) 2 (5) Κάτω όριο: λ c = 1, 36-0, 136( θc / 100 ) + 0, 0057( θc / 100) 2 (6) Σχήμα ΙΙΙ.6 Μεταβολή της θερμικής αγωγιμότητας, λc(θ) συναρτήσει της θερμοκρασίας, θ, (άνω και κάτω όριο) κατά τον Ευρωκώδικα 2 [10] Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 65

10 Ο Harmathy [3, 4] μελέτησε την επίδραση του πορώδους και των ρωγμών στην θερμική αγωγιμότητα διάφορων τσιμεντοκονιαμάτων, για ένα ευρύ φάσμα θερμοκρασιών, και χρησιμοποίησε αυτά τα αποτελέσματα για να λάβει μια εκτίμηση της θερμικής αγωγιμότητας ενός υποθετικού τσιμεντοκονιάματος χωρίς καθόλου πόρους, όπως φαίνεται στο Σχήμα ΙΙΙ.7. Θερµοκρασία ( o C) Σχήμα ΙΙΙ.7 Θερμική αγωγιμότητα τσιμεντοκονιαμάτων (A, B, C) και υποθετικού τσιμεντοκονιάματος χωρίς πόρους (Διακεκομμένη γραμμή) [3, 4] Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 66

11 Η θερμική αγωγιμότητα των ελαφροσκυροδεμάτων μπορεί να θεωρηθεί ότι μειώνεται γραμμικά μέχρι την θερμοκρασία των 800 C και μετά παραμένει σταθερή. Κατά τον Ευρωκώδικα 4 (EN ) ισχύουν τα εξής: Για 20 C θc 800 C λc=1 θc/1600 Για 800 C θc λc=0.5 Κανονικό σκυρόδεµα/ Άνω όριο Ελαφροσκυρόδεµα Κανονικό σκυρόδεµα/ Κάτω όριο Σχήμα ΙΙΙ.8 Συγκριτικό διάγραμμα μεταβολής της θερμικής αγωγιμότητας κανονικών σκυροδεμάτων και ελαφροσκυροδεμάτων κατά τον Ευρωκώδικα 4 (EN ) [37]. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 67

12 Σημειώνεται πάντως, ότι στην διεθνή βιβλιογραφία υπάρχουν μεγάλες διασπορές σχετικά με τις τιμές της θερμικής αγωγιμότητας του σκυροδέματος. Ενδεικτικό είναι το Σχήμα III.9 (Schneider 1986) Θερµική αγωγιµότητα σκυροδέµατος (W / mk) Κανονικό σκυρόδεµα (Schneider, 1986) Άνω όριο (EC2, 2002) Κάτω όριο (EC2, 2002) Ελαφροσκυρόδεµα (Schneider, 1986) Θερµοκρασία ( o C) Σχήμα III.9 Συγκριτικό διάγραμμα μεταβολής της θερμικής αγωγιμότητας κανονικών σκυροδεμάτων και ελαφροσκυροδεμάτων κατά τον Schneider (1986) [11]. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 68

13 III Θερμική διαστολή Κατά τον Ευρωκώδικα 2, η θερμική διαστολή του σκυροδέματος μπορεί να λαμβάνεται από τις σχέσεις: Για σκυρόδεμα με πυριτικά αδρανή: Για 20 C θ 700 C: Δl/l=9*10 6 θ+2.3*10 11 θ 3 1.8*10 4 Για 700 C θ 1200 C: Δl/l=14*10 3 Όπου l το μήκος στους 20 C Δl η μεταβολή του μήκους λόγω της θερμοκρασίας, και θ η θερμοκρασία του σκυροδέματος ( C) Η μεταβολή φαίνεται στο Σχήμα III.10, καμπύλη 1. Για σκυρόδεμα με ασβεστολιθικά αδρανή: Για 20 C θ 805 C: Δl/l=6*10 6 θ+1.4*10 11 θ 3 1.2*10 4 Για 805 C θ 1200 C: Δl/l=12*10 3 Όπου l το μήκος στους 20 C Δl η μεταβολή του μήκους λόγω της θερμοκρασίας, και θ η θερμοκρασία του σκυροδέματος ( C) Η μεταβολή φαίνεται στο Σχήμα III.10, καμπύλη 2. Σχήμα III.10 Μεταβολή της θερμικής διαστολής του σκυροδέματος συναρτήσει της θερμοκρασίας. (EN )[10]: Καμπύλη 1 σκυρόδεμα με πυριτικά αδρανή, Καμπύλη 2 σκυρόδεμα με ασβεστολιθικά αδρανή Παρατηρείστε στο Σχήμα ΙΙΙ.11 ότι ο «συντελεστής θερμικής διαστολής» μετά τους 200 C αυξάνεται μέχρι σχεδόν τριπλασιασμού! Κάτι τέτοιο δέν συμβαίνει πρακτικώς στον χάλυβα. Σχήμα III.11 Συντελεστής θερμικής διαστολής σκυροδέματος σε υψηλές θερμοκρασίες [43] Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 69

14 III.3.3 Μηχανικές ιδιότητες III Γενικά Γενικά μπορεί να λεχθεί ότι: Υπό υψηλές θερμοκρασίες, κατά την διάρκεια της πυρκαγιάς, παρατηρείται υποβάθμιση των μηχανικών χαρακτηριστικών του σκυροδέματος. Μετά την επάνοδο σε θερμοκρασίες περιβάλλοντος, μετά την πυρκαγιά, οι μηχανικές ιδιότητες δεν επανέρχονται στις αρχικές τους τιμές ή τις ανακτούν κατά μικρό ποσοστό μόνον. Κατά τους υπολογισμούς, συνιστάται να αγνοείται αυτή η ανάκτηση. III Θλιπτική αντοχή Η θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος μειώνεται όταν αυξάνεται η θερμοκρασία, κυρίως λόγω των εσωτερικών ρηγματώσεων που προκαλεί η θέρμανση του ύδατος και της ανομοιόμορφης κατανομής των θερμοκρασιών στην μάζα του σκυροδέματος, καθώς και λόγω των φυσικοχημικών αντιδράσεων που προκαλούνται (ασβεστοποίηση). Η μείωση αυτή εξαρτάται τόσο από το είδος των αδρανών όσο και από την στάθμη της φόρτισης [14]. (Σχήμα III.12). Ποσοστό (%) θλιπτικής αντοχής άνευ φορτίσεως (ψυχρό) αποµένουσα αντοχή υπό φόρτιση (θερµό) άνευ φορτίσεως (θερµό) Θερµοκρασία ( ο C) Σχήμα III.12 Ποσοστιαία μεταβολή της θλιπτικής αντοχής σκυροδεμάτων με ασβεστολιθικά αδρανή (Bažant et al., 1996) [1] Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 70

15 Το διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων υπό μονοαξονική θλίψη σκυροδεμάτων υπό υψηλές θερμοκρασίες μπορεί να λαμβάνεται από το Σχήμα III.13 (Ευρωκώδικας 2, Πίνακας 3.1 [10]) για τις διάφορες θερμοκρασίες. Παρατηρείται μια αύξηση των παραμορφώσεων για την ίδια στάθμη τάσεων, καθώς και μια μείωση της μέγιστης θλιπτικής τάσεως του σκυροδέματος. fcθ/fck ιάγραµµα σ-ε υπό υψηλές θερµοκρασίες θ=20 1,00 0,80 θ=100 θ=400 0,60 θ=600 0,40 θ=800 0,20 0, ε (*1000) Η μείωση της μέγιστης θλιπτικής τάσεως του σκυροδέματος εκφράζεται μέσω του συντελεστή, k, ως [10]: kc( θ ) = fc θ ( θ )/ fck Η καμπύλη του συντελεστή k c φαίνεται στο Σχήμα III.14: Απλουστευτικώς (σύμφωνα με το Παράρτημα Β του Ευρωκώδικα 2 [10]) μπορεί να θεωρηθεί ότι μέχρι τους 500 ο C δεν μειώνεται η αντοχή του σκυροδέματος και για θερμοκρασίες μεγαλύτερες από 500 ο C η αντοχή του σκυροδέματος μηδενίζεται. c Σχήμα III.13 Διαγράμματα τάσεων παραμορφώσεων σκυροδεμάτων, με ασβεστολιθικά αδρανή, υπό υψηλές θερμοκρασίες (Ευρωκώδικας 2) [10] fcθ/fck 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0, θ ( o C) Πυριτικά 1 Ασβεστολιθικά 2 Απλουστευτικώς Σχήμα III.14 Μεταβολή του συντελεστή kc (θ) συναρτήσει της θερμοκρασίας (1: κανονικά σκυροδέματα με πυριτικά αδρανή, 2: κανονικά σκυροδέματα με ασβεστολιθικά αδρανή) (Ευρωκώδικας 2) [10] Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 71

16 Στην βιβλιογραφία προτείνονται, λοιπόν, διαγράμματα τάσεων παραμορφώσεων του σκυροδέματος υπό θλίψη ή εφελκυσμό (π.χ. Σχήμα ΙΙΙ.15). Τα σχετικά διαγράμματα βασίζονται σε αποτελέσματα πειραμάτων σε δοκίμια τα οποία είχαν, πριν απ την φόρτιση, θερμανθεί σε προκαθορισμένη θερμοκρασία. Σε μερικές περιπτώσεις, τα δοκίμια πριν από την θέρμανσή τους είχαν υποβληθεί σε θλιπτική τάση μέχρι προκαθορισμένη στάθμη. Τέτοια διαγράμματα έχουν προταθεί από τους: Lie, Rowe and Lin, 1986 [44] Σχήμα III.15 Καταστατικός νόμος σκυροδέματος υπό θλίψη σε θερμοκρασία περιβάλλοντος κατά Mander et al.,1988 [50]. Eurocode 2, 2004 [10] Lie and Lin, 1985 [45] Θερµοκρασία ( ο C) (α) Πυριτικά αδρανή Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 72

17 Li and Purkiss, 2005 [46] Ο Hertz, 2005 [47] προτείνει έναν νόμο ο οποίος λαμβάνει υπόψη τον τύπο των αδρανών, προτείνοντας συγχρόνως μια μείωση του ρυθμού απομείωσης της αντοχής λόγω αρχικής επιβολής θλιπτικής τάσης στο σκυρόδεμα, πολλαπλασιάζοντας την παρακάτω σχέση με 1.25, σε περίπτωση που η αρχική προφόρτιση στο υλικό είναι μέχρι 0.25 fc: Οι παράμετροι Τ1, Τ2, Τ8 και Τ64 καθορίζονται από τον τύπο του αδρανούς ως ακολούθως : Πυριτικά αδρανή: Τ1 = Τ2 = 800 Τ8 = 570 και Τ64 = Ελαφροβαρή αδρανή: Τ1 = Τ2 = 1100 Τ8 = 800 και Τ64 = 940 Άλλα αδρανή: Τ1 = Τ2 = 1080 Τ8 = 690 και Τ64 = 1000 (β) Ανθρακικά αδρανή Θερµοκρασία ( ο C) Θερµοκρασία ( ο C) (γ) Ελαφροβαρή αδρανή Σχήμα ΙΙΙ.16 Σύγκριση εναλλακτικών προσομοιωμάτων με πειραματικά αποτελέσματα, της θλιπτικής αντοχής, f cτ, ως προς τη θερμοκρασία Τ. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 73

18 Από την παραπάνω σύγκριση είναι εμφανές ότι : Τα προσομοιώματα που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία καθώς και στον εν ισχύει Κανονισμό είναι ικανοποιητικά, περιβάλλουν δε τα πειραματικά αποτελέσματα με επαρκή ακρίβεια. Η επιρροή των αδρανών είναι ουσιαστική, απ ό,τι φαίνεται και στα Σχήματα III.16 (α) (γ). Το προσομοίωμα του Hertz, 2005 [47] ακολουθεί τα πειραματικά δεδομένα με ικανοποιητική ακρίβεια. Σημείωση: Ο Ευρωκώδικας 2, 2004 [10], δεν διαφοροποιεί μεταξύ των διαφορετικών τύπων των αδρανών, αλλά μόνο ως προς το βάρος τους. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 74

19 III Εφελκυστική αντοχή Γενικώς, η εφελκυστική αντοχή του σκυροδέματος δεν λαμβάνεται υπόψη απ ευθείας στους υπολογισμούς. Η εφελκυστική αντοχή μειώνεται περισσότερο από την θλιπτική αντοχή (επειδή είναι περισσότερο ευαίσθητη στις μικρορηγματώσεις). Αν πάντως πρέπει η εφελκυστική αντοχή να ληφθεί υπόψη (π.χ. στην περίπτωση της αρχικής συνάφειας), και απουσία άλλων ακριβέστερων στοιχείων, μπορεί να θεωρηθεί ότι αυτή είναι σταθερή μέχρι τους 100 ο C και για μεγαλύτερες θερμοκρασίες μειώνεται γραμμικά μέχρι τους 600 ο C, οπότε και μηδενίζεται (βλ. Σχήμα ΙΙΙ.17). k ( θ) = f ( θ)/ f (20 C) ck, t ck, t ck Σχήμα III.17 Μεταβολή του συντελεστή kck,t(θ) συναρτήσει της θερμοκρασίας (Ευρωκώδικας 2) [10] Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 75

20 ΙΙΙ Μέτρο ελαστικότητας Επειδή το διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων του σκυροδέματος δεν είναι γραμμικό, συνήθως, ως μέτρο ελαστικότητας ορίζεται η κλίση χορδής απ το μηδέν έως το fcc/3 (αρχικό εφαπτομενικό μέτρο ελαστικότητας). Θερµοκρασία ( o F) Ανθρακικά αδρανή Το μέτρο ελαστικότητας μειώνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας. Η μείωση αυτή οφείλεται κυρίως στην θραύση των δεσμών στη μικροδομή του τσιμεντοπολτού όταν αυξάνεται η θερμοκρασία, καθώς επίσης και στην αύξηση του βραχυπρόθεσμου ερπυσμού λόγω του ότι τα αδρανή αναλαμβάνουν μεγαλύτερες τάσεις καθώς απομακρύνεται το ύδωρ των πόρων (βλ. Σχήμα ΙΙΙ.18 Bažant et al., 1996) [1]. Μέτρο ελαστικότητας, Ε % ποσοστό του αρχικού (Εο) Ελαφροσκυρόδεµα Πυριτικά αδρανή Θερµοκρασία ( o C) Σχήμα ΙΙΙ.18 Μέτρο ελαστικότητας σκυροδεμάτων συναρτήσει της θερμοκρασίας. (Bažant et al., 1996) [1] Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 76

21 Το αρχικό εφαπτομενικό μέτρο ελαστικότητας του σκυροδέματος ΕciT εξαρτάται από την θερμοκρασία ομοίως με την θλιπτική αντοχή. Προσομοίωμα του Lu (βλ. Xiao, 2004 [48]) Προσομοίωμα του Li and Guo (βλ. Xiao, 2004 [48]) Προσομοίωμα του Schneider, 1986 [49] Θερµοκρασία ( ο C) Προσομοίωμα των Li and Purkiss, 2005 [46] Από την σύγκριση των παραπάνω είναι εμφανές ότι υπάρχει διασπορά των πειραματικών αποτελεσμάτων. Θερµοκρασία ( ο C) Σήμα III.19 Σύγκριση εναλλακτικών προσομοιωμάτων με πειραματικά αποτελέσματα του αρχικού εφαπτομενικού μέτρου ελαστικότητας ΕciT. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 77

22 Κατά το BS 8110 το μέτρο ελαστικότητας του σκυροδέματος μειώνεται γραμμικά από τους 150 ο C και μηδενίζεται στους 700 ο C (βλ. Σχήμα ΙΙΙ.20) πρόκειται όμως πιθανώς για σκυρόδεμα με πυριτικά αδρανή. Eθ/Ε20 Μεταβολή του µέτρου ελαστικότητας (BS 8110) 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0, Θερµοκρασία ( ο C) Σχήμα ΙΙΙ.20 Μεταβολή του μέτρου ελαστικότητας του σκυροδέματος κατά BS8110. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 78

23 ΙΙΙ Συνάφεια Η διεθνής εμπειρία σχετικά με την επίδραση της πυρκαγιάς και των υψηλών θερμοκρασιών στην συνάφεια μεταξύ χάλυβα και σκυροδέματος είναι περιορισμένη. Η αντοχή σε συνάφεια ράβδων σιδηροπλισμού και σκυροδέματος εξαρτάται αρχικώς από την εφελκυστική αντοχή. Τελικά όμως εξαρτάται περισσότερο απ την θλιπτική αντοχή (παρά από την εφελκυστική αντοχή). Ο Ευρωκώδικας 2 δεν προτείνει σαφώς κάποια σχέση μειώσεως, έμμεσα όμως συνάγεται ότι θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η σχέση που περιγράφει την μείωση της εφελκυστικής αντοχής (βλ. παράγραφο ). τ max / τ max,m 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 y = -0,0010x + 1,0107 R 2 = 0,8735 y = -0,0012x + 1,0123 R 2 = 0,9541 Φ16 Φ10 Linear (Φ10) Linear (Φ16) Στα Σχήματα ΙΙΙ.21 και ΙΙΙ.22 φαίνεται η επίδραση της θερμοκρασίας στην συνάφεια όπως προέκυψε από πειράματα εξολκεύσεως. 0, T [ o C] Σχήμα ΙΙΙ.21 Μεταβολή της ανηγμένης μέγιστης τάσης συνάφειας (τmax/τmax,μ) συναρτήσει της θερμοκρασίας (Τ) για ράβδους Φ10 και Φ16 [41] Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 79

24 Κατά τον D.J. Naus η μείωση της συνάφειας συναρτήσει της θερμοκρασίας μπορεί να λαμβάνεται από το Σχήμα ΙΙΙ.22. τmax/ τmax,0 Θερµοκρασία ( o C) Σχήμα ΙΙΙ.22 Μεταβολή της ανηγμένης μέγιστης τάσης συνάφειας (τmax/τmax,0) συναρτήσει της θερμοκρασίας (Τ) [31] Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 80

25 Η συνάφεια μεταξύ των δύο υλικών μειώνεται με αύξηση της θερμοκρασίας, ανάλογα με την μορφή του χάλυβα και τον τύπο σκυροδέματος. Καλύτερη σχετικά συμπεριφορά αποδίδουν οι νευροχάλυβες (ιδιαίτερα με επιφανειακή οξέιδωση) στις υψηλές θερμοκρασίες. Οι Xie and Qian (βλ. Xiao and Konig, 2004 [48]) έχουν προτείνει ένα προσομοίωμα που περιγράφει την αντοχή συνάφειας (τut) σε θερμοκρασία (Τ), συναρτήσει της αντοχής συνάφειας σε συνθήκες δωματίου (τuο). Αντοχή συνάφειας Θερµοκρασία ( ο C) Η αξιοπιστία του προσομοιώματος στην πρόβλεψη των πειραματικών δεδομένων φαίνεται στο Σχήμα ΙΙΙ.23. Σχήμα ΙΙΙ.23 Σύγκριση προσομοιώματος αντοχής συνάφειας ως προς τη θερμοκρασία με πειραματικά αποτελέσματα. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 81

26 ΙΙΙ Παραμόρφωση του σκυροδέματος συναρτήσει της θερμοκρασίας Η παραμόρφωση του σκυροδέματος σε υψηλές θερμοκρασίες προέρχεται αθροιστικά από τρεις παράγοντες: την άμεση παραμόρφωση εft, την ανεμπόδιστη θερμοκρασιακή παραμόρφωση συστολο διαστολής εth, και την παραμόρφωση λόγω ερπυσμού εcr. ΙΙΙ Άμεση παραμόρφωση εft Η άμεση παραμόρφωση καθορίζει το διάγραμμα τάσεων άμεσων παραμορφώσεων συναρτήσει της θερμοκρασίας, και για τα προσομοιώματα καταστατικής συμπεριφοράς που χρησιμοποιούνται στην πράξη ορίζεται από ι) την παραμόρφωση στη μέγιστη θλιπτική αντοχή εοτ και το αρχικό μέτρο ελαστικότητας ΕciT. Όπως και με την θλιπτική αντοχή, οι πειραματικές σχέσεις παραμόρφωσης εοτ ως προς Τ και αρχικού μέτρου ΕciT ως προς Τ από τη βιβλιογραφία καλύπτονται από μια πληθώρα προτεινόμενων «νόμων», όπως : Άµεση παραµόρφωση στη µέγιστη θλιπτική αντοχή (α) Αφόρτιστο σκυρόδεμα Θερµοκρασία ( ο C) Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 82

27 ή, λαμβάνοντας υπόψη και την αρχική προφόρτιση του υλικού σε ποσοστό της αντοχής του, λ, η σχέση του Terro, 1998 [51] : Όπου : Άµεση παραµόρφωση στη µέγιστη θλιπτική αντοχή Θερµοκρασία ( ο C) Οι παραπάνω σχέσεις συγκρίνονται με τα υπάρχοντα πειραματικά αποτελέσματα της βιβλιογραφίας στο Σχήμα III.24, ανάλογα με την φόρτιση του υλικού. (β) Προφορτισμένο σκυρόδεμα Σχήμα ΙΙΙ.24 Σύγκριση εναλλακτικών προσομοιωμάτων με πειραματικά αποτελέσματα της μεταβολής της άμεσης παραμόρφωσης στη μέγιστη θλιπτική αντοχή, εοτ, ως προς τη θερμοκρασία Τ. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 83

28 ΙΙΙ Ανεμπόδιστη θερμοκρασιακή παραμόρφωση συστολο διαστολής εth Η θερμοκρασιακή παραμόρφωση υπολογίζεται στην απλούστερη μορφή σαν μια γραμμική σχέση της διαφοράς θερμοκρασίας και της ανηγμένης παραμόρφωσης, μέσω ενός συντελεστή θερμοκρασιακής διαστολής α, εth = α (Τ 20) [ o C] Θερµοκρασιακή παραµόρφωση όπου ο συντελεστής α λαμβάνει τιμή μεταξύ και , για σκυρόδεμα με πυριτικά αδρανή. Θερµοκρασία ( ο C) Ο Ευρωκώδικας 2, 2004 [10] υιοθετεί μια μη γραμμική σχέση, λόγω θερμικής ασυμβατότητας μεταξύ αδρανών και της σκληρυμένης πάστας, η οποία για πυριτικά αδρανή είναι της μορφής (βλ. και Σχήμα III.25): Σχήμα III.25 Σύγκριση εναλλακτικών προσομοιωμάτων με πειραματικά αποτελέσματα της θερμοκρασιακής παραμόρφωσης συστολο διαστολής, εth, ως προς τη θερμοκρασία Τ, για πυριτικά αδρανή. ΙΙΙ Παραμόρφωση λόγω θερμοκρασιακού ερπυσμού εcr Η παραμόρφωση αυτή βασίζεται σε πειραματικές παρατηρήσεις οι οποίες εμφανίζουν μια ερπυστική παραμόρφωση του υλικού, υπό σταθερή τάση και αύξηση της θερμοκρασίας, η οποία είναι υψηλότερη αυτής λόγω συμβατικού ερπυσμού στο σκυρόδεμα. Με βάση τα πειραματικά αποτελέσματα, έχουν προταθεί τα ακόλουθα προσομοιώματα ερπυσμού: Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 84

29 α) Προσομοίωμα των Anderberg and Thelandersson, 1976 [18] Η θερμοκρασιακή ερπυστική παραμόρφωση είναι ευθέως ανάλογη προς την δρώσα τάση και θερμοκρασιακή παραμόρφωση. β) Προσομοίωμα του Schneider, 1986 [49] Η θερμοκρασιακή ερπυστική παραμόρφωση είναι συνάρτηση της τάσης (fct), της θερμοκρασίας, της αρχικής παραμόρφωσης πριν από τη φόρτιση (fci) και της αντοχής και μέτρου ελαστικότητας του υλικού ως προς Τ., όπου 1.8 < κ < 2.35., και w το ποσοστό περιεχόμενης υγρασίας και C1, C2, C3, γο, Tg σταθερές ίσες προς 2.60, 1.40, 1.40, και 700 για πυριτικά αδρανή. γ) Προσομοίωμα του Terro, 1998 [51] Βασίζεται σε πειράματα του Khoury, 1985 [52] και λαμβάνει υπόψη το ποσοστό κατ όγκο των αδρανών Va., όπου fci/fc 3.0. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 85

30 ΙΙΙ.4 ΧΑΛΥΒΑΣ III.4.1 Γενικά Με την έκθεση των χαλύβων οπλισμού σκυροδέματος σε υψηλές θερμοκρασίες επηρεάζονται κυρίως: το όριο διαρροής, η εφελκυστική αντοχή και η παραμόρφωση θραύσεως. Επίσης ενδέχεται να εμφανισθούν και φαινόμενα όπως: ερπυσμός και χαλάρωση μεταβολή της μικροδομής του χάλυβα. Η συμπεριφορά των χαλύβων κατά την έκθεση σε υψηλές θερμοκρασίες εξαρτάται από: Την θερμοκρασία της έκθεσης Τον χρόνο της έκθεσης Την σύσταση και την μέθοδο παραγωγής των χαλύβων Μετά την επάνοδο σε θερμοκρασίες περιβάλλοντος οι μεταβολές: είτε παραμένουν είτε αίρονται (μερικώς ή ολικώς) ανάλογα με την μέθοδο παραγωγής, την θερμοκρασία έκθεσης αλλά και με την διάρκεια έκθεσης Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 86

31 III.4.2 Θερμικές ιδιότητες χάλυβα ΙΙΙ Ειδική θερμότητα Ο Malhotra [12], βασιζόμενος στα πειραματικά αποτελέσματα των Pettersson, Magnusson και Thor (1976) και Stirland (1980) προτείνει για την ειδική θερμότητα του χάλυβα cα ( J/kgC º ) την σχέση: c α = , θ α +9, θα, α θ > / 750 o C (1) Πρέπει να σημειωθεί ότι λόγω της ασυνέχειας που παρουσιάζει η ειδική θερμότητα του χάλυβα γύρω στους 750 C, η προηγούμενη εξίσωση ισχύει μέχρι αυτή την θερμοκρασία. Ειδική θερµότητα χάλυβα (ca) (kj/kg C) Θερµοκρασία ( o C) Σχήμα ΙΙΙ.26 Μεταβολή της ειδικής θερμότητας του χάλυβα συναρτήσει της θερμοκρασίας. (Stirland Εξίσωση 1), (EN Εξισώσεις 2, 3, 4, 5) [12]. Ο EN δίνει τις παρακάτω εξισώσεις που ισχύουν μέχρι τους 1200 C [10]: Για 20 C θα 600 C Για 600 C θα 735 C c = , 773θ , θ +2, θ (2) α α α α 1302 c α = (3) θ Για 735 C θα 900 C c α = (4) θ α Για 900 C θα 1200 C c = 650 α (5) α Πάντως, για απλά υπολογιστικά προσομοιώματα, μπορεί να θεωρηθεί και μία σταθερή τιμή για το cα, ίση με 600 J/kg K. Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 87

32 ΙΙΙ Θερμική αγωγιμότητα Κατά τον Ευρωκώδικα EN [10], η θερμική αγωγιμότητα του χάλυβα μειώνεται γραμμικά μέχρι τους 800 C και μετά παραμένει σταθερή. Ειδικότερα, η ειδική θερμότητα μπορεί να λαμβάνεται από τις σχέσεις: Θερµική αγωγιµότητα [ W / mk ] Για 20 C θα 800 C: Για 800 C θα : -3 λ α = θα α, (1) λ =27, 3 (2) Να σημειωθεί επίσης ότι, για προσεγγιστικούς υπολογισμούς, είναι επιτρεπτό να θεωρηθεί η θερμική αγωγιμότητα του χάλυβα ίση με 45 W/mK. Θερµοκρασία ( o C) Σχήμα ΙΙΙ.27 Μεταβολή της θερμικής αγωγιμότητας του χάλυβα συναρτήσει της θερμοκρασίας. (EN Εξισώσεις 1, 2) Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 88

33 ΙΙΙ Θερμική διαστολή Κατά τον Ευρωκώδικα 3, η θερμική διαστολή των χαλύβων οπλισμού σκυροδέματος μπορεί να λαμβάνεται από τις σχέσεις: Για 20 C θα 750 C: Δl/l=1.2*10 5 θα+0.4*10 8 θα *10 4 (2) Για 750 C θα 860 C: Δl/l=1.1*10 2 (3) Για 860 C θα 1200 C: Δl/l=2*10 5 θα 6.2*10 3 (4) Όπου l το μήκος στους 20 C Δl η μεταβολή του μήκους λόγω της θερμοκρασίας, και θα η θερμοκρασία του χάλυβα ( C) Η μεταβολή φαίνεται στο Σχήμα ΙΙΙ.28, καμπύλη 1. Η αντίστοιχη σχέση για χάλυβα προεντάσεως είναι: Για 20 C θα 1200 C:Δl/l = 2,016 x θα + 0,4 x 10 8 θα 2 Η μεταβολή φαίνεται στο Σχήμα ΙΙΙ.28, καμπύλη 2. Παρατηρείστε ότι σε σκυροδέματα με ασβεστολιθικά αδρανή, η θερμική παραμόρφωση στους 600 C είναι κατά 25% μικρότερη της παραμόρφωσης του χάλυβα. Τούτο είναι άλλη μια αιτία βλαβών του Ο.Σ.. Σχήμα ΙΙΙ.28 Μεταβολή της θερμικής διαστολής του χάλυβα συναρτήσει της θερμοκρασίας. (EN )): Καμπύλη 1 για κοινούς χάλυβες οπλισμού σκυροδέματος, Καμπύλη 2 για χάλυβες προεντάσεως Και εδώ, παρατηρείται μια αύξηση του συντελεστή θερμικής διαστολής συναρτήσει της θερμοκρασίας. Σχήμα III.29 Συντελεστής θερμικής διαστολής χάλυβα σε υψηλές θερμοκρασίες [43] Κεφάλαιο III : Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στις ιδιότητες των υλικών 89

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

I. Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ

I. Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ I. Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ Στο Κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται μόνο βασικά στοιχεία σχετιζόμενα με την πυρκαγιά στο εσωτερικό ενός κτιρίου (ενδο οικιακή), κύρια πηγή των οποίων αποτέλεσε η έκδοση Εργ. Ω.Σ./

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Ημερίδα για τα πυρόπληκτα κτήρια

Ημερίδα για τα πυρόπληκτα κτήρια TEE, Περιφερειακό Τμήμα Πελοποννήσου ΕΜΠ, Εργαστήριο Ω.Σ. Ημερίδα για τα πυρόπληκτα κτήρια ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΥΨΗΛΩΝ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΩΝ ΣΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΤΡΕΖΟΣ Μεγαλόπολη, 13 Οκτωβρίου 2007 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΑΠΟΣΤΟΛΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, ΑΜΕΣΩΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΥΡΚΑΓΙΑ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΑΠΟΣΤΟΛΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, ΑΜΕΣΩΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΥΡΚΑΓΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΑΠΟΣΤΟΛΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, ΑΜΕΣΩΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΥΡΚΑΓΙΑ Περιεχόμενα παραρτήματος Α : Α.1 Εισαγωγή Α.2 Συνοπτική περιγραφή της πυρκαγιάς Α.3 Εκτίμηση των αναπτυχθεισών θερμοκρασιών Α.3.1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΝΑΝΤΙ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ ΜΕΣΩ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΝΑΝΤΙ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ ΜΕΣΩ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΝΑΝΤΙ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ ΜΕΣΩ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Στο Κεφάλαιο V του παρόντος Πρακτικού Οδηγού παρουσιάστηκαν προσεγγιστικές βήμα προς βήμα επιλύσεις που δύνανται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

VII. ΜΕΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΥΡΟΤΡΩΤΟΤΗΤΑΣ, ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΥΡΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ (ΠΑΘΗΤΙΚΗΣ, ΔΟΜΙΚΗΣ) ΤΟΥ ΚΕΛΥΦΟΥΣ ΜΙΚΡΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ

VII. ΜΕΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΥΡΟΤΡΩΤΟΤΗΤΑΣ, ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΥΡΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ (ΠΑΘΗΤΙΚΗΣ, ΔΟΜΙΚΗΣ) ΤΟΥ ΚΕΛΥΦΟΥΣ ΜΙΚΡΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ VII. ΜΕΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΥΡΟΤΡΩΤΟΤΗΤΑΣ, ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΥΡΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ (ΠΑΘΗΤΙΚΗΣ, ΔΟΜΙΚΗΣ) ΤΟΥ ΚΕΛΥΦΟΥΣ ΜΙΚΡΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ VII.1 ΓΕΝΙΚΑ Όσα ακολουθούν σε αυτό Κεφάλαιο, αφορούν κυρίως νέα μικρά κτίρια σε οικισμούς ή

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ HMEΡΟΜΗΝΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗΣ: 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ: ΩΡΑ 10μ.μ Τα παρακάτω θέματα δημοσιεύονται αποκλειστικά και μόνο για όσους υποψήφιους του φροντιστηρίου μας δεν κατάφεραν να προσέλθουν στα επαναληπτικά μαθήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

«Διεργασίες μεταφοράς και διασποράς της αέριας ρύπανσης

«Διεργασίες μεταφοράς και διασποράς της αέριας ρύπανσης ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ «Διεργασίες μεταφοράς και διασποράς της αέριας ρύπανσης 1 Ατμοσφαιρικός κύκλος της ρύπανσης Ως γνωστόν, οι ανθρωπογενείς εκπομπές ρύπων είναι υπεύθυνες για τα υψηλά επίπεδα ρύπανσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

VI. ΕΠΙΣΚΕΥΕΣ ΕΝΙΣΧΥΣΕΙΣ ΑΝΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΒΛΑΒΩΝ ΛΟΓΩ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ

VI. ΕΠΙΣΚΕΥΕΣ ΕΝΙΣΧΥΣΕΙΣ ΑΝΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΒΛΑΒΩΝ ΛΟΓΩ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ VI. ΕΠΙΣΚΕΥΕΣ ΕΝΙΣΧΥΣΕΙΣ ΑΝΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΒΛΑΒΩΝ ΛΟΓΩ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ Στο Κεφάλαιο αυτό γίνεται αντιστοίχιση των βλαβών λόγω πυρκαγιάς με προτεινόμενες μεθόδους επισκευών ενισχύσεων. Σημειώνεται ότι, σε γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά

Διαβάστε περισσότερα

«Απόδοση φωτοβολταϊκών στοιχείων και φωτοβολταϊκών συστημάτων υπό συνθήκες σκίασης και χαμηλής έντασης ακτινοβολίας»

«Απόδοση φωτοβολταϊκών στοιχείων και φωτοβολταϊκών συστημάτων υπό συνθήκες σκίασης και χαμηλής έντασης ακτινοβολίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Κατεύθυνση Εφαρμοσμένης Φυσικής «Απόδοση φωτοβολταϊκών στοιχείων και φωτοβολταϊκών συστημάτων υπό συνθήκες σκίασης και χαμηλής έντασης ακτινοβολίας»

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Πομπιέρη Βασιλεία, Δικηγόρος, LLM UCL Πτωχευτικό Δίκαιο Σημαντικότερες ρυθμίσεις σε προπτωχευτικό στάδιο. Εισαγωγή της διαδικασίας συνδιαλλαγής Σκοπός Η διάσωση και εξυγίανση

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ Μορφές δημόσιου δανεισμού Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate 1 Ανάλογα με την πηγή προελεύσεως των πόρων Με βάση το κριτήριο αυτό, ο δανεισμός διακρίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1.1 έως 1.3, να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος

Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος Είτε είμαστε άνθρωποι είτε είμαστε αστρική σκόνη, όλοι μαζί χορεύουμε στη μελωδία ενός αόρατου ερμηνευτή. A. Einstein

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

νοικίαση κασετών είναι 3. Συνεπώς γνωρίζει ότι αν αυξήσει την τιμή ενοικίασης από

νοικίαση κασετών είναι 3. Συνεπώς γνωρίζει ότι αν αυξήσει την τιμή ενοικίασης από 1. Ο ιδιοκτήτης ενός video club ξέρει ότι η ελαστικότητα της ζήτησης για την ε νοικίαση κασετών είναι 3. Συνεπώς γνωρίζει ότι αν αυξήσει την τιμή ενοικίασης από 200 δρχ. σε 250 δρχ., η ζήτηση θα μειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 29 Βασικές αρχές ακτινοβιολογίας

Κεφάλαιο 29 Βασικές αρχές ακτινοβιολογίας Κεφάλαιο 29 Βασικές αρχές ακτινοβιολογίας Θ. Αντωνάδου Ν. Θρουβάλας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η σημασία της ακτινοβιολογίας στην ακτινοθεραπεία Ο ρόλος της ακτινοθεραπείας στην αντιμετώπιση του καρκίνου Η ακτινοθεραπεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα)

2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα) 2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα) Η πολυπλεξία μήκους κύματος (WDM πολυπλεξία) παρέχει συμβατότητα μεταξύ του εύρους ζώνης του οπτικού μέσου οπτική ίνα και του εύρους ζώνης του τερματικού

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Τεχνική φλοπ Φορά Σκοπός της φοράς είναι να αναπτυχθεί μια ιδανική για τον κάθε αθλητή ταχύτητα και ταυτόχρονα να προετοιμάσει το πάτημα. Το είδος της φοράς του Fosbury ήτα, μια

Διαβάστε περισσότερα

Α) Ανάλογα με τη φύση των κονδυλίων που περιλαμβάνουν οι προϋπολογισμοί διακρίνονται σε:

Α) Ανάλογα με τη φύση των κονδυλίων που περιλαμβάνουν οι προϋπολογισμοί διακρίνονται σε: Ο διαγωνισμός της Εθνικής Σχολής Δημόσιας Διοίκησης προϋποθέτει, ως γνωστόν, συνδυασμό συνδυαστικής γνώσης της εξεταστέας ύλης και θεμάτων πολιτικής και οικονομικής επικαιρότητας. Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κλασικός Αθλητισμός Δρόμοι : Μεσαίες και μεγάλες αποστάσεις Ταχύτητες Σκυταλοδρομίες Δρόμοι με εμπόδια Δρόμοι Μεσαίων και Μεγάλων αποστάσεων Στην αρχαία εποχή ο δρόμος που είχε

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι:

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι: 1. Σε περίπτωση που το κράτος φορολογεί τους πολίτες το διαθέσιμο εισόδημα του κάθε ατόμου είναι: α) το σύνολο του εισοδήματός του β) το σύνολο του εισοδήματός του, αφού προηγουμένως αφαιρέσουμε τους φόρους

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-3, να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής

Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στους Δασκάλους μας, που μας βοήθησαν να φτάσουμε μέχρι εδώ

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Περιοχής. Σήμερα!

Περιγραφή Περιοχής. Σήμερα! Περιγραφή Περιοχής Σήμερα! Υφή (texture) Ιστόγραμμα & Ροπές Ιστογράμματος Πίνακες συνεμφάνισης Φασματική περιγραφή Ροπές (moments) Στροφορμή (angular momentum) 1 Υφή (texture) Ο ορισμός της έννοιας της

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1 5 να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

3Δ Ανάλυση της Κατασκευής,

3Δ Ανάλυση της Κατασκευής, Μη Γραμμική 3Δ Ανάλυση της Κατασκευής, Πλήρωσης και Σεισμικής Απόκρισης Φραγμάτων Λιθορριπής (CFRD) Σημαντικές Παράμετροι Π. Ντακούλας, Αν. Καθηγητής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Βόλος Θέματα Φράγματα λιθορριπής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 27. Ημιυπαίθριος χώρος ει

Σελίδα 27. Ημιυπαίθριος χώρος ει Σελίδα 26 Βόρεια πτέρυγα δωματίων Στη βόρεια πτέρυγα της οικίας διαμορφώνονται πέντε ευρύχωρα δωμάτια(αι ΙΙΙ, αxvii III) και ανατολικά αυτών ένας χώρος με αδιευκρίνιστη κάτοψη(ηιι). Τα δωμάτια έχουν τετράγωνη

Διαβάστε περισσότερα

Καταθλιπτικοί αγωγοί και αντλιοστάσια

Καταθλιπτικοί αγωγοί και αντλιοστάσια Αστικά Υδραυλικά Έργα Καταθλιπτικοί αγωγοί και αντλιοστάσια Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τυπικές φυγοκεντρικές αντλίες Εξαγωγή Άξονας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑ ΙΙ, 6 ου, ακαδ. έτος 2009 10

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑ ΙΙ, 6 ου, ακαδ. έτος 2009 10 ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑ ΙΙ, 6 ου, ακαδ. έτος 2009 10 ΠΟΔΗΛΑΤΟΔΡΟΜΟΙ Αναστασία Τουφεγγοπούλου Υπ. Διδάκτορας Το ποδήλατο, αντιπροσωπεύοντας πλέον σημαντικά ποσοστά των αστικών μετακινήσεων και δεδομένων των

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΣΥΝΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟ ΤΜΗΜΑ: ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας δύο σταδίων έγχυσης για τον προσδιορισμό της απόδοσής της

Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας δύο σταδίων έγχυσης για τον προσδιορισμό της απόδοσής της ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΙΟΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Διπλωματική εργασία Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα