Παράδειγμα 8. Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

Transcript

1 Μιγαδικοί αριθμοί Σελ 10 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 104 Ασκήσεις με παραστάσεις της μορφής συγκεκριμένοι μιγαδικοί z 1 z με z 1,z i Εξετάζουμε μήπως οι μιγαδικοί συνδέονται με σχέση της μορφής z i 1 z ii Αντικάθιστούμε τον ένα και βγάζουμε κοινό παράγοντα Συνήθως καταλήγουμε σε εφαρμογή των δυνάμεων του i Παράδειγμα 8 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: A i i Διαβάζουμε πρώτα ΜΕΘ104 Παρατηρούμε ότι i i 1 i άρα i 004 i1 i 004 i i i 004 μιάς και i Συνεπώς A 1 i 1 i 0 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ 1 Στους πραγματικούς αριθμούς είναι αδύνατο να παραγοντοποιήσουμε μία παράσταση της μορφής A και μάλιστα 0 0 & 0 Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών αυτά δεν ισχύουν, διότι αν, C μπορούμε να γράψουμε: i A i i i 0 συνεπώς i ή i άρα αν A 0 τότε i 0 ή

2 Μιγαδικοί αριθμοί Σελ 11 Οταν μας δίνουν μιγαδικούς αριθμούς (παραστάσεις), που δεν είναι στην μορφή i είναι απαραίτητο να τους φέρνουμε στην μορφή αυτή Παράδειγμα 9 α) Να βρεθεί ο συζυγής του μιγαδικού β) Να βρεθεί ο συζυγής του z w i iz z i 1 i α) Εκτελούμε τις πράξεις 1 i i z i i i 1i 1i 1i 1ii1 i άρα z 1 i ΜΕΘΟ ΟΣ Όταν έχουμε συζυγή παράστασης παίρνουμε τον συζυγή κάθε όρου της β) Έχουμε w z z z i iz i iz i iz ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 104 Οταν θέλουμε να δείξουμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός z είναι πραγματικός τότε ακολουθούμε δύο πιθανούς τρόπους επίλυσης: i Τον φέρνουμε στην μορφή z Rez Imzi και δείχνουμε ότι Im z 0 ή ii είχνουμε ότι z z

3 Όριο συνάρτησης στο x o Σελ 119 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 015 II Αν η συνάρτηση f είναι κλασματική και έχει ρίζα σε αριθμητή ή παρονομαστή i Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση (δείτε παρακάτω), ii Εκτελούμε τις πράξεις και απλοποιούμε τους παράγοντες που προκαλούν τον μηδενισμό των όρων και τέλος iii αντικαθιστούμε όπου χ το χ ο και βρίσκουμε το όριο? Ποια είναι η συζυγής παράσταση; Όταν χρησιμοποιούμε την «συζυγή» παράσταση του α-β ή του α+β όπου α ή β κάποια ρίζα, τότε στόχος είναι ή απαλοιφή της ρίζας υψώνοντας την σε κατάλληλη δύναμη (ίδια με την τάξη της) ΑΡΑ: Αν η ρίζα είναι τετραγωνική τότε η συζυγής του α+β είναι το α-β και αντίστροφα Πολλαπλασιάζοντας έχουμε Αν έχουμε ρίζα τρίτης τάξης τότε η συζυγής του α+β είναι το α -αβ+β ώστε Αν έχουμε ρίζα τρίτης τάξης τότε η συζυγής του α-β είναι το α +αβ+β ώστε x x1 x x Παράδειγμα 4 Να βρεθεί το όριο ιαβάζουμε πρώτα ΜΕΘ015

4 Όριο συνάρτησης στο x o Σελ 10 Αντικαθιστούμε όπου χ=0 και προκύπτει απροσδιόριστη μορφή 0/0 άρα: x x x x4 x x x x1x x x1 x1 x1 x 1 x x 1 x x x 1 x x x1 x 1 x x 1 x x x 4 Παράδειγμα 5 Nα βρεθεί το όριο x1 x 1 x 1 Αντικαθιστούμε όπου χ=1 και προκύπτει απροσδιόριστη μορφή 0/0 άρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με την συζυγή παράσταση του αριθμητή και του παρονομαστή x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x1 x1 x1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x1 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 1 x x x 1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 016 III Αν η συνάρτηση f είναι κλασματική και έχει ρίζες ίδιας η διαφορετικών τάξεων με ίδια υπόριζα σε αριθμητή ή παρονομαστή και η χρήση της συζυγούς παράστασης προκαλεί μεγάλο αριθμό πράξεων

5 Όριο συνάρτησης στο x o Σελ 11 Χρησιμοποιούμε την μέθοδο (MEΘ011) για την εύρεση ορίου σύνθετης συνάρτησης i Θέτουμε σαν μεταβλητή u= sx την ρίζα με τάξη ν το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων όλων των ριζών που εμφανίζονται στο όριο Επιλύουμε την σχέση ως προς χ και ii ακολουθούμε ότι περιγράψαμε στην MEΘ1 και οδηγούμαστε σε όριο της περίπτωσης Ι Παράδειγμα 6 Να βρεθεί το x x 1 x1 x x ιαβάζουμε πρώτα ΜΕΘ016 Είναι προφανές ότι αν επιχειρήσουμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο των συζυγών παραστάσεων θα προκαλούσαμε μεγάλο αριθμό πράξεων Θέτουμε λοιπόν u x x u και x1 x 1 συνεπώς έχουμε u 1 Αντικαθιστούμε στο όριο: x x u u x 1 u u 1 x x1 u u 0 u1u 1 1 u u ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ Αν ρ 1 και ρ οι ρίζες του τριωνύμου αx +βx+γ τότε παραγοντοποιείται: α(x-ρ 1 )(x-ρ ) u1 u u 5 1 4) Όρια συναρτήσεων με απόλυτα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 017 i Ελέγχουμε το πρόσημο των παραστάσεων που βρίσκονται σε απόλυτα, και κάνουμε ένα «κοινό πίνακα προσήμων»