= 1 E x. f(t)x n (t)dt, n = 1, 2,, N (2) = 0, i = 1, 2,, N (3) E e = e 2 (t)dt (4) e(t) = f(t) c n x n (t) (5) f(t) cx(t) = 4 sin(t) (7)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 25-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /3/26 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 5/3/26 Οι ασκήσεις µε [ ] (9 το πλήθος, άριστα το 9) είναι υποχρεωτικές. Οι υπόλοιπες είναι bonus, + µονάδες η καθεµία στο ϐαθµό αυτής της σειράς ασκήσεων (δηλ. µπορείτε να πάρετε µέχρι 4/9 σε αυτή τη σειρά.) Ασκηση - Βέλτιστοι συντελεστές c n Στην 7η διάλεξη του µαθήµατος, δείξαµε - χωρίς απόδειξη - ότι οι συντελεστές c n που ελαχιστοποιούν την ενέργεια σφάλµατος E e για µια προσέγγιση δίνονται από τη σχέση f(t) c x (t) + c 2 x 2 (t) + + c N x N (t) = N c n x n (t) () n= c n = t2 t t2 t f(t)x n (t)dt x 2 n(t)dt = E x t2 t f(t)x n (t)dt, n =, 2,, N (2) Αποδείξτε την παραπάνω σχέση λύνοντας την εξίσωση E e c i =, i =, 2,, N (3) όπου µε E e = t2 t e 2 (t)dt (4) N e(t) = f(t) c n x n (t) (5) n= Ασκηση 2 - Εύρεση ελάχιστης ενέργειας σφάλµατος E e Στην 6η διάλεξη, στο τελευταίο παράδειγµα, δείξαµε ότι η ϐέλτιστη, υπό την έννοια της ελάχιστης ενέργειας σφάλµατος, προσέγγιση της συνάρτησης f(t) = {, t π, π < t 2π (6) από τη συνάρτηση x(t) = sin(t) είναι η f(t) cx(t) = 4 sin(t) (7) π Το σφάλµα της παραπάνω προσέγγισης δίνεται ως e(t) = f(t) cx(t) = f(t) 4 sin(t) (8) π

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς / εύτερη Σειρά Ασκήσεων 2 και η ενέργειά του ως είξτε ότι E e = 2π E e = 2π e 2 (t)dt = 2π2 6 π e 2 (t)dt (9).9 () Ασκηση 3 - Απλή προσέγγιση σήµατος από άλλο σήµα Εστω το σήµα { t, π t π f(t) =, αλλού () Θέλουµε να το γράψουµε ως συνάρτηση του σήµατος x(t) = sin(t) στο π t π. i. Σχεδιάστε τα σήµατα στο χρόνο. ii. είξτε ότι η ϐέλτιστη, µε την έννοια της ελάχιστης ενέργειας σφάλµατος, προσέγγιση του f(t) από το x(t) είναι η f(t) cx(t) = 2 sin(t), π t π (2) iii. Σχεδιάστε το σήµα 2 sin(t) στον ίδιο άξονα µε το f(t). iv. Το σφάλµα της παραπάνω προσέγγισης δίνεται από τη σχέση e(t) = f(t) cx(t) = t 2 sin(t), π t π (3) Υπολογίστε την ελάχιστη ενέργεια σφάλµατος E e = v. είξτε ότι < e, x >= π π π π e 2 (t)dt. e(t)x(t)dt =, δηλ. ότι τα σήµατα e(t), x(t) είναι ορθογώνια. [ ] Ασκηση 4 - Σειρές Fourier - Ι Εστω το περιοδικό σήµα x(t) που περιγράφεται σε µια περίοδό του ως x(t) = A T t, t T (4) Σας δίνεται ότι b a te at dt = eat ( t ) ] b a a a i. Σχεδιάστε το σήµα στο χρόνο (3-4 περιόδους του). ii. Αναπτύξτε το περιοδικό σήµα σε εκθετική σειρά Fourier. Απ.: X = A 2, X k = A 2kπ ejπ/2 iii. Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του, γράφοντας πρώτα τους συντελεστές X k σε µορφή µέτρου-ϕάσης όπως στο µάθηµα. iv. Γράψτε το περιοδικό σήµα σε τριγωνοµετρική σειρά Fourier. Απ.: x(t) = A A kπ cos(2πkf t + π/2)

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς / εύτερη Σειρά Ασκήσεων 3 [ ] Ασκηση 5 - Σειρές Fourier - ΙΙ Αν ορίσουµε το σήµα x(t) που σε µια περίοδό του γράφεται ως x(t) = A ( t T ), T 2 T 2 t 3T 2 (5) τότε αναπτύξτε το σε σειρά Fourier χωρίς να κάνετε αναλυτικά τις πράξεις, ϐασισµένοι/ες στο αποτέλεσµα της Άσκησης 4 και στον πίνακα ιδιοτήτων των Σειρών Fourier. [ ] Ασκηση 6 - Σειρές Fourier - ΙΙΙ Εστω το σήµα x(t) = sin 3 (27πt) (6) i. Είναι το σήµα περιοδικό ; Αν ναι, ποιά είναι η περίοδός του ; ii. Γράψτε το σήµα σε τριγωνοµετρική σειρά Fourier. Απ.: T = 2 27, x(t) = 4 cos(8πt + π/2) + 3 cos(27πt π/2) 4 [ ] Ασκηση 7 - Ιδιότητες Σειρών Fourier Ενα περιοδικό µε περίοδο T σήµα x(t) το οποίο έχει συντελεστές Fourier Χωρίς να υπολογίσετε το x(t), απαντήστε στα παρακάτω ερωτήµατα. (αʹ) Το σήµα x(t) είναι πραγµατικό ή µιγαδικό ; X k = π2 2jk 2 (7) (ϐʹ) Βρείτε τους συντελεστές Fourier Y k του σήµατος y(t) = d dt x(t). (γʹ) Βρείτε τους συντελεστές Fourier Z k του σήµατος z(t) = x(t T /2). (δʹ) Βρείτε τους συντελεστές Fourier W k του σήµατος w(t) = t y(τ)dτ. [ ] Ασκηση 8 - Θεώρηµα Parseval Εστω η σειρά Fourier ενός περιοδικού µε περίοδο T σήµατος x(t) ως x(t) = k= k 2 jπk ej2πkf t (8) (αʹ) Βρείτε την ισχύ του περιοδικού σήµατος, P x. (ϐʹ) Τι ποσοστό (%) της συνολικής ισχύος του σήµατος περιέχεται στους πρώτους 4 όρους (k =,, 2, 3) της τριγωνοµετρικής σειράς Fourier του παραπάνω σήµατος ; ε χρειάζεται να ϐρείτε την τριγωνοµετρική σειρά, σκεφτείτε ποιοί από τους όρους της εκθετικής σειράς Fourier που σας δίνεται αντιστοιχούν στους όρους k =,, 2, 3 της τριγωνοµετρικής σειράς. ίνεται ότι : k 2 = π2 6. Απ.: (α) P f = 9, (ϐ) 86.56% 2

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς / εύτερη Σειρά Ασκήσεων 4 Ασκηση 9 - Αντιστροφή σειράς Fourier Βρείτε το περιοδικό µε περίοδο T = 2 σήµα στο χρόνο x(t) στο οποίο αντιστοιχούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς Fourier που δίνονται από τη σχέση X k = ( 2) k e j 2kπ 4 (9) Απ.: x(t) = cos(πt + π/2) [ ] Ασκηση - Σειρές Εστω ότι γνωρίζετε ότι είξτε ότι k περιττά + k 2 = k 2 = π2 6 (2k ) 2 = π2 8 (2) (2) Υπόδειξη : Χωρίστε την αρχική σχέση (2) σε άθροισµα άρτιων k και περιττών k. Επειτα, υπολογίστε το άθροισµα άρτιων k µε χρήση της σχέσης (2). [ ] Ασκηση - Σειρές Fourier Εστω το περιοδικό σήµα του Σχήµατος A -3T -T T 3T T Σχήµα : Περιοδικό σήµα Άσκησης. Βρείτε τους συντελεστές της εκθετικής σειράς Fourier. Απ: X = A/2, X k = A( ( ) k ) π 2 k 2 Υπόδειξη : Μπορείτε να παρακάµψτε τη χρήση ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, καθώς και τις πολλές πράξεις που έπονται, χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της παραγώγισης και το παράδειγµα που είδατε στο µάθηµα για να ϐρείτε πολύ γρήγορα την απάντησή σας. Ασκηση 2 - Ιδιότητες Σειρών Fourier (αʹ) είξτε ότι αν το πραγµτικό περιοδικό µε περίοδο T σήµα είναι άρτιο ως προς t, δηλ. ισχύει x(t) = x( t), τότε η τριγωνοµετρική σειρά Fourier µπορεί να γραφεί ως x(t) = X + 2R{X k } cos(2πkf t) (22)

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς / εύτερη Σειρά Ασκήσεων 5 (ϐʹ) είξτε ότι αν το πραγµατικό περιοδικό µε περίοδο T σήµα είναι περιττό ως προς t, δηλ. ισχύει x(t) = x( t), τότε η τριγωνοµετρική σειρά Fourier µπορεί να γραφεί ως x(t) = 2I{X k } sin(2πkf t) (23) Υπόδειξη : Ξεκινήστε από την εκθετική σειρά, χρησιµοποιήστε ότι x( t) Συντελεστές Fourier X k και ότι το σήµα είναι πραγµατικό. [ ] Ασκηση 3 - Αριθµητική Ολοκλήρωση µε MATLAB Στη 2η άσκηση, σας Ϲητήθηκε να δείξετε ότι 2π e 2 (t)dt = 2π2 6 π.9 (24) Η τιµή του παραπάνω ολοκληρώµατος µπορεί να υπολογιστεί µε αρκετή ακρίβεια µε χρήση του MATLAB. Ας δούµε πρώτα τι λέει η ϑεωρία. Ο Riemmann πρότεινε την προσέγγιση ενός ολοκληρώµατος από τµηµατικά σταθερές συναρτήσεις, των οποίων το αθροιστικό εµβαδό δίνει µια τιµή για το ολοκλήρωµα. Με µαθηµατικά b a x(t)dt = lim t N x( t i ) t (25) i= Τι µας λέει η παραπάνω σχέση ; ϐρεθεί αν κάνουµε τα εξής : Μας λέει ότι η τιµή ενός ορισµένου ολοκληρώµατος µπορεί να (i) Χωρίζουµε το διάστηµα [a, b] σε N ίσα µέρη µήκους t το καθένα. διαστήµατος λέγεται οµοιόµορφη. Αυτή η διαµέριση του (ii) Παίρνουµε ένα σηµείο t i σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήµατα. Για παράδειγµα, το µέσο του διαστήµατος t ή όποιο άλλο ϑέλουµε. (iii) Υπολογίζουµε την τιµή της συνάρτησης x(t) στα σηµεία t i. (iv) Εχουµε τώρα N τιµές της x(t) και N τµήµατα µήκους t. (v) Πολλαπλασιάζουµε τις N τιµές της x(t), δηλ. τις x( t i ), µε τα N το πλήθος t, και τις προσθέτουµε όλες µαζί, για να πάρουµε το αποτέλεσµα. Για να είναι ακριβές το αποτέλεσµα, πρέπει το t να είναι όσο µικρότερο γίνεται, δηλ. ιδανικά να ισχύει t, ώστε να υπάρχει ισότητα µεταξύ ολοκληρώµατος και αθροίσµατος. Ας δούµε πως ϑα υλοποιούσαµε στο MATLAB το ολοκλήρωµα της Άσκησης 2, δηλ. τη Σχέση (24). Εχουµε %%%%%%%%%%%% ARI8MHTIKH OLOKLHRWSH %%%%%%%%%%%%%%% % Orizoume ton a3ona tou xronou apo ws 2*pi % tmhmatopoiwntas ton ana Dt =.; Dt =.; t = :Dt:2*pi; % H synarthsh f(t) einai tmhmatika sta8erh % Orizoume thn f(t) me th synarthsh ones() tou MATLAB f = [ones(, length(t)/2) -ones(, length(t)/2)];

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς / εύτερη Σειρά Ασκήσεων 6 % Orizoume thn cx(t) cx = (4/pi)*sin(t); % Orizoume to sfalma e(t) e = f - cx; % Ypologizoume to oloklhrwma Riemmann apotelesma = Dt * sum(e.ˆ2) apotelesma =.9 % Epibebaiwsh 2*pi-(6/pi) ans =.92 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ας υπολογίσουµε τώρα το (διάσηµο) ολοκλήρωµα π/2 ( t ) 2dt = π ln(2) (26) sin(t) Αρχικά πρέπει να προσέξουµε ότι η συνάρτηση µέσα στο ολοκλήρωµα δεν ορίζεται για t =, t = π/2. Οπότε : %%%%%%%%%%%% ARI8MHTIKH OLOKLHRWSH %%%%%%%%%%%%%%% % Orizoume ton a3ona tou xronou apo +Dt ws pi/2-dt gia na mh mhdenizetai % o paronomasths ths synarthshs. H tmhmatopoihsh einai 3ana ana Dt. Dt =.; t = Dt:Dt:pi/2-Dt; % Orizoume th synarthsh f = (t./sin(t)).ˆ2; % Ypologizoume to oloklhrwma Riemmann apotelesma = Dt * sum(f) apotelesma = % Epibebaiwsh pi*log(2) ans = %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς / εύτερη Σειρά Ασκήσεων 7 Με ϐάση τα παραπάνω, επιβεβαιώστε στο MATLAB τα ολοκληρώµατα : 2π dt I. 5 4 cos(t) = 8π 3 ln(t) II. dt = π2 + t 2 2 (t + 2)(t 2) III. t 2 dt = + t π2 IV. e t dt = 6 Παραδώστε τον κώδικα MATLAB που γράψατε. [ ] Ασκηση 4 - Σειρές Fourier στο MATLAB Στην Άσκηση 4, υπολογίσαµε στο χαρτί µια σειρά Fourier. Ας δούµε πώς ϑα µπορούσαµε να επι- ϐεβαιώσουµε την απάντησή µας στο MATLAB, και µε χρήση αυτού του κώδικα, να µπορούµε να σχηµατίζουµε τη σειρά Fourier οποιουδήποτε περιοδικού σήµατος. Εστω λοιπόν η σειρά Fourier x(t) = A Ο κώδικας MATLAB που την υλοποιεί είναι ο παρακάτω : %%%%%%%%%%%%%%%% SEIRA FOURIER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Orizoume mia timh gia to A A = ; % Diamerizoume ton a3ona tou xronou ana dt dt =.; % Orizoume mia timh gia thn periodo T T = ; % Orizoume ton a3ona tou xronou (4 periodoi) t = :dt:4*t; % Posa hmitona 8eloume? Estw 4... N = 4; % pollaplasia tou k me bhma k = ::N; % H mesh timh C = A/2; % Oi syntelestes twn synhmitonwn Ck = A./(k*pi); A kπ cos(2πkf t + π/2) (27) % Pra3h! (prose3te pws apofeugoume th xrhsh for loop)

8 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς / εύτερη Σειρά Ασκήσεων 8 x = C + Ck*cos(2*pi*k /T*t + pi/2); % Apeikonish plot(t, x); xlabel( Time (s) ); Title( It works! ); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Προγραµµατίστε στο MATLAB 4 περιόδους από κάθε µια από τις παρακάτω σειρές Fourier, µε f = /T της δικής σας επιλογής, και παραδώστε τον κώδικα : I. x(t) = II. x(t) = III. x(t) = 4 (πk) 2 cos(2πkf t) kπεριττός IV. x(t) = sin(kπ/5) kπ 4 πk sin(2πkf t) cos(2πkf t) kπ sin(2πkf 2 t) π 2 (2k ) 2 cos(2π(2k )f t) Σχεδιάστε στο χαρτί ποιά πραγµατικά περιοδικά σήµατα πιστεύετε ότι προσπαθούν να προσεγγίσουν.