Vjerojatnost i matematička statistika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Vjerojatnost i matematička statistika"

Transcript

1 Vjerojatnost i matematička statistika Ante Mimica Poslijediplomski specijalistički studij aktuarske matematike 29. siječnja 2016.

2 Sadržaj kolegija 1. Opisna analiza podataka 2. Slučajne varijable 3. Funkcije izvodnice 4. Zajednička razdioba slučajnih varijabli 5. Centralni granični teorem i primjena 6. Uzorkovanje i statističko zaključivanje 7. Točkovno procjenjivanje 8. Pouzdani intervali 9. Testiranje statističkih hipoteza 10. Korelacijska i regresijska analiza 11. Analiza Varijance

3 Literatura 1. M. Huzak, Vjerojatnost i matematička statistika, skirpta, Subject 101: Statistical Modelling, Core Reading 2000, Faculty and Institute of Actuaries 3. Subjects C 1/2: Statistics, Core Reading 1996, Faculty and Institute of Actuaries 4. F. Daly, D.L. Hand, M.C. Jones, A.D. Lunn, K.J. McConway, Elements of Statistics, Addison-Wesley, Ž. Pauše, Uvod u matematičku statistiku, Školska knjiga, Zagreb, J.E. Freund, Mathematical Statistics, Prentice Hall International, 1992.

4 Outline Deskriptivna statistika Vjerojatnost Statistika

5 1. Opisna analiza podataka 1.1 Vrste podataka Primjer 1.1 Osiguranici od autoodgovornosti nekog osiguravajućeg društva i X = broj šteta po polici u proteklih godinu dana, Y = ukupan iznos šteta po polici u prošloj godini. Z = (X, Y) je dvodimenzionalno statističko obilježje.

6 populacija grupa objekata koje proučavamo (reprezentativni) uzorak Primjer 1.2 Pomoću računala na slučajan način odabran je uzorak od 100 osiguranika (nekog osiguravajućeg društva) s policom mješovitog osiguranja života. Računalni program je u datoteku pohranio podatke o njihovim osiguranim svotama.

7 Razlikujemo: populacijske podatke uzoračke podatke Podjela podataka po tipu varijable (stat. obilježja): numeričke vrijednosti: brojevi kategorijalne vrijednosti: razredi (npr. spol, mjesto rođenja, kategorija vozača)

8 Numeričke varijable: diskretne (obično predstavljaju neko prebrojavanje). Npr. broj šteta po polici osiguranja, broj ovlaštenih aktuara u HAD-u. neprekidne (obično predstavljaju rezultat mjerenja neke fizikalne ili novčane veličine) Npr. visina, težina, iznos šteta po polici osiguranja

9 1.2 Frekvencijske distribucije Frekvencijskim distribucijama opisuju se skupovi: diskretnih numeričkih podataka kategorijalnih podataka Frekvencijske distribucije prikazuju se tabelarno pomoću frekvencijskih tablica grafički pomoću stupčastih dijagrama, strukturnih dijagrama

10 Primjer 1.3 Uzorak od 80 obitelji. X = broj djece u obitelji mlađe od 16 god. Frekvencijska tablica: broj djece frekvencija relativna frekvencija ili više 0 0 Σ

11 Stupčasti dijagram frekvencija broja djece u obitelji: frekvencija ili vise broj djece

12 U R-u: > podaci<-data.frame(levels=c(0,1,2,3,4,5,6,7,"8 ili vise"),frekv=c(8,12,28,19,7,4,1,1,0)) > barplot(c$frekv,names=c$levels,xlab="broj djece",ylab="frekvencija",col="red") > podaci<-data.frame(podaci,podaci$frekv/sum(podaci $frekv)) > names(podaci)[3]<-"relfrekv" > barplot(podaci$relfrekv,names=podaci$levels,xlab="broj djece",ylab="rel. frekvencija",col="red")

13 Stupčasti dijagram relativnih frekvencija broja djece u obitelji: rel. frekvencija ili vise

14 Strukturni dijagram relativnih frekvencija broja djece u obitelji: 35% 15% 10% >7 1.2% 0% 1.2% 5% 8.8% 23.8%

15 U R-u: > pie(podaci$rf,labels=paste(round(100*podaci$rf, 1),"%",sep=""),col=rainbow(length(podaci$rf))) > legend("topright", c("0","1","2","3","4","5","6", "7",">7"),fill=rainbow(length(podaci$rf)),cex=0.8)

16 1.3 Histogrami i frekvencijske distribucije grupiranih vrijednosti Frekvencijskim distribucijama grupiranih vrijednosti opisuju se skupovi neprekidnih numeričkih podataka. Prikazuju se tabelarno pomoću frekvencijskih tablica grupiranih vrijednosti grafički pomoću histograma

17 Primjer 1.4 Raspolažemo sa 100 podataka o iznosima šteta zbog popuštanja vodovodnih instalacija po policama osiguranja kućanstava:

18 Frekvencijska tablica grupiranih vrijednosti: relativna visina razred frekvencija frekvencija pravokutnika [50, =0.01/(100-50) [100, [150, [200, [250, [300, [350, [400, [450, [500, Σ

19 Histogram: ukupna površina je jednaka 1 visine pravokutnika iznos stete

20 1.4 Stem and leaf dijagram stabljika (eng. stem) reprezentira razred (npr. znamenka stotica) list (eng. leaf) znamenka koja reprezentira broj iz razreda (npr. znamenka desetica) Npr. za skup podataka iz Primjera 1.4 dobijemo sljedeći stem and leaf dijagram:

21 1.5 Linijski dijagram i dijagram točaka linijski dijagram se koristi za prikaz vrijednosti koje se ne ponavljaju previše inače se koristi dijagram točaka Npr. linijski dijagram skupa podataka koji se sastoji od zadnjih 10 brojeva iz Primjera 1.4:

22 Primjer 1.5 Navedeni dijagram točaka predstavlja uzorak dobiven nezavisnim mjerenjem vremena izvođenja određene radne operacije (u sekundama)

23 1.6 Mjere lokacije Mjere centralnih tendencija: aritmetička sredina medijan mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) Ako je X ordinalna ili numerička varijabla, podaci se mogu urediti x (1) x (2)... x (n) (2)

24 1.6.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. x = 1 n (x 1+x 2 + +x n ) = 1 n Ako se u (1) ponavljaju brojevi: s frekvencijama tada je n i=1 x i a 1,a 2,...,a k (3) f 1,f 2,...,f k, x = 1 n (f 1a 1 +f 2 a 2 + +f k a k ) = 1 n k f j a j. j=1

25 Npr. aritmetička sredina podataka iz Primjera 1.3 je: x = = =

26 1.6.2 Medijan X je numerička ili ordinalna varijabla. Uređeni podaci iz (1): x (1) x (2) x (n). (4) Medijan je vrijednost m takva da je: točno pola (50%) svih podataka manje ili jednako od m i točno pola svih podataka veće li jednako od m.

27 Dakle, m = x (k) ako je n = 2k 1 m = 1 2 (x (k)+x (k+1) ) ako je n = 2k Npr. u Primjeru 1.3 je n = 80 pa je m = x (40)+x (41) 2 = = 2.

28 1.6.3 Mod vrijednost od X s najvećom frekvencijom Npr. mod uzorka iz Primjera 1.3 je 2 jer ima najveću frekvenciju (28).

29 1.7 Mjere raspršenja Standardna devijacija Standardna devijacija: s = 1 n (x i x) n 1 2, s = 1 n 1 Varijanca: s 2 i=1 k f j (a j x) 2 j=1

30 Alternativne formule za varijancu (standardnu devijaciju): s 2 = 1 n n 1 ( x 2 i n x2 ), s 2 = 1 k n 1 ( f j a 2 j n x2 ) i=1 j=1 Za uzorak iz Primjera 1.3, uzoračka varijanca je: s 2 = 1 79 ( ( )2 ) = 2.02.

31 1.7.2 Momenti k-ti moment oko α: 1 n n (x i α) k i=1 Moment je moment oko α = 0. Centralni moment je moment oko α = x.

32 1.7.3 Raspon Raspon: R = max 1 i n x i min 1 i n x i = x (n) x (1) Raspon uzorka iz Primjera 1.3 je R = 7 0 = 7.

33 1.7.4 Interkvartil r-ti kvantil: x (r) = x (k+α) := x (k) +α(x (k+1) x (k) ) (r = k +α, k N, k < n, 0 α < 1) Donji (q L ) i gornji (q U ) kvartili: q L := x ( n+1 4 ), q U := x ( 3(n+1) 4 )

34 Interkvartil: IQR = q U q L Za uzorak iz Primjera 1.3: q L = x ( 81 4 ) = x ( ) = x (20) (x (21) x (20) ) = = (2 1) = 5 4 = 1.25 q U = x ( ) = x ( ) = x (60) (x (61) x (60) ) = = 3+ 3 (3 3) = 3. 4 IQR = = 1.75.

35 1.8 Mjere asimetričnosti Koeficijent asimetrije: Ako je α 3 := 1 n 1 n ( xi x i=1 s ) 3 α 3 = 0 podaci su simetrični α 3 < 0 podaci su negativno asimetrični α 3 > 0 podaci su pozitivno asimetrični

36 1.9 Dijagram pravokutnika box and whisker plot "brkovi" - najmanja i najveća vrijednost unutar intervala [q L 1.5 IQR,q U +1.5 IQR] outlier - vrijednost koja se nalazi izvan "brkova"

37 Zadatak 1.1 Zadan je dijagram točaka kao u Primjeru 1.5 koji opisuje mjerenja vezana uz vrijeme potrebno za izvođenje neke operacije u sekundama: (a) Izračunajte aritmetičku sredinu i varijancu. (b) Izračunajte medijan i interkvartil. (c) Skicirajte dijagram pravokutnika.

38 Outline Deskriptivna statistika Vjerojatnost Statistika

39 2. Slučajne varijable Primjer 2.1 Bacanje igraće kocke. Događaji: pao je paran broj, pala je 6,... Elementarni događaji: 1,2,3,4,5,6 A, B događaji događaji su i A B, A B, A\B, A c = Ω\A

40 Prostor elementarnih događaja: Ω Familija događaja: F Vjerojatnost: Preslikavanje P : F R sa svojstvima: (P1) 0 P(A) 1 za sve događaje A F, (P2) P(Ω) = 1, (P3) A 1,A 2,... iz F i A i A j = za i j P(A 1 A 2...) = P(A 1 )+P(A 2 )+, Vjerojatnosni prostor: (Ω, F, P)

41 Vrijedi: A B P(B \A) = P(B) P(A) (za A B formula općenito ne vrijedi!) DZad P(A B C) = P(A c ) = 1 P(A) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C)

42 Primjer 2.1(nastavak) Igraća kocka je simetrična. p 1 = p 2 = = p 6 = 1 6 P(A) = ω i A Što ako kocka nije simetrična? 1 6 = A 6

43 Uvjetna vjerojatnost P(A B) := P(A B) P(B) Primjer 2.3 A = {pala je šestica} B = {pao je paran broj na kocki} P(A B) = P(A B) P(B) = = 1 3. P( B) je isto vjerojatnost

44 Nezavisnost događaja A i B su nezavisni događaji ako je P(A B) = P(A) P(B). A i B su nezavisni P(A B) = P(A) P(A B c ) = P(A) P(B A) = P(B) P(B A c ) = P(B). DZad A,B su nezavisni ako i samo ako su A c i B nezavisni.

45 2.2 Diskretne slučajne varijable X : Ω R, X,Y,Z,... Slučajna varijabla je diskretna ako je ImX := f(ω) prebrojiv skup i {X = x} := {ω Ω : X(ω) = x} je događaj za svaki x ImX.

46 Funkcija vjerojatnosti (gustoće) od X: f X : R R, f X (x) := P(X = x) Vrijedi: (G1) f X (x) 0 za sve x (G2) f X (x) = 1. x ImX Posebno, f X (x) = 0 za x / ImX.

47 Funkcija distribucije od X: Vrijedi: F X : R R, F X (x) := P(X x) F X (x) = {y ImX:y x} f X (y) Stepenasta je, rastuća, neprekidna zdesna i lim x F X(x) = 0, lim x + F X(x) = 1.

48 2.3 Neprekidne slučajne varijable Slučajna varijabla X je neprekidna ako: (i) ImX je interval u R, (ii) Skup {a X b} je događaj za sve a < b, (iii) Postoji funkcija f X : R R t.d. je za sve a < b, P(a X b) = b a f X (x)dx. f X zovemo funkcijom gustoće razdiobe od X.

49 Za sve a,b ImX, i ako je a < b, P(X = a) = 0, P(a X b) = P(a X < b) = = P(a < X b) = P(a < X < b). Za gustoću vrijedi: (G1) f X (x) 0 za sve x (G2) + f X(x)dx = 1.

50 Za funkciju distribucije neprekidne s.v. vrijedi: F X (x) = x f X (y)dy Neprekidna je, rastuća, F X ( ) = 0, F X (+ ) = 1. Vrijedi: P(a X b) = F X (b) F X (a). Ako je F X derivabilna, df X dx (x) = f X(x).

51 2.4 Matematičko očekivanje E[X] := xf X (x) (ako je X diskretna) E[X] := x ImX + xf X (x)dx (ako je X neprekidna) (ako red/integral zdesna apsolutno konvergira) Zadatak 2.1 Slučajno se bira točka unutar kvadrata duljine stranice 2. Označimo s X najmanju udaljenost te točke od stranica kvadrata. Nađite funkciju gustoće i matematičko očekivanje od X.

52 Za funkciju g : R R vrijedi E[X] := g(x)f X (x) (ako je X diskretna) E[X] := x ImX + g(x)f X (x)dx (ako je X neprekidna) Varijanca sl. var. X je definirana s VarX = E[(X EX) 2 ]. VarX = E[X 2 ] (EX) 2

53 2.6 Očekivanje i varijanca linearne transformacije s.v. (EX = µ, VarX = σ 2 ) E[Y] = E[aX +b] = ae[x]+b VarY = E[(Y aµ b) 2 ] = E[(aX +b aµ b) 2 ] = = E[a 2 (X µ) 2 ] = a 2 E[(X µ) 2 ] = = a 2 VarX Za standardiziranu verziju od X: Z := X µ σ vrijedi: EZ = 0, VarZ = 1.

54 2.7 Momenti k-ti moment od X oko c je broj: momenti (c = 0), E[(X c) k ]. centralni momenti (c = EX)

55 Koeficijent asimetrije od X: (µ = EX, σ = σ(x)) ( ) 3 X µ α 3 (X) = E[ ] σ Distribucija od X je: simetrična ako je α 3 (X) = 0, negativno asimetrična ako je α 3 (X) < 0 lijevi rep, asimetričnost slijeva pozitivno asimetrična ako je α 3 (X) > 0. desni rep, asimetričnost zdesna

56 2.8 Primjeri važnih distribucija Diskretne razdiobe Uniformna razdioba na skupu S = {1,2,...,k} (k N) f X (x) = P(X = x) = 1 k za x S = ImX. EX = k +1 2 VarX = k Npr. bacanje igraće kocke k = 6, X =broj na kocki EX = 7 VarX =

57 Bernoullijeva razdioba X = 1 ako je uspjeh, inače je X = 0 ImX = {0,1} θ = P(X = 1) je vjerojatnost uspjeha (θ [0,1]) f X (x) = θ x (1 θ) 1 x za x ImX = {0,1} EX = θ VarX = θ(1 θ)

58 Binomna razdioba X = broj uspjeha u nizu on n njd Bernoullijevih pokusa X b(n,θ) (0 θ 1). f X (x) = ( ) n θ x (1 θ) n x za x ImX = {0,1,...,n} x EX = nθ VarX = nθ(1 θ)

59 Geometrijska razdioba X = broj njd Bernoullijevih pokusa do prvog uspjeha X geometrijska (θ) (0 < θ < 1) X je vrijeme čekanja f X (x) = θ(1 θ) x 1 za x ImX = {1,2...} EX = 1 VarX = 1 θ θ θ 2 Y = X 1 = broj neuspjeha do prvog uspjeha f Y (x) = θ(1 θ) x za x ImY = {0,1,2...} EY = 1 θ θ VarY = 1 θ θ 2

60 Negativna binomna razdioba X = broj njd Bernoullijevih pokusa do uključivo k-tog uspjeha X negativna bin. (k,θ) (0 < θ < 1) f X (x) = ( ) x 1 θ k (1 θ) x k za x ImX = {k,k+1,...} k 1 EX = k θ Var[X] = k 1 θ θ 2 f X (x) = x 1 x k (1 θ)f X(x 1), za x = k+1,k+2,... i f X (k) = θ k.

61 Y = X k = broj neuspjeha do k-tog uspjeha ( ) k +x 1 f Y (x) = θ k (1 θ) x k 1 za x ImY = {0,1,2,...}, E[Y] = k 1 θ θ Var[Y] = k 1 θ θ 2

62 Hipergeometrijska distribucija Kutija: N kuglica = K bijelih + (N K) crnih X = broj bijelih kuglica među n izvučenih bez vraćanja ( K N K ) f X (x) = x)( n x ( N za x X = {0,1,...,n} n) θ = K/N E[X] = nθ

63 Poissonova razdioba 1. Model za broj slučajnih događaja koji se realiziraju tijekom nekog vremenskog intervala uz uvjete: (i) vjerojatnost pojavljivanja jednog događaja tijekom nekog vremenskog intervala proporcionalna je duljini tog intervala s konstantom proporcionalnosti neovisnoj o vremenskom intervalu; (ii) vjerojatnost istovremenog pojavljivanja dva i više događaja je jednaka nuli; (iii) brojevi pojavljivanja događaja tijekom međusobno disjunktnih vremenskih intervala su nezavisni.

64 Događaji se pojavljuju u skladu sa zakonom Poissonovog procesa. 2. Granična je distribucija b(n,θ)-razdiobe kada n +, θ 0 t.d. je λ = nθ = konstantno. X P(λ): f X (x) = λx x! e λ za x ImX = {0,1,...} EX = VarX = λ

65 2.8.2 Neprekidne razdiobe Uniformna razdioba X U(α,β) f X (x) = { 1 β α za x α,β 0 inače EX = α+β 2 VarX = (β α)2 12

66 Gama distribucija X Γ(α,1/λ), (α > 0, λ > 0), ImX = 0,+ { λ α f X (x) = Γ(α) xα 1 e λx za x > 0 0 inače Γ(α) = + 0 t α 1 e t dt (Γ-funkcija) (i) Γ(1) = 1, Γ(α) = (α 1)Γ(α 1) za α > 1 Γ(n) = (n 1)! za n N; (ii) Γ( 1 2 ) = π. EX = α λ VarX = α λ 2

67 Eksponencijalna distribucija X Exp(λ) Γ(1,1/λ) { λe λx za x > 0 f X (x) = 0 inače, { 1 e λx za x > 0 F X (x) = 0 inače, EX = 1 λ VarX = 1 λ 2 X je vrijeme čekanja između pojavljivanja dva događaja u Poissonovom procesu

68 χ 2 -razdioba X χ 2 (n) Γ( n,2) za n N 2 E[X] = n 2 2 = n Var[X] = n 2 22 = 2n

69 Beta distribucija X B(α,β), (α > 0, β > 0), ImX = 0,1 { Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) f X (x) = xα 1 (1 x) β 1 za 0 < x < 1 0 inače B(α,β) = 1 0 x α 1 (1 x) β 1 dx = Γ(α)Γ(β) Γ(α+β) E[X] = α α+β Var[X] = αβ (α+β) 2 (α+β +1)

70 Normalna razdioba X N(µ,σ 2 ), (µ, σ 2 > 0), ImX = R f X (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 µ = EX σ 2 = VarX X N(µ,σ 2 ) Y := ax+b N(aµ+b,a 2 σ 2 )

71 Važna je jer: 1. dobar je model za veliku većinu fizikalnih mjerenja 2. dobra je aproksimacija velike klase drugih distribucija (na primjer, binomne) 3. dobar je model za uzoračku razdiobu raznih statistika 4. zaključivanje na osnovi velikih uzoraka i neki statistički postupci zasnivaju se na pretpostavci normalnosti 5. pomoću nje se izvode mnoge druge distribucije Zadatak 2.2 Neka je X N(0,1). Dokažite da je X 2 χ 2 (1).

72 Standardizirana verzija od X: Z = X µ σ N(0,1) Φ(x) := F Z (x) = Φ 0 (x) = x 0 x 1 2π e t2 2 dt, 1 2π e t2 2 dt, za x > 0. Φ 0 (x) := Φ 0 ( x), za x < 0, Φ 0 (0) = 0 Φ(x) = 1 2 +Φ 0(x), za x R

73 Na primjer, iz tablica: P(0 < Z < 1.96) = Φ 0 (1.96) = 0.475, P(Z < 1.96) = Φ(1.96) = = = P( 1.96 < Z < 1.96) = Φ(1.96) Φ( 1.96) = = Φ 0 (1.96) Φ 0 ( 1.96) = = = Slično, P( < Z < 2.576) = 0.99 P( 3 < Z < 3) = (pravilo 3σ)

74 3. Funkcije izvodnice 3.1 Funkcije izvodnice vjerojatnosti X diskretna s.v., ImX = {0,1,2,3,...} p k := P(X = k), k = 0,1,2,... Funkcija izvodnica vjerojatnosti od X G X (t) := E[t X ] = p 0 +p 1 t+p 2 t (definirana je za t R za koje gornje očekivanje postoji, npr. uvijek je definirana za t 1).

75 Teorem jedinstvenosti za f.i.v. X d = Y ako i samo ako je G X = G Y. Primjer 3.1 (a) X uniformna na {1,2,...,k} { t(1 t k ) G X (t) = k(1 t) t 1 1 t = 1. (b) X b(n,θ) G X (t) = (θt+1 θ) n, t R.

76 (c) X geometrijska(θ) G X (t) = (d) X P(λ) θt 1 t(1 θ), t 1 1 θ G X (t) = e λ(1 t), t R (e) X negativna binomna(k, θ) ( G X (t) = θt 1 t(1 θ) ) k, t 1 1 θ

77 Računanje momenata Razvijmo t t X u Taylorov red oko 1: t X = 1+ X X(X 1) (t 1)+ (t 1) 2 1! 2! X(X 1)(X 2) + (t 3) !

78 Računanjem mat. očekivanja dobijemo G X (t) = E[t X ] = 1+ }{{} EX (t 1)+E[X(X 1)] }{{} =G X (1) = =G X (1) (t 1) 3 +E[X(X 1)(X 2)] +... }{{} 3! =G X (1) EX = G X(1) E[X 2 ] = E[X(X 1)]+EX = G X (1)+G X (1) (t 1) 2 VarX = E[X 2 ] (EX) 2 = G X(1)+G X(1)(1 G X(1)) 2!

79 Npr. za X geometrijska(θ) EX = G X(1) = d θt dt1 t(1 θ) t=1 θ = t=1 = 1 (1 t(1 θ)) 2 θ E[X(X 1)] = G 2θ(1 θ) X (1) = t=1 (1 t(1 θ)) 3 = 2(1 θ) θ 2 VarX = 2(1 θ) θ θ 1 θ 2 = 1 θ 2

80 3.3 Funkcije izvodnice momenata X diskretna ili neprekidna sl. var. Funkcija izvodnica momenata je definirana s M X (t) = E[e tx ] za t R za koje gornje očekivanje postoji. Teorem jedinstvenosti Funkcija izvodnica momenata jedinstveno određuje razdiobu: X d = Y ako i samo ako je M X = M Y

81 t e tx razvijemo u Taylorov red oko 0 i formalno izračunamo očekivanje (npr. ako je M X definirana na okolini 0 ili ako je X nenegativna): M X (t) = E[e tx ] = E[ k=0 X ktk k! ] = k=0 E[X k ] }{{} =M (k) X (0) t k k!

82 Zašto ime f.i. momenata? Ako znamo sve momente E[X k ], onda znamo i M X pa je razdioba od X jednoznačno određena. Funkcija izvodnica momenata linearne transformacije Y = ax +b, a,b R M Y (t) = E[e t (ax +b)] = e bt E[e atx ] = e bt M X (at).

83 Primjer 3.2 U slučaju ImX = {0,1,2,...} vrijedi M X (t) = E[e tx ] = G X (e t ). Npr. za X b(n,θ) dobijemo M X (t) = (θe t +1 θ) n = (1+θ(e t 1)) n.

84 Primjer 3.3 (a) X Γ(α, 1 λ ), α,λ > 0 ( ) α λ M X (t) =, t < λ λ t M X (t) = αλα (λ t) (α+1) = EX = M X (0) = α λ M X(t) = α(α+1)λ α (λ t) (α+2) = E[X 2 ] = M X α(α+1) (0) = λ 2 = VarX = E[X 2 ] (EX) 2 = α2 λ 2 α(α+1) λ 2 = α λ 2

85 Specijalno, za X Exp(λ) Γ(1, 1 ), λ > 0 dobijemo λ M X (t) = λ λ t, t < λ. za X χ 2 (n) Γ( n 2, 1 1), n N dobijemo 2 ( 1 ) n 2 2 M X (t) = 1 2 t = 1, t < 1 (1 2t) n 2 2.

86 (b) X N(µ,σ 2 ), µ R, σ 2 > 0 M X (t) = e µt+1 2 σ2 t 2, t R. M X(t) = (µ+σ 2 t)m X (t) = EX = M X(0) = µ M X (t) = σ2 M X (t)+(µ+σ 2 t) 2 M X (t) = E[X 2 ] = M X(0) = σ 2 +(µ+σ 2 ) 2 = VarX = E[X 2 ] (EX) 2 = σ 2

87 Neka je X N(µ,σ 2 ). Tada je Z = X µ σ N(0,1) pa je M Z (t) = e 1 2 t2 = ! }{{} odakle slijedi = E[Z2 ] 2! t ! }{{} = E[Z4 ] 4! t n n! }{{} = E[Z2n ] (2n)! t 2n +... E[Z 2n ] = (2n)! 2 n n! E[Z 2n+1 ] = 0, n = 0,1,2,...

88 Posebno, EZ = E[Z 3 ] = E[Z 5 ] = 0, E[Z 2 ] = 1,E[Z 4 ] = 3,E[Z 6 ] = 15 i, budući da je X = µ+σz, E[X 3 ] = E[(µ+σZ) 3 ] = µ 3 +3σ 2 µ. Također, treći i četvrti centralni momenti su E[(X µ) 3 ] = E[(σZ) 3 ] = 0 E[(X µ) 4 ] = E[(σZ) 4 ] = 3σ 4.

89 3.4 Funkcije izvodnice kumulanata Funkcija izvodnica kumulanata sl. var. X je definirana s C X (t) = lnm X (t) za t R za koje je M X (t) definirana. r-ti kumulant κ r je definiran preko C X (t) = r=0 κ r t r r!

90 Uočimo da vrijedi C X(t) = M X (t) M X (t) C X(t) = M X (t)m X(t) M X (t)2 M X (t) 2

91 Koristeći M X (0) = 1,M X(0) = EX,M X(0) = E[X 2 ] dobijemo κ 1 = C X (0) = M X (0) M X (0) = EX κ 2 = C X M X (0) = (0)M X(t) M X (0)2 M X (0) 2 = E[X 2 ] (EX) 2 = VarX

92 Zadatak 3.1 Funkcija izvodnica kumulanata slučajne varijable X je ( ) 1 C X (t) = 2 1. (1 t) 10 Izračunajte matematičko očekivanje, drugi moment i varijancu sl. var. X. Zadatak 3.2 Neka je X U(0,1). (a) Izračunajte funkciju izvodnicu momenata sl. var. Y = lnx (b) Odredite razdiobu od X.

93 4. Zajednička razdioba slučajnih varijabli 4.1 Zajednička gustoća i funkcija distribucije X i Y su s.v. definirane na istom vjerojatnosnom prostoru. Pretpostavimo: (X, Y) je diskretan s. vektor ImX = {a 1,a 2,...}, ImY = {b 1,b 2,...} Im(X,Y) = {(a 1,b 1 ),(a 1,b 2 ),...,(a 2,b 1 ),...} = = {(a i,b j ) : a i ImX,b j ImY}

94 Tablica zajedničke razdiobe od (X,Y): Y X b 1 b 2 b j a 1 p 11 p 12 p 1j a 2 p 21 p 22 p 2j a i p i1 p i2 p ij p ij = P(X = a i,y = b j ) za sve i,j.

95 Zajednička funkcija vjerojatnosti (gustoća) od X, Y : f X,Y : R R R, Svojstva: f X,Y (x,y) : = P(X = x,y = y) { p ij za x = a i,y = b j = 0 inače. (G1) f X,Y (x,y) 0 za sve x,y (G2) x ImX,y ImY f X,Y(x,y) = 1.

96 Marginalne razdiobe: gustoća od X je gustoća od Y je f X (x) = y ImY f Y (y) = x ImX f X,Y (x,y) f X,Y (x,y)

97 Kovarijanca slučajnih varijabli Cov(X,Y) = E[(X EX)(Y EY)] = E[XY] EXEY

98 Zajednička funkcija distribucije od X i Y : F X,Y : R R R, F X,Y (x,y) := P(X x,y y). (X, Y) diskretan s. vektor F X,Y (x,y) = f X,Y (a,b) za sve x,y R. {a ImX:a x} {b ImX:b y}

99 Primjer 4.1 Bacamo dvije simetrične igraće kocke: crvenu i plavu. X = broj koji se okrenuo na crvenoj kocki Y = manji od okrenutih brojeva Y X Σ Σ

100 Neprekidni s. vektor (X, Y): Za funkciju gustoće f X,Y : R R R je P(a X b,c Y d) = za sve a < b,c < d. b d Svojstva: (G1) f X,Y (x,y) 0 za sve x,y (G2) + + f X,Y(x,y)dxdy = 1. a c f X,Y (x,y)dxdy Zadatak 4.1 Je li f(x,y) = 6x 2 y, 0 < x,y < 1 funkcija gustoće neprekidnog slučajnog vektora (X,Y)? Ako jest, izračunajte P(0 < X < 1 2, 1 2 < Y < 1).

101 Marginalne razdiobe: gustoća od X je f X (x) = f X,Y (x,y)dy gustoća od Y je f Y (y) = f X,Y (x,y)dx

102 Za funkciju distribucije vrijedi: F X,Y (x,y) = za sve x,y R, i x du y dvf X,Y (u,v) f X,Y (x,y) = 2 F X,Y x y (x,y).

103 Zadatak 4.2 Zadana je funkcija F(x,y) = 1 e x e 2y +e (x+2y), x,y > 0. Je li F funkcija distribucije neprekidnog sl. vektora (X,Y)? U slučaju da jest odredite distribuciju sl. var. X i Y.

104 4.3 Uvjetna razdioba zadaje se uvjetnim gustoćama Neka je (X, Y) diskretan s. vektor: Uvjetna funkcija vjerojatnosti (ili uvjetna gustoća) od X za dano Y = y: f X Y (x y) := P(X = x Y = y) = = f X,Y(x,y), x R f Y (y) P(X = x,y = y) P(Y = y) (ukoliko je f Y (y) > 0) Analogno: f Y X (y x)

105 Primjer 4.3 Y X Σ Σ x f X Y (x 3)

106 Za neprekidni s. vektor (X, Y), uvjetna gustoća od X za dano Y = y: f X Y (x y) := f X,Y(x,y), x R f Y (y) (ukoliko je f Y (y) > 0) P(a X b Y = y) := b a f X Y (x y)dx

107 4.4 Nezavisnost slučajnih varijabli X i Y su nezavisne s.v. ako f X,Y (x,y) = f X (x) f Y (y) za sve y ImY,x ImX F X,Y (x,y) = F X (x) F Y (y) za sve x,y,

108 Diskretne s.v. X, Y su nezavisne akko P(X = x,y = y) = P(X = x) P(Y = y) za sve x,y. Neprekidne s.v. X, Y su nezavisne akko P(a X b,c Y d) = P(a X b) P(c Y d) za sve a < b,c < d.

109 X, Y nezavisne s.v. g(x), h(y) su nezavisne s.v. Def. X 1, X 2,... su nezavisne s.v. ako ( k 2) ( i 1,i 2,...,i k ) ( x 1,...,x k ) f Xi1,...,X ik (x 1,...,x k ) = f Xi1 (x 1 ) f Xik (x k )

110 (X,Y) s. vektor, g : R R R g(x,y) = g (X,Y) je s.v. Za (X, Y) diskretan s. vektor: E[g(X,Y)] = g(x,y)f X,Y (x,y) x ImXy ImY = i,j g(a i,b j )p ij Za (X, Y) neprekidan s. vektor: E[g(X,Y)] = + + g(x,y)f X,Y (x,y)dxdy.

111 Vrijedi: E[αg(X)+βh(Y)] = αe[g(x)]+βe[h(y)] X, Y nezavisne s.v. E[g(X) h(y)] = E[g(X)] E[h(Y)]

112 = Var(X +Y) = C X+Y(0) = C X(0)+C Y(0) = VarX +VarY. Deskriptivna statistika Vjerojatnost Statistika X,Y nezavisne = Var(X +Y) = VarX +VarY Var(X +Y) = E[(X +Y E[X +Y]) 2 ] = E[((X EX)+(Y EY)) 2 ] = E[(X EX) 2 ]+2E[(X EX)(Y EY)] +E[(Y EY) 2 ] nez. = VarX +2E[X EX] }{{} =EX EX=0 Dokaz pomoću f.i. kumulanata: E[Y EY]+VarY C X+Y (t) = ln(m X (t)m Y (t))) = C X (t)+c Y (t)

113 X 1,...,X n nezavisne Var(X X n ) = VarX 1 +Var(X 2 +X X n ) = VarX 1 +VarX 2 +Var(X X n ) =... = = VarX 1 +VarX 2 +VarX n +...+VarX n

114 Zadatak 4.3 Neka su X Exp(1) i Y U(0,1) nezavisne slučajne varijable. Izračunajte P(X + Y 1). Zadatak 4.4 Slučajni vektor (X,Y) ima gustoću f(x,y) = xe x xy, x,y > 0. 1 Izračunajte E[ X(Y+1) ]. Jesu li slučajne varijable X i Y nezavisne? Zadatak 4.5 Simetrična kocka se baca 2 puta. Označimo s X manji, a s Y veći od brojeva koji su pali. Jesu li X i Y nezavisne sl. var.?

115 Nezavisnost i funkcije izvodnice Neka su X 1,...,X n nezavisne slučajne varijable i α 1,...,α n R. Tada je M α1 X 1 +α 2 X α n X n (t) = M X1 (α 1 t)m X2 (α 2 t) M Xn (α n t) (za sve t R za koje su sve f.i.m. definirane). L.S. = E[e t(α 1X 1 +α 2 X α n X n ) ] = E[e tα 1X 1 e tα 2X2 e tα nx n ] nez. = E[e α 1tX 1 ] E[e }{{} α 2tX 2 ] E[e }{{} α ntx n ] = D.S. }{{} M X1 (α 1 t) M X2 (α 2 t) M Xn (α n t)

116 Neka su X 1,...,X n nezavisne slučajne varijable s vrijednostima u skupu {0, 1, 2,...}. Tada je G X1 +X X n (t) = G X1 (t)g X2 (t) G Xn (t) Primjer 4.4 X 1,...,X n Bernoullijeva(θ) nezavisne G X X k (t) = G X1 (t)g X2 (t) G Xn (t) = (1 θ +θt) n X X k b(n,θ)

117 Primjer 4.5 X 1,...,X n geometrijska(θ) nezavisne G X X k (t) = G X1 (t) G Xk (t) θt = 1 t(1 θ) θt 1 t(1 θ) ( ) k θt = 1 t(1 θ) X X k negativna binomna(k,θ)

118 Zadatak 4.6 Neka su X P(λ) i Y P(ν) nezavisne slučajne varijable, λ, µ > 0. (a) Dokažite da S = X +Y P(λ+µ). (b) Dokažite da je uvjetna distribucija od X uz uvjet S = s binomna. Odredite joj parametre.

119 4.10. Uvjetno očekivanje (X, Y) slučajni vektor Uvjetno očekivanje od Y uz dano X = x je definirano: za diskretni sl. vektor s E[Y X = x] := yf Y X (y x) za neprekidni sl. vektor s E[Y X = x] := y ImY yf Y X (y x)dy. Uz g(x) = E[Y X = x] definiramo uvjetno očekivanje E[Y X] = g(x).

120 Nap. (a) Ako su X i Y nezavisne, onda je (b) E[E[Y X]] = EX L.S. = = = = E[Y X = x] = EX. {x:f X (x)>0} {x:f X (x)>0} y E[Y X = x]f X (x)dx f X,Y (x,y)dx } {{ } =f Y (y) yf Y (y)dy = D.S. yf Y X (y x)f X (x) dydx }{{} =f X,Y (x,y) dy

121 Uvjetna varijanca g(x) := Var[Y X = x] = E[Y 2 X = x] E[Y X = x] 2 Uvjetna varijanca je definirana s Var[Y X] = g(x) i tada vrijedi Dokaz. Var[E[Y X]] = VarY E[Var[Y X]]. E[Var[Y X]] = E[E[Y 2 X]] E[E[Y X] }{{} 2 ] =E[Y 2 ] Var[E[Y X]] = E[E[Y X] 2 ] (E[E[Y X]] }{{} =E[Y] ) 2

122 (a) Koliko u srednjem sati aktuar provodi u uredu tijekom tjedna? (b) Izračunajte VarY. Deskriptivna statistika Vjerojatnost Statistika Zadatak 4.7 Broj odlazaka aktuara s posla nakon redovnog radnog vremena tijekom radnog tjedna modelira se pomoću binomne slučajne varijable X s parametrima (n,θ) gdje je n = 5, a θ = 4 5. Za uvjetnu razdiobu ukupnog vremena Y koje je aktuar proveo na poslu tijekom tjedna (u satima) ako je taj tjedan morao na poslu ostati dulje x dana, vrijedi: E[Y X = x] = 4(x+10), Var[Y X = x] = x.

123 Funkcija izvodnica momenata slučajne sume X 1,X 2,... nezavisne i jednako distribuirane slučajne varijable s f.i.m. M(t) i N sl. var. s vrijednostima u {0,1,2,...}, f.i.v. G(t) nezavisna od X 1,X 2,... Tada je f.i.m. slučajne sume S = X 1 +X X N (konvencija:s = 0 za N = 0). dana s M S (t) = G(M(t)).

124 Zadatak 4.8 Broj šteta N po portfelju istovrsnih nezavisnih polica osiguranja ima Poissonovu razdiobu s očekivanjem µ > 0. Kada se šteta dogodi, njezin iznos X i (i = 1,2,...) ima gama razdiobu Γ(α, 1 λ ), α,λ > 0 i iznosi šteta su međusobno nezavisni te nezavisni od broja šteta. Označimo sa S = X X N ukupni iznos šteta u tom portfelju. Izrazite ES i VarS preko parametara µ,α,λ.

125 Zadatak 4.9 Neka su X 1,...,X n Exp(λ), λ > 0 nezavisne slučajne varijable. Dokažite: S = X X n Γ(n, 1 λ ). Zadatak 4.10 Neka su X N(µ 1,σ 2 1) i Y N(µ 2,σ 2 2) nezavisne slučajne varijable. Dokažite: X +Y N(µ 1 +µ 2,σ 2 1 +σ2 2 ).

126 Zadatak 4.11 Neka su X Γ(α, 1 λ ) i Y Γ(β, 1 λ ) nezavisne slučajne varijable, α, β, λ > 0. (a) Izračunajte [ (X ) ] 3 EX α 3 (X) = E. σ(x) (b) Odredite razdiobu od Z = X +Y.

127 5. Centralni granični teorem Neka je X 1, X 2,... niz n.j.d. s. v., i neka je µ = EX 1,0 < VarX 1 = σ 2 < + X n := X 1 +X 2 + +X n, n N. n Tada za sve a < b vrijedi ( lim P a X ) n µ n b = Φ(b) Φ(a), n + σ gdje je Φ(x) funkcija distribucije od N(0,1).

128 X n µ d n N(0,1), n σ X µ σ n = n i=1 X i nµ σ n X µ n : N(0,1) za veliko n, σ n i=1 X i nµ σ : N(0,1) za veliko n. n

129 X : N(µ, σ2 ) za veliko n, n n X i : N(nµ,nσ 2 ) za veliko n. i=1

130 5.2 Normalna aproksimacija Primjer 5.1(binomna razdioba) X b(n,θ) X d = X X n, X 1,...,X n Bernoullijeva(θ) nezavisne µ = EX i = θ σ 2 = VarX i = θ(1 θ) CGT = X : N(nθ,nθ(1 θ)) Nap. Aproksimacija je dobra ako je nθ 5 i n(1 θ) 5.

131 Primjer 5.2(Poissonova razdioba) X 1,...,X n P(λ) nezavisne CGT = µ = EX i = λ i σ 2 = VarX i = λ X X n : N(nλ,nλ) Uočimo da je X := X X n P(nλ) pa slijedi P(λ) : N(λ,λ) za velike λ > 0. Nap. Aproksimacija je dobra za λ > 5.

132 Primjer 5.2(Gama razdioba) X 1,...,X n Exp(λ) nezavisne EX i = 1 λ VarX i = 1 λ 2. Po Zadatku 4.8, X = X X n Γ(n, 1 λ ). CGT = X : N( n λ, n λ 2). Slično se pokaže (za veliki n): χ 2 (n) Γ( n,2) : N(n,2n). 2

133 5.3 Korekcija zbog neprekidnosti Kod aproksimacije diskretnih slučajnih varijabli aproksimiramo vjerojatnosti događaja {X = x}. Aproksimativna vjerojatnost se računa tako da se promatra vjerojatnost da X upadne u neki interval. Npr. za X P(λ) P(X = 5) = P(4.5 < X < 5.5) P(X 10) = P(X > 9.5). Ovakav postupak zovemo korekcija zbog neprekidnosti.

134 Zadatak 5.1 Iz portfelja istovrsnih polica na slučajan način je izabrano njih 500. Poznato je da se šteta po jednoj polici tijekom godine pojavljuje s vjerojatnosti 0.04 neovisno o ostalim policama. Po jednoj polici osiguranja moguća je najviše jedna šteta. Izračunajte (približno) vjerojatnost da na kraju godine u uzorku neće biti više od 30 šteta.

135 Outline Deskriptivna statistika Vjerojatnost Statistika

136 6. Uzorkovanje populacija je beskonačna (iako su populacije konačne, ali velike: osiguranici, police osiguranja,...) želimo zaključiti nešto o populaciji (npr. procijeniti neki parametar populacije) uzimanjem slučajnog uzorka Def. Slučajni uzorak je niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli X 1,...,X n. Tada je X = (X 1,...,X n ) slučajni vektor.

137 slučajni uzorak mjerenja (opažanja) sl. veličine X vezane uz populaciju koja se proučava svaki element populacije ima jednaku šansu da bude odabran u sl. uzorak θ parametar o kojem ovisi populacija (nepoznat) X ovisi o θ Def. Uređena n-torka x = (x 1,...,x n ) R n, koja je realizacija slučajnog uzorka X se zove opaženi uzorak.

138 Def. Statistika je funkcija slučajnog uzorka koja ne sadrži nepoznate parametre. Npr. uzoračka sredina n uzoračka varijanca X = 1 n i=1 X i S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2. i=1 Dakle, statistika je općenito oblika g(x).

139 Ako je µ = EX, onda µ ovisi o parametru populacije pa npr. 1 n (X i µ) 2 n i=1 nije statistika! Zato promatramo X. Uočimo (ako je populacijska varijanca konačna): X : N(EX, VarX )(asimptotska normalnost!) n

140 X = (X 1,...,X n ) slučajni uzorak (duljine n) iz populacije u kojoj populacijska razdioba X ima očekivanje µ i varijancu σ 2 Vrijedi E[X] = µ VarX = σ2 n E[S 2 ] = σ 2

141 Uzoračke razdiobe statistika normalnog uzorka X = (X 1,...,X n ) slučajni uzorak duljine n iz populacije s normalnom distribucijom (normalne populacije) N(µ,σ 2 )

142 Uzoračka sredina Vrijedi X N(µ, σ2 n ). Specijalno, Z = X µ σ n N(0,1). Uočimo: E[(X µ ) }{{} 2 ] = VarX = σ2 n =EX n 0

143 Uzoračka varijanca Vrijedi (n 1)S 2 σ 2 χ 2 (n 1). Uočimo: E[(S 2 σ 2 ) 2 ] = VarS 2 σ 4 = ) (n 1) 2Var((n 1)S2 σ 2 σ 4 σ4 = (n 1) 2(n 1) = n 1 0 n Pokazuje se da su sl. var. X i S 2 nezavisne.

144 Studentova razdioba Ako su Z N(0,1) i V χ 2 (k) nezavisne, onda slučajna varijabla Z V k ima Studentovu ili t-razdiobu s k stupnjeva slobode. Oznaka za ovu razdiobu je t(k).

145 Pokazuje se da je funkcija gustoće dana s: Γ( k+1 2 ) ) k+1 (1+ x2 2 kπγ( k }{{ 2 ), x R. k }}{{} 1 k 2π k e x2 2 Može se pokazati da vrijedi: t(n) d N(0,1),n.

146 Sl. var. X t(k) ima očekivanje za k > 1, a varijancu za k > 2 i tada je: EX = 0 VarX = k k 2. Specijalni slučaj k = 1. Tada X ima (jediničnu) Cauchyjevu razdiobu: gustoća je f X (x) = 1 π(1+x 2 ).

147 Ako je parametar σ poznat, onda je X µ { N(0,1) ako je X iz normalne populacije n σ : N(0,1) ako je 0 < σ 2 < Što ako je parametar σ nepoznat?

148 Tada koristimo T := X µ n, S gdje je S = S 2 uzoračka standardna devijacija. Za uzorak iz normalne populacije vrijedi X µ (n 1)S 2 n N(0,1) i σ σ 2 pa iz nezavisnosti zaključujemo da χ 2 (n 1) T = X µ σ n (n 1)S 2 σ 2 n 1 t(n 1).

149 Ako populacija nije normalna, ali ima konačnu varijancu, onda je T = X µ n : N(0,1) za velike n, S jer je po CGT T = X X n nµ σ n }{{} d N(0,1) S 2 σ 2 }{{} 1 d N(0,1)

150 Fisherova F-razdioba Ako su U χ 2 (ν 1 ) i V χ 2 (ν 2 ) nezavisne, onda slučajna varijabla F := U/ν 1 V/ν 2 ima Fisherovu F razdiobu s (ν 1,ν 2 ) stupnjeva slobode. Oznaka za ovu razdiobu je F(ν 1,ν 2 ).

151 Promotrimo dva nezavisna slučajna uzorka duljina n 1 i n 2 iz normalno distribuiranih populacija s varijancama σ 2 1 i σ2 2. Tada je S 2 i /σ2 i χ2 (n i 1) pa je S 2 1/σ 2 1 S 2 2 /σ2 2 F(n 1 1,n 2 1). (Ako populacije nisu normalne, onda ovo ne mora vrijediti.)

152 Kvantil Za sl. var. X i α (0,1) definiramo (1 α)-kvantil x α s P(X x α ) = α. Kvantili su obično tabelirani: X N(0,1) X t(k) P(X z α ) = α npr. z 0.05 = 1.64 P(X t α (k)) = α npr. t (10) = X F(n 1,n 2 ) P(X f α (n 1,n 2 )) = α npr. f 0.1 (15,5) = 2.27

153 Vrijedi: pa je X F(ν 1,ν 2 ) Y := 1 X F(ν 2,ν 1 ) α = P(X f α (ν 1,ν 2 )) = P( 1 Y f α(ν 1,ν 2 )) = P(Y odakle zaključujemo 1 f α (ν 1,ν 2 ) ) = 1 P(Y > 1 f α (ν 1,ν 2 ) ), f 1 α (ν 2,ν 1 ) = 1 f α (ν 1,ν 2 ).

154 7. Točkovne procjene procjena parametara populacijske razdiobe pomoću statistika populacijska razdioba je opisana gustoćom f(x θ) θ nepoznati parametar 2 metode: metoda momenata metoda maksimalne vjerodostojnosti

155 7.1 Metoda momenata izjednačavanje populacijskih momenata s odgovarajućim uzoračkim momentima i rješavanje sustava procjenitelj je statistika procjena ce biti realizacija procjenitelja na opaženom uzorku

156 7.1.1 Slučaj jednog parametra Populacijska razdioba ovisi samo o jednom parametru θ: gustoća je f(x θ). Ako je x opaženi uzorak, onda je procjena od θ metodom momenata rješenje jednadžbe gdje je µ(θ) = EX = x = µ(θ), x ImX xf(x θ) X diskretna xf(x θ)dx X neprekidna

157 ˆθ = ˆθ(x) procjena ˆθ = ˆθ(X) procjenitelj Primjer 7.1 Procijenimo parametar λ > 0 iz populacije s populacijskom razdiobom koja je Exp(λ). Neka je X = (X 1,...,X n ) slučajni uzorak. µ(λ) = }{{} EX = x = λ = 1 x = 1 λ Procjenitelj metodom momenata je ˆλ = ˆλ(X) = 1 X.

158 Primjer 7.2 Populacijska razdioba je U( θ, θ), θ > 0 nepoznati parametar. µ(θ) = EX = θ θ xdx 2θ = 0 parametar θ se ne pojavljuje u 1. momentu VarX = θ2 3 izjednačimo s opaženom uzoračkom varijancom: θ 2 3 = s2 = θ = s 3. Procjenitelj metodom momenata je ˆθ = ˆθ(X) = S 3, gdje je S = S 2 uzoračka standardna devijacija.

159 7.1.2 Slučaj dva parametra θ = (θ 1,θ 2 ) dvodimenzionalni populacijski parametar Izjednačavanjem prva dva momenta se dobije sustav EX = x E[X 2 ] = 1 n n x 2 i ( ili VarX = s 2 ) i=1 Primjer 7.3 N(µ,σ 2 ) populacija = EX = µ,varx = σ 2 = ˆµ = X ˆσ 2 = S 2

160 7.2 Metoda maksimalne vjerodostojnosti Jednoparametarski slučaj x = (x 1,x 2,...,x n ) opaženi uzorak iz populacije s gustoćom f(x θ). Vjerodostojnost L(θ) := n f(x i θ) i=1 Npr. L(θ) je vjerojatnost realizacije opaženog uzorka u diskretnom slučaju

161 Procjena metodom maksimalne vjerodostojnosti parametra θ je vrijednost ˆθ koja maksimizira funkciju θ L(θ), tj. L(ˆθ) = maxl(θ). θ Procjenitelj metodom maksimalne vjerodostojnosti (MLE) je statistika ˆθ(X).

162 Dovoljno je maksimizirati log-vjerodostojnost l(θ) = lnl(θ). Kandidati (u slučaju derivabilne funkcije l) za ˆθ su rješenja jednadžbe l (θ) = 0. (ako ImX ne ovisi o θ). Može se pokazati da je za funkciju g(θ) od parametra MLEĝ(θ) = g(ˆθ).

163 Def. Procjenitelj ˆθ = ˆθ(X) za parametar θ je nepristran ako je E θ [ˆθ(X)] = θ. Def. Srednjekvadratna pogreška (MSE) procjenitelja ˆθ = ˆθ(X) za parametar θ je broj MSE(ˆθ) := E θ [(ˆθ(X) θ) 2 ] Procjenitelj je konzistentan ako vrijedi MSE(ˆθ) 0, n.

164 Npr. ako postoje i konačni su µ = EX i σ 2 = VarX, onda je X je nepristrani procjenitelj za populacijsko očekivanje µ E[X] = 1 n n i=1 E[X i ] }{{} =µ = µ. Također je i konzistentan: MSE(X) = E[(X µ) 2 ] = VarX = = 1 n VarX n 2 i = σ2 0, n, n i=1

165 Zadatak 7.1 Nađite procjenitelja maksimalne vjerodostojnosti za parametar λ > 0 iz populacije s Exp(λ)-razdiobom. Zadatak 7.2 Zadana je populacija s populacijskom gustoćom f(x θ) = { 2x θ 2 0 x θ 0 inače i nepoznatim parametrom θ > 1. Nađite MLE za θ.

166 Zadatak 7.3 Populacijska gustoća je Bernoullijeva s parametrom uspjeha p (0,1). Nađite MLE za p. Kako biste procijenili parametar uspjeha binomne populacijske razdiobe s poznatim parametrom m N?

167 7.2.3 Nepotpuni uzorci nepotpuni uzorak: rezani podaci ili cenzurirani podaci ako su npr. opažene vrijednosti x 1,...,x n i još znamo da je m opaženih vrijednosti veće od y Vjerodostojnost je L(θ) := n f(x i θ) P θ (X > y) m i=1

168 Zadatak 7.4 U opaženom uzorku iz Exp(λ)-distribucije se nalaze vrijednosti x 1,...,x n i za m vrijednosti se zna da je veće od y > 0. Nađite MLE za λ.

169 Zadatak 7.5 Podaci o štetama po 4000 polica osiguranja koje su bile pod rizikom točno godinu dana su prikazani frekvencijskom tablicom: broj šteta i frekvencija f i ukupno 4000 Pretpostavimo da je broj šteta X P(λ). Odredite funkciju vjerodostojnosti te provjerite da je ˆλ = procjena maksimalne vjerodostojnosti na temelju danog opaženog uzorka.

170 8. Pouzdani intervali mjerenje točnosti (preciznosti) procjenitelja slučajni interval, ne mora biti jedinstven Def. (1 α) 100% pouzdani interval za θ je slučajni interval [ˆθ 1 (X),ˆθ 2 (X)] takav da je Uočimo: P(ˆθ 1 (X) θ ˆθ 2 (X)) = 1 α. θ je stvarna(prava) vrijednost parametra ˆθi (X) su statistike

171 8.1 Konstrukcija pouzdanih intervala Pivotna metoda daje općenit postupak konstrukcije pouzdanog intervala. Pretpostavimo da postoji pivotna veličina g(x,θ) takva da je: funkcija uzorka i parametra ima poznat zakon razdiobe θ g(x,θ) strogo monotona.

172 Odredimo g 1 g 2 takve da je P(g 1 g(x,θ) g 2 ) = 1 α. Ako je h(θ) = g(x, θ) str. rastuća, onda je g 1 g(x,θ) = h(θ) h 1 (g 1 ) θ }{{} =:ˆθ 1 (X) g 2 g(x,θ) = h(θ) h 1 (g 2 ) θ }{{} =:ˆθ 2 (X) pa vrijedi P(ˆθ 1 (X) θ ˆθ 2 (X)) = 1 α, čime smo dobili (1 α) 100% pouzdani interval [ˆθ 1 (X),ˆθ 2 (X)].

173 Primjer 8.1 (a) X sl. uzorak duljine 20 iz N(µ,10 2 ) populacije, opažena vrijednost x = Pivotna veličina: Tada: g(x,µ) = X µ 20 N(0,1) 10 g(x,µ) N(0,1) µ g(x, µ) je strogo padajuća

174 Budući da je Φ(1.96) = i Φ( 1.96) = 0.025, slijedi P( 1.96 X µ ) = = pa je 0.95 = P(X µ X ) = P(X 4.21 X +4.59) Dakle, 95% pouzdani interval za µ je [X 4.21,X +4.59]. Nap. Ovaj sl. interval je najkraće duljine (zbog oblika funkcije gustoće jedinične normalne razdiobe.

175 (b) Općenito, (1 α) 100% pouzdani interval za parametar očekivanja µ iz N(µ,σ 2 ) populacije je dan s [X z α/2 σ n,x +z α/2 σ n ], gdje je z α/2 > 0 takav da je Φ(z α/2 ) = 1 α/2.

176 Zadatak 8.1 Osiguravajuće društvo treba procjenu srednje vrijednosti šteta po policama određene klase koje su nastale tijekom prošle godine. Detaljni podaci o tim štetama sugeriraju da bi standardna devijacija mogla biti oko 450 kn. Ako se želi procijeniti srednja vrijednost iznosa šteta do na ±80 kn točnosti uz 90% pouzdanosti, kolika je veličina uzorka potrebna?

177 Pouzdani intervali za parametre normalno distribuirane populacije populacijska sredina pivotna veličina : X µ n t(n 1) S Npr. 95%-pouzdani interval za µ je [X t (n 1),X +t (n 1)] gdje je P(t(n 1) t (n 1)) =

178 populacijska varijanca pivotna veličina : (n 1)S2 σ 2 χ 2 (n 1) Tada je 95% pouzdani interval za σ 2 (n 1)S 2 (n 1)S 2 [ χ (n 1), χ (n 1)] asimetrija od χ 2 (n 1) = pouzdani interval ne mora biti najkraći

179 Pouzdani intervali za parametre diskretnih populacija vjerojatnost pokrivanja [ˆθ 1 (X), ˆθ 1 (X)] ne mora biti točno 1 α pa tražimo da bude 1 α Primjer 8.2 Pouzdani intervali za binomnu razdiobu X b(n,θ) MLE za θ je ˆθ = X n. X ne sadrži θ (nije kandidat za pivotnu veličinu) npr. ako je x opažena vrijednost, 95% pouzdani interval za θ možemo odrediti iz uvjeta P θ (X x) i P θ (X x)

180 Granice pouzdanog intervala određujemo iz ekvivalentnog uvjeta: F(x θ) i 1 F(x 1 θ) 0.025, što možemo, jer je θ F(x θ) strogo rastuća = θ 1 F(x 1 θ) strogo rastuća. pa su granice pouzd. int. [ˆθ 1,ˆθ 2 ] rješenja jednadžbi: 1 F(x 1 ˆθ 1 ) = i F(x ˆθ 2 ) = (numeričko rješavanje!).

181 Ako je n velik, onda X nθ nθ(1 θ) : N(0,1), ali i odakle iz X nθ nˆθ(1 ˆθ) : N(0,1), 1 α = P( z α/2 X nθ = P( X n z α/2 ˆθ(1 ˆθ) nˆθ(1 ˆθ) z α/2 ) θ X n n +z ˆθ(1 ˆθ) α/2 ) n

182 dobijemo granice (1 α) 100% pouzdanog intervala za θ: ˆθ(1 ˆθ±z ˆθ) α/2. n

183 Parametar Poissonove razdiobe X = (X 1,...,X n ) sl. uzorak iz P(λ)-distribuirane populacije Budući da je Y = X X n P(nλ), MLE za λ je ˆλ = Y n = X. U slučaju malog n npr. 95% pouzdani interval dobijemo rješavanjem F Y (y λ) 0.025, 1 F Y (y 1 λ) 0.025, gdje je y opažena vrijednost od Y i y (nλ) k F Y (y λ) = e nλ, y {0,1,2,...}. k! k=0

184 Može se pokazati da je λ F(y λ) strogo padajuća na (0, ) pa su granice traženog pouzdanog intervala rješenja ˆλ 1 i ˆλ 2 jednadžbi F(y ˆλ 1 ) = 0.025,1 F(y 1 ˆλ 2 ) = Za veliki n koristimo X λ X λ n : N(0,1), tj. n : N(0,1) λ ˆλ za konstrukciju 95% pouzdanog intervala za λ ˆλ ˆλ±1.96 n

185 Usporedba očekivanja normalnih populacija X 1 i X 2 uzoračke sredine dvaju nezavisnih sl. uzoraka duljine n 1 i n 2 iz dviju normalnih populacija s poznatim varijancama σ1 2 i σ2. 2 Budući da su X 1 N(µ 1, σ2 1) i X n 2 2 N(µ 2, σ2 2 1 n2) 2 nezavisne, slijedi da je X 1 X 2 N(µ 1 µ 2, σ2 1 n σ2 2 n 2 ) 2 pa je (1 α) 100% pouzdani interval za µ 1 µ 2 oblika σ1 2 X 1 X 2 ±z α/2 + σ2 2. n 1 n 2

186 Ako su populacijske varijance nepoznate, ali ako pretpostavimo da su jednake: σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2, onda je npr. 95% pouzdani interval za razliku očekivanja jednak X 1 X 2 ±t (n 1 +n 2 2) S p 1 n n 2, gdje je S 2 p := (n 1 1)S 2 1 +(n 2 1)S 2 2 n 1 +n 2 2 procjenitelj zajedničke varijance σ 2.

187 Usporedba varijanci normalnih populacija Pivotna veličina: S2 1/S 2 2 σ 2 1 /σ2 2 F(n 1 1,n 2 2) (1 α) 100% pouzdani interval za σ2 1 σ 2 2 je [ S2 1 S f α/2 (n 1 1,n 2 1),S2 1 S2 2 f α/2 (n 2 1,n 1 1)]

188 Spareni podaci Sl. uzorak iz dvodimenzionalne razdiobe vektora (X,Y): Analiziramo razlike (X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),...,(X n,y n ). D 1 := X 1 Y 1,D 2 := X 2 Y 2,...,D n := X n Y n i procjenjujemo vrijednost µ D := µ 1 µ 2.

189 Ako D = (D 1,...,D n ) shvatimo kao sl. uzorak, onda koristimo D µ D n t(n 1) S D za konstrukciju 95%-pouzdanih intervala za µ D : D±t (n 1) S D n

190 Zadarak 8.2 Za reazlizaciju x 1,x 2,...,x 16 slučajnog uzorka iz normalno distribuirane populacije vrijedi 16 i=1 x i = 15.2 i 16 i=1 x 2 i = (a) Procijenite 95% pouzdani interval za populacijsku srednju vrijednost. (b) Koliki bi uzorak trebali uzeti da uz 95% pouzdanosti populacijsku srednju vrijednost procijenimo s točnosti od ε = 0.5?

191 9. Testiranje statističkih hipoteza statistička hipoteza - pretpostavka o populacijskoj razdiobi - izjava o vrijednostima parametara nulhipoteza H 0 - aktualno znanje o vrijednostim parametara jednostavna - populacijska razdioba jednoznačno određena inače je složena alternativna hipoteza testna statistika - odluka u testu statistički test - pravilo raspodjele područja vrijednosti testne statistike na područje konzistentno s H 0 područje nekonzistentno s H 0 - kritično područje

192 razina značajnosti testa α - vjerojatnost odbacivanja H 0, ako je H 0 istinita H 0 istinita H 0 nije istinita odbacili H 0 pogreška 1. vrste nismo odbacili H 0 pogreška 2. vrste β = vjerojatnost pogreške 2. vrste

193 Primjer 9.1 X slučajni uzorak iz N(µ,σ 2 )-populacije s nepoznatim parametrima Provodimo jednostrani test H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 uz razinu značajnosti 5%.

194 Testna statistika: T = X µ 0 S H 0 t(n 1) Kritično područje: (, t 0.05 (n 1)] (H 0 odbacujemo u koristi H 1 ako opažena vrijednost t = T(x) upadne u kritično područje).

195 Za dvostrani test H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 koristimo istu statistiku T i kritično područje (, t (n 1)] [t (n 1), ).

196 p-vrijednost Koliko su jaki argumenti za odbacivanje (ne odbacijavnje) nul-hipoteze? p-vrijednost - vjerojatnost pogreške 1. vrste, ako je granica kritičnog područja opažena vrijednost statistike - najmanja značajnost uz koju bi H 0 bila odbačena u korist H 1 uz vrijednost opažene testne statistike

197 Primjer 9.2 Promatramo populaciju s razdiobom X B(200,θ) uz opaženu vrijednost x = 82. Provodimo test H 0 : µ = 0.5 H 1 : µ = 0.4 Testna statistika je X, a p-vrijednost je P(X 82 H 0 ) = P(X < 82.5 H 0 ) = P( X < ) Φ( 2.475) =

198 H 0 odbacujemo kad god je razina značajnosti barem 0.67%

199 9.3 Osnovni testovi bazirani na jednom uzorku Testovi o parametru očekivanja Zadan: sl. uzorak iz N(µ,σ 2 )-populacije Testiramo nul-hipotezu: H 0 : µ = µ 0 u odnosu na uobčajene alternative (obje jednostrane i dvostrane)

200 Imamo dvije situacije: 1. σ je poznata. Tada je testna statistika X µ 0 H n 0 N(0,1). σ 2. σ je nepoznata. U tom slučaju je testna statistika Za velike uzorke je X µ 0 H n 0 t(n 1). S X µ 0 H 0 n : N(0,1). S

201 9.3.2 Testovi o populacijskoj varijanci Zadan: sl. uzorak iz N(µ,σ 2 )-populacije Testiramo nul-hipotezu: Testna statistika je H 0 : σ 2 = σ 2 0. (n 1)S 2 σ 2 0 H 0 χ 2 (n 1).

202 9.3.3 Testovi o populacijskoj proporciji Zadan: sl. uzorak iz Bernoullijeve populacije bin(1, θ). Testiramo nul-hipotezu: Testna statistika: H 0 : θ = θ 0. X = frekvencija uspjeha u uzorku duljine n X H 0 b(n,θ 0 ). Za veliko n koristi se normalna aproksimacija: X nθ 0 nθ0 (1 θ 0 ) H 0 : N(0,1).

203 9.3.4 Testovi o parametru Poissonove populacije Zadan: sl. uzorak duljine n iz P(λ)-populacije Testiramo hul-hipotezu Testna statistika: H 0 : λ = λ 0. H Y := X 1 +X 2 + +X 0 n P(nλ0 ). Za veliko n koristi se normalna aproksimacija: Y nλ 0 nλ0 H 0 : N(0,1) ili X λ 0 λ0 n H 0 : N(0,1).

204 9.4 Osnovni testovi bazirani na dva uzorka Test o razlici populacijskih očekivanja Zadano: 2 nezavisna uzorka duljina n 1 i n 2 iz N(µ 1,σ 2 1) i N(µ 2,σ 2 2)-populacija. Testiramo nul-hipotezu: (δ 0 je zadani broj) H 0 : µ 1 µ 2 = δ 0

205 Imamo sljedeće situacije: 1. σ1 2 i σ2 2 su poznati. Tada je testna statistika Z = X 1 X 2 δ 0 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 H 0 N(0,1). 2. σ1 2 i σ2 2 su nepoznati. Ako imamo velike uzorke, Z = X 1 X 2 δ 0 S 2 1 n 1 + S2 2 n 2 H 0 : N(0,1);

206 Ako imamo male uzorke, uz pretpostavku σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2, testna statistika je T = X 1 X 2 δ 0 1 S p n n 2 H 0 t(n1 +n 2 2), gdje je Sp 2 = (n 1 1)S1 2+(n 2 1)S2 2. n 1 +n 2 2

207 9.4.2 Test o kvocijentu populacijskih varijanci Zadano: 2 nezavisna uzorka duljina n 1 i n 2 iz N(µ 1,σ 2 1 ) i N(µ 2,σ 2 2 )-populacija. Testiramo nul-hipotezu: Testna statistika: H 0 : σ 2 1 = σ 2 2. S1 2 S2 2 H 0 F(n1 1,n 2 1).

208 9.4.3 Test razlike između popul. proporcija Zadano: nezavisni uzorci velikih duljina n 1 i n 2 iz Bernoullijevih populacija. Testiramo nul-hipotezu: Testna statistika: H 0 : θ 1 = θ 2. ˆθ 1 ˆθ 2 H 0 : N(0,1), 1 ˆθ(1 ˆθ)( n n 2 ) ˆθ 1 i ˆθ 2 su relativne frekvencije uspjeha, ˆθ = n 1ˆθ 1 +n 2ˆθ2 n 1 +n 2 je procjena zajedničke proporcije

209 9.4.4 Test razlike između parametara Poissonovih razdioba Zadano: nezavisni uzorci velikih duljina n 1 i n 2 iz P(λ 1 ) i P(λ 2 ) populacija. Testiramo nul-hipotezu: Testna statistika: H 0 : λ 1 = λ 2. ˆλ 1 ˆλ 2 ˆλ( 1 n n 2 ) H 0 : N(0,1), ˆλ 1 i ˆλ 2 su MLE, ˆλ = n 1ˆλ 1 +n 2ˆλ2 n 1 +n 2 je procjena zajedničkog parametra

210 9.5 Osnovni test za sparene podatke Zadan: sl. uzorak razlika sparenih vrijednosti iz normalne populacije (X i,y i ), D i = X i Y i, µ D = µ 1 µ 2. Testiramo nul-hipotezu: Testna statistika: H 0 : µ D = δ 0. T D = D δ 0 S D n H 0 t(n 1). Za veliki uzorak iz općenite ne-normalne popul.: H 0 T D : N(0,1).

211 9.7 χ 2 -testovi za kategorijalne i diskretne numeričke varijable usporedba frekvencija i očekivanih frekvencija (koje su u skladu s H 0 ) testna statistika H = i (f u e i ) 2 χ 2 e i H 0

212 9.7.1 Test prilagodbe modela podacima objašnjava li predloženi model za populacijsku razdiobu dobro poažene podatke nepoznati parametri se procjenjuju iz uzorka MLE metodom i ima ih r varijabla koju opažamo ima k razreda = testna statistika H uz H 0 ima k r 1 stupnjeva slobode, tj. χ 2 (k r 1) razdiobu

213 Primjer 9.2 Je li igraća kocka fer? H 0 : X = broj na kocki diskr. uniformna H 1 : ne H 0 Empirijski rezulatati n = 300 bacanja: i f i

214 i f i e i (f i e i) 2 e i / / / / / /50 Σ /50 h = 272/50 = H H 0 : χ 2 (6 0 1) = χ 2 (5) pv = P(H 5.44 H 0 ) = = nema jakih argumenata za odbacivanje H 0

215 Zadatak 9.1 Podaci o štetama po 4000 polica osiguranja koje su bile pod rizikom točno godinu dana iz Zadatka 7.5 su prikazani frekvencijskom tablicom: broj šteta i frekvencija f i ukupno 4000 Pretpostavimo da je broj šteta X P(λ) i MLE procjena parametra je bila ˆλ = Provedite χ 2 -test prilagodbe Poissonovog modela navedenim

216 Kontingencijske tablice (X, Y) diskretno numeričko obilježje testiraju se nul-hipoteze: X i Y su nezavisne da su populacijske razdiobe (npr. X) homogene obzirom na klasifikaciju po drugoj komponenti očekivane frekvencije se računaju po formuli: ukupan zbroj tog retka ukupan zbroj tog stupca veličina uzorka ako je u tablici r redaka i c stupaca, onda je broj stupnjeva slobode testne statistike: rc (r 1+c 1) 1 = (r 1)(c 1)

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić (BIO)STATISTIKA seminari smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija pripremila: dr.sc. Iva Franjić Sadržaj DESKRIPTIVNA STATISTIKA 4. Grafički prikaz podataka..................... 4. Srednje vrijednosti

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači

STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači STATISTIKA KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK Primjer: svi glasači, samo neki glasači populacija uključuje sve podatke, a uzorak samo dio, slučajno izabranih kako procjeniti reprezentativni element? MJERE

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Str

Str Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 3. (vjerojatnost - zadaća)

MATEMATIKA 3. (vjerojatnost - zadaća) http://www.fsb.hr/matematika/ MATEMATIKA 3 (vjerojatnost - zadaća) Vjerojatnost. Kolika je vjerojatnost da bacanjem dviju kockica dobijemo zbroj veći od 6? 2. Strijelac A i strijelac B ga daju metu 3 puta.

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2 za kemičare Drugi kolokvij svibnja 2016.

Matematika 2 za kemičare Drugi kolokvij svibnja 2016. Napomene. Dozvoljena pomagala za rješavanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama i pribor za pisanje. Neće se bodovati nečitko pisani dijelovi testa. Napišite svoje ime,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

KONTROLA KVALITETE. Prof.dr.sc.Vedran Mudronja

KONTROLA KVALITETE. Prof.dr.sc.Vedran Mudronja KONTROLA KVALITETE Prof.dr.sc.Vedran Mudronja DEFINICIJA KVALITETE Ishikawa o kvaliteti: Kvaliteta je ekvivalent sa zadovoljstvom kupca. Kvaliteta mora biti definirana opsežno. Nije dovoljno samo reći

Διαβάστε περισσότερα

Chi-kvadrat test. Chi-kvadrat (χ2) test

Chi-kvadrat test. Chi-kvadrat (χ2) test 1 Chi-kvadrat test Chi-kvadrat (χ2) test Test za proporcije, porede se frekvence Neparametarski test Koriste se dihotomne varijable Proverava se veza između dva faktora Npr. tretmana i bolesti pola i smrtnosti

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Vjerojatnost. 1. Novčić bacamo 5 puta. Kolika je vjerojatnost da ćemo pritom ostvariti 3 puta pismo i 2 puta glava? (R: P = 5

Vjerojatnost. 1. Novčić bacamo 5 puta. Kolika je vjerojatnost da ćemo pritom ostvariti 3 puta pismo i 2 puta glava? (R: P = 5 ZADACI SA VJEŽBI IZ KOLEGIJA STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA Vjerojatnost 1. Novčić bacamo 5 puta. Kolika je vjerojatnost da ćemo pritom ostvariti 3 puta pismo i 2 puta glava? (R: P = 5 16.) 2.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

1. Pravopis/gramatika Što jest, a što nije dobro?

1. Pravopis/gramatika Što jest, a što nije dobro? Uvod u biomedicinska istraživanja Metode medicinske informatike u istraživanju Uvod u biomedicinska istraživanja Metode medicinske informatike u istraživanju Logičke zakonitosti znastvenog rada Prof. dr.

Διαβάστε περισσότερα

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Pomoću ovih metoda buduće vrijednosti prognoziraju se na temelju povijesnih podataka. Pravila po kojima se ponašaju podaci iz prošlosti primjenjuje se na buduće

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Analiza vremena Pert metodom

2.2. Analiza vremena Pert metodom 2.2. Analiza vremena Pert metodom Dok je kod CPM metode poznato samo jedno vreme trajanja aktivnosti t, kod Pert metode dane su tri procjene: a - optimistično vreme (najkraće moguće vreme u kojemu se može

Διαβάστε περισσότερα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete pojmove slučajna promenljiva, raspored verovatnoća, očekivana vrednost i funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

I INFORMATIKE STATISTIKA. Uvod u verovatnoću i statistiku Osnovni pojmovi matematičke statistike Parametri deskriptivne statistike

I INFORMATIKE STATISTIKA. Uvod u verovatnoću i statistiku Osnovni pojmovi matematičke statistike Parametri deskriptivne statistike OSNOVE SPORTSKE STATISTIKE I INFORMATIKE Predavač: Dragan Veličković, dipl.mat. MSc. profesor matematike i računarstva ECDL ovlašćeni ispitivač CS 0826J 1. Uvod STATISTIKA Uvod u verovatnoću i statistiku

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Vjerojatnost - 1. dio. Uvod u vjerojatnost. 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a) zbroj 8 b) barem jedna četvorka?

Vjerojatnost - 1. dio. Uvod u vjerojatnost. 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a) zbroj 8 b) barem jedna četvorka? Vjerojatnost - 1. dio Uvod u vjerojatnost 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a zbroj 8 b barem jedna četvorka? ( 5, 11 36 36. Ako se znade da je od 100 žarulja pet neispravnih,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 7. razred osnovne škole

MATEMATIKA 7. razred osnovne škole Matematika 7. razred osnovne škole 1 MATEMATIKA 7. razred osnovne škole KOORDINATNI SUSTAV 1. Koordinatni sustav na pravcu Koordinatni sustav na pravcu, ishodište, jedinična dužina koordinata točke. Pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivan Slapničar Marko Matić Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mat1 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2001. Sadržaj 1 Osnove matematike 3 2 Linearna algebra 4

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

1. Pravopis/gramatika 2. Logika znanstvenoga rada

1. Pravopis/gramatika 2. Logika znanstvenoga rada Logičke zakonitosti znastvenog rada Logičke zakonitosti znanstvenog rada Mladen Petrovečki Mladen Petrovečki 1. Pravopis/gramatika 2. Logika znanstvenoga rada 1. uporaba logičkih pravilai logike uopće

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

1. Pravopis/gramatika. 2. Logičko zaključivanje. Što jest, a što nije dobro? Logika znanstvenoga rada. Logika znanstvenoga rada

1. Pravopis/gramatika. 2. Logičko zaključivanje. Što jest, a što nije dobro? Logika znanstvenoga rada. Logika znanstvenoga rada Uvod u biomedicinska istraživanja 1. Pravopis/gramatika Metode medicinske informatike u istraživanju Logičke zakonitosti znanstvenog rada Prof. dr. sc. Mladen Petrovečki Doktorski studij Biomedicina akad.

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

MERE DISPERZIJE ( VARIJABILNOSTI )

MERE DISPERZIJE ( VARIJABILNOSTI ) MERE DISPERZIJE ( VARIJABILNOSTI ) 1. RASPON VARIJACIJE 2.KVARTILNO ODSTUPANJE 3.PROSEČNO ODSTUPANJE 4.STANDARDNA DEVIJACIJA 5.KORELACIJA 6.STATISTIČKI POSTUPCI PRI BAŽDARENJU MERE DISPERZIJE Pokazatelji

Διαβάστε περισσότερα

PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA

PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA OSNOVNE S. I. JEDINICE Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak metar m duljina s, d, l kilogram kg masa m sekunda s vrijeme t amper A jakost električne struje I, i kelvin K termodinamička

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Studentov t-test. razlike. t = SG X

Studentov t-test. razlike. t = SG X Studentov t-test Najčešće upotrebljavan parametrijski test značajnosti za testiranje nulte hipoteze je Studentov t-test. Koristi se za testiranje značajnosti razlika između dve aritmetičke sredine. Uslovi

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

STOHASTIČKI SISTEMI I ESTIMACIJE. Predavanje 9: Linearna parametarska estimacija

STOHASTIČKI SISTEMI I ESTIMACIJE. Predavanje 9: Linearna parametarska estimacija STOHASTIČKI SISTEMI I ESTIMACIJE Predavanje 9: Linearna parametarska estimacija Vanr.prof.Dr. Lejla Banjanović- 1 Sadržaj Linearna parametarska estimacija Metoda najmanjih kvadrata (LS metoda) primjenjena

Διαβάστε περισσότερα

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009.

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009. Osnove kvantne kemije za matematičare Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Travanj 2009. Nekoliko uvodnih zadataka Zadatak Odredite frekvenciju i valni broj elektromagnetskog zračenja valne duljine λ

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET DIPLOMSKI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET DIPLOMSKI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET DIPLOMSKI RAD PRIMJENA STATISTIČKIH METODA KOD VREDNOVANJA SUKLADNOSTI OPEČNIH ZIDNIH ELEMENATA Osijek, 07.04.2016. SAŽETAK U radu smo

Διαβάστε περισσότερα

......

...... ...... m() 1 m() E(X; ) 1 m() 1 m() E(X; ) 1 m() E 1 (X; ).1 E 1 (X; ) E 2 (X; ).5 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E 3 (X; ) 1 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) 2 E 2 (X; ) E 3 (X; ).5 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E

Διαβάστε περισσότερα