1 Osnovni pojmovi Tipovi varijabli Skale mjerenja... 3

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Osnovni pojmovi Tipovi varijabli Skale mjerenja... 3"

Transcript

1 Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi Tipovi varijabli Skale mjerenja Organizacija i prikazivanje podataka Sirovi podatci Kvalitativni podatci Frekvencijska raspodjela Relativna frekvencija i postotna raspodjela Grafički prikaz kvalitativnih podataka Kvantitativni podatci Frekvencijska raspodjela Relativna frekvencija i postotna raspodjela Grafički prikaz grupiranih podataka Histogram Poligon Oblici raspodjela Skale na osima i manipulacija Kumulativna frekvencijska raspodjela Vremenski nizovi (slijedovi) i

2 ii SADRŽAJ 3 Numeričke deskriptivne mjere Mjerenje centralne tendencije za negrupirane podatke Srednja vrijednost Medijan Mod Odnos medu mjerama centralne tendencije Mjere disperzije za negrupirane podatke Raspon Varijanca i standardna devijacija Koeficijent varijacije Terminologija - parametar i statistika Srednja vrijednost, varijanca i standardna devijacija za grupirane podatke Srednja vrijednost za grupirane podatke Varijanca i standardna devijacija za grupirane podatke Uporaba standardne devijacije Čebiševljev teorem Empiričko pravilo za zvonolike raspodjele Mjere položaja Kvartili Centili Osnovni elementi teorije vjerojatnosti Pokus, ishod i prostor dogadaja Jednostavni i složeni dogadaji Vjerojatnost; svojstva i pristupi Šanse ili izgledi Pravila prebrojavanja Uvjetna vjerojatnost Disjunktni dogadaji Nezavisni dogadaji Komplementarni (suprotni) dogadaji Presjek dogadaja Unija dogadaja Bayesovi teoremi

3 SADRŽAJ iii 5 Diskretne slučajne varijable Vjerojatnostna raspodjela diskretne slučajne varijable Funkcija distribucije Očekivanje diskretne slučajne varijable Standardna devijacija diskretne slučajne varijable Binomna vjerojatnostna raspodjela Geometrijska raspodjela Hipergeometrijska raspodjela Poissonova raspodjela Kontinuirane slučajne varijable Funkcija gustoće vjerojatnosti Funkcija distribucije Očekivanje i varijanca kontinuirane slučajne varijable Normalna raspodjela Standardna normalna raspodjela Normalna aproksimacija binomne raspodjele Uniformna vjerojatnostna raspodjela Eksponencijalna raspodjela Paretova raspodjela Populacije i uzorci Anketa Slučajni i neslučajni uzorci Jednostavni slučajni uzorak Raspodjele populacije i uzorka Populacijska raspodjela Pogreške uzorka i ostale pogreške Očekivanje i standardna devijacija od x Oblik uzorkovne raspodjele od x Populacija ima normalnu raspodjelu Populacija nema normalnu raspodjelu Primjene raspodjele od x Vjerojatnost (proporcija, udio) u populaciji i uzorku Vjerojatnostna raspodjela od ˆp

4 iv SADRŽAJ 8 Procjene očekivanja i udjela Procjenjivanje Točkovne i intervalne procjene Točkovna procjena Intervalna ocjena Procjene očekivanja - veliki uzorci Procjene očekivanja - mali uzorci t-raspodjela Interval pouzdanosti za µ pomoću t-raspodjele Intervalne procjene vjerojatnosti - veliki uzorci Odredivanje veličine uzorka Odredivanje veličine uzorka za procjenu očekivanja Odredivanje veličine uzorka za procjenu vjerojatnosti Testiranje hipoteza Motivacija i definicije Dvije pretpostavke (hipoteze) Područja odbacivanja i prihvaćanja Dva tipa pogreške Repovi testa - jednostrani i dvostrani testovi Dvostrani test Jednostrani test Testiranje hipoteza o očekivanju - veliki uzorci Testiranje hipoteza o očekivanju - mali uzorci Testiranje hipoteza o vjerojatnosti - veliki uzorci Literatura

5 Predgovor Svrha je ove knjige na sažet i pregledan način izložiti osnovne ideje i metode poslovne statistike studentima biotehničkih znanosti. Pisana je prema bilješkama s predavanja koje je prvi autor držao proteklih nekoliko godina za studente Agroekonomskog smjera na Agronomskom fakultetu u Zagrebu. Prvi dio knjige posvećen je uvodu u deskriptivnu statistiku. Naglasak je stavljen na razvijanje osnovne statističke kulture kroz razumijevanje osnovnih pojmova, prepoznavanje i klasificiranje različitih tipova podataka, te njihovo prikazivanje. Obradene su i osnovne numeričke deskriptivne mjere te ukazano na razne mogućnosti manipulacije pri prikazivanju i interpretaciji statističkih podataka. Drugi dio knjige bavi se inferencijalnom statistikom. Počinje poglavljem u kojem su neformalno izloženi osnovni elementi teorije vjerojatnosti. Sljedeća dva poglavlja obraduju najznačajnije i najzastupljenije tipove diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli. Poglavlje u kojem se obraduje problem izbora uzorka te odnosa izmedu parametara populacije i statistika uzorka ključno je za razumijevanje i pravilnu primjenu metoda izloženih u poglavljima o intervalnim procjenama i o testiranju hipoteza. Inferencijalna statistika je u biti matematička disciplina. Unatoč tome, sveli smo matematičke formalnosti u njenom izlaganju na najmanju moguću mjeru. Učinili smo to kako bi se skriptom mogli služiti i čitatelji sa srednjoškolskim predznanjem. Iako je knjiga ponajviše namijenjena studentima agronomije, nismo se posebno trudili zaodjenuti sve primjere u agronomsko ruho. Primjerima iz drugih područja željeli smo naglasiti da su koncepti izloženi u ovoj knjizi općeniti i da se na njih mogu svesti naizgled vrlo različiti problemi. Bit ćemo zahvalni svim čitateljima koji nam ukažu na propuste i pogreške u knjizi. U Zagrebu, rujna 2008 T. Došlić D. Vrgoč v

6 vi SADRŽAJ

7 Poglavlje 1 Osnovni pojmovi Statistika je skup metoda koje se koriste za prikupljanje, analizu, prikaz i interpretaciju podataka, te za donošenje odluka. Donošenje odluka uz neodredenosti. Statistika: - teorijska, matematička: razvoj, izvod i dokaz statističkih formula, teorema i metoda - primijenjena: primjena ovog gore na probleme iz života Statistika: - deskriptivna (opisna) - inferencijalna Deskriptivna (opisna) statistika je skup metoda za organiziranje, predočavanje i opis podataka koristeći tablice, grafikone i zbirne (skupovne) mjere. Inferencijalna statistika se sastoji od metoda koje na temelju uzorka pomažu u donošenju odluka ili u izvodenju zaključaka o cijeloj populaciji. Populacija (ciljna populacija) je skup svih elemenata - osoba, objekata ili stvari čija svojstva proučavamo. Uzorak je dio populacije odabran za proučavanje. P U 1

8 2 POGLAVLJE 1. OSNOVNI POJMOVI Pregled je prikupljanje informacija o elementima populacije. Za žive ljude se zove i anketa. Ako pregled dohvaća sve elemente populacije, onda je to popis ili cenzus. Uzorak je reprezentativan ako vjerno predstavlja karakteristike populacije. Uzorak je slučajan ako je izabran na takav način da je svaki element populacije imao šansu biti izabran. Izbor uzorka: - s vraćanjem - bez vraćanja Element ili član populacije ili uzorka je subjekt ili objekt o kojem se prikuplja informacija. Varijabla je svojstvo koje se proučava i koje poprima razne vrijednosti za razne elemente. Opažanje (mjerenje) je vrijednost varijable za pojedini element. Skup podataka je kolekcija opažanja jedne ili više varijabli. Primjer : Krava Količina Starost Težina Boja mlijeka Šarenka Bijela Malenka Crna Goluba Žuta Rumenka Crvena 1.1 Tipovi varijabli Varijable: - kvalitativne (kategoričke) - kvantitativne (količinske): - diskretne - kontinuirane Kvalitativna varijabla je varijabla koja ne može poprimati brojčane vrijednosti, no može biti razvrstana u dvije ili više nebrojčanih kategorija. Podatci o takvoj varijabli su kvalitativni podatci. Primjeri: Rod, boja dlake, marka traktora,... Kvantitativna varijabla je varijabla koja poprima brojčanu (numeričku) vrijednost. Podatci o takvoj varijabli su kvantitativni podatci.

9 1.2. SKALE MJERENJA 3 Kvantitativna varijabla čije vrijednosti su prebrojive, tj. koja može poprimiti strogo odvojene vrijednosti (bez meduvrijednosti) zove se diskretna. Primjeri su broj osoba, kuća, životinja,... Kvantitativna varijabla koja može (načelno) poprimiti svaku vrijednost iz nekog intervala zove se kontinuirana ili neprekidna. Primjeri su masa, temperatura, zarada Skale mjerenja 1. Nominalna skala Primjenjuje se na podatke koji su razvrstani u različite kategorije u svrhu identifikacije. Primjeri su imena, marke, bračno stanje,... Tim se kategorijama mogu pridružiti numeričke vrijednosti, no njih nema smisla usporedivati, niti s njima računati. 2. Ordinalna skala Primjenjuje se na podatke koji se razvrstavaju u kategorije koje se mogu rangirati, tj. poredati. Primjer - rangiranje izvrstan, zadovoljavajući, loš. Mogu im se pridijeliti brojčane vrijednosti koje ima smisla usporedivati, no ne i računati s njima. 3. Intervalna skala Primjenjuje se na podatke koji se mogu rangirati i za koje se može izračunati i interpretirati razlika. Primjer - temperatura, IQ, Omjerna skala Primjenjuje se na podatke koji se mogu rangirati i za koje imaju smisla sve osnovne aritmetičke operacije. Primjeri su masa, cijena, zarada,...

10 4 POGLAVLJE 1. OSNOVNI POJMOVI

11 Poglavlje 2 Organizacija i prikazivanje podataka 2.1 Sirovi podatci Podatke zabilježene onako kako su prikupljeni i prije bilo kakve obrade zovemo sirovi podatci. Primjer: Student A.B C.A A.A B.M Ž.K C.D M.O Županija rodenja Zagrebačka Koprivničko-križevačka Splitsko-dalmatinska Koprivničko-križevačka Krapinsko-zagorska Koprivničko-križevačka Ličko-senjska 2.2 Kvalitativni podatci Frekvencijska raspodjela Lista svih kategorija s brojem elemenata koji pripadaju pojedinoj kategoriji zove se frekvencijska raspodjela. Primjer od gore: Varijable - županija rodenja Kategorija - Koprivničko-križevačka Frekvencija - 3 5

12 6 POGLAVLJE 2. ORGANIZACIJA I PRIKAZIVANJE PODATAKA Kako se radi za male populacije/uzorke: Relativna frekvencija i postotna raspodjela Relativna frekvencija (učestalost) neke kategorije je omjer učestalosti te kategorije i zbroja svih frekvencija. Postotak je relativna frekvencija puta Grafički prikaz kvalitativnih podataka 6 frekvencija kategorija S O Nepoz M D F N Prikaz na prvoj slici nazivamo stupčasti grafikon (engleski bar chart), a prikaz na drugoj slici kružni grafikon (engleski pie chart).

13 2.3. KVANTITATIVNI PODATCI Kvantitativni podatci Frekvencijska raspodjela Kvantitativni podatci mogu biti grupirani ili negrupirani. Grupirati - kada, kako i zašto? Primjer: broj automobila po kućanstvu - ne grupiramo ukupni prihod kućanstva - grupiramo da ne bi sve vrijednosti imale učestalost 1 starost stanovništva - grupiramo jer nema velike razlike izmedu 44 i 45 godina Primjer : Mjesečna zarada zaposlenika u nekom poduzeću: Mjesečna zarada Broj radnika U ovom primjeru varijabla je mjesečna zarada, dok je učestalost broj radnika. Treću kategoriju ( ) nazivamo treća grupa ili treći razred, te možemo iščitati da je učestalost treće grupe 66. U našem primjeru su granice sedme grupe 7001 (donja granica) i 8000 (gornja granica). Rubovi trećeg razreda: Sredina trećeg razreda: Širina trećeg razreda: 1000 Izračunavanje širine razreda: (Ovo je približna širina). najveća vrijednost - najmanja vrijednost broj radnika Svaki zgodni broj manji ili jednak od najmanje vrijednosti može poslužiti kao polazna vrijednost raspodjele.

14 8 POGLAVLJE 2. ORGANIZACIJA I PRIKAZIVANJE PODATAKA Relativna frekvencija i postotna raspodjela Relativna frekvencija i postotak definiraju se slično kao i za kvalitativne podatke. Za grupirane podatke je relativna frekvencija razreda = frekvencija razreda zbroj svih frekvencija. Postotak razreda je njegova relativna frekvencija puta sto. Mjesečna zarada Broj radnika Relativna frekvencija Postotak Grafički prikaz grupiranih podataka Histogram Histogram može biti frekvencijski, relativno frekvencijski ili postotni. Frekvencije (relativne frekvencije, postotci) su prikazani kao visine pravokutnika čije su osnovice na horizontalnoj osi odredene granicama ili rubovima razreda. Pravokutnike crtamo jedan uz drugoga Mogli smo stvar nacrtati i s ishodištem u (0, 0).

15 2.4. OBLICI RASPODJELA Poligon Spojimo sredine (polovišta) gornjih stranica uzastopnih pravokutnika u histogramu ravnim crtama i dobijemo poligon. Crna crta na gornjoj slici. Za velike skupove podataka poligon prelazi u krivulju frekvencijske raspodjele ili u frekvencijsku krivulju. f 0 v 2.4 Oblici raspodjela Pod oblikom raspodjele podrazumijevamo oblik pripadnog histograma, poligona ili frekvencijske krivulje. Najčešći oblici su: - simetričan - ukošen (nagnut) - pravokutan ili uniforman. Simetričan oblik

16 10 POGLAVLJE 2. ORGANIZACIJA I PRIKAZIVANJE PODATAKA f f var var Kosi oblik: rep na jednu stranu je dulji od repa na drugu. f f v v Uniformni oblik f v 2.5 Skale na osima i manipulacija Primjer: Rast nezaposlenosti za vrijeme mandata neke vlade. br.nezaposlenih br.nezaposlenih i i Isti podatci prikazani su u pro-vladinim i oporbenim novinama. Koje su koje?

17 2.6. KUMULATIVNA FREKVENCIJSKA RASPODJELA Kumulativna frekvencijska raspodjela Kumulativna frekvencijska raspodjela daje ukupan broj vrijednosti koje padaju ispod gornjeg ruba (granice) svake klase. Slično se definira i kumulativna relativna frekvencija i kumulativni postotak. Primjer s poduzećem Mjesečna zarada Broj radnika kum. r. f. kum. % Histogram, poligon i krivulja kumulativne frekvencijske distribucije definiraju se na analogan način Vremenski nizovi (slijedovi) Podatci skupljeni za više elemenata u isto vrijeme ili za isto vremensko razdoblje zovu se presječni podatci (engleski cross-section data). Primjer: Broj članova poljoprivrednih zadruga u Zagrebačkoj županiji. Podatci prikupljeni za isti element i istu varijablu u različita vremena čine vremenski niz. Primjer: Broj članova jedne te iste poljoprivredne zadruge u svakoj od 30 godina (recimo 31. XII. svake godine). U vremenskom slijedu imamo dvije relevantne varijable: broj članova i vrijeme.

18 12 POGLAVLJE 2. ORGANIZACIJA I PRIKAZIVANJE PODATAKA Grafički podatci vremenskih slijedova mogu biti manipulirani kao grafički podatci drugih tipova varijabli. Za prikaz vremenskog slijeda obično rabimo po dijelovim linearnu funkciju. v 0 t Na horizontalnoj osi je vrijeme, na vertikalnoj je vrijednost varijable, a ne njena frekvencija. Primjeri: kretanje cijena dionica,...

19 Poglavlje 3 Numeričke deskriptivne mjere 3.1 Mjerenje centralne tendencije za negrupirane podatke Srednja vrijednost Srednja vrijednost, prosjek ili aritmetička sredina definira se izrazom srednja vrijednost = zbroj svih vrijednosti. broj vrijednosti Razlikujemo srednju vrijednost za populaciju i za uzorak. x µ = N x x = n za populaciju s N elemenata za uzorak s n elemenata Kada bi histogram bio materijalni objekt, srednja vrijednost bi bila apscisa njegovog težišta. Srednja vrijednost je osjetljiva na ekstremne vrijednosti - engleski termin je outlier. U standardnoj literaturi nismo našli dobar hrvatski prijevod, pa predlažemo ovdje riječ odskočnik. To ukazuje na podatak čija vrijednost odskače od ostalih. Primjer: Na otoku živi 100 seljaka s po 1 jutrom zemlje i 1 veleposjednik s 1000 jutara. Prosječna veličina posjeda na tom otoku je nešto manja od 11 13

20 14 POGLAVLJE 3. NUMERIČKE DESKRIPTIVNE MJERE jutara. (Točna vrijednost je 1100 jutara.) Agronomska savjetodavna služba 101 koja bi raspolagala samo tim podatkom mogla bi donijeti preporuke koje ne bi bile prikladne niti za posjede od 1 jutra, niti za onaj od 1000 jutara. U gornjem primjeru veleposjednik bi bio odskočnik Medijan Medijan je vrijednost srednjeg člana u skupu podataka svrstanom po uzlaznim (rastućim) vrijednostima. Ako je broj podataka neparan, imamo srednji član. Ako je broj podataka paran, izračunamo prosjek vrijednosti dva srednja člana. Medijan nije osjetljiv na odskočnike. Medijan daje položaj centra histograma, s polovicom vrijednosti lijevo i polovicom vrijenosti podataka desno od medijana Mod Mod je vrijednost koja se najčešće pojavljuje u skupu podataka. Primjer : Ocjene studenta iz UPM. Glavni problem je da raspodjela ne mora imati mod, ili da ih može imati više. Unimodalna Bimodalna Multimodalna Odnos medu mjerama centralne tendencije 1. Za simetričnu i unimodalnu raspodjelu srednja vrijednost, medijan i mod se podudaraju i padaju u centar distribucije.

21 3.2. MJERE DISPERZIJE ZA NEGRUPIRANE PODATKE 15 srednja vrijednost medijan mod 2. Za kosu unimodalnu raspodjelu medijan je uvijek izmedu srednje vrijednosti i moda. Mod vidimo gdje je, a srednja vrijednost je uvijek na onoj strani moda na kojoj je dulji rep. mod medijan srednja vrijednost srednja vrijednost medijan mod 3.2 Mjere disperzije za negrupirane podatke Raspon Raspon je razlika najveće i najmanje vrijednosti u skupu podataka. Raspon je jako osjetljiv na odskočnike. Osim toga, daje informaciju izvučenu samo iz dviju krajnjih vrijednosti Varijanca i standardna devijacija Standardna devijacija je najčešće korištena mjera disperzije. Ona kaže koliko su blizu vrijednosti skupljene oko srednje vrijednosti. Definira se kao korijen iz varijance. Razlikujemo varijancu (pa i standardnu devijaciju) za populaciju i za uzorak. (x µ) σ 2 2 = varijanca populacije N

22 16 POGLAVLJE 3. NUMERIČKE DESKRIPTIVNE MJERE (x x) s 2 2 = n 1 varijanca uzorka Standardna devijacija je korijen iz varijance: σ = σ 2, s = s 2. Varijanca se računa kao srednja vrijednost kvadrata minus kvadrat srednje vrijednosti; za uzorak je malo drukčije: x σ 2 2 x x = N ( N )2 ; s 2 2 = n 1 ( x) 2 n(n 1) Razlog za drukčiju formulu za s 2 je da varijanca uzorka podcjenjuje varijancu populacije ako se uzme n 2 u nazivniku, a ne podcjenjuje ako se uzme n(n 1). Varijanca je srednja vrijednost kvadrata odstupanja. Uzima se kvadrat jer bi se za simetrične raspodjele odstupanja poništavala. Zato su varijance i standardne devijacije uvijek nenegativne. Varijanca se izražava u kvadratima jedinica varijable - pitanje: što je to kvadratna kuna? Zato se rabi standardna devijacija Koeficijent varijacije Koeficijent varijacije izražava standardnu devijaciju kao postotak srednje vrijednosti. CV = σ 100% za populaciju µ CV = s 100% za uzorak x Terminologija - parametar i statistika σ i µ su parametri populacije; x i s su statistike uzorka. 3.3 Srednja vrijednost, varijanca i standardna devijacija za grupirane podatke Srednja vrijednost za grupirane podatke Ako su podatci grupirani, ne znamo njihove pojedinačne vrijednosti.

23 3.3. SREDNJA VRIJEDNOST, VARIJANCA I STANDARDNA DEVIJACIJA ZA GRUPIRANE PODATKE17 mf µ = za populaciju N mf x = za uzorak n Ovdje je m je sredina, a f frekvencija razreda. Zbraja se po razredima. Sada možemo izračunati srednju vrijednost plaće za poduzeće iz Mjesečna zarada Broj radnika (f) Sredina razreda (m) = x = Varijanca i standardna devijacija za grupirane podatke f(m µ σ 2 2 ) = za populaciju N f(m x) s 2 2 = n 1 za uzorak m σ 2 2 f = N m (mf N )2 ; s 2 2 f = n 1 ( mf) 2 n(n 1) Ovo gore je formula za računanje. Ako se ponovo vratimo na primjer s poduzećem dobivamo sljedeće: Mjesečna zarada Broj radnika (f) Sredina razreda (m) m x s 2 = s =

24 18 POGLAVLJE 3. NUMERIČKE DESKRIPTIVNE MJERE 3.4 Uporaba standardne devijacije Čebiševljev teorem Čebiševljev teorem: Za svaki broj k > 1 barem (1 1 k 2 ) svih vrijednosti podataka leži unutar k standardnih devijacija od srednje vrijednosti. Μ kσ Μ Μ kσ Barem 75 svih vrijednosti pada u iscrtano podrucje Μ 2Σ Μ Μ 2Σ Čebiševljev teorem vrijedi i za populacije i za uzorke Empiričko pravilo za zvonolike raspodjele Μ 3Σ Μ 2Σ Μ Σ Μ Μ Σ Μ 2Σ Μ 3Σ

25 3.5. MJERE POLOŽAJA 19 Udruženje Mensa prima članove čiji je IQ veći od 130. To znači da su za više od 3σ udaljeni (u desno) od prosjeka. (Testovi inteligencije se normiraju tako da bude µ = 100 i σ = 30.) 3.5 Mjere položaja Kvartili Kvartili su mjere koje dijele sortirane podatke u 4 jednaka dijela. Označavamo ih s Q 1, Q 2, Q 3. Drugi kvartil je medijan, prvi kvartil je medijan onih koji su manji od medijana, treći kvartil je medijan onih koji su veći od medijana. Kvartili su profinjenja medijana. Razlika trećeg i prvog kvartila je medukvartilni raspon, QR = Q 3 Q Q 1 Q 2 Q Centili Centili dijele sortirani skup podataka u 100 jednakih dijelova. Oznaka za k-ti centil je P k, k = 1, P 25 = Q 1, P 50 = Q 2 =medijan. P k = vrijednost kn 100 tog elementa u sortiranom skupu podataka. Centilni rang vrijednosti x i se računa kao omjer broja vrijednosti manjih od x i i ukupnog broja vrijednosti, pomnoženog sa 100.

26 20 POGLAVLJE 3. NUMERIČKE DESKRIPTIVNE MJERE

27 Poglavlje 4 Osnovni elementi teorije vjerojatnosti 4.1 Pokus, ishod i prostor dogadaja Pokus je proces koji rezultira jednim i samo jednim od mnogo (više) mogućih opažanja. Ta opažanja zovemo ishodima pokusa, ili dogadajima. Prostor (skup) svih mogućih ishoda pokusa zovemo prostor dogadaja. Primjer: Primjer: Primjer: Pokus - bacanje novčića Ishod - kuna Prostor dogadaja ={kuna, slavuj} Pokus - odredivanje mjeseca rodenja Ishod - listopad Prostor dogadaja ={Si, Ve, Ož, Tr, Sv, Lip, Ko, Ru, Lis, St, Pr} Pokus - spol sudionika dvočlanog predstavništva Ishod - MŽ Prostor dogadaja ={ŽŽ, ŽM, MŽ, MM} 4.2 Jednostavni i složeni dogadaji Jednostavni dogadaj se sastoji od jednog i samo jednog ishoda slučajnog pokusa. Složeni dogadaj je kolekcija od više ishoda slučajnog pokusa. Primjer: Bacanje kocke. Pala je šestica je jednostavan dogadaj. Pao je paran broj je složeni dogadaj. Drugi složeni dogadaj je Pao je broj manji od 4. 21

28 22 POGLAVLJE 4. OSNOVNI ELEMENTI TEORIJE VJEROJATNOSTI 4.3 Vjerojatnost; svojstva i pristupi Vjerojatnost je numerička mjera pojavljivosti pojedinog dogadaja. Promatramo slučajni pokus koji ima elementarne ishode E i, i = 1,..., n. Vrijedi: 0 P (E i ) 1 n Nadalje, P (E i ) = 1. i=1 Za vjerojatnost dogadaja vrijedi 0 P ( ) 1. Primjer: Bacanje kocke, bacanje novčića,... Definicija vjerojatnosti je zadovoljavajuće formalno riješena tek 1930-ih godina - Kolmogorov. Klasična definicija vjerojatnosti: (geometrijska) P (E i ) = 1 n P ( ) = broj ishoda povoljnih za. broj mogućih ishoda Primjer: Bacanje kocke, P(1)=P(2)=... = P(6)= 1 6 P(paran broj) = 1 2. Primjer: Vjerojatnost padanja strelice pikada ispod obiju dijagonala kvadrata. P ( ) = 1 4. P ( ) = mjera područja povoljnog za dogadaj. mjera cijelog područja Relativna frekvencija kao aproksimacija P ( ) = f relativna frekvencija je aproksimacija vjerojatnosti. n Zakon velikih brojeva: Ponavljanjem pokusa vjerojatnost iz relativne frekvencije teži prema teorijskoj (pravoj) vjerojatnosti. Subjektivna vjerojatnost Vjerojatnost pridjeljena dogadaju na temelju subjektivne procjene, iskustva, informacija, vjerovanja. Mislim da je vjerojatnost da student agroekonomije položi statistiku na prvom roku jednaka 0.9.

29 4.4. ŠANSE ILI IZGLEDI Šanse ili izgledi Pokušaj prijevoda engleskog termina odds. Šanse su jedan naprama milijun. Tisuću prema 1, itd. 4.5 Pravila prebrojavanja Ako se pokus sastoji iz k koraka, i ako je broj mogućih ishoda u i-tom koraku k jednak n i, onda je ukupni broj mogućih ishoda jednak n = n i. Primjer: Biramo izmedu 2 juhe, 3 glavna jela i 4 deserta. Koliko različitih jelovnika možemo složiti? = 24. Primjer: Na listiću sportske prognoze je 13 parova. Za svaki par postoje tri moguća ishoda. Na koliko se različitih načina može popuniti listić? = Vjerojatnost dobitne kombinacije je = U slučaju da imamo n različitih objekata možemo ih poredati (razmjestiti) na n! = n različitih načina. Primjer: Koja je vjerojatnost da se slučajnim izvlačenjem iz šešira u kojem su papirići sa slovima A, B, E, G, R i Z dobije riječ ZAGREB? P(ZAGREB)= Iz n-članog skupa možemo izabrati k-člani podskup na načina. i=1 ( ) n k = n! k!(n k)! Ako je bitan i poredak, onda se to može na n (n 1),... (n k + 1) načina. Primjer: Obično izaslanstvo, izaslanstvo sa strukturom. 4.6 Uvjetna vjerojatnost Primjer: Imamo uzorak od 100 ljudi, 60 muških i 40 ženskih. Od njih se traži odgovor na pitanje vole li ili ne vole odredeni proizvod. Tablica s rezultatima. P V N S M Ž

30 24 POGLAVLJE 4. OSNOVNI ELEMENTI TEORIJE VJEROJATNOSTI Uvjetna vjerojatnost dogadaja A uz uvjet B je vjerojatnost da se dogodi A ako se već dogodio B. Oznaka P (A B). Iz tablice gore imamo: P (V ) = = 0.19 P (V M) = = P (Ž) = 100 = P (Ž N) = 81 = 4 9 = Disjunktni dogadaji Dogadaji su disjunktni (uzajamno se isključuju) ako ne mogu nastupiti istovremeno. Primjer: Bacanje kocke, A=paran broj, B=neparan broj. } A = slučajno odabrani student je muško Primjer : isključuju se B = slučajno odabrani student je žensko Primjer: 30 studenata, 25 uči engleski, 12 uči njemački, 9 ih uči i engleski i njemački. Dogadaj A = student uči engleski i dogadaj B = student uči njemački nisu uzajmno isključivi; postoje studenti koji uče i engleski i njemački. 4.8 Nezavisni dogadaji Dogadaji A i B su nezavisni ako jedan ne utječe na drugog, tj. P (A B) = P (A), ili P (B A) = P (B). Ako nisu nezavisni dogadaji su zavisni. Iz tablice kod uvjetne vjerojatnosti vidimo da dogadaji Ž i V nisu nezavisni. 4 Naime, P(Ž)=0.4, P (Ž V )= 19 = Važne napomene: 1. Dogadaji s pozitivnim vjerojatnostima su ili disjunktni ili nezavisni: a) Disjunktni dogadaji su uvijek zavisni. b) Nezavisni dogadaji nisu nikad disjunktni. 2. Zavisni dogadaji mogu i ne moraju biti disjunktni. 4.9 Komplementarni (suprotni) dogadaji Suprotni dogadaj dogadaja A uključuje sve ishode koji nisu u A. Oznaka A.

31 4.10. PRESJEK DOGADAJA 25 P (A) = 1 P (A) Primjer: A = slučajno odabrani nazočni student je muško. Onda je A = slučajno odabrani nazočni student je žensko Presjek dogadaja Dogadaj A B se sastoji od svih elementarnih dogadaja koji su i u A i u B. Primjer: Bacanje kocke. A = paran broj, B = broj manji od 5. A B = {2, 4}. P (A B) = P (A)P (B A). Za nezavisne dogadaje je P (B A) = P (B), pa je Odavde, P (A B) = P (A B) = P (A)P (B). Za disjunktne dogadaje je P (A B) = 0. P (A B), uz P (A) 0. P (A) 4.11 Unija dogadaja Dogadaj A B uključuje sve ishode koji su u barem jednom od dogadaja A i B. Primjer s jezicima: P (A B) = Za disjunktne dogadaje je P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) =. 30 P (A B) = P (A) + P (B) 4.12 Bayesovi teoremi P (A 1 B) = P (A 1 B) = P (A 1 )P (B A 1 ) P (A 1 )P (B A 1 ) + P (A 2 )P (B A 2 ). P (A 1 B) P (A 1 B) + P (A 2 B).

32 26 POGLAVLJE 4. OSNOVNI ELEMENTI TEORIJE VJEROJATNOSTI

33 Poglavlje 5 Diskretne slučajne varijable Slučajna varijabla je varijabla čija je vrijednost odredena ishodom slučajnog pokusa. Slučajne varijable: - Diskretne - broj ovog ili onog: automobila, ljudi,... - Kontinuirane - količina (mjera) vode, vremena, Vjerojatnostna raspodjela diskretne slučajne varijable Vjerojatnostna rapodjela diskretne slučajne varijable je lista svih mogućih vrijednosti koje ta varijabla može poprimiti s pripadajućim vjerojatnostima. Primjer: U mjestu s 2000 obitelji ispitano je koliko koja obitelj posjeduje mobitela. Frekvencijska raspodjela je dana sljedećom tablicom. Broj mobitela Frekvencija Relativna frekvencija Nasumično biranje jedne od 2000 obitelji iz tog mjesta je slučajni pokus. Vjerojatnost da slučajna varijabla broj mobitela u obitelji poprimi vrijednost 0 i 4 je dana relativnom frekvencijom. 27

34 28 POGLAVLJE 5. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE Broj mobitela Vjerojatnost Dakle vjerojatnostna raspodjela je pravilo koje svakoj vrijednosti koju slučajna varijabla može poprimati pridružuje vjerojatnost da se ta vrijednost i poprimi. Imamo tablicu. Označimo li vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost x i s p i, onda je svaki redak u toj tablici oblika x i, p i. Neka slučajna varijabla X može poprimiti n vrijednosti, x 1, x 2,..., x n. Tada vrijedi: P (X = x i ) = p i. 0 p i 1, i = 1,..., n n p i = 1 i=1 U našem primjeru P (X = 1) = Iz vjerojatnostne raspodjele se mogu očitati i druge informacije. Zanima li nas vjerojatnost da slučajno odabrana obitelj posjeduje barem dva mobitela, pišemo to kao P (X 2). Iz raspodjele vidimo da je to jednako P (X 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = = U općem slučaju vjerojatnostna raspodjela može biti zadana tablicom, grafom ili formulom. To je stoga što je vjerojatnostna raspodjela funkcija koja vrijednostima slučajne varijable pridružuje njihove vjerojatnosti. 5.2 Funkcija distribucije Vidjeli smo na primjeru da se vjerojatnostna raspodjela može izvesti iz tablice relativnih frekvencija. Alternativna karakterizacija diskretne slučajne varijable može se dati pomoću tablice kumulativnih relativnih frekvencija. Na taj način dobivamo funkciju distribucije. Funkcija distribucije F diskretne slučajne varijable X dana je formulom F (a) = P (x a). Za sve a vrijedi 0 F (a) 1. Funkcija F je neopadajuća. Računa se iz vjerojatnostne raspodjele po formuli F (a) = x i a p i. Za primjer s mobitelima imamo tablicu

35 5.3. OČEKIVANJE DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE 29 x i p i F (x i ) Za razliku od vjerojatnostne raspodjele koja je definirana samo za vrijednosti a = x i, funkcija distribucije je definirana na cijelom skupu R. Izmedu vrijednosti x i i x i+1 funkcija f je konstantna i ima vrijednost F (x i ). Za vrijednosti x i funkcija distribucije ima skok koji iznosi p i. Lijevo od najmanjeg x i funkcija distribucije je jednaka nuli, a desno od najvećeg x i ima vrijednost 1. Funkcija distribucije za primjer s mobitelima je prikazana na slici F(x) Ako je vjerojatnostna raspodjela diskretne slučajne varijable dana formulom,onda se i za funkciju distribucije te slučajne varijable često može naći formula kojom je zadana. 5.3 Očekivanje diskretne slučajne varijable Očekivanje disketne slučajne varijable je očekivanje njene vjerojatnostne raspodjele. Za slučajnu varijablu X pišemo E(X) i govorimo o očekivanoj vrijednosti. To je vrijednost koju dobijemo uprosječavanjem vrijednosti varijable opaženih u puno ponavljanja pokusa. U primjeru s mobitelima dobije se da je očekivana vrijednost broja mobitela po obitelji jednaka Što to znači? Sigurno ne da obitelji posjeduju sedmine mobitela. To znači da razne obitelji posjeduju razni broj mobitela, neke više, neke manje od očekivanog broja.

36 30 POGLAVLJE 5. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE µ = E(X) = x i p i - formula za računanje očekivane vrijednosti. U primjeru s mobitelima, E(X) = = Standardna devijacija diskretne slučajne varijable Standardna devijacija mjeri raspršenje vjerojatnostne raspodjele. Označavamo ju sa σ. Mala vrijednost σ znači da je većina vrijednosti slučajne varijable grupirana oko očekivanja. Velika vrijednost σ znači da su vrijednosti razvučene preko većeg raspona. Osnovna formula je: σ = [(xi µ) 2 p i ] = očekivanje kvadrata odstupanja = prosječno kvadratno odstupanje Praktičnija za računanje je formula σ = x 2 i p i µ 2 = očekivanje kvadrata - kvadrat očekivanja. Varijanca σ 2 diskretne slučajne varijable je kvadrat standardne devijacije. I ovdje vrijedi Čebiševljev teorem. 5.5 Binomna vjerojatnostna raspodjela Binomna raspodjela se primjenjuje za opis situacija u kojima se pokus s dva moguća ishoda ponavlja više puta. Binomni pokus: 1. Pokus se ponavlja n puta u identičnim uvjetima. 2. Svaki pokus ima točno 2 moguća ishoda (uspjeh ili neuspjeh). 3. Vjerojatnosti uspjeha (p) i neuspjeha (q) su konstantne. 4. Pokusi su nezavisni (ishod jednog ne utječe na druge). Uspjeh i neuspjeh su termini koji ne znače da je jedan od ishoda nužno poželjan, a drugi nepoželjan. Primjeri: Bacanje novčića, ponovljeno 10 puta. Definicija: Slučajna varijabla koja predstavlja broj uspjeha u ponavljanju binomnog pokusa se zove binomna slučajna varijabla ili jednostavno binomna

37 5.5. BINOMNA VJEROJATNOSTNA RASPODJELA 31 varijabla. Za n ponavljanja pokusa i vjerojatnost uspjeha p, kažemo da je slučajna varijabla X binomna slučajna varijabla s parametrima n i p i pišemo X B(n, p). Vjerojatnost da od n ponavljanja k puta ishod bude uspjeh dana je binomnom formulom P (X = k) = ( ) n p k q n k k Ovdje je q = 1 p. ( ) n Binomni koeficijent broji načine kako je k uspješnih pokusa rasporedeno u k ukupno n ponavljanja. Množenje vjerojatnosti je posljedica nezavisnosti (pretpostavljene u uvjetima) dogadaja, tj. ishoda. Oblik binomne distribucije je simetričan za p = q = 0.5. Za p < 0.5 raspodjela je ukošena u desno, a za p > 0.5 raspodjela je ukošena u lijevo broj pojavljivanja kune u 4 broj pojavljivanja kune u 5 bacanja simetričnog novčića bacanja simetričnog novčića Digresija: Koliko puta treba ponoviti pokus da vjerojatnost uspjeha bude barem p 0? Očekivanje i standardna devijacija binomne raspodjele dani su formulama µ = np σ = npq

38 32 POGLAVLJE 5. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE Primjer: Vjerojatnost da jaje nije mućak je Koliki je očekivani broj pilića koji će se izleći u inkubatoru od 400 jaja? Kolika je standardna devijacija? µ = = 380. σ = = = = Geometrijska raspodjela Promatramo binomni pokus s vjerojatnošću uspjeha p. Neka je X slučajna varijabla koja broji broj pokusa do prvog uspjeha. Kakva je njena raspodjela? Iz pretpostavljene nezavisnosti pokusa slijedi da je vjerojatnost prvog uspjeha u k-tom izvodenju pokusa dana formulom P (X = k) = (1 p) k 1 p. To je vjerojatnost da prvih k 1 izvodenja pokusa bude neuspješno i da k-to izvodenje bude uspješno. Za takvu slučajnu varijablu X kažemo da ima geometrijsku raspodjelu s parametrom p i pišemo X G(p). Očekivanje i standardna devijacija geometrijske slučajne varijable X G(p) dani su formulama E(X) = 1 p, 1 p σ(x) =. p Geometrijska slučajna varijabla ima svojstvo P (X > k) = (1 p) k. Odatle slijedi da je njena funkcija distribucije zadana s F (a) = 1 (1 p) a, pri čemu a označava najveći cijeli broj manji ili jednak od a. Primjer Kolika je vjerojatnost da će cilj biti pogoden iz drugog pokušaja ako je vjerojatnost pogadanja cilja iz jednog pokušaja p = 0.3? Kolika je vjerojatnost da broj pokušaja ne će biti veci od 3? 5.7 Hipergeometrijska raspodjela U slučajevima kada se iz konačne populacije bira uzorak bez vraćanja više ne vrijedi zahtjev nezavisnosti pokusa. Ako iz košare u kojoj je 20 ispravnih i 5 trulih jabuka izvučemo jednu, pa ju ili pojedemo ili bacimo, vjerojatnost izvlačenja trule jabuke u drugom pokušaju nije ista. U takvim se situacijama koristi hipergeometrijska raspodjela. P (X = k) = ( )( ) r N r k n k ( ) N n N - broj elemenata u populaciji n - broj elemenata u uzorku r - broj uspjeha u populaciji k - broj uspjeha u uzorku

39 5.8. POISSONOVA RASPODJELA 33 Očekivanje i varijanca dani su formulama µ = n r N, σ2 = N n N 1 µ r N (1 r N ). Primjer Iz kokošinjca sa 7 bijelih i 3 crne kokoši lisica odnese 4. vjerojatnost da je odnijela 2 crne kokoši? Najviše 2 crne? Kolika je 5.8 Poissonova raspodjela Znamo da se stroj kvari u prosjeku tri puta mjesečno. Želimo naći vjerojatnost da će se pokvariti točno dvaput tijekom sljedećeg mjeseca. Slično, znamo da u prodavaonicu dolazi u prosjeku 7 ljudi dnevno reklamirati kupljenu robu. Kolika je vjerojatnost da će ih sutra doći 5? U ovakvim situacijama primjenjujemo Poissonovu raspodjelu. Uvjeti za primjenu Poissonove raspodjele: 1. X mora biti slučajna varijabla. 2. Dešavanja su slučajna. 3. Dešavanja su nezavisna. Stvari se uvijek gledaju u intervalima. Intervali mogu biti vremenski (broj pacijenata u satu), prostorni (broj prometnih nezgoda na odredenoj cestovnoj dionici) ili volumni (broj neispravnih proizvoda medu idućih 100 koji izlaze iz stroja). Prosječan broj dešavanja u promatranom intervalu je poznat. Ta se veličina označava s λ. P (X = k) = λk e λ k! - vjerojatnost da se u promatranom intervalu desilo k dogadaja. Očekivanje i varijanca Poissonove raspodjele su jednaki λ. Standardna devijacija je jednaka λ. Kao i za druge raspodjele, može se računati P (X < k), P (X k), P (k 1 X k 2 ) i slično. Intervali za λ i X moraju biti jednaki. Ako nisu, moramo redefinirati λ. Primjer : Poznato je da, pri telefonskoj anketi, u prosjeku 2 od 10 nazvanih odbija odgovoriti na upit. Kolika je vjerojatnost da če od 20 nazvanih osoba njih 5 odbiti odgovoriti?

40 34 POGLAVLJE 5. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE Želimo naći P (X = 5). Znamo da je λ = 4, jer ako od 10 nazvanih u prosjeku 2 ne će odgovoriti, onda od 20 nazvanih u prosjeku 4 ne će odgovoriti. Dakle je λ = 4. Uvrštavanjem u formulu dobivamo P (X = 5) = 45 e = = 5! Jedina informacija koja ulazi u račun je λ; to je jedini parametar raspodjele. Treba provjeriti uvjete primjenjivosti. Npr., znamo da na aerodrom slijeće u prosjeku 120 aviona dnevno, no njihovi dolasci nisu slučajni, već su po redu letenja. Može se desiti da ih je utorkom uvijek 75, a petkom 180, pa ne možemo primijeniti Poissonovu raspodjelu. Primjer: Prodavač proda u prosjeku 0.9 automobila dnevno. Treba napisati vjerojatnostnu raspodjelu za broj prodanih automobila u danu, ako su zadovoljeni uvjeti Poissonove raspodjele. X P (X = k)

41 Poglavlje 6 Kontinuirane slučajne varijable 6.1 Funkcija gustoće vjerojatnosti Kod kontinuirane slučajne varijable ne govori se o vjerojatnosti da ona poprimi točno odredenu vrijednost. Govori se o vjerojatnosti da ona poprimi vijednost izmedu odredenih granica. Možemo reći da za kontinuiranu varijablu izraz P (X = x 0 ) nema puno smisla. Vjerojatnostna raspodjela kontinuirane slučajne varijable ima sljedeća svojstva: 1. Vjerojatnost da X poprimi vrijednost u bilo kojem intervalu je izmedu 0 i Ukupna vjerojatnost svih (disjunktnih) intervala u kojima se može naći X je jednaka 1. Krivulja vjerojatnostne raspodjele kontinuirane slučajne varijable zove se još i funkcija gustoće vjerojatnosti. Φ x P 1 x 1 x 2 0 P (x 1 X x 2 ) 1 P (x 1 < X < x 2 ) P (x 1 X x 2 ) = x2 x 1 ϕ(x)dx Za funkciju gustoće ϕ(x) zadanu na intervalu a, b, svojstvo 2 pišemo kao b a ϕ(x)dx = 1. 35

42 36 POGLAVLJE 6. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE 6.2 Funkcija distribucije Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable s funkcijom gustoće ϕ(x) definira se formulom F (x) = x a ϕ(t)dt. Funkcija F (x) je rastuća funkcija s vrijednostima u intervalu [0, 1]. Ako znamo F (x), funkciju gustoće vjerojatnosti dobijemo deriviranjem, ϕ(x) = F (x). Nadalje, P (x 1 X x 2 ) = F (x 2 ) F (x 1 ). 6.3 Očekivanje i varijanca kontinuirane slučajne varijable Za kontinuiranu slučajnu varijablu x s funkcijom gustoće ϕ(x) definiramo njeno očekivanje µ i varijancu formulama µ = b a xϕ(x)dx i σ 2 = b a (x µ) 2 ϕ(x)dx. Integrira se po cijelom intervalu a, b na kojem je zadana funkcija gustoće ϕ. Taj interval može biti i cijeli R, tj.,. Standardna devijacija σ definira se kao korijen iz varijance. 6.4 Normalna raspodjela Normalna raspodjela je jedna od najvažnijih i najčešćih vjerojatnostnih raspodjela koje kontinuirana slučajna varijabla može imati. Po njoj se ravnaju mnoge slučajne varijable u prirodi i društvu: visina i težina ljudi, rezultati na ispitima, životni vijek uredaja, količina mlijeka u boci, vrijeme obavljanja nekog posla, itd. Slučajna varijabla koja se ravna po normalnoj vjerojatnostnoj raspodjeli se zove normalna slučajna varijabla. Svojstva normalne raspodjela: 1. Karakterizirana je očekivanjem (srednjom vrijednošću) µ i standardnom devijacijom σ. 2. Krivulja je zvonolika i - površina pod njom je 1; - simetrična je oko µ; - repovi krivulje odlaze u beskonačnost.

43 6.4. NORMALNA RASPODJELA Veličine µ i σ su parametri normalne raspodjele X N(µ, σ) Ne postoji samo jedna normalna raspodjela, postoji mnoštvo normalnih raspodjela. Vrijednost µ odreduje apscisu maksimuma krivulje. X 1 X 2 Μ 1 Μ 2 µ 2 > µ 1 Vrijedost σ odreduje (mjeri) razmazanost krivulje. X 1 X 2 Μ X 3 σ 3 > σ 2 > σ Standardna normalna raspodjela Normalna raspodjela s parametrima µ = 0 i σ = 1 se zove standardna normaln raspodjela.

44 38 POGLAVLJE 6. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE X N(0, 1). Funkcija gustoće standardne normalne raspodjele dana je formulom f(x) = 1 2π e 1 2 x2. Funkcija distribucije standardne normalne varijable nije elementarna funkcija i ne može se izraziti jednostavnom formulom. Zove se integral vjerojatnosti i obično označava s Φ(x). Njene su vrijednosti tabelirane u statističkim tablicama Za normalnu raspodjelu s parametrima µ i σ funkcija gustoće je f(x) = 1 1 σ 2π e 2 x µ 2 σ Vrijednosti na osi apscisa standardne normalne raspodjele se obično označavaju sa z. Izražavaju se u jedinicama standardnih devijacija. Izraz z = 2 označava da je točka na osi apscise za 2 standardne devijacije desno, tj. veća, od srednje vrijednosti P 1 z 0 P 0 z P 1 z

45 6.4. NORMALNA RASPODJELA P 2 z 0 P 0 z P 2 z P 3 z 0 P 0 z P 3 z Standardna normalna distribucija je tabelirana u statističkim tablicama. Njima se treba znati služiti. Sve normalne raspodjele mogu se svesti na standardnu raspodjelu. Postupak se zove standardizacija. X N(µ, σ) N(0, 1) z = x µ σ x = µ + σz Primjer: X N(50, 10) x = 35 = z = x = 55 = z = = 1.5 = 0.5 Svi problemi s X N(µ, σ) se prvo svode na Z N(0, 1), a onda se primjenjuju tablice. Problem: - iz poznatih x ili z vrijednosti odrediti površine pod krivuljom - iz poznatih površina pod krivuljom odrediti x ili z vrijednosti x z Tablice z x

46 40 POGLAVLJE 6. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE Normalna aproksimacija binomne raspodjele ( ) n P (X = k) = p k (1 p) n k k Za velike n formule vezane uz B(n, p) postaju nespretne. Ako je n velik i p 0.5, onda je binomna raspodjela simetrična i liči na normalnu. U tim je slučajevima aproksimacija dobivena korištenjem normalne umjesto binomne raspodjele dobra. To vrijedi i za vjerojatnosti uspjeha koje nisu jako blizu 0.5 ako su i np i nq dovoljno veliki. Empiričko pravilo: Normalna raspodjela je dobra aproksimacija binarne ako je np > 5 i nq > 5. Postupak: 1. Izračunati µ i σ za binomnu distribuciju. 2. Pretvoriti diskretnu slučajnu varijablu u kontinuiranu - napraviti korekciju zbog neprekidnosti. 3. Izračunati vjerojatnost koristeći normalnu raspodjelu (standardizacija i sve što već treba). Primjer : n = 50, p = 0.237, X B(n, p), P (7 n 9). np > 5, nq > 5 možemo zamijeniti B(n, p) s N(µ, σ) µ = np = σ = = P (7 n 9) P (6.5 X 9.5) P ( 1.78 Z 0.78) P (7 X 9) =

47 6.5. UNIFORMNA VJEROJATNOSTNA RASPODJELA Uniformna vjerojatnostna raspodjela Slučajna varijabla koja se ravna po uniformnoj raspodjeli zove se uniformna slučajna varijabla. Za uniformnu slučajnu varijablu na intervalu [a, b] funkcija gustoće vjerojatnosti dana je formulom f(x) = 1. Funkcija distribucije F (x) je 0 za x < a, 1 za b a x > b i F (x) = x a b a za a x b. 1 b a Primjer: Raspodjela oštećenja na komadu autoceste. Vrijedi: Temeljna formula je µ = a + b (b a) 2, σ = 2 12 P (x x d) = d c b a. Ona odražava temeljno svojstvo, a to je da vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost u nekom intervalu ne ovisi o položaju tog intervala, već samo o njegovoj duljini. 6.6 Eksponencijalna raspodjela Eksponencijalna raspodjela je bliska Poissonovoj raspodjeli. Kod Poissonove raspodjele je slučajna varijabla poprimala vrijednosti koje su brojile dešavanje odredenog dogadaja u intervalu, vremenskom, prostornom ili volumnom. Kod eksponencijalne raspodjele gledamo vrijeme izmedu dvaju uzastopnih dešavanja dogadaja.

48 42 POGLAVLJE 6. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE Eksponencijalna raspodjela ima samo jedan parametar, λ, čije je značenje isto kao kod Poissonove raspodjele - prosječan broj pojavljivanja dogadaja u jedinici vremena. Funkcija gustoće vjerojatnosti dana je formulom f(x) = λe λx. 3 Λ 3 2 Λ 2 1 Λ 1 Zanima nas P (X a), P (X a), P (a X b). P x a P (X a) = a λe λx dx = e λx a. P (X a) = e λa, λ > 0, a > 0 Odatle i iz činjenice da je ukupna površina ispod krivulje jednaka 1 slijedi P (X a) = 1 e λa.

49 6.7. PARETOVA RASPODJELA 43 Dakle je funkcija distribucije F (x) dana formulom F (x) = 1 e λx. Odatle i iz aditivnosti vjerojatnosti slijedi i formula P (a X b) = e λa e λb. Eksponencijalnu raspodjelu možemo smatrati i graničnim slučajem geometrijske raspdjele za n. Za slučajnu varijablu X koja se ravna po eksponencijalnoj raspodjeli s parametrom λ imamo E(X) = σ(x) = 1 λ. Primjer : Službenik na šalteru posluži u prosjeku 30 stranaka na sat. Ako je vrijeme potrebno za poslužiti jednu stranku slučajna varijabla s eksponencijalnom raspodjelom, koja je vjerojatnost da će iduća stranka potrošiti više od 5 minuta? A da će biti poslužena u manje od dvije? Jedinica vremena s kojom radimo je minuta. Treba preračunati λ u minute. Dobije se λ = 30 = 0.5. Sad je 60 P (X 5) = e = e 2.5 = P (X 2) = 1 e = 1 e 1 = Paretova raspodjela Krajem XIX stoljeća talijanski ekonomist Vilfredo Pareto uočio je da se broj ljudi čiji su prihodi veći od X može dobro aproksimirati funkcijom Cx α za neke pozitivne konstante C i α. Te se konstante razlikuju od države do države, no α je obično oko 1.5. Po sličnim se zakonima ravnaju i populacije gradova, veličine tvrtki, isplate osiguranja, magnitude potresa i mnoge druge pojave. Promatramo li te veličine kao slučajne varijable, njihova bi funkcija gustoće bila oblika F (x) = α x za x 1. Takve slučajne varijable imaju Paretovu α raspodjelu s parametrom α. Pišemo X P ar(α). Očekivanje i standardna devijacija Paretove slučajne varijable s parametrom α dani su, za α > 1, formulama E(X) = α α 1, σ(x) = 1 α α 1 α 2. Za 0 < x 1, očekivanje i standardna devijacija Paretove slučajne varijable s takvim parametrom su beskonačno veliki. To znači da za takve slučajne varijable ne postoje tipične vrijednosti. Funkcija distribucije dana je formulom F (x) = 1 x α za x 1.

50 44 POGLAVLJE 6. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE

51 Poglavlje 7 Populacije i uzorci 7.1 Anketa Anketa (proba, pregled uzorka) je tehnika prikupljanja informacija koja uključuje samo dio populacije. Kad je riječ o ljudskoj populaciji govorimo o anketi. Anketa - osobno - najkvalitetnije, najskuplje, najviše odgovora i najdugoročniji utjecaj na ispitanika. - telefon - pristojan odaziv, nije jako skupo ni dugotrajno. Ljudi ne vole biti gnjavljeni kod kuće, a neki i nemaju telefon. - pošta - mali odaziv, ali isto jeftino. Najsloženiji dio je priprema upitnika. Formulacija pitanja može znatno utjecati na odgovore. 7.2 Slučajni i neslučajni uzorci Uzorak je slučajan ako svaki član populacije ima neke izglede biti izabran u uzorak. U neslučajnom uzorku neki članovi populacije nemaju nikakve izglede biti izabrani. Za slučajnost uzorka nije nužno da svi članovi imaju jednake izglede za uključivanje u uzorak. Izvlačenje iz šešira, loto, slučajni brojevi,... daju slučajne uzorke. Slučajni uzorak je obično i reprezentativan. Pogodnostni uzorak uključuje najdostupnije članove populacije (u danom trenutku ili na danom mjestu). Prvi koji dodu pod ruku. Ekspertni uzorak je odabran iz populacije na temelju prosudbe i apriornog znanja o populaciji. Takav uzorak može biti reprezentativan, no za veliku populaciju izgledi su obično mali. 45

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE 1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1 χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE

KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE Kontinuirana slučajna varijabla može poprimiti neprebrojivo (beskonačno mnogo vrijednosti. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE UVOD Razlike diskretnih i kontinuiranih slučajnih

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika

Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika Teorem o uzastopnom prebrojavanju (TUP) Ako x 1 možemo birati na n 1 načina, ako x 2 možemo birati na n 2 načina,..... ako

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.

VJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017. Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija

UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija OSNOVE STATISTIKE UVOD DEFINICIJA: Statistika je grana matematike koja obuhvaća sakupljanje, analizu, interpretaciju i prezentaciju podataka te izradu predviđanja koja se temelje na tim podacima. Smatra

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA.

GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA. GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA Seminarski rad KOLEGIJ: Odabrana poglavlja inženjerske matematike AKADEMSKA GODINA: 2016/2017

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

4. MJERE DISPERZIJE. Josipa Perkov, prof., pred. 1

4. MJERE DISPERZIJE. Josipa Perkov, prof., pred. 1 4. MJERE DISPERZIJE Josipa Perkov, prof., pred. 1 Kod mnogih mjerenja se može opaziti da se rezultati grupiraju i skupljaju oko jedne srednje vrijednosti Srednja vrijednost dobro reprezentira rezultate

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1. 4 UVJETNA VJEROJATNOST Ponovimo... 14

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1. 4 UVJETNA VJEROJATNOST Ponovimo... 14 Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 4 UVJETNA VJEROJATNOST 3 4.1 Ponovimo................................. 14 1 Radni materijal 2 Poglavlje 4 UVJETNA VJEROJATNOST Thomas Bayes (1702 1762) uvodi pojam uvjetne vjerojatnosti:

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametrijske testove. Usporedba. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka. dr. sc. Goran Kardum

Uvod u neparametrijske testove. Usporedba. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka. dr. sc. Goran Kardum Uvod u neparametrijske testove dr. sc. Goran Kardum 1 Usporedba NACRT ISTRAŽIVANJA PARAMETRIJSKA PROCEDURA NEPARAMETRIJSKA PROCEDURA Dva nezavisna uzorka T-test Mann-Whitney U-test Dva zavisna uzorka T-test

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić

Διαβάστε περισσότερα

Diskretan slučajni vektor

Diskretan slučajni vektor Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mia Ćurić Diskretan slučajni vektor Završni rad Osijek, 206 Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Statistika i osnovna mjerenja

Statistika i osnovna mjerenja Statistika i osnovna mjerenja Teorija vjerojatnosti M. Makek 2016/2017 Uvod Pokus bilo koji postupak ili proces koji rezultira opažanjem Ishod moguć rezultat pokusa (različiti ishodi se međusobno isključuju)

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Parametarski zadane neprekidne distribucije

Parametarski zadane neprekidne distribucije Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Kristijan Šućur Parametarski zadane neprekidne distribucije Završni rad Osijek, 217. Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić (BIO)STATISTIKA seminari smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija pripremila: dr.sc. Iva Franjić Sadržaj DESKRIPTIVNA STATISTIKA 4. Grafički prikaz podataka..................... 4. Srednje vrijednosti

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA

STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA ŽELJKO SKOKO PREDAVANJA: ČETVRTAK, 12-14 h, F25 VJEŽBE: ČETVRTAK, 14-15 h, F25 MIRKO BAĆANI KONZULTACIJE: PETAK, 11-12.30 h ili prema dogovoru e-mail: zskoko@phy.hr

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

(BIO)STATISTIKA. skripta. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. doc. dr. sc. Iva Franjić 2012.

(BIO)STATISTIKA. skripta. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. doc. dr. sc. Iva Franjić 2012. (BIO)STATISTIKA skripta studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija doc. dr. sc. Iva Franjić 2012. 2 Sadržaj 1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA 5 1.1 Grafički prikaz podataka.................. 6 1.2 Srednje

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:

10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite: Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI

2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI 2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI 2. ALGEBRA DOGAĐAJA 2.. Intuitivna definicija Slučajan pokus (eksperiment) jest takav pokus čiji ishodi nisu jednoznačno određeni skupom uvjeta pokusa. Sa Ω označavamo

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u matematičku statistiku

Uvod u matematičku statistiku Uvod u matematičku statistiku Pojam matematičke statistike. Pojednostavljeno rečeno, matematička statistika je znanstvena disciplina koja iz poznavanja određenih svojstava uzorka donosi zaključke o svojstvima

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu

Διαβάστε περισσότερα

Testiranje statistiqkih hipoteza

Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015. Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

SADR\AJ. Predgovor. POGLAVLJE 2 Grafičko opisivanje podataka Klasifikacija varijabli 10 Kvalitativne ili numeričke 10 Mjerne skale 11

SADR\AJ. Predgovor. POGLAVLJE 2 Grafičko opisivanje podataka Klasifikacija varijabli 10 Kvalitativne ili numeričke 10 Mjerne skale 11 KRATAK SADR\AJ Poglavlje 1 Čemu proučavati statistiku? 1 Poglavlje 2 Grafičko opisivanje podataka 9 Poglavlje 3 Numeričko opisivanje podataka 46 Poglavlje 4 Vjerojatnost 78 Poglavlje 5 Diskretne slučajne

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα