1 Osnovni pojmovi Tipovi varijabli Skale mjerenja... 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Osnovni pojmovi Tipovi varijabli Skale mjerenja... 3"

Transcript

1 Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi Tipovi varijabli Skale mjerenja Organizacija i prikazivanje podataka Sirovi podatci Kvalitativni podatci Frekvencijska raspodjela Relativna frekvencija i postotna raspodjela Grafički prikaz kvalitativnih podataka Kvantitativni podatci Frekvencijska raspodjela Relativna frekvencija i postotna raspodjela Grafički prikaz grupiranih podataka Histogram Poligon Oblici raspodjela Skale na osima i manipulacija Kumulativna frekvencijska raspodjela Vremenski nizovi (slijedovi) i

2 ii SADRŽAJ 3 Numeričke deskriptivne mjere Mjerenje centralne tendencije za negrupirane podatke Srednja vrijednost Medijan Mod Odnos medu mjerama centralne tendencije Mjere disperzije za negrupirane podatke Raspon Varijanca i standardna devijacija Koeficijent varijacije Terminologija - parametar i statistika Srednja vrijednost, varijanca i standardna devijacija za grupirane podatke Srednja vrijednost za grupirane podatke Varijanca i standardna devijacija za grupirane podatke Uporaba standardne devijacije Čebiševljev teorem Empiričko pravilo za zvonolike raspodjele Mjere položaja Kvartili Centili Osnovni elementi teorije vjerojatnosti Pokus, ishod i prostor dogadaja Jednostavni i složeni dogadaji Vjerojatnost; svojstva i pristupi Šanse ili izgledi Pravila prebrojavanja Uvjetna vjerojatnost Disjunktni dogadaji Nezavisni dogadaji Komplementarni (suprotni) dogadaji Presjek dogadaja Unija dogadaja Bayesovi teoremi

3 SADRŽAJ iii 5 Diskretne slučajne varijable Vjerojatnostna raspodjela diskretne slučajne varijable Funkcija distribucije Očekivanje diskretne slučajne varijable Standardna devijacija diskretne slučajne varijable Binomna vjerojatnostna raspodjela Geometrijska raspodjela Hipergeometrijska raspodjela Poissonova raspodjela Kontinuirane slučajne varijable Funkcija gustoće vjerojatnosti Funkcija distribucije Očekivanje i varijanca kontinuirane slučajne varijable Normalna raspodjela Standardna normalna raspodjela Normalna aproksimacija binomne raspodjele Uniformna vjerojatnostna raspodjela Eksponencijalna raspodjela Paretova raspodjela Populacije i uzorci Anketa Slučajni i neslučajni uzorci Jednostavni slučajni uzorak Raspodjele populacije i uzorka Populacijska raspodjela Pogreške uzorka i ostale pogreške Očekivanje i standardna devijacija od x Oblik uzorkovne raspodjele od x Populacija ima normalnu raspodjelu Populacija nema normalnu raspodjelu Primjene raspodjele od x Vjerojatnost (proporcija, udio) u populaciji i uzorku Vjerojatnostna raspodjela od ˆp

4 iv SADRŽAJ 8 Procjene očekivanja i udjela Procjenjivanje Točkovne i intervalne procjene Točkovna procjena Intervalna ocjena Procjene očekivanja - veliki uzorci Procjene očekivanja - mali uzorci t-raspodjela Interval pouzdanosti za µ pomoću t-raspodjele Intervalne procjene vjerojatnosti - veliki uzorci Odredivanje veličine uzorka Odredivanje veličine uzorka za procjenu očekivanja Odredivanje veličine uzorka za procjenu vjerojatnosti Testiranje hipoteza Motivacija i definicije Dvije pretpostavke (hipoteze) Područja odbacivanja i prihvaćanja Dva tipa pogreške Repovi testa - jednostrani i dvostrani testovi Dvostrani test Jednostrani test Testiranje hipoteza o očekivanju - veliki uzorci Testiranje hipoteza o očekivanju - mali uzorci Testiranje hipoteza o vjerojatnosti - veliki uzorci Literatura

5 Predgovor Svrha je ove knjige na sažet i pregledan način izložiti osnovne ideje i metode poslovne statistike studentima biotehničkih znanosti. Pisana je prema bilješkama s predavanja koje je prvi autor držao proteklih nekoliko godina za studente Agroekonomskog smjera na Agronomskom fakultetu u Zagrebu. Prvi dio knjige posvećen je uvodu u deskriptivnu statistiku. Naglasak je stavljen na razvijanje osnovne statističke kulture kroz razumijevanje osnovnih pojmova, prepoznavanje i klasificiranje različitih tipova podataka, te njihovo prikazivanje. Obradene su i osnovne numeričke deskriptivne mjere te ukazano na razne mogućnosti manipulacije pri prikazivanju i interpretaciji statističkih podataka. Drugi dio knjige bavi se inferencijalnom statistikom. Počinje poglavljem u kojem su neformalno izloženi osnovni elementi teorije vjerojatnosti. Sljedeća dva poglavlja obraduju najznačajnije i najzastupljenije tipove diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli. Poglavlje u kojem se obraduje problem izbora uzorka te odnosa izmedu parametara populacije i statistika uzorka ključno je za razumijevanje i pravilnu primjenu metoda izloženih u poglavljima o intervalnim procjenama i o testiranju hipoteza. Inferencijalna statistika je u biti matematička disciplina. Unatoč tome, sveli smo matematičke formalnosti u njenom izlaganju na najmanju moguću mjeru. Učinili smo to kako bi se skriptom mogli služiti i čitatelji sa srednjoškolskim predznanjem. Iako je knjiga ponajviše namijenjena studentima agronomije, nismo se posebno trudili zaodjenuti sve primjere u agronomsko ruho. Primjerima iz drugih područja željeli smo naglasiti da su koncepti izloženi u ovoj knjizi općeniti i da se na njih mogu svesti naizgled vrlo različiti problemi. Bit ćemo zahvalni svim čitateljima koji nam ukažu na propuste i pogreške u knjizi. U Zagrebu, rujna 2008 T. Došlić D. Vrgoč v

6 vi SADRŽAJ

7 Poglavlje 1 Osnovni pojmovi Statistika je skup metoda koje se koriste za prikupljanje, analizu, prikaz i interpretaciju podataka, te za donošenje odluka. Donošenje odluka uz neodredenosti. Statistika: - teorijska, matematička: razvoj, izvod i dokaz statističkih formula, teorema i metoda - primijenjena: primjena ovog gore na probleme iz života Statistika: - deskriptivna (opisna) - inferencijalna Deskriptivna (opisna) statistika je skup metoda za organiziranje, predočavanje i opis podataka koristeći tablice, grafikone i zbirne (skupovne) mjere. Inferencijalna statistika se sastoji od metoda koje na temelju uzorka pomažu u donošenju odluka ili u izvodenju zaključaka o cijeloj populaciji. Populacija (ciljna populacija) je skup svih elemenata - osoba, objekata ili stvari čija svojstva proučavamo. Uzorak je dio populacije odabran za proučavanje. P U 1

8 2 POGLAVLJE 1. OSNOVNI POJMOVI Pregled je prikupljanje informacija o elementima populacije. Za žive ljude se zove i anketa. Ako pregled dohvaća sve elemente populacije, onda je to popis ili cenzus. Uzorak je reprezentativan ako vjerno predstavlja karakteristike populacije. Uzorak je slučajan ako je izabran na takav način da je svaki element populacije imao šansu biti izabran. Izbor uzorka: - s vraćanjem - bez vraćanja Element ili član populacije ili uzorka je subjekt ili objekt o kojem se prikuplja informacija. Varijabla je svojstvo koje se proučava i koje poprima razne vrijednosti za razne elemente. Opažanje (mjerenje) je vrijednost varijable za pojedini element. Skup podataka je kolekcija opažanja jedne ili više varijabli. Primjer : Krava Količina Starost Težina Boja mlijeka Šarenka Bijela Malenka Crna Goluba Žuta Rumenka Crvena 1.1 Tipovi varijabli Varijable: - kvalitativne (kategoričke) - kvantitativne (količinske): - diskretne - kontinuirane Kvalitativna varijabla je varijabla koja ne može poprimati brojčane vrijednosti, no može biti razvrstana u dvije ili više nebrojčanih kategorija. Podatci o takvoj varijabli su kvalitativni podatci. Primjeri: Rod, boja dlake, marka traktora,... Kvantitativna varijabla je varijabla koja poprima brojčanu (numeričku) vrijednost. Podatci o takvoj varijabli su kvantitativni podatci.

9 1.2. SKALE MJERENJA 3 Kvantitativna varijabla čije vrijednosti su prebrojive, tj. koja može poprimiti strogo odvojene vrijednosti (bez meduvrijednosti) zove se diskretna. Primjeri su broj osoba, kuća, životinja,... Kvantitativna varijabla koja može (načelno) poprimiti svaku vrijednost iz nekog intervala zove se kontinuirana ili neprekidna. Primjeri su masa, temperatura, zarada Skale mjerenja 1. Nominalna skala Primjenjuje se na podatke koji su razvrstani u različite kategorije u svrhu identifikacije. Primjeri su imena, marke, bračno stanje,... Tim se kategorijama mogu pridružiti numeričke vrijednosti, no njih nema smisla usporedivati, niti s njima računati. 2. Ordinalna skala Primjenjuje se na podatke koji se razvrstavaju u kategorije koje se mogu rangirati, tj. poredati. Primjer - rangiranje izvrstan, zadovoljavajući, loš. Mogu im se pridijeliti brojčane vrijednosti koje ima smisla usporedivati, no ne i računati s njima. 3. Intervalna skala Primjenjuje se na podatke koji se mogu rangirati i za koje se može izračunati i interpretirati razlika. Primjer - temperatura, IQ, Omjerna skala Primjenjuje se na podatke koji se mogu rangirati i za koje imaju smisla sve osnovne aritmetičke operacije. Primjeri su masa, cijena, zarada,...

10 4 POGLAVLJE 1. OSNOVNI POJMOVI

11 Poglavlje 2 Organizacija i prikazivanje podataka 2.1 Sirovi podatci Podatke zabilježene onako kako su prikupljeni i prije bilo kakve obrade zovemo sirovi podatci. Primjer: Student A.B C.A A.A B.M Ž.K C.D M.O Županija rodenja Zagrebačka Koprivničko-križevačka Splitsko-dalmatinska Koprivničko-križevačka Krapinsko-zagorska Koprivničko-križevačka Ličko-senjska 2.2 Kvalitativni podatci Frekvencijska raspodjela Lista svih kategorija s brojem elemenata koji pripadaju pojedinoj kategoriji zove se frekvencijska raspodjela. Primjer od gore: Varijable - županija rodenja Kategorija - Koprivničko-križevačka Frekvencija - 3 5

12 6 POGLAVLJE 2. ORGANIZACIJA I PRIKAZIVANJE PODATAKA Kako se radi za male populacije/uzorke: Relativna frekvencija i postotna raspodjela Relativna frekvencija (učestalost) neke kategorije je omjer učestalosti te kategorije i zbroja svih frekvencija. Postotak je relativna frekvencija puta Grafički prikaz kvalitativnih podataka 6 frekvencija kategorija S O Nepoz M D F N Prikaz na prvoj slici nazivamo stupčasti grafikon (engleski bar chart), a prikaz na drugoj slici kružni grafikon (engleski pie chart).

13 2.3. KVANTITATIVNI PODATCI Kvantitativni podatci Frekvencijska raspodjela Kvantitativni podatci mogu biti grupirani ili negrupirani. Grupirati - kada, kako i zašto? Primjer: broj automobila po kućanstvu - ne grupiramo ukupni prihod kućanstva - grupiramo da ne bi sve vrijednosti imale učestalost 1 starost stanovništva - grupiramo jer nema velike razlike izmedu 44 i 45 godina Primjer : Mjesečna zarada zaposlenika u nekom poduzeću: Mjesečna zarada Broj radnika U ovom primjeru varijabla je mjesečna zarada, dok je učestalost broj radnika. Treću kategoriju ( ) nazivamo treća grupa ili treći razred, te možemo iščitati da je učestalost treće grupe 66. U našem primjeru su granice sedme grupe 7001 (donja granica) i 8000 (gornja granica). Rubovi trećeg razreda: Sredina trećeg razreda: Širina trećeg razreda: 1000 Izračunavanje širine razreda: (Ovo je približna širina). najveća vrijednost - najmanja vrijednost broj radnika Svaki zgodni broj manji ili jednak od najmanje vrijednosti može poslužiti kao polazna vrijednost raspodjele.

14 8 POGLAVLJE 2. ORGANIZACIJA I PRIKAZIVANJE PODATAKA Relativna frekvencija i postotna raspodjela Relativna frekvencija i postotak definiraju se slično kao i za kvalitativne podatke. Za grupirane podatke je relativna frekvencija razreda = frekvencija razreda zbroj svih frekvencija. Postotak razreda je njegova relativna frekvencija puta sto. Mjesečna zarada Broj radnika Relativna frekvencija Postotak Grafički prikaz grupiranih podataka Histogram Histogram može biti frekvencijski, relativno frekvencijski ili postotni. Frekvencije (relativne frekvencije, postotci) su prikazani kao visine pravokutnika čije su osnovice na horizontalnoj osi odredene granicama ili rubovima razreda. Pravokutnike crtamo jedan uz drugoga Mogli smo stvar nacrtati i s ishodištem u (0, 0).

15 2.4. OBLICI RASPODJELA Poligon Spojimo sredine (polovišta) gornjih stranica uzastopnih pravokutnika u histogramu ravnim crtama i dobijemo poligon. Crna crta na gornjoj slici. Za velike skupove podataka poligon prelazi u krivulju frekvencijske raspodjele ili u frekvencijsku krivulju. f 0 v 2.4 Oblici raspodjela Pod oblikom raspodjele podrazumijevamo oblik pripadnog histograma, poligona ili frekvencijske krivulje. Najčešći oblici su: - simetričan - ukošen (nagnut) - pravokutan ili uniforman. Simetričan oblik

16 10 POGLAVLJE 2. ORGANIZACIJA I PRIKAZIVANJE PODATAKA f f var var Kosi oblik: rep na jednu stranu je dulji od repa na drugu. f f v v Uniformni oblik f v 2.5 Skale na osima i manipulacija Primjer: Rast nezaposlenosti za vrijeme mandata neke vlade. br.nezaposlenih br.nezaposlenih i i Isti podatci prikazani su u pro-vladinim i oporbenim novinama. Koje su koje?

17 2.6. KUMULATIVNA FREKVENCIJSKA RASPODJELA Kumulativna frekvencijska raspodjela Kumulativna frekvencijska raspodjela daje ukupan broj vrijednosti koje padaju ispod gornjeg ruba (granice) svake klase. Slično se definira i kumulativna relativna frekvencija i kumulativni postotak. Primjer s poduzećem Mjesečna zarada Broj radnika kum. r. f. kum. % Histogram, poligon i krivulja kumulativne frekvencijske distribucije definiraju se na analogan način Vremenski nizovi (slijedovi) Podatci skupljeni za više elemenata u isto vrijeme ili za isto vremensko razdoblje zovu se presječni podatci (engleski cross-section data). Primjer: Broj članova poljoprivrednih zadruga u Zagrebačkoj županiji. Podatci prikupljeni za isti element i istu varijablu u različita vremena čine vremenski niz. Primjer: Broj članova jedne te iste poljoprivredne zadruge u svakoj od 30 godina (recimo 31. XII. svake godine). U vremenskom slijedu imamo dvije relevantne varijable: broj članova i vrijeme.

18 12 POGLAVLJE 2. ORGANIZACIJA I PRIKAZIVANJE PODATAKA Grafički podatci vremenskih slijedova mogu biti manipulirani kao grafički podatci drugih tipova varijabli. Za prikaz vremenskog slijeda obično rabimo po dijelovim linearnu funkciju. v 0 t Na horizontalnoj osi je vrijeme, na vertikalnoj je vrijednost varijable, a ne njena frekvencija. Primjeri: kretanje cijena dionica,...

19 Poglavlje 3 Numeričke deskriptivne mjere 3.1 Mjerenje centralne tendencije za negrupirane podatke Srednja vrijednost Srednja vrijednost, prosjek ili aritmetička sredina definira se izrazom srednja vrijednost = zbroj svih vrijednosti. broj vrijednosti Razlikujemo srednju vrijednost za populaciju i za uzorak. x µ = N x x = n za populaciju s N elemenata za uzorak s n elemenata Kada bi histogram bio materijalni objekt, srednja vrijednost bi bila apscisa njegovog težišta. Srednja vrijednost je osjetljiva na ekstremne vrijednosti - engleski termin je outlier. U standardnoj literaturi nismo našli dobar hrvatski prijevod, pa predlažemo ovdje riječ odskočnik. To ukazuje na podatak čija vrijednost odskače od ostalih. Primjer: Na otoku živi 100 seljaka s po 1 jutrom zemlje i 1 veleposjednik s 1000 jutara. Prosječna veličina posjeda na tom otoku je nešto manja od 11 13

20 14 POGLAVLJE 3. NUMERIČKE DESKRIPTIVNE MJERE jutara. (Točna vrijednost je 1100 jutara.) Agronomska savjetodavna služba 101 koja bi raspolagala samo tim podatkom mogla bi donijeti preporuke koje ne bi bile prikladne niti za posjede od 1 jutra, niti za onaj od 1000 jutara. U gornjem primjeru veleposjednik bi bio odskočnik Medijan Medijan je vrijednost srednjeg člana u skupu podataka svrstanom po uzlaznim (rastućim) vrijednostima. Ako je broj podataka neparan, imamo srednji član. Ako je broj podataka paran, izračunamo prosjek vrijednosti dva srednja člana. Medijan nije osjetljiv na odskočnike. Medijan daje položaj centra histograma, s polovicom vrijednosti lijevo i polovicom vrijenosti podataka desno od medijana Mod Mod je vrijednost koja se najčešće pojavljuje u skupu podataka. Primjer : Ocjene studenta iz UPM. Glavni problem je da raspodjela ne mora imati mod, ili da ih može imati više. Unimodalna Bimodalna Multimodalna Odnos medu mjerama centralne tendencije 1. Za simetričnu i unimodalnu raspodjelu srednja vrijednost, medijan i mod se podudaraju i padaju u centar distribucije.

21 3.2. MJERE DISPERZIJE ZA NEGRUPIRANE PODATKE 15 srednja vrijednost medijan mod 2. Za kosu unimodalnu raspodjelu medijan je uvijek izmedu srednje vrijednosti i moda. Mod vidimo gdje je, a srednja vrijednost je uvijek na onoj strani moda na kojoj je dulji rep. mod medijan srednja vrijednost srednja vrijednost medijan mod 3.2 Mjere disperzije za negrupirane podatke Raspon Raspon je razlika najveće i najmanje vrijednosti u skupu podataka. Raspon je jako osjetljiv na odskočnike. Osim toga, daje informaciju izvučenu samo iz dviju krajnjih vrijednosti Varijanca i standardna devijacija Standardna devijacija je najčešće korištena mjera disperzije. Ona kaže koliko su blizu vrijednosti skupljene oko srednje vrijednosti. Definira se kao korijen iz varijance. Razlikujemo varijancu (pa i standardnu devijaciju) za populaciju i za uzorak. (x µ) σ 2 2 = varijanca populacije N

22 16 POGLAVLJE 3. NUMERIČKE DESKRIPTIVNE MJERE (x x) s 2 2 = n 1 varijanca uzorka Standardna devijacija je korijen iz varijance: σ = σ 2, s = s 2. Varijanca se računa kao srednja vrijednost kvadrata minus kvadrat srednje vrijednosti; za uzorak je malo drukčije: x σ 2 2 x x = N ( N )2 ; s 2 2 = n 1 ( x) 2 n(n 1) Razlog za drukčiju formulu za s 2 je da varijanca uzorka podcjenjuje varijancu populacije ako se uzme n 2 u nazivniku, a ne podcjenjuje ako se uzme n(n 1). Varijanca je srednja vrijednost kvadrata odstupanja. Uzima se kvadrat jer bi se za simetrične raspodjele odstupanja poništavala. Zato su varijance i standardne devijacije uvijek nenegativne. Varijanca se izražava u kvadratima jedinica varijable - pitanje: što je to kvadratna kuna? Zato se rabi standardna devijacija Koeficijent varijacije Koeficijent varijacije izražava standardnu devijaciju kao postotak srednje vrijednosti. CV = σ 100% za populaciju µ CV = s 100% za uzorak x Terminologija - parametar i statistika σ i µ su parametri populacije; x i s su statistike uzorka. 3.3 Srednja vrijednost, varijanca i standardna devijacija za grupirane podatke Srednja vrijednost za grupirane podatke Ako su podatci grupirani, ne znamo njihove pojedinačne vrijednosti.

23 3.3. SREDNJA VRIJEDNOST, VARIJANCA I STANDARDNA DEVIJACIJA ZA GRUPIRANE PODATKE17 mf µ = za populaciju N mf x = za uzorak n Ovdje je m je sredina, a f frekvencija razreda. Zbraja se po razredima. Sada možemo izračunati srednju vrijednost plaće za poduzeće iz Mjesečna zarada Broj radnika (f) Sredina razreda (m) = x = Varijanca i standardna devijacija za grupirane podatke f(m µ σ 2 2 ) = za populaciju N f(m x) s 2 2 = n 1 za uzorak m σ 2 2 f = N m (mf N )2 ; s 2 2 f = n 1 ( mf) 2 n(n 1) Ovo gore je formula za računanje. Ako se ponovo vratimo na primjer s poduzećem dobivamo sljedeće: Mjesečna zarada Broj radnika (f) Sredina razreda (m) m x s 2 = s =

24 18 POGLAVLJE 3. NUMERIČKE DESKRIPTIVNE MJERE 3.4 Uporaba standardne devijacije Čebiševljev teorem Čebiševljev teorem: Za svaki broj k > 1 barem (1 1 k 2 ) svih vrijednosti podataka leži unutar k standardnih devijacija od srednje vrijednosti. Μ kσ Μ Μ kσ Barem 75 svih vrijednosti pada u iscrtano podrucje Μ 2Σ Μ Μ 2Σ Čebiševljev teorem vrijedi i za populacije i za uzorke Empiričko pravilo za zvonolike raspodjele Μ 3Σ Μ 2Σ Μ Σ Μ Μ Σ Μ 2Σ Μ 3Σ

25 3.5. MJERE POLOŽAJA 19 Udruženje Mensa prima članove čiji je IQ veći od 130. To znači da su za više od 3σ udaljeni (u desno) od prosjeka. (Testovi inteligencije se normiraju tako da bude µ = 100 i σ = 30.) 3.5 Mjere položaja Kvartili Kvartili su mjere koje dijele sortirane podatke u 4 jednaka dijela. Označavamo ih s Q 1, Q 2, Q 3. Drugi kvartil je medijan, prvi kvartil je medijan onih koji su manji od medijana, treći kvartil je medijan onih koji su veći od medijana. Kvartili su profinjenja medijana. Razlika trećeg i prvog kvartila je medukvartilni raspon, QR = Q 3 Q Q 1 Q 2 Q Centili Centili dijele sortirani skup podataka u 100 jednakih dijelova. Oznaka za k-ti centil je P k, k = 1, P 25 = Q 1, P 50 = Q 2 =medijan. P k = vrijednost kn 100 tog elementa u sortiranom skupu podataka. Centilni rang vrijednosti x i se računa kao omjer broja vrijednosti manjih od x i i ukupnog broja vrijednosti, pomnoženog sa 100.

26 20 POGLAVLJE 3. NUMERIČKE DESKRIPTIVNE MJERE

27 Poglavlje 4 Osnovni elementi teorije vjerojatnosti 4.1 Pokus, ishod i prostor dogadaja Pokus je proces koji rezultira jednim i samo jednim od mnogo (više) mogućih opažanja. Ta opažanja zovemo ishodima pokusa, ili dogadajima. Prostor (skup) svih mogućih ishoda pokusa zovemo prostor dogadaja. Primjer: Primjer: Primjer: Pokus - bacanje novčića Ishod - kuna Prostor dogadaja ={kuna, slavuj} Pokus - odredivanje mjeseca rodenja Ishod - listopad Prostor dogadaja ={Si, Ve, Ož, Tr, Sv, Lip, Ko, Ru, Lis, St, Pr} Pokus - spol sudionika dvočlanog predstavništva Ishod - MŽ Prostor dogadaja ={ŽŽ, ŽM, MŽ, MM} 4.2 Jednostavni i složeni dogadaji Jednostavni dogadaj se sastoji od jednog i samo jednog ishoda slučajnog pokusa. Složeni dogadaj je kolekcija od više ishoda slučajnog pokusa. Primjer: Bacanje kocke. Pala je šestica je jednostavan dogadaj. Pao je paran broj je složeni dogadaj. Drugi složeni dogadaj je Pao je broj manji od 4. 21

28 22 POGLAVLJE 4. OSNOVNI ELEMENTI TEORIJE VJEROJATNOSTI 4.3 Vjerojatnost; svojstva i pristupi Vjerojatnost je numerička mjera pojavljivosti pojedinog dogadaja. Promatramo slučajni pokus koji ima elementarne ishode E i, i = 1,..., n. Vrijedi: 0 P (E i ) 1 n Nadalje, P (E i ) = 1. i=1 Za vjerojatnost dogadaja vrijedi 0 P ( ) 1. Primjer: Bacanje kocke, bacanje novčića,... Definicija vjerojatnosti je zadovoljavajuće formalno riješena tek 1930-ih godina - Kolmogorov. Klasična definicija vjerojatnosti: (geometrijska) P (E i ) = 1 n P ( ) = broj ishoda povoljnih za. broj mogućih ishoda Primjer: Bacanje kocke, P(1)=P(2)=... = P(6)= 1 6 P(paran broj) = 1 2. Primjer: Vjerojatnost padanja strelice pikada ispod obiju dijagonala kvadrata. P ( ) = 1 4. P ( ) = mjera područja povoljnog za dogadaj. mjera cijelog područja Relativna frekvencija kao aproksimacija P ( ) = f relativna frekvencija je aproksimacija vjerojatnosti. n Zakon velikih brojeva: Ponavljanjem pokusa vjerojatnost iz relativne frekvencije teži prema teorijskoj (pravoj) vjerojatnosti. Subjektivna vjerojatnost Vjerojatnost pridjeljena dogadaju na temelju subjektivne procjene, iskustva, informacija, vjerovanja. Mislim da je vjerojatnost da student agroekonomije položi statistiku na prvom roku jednaka 0.9.

29 4.4. ŠANSE ILI IZGLEDI Šanse ili izgledi Pokušaj prijevoda engleskog termina odds. Šanse su jedan naprama milijun. Tisuću prema 1, itd. 4.5 Pravila prebrojavanja Ako se pokus sastoji iz k koraka, i ako je broj mogućih ishoda u i-tom koraku k jednak n i, onda je ukupni broj mogućih ishoda jednak n = n i. Primjer: Biramo izmedu 2 juhe, 3 glavna jela i 4 deserta. Koliko različitih jelovnika možemo složiti? = 24. Primjer: Na listiću sportske prognoze je 13 parova. Za svaki par postoje tri moguća ishoda. Na koliko se različitih načina može popuniti listić? = Vjerojatnost dobitne kombinacije je = U slučaju da imamo n različitih objekata možemo ih poredati (razmjestiti) na n! = n različitih načina. Primjer: Koja je vjerojatnost da se slučajnim izvlačenjem iz šešira u kojem su papirići sa slovima A, B, E, G, R i Z dobije riječ ZAGREB? P(ZAGREB)= Iz n-članog skupa možemo izabrati k-člani podskup na načina. i=1 ( ) n k = n! k!(n k)! Ako je bitan i poredak, onda se to može na n (n 1),... (n k + 1) načina. Primjer: Obično izaslanstvo, izaslanstvo sa strukturom. 4.6 Uvjetna vjerojatnost Primjer: Imamo uzorak od 100 ljudi, 60 muških i 40 ženskih. Od njih se traži odgovor na pitanje vole li ili ne vole odredeni proizvod. Tablica s rezultatima. P V N S M Ž

30 24 POGLAVLJE 4. OSNOVNI ELEMENTI TEORIJE VJEROJATNOSTI Uvjetna vjerojatnost dogadaja A uz uvjet B je vjerojatnost da se dogodi A ako se već dogodio B. Oznaka P (A B). Iz tablice gore imamo: P (V ) = = 0.19 P (V M) = = P (Ž) = 100 = P (Ž N) = 81 = 4 9 = Disjunktni dogadaji Dogadaji su disjunktni (uzajamno se isključuju) ako ne mogu nastupiti istovremeno. Primjer: Bacanje kocke, A=paran broj, B=neparan broj. } A = slučajno odabrani student je muško Primjer : isključuju se B = slučajno odabrani student je žensko Primjer: 30 studenata, 25 uči engleski, 12 uči njemački, 9 ih uči i engleski i njemački. Dogadaj A = student uči engleski i dogadaj B = student uči njemački nisu uzajmno isključivi; postoje studenti koji uče i engleski i njemački. 4.8 Nezavisni dogadaji Dogadaji A i B su nezavisni ako jedan ne utječe na drugog, tj. P (A B) = P (A), ili P (B A) = P (B). Ako nisu nezavisni dogadaji su zavisni. Iz tablice kod uvjetne vjerojatnosti vidimo da dogadaji Ž i V nisu nezavisni. 4 Naime, P(Ž)=0.4, P (Ž V )= 19 = Važne napomene: 1. Dogadaji s pozitivnim vjerojatnostima su ili disjunktni ili nezavisni: a) Disjunktni dogadaji su uvijek zavisni. b) Nezavisni dogadaji nisu nikad disjunktni. 2. Zavisni dogadaji mogu i ne moraju biti disjunktni. 4.9 Komplementarni (suprotni) dogadaji Suprotni dogadaj dogadaja A uključuje sve ishode koji nisu u A. Oznaka A.

31 4.10. PRESJEK DOGADAJA 25 P (A) = 1 P (A) Primjer: A = slučajno odabrani nazočni student je muško. Onda je A = slučajno odabrani nazočni student je žensko Presjek dogadaja Dogadaj A B se sastoji od svih elementarnih dogadaja koji su i u A i u B. Primjer: Bacanje kocke. A = paran broj, B = broj manji od 5. A B = {2, 4}. P (A B) = P (A)P (B A). Za nezavisne dogadaje je P (B A) = P (B), pa je Odavde, P (A B) = P (A B) = P (A)P (B). Za disjunktne dogadaje je P (A B) = 0. P (A B), uz P (A) 0. P (A) 4.11 Unija dogadaja Dogadaj A B uključuje sve ishode koji su u barem jednom od dogadaja A i B. Primjer s jezicima: P (A B) = Za disjunktne dogadaje je P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) =. 30 P (A B) = P (A) + P (B) 4.12 Bayesovi teoremi P (A 1 B) = P (A 1 B) = P (A 1 )P (B A 1 ) P (A 1 )P (B A 1 ) + P (A 2 )P (B A 2 ). P (A 1 B) P (A 1 B) + P (A 2 B).

32 26 POGLAVLJE 4. OSNOVNI ELEMENTI TEORIJE VJEROJATNOSTI

33 Poglavlje 5 Diskretne slučajne varijable Slučajna varijabla je varijabla čija je vrijednost odredena ishodom slučajnog pokusa. Slučajne varijable: - Diskretne - broj ovog ili onog: automobila, ljudi,... - Kontinuirane - količina (mjera) vode, vremena, Vjerojatnostna raspodjela diskretne slučajne varijable Vjerojatnostna rapodjela diskretne slučajne varijable je lista svih mogućih vrijednosti koje ta varijabla može poprimiti s pripadajućim vjerojatnostima. Primjer: U mjestu s 2000 obitelji ispitano je koliko koja obitelj posjeduje mobitela. Frekvencijska raspodjela je dana sljedećom tablicom. Broj mobitela Frekvencija Relativna frekvencija Nasumično biranje jedne od 2000 obitelji iz tog mjesta je slučajni pokus. Vjerojatnost da slučajna varijabla broj mobitela u obitelji poprimi vrijednost 0 i 4 je dana relativnom frekvencijom. 27

34 28 POGLAVLJE 5. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE Broj mobitela Vjerojatnost Dakle vjerojatnostna raspodjela je pravilo koje svakoj vrijednosti koju slučajna varijabla može poprimati pridružuje vjerojatnost da se ta vrijednost i poprimi. Imamo tablicu. Označimo li vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost x i s p i, onda je svaki redak u toj tablici oblika x i, p i. Neka slučajna varijabla X može poprimiti n vrijednosti, x 1, x 2,..., x n. Tada vrijedi: P (X = x i ) = p i. 0 p i 1, i = 1,..., n n p i = 1 i=1 U našem primjeru P (X = 1) = Iz vjerojatnostne raspodjele se mogu očitati i druge informacije. Zanima li nas vjerojatnost da slučajno odabrana obitelj posjeduje barem dva mobitela, pišemo to kao P (X 2). Iz raspodjele vidimo da je to jednako P (X 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = = U općem slučaju vjerojatnostna raspodjela može biti zadana tablicom, grafom ili formulom. To je stoga što je vjerojatnostna raspodjela funkcija koja vrijednostima slučajne varijable pridružuje njihove vjerojatnosti. 5.2 Funkcija distribucije Vidjeli smo na primjeru da se vjerojatnostna raspodjela može izvesti iz tablice relativnih frekvencija. Alternativna karakterizacija diskretne slučajne varijable može se dati pomoću tablice kumulativnih relativnih frekvencija. Na taj način dobivamo funkciju distribucije. Funkcija distribucije F diskretne slučajne varijable X dana je formulom F (a) = P (x a). Za sve a vrijedi 0 F (a) 1. Funkcija F je neopadajuća. Računa se iz vjerojatnostne raspodjele po formuli F (a) = x i a p i. Za primjer s mobitelima imamo tablicu

35 5.3. OČEKIVANJE DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE 29 x i p i F (x i ) Za razliku od vjerojatnostne raspodjele koja je definirana samo za vrijednosti a = x i, funkcija distribucije je definirana na cijelom skupu R. Izmedu vrijednosti x i i x i+1 funkcija f je konstantna i ima vrijednost F (x i ). Za vrijednosti x i funkcija distribucije ima skok koji iznosi p i. Lijevo od najmanjeg x i funkcija distribucije je jednaka nuli, a desno od najvećeg x i ima vrijednost 1. Funkcija distribucije za primjer s mobitelima je prikazana na slici F(x) Ako je vjerojatnostna raspodjela diskretne slučajne varijable dana formulom,onda se i za funkciju distribucije te slučajne varijable često može naći formula kojom je zadana. 5.3 Očekivanje diskretne slučajne varijable Očekivanje disketne slučajne varijable je očekivanje njene vjerojatnostne raspodjele. Za slučajnu varijablu X pišemo E(X) i govorimo o očekivanoj vrijednosti. To je vrijednost koju dobijemo uprosječavanjem vrijednosti varijable opaženih u puno ponavljanja pokusa. U primjeru s mobitelima dobije se da je očekivana vrijednost broja mobitela po obitelji jednaka Što to znači? Sigurno ne da obitelji posjeduju sedmine mobitela. To znači da razne obitelji posjeduju razni broj mobitela, neke više, neke manje od očekivanog broja.

36 30 POGLAVLJE 5. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE µ = E(X) = x i p i - formula za računanje očekivane vrijednosti. U primjeru s mobitelima, E(X) = = Standardna devijacija diskretne slučajne varijable Standardna devijacija mjeri raspršenje vjerojatnostne raspodjele. Označavamo ju sa σ. Mala vrijednost σ znači da je većina vrijednosti slučajne varijable grupirana oko očekivanja. Velika vrijednost σ znači da su vrijednosti razvučene preko većeg raspona. Osnovna formula je: σ = [(xi µ) 2 p i ] = očekivanje kvadrata odstupanja = prosječno kvadratno odstupanje Praktičnija za računanje je formula σ = x 2 i p i µ 2 = očekivanje kvadrata - kvadrat očekivanja. Varijanca σ 2 diskretne slučajne varijable je kvadrat standardne devijacije. I ovdje vrijedi Čebiševljev teorem. 5.5 Binomna vjerojatnostna raspodjela Binomna raspodjela se primjenjuje za opis situacija u kojima se pokus s dva moguća ishoda ponavlja više puta. Binomni pokus: 1. Pokus se ponavlja n puta u identičnim uvjetima. 2. Svaki pokus ima točno 2 moguća ishoda (uspjeh ili neuspjeh). 3. Vjerojatnosti uspjeha (p) i neuspjeha (q) su konstantne. 4. Pokusi su nezavisni (ishod jednog ne utječe na druge). Uspjeh i neuspjeh su termini koji ne znače da je jedan od ishoda nužno poželjan, a drugi nepoželjan. Primjeri: Bacanje novčića, ponovljeno 10 puta. Definicija: Slučajna varijabla koja predstavlja broj uspjeha u ponavljanju binomnog pokusa se zove binomna slučajna varijabla ili jednostavno binomna

37 5.5. BINOMNA VJEROJATNOSTNA RASPODJELA 31 varijabla. Za n ponavljanja pokusa i vjerojatnost uspjeha p, kažemo da je slučajna varijabla X binomna slučajna varijabla s parametrima n i p i pišemo X B(n, p). Vjerojatnost da od n ponavljanja k puta ishod bude uspjeh dana je binomnom formulom P (X = k) = ( ) n p k q n k k Ovdje je q = 1 p. ( ) n Binomni koeficijent broji načine kako je k uspješnih pokusa rasporedeno u k ukupno n ponavljanja. Množenje vjerojatnosti je posljedica nezavisnosti (pretpostavljene u uvjetima) dogadaja, tj. ishoda. Oblik binomne distribucije je simetričan za p = q = 0.5. Za p < 0.5 raspodjela je ukošena u desno, a za p > 0.5 raspodjela je ukošena u lijevo broj pojavljivanja kune u 4 broj pojavljivanja kune u 5 bacanja simetričnog novčića bacanja simetričnog novčića Digresija: Koliko puta treba ponoviti pokus da vjerojatnost uspjeha bude barem p 0? Očekivanje i standardna devijacija binomne raspodjele dani su formulama µ = np σ = npq

38 32 POGLAVLJE 5. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE Primjer: Vjerojatnost da jaje nije mućak je Koliki je očekivani broj pilića koji će se izleći u inkubatoru od 400 jaja? Kolika je standardna devijacija? µ = = 380. σ = = = = Geometrijska raspodjela Promatramo binomni pokus s vjerojatnošću uspjeha p. Neka je X slučajna varijabla koja broji broj pokusa do prvog uspjeha. Kakva je njena raspodjela? Iz pretpostavljene nezavisnosti pokusa slijedi da je vjerojatnost prvog uspjeha u k-tom izvodenju pokusa dana formulom P (X = k) = (1 p) k 1 p. To je vjerojatnost da prvih k 1 izvodenja pokusa bude neuspješno i da k-to izvodenje bude uspješno. Za takvu slučajnu varijablu X kažemo da ima geometrijsku raspodjelu s parametrom p i pišemo X G(p). Očekivanje i standardna devijacija geometrijske slučajne varijable X G(p) dani su formulama E(X) = 1 p, 1 p σ(x) =. p Geometrijska slučajna varijabla ima svojstvo P (X > k) = (1 p) k. Odatle slijedi da je njena funkcija distribucije zadana s F (a) = 1 (1 p) a, pri čemu a označava najveći cijeli broj manji ili jednak od a. Primjer Kolika je vjerojatnost da će cilj biti pogoden iz drugog pokušaja ako je vjerojatnost pogadanja cilja iz jednog pokušaja p = 0.3? Kolika je vjerojatnost da broj pokušaja ne će biti veci od 3? 5.7 Hipergeometrijska raspodjela U slučajevima kada se iz konačne populacije bira uzorak bez vraćanja više ne vrijedi zahtjev nezavisnosti pokusa. Ako iz košare u kojoj je 20 ispravnih i 5 trulih jabuka izvučemo jednu, pa ju ili pojedemo ili bacimo, vjerojatnost izvlačenja trule jabuke u drugom pokušaju nije ista. U takvim se situacijama koristi hipergeometrijska raspodjela. P (X = k) = ( )( ) r N r k n k ( ) N n N - broj elemenata u populaciji n - broj elemenata u uzorku r - broj uspjeha u populaciji k - broj uspjeha u uzorku

39 5.8. POISSONOVA RASPODJELA 33 Očekivanje i varijanca dani su formulama µ = n r N, σ2 = N n N 1 µ r N (1 r N ). Primjer Iz kokošinjca sa 7 bijelih i 3 crne kokoši lisica odnese 4. vjerojatnost da je odnijela 2 crne kokoši? Najviše 2 crne? Kolika je 5.8 Poissonova raspodjela Znamo da se stroj kvari u prosjeku tri puta mjesečno. Želimo naći vjerojatnost da će se pokvariti točno dvaput tijekom sljedećeg mjeseca. Slično, znamo da u prodavaonicu dolazi u prosjeku 7 ljudi dnevno reklamirati kupljenu robu. Kolika je vjerojatnost da će ih sutra doći 5? U ovakvim situacijama primjenjujemo Poissonovu raspodjelu. Uvjeti za primjenu Poissonove raspodjele: 1. X mora biti slučajna varijabla. 2. Dešavanja su slučajna. 3. Dešavanja su nezavisna. Stvari se uvijek gledaju u intervalima. Intervali mogu biti vremenski (broj pacijenata u satu), prostorni (broj prometnih nezgoda na odredenoj cestovnoj dionici) ili volumni (broj neispravnih proizvoda medu idućih 100 koji izlaze iz stroja). Prosječan broj dešavanja u promatranom intervalu je poznat. Ta se veličina označava s λ. P (X = k) = λk e λ k! - vjerojatnost da se u promatranom intervalu desilo k dogadaja. Očekivanje i varijanca Poissonove raspodjele su jednaki λ. Standardna devijacija je jednaka λ. Kao i za druge raspodjele, može se računati P (X < k), P (X k), P (k 1 X k 2 ) i slično. Intervali za λ i X moraju biti jednaki. Ako nisu, moramo redefinirati λ. Primjer : Poznato je da, pri telefonskoj anketi, u prosjeku 2 od 10 nazvanih odbija odgovoriti na upit. Kolika je vjerojatnost da če od 20 nazvanih osoba njih 5 odbiti odgovoriti?

40 34 POGLAVLJE 5. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE Želimo naći P (X = 5). Znamo da je λ = 4, jer ako od 10 nazvanih u prosjeku 2 ne će odgovoriti, onda od 20 nazvanih u prosjeku 4 ne će odgovoriti. Dakle je λ = 4. Uvrštavanjem u formulu dobivamo P (X = 5) = 45 e = = 5! Jedina informacija koja ulazi u račun je λ; to je jedini parametar raspodjele. Treba provjeriti uvjete primjenjivosti. Npr., znamo da na aerodrom slijeće u prosjeku 120 aviona dnevno, no njihovi dolasci nisu slučajni, već su po redu letenja. Može se desiti da ih je utorkom uvijek 75, a petkom 180, pa ne možemo primijeniti Poissonovu raspodjelu. Primjer: Prodavač proda u prosjeku 0.9 automobila dnevno. Treba napisati vjerojatnostnu raspodjelu za broj prodanih automobila u danu, ako su zadovoljeni uvjeti Poissonove raspodjele. X P (X = k)

41 Poglavlje 6 Kontinuirane slučajne varijable 6.1 Funkcija gustoće vjerojatnosti Kod kontinuirane slučajne varijable ne govori se o vjerojatnosti da ona poprimi točno odredenu vrijednost. Govori se o vjerojatnosti da ona poprimi vijednost izmedu odredenih granica. Možemo reći da za kontinuiranu varijablu izraz P (X = x 0 ) nema puno smisla. Vjerojatnostna raspodjela kontinuirane slučajne varijable ima sljedeća svojstva: 1. Vjerojatnost da X poprimi vrijednost u bilo kojem intervalu je izmedu 0 i Ukupna vjerojatnost svih (disjunktnih) intervala u kojima se može naći X je jednaka 1. Krivulja vjerojatnostne raspodjele kontinuirane slučajne varijable zove se još i funkcija gustoće vjerojatnosti. Φ x P 1 x 1 x 2 0 P (x 1 X x 2 ) 1 P (x 1 < X < x 2 ) P (x 1 X x 2 ) = x2 x 1 ϕ(x)dx Za funkciju gustoće ϕ(x) zadanu na intervalu a, b, svojstvo 2 pišemo kao b a ϕ(x)dx = 1. 35

42 36 POGLAVLJE 6. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE 6.2 Funkcija distribucije Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable s funkcijom gustoće ϕ(x) definira se formulom F (x) = x a ϕ(t)dt. Funkcija F (x) je rastuća funkcija s vrijednostima u intervalu [0, 1]. Ako znamo F (x), funkciju gustoće vjerojatnosti dobijemo deriviranjem, ϕ(x) = F (x). Nadalje, P (x 1 X x 2 ) = F (x 2 ) F (x 1 ). 6.3 Očekivanje i varijanca kontinuirane slučajne varijable Za kontinuiranu slučajnu varijablu x s funkcijom gustoće ϕ(x) definiramo njeno očekivanje µ i varijancu formulama µ = b a xϕ(x)dx i σ 2 = b a (x µ) 2 ϕ(x)dx. Integrira se po cijelom intervalu a, b na kojem je zadana funkcija gustoće ϕ. Taj interval može biti i cijeli R, tj.,. Standardna devijacija σ definira se kao korijen iz varijance. 6.4 Normalna raspodjela Normalna raspodjela je jedna od najvažnijih i najčešćih vjerojatnostnih raspodjela koje kontinuirana slučajna varijabla može imati. Po njoj se ravnaju mnoge slučajne varijable u prirodi i društvu: visina i težina ljudi, rezultati na ispitima, životni vijek uredaja, količina mlijeka u boci, vrijeme obavljanja nekog posla, itd. Slučajna varijabla koja se ravna po normalnoj vjerojatnostnoj raspodjeli se zove normalna slučajna varijabla. Svojstva normalne raspodjela: 1. Karakterizirana je očekivanjem (srednjom vrijednošću) µ i standardnom devijacijom σ. 2. Krivulja je zvonolika i - površina pod njom je 1; - simetrična je oko µ; - repovi krivulje odlaze u beskonačnost.

43 6.4. NORMALNA RASPODJELA Veličine µ i σ su parametri normalne raspodjele X N(µ, σ) Ne postoji samo jedna normalna raspodjela, postoji mnoštvo normalnih raspodjela. Vrijednost µ odreduje apscisu maksimuma krivulje. X 1 X 2 Μ 1 Μ 2 µ 2 > µ 1 Vrijedost σ odreduje (mjeri) razmazanost krivulje. X 1 X 2 Μ X 3 σ 3 > σ 2 > σ Standardna normalna raspodjela Normalna raspodjela s parametrima µ = 0 i σ = 1 se zove standardna normaln raspodjela.

44 38 POGLAVLJE 6. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE X N(0, 1). Funkcija gustoće standardne normalne raspodjele dana je formulom f(x) = 1 2π e 1 2 x2. Funkcija distribucije standardne normalne varijable nije elementarna funkcija i ne može se izraziti jednostavnom formulom. Zove se integral vjerojatnosti i obično označava s Φ(x). Njene su vrijednosti tabelirane u statističkim tablicama Za normalnu raspodjelu s parametrima µ i σ funkcija gustoće je f(x) = 1 1 σ 2π e 2 x µ 2 σ Vrijednosti na osi apscisa standardne normalne raspodjele se obično označavaju sa z. Izražavaju se u jedinicama standardnih devijacija. Izraz z = 2 označava da je točka na osi apscise za 2 standardne devijacije desno, tj. veća, od srednje vrijednosti P 1 z 0 P 0 z P 1 z

45 6.4. NORMALNA RASPODJELA P 2 z 0 P 0 z P 2 z P 3 z 0 P 0 z P 3 z Standardna normalna distribucija je tabelirana u statističkim tablicama. Njima se treba znati služiti. Sve normalne raspodjele mogu se svesti na standardnu raspodjelu. Postupak se zove standardizacija. X N(µ, σ) N(0, 1) z = x µ σ x = µ + σz Primjer: X N(50, 10) x = 35 = z = x = 55 = z = = 1.5 = 0.5 Svi problemi s X N(µ, σ) se prvo svode na Z N(0, 1), a onda se primjenjuju tablice. Problem: - iz poznatih x ili z vrijednosti odrediti površine pod krivuljom - iz poznatih površina pod krivuljom odrediti x ili z vrijednosti x z Tablice z x

46 40 POGLAVLJE 6. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE Normalna aproksimacija binomne raspodjele ( ) n P (X = k) = p k (1 p) n k k Za velike n formule vezane uz B(n, p) postaju nespretne. Ako je n velik i p 0.5, onda je binomna raspodjela simetrična i liči na normalnu. U tim je slučajevima aproksimacija dobivena korištenjem normalne umjesto binomne raspodjele dobra. To vrijedi i za vjerojatnosti uspjeha koje nisu jako blizu 0.5 ako su i np i nq dovoljno veliki. Empiričko pravilo: Normalna raspodjela je dobra aproksimacija binarne ako je np > 5 i nq > 5. Postupak: 1. Izračunati µ i σ za binomnu distribuciju. 2. Pretvoriti diskretnu slučajnu varijablu u kontinuiranu - napraviti korekciju zbog neprekidnosti. 3. Izračunati vjerojatnost koristeći normalnu raspodjelu (standardizacija i sve što već treba). Primjer : n = 50, p = 0.237, X B(n, p), P (7 n 9). np > 5, nq > 5 možemo zamijeniti B(n, p) s N(µ, σ) µ = np = σ = = P (7 n 9) P (6.5 X 9.5) P ( 1.78 Z 0.78) P (7 X 9) =

47 6.5. UNIFORMNA VJEROJATNOSTNA RASPODJELA Uniformna vjerojatnostna raspodjela Slučajna varijabla koja se ravna po uniformnoj raspodjeli zove se uniformna slučajna varijabla. Za uniformnu slučajnu varijablu na intervalu [a, b] funkcija gustoće vjerojatnosti dana je formulom f(x) = 1. Funkcija distribucije F (x) je 0 za x < a, 1 za b a x > b i F (x) = x a b a za a x b. 1 b a Primjer: Raspodjela oštećenja na komadu autoceste. Vrijedi: Temeljna formula je µ = a + b (b a) 2, σ = 2 12 P (x x d) = d c b a. Ona odražava temeljno svojstvo, a to je da vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost u nekom intervalu ne ovisi o položaju tog intervala, već samo o njegovoj duljini. 6.6 Eksponencijalna raspodjela Eksponencijalna raspodjela je bliska Poissonovoj raspodjeli. Kod Poissonove raspodjele je slučajna varijabla poprimala vrijednosti koje su brojile dešavanje odredenog dogadaja u intervalu, vremenskom, prostornom ili volumnom. Kod eksponencijalne raspodjele gledamo vrijeme izmedu dvaju uzastopnih dešavanja dogadaja.

48 42 POGLAVLJE 6. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE Eksponencijalna raspodjela ima samo jedan parametar, λ, čije je značenje isto kao kod Poissonove raspodjele - prosječan broj pojavljivanja dogadaja u jedinici vremena. Funkcija gustoće vjerojatnosti dana je formulom f(x) = λe λx. 3 Λ 3 2 Λ 2 1 Λ 1 Zanima nas P (X a), P (X a), P (a X b). P x a P (X a) = a λe λx dx = e λx a. P (X a) = e λa, λ > 0, a > 0 Odatle i iz činjenice da je ukupna površina ispod krivulje jednaka 1 slijedi P (X a) = 1 e λa.

49 6.7. PARETOVA RASPODJELA 43 Dakle je funkcija distribucije F (x) dana formulom F (x) = 1 e λx. Odatle i iz aditivnosti vjerojatnosti slijedi i formula P (a X b) = e λa e λb. Eksponencijalnu raspodjelu možemo smatrati i graničnim slučajem geometrijske raspdjele za n. Za slučajnu varijablu X koja se ravna po eksponencijalnoj raspodjeli s parametrom λ imamo E(X) = σ(x) = 1 λ. Primjer : Službenik na šalteru posluži u prosjeku 30 stranaka na sat. Ako je vrijeme potrebno za poslužiti jednu stranku slučajna varijabla s eksponencijalnom raspodjelom, koja je vjerojatnost da će iduća stranka potrošiti više od 5 minuta? A da će biti poslužena u manje od dvije? Jedinica vremena s kojom radimo je minuta. Treba preračunati λ u minute. Dobije se λ = 30 = 0.5. Sad je 60 P (X 5) = e = e 2.5 = P (X 2) = 1 e = 1 e 1 = Paretova raspodjela Krajem XIX stoljeća talijanski ekonomist Vilfredo Pareto uočio je da se broj ljudi čiji su prihodi veći od X može dobro aproksimirati funkcijom Cx α za neke pozitivne konstante C i α. Te se konstante razlikuju od države do države, no α je obično oko 1.5. Po sličnim se zakonima ravnaju i populacije gradova, veličine tvrtki, isplate osiguranja, magnitude potresa i mnoge druge pojave. Promatramo li te veličine kao slučajne varijable, njihova bi funkcija gustoće bila oblika F (x) = α x za x 1. Takve slučajne varijable imaju Paretovu α raspodjelu s parametrom α. Pišemo X P ar(α). Očekivanje i standardna devijacija Paretove slučajne varijable s parametrom α dani su, za α > 1, formulama E(X) = α α 1, σ(x) = 1 α α 1 α 2. Za 0 < x 1, očekivanje i standardna devijacija Paretove slučajne varijable s takvim parametrom su beskonačno veliki. To znači da za takve slučajne varijable ne postoje tipične vrijednosti. Funkcija distribucije dana je formulom F (x) = 1 x α za x 1.

50 44 POGLAVLJE 6. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE

51 Poglavlje 7 Populacije i uzorci 7.1 Anketa Anketa (proba, pregled uzorka) je tehnika prikupljanja informacija koja uključuje samo dio populacije. Kad je riječ o ljudskoj populaciji govorimo o anketi. Anketa - osobno - najkvalitetnije, najskuplje, najviše odgovora i najdugoročniji utjecaj na ispitanika. - telefon - pristojan odaziv, nije jako skupo ni dugotrajno. Ljudi ne vole biti gnjavljeni kod kuće, a neki i nemaju telefon. - pošta - mali odaziv, ali isto jeftino. Najsloženiji dio je priprema upitnika. Formulacija pitanja može znatno utjecati na odgovore. 7.2 Slučajni i neslučajni uzorci Uzorak je slučajan ako svaki član populacije ima neke izglede biti izabran u uzorak. U neslučajnom uzorku neki članovi populacije nemaju nikakve izglede biti izabrani. Za slučajnost uzorka nije nužno da svi članovi imaju jednake izglede za uključivanje u uzorak. Izvlačenje iz šešira, loto, slučajni brojevi,... daju slučajne uzorke. Slučajni uzorak je obično i reprezentativan. Pogodnostni uzorak uključuje najdostupnije članove populacije (u danom trenutku ili na danom mjestu). Prvi koji dodu pod ruku. Ekspertni uzorak je odabran iz populacije na temelju prosudbe i apriornog znanja o populaciji. Takav uzorak može biti reprezentativan, no za veliku populaciju izgledi su obično mali. 45

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić (BIO)STATISTIKA seminari smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija pripremila: dr.sc. Iva Franjić Sadržaj DESKRIPTIVNA STATISTIKA 4. Grafički prikaz podataka..................... 4. Srednje vrijednosti

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači

STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači STATISTIKA KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK Primjer: svi glasači, samo neki glasači populacija uključuje sve podatke, a uzorak samo dio, slučajno izabranih kako procjeniti reprezentativni element? MJERE

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Str

Str Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 3. (vjerojatnost - zadaća)

MATEMATIKA 3. (vjerojatnost - zadaća) http://www.fsb.hr/matematika/ MATEMATIKA 3 (vjerojatnost - zadaća) Vjerojatnost. Kolika je vjerojatnost da bacanjem dviju kockica dobijemo zbroj veći od 6? 2. Strijelac A i strijelac B ga daju metu 3 puta.

Διαβάστε περισσότερα

Vjerojatnost. 1. Novčić bacamo 5 puta. Kolika je vjerojatnost da ćemo pritom ostvariti 3 puta pismo i 2 puta glava? (R: P = 5

Vjerojatnost. 1. Novčić bacamo 5 puta. Kolika je vjerojatnost da ćemo pritom ostvariti 3 puta pismo i 2 puta glava? (R: P = 5 ZADACI SA VJEŽBI IZ KOLEGIJA STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA Vjerojatnost 1. Novčić bacamo 5 puta. Kolika je vjerojatnost da ćemo pritom ostvariti 3 puta pismo i 2 puta glava? (R: P = 5 16.) 2.

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete pojmove slučajna promenljiva, raspored verovatnoća, očekivana vrednost i funkcija

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Pomoću ovih metoda buduće vrijednosti prognoziraju se na temelju povijesnih podataka. Pravila po kojima se ponašaju podaci iz prošlosti primjenjuje se na buduće

Διαβάστε περισσότερα

KONTROLA KVALITETE. Prof.dr.sc.Vedran Mudronja

KONTROLA KVALITETE. Prof.dr.sc.Vedran Mudronja KONTROLA KVALITETE Prof.dr.sc.Vedran Mudronja DEFINICIJA KVALITETE Ishikawa o kvaliteti: Kvaliteta je ekvivalent sa zadovoljstvom kupca. Kvaliteta mora biti definirana opsežno. Nije dovoljno samo reći

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

MERE DISPERZIJE ( VARIJABILNOSTI )

MERE DISPERZIJE ( VARIJABILNOSTI ) MERE DISPERZIJE ( VARIJABILNOSTI ) 1. RASPON VARIJACIJE 2.KVARTILNO ODSTUPANJE 3.PROSEČNO ODSTUPANJE 4.STANDARDNA DEVIJACIJA 5.KORELACIJA 6.STATISTIČKI POSTUPCI PRI BAŽDARENJU MERE DISPERZIJE Pokazatelji

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Vjerojatnost - 1. dio. Uvod u vjerojatnost. 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a) zbroj 8 b) barem jedna četvorka?

Vjerojatnost - 1. dio. Uvod u vjerojatnost. 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a) zbroj 8 b) barem jedna četvorka? Vjerojatnost - 1. dio Uvod u vjerojatnost 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a zbroj 8 b barem jedna četvorka? ( 5, 11 36 36. Ako se znade da je od 100 žarulja pet neispravnih,

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Analiza vremena Pert metodom

2.2. Analiza vremena Pert metodom 2.2. Analiza vremena Pert metodom Dok je kod CPM metode poznato samo jedno vreme trajanja aktivnosti t, kod Pert metode dane su tri procjene: a - optimistično vreme (najkraće moguće vreme u kojemu se može

Διαβάστε περισσότερα

Chi-kvadrat test. Chi-kvadrat (χ2) test

Chi-kvadrat test. Chi-kvadrat (χ2) test 1 Chi-kvadrat test Chi-kvadrat (χ2) test Test za proporcije, porede se frekvence Neparametarski test Koriste se dihotomne varijable Proverava se veza između dva faktora Npr. tretmana i bolesti pola i smrtnosti

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Slučajni procesi i primjene

Slučajni procesi i primjene Slučajni procesi i primjene Université d Orléans Nils Berglund siječanj 2014. Sadržaj I Markovljevi lanci 1 1 Markovljevi lanci s konačnim skupom stanja 3 1.1 Primjeri Markovljevih lanaca..........................

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku

Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 11. svibnja 2013. Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku Bilješke s predavanja

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET DIPLOMSKI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET DIPLOMSKI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET DIPLOMSKI RAD PRIMJENA STATISTIČKIH METODA KOD VREDNOVANJA SUKLADNOSTI OPEČNIH ZIDNIH ELEMENATA Osijek, 07.04.2016. SAŽETAK U radu smo

Διαβάστε περισσότερα

I INFORMATIKE STATISTIKA. Uvod u verovatnoću i statistiku Osnovni pojmovi matematičke statistike Parametri deskriptivne statistike

I INFORMATIKE STATISTIKA. Uvod u verovatnoću i statistiku Osnovni pojmovi matematičke statistike Parametri deskriptivne statistike OSNOVE SPORTSKE STATISTIKE I INFORMATIKE Predavač: Dragan Veličković, dipl.mat. MSc. profesor matematike i računarstva ECDL ovlašćeni ispitivač CS 0826J 1. Uvod STATISTIKA Uvod u verovatnoću i statistiku

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA ODLUČIVANJA DECISION ANALYSIS

TEORIJA ODLUČIVANJA DECISION ANALYSIS DONOŠENJE ODLUKA U UVJETIMA NEIZVJESNOSTI I RIZIKA TEORIJA ODLUČIVANJA DECISION ANALYSIS NEIZVJESNOST- situacija koja može rezultirati s više različitih ishoda (ne nužno i negativnih) RIZIK- šansa ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Str. 454;139;91.

Str. 454;139;91. Str. 454;39;9 Metod uzorka Predavač: Dr Mirko Savić avicmirko@eccf.u.ac.yu www.eccf.u.ac.yu Statitička maa može da e pomatra a jeda od ledeća dva ačia: potpuo pomatraje, delimičo pomatraje (metod uzorka).

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivan Slapničar Marko Matić Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mat1 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2001. Sadržaj 1 Osnove matematike 3 2 Linearna algebra 4

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Tablice mortaliteta

Tablice mortaliteta Republika Hrvatska Državni zavod za statistiku Tablice mortaliteta Republike Hrvatske 2. 22. Zagreb, 27. Republika Hrvatska Državni zavod za statistiku Tablice mortaliteta Republike Hrvatske 2. 22. Zagreb,

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA

PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA OSNOVNE S. I. JEDINICE Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak metar m duljina s, d, l kilogram kg masa m sekunda s vrijeme t amper A jakost električne struje I, i kelvin K termodinamička

Διαβάστε περισσότερα

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA **** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA JEDNADŽBE NEJEDNADŽBE APSOLUTNE JEDNADŽBE APSOLUTNE NEJEDNADŽBE

Διαβάστε περισσότερα

Studentov t-test. razlike. t = SG X

Studentov t-test. razlike. t = SG X Studentov t-test Najčešće upotrebljavan parametrijski test značajnosti za testiranje nulte hipoteze je Studentov t-test. Koristi se za testiranje značajnosti razlika između dve aritmetičke sredine. Uslovi

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Prirodni i cijeli brojevi

1.1. Prirodni i cijeli brojevi BROJEVI Upitate li nekoga, kome matematika i nije osobito bliska, c ime se matematic ari bave, moz ete oc ekivati odgovor: brojevima! I premda bas i nije toc an, odgovor nije neobic an. Jer, prva iskustva

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Definicija funkcije

1.1 Definicija funkcije . Definicija funkcije Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematičkoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja. Definicija Neka je dat skup D R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu)

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα