ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ. α)απνηειείηαη από ζσκαηίδηα, ηα νπνία πιεξνύλ όιν ην κέζν ρσξίο λα ππάξρνπλ θελά.

Transcript

1 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ 1.Πνηό ζώκα ραξαθηεξίδεηαη ζαλ ειαζηηθό κέζν; Ση ζα ζπκβεί αλ έλα ζωκαηίδην ηνπ κέζνπ εθηειέζεη εμαλαγθαζκέλε ηαιάληωζε κε ηελ επίδξαζε κηαο εμωηεξηθήο πεξηνδηθήο δύλακεο; Ειαζηηθό κέζν νλνκάδεηαη θάζε πιηθό κέζν πνπ έρεη ηηο εμήο ηδηόηεηεο: α)απνηειείηαη από ζσκαηίδηα, ηα νπνία πιεξνύλ όιν ην κέζν ρσξίο λα ππάξρνπλ θελά. β)τα ζσκαηίδηα ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε ειαζηηθέο δπλάκεηο. Σε έλα ειαζηηθό κέζν πνπ βξίζθεηαη ζε ηζνξξνπία νη δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη ζε θάζε ζσκαηίδην ηνπ κέζνπ από ηα γεηηνληθά ηνπ ζσκαηίδηα έρνπλ ζπληζηακέλε ίζε κε κεδέλ. Αλ γηα θάπνην ιόγν έλα ζσκαηίδην Σ απνκαθξπλζεί από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ, ηόηε ιόγσ ηεο ειαζηηθήο ζύλδεζεο ησλ ζσκαηηδίσλ, εκθαλίδεηαη ζπληζηακέλε δύλακε ΣF πνπ ηείλεη λα επαλαθέξεη ην ζσκαηίδην ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ. Ταπηόρξνλα, ιόγσ αληηδξάζεσλ, δέρνληαη δπλάκεηο θαη ηα γεηηνληθά πξνο ην ζσκαηίδην, νπόηε απνκαθξύλνληαη θαη απηά από ηηο ζέζεηο ηζνξξνπίαο ηνuο. Με ηνλ ηξόπν απηό ε δηαηαξαρή πνπ πξνθιήζεθε ζην ζσκαηίδην Σ δηαδίδεηαη ζηαδηαθά από ην έλα ζεκείν ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ζην άιιν θαη πξνο όιεο ηηο δηεπζύλζεηο κε νξηζκέλε ηαρύηεηα. Όηαλ ην κέζν είλαη νκνγελέο θαη ηζόηξνπν(έρεη ηηο ίδηεο θπζηθέο ηδηόηεηεο πξνο όιεο ηηο δηεπζύλζεηο), ε ηαρύηεηα απηή είλαη ίδηα πξνο όιεο ηηο δηεπζύλζεηο. Αλ έλα ζσκαηίδην Σ (ε πεγή ησλ θπκάησλ) εθηειεί εμαλαγθαζκέλε ηαιάλησζε κε ηελ επίδξαζε κηαο εμσηεξηθήο πεξηνδηθήο δύλακεο, ηόηε ε ελέξγεηα πνπ πξνζθέξεηαη ζπλερώο ζην ζσκαηίδην απηό ζα κεηαβηβάδεηαη πξνο όιεο ηηο δηεπζύλζεηο κε νξηζκέλε ηαρύηεηα. Όηαλ ην θύκα θζάλεη ζε έλα νπνηνδήπνηε ζσκαηίδην ηνπ κέζνπ, απηό αξρίδεη λα εθηειεί επίζεο εμαλαγθαζκέλε ηαιάλησζε θαη απνθηά ελέξγεηα (θηλεηηθή θαη δπλακηθή), ε νπνία κεηαβηβάδεηαη ζηα γεηηνληθά ηνπ ζσκαηίδηα θ.ν.θ. 'Έηζη, κε ηε δηαδηθαζία απηή, γίλεηαη κεηαθνξά ηεο ελέξγεηαο πνπ παξέρεηαη ζηελ πεγή Σ ησλ θπκάησλ από ην εμσηεξηθό αίηην, ρσξίο λα γίλεηαη κεηαθνξά ύιεο, αθνύ ηα ζσκαηίδηα ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ εθηεινύλ εμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο γύξσ από ηηο ζέζεηο ηζνξξνπίαο ηνπο. ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 1

2 2.Σί είλαη ην θύκα; Σί κεηαθέξεηαη κε ην θύκα; Κύκα νλνκάδεηαη ε δηάδνζε κηαο δηαηαξαρήο πνπ κεηαθέξεη ελέξγεηα θαη νξκή κε ζηαζεξή ηαρύηεηα. Καηά ηε δηάδνζε ελόο θύκαηνο κεηαθέξεηαη ελέξγεηα θαη νξκή από ην έλα ζεκείν ηνπ κέζνπ ζην άιιν, όρη όκσο θαη ύιε. 3.Πνηά είλαη ε πεγή ηωλ θπκάηωλ ; Πεγή ηωλ θπκάηωλ ιέγεηαη ην ζσκαηίδην Σ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ην νπνίν εθηειεί εμαλαγθαζκέλε ηαιάλησζε κε ηελ επίδξαζε κηαο εμσηεξηθήο πεξηνδηθήο δύλακεο 4.Πόηε έλα θύκα ιέγεηαη αξκνληθό θύκα; 'Όηαλ ε ηαιάληωζε ηεο πεγήο είλαη απιή αξκνληθή ηαιάληωζε, ηόηε ην παξαγόκελν θύκα νλνκάδεηαη αξκνληθό θύκα. Όια ηα κόξηα ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ζην νπνίν δηαδίδεηαη ην αξκνληθό θύκα, ιόγσ εμαλαγθαζκέλεο ηαιάλησζεο, εθηεινύλ Α.Α.Τ. κε ην ίδην πιάηνο Α, ίδηα ζπρλόηεηα f, ίδηα πεξίνδν Τ, ίδηα θπθιηθή ζπρλόηεηα σ, ηα νπνία είλαη ίδηα κε ηα αληίζηνηρα κεγέζε ηαιάλησζεο ηεο πεγήο. 5. Πνηα είλαη ηα είδε ηωλ θπκάηωλ κε θξηηήξην: α) ην είδνο ηεο ελέξγεηαο πνπ κεηαθέξνπλ β) ηελ θαηεύζπλζε ηαιάληωζεο ηωλ κνξίωλ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ γ) ηε δηεύζπλζε δηάδνζεο ηεο κεηαθεξόκελεο ελέξγεηαο. α) Είδε θπκάηωλ ωs πξνο ην είδνο ηεο κεηαθεξόκελεο ελέξγεηαs: Mεραληθά ή ειαζηηθά θύκαηα: Μεηαθέξνπλ κεραληθή ελέξγεηα θαη ρξεηάδνληαη θάπνην ειαζηηθό κέζν (ζηεξεό, πγξό, αέξην) γηα λα δηαδνζνύλ. Ηιεθηξνκαγλεηηθά (Η.Μ) θύκαηα: Μεηαθέξνπλ ελέξγεηα ειεθηξηθνύ θαη καγλεηηθνύ πεδίνπ. Γηα ηε δηάδνζή ηνπο δελ απαηηείηαη ε ύπαξμε ειαζηηθνύ κέζνπ. Γηαδίδνληαη θαη ζηα πιηθά θαη ζην θελό. Η ηαρύηεηα όισλ ησλ Η/Μ θπκάησλ ζην θελό είλαη ίδηα θαη ίζε κε ηελ ηαρύηεηα ηνπ θσηόο c= m/s ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 2

3 β) Είδε θπκάηωλ ωs πξνο ηελ θαηεύζπλζε ηαιάληωζεο ηωλ κνξίωλ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ: Εγθάξζηα θύκαηα: Τα κόξηα ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ηαιαληώλνληαη θάζεηα ζηελ δηεύζπλζε δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. Γηαδίδνληαη ζηα ζηεξεά ζώκαηα θαη ζηελ επηθάλεηα ησλ πγξώλ γηαηί κόλν απηά έρνπλ ειαζηηθόηεηα ζρήκαηνο θαη όγθνπ. Σην ειαζηηθό κέζν ζρεκαηίδνληαη όξνη θαη θνηιάδεο. Δηακήθε θύκαηα: Τα κόξηα ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ηαιαληώλνληαη παξάιιεια ζηε δηεύζπλζε δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. Γηαδίδνληαη κε ππθλώκαηα θαη αξαηώκαηα (όπσο ν ήρνο) θαη ζε όια ηα ζώκαηα (ζηεξεά, πγξά θαη αέξηα) αθνύ όια έρνπλ ειαζηηθόηεηα όγθνπ. γ ) Είδε θπκάηωλ ωs πξνο ηε δηεύζπλζε δηάδνζεο: Γξακκηθά θύκαηα: Μεηαθέξνπλ ελέξγεηα ζε κηα δηάζηαζε, δειαδή θαηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ (ζρνηλί, ρνξδή) Επηθαλεηαθά θύκαηα: Μεηαθέξνπλ ελέξγεηα ζε δύν δηαζηάζεηο, δειαδή ζην επίπεδν πρ. θύκαηα πνπ δηαδίδνληαη ζηελ επηθάλεηα λεξνύ Κύκαηα ρώξνπ ή ζθαηξηθά θύκαηα: Μεηαθέξνπλ ελέξγεηα ζε ηξεηο δηαζηάζεηο, δειαδή ζην ρώξν πρ. ήρνο 6.Πνηα είλαη ηα ζηνηρεία ηνπ ηξέρνληνο αξκνληθνύ θύκαηνο; Τα ζηνηρεία ελόο ηξέρνληνο αξκνληθνύ θύκαηνο είλαη ηα εμήο: α) Η πεξίνδνο (Τ), β) ε ζπρλόηεηα (f), γ) ην πιάηνο (Α), δ) ε ηαρύηεηα δηάδνζεο (π), θαη ε)ην κήθνο θύκαηνο (ι). ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 3

4 7.Ση είλαη ε πεξίνδνο (Σ), ε ζπρλόηεηα (f),ην πιάηνο (Α), θαη ην κήθνο θύκαηνο (ι) ηνπ θύκαηνο; Όηαλ ε πεγή ελόο θύκαηνο εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε πεξίνδν Τ, ζπρλόηεηα f θαη πιάηνο Α, ηόηε ηα ζσκαηίδηα ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ όπνπ δηαδίδεηαη ην θύκα εθηεινύλ επίζεο απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ έρεη ηελ ίδηα δηεύζπλζε, ηελ ίδηα πεξίνδν, ηελ ίδηα ζπρλόηεηα θαη ην ίδην πιάηνο κε ηελ ηαιάλησζε ηεο πεγήο. Τα κεγέζε απηά, όηαλ αλαθεξόκαζηε ζην θύκα, απνηεινύλ ηα αληίζηνηρα κεγέζε ηνπ θύκαηνο. Άξα: Η πεξίνδνο Σ ελόο αξκνληθνύ θύκαηνο είλαη ην ρξνληθό δηάζηεκα ζην νπνίν έλα ζωκαηίδην ηνπ κέζνπ εθηειεί κηα πιήξε ηαιάληωζε. Αλ θσηνγξαθίδακε ην κέζν ζην νπνίν δηαδίδεηαη έλα αξκνληθό θύκα ηε ρξνληθή ζηηγκή 1 = Τ θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή 2 = 2Τ, ζα βιέπακε όηη ε θπκαηηθή εηθόλα επαλαιακβάλεηαη. Δπνκέλσο, κπνξνύκε λα νξίζνπκε ηελ πεξίνδν ελόο, αξκνληθνύ θύκαηνο θαη σο εμήο: Πεξίνδνο ελόο αξκνληθνύ θύκαηνο είλαη ην ρξνληθό δηάζηεκα ζην νπνίν ε θπκαηηθή εηθόλα επαλαιακβάλεηαη. πρλόηεηα (f) ελόο αξκνληθνύ θύκαηνο είλαη ε ζπρλόηεηα κε ηελ νπνία ηαιαληώλνληαη ηα ζωκαηίδηα ηνπ κέζνπ. Η ζπρλόηεηα ηεο εμαλαγθαζκέλεο ηαιάλησζεο ησλ ζσκαηηδίσλ ελόο ειαζηηθνύ κέζνπ, ζην νπνίν δηαδίδεηαη έλα θύκα, απνηειεί ραξαθηεξηζηηθό γλώξηζκα ηεο ηαιάλησζεο ηεο πεγήο ηνπ θύκαηνο θαη δελ εμαξηάηαη από ην ειαζηηθό κέζν. Πιάηνο (Α) ελόο αξκνληθνύ θύκαηνο είλαη ην πιάηνο κε ην νπνίν ηαιαληώλνληαη ηα ζωκαηίδηα ηνπ κέζνπ. 8. Η ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο Σαρύηεηα δηάδνζεο (π) ελόο αξκνληθνύ θύκαηνο νλνκάδεηαη ε ηαρύηεηα κε ηελ νπνία δηαδίδεηαη ην θύκα ζε έλα νξηζκέλν ειαζηηθό κέζν. Όηαλ ην ειαζηηθό κέζν είλαη νκνγελέο θαη ηζόηξνπν, ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ελόο κεραληθνύ θύκαηνο είλαη ζηαζεξή θαη δίλεηαη από ηε ζρέζε: π = όπνπ είλαη ε απόζηαζε ηελ νπνία δηαηξέρεη ην θύκα θαηά κήθνο κηαο επζείαο δηάδνζήο ηνπ θαη ν ρξόλνο πνπ ρξεηάδεηαη γη' απηό. Η ηαρύηεηα δηάδνζεο ελόο θύκαηνο εμαξηάηαη από ην αλ ην θύκα είλαη εγθάξζην ή δηάκεθεο θαη θαζνξίδεηαη από ηελ ειαζηηθόηεηα θαη ηελ αδξάλεηα ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ. ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 4

5 Η ζηαζεξή ηαρύηεηα κε ηελ νπνία δηαδίδεηαη έλα θύκα ζε έλα ειαζηηθό κέζν δελ πξέπεη λα ζπγρέεηαη κε ηε ρξνληθά κεηαβαιιόκελε ηαρύηεηα ηεο ηαιάλησζεο ησλ ζσκαηηδίσλ ηνπ κέζνπ πνπ, γηα ιόγνπο δηάθξηζεο, νλνκάδεηαη ζπρλά σθύηεηα 9.Ση είλαη ην κήθνο θύκαηνο (ι) ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο Μήθνο θύκαηνο (ι) ελόο αξκνληθνύ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη ζε έλα ειαζηηθό κέζν νλνκάδεηαη ε απόζηαζε ηελ νπνία δηαηξέρεη ην θύκα ζην κέζν απηό ζε ρξόλν ίζν κε κηα πεξίνδν ηνπ θύκαηνο. Αλ ζηε ζρέζε π = ζέζνπκε = Τ θαη = ι, ζα έρνπκε: π= Τ ι => π=ι 1 => π=ι.f όπνπ f είλαη ε ζπρλόηεηα ηνπ θύκαηνο. Η ηειεπηαία ζρέζε ηζρύεη γηα νπνηνδήπνηε αξκνληθό θύκα θαη νλνκάδεηαη ζεκειηώδεο εμίζωζε ηεο θπκαηηθήο. Σηελ ζεκειηώδε εμίζσζε ηεο θπκαηηθήο ε ζπρλόηεηα f θαζνξίδεηαη από ηελ πεγή ηνπ θύκαηνο θαη ε ηαρύηεηα π θαζνξίδεηαη από ην κέζν δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. Όηαλ έλα θύκα κεηαβαίλεη από έλα κέζνλ Α ζε έλα άιιν κέζνλ Β,ε ζπρλόηεηα ηνπ θύκαηνο ζα παξακέλεη ζηαζεξή ( f=ζηαζ.), ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο ζα αιιάμεη (π Α π Β ), νπόηε όπσο παξαηεξνύκε από ηελ ζεκειηώδε εμίζσζε ηεο θπκαηηθήο,θαη ην κήθνο ηνπ θύκαηνο ζα κεηαβιεζεί νπσζδήπνηε (ι Α ι Β ) 10.Να εμεγεζεί ε δηάδνζε ελόο θύκαηνο ζε έλα γξακκηθό κέζν (πρ. έλα ζρνηλί) Θεσξνύκε ηα ζσκάηηα 1, 2, 3, 4, 5..ελόο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ(ζρνηλί) πνπ έρεη ηελ δηεύζπλζε ηνπ άμνλα,ζην νπνίν δηαδίδεηαη έλα αξκνληθό θύκα.τα ζεκεία απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε ι/4.ο ρξόλνο γηα λα κεηαθεξζεί ε δηαηαξαρή από ην έλα ζσκάηην ζην άιιν είλαη Τ/4 'Έζησ ηε ρξνληθή ζηηγκή =0, ην ζσκάηην 1(πεγή) βξίζθεηαη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο. Μεηά από ρξόλν Τ/4, ην ζσκάηην 1 βξίζθεηαη ζηε κέγηζηε απνκάθξπλζή ηνπ, ελώ ην θύκα θηάλεη ζην ζσκάηην 2 ην νπνίν ζα θηλεζεί πξνο ηα πάλσ. Μεηά ρξόλν Τ /2, ην ζσκάηην 1 βξίζθεηαη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο θηλνύκελν πξνο ηα θάησ, ην ζσκάηην 2 βξίζθεηαη ζηε κέγηζηε απνκάθξπλζε θαη ην θύκα έρεη θζάζεη ζην ζσκάηην 3, ην νπνίν ζα θηλεζεί πξνο ηα πάλσ θ.ν.θ Τν θύκα δηαδίδεηαη ζην ειαζηηθό κέζν θαηά ηελ ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ. Tα ζσκάηηα εθηεινύλ ην θαζέλα απιή ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 5

6 αξκνληθή ηαιάλησζε ζηνλ y y θαη δελ κεηαηνπίδνληαη θαηά ηνλ Μεηά από ρξόλν =T, ην θύκα ζα έρεη πξνρσξήζεη θαηά =ι. Όια ηα κόξηα (θαη ε πεγή) εθηεινύλ ηελ ίδηα Α.Α.Τ. κε ίδην πιάηνο Α, ζπρλόηεηα f, πεξίνδν Τ, θπθιηθή ζπρλόηεηα σ (ηα νπνία είλαη ίδηα κε ηα αληίζηνηρα κεγέζε ηνπ θύκαηνο) αιιά ην θαζέλα ηαιαληώλεηαη γηα δηαθνξεηηθό ρξόλν. Όπνην ζεκείν βξίζθεηαη πνην θνληά ζηελ πεγή (όηαλ ην θύκα δηαδίδεηαη ζην ειαζηηθό κέζν θαηά ηελ ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ ) ηαιαληώλεηαη πεξηζζόηεξν ρξόλν από έλα άιιν πνπ βξίζθεηαη πνην καθξηά από ηελ πεγή. 11.Να απνδείμεηε ηελ εμίζωζε ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο. Θεσξνύκε έλα γξακκηθό ειαζηηθό κέζν, ην νπνίν έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα '. Πεγή θύκαηνο O, ε νπνία βξίζθεηαη ζηελ αξρή ηνπ άμνλα ', ηε ρξνληθή ζηηγκή =0 αξρίδεη λα εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε ζε δηεύζπλζε θάζεηε (y y άμνλαο )ζηνλ. Τε ρξνληθή ζηηγκή =0 ε πεγή O πνπ παξάγεη ην θύκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο θαη θηλείηαη θαηά ηε ζεηηθή θνξά. Η εμίζσζε ηαιάλησζεο ηεο πεγήο είλαη : y=aεκσ Καηά κήθνο ηνπ άμνλα ' θαη πξνο ηελ ζεηηθή ηνπ θαηεύζπλζε δηαδίδεηαη εγθάξζην αξκνληθό θύκα. Σ έλα ζεκείν Μ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ απέρεη απόζηαζε από ηελ πεγή, ε δηαηαξαρή θηάλεη κεηά από ρξόλν: η = π όπνπ π είλαη ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. 'Έηζη, αλ ε πεγή αξρίδεη λα ηαιαληώλεηαη πεγή ηε ρξνληθή ζηηγκή =0, ην ζεκείν Μ ζα αξρίζεη ηελ ηαιάλησζή ηνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή η. Δπνκέλσο γηα θάζε ρξνληθή ζηηγκή >η,ν ρξόλνο ηαιάλησζεο ηνπ ζεκείνπ Μ ζα είλαη: M = -η = - π θαη ε εμίζσζε ηαιάλησζεο ηνπ ζεκείνπ απηνύ ζα είλαη: y=aεκσ M => y =A.εκσ( - π ) => y =Α εκ Τ 2π ( - π ) => y =Α εκ2π ( Τ - πt ) Όκσο π=ι.f => π=ι/t => π.t =ι Αξα: y =Α εκ2π ( Τ - ι ) (1) ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 6

7 όπνπ: y : ε απνκάθξπλζε ηνπ ζεκείνπ Μ ηε ρξνληθή ζηηγκή Α: ε κέγηζηε απνκάθξπλζε (πιάηνο) ηνπ Μ πνπ είλαη ίζε κε ηε κέγηζηε απνκάθξπλζε ηεο πεγήο Σ: ε πεξίνδνο ηαιάλησζεο πνπ είλαη ίζε κε απηήλ ηεο πεγήο ι :ην κήθνο θύκαηνο ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο : ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ από ηελ πεγή :ν ρξόλνο πνπ έρεη ηαιαλησζεί ε πεγή 12.Ση είλαη ην ζηηγκηόηππν ηνπ θύκαηνο; Γηα κηα δεδνκέλε ρξνληθή ζηηγκή, δειαδή γηα = l, ε εμίζσζε ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο γξάθεηαη: y =Α εκ2π ( Τ 1 - ι ) => y =Α εκ2π (ζηαζ.- ι ) (2) Η ζρέζε (2) δίλεη ηελ ρξνληθή ζηηγκή l ηελ απνκάθξπλζε y,γηα ηα δηάθνξα ζεκεία,ηνπ άμνλα Ο, από =0 έσο ην ζεκείν 1 =π. l ζην νπνίν έρεη θηάζεη ην θύκα. Γηά > 1 όια ηα ζεκεία είλαη αθίλεηα ηελ ρξνληθή ζηηγκή l αθνύ ην θύκα δελ έρεη θηάζεη ζηα ζεκεία απηά. Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζρέζεο y = f() είλαη εκηηνλνεηδήο ζπλάξηεζε ηεο απόζηαζεο, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα, θαη νλνκάδεηαη ζηηγκηόηππν ηνπ θύκαηνο. 13.Πωο από ηελ εμίζωζε ηνπ θύκαηνο παίξλνπκε ηελ εμίζωζε ηαιάληωζεο ελόο ζεκείνπ 1 ; Η εμίζσζε ηαιάλησζεο ελόο ζεκείνπ 1 πξνθύπηεη από ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο αλ ζέζνπκε = 1 y =Α εκ2π ( Τ - ι ) => y =Α εκ2π ( Τ - ι 1 ) => y =Α εκ (2π Τ - 2π ι 1 ) => y =Α εκ (2π Τ - ζηαζ) (3) ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 7

8 Η ζρέζε (3) δίλεη ηελ απνκάθξπλζε y ηνπ ζεκείνπ 1 θάζε ρξνληθή ζηηγκή θαη ηζρύεη από ηελ ρξνληθή ζηηγκή 1 = 1 πνπ ην θύκα θηάλεη ζην ζεκείν 1. Γηα < 1 ην ζεκείν 1 είλαη αθίλεην ζηελ Θ.Ι. αθνύ π ην θύκα δελ έρεη θηάζεη ζ απηό. Παξαηήξεζε Η ηαρύηεηα θαη ε επηηάρπλζε ηαιάλησζεο ηνπ ζεκείνπ = 1 είλαη: π=ωα ζπλ2π ( Τ - ι 1 ) θαη α = - ω 2 Α εκ2π ( Τ - ι 1 ) 14. Ση είλαη ε θάζε ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο; Σηελ εμίζσζε ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο, ε παξάζηαζε θ = 2π ( Τ - ι ) (4) έρεη δηαζηάζεηο γσλίαο θαη νλνκάδεηαη θάζε ηνπ θύκαηνο. 15. Αξκνληθό θύκα δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ', θαηά ηε ζεηηθή ηνπ θαηεύζπλζε. Να δεηρηεί όηη έλα ζεκείν πνπ βξίζθνληαη πνην θνληά ζηελ πεγή έρεη κεγαιύηεξε θάζε από έλα ζεκείν πνπ βξίζθεηαη πνην καθξηά από ηελ πεγή. Έζησ A < B => - A > - B => - A > - B =>2π ( - A ) > 2π ( - B ) => θ Α >θ Β ι ι Τ ι Τ ι Τ ι Τ ι Αξα, όηαλ ην θύκα δηαδίδεηαη θαηά ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ', ηα ζεκεία κε κηθξόηεξν έρνπλ κεγαιύηεξε θάζε, γηαηί ην θύκα θηάλεη πξώηα ζ απηά θαη ηαιαληώλνληαη πεξηζζόηεξν ρξόλν ζε ζρέζε κε ηα ζεκεία κε κεγαιύηεξα. Παξαηήξεζε: Όηαλ ην θύκα δηαδίδεηαη θαηά ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ', ηα ζεκεία κε κεγαιύηεξα έρνπλ κεγαιύηεξε θάζε, γηαηί ην θύκα πεξλά πξώηα απ απηά θαη ηαιαληώλνληαη πεξηζζόηεξν ρξόλν ζε ζρέζε κε ηα ζεκεία κε κηθξόηεξα. Η θάζε ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη θαηά ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ' ζα είλαη θ = 2π ( Τ + ι ) θαη ε εμίζσζή ηνπ y=αεκ2π ( Τ + ι ) ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 8

9 16. Αξκνληθό θύκα δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ', θαηά ηε ζεηηθή ηνπ θαηεύζπλζε. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηε θάζε ελόο ζεκείνπ Μ (= M ) ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Αλ ζηε θάζε ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο ζέζνπκε = M έρνπκε: θ = 2π ( Τ - M ) (5). ι Η ζρέζε απηή καο δίλεη ηε θάζε ηνπ ζεκείνπ Μ ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν θαη ηζρύεη από ηε ρξνληθή ζηηγκή Μ = M, πνπ ην θύκα θηάλεη π ζην ζεκείν Μ. Γηα =0 πξνθύπηεη θ Μ = -2π M. Γηα Μ = M πξνθύπηεη θμ = 2π ( M - ι π T.π M ) = 0 (αθνύ Τ.π=ι). ι Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο θάζεο ηνπ ζεκείνπ Μ ζε ζπλάξηεζε κε ηνλ ρξόλν θαίλεηαη ζην παξαπάλσ ζρήκα. Παξαηεξήζεηο α) Γηα < Μ = M νη ηηκέο ηεο θάζεο ηνπ ζεκείνπ Μ είλαη αξλεηηθέο. Αξλεηηθή θάζε γηα έλα ζεκείν κηα π ρξνληθή ζηηγκή ζεκαίλεη πσο ην θύκα δελ έρεη θηάζεη αθόκα ζην ζεκείν απηό, εθείλε ηε ρξνληθή ζηηγκή. Γηα = Μ = M ην θύκα θηάλεη ζην ζεκείν Μ, ε θάζε ηνπ Μ εθείλε ηελ ζηηγκή είλαη θμ =0 θαη ην ζεκείν π Μ αξρίδεη λα ηαιαληώλεηαη (y Μ =0 κε π>0 ) Γηα > Μ = M ε θάζε ηνπ ζεκείνπ Μ είλαη ζεηηθή. π β)η κεηαβνιή ηεο θάζεο ελόο ζεκείνπ Μ ζε ρξνληθό δηάζηεκα Γ = 2-1 είλαη: Γηα = 1 είλαη θ 1 = 2π ( 1 - M ) Τ ι, γηα = 2 είλαη θ 2 = 2π ( 2 - M ) θαη Γθ = θ 2 -θ 1 => Τ ι Γθ =2π ( 2 - M ) - 2π ( 1 - M ) = 2π( 2 - M M ) = 2π( ) =2π( Τ ι Τ ι Τ ι Τ ι Τ Τ Τ ) => Δθ =2π Τ Γ ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 9

10 17. Αξκνληθό θύκα δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ', θαηά ηε ζεηηθή ηνπ θαηεύζπλζε. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηε θάζε θ ηεο ηαιάληωζεο γηα ηα δηάθνξα ζεκεία ηνπ εκηάμνλα O, ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απόζηαζή ηνπο από ηελ πεγή O ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή = 0. Αλ ζηε θάζε ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο ζέζνπκε = 0 έρνπκε: θ= 2π ( 0 - ) (6) Τ ι Η ζρέζε απηή καο δίλεη ηε θάζε θ γηα ηα δηάθνξα ζεκεία ηνπ εκηάμνλα O, ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απόζηαζή ηνπο από ηελ πεγή O ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή = 0. Οη ηηκέο ηνπ είλαη από =0 (πεγή) έσο = 1 = π. 0 (ην ζεκείν πνπ έρεη δηαδνζεί ην θύκα ηε ρξνληθή ζηηγκή 0 ) Αλ =0 πξνθύπηεη θ = 2π Τ 0, ε νπνία είλαη ε θάζε ηεο πεγήο ηελ ρξνληθή ζηηγκή = 0. Αλ θ = 0 πξνθύπηεη 1 = π 0 ην ζεκείν πνπ έρεη δηαδνζεί ην θύκα ηε ρξνληθή ζηηγκή 0. Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο θάζεο θ γηα ηα δηάθνξα ζεκεία ηνπ εκηάμνλα O, ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απόζηαζή ηνπο από ηελ πεγή O ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή = 0 θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα. Παξαηεξήζεηο: α) Δηαθνξά θάζεο ησλ ηαιαληώζεσλ δύν δηαθνξεηηθώλ ζεκείσλ ηνπ κέζνπ δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή = 0. Θεσξνύκε δύν ζεκεία Α θαη Β ηνπ άμνλα Ο πνπ απέρνπλ απνζηάζεηο Α θαη Β ( Β > Α ), αληίζηνηρα από ηελ πεγή Ο ηνπ θύκαηνο, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Οη θάζεηο ησλ ηαιαληώζεσλ ζηα δύν απηά ζεκεία θαηά ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή 0, ζα είλαη, αληίζηνηρα: θ A = 2π ( 0 - A ) θαη θ Β =2π ( 0 - B ) Δπεηδή είλαη A < B, ζα είλαη θ Α > θ Β. H δηαθνξά θάζεο ηνπο Τ ι Τ ι ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή 0, ζα είλαη: Γθ=θ Α -θ Β =2π ( 0 - A ) - 2π ( 0 - B ) = 2π ( 0 - A - Τ ι Τ ι Τ ι 0 + B ) = 2π Τ ι ι B A => Δθ=2π Γ ι (7) ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 10

11 β) Γηαθνξά θάζεο ησλ ηαιαληώζεσλ ζε δύν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηνπ κέζνπ δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή = 0 αληηζηνηρεί ζε ρξνληθή δηαθνξά ηαιάλησζεο κεηαμύ ησλ ζεκείσλ: Γθ =σ.γ => Γθ= Τ 2π Γ => Γθ.Τ Γ = 2π γ)από ηε ζρέζε (7) ζπκπεξαίλνπκε ηα εμήο: i) Αλ είλαη Γ = θι, ηόηε ζα είλαη Γθ = θ.2π θαη θαηά ζπλέπεηα: y Α =Αεκθ Α => y Α =Αεκ(θ Β +θ2π) => y Α =Αεκθ Β => y Α =y Β Όηαλ ε δηαθνξά ηωλ απνζηάζεωλ δύν ζεκείωλ από ηελ πεγή ηνπ θύκαηνο είλαη αθέξαην πνιιαπιάζην ηνπ κήθνπο θύκαηνο(ή ε δηαθνξά θάζεο ηνπο είλαη αθέξαην πνιιαπιάζην ηνπ 2π) ηόηε ηα ζεκεία απηά έρνπλ ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή ηελ ίδηα απνκάθξπλζε θαη ηελ ίδηα ηαρύηεηα ηαιάληωζεο θαη ζεωξνύληαη όηη βξίζθνληαη ζε ζπκθωλία θάζεο. Δειαδή: Δ = θ.ι ή Δθ = θ.2π, θ = 1,2,... πκθωλία θάζεο ii) β) Αλ είλαη Γ=(2θ+1) 2 ι ηόηε ζα είλαη: Γθ=(2θ+1)π θαη, θαηά ζπλέπεηα: y Α =Αεκθ Α => y Α =Αεκ[θ Β +(2θ+1)π] => y Α =-Αεκθ Β => y A = -y Β Όηαλ ε δηαθνξά ηωλ απνζηάζεωλ δύν ζεκείωλ από ηελ πεγή ηνπ θύκαηνο είλαη πεξηηηό πνιιαπιάζην ηνπ κηζνύ κήθνπο θύκαηνο (ή ε δηαθνξά θάζεο ηνπο είλαη πεξηηηό πνιιαπιάζην ηνπ π), ηόηε ηα ζεκεία απηά έρνπλ ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή αληίζεηε απνκάθξπλζε θαη αληίζεηε ηαρύηεηα ηαιάληωζεο θαη ζεωξνύληαη όηη βξίζθνληαη ζε αληίζεζε θάζεο. Δειαδή: Δ=(2θ+1) 2 ι ή Δθ=(2θ+1)π, θ=0,1,2,... αληίζεζε θάζεο ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 11

12 Σύκθσλα κε ηα παξαπάλσ, ζην ζηηγκηόηππν ηνπ θύκαηνο: Τα ζεκεία A 1, Α 2 θαη Α 3 βξίζθνληαη ζε ζπκθσλία θάζεο. Τα ζεκεία Β 1 θαη Β 2 βξίζθνληαη ζε ζπκθσλία θάζεο. Τα ζεκεία A 1, Α 2 θαη Α 3 βξίζθνληαη ζε αληίζεζε θάζεο κε ηα ζεκεία Β 1 θαη Β 2. Πξνζνρή: Τα ζεκεία πνπ είλαη ζε αληίζεζε θάζεο κε έλα ζεκείν, είλαη κεηαμύ ηνπο ζε θάζε, γηαηί ε κεηαμύ ηνπο απόζηαζε είλαη αθέξαην πνιιαπιάζην ηνπ κήθνπο θύκαηνο ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 12

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Μηα πεγή Ο πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε = 0 ηνπ άμνλα ' αξρίδεη. ηε ζηηγκή = 0, λα εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε εμίζσζε y = 0,04εκ4π (SI). Τν παξαγόκελν θύκα δηαδίδεηαη θαηά ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα κε ηαρύηεηα π = 50 m/s. α. Να ππνινγίζεηε ην κήθνο θύκαηνο ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. γ. Πνηα ρξνληθή ζηηγκή ζα αξρίζεη λα θηλείηαη έλα ζεκείν Μ ηνπ άμνλα ' πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε = 500 m; δ. Τε ρξνληθή ζηηγκή = 20 s λα βξείηε γηα ην ζεκείν Μ ί) ηελ απνκάθξπλζή ηνπ y από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ. ίί) ηελ ηαρύηεηά ηνπ. ίίί) ηελ επηηάρπλζή ηνπ. Απ. ( α) 25 m (β) y = 0,04εκ2π(2 - ) (SI) ( γ) 10 s (δ) ί) 0 ίί) 0,16π m/s ίίί) 0 25 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η εμίζσζε ελόο αξκνληθνύ θύκαηνο, ην νπνίν δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ, πνπ έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ, είλαη: y=0,04εκπ(200-8) όπνπ ηα θαη y είλαη ζε m θαη ην ζε s. Να ππνινγίζεηε: α. Τε ζπρλόηεηα θαη ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. β. Τελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. γ. Τε δηαθνξά θάζεο κεηαμύ δύν ζεκείσλ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, ηα νπνία απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε Γ = 0,5 m. δ. Τε κέγηζηε ηαρύηεηα ηαιάλησζεο ησλ ζεκείσλ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ. Απ: α.f=100hz, ι=0,25m β.π=25m/s γ.γθ=4π δ.π ma =8π m/s ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 13

14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Η εμίζσζε ελόο αξκνληθνύ θύκαηνο, ην νπνίν δηαδίδεηαη ζε έλα ειαζηηθό κέζν θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ', είλαη: y=0,1εκ2π(2-4 ) (SI) α. Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. β. Πόζν απέρνπλ δύν ζεκεία Α θαη Β ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ βξίζθνληαη πάλσ ζηνλ άμνλα θαη ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή νη ηαιαληώζεηο ηνπο παξνπζηάδνπλ δηαθνξά θάζεο Γθ = 7π/2 γ. Πόζε είλαη ε κεηαβνιή ηεο θάζεο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ ζεκείνπ Α ζε ρξνληθό δηάζηεκα Γ= 2,5s; δ. Αλ ην ζεκείν Α βξίζθεηαη ζηε ζέζε Α = 5 m, πνηα ζεκεία ηνπ άμνλα αλάκεζα ζηα ζεκεία Α θαη Β βξίζθνληαη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο ηε ρξνληθή ζηηγκή =2s; Να ζεσξήζεηε όηη ην ζεκείν Α βξίζθεηαη πιεζηέζηεξα πξνο ηελ πεγή Ο ηνπ θύκαηνο από ην ζεκείν Β. Απ: α.π=8m/s β.γ=7m γ.γθ=10π rad δ.=6m, =8m θαη =10m. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Καηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ θαη θαηά ηε ζεηηθή θνξά ηνπ άμνλα ', κε ηνλ νπνίν ην κέζν ηαπηίδεηαη, δηαδίδεηαη αξκνληθό θύκα πιάηνπο A=5cm θαη ζπρλόηεηαο f=20ηz. Τε ρξνληθή ζηηγκή =0 ε πεγή O πνπ παξάγεη ην θύκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο θαη θηλείηαη θαηά ηε ζεηηθή θνξά. Κάπνηα ρξνληθή ζηηγκή νη θάζεηο ησλ ηαιαληώζεσλ δύν ζεκείσλ Α θαη Β ηνπ κέζνπ είλαη θ Α = 4π/3 rad θαη θ Β = 11π/6 rad, αληίζηνηρα. Η κεηαμύ ησλ ζεκείσλ Α θαη Β απόζηαζε είλαη Γ= 12,5cm. α. Να βξείηε πνην από ηα ζεκεία Α θαη Β βξίζθεηαη ζε κεγαιύηεξε απόζηαζε από ηελ πεγή 0 ηνπ θύκαηνο. β. Να ππνινγίζεηε ηελ απνκάθξπλζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ, θάζε θνξά πνπ ην ζεκείν Β απνθηά ηε κέγηζηε ζεηηθή απνκάθξπλζή ηνπ. γ. Να ππνινγίζεηε ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. δ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. Απ: α.ην Α β.y A = 0 κε π>0 γ.ι=50cm δ. y = 5εκ2π( ) (ηα θαη y είλαη ζε cm θαη ην ζε s) ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 14

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Δγθάξζην αξκνληθό θύκα δηαδίδεηαη θαηά ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ζε γξακκηθό νκνγελέο ειαζηηθό κέζν. Η πεγή ηνπ θύκαηνο βξίζθεηαη ζηελ αξρή Ο ηνπ άμνλα. Η εμίζσζε ηνπ θύκαηνο είλαη: y=5εκπ(2-) (ην είλαη ζε m, ην y ζε cm θαη ην ζε s) α. Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. β. Πόζν απέρεη από ην ζεκείν O έλα ζεκείν Α ηνπ κέζνπ πνπ βξίζθεηαη πάλσ ζηνλ άμνλα θαη ηαιαληώλεηαη κε θάζε κηθξόηεξε θαηά θ = από ηε θάζε ηνπ ζεκείνπ O; γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ ζεκείνπ Α ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Απ: α. π=2m/s β.=1m γ.π=0,1π ζπλ(2π-π) (SI) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Πεγή θύκαηνο O, ε νπνία βξίζθεηαη ζηελ αξρή ηνπ άμνλα ρ'ρ, ηε ρξνληθή ζηηγκή =0 αξρίδεη λα εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε εμίζσζε: y=4εκσ, (ην y είλαη ζε cm, ην ζε s) Πάλσ ζηνλ ζεηηθό εκηάμνλα O βξίζθνληαη δύν ζεκεία Α θαη Β ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, ηα νπνία απέρνπλ από ηελ αξρή Ο απνζηάζεηο Α =24cm θαη Β = 36 cm, αληίζηνηρα. Καηά ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0,15 s ην θύκα θηάλεη ζην ζεκείν Α θαη ηελ ίδηα ζηηγκή ε θάζε ηεο ηαιάλησζεο ηεο πεγήο O είλαη θ = 6π rad. α. Να ππνινγίζεηε ην πιάηνο, ηελ πεξίνδν θαη ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. γ. Πνηα ζεκεία ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ βξίζθνληαη ζε αληίζεζε θάζεο κε ηελ πεγή Ο ησλ θπκάησλ; Απ: α. A=4cm, T=0,05s,ι=8cm β.y=4εκ2π( 20-8 ),(ηα θαη y είλαη ζε cm, ην ζε s) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 γ)=28 cm, =36 cm Καηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ, ην νπνίν έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ, δηαδίδεηαη εγθάξζην αξκνληθό θύκα κήθνπο θύκαηνο ι =20cm, πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα. Η απνκάθξπλζε ελόο ζεκείνπ O, ην νπνίν ζεσξνύκε σο αξρή ηνπ άμνλα, δίλεηαη από ηελ εμίζσζε: y = 2εκ20π, (ην y είλαη ζε cm θαη ην ζε s) α. Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 15

16 γ. Να βξείηε ηε δηαθνξά θάζεο Γθ = θ Α - θ Β κεηαμύ ησλ ηαιαληώζεσλ ησλ ζεκείσλ Α ( = 40cm) θαη Β ( = -40cm) ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή. δ. 'Όηαλ ην ζεκείν Α βξίζθεηαη ζηε κέγηζηε ζεηηθή απνκάθξπλζή ηνπ, ζε πνηα απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ βξίζθεηαη ην ζεκείν Β; Απ: α. π=2 m/s β. y = 2εκ2π( ) (ηα θαη y είλαη ζε cm, ην ζε s) γ. Γθ = 8π rad δ. y B =+A ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Ηκηηνλνεηδέο εγθάξζην θύκα πιάηνπο A = 0,1 m δηαδίδεηαη θαηά κήθνο γξακκηθνύ νκνγελνύο ειαζηηθνύ κέζνπ θαηά ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ. Η εμίζσζε δνλήζεσο ηεο πεγήο 0, πνπ βξίζθεηαη ζηελ αξρή ηνπ άμνλα ρ'ρ είλαη y = Aεκσ. Σην ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο θάζεο ηνπ θύκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απόζηαζε από ηελ πεγή ηε ρξνληθή ζηηγκή = 2 s. α. Να βξείηε ηελ πεξίνδν ηνπ θύκαηνο θαη ην κήθνο θύκαηνο. β. Πόζε είλαη ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο; γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. δ. Να βξείηε γηα ηε ρξνληθή ζηηγκή = 4 s θαη γηα ην ζεκείν Α ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ην νπνίν απέρεη από ηελ πεγή Ο απόζηαζε = 1 m, ί) ηελ απνκάθξπλζή ηνπ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ. ίί) ηελ ηαρύηεηά ηνπ. ττί) ηελ επηηάρπλζή ηνπ. ε. Να ζρεδηάζεηε ην ζηηγκηόηππν ηνπ θύκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή = 2 s. Απ. (α) 0,4 s 0,4 m (β) 1 m/s (γ) y = 0,lεκ2π(2,5-2,5) (SI) (δ) ί) 0 ί) - 0,5π m/s ίίί) 0 ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 16

17 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Θεσξνύκε ζεκεηαθή πεγή παξαγσγήο θπκάησλ ηεο νπνίαο ε απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο δίλεηαη από ηελ εμίζσζε y = 2εκ(2π + θ ν ) ( ζε s, y ζε cm). Τε ρξνληθή ζηηγκή = 0 ε πεγή βξίζθεηαη ζηε κέγηζηε ζεηηθή απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηεο. Όηαλ ε πεγή πεξλάεη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηεο γηα ηξίηε θνξά, ην θύκα πνπ παξάγεηαη από απηήλ έρεη δηαδνζεί ζε απόζηαζε d = 25 cm. α. Να βξείηε ηε γσλία θ ν. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ρ'ρ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, κε αξρή O ηε ζέζε ηεο πεγήο θαη πξνο ηε ζεηηθή θνξά. γ. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο πνπ δίλνπλ ηελ ηαρύηεηα ηεο ηαιάλησζεο θαη ηελ επηηάρπλζε ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν, γηα έλα κόξην ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε = 10 cm. δ. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηε θάζε θ ηεο ηαιάλησζεο γηα ηα δηάθνξα ζεκεία ηνπ εκηάμνλα O, ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απόζηαζή ηνπο από ηελ πεγή O ηε ρξνληθή ζηηγκή = 5 s. ε. Να ζρεδηάζεηε ην ζηηγκηόηππν ηνπ θύκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή = 4,5 s. 1 Απ.(α) π/2 (β) y=2εκ2π(+ )( ζε s,,y ζε cm) 4 20 (γ) π=4πζπλ2π(- 4 1 )( ζε s, π ζε cm/s), α=-8π 2 εκ2π( )( ζε s, α ζε cm/s 2 ) ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 17

18 1. Μηα πεγή θπκάησλ εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε εμίζσζε: y= 5εκ4π (ην y είλαη ζε cm θαη ην ζε s) Τν θύκα πνπ παξάγεηαη έρεη κήθνο θύκαηνο ι = 2m θαη δηαδίδεηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ. : α. Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. ΑΚΗΕΙ γ. Να ππνινγίζεηε ηελ απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ελόο ζεκείνπ Α ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο, ην νπνίν βξίζθεηαη ζηε ζέζε = 4 m,ηε ρξνληθή ζηηγκή = 4s. Απ.: α) π=4m/s, β) y=5εκ2π(2-2 ),(ην είλαη ζε m, ην y ζε cm θαη ην ζε s), γ) y= 0 2. Σεκείν Ο ελόο ειαζηηθνύ κέζνπ, ην νπνίν βξίζθεηαη ζηε ζέζε =0 ηνπ άμνλα ρ'ρ, αξρίδεη ηε ρξνληθή ζηηγκή =0 λα εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε εμίζσζε: y=0,1εκ4π (S.I.) Τν παξαγόκελν αξκνληθό θύκα δηαδίδεηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα κε ηαρύηεηα π = 2 m/s. α. Να ππνινγίζεηε ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. γ. Πνηα ρξνληθή ζηηγκή ζα αξρίζεη λα θηλείηαη έλα ζεκείν Μ ηνπ κέζνπ, ην νπνίν βξίζθεηαη ζηε ζέζε = 5,5 m; δ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζεκείνπ Μ, από ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ αξρίδεη λα θηλείηαη. Απ.: α) ι = 1 m, β) y = 0,lεκ2π(2-), (S.I.), γ) M =2,75s, δ)y=0,lεκ(4π-11π), M (S.I.) 3. Καηά κήθνο γξακκηθνύ νκνγελνύο ειαζηηθνύ κέζνπ δηαδίδεηαη, θαηά ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε, εκηηνλνεηδέο θύκα ζπρλόηεηαο f = 500 Ηz, κε ηαρύηεηα π = 1000m/s θαη πιάηνο A = 5 cm α. Να ππνινγίζεηε: ί) ην κήθνο θύκαηνο. ίί) ηελ πεξίνδν θαη ηελ θπθιηθή ζπρλόηεηα ηεο ηαιάλησζεο ελόο κνξίνπ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 18

19 Η πεγή ηνπ θύκαηνο βξίζθεηαη ζηελ αξρή Ο ηνπ άμνλα ρ 'ρ θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0 γηα ηελ πεγή δίλεηαη όηη y = 0, π > 0. Απ.(α) i)2m ίί) s, 1000π rad/s (β)y=0,05εκ2π(500-0,5)(sl) 4. Μηα πεγή Ο αξρίδεη λα εθηειεί, ηε ζηηγκή = 0, απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε εμίζσζε y = 0,08εκπ (SI). Τν παξαγόκελν θύκα δηαδίδεηαη θαηά ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα κε π=2m/s α. Να βξείηε ηελ πεξίνδν, ηε ζπρλόηεηα θαη ην κήθνο θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. γ. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο πνπ δίλνπλ ηελ ηαρύηεηα ηαιάλησζεο θαη ηελ επηηάρπλζε ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν γηα έλα ζεκείν Μ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε = 2 m. δ. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηε θάζε θ ηεο ηαιάλησζεο γηα ηα δηάθνξα ζεκεία ηνπ εκηάμνλα O, ζε ζπλάξηεζε κε ηε ζπληεηαγκέλε, ηε ρξνληθή ζηηγκή = 5 s. Απ. (α) 2 s, 0,5 Ηz, 4 m (β) y = 0,08εκ2π(0,5-0,25) (SI) (γ) π = 0,08π ζπλ2π(0,5-0,5) (SI), α = -0,08π 2 εκ2π(0,5-0,5) (SI) (δ) θ = 5π - 0,5π (SI) 5. Πεγή παξαγσγήο εκηηνλνεηδώλ θπκάησλ βξίζθεηαη ζηελ αξρή Ο νκνγελνύο ρνξδήο κεγάινπ κήθνπο. Η εμίζσζε δνλήζεσο ηνπ ζεκείνπ Ο είλαη y = εκ10π (SI) θαη ην παξαγόκελν θύκα δηαδίδεηαη θαηά ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε. Τν κήθνο θύκαηνο είλαη ι = 0,8 m α. Πόζε είλαη ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο; β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. γ. Πόζε είλαη ε απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ, ηε ρξνληθή ζηηγκή = 1,25 s ελόο ζεκείνπ ηεο ρνξδήο ην νπνίν απέρεη από ηελ πεγή Ο απόζηαζε = 4 m. Απ. (α) 4m/s (β) y = εκ2π(5-1,25)(si) (γ) 4.l0-2 m 6. Τν άθξν Ο γξακκηθνύ νκνγελνύο ειαζηηθνύ κέζνπ αξρίδεη, ηε ζηηγκή = 0, λα εθηειεί ακείσηε αξκνληθή ηαιάλησζε κε εμίζσζε y=10εκ20π ( ζε s, y ζε cm), νπόηε δηαδίδεηαη, θαηά κήθνο ηνπ εκηάμνλα, θύκα κε ηαρύηεηα π = 1m/s α. Πόζν είλαη ην κήθνο θύκαηνο; β. Πόηε αξρίδεη λα ηαιαληώλεηαη έλα ζεκείν Μ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ην νπνίν απέρεη από ηελ πεγή O απόζηαζε = 2 m; ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 19

20 γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζεκείνπ Μ θαη λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο ηε ρξνληθή ζηηγκή = 5,625 s. Πνηα είλαη ε ηηκή ηεο θάζεο ηνπ ζεκείνπ Μ ηελ παξαπάλσ ρξνληθή ζηηγκή; δ. Πόζν απέρεη από ην ζεκείν Μ, έλα ζεκείν Ν ην νπνίν ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή ( = 5,625 s) 2π έρεη θάζε θ Ν = 72π + ;Καηά πνηα θνξά δηαδίδεηαη ην θύκα; 3 ε. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηε κεηαβνιή ηεο θάζεο ηνπ ζεκείνπ Μ ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Απ. (α) 0,1 m (β) 2 s (γ) y Μ = l0εκ2π(10-20) ( ζε s, y ζε cm), 10 cm θ M = 72π + 2 π (δ) 1/120 m από ην Ν πξνο ην Μ 7. Σηα ζρήκαηα θαίλνληαη δύν γξαθηθέο παξαζηάζεηο γηα εγθάξζην εκηηνλνεηδέο θύκα ην νπνίν δηαδίδεηαη θαηά κήθνο γξακκηθνύ νκνγελνύο ειαζηηθνύ κέζνπ, πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ. Θεσξνύκε σο αξρή ρ = 0 ηε κηα άθξε ηνπ γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ. Με βάζε ηηο πιεξνθνξίεο πνπ παξέρνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο (Ι) θαη (II), λα βξείηε α. ην κήθνο θύκαηνο θαη ηελ πεξίνδν ηνπ θύκαηνο. β. ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. γ. ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. δ. ηελ απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο, ηελ ηαρύηεηα ηαιάλησζεο θαη ηελ επηηάρπλζε ελόο κνξίνπ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ην νπνίν βξίζθεηαη ζηε ζέζε = 10 cm ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0,8 s. ε. Να ζρεδηάζεηε ην ζηηγκηόηππν ηνπ θύκαηνο θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0,4 s. Απ. (α) 10 cm, 0,8 s (β) 12,5cm/s (γ) y = 2εκ2π( 1,25-10 ) ( ζε s, y θαη ζε cm) (δ) 0, 5π cm/s, 0 ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 20

21 8. Σε έλα ζεκείν Π ειαζηηθνύ κέζνπ βξίζθεηαη πεγή, ε νπνία ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0 αξρίδεη λα παξάγεη αξκνληθά εγθάξζηα θύκαηα ζπρλόηεηαο f = 10 Ηz. Σε έλα ζηηγκηόηππν ηνπ θύκαηνο, ε απόζηαζε ελόο "όξνπο" από ηε κεζεπόκελε "θνηιάδα" είλαη l = 90cm. Να ππνινγηζηνύλ: α. Τν κήθνο θύκαηνο θαη ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. β. Η απόζηαζε από ηελ πεγή Π, ζηελ νπνία ζα έρεη θηάζεη ην θύκα ηε ρξνληθή ζηηγκή = 10s, θαζώο θαη ν αξηζκόο ησλ θπκαηηθώλ εηθόλσλ πνπ ζα έρνπλ δεκηνπξγεζεί. γ. Η ζπρλόηεηα θαη ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο, αλ θαηά ηε δηάδνζή ηνπ ζπλαληήζεη έλα δεύηεξν δηαθνξεηηθό ειαζηηθό κέζν όπνπ ε ηαρύηεηα δηάδνζήο ηνπ είλαη π = 5 m/s. Απ.:α)ι=0,6m, π=6m/s, β)=60m, k=l00, γ)f =l0hz, ι'=0,5m 9. Καηά κήθνο κηαο ειαζηηθήο ρνξδήο κεγάινπ κήθνπο, ε νπνία έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ, δηαδίδεηαη εγθάξζην αξκνληθό θύκα, πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα. Η εμίζσζε ηνπ θύκαηνο είλαη: y = 0,1 εκ(80π - 8π), (S.I.) Η πεγή Ο ηνπ θύκαηνο βξίζθεηαη ζηε ζέζε = 0 ηνπ άμνλα ρ'ρ. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηεο πεγήο ηνπ θύκαηνο. β. Να βξείηε ηε ζπρλόηεηα θαη ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. γ. Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. δ. Πόζν απέρνπλ κεηαμύ ηνπο δύν ζεκεία Α θαη Β ηεο ρνξδήο, ζηα νπνία ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή νη θάζεηο ηνπ θύκαηνο είλαη θ Α = 5π/6 rad θαη θ Β = 4π/3 rad, αληίζηνηρα; Απ.: α) y = 0,1εκ80π (S.I.), β) f= 40Ηz, ι = 0,25m, γ) π = 10m/s, δ) Γ = 6,25cm] 10. Η εμίζσζε γξακκηθνύ αξκνληθνύ θύκαηνο είλαη y = 0,lεκ2π(2-0,l)(SI). Να βξείηε α. ηελ ηαρύηεηα ηνπ θύκαηνο. β. ηελ απόζηαζε δύν ζεκείσλ ηα νπνία θάπνηα ρξνληθή ζηηγκή έρνπλ κεηαμύ ηνπο δηαθνξά θάζεο 3π/ 2. γ. Τε δηαθνξά θάζεο ελόο ζεκείνπ κεηαμύ ησλ ρξνληθώλ ζηηγκώλ 1 = 20 s θαη 2 = 25 s. Απ. (α) 20m/s (β) 7,5 m (γ) 20 π rad ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 21

22 11. Ηκηηνλνεηδέο θύκα δηαδίδεηαη θαηά ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ ζε γξακκηθό νκνγελέο ειαζηηθό κέζνλ θαη έρεη κήθνο θύκαηνο ι = 24 m. Η εμίζσζε δνλήζεσο ηεο πεγήο ε νπνία βξίζθεηαη ζηελ αξρή Ο ηνπ άμνλα είλαη y= Aεκσ. Κάπνηα ρξνληθή ζηηγκή δύν πιηθά ζεκεία Μ, Ν ηα νπνία βξίζθνληαη πάλσ ζηνλ άμνλα έρνπλ αληίζηνηρα θάζεηο θ 1 =5π/ 6 θαη θ 2 =20π/ 3. α. Να απνδείμεηε όηη ην θύκα δηαδίδεηαη κε θαηεύζπλζε από ην ζεκείν Ν πξνο ην ζεκείν Μ. β. Να ππνινγίζεηε ηελ απόζηαζε ΜΝ. 12.'Έλα εκηηνλνεηδέο θύκα ζπρλόηεηαο f= 50Ηz θαη πιάηνπο A=0,2m δηαδίδεηαη κε ηαρύηεηα Απ. (β) 70 m π = 36 m/s θαηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ, ην νπνίν έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ, πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα. Η εμίζσζε ηαιάλησζεο ηεο πεγήο, ε νπνία βξίζθεηαη ζηελ αξρή Ο ηνπ άμνλα είλαη y=aεκσ. Θεσξνύκε δύν ζεκεία Α θαη Β ηνπ κέζνπ. α. Πόζν απέρνπλ κεηαμύ ηνπο ηα ζεκεία Α θαη Β, αλ ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή νη θάζεηο ηεο ηαιάλησζεο ησλ ζεκείσλ απηώλ δηαθέξνπλ θαηά Γθ = 60 0 ; β. Πόζε είλαη ε κεηαβνιή ηεο θάζεο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ ζεκείνπ Α κέζα ζε ρξόλν Γ = 10-2 s. γ. Πόζε είλαη ε κέγηζηε δπλακηθή ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο κηαο ζηνηρεηώδνπο κάδαο Γm= kg ηνπ κέζνπ, ε νπνία βξίζθεηαη ζην ζεκείν Α; Γίλεηαη: π 2 = 10. Απ.: α)γ= 12cm, β)γθ Α = 180 0, γ) U (ma) =4J 13.'Έλα αξκνληθό θύκα δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ κε ηαρύηεηα π = 40 m/s, πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ, ν νπνίνο ηαπηίδεηαη κε ην γξακκηθό κέζν. Κάπνηα ρξνληθή ζηηγκή νη θάζεηο ησλ ηαιαληώζεσλ δπν ζεκείσλ Α θαη Β ηνπ κέζνπ είλαη θ Α =15π rad θαη θ Β = 45π rad, αληίζηνηρα. Τν ζεκείν Β βξίζθεηαη ζε απόζηαζε d=5m από ηε ζέζε =0 όπνπ βξίζθεηαη ε πεγή Ο ηνπ θύκαηνο θαη είλαη ην ηξίην θαηά ζεηξά ζεκείν ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ έρεη κόληκα αληίζεηε απνκάθξπλζε θαη αληίζεηε ηαρύηεηα από ηελ πεγή Ο. α. Να εμεηάζεηε, αλ ην θύκα δηαδίδεηαη από ην ζεκείν Α πξνο ην ζεκείν Β ή αληίζηξνθα. β. Να ππνινγίζεηε ηε ζπρλόηεηα ηνπ θύκαηνο. γ. Να ππνινγίζεηε ηελ απόζηαζε ησλ ζεκείσλ Α θαη Β. δ. Όηαλ ην ζεκείν Β δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ, θηλνύκελν θαηά ηε ζεηηθή θνξά, πνηα είλαη ε απνκάθξπλζε θαη ε θνξά θίλεζεο ηνπ ζεκείνπ Α; Απ.: α) Από ην Β πξνο ην Α, β) f=20hz, γ) Γ=30m, δ) Σηε ζέζε ηζνξξνπίαο, θηλνύκελν θαηά ηε ζεηηθή θνξά ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 22

23 14.'Έλα γξακκηθό ειαζηηθό κέζν έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ. Μηα πεγή παξαγσγήο εκηηνλνεηδώλ θπκάησλ, ε νπνία βξίζθεηαη ζηελ αξρή Ο ηνπ άμνλα ρ'ρ, αξρίδεη ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0 λα εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε εμίζσζε y = 10εκσ (ην y είλαη ζε cm θαη ην ζε s). Τν παξαγόκελν θύκα δηαδίδεηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα. Πάλσ ζηνλ άμνλα βξίζθνληαη δύν ζεκεία Α θαη Β ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, ηα νπνία απέρνπλ από ηελ αξρή Ο απνζηάζεηο Α = 20cm θαη B =30cm, αληίζηνηρα. Τε ρξνληθή ζηηγκή = 0,2s ην θύκα θηάλεη ζην ζεκείν Α θαη ε θάζε ηεο ηαιάλησζεο ηεο πεγήο είλαη θ = 8π rad. α. Να ππνινγίζεηε ηε ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο ηεο πεγήο. β. Να ππνινγίζεηε ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. δ. Να πξνζδηνξίζεηε ηα ζεκεία ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ, ηα νπνία βξίζθνληαη ζε ζπκθσλία θάζεο κε ηελ πεγή ηνπ θύκαηνο. Απ.:α)f=20Ηz, β)ι=5cm, γ) y=10εκ2π( 20-5 )(ηα θαη y είλαη ζε cm θαη ην ζε s), δ)=20cm, =25cm, =30cm 15.'Έλα γξακκηθό ειαζηηθό κέζν έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ. 'Έλα εγθάξζην αξκνληθό θύκα, ην νπνίν δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ζην ζεηηθό εκηάμνλα, πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε: y = 0,25εκ(4π + 2π) (SI) α. Να πξνζδηνξίζεηε ηελ θαηεύζπλζε δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. β. Να βξείηε ηε ζπρλόηεηα θαη ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. γ. Να βξείηε ην κέηξν ηεο κέγηζηεο ηαρύηεηαο ησλ δηαθόξσλ ζεκείσλ ηνπ κέζνπ. δ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ελόο εγθάξζηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο ηνπ ηδίνπ πιάηνπο θαη δηπιάζηαο ζπρλόηεηαο, ην νπνίν δηαδίδεηαη αληίζεηα κε ηελ ίδηα ηαρύηεηα ζην ίδην ειαζηηθό κέζν. Απ. : α) Πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε, β) f = 2 Ηz, ι = 1 m γ) π ma =π m/s, δ) y = 0, 25εκ2π( 4 2), (SI) 16.Καηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ, ην νπνίν εθηείλεηαη ζηε δηεύζπλζε ρ'ρ, δηαδίδεηαη εγθάξζην αξκνληθό θύκα κε ηαρύηεηα π = 2 m/s. Θεσξνύκε σο αξρή ηνπ άμνλα έλα ζεκείν Ο ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, ην νπνίν αξρίδεη λα εθηειεί ακείσηε ηαιάλησζε ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0, κε εμίζσζε: y = 0,1 εκπ (S.I.) α. Να βξείηε ηε ζπρλόηεηα θαη ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 23

24 γ. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ζε βαζκνινγεκέλνπο άμνλεο ηε θάζε θ ηεο ηαιάλησζεο γηα ηα δηάθνξα ζεκεία ηνπ εκηάμνλα Ο, ζε ζπλάξηεζε κε ηε ζπληεηαγκέλε, ηε ρξνληθή ζηηγκή =5s. δ. Να ζρεδηάζεηε ην ζηηγκηόηππν ηνπ θύκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή = 5 s. Απ.:α) f=0,5hz, ι=4m, β) y=0,1εκ2π( ) (S.I.), 2 4. γ) θ = 5π- 2 (ην είλαη ζε m θαη ην θ ζε rad) 17.Σηελ επηθάλεηα ηνπ λεξνύ κηαο δεμακελήο δεκηνπξγείηαη έλα αξκνληθό θύκα, ην νπνίν δερόκαζηε όηη είλαη εγθάξζην. Τν θύκα έρεη κήθνο θύκαηνο ι = 2cm θαη δηαδίδεηαη κε ηαρύηεηα π = 0,2m/s. Με ηελ επίδξαζε ηνπ θύκαηνο, έλα κηθξό θνκκάηη θειινύ κάδαο m = kg ηαιαληώλεηαη ζε θαηαθόξπθε δηεύζπλζε. Η κέγηζηε ηαρύηεηα ηαιάλησζεο ηνπ θειινύ έρεη κέηξν π ma = 0,1π m/s. α. Να ππνινγίζεηε ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ θειινύ. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ηνπ ζεηηθνύ εκηάμνλα Ορ, ν νπνίνο έρεη σο αξρή Ο ηελ πεγή ηνπ θύκαηνο θαη δηέξρεηαη από ηε ζέζε όπνπ βξίζθεηαη ν θειιόο. γ. Να ππνινγίζεηε ηελ νιηθή ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο ηνπ θειινύ. Γίλεηαη: π 2 = 10. Απ.: α) A=5mm, β) y=5εκ2π( 10-2 ), (ην είλαη ζε cm, ην y ζε mm θαη ην ζε s), γ) E=2, J 18.Καηά κήθνο ελόο νξηδόληηνπ ζπεηξνεηδνύο ειαηεξίνπ δηαδίδεηαη δηάκεθεο αξκνληθό θύκα από ηα αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά κε ηαρύηεηα π = 2m/s. Τν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ησλ ζπεηξώλ ηνπ ειαηεξίνπ είλαη Α = 5 mm. Γηαπηζηώλεηαη όηη από κηα ηπραία ζέζε ηνπ ειαηεξίνπ δηέξρνληαη θ = 5 "ππθλώκαηα" ηνπ θύκαηνο, ζε ρξόλν =0,8s. α. Να βξείηε ηε ζπρλόηεηα ηνπ θύκαηνο θαη ην κήθνο θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο, αλ θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0 ε ζπείξα πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε = 0 έρεη απνκάθξπλζε y = 0 θαη θηλείηαη θαηά ηε ζεηηθή θνξά. γ. Να ππνινγίζεηε ηε κεραληθή ελέξγεηα κηαο ζπείξαο ηνπ ειαηεξίνπ, αλ ε κάδα θάζε ζπείξαο είλαη m=10-4 g. Γίλεηαη: π 2 =10 Aπ.:α) f=5hz, ι=40cm, β) y=5εκ2π(5-40 ), ( ζε cm,y ζε mm, ζε s) γ) E=1, J ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 24

25 19.Καηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ, ην νπνίν έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ, δηαδίδεηαη εγθάξζην αξκνληθό θύκα πιάηνπο A=3cm θαη ζπρλόηεηαο f= 20Ηz. Τν θύκα δηαδίδεηαη ζηνλ αξλεηηθό εκηάμνλα πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0 θηάλεη ζηελ αξρή Ο ηνπ άμνλα ρ'ρ. Η ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο είλαη π = 4m/s. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ελόο ζεκείνπ Β ηνπ κέζνπ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε =-45cm ηνπ άμνλα, ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. β. Να ππνινγίζεηε ηε δηαθνξά θάζεο ησλ ηαιαληώζεσλ ηνπ ζεκείνπ Β θαη ελόο ζεκείνπ Γ ηνπ κέζνπ, ην νπνίν βξίζθεηαη ζηε ζέζε = +45cm ηνπ άμνλα. γ. Πνηα είλαη ε απνκάθξπλζε ηνπ ζεκείνπ Β, όηαλ ην ζεκείν Γ βξίζθεηαη ζηε κέγηζηε αξλεηηθή απνκάθξπλζή ηνπ. 9 Απ.: α) y = 3εκ( 40π + ), (ην y ζε cm θαη ην ζε s), β) Γθ = 9π, γ) y= +3cm 2 20.Καηά κήθνο ελόο ζρνηληνύ, ην νπνίν έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ, δηαδίδεηαη εγθάξζην αξκνληθό θύκα. Η αξρή Ο ηνπ άμνλα ηαπηίδεηαη κε ην αξηζηεξό άθξν ηνπ ζρνηληνύ, ην νπνίν αξρίδεη λα εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0 κε εμίζσζε y=αεκ5π (ην y ζε cm θαη ην ζε s). Σην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο δίλεηαη έλα ζηηγκηόηππν ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ηνπ ζρνηληνύ, θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή o. α. Να πξνζδηνξίζεηε ηε ρξνληθή ζηηγκή o., β. Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. δ. Να ππνινγίζεηε ηε δηαθνξά θάζεο ησλ ηαιαληώζεσλ δύν ζεκείσλ ηνπ ζρνηληνύ, ζηα νπνία ην θύκα θηάλεη κε δηαθνξά ρξόλνπ Γ = 1 s. Απ.: α) o = 0,8 s, β) π = 0,5 m/s,γ) y = 2εκπ( 5-10 ), (ηα θαη y ζε cm θαη ζε s), δ) Γθ = 5π J 21.Καηά κήθνο ελόο ειαζηηθνύ λήκαηνο κεγάινπ κήθνπο, ην νπνίν έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ, δηαδίδεηαη έλα εγθάξζην αξκνληθό θύκα κε ηαρύηεηα π = 4 m/s, πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα. 'Έλα ζεκείν Μ ηνπ λήκαηνο, ην νπνίν βξίζθεηαη ζην ζεηηθό εκηάμνλα, ζε απόζηαζε Μ = 2m από ηελ αξρή Ο ηνπ άμνλα, εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε εμίζσζε y Μ =0,1εκ8π (S.I.). α. Να ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο πεγήο ηνπ θύκαηνο, ε νπνία βξίζθεηαη ζηελ αξρή Ο ηνπ άμνλα. γ. Να βξείηε ηε δηαθνξά θάζεο Γθ = θ Β -θ Γ κεηαμύ ησλ ηαιαληώζεσλ δύν ζεκείσλ Β( Β =-0,5m) θαη Γ( Γ =+2,5m) ηνπ λήκαηνο, ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή. δ. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο κέγηζηεο επηηάρπλζεο ηνπ ζεκείνπ Γ; Γίλεηαη: π 2 =10. Aπ.:α)ι=1m, β)y=0,1εκ(8π+4π), (S.Ι.) γ)γθ=6π, δ) α ma =64m/s 2 ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 25

26 22.Καηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ, ην νπνίν έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ, δηαδίδεηαη έλα εγθάξζην αξκνληθό θύκα πιάηνπο Α = 5 cm, πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα. Η πεγή ηνπ θύκαηνο βξίζθεηαη ζηελ αξρή ηνπ άμνλα θαη εθηειεί αξκνληθή ηαιάλησζε κε εμίζσζε y=αεκσ. Σην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο δίλεηαη ε κεηαβνιή ηεο θάζεο θ ηoπ θύκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απόζηαζε από ηελ πεγή Ο ηνπ θύκαηνο θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0,5 s. α. Να ππνινγίζεηε ηελ πεξίνδν θαη ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. γ. Να ζρεδηάζεηε ην ζηηγκηόηππν ηνπ θύκαηνο θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0,5 s. Απ: α.τ=0,25 s,ι = 0,2m β.y=0,05εκ2π(4-5),(ηα θαη y είλαη ζε m, ην ζε s) 23. Έλα εκηηνλνεηδέο θύκα δηαδίδεηαη πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ θαη έρεη ηα εμήο ραξαθηεξηζηηθά: A = 0,05 m, ι = 0,8 m, f = 4 Ηz. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο ζε θάζε κηα από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο: α. Σηε ζέζε = 0, γηα = 0 είλαη y = 0 θαη λ > 0. β. Σηε ζέζε = 0,1 m γηα = 0 είλαη y = 0 θαη λ > 0. Απ. (α) y = 0,05εκ2π(4+1,25)(SΙ) (β) y = 0,05εκ2π(4+1, )(SI) 24. Γίλεηαη ην αξκνληθό θύκα κε εμίζσζε y = 0,08εκ(30-0,24 + π) (SI). α. Να ππνινγίζεηε ί) ηελ ηαρύηεηα ηνπ θύκαηνο. ίί) ηε κέγηζηε ηαρύηεηα ηαιάλησζεο ελόο ζεκείνπ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ. β. Να βξείηε ηελ ηαρύηεηα ηεο ηαιάλησζεο, ηε ζηηγκή = 0, ελόο ζεκείνπ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε = 25π/3 m. γ. Να βξείηε ηελ ηαρύηεηα ηεο ηαιάλησζεο, ηε ζηηγκή = 0,lπ s, ελόο ζεκείνπ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε = 50π m. Απ. (α) ί) 125 m/s ίί) π o = 2,4 m/s (β) π = -2,4 m/s (γ) π = 2,4 m/s ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 26

27 25.Καηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ νκνγελνύο ειαζηηθνύ κέζνπ, ην νπνίν έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ, δηαδίδεηαη εγθάξζην αξκνληθό θύκα κε πιάηνο Α= 10cm, κήθνο θύκαηνο ι=20cm θαη ηαρύηεηα π=2m/s. Τν θύκα δηαδίδεηαη, πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0 θηάλεη ζην ζεκείν Ο, αξρή ηνπ άμνλα ρ'ρ. Γηα ην ζεκείν Ο δίλεηαη όηη ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0 δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θηλνύκελνπ θαηά ηελ αξλεηηθή θνξά. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζεκείνπ Ο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. γ. Να ζρεδηάζεηε ηε κνξθή ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, δεμηά ηνπ ζεκείνπ Ο, ηε ρξνληθή ζηηγκή = T, όπνπ Τ ε πεξίνδνο ηνπ θύκαηνο. Απ.: α) y= 0,lεκ(20π+π), (S.I.) β) y= 0,1εκ[2π(10-5) + π] (S.I.) 26. Καηά κήθνο γξακκηθνύ νκνγελνύο ειαζηηθνύ κέζνπ δηαδίδεηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ εγθάξζην εκηηνλνεηδέο θύκα κε πιάηνο A = 4 cm, κήθνο θύκαηνο ι =20 cm θαη ηαρύηεηα π = 2m/s. Τε ρξνληθή ζηηγκή = 0 ην θύκα θζάλεη ζην ζεκείν O, αξρή ηνπ άμνλα ρ'ρ. Γηα ην ζεκείν Ο δίλεηαη όηη ηε ρξνληθή ζηηγκή = 0 δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θηλνύκελν θαηά ηελ αξλεηηθή θνξά. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζεκείνπ Ο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ελόο ζεκείν Α ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ην νπνίν έρεη ζπληεηαγκέλε = 15 cm, ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. γ. Να ζρεδηάζεηε ηε κνξθή ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, δεμηά ηνπ ζεκείνπ O, ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο: 0, Τ/2, Τ, 3Τ/2, 2Τ, 5Τ/2. Απ. (α) y = 4εκ(20π+π) (β) y = 4εκ(20π - 2 π ) (y ζε cm, ζε s) ] 27.Καηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ, ην νπνίν έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ, δηαδίδεηαη έλα εκηηνλνεηδέο θύκα, πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα. Η πεγή ηνπ θύκαηνο βξίζθεηαη ζηελ αξρή Ο ηνπ άμνλα θαη εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε εμίζσζε: 5 y=6εκ( +θ0 ), (y ζε cm θαη ζε s) 2 Τε ρξνληθή ζηηγκή = 0 ε πεγή ηνπ θύκαηνο βξίζθεηαη ζηε κέγηζηε αξλεηηθή απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηεο. Όηαλ ε πεγή δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηεο γηα δεύηεξε θνξά, ην θύκα έρεη δηαδνζεί ζε απόζηαζε d = 30cm. α. Να πξνζδηνξίζεηε ηελ ηηκή ηεο γσλίαο θ ν. β. Να ππνινγίζεηε ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 27

28 δ. Να ππνινγίζεηε ηε κέγηζηε ηαρύηεηα κεηαβνιήο ηεο απνκάθξπλζεο ησλ δηαθόξσλ ζεκείσλ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ. Απ: α. θ 0 =3π/2 β.ι=40cm γ.y=6εκ[( ( ) ] (,y ζε cm θαη ζε s) 'Έλα εκηηνλνεηδέο θύκα δηαδίδεηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ θαη έρεη πιάηνο y δ.( )ma =0,15π m/s A = 0,1 m, κήθνο θύκαηνο ι = 0,4 m θαη ζπρλόηεηα f = 4 Ηz. Η πεγή ηνπ θύκαηνο βξίζθεηαη ζηελ αξρή Ο ηνπ άμνλα. Γηα = 0, ζηε ζέζε = 0 ε απνκάθξπλζε είλαη y = 0,1 m. α. Να βξείηε i) ηνλ θπκαηηθό αξηζκό k= ι 2π ίί) ηελ πεξίνδν θαη ηελ θπθιηθή ζπρλόηεηα ηνπ θύκαηνο. ίίί) ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. β. Να πξνζδηνξίζεηε ηελ αξρηθή θάζε ηνπ θύκαηνο θαη λα γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. Απ:α. i)5π m -1 ii)1/4 s,8π rad/s, iii) 1,6 m/s β.π/2, y=0,1εκ2π(4-2, ) (SI) ΚΕΦ.2 ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 28