ύο τρέχοντα και ένα στάσιµο

Transcript

1 Φυσική κτεύθυνσης κύµτ ύο τρέχοντ κι έν στάσιµο Κτά µήκος εστικής χορής, την οποί θεωρούµε άξον xox µε θετική φορά προς τ εξιά, ιίοντι ύο ρµονικά εγκάρσι κύµτ, µε ντίθετες κτευθύνσεις κι τχύτητ m/s. Τ κύµτ πράγοντι πό σύγχρονες πηγές, οι οποίες άρχισν την τάντωσή τους κινούµενες προς τ θετικά (πάνω) µε πάτος ίσο µε cm κι συχνότητ 0,5Hz. Τ κύµτ συµβάουν τη χρονική στιγµή t = 0 στη θέση x = 0 του άξον. i) Ν ώσετε τις εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων που ιίοντι στη χορή ά κι του στάσιµου που σχηµτίζετι. ii) Ν βρείτε το πάτος τάντωσης ενός σηµείου της χορής, ν η ιφορά φάσης µετξύ των κυµάτων στο σηµείο υτό είνι ϕ =. iii) Γι τη χρονική στιγµή t = 3s κι γι την περιοχή 16m x 16m της χορής: ) Ν βρείτε τις θέσεις των εσµών κι των κοιιών. β) Ν ώσετε τις γρφικές πρστάσεις των φάσεων των ύο κυµάτων σε συνάρτηση µε τη θέση. γ) Ν ώσετε τη γρφική πράστση της ιφοράς φάσης ϕ=ϕ ϕ σε συνάρτηση µε τη θέση, γι την περιοχή της χορής που έχει σχηµτιστεί στάσιµο. Όπου φ κι φ η φάση του κύµτος που ιίετι προς τ ριστερά κι προς τ εξιά ντίστοιχ. ) Ν ώσετε τ στιγµιότυπ των τρεχόντων κυµάτων. Επίσης ν σχειάσετε τη γρφική πράστση της ποµάκρυνσης των σηµείων του µέσου y=f(x). ε) Ν βρείτε τις φάσεις των κυµάτων στ σηµεί Κ ( xk = 3m), Λ xλ = m 3 κι Ν ( x ) N = 1m. Χρησιµοποιώντς τις φάσεις των σηµείων ν υποογίσετε το πάτος τάντωσης κάθε σηµείου κι στη συνέχει ν είξετε ότι τ σηµεί Κ, Λ είνι ντιφσικά ενώ τ Λ, Ν είνι συµφσικά. iv) Ν βρείτε τη χρονική στιγµή κι τη θέση των σηµείων γι τ οποί εκείνη τη στιγµή ισχύουν οι σχέσεις ϕ = 6π κι ϕ +ϕ = 6π. Στη συνέχει ν ώσετε την γρφική πράστση της ποµάκρυνσης των σηµείων της χορής y=f(x) γι την περιοχή µετξύ των σηµείων κι γι τη χρονική στιγµή που υποογίστε. -1-

2 Φυσική κτεύθυνσης κύµτ Απάντηση i) Έχουµε υ =f = 8m. Έτσι γι το κύµ µ που κτευθύνετι προςς τ εξιά (θετικά) έχουµ µε y= ηµ t x π 8 µε x t ενώ γι το κύµ που κτευθύνετι προς τ ριστερά (ρνητικά) έχουµε t x y= ηµ π + 8 µε x t. Γι το στάσιµο που σχηµτίζετι ι έχουµε y= = 8συν ηµ µε t x t. ii) Έχουµε t x t x ϕ = π + π ϕϕ = T T ϕ=. Επίσης A = AA συν. ϕ Άρ A = A συν A = 8 συν A = cm. iii) Στάσιµ µο κύµ έχουµε στην περιοχή t x t 6m x 6mm. ) Οι εσµοί βρίσκοντι στις θέσεις x = ( κ + 1) x = κ+. Άρ Ά 6 κ+ 6 κ 1 κι κ = -, -1, 0, 1. εσµοίί βρίσκοντι στις θέσεις -6m, -m, m, 6m. Οι κοιίες βρίσκοντι στις θέσεις x = κ x = κ. Άρ 6 κ 6 1,5 κ 1,55 κι κ = -1, 0, 1. Οι κοιίες βρίσκοντι στις θέσεις -m, 0, m. β) Οι φάσεις των κυµάτων ίνοντι πόό τις πρκάτω σχέσεις: t x ϕ(x, t) = π ϕ 8 t x ϕ(x, t) = π + ϕ 8 ( x) ( x) = µ µε x 6m γι το κύµ που πάει προς τ εξιά κι = + µ µε x 6m γι το κύµ που πάει προς τ ριστερά. Οι ζητούµενες γρφικές πρστάσεις φίνοντι στο πρκάτω σχήµ (µε κόκκινο χρώµ η γρφική πράστση γι το κύµ προς τ ριστερά): --

3 Φυσική κτεύθυνσης κύµτ γ) Γι τη ιφορά φάσης ϕ = ϕ ϕ έχουµ µε: ϕ =, ότν -6 x 6m κι η γρφική πράστση φίνετι στο πρκάτω σχήµ: ) Γι τ στιγµιότυπ έχουµε: π x ηµ µε x 6m γι το κύµ που πάει προς τ ριστερά. π x ηµ + µε x 6m γι το κύµ που πάει προς τ εξιά. Επίσης την χρονική στιγµή t = 3s έχει σχηµτιστεί στάσιµο µε εξίσωση 8συν ηµ 8 συ υν ηµ y= 8συν µε 6m x 6m. Οι γρφικές πρστάσεις είνι: -3-

4 Φυσική κτεύθυνσης κύµτ ε) Γι το σηµείο Κ ϕ ( έχουµε ( ϕ 3 π π ( 3) = + ϕ ( =. π( /3) 7π ϕ = + ϕ = Γι το σηµείο Ν έχουµε ϕ π( 3) = ϕ π ( /3) Γι το σηµείο Λ έχουµε ϕ = 3 () 1 = π 5 π ϕ () 1 = κι ϕ (1 1 Τ στρεφόµεν ινύσµτ των σηµείωνν Κ, Λ, Ν ίνοντι στο πρκάτω π σχήµ (µπε γι το κύµ προς τ εξιά, κόκκινο γι το κύµ προς τ ριστερά κι πορτοκί γι το στάσιµο): ( 9π = κι 11π ϕ = κι 3 6 ) π 7π = + ϕ () 1 =. Από τη µεέτη των στρεφόµενων ινυσµ µάτων πίρνουµε: Γι τ σηµεί Κ κι Ν τ πρηόγρµ µµ που σχηµτίζοντι είνι ε τετράγων άρ το πάτος της συνιστµένης τάντωσης είνι ίσο µε A = A A = cm. Επίσης τοο στρεφόµενο ιάνυσµ που ντιστοιχεί στη συνιστµ µένη τάντωση βρίσκετι πάνω στηνν κτκόρυφη ιάµετρο. Γι το σηµείο Λ το πρηόγρµµο που σχηµτίζετι είνι ρόµ µβος κι η γωνί µετξύ των ινυσµάτων ίση µε π rad 3 της συνιστµένης τάντωσης είνι A = A κι το στρεφόµενο που π ντιστοιχεί στη συνιστµένη τάντωση βρίσκετι πάνω στην κτκόρυφη ιάµετρο.. Άρ σχηµτίζετι ρόµβος µε ισόπευρ τρίγων. Συνεπώς το τ πάτος Από τις κτευθύνσεις των στρεφόµενων που ντιστοιχούν στις συνιστµένες τντώσειςς συµπερίνουµε ότι τ σηµεί Κ, Λ είνι ντιφσικά ενώ τ σηµεί Λ, Ν είνιι συµφσικά. iv) Αν το σηµείο βρίσκετι στο θετικό ηµιάξον έχουµε ϕ >ϕ, ενώ ν βρίσκετιι στον ρνητικό ηµιάξον έχουµε ϕ <ϕ. Συνεπώς: --

5 Φυσική κτεύθυνσης κύµτ Γι το σηµείο στο θετικό ηµιάξο Γι το σηµείο στο θετικό ηµιάξο t x t x Επίσης ϕ +ϕ = π + + π ϕ +ϕ = π t 6 π= t = 6ss.* T T T 1m x=υ x = 1m, ενώ το προς τ ριστερά στη θέση x= υ x= 1m. t x 1m ϕ ϕ = 6π = 6π x = 1m. ν ϕ ϕ = 6π = 6π x= 1m. ν Άρ πρέπει ν ποώσουµε την εικόν της χορής την στιγµή t = 6s γι την περιοχή. Πρτηρούµ µε ότι το προς τ εξιά κύµ έχει φτάσει φ στηνν θέση t= 6s Η εικόν της χορής ίνετι πό τη σχέση y= 8συν ηµ y= 0, ηή η χορή είνι οριζόντι. Στο πρκάτω σχήµ φίνετι η εικόν της χορής ά κι τ τρέχοντ κύµτ στ οποί οφείετι (τ βέη είχνουν τις τχύτητες των κοιιών). t Σχόιο: * Από την επίυση των συστηµάτων προκύπτει γι το σηµείο x = 1m την t = 6s : ϕ = 0 κι ϕ = 6π,, άρ το κύµ προς τ ριστερά µόις έφτσε ενώώ όγω του κύµτος προς τ εξιά το σηµείο έχει συµπηρώσει τρεις τντώσεις. Αντίστοιχ γι το σηµείο x = 1m την t= 6ss έχουµε ϕ = 6 π κι ϕ 0, άρ τοο κύµ προς τ εξιά µόις έφτσε ενώ όγω του κύµτος προς τ ριστερά το σηµείο έχειι συµπηρώσει τρεις τντώσεις. = Πάµοςς ηµήτρης -5-