( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

Transcript

1 Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο του συνόλου Β ( σύνολο φίξεων ). Ότν τ σύνολ Α, Β είνι υποσύνολ του, τότε έχουμε μι πργμτική συνάρτηση. Από τον ορισμό της συνάρτησης, προκύπτουν: 1 Α υπάρχει μονδικό y : y f Η συνάρτηση ορίζετι με τον τύπο: f : f =.../ Α Β =. 3 Το πεδίο ορισμού Α προσδιορίζετι, λμβάνοντς υπ όψη ότι είνι Α f κι οι πρστάσεις, Β με Β 0, n0, n με <0 δεν 0 έχουν νόημ στο. Πράδειγμ: Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης με τύπο: Λύση: ( ) og 1 f = 9 Γι ν έχει νόημ η συνάρτηση πρέπει ν ισχύουν: ± 3. 1> 0 > 1 3. οg( 1) 0 οg( 1) οg

2 Πγκόσμιο χωριό γνώσης Σύμφων με τους περιορισμούς υτούς κι με την βοήθει του άξον των πργμτικών ριθμών: έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, είνι: [,3) ( 3, ) Α = + 4. Το Α ονομάζετι νεξάρτητη μετβλητή, ενώ το y που είνι η ντίστοιχη τιμή της f ( y f ) =, ονομάζετι εξρτημένη μετβλητή. 5. Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης, συμβολίζετι κι με D f. 6. Το σύνολο όλων των τιμών της συνάρτησης f:α Β, ονομάζετι σύνολο τιμών κι συμβολίζετι: { } f Α = y/ y= f Β γι κάποιο Α Προφνώς το f ( Α ) είνι υποσύνολο του πεδίου φίξεων, δηλδή f ( Α) Β..3.. Συντομογρφί συνάρτησης Προκειμένου ν οριστεί μι συνάρτηση, ρκεί ν γνωρίζουμε: Το πεδίο ορισμού της. f γι κάθε του πεδίου ορισμού της. Την τιμή της Γενικά η συνάρτηση f είνι γνωστή ότν είνι γνωστός ο τύπος που κθορίζει την τιμή του f ( ). Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, θεωρούμε ότι είνι το σύνολο των πργμτικών τιμών, γι τους οποίους ο τύπος της συνάρτησης έχει νόημ. Έτσι γι τη συνάρτηση: ( ] f:,3 με f =

3 Πγκόσμιο χωριό γνώσης Μπορούμε ν πούμε ότι δίνετι η συνάρτηση f, με τύπο f = + 3. Στην περίπτωση υτή, ορίζουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, λμβάνοντς υπ όψη ότι πρέπει ν είνι: που σημίνει ότι το πεδίο ορισμού της είνι το σύνολο: Α= (,3].3.3 Γρφική πράστση συνάρτησης Θεωρούμε τη συνάρτηση: f:α Κάθε σημείο Μ (,y) του κρτεσινού επιπέδου Ο y, λέμε ότι περιέχετι στη γρφική πράστση της συνάρτησης, ότν ισχύει: Δηλδή το σημείο Μ( ) y= f,f, Α είνι σημείο της γρφικής πράστσης της συνάρτησης. Το σύνολο όλων των σημείων: Μ ( ),f, Α ποτελεί τη γρφική πράστση της συνάρτησης, που συμβολίζετι με C f. Γι την τετγμένη κάθε σημείου της γρφικής πράστσης, ισχύει y= f. Επομένως μπορούμε ν πούμε ότι η γρφική πράστση C f είνι το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης: y= f Από τον ορισμό της συνάρτησης, ξέρουμε ότι σε κάθε Α, ντιστοιχεί έν μόνο y. Αυτό σημίνει κάθε ευθεί = κ, κ Α έχει έν μόνο κοινό σημείο με την γρφική πράστση C f της συνάρτησης, όπως φίνετι στο σχήμ 1. y= f έχει με την ευθεί Ότν η γρφική πράστση μις εξίσωσης =κ, κ Α δυο ή περισσότερ κοινά σημεί, τότε η σχέση: y= f 80

4 Πγκόσμιο χωριό γνώσης δεν είνι συνάρτηση. Χρκτηριστικό πράδειγμ, είνι η εξίσωση του κύκλου, σχήμ. Ότν είνι δεδομένη η γρφική πράστση γνωρίζουμε: C f μις συνάρτησης f, τότε Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, που είνι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C, σχήμ 3. f Το σύνολο τιμών της, που είνι το σύνολο f ( Α ) των τετγμένων των σημείων της C f, σχήμ 4. Η τιμή της f στο ο Α είνι η τετγμένη του σημείου τομής της ευθείς = ο κι της C f, σχήμ 5. Από τη γρφική πράστση C f μις συνάρτησης f, μπορούμε ν έχουμε κι τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι f, κτά των κόλουθο τρόπο. 81

5 Πγκόσμιο χωριό γνώσης Η γρφική πράστση C f της f, είνι το σύνολο των σημείων Μ,f. Τ συμμετρικά υτών ως προς τον άξον, είνι τ σημεί ( ) (, f ) ικνοποιούν την εξίσωση y f Μ κι ορίζουν την γρφική πράστση της f, φού της f είνι συμμετρική της =. Επομένως η γρφική πράστση C f C f, ως προς τον άξον, σχήμ 6. Η γρφική πράστση της f ποτελείτι πό τ σημεί της γρφικής πράστσης της f που είνι πάνω πό τον άξον κι πό τ συμμετρικά των σημείων της f ως προς άξον τον που είνι κάτω πό τον άξον, σχήμ Βσικές συνρτήσεις Η πολυωνυμική συνάρτηση f = +β 8

6 Πγκόσμιο χωριό γνώσης Η πολυωνυμική συνάρτηση f =, 0 3 Η πολυωνυμική συνάρτηση f =, 0 Η ρητή συνάρτηση f =, 0 83

7 Πγκόσμιο χωριό γνώσης Οι συνρτήσεις f =, g =. Γι τη συνάρτηση g g =, έχουμε:, < 0 = 0 Επομένως η γρφική πράστση της g = ποτελείτι πό δυο κλάδους. Ο ένς είνι η γρφική πράστση της y= κι ο άλλος είνι τ συμμετρικά σημεί του πρώτου, ως προς άξον συμμετρίς τον άξον yy. Οι τριγωνομετρικές συνρτήσεις f h =εφ = ημ, g =συν κι Οι συνρτήσεις f Τ= π, ενώ η συνάρτηση h =ημ κι g = συν είνι περιοδικές, με περίοδο = εφ έχει περίοδο Τ =π. 84

8 Πγκόσμιο χωριό γνώσης Η εκθετική συνάρτηση f ( ) =, 0< 1 Η λογριθμική συνάρτηση f = ο g, 0< 1 85

9 Πγκόσμιο χωριό γνώσης Αξίζει ν θυμηθούμε ότι: y ο g = y =, 0< 1, > 0 οg οg =, 0< 1 κι =, 0< 1, > 0 οg = 1 κι ο g 1= 0, 0< 1 ο g = ο g + ο g, 0< 1, > 0, > ο g = οg ο g, 0< 1,, > κ ο g = κ ο g, 0< 1, > 0 Αν > 1 1 < ο g1< οg Η συνάρτηση y= οg είνι γνησίως ύξουσ Αν 0<< 1 1 > ο g1 < οg Η συνάρτηση y= οg είνι γνησίως φθίνουσ. n n = e φού = e 86