Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Transcript

1 Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ( ). Οι ιδιότητες των δυνάµεων µε εκθέτη κέριο, ισχύουν κι στην περίπτωση που ο εκθέτης είνι οποιοσδήποτε πργµτικός ριθµός. Εποµένως ισχύουν οι εξής: Ιδιότητες των δυνάµεων Αν,β είνι θετικοί ριθµοί κι,, IR, τότε: + : ( β) β β β ( ) µ Ορισµός εκθετικής συνάρτησης Εκθετική συνάρτηση µε βάση >0,, είνι η συνάρτηση f:ir IR + f(). Αν τότε f() µε τύπο Γρφική πράστση > 0<< O O O Ορισµός - συνάρτησης Μί συνάρτηση f:a IR λέγετι - ότν γι οποιδήποτε, A ισχύει: ν τότε f( ) f( ) ή ισοδύνµ ν f( )f( ) τότε. Πράδειγµ Η f()+ είνι -. Απόδειξη Έστω, IR κι f( )f( ) + +. Ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης Η συνάρτηση f() :. Έχει πεδίο ορισµού το IR.. Έχει πεδίο τιµών το IR + * (0,+ ).. Είνι γνησίως ύξουσ ν > δηλδή < <. ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

2 Είνι γνησίως φθίνουσ ν 0<< δηλδή < >.. Είνι συνάρτηση - δηλδή.. Έχει τον άξον σύµπτωτο (βλέπε γρφική πράστση) Ορισµός λογρίθµου µε βάση. Ονοµάζω θ τον εκθέτη στον οποίο πρέπει ν υψώσουµε το γι ν βρούµε τον θ, (>0,, θ>0), δηλδή θ θ. Από τον ορισµό προκύπτει ότι: θ θ 0 Ιδιότητες λογρίθµων Αν >0,, θ,θ,θ>0, κ ΙR, ισχύουν:. (θ θ ) θ + θ θ. θ - θ θ. θ κ κ θ Απόδειξη της ης Έστω θ κι θ τότε: θ κι θ. Άρ: θ θ θ θ + (θ θ ) + (θ θ ) θ + θ Απόδειξη της ης Έστω θ κι θ τότε: θ κι θ. Άρ: θ :θ : θ :θ (θ :θ ) - (θ :θ ) θ - θ Απόδειξη της ης Έστω θ τότε θ θ κ κ. Άρ: κ θ κ κ θ θ κ Ισχύει κόµη: ν θ ν θ εκδικοί λογάριθµοι Ο λογάριθµος µε βάση 0 συµβολίζετι θ κι όχι 0 θ, δηλδή: θ 0 θ. Φυσικοί λογάριθµοι Ο λογάριθµος µε βάση e συµβολίζετι lnθ κι όχι e θ, δηλδή: lnθ e θ. Αλλγή βάσης Αν,β>0 µε,β, τότε γι κάθε θ>0 τότε: β θ Απόδειξη Έστω ότι β θ θβ. Έχω: θ β β β θ β Άρ: β θ β θ β θ θ β θ. β ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

3 Αντίστροφη συνάρτηση Έστω η συνάρτηση f:a IR που είνι -, τότε ν στοιχείο του f(a) υπάρχει µονδικό του Α ώστε f(). Ορίζω τώρ την συνάρτηση g:f(a) ΙR ώστε κάθε f(a) ν ντιστοιχεί στο µονδικό A, ώστε f(). Γι την g ισχύει: g:f(a) A κι f() g(). Η g λέγετι ντίστροφη της f κι συµβολίζετι µε f -. Άρ ισχύει: f() f - (). Α g() f f - g f(α) f() ογριθµική συνάρτηση Ορισµός ογριθµική συνάρτηση ως προς βάση είνι η ντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης f() κι συµβολίζετι µε g(), g:(0,+ ) IR, όπου 0<. IR f f - (0,+ ) Ιδιότητες της λογριθµικής συνάρτησης:. Έχει πεδίο ορισµού το (0,+ ).. Έχει πεδίο τιµών το IR.. Είνι γνησίως ύξουσ ν > δηλδή < <.. Είνι γνησίως φθίνουσ ν 0<< δηλδή < >.. Έχει γρφική πράστση που τέµνει τον στο σηµείο Α(,0) κι έχει σύµπτωτο τον ηµιάξον Ο. 6. Γρφική πράστση O > O 0<< Πρτηρήσεις γι τις σκήσεις ΕΚΘΕΤΙΚΗ λέγετι η εξίσωση που περιέχει τον άγνωστο η πράστσή του στον εκθέτη. Οι κυριότερες µορφές εκθετικών εξισώσεων είνι:. β Γι ν την λύσουµε σκεπτόµστε ότι:. Αν το β είνι δύνµη του δηλδή β κ η εξίσωση γίνετι κ κ. β. Αν το β δεν είνι δύνµη του τότε κάνω χρήση λογρίθµων κι έχω: β β β β.. λ +β λ +γ0, (γενικά έχω πντού το λ ). Θέτω λ >0 κι πίρνω την εξίσωση +β+γ0, π όπου βρίσκω το >0 κι λόγω του µετσχηµτισµού λ νάγοµι στην µορφή. ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

4 . κ +β λ 0 κι κ +βκ λ +γ λ 0, (γενικά έχω πντού κ κι λ ). Γι την κ +β λ 0, διιρώ µε λ κι έχω κ λ +β0 κ λ -β κ λ (Μορφή ) Γι την κ +β κ λ +γ λ 0, διιρώ µε λ κι έχω κ λ +β κ λ +γ0 κ λ +β κ λ +γ0 που είνι της µορφής.. f() g() µε f()>0 Η εξίσωση υτή έχει τις λύσεις της εξίσωσης f() κι του συστήµτος {g()0, f() }. ᾱ β ΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ λέγετι η εξίσωση που περιέχει τον άγνωστο η πράστσή του σε λογάριθµο. ΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΥΤΗΜΑ είνι κάθε σύστηµ που µι τουλάχιστον πό τις εξισώσεις του είνι λογριθµική. Γι τη λύση τους στηριζόµστε στις ιδιότητες της λογριθµικής συνάρτησης. ηλδή: β β κι. Έτσι κτλήγω σε εξισώσεις κι συστήµτ χωρίς λογρίθµους κι τ λύνουµε κτά τ γνωστά. Πρτήρηση Γι την λύση εξισώσεων ή συστηµάτων µε λογρίθµους πρέπει ν θέτουµε κτάλληλους περιορισµούς γι ν έχουν νόηµ οι λογριθµικές πρστάσεις. ************************** Ασκήσεις Eκθετική συνάρτηση. N πρστήσετε γρφικά στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις συνρτήσεις: f(), g() +, h() -.. N πρστήσετε γρφικά στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις συνρτήσεις : + f() +, g ( ), h( ).. N πρστήσετε γρφικά στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις συνρτήσεις f(), g() -, h()+ -.. N πρστήσετε γρφικά τις συνρτήσεις µ τύπο: i) f()e, ii) g()+e -, iii) h()e Γι ποιες τιµές του R η συνάρτηση f() - είνι γνησίως ύξουσ; ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

5 6 6. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού των συνρτήσεων µε τύπο: i) f() -, ii) f(), iii) f() Έστω η συνάρτηση f() (0< ). Αν οι ριθµοί κ, λ, µ είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ν ποδείξετε ότι οι ριθµοί f(κ), f(λ), f(µ) είνι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου ίνοντι οι συνρτήσεις f κι g µε τύπους: f() ( + ) κι - g() ( - ). N ποδείξετε ότι: i) f(+ψ)f()f(ψ)+g()g(ψ) ii) g(+ψ)f()g(ψ)+f(ψ)g() iii) [f()] -[g()] iv) f()[f()] +[g()] v) g()f()g() Εκθετικές εξισώσεις 9. Ν λυθούν οι εκθετικές εξισώσεις:. + β. ( + ) γ. (8 - ) (-) δ ε. στ. ζ. - η Ν λυθούν οι εκθετικές εξισώσεις: β. +6 γ δ. + 7 ε ζ η θ. + 9 χ- ι κ λ µ ν ξ ο π N λυθεί η εξίσωση: N λυθεί η εξίσωση: + i) ii) iii) iv) N λυθεί η εξίσωση: ηµ +. συν - ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

6 7. N λυθεί η εξίσωση: συν- συν+ συν+ i) ηµσυν. ii) + +. iii) συν συν N λυθεί η εξίσωση: N λυθεί η εξίσωση: ( + ) + ( - ) N λυθεί η εξίσωση: N λυθεί η εξίσωση: -8, όπου η ρίζ της εξίσωσης που περιέχετι µετξύ των ριζών της εξίσωσης (6-). 9. Ν βρείτε τους διδοχικούς όρους, ψ, z ριθµητικής προόδου, ν οι ντίστροφοί τους έχουν άθροισµ κι ο ψ είνι κέρι ρίζ της εξίσωσης 6 ψ- ψ Γι ποι τιµή του οι ριθµοί: + + -, 6, + - είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου; Εκθετικές νισώσεις. Ν λυθούν οι εκθετικές νισώσεις: < β. < γ. + > 6 9 δ. > 8 7 ε. + > ζ. 7 > +. Ν λυθούν οι εκθετικές νισώσεις: i) 8 < 600 ii) + 8 iii ) Ν λυθούν οι εκθετικές νισώσεις: i) + ii). Ν λυθούν οι εκθετικές νισώσεις: i) 9 > 6 iii) < <0 ii) ( -) iii) e +e -e. e Εκθετικά συστήµτ. Ν λυθούν τ συστήµτ: β ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

7 8 γ. ε. 9 8 ζ. 6 θ εφ εφ εφ εφ δ. + στ. 9 η Ασκήσεις στις ιδιότητες λογρίθµων ογριθµικές πρστάσεις 6. Ν βρεθεί η τιµή της πράστσης: Α N ποδείξετε τις ισότητες: 9 0 i) ++ ii) iii) iv) ( ). 8. Ν ποδειχθεί ότι ισχύουν οι ισότητες:. ( -)+( -)-[(+) -(+) ]0, ν, ΙR κι >, > β. +- γ Ν βρεθεί το ώστε ν ληθεύουν οι ισότητες:. 9 β. - γ. 9 - δ ε. 0. Ν δειχθεί ότι ισχύει η ισότητ: 7(+ )-6( +)0( -). Ν δειχθεί ότι ισχύει η ισότητ: Ν υπολογιστεί η τιµή των πρστάσεων:. + β. 0 β γ. +. Ν δειχθεί ότι: + ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

8 9. Ν δειχθεί ότι ν ν(ν+ ). Ν δειχθεί η ισότητ: ( + + ) + 0, + 6. Ν δειχθεί ότι: - 7. Ν δειχθεί ότι: ln + ln + ln ln ln v. v 8. ίνετι η κολουθί µε γενικό όρο ν v. είξτε ότι η κολουθί υτή είνι ριθµητική πρόοδος κι ν βρείτε τ κι ω. Έπειτ δείξτε ότι το ν(ν+) άθροισµ των ν πρώτων όρων της είνι S v Αν ψ ( ) ( ) e -e, ν δείξετε ότι: ln ψ ψ. + - e +e, ν ποδείξετε ότι: 0. Αν ψ ( ) i) ψ ii) ψ ν κι µόνον ν 0 iii) ln( ψ± ψ ).. Aν >β>0 κι +β + β β, ν δείξετε ότι: ln lnβ. ογριθµική συνάρτηση Αν ψ -, ψ ν ποδείξετε ότι: i), ii ) < ψ<. -ψ -. Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε τύπο f() ln. + i) Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της κι ν δείξετε ότι είνι περιττή. + ii) Γι κάθε, >0, ν ποδείξετε ότι: f( )+f( ) f. +. N βρείτε τ πεδί ορισµού των συνρτήσεων µε τύπο: 0 i) f(), ii) f() ηµ + +, ln iii) [( -)]. ογριθµικές εξισώσεις.. Ν λυθούν οι λογριθµικές εξισώσεις:. ( -)88- β. (-)+(+)8 γ. ( - +9)-( - +)- δ. ( +) ε ( -+) στ. (- - )+7(6+ - ) ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

9 60 ζ. (9+ - )-(+ - )- η. (-)+ (+) 8 θ. (+)+ 8+ (+) ι. ( +) κ. (-)+(- )+(-) 6. N λύσετε τις εξισώσεις: i) ii) - iii) e Ν λυθεί η εξίσωση: N λύσετε τις εξισώσεις: ) ( -6)+9-7 β) +(+ )+6 γ) - δ) ε) ( )+(0 -). 9. Aν οι ριθµοί, (+6), (+7) είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ν προσδιοριστεί το. 0. Ν λυθεί η εξίσωση: N λύσετε τις εξισώσεις: ) 0 β) 0.. Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε τύπο f() +. - i) N βρείτε το πεδίο ορισµού της. ii) N λύσετε την εξίσωση f() + f. ογριθµικές νισώσεις. N λυθεί η νίσωση: - > N λυθεί η νίσωση: N λυθεί η νίσωση: >0. 6. N λυθεί η νίσωση: ln -ln Ν λυθούν οι λογριθµικές νισώσεις: ) (-)(-)(-) 0. β) ln(-)<ln+ln δ) ln (ln ). γ) (+ )> 8. Ν λυθούν οι λογριθµικές νισώσεις: i) ii < iii) ( + )+8>+78. ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

10 6 e - 9. ίνετι η συνάρτηση f() ln. e + ) Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της. β) Ν λύσετε την εξίσωση f()ln.. γ) Ν λύσετε την νίσωση f()> ίνετι η συνάρτηση f() ln-. ln- ) Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της. β) Ν λύσετε την εξίσωση f()6ln. γ) Ν λύσετε την νίσωση f(). ογριθµικά συστήµτ 6. Ν λυθούν τ λογριθµικά συστήµτ: ψ +ψ ψ ) β) 00 γ). ψ +ψ ψ 0 6. Ν λυθούν τ λογριθµικά συστήµτ: ln ln ψ () (ψ) i) ii). ψ ln lnψ 6. Ν λυθούν τ λογριθµικά συστήµτ: ( +ψ )+8 a) β) ψ (+ψ)+(-ψ) ( ψ) 6. Ν λυθούν τ λογριθµικά συστήµτ: γ. ε β. () ( + ) + δ. (+ ) - ( - ) *.*.*.*.*.*.*.*.* *.*.*.*.*.*.* *.*.*.*.* *.*.* * ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

11 6. Aν, τότε 0. Ερωτήσεις τύπου «ΩΤΟ-ΑΘΟ». Αν ( ), τότε..αν <, τότε < 6. 8.Η συνάρτηση 006 f() 007 είνι γνησίως ύξουσ. -β < 007 <, τότε <β<γ Αν ( ) γ - 6. Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() κι g() e e είνι συµµετρικές µε άξον συµµετρίς τον ψ ψ. 7. Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() e κι g( ) e είνι συµµετρικές µε άξον συµµετρίς τον ψ ψ. 8. Η συνάρτηση f()( +) είνι γνησίως ύξουσ γι κάθε R. 9.Η συνάρτηση f()(-) είνι γνησίως ύξουσ γι >. 0. Η συνάρτηση f()(-) είνι γνησίως φθίνουσ γι 0<<.. Αν - -ψ τότε ψ.. Ισχύει - >- ψ γι κάθε <ψ.. Ισχύει - >- ψ γι κάθε, ψ R.. Αν >0 κι β>0, τότε (+β)+β.. Αν >0 κι β>0, τότε ( β) β. 6. Αν >0 κι β>0, τότε -β. β 7. Αν >0 κι β>0, τότε (-β). β ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

12 6 8. Αν <0, τότε 0<<. 9. Αν >0 κι β>0, τότε ισχύει β β. 0. Ισχύει 0.. Ισχύει ln e e e.. Αν <<e τότε, 0<ln<.. Αν >0 κι β>0, τότε ισχύει 0 β. β. Αν ln( +β +)0τότε, β0. +. Ισχύει Ισχύει ((0 0 ))). 7. Οι συνρτήσεις f() κι g()ln είνι γνησίως ύξουσες. 8. Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f()ln κι g() ln έχουν άξον συµµετρίς τον χ χ. 9. Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() ln κι g() -ln έχουν άξον συµµετρίς τον ψ ψ. ο 0. Ισχύει ότι ( ) ln εφ60 +ln. ο εφ60. Αν >0 ισχύει: +.. Η συνάρτηση f()ln - έχει πεδίο ορισµού το Α(0, ).. Η συνάρτηση f() ln έχει άξον συµµετρίς τον ψ ψ.. Η εξίσωση --, >0 έχει ρίζ το. ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

13 6 Ερωτήσεις ΠΟΑΠΗ ΕΠΙΟΓΗ. H εκθετική συνάρτηση f()e - έχει πεδίο ορισµού: Α: [0, + ), Β:(0, + ), Γ: R *, : R {}, Ε: R.. Η γρφική πράστση της συνάρτησης f(), 0< : Α: Τέµνει τον άξον ψ ψ στο σηµείο Α(0, ). Β: Έχει τον άξον χ χ άξον συµµετρίς. Γ: Έχει κτκόρυφη σύµπτωτη τον άξον ψ ψ. : Τέµνει τον άξον χ χ σε δύο σηµεί. Ε: Τέµνει τον άξον ψ ψ σε δύο σηµεί.. Η εκθετική συνάρτηση f()e είνι: Α: γν. ύξουσ, Β: γν. φθίνουσ, Γ: περιττή, : άρτι..η εκθετική συνάρτηση f() e είνι: Α: γν. ύξουσ, Β: γν. φθίνουσ, Γ: περιττή, : άρτι.. Αν f(), τότε ισχύει ότι: e Α: f(e)>f(), Β: f(e)<f(), Γ: f(e)f(), : f(,)<f(e). 6. Η εκθετική συνάρτηση f()e έχει πεδίο τιµών: Α: [0, + ), Β: R., Γ: R *, : (0, + ), Ε: (0,). 7. Αν f() κι g()e, τότε ισχύει: Α: f(e)<g(e), Β: f(e)g(e), Γ: f(e)>g(e), : f()<g(). 8.Aν ψ- κι - ψ τότε, το -ψ είνι ίσο µε: Α: 0, Β:, Γ:, :, Ε:. 9.Αν η συνάρτηση f()(6-λ ) είνι γν. ύξουσ, τότε: Α: λ<-, Β: λ>, Γ: -<λ<, : λ<- ή λ>. -λ 0. Η συνάρτηση f() ορίζετι στο. +λ R, ότν: Α: λ<-, Β: λ <, Γ: λ>, : λ<- ή λ>. -λ. Η συνάρτηση f() είνι γνησίως ύξουσ, ότν: +λ Α: 0<λ<, Β: λ<-, Γ: λ>, : λ<- ή λ>0. ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

14 6. Αν f()e, τότε δεν µπορεί ν είνι σωστή γι κνέν κι ψ η σχέση: Α: f(+ψ)f()+f(ψ), Β: f(-ψ) f(), Γ: f( ), f(ψ) f() : f(ψ)f()f(ψ)., E: f(0).. Aν 0, τότε το ισούτι µε: Α: 0, Β:, Γ:, :,, Ε: 0.. Aν, τότε το ισούτι µε: Α: 0, Β:, Γ:, :,, Ε: 0.. Aν ln0, τότε το ισούτι µε: Α: 0, Β:, Γ:, :,, Ε: Aν ln, τότε το ισούτι µε: Α: e, Β:, Γ:, : e, Ε: Aν <ln<, τότε : Α: <<e, B: e<<e, Γ: 0<<, : >e. 8. Aν ln<, τότε : Α: <<e, B: e<<e, Γ: 0<<e, : >e. 9. H πράστση e ln ισούτι µε: Α:, Β:, Γ:, : e, E: /e. 0. H συνάρτηση f()(- ) έχει πεδίο ορισµού: Α: (-, + ), Β: (-, ), Γ: (-,), : [-, ].. Αν ln(συν)0, τότε: Α: κπ, κ Z, Β: : κπ±π, κ Z. π κπ+,κ Z, Γ: π κπ+,κ Z,. Αν,β,γ>0 κι γ, τότε ν: ν β γ γ + Α:, Β:, Γ:, :. β β ( βγ) βγ. Αν, τότε το ισούτι µε: 00 Α: /0, Β: ή 0, Γ: 0 ή 00, : 00.. Γι τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων λάθος είνι ότι: Α: τέµνουν τον άξον χ χ στο σηµείο (,0), Β: έχουν σύµπτωτο τον άξον ψ ψ, ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ:

15 66 Γ: δεν τέµνουν κνένν άξον. : είνι γνησίως ύξουσες στο διάστηµ (0, + ). Ε: έχουν έν µόνο κοινό σηµείο. *.*.*.*.*.*.*.*.*.*.* *.*.*.*.*.*.*.* *.*.*.*.*.* *.*.*.* * ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 0. ΤΗ: