Τροχιές της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής στην περιοχή των υπερβολικών καταστάσεων ισορροπίας. Σάγματα - saddles

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τροχιές της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής στην περιοχή των υπερβολικών καταστάσεων ισορροπίας. Σάγματα - saddles"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΘΕΩΡΗΜΑ HARTMAN-GROBMAN Το θεώρημα των D M Grbman (959 και P Harman (960 δηλώνει ότι η εξελικτική ροή κάθε μη γραμμικής δυναμικής έχει τοπικά ίδια τοπολογική συμπεριφορά με εκείνη της γραμμικοποίησής της στην περιοχή των σημείων υπερβολικής ισορροπίας, δηλαδή των καταστάσεων ισορροπίας στις οποίες όλες οι ιδιοτιμές της γραμμικοποιημένης δυναμικής βρίσκονται εκτός του φανταστικού άξονα του μιγαδικού επιπέδου Τροχιές της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής στην περιοχή των υπερβολικών καταστάσεων ισορροπίας Σάγματα - saddles απωστικές ισορροπίες: ασταθείς κόμβοι surces: unsable ndes ελκτικές ισορροπίες: ευσταθείς κόμβοι sinks: sable ndes απωστικές ισορροπίες: ασταθείς εστίες surces: unsable fcus ελκτικές ισορροπίες: ευσταθείς εστίες sinks: sable fcus απωστικές ισορροπίες: ασταθείς εκφυλισμένοι κόμβοι surces: unsable degenerae ndes ελκτικές ισορροπίες: ευσταθείς εκφυλισμένοι κόμβοι sinks: sable degenerae ndes ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 9

2 Θεωρούμε ένα σύστημα αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων στον ευκλείδειο χώρο d = f(,, n d dn = fn(,, n d Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: n U, f( ( f(,, fn ( n f : = n : Θεωρούμε το διαφορικό αυτής της συνάρτησης στο σημείο p U, δηλαδή τη γραμμική απεικόνιση: Dp f που εκφράζεται με τον ιακωβιανό πίνακα: : n n, f( ( f(,, fn ( =, f ( p f( p n Dp f = f n p f n n p Αν το σημείο p U αποτελεί κατάσταση ισορροπίας: f( p = 0 : f 0 p = = f p =, τότε θεωρούμε το γραμμικοποιημένο σύστημα διαφορικών εξισώσεων: n f ( p f( p n = f ( p f ( p n n n n n Η αρχή των αξόνων του ευκλείδειου χώρου αποτελεί κατάσταση ισορροπίας της δυναμικής που ορίζεται από αυτό το σύστημα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων και η φύση της καθορίζεται από το φάσμα των ιδιοτιμών του ιακωβιανού πίνακα, δηλαδή από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: f ( p λ f ( p n f ( p f ( p λ n n n = 0 Αν όλες οι ιδιοτιμές της γραμμικοποιημένης δυναμικής βρίσκονται εκτός του φανταστικού άξονα του μιγαδικού επιπέδου τότε λέμε ότι η κατάσταση ισορροπίας είναι υπερβολική και το θεώρημα Harman- Grbman διασφαλίζει την ύπαρξη ομοιομορφισμού: h : U p U n όπου U p ανοιχτή περιοχή του σημείου υπερβολικής ισορροπίας και U 0 ανοιχτή περιοχή του 0, ο οποίος θέτει σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία τις τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής με τις τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής: h =, U p ( h ( 0 Τοπολογικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές μιας μη γραμμικής δυναμικής και της γραμμικοποίησής της ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 93

3 Κατασκευή του ομοιομορφισμού του θεωρήματος Harman-Grbman Ο ομοιομορφισμός αυτός αποκαθιστά τοπικά στην περιοχή κάθε υπερβολικής κατάστασης ισορροπίας την τοπολογική ισοδυναμία της εξελικτικής ροής της μη γραμμικής δυναμικής: n n g :, g(, = g (,, με την εξελικτική ροή της γραμμικοποιημένης δυναμικής: και εκφράζεται ως εξής: n n A g ˆ :, gˆ(, = g ˆ ( = e,, A h = e hg (, U p Η τυπική κατασκευή αυτού του ομοιομορφισμού ξεκινά με την υπόθεση ότι τη δεδομένη στιγμή = είναι γνωστός ο τοπικός ομοιομορφισμός: h = e h g A = Κατόπιν, για κάθε δεδομένη χρονική στιγμή, θέτουμε: A h ( = e h g ( και βλέπουμε ότι πρόκειται επίσης για τοπικό ομοιομορφισμό που πληροί τη συνθήκη: A = h = e h g [ e h g ( = e e h g g ( = e e h g g ( = e h g ( = h( ] A A A A A A Στην περιοχή της κατάστασης ισορροπίας διαπιστώνουμε ότι h = h και αυτό σημαίνει ότι η αναγωγική διαδικασία βασίζεται αποκλειστικά στον ομοιομορφισμό που ορίζεται τη στιγμή = Έτσι, ξεκινώντας από την αρχική κατάσταση (0 καταλήγουμε στην κατάσταση y ( διαμέσου αυτού του ομοιομορφισμού ακολουθώντας τις εξελικτικές ροές της μη γραμμικής δυναμικής και της γραμμικοποίησής της σύμφωνα με το μεταθετικό διάγραμμα: g g (0 ( A e ( h h h y(0 y y A e ( Η αναδρομική σχέση σχηματίζεται ως εξής: h ( = e h g (, i = 0,,, ( i+ A ( i = (0 h =, και με την προϋπόθεση της σύγκλισης προκύπτει ο ζητούμενος ομοιομορφισμός που θέτει σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία τις τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής με τις τροχιές της γραμμικοποίησής της: h( = lim h (, U p n ( n Ο ομοιομορφισμός αυτός δεν είναι γενικά αμφιδιαφορικός εκτός αν πληρούται επιπλέον μια συνθήκη μη συντονισμού των ιδιοτιμών της υπερβολικής κατάστασης ισορροπίας, όπως δηλώνεται από το θεώρημα του Sernberg (958 Για την απόδειξη του θεωρήματος παραπέμπουμε στη βιβλιογραφία: Βιβλιογραφία: Vladimir Arnld, Ordinary Differenial Equains, Cambridge MIT Press, 973 J Palis & W De Mel, Gemeric Thery f Dynamical Sysems, Springer-Verlag, 98 Lawrence Perk, Differenial Equains & Dynamical Sysems, Springer-Verlag, 99 C Rbinsn, Dynamical Sysems: Sabiliy, Symblic Dynamics, Chas, CRC Press, 999 David Beunes, Differenial Equains, Springer-Verlag, 00 M Hirsch, S Smale, RDevaney, Differenial Equains & Dynamical Sysems, Els Ac Press, 003 Sephen Wiggins, Inrducin Applied Nnlinear Dynamical Sysems and Chas, Springer, 003 James D Meiss, Differenial Dynamical Sysems, Siam, 007 ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 94

4 Παράδειγμα Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούμε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: d = d = + Η εξελικτική ροή αυτού του μη γραμμικού συστήματος εκφράζεται στο ευκλείδειο επίπεδο ως εξής: g :, (, 0, 0 0( g = e e+ ee 3 Η κατάσταση ισορροπίας εντοπίζεται στην αρχή των αξόνων και από τη γραμμικοποίηση προκύπτει: 0 = 0 και απορρέει η έκφραση της εξελικτικής ροής της γραμμικοποιημένης δυναμικής: g ˆ :, ˆ(, = ( 0e, 0 e g Η κατάσταση ισορροπίας είναι σαγματική, άρα υπερβολική, και το θεώρημα Harman-Grbman δηλώνει την ύπαρξη ομοιομορφισμού που πληροί τη συνθήκη: hg ( = g ˆ h και ταυτίζει τις τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής με τις τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής: ( h = Στην προκειμένη περίπτωση ο ομοιομορφισμός αυτός δεν είναι μόνο τοπικός αλλά καθολικός: h : h(, h(, (, /3 = + Τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής h h Τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής Σχόλιο Ο ομοιομορφισμός αυτός απορρέει από τη σχέση που ορίζεται τη στιγμή = ως εξής: Θέτοντας προκύπτει: δηλαδή A = A ( 3 h(, = e h g (, = e h e, e + k, k = e e h(, = A(,,B(, A(, e 0 h( e, e k B(, = + 0 / e A(, = ea e, e + k B(, = e B e, e + k T ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 95

5 Συνεπώς, από τον αναδρομικό τύπο: προκύπτει: h (, = e h g (,, i = 0,,, ( i+ A ( i i ( i+ ( i h (, = (, (0 (0 A (, = ea e, e + k, A (, =, i = 0,, ( i+ (0 B (, = e B e, e + k, B (, =, i = 0,, Ο ος αναδρομικός τύπος οδηγεί απευθείας στο εξής αποτέλεσμα: (0 A (, = Ο ος αναδρομικός τύπος οδηγεί στο εξής αποτέλεσμα: (0 B (, ( (0 A (, = ea e, e + k = e( e = A(, = = ( (0 ( ( B (, = e B e, e + k = e e + k = + k e ( ( ( B ( 3, = e B e, e + k = = + k e ( + e (3 ( ( 3 B ( 6, = e B e, e + k = = + k e ( + e + e (4 (3 ( 3 6 B ( 9, = e B e, e + k = = + k e ( + e + e + e n n n B (, = B (, + = = + ( Συνεπώς e e e k k e e e e e ( n ke B(, = limb (, = + 3 /3 n e = + = ( + και h (, (, /3 h(,, /3 = Διαπιστώνουμε ότι: hg (, e, e ( g h(, = + /3 = ˆ Ο ομοιομορφισμός αυτός ταυτίζει τις τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής με τις τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής, όχι μόνο τοπικά αλλά καθολικά στο ευκλείδειο επίπεδο Διαπιστώνουμε ότι: {(, / 0} { /3 } ( s {(, / 0} {(, / 0 } ( u {(, / = / } = h( {(, / = / /3} s E = = (Ευσταθής υπόχωρος της γραμμικοποιημένης δυναμικής s W = = = h E u E (Ευσταθής πολλαπλότητα της μη γραμμικής δυναμικής = = (Ασταθής υπόχωρος της γραμμικοποιημένης δυναμικής = = = (Ασταθής πολλαπλότητα της μη γραμμικής δυναμικής u W h E Παράδειγμα Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούμε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: d = d = + Η εξελικτική ροή αυτού του μη γραμμικού συστήματος εκφράζεται στο ευκλείδειο επίπεδο ως εξής: g :, g (, = 0e, 0 e + 0( e e 3 Η κατάσταση ισορροπίας εντοπίζεται στην αρχή των αξόνων και από τη γραμμικοποίηση προκύπτει: 0 = 0 και απορρέει η έκφραση της εξελικτικής ροής της γραμμικοποιημένης δυναμικής: g ˆ :, ˆ(, = ( 0e, 0 e g ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 96

6 Η κατάσταση ισορροπίας είναι σαγματική, άρα υπερβολική, και το θεώρημα Harman-Grbman δηλώνει την ύπαρξη ομοιομορφισμού που στην περιοχή της ταυτίζει τοπολογικά τις δυο εξελικτικές ροές: hg ( = g ˆ h μετατρέποντας τις τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής στις τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής: ( h = Στην προκειμένη περίπτωση ο ομοιομορφισμός αυτός δεν είναι μόνο τοπικός αλλά καθολικός: h : h(, h(, (, /3 = Τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής h h Τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής Σχόλιο Ο ομοιομορφισμός αυτός απορρέει από τη σχέση που ορίζεται τη στιγμή = ως εξής: Θέτοντας προκύπτει: δηλαδή A = A ( 3 h(, = e h g (, = e h e, e + k, k = e e h(, = A(,,B(, A(, / e 0 h( e, e k B(, = + 0 e A(, = e A e, e + k B(, = eb e, e + k T Συνεπώς, από τον αναδρομικό τύπο: προκύπτει: h (, = e h g (,, i = 0,,, ( i+ A ( i i ( i+ h (, = (, (0 (0 A (, = e A e, e + k, A (, =, i = 0,, ( i+ ( i (0 B (, = eb e, e + k, B (, =, i = 0,, Ο ος αναδρομικός τύπος οδηγεί απευθείας στο εξής αποτέλεσμα: (0 A (, ( (0 A (, = e A e, e + k = e ( e = A(, = = Ο ος αναδρομικός τύπος δεν οδηγεί σε σύγκλιση όμως, θέτοντας = e, = e + k, προκύπτει: άρα (0 B (, B (, = e B e, e ke, i = 0,,, ( i+ ( i = B (, B (, = e e e ke = e e ke = ke ( (0 B (, = e B e, e ke = = ke ke = ke ( + e ( ( 5 3 ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 97

7 Συνεπώς Διαπιστώνουμε ότι: (3 ( ( 3 B ( 6, = e B e, e ke = = ke ( + e + e (4 (3 ( 3 6 B ( 9, = e B e, e ke = = ke ( + e + e + e n n n B (, = B (, = = ( e e e ke -ke e e e e ( n ke B(, = limb (, = 3 /3 n e = = ( και h (, (, /3 h(,, /3 = + hg (, e, e ( g h(, = /3 = ˆ Ο ομοιομορφισμός αυτός ταυτίζει τις τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής με τις τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής, όχι μόνο τοπικά αλλά καθολικά στο ευκλείδειο επίπεδο Διαπιστώνουμε ότι: {(, / 0} { /3 } ( s {(, / 0} {(, / 0 } ( u {(, / = / } = h( {(, / = / + /3} s E = = (Ευσταθής υπόχωρος της γραμμικοποιημένης δυναμικής s W h E = = = (Ευσταθής πολλαπλότητα της μη γραμμικής δυναμικής u E = = (Ασταθής υπόχωρος της γραμμικοποιημένης δυναμικής u W = = = h E (Ασταθής πολλαπλότητα της μη γραμμικής δυναμικής Παράδειγμα 3 Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούμε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: d = d = 4 + Η εξελικτική ροή αυτού του μη γραμμικού συστήματος εκφράζεται στο ευκλείδειο επίπεδο ως εξής: g :, ( 4 (, = 0e, e ( g Η κατάσταση ισορροπίας εντοπίζεται στην αρχή των αξόνων και από τη γραμμικοποίηση προκύπτει: 0 = 0 4 και απορρέει η έκφραση της εξελικτικής ροής της γραμμικοποιημένης δυναμικής: g ˆ :, ( 4 ˆ(, = 0e, 0 e g Η κατάσταση ισορροπίας είναι σαγματική, άρα υπερβολική, και σύμφωνα με το θεώρημα Harman- Grbman υπάρχει ομοιομορφισμός που στην περιοχή της ταυτίζει τοπολογικά τις δυο εξελικτικές ροές: hg ( = g ˆ h μετατρέποντας τις τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής στις τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής: ( h = Σχόλιο Στο παράδειγμα αυτό ο ομοιομορφισμός λειτουργεί μόνο τοπικά και χρειάζεται λίγο μεγαλύτερη προσοχή Η απευθείας εφαρμογή της αναδρομικής σχέσης οδηγεί σε μια έκφραση: h( h(, =, +φ (, χωρίς όμως να διασφαλίζεται η σύγκλιση της αναδρομικής διαδικασίας προσδιορισμού του όρου φ (, ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 98

8 Αλλά, το ότι το ζητούμενό μας είναι τοπικό οδηγεί στη θεώρηση μιας μη γραμμικής δυναμικής η οποία σε μια περιοχή της κατάστασης ισορροπίας ταυτίζεται με τη δοσμένη μη γραμμική δυναμική και πέρα από μια ευρύτερη περιοχή ταυτίζεται με τη γραμμικοποιημένη δυναμική: = A + b( Συγκεκριμένα, σε μια περιοχή της κατάστασης ισορροπίας ο όρος b λειτουργεί ως διαταραχή της γραμμικοποιημένης δυναμικής και πέρα από μια ευρύτερη περιοχή είναι μηδενικός, διασφαλίζοντας όμως ότι είναι διαφορίσιμος και φραγμένος Η κατασκευή μιας τέτοιας συνάρτησης είναι κλασική (bump funcin και στην απλή περίπτωσή μας πρόκειται για συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής που, για 0 <ε<δ, πληροί τη συνθήκη: b ( ξ = ξ, ξ <ε 0, ξ >δ Οι τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής g ( = ψ ( και της γραμμικοποίησής της g ˆ ( = ϕ ( θα ταυτιστούν τοπολογικά διαμέσου του ζητούμενου ομοιομορφισμού στην σκιασμένη περιοχή Ν Στο δακτύλιο Μ εξελίσσονται οι τροχιές της γραμμικής δυναμικής και της διαταραχής της και πέρα από αυτόν η διαταραχή μηδενίζεται και οι τροχιές συμπίπτουν με εκείνες της γραμμικής δυναμικής Θεωρούμε τώρα το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: d = d = 4 +b( που προφανώς η εξελικτική του ροή ταυτίζεται με αυτή του αρχικού μη γραμμικού συστήματος για εκείνη του γραμμικοποιημένου συστήματος για >δ Προκύπτει: <ε και με και Αν s <ε τότε, για κάθε s : 0 s ( ( = e s 4s 4 ( = e 0 + e b( 0e ds = e 0 + B ( 0, < <, ισχύει: 0 < ε e b( ( s = ( s B (, = 0 0 Αν s >δ τότε, για κάθε s : 0 s ( < <, ισχύει: 0 > δ b ( ( s = 0 B (, = 0 0 Θέτοντας = και γράφοντας B( = B (,, προκύπτει: B ( =, < εe 0, > δ Τώρα, μπορούμε να ξεκινήσουμε την αναδρομική διαδικασία γράφοντας: και θέτοντας 4 ( g ( B h(, = e h (, = e h e, e ( + ( A = A h(, = A(,,B(, ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 99

9 προκύπτει: άρα: A(, e 0 4 h 4 ( e, e( ( B(, = + 0 e B (0 A (, = e A e, e( + B (, A (, =, i = 0,, ( i+ ( i 4 ( i+ 4 ( i 4 (0 B (, = e B e, e( + B (, B (, =, i = 0,, T Ο ος Ο ος αναδρομικός τύπος οδηγεί απευθείας στο εξής αποτέλεσμα: (0 A (, ( (0 4 A (, = e A e, e( + B ( = e ( e = A(, = = αναδρομικός τύπος οδηγεί στο εξής: (0 B (, B (, = e B e, e ( + B( = e e ( + B( = + B ( = = ( + = = + ( 4 ( B (, e B e, e( B( + B( e B ( e ( 4 ( B (, = e B e, e( + B( = = + B( + e B( e + e B ( e (3 4 ( ( N N 4 ( N 4 4n 4n = e e e + B = = + e B e n= 0 N ( N 4n 4n = = + e B e N N n = 0 B (, B, ( B(, lim B (, lim Αν θέταμε B ( = τότε ο γενικός όρος της σειράς αθροίζεται στο N και απειρίζεται όταν N, αλλά έξω από μια ευρύτερη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας η συνάρτηση B ( μηδενίζεται και αυτό σημαίνει ότι μόνο ένα πεπερασμένο πλήθος της σειράς υπεισέρχεται στον προηγούμενο υπολογισμό Έτσι, επιλέγοντας ένα 4N Ν τέτοιο ώστε e δ και συγκεκριμένα: N( ln( δ / /4 B ( e = 0 4n οπότε στην περιοχή της κατάστασης ισορροπίας προσδιορίζεται η η συνιστώσα του ζητούμενου ομοιομορφισμού: N( 4n 4n n= 0 B(, = + e B ( e Άρα, ο ομοιομορφισμός που στην περιοχή της κατάστασης ισορροπίας ταυτίζει τοπολογικά την εξελικτική ροή της μη γραμμικής δυναμικής με την εξελικτική ροή της γραμμικοποίησής της εκφράζεται ως εξής: N( 4n 4n h(, =, + e B ( e n= 0 Τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής h h Τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής Ο ομοιομορφισμός μετασχηματίζει τοπικά στην περιοχή της κατάστασης ισορροπίας τις τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής στις τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 00

10 ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούμε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: d = d = / Για κάθε μια από τις καταστάσεις ισορροπίας της δυναμικής που ορίζεται από αυτό το σύστημα εξετάστε τη δυνατότητα εφαρμογής του θεωρήματος Harman-Grbman ώστε να μπορέσετε να αποφανθείτε για την τοπολογική συμπεριφορά των τροχιών στην περιοχή τους Επιχειρείστε να συνθέσετε τις τοπικές πληροφορίες ώστε να σκιαγραφήσετε την καθολική συμπεριφορά των τροχιών στο ευκλείδειο επίπεδο Σχόλιο Η μη γραμμική δυναμική που ορίζεται από αυτό το σύστημα εμφανίζει τρεις καταστάσεις ισορροπίας και από τις αντίστοιχες γραμμικοποιήσεις προκύπτουν τα εξής συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων: A(0,0 B(, C(,0 0 = 0 = 0 = 0 Σάγμα: λ, =± Εστία: λ, = ( ± i 7/ 4 Σάγμα: λ, =± Τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής και τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής στην περιοχή της ισορροπίας C Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούμε τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων: [] d = d = [] d = d = + d = [3] d = + Εξετάστε τη δυνατότητα εφαρμογής του θεωρήματος Harman-Grbman ώστε να συμπεράνετε σε κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις την τοπολογική συμπεριφορά των τροχιών στην περιοχή της κατάστασης ισορροπίας που εντοπίζεται στην αρχή των αξόνων Κατόπιν, προσδιορίστε και κατασκευάστε σε κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις τις τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής και τις τροχιές της γραμμικοποίησής της και δοκιμάστε να αναπτύξετε την αναδρομική σχέση που οδηγεί στην κατασκευή του ομοιομορφισμού που διασφαλίζει την τοπική τοπολογική ταύτισή τους Σάγμα Κόμβος Εστία Τροχιές στο ευκλείδειο επίπεδο των τριών μη γραμμικών συστημάτων ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 0

11 Σχόλιο Κάθε ένα από αυτά τα μη γραμμικά συστήματα εμφανίζει μια μόνο κατάσταση ισορροπίας εντοπισμένη στην αρχή των αξόνων του ευκλείδειου επιπέδου και από τις αντίστοιχες γραμμικοποιήσεις προκύπτει: [ ] 0 = 0 [ ] 0 = 0 [3 ] 0 = [] Κατάσταση ισορροπίας: Σάγμα Γραμμικοποιημένο σύστημα: Ιδιοτιμές:, λ = λ =, Ιδιοδιανύσματα: V = (,, V = (, Το θεώρημα Harman-Grbman δηλώνει την ύπαρξη ομοιομορφισμού που στην περιοχή της σαγματικής κατάστασης ισορροπίας ταυτίζει τις τροχιές της εξελικτικής ροής της μη γραμμικής δυναμικής με εκείνες της εξελικτικής ροής της γραμμικοποιημένης δυναμικής που εκφράζεται ως εξής: g ˆ :, ˆ(, = 0e, 0 e g Το σύστημα των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ανάγεται στην εξίσωση Bernulli: d / d + = και από την επίλυση της προκύπτουν οι καμπύλες στις οποίες εξελίσσονται οι τροχιές της εξελικτικής ροής: C λ : =λ e +, λ Διαπιστώνουμε ότι δύο τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής κατευθύνονται προς την κατάσταση ισορροπίας κατά αντιστοιχία προς τις τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής που κατευθύνονται στην αρχή των αξόνων επάνω στον ιδιοάξονα της αρνητικής ιδιοτιμής, συγκροτώντας μια λεία καμπύλη που συναντά εφαπτομενικά αυτόν τον ιδιοάξονα στην κατάσταση ισορροπίας Επίσης, δύο τροχιές απομακρύνονται από την κατάσταση ισορροπίας κατά αντιστοιχία προς τις τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής που απομακρύνονται από την αρχή των αξόνων επάνω στον ιδιοάξονα της θετικής ιδιοτιμής, συγκροτώντας μια λεία καμπύλη που συναντά εφαπτομενικά αυτόν τον ιδιοάξονα στην κατάσταση ισορροπίας Οι υπόλοιπες τροχιές εξελίσσονται επίσης κατά αντιστοιχία προς τις τροχιές του γραμμικοποιημένου συστήματος και η αντιστοιχία αυτή, όπως και οι προηγούμενες, ορίζεται στην περιοχή της κατάστασης ισορροπίας από τον ομοιομορφισμό: h(, = e hg (, A Επιχειρείστε να προσδιορίσετε την έκφραση της εξελικτικής ροής της μη γραμμικής δυναμικής τη στιγμή = προκειμένου να κατασκευάσετε αυτό τον ομοιομορφισμό αναπτύσσοντας την αναδρομική σχέση: ( i+ A ( i = (0 ( n h ( = e h g (, i = 0,,, h ( =, h( = lim h ( n [] Κατάσταση ισορροπίας: Κόμβος Γραμμικοποιημένο σύστημα: Ιδιοτιμές:, λ = λ =, Ιδιοδιανύσματα: V = (, 0, V = ( 0, Το θεώρημα Harman-Grbman εξασφαλίζει την ύπαρξη ομοιομορφισμού που στην περιοχή της κομβικής κατάστασης ισορροπίας ταυτίζει τις τροχιές της εξελικτικής ροής της μη γραμμικής δυναμικής με εκείνες της εξελικτικής ροής της γραμμικοποιημένης δυναμικής που εκφράζεται ως εξής: g ˆ :, ˆ(, = ( 0e, 0 e g Το σύστημα των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ανάγεται στην εξίσωση: από όπου προκύπτουν οι λύσεις: d ( / = λ e d = = µ, ( =, λ, µ, ( e και οι ειδικές λύσεις: ( 0 και ( = α e, α Διαπιστώνουμε ότι τέσσερις τροχιές της μη γραμμικής δυναμικής εξελίσσονται στους ημιάξονες όπως οι αντίστοιχες τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής κατευθυνόμενες προς την κατάσταση ισορροπίας Οι υπόλοιπες τροχιές, στην περιοχή της κατάστασης ισορροπίας, εξελίσσονται κατά αντιστοιχία προς τις τροχιές του γραμμικοποιημένου συστήματος και η αντιστοιχία αυτή ορίζεται τοπικά από τον ομοιομορφισμό: h(, = e hg (, A ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 0

12 Επιχειρείστε να προσδιορίσετε την έκφραση της εξελικτικής ροής της μη γραμμικής δυναμικής τη στιγμή = προκειμένου να κατασκευάσετε αυτό τον ομοιομορφισμό αναπτύσσοντας την αναδρομική σχέση: ( i+ A ( i = (0 ( n h ( = e h g (, i = 0,,, h ( =, h( = lim h ( n [3] Κατάσταση ισορροπίας: Εστία Γραμμικοποιημένο σύστημα: Ιδιοτιμές: λ = /+ i 3/, λ =/ i 3/ Το θεώρημα Harman-Grbman εξασφαλίζει την ύπαρξη ομοιομορφισμού που στην περιοχή της εστιακής κατάστασης ισορροπίας ταυτίζει τις τροχιές της εξελικτικής ροής της μη γραμμικής δυναμικής με εκείνες της εξελικτικής ροής της γραμμικοποιημένης δυναμικής Οι τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής εξελίσσονται σπειροειδώς γύρω από την εστιακή κατάσταση ισορροπίας και μπορούν να προσδιοριστούν περνώντας στις πολικές συντεταγμένες: r = αr θ = ω α r ( = re θ ( =ω + θ α y( = re cs( ω + θ α y( = re sin( ω + θ ( = ( = Το σύστημα των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων εκφράζεται στις πολικές συντεταγμένες ως εξής: dr =r( r cs θsin θ dθ = ( r cs θsin θcsθ Οι τροχιές εξελίσσονται σπειροειδώς γύρω από την κατάσταση ισορροπίας και τείνουν προς αυτήν με την πάροδο του χρόνου: dθ = θ + ( r cs θsin θcsθ Εξετάστε το τι διαφορετικό θα συμβεί αν θεωρήσουμε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: d = d = + 3 Εξετάστε τη σχέση της εξελικτικής ροής της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων με εκείνη της γραμμικοποίησής τους στις καταστάσεις ισορροπίας: [] d = + + ( + d = + / [] d = + + / ln ( + d = + + / ln ( + Σχόλιο Και τα δυο συστήματα εμφανίζουν μια μοναδική κατάσταση ισορροπίας που εντοπίζεται στην αρχή των αξόνων και εκεί, παρότι δεν ορίζεται η ιακωβιανή τους, η γραμμικοποίησή τους εκφράζεται με το σύστημα: = Το γραμμικό αυτό σύστημα εμφανίζει στην αρχή των αξόνων μια ελκτική εστιακή κατάσταση ισορροπίας που χαρακτηρίζεται από τις ιδιοτιμές λ, = ± i και οι τροχιές του εξελίσσονται στη λογαριθμική σπείρα: θ r = ce r( = r e ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 03

13 Το ο μη γραμμικό σύστημα εκφράζεται στις πολικές συντεταγμένες ως εξής: και προκύπτει: dr = r( + cs θ dθ = ( + sin θ an( / k r = e + θ, k > 0 + sin θ Οι τροχιές πηγάζοντας από την κατάσταση ισορροπίας εξελίσσονται ομοθετικά ως προς αυτήν και ακολουθώντας παραβολική εξέλιξη απομακρύνονται με την πάροδο του χρόνου προς το άπειρο υπακούοντας στο νόμο: θ dθ = = θ + sin θ + an θ / + an θ / Το ο μη γραμμικό σύστημα εκφράζεται στις πολικές συντεταγμένες ως εξής: και προκύπτει: dr r = r + lnr dθ = / θ r + lnr = ke, k > 0 Συνεπώς, οι τροχιές εξελίσσονται υπακούοντας στο νόμο: / r + lnr = ke +, k > 0 Για μια συγκεκριμένη αρχική συνθήκη προκύπτει η κυκλική περιοδική τροχιά: Παρατηρούμε ότι: r < / e dr( > 0, d r = / e dr( / e< r < < 0, d dr( r > > 0 d Στο εσωτερικό του δίσκου ακτίνας r = οι τροχιές, πηγάζοντας από την κατάσταση ισορροπίας, εξελίσσονται / e σπειροειδώς και με την πάροδο του χρόνου περιελίσσονται εσωτερικά στην περιφέρεια του δίσκου Στο εσωτερικό / του δακτυλίου με ακτίνες = e και r = οι τροχιές εξελίσσονται επίσης σπειροειδώς και με την πάροδο του r χρόνου περιελίσσονται εξωτερικά στην περιφέρεια του δίσκου Πέρα από αυτόν τον δακτύλιο οι τροχιές εξελίσσονται επίσης σπειροειδώς και με την πάροδο του χρόνου απομακρύνονται στο άπειρο Η κατάσταση ισορροπίας που εντοπίζεται στην αρχή των αξόνων είναι ασταθής και η περιοδική τροχιά που εξελίσσεται στον κύκλο ακτίνας / r = e αποτελεί ευσταθή οριακό κύκλο της δυναμικής Στον κύκλο μοναδιαίας ακτίνας η συνθήκη r ( θ ( = και =θ δεν ορίζει μονοσήμαντα την εξέλιξη αφήνοντας ανοιχτό το ενδεχόμενο δυο κυκλικών τροχιών αντίθετης φοράς και αυτό οφείλεται στο ότι στα σημεία αυτού του κύκλου δεν πληρούται η συνθήκη μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων Συνεπώς, στην περιοχή της κατάστασης ισορροπίας, οι τροχιές της δυναμικής που ορίζεται από το ο σύστημα δεν έχουν ίδια συμπεριφορά με τις τροχιές της γραμμικοποίησής της, αλλά οι τροχιές της δυναμικής που ορίζεται από το ο σύστημα έχουν ίδια συμπεριφορά με τις τροχιές της γραμμικοποίησής της Στην η περίπτωση η μη γραμμική δυναμική προκύπτει από μια διαταραχή ίδιας τάξης με τους όρους της γραμμικής δυναμικής, ενώ στη η περίπτωση η διαταραχή είναι αμελητέα ως προς αυτούς τους όρους Τι ακριβώς λέει το θεώρημα Harman-Grbman; 4 Εξετάστε τη σχέση της εξελικτικής ροής της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων με εκείνη της γραμμικοποίησής τους στις καταστάσεις ισορροπίας: [] d = ( + d / / = ( + [] d = / ln ( + d = + / ln ( + ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 04

14 Σχόλιο Και τα δυο συστήματα εμφανίζουν μια μοναδική κατάσταση ισορροπίας που εντοπίζεται στην αρχή των αξόνων και εκεί, παρότι δεν ορίζεται η ιακωβιανή τους, η γραμμικοποίησή τους εκφράζεται αντίστοιχα ως εξής: 0 = 0 0 = 0 λ, =± i λ, = Το ο μη γραμμικό σύστημα εκφράζεται στις πολικές συντεταγμένες ως εξής: και προκύπτει: r ( dr dθ =, r d =, d =, θ ( = +µ +λ Οι τροχιές εξελίσσονται στις καμπύλες που ορίζονται από την πολική εξίσωση: r = θ+ λµ Το ο μη γραμμικό σύστημα, περνώντας στις πολικές συντεταγμένες, καταλήγει στα εξής: r ( = λ e, θ ( = ln lnλ µ, και οι τροχιές εξελίσσονται στις καμπύλες που ορίζονται από την πολική εξίσωση: θ = ln lnr µ 5 Εξετάστε τη σχέση της εξελικτικής ροής της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων με εκείνη της γραμμικοποίησής τους στις καταστάσεις ισορροπίας: d = [] d = d = [] d 3 = Σχόλιο Και τα δυο συστήματα εμφανίζουν μια μοναδική κατάσταση ισορροπίας που εντοπίζεται στην αρχή των αξόνων και εκεί η γραμμικοποίησή τους εκφράζεται ως εξής: ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 05

15 0 = 0 0 Από την ολοκλήρωση των μη γραμμικών συστημάτων προκύπτει αντίστοιχα: 3 y = +λ και 3 4 y = +λ 4 Το ο μη γραμμικό σύστημα εμφανίζει ένα σημείο διακλάδωσης εντοπισμένο στην αρχή των αξόνων και εκεί εμφανίζεται μια διαχωριστική καμπύλη που συναντά αμφίπλευρα εφαπτομενικά τον οριζόντιο άξονα: 3 = (cusp Η καμπύλη αυτή διαχωρίζει το επίπεδο σε δυο χωρία και επάνω της εξελίσσονται δυο τροχιές που, με την πάροδο του χρόνου, η μια κατευθύνεται προς την αρχή των αξόνων και η άλλη απομακρύνεται από αυτήν Η αρχή των αξόνων αποτελεί ασταθή κατάσταση ισορροπίας Εκατέρωθεν αυτής της διαχωριστικής καμπύλης οι τροχιές έχουν διαφορετική τοπική εξέλιξη, σαν να βρίσκονται από τη μια πλευρά στην περιοχή ενός κόμβου και από την άλλη πλευρά στην περιοχή ενός σάγματος Το ο μη γραμμικό σύστημα εμφανίζει σαγματική κατάσταση ισορροπίας εντοπισμένη στην αρχή των αξόνων Δυο ζεύγη τροχιών εξελίσσονται αντίστοιχα επάνω σε δυο παραβολές που συναντούν εφαπτομενικά τον ιδιοάξονα του γραμμικοποιημένου συστήματος ο οποίος ορίζεται από τη διπλή μηδενική ιδιοτιμή 6 Εξετάστε τη σχέση της εξελικτικής ροής της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων με εκείνη της γραμμικοποίησής τους στις καταστάσεις ισορροπίας: [] d = d = [] d = + d = Σχόλιο Και τα δυο συστήματα εμφανίζουν μια μοναδική κατάσταση ισορροπίας που εντοπίζεται στην αρχή των αξόνων και εκεί η γραμμικοποίησή τους εκφράζεται ως εξής: Το ο μη γραμμικό σύστημα εκφράζεται ως εξής: 0 = 0 0 ( d = d d = ( d + d και θέτοντας = zπροκύπτει: d = dz d = zdz 3 3 = +λ λ = Το ο μη γραμμικό σύστημα εκφράζεται ως εξής: και θέτοντας / = z προκύπτει: ( + d = d d = ( d d + d d = dz + zd ln( / λ = z ln( / λ = ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 06

16 7 Εξετάστε τη σχέση της εξελικτικής ροής της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων με εκείνη της γραμμικοποίησής τους στις καταστάσεις ισορροπίας: d = [] d = d = ( + [] d = ( + Τροχιές της δυναμικής που ορίζεται από το σύστημα [Ι] και της γραμμικοποίησής της στην κατάσταση ισορροπίας 8 Εξετάστε τη σχέση της εξελικτικής ροής της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων με εκείνη της γραμμικοποίησής τους στις καταστάσεις ισορροπίας: d = d = d = ( ( d = sin( + 9 Εξετάστε τη σχέση της εξελικτικής ροής της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων με εκείνη της γραμμικοποίησής τους στις καταστάσεις ισορροπίας: d = d d = + d3 = 3 d 3 d = d d = + d3 = 3 + d 0 Εξετάστε τη σχέση της εξελικτικής ροής της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων με εκείνη της γραμμικοποίησής τους στις καταστάσεις ισορροπίας: d =α( d d = c 3 d3 = b3 d d =σ( d d =ρ 3 d3 = b3 d d =α( d d = ( c α 3+ c d3 = b3 d (Lu sysem (Lrenz sysem (Chen sysem ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 07

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής.

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 55 Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρούμε ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές εκφρασμένο στις καρτεσιανές συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές έχει την

Ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές έχει την ΜΑΘΗΜΑ ο : ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές έχει την ακόλουθη έκφραση στις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου χώρου

Διαβάστε περισσότερα

και αναζητούμε τις λύσεις του:

και αναζητούμε τις λύσεις του: ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3. ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Η γραμμική δυναμική που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο εκφράζεται με ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με

Διαβάστε περισσότερα

, ( x) = ( f ( x),..., f ( x)

, ( x) = ( f ( x),..., f ( x) ΜΑΘΗΜΑ : ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΡΟΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις προσφέρουν τη δυνατότητα μαθηματικής μοντελοποίησης ενός πλήθους φυσικών, χημικών, βιολογικών, οικολογικών, οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό Μάθημα: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευματικός Ακαδημαϊκό έτος 11-1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΩΝ LOKA-VOLERRA

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μεταπτυχιακό Μάθημα Ακαδημαϊκό έτος 2012-13 Καθηγητής: Σ. Πνευματικός Ο όρος δυναμικό σύστημα δηλώνει κάθε σύστημα, φυσικό, χημικό, βιολογικό, οικονομικό,

Διαβάστε περισσότερα

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: ΜΑΘΗΜΑ 1: ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ένα σύστημα χημικών ουσιών που υπεισέρχονται σε μια χημική αντίδραση. Η στιγμιαία κατάσταση κάθε ουσίας χαρακτηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. (Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος )

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. (Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος 00-) Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης η ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: * ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Η μονοδιάστατη γραμμική δυναμική. *

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Η μονοδιάστατη γραμμική δυναμική. * ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 Ι. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Τα παραδείγματα που ακολουθούν αφορούν μονοδιάστατους χώρους καταστάσεων όπου ο νόμος της εξέλιξης εκφράζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ

ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα ο ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η Κλασική Μηχανική, ως ορθολογική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος 2010-11 * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο όρος δυναμικό σύστημα δηλώνει κάθε σύστημα, φυσικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ. 6.1 Το Θεώρημα Hartman-Grobman

Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ. 6.1 Το Θεώρημα Hartman-Grobman Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι η συμπεριφορά των λύσεων ενός δυναμικού συστήματος ẋ = f (x) κοντά σε ένα σημείο ισορροπίας x 0, καθορίζεται από το γραμμικό τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής

Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής Κεφάλαιο 9 ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής ẋ = f (x, µ), (9.0.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f εξαρτάται από μία παράμετρο µ και είναι αρκούντως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική Κατηγορίες f.p. σε γραμμικά διαφορικά συστήματα 1 ης τάξης Έστω το γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 1 Θέματα και Λύσεις ΘΕΜΑ 1 Υλικό σημείο κινείται στον άξονα x' Ox υπό την επίδραση του δυναμικού 3 ax x V ( x) a x, a 3 α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2013 lika@biology.uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov

Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov Ζαφειράκογλου Απόστολος ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 1 / 40 Μη γραμμική Δυναμική Εισαγωγή Γενικά στοιχεία. Στην Μη-Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Σπυρος Γκορμπατσης Δυναμικα Συστηματα και Θεωρια Διακλαδωσεων Πτυχιακη Εργασια Πανεπιστημιο Αιγαιου Τμημα Μαθηματικων Καρλοβασι 10 Οκτωβριου 2017 Επιβλεπων : Καραχαλιος Νικολαος Επιτροπη : Καραχαλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0- ΜΑΘΗΜΑ: Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ Μάθημα ο Στην Κλασική Μηχανική, ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2012-13 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Μάθημα 2 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Χάος και Φράκταλς Περιεχόμενα των Διαλέξεων Σταύρος Αναστασίου Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πάτρα 2017 Πολύ πρόχειρες σημειώσεις για τους φοιτητές του μαθήματος «Χάος και

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 17-18 Ν. Βλαχάκης 1. Εστω πεδίο δύναμης F = g () cos y ˆ + λ g() sin y ŷ, όπου λ = σταθερά και g() = 1 e π/ B C (σε κατάλληλες μονάδες). (α) Υπολογίστε πόση ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8 Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θεωρούμε τη γενιϰή ομογενή γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση τάξης n N στην ϰανονιϰή μορφή της

Διαβάστε περισσότερα

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4 Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 8-9 Ν. Βλαχάκης. (α) Ποια είναι η ένταση και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί μια ομογενής σφαίρα πυκνότητας ρ και ακτίνας σε όλο το χώρο; Σχεδιάστε

Διαβάστε περισσότερα

Ικανές και αναγκαίες συνθήκες για δομική ευστάθεια ορίζει το θεώρημα του Peixoto, το οποίο για τα επίπεδα συστήματα έχει ως εξής

Ικανές και αναγκαίες συνθήκες για δομική ευστάθεια ορίζει το θεώρημα του Peixoto, το οποίο για τα επίπεδα συστήματα έχει ως εξής 6 Διακλαδώσεις 6.1 Βασικές έννοιες και ορισμοί Στις περισσότερες εφαρμογές, οι εξισώσεις των συστημάτων, πέρα από τις δυναμικές μεταβλητές περιλαμβάνουν παραμέτρους, οι οποίες, ναι μεν είναι σταθερές για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΉΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Ε Ν Δ Ε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Μεταπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος 0- Καθηγητής: Σ. Πνευματικός Η ΥΠΑΡΞΗ, Η ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ, Η ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 010-11 Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Τα φροντιστήρια γίνονται κάθε Δευτέρα 1100-100 και κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

) z ) r 3. sin cos θ,

) z ) r 3. sin cos θ, Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

z=± Η εξίσωση αυτή μας λέει αμέσως ότι η συνάρτηση Green σε δύο διαστάσεις είναι

z=± Η εξίσωση αυτή μας λέει αμέσως ότι η συνάρτηση Green σε δύο διαστάσεις είναι στο άπειρο το αποτέλεσμα απειρίζεται λογαριθμικά. Αυτή η συμπεριφορά του δυναμικού Coulomb σε δύο διαστάσεις δεν μπορεί να εξαλειφθεί με τον ίδιο τρόπο όπως η απόκλιση (86 διότι έχει φυσική αφετηρία :

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Να βρεθούν τα όρια, αν υπάρχουν: lim i) (,) (0,0) + ii) lim (,) (0,0) + iii) 3 lim 3 (,) (0,0) 6 + lim iv) (,) (0,0) + + lim sin + sin v) (,) (0,0)

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin.

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 15-16 Ν. Βλαχάκης 1. Σημειακό σώμα μάζας m είναι δεμένο σε αβαρές και μη εκτατό νήμα ακτίνας R και κινείται κάτω από την επίδραση του βάρους του mgẑ και της τάσης

Διαβάστε περισσότερα

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

Βιομαθηματικά BIO-156. Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017 Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2017 lika@biology.uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 2011) 2 o2.

ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 2011) 2 o2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 011) 1 Από τους ακόλουθους μετασχηματισμούς του αριθμητικού χωρο-χρόνου εντοπίστε

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 19 Απριλίου 2013 Κεφάλαιο Ι 1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012 ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A. Απόδειξη Σελ. 53 Α. Ορισμός Σελ 9 Α3. Ορισμός Σελ 58 Α. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β.. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3)

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3) 4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η εκθετική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση την σχέση e, ή exp( ) όπως εναλλακτικά συμβολίζεται, ορίζεται από x e = e (os y+ isin y) (0.) όπου = x + iy. Όταν = iy τότε ο ανωτέρω

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις : Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1.

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1. Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (0) = x 0, (4.1.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως C 1 σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα