Ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές έχει την

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές έχει την"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ ο : ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές έχει την ακόλουθη έκφραση στις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου χώρου : dx = ax a x d dx = a x ax d. και για κάθε δεδομένη αρχική κατάσταση η λύση του εκφράζεται ως απεικόνιση του χρονικού άξονα στο χώρο των καταστάσεων που αναπαρίσταται στον ευκλείδειο χώρο : φ, φ (0) = x. x : Το σύστημα αυτό ορίζει ένα γραμμικό μετασχηματισμό στον ευκλείδειο χώρο που συμβολικά σημειώνεται ως εξής: x a a x = x a a x X = AX. Ζητούμενο είναι ο εντοπισμός κατάλληλων γραμμικών συντεταγμένων στις οποίες το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων αποκτά την απλούστερη έκφραση με δυνατότητα άμεσου προσδιορισμού των λύσεών του. Οι καρτεσιανές συντεταγμένες ορίζονται από μια προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου και τις κανονικές προβολές: : Κάθε γραμμικός ισομορφισμός x : i, i,..., ψ: =. μετατρέπει την ορθοκανονική βάση σε μια βάση όχι απαραίτητα ορθοκανονική, οπότε οι καρτεσιανές συντεταγμένες μετατρέπονται σε ένα άλλο σύστημα γραμμικών συντεταγμένων: : i, i = x ψ i, i,..., που ορίζονται από το μεταθετικό διάγραμμα: ψ xi i =, Γραμμικός μετατροπή των καρτεσιανών συντεταγμένων στο ευκλείδειο επίπεδο. ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 54

2 Η διαδικασία προσδιορισμού των κατάλληλων γραμμικών συντεταγμένων που οδηγούν στην άμεση επίλυση των εξισώσεων καθορίζεται από τη φύση των ιδιοτιμών του γραμμικού μετασχηματισμού: X = AX. Η πιο απλή εκδοχή προκύπτει όταν όλες οι ιδιοτιμές είναι απλές πραγματικές, οπότε ο ευκλείδειος χώρος διασπάται σε ευθύ άθροισμα μονοδιάστατων ιδιόχωρων: όπου E λ i = E λ... E λ = ξ ξ=λ ξ, i =,...,. { / A i } Έτσι, υπάρχει η δυνατότητα συγκρότησης μιας βάσης ιδιοδιανυσμάτων στην οποία ο γραμμικός μετασχηματισμός εκφράζεται ως εξής: λ 0 = 0 λ Σε αυτές τις γραμμικές συντεταγμένες οι διαφορικές εξισώσεις εκφράζονται ως εξής:. και προκύπτουν οι λύσεις: () = λ (), i =,...,, i i i i i() = ce λ i, ci, i =,...,. Η αποσύζευξη των διαφορικών εξισώσεων και η άμεση επίλυσή τους είναι γενικότερα εφικτή όταν υπάρχει δυνατότητα διάσπασης του ευκλείδειου χώρου σε ευθύ άθροισμα ιδιόχωρων: όπου και E λ i λ E λ... E λ k = dim E dim E k = = ξ ξ=λ ξ, i =,..., k. { / A i } λ Όταν η διάσπαση αυτή δεν είναι εφικτή τότε τα γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα δεν επαρκούν για τη συγκρότηση βάσης η οποία θα προκαλέσει αποσύζευξη των διαφορικών εξισώσεων. Συμπληρώσουμε τότε την οικογένειά τους με κατάλληλα επιλεγμένα διανύσματα ώστε να συγκροτηθεί βάση στην οποία να προκύψει τριγωνική έκφραση του πίνακα του μετασχηματισμού: a a = 0 a Από τη βάση αυτή προκύπτουν γραμμικές συντεταγμένες που εξασφαλίζουν μερική αποσύζευξη των διαφορικών εξισώσεων, οπότε οι λύσεις τους προσδιορίζονται με διαδοχικές ολοκληρώσεις: = a + a a = a a = a.. Όταν εμφανίζονται μιγαδικές ιδιοτιμές τότε προκειμένου να συγκροτηθεί βάση του ευκλείδειου χώρου στην οποία ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού να αποκτήσει πρόσφορη έκφραση για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων, θέτουμε σε εφαρμογή τη διαδικασία κατασκευής των κανονικών μορφών Jrda που έχετε διδαχτεί στο μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας.. ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 55

3 ΟΙ ΤΡΟΧΙΕΣ ΤΗΣ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική εκφράζεται στο ευκλείδειο επίπεδο με ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές ως εξής: dx = ax + bx d dx d = ax + bx Στις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου επιπέδου θεωρούμε το γραμμικό μετασχηματισμό: x a b x x = a b x και το διατυπώνουμε συμβολικά ως εξής: X( ) = AX( ). ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 56

4 Οι ιδιοτιμές κάθε γραμμικού μετασχηματισμού διατηρούνται αναλλοίωτες κατά την αλλαγή βάσης και ταυτίζονται με τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: ( ) de Α λ I =. 0 Θεωρώντας την ορίζουσα και το ίχνος του γραμμικού μετασχηματισμού που επίσης διατηρούνται αναλλοίωτα κατά τις αλλαγές βάσης: de Α= ab ba και r Α= a + b προκύπτει η ακόλουθη έκφραση της χαρακτηριστικής εξίσωσης: ( ) λ Α λ+ Α=0 r de. και η φύση των ιδιοτιμών καθορίζεται από το πρόσημο της διακρίνουσας: Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: (A) = ( ra) 4de A. (A) > 0 ιδιοτιμές λλ,, λ λ, (A) = 0 ιδιοτιμές λλ,, λ=λ, (A) < 0 ιδιοτιμές λ, λ, λ=α+ iβ, λ =α iβ. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (A) > 0 ιδιοτιμές λ, λ, λ λ. Στην περίπτωση αυτή προκύπτουν δυο μονοδιάστατοι ιδιόχωροι: E = ξ /Aξ=λξ, i =,, λ i { i } και επιλέγοντας μια βάση ιδιοδιανυσμάτων ορίζεται ένα νέο σύστημα γραμμικών συντεταγμένων στο οποίο ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού αποκτά διαγώνια έκφραση: λ 0 = 0 λ. Τώρα, χωρίς δυσκολία προκύπτουν οι λύσεις του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων: = λ = λ () = ce () = ce λ λ x () c e λ λ = ξ + cξe. Πίνακας των τροχιών στην περίπτωση πραγματικών διακριτών ιδιοτιμών. Όταν οι ιδιοτιμές είναι ετερόσημες τότε η κατάσταση ισορροπίας είναι σαγματική. Όταν οι ιδιοτιμές είναι ομόσημες τότε η κατάσταση ισορροπίας είναι κομβική. Όταν κάποια από τις ιδιοτιμές είναι μηδενική τότε εμφανίζονται άπειρες συνευθειακές καταστάσεις ισορροπίας και οι άλλες τροχιές εξελίσσονται ευθύγραμμα εκατέρωθεν της κάθε κατάστασης ισορροπίας. ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 57

5 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (A) = 0 ιδιοτιμές λλ,, λ=λ. Διακρίνουμε δυο υποπεριπτώσεις ανάλογα με το αν ο ιδιόχωρος είναι δισδιάστατος ή μονοδιάστατος: E = ξ λ. { / A ξ=λξ } - Αν dim E λ =, ο γραμμικός μετασχηματισμός ορίζει στο ευκλείδειο επίπεδο μια ομοθεσία που έχει λόγο την τιμή της διπλής πραγματικής ιδιοτιμής και εκφράζεται ως εξής: x λ 0 x = x 0 λ x. Οι λύσεις του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων προκύπτουν απευθείας ως εξής: x x = λ x = λx λ x() = x e λ x() = xe x () = xe λ. - Αν dim E λ =, επιλέγουμε μια βάση αποτελούμενη από ένα ιδιοδιάνυσμα ξ και ένα διάνυσμα ξ που προσδιορίζεται ως εξής: A ξ =ξ+λξ. Η βάση αυτή ορίζει ένα νέο σύστημα γραμμικών συντεταγμένων στο οποίο ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού αποκτά τριγωνική έκφραση: λ = 0 λ. Οι λύσεις του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων προκύπτουν ως εξής: =λ + = λ () = ( c + c) e λ () = ce λ x ( ) =... x ( ) =... Στην περίπτωση δισδιάστατου ιδιόχωρου: Πίνακας των τροχιών στην περίπτωση διπλής πραγματικής ιδιοτιμής. Όταν η ιδιοτιμή δεν είναι μηδενική τότε οι τροχιές απομακρύνονται ή πλησιάζουν ακτινικά την κατάσταση ισορροπίας. Όταν η ιδιοτιμή είναι μηδενική τότε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου εκφράζει μια κατάσταση ισορροπίας. Στην περίπτωση μονοδιάστατου ιδιόχωρου: Όταν η ιδιοτιμή δεν είναι μηδενική τότε οι τροχιές απομακρύνονται ή πλησιάζουν την κατάσταση ισορροπίας ασυμπτωτικά προς το μονοδιάστατο ιδιόχωρο. Όταν η ιδιοτιμή είναι μηδενική τότε εμφανίζονται άπειρες συνευθειακές καταστάσεις ισορροπίας και οι άλλες τροχιές εξελίσσονται ευθύγραμμα εκατέρωθεν κάθε κατάστασης ισορροπίας. ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 58

6 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (A) < 0 ιδιοτιμές λ, λ, λ=α+ i ω, λ =α iω. Στην περίπτωση αυτή προκύπτουν δυο συζυγή μιγαδικά ιδιοδιανύσματα: Τα πραγματικά διανύσματα: ζ=ζ + i ζ, ζ =ζ i ζ. ξ =ζ+ζ = ζ, ξ = ( ζ ζ ) = ζ i, συγκροτούν μια βάση του ευκλείδειου επιπέδου που ορίζει ένα σύστημα γραμμικών συντεταγμένων στο οποίο ο γραμμικός μετασχηματισμός εκφράζεται ως εξής: α ω = ω α. Όμως, για τον υπολογισμό των λύσεων του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων: =α ω =ω +α χρειάζεται να εισαχθούν οι μη γραμμικές συντεταγμένες: = rcsθ, = rsiθ, r > 0, θ ( md π). Δεν πρόκειται πάντα για πολικές συντεταγμένες γιατί δεν ορίζονται απευθείας από το ορθοκανονικό σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων του ευκλείδειου επιπέδου, όμως προκύπτει: r = αr θ = ω α r () = re θ () =ω + θ α ( ) = re cs( ω + θ) α ( ) = re si( ω + θ) x ( ) =... x ( ) =... Πίνακας των τροχιών στην περίπτωση μιγαδικών ιδιοτιμών. Σχόλιο. Στην περίπτωση αυτή των μιγαδικών ιδιοτιμών ορίζεται στο μιγαδικό επίπεδο ένας μιγαδικός γραμμικός μετασχηματισμός ο οποίος εκφράζεται στη βάση των συζυγών ιδιοδιανυσμάτων ως εξής: z λ 0 z ( ) (0) z = z e = z 0 z λ z ( ) z (0) e = ( α+ iω) ( α iω) ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 59

7 ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ. Γεωμετρική κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Θεωρούμε το σύστημα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων διατυπωμένο στις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου επιπέδου: x = ax + bx x = ax+ bx. Όπως διαπιστώσαμε υπάρχουν κατάλληλες γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα αυτό αποκτά απλούστερη διατύπωση με δυνατότητα άμεσης επίλυσής του. Αυτές οι συντεταγμένες καθορίζονται από τις ιδιοδιευθύνσεις ή κατάλληλες διευθύνσεις που εμφανίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο ανάλογα με τη φύση των ιδιοτιμών της γραμμικής δυναμικής και οδηγούν στις κανονικές μορφές: = λ = λ = λ = λ =λ + = λ =α ω =ω +α. Όταν η γραμμική δυναμική έχει δυο πραγματικές διακριτές ιδιοτιμές τότε στο ευκλείδειο επίπεδο υπάρχει ένα σύστημα ιδιοαξόνων στο οποίο προκύπτει η κανονική μορφή των εξισώσεων: = λ = λ () = ce () = ce λ λ. Για το σχεδιασμό των τροχιών είναι προτιμότερο να εργαστούμε στις συντεταγμένες του συστήματος των ιδιοαξόνων παρά στις καρτεσιανές συντεταγμένες, γιατί η κανονική αυτή μορφή των εξισώσεων διατηρείται αναλλοίωτη κατά την αλλαγή: και. Συνεπώς, οι τροχιές οφείλουν να εμφανίζουν αξονική συμμετρία ως προς κάθε ιδιοάξονα παράλληλα προς τη διεύθυνση που ορίζει ο άλλος. Αν κάποια από τις ιδιοτιμές είναι μηδενική τότε κάθε σημείο του αντίστοιχου ιδιοάξονα αποτελεί κατάσταση ισορροπίας. Όλες οι άλλες τροχιές είναι ευθύγραμμες και εξελίσσονται κατά ζεύγη, ελκτικά ή απωστικά, εκατέρωθεν κάθε κατάστασης ισορροπίας. Αν δεν υπάρχει μηδενική ιδιοτιμή τότε η αρχή των αξόνων αποτελεί τη μοναδική κατάσταση ισορροπίας και τέσσερις ευθύγραμμες τροχιές, που έχουν φορέα τους αντίστοιχους ημιάξονες των ιδιοδιευθύνσεων, κατευθύνονται προς αυτήν ή απομακρύνονται προς το άπειρο ανάλογα με το πρόσημο της αντίστοιχης ιδιοτιμής. Για όλες τις άλλες τροχιές, η αξονική τους συμμετρία ως προς τους ιδιοάξονες, υποδεικνύει ότι αρκεί να κατασκευαστούν στο τεταρτημόριο: > 0, > 0 και εκεί διαπιστώνουμε ότι έχουν φορέα τα γραφήματα των εκθετικών συναρτήσεων: = c λ λ, c > 0. / Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στην περίπτωση απλών πραγματικών μη μηδενικών ιδιοτιμών σε ορθοκανονικό σύστημα ιδιοαξόνων του ευκλείδειου επιπέδου. Όταν η γραμμική δυναμική έχει διπλή πραγματική ιδιοτιμή τότε, εκτός από τη μηδενική περίπτωση ή την περίπτωση ομοθεσίας, υπάρχει μόνο μια ιδιοδιεύθυνση. Έτσι, συγκροτείται ένα σύστημα αξόνων αποτελούμενο από ένα ιδιοάξονα και έναν κατάλληλα επιλεγμένο άξονα, όπως ήδη αναφέρθηκε, και σε αυτό το σύστημα των γραμμικών συντεταγμένων προκύπτει η κανονική μορφή Jrda: =λ + = λ () = ( c + c) e λ () = ce λ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 60

8 Η αρχή των αξόνων αποτελεί τη μοναδική κατάσταση ισορροπίας και δυο ευθύγραμμες τροχιές, που έχουν ως φορέα τους ημιάξονες της ιδιοδιεύθυνσης, κατευθύνονται προς αυτήν ή απομακρύνονται προς το άπειρο ανάλογα με το πρόσημο της ιδιοτιμής. Όλες οι άλλες τροχιές έχουν φορέα τα γραφήματα των συναρτήσεων: = ( l + c) λ όπου c = l c + c/ c, c 0. λ Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στην περίπτωση διπλής ιδιοτιμής σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Όταν η γραμμική δυναμική έχει μιγαδικές ιδιοτιμές: λ=α+ i ω, λ =α iω τότε στο ευκλείδειο επίπεδο δεν εμφανίζονται ιδιοδιευθύνσεις αλλά υπάρχει ένα σύστημα γραμμικών συντεταγμένων στο οποίο προκύπτει η κανονική μορφή: α =α ω ( ) = re cs( ω + θ) α =ω +α. ( ) = re si( ω + θ) - Η αρχή των αξόνων αποτελεί τη μοναδική κατάσταση ισορροπίας και ολόγυρά της εξελίσσονται ελλειπτικές ή σπειροειδείς τροχιές ανάλογα με το αν οι ιδιοτιμές είναι καθαρά φανταστικές ή όχι. Οι σπειροειδείς τροχιές πλησιάζουν απεριόριστα την κατάσταση ισορροπίας ή απομακρύνονται στο άπειρο ανάλογα με το αν το πραγματικό μέρος των συζυγών ιδιοτιμών είναι αρνητικό ή θετικό. α< 0, ω> 0 α= 0, ω> 0 α> 0, ω> 0 α< 0, ω< 0 α= 0, ω< 0 α> 0, ω< 0 Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στην περίπτωση μιγαδικών ιδιοτιμών στο ευκλείδειο επίπεδο. Κατασκευάστε τις τροχιές της εξελικτικής ροής της γραμμικής δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων: [] = x+ x x = 4x x [] = x + x x = x + x [] = x x x = x + 4x [4] = x x x = x x ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 6

9 Υπόδειξη. [] Ιδιοτιμές: λ =, λ =, Ιδιοδιανύσματα: ξ = (, 4), ξ = (, ). Προκύπτουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: = = () = ce () = ce x() = ce + ce x() = 4ce + ce [] Ιδιοτιμές: λ = /, λ =, Ιδιοδιανύσματα: ξ = (, ), ξ = (, ). Προκύπτουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: = / = () = ce () = ce / / x() = ce + ce x() = ce + ce / [] Ιδιοτιμή: λ=, Ιδιοδιάνυσμα: ξ= (, ), Συμπληρωματικό διάνυσμα: ξ= ( /, 0). Προκύπτουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: = + = () = ( c+ c ) e () = c e x( ) = ( c + c c / ) e x( ) = ( c + c) e [4] Ιδιοτιμές: λ= + i 5, λ = i 5, Ιδιοδιανύσματα: ζ= ( + i 5, ), ζ = ( i 5, ). Τα διανύσματα ξ = (, ), ξ = ( 5, 0) ορίζουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: = 5 = 5+ Από το μετασχηματισμό = r si θ, = r csθ προκύπτει: άρα r () = r () θ () = 5 ( ) = re cs( 5 + θ) ( ) = re si( 5 + θ) r () = r e θ() = 5 + θ r = ce θ / 5 x ( ) = re ( cs( 5 + θ) 5 cs( 5 + θ) ) x( ) = re si( 5 + θ) [] [] [] [4] ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 6

10 Προσδιορίστε την αντιστοιχία των τροχιών που δίνονται στα ακόλουθα σχήματα με τα συστήματα των διαφορικών εξισώσεων που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο ως εξής: = x + x x = x + x = x x = x+ x = x+ x x = x x = x+ x x = x x Κατασκευάστε τις τροχιές της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεων για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου ρ και παρατηρείστε τη συνεχή παραμόρφωσή τους που οδηγεί από κόμβο σε εστία: = x+ρx x = x + ( +ρ/) x ρ. ρ= 0.5 ρ= 0. ρ= 0 ρ= 0.5 ρ=. Τοπολογική ταξινόμηση των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Θεωρούμε δυο γραμμικά δυναμικά συστήματα που η εξέλιξή τους στο ευκλείδειο επίπεδο διέπεται αντίστοιχα από τις γραμμικές εξισώσεις: με αντίστοιχες μονοπαραμετρικές ομάδες: X( ) = A X( ), i =,, { : / i } i g, i =,. Σύμφωνα με τον ορισμό της τοπολογικής ισοδυναμίας, οι δυναμικές που ορίζονται από δυο δυναμικά συστήματα είναι τοπολογικά ισοδύναμες αν και μόνο αν υπάρχει ομοιομορφισμός: τέτοιος ώστε: h : hg ( x) = g hx ( ),,. x Αν ο ομοιομορφισμός που αποκαθιστά την τοπολογική ισοδυναμία είναι γραμμικός ή αμφιδιαφορικός τότε αντίστοιχα λέμε ότι οι δυναμικές είναι γραμμικά ή διαφορικά ισοδύναμες. Επιλέξτε (i) γραμμικούς ισομορφισμούς, (ii) αμφιδιαφορομορφισμούς, (iii) ομοιομορφισμούς του ευκλείδειου επιπέδου και αφήστε τους να μετασχηματίσουν την εξελικτική ροή της δυναμικής: ως εξής: g ( x) = ex,,, h x g hx ( ),,. x ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 6

11 Ποιο είναι το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων που ορίζουν την εξελικτική ροή η οποία προκύπτει από αυτούς τους μετασχηματισμούς; Σχεδιάστε στο ευκλείδειο επίπεδο τις τροχιές της εξελικτικής ροής πριν και μετά το μετασχηματισμό της. Εντάξτε σε κλάσεις τοπολογικής ισοδυναμίας τις εξελικτικές ροές της γραμμικής δυναμικής των οποίων οι τροχιές παρατίθενται στον ακόλουθο πίνακα. Θα μπορούσατε, σε κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις να προσδιορίστε την έκφραση του αντίστοιχου συστήματος διαφορικών εξισώσεων; Πιστεύετε ότι οι γραμμικές δυναμικές που έχουν μεταξύ τους ίδιες ιδιοτιμές έχουν ίδια εξελικτική ροή και ίδιες τροχιές στο ευκλείδειο επίπεδο; Εντοπίστε τη διαφορά των τροχιών στο ευκλείδειο επίπεδο που προκύπτουν από τα συστήματα των γραμμικών εξισώσεων: [Ι] = x x = x και = x x = x [ΙΙ] = x x = x και = x + x x = x Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε σε βάθος τα εξής θεωρήματα: Θεώρημα. Οι εξελικτικές ροές που προκύπτουν από δυο γραμμικές δυναμικές στο ευκλείδειο επίπεδο είναι διαφορικά ισοδύναμες αν και μόνο αν είναι γραμμικά ισοδύναμες. Σχόλιο. Το θεώρημα δεν. υπονοεί ότι κάθε αμφιδιαφορομορφισμός που αποκαθιστά τη διαφορική ισοδυναμία των εξελικτικών ροών είναι οπωσδήποτε γραμμικός ισομορφισμός. Όμως, θεωρώντας το διαφορικό ενός τέτοιου αμφιδιαφορομορφισμού θα μπορούσατε να αντιληφθείτε το σκεπτικό της απόδειξης. Πρόκειται για αποτέλεσμα που ισχύει και για την πολυδιάστατη γραμμική δυναμική. Θεώρημα. Δυο γραμμικές δυναμικές με πραγματικές διακριτές ιδιοτιμές ορίζουν γραμμικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές αν και μόνο αν έχουν ίδιες ιδιοτιμές. Απόδειξη. Κάθε γραμμική δυναμική με απλές πραγματικές ιδιοτιμές αποσυντίθενται σε μονοδιάστατες γραμμικές δυναμικές. Συνεπώς, οι γραμμικές δυναμικές που έχουν ίδιες διακριτές πραγματικές ιδιοτιμές δε μπορούν παρά να αποσυντεθούν στις ίδιες μονοδιάστατες γραμμικές δυναμικές. Αντίστροφα, αν οι δυο γραμμικές δυναμικές είναι γραμμικά ισοδύναμες τότε οι τελεστές τους ταυτίζονται με αλλαγή βάσης άρα έχουν ίδιες ιδιοτιμές απλές ή όχι. Παράδειγμα γραμμικά ισοδύναμων εξελικτικών ροών της γραμμικής δυναμικής στο ευκλείδειο επίπεδο. (Άραγε, ποιοι είναι οι ισομορφισμοί ταύτισης των εξελικτικών ροών του παραδείγματος;) ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 64

12 Κριτήρια τοπολογικής ταξινόμησης της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Οι γραμμικές δυναμικές στο ευκλείδειο επίπεδο των οποίων οι ιδιοτιμές είναι θετικές ή έχουν θετικό πραγματικό μέρος ορίζουν τοπολογικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές με αυτή της δυναμικής: x = x, x. Οι γραμμικές δυναμικές στο ευκλείδειο επίπεδο των οποίων οι ιδιοτιμές είναι αρνητικές ή έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος ορίζουν τοπολογικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές με αυτή της δυναμικής: x = x, x. Τοπολογικά ισοδύναμες γραμμικές δυναμικές στο ευκλείδειο επίπεδο. (Ιδιοτιμές με θετικό πραγματικό μέρος) Τοπολογικά ισοδύναμες γραμμικές δυναμικές στο ευκλείδειο επίπεδο. (Ιδιοτιμές με αρνητικό πραγματικό μέρος) Σχόλιο. Το κριτήριο αυτό με μια γενικότερη διατύπωση ισχύει στους πολυδιάστατους ευκλείδειους χώρους. Η κατασκευή του ομοιομορφισμού που αποκαθιστά την τοπολογική ισοδυναμία βασίζεται στη χρήση της συνάρτησης Liapuv που διδάσκεται στο πλαίσιο του μαθήματος των Δυναμικών Συστημάτων. Αποφανθείτε για τη γραμμική και τοπολογική ισοδυναμία των εξελικτικών ροών της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων και σχεδιάστε τις τροχιές τους: = x+ x x = x x = x x x = x+ x = x+ x x = x+ x = x + x x = x + x Σχεδιάστε τις τροχιές της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από την κανονική μορφή Jrda του γραμμικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων με διπλή πραγματική ιδιοτιμή: (Ι) λ= /0, (ΙΙ) λ= /0, και εντοπίστε τις διαφορές με την περίπτωση: λ= 0. Αποφανθείτε για την τοπολογική ισοδυναμία των εξελικτικών τους ροών. Στο επόμενο σχήμα δίνονται σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων του ευκλείδειου επιπέδου οι τροχιές δυο άγνωστων γραμμικών δυναμικών συστημάτων. Μπορείτε να αναγνωρίσετε τη φύση των ιδιοτιμών τους; Είναι εφικτός ο προσδιορισμός τους; Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου στα οποία η εφαπτομένη των τροχιών είναι κάθετη στην εμφανιζόμενη ιδιοδιεύθυνση; ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 65

13 Αποφανθείτε για τη γραμμική και τοπολογική ισοδυναμία των εξελικτικών ροών της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων και σχεδιάστε τις τροχιές τους: [] [] = x x = x + x = x+ x x = x+ x = x x = x + x = x+ x 4x = x + 4x [] x = x x = x x = x x x = x x Αποφανθείτε για τη γραμμική και τοπολογική ισοδυναμία των εξελικτικών ροών της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων και σχεδιάστε τις τροχιές τους: [Ι] = x x = x+ x = x 9x = 8x+ 8x = x 9x = 0x+ 8x ΙΙ] = x+ x x = x+ x 0x = 0x+ 9x 0x = 9x+ 0x 0x = 0x+ x 0x = x+ 0x Προσδιορίστε τις τιμές της παραμέτρου α στις οποίες η εξελικτική ροή του καθενός από τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων αλλάζει τοπολογικό τύπο: [Ι] x x = x = α x [ΙΙ] x x = x = αx. Διαπιστώστε ότι κάθε γραμμική διαφορική εξίσωση ης τάξης με σταθερούς συντελεστές: x = ax+ bx ανάγεται στο ακόλουθο σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων: = x x = ax + bx Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων a και b, αποφανθείτε για τη γραμμική και τοπολογική ισοδυναμία των αντίστοιχων εξελικτικών ροών στο ευκλείδειο επίπεδο. Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων a και b, αποφανθείτε για τη γραμμική και τοπολογική ισοδυναμία, ή μη, της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από την εξίσωση x= a x+bx με εκείνη που ορίζεται από την εξίσωση x= x ή την εξίσωση x= x. Αποφανθείτε για την ορθότητα ή όχι των ακόλουθων ισχυρισμών που αφορούν στη γραμμική δυναμική που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο ή στην πραγματική ευθεία:. Οι γραμμικές δυναμικές που έχουν ίδιες ιδιοτιμές είναι: (i) γραμμικά, (ii) διαφορικά, (iii) τοπολογικά ισοδύναμες.. Οι τοπολογικά ισοδύναμες γραμμικές δυναμικές είναι διαφορικά ισοδύναμες.. Οι διαφορικά ισοδύναμες γραμμικές δυναμικές είναι γραμμικά ισοδύναμες. 4. Οι γραμμικές δυναμικές που έχουν καθαρά φανταστικές ιδιοτιμές είναι: (i) γραμμικά, (ii) διαφορικά, (iii) τοπολογικά ισοδύναμες. Εξετάστε και αποδείξτε τη (i) γραμμική, (ii) διαφορική, (iii) τοπολογική ισοδυναμία, ή μη, της δυναμικής που ορίζεται στην πραγματική ευθεία από τη διαφορική εξίσωση x = x με εκείνη που ορίζεται από τη διαφορική εξίσωση x = x. ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 66

14 Εξετάστε και αποδείξτε τη (i) γραμμική, (ii) διαφορική, (iii) τοπολογική ισοδυναμία, ή μη, της δυναμικής που ορίζεται στην πραγματική ευθεία από τη διαφορική εξίσωση x = x με εκείνη που ορίζεται από τη διαφορική εξίσωση x = x+. Εξετάστε και αποδείξτε τη (i) γραμμική, (ii) διαφορική, (iii) τοπολογική ισοδυναμία, ή μη, της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από τη διαφορική εξίσωση x= x με εκείνη που ορίζεται από τη διαφορική εξίσωση x= x. Εξετάστε και αποδείξτε τη (i) γραμμική, (ii) διαφορική, (iii) τοπολογική ισοδυναμία, ή μη, της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από τη διαφορική εξίσωση x= x με εκείνη που ορίζεται από τη διαφορική εξίσωση x= x+. Εξετάστε και αποδείξτε τη (i) γραμμική, (ii) διαφορική, (iii) τοπολογική ισοδυναμία, ή μη, της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από τη διαφορική εξίσωση x= x με εκείνη που ορίζεται από τη διαφορική εξίσωση x= a x+bx για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων a και b.. Αναγνώριση των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Στο επόμενο σχήμα δίνονται οι τροχιές τριών δισδιάστατων δυναμικών συστημάτων από τα οποία μόνο ένα είναι γραμμικό. Μπορείτε να το αναγνωρίσετε; Θα μπορούσατε να αποφανθείτε για το αν οι τροχιές που εμφανίζονται στα ακόλουθα σχήματα διέπονται από γραμμική δυναμική; Οι τροχιές που παρατίθενται στα ακόλουθα σχήματα διανύονται με ταχύτητες αρκετά ομαλές χωρίς απότομες μεταβολές κατά την εξέλιξη, μπορείτε να τις συμπληρώσετε και να εντοπίσετε αυτές που διέπονται από γραμμική δυναμική; ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 67

15 Στα ακόλουθα σχήματα εμφανίζονται τροχιές μιας δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο. Μπορείτε να αποφανθείτε για το αν πρόκειται για γραμμική δυναμική; Αν ναι, εντοπίστε τους διαφορετικούς τοπολογικούς τύπους τροχιών που εξελίσσονται στην περιοχή των καταστάσεων ισορροπίας και αποφανθείτε για τη φύση των ιδιοτιμών τους. ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 68

16 4. Τροχιές της τρισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η τρισδιάστατη γραμμική δυναμική εκφράζεται στον ευκλείδειο χώρο με ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές ως εξής: dx = ax + ax + ax d dx = ax + ax + ax d dx = ax + ax + ax d και για κάθε δεδομένη αρχική κατάσταση η λύση του εκφράζεται ως απεικόνιση του χρονικού άξονα στο χώρο των καταστάσεων που αναπαρίσταται στον ευκλείδειο χώρο : φ x :, φ =. (0) x Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ορίζεται ο γραμμικός μετασχηματισμός: που συμβολίζεται ως εξής: x a a a x x = a a a x x a a a x X = AX. Οι ιδιοτιμές κάθε γραμμικού μετασχηματισμού διατηρούνται αναλλοίωτες κατά την αλλαγή βάσης και ταυτίζονται με τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης η οποία, σε αυτή τη διάσταση, είναι κυβική και κατά συνέπεια έχει τρεις πραγματικές ρίζες ή μια πραγματική και δυο συζυγείς μιγαδικές ρίζες: ( ) de Α λ I =. 0 Η πιο απλή εκδοχή προκύπτει όταν όλες οι ιδιοτιμές είναι απλές πραγματικές, οπότε ο ευκλείδειος χώρος διασπάται σε ευθύ άθροισμα μονοδιάστατων ιδιόχωρων: όπου E λ i = E E E λ λ λ = ξ ξ=λ ξ. { / A i } Η συγκρότηση βάσης ιδιοδιανυσμάτων είναι λοιπόν εφικτή και σε μια τέτοια βάση ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού είναι διαγώνιος: λ = λ 0 0 λ. Στις γραμμικές συντεταγμένες που ορίζονται από αυτή τη βάση, το σύστημα των εξισώσεων διατυπώνεται ως εξής: i() = λi i(), i =,,, και προκύπτουν οι λύσεις: i i() = ce λ i, ci, i =,,. Επανερχόμενοι στις καρτεσιανές συντεταγμένες προσδιορίζεται η ζητούμενη έκφραση των λύσεων: xi ( ) =..., i =,,. Η μονοπαραμετρική ομάδα που δρα στον τρισδιάστατο χώρο καταστάσεων διασπάται σε ευθύ άθροισμα τριών μονοδιάστατων μονοπαραμετρικών ομάδων και η εξελικτική ροή καθορίζεται από τα πρόσημα των αντίστοιχων τριών πραγματικών απλών ιδιοτιμών. ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 69

17 Αναζητείστε ένα σύστημα τριών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων και σχεδιάστε τις τροχιές του στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο γνωρίζοντας ότι οι λύσεις του είναι της μορφής: όπου i xi() = ce λ i, ci, i =,,, i) λ < 0, ii) 0, iii) λ < 0, iv) λ < 0, v) λ = 0, vi) 0 =λ, vii) λ = 0. Η εκδοχή δυο μιγαδικών ιδιοτιμών και μιας πραγματικής ιδιοτιμής: α± iω και λ αντιμετωπίζεται με τη διαδικασία Jrda που οδηγεί στη συγκρότηση μιας βάσης του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου αποτελούμενης από ένα ιδιοδιάνυσμα και δυο κατάλληλα επιλεγμένα διανύσματα στην οποία ο γραμμικός μετασχηματισμός εκφράζεται ως εξής: α ω 0 = ω α λ. Στις γραμμικές συντεταγμένες που ορίζονται από αυτή τη βάση, το σύστημα των εξισώσεων διατυπώνεται ως εξής: α =α ω ( ) = re cs( ω + θ) α =ω +α ( ) = re si( ω + θ ) = λ λ () = ce και προκύπτουν οι λύσεις: xi ( ) =..., i =,,. Διαπιστώστε ότι στην περίπτωση αυτή εμφανίζονται οι εξής εκδοχές εξελικτικής ροής στον τρισδιάστατο χώρο καταστάσεων και οι αντίστοιχες τους με αντίθετη φορά ροής: ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 70

18 Η εκδοχή μιας διπλής και μιας απλής πραγματικής ιδιοτιμής οδηγεί στην εμφάνιση ενός δισδιάστατου και ενός μονοδιάστατου ιδιόχωρου ή στην εμφάνιση δυο μονοδιάστατων ιδιόχωρων οπότε, συγκροτείται μια βάση αποτελούμενη από δυο ιδιοδιανύσματα και ένα κατάλληλα επιλεγμένο διάνυσμα στην οποία ο γραμμικός μετασχηματισμός εκφράζεται ως εξής: λ = λ 0 0 λ. Στις γραμμικές συντεταγμένες που ορίζονται από αυτή τη βάση, το σύστημα των εξισώσεων διατυπώνεται ως εξής: λ =λ + () = ( c + c) e λ = λ () = ce = λ λ () = ce και προκύπτουν οι λύσεις: xi ( ) =..., i =,,. Στα ακόλουθα σχήματα εμφανίζεται η διαδικασία σταδιακής κατασκευής των τροχιών της εξελικτικής ροής τριών γραμμικών περιπτώσεων στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο. Μπορείτε να αναγνωρίσετε τη φύση των αντίστοιχων ιδιοτιμών και να ερμηνεύσετε το ότι οι ιδιόχωροι διατηρούνται αναλλοίωτοι από την εξελικτική ροή; Επιχειρείστε να κατασκευάσετε τις τροχιές της δυναμικής που ορίζεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο από τα συστήματα εξισώσεων: x x = x = x x = x x = x x x = x + x x = x x = x + x x = x x/ = x Στον ακόλουθο πίνακα επιχειρούμε να ταξινομήσουμε ανάλογα με τη φύση των ιδιοτιμών τη συμπεριφορά της γραμμικής δυναμικής στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο. Δώστε τις αντίστοιχες κανονικές εκφράσεις των συστημάτων διαφορικών εξισώσεων που ορίζουν αυτές τις δυναμικές και σχεδιάστε συνοπτικά τη μορφή των τροχιών της εξελικτικής τους ροής στην περιοχή της κατάστασης ισορροπίας. Ο πίνακας αυτός είναι πλήρης; ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 7

19 Κριτήρια τοπολογικής ταξινόμησης της τρισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Δυο γραμμικές δυναμικές στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο που δεν έχουν μηδενικές ιδιοτιμές ή ιδιοτιμές με μηδενικό πραγματικό μέρος ορίζουν τοπολογικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές αν και μόνο αν έχουν ίδιο πλήθος θετικών ιδιοτιμών και ίδιο πλήθος αρνητικών ιδιοτιμών ή γενικότερα έχουν ίδιο πλήθος ιδιοτιμών με θετικό πραγματικό μέρος και ίδιο πλήθος ιδιοτιμών με αρνητικό μέρος. Οι γραμμικές δυναμικές στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο των οποίων οι ιδιοτιμές έχουν θετικό πραγματικό μέρος ορίζουν τοπολογικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές με αυτή της δυναμικής: x = x, x. Οι γραμμικές δυναμικές στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο των οποίων οι ιδιοτιμές έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος ορίζουν τοπολογικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές με αυτή της γραμμικής δυναμικής: x = x, x. Σχόλιο. Τα κριτήρια αυτά της τοπολογικής ισοδυναμίας των εξελικτικών ροών της γραμμικής δυναμικής ισχύουν γενικά στους πολυδιάστατους ευκλείδειους χώρους. Η κατασκευή του ομοιομορφισμού που αποκαθιστά την τοπολογική ισοδυναμία βασίζεται στη χρήση της συνάρτησης Liapuv που διδάσκεται στο πλαίσιο του μαθήματος των Δυναμικών Συστημάτων. Αποφανθείτε για το ποιες από τις γραμμικές δυναμικές των οποίων οι τροχιές δίνονται στα ακόλουθα σχήματα ορίζουν τοπολογικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές στον ευκλείδειο χώρο : ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ: Ordiar Differeial Equais, Vladimir Arld, Cambridge MIT Press, 97. Differeial Equais & Damical Ssems, M.Hirsch, S. Smale, R.Devae, Els. Ac. Press, 00. Irduci Applied Nliear Damical Ssems ad Chas, Sephe Wiggis, Spriger, 00. Differeial Damical Ssems, James D. Meiss, Siam, 007. ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 00 7

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής.

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 55 Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρούμε ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές εκφρασμένο στις καρτεσιανές συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

και αναζητούμε τις λύσεις του:

και αναζητούμε τις λύσεις του: ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3. ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Η γραμμική δυναμική που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο εκφράζεται με ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με

Διαβάστε περισσότερα

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: ΜΑΘΗΜΑ 1: ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ένα σύστημα χημικών ουσιών που υπεισέρχονται σε μια χημική αντίδραση. Η στιγμιαία κατάσταση κάθε ουσίας χαρακτηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μεταπτυχιακό Μάθημα Ακαδημαϊκό έτος 2012-13 Καθηγητής: Σ. Πνευματικός Ο όρος δυναμικό σύστημα δηλώνει κάθε σύστημα, φυσικό, χημικό, βιολογικό, οικονομικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής στην περιοχή των υπερβολικών καταστάσεων ισορροπίας. Σάγματα - saddles

Τροχιές της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής στην περιοχή των υπερβολικών καταστάσεων ισορροπίας. Σάγματα - saddles ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΘΕΩΡΗΜΑ HARTMAN-GROBMAN Το θεώρημα των D M Grbman (959 και P Harman (960 δηλώνει ότι η εξελικτική ροή κάθε μη γραμμικής δυναμικής έχει τοπικά ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό Μάθημα: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευματικός Ακαδημαϊκό έτος 11-1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΩΝ LOKA-VOLERRA

Διαβάστε περισσότερα

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος 2010-11 * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο όρος δυναμικό σύστημα δηλώνει κάθε σύστημα, φυσικό,

Διαβάστε περισσότερα

, ( x) = ( f ( x),..., f ( x)

, ( x) = ( f ( x),..., f ( x) ΜΑΘΗΜΑ : ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΡΟΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις προσφέρουν τη δυνατότητα μαθηματικής μοντελοποίησης ενός πλήθους φυσικών, χημικών, βιολογικών, οικολογικών, οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Η μονοδιάστατη γραμμική δυναμική. *

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Η μονοδιάστατη γραμμική δυναμική. * ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 Ι. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Τα παραδείγματα που ακολουθούν αφορούν μονοδιάστατους χώρους καταστάσεων όπου ο νόμος της εξέλιξης εκφράζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Simplici: Αυτό πραγματικά δεν μπορώ να το κατανοήσω Salviati: Θα το κατανοήσεις όταν σου δείξω που βρίσκεται το σφάλμα σου ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Ο Γαλιλαίος,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική Κατηγορίες f.p. σε γραμμικά διαφορικά συστήματα 1 ης τάξης Έστω το γενικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης 01

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης 01 0 Α. ΕΙΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑ Α Γ_Μ_Μ_ΑΘΡ_ΕΙ_Β_ΕΚ_9 Έστω ο μιγαδικός αριθμός i,,. Τι καλούμε:. Πραγματικό μέρος του.. Φανταστικό μέρος του.. υζυγή του. 4. Εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο. 5. Διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II. Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις. Περιεχόμενα

Γραμμική Άλγεβρα II. Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις. Περιεχόμενα Γραμμική Άλγεβρα II Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις ΜΜ Περιεχόμενα Ασκήσεις0: Όμοιοι Πίνακες Ασκήσεις: Πολυώνυμα 6 Ασκήσεις: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ασκήσεις: Διαγωνισιμότητα Ασκήσεις4: Τριγωνισιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών Είναι γνωστό ότι η εξίσωση x δεν έχει λύση στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x] σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2012-13 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Μάθημα 2 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0- ΜΑΘΗΜΑ: Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ Μάθημα ο Στην Κλασική Μηχανική, ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί 1η. Άσκηση Να αποδείξετε ότι Α) όπου Β) Αν με τότε Γ) όπου ν Δ) Αν με τότε Ε) αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει τότε 2η. Άσκηση Α) Εφαρμογή 1 σελίδα 93. Β) Να βρείτε τους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ

ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα ο ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η Κλασική Μηχανική, ως ορθολογική

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 010-11 Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Τα φροντιστήρια γίνονται κάθε Δευτέρα 1100-100 και κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Διαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 1) Έστω A, Β Μ n (R) τέτοιοι, ώστε A + Β = Ι n. Να δείξετε ότι : A = A 2 κκκ Β = Β 2 ΑΑ = Ο 2) Έστω A, Β Μ n (R), με A = A 2 και ΑΑ + ΒΒ = Ο. Να δειχθεί ότι ΑΑ = ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα