Συναρτήσεις Mathematica

Transcript

1 Συναρτήσεις Mathematica Τα μαθήματα αυτά προετοιμάστηκαν από τον Ε. Ψωμόπουλο για τις ανάγκες του μαθήματος "Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού". Τελευταία αναθεώρηση: Ιανουάριος 008. Διαχείριση Τριγωνομετρικών Αριθμών zd Επιστρέφει το ημίτονο του z Επιστρέφει το συνημίτονο του z Επιστρέφει την εφαπτομένη του z Επιστρέφει το φυσικό λογάριθμο του z Hμε βάση L Επιστρέφει το λογάριθμο του z με βάση το b In[]:= 8Sin@Pi ê D, Sin@Pi ê 4D, Sin@PiD, Sin@0.9067D< Out[]= 9, è!!!, 0, = In[]:= 8Cos@Pi ê D, Cos@Pi ê 4D, Cos@PiD, Cos@0.9067D< Out[]= 90, è!!!,, 0.637= In[3]:= Out[3]= In[4]:= 8Tan@Pi ê 3D, Tan@Pi ê 4D, Tan@PiD, Tan@0.9067D< 9 è!!! 3,, 0,.885= 8Log@.09863D, Log@.45086D, Log@E^4D< Out[4]= 8.563,.574, 4< In[5]:= 8Log@,.983D, Log@3,.37D, Log@, ^5D, Log@3, 3^D< Out[5]= , , 5, <

2 Common Mathematica Functions.nb Διαχείριση Ακεραίων Επιστρέφει τον n-στό πρώτο αριθμό Επιστρέφει Αληθές HTrueL αν η παράσταση expr είναι πρώτος αριθμός, και Ψευδές HFalseL σε κάθε άλλη περίπτωση Επιστρέφει μια λίστα της μορφής 88p, n <, 8p, n <,,8p k, n k <<, τέτοια ώστε να ισχύει m = p n p n p k n k Επιστρέφει μια λίστα με τους θετικούς διαιρέτες του m In[6]:= 8Prime@D, Prime@D, Prime@3D, Prime@4D, Prime@303D< Out[6]= 8, 3, 5, 7, 7733< In[7]:= Out[7]= In[8]:= 8PrimeQ@3D, PrimeQ@5D, PrimeQ@0D, PrimeQ@9873D< 8True, False, True, False< FactorInteger@5D Out[8]= 883, <, 87, << In[9]:= Divisors@97456D Out[9]= 8,, 4, 8, 6, 9, 3, 3, 58, 6, 67, 6, 4, 34, 3, 48, 68, 464, 496, 536, 899, 98, 99, 07, 798, 943, 077, 44, 3596, 3886, 454, 79, 777, 8308, 4384, 5544, 666, 8768, 3088, 333, 6033, 676, 66464, 0466, 4093, 48864, 96378, 97456<

3 Common Mathematica Functions.nb 3 Διαχείριση Αλγεβρικών Παραστάσεων Expand@exprD Factor@polynomialD Apart@exprD Together@exprD Αναπτύσσει την παράσταση expr εκτελώντας πολλαπλασιασμούς και δυνάμεις της expr Παραγοντοποιεί το πολυώνυμο polynomial Αναλύει μια ρητή συνάρτηση expr σε απλούστερα κλάσματα Προσθέτει όλους τους όρους της παράστασης expr, έτσι ώστε να υπάρχει ένας κοινός παρονομαστής, και απλουποιεί κοινούς παράγοντες, αν υπάρχουν In[0]:= Expand@Ha + bl ^D Out[0]= a + ab+ b In[]:= Expand@Ha + b + cl^5d Out[]= a 5 + 5a 4 b + 0 a 3 b + 0 a b 3 + 5ab 4 + b 5 + 5a 4 c + 0 a 3 bc+ 30 a b c + 0 a b 3 c + 5b 4 c + 0 a 3 c + 30 a bc + 30 a b c + 0 b 3 c + 0 a c 3 + 0abc b c 3 + 5ac 4 + 5bc 4 + c 5 In[]:= Factor@%D Out[]= Ha + b + cl 5 In[3]:= Out[3]= In[4]:= Out[4]= Apart@Hx^ LêHHx^3 L Hx + LLD 3 H + xl + + x 3 H + x + x L Together@%D + x H + xl H + x + x L

4 Common Mathematica Functions.nb 4 Διαχείριση Τριγωνομετρικών Παραστάσεων TrigExpand@exprD TrigFactor@exprD TrigReduce@exprD TrigToExp@exprD ExpToTrig@exprD Αναπτύσσει τις τριγωνομετρικές παραστάσεις της παράστασης expr Παραγοντοποιεί τις τριγωνομετρικές παραστάσεις της παράστασης expr Αναπροσαρμόζει γινόμενα και δυνάμεις των τριγωνομετρικών παραστάσεων της παράστασης expr, χρησιμοποιώντας συνδυασμούς τόξων. Μετρατρέπει τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε εκθετικές Μετρατρέπει εκθετικές συναρτήσεις σε τριγωνομετρικές In[5]:= Out[5]= In[6]:= Out[6]= In[7]:= Out[7]= In[8]:= Out[8]= In[9]:= Out[9]= In[0]:= Out[0]= In[]:= Out[]= TrigExpand@Sin@a + bdd Cos@bD Sin@aD + Cos@aD Sin@bD TrigExpand@Sin@a + bd Sin@a bdd Cos@aD Sin@bD TrigExpand@Sin@a + b + cdd Cos@bD Cos@cD Sin@aD + Cos@aD Cos@cD Sin@bD + Cos@aD Cos@bD Sin@cD Sin@aD Sin@bD Sin@cD expr = TrigExpand@Cos@ xd Sin@3 xd^d Cos@xD Cos@xD4 Cos@xD8 Sin@xD Cos@xD Sin@xD + 7 Cos@xD 6 Sin@xD Sin@xD Cos@xD4 Sin@xD Cos@xD Sin@xD 6 Sin@xD8 4 TrigFactor@exprD H + Cos@xDL HCos@xD Sin@xDL Sin@xD HCos@xD + Sin@xDL TrigReduce@%D H Cos@xD Cos@4xD Cos@8 xdl 4 TrigToExp@Sin@zDD z z

5 Common Mathematica Functions.nb 5 In[]:= Out[]= ExpToTrig@%D Sin@zD Παραγωγή τυχαίων αριθμών Random@D Random@type, ranged Επιστρέφει ένα τυχαίο πραγματικό αριθμό μεταξύ 0 και Επιστρέφει ένα τυχαίο αριθμό του συγκεκριμένου τύπου, ο οποίος βρίσκεται στο πεδίο range. Ο τύπος HtypeL του αριθμού μπορεί να είναι Integer, Real, Complex. Το πεδίο HrangeL μπορεί να είναι της μορφής 8imin, imax<, ή απλά max που είναι ισοδύναμο με το πεδίο 80, max< In[3]:= 8Random@D, Random@IntegerD, Random@Integer, 8, 00<D, Random@Real, 8 0, 0<D< Out[3]= ,, 95,.800<

6 Common Mathematica Functions.nb 6 Κατασκευή Λιστών Range@imaxD Range@imin, imaxd Range@imin, imax, dd Table@expr, 8imax<D Table@expr, 8i, imax<d Table@expr, 8i, imin, imax<d Table@expr, 8i, imin, imax, d<d Table@expr, 8i, imin, imax<, 8 j, jmin, jmax<d Επιστρέφει τη λίστα 8,, 3,, imax< Επιστρέφει τη λίστα 8imin, imin+, imin+, imin+3,, imax< Επιστρέφει τη λίστα 8imin, imin+d, imin+ d, imin+3 d,, imax< Σχηματίζει μια λίστα από imax αντίγραφα της παράστασης expr Σχηματίζει μια λίστα από τις τιμές της παράστασης expr, όταν το i παίρνει τιμές από έως imax Σχηματίζει μια λίστα από τις τιμές της παράστασης expr, όταν το i παίρνει τιμές από imin έως imax Σχηματίζει μια λίστα από τις τιμές της παράστασης expr, όταν το i παίρνει τις τιμές imin, imin+d, imin+ d,, imin+kÿd imax Σχηματίζει μια λίστα της οποίας τα στοιχεία είναι επιμέρους λίστες. Το πλήθος των επιμέρους λιστών προσδιορίζεται από το πλήθος των τιμών του δείκτη i. Ο δείκτης j καθορίζει το πλήθος των στοιχείων των επιμέρους λιστών. In[4]:= Range@0D Out[4]= 8,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0< In[5]:= Range@0, 5D Out[5]= 80,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5< In[6]:= Range@0, 30, D Out[6]= 80,, 4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8, 30< In[7]:= Table@0, 85<D Out[7]= 80, 0, 0, 0, 0<

7 Common Mathematica Functions.nb 7 In[8]:= Table@i, 8i, 5, 5<D Out[8]= 85, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5< In[9]:= Table@i, 8i, 0, 5, 3<D Out[9]= 80, 3, 6, 9,, 5, 8,, 4< In[30]:= Table@a@i, jd, 8i, 4<, 8j, 5<D Out[30]= 88a@, D, a@, D, a@, 3D, a@, 4D, a@, 5D<, 8a@, D, a@, D, a@, 3D, a@, 4D, a@, 5D<, 8a@3, D, a@3, D, a@3, 3D, a@3, 4D, a@3, 5D<, 8a@4, D, a@4, D, a@4, 3D, a@4, 4D, a@4, 5D<< Διαχείριση Λιστών Part@expr, nd ή expr@@ndd expr@@-ndd expr@@0dd expr@@8i, i,,i k <DD Length@listD Union@list, list, D Intersection@list, list, D MemberQ@list, ad Επιστρέφει το n μέλος της παράστασης expr Επιστρέφει το n από το τέλος μέλος της παράστασης expr Επιστρέφει την επικεφαλίδα της παράστασης expr Επιστρέφει τα i, i,,i k μέλη της παράστασης expr Επιστρέφει το μήκος, δηλαδή τον αριθμό των μελών, της λίστας list Επιστρέφει μια ταξινομημένη λίστα, της οποίας κάθε στοιχείο ανήκει σε μια τουλάχιστον από τις λίστες list, list, Επιστρέφει μια ταξινομημένη λίστα, της οποίας κάθε στοιχείο ανήκει σε κάθε μια από τις λίστες list, list, Επιστρέφει Αληθές HTrueL όταν το a είναι μέλος της λίστας list, και Ψευδές HFalseL σε κάθε άλλη περίπτωση In[3]:= a = Range@0D Out[3]= 8,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0< In[3]:= a@@3dd Out[3]= 3

8 Common Mathematica Functions.nb 8 In[33]:= Out[33]= In[34]:= a@@0dd List a@@8, 4, 6, 8<DD Out[34]= 8, 4, 6, 8< In[35]:= Length@aD Out[35]= 0 In[36]:= Union@a, 8x, y, z<d Out[36]= 8,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, x, y, z< In[37]:= Intersection@a, 8, 4, 6, 8,, 3<D Out[37]= 8, 4, 6, 8< In[38]:= Out[38]= 8MemberQ@a, 5D, MemberQ@a, D< 8True, False< In[39]:= a =. Διαχείριση Λιστών Append@expr, elemd Prepend@expr, elemd Inverse@mD Det@mD Select@list, critd Επιστρέφει την παράσταση expr με το στοιχείο elem στο τέλος της παράστασης Επιστρέφει την παράσταση expr με το στοιχείο elem στην αρχή της παράστασης Επιστρέφει τον αντίστροφο του πίνακα m Επιστρέφει την ορίζουσα του πίνακα m Επιλέγει όλα τα στοιχεία της λίστας list, τα οποία ικανοποιούν τη συνθήκη crit In[40]:= a = 8,, 3, 4, 5<; In[4]:= Append@a, xd Out[4]= 8,, 3, 4, 5, x< In[4]:= Prepend@a, yd Out[4]= 8y,,, 3, 4, 5<

9 Common Mathematica Functions.nb 9 In[43]:= A = Table@i^j, 8i,, 3<, 8j, 3, 5<D Out[43]= 88,, <, 88, 6, 3<, 87, 8, 43<< In[44]:= MatrixForm@AD Out[44]//MatrixForm= i y j z k { In[45]:= Inverse@AD êêmatrixform Out[45]//MatrixForm= i j k 7 y z { In[46]:= Det@AD Out[46]= 43 In[47]:= b = Table@Random@Integer, 8, 50<D, 800<D Out[47]= 8,36,,9,49,35,4,48,8,9,5,4,8,35,36,36,5,7,4, 50, 45,, 8, 6, 47, 4, 3,, 7,, 8, 35, 4, 7, 3,, 48, 3, 8, 3,, 8,,, 43,, 36, 7, 5, 8, 35, 9,, 4,,, 47, 7, 6, 5, 34, 6,, 4, 48, 5, 5, 3, 6, 6, 39, 45, 44, 7, 4, 45, 3, 3, 45, 3, 6, 47, 3,,, 5, 8, 6, 3, 3, 8, 34, 8, 44, 8, 5, 45, 3, 0, 6< In[48]:= Select@b, PrimeQD Out[48]= 8,, 9, 4, 47, 3, 7,, 7, 3, 3,,, 43,,7,,4,47,5,3,7,3,47,3,,,3,5,3< In[49]:= a =.; b =.

10 Common Mathematica Functions.nb 0 Διαχείριση Λιστών 3 Flatten@listD First@exprD Last@exprD Extract@expr, listd Take@list, nd Take@list, -nd Take@list, 8m, n<d Drop@list, nd Drop@list, -nd Drop@list, 8m, n<d Drop@list, 8n<D Rest@exprD Μετατρέπει σε απλή την πολλαπλή λίστα list Επιστρέφει ένα το πρώτο μέλος της παράστασης expr Επιστρέφει ένα το τελευταίο μέλος της παράστασης expr Επιστρέφει μια λίστα με τα στοιχεία της παράστασης expr, τα οποία βρίσκονται στις θέσεις που προσδιορίζονται από τη λίστα list Επιστρέφει μια λίστα με τα πρώτα n στοιχεία της λίστα list Επιστρέφει μια λίστα με τα τελευταία n στοιχεία της λίστα list Επιστρέφει μια λίστα με τα στοιχεία της λίστα list που βρίσκονται μεταξύ των θέσεων m και n Διαγράφει τα n πρώτα στοιχεία της λίστας list Διαγράφει τα n τελευταία στοιχεία της λίστας list Διαγράφει τα στοιχεία της λίστας list που βρίσκονται μεταξύ των θέσεων m και n Διαγράφει το n-στό μέλος της λίστας list Επιστρέφει την παράσταση expr με το πρώτο μέλος της διαγραμμένο In[50]:= a = 8,, 3, 8x, y, z, 8b, c, d<<, 4,5,6<; In[5]:= Flatten@aD Out[5]= 8,, 3, x, y, z, b, c, d, 4, 5, 6< In[5]:= First@aD Out[5]= In[53]:= Last@aD Out[53]= 6 In[54]:= Extract@a, 883<, 84, 4<, 86<<D Out[54]= 83, 8b, c, d<, 5<

11 Common Mathematica Functions.nb In[55]:= Out[55]= In[56]:= 4, DD c 8Take@a, 3D, Take@a, 3D< Out[56]= 88,, 3<, 84, 5, 6<< In[57]:= Flatten@%D Out[57]= 8,, 3, 4, 5, 6< In[58]:= Flatten@Drop@Drop@a, 3D, 3DD Out[58]= 8x, y, z, b, c, d< In[59]:= Rest@aD Out[59]= 8, 3, 8x, y, z, 8b, c, d<<, 4,5,6< In[60]:= a =. Διαχείριση Συναρτήσεων Head@exprD Apply@ f, exprd Map@ f, exprd Επιστρέφει την επικαφαλίδα της παράστασης expr Αντικαθιστά την επικεφαλίδα της παράστασης expr με f Εφαρμόζει τη συνάρτηση f σε κάθε μέλος της παράστασης expr In[6]:= a = 8,, 3, 4, 5<; In[6]:= Out[6]= In[63]:= 8Head@aD, Head@x + yd< 8List, Plus< Apply@Plus, ad H άθροισμα στοιχείων της λίστας a L Out[63]= 5 Η συνάρτηση Head δεν μπορεί να δώσει απάντηση, όταν χρησιμοποιηθεί σε περισσότερες από μια παραστάσεις In[64]:= Head@a, x + yd Head::argx : Head called with arguments; argument is expected. More Out[64]= Head@8,, 3, 4, 5<, x+ yd Όμως η συνάρτηση Map της επιτρέπει να το κάνει

12 Common Mathematica Functions.nb In[65]:= Out[65]= 8a, x + y<d 8List, Plus< In[66]:= a =. Συναρτήσεις Ελέγχου και Ροής If@condition, t, f D Επιστρέφει την παράσταση t, αν η συνθήκη condition είναι αληθής, και την παράσταση f, όταν η συνθήκη condition είναι ψευδής If@condition, t, f, ud Επιστρέφει την παράσταση t, αν η συνθήκη condition είναι αληθής, την παράσταση f, όταν η συνθήκη condition είναι ψευδής, και την παράσταση u, αν η συνθήκη condition δεν είναι ούτε αληθής ούτε ψευδής Which@condition, value, condition, value,...d Επιστρέφει την τιμή value k, αν η συνθήκη condition k είναι η πρώτη στη σειρά συνθήκη που είναι αληθής In[67]:= a = Random@Integer, 8 0, 0<D; If@a 0, a, ad H Η απόλυτη τιμή του ακεραίου a L Out[68]= 7 In[69]:= b = 8,, 3, 4, 5<; c = Random@Integer, 8, 0<D; If@MemberQ@b, cd,, 0DH Ελέγχει αν ο ακέραιος c ανήκει στη λίστα b L Out[7]=

13 Common Mathematica Functions.nb 3 In[7]:= f@x_d := Which@x, x + 7, < x 4, x^ x + 3, x > 4, x + 7D; Plot@f@xD, 8x, 0, 0<D Out[73]= Graphics Συναρτήσεις Ελέγχου και Ροής Do@expr, 8imax<D Do@expr, 8i, imax<d Do@expr, 8i, imin, imax<d Do@expr, 8i, imin, imax, di<d While@test, bodyd Υπολογίζει την παράσταση expr imax φορές Υπολογίζει την παράσταση expr καθώς η παράμετρος i δέχεται τις τιμές από έως imax Το ίδιο με το προηγούμενο, με τη διαφορά ότι η παράμετρος i αρχίζει με την τιμή imin Το ίδιο με το προηγούμενο, με τη διαφορά ότι η παράμετρος i αυξάνεται με βήμα di Υπολογίζει τις παραστάσεις test και body συνεχώς, μέχρι η παράσταση test να γίνει ψευδής In[74]:= Do@a = 0 i, 8i,, 5<D; a Out[74]= 50 In[75]:= x = 5; While@x 0, x = x + D; x Out[75]= In[76]:= y = ; While@y < 0, a = y^; y = y + D; 8y, a< Out[76]= 80, 8< In[77]:= t = 0 ; Do@t = t + i, 8i, 0<D ; t H Το άθροισμα L Out[77]= 55

14 Common Mathematica Functions.nb 4 Συναρτήσεις Ελέγχου και Ροής 3 For@start, test, incr, bodyd Υπολογίζει την παράσταση start. Στη συνέχεια υπολογίζει τις παραστάσεις test, body, και incr συνεχώς, μέχρι η παράσταση test να γίνει ψευδής i++ Αυξάνει την τιμή του i κατά, επιστρέφοντας την παλιά τιμή του i i-- Ελαττώνει την τιμή του i κατά, επιστρέφοντας την παλιά τιμή του i ++i Αυξάνει την τιμή του i κατά, επιστρέφοντας την νέα τιμή του i --i Ελαττώνει την τιμή του i κατά, επιστρέφοντας την νέα τιμή του i i+ =di Προσθέτει di στο i και επιστρέφει τη νέα τιμή του i i- =di Αφαιρεί di από το i και επιστρέφει τη νέα τιμή του i i* =c Πολλαπλασιάζει το i επί c και επιστρέφει τη νέα τιμή του i iê = c Διαιρεί το i δια c και επιστρέφει τη νέα τιμή του i In[78]:= a = 8<; For@k = 0, k 0, k = k +, a = Append@a, kdd; a Out[78]= 80,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0< In[79]:= a = Table@Random@Integer, 8, 50<D, 8i, 00<D; b = 8<; For@k =, k Length@aD, k++, If@PrimeQ@a@@kDDD, b = Append@b, a@@kddddd; b H Οι πρώτοι αριθμοί της λίστας a L Out[80]= 87,, 3, 3, 9, 7, 7, 37, 3, 3, 3, 3, 7, 43, 9, 3, 43,, 3,37,,47,5,,,7,37,,3,43,7,,43,9,3,9<

15 Common Mathematica Functions.nb 5 Διαγωνιοποίηση Πίνακα IdentityMatrix@nD CharacteristicPolynomial@m, xd Eigenvalues@mD Eigenvectors@mD Eigensystem@mD Επιστρέφει τον μοναδιαίο nμn πίνακα Δίνει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα m με μεταβλητή πολυωνύμου το σύμβολο x Επιστρέφει μια λίστα με τις ιδιοτιμές του πίνακα m Επιστρέφει μια λίστα με τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα m Επιστρέφει μια λίστα 8values, vectors< με τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα m In[8]:= IdentityMatrix@3D Out[8]= 88, 0, 0<, 80,, 0<, 80, 0, << In[8]:= A = 885, 6, 6<, 8, 4, <, 83, 6, 4<<; Clear@tD; CharacteristicPolynomial@A, td Out[83]= 4 8t+ 5t t 3 In[84]:= Out[84]= In[85]:= Factor@%D H + tl H + tl Eigenvalues@AD Out[85]= 8,, < In[86]:= Eigenvectors@AD Out[86]= 88, 0, <, 8,, 0<, 83,, 3<< Ο ανάστροφος του προηγούμενο πίνακα διαγωνιοποιεί τον πίνακα A. Πράγματι In[87]:= P = Transpose@%D Out[87]= 88,, 3<, 80,, <, 8, 0, 3<< In[88]:= Inverse@PD.A.P êê MatrixForm Out[88]//MatrixForm= i 0 0 y 0 0 j z k 0 0 {

16 Common Mathematica Functions.nb 6 Εύρεση Ριζών Εξισώσεων Solve@eqns, varsd Solve@eqns, vars, elimsd NSolve@eqns, varsd FindRoot@lhs ã rhs, 8x, x 0 <D Επιχειρεί να επιλύσει τις εξισώσεις eqns, ως προς τις μεταβλητές vars Επιχειρεί να επιλύσει τις εξισώσεις eqns, ως προς τις μεταβλητές vars, απαλείφοντας τις μεταβλητές elims Το ίδιο με τη συνάρτηση Solve, με τη διαφορά ότι θα πάρουμε προσεγγιστικές τιμές των ριζών Αναζητεί αριθμητική ρίζα της εξίσωσης lhs ã rhs, αρχίζοντας με την τιμή x = x 0 In[89]:= In[90]:= Clear@xD Solve@x^ 3 x + 0, xd Out[90]= 88x <, 8x << In[9]:= Solve@x^3 3 x + x 0, xd Out[9]= 88x <, 8x 0<, 8x << In[9]:= Solve@x^3 x^+ 3 x 5 0, xd Out[9]= 99x 3 9x 3 6 9x 3 6 i j 5 i j k k è!!!!!!!!!! y z 0 { I + è!!! 3 MJ I è!!! 3 MJ ê3 + J è!!!!!!!!!! I MN ê3 y z =, { 5 I è!!! 3 M 3 ê3 I è!!!!!!!!!! 0 M I è!!!!!!!!!! 0 MN ê3 + I è!!!!!!!!!! 0 MN ê3 + ê3 =, 5 I + è!!! 3 M 3 ê3 I è!!!!!!!!!! 0 M ê3 == In[93]:= Solve@x^3 x^+ 3 x 5.0 0, xd Out[93]= 88x <, 8x <, 8x.84373<< In[94]:= Out[94]= NSolve@x^5 x^4+ x^3 4 x^+ x 0, xd 88x <, 8x <, 8x <, 8x <, 8x.4530<<

17 Common Mathematica Functions.nb 7 In[95]:= NSolve@Sin@xD Tan@x + PiD, xd Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. More Out[95]= 88x 0.<, 8x 0.<< In[96]:= FindRoot@Sin@xD Tan@x + PiD, 8x, Pi ê 4<D Out[96]= 8x < In[97]:= FindRoot@Sin@xD Tan@x + PiD, 8x, Pi ê <D Out[97]= 8x < Γραφικές Παραστάσεις Καμπύλων Plot@ f, 8x, xmin, xmax<d Plot@8 f, f,, f k <, 8x, xmin, xmax<d ParametricPlot@ 8 f x, f y <, 8t, tmin, tmax<d ParametricPlot@ 88 f x, f y <, 8g x, g y <, <, 8t, tmin, tmax<d Σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ως προς x, από xmin έως xmax Σχεδιάζει τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων f, f,, f k ως προς x, από xmin έως xmax Σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που δίνεται με την παραμετρική μορφή x = f x HtL και y = f y HtL, ως προς t, από tmin έως tmax Σχεδιάζει τη γραφική παράσταση περισσοτέρων συναρτήσεων που δίνονται με παραμετρική μορφή, ως προς t, από tmin έως tmax In[98]:= Plot@x^ 3 x +, 8x, 0, 0<D Out[98]= Graphics

18 Common Mathematica Functions.nb 8 In[99]:= Plot@x^ 3 x +, 8x,, 4<D Out[99]= Graphics In[00]:= Plot@8Sin@xD, Cos@xD, Sin@ ê xd<, 8x, Pi ê, Pi<D Out[00]= Graphics In[0]:= Plot@8Sin@xD, Cos@xD, Sin@ ê xd<, 8x, Pi ê, Pi<, PlotStyle 8RGBColor@, 0, 0D, RGBColor@0,, 0D, RGBColor@0, 0, D<D Out[0]= Graphics

19 Common Mathematica Functions.nb 9 In[0]:= ParametricPlot@8 Cos@tD, 3 Sin@tD<, 8t, 0, Pi<D Out[0]= Graphics -3 Γραφικές Παραστάσεις Επιφανειών Plot3D@ f, 8x, xmin, xmax<, 8y, ymin, ymax<d ParametricPlot3D@8 f x, f y, f z <, 8t, tmin, tmax<, 8s, smin, smax<d Σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f = f Hx,yL ως προς x, από xmin έως xmax και y, από ymin έως ymax Σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που δίνεται με την παραμετρική μορφή x = f x HtL, y = f y HtL, και z= f z ως προς τις παραμέτρους t, από tmin έως tmax, και s από smin έως smax

20 Common Mathematica Functions.nb 0 In[03]:= Plot3D@x^ y^, 8x,, <, 8y,, <D Out[03]= SurfaceGraphics In[04]:= Plot3D@x^ y^, 8x,, <, 8y,, <, ViewPoint > 8.45, 3.45, 0.093<D Out[04]= SurfaceGraphics - - 0

21 Common Mathematica Functions.nb In[05]:= 8u, 0, Pi<, 8v, 0, Pi<D Out[05]= Graphics3D In[06]:= ParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, t<, 8t, 0, 4 Pi<, BoxRatios 8,, <D Out[06]= Graphics3D 0 0.5

22 Common Mathematica Functions.nb Όρια Παραστάσεων x Ø x 0 D Limit@expr, x Ø x 0, Direction Ø D Limit@expr, x Ø x 0, Direction Ø-D Επιστρέφει την οριακή τιμή της παράστασης expr όταν το x τείνει στο x 0 Επιστρέφει το όριο της παράστασης expr όταν το x τείνει στο x 0 με μικρότερες από το x 0 τιμές Επιστρέφει το όριο της παράστασης expr όταν το x τείνει στο x 0 με μεγαλύτερες από το x 0 τιμές In[07]:= Limit@n êhn + L, n InfinityD Out[07]= In[08]:= Limit@Sin@xDêx, x 0D Out[08]= In[09]:= Limit@H + ê nl^n, n InfinityD Out[09]= In[0]:= Limit@Hx Sin@xDL ê H 5xL, x InfinityD Out[0]= 5 In[]:= Limit@HSqrt@x + 4D LêSin@5 xd, x 0D Out[]= 0 In[]:= Limit@Log@n + DêLog@nD, n InfinityD Out[]= In[3]:= Limit@Tan@xD, x Pi ê D Out[3]=

23 Common Mathematica Functions.nb 3 In[4]:= Limit@Tan@xD, x Pi ê, Direction D Out[4]= In[5]:= Limit@Tan@xD, x Pi ê, Direction D Out[5]= In[6]:= Clear@yD In[7]:= Limit@Limit@Hx^ ylêhx^+ y^l, x InfinityD, y InfinityD Out[7]= In[8]:= Limit@Limit@Hx^ ylêhx^+ y^l, y InfinityD, x InfinityD Out[8]= 0 Σειρές και Αθροίσματα Series@ f, 8x, x 0, n<d Series@ f, 8x, 0, n<d Series@ f, 8x, x 0, n x <, 8y, y 0, n y <D Μετατρέπει τη συνάρτηση f σε σειρά δυνάμεων του x - x 0 μέχρι τη δύναμη n Μετατρέπει τη συνάρτηση f σε σειρά Taylor μέχρι τη δύναμη n Μετατρέπει τη συνάρτηση f πρώτα σε σειρά δυνάμεων ως προς y, και στη συνέχεια ως προς x Sum@ f, 8i, imax<d Υπολογίζει το άθροισμα imax i= f Sum@ f, 8i, imin, imax<d imax Υπολογίζει το άθροισμα i=imin f In[9]:= Series@f@xD, 8x, 0, 5<D Out[9]= 3 x+ x + O@xD 6

24 Common Mathematica Functions.nb 4 In[0]:= Series@Cos@xD, 8x, 0, 4<D Out[0]= x + x4 4 + O@xD5 In[]:= Normal@%D Out[]= x + x4 4 In[]:= % ê. x 0.03 Out[]= In[3]:= Cos@0.03D Out[3]= In[4]:= Series@Sin@x yd, 8x, 0, 7<, 8y, 0, 7<D Out[4]= Hy + O@yD 8 L x + J y3 6 + O@yD8 N x 3 + J y5 0 + O@yD8 N x 5 + J y O@yD8 N x 7 + O@xD 8 In[5]:= Sum@ ê n^, 8n,, Infinity<D Out[5]= π 6 In[6]:= Sum@ ê n^3, 8n,, Infinity<D Out[6]= Zeta@3D In[7]:= Zeta@3.D Out[7]=.006

25 Common Mathematica Functions.nb 5 Παράγωγοι και Ολοκληρώματα Dt@ f, xd Dt@ f D Dt@ f, 8x, n<d D@ f, xd D@ f, 8x, n<d D@ f, x, x, D Integrate@ f, xd Integrate@ f, 8x, xmin, xmax<d Integrate@ f, 8x, xmin, xmax<, 8y, ymin, ymax<d NIntegrate@ f, 8x, xmin, xmax<d Επιστρέφει την παράγωγο της συνάρτησης f ως προς x Επιστρέφει το διαφορικό της συνάρτησης f Επιστρέφει τη n-στή παράγωγο της f ως προς x Επιστρέφει τη μερική παράγωγο f ê x Επιστρέφει τη μερική παράγωγο n f ê x n Επιστρέφει τη μερική παράγωγο της f ως προς x, x, Επιστρέφει το αόριστο ολοκλήρωμα της f ως προς x Επιστρέφει το ορισμένο ολοκλήρωμα της f ως προς x από xmin έως xmax Επιστρέφει το διπλό ολοκλήρωμα της f ως προς x και y Επιστρέφει μια αριθμητική προσέγγιση το ορισμένο ολοκλήρωμα της f ως προς x από xmin έως xmax In[8]:= Dt@Sin@xD, xd Out[8]= Cos@xD In[9]:= Dt@E^ Sin@x^D + Cos@E^xD, xd Out[9]= x Cos@x D x Sin@ x D In[30]:= Dt@E^ Sin@x^D + Cos@E^xDD Out[30]= x Cos@x D Dt@xD x Dt@xD Sin@ x D In[3]:= Dt@E^ Sin@x^D + Cos@E^xD, 8x, 3<D Out[3]= 3 x Cos@ x D x Sin@ x D + 3x Sin@ x D + H 8 x 3 Cos@x D x Sin@x DL In[3]:= f = Sin@x yd E^y+ E^Hx yl Cos@x^ yd;

26 Common Mathematica Functions.nb 6 In[33]:= D@f, xd Out[33]= y y Cos@xyD + xy y Cos@x yd x y x y Sin@x yd In[34]:= D@f, yd Out[34]= y x Cos@xyD + xy x Cos@x yd + y Sin@x yd x y x Sin@x yd In[35]:= D@f, x, x, yd Out[35]= y xy Cos@x yd + xy y Cos@x yd 0 x y x y Cos@x yd + xy xy Cos@x yd 8 xy x 3 y Cos@x yd y y Sin@x yd y y Sin@x yd xy Sin@x yd 0 xy x y Sin@x yd 5 xy x y Sin@x yd + 4 xy x 4 y Sin@x yd In[36]:= D@f, x, x, xd Out[36]= y y 3 Cos@x yd xy xy Cos@x yd + x y y 3 Cos@x yd xy x y 3 Cos@x yd 6 xy y Sin@x yd 6 xy xy 3 Sin@x yd + 8 xy x 3 y 3 Sin@x yd In[37]:= D@f, 8x, 3<D Out[37]= y y 3 Cos@x yd + x y y 3 Cos@x yd 6 x y xy 3 Sin@x yd + 3 xy y H 4 x y Cos@x yd y Sin@x ydl + xy H x y Cos@x yd + 8x 3 y 3 Sin@x ydl In[38]:= Integrate@Sin@xD, xd Out[38]= Cos@xD In[39]:= Integrate@E ^ x Sin@xD + Cos@xD, xd Out[39]= x Cos@xD + Sin@xD + x Sin@xD In[40]:= Integrate@H + x^lêhx^3 8L, 8x, 0, <D Out[40]= i j è!!! 3 π 3 i j è!!! 3 ArcTanA 7 è!!! k k 3 E + 8 LogA 8 7 E + Log@7Dy z y z {{ In[4]:= Integrate@H + x^lêhx^3 8L, 8x, 0, 3<D Integrate::idiv : Integral of Out[4]= 3 + x x 3 x 8 + x 3 + x 8 + x 3 does not converge on 80, 3<. More

27 Common Mathematica Functions.nb 7 In[4]:= Integrate@H + x^lêhx^3 8L, 8x,, <D Out[4]= i j è!!! 3 ArcTanA 4 è!!! k 3 E 8 LogA 9 7 E Log@Dy z { In[43]:= Integrate@x ^ Sin@yD, x,yd Out[43]= 3 x3 Cos@yD In[44]:= Integrate@x^ Sin@yD, 8x, 0, Pi ê 3<, 8y, 0, x<d Out[44]= è!!! 3 π 3 π 6 è!!! 3 + π3 8 In[45]:= Integrate@x^ Sin@yD, 8y, 0, x<, 8x, 0, Pi ê 3<D Out[45]= 8 π3 H + Cos@xDL In[46]:= Integrate@x^ Sin@yD, 8x, 0, Pi ê 3<D Out[46]= 8 π3 Sin@yD In[47]:= Integrate@%, 8y, 0, x<d Out[47]= 8 π3 H + Cos@xDL In[48]:= Integrate@E^Hx yl Sin@x^ yd, 8x, 0, <, 8y, 0, <D Out[48]= x + x H x Cos@ x D + Sin@x DL 0 x + x 3 x In[49]:= NIntegrate@E^Hx yl Sin@x^ yd, 8x, 0, <, 8y, 0, <D Out[49]=.63066

28 Common Mathematica Functions.nb 8 Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων DSolve@eqn, y, xd DSolve@8eqn, eqn, <, 8y, y, <, xd DSolve@eqn, y, 8x, x, <D NDSolve@eqn, y, 8x, xmin, xmax<d Επιλύει τη διαφορική εξίσωση eqn, με συνάρτηση y και ανεξάρτητη μεταβλητή x Επιλύει πολλές διαφορικές εξισώσεις Επιλύει μια διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους Η συνάρτηση NDSolve χρησιμοποιείται με ανάλογο τρόπο, όπως και η DSolve, και δίνει αριθμητικές λύσεις. Έτσι, κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή πρέπει να προσδιορίζεται με τα όρια μέσα στα οποία θα κινείται In[50]:= DSolve@y''@xD 3 y'@xd + y@xd E^x, y@xd, xd Out[50]= 88y@xD x H + xl + x C@D + x C@D<< In[5]:= DSolve@8y''@xD 3 y'@xd + y@xd E^x, y@0d 0, y'@d 0<, y@xd, xd Out[5]= 99y@xD x H x x + xl == + In[5]:= DSolve@8x'@tD + y@td t, y'@td + x@td t<, 8x@tD, y@td<, td Out[5]= 99x@tD 6 4t H + 4t LH t+ 4t H 3 + 6tLL 6 4t H + 4t L H + t+ 4t H 3 + 6tLL + t H + 4t L C@D t H + 4t L C@D, y@td 6 4t H + 4t LH t+ 4t H 3 + 6tLL + 6 4t H + 4t LH + t+ 4t H 3 + 6tLL t H + 4t L C@D + t H + 4t L C@D== In[53]:= DSolve@8x'@tD + y@td t, y'@td + x@td t, x@0d 0, y@0d 0<, 8x@tD, y@td<, td Out[53]= 99x@tD 8 t H3 4 t + 4t + 4 t tl, y@td 8 t H 3 + t + 4t 8 t tl==

29 Common Mathematica Functions.nb 9 In[54]:= DSolve@8y'@xD y@xd^, y@0d 0<, y@xd, xd Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. More Out[54]= 99y@xD + x x == + In[55]:= Plot@y@xD ê.%, 8x, 0, 0<D Out[55]= Graphics - In[56]:= NDSolve@8y'@xD y@xd^, y@0d 0<, y@xd, 8x, 0, <D Out[56]= 88y@xD InterpolatingFunction@880.,.<<, <>D@xD<< In[57]:= Plot@y@xD ê.%, 8x, 0, <D Out[57]= Graphics 0.5.5