- 1 2π. - z2 2. ii = True
|
|
|
- Μήδεια Γεννάδιος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1η Γραπτή Εργασία Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ ) Άσκηση 1η ü Ερώτηµα (α) 1 2π 1 2 z2 p =Table@8n, D@f@zD, 8z, n<d<, 8n, 1, 10<D ê. 8z 0<; TableForm@p, TableDirections Row, TableHeadings 8None, 8"Τάξη παραγώγου:", "Τιµή:"<<, TableSpacing 85, 6<D; Style@TableForm@%D, 8Medium, Bold, Orange<D Τάξη παραγώγου: 1 Τάξη παραγώγου: 2 Τάξη παραγώγου: 3 Τάξη παραγώ Τιµή: 0 Τιµή: - 1 2π Τιµή: 0 Τιµή: ü Ερώτηµα(β) Η f (z) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αφού : i =f@zd 0 - z2 2 2π 0 ii = True f@zd z 1 Η αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας :
2 2 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb FAz_E = z f@zd z 1 2 erf z2 + 1 Η γραφική παράσταση της πυκνότητας πιθανότητας f(z) και της αθροιστικής F(z): Plot@8f@zD, F@zD<, 8z, 3, 3<D fhzl FHzL ü Ερώτηµα (γ) Υπολογισµός της πιθανότητας P(-1<Z<1): Integrate@f@zD, 8z, 1, 1<D erf 1 2
3 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 3 QAz_E =If@ 1 <z<1, 0, f@zdd; Plot@8f@zD, Q@zD<, 8z, 3, 3<, Frame True, PlotLabel "Gaussian Distribution", GridLines Automatic, Filling 81 82<<, FillingStyle Purple, Background Hue@0.1DD 0.4 Gaussian Distribution Clear@"Global` "D Άσκηση 2η Ερώτηµα (α) Απλοποίηση τριγωνοµετρικών εκφράσεων: ã (i) a i = 1ëICos@xD 2 Sin@xD 2 M; TrigReduce@a i D sech2 xl ã (ii) a ii =Sin@xD 2 Cos@xD 2 +Cos@xD 4 ; TrigReduce@a ii D 1 HcosH2 xl+1l 2
4 4 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb ii D cos 2 HxL ã (iii) a iii = Cos@xD 1 +Sin@xD +Tan@xD; TrigFactor@a iii D 1 π x x π 2 csc 4-2 csc ã (iv) a iv = Sinh@xD Cosh@xD Sinh@xD + TrigReduce@a iv D Cosh@xD Cosh@xD +Sinh@xD ; coshh2 xl ü Ερώτηµα(β) Λόγος πολυωνύµων A = x3 +2x 2 x 2 x 3 +x 2 4x 4 ; ã (i) Να παραγοντοποιηθεί ο αριθµητής και ο παρανοµαστής ê Denominator@AD Hx - 1LHx + 1LHx + 2L x 3 + x 2-4 x-4 Numerator@AD ê Factor@Denominator@ADD x x 2 - x-2 Hx - 2LHx + 1LHx + 2L ã (ii) Να απλοποιηθεί ο Μ.Κ.. του αριθµητή και του παρονοµαστή Factor@AD x - 1 x - 2 Το ίδιο θα γίνει και µε την παρακάτω εντολή:
5 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 5 B =Cancel@AD x - 1 x - 2 ã (iii) Η Α ως άθροισµα απλών κλασµάτων Expand@AD x 3 2 x 2 x x 3 + x 2-4 x-4 x 3 + x 2-4 x - 4 x 3 + x 2-4 x - 4 x 3 + x 2-4 x-4 ή από το ήδη απλοποιηµένο Β Expand@BD x 1 x x-2 ã (iv) Υπολογισµοί: fax_e = A; f@4d 3 2 f@ 3D 4 5 f@2d Power::infy:Infiniteexpression 1 encountered. à 0 ComplexInfinity
6 6 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb ü Ερώτηµα (γ) Απλοποίηση της έκφρασης: PowerExpandB x3 y 4 3 z w 5 x3 w5 y F x 9ê2 y 5ê6 w 5ê2 z Clear@"Global` "D Άσκηση 3η Ερώτηµα (α) Εύρεση τετµηµένης τοµής των δύο καµπυλών fax_e:=1 x 2 gax_e:=x 4 3x 2 Solve@f@xD g@xd, xd ::x Ø-Â 2-1 >,:x Ø Â 2-1 >, :xø >, :x Ø 1+ 2 >> Γραφικές παραστάσεις των καµπυλών Plot@8f@xD, g@xd<, 8x, 2, 2<, Filling <, 8White, Orange<<<D Υπολογισµός εµβαδού της φραγµένης περιοχής που περικλείεται από τις δύο καµπύλες,( µε δύο εκφράσεις)
7 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 7 NIntegrateBf@xD g@xd, :x, 1 + 2, >F Hf@xD g@xdl x K1 + 2 O ü Ερώτηµα(β) Η σπείρα του Cornu,( µε τρεις εκφράσεις) t yat_e:= SinB u2 F u t xat_e:= CosB u2 F u ParametricPlot@8x@tD, y@td<, 8t, 10, 10<D η έκφραση KAt_E:=IntegrateBSinB 1 2 u2 F, 8u, 0, t<f LAt_E:=IntegrateBCosB 1 2 u2 F, 8u, 0, t<f
8 8 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 8t, 10, 10<D η έκφραση ParametricPlot@8FresnelC@Sqrt@2 ê πd td ê Sqrt@2 ê πd, FresnelS@Sqrt@2êπDtDêSqrt@2êπD<, 8t, 10, 10<D
9 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 9 ü Ερώτηµα (γ) ContourPlot@8x^2 +y^2 +3xy Sin@xD, 4x^2 y^2 +xsin@yd 1<, 8x, 2, 2<, 8y, 2, 2<D Aπό τη γραφική παράσταση οδηγούµαστε στο να δώσουµε ως σηµεία εκκίνησης τα (-1,1)και (1,0). FindRoot@8x^2 +y^2 +3xy Sin@xD, 4x^2 y^2 +xsin@yd 1<, 88x, 1<, 8y, 1<<D 8x Ø , y Ø < FindRoot@8x^2 +y^2 +3xy Sin@xD, 4x^2 y^2 +xsin@yd 1<, 88x, 1<, 8y, 0<<D 8x Ø , y Ø < Clear@"Global` "D Άσκηση 4η Ερώτηµα (α) Επαλήθευση ότι η u είναι λύση της εξίσωσης της θερµότητας sol =uax_, t_e:= a2 k 2 t Sin@kxD; equation1 =D@u@x, td, td == a 2 D@u@x, td, 8x, 2<D;
10 10 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb equation1 ê. 8u sol < True a =1; k = Pi 2 ; Plot3D@u@x, td, 8x, 0, 2<, 8t, 0, 10<D ü Ερώτηµα(β) Έλεγχος αρµονικότητας της f (θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace) LaplaceEquation = D@f@x, y, zd, 8x, 2<D + D@f@x, y, zd, 8y, 2<D +D@f@x, y, zd, 8z, 2<D 0; sol2 =fax_, y_, z_e:= Ix 2 +y 2 +z 2 M 1 2 ; LaplaceEquation ê. 8f sol2< êê Simplify True Clear@"Global` "D Άσκηση 5η Ερώτηµα (α) α τρόπος παρουσίασης της γενικής µορφής των Πολυωνύµων MacLaurin fax_e:= Sin@xD
11 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 11 H 1L i pan_, x_e:=sumb H2i+1L! x2i+1, 8i, 0, n<f p 7 = p@3, xd - x x x3 6 + x p 9 =p@4, xd x 9 x7 x5 x x p 11 =p@5, xd - x x x x x3 6 + x Plot@8f@xD, p 7, p 9, p 11 <, 8x, 0, 2Pi<D p 9 sinx p 7 p 11 Παρατηρούµε ότι όσο αυξάνεται ο βαθµός του πολυωνύµου τόσο καλύτερα προσεγγίζεται η καµπύλη της ηµx, και επίσης καθώς αυξάνονται οι τιµές του x τόσο αποκλίνουν οι καµπύλες των πολυωνύµων από την καµπύλη της ηµx. Συνάρτηση σφάλµατος εax_e:=abs@f@xd p@5, xd D T =Table@8x, N@ε@xDD<, 8x, 0, 6, 1<D; TT = TableForm@T, TableHeadings 8None, 8"x", "Σφάλµα"<<, TableSpacing 82, 5<D;
12 12 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 8Medium, Bold, Orange<D x Σφάλµα Παρατηρούµε ότι καθώς αυξάνονται οι τιµές του x το σφάλµα αυξάνεται, κάτι που επαληθεύεται και από της γραφικές παραστάσης των συναρτήσεων f, p 11. Clear@"Global` "D ü Ερώτηµα(β) ã (i) f@1d =1; f@2d =1;fAn_E:=f@n 2D +f@n 1D f@20d êê Timing , 6765< f@25d êê Timing , < f@30d êê Timing , < ã (ii) Παρατηρούµε ότι όσο αυξάνεται το n τόσο αυξάνεται και ο χρόνος υπολογισµού του αντίστοιχου όρου. fan_e:=f@nd =f@n 2D +f@n 1D f@20d êê Timing µ10-13, 6765=
13 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 13 êê Timing µ10-13, = êê Timing 80., < Πράγµατι ο χρόνος υπολογισµού µειώθηκε?f Global`f Παρατηρούµε ότι η εντολή?f εµφανίζει όλους τους όρους µέχρι n=30 και αυτό οφείλεται στο ότι κατά την (ii) διαδικασία ο αναδροµικός τύπος υπολογίζει τους προηγούµενους όρους στο παρασκήνιο και τους αποθηκεύει στην µνήµη του, ενώ η (i) κάθε φορά υπολογίζει τους όρους από την αρχή. "D ü Ερώτηµα (γ) ã Ορισµός της f µε την εντολή if fax_e:=ifax 0, x, IfA0 <x 3, x 2, If@x >3, 18 3xDEE Plot@f@xD, 8x, 6, 6<, ColorFunction > Function@8x, y<, If@x 0, Red, If@0 <x 3, Green, If@x >3, BlueDDDD, ColorFunctionScaling > False, PlotStyle ThickD Clear@fD ã Ορισµός της f µε την εντολή which fax_e:= WhichAx 0, x, 0 <x 3, x 2, x 3, 18 3xE
14 14 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 8x, 6, 6<, PlotStyle > 8Thick, Orange<D Clear@fD ã Ορισµός της f µε την εντολή Piecewise pw =PiecewiseA98 x, x 0<, 9x 2, 0 <x 3=, 818 3x, x >3<=E -x x 0 x 2 0< x x x>3 Plot@pw, 8x, 6, 6<, PlotStyle > 8Red, Dashed<D ã Ορισµός της f µε χρήση / ; fax_e:= x ê;x 0 fax_e:=x 2 ê;0<x 3 fax_e:=18 3xê;x>3
15 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 15 8x, 6, 6<, AxesLabel 8x, y<, ColorFunction "Rainbow" D Clear@"Global` "D Άσκηση 6η ü (α) rtan_e:= NDSolve@8y''@xD +0.3 y'@xd +Sin@y@xDD 0, y'@0d ==0, y@0d n<, y, 8x, 0, 30<D ã α' τρόπος Do@Print@rt@nDD, 8n, 2, 2, 1<D 88y Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88y Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88y Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88y Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88y Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< plan_e:= Plot@Evaluate@y@xD ê. rt@ndd, 8x, 0, 30<D
16 16 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 2D, 1D, PlotRange 8 2, 2<D ã β' τρόπος tr =Table@rt@nD, 8n, 2, 2, 1<D; Plot@y@xD ê.tr, 8x, 0, 30<, PlotRange All D ü (β) Επίλυση της.ε. µε χρήση της DSolve deq1 = :y'@xd y@xd^2, y@0d 1>; sol = DSolve@deq1, y, xd Solve::ifun: InversefunctionsarebeingusedbySolve,sosomesolutionsmaynotbefound;useReduceforcomplete solution information. à ::y Ø 8x< 2 tan x+2 tan >>
17 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 17 ê. sold H True True L Επίλυση της.ε. µε χρήση της NDSolve deq2 = :z'@xd z@xd^2, z@0d 1>; soln =NDSolve@deq2, z, 8x, 0, 1.3<D 88z Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< sfalma =fax_e:=abs@8y@xd ê.sol< 8z@xD ê.soln<d T =Table@8x, y@xd ê.sol, z@xd ê.soln, f@xd<, 8x, 0, 1.3, 0.1<D; TT = TableForm@T, TableHeadings 8None, 8"Τιµές της x", "Αναλυτική Λύση", "Αριθµητική Λύση", "Απόλυτο Σφάλµα"<<D; Style@TT, 8Medium, Bold, Orange<D Τιµές της x Αναλυτική Λύση Αριθµητική Λύση Απόλυτο Σφάλµα Σχεδίαση του πεδίου κατευθύνσεων της.ε.
18 18 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb VectorPlotB: 1, y2 >, 1 + I y2 M I y2 M 2 8x, 0, 1.3<, 8y, 0, 1.3<, VectorStyle OrangeF Άσκηση 7η ü (α) Η λύση που υπολογίζεται από τη Solve (i) και την LinearSolve (ii) ã i) A = 82x 4y+z== 1&&3x+y 2z==3&& 5x+y 2z==4<; B =Solve@A, 8x, y, z<d ::x Ø- 8, y Ø- 56, z Ø- 28 >> Επαλήθευση A ê.b H True L
19 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 19 ã ii) A = 882, 4, 1<, 83, 1, 2<, 8 5, 1, 2<<; B = 8 1, 3, 4<; lssol = LinearSolve@A, BD :- 1 8, , > Επαλήθευση A.lssol B True ü (β) Det@AD -56 Inverse@AD Εύρεση λύσης µε τον κανόνα του Cramer cruleaa_, B_E:= Module@8d = Det@AD, a<, Table@a =A;a@@All, kdd =B;Det@aDêd, 8k, Length@AD<DD x =crule@a, BD :- 1 8, , > Επαλήθευση A.x B True
20 20 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb (γ)συνάρτηση του Rosenbrock fax_, y_e:=100 Iy x 2 M 2 + H1 xl 2 ã (i) η κλίση f fa9x_, y_=e =D@f@x, yd, 88x, y<<d xiy - x 2 M-2H1 - xl, 200Iy - x 2 M= f@81, 0.5<D 8200., -100.< ΗΕσσιανή 2 f HessAx_, y_e =D@f@x, yd, 88x, y<, 2<D 800 x 2-400Iy - x 2 M x -400 x 200 Hess@1, 0.5D ã (ii) Υπολογισµός του πίνακα της BFGS ενηµέρωσης: B 1 =B 0 + y 0 y 0 y 0 s 0 B 0 s 0 HB 0 s 0 L s 0 B 0 s 0 B 0 =Hess@1, 0.5D; y 0 = 88 1<, 81<< -1 1 y 0 H -1 1 L
21 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 21 a =y 0.y s 0 = <, 81<< s 0 H L b =y 0.s 0 H 0.75 L b =0.75; c =B 0.s c H L d =c.c f =s 0.c H L f =62.625; B 1 =B 0 + a b d f Επαλήθευση Συµµετρικότητας του πίνακα Β 1.
22 22 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 1 D True Υπολογισµός του χαρακτηριστικού του πολυωνύµου: CharacteristicPolynomial@B 1, xd x x Επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης για προσδιορισµό των ιδιοτιµών Solve@CharacteristicPolynomial@B 1, xd 0, xd 88x Ø <, 8x Ø << Επαλήθευση ότι πράγµατι πρόκειται για τις ιδιοτιµές: Eigenvalues@B 1 D , < Υπολογισµός ιδιοδιανυσµάτων: Eigenvectors@B 1 D Άσκηση 8η Βιβλίο του Σ. Τραχανά, «Mathematica και εφαρµογές», προτεινόµενη άσκηση 3, σελ Η βοηθητική Συνάρτηση Προγράµµατος για τη µελέτη του Αρµονικού Ταλαντωτή ορίζεται ως εξής: fac_, a_, T_E:= NDSolve@8x''@tD +2cx'@tD +x@td Cos@atD, x@0d 1, x'@0d 0<, x, 8t, 0, T<D Ισχυρή τριβή 1 η Περίπτωση αªω =ω 0 =1, f 0 = 1και cªγ=3 (Συντονισµός) s 3 =f@3, 1, 60D; 2 η Περίπτωση αªω = 2ω 0 =2, f 0 = 1και cªγ=3 (Εκτός Συντονισµού) s 4 =f@3, 2, 60D; Γραφική παράσταση των δύο καµπυλών:
23 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 23 ê.s 3, ê.s 4 <, 8t, 0, 60<, PlotRange All, PlotStyle ThickD Το αποτέλεσµα του πειράµατος επιβεβαιώνει τη θεωρητική πρόβλεψη, δηλαδή ότι το φαινόµενο του συντονισµού είναι πολύ αδύνατο στο καθεστώς ισχυρής τριβής σε σύγκριση µε την περίπτωση της ασθενούς τριβής. Ασθενής τριβή 1 η Περίπτωση αªω =ω 0 =1, f 0 = 1και cªγ=0.1 (Συντονισµός) s 1 =f@0.1, 1, 60D; 2 η Περίπτωση αªω = 2ω 0 =2, f 0 = 1και cªγ=0.1 (Εκτός Συντονισµού) s 2 =f@0.1, 2, 60D; Γραφική παράσταση των δύο καµπυλών: Plot@8x@tD ê.s 1, x@td ê.s 2 <, 8t, 0, 60<, PlotStyle ThickD Υπολογισµός του πλάτους ταλάντωσης x(t), και χρήση του στην εύρεση των λόγων πλατών ταλάντωσης: xac_, a_e:= 1 Ia 2 1M 2 +4a 2 c 2 ; p 1 =x@0.1, 1D;
24 24 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb p 2 =x@0.1, 2D; logos1 =p 1 êp p 3 =x@3, 1D; p 4 =x@3, 2D; logos2 =p 3 êp 4 êên Τα αποτελέσµατα των λόγων πλατών ταλάντωσης επιβεβαιώνουν και αυτά την παρατήρησή µας από τα γραφήµατα. Βλέπουµε δηλαδή ότι ενώ στην περίπτωση της ασθενούς τριβής ο λόγος πλάτους συντ. µη συντ. είναι 15, στο καθεστώς ισχυρής τριβής πλάτος συντ. είναι µόλις διπλάσιο από ότι της περίπτωση µη συντ. Άσκηση 9η Βιβλίο του Σ. Τραχανά, «Mathematica και εφαρµογές», προτεινόµενη άσκηση 2, σελ Πειραµατική µελέτη της µετάβασης από το καθεστώς ασθενούς (cªγ=0.1) στο καθεστώς ισχυρής τριβής (cªγ=0.1), για έναν αναρµονικό ταλαντωτή µε δύναµη επαναφοράς ανάλογη µε την 5η δύναµη της αποµάκρυνσης από το ελκτικό κέντρο x=0. faa_, c_, T_E:= NDSolveA 9x''@tD x@td 5 cx'@td, x@0d a, x'@0d 0=, x, 8t, 0, T<E Do@Print@s@iD =f@1, i, 60D D, 8i, 0.1, 1, 0.1<D 88x Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H L, <>D<< Table@Plot@x@tD ê. s@id, 8t, 0, 60<, PlotLabel Style@Framed@c id, 16, Blue, Background Lighter@OrangeDD, PlotRange 8 1, 1< D, 8i, 0.1, 1, 0.1<D
25 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 25 cø :, cø ,
26 26 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb cø , cø ,
27 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 27 cø , cø ,
28 28 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb cø ,
29 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 29 cø , cø , cø > t1 =Table@f@1, n, 60D, 8n, 0.1, 1, 0.1<D;
30 30 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb ê.t1, 8t, 0, 60<, PlotRange 8 1, 1<D Περιορίζοντας της τιµές του c µετά τις πρώτες παρατηρήσεις θα έχουµε: t1 =Table@f@1, n, 30D, 8n, 0.1, 0.3, 0.05<D; Plot@ x@td ê.t1, 8t, 0, 30<, PlotRange 8 1, 1<D Παρατηρώ ότι καθώς αυξάνεται ο συντελεστής τριβής ο χρόνος επιστροφής στην ηρεµία γίνεται άπειρος και το πλάτος της όποιας ταλάντωσης ελλατώνεται γρηγορότερα. ηλαδή ενώ το πρώτο πέρασµα από τη θέση x=0 γίνεται µε µικρή χρονική διαφορά για c<0.6, από εκεί και πέρα µόνο για c<0.2 περνάει και 2η φοράαπό το x=0. Ενώ για c>0.7 δεν περνάει καν. Η κίνηση µοιάζει να είναι περιοδική ( µε αυξανόµενη περίοδο και ελλατωµένο πλάτος µε το πέρασµα του χρόνου )κοντά στην περίπτωση ασθενούς τριβής (c=0.1) και παύει να είναι περιοδική µε την σταδιακή αύξηση του c σε 0.2. Άρα θα λέγαµε ότι η κρίσιµη τιµή είναι η c=0.3.
31 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 31 ü Αναλυτικό γράφηµα: c = 1 c=0.1 c= c=0.5 Αναφορές Πηγές è Σ. Τραχανάς, «Mathematica και εφαρµογές», ΠΕΚ,2004 è Wikipedia, the free encyclopedia. Probability density function è Wikipedia, the free encyclopedia. Fibonacci number è Wikipedia, the free encyclopedia. Cumulative distribution function è Wikipedia, the free encyclopedia.cornu spirals. è Wikipedia, the free encyclopedia.simultaneous equations è Wikipedia, the free encyclopedia.taylor series, Gradient, Hessian matrix è Wikipedia, the free encyclopedia.system of linear equations, Cramer's rule è Wikipedia, the free encyclopedia.rosenbrock function, BFGS method, Symmetric matrix, Characteristic polynomial
32 32 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb Υπεύθυνη ήλωση Βεβαιώνω ότι είµαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οποία είχα για την προετοιµασία της είναι πλήρως αναγνωρισµένη και αναφέρεται στην εργασία στην ενότητα Αναφορές/Πηγές. Επίσης έχω αναφέρει τις όποιες πηγές από τις οποίες έκανα χρήση δεδοµένων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε παραφρασµένες. Επίσης βεβαιώνω ότι αυτή η εργασία προετοιµάστηκε από εµένα προσωπικά ειδικά για τη συγκεκριµένη Θεµατική Ενότητα ΜΣΜ61 «Υπολογιστικές Μέθοδοι και Λογισµικό στα Μαθηµατικά». Ηµεροµηνία υποβολής: 7/11/2010 Τόπος:Θεσσαλονίκη Ο ηλών Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ )
ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΤΟΙΧΙΣΜΟΥ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ. Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΤΟΙΧΙΣΜΟΥ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica ρ. Νίκος Θεµελής Νοέµβριος 009 Σκοπός των σηµειώσεων
88x Ø 0, y Ø 0<, 8x Ø 0, y Ø 32<, 8x Ø 12, y Ø 8<, 8x Ø 28, y Ø 0<<
2η Γραπτή Εργασία Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 52209). Άσκηση 7, σελ. 8 "Mathematica & Εφαρµογές" Στ. Τραχανά ü Ποιοτική µελέτη δυναµικού συστήµατος. Περίπτωση της "επικράτησης του ισχυρότερου". Να γίνει ποιοτική
Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica Νίκος Θεµελής Νοέµβριος 008 Σκοπός του φυλλαδίου είναι να παρέχει βασικές γνώσεις για την χρήση
Κεφάλαιο 5ο: Επίλυση εξισώσεων και συστηµάτων
Equations-Systems.nb Κεφάλαιο 5ο: Επίλυση εξισώσεων και συστηµάτων 5. Επίλυση εξισώσεων Το Mathematica διαθέτει αρκετές συναρτήσεις για την επίλυση εξισώσεων. Αυτές είναι: Solve[eqn, x] επιλύνει την εξίσωση
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #3: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6-7, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #3: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. Επιλέξτε αυθαίρετα µία συνάρτηση ( x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ( x, ( x, έτσι ώστε τα σημεία x να μην
Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica Νίκος Θεµελής Νοέµβριος 008 Σκοπός του φυλλαδίου είναι να παρέχει βασικές γνώσεις για την χρήση
Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.
Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3
_Toc9083498. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 3. ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 8 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA. 5. ΌΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Εργαστήριο 4. Άóêçóç 1. Άóêçóç 2. Χημικοί. Plot Sec x, x, 2 π, 2π. p1 Plot Abs 1 Abs x, x, 3, 3. 1 In[3]:= f x_ : 2 π. p2 Plot f x, x, 3,
![Εργαστήριο 4. Άóêçóç 1. Άóêçóç 2. Χημικοί. Plot Sec x, x, 2 π, 2π. p1 Plot Abs 1 Abs x, x, 3, 3. 1 In[3]:= f x_ : 2 π. p2 Plot f x, x, 3,](/thumbs/59/43970587.jpg "Εργαστήριο 4. Άóêçóç 1. Άóêçóç 2. Χημικοί. Plot Sec x, x, 2 π, 2π. p1 Plot Abs 1 Abs x, x, 3, 3. 1 In[3]:= f x_ : 2 π. p2 Plot f x, x, 3,")
Εργαστήριο 4 Χημικοί Άóêçóç. In[]:= Plot Sec x, x, π, π 6 4 Out[]= -6-4 - 4 6 - -4-6 Άóêçóç. In[]:= p Plot Abs Abs x, x, 3, 3.0.5 Out[]= -3 - - 3 In[3]:= f x_ : π x p Plot f x, x, 3, 3 0.4 0.3 Out[4]=
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: M Τετάρτη 6 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα Ε_ΜλΓΑ(α)
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Λίστες - Πίνακες Η λίστα στη Mathematica είναι ισοδύναμη με ένα μαθηματικό πίνακα. Για να ορίσουμε τη λίστα χρησιμοποιούμε άγκιστρα {}, μέσα στα οποία βάζουμε
:= x 2 + c 1 H1 - xl x 2 + c 2 H1- xl 2 x 3 17 c 1 c c 2 c c c 2 : 1 Ø 2 Ø 111 >>
3η Γραπτή Εργασία Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 5229) Άσκηση. (2 µονάδες) ü a Θεωρούµε το συναρτησοειδές, J(y)=Ÿ AyH+xL 2 +xhy 'L 2 E x όπου η συνάρτηση είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιµη, µε y()= και y()=.
Παρουσίαση του Mathematica
Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.
ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή
Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ Πωσ μπορεί κανείσ να λύςει προβλήματα με τη βοήθεια τησ Mahemaica Πρόβλημα 9 α : Κλίςη
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ 1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα Αδιαστατοποίησης - Δυναμικής Πληθυσμών Άσκηση 3.3, σελίδα 32 από
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία η ιουργία γραφικών αραστάσεων ε την
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία η ιουργία γραφικών αραστάσεων ε την 1 1 Λίστες Πίνακες Λίστες αντικειμένων Η λίστα στη Mathematica είναι ισοδύναμη με ένα μαθηματικό πίνακα. Για
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε
Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.
Άσκηση. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. α) y, β) y, γ) y, δ) y, ε) y ( ) Να προσδιοριστούν γραφικά και µε
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει
1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ακρότατα συνάρτησης FindMinimum[f,{x, x 0 }] :βρίσκει ένα τοπικό ελάχιστο της f, ξεκινώντας από το σημείο x=x 0. FindMinimum[f,{x, x0}, {y, y 0 }], ] : τοπικό
2.1 (i) f(x)=x -3x+2 Η f(x) ορίζεται x R
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. (i) f()= -3+ Η f() ορίζεται R Έχει Π.Ο ολόκληρο το R Για το Π.Τ της f() έχουµε : ος τρόπος 3 9 3 = -3+= - - += - - () Το Π.Τ. της f() θα είναι οι τιµές που παίρνει το R. Από
Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο
Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά
(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
![(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x](/thumbs/62/47493101.jpg "(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x")
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες
![ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες](/thumbs/55/37062184.jpg "ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες")
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή
ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη
, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία Παραγωγίζοντας και ολοκληρώνοντας
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Παραγωγίζοντας και ολοκληρώνοντας 1 1 Ακρότατα συνάρτησης Οι εντολές και Plot[x Cos[x],{x,0,20}] O ut[2 ]= FindMinimum[x Cos[x],{x,2}] {-3.28837,{x 3.42562}}
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+
ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.
ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos
Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)
Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή
6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3
16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0
6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος
Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γνωριμία με τη Mathematica 11. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Βασικές αρχές 34. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Λίστες 74. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Δισδιάστατα γραφικά 101
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γνωριμία με τη Mathematica 11 1.1 Συμβολισμοί και Συμβάσεις 1. Ο Πυρήνας και η Εμπροσθοφυλακή 1.3 Οι Ιδιοτροπίες της Mathematica 1.4 Η Mathematica Δίνει Ακριβή Αποτελέσματα 1.5 Βασικές
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων.
Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων. ύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π 2 που απέχουν απόσταση d=8m, παράγουν στην επιφάνεια ενός υγρού αρµονικά κύµατα που έχουν ταχύτητα διάδοσης υ=2m/s. Η εξίσωση της
ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.
α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις
με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).
Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε
Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις
website:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
X:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν.
Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 Τυχαίες Μεταβλητές Έστω ότι εκτελούµε ένα πείραµα τύχης και ότι είµαστε σε θέση να µετρήσουµε όλα τα δυνατά αποτελέσµατα και να αντιστοιχούµε ένα πραγµατικό αριθµό σε
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση
ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ: ΧΑΤΖΗΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΝΤΩΝΗΣ Α.Μ. 09036 Εξάμηνο ΠΤΧ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΜΠΡΑΤΣΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Περιεχόμενα 3.1 Πολυωνυμική παρεμβολή...
15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.
Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε
ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους
ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr
11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών
Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.
Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα
Μάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00).
Μάθηµα ο 0 Οκτωβρίου 008 (9:00-:00) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Άσκηση 9 Έστω ένα κβαντικό σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τρεις ενεργειακές καταστάσεις (ιδιοτιµές ενέργειας
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις
e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5)
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς-Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων 7/5/ Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
MATLAB. Εισαγωγή στο SIMULINK. Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής
MATLAB Εισαγωγή στο SIMULINK Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής Εισαγωγή στο Simulink - Βιβλιοθήκες - Παραδείγματα Εκκίνηση BLOCKS click ή Βιβλιοθήκες Νέο αρχείο click ή Προσθήκη block σε αρχείο
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα
Τράπεζα θεμάτων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα ΘΕΜΑ 2 (16950) α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ
EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ηµιουργία ενός m-αρχείου Εισαγωγή των δεδοµένων στο αρχείο Αποθήκευση του αρχείου Καταχώρηση των δεδοµένων του αρχείου από το λογισµικό Matlab, γράφοντας απλά το όνοµα
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης
Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε
Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε
Αρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ
1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου
Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου 1 ιαφορικός Λογισµός Θέµα 1. ίνεται η συνάρτηση = ln(x 1)+1. α ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της f. ϐ ) Να ϐρεθεί η f και το πεδίο ορισµού της. γ ) Να µελετηθεί η f
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη
Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους Η/Υ Μαθηματικά
Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους Η/Υ Μαθηματικά Άσκηση 3 (15%) Ι) Για να βρούμε την τιμή και τη ποσότητα ισορροπίας εξισώνουμε την συνάρτηση ζήτησης με την συνάρτηση προσφοράς: Q = Q 3P+ 8= 4 P 3P +
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής
τα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από