ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων οµάδων υπέρ του C Αυτές εφαρµόζονται στο επόµενο κεφάλαιο όπου αποδεικνύουµε ένα θεµελιώδες θεώρηµα του Bude που αφορά επιλυσιµότητα οµάδων τάξης p q b ( p, q πρώτοι) 7 Αναπαραστάσεις Έστω G µια οµάδα και k ένα σώµα Μια αναπαράσταση της G υπέρ του k είναι ένας οµοµορφισµός οµάδων ρ : G GL ( k), για κάποιο, όπου GL (k) είναι η οµάδα των αντιστρέψιµων βαθµός της αναπαράστασης πινάκων µε στοιεία από το k Το ονοµάζεται Αν ρ : G GL ( k) είναι µια αναπαράσταση της G, τότε θέτοντας V : = k και ορίζοντας v = ρ( )( v) λαµβάνουµε ένα k[g]-πρότυπο Αντίστροφα αν V είναι ένα k[g]-πρότυπο διάστασης <, τότε σταθεροποιώντας µια βάση του V έουµε Aut( V ) GL ( k) και ορίζεται ένας οµοµορφισµός οµάδων ρ : G GL ( k), όπου ρ () είναι ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης V v v V Έτσι, στις σηµειώσεις αυτές, θα ρησιµοποιούµε τους όρους αναπαράσταση της G και k[g]- πρότυπο ωρίς να γίνεται ιδιαίτερη διάκριση µεταξύ της ρ και του V 7 Παράδειγµα Για κάθε οµάδα G έουµε την αναπαράσταση ρ : G GL ( k), όπου ρ ( ) = για κάθε G Αυτή λέγεται η τετριµµένη αναπαράσταση της G Για τη συµµετρική οµάδα G = S έουµε την αναπαράσταση ρ : G GL ( k), όπου ρ( σ) = ( σ) για κάθε σ S Αυτή λέγεται η αναπαράσταση προσήµου της S

2 68 Έστω G η οµάδα D 8 που δίνεται µε γεννήτορες και σέσεις από 4 8, b : = b =, D = b = b (Αυτή έει τάξη 8 και είναι µία από µια οικογένεια οµάδων που ονοµάζονται διεδρικές Γεωµετρικά, η D8 περιγράφει τις συµµετρίες ενός τετραγώνου) Θέτουµε Ελέγουµε ότι A=, B= ( M( C )) 4 =, A B = I πάνω από το C, ρ : G GL ( C) AB = BA Ορίζουµε µία αναπαράσταση G ρ( b ) = A B, =,, =, Γεωµετρικά το Α παριστάνει στροφή 9 ο γύρω από την αρή των αξόνων και το Β ανάκλαση ως προς τον άξονα των x Έτσι η συγκεκριµένη αναπαράσταση ρ παριστάνει τη G ως οµάδα µετασηµατισµών του επιπέδου ύο αναπαραστάσεις ρ, ρ : G GL ( k) λέγεται ισοδύναµες αν υπάρει T GL (k) µε την ιδιότητα ρ ( ) = T ρ( ) T για κάθε G Για παράδειγµα η αναπαράσταση ρ : D8 GL( C ) του προηγούµενου παραδείγµατος είναι ισοδύναµη µε την ρ : D8 GL( C ) που ορίζεται από ρ ( ) = και ρ (b) = Εδώ Τ είναι ο πίνακας που διαγωνοποιεί τον Α, δηλαδή ο πίνακας των ιδιοδιανυσµάτων του Α, T = Έστω ρ, ρ : G GL ( k) δύο αναπαραστάσεις της G µε αντίστοια k[g]- πρότυπα k[g]-προτύπων V, V Τότε οι ρ, ρ είναι ισοδύναµες αν και µόνο αν υπάρει ισοµορφισµός V V (άσκηση) Ένα k[g]-πρότυπο λέγεται ανάγωγο αν δεν έει µη τετριµµένα γνήσια υποπρότυπα Μία αναπαράσταση ρ : G GL ( k) λέγεται ανάγωγη αν το αντίστοιο k[g]-πρότυπο V είναι ανάγωγο

3 69 7 Παράδειγµα Έστω G = S η συµµετρική οµάδα των µεταθέσεων στοιείων Έστω k V = και µια βάση { v,, v } του V Το V είναι S -πρότυπο µε δράση σ v = εν είναι απλό όταν >, γιατί ένα υποπρότυπό του είναι το v σ () v + + v Πράγµατι, έουµε ( ) σ S σ v + + v = v + + v = v + + v για κάθε σ() σ( ) Ένα k[g]-πρότυπο V λέγεται πλήρως αναλύσιµο αν είναι ευθύ άθροισµα αναγώγων υποπροτύπων του Το θεώρηµα του Mchke (κεφάλαιο ) µας δίνει το εξής αποτέλεσµα 7 Πόρισµα Έστω G µια πεπερασµένη οµάδα τάξης Αν η αρακτηριστική του k είναι µηδέν, ή αν η αρακτηριστική του k είναι p µε p /, τότε κάθε k[g]-πρότυπο είναι πλήρως αναλύσιµο Στα παρακάτω θα ασοληθούµε αποκλειστικά µε την περίπτωση k = C, οπότε ισύει το προηγούµενο πόρισµα Στο κεφάλαιο είδαµε ότι υπάρει ισοµορφισµός αλγεβρών έουµε C[ G] M ( C) M ( C ) Λαµβάνοντας διαστάσεις υπεράνω του C G + + = Υπενθυµίζουµε ότι το είναι το πλήθος των ανά δυο µη ισόµορφων απλών C[ G] - προτύπων Στη συνέεια θα αρακτηρίσουµε τον αριθµό ρησιµοποιώντας οµαδοθεωρητικές έννοιες Υπενθυµίζουµε ότι η κλάση συζυγίας του G είναι το σύνολο { x x x G} και ότι δύο κλάσεις συζυγίας είτε ταυτίζονται είτε είναι ξένες Έστω C µία κλάση συζυγίας Θέτουµε C = C [ G] C Θα δείξουµε ότι κάθε C ανήκει στο κέντρο της άλγεβρας C [ G] Έστω C = { x x,, x x } και h G Έουµε C x x, οπότε h Ch = h = x = = x h = C, ()

4 7 γιατί καθώς το x διατρέει τα στοιεία x το h x xh x,, διατρέει τα στοιεία του C (αφού x xh = h x x h x h x x x = x λόγω του ορισµού των x στο σύνολο C) Από την () συνάγουµε ότι C C( C [ G]) 74 Πρόταση Έστω C,,Cm οι (ανά δύο διάφορες) συζυγείς κλάσεις της G Τότε µία βάση του C -διανυσµατικού ώρου C( C [ G]) είναι C,,C m Απόδειξη: ) Γραµµική ανεξαρτησία: Αν λ C + λ m C µε λ C παίρνουµε + m = λ = = λm =, γιατί τα C,,Cm είναι ανά δύο ξένα σύνολα ) Έστω λ C( C [ G]) Τότε για h G ισύει λ h h = λ, δηλαδή οπότε παίρνουµε hxh στοιεία µια κλάσης συζυγίας x λ x = λ, x G hxh λ = λ για κάθε x G Με άλλα λόγια, καθώς το διατρέει τα C ο συντελεστής λ παραµένει σταθερός λ = λ Έτσι γράφουµε λ = λ C + + λ mcm 75 Πόρισµα Το πλήθος των ανά δύο µη ισόµορφων αναγώγων C[ G] -προτύπων είναι το πλήθος των κλάσεων συζυγίας της G Απόδειξη: Έουµε C[ G] M ( C) M ( C ) όπου είναι το πλήθος των ανά δύο µη ισόµορφων αναγώγων C[ G] -προτύπων Υπολογίζοντας κέντρα σύµφωνα µε την άσκηση παίρνουµε C( C[ G]) C Το ζητούµενο προκύπτει από την Πρόταση Πόρισµα Μια πεπερασµένη οµάδα G είναι αβελιανή αν και µόνο αν κάθε ανάγωγο C[ G] -πρότυπο έει διάσταση ένα Απόδειξη: Αν G αβελιανή, τότε η G έει G κλάσεις συζυγίας, οπότε η σέση

5 7 = + δίνει = = = G Αντίστροφα αν =, τότε από τη = = σέση G = + + έπεται ότι G =, οπότε η G έει G κλάσεις συζυγίας και άρα είναι αβελιανή 77 Παράδειγµα (Οι ανάγωγες αναπαραστάσεις αβελιανών οµάδων) Έστω G (πεπερασµένη, όπως πάντα) αβελιανή οµάδα τάξης Από το θεώρηµα ταξινόµησης των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων (που συνήθως αναπτύσσεται σε προπτυιακά µαθήµατα Άλγεβρας) γνωρίζουµε ότι η G είναι ισόµορφη µε ευθύ γινόµενο κυκλικών οµάδων, όπου είναι: G Z Z, είναι θετικοί ακέραιοι Μια παρουσίαση της G µε γεννήτορες και σέσεις,, : = = = G =, = Έστω λ,, λ C µε λ = Ορίζουµε την αναπαράσταση ρ λ λ : G C * { λ λ = λ λ ( ) λ ρ = λ Το σύνολο ρ λ =,,, } έει ακριβώς = στοιεία και αποτελεί το σύνολο των αναγώγων αναπαραστάσεων της G υπέρ του C 7 Χαρακτήρες Έστω ρ : G GL ( k) αναπαράσταση της G Ο αρακτήρας του ρ είναι η απεικόνιση το ίνος ρ : G k, ρ ( ) = T( ρ( )) για κάθε G, όπου T( A ) συµβολίζει του πίνακα A ( ) αρακτήρας της αντίστοιης αναπαράστασης = Ο αρακτήρας ενός k [G]-προτύπου είναι ο Επειδή όµοιοι πίνακες έουν το αυτό ίνος παρατηρούµε ότι ισοδύναµες αναπαραστάσεις έουν τον αυτό αρακτήρα Επιπλέον η τιµή ρ () εξαρτάται µόνο από τη κλάση συζυγίας του Για παράδειγµα ο αρακτήρας της αναπαράστασης ρ : D8 GL( C ) του Παραδείγµατος 7 είναι

6 7 ( ) b b b b Παρατηρούµε ότι αν είναι ο αρακτήρας µιας αναπαράστασης ρ : G GL ( C ), τότε: ρ υπέρ του ) Ο βαθµός της ρ είναι η τιµή () ) Αν m είναι η τάξη του στοιείου G, τότε το () είναι άθροισµα m-στών ριζών της µονάδας Πράγµατι, αφού = ισύει ρ( ) m = I οπότε οι ιδιοτιµές του πίνακα ρ () είναι m-στές ρίζες της µονάδας Το ίνος του ρ () είναι το άθροισµα των ιδιοτιµών του m ) Ισύει ( ) = ( ) (ο συζυγής του ()), γιατί αν ( ) = ω + + ω µε m ω =, τότε = ω + + ω ( ) και ω = ω για κάθε v) ( ) αν και τότε ( ) = ( ) = ( ) είναι συζυγή Πράγµατι, αν και είναι συζυγή Έστω ρ : G GL m ( C ), ρ : G GL ( C ) δύο αναπαραστάσεις της G βαθµού m και αντίστοια Το ευθύ άθροισµα των ρ και ρ είναι η αναπαράσταση ρ ρ : G GL m + () βαθµού m + που ορίζεται από (Συνεπώς αν ρ( ) ( ρ ρ )( ) = ρ ( ) V, V είναι τα αντίστοια C[ G] -πρότυπα των ρ, ρ τότε το αντίστοιο C[ G] -πρότυπο του ρ ρ είναι το V V ρ ρ ρ + ρ = (συνήθης πρόσθεση συναρτήσεων G C ) Έστω, ψ :G εσωτερικό γινόµενο των και ψ Παρατηρούµε ότι ) ψ, =, ψ ) Θεωρώντας ίνη παίρνουµε C συναρτήσεις (όι αναγκαστικά αρακτήρες) Ορίζουµε το, ψ = ( ) ψ( ) G ) <, > είναι γραµµική στην πρώτη µεταβλητή, και

7 7 ), > αν Επίσης, λ ψ + λψ = λ, ψ + λ, ψ για κάθε λ, λ C, και κάθε συναρτήσεις, ψ, ψ :G C Για αρακτήρες µπορούµε να πούµε κάτι ισυρότερο: 7 Πρόταση Έστω και ψ αρακτήρες της G και,, ανιιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G Με C ( ) συµβολίζουµε την κεντροποιούσα οµάδα του, C( ) = { x G x x} Τότε = () () ψ, = ψ, = ( ) ψ( ), και G = ( ) ψ( ), ψ C( ) = Απόδειξη: ) Έουµε, ψ = G ( ) ψ( ) = G ( ) ψ( ) = G ( ) ψ( ) = ψ, Αφού, ψ = ψ,, παίρνουµε, ψ =, ψ και άρα ψ, (θα δούµε παρακάτω ότι ισύει ψ, ) ) Έστω κάθε C η κλάση συζυγίας του C έουµε Επειδή ) = ( ) και ψ ) = ψ( ) για ( ( C, ψ = ( ) ψ( ) = ( ) ψ( ) G Θυµόµαστε από τις οµάδες (π δράσεις οµάδων) ότι C = [ G : C( G )] (ο = πληθάριθµος µιας τροιάς είναι ο δείκτης της αντίστοιης σταθεροποιούσας οµάδας) Έτσι C = C( ) Μια συνάρτηση ψ : G C ονοµάζεται συνάρτηση κλάσεων αν για κάθε G ισύει ψ ( h h) = ψ( ) για κάθε h G, δηλαδή αν η ψ είναι σταθερή σε κάθε κλάση συζυγίας Κάθε αρακτήρας είναι συνάρτηση κλάσεων Το C -διανυσµατικό

8 74 ώρο των συναρτήσεων κλάσεων συµβολίζουµε µε cf (G) Θα αποδείξουµε στη συνέεια το σηµαντικό αποτέλεσµα ότι οι αρακτήρες των αναγώγων αναπαραστάσεων της G αποτελούν µια ορθοκανονική βάση του cf (G) ως προς το εσωτερικό γινόµενο <, > Αν ψ :G C είναι συνάρτηση, θα συµβολίζουµε πάλι µε ψ : C[ G] C τη γραµµική επέκταση της G C στο C[ G] C Έστω V,,V τα ανά δύο µή ισόµορφα απλά C[ G] -πρότυπα και,, οι αρακτήρες τους αντίστοια Οι ονοµάζονται ανάγωγοι αρακτήρες της G Από την άσκηση 9 υπάρουν κεντρικά αυτοδύναµα στοιεία e,, [ ] e C G µε την ιδιότητα = e + + e και e e = για Επιπλέον e = για κάθε R και e R = για κάθε και e e = για κάθε, όπου R είναι οι απλές συνιστώσες του C [ G], C [ G] R R Συνεπώς ισύει και e v = v για κάθε v V και e V = για κάθε 7 Λήµµα Με τους προηγούµενους συµβολισµούς έουµε ( e dmv ) = αν αν = Απόδειξη: Για έουµε e V = και άρα το ίνος της δράσης του e στο V είναι µηδέν, δηλαδή ( e ) = Γράφοντας τώρα = e + + e παίρνουµε ) = ( e ) + + ( e ) dmv = ( e ) ( 7 Λήµµα Έστω e ο αρακτήρας του C[ G] -προτύπου C [ G] (µε δράση αριστερό πολλαπλασιασµό) ιατηρώντας τους προηγούµενους συµβολισµούς έουµε: ) e ( ) = και e ( ) = για κάθε G, ) = ) + () e ( + Απόδειξη: ) e () = dm C [ G] = G Έστω G, Θεωρούµε τη βάση G = =,,, } του C [ G] Ο αντίστοιος πίνακας της δράσης του έει µη { µηδενικό στοιείο πάνω στη διαγώνιο αν και µόνο αν =, δηλαδή αν =

9 75 ) Το ζητούµενο προκύπτει αµέσως από τον ισοµορφισµό C [ G] V V (βλ κεφάλαιο ) και το γεγονός ότι = dmv = () 74 Πρόταση Με τους προηγούµενους συµβολισµούς ισύει e = () ( ) G Απόδειξη: Έστω e = λ, λ C Θεωρώντας τον αρακτήρα G e της υπολογίζουµε σύµφωνα µε το Λήµµα 7 ) Έστω h G ( h e ) = λ ( h ) = λ e Από το Λήµµα 7 ) έουµε e G e ( h e ) () x ( h e ) = = Επειδή e = για, έουµε ( h ) = για Για = έουµε R e v = v v R e και άρα x ( h e ) = ( h ) Τελικά αντικαθιστώντας έουµε h λ h = = () ( h e ) = () ( h ), απ όπου προκύπτει το ζητούµενο Είµαστε τώρα έτοιµοι να αποδείξουµε το πρώτο κύριο αποτέλεσµα αυτού του κεφαλαίου 75 Θεώρηµα Οι ανάγωγοι αρακτήρες της G πάνω από το C αποτελούν µια ορθοκανονική βάση του C -διανυσµατικού ώρου cf (G) ως προς το εσωτερικό γινόµενο <, > Απόδειξη: Έστω,, αποτελούν βάση του cf (G),, οι ανάγωγοι αρακτήρες Θα δείξουµε πρώτα ότι οι Γνωρίζουµε ότι είναι το πλήθος των κλάσεων συζυγίας της G (Πόρισµα 75) Επειδή η διάσταση του cf (G) είναι (µια βάση του cf (G) είναι οι αρακτηριστικές συναρτήσεις f : G C που ορίζονται από f ( C ) = για και f ( ) = για κάθε C ) αρκεί να δείξουµε ότι οι

10 76,, είναι γραµµικώς ανεξάρτητες Έστω λ = = Από το Λήµµα 7 παίρνουµε τότε λ ( e ) =, δηλαδή λ dm =, οπότε λ = (Η γραµµική V ανεξαρτησία των έπεται και από το γεγονός <, >= δ που θα δείξουµε αµέσως παρακάτω) Θα δείξουµε τώρα ότι, >= Από τον τύπο της Πρότασης < 74 συµπεραίνουµε ότι ο συντελεστής του G στο () ( ) ( ) G G που είναι (λόγω της Πρότασης 7 )) ίσος µε (), < > e είναι Όµως e = e οπότε ο συντελεστής του στο () e είναι ίσος µε (Πρόταση 74) Συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες εκφράσεις παίρνουµε, >= < Θα δείξουµε τώρα ότι <, >= για Από τη σέση e e = παίρνουµε λόγω της Πρότασης 74 ότι Ο συντελεστής του, h G ( ) ( h ) h = G στην προηγούµενη ισότητα δίνει G ( ) ( ) = οπότε, >= από την πρόταση 7 ) < 76 Πόρισµα Έστω V ένα C[ G] -πρότυπο µε αρακτήρα Τότε το V είναι ανάγωγο αν και µόνο αν <, >= Απόδειξη: Αν V είναι ανάγωγο τότε <, >= από το προηγούµενο θεώρηµα Αντίστροφα, έστω <, >= Γράφοντας το V ως ευθύ άθροισµα αναγώγων προτύπων <, >= δίνει m m V V V λαµβάνουµε = m + + m οπότε η σέση

11 77 m m <, >=, Από το προηγούµενο θεώρηµα έουµε, >= και, >= για, οπότε < < + = m + m Συνεπώς m = για κάποιο και m = για Άρα V = V Το προηγούµενο πόρισµα είναι ιδιαίτερα ρήσιµο σε υπολογισµούς Για παράδειγµα, ο αρακτήρας της αναπαράστασης ρ : D8 GL( C ) του Παραδείγµατος 7 υπολογίστηκε στην αρή της παρούσας παραγράφου ( ) b b b b Εύκολα επαληθεύουµε ότι <, >= και άρα η ρ είναι ανάγωγη Το ακόλουθο αποτέλεσµα δείνει ότι οι αρακτήρες αναπαραστάσεων επί του C αρακτηρίζουν τις αναπαραστάσεις 77 Πόρισµα ύο αναπαραστάσεις της G επί του C είναι ισοδύναµες αν και µόνο αν οι αρακτήρες τους ταυτίζονται Απόδειξη: Έστω ρ και ρ αναπαραστάσεις µε αντίστοιους αρακτήρες και Αν ρ και ρ είναι ισοδύναµες τότε = όπως είπαµε στην αρή της παραγράφου Αντίστροφα, έστω = Για τα αντίστοια C[ G] -πρότυπα γράφουµε m m V m m, V V V V V όπου V,,V είναι ανά δύο µη ισόµορφα ανάγωγα C[ G] -πρότυπα Από <, >=<, > παίρνουµε m <, > + + m <, >= m <, > + + m <, >, οπότε το Θεώρηµα 75 δίνει m = m για κάθε Άρα V V 78 Πόρισµα Έστω V, V C[ G] -πρότυπα µε αρακτήρες, αντίστοια Τότε <, >= dm Hom ( VV, C C ) [ G]

12 78 Απόδειξη: Γράφοντας V δίνει m < m V V και V V V, το θεώρηµα, >= m m + + m m Από την άλλη µεριά έουµε m C, αν = Hom C[ G] ( V, V) (γιατί;), αν Από την Πρόταση παίρνουµε dm Hom [ G] ( VV, ) = mm + + mm m C C 7 Σέσεις Ορθογωνιότητας και Πίνακες Χαρακτήρων Έστω IG = {,, } το σύνολο των αναγώγων αρακτήρων της G,,, αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G και C ( ) { x G x = x} η = κεντροποιούσα οµάδα του Με δ αβ συµβολίζουµε το δέλτα του Koecke, δ = εκτός αν α = β οπότε δ = αβ αα 7 Θεώρηµα Με τους προηγούµενους συµβολισµούς έουµε: ) (ορθογώνιες σέσεις γραµµών) ) (ορθογώνιες σέσεις στηλών) ( ) α β = C( ) ( ) ( ) ( ) = δ = α β αβ = δ αβ C( α ) Απόδειξη: ) Από το Θεώρηµα 75 έουµε <, >= δ οπότε το ζητούµενο α β αβ προκύπτει από την Πρόταση 7 ) ) Έστω ψ cf (G) που ορίζεται από ψ β ( α ) = δαβ Λόγω του Θεωρήµατος 75 γράφουµε ψ = λ + β + λ οπότε παίρνουµε λ =< ψ β, >= ψ β ( ) ( ) Ισύει ψ β ( ) = αν το είναι συζυγές του β και ψ β ( ) = διαφορετικά Επειδή G επιπλέον ο πληθάριθµος της κλάσης συζυγίας του είναι G / C( ) παίρνουµε β β λ = ( β ) C( ) β Συνεπώς

13 79 δ αβ = ψ β ( α ) ( β ) ( α ) = λ ( α ) + + λ ( α ) = C( ) = β Έστω IG = {,, } και,, αντίστοια αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G Ο πίνακας αρακτήρων της G είναι ένας θέση (, ) υπάρει η τιµή ) ( πίνακας που στη 79), Για παράδειγµα ο πίνακας αρακτήρων της Z είναι (παράδειγµα = {,, } ω ω ω ω όπου ω = µε ω, δηλαδή ω + ω + = Οι ορθογώνιες σέσεις γραµµών για ω ω τις πρώτες δύο γραµµές δίνουν + + =, και για τη δεύτερη γραµµή µε τον ωω ω ω εαυτό της δίνουν + + = Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις δύο τελευταίες στήλες δίνουν + ω ω + ω ω = (Φυσικά οι προηγούµενες σέσεις ισύουν αφού ω = ω ) Οι ορθογώνιες σέσεις επιτρέπουν συνά τον προσδιορισµό ολόκληρου του πίνακα αρακτήρων αν γνωρίζουµε µόνο κάποιο τµήµα του Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι για µια οµάδα G τάξης που έει 4 συζυγείς κλάσεις γνωρίζουµε το ακόλουθο τµήµα του πίνακα αρακτήρων C( 4 ) όπου,, 4 είναι αντιπρόσωποι των συζυγών κλάσεων και ω + ω + = 4 ω ω 4 ω ω 4 = Από τη σέση () + + () (θεώρηµα 75 ή Θεώρηµα 7 ) για α = β = ) παίρνουµε () Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και 4 =

14 8 δίνουν 4 ( ) ( ) = ( ) = ( ) = = 4 4 Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και δίνουν 4 = ( και για τις στήλες και 4 δίνουν 4 ) ( ) = + ω + ω + 4 ( ) = 4 ( ) = ( ) ( 4 ) = + ω + ω + 4 ( 4 ) = 4 ( 4 ) = = Προσδιορίζεται κατά αυτόν τον τρόπο όλος ο πίνακας αρακτήρων της G Παρατηρήσεις ) Ο προηγούµενος πίνακας αρακτήρων είναι αυτός της A 4 ) Ήδη επισηµάναµε ότι το Θεώρηµα 75 προκύπτει από το θεώρηµα Θ ) για α = β = Παρόµοια, το Λήµµα 7 προκύπτει από το Θεώρηµα 7 ) για α = Ως άλλο παράδειγµα ας θεωρήσουµε τη G = S που έει τρεις κλάσεις συζυγίας { }, {(, (), ()}, {( ), ()} Το Πόρισµα 75 δίνει = οπότε, =, Μια ανάγωγη αναπαράσταση της S είναι η = ρ : S σ ( σ) * C που έει αρακτήρα ρ = =, που δίνεται από (), () =, () = Συνεπώς ο πίνακας αρακτήρων της S έει τη µορφή C( ) 6 () () b = Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και δίνουν + ( ) + = οπότε = Για τις στήλες και δίνουν + + b = b = Ασκήσεις Στις παρακάτω ασκήσεις µε G συµβολίζουµε µια πεπερασµένη οµάδα

15 8 Το µη µηδενικό cf (G) είναι αρακτήρας αν και µόνο αν <, > για κάθε ανάγωγο αρακτήρα Αν για τον αρακτήρα ισύει ( ) = G,, τότε ο είναι της µορφής m, m (Υπόδειξη: υπολογίστε το <, ψ > όπου ψ ανάγωγος e αρακτήρας και ρησιµοποιείστε το Λήµµα 7) Συµπληρώσετε τον πίνακα αρακτήρων της D 8 C( 4 5 ) 8 4 b b 4 ) Οι ορθογώνιες σέσεις γραµµών είναι ισοδύναµες µε τις ορθογώνιες σέσεις στηλών ) Έστω Μ ο πίνακας αρακτήρων της G είξετε ότι det M C ( ) = =, όπου,, είναι αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G Υπόδειξη: από τις σέσεις ορθογωνιότητας προκύπτει ότι ο πίνακας είναι διαγώνιος t M M ) Έστω I G) = {,, } Τότε ( CG ( ) = G ( ) ( ) = G = 7 Έστω αρακτήρας της G Θέτουµε ke = { G ( ) = ()} Τότε ke είναι κανονική υποοµάδα της G Αντίστροφα κάθε κανονική υποοµάδα της G είναι της µορφής ke για κάποιο αρακτήρα Επιπλέον αν,, είναι οι ανάγωγοι αρακτήρες τότε ke = ke όπου το διατρέει τους ανάγωγους αρακτήρες που έουν την ιδιότητα, > > Συµπέρασµα: από <

16 8 τον πίνακα αρακτήρων της G µπορούµε να βρούµε όλες τις κανονικές υποοµάδες της G Βρείτε τώρα όλες τις κανονικές υποοµάδες της D 8 απο την άσκηση 8 Η G δεν είναι απλή αν και µόνο αν ( ) = () για κάποιον µη τετριµµένο ανάγωγο αρακτήρα και κάποιο G, (βλ προηγούµενη άσκηση) 9 Για κάθε αρακτήρα αβελιανής οµάδας ισύει <, > () Αληθεύει το συµπέρασµα για µη αβελιανές οµάδες; Έστω ανάγωγος αρακτήρας της G βαθµού ) Για κάθε C( G) ισύει ( ) = ) Ισύει [ G : C( G)] Έστω H αβελιανή υποοµάδα της G Τότε κάθε ανάγωγος αρακτήρας της G έει βαθµό [ G : H ] Κατά συνέπεια κάθε ανάγωγος αρακτήρας της διεδρικής οµάδας D =<, b : = b =, b = b > έει βαθµό ή Έστω C[ G] -πρότυπα V, W µε αντίστοιους αρακτήρες, ψ Τότε ο αρακτήρας του V W C είναι το γινόµενο ψ ( Η δράση είναι ( v w) = ( v) ( w) ) Υπόδειξη: υπολογίσετε το ίνος της δράσης του παίρνοντας βάσεις των V, W που αποτελούνται απο ιδιοδιανύσµατα Αν, ψ I( G) και de =, τότε ψ I( G) (Βλ προηγούµενη άσκηση και Πόρισµα 76) 4 Έστω ο µοναδικός ανάγωγος αρακτήρας της S βαθµού Βρείτε την ανάλυση του = σε άθροισµα αναγώγων αρακτήρων 5 Έστω ρ : G GL ( C ) αναπαράσταση

17 8 ) Αν υπάρει G µε det( ρ ( )) =, δείξτε ότι η G δεν είναι απλή ) Αν το G έει τάξη, τότε ισύει ακριβώς ένα από τα εξής συµπεράσµατα: ) ( ) () mod 4 b) η G κανονική υποοµάδα τάξης Υπόδειξη: Αν V είναι το αντίστοιο πρότυπο της ρ, µπορούµε να επιλέξουµε βάση του V τέτοια ώστε ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης V V, v v, είναι διαγώνιος µε ± στη διαγώνιο 6 Έστω VWδυο, ανάγωγα C[ G] -πρότυπα είξτε ότι το V W C (άσκηση) εµφυτεύεται στην κανονική αναπαράσταση της G Υπόδειξη: αρκεί να δειτεί ότι αν, ψ, ζ I( G), τότε < ψ, ζ > ζ() 7 Με το συµβολισµό του Παραδείγµατος 7 έστω k = C ) είξτε ότι το C[ S ]-πρότυπο V v + + v είναι ανάγωγο ) είξτε ότι V, = όπου είναι ο τετριµµένος αρακτήρας της S 8 Να βρεθούν όλες οι οµάδες µε ακριβώς, ή ανάγωγους αρακτήρες 9 Έστω G πεπερασµένη υποοµάδα της GL ( C ) Αποδείξτε ότι αν T( ) =, τότε = G G Έστω ρ : G GL ( C ) µια αναπαράσταση τέτοια ώστε το είναι ιδιοτιµή του ρ ( ) για κάθε G είξτε ότι η ρ δεν είναι ανάγωγη Υπόδειξη: Υπολογίστε το,, όπου είναι ο αρακτήρας της ρ και ο τετριµµένος αρακτήρας της G, συναρτήσει των ιδιοτιµών των ρ ( ) Αποδείξτε ότι κάθε πεπερασµένη απλή οµάδα µε τάξη όι δύναµη πρώτου δεν έει ανάγωγη αναπαράσταση βαθµού Οι αναπαραστάσεις της δικυκλικής οµάδας

18 84 Έστω ρ : G GL ( C ) µια αναπαράσταση τέτοια ώστε για κάποια h, G έουµε ρ( ) ρ( h) ρ( h) ρ( ) Αποδείξτε ότι η ρ δεν είναι ανάγωγη b Θεωρούµε την οµάδα ( δικυκλική ) T4 =, b: =, = b, b b= π που έει τάξη 4 Έστω ένας ακέραιος και ε = e C ε είξτε ότι η αντιστοιία, b ορίζει µια ε ε αναπαράσταση ρ της T 4 είξτε ότι η ρ είναι ανάγωγη αν ε ± (Υπόδειξη: ένας τρόπος είναι µε το ) είξτε ότι οι ρ,, ρ είναι ανά δυο µη ισοδύναµες v είξτε ότι οι υπόλοιπες ανάγωγες ανά δυο µη ισοδύναµες αναπαραστάσεις της T 4 είναι βαθµού Υπολογίστε τον πίνακα αρακτήρων της S 4 ως εξής Υπολογίστε τον αριθµό των κλάσεων συζυγίας ρησιµοποιώντας την ανάλυση µεταθέσεων σε γινόµενο ξένων κύκλων Υπολογίστε τον πληθάριθµο κάθε κλάσης συζυγίας C και το C ( ) G = C Έστω, ο τετριµµένος αρακτήρας και ο αρακτήρας προσήµου αντίστοια Έστω ο αρακτήρας V όπου V ο αρακτήρας του προτύπου στο παράδειγµα 7 για = 4 Υπολογίστε τον και δείξτε ότι είναι ανάγωγος Στη συνέεια θέστε 4 = (που είναι ανάγωγος από την άσκηση ) και υπολογίστε τον Βρείτε τον τελευταίο αρακτήρα 5 από τις ορθογώνιες σέσεις ίνεται ο πίνακας αρακτήρων της S 4 για επαλήθευση

19 85 () () ()() (4) C ( )

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2 I ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ I Ομάδες μετασχηματισμών συμμετρίας Όπως συνηθίζεται θα διαλέξουμε μια ομάδα συμμετρίας και θα εξετάσουμε όλες τις ιδιότητες στην συγκεκριμμένη ομάδα σε ολόκληρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α

Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Ι Ω Α Ν Ν Η Σ Μ Α Ρ Ο Υ Λ Α Σ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΕΜΦΕ Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Επιµέλεια : ρ Αδάµ Μαρία ΕΜΠ, 005 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο ρόλος της Γραµµικής Άλγεβρας στις Εφαρµοσµένες Επιστήµες είναι εξαιρετικά σηµαντικός.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91 Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης, v..9 Περιεχόµενα Εισαγωγη I Βασικες Εννοιες Πινακες. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα............................. 5.3

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Είναι επίσης βολικό σε κάποιες περιπτώσεις να θεωρήσουµε το σύνολο διανυσµάτων x(n), που περιέχουν τις τιµές x(n), x(n-1),,x(n-n+1) ενός σήµατος

Είναι επίσης βολικό σε κάποιες περιπτώσεις να θεωρήσουµε το σύνολο διανυσµάτων x(n), που περιέχουν τις τιµές x(n), x(n-1),,x(n-n+1) ενός σήµατος Ανασκόπηση Γραµµική Άλγεβρα Σε πολλά µαθηµατικά προβλήµατα που θα συναντήσουµε στην φασµατική εκτίµηση και γενικά στην εκτίµηση παραµέτρων θα είναι βολικό να χρησιµοποιούµε διανύσµατα και πίνακες για την

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα