ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων οµάδων υπέρ του C Αυτές εφαρµόζονται στο επόµενο κεφάλαιο όπου αποδεικνύουµε ένα θεµελιώδες θεώρηµα του Bude που αφορά επιλυσιµότητα οµάδων τάξης p q b ( p, q πρώτοι) 7 Αναπαραστάσεις Έστω G µια οµάδα και k ένα σώµα Μια αναπαράσταση της G υπέρ του k είναι ένας οµοµορφισµός οµάδων ρ : G GL ( k), για κάποιο, όπου GL (k) είναι η οµάδα των αντιστρέψιµων βαθµός της αναπαράστασης πινάκων µε στοιεία από το k Το ονοµάζεται Αν ρ : G GL ( k) είναι µια αναπαράσταση της G, τότε θέτοντας V : = k και ορίζοντας v = ρ( )( v) λαµβάνουµε ένα k[g]-πρότυπο Αντίστροφα αν V είναι ένα k[g]-πρότυπο διάστασης <, τότε σταθεροποιώντας µια βάση του V έουµε Aut( V ) GL ( k) και ορίζεται ένας οµοµορφισµός οµάδων ρ : G GL ( k), όπου ρ () είναι ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης V v v V Έτσι, στις σηµειώσεις αυτές, θα ρησιµοποιούµε τους όρους αναπαράσταση της G και k[g]- πρότυπο ωρίς να γίνεται ιδιαίτερη διάκριση µεταξύ της ρ και του V 7 Παράδειγµα Για κάθε οµάδα G έουµε την αναπαράσταση ρ : G GL ( k), όπου ρ ( ) = για κάθε G Αυτή λέγεται η τετριµµένη αναπαράσταση της G Για τη συµµετρική οµάδα G = S έουµε την αναπαράσταση ρ : G GL ( k), όπου ρ( σ) = ( σ) για κάθε σ S Αυτή λέγεται η αναπαράσταση προσήµου της S

2 68 Έστω G η οµάδα D 8 που δίνεται µε γεννήτορες και σέσεις από 4 8, b : = b =, D = b = b (Αυτή έει τάξη 8 και είναι µία από µια οικογένεια οµάδων που ονοµάζονται διεδρικές Γεωµετρικά, η D8 περιγράφει τις συµµετρίες ενός τετραγώνου) Θέτουµε Ελέγουµε ότι A=, B= ( M( C )) 4 =, A B = I πάνω από το C, ρ : G GL ( C) AB = BA Ορίζουµε µία αναπαράσταση G ρ( b ) = A B, =,, =, Γεωµετρικά το Α παριστάνει στροφή 9 ο γύρω από την αρή των αξόνων και το Β ανάκλαση ως προς τον άξονα των x Έτσι η συγκεκριµένη αναπαράσταση ρ παριστάνει τη G ως οµάδα µετασηµατισµών του επιπέδου ύο αναπαραστάσεις ρ, ρ : G GL ( k) λέγεται ισοδύναµες αν υπάρει T GL (k) µε την ιδιότητα ρ ( ) = T ρ( ) T για κάθε G Για παράδειγµα η αναπαράσταση ρ : D8 GL( C ) του προηγούµενου παραδείγµατος είναι ισοδύναµη µε την ρ : D8 GL( C ) που ορίζεται από ρ ( ) = και ρ (b) = Εδώ Τ είναι ο πίνακας που διαγωνοποιεί τον Α, δηλαδή ο πίνακας των ιδιοδιανυσµάτων του Α, T = Έστω ρ, ρ : G GL ( k) δύο αναπαραστάσεις της G µε αντίστοια k[g]- πρότυπα k[g]-προτύπων V, V Τότε οι ρ, ρ είναι ισοδύναµες αν και µόνο αν υπάρει ισοµορφισµός V V (άσκηση) Ένα k[g]-πρότυπο λέγεται ανάγωγο αν δεν έει µη τετριµµένα γνήσια υποπρότυπα Μία αναπαράσταση ρ : G GL ( k) λέγεται ανάγωγη αν το αντίστοιο k[g]-πρότυπο V είναι ανάγωγο

3 69 7 Παράδειγµα Έστω G = S η συµµετρική οµάδα των µεταθέσεων στοιείων Έστω k V = και µια βάση { v,, v } του V Το V είναι S -πρότυπο µε δράση σ v = εν είναι απλό όταν >, γιατί ένα υποπρότυπό του είναι το v σ () v + + v Πράγµατι, έουµε ( ) σ S σ v + + v = v + + v = v + + v για κάθε σ() σ( ) Ένα k[g]-πρότυπο V λέγεται πλήρως αναλύσιµο αν είναι ευθύ άθροισµα αναγώγων υποπροτύπων του Το θεώρηµα του Mchke (κεφάλαιο ) µας δίνει το εξής αποτέλεσµα 7 Πόρισµα Έστω G µια πεπερασµένη οµάδα τάξης Αν η αρακτηριστική του k είναι µηδέν, ή αν η αρακτηριστική του k είναι p µε p /, τότε κάθε k[g]-πρότυπο είναι πλήρως αναλύσιµο Στα παρακάτω θα ασοληθούµε αποκλειστικά µε την περίπτωση k = C, οπότε ισύει το προηγούµενο πόρισµα Στο κεφάλαιο είδαµε ότι υπάρει ισοµορφισµός αλγεβρών έουµε C[ G] M ( C) M ( C ) Λαµβάνοντας διαστάσεις υπεράνω του C G + + = Υπενθυµίζουµε ότι το είναι το πλήθος των ανά δυο µη ισόµορφων απλών C[ G] - προτύπων Στη συνέεια θα αρακτηρίσουµε τον αριθµό ρησιµοποιώντας οµαδοθεωρητικές έννοιες Υπενθυµίζουµε ότι η κλάση συζυγίας του G είναι το σύνολο { x x x G} και ότι δύο κλάσεις συζυγίας είτε ταυτίζονται είτε είναι ξένες Έστω C µία κλάση συζυγίας Θέτουµε C = C [ G] C Θα δείξουµε ότι κάθε C ανήκει στο κέντρο της άλγεβρας C [ G] Έστω C = { x x,, x x } και h G Έουµε C x x, οπότε h Ch = h = x = = x h = C, ()

4 7 γιατί καθώς το x διατρέει τα στοιεία x το h x xh x,, διατρέει τα στοιεία του C (αφού x xh = h x x h x h x x x = x λόγω του ορισµού των x στο σύνολο C) Από την () συνάγουµε ότι C C( C [ G]) 74 Πρόταση Έστω C,,Cm οι (ανά δύο διάφορες) συζυγείς κλάσεις της G Τότε µία βάση του C -διανυσµατικού ώρου C( C [ G]) είναι C,,C m Απόδειξη: ) Γραµµική ανεξαρτησία: Αν λ C + λ m C µε λ C παίρνουµε + m = λ = = λm =, γιατί τα C,,Cm είναι ανά δύο ξένα σύνολα ) Έστω λ C( C [ G]) Τότε για h G ισύει λ h h = λ, δηλαδή οπότε παίρνουµε hxh στοιεία µια κλάσης συζυγίας x λ x = λ, x G hxh λ = λ για κάθε x G Με άλλα λόγια, καθώς το διατρέει τα C ο συντελεστής λ παραµένει σταθερός λ = λ Έτσι γράφουµε λ = λ C + + λ mcm 75 Πόρισµα Το πλήθος των ανά δύο µη ισόµορφων αναγώγων C[ G] -προτύπων είναι το πλήθος των κλάσεων συζυγίας της G Απόδειξη: Έουµε C[ G] M ( C) M ( C ) όπου είναι το πλήθος των ανά δύο µη ισόµορφων αναγώγων C[ G] -προτύπων Υπολογίζοντας κέντρα σύµφωνα µε την άσκηση παίρνουµε C( C[ G]) C Το ζητούµενο προκύπτει από την Πρόταση Πόρισµα Μια πεπερασµένη οµάδα G είναι αβελιανή αν και µόνο αν κάθε ανάγωγο C[ G] -πρότυπο έει διάσταση ένα Απόδειξη: Αν G αβελιανή, τότε η G έει G κλάσεις συζυγίας, οπότε η σέση

5 7 = + δίνει = = = G Αντίστροφα αν =, τότε από τη = = σέση G = + + έπεται ότι G =, οπότε η G έει G κλάσεις συζυγίας και άρα είναι αβελιανή 77 Παράδειγµα (Οι ανάγωγες αναπαραστάσεις αβελιανών οµάδων) Έστω G (πεπερασµένη, όπως πάντα) αβελιανή οµάδα τάξης Από το θεώρηµα ταξινόµησης των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων (που συνήθως αναπτύσσεται σε προπτυιακά µαθήµατα Άλγεβρας) γνωρίζουµε ότι η G είναι ισόµορφη µε ευθύ γινόµενο κυκλικών οµάδων, όπου είναι: G Z Z, είναι θετικοί ακέραιοι Μια παρουσίαση της G µε γεννήτορες και σέσεις,, : = = = G =, = Έστω λ,, λ C µε λ = Ορίζουµε την αναπαράσταση ρ λ λ : G C * { λ λ = λ λ ( ) λ ρ = λ Το σύνολο ρ λ =,,, } έει ακριβώς = στοιεία και αποτελεί το σύνολο των αναγώγων αναπαραστάσεων της G υπέρ του C 7 Χαρακτήρες Έστω ρ : G GL ( k) αναπαράσταση της G Ο αρακτήρας του ρ είναι η απεικόνιση το ίνος ρ : G k, ρ ( ) = T( ρ( )) για κάθε G, όπου T( A ) συµβολίζει του πίνακα A ( ) αρακτήρας της αντίστοιης αναπαράστασης = Ο αρακτήρας ενός k [G]-προτύπου είναι ο Επειδή όµοιοι πίνακες έουν το αυτό ίνος παρατηρούµε ότι ισοδύναµες αναπαραστάσεις έουν τον αυτό αρακτήρα Επιπλέον η τιµή ρ () εξαρτάται µόνο από τη κλάση συζυγίας του Για παράδειγµα ο αρακτήρας της αναπαράστασης ρ : D8 GL( C ) του Παραδείγµατος 7 είναι

6 7 ( ) b b b b Παρατηρούµε ότι αν είναι ο αρακτήρας µιας αναπαράστασης ρ : G GL ( C ), τότε: ρ υπέρ του ) Ο βαθµός της ρ είναι η τιµή () ) Αν m είναι η τάξη του στοιείου G, τότε το () είναι άθροισµα m-στών ριζών της µονάδας Πράγµατι, αφού = ισύει ρ( ) m = I οπότε οι ιδιοτιµές του πίνακα ρ () είναι m-στές ρίζες της µονάδας Το ίνος του ρ () είναι το άθροισµα των ιδιοτιµών του m ) Ισύει ( ) = ( ) (ο συζυγής του ()), γιατί αν ( ) = ω + + ω µε m ω =, τότε = ω + + ω ( ) και ω = ω για κάθε v) ( ) αν και τότε ( ) = ( ) = ( ) είναι συζυγή Πράγµατι, αν και είναι συζυγή Έστω ρ : G GL m ( C ), ρ : G GL ( C ) δύο αναπαραστάσεις της G βαθµού m και αντίστοια Το ευθύ άθροισµα των ρ και ρ είναι η αναπαράσταση ρ ρ : G GL m + () βαθµού m + που ορίζεται από (Συνεπώς αν ρ( ) ( ρ ρ )( ) = ρ ( ) V, V είναι τα αντίστοια C[ G] -πρότυπα των ρ, ρ τότε το αντίστοιο C[ G] -πρότυπο του ρ ρ είναι το V V ρ ρ ρ + ρ = (συνήθης πρόσθεση συναρτήσεων G C ) Έστω, ψ :G εσωτερικό γινόµενο των και ψ Παρατηρούµε ότι ) ψ, =, ψ ) Θεωρώντας ίνη παίρνουµε C συναρτήσεις (όι αναγκαστικά αρακτήρες) Ορίζουµε το, ψ = ( ) ψ( ) G ) <, > είναι γραµµική στην πρώτη µεταβλητή, και

7 7 ), > αν Επίσης, λ ψ + λψ = λ, ψ + λ, ψ για κάθε λ, λ C, και κάθε συναρτήσεις, ψ, ψ :G C Για αρακτήρες µπορούµε να πούµε κάτι ισυρότερο: 7 Πρόταση Έστω και ψ αρακτήρες της G και,, ανιιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G Με C ( ) συµβολίζουµε την κεντροποιούσα οµάδα του, C( ) = { x G x x} Τότε = () () ψ, = ψ, = ( ) ψ( ), και G = ( ) ψ( ), ψ C( ) = Απόδειξη: ) Έουµε, ψ = G ( ) ψ( ) = G ( ) ψ( ) = G ( ) ψ( ) = ψ, Αφού, ψ = ψ,, παίρνουµε, ψ =, ψ και άρα ψ, (θα δούµε παρακάτω ότι ισύει ψ, ) ) Έστω κάθε C η κλάση συζυγίας του C έουµε Επειδή ) = ( ) και ψ ) = ψ( ) για ( ( C, ψ = ( ) ψ( ) = ( ) ψ( ) G Θυµόµαστε από τις οµάδες (π δράσεις οµάδων) ότι C = [ G : C( G )] (ο = πληθάριθµος µιας τροιάς είναι ο δείκτης της αντίστοιης σταθεροποιούσας οµάδας) Έτσι C = C( ) Μια συνάρτηση ψ : G C ονοµάζεται συνάρτηση κλάσεων αν για κάθε G ισύει ψ ( h h) = ψ( ) για κάθε h G, δηλαδή αν η ψ είναι σταθερή σε κάθε κλάση συζυγίας Κάθε αρακτήρας είναι συνάρτηση κλάσεων Το C -διανυσµατικό

8 74 ώρο των συναρτήσεων κλάσεων συµβολίζουµε µε cf (G) Θα αποδείξουµε στη συνέεια το σηµαντικό αποτέλεσµα ότι οι αρακτήρες των αναγώγων αναπαραστάσεων της G αποτελούν µια ορθοκανονική βάση του cf (G) ως προς το εσωτερικό γινόµενο <, > Αν ψ :G C είναι συνάρτηση, θα συµβολίζουµε πάλι µε ψ : C[ G] C τη γραµµική επέκταση της G C στο C[ G] C Έστω V,,V τα ανά δύο µή ισόµορφα απλά C[ G] -πρότυπα και,, οι αρακτήρες τους αντίστοια Οι ονοµάζονται ανάγωγοι αρακτήρες της G Από την άσκηση 9 υπάρουν κεντρικά αυτοδύναµα στοιεία e,, [ ] e C G µε την ιδιότητα = e + + e και e e = για Επιπλέον e = για κάθε R και e R = για κάθε και e e = για κάθε, όπου R είναι οι απλές συνιστώσες του C [ G], C [ G] R R Συνεπώς ισύει και e v = v για κάθε v V και e V = για κάθε 7 Λήµµα Με τους προηγούµενους συµβολισµούς έουµε ( e dmv ) = αν αν = Απόδειξη: Για έουµε e V = και άρα το ίνος της δράσης του e στο V είναι µηδέν, δηλαδή ( e ) = Γράφοντας τώρα = e + + e παίρνουµε ) = ( e ) + + ( e ) dmv = ( e ) ( 7 Λήµµα Έστω e ο αρακτήρας του C[ G] -προτύπου C [ G] (µε δράση αριστερό πολλαπλασιασµό) ιατηρώντας τους προηγούµενους συµβολισµούς έουµε: ) e ( ) = και e ( ) = για κάθε G, ) = ) + () e ( + Απόδειξη: ) e () = dm C [ G] = G Έστω G, Θεωρούµε τη βάση G = =,,, } του C [ G] Ο αντίστοιος πίνακας της δράσης του έει µη { µηδενικό στοιείο πάνω στη διαγώνιο αν και µόνο αν =, δηλαδή αν =

9 75 ) Το ζητούµενο προκύπτει αµέσως από τον ισοµορφισµό C [ G] V V (βλ κεφάλαιο ) και το γεγονός ότι = dmv = () 74 Πρόταση Με τους προηγούµενους συµβολισµούς ισύει e = () ( ) G Απόδειξη: Έστω e = λ, λ C Θεωρώντας τον αρακτήρα G e της υπολογίζουµε σύµφωνα µε το Λήµµα 7 ) Έστω h G ( h e ) = λ ( h ) = λ e Από το Λήµµα 7 ) έουµε e G e ( h e ) () x ( h e ) = = Επειδή e = για, έουµε ( h ) = για Για = έουµε R e v = v v R e και άρα x ( h e ) = ( h ) Τελικά αντικαθιστώντας έουµε h λ h = = () ( h e ) = () ( h ), απ όπου προκύπτει το ζητούµενο Είµαστε τώρα έτοιµοι να αποδείξουµε το πρώτο κύριο αποτέλεσµα αυτού του κεφαλαίου 75 Θεώρηµα Οι ανάγωγοι αρακτήρες της G πάνω από το C αποτελούν µια ορθοκανονική βάση του C -διανυσµατικού ώρου cf (G) ως προς το εσωτερικό γινόµενο <, > Απόδειξη: Έστω,, αποτελούν βάση του cf (G),, οι ανάγωγοι αρακτήρες Θα δείξουµε πρώτα ότι οι Γνωρίζουµε ότι είναι το πλήθος των κλάσεων συζυγίας της G (Πόρισµα 75) Επειδή η διάσταση του cf (G) είναι (µια βάση του cf (G) είναι οι αρακτηριστικές συναρτήσεις f : G C που ορίζονται από f ( C ) = για και f ( ) = για κάθε C ) αρκεί να δείξουµε ότι οι

10 76,, είναι γραµµικώς ανεξάρτητες Έστω λ = = Από το Λήµµα 7 παίρνουµε τότε λ ( e ) =, δηλαδή λ dm =, οπότε λ = (Η γραµµική V ανεξαρτησία των έπεται και από το γεγονός <, >= δ που θα δείξουµε αµέσως παρακάτω) Θα δείξουµε τώρα ότι, >= Από τον τύπο της Πρότασης < 74 συµπεραίνουµε ότι ο συντελεστής του G στο () ( ) ( ) G G που είναι (λόγω της Πρότασης 7 )) ίσος µε (), < > e είναι Όµως e = e οπότε ο συντελεστής του στο () e είναι ίσος µε (Πρόταση 74) Συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες εκφράσεις παίρνουµε, >= < Θα δείξουµε τώρα ότι <, >= για Από τη σέση e e = παίρνουµε λόγω της Πρότασης 74 ότι Ο συντελεστής του, h G ( ) ( h ) h = G στην προηγούµενη ισότητα δίνει G ( ) ( ) = οπότε, >= από την πρόταση 7 ) < 76 Πόρισµα Έστω V ένα C[ G] -πρότυπο µε αρακτήρα Τότε το V είναι ανάγωγο αν και µόνο αν <, >= Απόδειξη: Αν V είναι ανάγωγο τότε <, >= από το προηγούµενο θεώρηµα Αντίστροφα, έστω <, >= Γράφοντας το V ως ευθύ άθροισµα αναγώγων προτύπων <, >= δίνει m m V V V λαµβάνουµε = m + + m οπότε η σέση

11 77 m m <, >=, Από το προηγούµενο θεώρηµα έουµε, >= και, >= για, οπότε < < + = m + m Συνεπώς m = για κάποιο και m = για Άρα V = V Το προηγούµενο πόρισµα είναι ιδιαίτερα ρήσιµο σε υπολογισµούς Για παράδειγµα, ο αρακτήρας της αναπαράστασης ρ : D8 GL( C ) του Παραδείγµατος 7 υπολογίστηκε στην αρή της παρούσας παραγράφου ( ) b b b b Εύκολα επαληθεύουµε ότι <, >= και άρα η ρ είναι ανάγωγη Το ακόλουθο αποτέλεσµα δείνει ότι οι αρακτήρες αναπαραστάσεων επί του C αρακτηρίζουν τις αναπαραστάσεις 77 Πόρισµα ύο αναπαραστάσεις της G επί του C είναι ισοδύναµες αν και µόνο αν οι αρακτήρες τους ταυτίζονται Απόδειξη: Έστω ρ και ρ αναπαραστάσεις µε αντίστοιους αρακτήρες και Αν ρ και ρ είναι ισοδύναµες τότε = όπως είπαµε στην αρή της παραγράφου Αντίστροφα, έστω = Για τα αντίστοια C[ G] -πρότυπα γράφουµε m m V m m, V V V V V όπου V,,V είναι ανά δύο µη ισόµορφα ανάγωγα C[ G] -πρότυπα Από <, >=<, > παίρνουµε m <, > + + m <, >= m <, > + + m <, >, οπότε το Θεώρηµα 75 δίνει m = m για κάθε Άρα V V 78 Πόρισµα Έστω V, V C[ G] -πρότυπα µε αρακτήρες, αντίστοια Τότε <, >= dm Hom ( VV, C C ) [ G]

12 78 Απόδειξη: Γράφοντας V δίνει m < m V V και V V V, το θεώρηµα, >= m m + + m m Από την άλλη µεριά έουµε m C, αν = Hom C[ G] ( V, V) (γιατί;), αν Από την Πρόταση παίρνουµε dm Hom [ G] ( VV, ) = mm + + mm m C C 7 Σέσεις Ορθογωνιότητας και Πίνακες Χαρακτήρων Έστω IG = {,, } το σύνολο των αναγώγων αρακτήρων της G,,, αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G και C ( ) { x G x = x} η = κεντροποιούσα οµάδα του Με δ αβ συµβολίζουµε το δέλτα του Koecke, δ = εκτός αν α = β οπότε δ = αβ αα 7 Θεώρηµα Με τους προηγούµενους συµβολισµούς έουµε: ) (ορθογώνιες σέσεις γραµµών) ) (ορθογώνιες σέσεις στηλών) ( ) α β = C( ) ( ) ( ) ( ) = δ = α β αβ = δ αβ C( α ) Απόδειξη: ) Από το Θεώρηµα 75 έουµε <, >= δ οπότε το ζητούµενο α β αβ προκύπτει από την Πρόταση 7 ) ) Έστω ψ cf (G) που ορίζεται από ψ β ( α ) = δαβ Λόγω του Θεωρήµατος 75 γράφουµε ψ = λ + β + λ οπότε παίρνουµε λ =< ψ β, >= ψ β ( ) ( ) Ισύει ψ β ( ) = αν το είναι συζυγές του β και ψ β ( ) = διαφορετικά Επειδή G επιπλέον ο πληθάριθµος της κλάσης συζυγίας του είναι G / C( ) παίρνουµε β β λ = ( β ) C( ) β Συνεπώς

13 79 δ αβ = ψ β ( α ) ( β ) ( α ) = λ ( α ) + + λ ( α ) = C( ) = β Έστω IG = {,, } και,, αντίστοια αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G Ο πίνακας αρακτήρων της G είναι ένας θέση (, ) υπάρει η τιµή ) ( πίνακας που στη 79), Για παράδειγµα ο πίνακας αρακτήρων της Z είναι (παράδειγµα = {,, } ω ω ω ω όπου ω = µε ω, δηλαδή ω + ω + = Οι ορθογώνιες σέσεις γραµµών για ω ω τις πρώτες δύο γραµµές δίνουν + + =, και για τη δεύτερη γραµµή µε τον ωω ω ω εαυτό της δίνουν + + = Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις δύο τελευταίες στήλες δίνουν + ω ω + ω ω = (Φυσικά οι προηγούµενες σέσεις ισύουν αφού ω = ω ) Οι ορθογώνιες σέσεις επιτρέπουν συνά τον προσδιορισµό ολόκληρου του πίνακα αρακτήρων αν γνωρίζουµε µόνο κάποιο τµήµα του Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι για µια οµάδα G τάξης που έει 4 συζυγείς κλάσεις γνωρίζουµε το ακόλουθο τµήµα του πίνακα αρακτήρων C( 4 ) όπου,, 4 είναι αντιπρόσωποι των συζυγών κλάσεων και ω + ω + = 4 ω ω 4 ω ω 4 = Από τη σέση () + + () (θεώρηµα 75 ή Θεώρηµα 7 ) για α = β = ) παίρνουµε () Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και 4 =

14 8 δίνουν 4 ( ) ( ) = ( ) = ( ) = = 4 4 Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και δίνουν 4 = ( και για τις στήλες και 4 δίνουν 4 ) ( ) = + ω + ω + 4 ( ) = 4 ( ) = ( ) ( 4 ) = + ω + ω + 4 ( 4 ) = 4 ( 4 ) = = Προσδιορίζεται κατά αυτόν τον τρόπο όλος ο πίνακας αρακτήρων της G Παρατηρήσεις ) Ο προηγούµενος πίνακας αρακτήρων είναι αυτός της A 4 ) Ήδη επισηµάναµε ότι το Θεώρηµα 75 προκύπτει από το θεώρηµα Θ ) για α = β = Παρόµοια, το Λήµµα 7 προκύπτει από το Θεώρηµα 7 ) για α = Ως άλλο παράδειγµα ας θεωρήσουµε τη G = S που έει τρεις κλάσεις συζυγίας { }, {(, (), ()}, {( ), ()} Το Πόρισµα 75 δίνει = οπότε, =, Μια ανάγωγη αναπαράσταση της S είναι η = ρ : S σ ( σ) * C που έει αρακτήρα ρ = =, που δίνεται από (), () =, () = Συνεπώς ο πίνακας αρακτήρων της S έει τη µορφή C( ) 6 () () b = Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και δίνουν + ( ) + = οπότε = Για τις στήλες και δίνουν + + b = b = Ασκήσεις Στις παρακάτω ασκήσεις µε G συµβολίζουµε µια πεπερασµένη οµάδα

15 8 Το µη µηδενικό cf (G) είναι αρακτήρας αν και µόνο αν <, > για κάθε ανάγωγο αρακτήρα Αν για τον αρακτήρα ισύει ( ) = G,, τότε ο είναι της µορφής m, m (Υπόδειξη: υπολογίστε το <, ψ > όπου ψ ανάγωγος e αρακτήρας και ρησιµοποιείστε το Λήµµα 7) Συµπληρώσετε τον πίνακα αρακτήρων της D 8 C( 4 5 ) 8 4 b b 4 ) Οι ορθογώνιες σέσεις γραµµών είναι ισοδύναµες µε τις ορθογώνιες σέσεις στηλών ) Έστω Μ ο πίνακας αρακτήρων της G είξετε ότι det M C ( ) = =, όπου,, είναι αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G Υπόδειξη: από τις σέσεις ορθογωνιότητας προκύπτει ότι ο πίνακας είναι διαγώνιος t M M ) Έστω I G) = {,, } Τότε ( CG ( ) = G ( ) ( ) = G = 7 Έστω αρακτήρας της G Θέτουµε ke = { G ( ) = ()} Τότε ke είναι κανονική υποοµάδα της G Αντίστροφα κάθε κανονική υποοµάδα της G είναι της µορφής ke για κάποιο αρακτήρα Επιπλέον αν,, είναι οι ανάγωγοι αρακτήρες τότε ke = ke όπου το διατρέει τους ανάγωγους αρακτήρες που έουν την ιδιότητα, > > Συµπέρασµα: από <

16 8 τον πίνακα αρακτήρων της G µπορούµε να βρούµε όλες τις κανονικές υποοµάδες της G Βρείτε τώρα όλες τις κανονικές υποοµάδες της D 8 απο την άσκηση 8 Η G δεν είναι απλή αν και µόνο αν ( ) = () για κάποιον µη τετριµµένο ανάγωγο αρακτήρα και κάποιο G, (βλ προηγούµενη άσκηση) 9 Για κάθε αρακτήρα αβελιανής οµάδας ισύει <, > () Αληθεύει το συµπέρασµα για µη αβελιανές οµάδες; Έστω ανάγωγος αρακτήρας της G βαθµού ) Για κάθε C( G) ισύει ( ) = ) Ισύει [ G : C( G)] Έστω H αβελιανή υποοµάδα της G Τότε κάθε ανάγωγος αρακτήρας της G έει βαθµό [ G : H ] Κατά συνέπεια κάθε ανάγωγος αρακτήρας της διεδρικής οµάδας D =<, b : = b =, b = b > έει βαθµό ή Έστω C[ G] -πρότυπα V, W µε αντίστοιους αρακτήρες, ψ Τότε ο αρακτήρας του V W C είναι το γινόµενο ψ ( Η δράση είναι ( v w) = ( v) ( w) ) Υπόδειξη: υπολογίσετε το ίνος της δράσης του παίρνοντας βάσεις των V, W που αποτελούνται απο ιδιοδιανύσµατα Αν, ψ I( G) και de =, τότε ψ I( G) (Βλ προηγούµενη άσκηση και Πόρισµα 76) 4 Έστω ο µοναδικός ανάγωγος αρακτήρας της S βαθµού Βρείτε την ανάλυση του = σε άθροισµα αναγώγων αρακτήρων 5 Έστω ρ : G GL ( C ) αναπαράσταση

17 8 ) Αν υπάρει G µε det( ρ ( )) =, δείξτε ότι η G δεν είναι απλή ) Αν το G έει τάξη, τότε ισύει ακριβώς ένα από τα εξής συµπεράσµατα: ) ( ) () mod 4 b) η G κανονική υποοµάδα τάξης Υπόδειξη: Αν V είναι το αντίστοιο πρότυπο της ρ, µπορούµε να επιλέξουµε βάση του V τέτοια ώστε ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης V V, v v, είναι διαγώνιος µε ± στη διαγώνιο 6 Έστω VWδυο, ανάγωγα C[ G] -πρότυπα είξτε ότι το V W C (άσκηση) εµφυτεύεται στην κανονική αναπαράσταση της G Υπόδειξη: αρκεί να δειτεί ότι αν, ψ, ζ I( G), τότε < ψ, ζ > ζ() 7 Με το συµβολισµό του Παραδείγµατος 7 έστω k = C ) είξτε ότι το C[ S ]-πρότυπο V v + + v είναι ανάγωγο ) είξτε ότι V, = όπου είναι ο τετριµµένος αρακτήρας της S 8 Να βρεθούν όλες οι οµάδες µε ακριβώς, ή ανάγωγους αρακτήρες 9 Έστω G πεπερασµένη υποοµάδα της GL ( C ) Αποδείξτε ότι αν T( ) =, τότε = G G Έστω ρ : G GL ( C ) µια αναπαράσταση τέτοια ώστε το είναι ιδιοτιµή του ρ ( ) για κάθε G είξτε ότι η ρ δεν είναι ανάγωγη Υπόδειξη: Υπολογίστε το,, όπου είναι ο αρακτήρας της ρ και ο τετριµµένος αρακτήρας της G, συναρτήσει των ιδιοτιµών των ρ ( ) Αποδείξτε ότι κάθε πεπερασµένη απλή οµάδα µε τάξη όι δύναµη πρώτου δεν έει ανάγωγη αναπαράσταση βαθµού Οι αναπαραστάσεις της δικυκλικής οµάδας

18 84 Έστω ρ : G GL ( C ) µια αναπαράσταση τέτοια ώστε για κάποια h, G έουµε ρ( ) ρ( h) ρ( h) ρ( ) Αποδείξτε ότι η ρ δεν είναι ανάγωγη b Θεωρούµε την οµάδα ( δικυκλική ) T4 =, b: =, = b, b b= π που έει τάξη 4 Έστω ένας ακέραιος και ε = e C ε είξτε ότι η αντιστοιία, b ορίζει µια ε ε αναπαράσταση ρ της T 4 είξτε ότι η ρ είναι ανάγωγη αν ε ± (Υπόδειξη: ένας τρόπος είναι µε το ) είξτε ότι οι ρ,, ρ είναι ανά δυο µη ισοδύναµες v είξτε ότι οι υπόλοιπες ανάγωγες ανά δυο µη ισοδύναµες αναπαραστάσεις της T 4 είναι βαθµού Υπολογίστε τον πίνακα αρακτήρων της S 4 ως εξής Υπολογίστε τον αριθµό των κλάσεων συζυγίας ρησιµοποιώντας την ανάλυση µεταθέσεων σε γινόµενο ξένων κύκλων Υπολογίστε τον πληθάριθµο κάθε κλάσης συζυγίας C και το C ( ) G = C Έστω, ο τετριµµένος αρακτήρας και ο αρακτήρας προσήµου αντίστοια Έστω ο αρακτήρας V όπου V ο αρακτήρας του προτύπου στο παράδειγµα 7 για = 4 Υπολογίστε τον και δείξτε ότι είναι ανάγωγος Στη συνέεια θέστε 4 = (που είναι ανάγωγος από την άσκηση ) και υπολογίστε τον Βρείτε τον τελευταίο αρακτήρα 5 από τις ορθογώνιες σέσεις ίνεται ο πίνακας αρακτήρων της S 4 για επαλήθευση

19 85 () () ()() (4) C ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 6

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 6 Μαθηµατικά β Σελίδα από 6 Μάθηµα 9 ο ΑΩΝΠΗΣΗ ΠΝΑΚΑ Θεωρία : ραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5 (µόνο την Πρόταση 6) Τα παραδείγµατα που αντιστοιχούν στην ύλη έχουν διδαχθεί Ασκήσεις :,, 4, 8, 9, σελ 58

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών 6 Ιουλίου 2015 1 Οµάδες 2 3 οµάδες Οµάδες Παραδείγµατα (Z, +) (Z n, +) (R, +), (R, ), (R +, ) (T, ), T = {z C : z = 1} S n = {φ : N n N n, 1 1 και επί}, όπου N n = {1, 2,..., n}, µε πράξη την σύνθεση.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαιο 7 ιασκοντες: Ν. Μαρµαρίης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ. Ψαρουάκης Ιστοσελια Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii.html - - Ασκηση.

Διαβάστε περισσότερα