i) για ποια τιµή της γωνίας φ που σχηµατίζει η ράβδος µε τον τοίχο, η τάση του νήµατος ελαχιστοποιείται και
|
|
- Μελίνα Μεσσηνέζης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ο κυκλικός δίσκος του σχήµατος (1) µάζας m και ακτίνας R, εφάπτεται λείου κατακόρυφου τοίχου και αβαρούς κεκλιµένης ράβδου ΑΓ µήκους L, της οποίας το άκρο Α είναι αρθρω µένο επί του τοίχου. Η ράβδος συγκρατείται µε οριζόντιο νήµα ΒΓ, του οποίου το άκρο Γ είναι στερεωµένο στον τοίχο. Να βρείτε: i) για ποια τιµή της γωνίας φ που σχηµατίζει η ράβδος µε τον τοίχο, η τάση του νήµατος ελαχιστοποιείται και ii) την ελάχιστη αυτή τιµή της τάσεως του νήµατος και την αντίστοιχη δύναµή που δέχεται ο δίσκος από τον τοίχο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, ενώ θα θεωρηθεί ασήµαντη η τριβή µεταξύ δίσκου και ράβδου. ΛYΣΗ: i) Ο µεταλλικός δίσκος ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του w =m g, της οριζόντιας δύναµης Q από τον λείο κατακόρυφο τοίχο και τέλος της δύναµης F από την ράβδο ΑΓ, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην ράβδο και ως εκ τούτου διέρχεται από το κέντρο Ο της σφαίρας (σχ.1 ). Λόγω Σχήµα 1 Σχήµα της ισορροπίας της σφαίρας ισχύουν οι σχέσεις: και F (x) = Q - F x = Q = F" (1) F (y) = F y - mg = Fµ" = mg F = mg / µ" ()
2 Εξάλλου η ράβδος ΑΓ ισορροπεί υπό την επίδραση της τάσεως T του οριζόντι ου νήµατος ΒΓ, της δύναµης F από την σφαίρα που είναι αντίθετη της F (αξί ωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης) και της δύναµης F A από την άρθρωση Α (σχ. ). Λόγω της ισορροπίας της ράβδου η συνολική ροπή των δυνάµεων αυτών περί το Α είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: " (A ) = -TL" + F d = T = Fd L" = FR"( / ) L" () T = mgr"( / ) Lµ T = mgr"( / ) L"( / )µ" = mgr"( / ) L"µ( / )µ( / )"( / ) T = mgr L"µ ( / ) = mgr L"(1 - ") Από την (3) προκύπτει ότι το µέτρο της T γίνεται ελάχιστο, όταν το γινόµενο συνφ(1-συνφ) λάβει µέγιστη τιµή. Όµως παρατηρούµε ότι το άθροισµα των όρων συνφ και 1-συνφ είναι σταθερό και ίσο µε την µονάδα, οπότε το γινόµενο συνφ(1-συνφ) µεγιστοποιείται όταν οι δύο αυτοί όροι γίνουν ίσοι, δήλαδή όταν: " =1 - " " = 1/ = " /3 (4) ii) Για φ=π/3 η (4) δίνει την ελάχιστη τιµή Τ min της τάσεως του νήµατος ΒΓ, δηλαδή θα έχουµε την σχέση: (3) T min = mgr L"( / 3)[1 - "( / 3)] = 4mgR L (5) Eξάλου για φ=π/3 η (1) γράφεται: () Q = F"( / 3) Q = mg"( / 3) µ( / 3) = mg 3 3 P.M. fysikos Ο άξονας της λεπτής τροχαλίας του σχήµατος (3) εδράζεται επί κοίλης επιφάνειας µε την οποία παρουσιάζει συντελε στή οριακής τριβής µ. Από το αυλάκι της τροχαλίας διέρχεται λεπτό σχοινί στο ένα άκρο του οποίου έχει στερεωθεί το σώµα Σ µάζας m, ενώ στο ελεύθερο άκρο του Α εφαρµόζεται κατακόρυφη δύναµη F. Να βρεθεί για ποια τιµή του µέτρου της F επίκειται η ανύψωση του σώµατος Σ. Δίνονται οι ακτίνες r και R του άξονα και της περιφέρει ας αντιστοίχως της τροχαλίας, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η µάζα της τροχαλίας είναι πολύ µικρότερη από την µάζα του σώµα τος Σ.
3 ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι το µέτρο της κατακόρυφης δύναµης F έχει εκλεγεί, ώστε να επίκειται ανύψωση του σώµατος Σ. Τότε το σύστηµα τροχαλία-σώµα Σ ισορροπεί οριακά υπό την επίδραση των βαρών W και m g της τροχαλίας και του σώµατος αντιστοίχως, της δύναµης F και τέλος της δύναµης επαφής που εξάσκεί το έδρανο που συγκρατεί τον άξονα της τροχαλίας, η οποία αναλύεται στην οριακή τριβή T, της οποίας ο φορέας βρίσκεται στην επιφάνεια συνεπαφής εδράνου και άξονα και στην κάθετη αντίδραση N, της οποίας ο φορέας δίερχε Σχήµα 3 ται από το κέντρο της τροχαλίας (σχ. 3). Λόγω της ισορροπίας του συστήµατος η συνισταµένη των οριζόντιων αλλά και των κατακόρυφων δυνάµεων που δέχεται είναι µηδέν, η δε συνολική ροπή περί το κέντρο της τροχαλίας, όλων των παραπάνω δυνάµεων είναι επίσης µηδέν, δηλαδή έχουµε τις σχέσεις: και F (x) = T x - N x = T" - Nµ = µn" = Nµ " = µ (1) F (y) = T y + N y - Mg - mg - F = Tµ" + T" / µ mg + F T ( µ µ" + " ) = µ ( mg + F) T = µ ( mg + F ) µ µ" + " (")= FR - Tr - mgr = T = FR - mgr r όπου τέθηκε Τ=µN, αφού η T είναι οριακή τριβή, ενώ φ είναι η γωνία που σχηµατίζει ο φορέας της N µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: () (3)
4 µ ( mg + F) µ µ" + " = FR - mgr r µmgr + µfr = FR ( µ µ" + ") - mgr ( µ µ" + ") [ ] = mg[ R ( µ µ" + " ) + µr] F R ( µ µ" + " ) - µr ( ) + µr ( ) - µr R µ µ" + " F= mg( '( R µ µ" + " ) + * + (4) Όµως έχουµε: µ µ" + " = µ µ" + " = µ'" 1 + ' " ' " µ µ 1 + µ µ µ" + " = µ + 1 = 1 + µ 1 + µ οπότε η σχέση (4) γράφεται: F= mg R 1 + µ + µr " R 1 + µ - µr P.M. fysikos Ένα υλικό σηµείο δέχεται δύναµη F, η οποία πε ριγράφεται από την διανυσµατική σχέση: F = x i + x + y y j x + y όπου α θετική και σταθερή ποσότητα x, y οι συντεταγµένες του υλι κού σηµείου ως προς ορθογώνιο σύστηµα Οxy και i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx και Oy αντιστοίχως. i) Να δείξετε ότι η δύναµη F είναι κεντρική και συντηρητική. ii) Να βρείτε την συνάρτηση δυναµικής ενέργειας από την οποία απορρέει η θεωρούµενη δύναµη.
5 ΛΥΣΗ: Η διανυσµατική σχέση που περιγράφει την δύναµη F γράφεται: F = ( ) = r x + y x i +y j r (1) όπου r το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου που δέχεται την F, ως προς την αρχή Ο. Παρατηρούµε από την (1) ότι η F είναι συγγραµµική και οµόρροπη του διανύσµατος r, που σηµαίνει ότι ο φορέας της F διέρχεται συνεχώς από το Ο, δηλαδή η F είναι κεντρική δύναµη και µάλιστα απωστική. Το έργο της F για µια µετακίνηση του υλικού σηµείου από την θέση Α(r A ) στην θέση Β(r B ) δίνεται από την σχέση: W A,B = ( F d r (1) " ) AB W A,B = r " d r " d r ( r ) = r () r AB AB ( ) Όµως ισχύει: ( r r ) = r d r r ( ) = d( r ) ( r d r ) = rdr oπότε η () παίρνει την µορφή: r B ( ) r" dr W A,B = = dr = d( lnr) r r A r r B r A r B r A W A,B = ( lnr B - lnr A ) = ln( r B /r A ) (3) δηλαδή το έργο W A, Β είναι ανεξάρτητο της µορφής της τροχιάς του υλικού σηµείου και εξαρτάται µόνο από τις ακραίες θέσεις Α και Β αυτής. Αυτό σηµαί νει ότι η δύναµη F είναι συντηρητική. Εάν U(r) είναι η συνάρτηση δυναµικής ενέργειας που συνοδεύει την συντηρητική δύναµη F θα ισχύει: (3) U(r) - U(r A ) = -W A,M U(r) - U(r A ) = -ln(r/r A ) U(r) = U(r A ) -lnr + lnr A U(r) = -lnr + C U(r) = - ln(x + y ) + C όπου C σταθερή ποσότητα. P.M. fysikos Eάν ένα διανυσµατικό φυσικό µέγεθος A µεταβάλ λεται µε τον χρόνο t µόνο κατά διεύθυνση, να δείξετε την σχέση:
6 " A d A ' = Xρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση να δείξετε ότι, εάν ένα υλικό σηµείο µάζας m κινείται υπό την επίδραση µιας δύναµης F της µορ φής: F = q v B ( ) όπου q σταθερός συντελεστής αναλογίας χαρακτηριστικός του υλικού σηµείου, v η ταχύτητά του και B ένα σταθερό διάνυσµα, τότε η επιτάχυνσή του διατηρεί σταθερό µέτρο. Μεταβάλλεται η ακτίνα καµ πυλότητας της τροχιάς του υλικού σηµείου; ΛΥΣΗ: Eάν Α είναι το σταθερό µέτρο του φυσικού µεγέθους A, θα έχουµε την σχέση: A A ( ) = A d A A " A d A " ' + A d A ' = ( ) = d ( ) A " A d A ' = (1) Eφαρµόζοντας για το υλικό σηµείο τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: F = m a q v B ( ) = m a a = q v B ( ) /m () όπου a η επιτάχυνση του υλικού σηµείου κατά την στιγµή που το εξετάζουµε. Παραγωγίζοντας την () ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: d a = q m d a = q m ( ) d v B " d v B ' + q m d a = q m v " ( ) d a d v B ' + q m = q m " v d B ' ( ) (3) a B διότι το B είναι σταθερό διάνυσµα. Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικώς και τα δύο µέλη της (3) µε το διάνυσµα a έχουµε: " a d a ' = q m a [ ( a ( B )] = (4) διότι τα διανύσµατα a και ( a B ) είναι µεταξύ τους κάθετα. H σχέση (4) εγγυά ται ότι το διάνυσµα a έχει σταθερό µέτρο. Εξάλλου κατά την κίνηση του υλικού σηµείου η δύναµη F ως κάθετη επί την ταχύτητά του δεν παραγει έργο, που σηµαίνει ότι η κινητική του ενέργεια δεν µεταβάλλεται, οπότε δεν θα
7 µεταβάλλεται και το µέτρο της ταχύτητάς του, δηλαδή η επιτρόχια επιτάχυνση του υλικού σηµείου είναι µηδενική. Έτσι η επιτάχυνση a συµπίπτει µε την κεντροµόλο επιτάχυνσή του a, της οποίας το µέτρο είναι: a = v R a = v R R = v a (5) Η (5) δηλώνει ότι η ακτίνα καµπυλότητας R της τροχιάς του υλικού σηµείου είναι σταθερή. P.M. fysikos Ένα σώµα µικρών διαστάσεων µάζας m, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι στερεωµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Εκτρέπουµε το σώµα από την θέση ισορροπίας του Ο, ώστε το ελα ήριο να τεντωθεί κατά x και το αφήνουµε ελεύθερο, ενώ ταυτόχρονα θέτουµε σε λειτουργία κατάλληλο µηχανισµό που εξασκεί στο σώµα δύναµή F, η οποία µεταβάλλεται µε τον χρόνο t συµφωνα µε την σχέση: F = -t i όπου α θετική σταθερή ποσότητα και i το µοναδιαίο διάνυσµα του οριζόντιου άξονα Οx, που θεωρείται κατευθυνόµενο από το Ο προς την αρχική θέση του σώµατος. Εάν ισχύει x =αm/k, να βρεθεί η εξί σωση κίνησης του σώµατος. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σώµα κατά την τυχαία χρονική στιγµή t, που η αποµάκ ρυνσή του είναι x. Στην θέση αυτή το σώµα δέχεται το βάρος του w που εξου δετερώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση A του λείου οριζόντιου επιπέδου, την δύναµη F " από το ελατήριο, η οποία είναι αντίρροπη προς την αποµάκ ρυνση x και τέλος την δύναµη F. Εφαρµόζοντας την στιγµή αυτή το δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση: m d x = -kx - t d x + k m x = - t m (1) Σχήµα 4 Η (1) είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως, της
8 οποίας η γενική λύση θα προκύψει ως άθροισµα µιας µερικής λύσεως και της λύσεως της αντιστοίχου οµογενούς εξισώσεως. Δοκιµάζουµε ως µερική λύση την: x 1 = C 1 t + C t + C 3 () όπου C 1, C, C 3 προσδιοριστέοι σταθεροί συντελεστές. Παραγωγίζοντας δύο φορές την () παίρνουµε: d x 1 / = C 1 οπότε η (1) δίνει: C 1 + k ( m C 1t + C t + C 3 ) = - t m k m C 1 t + k m C t + C + k 3 1 m C " = - 't m (3) Για να ισχύει η (3) για κάθε τιµή του χρόνου t πρέπει: kc 1 /m = -/m " C 1 + kc /m = kc 3 /m = C 1 = -/k C =- mc 1 /k C 3 = " C 1 = -/k " C =m /k C 3 = Άρα η µερική λύση της (1) έχει την µορφή: x 1 =- t k + m k (4) Εξάλλου η αντίστοιχη οµογενής της (1) δέχεται λύση της µορφής: x = Aµ("t + ) µε = k/m (5) όπου Α, φ σταθερές προσδιοριστέες ποσότητες. Η γενική λύση της (1) είναι: x =Aµ("t + ) - t k + m k (6) Παραγωγίζοντας την (5) παίρνουµε την σχέση: dx t =A"(t + ) - k (7) Για t= η (6) δίνει: x = Aµ" + m/k Aµ" = x - m/k (8) Για t= η (7) δίνει:
9 =A" " = ="/ (9) Συνδιάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) έχουµε: Aµ ("/) = x - m /k A= x - m /k Έτσι η τελική µορφή της (6) είναι: " x = x - m ' ()*+t - t k k + m (1) k Όµως τα δεδοµένα του προβλήµατος εγγυώνται ότι x -mα/k =, οπότε η (9) γράφεται: x =- t k + m k P.M. fysikos Σφαιρίδιο µάζας m, κινείται χωρίς τριβή επί κατα κόρυφης κυκλικής τροχιάς ακτίνας R, όπως φαίνεται στο σχήµα (5). Tο σφαιρίδιο έλ κεται από το κατώτατο σηµείο B της τροχιάς µε δύναµη F, της οποί ας το µέτρο ακολουθεί την σχέση F=λr, όπου r η απόσταση του σφαιριδίου από το σηµείο B και λ θετικός συντελεστής αναλογίας. Eάν την χρονική στιγµή t= το σφαιρίδιο βρίσκεται στο σηµείο A µε µηδενική ταχύτητα, να βρεθεί η ταχύτητά του όταν φθάνει στο σηµείο B, καθώς και ο αντίστοιχος χρόνος κίνησής του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Το σφαιρίδιο κατά την κίνησή του από την θέση Α στην κατώ τατη θέση Β της κυκλικής τροχιάς του δέχεται το βάρος του w, την ελκ τική δύναµη F που εκπορεύεται από το σηµείο Β και τέλος την δύναµη επαφής N από την τροχιά (αντίδραση της τροχιάς) που έχει ακτινική διεύθυνση λόγω απουσίας τριβής. Η συνισταµένη των δυνάµεων που ενεργούν κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης της τροχιάς αποτελεί για το σφαιρίδιο επιτρόχια δύναµη, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέ ση: F 1 + w 1 = mdv/ (1) όπου F 1, w 1 οι εφαπτοµενικές συνιστώσες των δυνάµεων F και w αντι στοίχως και dv η µεταβολή του µέτρου της ταχύτητας του σφαιριδίου µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+. Όµως για τα µέτρo της F 1, ισχύει: F 1 = F" ( / - ) = r'µ () όπου θ η γωνία µεταξύ των ΟΜ και ΜΒ. Aκόµη για την απόσταση r ισχύ
10 ει: r/ = R" r = R" οπότε η () γράφεται: F 1 = R"µ = R"µ (3) Σχήµα 5 Εξάλλου, εάν φ είναι η γωνία µεταξύ της επιβατικής ακτίνας ΟΑ του σφαιριδίου και του οριζόντιου άξονα Οx, εκ του σχήµατος (5) θα έχουµε: + "/ - = " = " / + και η (3) γράφεται: F 1 = R"µ ( / + ) = R' (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), (4) και λαµβάνοντας υπ όψη ότι w 1 = mgσυνφ παίρνουµε την σχέση: R" + mg" = m dv dv (R + mg)" = m dv d " d ' = ((R + mg))*+ m dv d " v ' R = ((R + mg))*+ m vdv = R (R/m + g)"d = k"d (5) µε k = R R/m + g ( ). Ολοκληρώνοντας την (5) για την κίνηση του σφαιρι δίου από την θέση Α στην θέση Β, παίρνουµε:
11 v B ( vdv) = k ("d ) v B = kµ " ( ' / v B = k = R (R/m + g) (6) Για το µέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου στην τυχαία θέση Μ έχουµε: v = kµ" v = kµ" R d = R ("R/m + g)µ = Rd R ("R/m + g)µ = t B Rm ( ) "R + mg / d µ t B = Rm ( ) R + mg / d" (7) µ" To ολοκλήρωµα που παρουσιάζεται στην σχέση (7) είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρωµα και δεν υπολογίζεται µε αναλυτικό τρόπο. P.M. fysikos Ένας κρίκος µάζας m, κινείται χωρίς τριβή κατά µήκος µιας κατακόρυφης µεταλλικής τροχιάς, η οποία περιγράφεται από τις παραµετρικές εξισώσεις: x = " 3 y = µ 3 ' ( ) µε φ <π/ όπου α θετική και σταθερή ποσότητα. Eάν την χρονική στιγµή t= o κρίκος βρίσκεται στο σηµείο A (,α) µε µηδενική ταχύτητα, να βρείτε σε συνάρτηση µε τον χρόνο το µήκος του τόξου που διαγράφει ο κρί κος. ΛΥΣΗ: Eάν x, y είναι οι συντεταγµένες του κρίκου κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t θα έχουµε, σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος, τις σχέσεις: x = " 3 ' ( y = µ 3 ) dx = -3" µ d ' ( dy = 3µ " d ) (:) dy dx = 3"µ d -3 "µ d = - "µ = -'( < (1) Η (1) δηλώνει ότι η συνάρτηση y=f(x) που εκφράζει την τροχιά του κρίκου σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι φθίνουσα, όταν η παράµετρος φ µεταβάλλεται
12 στο διάστηµα [, π/). Για την δεύτερη παράγωγο της y=f(x) έχουµε: d y dx = d dy = d dx " dx dx - 'µ( = d " )*+( d( - 'µ( " )*+( d( dx d y dx = - " + µ ) 1 ) ( ' " + ( - * ' 3," + = µ * 1 3," 4 µ > () Σχήµα 6 Η () δηλώνει ότι η συνάρτηση y=f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, όταν η παράµετρος φ µεταβάλλεται στο διάστηµα [, π/). Εξάλλου ο κρίκος κατά την κίνησή του δέχεται το βάρος του w και την αντίδραση N της τροχιάς, της οποί ας ο φορέας είναι κάθετος στην εφαπτοµένη της στο σηµείο Μ. Όµως η συνι στώσα w 1 του βάρους κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης αποτελεί για τον κρίκο επιτρόχια δύναµη, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις: w 1 w 1 = w" = mdv / ' m dv = mg" dv = g" d s = g" (3) όπου dv η µεταβολή του µέτρου της ταχύτητας του κρίκου µεταξύ των χρονι κών στιγµών t και t+ και ds το µήκος του τόξου που διαγράφει ο κρίκος στον χρόνο. Ακόµη για την γωνία θ που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της τρο χιάς στο σηµείο Μ(x, y) µε τον άξονα x έχουµε: dy dx = " (1) " = -" = "/ + (4) Όµως από το σχήµα (6) προκύπτει θ=π/+ω, οπότε η (4) δίνει ω=φ και η (3) γρά φεται: d s = g" (5) Εξάλλου ισχύει η σχέση:
13 ds = dx + dy = 9 " 4 µ d + 9 µ 4 " d ds = 9 "µ d ds = 3"µ d = (3 / )"µ d Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε: s = 3 "µd = 3 4 "µ d() = 3 4 -' [ ] s = 3 ( " ) = 3 " " = Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) έχουµε: d s = g s 3 s 3 (6) (7) H διαφορική εξίσωση (7) δέχεται λύση της µορφής s = kt n, όπου k, n σταθερές ποσότητες, οπότε µε διπλή παραγώγιση ως προς τον χρόνο t θα έχουµε: ds = kntn-1 d s = kn(n - 1)tn- (7) kn(n - 1)t n- = g s 3 k n (n - 1) t (n-) = sg 3 k n (n - 1) t (n-) = ktn g 3 3k g n (n - 1) = t t n 3k (n-) g n (n - 1) = t n-n+4 (8) Eπειδή το πρώτο µέλος της (8) αποτελεί ποσότητα ανεξάρτητη του χρόνου, η σχέση αυτή µπορεί να αληθεύει εφ όσον ισχύει n - n + 4 = ή n = 4, οπότε: 3k g 4 " 3 = 1 k = 3 " g ' 1 Άρα το µήκος s του τόξου που διαγράφει ο κρίκος σε συνάρτηση µε τον χρόνο t περιγράφεται από την σχέση: s = 3 " g ' 1 t 4 = g 3 " t 1 ' P.M. fysikos Mια ευλύγιστη oµογενής αλυσίδα ποδηλάτου, της οποίας η γραµµική πυκνότητα είναι ρ, αφήνεται από µια αρχική θέση
14 ηρεµία, στο λείο κυκλικό κανάλι του σχήµατος (7), ακτίνας R. i) Προσδιορίστε την επιτάχυνση των κρίκων της αλυσίδας, την στιγµή που αφήνεται ελεύθερη, δηλαδή κατά την εκκίνηση της αλυσίδας. ii) Bρείτε το µέτρο της τάσεως T στην αλυσίδα, σε συνάρτηση µε την γωνία φ, την στιγµή που αφήνεται ελεύθερη. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. Yπόδειξη: Για το ερώτηµα (ii) αποµονώστε ένα κρίκο τnς αλυσίδας, σχεδιάστε τις δυνάµεις που ασκούνται σ' αυτόν και γράψτε µια κα τάλληλη εξίσωση για την κίνησή του. ΛΥΣΗ: i) Εφαρµόζοντας για την αλυσίδα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας κατα τον χρόνο που το πάνω της άκρο µετατοπίζεται από την θέση Α στην θέση Μ, παίρνουµε την σχέση: mv / + U = R"v / 4 + U = (1) όπου v το µέτρο της ταχύτητας που αποκτούν όλοι οι κρίκοι της αλυσίδας όταν ολοκληρωθεί η θεωρούµενη µετατόπισή της και ΔU η αντίστοιχη µεταβολή της βαρυτικής της δυναµικής ενέργειας. Όµως καθώς εξελίσσεται η µετατόπιση αυτή η βαρυτική ενέργεια του τµήµατος της αλυσίδας που βρίσκεται µεταξύ των σηµείων Μ και Β δεν µεταβάλλεται, που σηµαίνει ότι η ΔU είναι ίση µε την µεταβολή ΔU AM της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας του τµήµατος ΑΜ της αλυσίδας όταν αυτό βρεθεί στην θέση ΒΜ, οπότε η (1) γράφεται: R"v / 4 + U AM = v = -4U AM /"R () Σχήµα 7 Για τον υπολογισµό της ΔU AM θεωρούµε ότι ένας κρίκος της αλυσίδας µετατο πίζεται από την θέση, που η επιβατική του ακτίνα σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ στην θέση Β (θ=π/). Η µεταβολή du της βαρυτικής του δυ ναµικής ενέργειας θα είναι: du = -dmgr( 1 - µ") = -Rd"gR( 1 - µ") = -R g( 1 - µ")d" (3) όπου dm η µάζα του κρίκου και dθ η γωνία υπό την οποία φαίνεται ο κρίκος από το κέντρο Κ του κυκλικού καναλιού. Η µεταβολή ΔU AM θα βρεθεί αν ολοκ ληρώσουµε την σχέση (3) µε όρια ολοκλήρωσης για την γωνία θ το µηδέν και φ, δηλαδή θα έχουµε την σχέση:
15 U AM = -"R g ( 1 - µ)d = -"R g + '() + 1 Συνδυάζοντας την (1) µε την (4) παίρνουµε: ( ) (4) v = 4R g "R ( + + 1)= 4Rg " ( + + 1) (5) Διαφορίζοντας την (5) έχουµε: vdv = 4Rg va E = Rg ( d" - µ"d" ) v dv = Rg v R - "µ v ' ) a R E = g ( 1 - "µ d" d" ' - µ" ) ( ( ) (6) όπου a E το κοινό µέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης όλων των κρίκων της αλυ σίδας την στιγµή που το πάνω άκρο της βρίσκεται στην θέση Μ. Θέτοντας στην (6) όπου φ= βρίσκουµε την επιτρόχια επιτάχυνση των κρίκων την στιγµή t= που εκκινεί η αλυσίδα και επειδή την στιγµή αυτή είναι v=, η κεντροµόλος επιτάχυνση κάθε κρίκου θα είναι µηδέν, που σηµαίνει ότι το κοινό µέτρο a της επιτάχυνσης όλων των κρίκων κατά την εκκίνησή τους είναι: a = g/ (7) ii) Θεωρούµε την στιγµή t= που εκκινεί η αλυσίδα τον κρίκο της που βρίσκε ται στην θέση φ. Την στιγµή αυτή ο κρίκος δέχεται το βάρος του d w =dm g, τις εφαπτοµενικές δυνάµεις T και T +d T από τα εκατέρωθέν του τµήµατα της αλυ Σχήµα 8 σίδας και την ακτινική δύναµη επαφής από το λείο κυκλικό κανάλι. Εφαρµό ζοντας για τον κρίκο τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης παίρνουµε την σχέση: T + dt - T + dmg" = dma dt + Rd"g" = Rd"a dt = (7) R( a - g" )d dt = R( g / " - g )d (8)
16 Oλοκληρώνοντας την (8) βρίσκουµε το µέτρο της τάσεως της αλυσίδας στην θέ ση φ, την στιγµή t= που αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί. Έτσι θα έχουµε: T = ' Rg ) ( " - * ' -, d = Rg) + ( " -.µ *, + P.M. fysikos To ένα άκρο Α οµογενούς ράβδου ΑΒ µήκους L και µάζας m, εφάπτε ται κατακόρυφου λείου τοίχου και το άλλο της άκρο Β εφάπτεται λείου οριζόντιου εδάφους. Αρχικά η ράβδος συγκ ρατείται ώστε να σχήµατίζει γωνία φ µε τον τοίχο, και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη, οπότε εκτελεί επίπεδη κίνηση σε κατακόρυφο επί πεδο κάθετο στον τοίχο. i) Nα δείξετε ότι σε κάποια θέση η ράβδος χάνει την επαφή της µε τον κατακόρυφο τοίχο. ii) Nα βρείτε την διαφορική εξίσωση κίνησης της ράβδου κατά τον χρόνο t * που το άκρο της Α διατηρεί την επαφή του µε τον τοίχο και να υπολογίσετε τον χρόνο αυτόν. Δίνονται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι C =ml /1 της ράβδου περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i) H ράβδος εκτελεί επίπεδη κίνηση στην διάρκεια της οποίας δέχεται το βάρος της w, την αντίδραση F A του κατακόρυφου τοίχου της οποίας ο φορέ ας είναι οριζόντιος και την αντίδραση F B του λείου οριζόντιου εδάφους, της οποίας ο φορέας είναι κατακόρυφος (σχ. 9). Ας δεχθούµε ότι υπάρχει θέση της ράβδου, στην οποία αυτή χάνει την επαφή της µε τον κατακόρυφο τοίχο. Σχήµα 9 Αυτό σηµαίνει ότι στην θέση αυτή µηδενίζεται η αντίδραση F A, δηλαδή µηδε νίζεται η οριζόντια συνιστώσα a Cx της επιτάχυνσης a C του κέντρου µάζας C
17 της ράβδου και αυτό µε την σειρά του σηµαίνει ότι η αντίστοιχη οριζόντια συνιστώσα v Cx της ταχύτητας v C του κέντρου µάζας παρουσιάζει τοπικό ακρό τατο και µάλιστα στην περίπτωσή µας µέγιστη τιµή, διότι µέχρι την θέση αυτή το κέντρο µάζας της ράβδου κατά την οριζόντια διεύθυνση συνεχώς επιταχύνε ται. Για να υπολογίσουµε την ταχύτητα της ράβδου όταν αυτή σχηµατίζει µε τον κατακόρυφο τοίχο γωνία φ, εκµεταλευόµαστε το γεγονός ότι η επίπεδη κί νηση της ράβδου µπορεί να θεωρηθεί ως καθαρή στροφική κίνηση περί το στιγ µιαίο κέντρο της Κ, το οποίο κάθε στιγµή βρίσκεται στο σηµείο τοµής των καθέτων στα διανύσµατα των ταχυτήτων των άκρων Α και Β της ράβδου. Εάν είναι η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου θα ισχύει, σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, η σχέση: U " + K " = U + K mg L " + = mg L " + 1 I K mgl" = mgl" + I K (1) όπου Ι Κ η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο κίνη σης και διερχόµενο από το σηµείο Κ. Όµως κατά το θεώρηµα Steiner ισχύει: I K = I C + m(ck) = ml /1 + ml /4 = ml /3 () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: mgl" = mgl" + ml / 3 g" = g" + L / 3 = 3g(" - ")/ L = 3g(" - ")/ L (3) Άρα το µέτρο της ταχύτητας v C του κέντρου µάζας στην θεωρούµενη θέση είναι: v C = (CK) = L (3) v C = L 3g(" - ") L v C = 1 3gL(" - ") (4) Η αντίστοιχη ορίζόντια συνιστώσα της v C έχει µέτρο: (4) v Cx = v C " v C = " 3gL(" - ") (5) Η v Cx γίνεται µέγιστη όταν η ποσότητα f(φ)=συνφ(συνφ -συνφ) 1/ λάβει µέγιστη τιµή. Όµως παρατηρούµε ότι το άθροισµα των όρων συνφ και συνφ -συνφ είναι σταθερό και ίσο µε συνφ, οπότε η ποσότητα f(φ) γίνεται µεγιστη, όταν οι όροι αυτοί γίνουν ανάλογοι προς τους εκθέτες τους, δηλαδή όταν η γωνία φ λάβει µια τιµή φ * που ικανοποιεί την σχέση: " * 1 = " - " * 1/ " * = " - " *
18 " * = " / 3 (6) ii) Διαφορίζοντας την σχέση (1) παίρνουµε: = -mglµ"d" + I K d = -mglµ" d" + I d K () = -mglµ" d" ( + ml d" ( d " ' 3 ' = -gµ" + L 3 d " d - 3g "µ = (7) L H (7) αποτελεί την διαφορική εξίσωση κίνησης της ράβδου για το χρονικό διάστηµα [, t * ] είναι δε µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως που δεν λύνεται αναλυτικά. Εξάλλου η σχέση (3) γράφεται: d = 3g ( L " - " ) = L 3g d " - " (8) Oλοκληρώνοντας την (8) µε όρια ολοκλήρωσης για την γωνία φ τα φ και φ * παίρνουµε τον χρόνο t * µέχρις ότου η ράβδος χάσει την επαφή της µε τον τοί χο, δηλαδή θα έχουµε: t * = L 3g * d " - " P.M. fysikos Οµογενής ράβδος ΑΒ µάζας m και µήκους L, κρα τείται υπό κλίση φ ως προς την κατακόρυφη διέυθυνση µε το άκρο της Α να ακουµπάει σε λείο οριζόντιο έδαφος. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου η ράβδος αφήνεται ελεύθερη, µε αποτέλεσµα να τίθεται σε κίνηση στην διάρκεια της οποίας το άκρο Α ολισθαίνει στο έδαφος. i) Να βρείτε την διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση της ράβδου, µέχρις ότου αυτή βρεθεί στο έδαφος. ii) Να βρείτε την δύναµη που δέχεται η ράβδος από το έδαφος, κατά την έναρξή της κινήσεώς της. ii) Να δείξετε ότι ο χρόνος κινήσεως t * της ράβδου µέχρις ότου φθά σει στο έδαφος, δίνεται από την σχέση:
19 t * = ± L 1g, / - " 3µ " + 1 ) ( ' " - " + d" * όπου φ η εκάστοτε γωνία της ράβδου µε την κατακόρυφη διεύθυνση και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =ml /1 της ράβδου ως προς άξονα κάθε το στην ράβδο και διερχόµενο από το κέντρο µάζας της C. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζοντας τη ράβδο κατά την τυχαία χρονική στιγµή t που σχη µατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση, παρατηρούµε ότι δέχεται το βάρος της w και την αντίδραση N του λείου εδάφους, η οποία διευθύνεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Επειδή οι δυνάµεις αυτές είναι κατακόρυφες το κέντρο µάζας C της ράβδου δεν επιταχύνεται κατά την οριζόντια διεύθυνση, δηλαδή η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητάς του είναι σταθερή και µάλιστα ίση µε µηδέν, αφού την χρονική στιγµή t= η ράβδος είναι ακίνητη. Αυτό σηµαί Σχήµα 1 νει ότι το κέντρο µάζας C κινείται επί του κατακόρυφου άξονα y. Εφαρµόζο ντας για την ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως και της θέσεως της κατά την χρονική στιγµή t, παίρ νουµε την σχέση: K " + U " = K (t) + U (t) + mg L " = 1 mv C + 1 I C + mg L " mv C + I C = mgl" - mgl" (1) όπου v C η ταχύτητα του κέντρου µάζας την στιγµή t και η αντίστοιχη γω νιακή ταχύτητα της ράβδου περί άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας και κάθετο στην ράβδο. Διαφορίζοντας την (1) παίρνουµε: mv C dv C + I C d = mgl"µd
20 dv mv C C + ml 1 d = mgl"µ d dv 1v C C + L d = 6gL"µ d dv 1v C C + " d L ' d d = 6gL(µ () Εξάλλου η y-συντεταγµένη του κέντρου µάζας κατά την χρονική στιγµή t εί ναι: y C = L " dy = - L C µ" d" dy C = - L d" µ" v C = - L µ" d" (3) Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: dv C = -Lµ" d " - L" d" ) ( + ' * (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), (3) και (4) έχουµε: 6L µ" d",. -. µ" d " + L" d" ) ( + ' * / d" ) 1 1 +L ( + d " d" =6gLµ" ' *, 3µ" µ" d " d" ). + " ( + ' * -. / 1 1 +d " = 6g L µ" ( 3µ " + 1) d " d" ) + 3µ"" ( + ' * = 6g L µ" d + 3"µ 3"µ + 1 d ) ( + ' * - 6g L "µ 3"µ + 1 = (5) H (5) αποτελεί την διαφορική εξίσωση κίνησης της ράβδου, είναι δε µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως που δεν λύνεται αναλυτικά. ii) Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δέυτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την χρονική στιγµή t= που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη παίρνουµε την σχέση:
21 -mg + N = m dv C " t= N = mg + m dv C " t= (6) όπου ( dv C /) t= η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της ράβδου την στιγµή t=. Eξάλλου η (4) για t= δίνει: " dv C t= = - L'µ( d ( " t= - L)*+(, = - L'µ( d ( " t= και η (6) γράφεται: N = mg - mlµ" d " ( ' t= (7) H (5) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t= δίνει: " d ' t= - - 6g L (µ 3(µ + 1 = " d ' t= = 6g L (µ 3(µ + 1 και η (7) παίρνει την µορφή: N = mg - mlµ" 6g L µ" 3µ " 3µ ( = mg - mg " + 1' 3µ ( " + 1' 3µ " N = mg 1-3µ ( = " + 1' mg 3µ " + 1 (8) iii) H σχέση (1) λόγω της (3) γράφεται: ml µ " 4 d" ( ' + ml 1 d" ( ' = mgl)*+" - mgl)*+" ( 3µ " + 1) d" ( ' = 1g ( L )*+" - )*+" ) " d ' = 1g L " ()* - ()* 3+µ ' d + 1 = ± 1g L " - ") ( 3µ + ' + 1 * = ± L 1g 3µ " + 1 ) ( ' " - " + d" (9) * Oλοκληρώνοντας την (9) µε όρια ολοκλήρωσης για την γωνία φ τα φ και π/ παίρνουµε το χρόνο t * πτώσεως της ράβδου στο έδαφος, δηλαδή θα έχουµε:
22 t * = ± L 1g, / - " 3µ " + 1 ) ( ' " - " + d" * P.M. fysikos
ii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο.
Το σύστηµα του σχήµατος αποτελείται από δύο όµοια ελατήρια στα θεράς και φυσικού µήκους α, των οποίων οι άξονες βρίσκονται πάνω στην ευθεία ΑΒ, όπου Α, Β είναι δύο ακλόνητα σηµεία του επιπέδου. Εκτρέπουµε
Διαβάστε περισσότερα. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!
Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή
Διαβάστε περισσότεραi) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες.
Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. ). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1.
Στην διάταξη του σχήµατος 1) οι τροχαλίες τ 1 και τ έχουν την ίδια µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περι φέρειά τους και την ίδια ακτίνα R. Στο αυλάκι της σταθερής τροχα λίας τ έχει περιτυλιχθεί
Διαβάστε περισσότερα(τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T!
Επί της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας και ισοσκελούς σφήνας µάζας m, η οποία ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικρός κύβος µάζας m. Μεταξύ του κύβου και της σφήνας δεν υπάρχει τριβή, ενώ
Διαβάστε περισσότεραµε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w!
Το κυκλικό σύρµα του σχήµατος έχει µάζα m/ και είναι κρεµασµένο από κατακόρυφο σπάγκο αµελητέας µάζας αλλά επαρκούς αντοχής. Δύο όµοιες σηµειακές χάντρες, καθε µιά µε µάζα m, αφήνονται ταυτόχρονα από την
Διαβάστε περισσότερα, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση:
Στην κορυφή της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας σφήνας µάζας M, η οποία ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικ ρός κύβος µάζας m. Nα δείξετε ότι η σφήνα κινείται στο σύστη µα αναφοράς του
Διαβάστε περισσότεραακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T!"
Λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, ισορρο πεί εφαπτόµενη σε δύο υποστηρίγµατα A και Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα (1. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της στεφάνης και των υποστη ριγµάτων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση.
Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. i) Εάν Κ είναι το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του στερεού κάποια στιγµή και C η αντίστοιχη θέση του κέντρου µάζας
Διαβάστε περισσότερααπό τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!
Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο
Διαβάστε περισσότεραΔίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10.
Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται
Διαβάστε περισσότεραΤροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v!
Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v C. Σε σηµείο της περιφέρειας του τροχου έχει αρθρωθεί το ένα άκρο Β µιας λεπτής
Διαβάστε περισσότερατα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L!
Στο ένα άκρο ράβδου µήκους L και αµελητέας µά ζας, έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Η ράβδος είναι ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Οxy, µε το σφαιρίδιο στο σηµείο, και το άλλο της άκρο στο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΈνα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή
Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου V 0 πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος κατευθυνόµενο προς κατακόρυφο τοίχο. Το σώµα κάποια στιγµή συγκρούεται ελα στικά και µετωπικά µε µια µπάλα
Διαβάστε περισσότερατων Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12
Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές ράβδοι OA και AB µήκους L και µάζας m, αρθρώνονται στο σηµείο Α το δε άκρο Ο της ΟΑ αρθρώνεται σε σταθερό υποστήριγµα, ενώ το άκρο Β της ΑΒ µπο ρεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος.
H τροχαλία του σχήµατος () µάζας m και ακτίνας R, ισορροπεί εξαρτηµένη από τα νήµατα ΑΒ και ΓΔ τα οποία είναι ισο κεκλιµένα ως προς την οριζόντια διεύθυνση κατα γωνία φ. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα ΑΒ
Διαβάστε περισσότεραόπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!
Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων
ΜΕΡΟΣ Γ η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Στις άκρες αβαρούς και λεπτής ράβδου µηκούς L, έχουν στερεωθεί δύο όµοιες σφαίρες, µάζας m και ακτίνας R, το δε σύστηµα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί
Διαβάστε περισσότεραQ του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως!
Αβαρής ράβδος αποτελείται από δύο συνεχόµενα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ που είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Το άκρο Ο της ράβδου είναι αρθρωµένο σε οριζόντιο έδαφος το δε τµήµα της ΟΑ είναι κατακόρυφο και εφάπτεται
Διαβάστε περισσότεραΈνα υλικό σηµείο εκτελεί επίπεδη καµπυλόγραµ µη κίνηση. Eάν T!
Ένα υλικό σηµείο εκτελεί επίπεδη καµπυλόγραµ µη κίνηση. Eάν T είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης της τροχιάς του σ ένα τυχαίο σηµείο M αυτής και R η ακτίνα καµπυλότητας της
Διαβάστε περισσότερα. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και
Οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R είναι ακίνητη πάνω σε οριζόντιο δοκάρι µάζας Μ και µήκους L, που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή επί οριζοντίου δαπέδου. Η σφαίρα εφάπτεται στο δεξιό άκρο Β του δοκαριού
Διαβάστε περισσότεραii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.
Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας εφαρµόζεται στο
Διαβάστε περισσότεραi) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και
Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση
Διαβάστε περισσότεραEφαρµόζοντας στο τρίγωνο OAΣ το θεώρηµα του συνηµιτόνου παίρνουµε:
ΘΕΜΑ 6o Η κυκλική τροχαλία του σχήµατος (1) έχει µάζα Μ και ακτίνα R, είναι σε επαφή µε οριζόντιο δάπεδο (ε), ενώ στον άξονά της έχει πακτωθεί αβαρής ράβδος µήκους L, στο ελεύθερο ακρο της οποίας έχει
Διαβάστε περισσότερααπό την άρθρωση και της δύναµης επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην στατική τριβη T!
Tο ένα άκρο A οµογενούς ράβδου AB αρθρώνεται σε οριζόντιο επίπεδο, ενώ το άλλο της άκρο Β εφάπτεται κατακόρυ φου τοίχου, µε τον οποίο η ράβδος παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ. H άρθρωση της ράβδου
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F
Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k κόβεται σε δύο τµήµατα µε µήκη L και L. Η µία άκρη κάθε τµήµατος συνδέεται στέρεα µε µικρό σφαιρίδιο µάζας m και οι ελέυθερες άκρες τους στερεώνονται σε ακλόνητα σηµεία
Διαβάστε περισσότερα, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση:
Σώµα µάζας m σχήµατος ορθογώνιου κιβωτίου, ισορροπεί πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και στην άνω επιφάνειά του έχει τοποθετηθεί σώµα µάζας m/. Κάποια στιγµή που λαµβάνε ται ως αρχή µέτρησης του χρόνου
Διαβάστε περισσότεραΥλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F!
Υλικό σηµείο µάζας, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F (), η οποία ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης από το ελκτι κό κέντρο Ο, δηλαδή περιγράφεται
Διαβάστε περισσότεραΟµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!!
Οµογενής σφαίρα µάζας και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας, της οποίας ο φορέας βρίσκε ται άνωθεν του κέντρου της
Διαβάστε περισσότεραπου περιγράφεται από την σχέση:! R = -mk! v
Mικρό σώµα µάζας m βάλλεται από σηµείο Ο του οριζόντιου εδάφους κατακόρυφα προς τα άνω, µε ταχύτητα µέτρου v. Στην διάρκεια της κίνησής του το σώµα δέχεται από τον ατµοσφαιρι κό αέρα αντίσταση R, που περιγράφεται
Διαβάστε περισσότερα(σχ. 1). Εφαρ µόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον
Oµογενής λεπτός δίσκος ακτίνας R και µάζας m, ακινητεί επί οριζόντιου εδάφους µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ το δε επιπεδό του είναι κατακόρυφο,. Κάποια στιγµή εφαρµόζεται στο κέντρο
Διαβάστε περισσότεραΟµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου.
Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου. i) Να βρεθεί η απόσταση x, ώστε την στιγµή που η ράβδος αφήνεται
Διαβάστε περισσότεραA! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2
A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό,
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013
ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότεραi) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη.
Η ράβδος του σχήµατος έχει µήκος L, βάρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α επί λείου τοίχου, ενώ το άλλο άκρο της Β ακουµπά ει σε λεία κοίλη επιφάνεια. Η τοµή της επιφάνειας µε κατακόρυφο επίπεδο που
Διαβάστε περισσότερατης µορφής:! F = -mk! r
Ένα µικρό σώµα µάζας m, κινείται επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας α µέσα σε δυναµικό πεδίο, ελκόµενο από σταθερό ση µείο Ο που αποτελεί το κέντρο της τροχιάς, µε δύναµη F της µορφής: F -mk όπου το διάνυσµα
Διαβάστε περισσότεραYλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy διαγράφον τας καµπύλη τροχιά, η οποία περιγράφεται από την σχέση:
Yλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy διαγράφον τας καµπύλη τροχιά, η οποία περιγράφεται από την σχέση: y = Αηµωx όπου Α, ω σταθερές και θετικές ποσότητες. Εάν το υλικό σηµείο κατά τον άξονα x κινείται
Διαβάστε περισσότεραi) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και
Ένα καροτσάκι που περιέχει άµµο, συνολικής µάζας M, εκτελεί οριζόντια αρµονική ταλάντωση σε λείο επίπεδο, µε τη βοήθεια ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. Ένα σφαιρίδιο µάζας m
Διαβάστε περισσότερα! =A'B=C!! C! = R" (1)
Οµογενής κύβος ακµής α ισορροπεί επί ακλό νητης σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R, µε το κέντρο µάζας του ακριβώς πάνω από την κορυφή Α της επιφάνειας. Εάν µεταξύ του κύβου και της σφαιρικής επιφάνειας υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραi) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και
Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση
Διαβάστε περισσότερα(ΘΕΜΑ 17ο)
Εισαγωγικά: Με το πρόβληµα της αλληλεπίδρασης δύο µαζών, µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος παρουσία οµογενούς βαρυτικού πεδίου, είχα ασχοληθεί και στο παρελθόν παρουσιάζοντάς το στην ιστοσελίδα µου µε
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας.
Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, της οποίας η µάζα θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρεια της, κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το δε κέντρο της έχει ταχύτητα v. Kάποια στιγµή η στε φάνη προσκρούει
Διαβάστε περισσότερα1. Κίνηση Υλικού Σημείου
1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης
Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Όπου χρειάζεται, θεωρείστε δεδομένο ότι g = 10m/s 2. 1. Μία ράβδος ΟΑ, μήκους L = 0,5m, περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο, με σταθερή
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α Α.1. Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορµή
Διαβάστε περισσότεραΤα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική
Διαβάστε περισσότεραως προς τον ατµολέβητα. Εάν η µάζα M του ατµού µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση:
Ένας κυλινδρικός ατµολέβητας αµελητέας µάζας χωρίς τον υδρατµό και ακτίνας R, θερµαίνεται και ο παραγόµενος υδρατµός διαφεύγει από δύο αντιδιαµετρικά ακροφύσια της εξωτε ρικής του επιφάνειας, ώστε η ταχύτητα
Διαβάστε περισσότεραii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας.
Στην διάταξη του σχήµατος () η ράβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξο να, που διέρχεται από σηµείο Ο ευρισκόµενο σε απόσταση 3L/4 από το άκρο της Α. Η τροχαλία
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται
Διαβάστε περισσότερα[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 34. Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας μήκους, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από
Διαβάστε περισσότεραΣχήµα 20. οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v! προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T!
Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση και δύο σηµεία αυτού βρίσκονται κάποια στιγµή t στις θέσεις Α(,) και Β(,α) του επιπέδου κίνησής του (x,y) Εάν οι ταχύτητες των σηµείων αυτών έχουν το ίδιο µέτρο v
Διαβάστε περισσότεραi) Να γράψετε τη διαφορική εξίσωση κίνησης του σώµατος και να δείξετε ότι δέχεται λύση της µορφής:
Μικρό σώµα µάζας m στερεώνεται στο ένα άκρο οριζόντιου ιδα νικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο προσδένε ται σε κατακόρυφο τοίχωµα όπως φαίνεται στο σχήµα. Το σώµα µπορεί να ολισθαίνει πάνω
Διαβάστε περισσότερα1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).
Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση.
Διαβάστε περισσότερατην αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν
Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε, παραµένουν αµετάβλητες µε τον χρόνο. Για την µελέτη της επίπεδης κίνησης στερεού
Διαβάστε περισσότερα6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α
6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι Ηµεροµηνία : 10 Μάρτη 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε την σωστη απάντηση [4 5 = 20 µονάδες] Α.1. Στερεό
Διαβάστε περισσότεραόπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν:
Tο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωµένο στο οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο του άκρο είναι ελεύθερο. Mικρό σφαιρίδιο, µάζας m, αφήνεται σε ύψος h από το άκρο Β. Το σφαιρίδιο πέφτοντας
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Έργο και ισχύς σταθερής ροπής)
ΕΚΦΩΝΗΣΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1 (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Έργο και ισχύς σταθερής ροπής) Ένας κύβος και ένας δίσκος έχουν ίδια μάζα και αφήνονται από το ίδιο ύψος να κινηθούν κατά μήκος δύο κεκλιμένων
Διαβάστε περισσότεραi) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
Δύο σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, είναι στερεωµένα στις άκρες ενός κατακόρυφου αβαρούς ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εξασκούµε στο σώµα Σ κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα κάτω, της
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα
Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Θέµα ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ένα σηµειακό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο
Διαβάστε περισσότεραγ) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου τη στιγμή κατά την οποία έχει ξετυλιχθεί όλο το σχοινί.
1. Ο ομογενής και ισοπαχής δίσκος του σχήματος έχει ακτίνα και μάζα, είναι οριζόντιος και μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Ο δίσκος
Διαβάστε περισσότεραii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου.
Oµογενής ράβδος Γ, βάρους w και µήκους L, είναι αρθρωµένη στο ένα άκρο της όπως φαίνεται στο σχήµα (), ενώ το άλλο άκρο της είναι δεµένο σε νήµα που διέρχεται από µικρή ακίνητη τροχαλία O, η οποία βρίσκεται
Διαβάστε περισσότεραπου δέχεται από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια αυτή, αφού θεωρείται λεία και των δυνάµεων T
Mιά κυκλική σπείρα εύκαµπτης αλυσίδας βάρους w, είναι τοποθετηµένη πάνω σε λείο ορθό κώνο ύψους h, του οποίου η βάση έχει ακτίνα R (σχ. 9). O κατακόρυφος άξονας του κώνου διέρ χεται από το κέντρο της αλυσίδας
Διαβάστε περισσότεραδιέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A!
Η οµογενής ράβδος ΑΒ του σχήµατος έχει βά ρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α σε τραχύ κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, ενώ το άλλο της άκρο Β ακουµπάει σε λείο κατακόρυφο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα
Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής
Διαβάστε περισσότερα. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε:
Μια λεπτή λαστιχένια ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση χώρίς να περιστρέφεται και κάποια στιγµή το άκρο της Α συναντά λείο οριζόντιο έδαφος. Την στιγµή αυτή η ράβδος έχει κλίση φ ως
Διαβάστε περισσότεραd 2! dt 2 #$%(! - "t) - g L &µ! = " 2 R L όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
Mια αβαρής ράβδος µήκους L έχει το ένα της άκ ρο Α αρθρωµένο κοντά στην περιφέρεια κυκλικής τροχαλίας ακτίνας R, όπως φαίνεται στο σχήµα 1. Στο άλλο άκρο της ράβδου είναι στε ρεωµένο σφαιρίδιο Σ που η
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούµε σύστηµα δύο σωµατιδίων Σ 1 και Σ 2 µε αντίστοιχες µάζες m 1 και m 2, τα οποία αλληλοεπιδρούν χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις.
Θεωρούµε σύστηµα δύο σωµατιδίων Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, τα οποία αλληλοεπιδρούν χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις. i) Nα δείξετε ότι η σχετική ορµή P του ενός, λογουχάρη του Σ ως
Διαβάστε περισσότεραΗ κινητική ενέργεια K σωµατιδίου µάζας m, που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R, ακολουθεί την σχέση:
Η κινητική ενέργεια K σωµατιδίου µάζας m, που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R, ακολουθεί την σχέση: K=λs όπου λ θετική και σταθερή ποσότητα και s το µήκος της διαδροµής που διάνυσε το σωµατίδιο. Να
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος 1. Ένα σύστημα ελατηρίου σταθεράς = 0 π N/ και μάζας = 0, g τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση. Αν είναι Α 1 και Α τα πλάτη της ταλάντωσης
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ενας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιµή
Διαβάστε περισσότεραΒ. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1 έως 3 επιλέξτε τη σωστή απάντηση 1. Δυο δακτύλιοι µε διαφορετικές ακτίνες αλλά ίδια µάζα κυλάνε χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο έδαφος µε την
Διαβάστε περισσότεραF r. www.ylikonet.gr 1
3.5. Έργο Ενέργεια. 3.5.1. Έργο δύναµης- ροπής και Κινητική Ενέργεια. Το οµοαξονικό σύστηµα των δύο κυλίνδρων µε ακτίνες R 1 =0,1m και R =0,5m ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τυλίγουµε γύρω από τον κύλινδρο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 206-207 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9/03/207 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΡοπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v.
Το καρούλι του σχήµατος κυλίεται χωρίς ολίσ θηση πάνω σε οριζόντιο δοκάρι, που ολισθαίνει επί οριζοντίου έδα φους µε ταχύτητα v η οποία έχει την κατεύθυνση του δοκαριού. Η κύλιση του καρουλιού επιτυγχάνεται
Διαβάστε περισσότερατης οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4.
Οριζόντιος δίσκος µάζας Μ ισορροπεί στηριζόµε νος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο στηρίζεται στο έδαφος (σχήµα 1). Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει
Διαβάστε περισσότεραόπου y το µήκος του σχοινιού στο κατακόρυφο σκέλος του σωλήνα, v το κοινό µέτρο των ταχυτήτων v!
Ένας σωλήνας µεγάλου µήκους έχει καµφθεί σε ορθή γωνία και είναι στερεωµένος, ώστε το ένα σκέλος του να είναι οριζόντιο και το άλλό κατακόρυφο, όπως φαίνεται στο σχήµα 1). Ένα σχοινί µήκους L, του οποίου
Διαβάστε περισσότεραa = M + 2m(1 - #$%") όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
Στην διάταξη του σχήµατος 1 η ορθογώνια σφήνα µάζας Μ, εφάπτεται µε την υποτείνουσα έδρα της λείου οριζόντιου εδάφους και φέρει στην κορυφή της µικρή και ευκίνητη τροχαλία το αυλάκι της οποίας περιβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014
ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ
Διαβάστε περισσότεραΈνα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V!
Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V 0. O πιλότος του θέλει ν αλλάξει τη διεύθυνση κίνησης του διαστηµόπλοιου, ώστε η νέα διεύθυνση να γίνει κάθετη προς την αρχική. Για
Διαβάστε περισσότερα) ω ω. L λίγο πριν. . Nα βρεθούν:
Δύο σφαιρίδια A, B µάζας m το καθένα συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L, ηρεµούν δε πάνω σε οριζόντιο τραπέζι ευρισκόµενα σε απόσταση α
Διαβάστε περισσότεραΥλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου, που εξασκεί στην µάζα m δύναµη η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής:
Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου, που εξασκεί στην µάζα m δύναµη η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: U = k 2 x2 + y ) 2 α) όπου k θετική και σταθερή ποσότητα
Διαβάστε περισσότερα. H µεταβολή της ορµής της µάζας αυτής κατά την οριζόντια διεύθυνση είναι -dm v!
Tο άκρο A της οµογενούς ράβδου AO του σχήµα τος () έχει διαµορφωθεί κατάλληλα, ώστε, όταν σ αυτό προσκρούσει λεπτή οριζόντια φλέβα νερού διατοµής σ, να ανακλάται και να γίνε ται κατακόρυφη χωρίς απώλεια
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου]
ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Σάββατο 24 Φλεβάρη 2018 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός οµογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος
Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Θέμα Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συμπληρώνει σωστά
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου
Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του
Διαβάστε περισσότεραόπου x η συντεταγµένη του σωµατιδίου, θεωρούµενη µε αρχή ένα στα θερό σηµείο Ο του άξονα και α, U 0 σταθερές και θετικές ποσότητες.
Υλικό σωµατίδιο µάζας m κινείται πάνω σε σταθε ρό άξονα x x υπό την επίδραση δύναµης, της οποίας ο φορέας συµπί πτει µε τον άξονα. Η δύναµη απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: Ux) =
Διαβάστε περισσότεραi) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο,
Tο σφαιρίδιο του σχήµατος ισορροπεί πάνω στο λείο οριζόντιο δαπεδο, ενώ τα οριζόντια ελατήρια είναι τεντωµένα. H απόσταση των σηµείων στήριξης των δύο ελατηρίων είναι 3α, ενώ τα ελατήρια έχουν το ίδιο
Διαβάστε περισσότεραΌταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο
Όταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο ) Οµογενής κύλινδρος µάζας m, ακτίνας R φέρει λεπτή εγκοπή βάθους είναι τυλιγµένο νήµα αµελητέου πάχους. R r=, στην οποία Το άλλο άκρο του νήµατος έχει δεθεί σε οροφή όπως στο
Διαβάστε περισσότεραi) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και
Oµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R εφάπ τεται στα τοιχώµατα ενός αυλακιού, τα οποία είναι επίπεδες σταθερές επιφάνειες που η τοµή τους είναι οριζόντια. Τα τοιχώµατα είναι ισο κεκλιµένα ως προς τον
Διαβάστε περισσότεραNα δείξετε τις εξής προτάσεις:
Nα δείξετε τις εξής προτάσεις: i) Εάν ένα υλικό σηµείο µάζας m κινείται πάνω σ ένα άξονα x x, ώστε κάθε στιγµή η ταχύτητά του v και η αποµάκρυνσή του x ως προς µια αρχή Ο του άξονα, να ικανοποιούν τη σχέση:
Διαβάστε περισσότεραόπου x η οριζόντια µετατόπιση του σώµατος, k θετική σταθερά και! i το µοναδιαίο διάνυσµα του οριζόντιου άξονα x.
Ένα µικρό σώµα βάλλεται οριζόντια µε ταχύτητα v 0 εντός του πεδίου βαρύτητας της Γης από ένα σηµείο Α που η απόστασή του από το οριζόντιο έδαφος είναι h. Tο σώµα κατά την κίνησή του δέχεται εκτός από το
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1. ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση
ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση Α.1 Το στερεό του σχήματος δέχεται αντίρροπες δυνάμεις F 1 kαι F 2 που έχουν ίσα μέτρα. Το μέτρο
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1
Διαβάστε περισσότεραv = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότεραi) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή.
Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στο ένα άκρο απολύτως ελαστικού νήµατος φυσικού µήκους L =3mg/k και σταθεράς k, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας, του οποίου το άλλο άκρο έχει στερεωθει σε
Διαβάστε περισσότερα