Ένα υλικό σηµείο εκτελεί επίπεδη καµπυλόγραµ µη κίνηση. Eάν T!

Transcript

1 Ένα υλικό σηµείο εκτελεί επίπεδη καµπυλόγραµ µη κίνηση. Eάν T είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης της τροχιάς του σ ένα τυχαίο σηµείο M αυτής και R η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς στο σηµείο αυτό, να δείξετε την σχέση: d T ds = N R όπου d T η µεταβολή του διανύσµατος T στον στοιχειώδη χρόνο στον οποίο το υλικό σηµείο µετατοπίζεται επί της τροχιάς του κατά ds και N το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την ακτινική διεύθυνση της τρο χιάς στο θεωρούµενο σηµείο. Στην συνέχεια χρησιµοποιώντας την σχέ ση (α) να δείξετε ότι: a = dv T + v R N όπου a η επιτάχυνση και v η ταχύτητα του υλικού σηµείου στην θέση M της τροχιάς του. Tέλος χρησιµοποιώντας την σχέση (β) να δεί ξετε την σχέση: (α) (β) R = v 3 v a (γ) ΛΥΣΗ: i) Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ το υλικό σηµείο µετατοπίζεται από την θέση Μ στην θέση Μ, τότε η µεταβολή d r του διανύσ µατος θέσεως r στον χρόνο θα έχει µέτρο ίσο µε το αντίστοιχο µήκος ds του τόξου που διαγράφει. Αυτό σηµαίνει ότι το διάνυσµα d r /ds έχει µέτρο ίσο µε την µονάδα και κατεύθυνση ίδια µε εκείνη της ταχύτητάς του v κατά την χρονική στιγµή t. Το διάνυσµα αυτό είναι το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα της τροχιάς (C) στο σηµείο Μ και συµβολίζεται µε T, δηλαδή ισχύει: T = d r /ds () Εξάλλου η ταχύτητα v του υλικού σηµείου είναι:

2 v = d r = d r ds ds () v = v T () διότι το πηλίκο ds/ εκφράζει το µέτρο της ταχύτητας v. Εξελλισσόµενης της κίνησης το διάνυσµα T µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε το τόξο s το δέ διάνυσ µα d T /ds περιγράφει σε κάθε σηµείο της καµπύλης (C) τον τρόπο µεταβολής της καµπυλότητας της τροχιάς και συγκεκριµένα την απόκλισή της από την ευθύγραµµη µορφή. Για να γίνει αυτό κατανοητό θα ξεκινήσουµε από την προφανή σχέση ( T T )= η οποία µε διαφόριση δίνει: Σχήµα ( T d T )= ( T d T /ds)= (3) H σχέση (3) εγγυάται ότι τα διανύσµατα T και d T /ds είναι µεταξύ τους ορθο γώνια, δηλαδή το d T /ds κατευθύνεται προς το κέντρο* καµπυλότητας Κ της τροχιάς (C) στο σηµείο Μ και εποµένως µπορεί να λάβει την µορφή: d T ds = d T ds N όπου N το λεγόµενο µοναδιαίο διάνυσµα της πρώτης καθέτου της τροχιάς (C) στο σηµείο Μ αυτής. Εξάλλου, εάν dφ είναι η γωνία υπό την οποία φαίνεται το στοιχειώδες τόξο ds από το κέντρο καµπυλότητας Κ θα ισχύει ds=rdφ, όπου R η ακτίνα καµπύλότητας της τροχιάς στο σηµείο Μ, η δε σχέση (4) µετασχηµατί ζεται ως εξής: d T ds = d T d d ds N d T ds = R d T d (4) N (5) Εφαρµόζοντας στο σκιασµένο τρίγωνο του σχήµατος () το νόµο του ηµιτόνου παίρνουµε την σχέση: * To κέντρο καµπυλότητας Κ στο τυχαίο σηµείο Μ της τροχιάς (C) προκύπτει ως το µή των καθέτων ευθειών στα διανύσµατα T και d T (τα διανύσµατα αυτά βρίσκον ται στο επίπεδο που καθορίζει το στοιχειώδες τόξο ds, αποτελεί δε το εγγύτατο επί πεδο της τροχιάς στο σηµείο Μ) η δε απόστασή του από το Μ είναι η ακτίνα καµπυλότητας R της τροχιάς στο σηµείο αυτό.

3 d T µd = T µ(/) d T d = T d T d = οπότε η (5) γράφεται: d T ds = N R Eξάλλου κάθε χρονική στιγµή t για την επιτάχυνση a του υλικού σηµείου ισχύει η σχέση: a = d v = d(v T ) a = v d T + T dv όπου v το µέτρο της ταχύτητας v. Όµως ισχύει και η σχέση: d T = d T ds οπότε η (7) γράφεται: a = dv T + v ds = d (6) T ds v d T = N R v N (8) Η σχέση (8) δηλώνει ότι το διάνυσµα a ανήκει στο επίπεδο των µοναδιαίων δια νυσµάτων T και N, που αποτελεί το εγγύτατο επίπεδο της τροχιάς (C) κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή t. Επί πλέον δηλώνει ότι η επιτάχυνση a απo τελείται από την εφαπτοµενική συνιστώσα (dv/) T, η οποία καθορίζει την µεταβολή του µετρου της ταχύτητας και είναι η επιτρόχιος επιτάχυνση του υλικού σηµείου και από την ακτινική συνιστώσα (v /R) N, η οποία καθορίζει την µεταβολή της διεύθυνσης της ταχύτητας και είναι η κεντροµόλος επιτά χυνσή του. Tέλος από την σχέση (8) προκύπτει: (7) (6) ( v a ( ) = v * )* dv T + v R % + N ' - &,- = v dv % T ' + v v & R % N ' & + v ( v a ) = dv v T T T v R % N ' & ( v a ) = v dv T T + v3 ( N ) = v3 ( N ) R T R T v a = v3 R T N = v3 R R = v 3 v a P.M. fysikos

4 Ενα υλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy ακο λουθώντας τροχια (C) που περιγράφεται από την συνάρτηση y=f(x). i) Nα δείξετε ότι, το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα T της τροχιάς σ ένα σηµείο Μ(x,y) αυτής δίνεται από την σχέση: T = ± i + f (x) + f (x) όπου i, τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Οy αντιστοίχως και f (x) η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) στο θεωρούµενο σηµείο. ii) Xρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση να δείξετε ότι, η ακτίνα καµπυλότητας R της τροχιάς στο σηµείο Μ(x,y) υπολογίζεται από την σχέση: [ ] 3/ R = + f (x) f (x) όπου f (x) η δεύτερη παράγωγος της y=f(x) στο σηµείο αυτό. ΛΥΣΗ: i) Εάν r είναι το διάνυσµα θέσεως ενός τυχαίου σηµείου Μ(x,y) της τροχιάς του κινούµενου υλικού σηµείου, ως προς την αρχή Ο του ορθογωνίου συστήµατος Οxy, θα ισχύει: r = x i + y = x i + f(x) () Διαφορίζοντας την () παίρνουµε την σχέση: d r = dx i + dy = dx i + df(x) d r = dx i + f (x)dx = [ i + f (x) ]dx () H ταχύτητα v του υλικού σηµείου στο σηµείο Μ είναι: v = d r () [ ] dx v = i + f (x) v = + f (x) dx Eξάλλου, για το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα T της τροχιάς στο σηµείο Μ ισχύει η σχέση: T = v v (3) T = i + f (x) [ ] dx/ = + f (x) dx / i + f (x) [ ] + f (x) dx dx (3)

5 T = ± i + f (x) + f (x) (4) όπου το πρόσηµο (+) αντιστοιχεί στην περίπτωση που η συνιστώσα της ταχύ τητας v κατά την διεύθυνση του άξονα Οx έχει την θετική φορά του άξονα και το πρόσηµο (-) στην αντίθετη περίπτωση. ii) Tο µοναδιαίο διάνυσµα N της πρώτης καθέτου στο σηµείο Μ της τροχιάς του υλικού ικανοποιεί την σχέση: d T ds = N R d T dx dx ds = N R (5) Σχήµα όπου R η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς στο σηµείο Μ και ds το µήκος του στοιχειώδους τόξου που διαγράφει το υλικό σηµείο µεταξύ των χρονικών στιγ µών t και t+. Παραγωγίζοντας την (4) ως προς x παίρνουµε: d T dx = ± d dx i + f (x) + f (x) % ' &' d T dx = ± f (x) + f (x) - [ i + f (x) ] f (x) f (x)/ + f (x) + f (x) d T dx = ± f (x) + f (x) d T dx = ± f (x) - f (x) i + f (x) Eξάλλου από την (5) έχουµε: [ ] - [ i + f (x) ] f (x) f (x) [ + f (x)] 3 / [ ] (6) [ ] 3 / % ' ' &

6 d T dx Ακόµη ισχύει: dx ds = (6) R f (x) + f (x) [ + f (x)] ds dx = R (7) ds = d r () ds = + f (x) dx οπότε η σχέση (7) γράφεται: R = f (x) + f (x) [ ] 3 / R = [ + f (x)] 3 / f (x) P.M. fysikos Ένα υλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy διαγ ράφοντας κυκλοειδή τροχιά, της οποίας οι παραµετρικές εξισώσεις έχουν την µορφή: x = t - µt y = - %&t ') ( *) όπου η παράµετρος t εκφράζει χρόνο, ενώ τα α, ω είναι θετικές και σταθερές ποσότητες. Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο το µο ναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα καθώς και το µοναδιαίο διάνυσµα της πρώτης κάθετης της κυκλοειδούς τροχιάς. ΛΥΣΗ: Εάν v είναι η ταχύτητα του υλικού σηµείου κατά την τυχαία χρονική στιγµή t θα έχουµε: v = dx i + dy () v = ( - %t) i + &µt d (t - µt) v = = i + d - %&t ( -%t) i + &µt () [ ] () όπου i, τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ox, Οy αντιστοιχως. To µέτρο της ταχύτητας v είναι: v = dx & % + dy & % () v = ( -%t) + &µ t v = +% t- %t + &µ t = ( -%t) (3) Το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα T της κυκλοειδούς τροχιάς του υλικού

7 σηµείου την στιγµή t, ικανοποιεί την σχέση: T = v v (),(3) T = [ ] ( -%t ) i + &µt -%t = -%t i + &µt -%t Eάν a, a E, a K είναι η επιτάχυνση, η επιτρόχια επιτάχυνση και η κεντροµόλος επιτάχυνση αντιστοίχως του υλικού σηµείου κατά την στιγµή t, θα ισχύει: a = a E + a K a K = a - a E (5) (4) Όµως για την επιτάχυνση a έχουµε: a = d () v Σχήµα 3 a = d [ ( -%t) i + &µt ] = &µt i + % και για την επιτρόχια επιτάχυνση a E ισχύει: a E = dv (4) T (6) ( a E = -t ) i + %µt & dv) ( + (7) -t ' * Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: dv = d ( -%t ) = &µt -%t = &µt -%t οπότε η (7) γράφεται: ( - t) i +%µt a E = -t & %µt =& -t [ ] %µt ( -t) i +%µt -t

8 a E = ' µt i + µ t * ) ( -%&t, + = - µt i + 4µ (t/)%& (t/) /. µ (t/) [ ] = [ i + +%&t ] (8) a E = µt i +%& (t/) µt Συνδυάζοντας την (5) µε τις (6) και (8) παίρνουµε την σχέση: - [ i + ( +%&t) ] a K = µt i + %& a K = µt ( µt i + %& ) - [ i + ( +%&t) ] a K = µt i - -%&t µt [ ] (9) Εξάλλου για την ακτίνα καµπυλότητας R της τροχιάς την στιγµή t ισχύει: a K = v R R= v R= a K 4 -%t (3),(9) = &µ t + -%t R = 8µ t/ µ t/ 4 -%t -%t = 4 µ t ' & ) () % ( Το αντίστοιχο µοναδιαίο διάνυσµα N της πρώτης κάθετης της τροχιάς ικανο ποιεί την σχέση: a K = v R N N = R a K v Η πιο πάνω σχέση µε βάση τις (3), (9) και () γράφεται: N = N = µ t/ µ t/ [ i - -%&t ] -%&t µt [µt i - ( -%t) ] = µ (t/) µt i - -%t µ t/ P.M. fysikos

9 Ένα υλικό σηµείο κινείται στον χώρο και η κίνησή του, αναφερόµενη σε τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οxyz, περιγρά φεται από τις παραµετρικές εξισώσεις: x = ασυνωt, y = αηµωt, z = λt όπου η παράµετρος t εκφράζει χρόνο ενώ τα α, λ αποτελούν θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο t το µοναδιαίο εφαπτο µενικό διάνυσµα της τροχιάς του. ii) Να δείξετε ότι η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς είναι η ίδια σε όλα της τα σηµεία. ΛYΣH: i) Εάν T είναι το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα της τροχιάς στο τυχαίο σηµείο της Μ, θα ισχύει η σχέση: T = d r ds = d r ds = d r v όπου ds το µήκος του στοιχειώδους τόξου που διαγράφει το υλικό σηµείο µε ταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ και v η ταχύτητά του κατά την χρονι κή στιγµή t που βρίσκεται στο Μ. Όµως για το διάνυσµα θέσεως r του υλικού σηµείου έχουµε την σχέση: r = x i + y + z k = %ti + &µ%t + 't k d r / = -µti + %&t + ' k () ενώ για το µέτρο της v έχουµε: + ( dy/) + ( dz/) v = dx/ %& v = ( µ t+ %& t + ' ) / = ( + ' ) / (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), () και (3) παίρνουµε: T = -µt i + %&t + ' k + ' / = / -µti + %&t () + ' k (4) ( + ' ) / ii) Για την ακτίνα καµπυλότητας R της τροχιάς στο σηµείο Μ, ισχύει η σχέση: a K = v R R = v (3) a K R = + a K (5)

10 όπου a K η κεντροµόλος επιτάχυνση του υλικού σηµείου την χρονική στιγµή t. Eξάλλου από την (3) προκύπτει ότι το µέτρο της ταχύτητας v είναι σταθερό που σηµαίνει ότι η επιτρόχια επιτάχυνση του υλικού σηµείου είναι µηδενική, Σχήµα 4 δηλαδή η επιτάχυνση του a ταυτίζεται µε την κεντροµόλο επιτάχυνση του a K. Όµως για την επιτάχυνση a έχουµε την σχέση: a = d v = d d () r & % a = d -µti + %&t + ' k a K = - µti + %&t = - µti + %&t a K = ( µ t + %& t ) = (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε: R = + = + δηλαδή η ακτίνα καµπυλότητας είναι σταθερή (ανεξάρτητη του χρόνου). P.M. fysikos Oµογενής πρισµατική ράβδος AΓ, βάρους w και µήκους L τοποθετείται σε κεκλιµένο επίπεδο, γωνίας κλίσεως φ, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n (σχ. 5). Tο άκρο A της ράβδου έλκεται µε την βοήθεια νήµατος, το οποίο διέρχεται από µια πολύ µικρή (περίπου σηµειακή) τροχαλία, η οποία βρίσκεται

11 ακριβώς πάνω από το κέντρο µάζας της ράβδου και σε απόσταση L από αυτό. Nα βρείτε την συνθήκη, ώστε µε την αύξηση του µέτρου της δύναµης F η ράβδος να ανατραπεί πριν ολισθήσει. Για ποια τιµή της F επίκειται η ανατροπή της ράβδου; ΛΥΣΗ: Όταν επίκειται η ανατροπή της ράβδου ΑΓ περί το άκρο της Γ, χωρίς αυτή να ολισθαίνει, η δύναµη επαφής R που δέχεται από το κεκλιµένο επίπεδο έχει φορέα που διέρχεται από το Γ αλλά και λόγω της οριακής της ισορροπιας διέρχεται και από το σηµείο τοµής Ο των φορέων των δυνάµεων Q (τάση του νήµατος) και w (βάρος της ράβδου), το οποίο σηµείο είναι περίπου το κέντρο της µικρής τροχαλίας. Επί πλέον ο φορέας της R σχηµατίζει µε την κάθετη διεύθυνση Γz στο κεκλιµένο επίπεδο γωνία x µικρότερη της γωνίας τριβής φ ο ράβδου και κεκλιµένου επιπέδου, δηλαδή ισχύει: x < x < x < n () Εξάλλου για τις γωνίες y και θ που εµφανίζονται στο σχήµα (5) ισχύει η σχέση: ( + y) + ( + y) = + y = / y = / - () Aκόµη ισχύει η σχέση: Σχήµα 5 () y - x = / - - x = (3) καθώς και η σχέση: = / - = / 4 - / (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουµε: x = x = 4 -

12 x = 4 - () % ( ' * & ) % 4 - ( ' * < n (5) & ) H (5) αποτελεί την αναγκαία συνθήκη, ώστε µε την αύξηση του µέτρου της κα τακόρυφης δύναµης F που ενεργεί στο ελευθερο άκρο του νήµατος η ράβδος ΑΓ να µη ολισθαίνει την στιγµή που επίκειται η ανατροπή της. Εξάλλου επικεί µενης της ανατροπής της ράβδου αυτή ισορροπεί οριακά και εποµένως ισχύει η σχέση: Q µ 4 = w µ + 3 F = wµ 4 µ 3 (4) F = F µ 4 = w µ 3 wµ ( - ) = wµ µ ( 3 / 4-3 / ) µ 3 / 4-3 / P.M. fysikos Οι άκρες Α και Β ενός σχοινιού, που παρουσιάζει σταθερή διατοµή και σταθερή πυκνότητα σε όλο το µήκος του, στερε ώνονται σε ακλόνητα σηµεία που παρουσιάζουν µεταξύ τους υψοµε τρική διαφορά. Το σχοινί υπό την επίδραση του βάρους του τεντώνε ται και παίρνει την µορφή µιας καµπύλης γραµµής, η οποία βρίσκε ται στο κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από τα σηµεία στήριξης των άκρων του Α και Β. Θεωρούµε στο επίπεδο αυτό σύστηµα ορθογώνιων αξόνων Οx, Oy, όπου Ο το κατώτατο σηµείο του σχοινιού, ενώ ο άξονας Οx είναι οριζόντιος και ο Οy κατακόρυφος. i) Να δείξετε ότι σε κάθε σηµείο Μ της καµπύλης αυτής ισχύει η σχέ ση: dy dx = w *s (α) όπου w * το βάρος του σχοινιού ανά µονάδα µήκους, Τ η τάση του στο κατώτερο σηµείο του Ο και s το µήκος του τόξου ΟΜ. ii) Χρησιµοποιώντας την σχέση (α) να δείξετε ότι η εξίσωση της καµ πύλης γραµµής που παίρνει το σχοινί, θεωρούµενη στο σύστηµα αξό νων Οxy έχει την µορφή: y = y ex /y + e -x /y ( - ) µε y = w * ΛΥΣΗ: i) Θεωρούµε το τµήµα ΟΜ του σχοινιού, όπου Μ το τυχαίο σηµείο του µε συντεταγµένες x, y. Το τµήµα αυτό ισορροπεί υπό την επίδραση της δύνα µης T που δέχεται από το τµήµα ΟΑ του σχοινιού, της δύναµης T που δέχε ται από το τµήµα ΜΒ και του βάρους του w. Οι δυνάµεις T, T αποτελούν τις τάσεις του σχοινιού στα σηµεία του Ο και Μ αντιστοίχως, έχουν δε εφαπτοµε

13 νικές διευθύνσεις, οπότε η T είναι οριζοντια ένω η T σχηµατίζει µε την ορι ζόντια διύθυνση γωνία φ, ίση µε την αντίστοιχη κλίση της καµπύλης του σχοι νιού στο σηµείο Μ. Λόγω της ισορροπίας του τµήµατος ΟΜ ισχύουν οι σχέσεις: (F x ) = (F y ) = T - T = x w - T y = = T w = T%µ & ' ( = w () Σχήµα 6 Όµως ισχύει w=w * s και εφφ=dy/dx, οπότε η () γράφεται: dy dx = w *s () ii) Εάν στην περιοχή του σηµείου Μ θεωρήσουµε στοιχειώδες τµήµα του σχοι νιού µήκους ds, θα έχουµε: ds = dx + dy ds dx = dx + dy = + dy dx & dx% () ds dx = + w * s & % d w * s / = + w * s / w * ds = dx + w * s / & dx (3) % Ολοκληρώνοντας την (3) παίρνουµε την σχέση: d w * s / = w * x w + C sinh - * s & T + w * s / % = w * x + C (4) όπου sinh - (w * s/ ) η αντίστροφη συνάρτηση του υπερβολικού ηµιτόνου:

14 sinh w * s & = ew*s /T - e- w*s /T % (5) To C είναι µια σταθερά ολοκλήρωσης, που θα προκύψει από το γεγονός ότι για x= είναι s=, οπότε η (4) σε συνδυασµό µε την (5) δίνει C=. Άρα η τελική µορφή της (4) είναι: w sinh - * s & % = w * x w * s = sinh w * x & s = T sinh w * x & (6) % w * % Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (6) παίρνουµε: dy dx = w * sinh w * x & w * % dy = sinh w * x & dx % dy = T sinh w * x & d w * x & (7) w * % % Oλοκληρώνοντας την (7) παίρνουµε: y = w * sinh w * x & d w * x & + C' y = ' T cosh w * x & + C' (8) % % w * % H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει αν παρατηρήσουµε ότι για y= είναι x=, οπότε η (8) δίνει: = e + e - w * & + C' C'= - % Έτσι η τελική µορφή της (8) είναι: w * y = T ' cosh w *x * ) & -, y = e w*x /T + e- w*x /T w * ( % + w * - & % y = y ew *x / + e - w *x /T ( - ) µε y = (9) w * H (9) εκφράζει µια αλυσοειδή καµπύλη. P.M. fysikos Υλικό σηµείο µάζας m, µπορεί να κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επί πεδο Οxy υπό την επίδραση µιας δύναµης F, η οποία καθορίζεται από την διανυσµατική σχέση:

15 F = -kmv y όπου k θετικός συντελεστής αναλογίας, v y η αλγεβρική τιµή της y-συ νιστώσας της ταχύτητάς του v και το µοναδιαίο διάνυσµα του άξο να Οy. Την χρονική στιγµή t= το υλικό σηµείο βρίσκεται στην αρχή Ο των αξόνων η δε ταχύτητά του είναι: v = v ( i + ) όπου i µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα Οx και v θετική σταθερή ποσό τητα. i) Να εκφράσετε το µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου σε συ νάρτηση µε τον χρόνο και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. ii) Να βρείτε την εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου. ΛΥΣΗ: i) Εφαρµόζοντας για το υλικό σηµείο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: m d v = F m d v = -kmv y dv x i + dv y dv = -kvy x / = dv y / = -kv y () Ολοκληρώνοντας την πρώτη από τις διαφορικές εξισώσεις () παίρνουµε v x =C, όπου η σταθερά ολοκλήρωσης C, θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη v x ()= =v /, οπότε θα ισχύει C=v / που σηµαίνει ότι: v x = v / () Ολοκληρώνοντας την δεύτερη από τις διαφορικές εξισώσεις () παίρνουµε: dv y /v y = -k lnv y = -kt + C' (3) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης, που θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη v y () = =v /, οπότε η (3) δίνει ln(v /) =C'. Έτσι η σχέση (3) γράφεται: lnv y = -kt + ln v / ln v y & = -kt v / % v y v = e -kt v y = v e-kt (4)

16 Το µέτρο της ταχύτητας v του υλικού σηµείου είναι: v = v x + v y (),(3) v = v + v e-kt = v + e-kt (5) Από την (5) προκύπτουν για κάθε t, οι σχέσεις: και dv = v (-k) + e -kt = -v k ( + e -kt ) / < d v = -v k (-k) ( + e -kt ) = v k 3 / ( + e -kt ) > 3 / οι οποίες εγγυώνται ότι η συνάρτηση v=v(t) είναι φθίνουσα, το δε διάγραµµά της στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Επειδή για t + είναι e -kt, το διάγ ραµµα καταλήγει ασυµπτωτικά στην ευθεία v =v / (σχ. 7). ii) Οι σχέσεις () και (3) γράφονται: Σχήµα 7 dx/ = v / dy/ = v e -kt / dx= v / dy= v e -kt / (6) Ολοκληρώνοντας τις σχέσεις (5) παίρνουµε: x = v t / + C y = -v e -kt / k + C (7) Oι σταθερές ολοκλήρωσης C, C θα βρεθούν από τις αρχικές συνθήκες, ότι για t= είναι x= και y=, οπότε θα έχουµε: = + C = -v / k + C C = C = v / k

17 Έτσι οι σχέσεις (6) γράφονται: x = v t / / k y = v - e -kt (8) Απαλοίφοντας τον χρόνο t µεταξύ των σχέσεων (7) έχουµε: Σχήµα 8 y = v - e -k x /v / k (9) Η γραφική παράσταση της (9) είναι η ανερχόµενη εκθετική καµπύλη γραµµή του σχήµατος (8). P.M. fysikos Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται χωρίς τριβή επί στερεάς έλικας, η οποία περιγράφεται σ ένα σύστηµα συντεταγµένων Οxψz από τις εξισώσεις: x = R, y = Rµ, z = όπου R, λ σταθερές και θετικές ποσότητες και θ µια συνάρτηση του χρόνου t. To υλικό σηµείο εκτός από το βάρος του m g δέχεται και ελκτική κεντρική δύναµη F, η οποία εκπορεύεται από το σηµείο Ο και περιγράφεται από την διανυσµατική σχέση: F = - m r όπου r το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου ως προς το Ο και α θετική σταθερή ποσότητα. Να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που καθο ρίζει την συνάρτηση θ=θ(t). ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το υλικό σηµείο κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, που το διάνυσµα θέσεώς του ως προς την αρχή Ο του συστήµατος συντεταγµένων είναι r και η ταχύτητά του v. Εφαρµόζοντας την στιγµή αυτή τον δεύτερο νό µο κίνησης του Nεύτωνα, παίρνουµε την σχέση:

18 m d r = m g - m r + N () όπου N η αντίδραση της τροχιάς, η οποία είναι κάθετη στην ταχύτητα v λόγω της απουσίας τριβής. Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικώς και τα δύο µέλη της () µε το διάνυσµα v = d r / παίρνουµε την σχέση: Σχήµα 9 m d r d r % ' = m g d r % ' - m( r d r % ' + N d r % ' () & Όµως ισχύει ( N d r /)= οπότε η () γράφεται: d r d r % ' = g d r % ' - ( r d r % ' (3) & Eξάλλου για το διάνυσµα r ισχύει η σχέση: r = R i + R%µ + & k (4) όπου i,, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Οz αντιστοίχως. Παραγωγίζοντας την (4) ως προς τον χρόνο t έχουµε: d r = d r d d d = -Rµ i + R% + & k Παραγωγίζοντας την (5) ως προς τον χρόνο έχουµε: (5)

19 d d r = d -Rµ i + R% + & k d + -Rµ i + R% + & k d r = d d -Rµ i + R% + & k + d d + -Rµ i + R% + & k d + d r = -R i - R%µ + & k ' d * ), ( + + d + -Rµ i + R% + & k d r, d % = -R. ' -., -R d %. ' -. Λόγω της (5) θα έχουµε: ()* + d / +µ i - (µ - d / )*+ + d k (6) g d r % ' = -g( d) (7) Λόγω των (4) και (5) θα έχουµε: r d r % d( % ' =-R ' )µ(*+,(+r ('(t))µ(*+,(+- ((t) d( % ' =- ((t) d( % ' (8) Λόγω των (5) και (6) θα έχουµε: d r d r, d % -R. ' -. % - d( % ' & =-R / '. / - )*+( + (''(t),µ( - d( % / ',µ( -. (µ - d / )*+ d % d % ' )*+ + ' d =

20 , d % =-R. ' -. 3 (µ)*+ + d % ' d (µ d % - ' 3 (µ)*+ + + d % d ' ()* + d % d - +. ', = d % R ' d ) + d % ( ' d r d r % ' = (R + ( ) d) % ' & Η σχέση (3) µε βάση τις (7), (8) και (9) γράφεται: d d ) (9) d & ( R + ) % ( ' d d & = -g % ( - ) (t) d & % ( ' ' ( R + ) d (t) + (t) = - g () Η () είναι η ζητούµενη διαφορική εξίσωση, η οποία είναι µια µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές. P.M. fysikos Μια µη οµογενής ράβδος ΑΒ µήκους L και αµελητέας µάζας, µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος δύο κατακόρυφων οδηγών όπως φαίνεται στο σχήµα, ενώ οι άκρες Α και Β της ράβδου συν δέονται µε αβαρές σχοινί που διέρχεται από το αυλάκι σταθερής τρο χαλίας. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση, όταν οι δύο κλάδοι του σχοινιού παρουσιάζουν ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση γω νία π/6. Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της τροχαλίας και του σχοινιού είναι µ να βρεθεί η µέγιστη απόσταση του κέντρου µά ζας της ράβδου από το µέσο της. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι το κέντρο µάζας C της ράβδου βρίσκεται δεξιά από το µέσον της M σε απόσταση d από αυτό. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια υπό την επίδραση του βάρους της m g, των τάσεων F, F του σχοινιού που συνδέει τις άκρες της Α, Β και των οριζόντιων δυνάµεων επαφής N, N από τους δύο κατακόρυφους τοίχους (σχ. ). Λόγω της ισορροπίας της ράβδου η συνιστα µένη ροπή των δυνάµεων αυτών περί το µέσον M είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: (M) = F,y L - F,y L + mgd = F Lµ - F Lµ + mgd = () Ακόµη η συνισταµένη των κατακόρυφων δυνάµεων που δέχεται η ράβδος είναι

21 µηδενική, δηλαδή έχουµε την σχέση: F,y + F,y - mg = F µ + F µ = mg () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: F Lµ - F Lµ = -( F µ + F µ )d F L - F L = -( F + F )d ( F + F )d = ( F - F )L ( d = F - F )L F + F = L - F / F & (3) + F / F % Σχήµα Στην συνέχεια θα εξετάσουµε το τµήµα του σχοινιού που βρίσκεται σε επαφή µε το αυλάκι της τροχαλίας. Θεωρώντας ένα στοιχειώδες τµήµα του σχοινιού αυτου, το οποίο φαίνεται εκ του κέντρου της Ο υπό την στοιχειώδη γωνία dφ (σχ. ) παρατηρούµε ότι αυτό δέχεται τις δυνάµεις F και F στις άκρες του από τα εκατέρωθεν αυτού µέρη του σχοινιού, οι οποίες είναι εφαπτοµενικές της τροχαλίας και την δύναµη επαφής από την τροχαλία, η οποία αναλύεται στην εφαπτοµενική τριβή d T και στην κάθετη αντίδραση d N, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο της τροχαλίας. Λόγω της ισορροπίας του στοιχειώδους τµήµατος, η συνισταµένη δύναµη κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης (e) στο µέσον του θα είναι µηδενική, δηλαδή θα ισχύει:

22 -F e + F e - dt = -F( d/) + F ( d/) - dt = F - F = dt df = dt (4) διότι συν(dφ/), ενώ τέθηκε F -F=dF. Eξάλλου η ισορροπία του στοιχειώ δους τµήµατος που εξετάζουµε, µας επιτρέπει κατά την κάθετη επί την εφαπτο µένη διεύθυνση να γράψουµε την σχέση: (4) F µ(d/) + F µ(d/) - dn = F d/) + ( F + dt) d/ = dn Fd/ + dt d/ + F d/ = dn διότι ηµ(dφ/) df/. Όµως το γινόµενο dτ.dφ/ είναι διαφορικό δεύτερης τάξε ως και µπορεί να παραλειφθεί, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: Fd = dn (5) Eπειδή η τριβή d T είναι στατική ισχύει η σχέση: (4),(5) dt µ dn df µ Fd df/f µ d (6) Oλοκληρώνοντας την (6) έχουµε: F F ( df/f) µd ln F % ' ( µ) & F F / F e µ F / F e µ (7) όπου F, F οι δυνάµεις που δέχεται στις άκρες του το τµήµα του σχοινιού που εφάπτεται στο αυλάκι της τροχαλίας. Όµως οι δυνάµεις αυτές είναι αντί θετες των δυνάµεων F, F αντιστοίχως, οπότε η σχέση (7) γράφεται: F / F e µ/3 ( F / F ) min = e µ/3 (8) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (8) παίρνουµε την ζητούµενη µέγιστη τιµή της απόστασης d, δηλαδή θα έχουµε: min min d max = L - F / F + F / F & %& = L ) - e ' (µ/3, + * + e ' (µ/3. - P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος () η σταθερή τροχα λία έχει µάζα Μ και ακτίνα R από το αυλάκι της οποίας διέρχεται

23 σχοινί αµελητέας µάζας. Εάν το σώµα Σ ανέρχεται µε επιτάχυνση a =- g / και το σχοινί ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας να βρείτε: i) την οριζόντια δύναµη Q που πρέπει να εφαρµόζεται στο ελεύθερο άκρο Α του σχοινιού και ii) την θερµότητα που ελευθερώνεται σε χρόνο t * αφότου άρχισε να ενεργεί η δύναµη Q. Δίνεται η µάζα m του σώµατος Σ, η ροπή αδρά νειας Ι=ΜR / της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της και ο συντελεστής τριβής oλισθήσεως n µεταξύ τροχαλίας και σχοινιού. ΛΥΣΗ: i) To σώµα Σ ανέρχεται επιταχυνόµενο υπό την επίδραση του βάρους του m g και της τάσεως F του νήµατος που το συγκρατεί, σύµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: F - mg = ma F = mg + mg/ = 3mg/ () Σχήµα Στην συνέχεια θα εξετάσουµε το τµήµα του σχοινιού που βρίσκεται σε επαφή µε το αυλάκι της τροχαλίας. Θεωρώντας ένα στοιχειώδες τµήµα του σχοινιού αυτου, το οποίο φαίνεται εκ του κέντρου της Ο υπό την στοιχειώδη γωνία dφ, (σχ. ) παρατηρούµε ότι το τµήµα αυτό δέχεται τις δυνάµεις F, F στις άκρες Σχήµα του από τα εκατέρωθεν αυτού µέρη του σχοινιού, οι οποίες είναι εφαπτοµενι

24 κές της τροχαλίας και την δύναµη επαφής από την τροχαλία, η οποία αναλύε ται στην εφαπτοµενική τριβή ολίσθησης d T και στην κάθετη αντίδραση d N, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο της τροχαλίας. Εφάρµόζοντας για το σστοιχειώδες αυτό τµήµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης (e) στο µέσον του παίρνουµε την σχέση: -F e + F e - dt = dm a -F e + F e = dt διότι η µάζα dm του στοιχειώδους τµήµατος του σχοινιού είναι σχεδόν µηδενι κή, λόγω του αµελητέου µήκους του αλλά και της αµελητέας γραµµικής πυκνό τητας του σχοινιού. Η πιο πάνω σχέση γράφεται: -F( d/) + F ( d/) = dt F - F = dt df = dt () διότι συν(dφ/), ενώ τέθηκε F -F=dF. Eξάλλου η συνισταµένη δύναµη που δέχεται το στοιχειώδες τµήµα του σχοινιου κατά την κάθετη επί την εφαπτο µένη διεύθυνση, ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη, δηλαδή µας επιτρέπει να γρά ψουµε την σχέση: F µ(d/) + F µ(d/) - dn = dmv / R () F d/) + ( F + dt) d/ = dn Fd/ + dt d/ + F d/ = dn όπου v το µέτρο της ταχύτητας του στοιχειώδους τµήµατος ενώ τέθηκε ηµ(dφ/) df/. Όµως το γινόµενο dτ.dφ/ είναι διαφορικό δεύτερης τάξεως και µπορεί να παραλειφθεί, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: Fd = dn (3) Eπειδή η τριβή d T είναι τριβή ολισθήσεως ισχύει η σχέση: (),(3) dt = ndn df = nfd df/f = nd (4) Oλοκληρώνοντας την (4) έχουµε: Q F ( df/f) / = nd ln Q % ' = n( / F & Q/ F = e n / Q= F e n / (5) όπου F η δύναµη που δέχεται στην αριστερή άκρη του το τµήµα του σχοινιού που εφάπτεται στο αυλάκι της τροχαλίας. Όµως η δύναµη F είναι αντίθετη της δύναµης F, οπότε η σχέση (5) γράφεται: () Q= F e n / Q= 3mg en / (6)

25 ii) Σε χρόνο t * το ελευθερο άκρο Α του οριζόντιου νήµατος θα µετατοπιστεί όσο και το σώµα Σ, δηλαδή κατα gt * /4. Στον χρόνο αυτόν µέσω του έργου της δύναµης Q προσφέρεται στο σύστηµα τροχαλία σώµα ενεργεια W Q που δίνεται από την σχέση: W = Q gt * Q 4 (6) W = 3mg t * Q 8 e n / (7) Στον ίδιο χρόνο η µηχανική ενέργεια του σώµατος Σ αυξάνεται κατά: W = mv * + mg gt * 4 = mg t * 8 + mg t * 4 = 3mg t * 8 (8) η δε αντίστοιχη αύξηση της µηχανικής ενέργειας της τροχαλίας θα είναι: W = I * = MR 4 * (9) όπου η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας την χρονική στιγµή t *. Eφαρµόζοντας για το σύστηµα τροχαλία-σχοινί που εφάπτεται στο αυλάκι της τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: (),(6) QR - F R = I ( Q - F )R = MR / 3mg en / - 3mg = MR = 3mg MR en / ( - ) () όπου ' η σταθερή γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής της τροχαλίας. Εποµένως θα έχουµε ω * =ω t * και η (9) γράφεται: W = MR 4 t * W = 9m g t * 4M en / ( - ) () Εξάλλου, αν q είναι η θερµότητα που ελευθερώνεται στο περιβάλλον του συστήµατος σε χρόνο t *, λόγω της τριβής ολισθήσεως µεταξύ του σχοινιού και της τροχαλίας, θα έχουµε συµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας την σχέση: W Q = W + W + q q = W - W Q ( + W ) η οποία λόγω των (7), (8) και () γράφεται: q = 3mg t * 8 e n / - 3mg t * 8 + 9m g t * 4M en / - % ' & q = 3mg t * 8 ( e n / - ) - 9m g t * 4M en / ( - )

26 q = 3mg t * 8 Παρατήρηση: ( e n / - ) - 6m % ( M en / - ) ' () & H () είναι αποδεκτή, εφ όσον ισχύει: - 6m ( M en / - ) > > 6m ( M en / - ) M 6m + > en / ln M 6m + & > n' % n < ln M 6m + % ' & Ο αναγνώστης ας αποδείξει ότι, στην περίπτωση αυτή η τριβή έχει την φορά που φαίνεται στο σχήµα (), ενώ έχει την αντίθετη φορά στην περίπτωση που ισχύει: n > ln M 6m + % ' & P.M. fysikos