Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Καλώς ήρθατε στη Θεωρία Γραμμικών Τελεστών! (712 & ΘΕΜ.13) Εαρινό Εξάμηνο

2 Τελεστές Γουατ ιζ αν Οπερέιτωρ; Παράδειγμα 1. T : f a 1 f + a 2 f + a 3 f : διαφορικός τελεστής (εδώ a i «καλές» συναρτήσεις). Πού ορίζεται; Στον χώρο C 2 (Ω). Ορίζεται η T (f ) όταν η f δεν παραγωγίζεται; Μήπως αρκεί να παραγωγίζεται με την «ασθενή έννοια»; Εστω f, g -παραγωγίσιμες, με συμπαγή φορέα. Τότε + fg = [fg] + f g = f g, οπότε f g = fg. Οπότε ορίζω ασθενή παράγωγο της f μια h που ικανοποιεί hg = fg για κάθε g -παραγωγίσιμη. Τώρα ο T μπορεί να ορισθεί σε «μεγαλύτερο» χώρο. Παράδειγμα 2. T :. [a i,j ]. x 1 x n x 1 x n (x i C,[a i,j ] M n (C))

3 Τελεστές Παράδειγμα 3. T : f (Tf )(x) = 1 2π 2π 0 g(x y)f (y)dy: ολοκληρωτικός τελεστής (εδώ g «καλή» συνάρτηση, 2π-περιοδική) Παρατήρηση: Αν f n (x) = e inx βρίσκω Tf n = ĝ(n)f n (n Z), f 1... ĝ( 1) f 1 δηλαδή T : f ĝ(0) 0... f 0 f ĝ(1)... f Ο T διαγωνοποιήθηκε!... Ως προς την {f n : n Z}. Είναι γραμμ. ανεξάρτητα. Γιατί; Γιατί είναι ορθοκανονικά. Άρα είναι βάση του χώρου που παράγουν. Ο χώρος αυτός δεν είναι πλήρης, είναι όμως πυκνός στους χώρους που ενδιαφέρουν στην Ανάλυση...

4 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Ορισμός Εστω E K-γραμμικός χώρος (K = R ή C). Ενα εσωτερικό γινόμενο (inner product ή scalar product) στον E είναι μια απεικόνιση, : E E K τέτοια ώστε (i) (ii) x 1 + λx 2,y = x 1,y + λ x 2,y x,y = y,x (iii) x,x 0 (iv) x,x = 0 x = 0 για κάθε x,x 1,x 2,y E και λ K. άρα (i) x,y 1 + λy 2 = x,y 1 + λ x,y 2.

5 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Πρόταση (Ανισότητα Cauchy-Schwarz) Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, (α) για κάθε x,y E ισχύει x,y x,x 1/2 y,y 1/2. (β) Ισότητα ισχύει αν και μόνον αν τα x,y είναι γραμμικά εξαρτημένα. Άσκηση Δείξτε την Cauchy-Schwarz (α) για ημι-εσωτερικό γινόμενο. Πρόταση Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, η απεικόνιση. : E R + όπου x = x,x 1/2 είναι νόρμα στον E, δηλαδή ικανοποιεί, για κάθε x,y E και λ K, (i) x + y x + y (ii) λx = λ x (iii) x = 0 x = 0.

6 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Πόρισμα Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, η απεικόνιση (E,. ) (E,. ) (K,. ) : (x,y) x,y είναι συνεχής. Πρόταση (α) (Κανόνας Παραλληλογράμμου) για κάθε x,y E, x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2. (β) (Πυθαγόρειο Θεώρημα) αν x,y E και x,y = 0, τότε x + y 2 = x 2 + y 2.

7 Καθετότητα Ορισμός Δύο στοιχεία x, y ενός χώρου E με εσωτερικό γινόμενο λέγονται κάθετα (συμβολικά x y) όταν x,y = 0. Μια οικογένεια {e i : i I } E λέγεται ορθοκανονική (orthonormal) αν e i,e j = δ ij για κάθε i,j I. ορθοκανονική γραμμικά ανεξάρτητη. Προς την αντίστροφη: Πρόταση (Διαδικασία Gram-Schmidt) Αν {x n : n N} είναι μια γραμμικά ανεξάρτητη ακολουθία σ έναν χώρο (E,.,. ) με εσωτερικό γινόμενο, τότε υπάρχει μια ορθοκανονική ακολουθία {e n : n N} στον E ώστε, για κάθε k N, να ισχύει 1 [e n : n = 1,2,...,k] = [x n : n = 1,2,...,k]. Κάθε υπόχωρος F E πεπερασμένης διάστασης έχει μια αλγεβρική βάση {e 1,...,e n } που είναι ορθοκανονική. Κάθε x F γράφεται μοναδικά x = n x,e k e k. k=1 1 με [A] ή spana θα συμβολίζουμε την γραμμική θήκη ενός A E.

8 Το πλησιέστερο διάνυσμα (βέλτιστη προσέγγιση) (Ι) Λήμμα Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο, x E και {e 1,e 2,...,e n } πεπερασμένη ορθοκανονική ακολουθία στον E. Το διάνυσμα y x = n k=1 x,e k e k είναι το (μοναδικό) πλησιέστερο στο x στοιχείο του υποχώρου F = span{e 1,e 2,...,e n }. Επιπλέον το x y x είναι κάθετο στον F και αντίστροφα, αν y F και x y F, τότε y = y x. Δηλαδή η απεικόνιση K n R + n : (λ 1,λ 2,...,λ n ) x k e k k=1λ έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο ( x,e 1, x,e 2,..., x,e n ).

9 Το πλησιέστερο διάνυσμα (Βέλτιστη προσέγγιση) (Ι) Απόδειξη Λήμματος Κάθε y F γράφεται y = n k=1 y,e k e k. Τώρα: (x y) F x y,e k = 0 k, y,e k = x,e k k, y = y x. Αν (λ 1,λ 2,...,λ n ) K n, x n k=1 λ k e k = ( x n k=1 )+( n ) x,e k e k ( x,e k λ k )e k = z +y 1 k=1 παρατηρούμε ότι z F (γιατί z,e k = 0 για k = 1,...n) και y 1 F, άρα y 1 z. Πυθαγόρειο: z +y 1 2 = z 2 + y 1 2 δηλαδή n 2 x λ k e k k=1 = = n 2 x x,e k e k + k=1 n 2 x x,e k e k + k=1 n k=1 n k=1 ( x,e k λ k )e k 2 x,e k λ k 2 (1)

10 Bessel κ.λπ. Παρατήρηση Εστω E χώρος με εσωτ. γιν. και {e 1,e 2,...} ορθοκανονική ακολουθία. n 2 x x,e k e k = x 2 k=1 n k=1 x,e k 2 x E,n N. (από την (1) με λ k = 0). Πρόταση (Ανισότητα Bessel) (ι) n k=1 x,e k 2 x 2 (ιι) Στην (ι) ισχύει ισότητα αν και μόνον αν x [e i : i = 1,...,n]. Πρόταση (Γενικευμένη ανισότητα Bessel) x,e n 2 x 2. n=1

11 Χώροι Hilbert Ορισμός Ενας χώρος (E,.,. ) με εσωτερικό γινόμενο λέγεται χώρος Hilbert αν είναι πλήρης ως προς την μετρική που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο. Παραδείγματα (a) Ο χώρος K n, με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, είναι βέβαια χώρος Hilbert. Είναι επίσης πλήρης ως προς την νόρμα., αλλά δεν είναι χώρος Hilbert ως προς αυτήν (γιατί δεν ικανοποιείται ο κανόνας του παραλληλογράμμου), μολονότι οι δυο νόρμες είναι ισοδύναμες. (b) Ο χώρος l 2, με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, είναι χώρος Hilbert, και ο χώρος c oo των ακολουθιών με πεπερασμένο φορέα είναι πυκνός υπόχωρος του. Επομένως ο χώρος (c oo,. 2 ) είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο αλλά όχι Hilbert, εφ όσον δεν είναι πλήρης. (c) Ο χώρος C([a,b]) δεν είναι πλήρης ως προς την νόρμα. 2 που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο. Ο (L 2 ([a,b]),. 2 ) είναι Hilbert.

12 Ορθογώνιες διασπάσεις Θεώρημα (Πλησιέστερο διάνυσμα (ΙΙ)) Εστω H χώρος Hilbert, E κλειστός γραμμικός υπόχωρος του H. Αν x H \ E, τότε υπάρχει μοναδικό y E πλησιέστερο προς το x, δηλαδή τέτοιο ώστε x y = d(x,e) inf{ x z : z E}. Το μοναδικό αυτό στοιχείο y του E ονομάζουμε (ορθή) προβολή του x στον E, και το συμβολίζουμε P E (x) ή P(E)x. Από την απόδειξη του Θεωρήματος: Παρατήρηση Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο, F κυρτό και πλήρες υποσύνολο του E. Αν x E \ F, τότε υπάρχει μοναδικό y F πλησιέστερο προς το x, δηλαδή τέτοιο ώστε x y = d(x,f ) inf{ x z : z F }.

13 Ορθογώνιες διασπάσεις Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert, E κλειστός γραμμικός υπόχωρος του H. Αν x H \ E, τότε το διάνυσμα x P E (x) είναι κάθετο στον E. Αντίστροφα αν y 0 E και (x y 0 ) E τότε y 0 = P E (x). Πόρισμα ( Υπαρξη καθέτου διανύσματος) Αν H είναι χώρος Hilbert και M είναι γνήσιος κλειστός υπόχωρος του H τότε υπάρχει z H, z 0 ώστε z M. Η απόσταση του z από τον M είναι η μεγαλύτερη δυνατή : d(z,m) = z.

14 Ορθογώνιες διασπάσεις Πόρισμα Ενας γραμμικός υπόχωρος E ενός χώρου Hilbert H είναι πυκνός (dense) στον H αν και μόνον αν το μόνο διάνυσμα του H που είναι κάθετο στον E είναι το 0. Ορισμός (κάθετος υπόχωρος) Αν A είναι μη κενό υποσύνολο ενός χώρου E με εσωτερικό γινόμενο, θέτω A = {x E : x,y = 0 για κάθε y A}. Παρατηρήσεις (α) Ο A είναι πάντα κλειστός γραμμικός υπόχωρος του E. (β) A = {0} span(a) πυκνός στον E.

15 Ορθογώνιες διασπάσεις Θεώρημα (Ορθογώνια διάσπαση) Αν M είναι κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H, τότε Πόρισμα (Ορθή προβολή) M M = H. Εστω M κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H. Η απεικόνιση P M : H H : y P M (y) είναι γραμμική και συνεχής. Παράδειγμα Στον (c 00,, ) υπάρχει γνήσιος κλειστός υπόχωρος M, ώστε M = {0}. { M = x =(x(n)) c 00 : x(n) } n = 0.

16 Ο δυϊκός ενός χώρου Hilbert Λήμμα Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Αν x E, ονομάζουμε f x την απεικόνιση f x : E K : y y,x. Η f x είναι γραμμική και συνεχής. Θεώρημα (Riesz) Εστω H χώρος Hilbert. Για κάθε γραμμική και συνεχή f : H K υπάρχει μοναδικό x H ώστε f = f x, δηλ. f (y) = y,x για κάθε y H.

17 Ορθοκανονικές Βάσεις Υπενθύμιση Ενα υποσύνολο X ενός K-γραμμικού χώρου V είναι γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο {x 1,...,x n } X είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αν δηλαδή ισχύει η συνεπαγωγή (λ 1,λ 2,...,λ n ) K n \ {0} n k=1 λ kx k 0. Το X είναι (αλγεβρική) βάση του V αν η γραμμική του θήκη span(x ) ισούται με V, δηλαδή αν κάθε v V είναι γραμμικός συνδυασμός v = n k=1 λ kx k στοιχείων x k X. Ορισμός Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Μια οικογένεια {e i : i I } E λέγεται ορθοκανονική βάση του E αν (i) είναι ορθοκανονική και (ii) Η γραμμική θήκη της είναι πυκνός υπόχωρος του E, δηλ. span{e i : i I } = E. Παρατήρηση Σε απειροδιάστατους χώρους, μια αντικανονική βάση δεν είναι συνήθως αλγεβρική βάση (π.χ. στον l 2 ).

18 Ορθοκανονικές Βάσεις Παρατήρηση Εστω C = {e i : i I } ορθοκανονική οικογένεια σ έναν χώρο Hilbert H. Η C είναι βάση του H αν και μόνον αν είναι μεγιστική, αν δηλαδή δεν περιέχεται σε κανένα ορθοκανονικό υποσύνολο του H (εκτός από την C ), ισοδύναμα αν το μόνο στοιχείο του H που είναι κάθετο στην C είναι το 0.

19 Ορθοκανονικές Βάσεις Πρόταση Κάθε διαχωρίσιμος 2 χώρος E με εσωτερικό γινόμενο περιέχει μια ορθοκανονική βάση (και αντίστροφα). Μάλιστα, αν F E πυκνός υπόχωρος, μπορώ να βρω ορθοκανονική βάση του E μέσα στον F (π.χ. E = C([0,1]) και F = πολυώνυμα). Θεώρημα Εστω {e n : n N} ορθοκανονική βάση σ έναν χώρο E με εσωτερικό γινόμενο. Τότε, για κάθε x E, (ι) x = x,e n e n ( σύγκλιση ως προς τη νόρμα του E). n=1 (ιι) x 2 = x,e n 2. n=1 2 Το ευθύ ισχύει και σε μη διαχωρίσιμους

20 Ορθοκανονικές Βάσεις Απόδειξη Εστω x E και ε > 0. Υπάρχουν n N και λ 1,...λ n K ώστε n x λ k e k < ε. k=1 Ομως πάντα n 2 n 2 x λ k e k x x,e k e k k=1 Ξέρουμε όμως (Πυθαγόρειο) x 2 n k=1 k=1 x,e k 2 n 2 = x x,e k e k < ε 2. k=1

21 Ορθοκανονικές Βάσεις Αν m n, έχουμε και συνεπώς m 2 x x,e k e k = x 2 k=1 για κάθε m n. Επομένως lim m x Πόρισμα m k=1 n k=1 m k=1 x,e k 2 m k=1 x,e k 2 x 2 x,e k 2 n k=1 x,e k 2 < ε 2 m x,e k e k = 0 και lim m x,e k 2 = x 2. k=1 Αν {e n : n N} είναι ορθοκανονική βάση σ έναν χώρο με εσωτερικό γινόμενο E, για κάθε x,y E έχουμε x,y = n=1 x,e n e n,y = n=1 x,e n y,e n.

22 Ισομορφισμοί Δείξαμε: Εστω {e n : n N} ορθοκανονική βάση σ έναν χώρο E με εσωτερικό γινόμενο. Τότε, για κάθε x E, x 2 = n=1 x,e n 2. Άρα η απεικόνιση (E, ) (l 2, 2 ):x ( x,e n ) n είναι (γραμμ.) ισομετρική εμφύτευση. Η εικόνα της είναι πυκνή στον l 2. (Άρα, ο E έχει μια πλήρωση που είναι χώρος Hilbert.) Θεώρημα Κάθε απειροδιάστατος διαχωρίσιμος 3 χώρος Hilbert H είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον l 2. Ακριβέστερα, αν {x n } είναι μια ορθοκανονική βάση του H, η απεικόνιση U : H l 2 : x ( x,x n ) n απεικονίζει τον H (γραμμικά και) ισομετρικά επί του l 2. 3 Ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει και για μη διαχωρίσιμους χώρους.

23 Η πλήρωση Πρόταση Αν (E,.,. ) είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, υπάρχει χώρος Hilbert (H,.,. ) και γραμμική και ισομετρική εμφύτευση φ : E H με πυκνή εικόνα. Ο H είναι «ουσιαστικά μοναδικός», με την έννοια ότι αν (K,.,. ) είναι χώρος Hilbert και ψ : E K γραμμική ισομετρία με πυκνή εικόνα, τότε υπάρχει γραμμική ισομετρία T από τον H επί του K ώστε T (φ(x)) = ψ(x) για κάθε x E. Ο χώρος Hilbert (H,.,. ) λέγεται η πλήρωση του (E,.,. ). E φ φ(e) H = φ(e) id T E ψ ψ(e) K = ψ(e)

24 Ο L 2 ([a,b]), ο L 2 (R) Χωρίς Μέτρο Θεωρώ τον E = (C([a,b]),, ) όπου f,g = b a f (t)g(t)dt. Ονομάζω L 2 ([a,b]) την πλήρωση του E. Θεωρώ τον F = (C c (R),, ) όπου f C c (R) σημαίνει f : R C συνεχής και υπάρχει K f R συμπαγές ώστε f (t) = 0 όταν t / K f. Θέτω f,g = f (t)g(t)dt. K f Ονομάζω L 2 (R) την πλήρωση του F.

25 Ο L 2 ([a,b]), ο L 2 (R) Με Μέτρο (Παν Μέτρον Άριστον!) Εστω (X,S, µ) χώρος μέτρου (π.χ. ([a,b],b,λ)). Ορισμός Ο χώρος L 2 (X,S, µ) = L 2 (µ) αποτελείται από όλες τις συναρτήσεις f : X R {± } (ή f : X C) που είναι μετρήσιμες και ικανοποιούν f 2 dµ < +. Ο αριθμός X ( 1/2 f dµ) 2 συμβολίζεται f 2. X Θέτω N = {f L 2 (µ) : f 2 = 0}. Αν f,g L 2 (µ), έχω f = g µ-σ.π. f g N. Επίσης, ο N είναι γραμμικός υπόχωρος του L 2. Θέτω f + N 2 := f 2. Είναι καλά ορισμένη νόρμα στον χώρο πηλίκο L 2 (µ) := L 2 (µ)/n. Επεται ότι ο L 2 (µ) αποτελείται από τις κλάσεις ισοδυναμίας συναρτήσεων του L 2 (µ) modulo ισότητα µ-σ.π.

26 Ο L 2 ([a,b]), ο L 2 (R) Θεώρημα (Riesz Fisher) Ο L 2 (µ) είναι πλήρης (άρα είναι χώρος Hilbert αφού η 2 προέρχεται από το εσωτ. γινόμενο f + N,g + N = f (t)g(t)dµ(t)). X Θεώρημα (πόρισμα π.χ. του Luzin) Ο C([a, b]) είναι πυκνός στον L 2 ([a,b],b,λ) ως προς τη νόρμα 2, βεβαίως. Ο C c (R) είναι πυκνός στον L 2 (R,B,λ) ως προς τη νόρμα ν 2.

27 Φραγμένοι τελεστές Υπενθύμιση: E,F γραμμικοί χώροι, T : E F γραμμική: T (x + λy) = T (x) + λt(y) x,y E,λ K. Παραδείγματα; Θεώρημα Αν (E,. E ) και (F,. F ) είναι χώροι με νόρμα και T : E F είναι γραμμική απεικόνιση, τα εξής είναι ισοδύναμα: (α) Η T είναι συνεχής. (β) Η T είναι συνεχής στο 0 E. (γ) Η T είναι συνεχής σε κάποιο σημείο του E. (δ) Υπάρχει M < ώστε Tx F M x E για κάθε x E. (ε) Ο περιορισμός της T στην μοναδιαία μπάλα του E είναι φραγμένη συνάρτηση, δηλαδή το σύνολο { Tx F : x E 1} είναι φραγμένο. (στ) Η T είναι ομοιόμορφα συνεχής.

28 Φραγμένοι τελεστές Παρατήρηση. Καμμιά γραμμική απεικόνιση (εκτός απ την 0) δεν είναι φραγμένη σε όλον το χώρο. Ορισμός Μία γραμμική απεικόνιση T : (E,. E ) (F,. F ) λέγεται φραγμένη ή φραγμένος τελεστής (bounded operator) αν η T απεικονίζει φραγμένα υποσύνολα του E σε φραγμένα υποσύνολα του F. Ισοδύναμα, αν ο περιορισμός της T στην μοναδιαία μπάλα του E είναι φραγμένη συνάρτηση. Αν T : E F είναι γραμμική απεικόνιση, θέτουμε T = sup{ Tx F : x E, x E 1} [0,+ ]. Η Τ είναι φραγμένη αν και μόνον αν T < +.

29 Φραγμένοι τελεστές Πρόταση T = sup{ Tx F : x E, x E 1}. Αν (E, E ),(F, F ) είναι χώροι με νόρμα και T : E F φραγμένος τελεστής, τότε T = sup{ Tx F : x E, x E = 1} { } Tx F = sup : x E,x 0 x E = inf{k > 0 : Tx F k x E για κάθε x E}. Επιπλέον, ισχύει για κάθε x E. Tx F T. x E

30 Φραγμένοι τελεστές Πρόταση Εστω (E,. E ) χώρος με νόρμα, (F,. F ) χώρος Banach, D πυκνός υπόχωρος του E και γραμμική απεικόνιση. Η T δέχεται συνεχή επέκταση T : D F T 1 : E F δηλ. T 1 D = T αν και μόνον αν είναι συνεχής. Η επέκταση T 1 είναι μοναδική (αν υπάρχει) και T 1 = T.

31 Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Αν (E,, ),(F,, ) είναι χώροι με εσωτερικό γινόμενο πεπερασμένης διάστασης, κάθε γραμμική απεικόνιση T : E F είναι συνεχής. Αν επιλέξω ορθοκανονικές βάσεις {e 1,...,e m } του E και {f 1,...,f n } του F, ορίζεται ένας n m πίνακας [a nm ] M nm (K) από την σχέση a ik = Te k,f i,i = 1,...m, k = 1,...n. Αντίστροφα, κάθε [a nm ] M nm (K) ορίζει μια μοναδική απεικόνιση T : E F που ικανοποιεί τη σχέση αυτή. Γενικότερα, κάθε φραγμένος τελεστής T : l 2 l 2 ορίζει έναν πίνακα [ Te k,e i ], όπου {e n : n N} η συνηθισμένη ορθοκανονική βάση του l 2. Δεν ισχύει όμως το αντίστροφο. Παράδειγμα;

32 Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Διαγώνιοι τελεστές Αν a = (a n ), a n C, είναι τυχούσα ακολουθία, η απεικόνιση (x(n)) (a n x(n)) στέλνει τον l 2 στον l 2 ανν (a n ) l και τότε ορίζει φραγμένο τελεστή D a με νόρμα D a = a. Εχουμε D a e k,e i = a k δ ik (διαγώνιος πίνακας). Τελεστές Hilbert-Schmidt Μία ικανή (αλλά όχι αναγκαία) συνθήκη ώστε ένας πίνακας [a ik ] να ορίζει φραγμένο τελεστή T : l 2 l 2 ώστε a ik = Te k,e i για κάθε i,k N είναι η i=1 k=1 a ik 2 < (σύγκρινε με τους διαγώνιους). Εχουμε (Tx)(i) = Tx,e i = k a ik x(k).

33 Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Ολοκληρωτικοί τελεστές στον L 2 ([a,b]) Αν k C([a,b] [a,b]), ορίζουμε b (Kf )(x) = k(x,y)f (y)dy, f C([a,b]). a Ορίζει γραμμικό τελεστή K : (C([a,b]), 2 ) (C([a,b]), 2 ) φραγμένο, με K 2 K(x,y) 2 dxdy. Άρα επεκτείνεται σε K : L 2 ([a,b]) L 2 ([a,b]). Πολλαπλασιαστικοί τελεστές στον L 2 ([a,b]) Αν f C([a,b]), ορίζουμε M o f : C([a,b]) C([a,b]) : g fg (κατά σημείο γινόμενο). Επειδή fg 2 f g 2, ο M o f επεκτείνεται σε M f : L 2 ([a,b]) L 2 ([a,b]) με M f f (μάλιστα, ισότητα). (Αλλιώς: με μέτρο) Πάρε f L (µ) και όρισε M f : L 2 (µ) L 2 (µ) : g fg. Είναι καλά ορισμένος και M f f (ισότητα για σ-πεπερασμένο µ).

34 Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Τελεστές μετατόπισης (shift operators) (α) Στον l 2 (Z): Ue n = e n+1 (μετατόπιση δεξιά) και U e n = e n 1 (μετατόπιση αριστερά) (n Z) Επεκτείνω γραμμικά στον c 00 (Z), παρατηρώ ότι είναι 2 -ισομετρίες, άρα επεκτείνονται σε ισομετρίες l 2 (Z) l 2 (Z). (β) Στον l 2 (Z + ): Se n = e n+1 (μετατόπιση δεξιά) (n Z + ) { και S en 1 όταν n 1 e n = (μετατόπιση αριστερά) 0 όταν n = 0 Επεκτείνω γραμμικά στον c 00 (Z + ), παρατηρώ ότι είναι 2 -συστολές (δηλ. Sx 2 x 2 για κάθε x c 00 (Z + )), άρα επεκτείνονται σε συστολές l 2 (Z + ) l 2 (Z + ).

35 Ο Χώρος των Τελεστών Ορισμός Αν (E,. ),(F,. ) είναι χώροι με νόρμα, ονομάζουμε B(E,F ) το σύνολο όλων των φραγμένων γραμμικών απεικονίσεων T : (E,. ) (F,. ). Οταν E = F, γράφουμε B(E) αντί για B(E,E). Με γραμμ. πράξεις κατά σημείο, δηλ. (T + λs)(x) = Tx + λ(sx) (x E) το σύνολο B(E,F ) γίνεται γραμμικός χώρος. Πρόταση Η απεικόνιση T T είναι νόρμα στον χώρο B(E,F ). Αν επί πλέον ο F είναι πλήρης, ο B(E,F ) είναι χώρος Banach. Οταν E = F, ο B(E) γίνεται (μη μεταθετική, αν dime > 1) άλγεβρα ως προς τη σύνθεση: (TS)(x) = T (S(x)) (x E). Μάλιστα TS T S.

36 Ο συζυγής τελεστής Να δείξουμε Θεώρημα Αν H 1,H 2 είναι δύο χώροι Hilbert και T : H 1 H 2 ένας φραγμένος τελεστής, τότε υπάρχει ένας μοναδικός τελεστής T : H 2 H 1 που ικανοποιεί τη σχέση Tx,y H2 = x,t y H1 για κάθε x H 1, y H 2. Ο T : H 2 H 1 ονομάζεται ο συζυγής (adjoint) του T. Είναι φραγμένος τελεστής και T = T. Παραδείγματα (α) Αν H 1 = H 2 = l 2 (n) και ο T έχει πίνακα [a ij ], ο T είναι ο τελετής που έχει πίνακα [b ij ] όπου b ij = a ji. (β) Αν H 1 = H 2 = l 2 και a l, ο συζυγής του τελεστή D a είναι ο D b, όπου b = a (δηλαδή b(n) = a(n) για κάθε n). (γ) Αν H 1 = H 2 = L 2 ([0,1]) και f C([0,1]), ο συζυγής του τελεστή M f είναι ο τελεστής M g όπου g = f. Δηλαδή M f = M f.

37 Sesquilinear μορφές Ορισμός Μια απεικόνιση φ : H 1 H 2 C λέγεται sesquilinear μορφή αν έχει τις ιδιότητες (i) είναι γραμμική ως προς την πρώτη μεταβλητή, δηλαδή για κάθε y H 2 η απεικόνιση x φ(x,y) : H 1 C είναι γραμμική. (ii) είναι αντιγραμμική ως προς την δεύτερη μεταβλητή, δηλαδή για κάθε x H 1 η απεικόνιση y φ(x,y) : H 2 C είναι γραμμική. Μια sesquilinear μορφή λέγεται φραγμένη, αν επιπλέον έχει την ιδιότητα (iii) sup{ φ(x,y) : x H1 1, y H2 1} := φ < +. Παράδειγμα φ(x,y) = Tx,y όπου T B(H 1,H 2 ). Μάλιστα T = φ, δηλαδή T = sup{ Tx,y : x H1 1, y H2 1}.

38 Sesquilinear μορφές Ταυτότητα πολικότητας (polarization) Αν φ : H H C sesquilinear και φ(x) = φ(x,x) η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή, ( ) ( ) ( ) ( ) x + y x y x + iy x iy φ(x,y) = φ φ + i φ i φ Πρόταση Εστω H μιγαδικός χώρος Hilbert. Μια γραμμική απεικόνιση T :H H είναι φραγμένη αν και μόνον αν Τότε sup{ Tx,x : x H, x 1} < +. sup{ Tx,x : x B H } T 2sup{ Tx,x : x B H }. Επίσης, αν T,S B(H), τότε T = S αν και μόνον αν Tx,x = Sx,x για κάθε x H.

39 Sesquilinear μορφές Θεώρημα Εστω H 1,H 2 χώροι Hilbert. Κάθε φραγμένη sesquilinear μορφή φ : H 1 H 2 C ορίζει έναν μοναδικό φραγμένο τελεστή T B(H 1,H 2 ) από την σχέση Επεται το Θεώρημα φ(x,y) = Tx,y για κάθε x H 1,y H 2. Αν H 1,H 2 είναι δύο χώροι Hilbert και T : H 1 H 2 ένας φραγμένος τελεστής, τότε υπάρχει ένας μοναδικός τελεστής T : H 2 H 1 που ικανοποιεί τη σχέση Tx,y H2 = x,t y H1 για κάθε x H 1, y H 2. Αποδ. Η φ(y,x) := y,tx H2 είναι sesquilinear και φραγμένη.

40 Ο συζυγής μη φραγμένου τελεστή Εστω H 1,H 2 χώροι Hilbert και D H 1 πυκνός γραμμικός υπόχωρος και T : D H 2 γραμμική. Να βρούμε (αν ) γραμμ. υπόχωρο D H 2 και γραμμ. απεικόνιση T : D H 1 ώστε T x,y 1 = x,ty 2 για κάθε x D,y D. (*) Εστω x H 2. Θεωρώ τη γραμμική μορφή f x : D C : y Ty,x 2. Για ποιά x H 2 είναι συνεχής; Αυτά: Ορίζω D := {x H 2 : C x : Ty,x 2 C x y y D}. (Μπορεί D = {0}). Αν x D, τότε (Riesz)!T x H 1 ώστε f x (y) = y,t x 1 για κάθε y H 1. Οπότε Ty,x 2 = y,t x 1 για κάθε y D, δηλαδή ισχύει η (*). Ελέγχω ότι ο D είναι γραμμ. υπόχωρος του H 2 και η x T x : D H 1 γραμμική.

41 Ο συζυγής μη φραγμένου τελεστή Παράδειγμα Εστω H 1 = H 2 = L 2 (R). Θέλω (Tf )(s) = sf (s) (σχεδόν) για κάθε s R, γι αυτό θέτω D = {f L 2 (R) : R sf (s) 2 ds < } (μέγιστο). Τότε T g,f = g,tf τουλάχιστο όταν f D και g D, άρα D D. Ισότητα; Ο συζυγής φραγμένου τελεστή Αν συμβεί ο T να είναι φραγμένος, τότε η f x : y Ty,x 2 είναι συνεχής στο D για κάθε x H 2, αφού Ty,x 2 ( T x ) y. Τότε λοιπόν D = H 2 και ο T είναι αυτομάτως συνεχής, διότι y,t x 1 = Ty,x 2 T x y για κάθε x H 2 και y D άρα (αφού D πυκνός) T x T x για κάθε x H 2 οπότε T T.

42 Τελεστές Πεπερασμένης Τάξης Αν H 1,H 2 είναι χώροι Hilbert, x H 2 και y H 1 ορίζουμε τον τελεστή x y : H 1 H 2 από τον τύπο (x y )(z) = z,y x (z H 1 ). Ο x y είναι φραγμ., x y = x y και (x y ) = y x. Εχουμε (x y )(H 1 ) = span{x}: ο x y είναι πρώτης τάξης. Παράδειγμα Εστω H 1 = H 2 = L 2 (R) και f,g L 2 (R). Τότε (f g )(h) = ( hḡ)f για κάθε h L 2 (R). Κάθε φραγμένος τελεστής T : H 1 H 2 πεπερασμένης τάξης (δηλ. rank(t ) := dimt (H 1 ) = n < ) είναι γραμμ. συνδυασμός τέτοιων: T = n k=1 T (H 1 ) και βάλε y k = T (x k ).) x k y k (πάρε πχ. {x 1,...,x n } ο.κ. βάση του Στο παράδειγμα ( k f k g k )(h)(s) = k(s,t)h(t)dt όπου k(s,t) = k f k (s)ḡ k (t).

43 Ο συζυγής τελεστής Πρόταση Η απεικόνιση T T : B(H 1,H 2 ) B(H 2,H 1 ) έχει τις εξής ιδιότητες: (α) είναι αντιγραμμική, δηλαδή (T + λs) = T + λs. (β) T = T. (γ) T = T. (δ) ( Οταν H 1 = H 2 ) (TS) = S T. (ε) T T = T 2. Ειδικότερα (αν H 1 = H 2 = H), η T T : B(H) B(H) είναι μια ενέλιξη (involution) που ικανοποιεί την λεγόμενη ιδιότητα C, δηλ. την (ε).

44 Κατηγορίες τελεστών Ορισμός Εστω H 1,H 2 χώροι Hilbert. (i) Ενας T B(H 1 ) λέγεται φυσιολογικός (normal) αν T T = TT.(σαν τις συναρτήσεις) (ii) Ενας T B(H 1 ) λέγεται αυτοσυζυγής (self-adjoint) αν T = T. (σαν τις πραγματικές συναρτήσεις) (iii) Ενας T B(H 1,H 2 ) λέγεται ορθομοναδιαίος (unitary) αν T T = I H1 και TT = I H2. (σαν τις συναρτήσεις που f (t) = 1) Παραδείγματα: Ο shift S δεν είναι φυσιολογικός. Κάθε M f είναι φυσιολογικός. Ενας M f είναι αυτοσυζυγής ανν f (t) R για κάθε t. Ο μετασχηματισμός Fourier F : L 2 ([0,2π]) l 2 (Z) είναι ορθομοναδιαίος. Πρόταση Εστω T B(H), όπου H μιγαδικός χώρος Hilbert. Ο T είναι φυσιολογικός αν και μόνον αν Tx = T x για κάθε x H.

45 Κατηγορίες τελεστών Πρόταση Εστω T B(H), όπου H μιγαδικός χώρος Hilbert. Ο T είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν Tx,x R για κάθε x H. Γράφω B h (H) = {T B(H),T = T }. Πρόταση Εστω T B(H), όπου H μιγαδικός χώρος Hilbert. Αν ο T είναι αυτοσυζυγής, τότε T = sup{ Tx,x : x H, x 1}. Πρόταση Εστω T B(H 1,H 2 ), όπου H i μιγαδικοί χώροι Hilbert. Τότε (i) Ο T είναι ισομετρία αν και μόνον αν T T = I H1, ισοδύναμα αν και μόνον αν Tx,Ty = x,y για κάθε x,y H 1. (ii) Ο T είναι ορθομοναδιαίος αν και μόνον αν είναι ισομετρία και επί.

46 Αυτοσυζυγείς και θετικοί τελεστές Κάθε T B(H) γράφεται μοναδικά στην μορφή Ορισμός A = A 1 + ia 2, όπου A i = A i (i = 1,2). (i) Ενας τελεστής T B(H) λέγεται θετικός (positive) αν Tx,x 0 για κάθε x H (οπότε T B h (H)). Το σύνολο των θετικών τελεστών συμβολίζουμε B + (H). (ii) Αν T,S B h (H), ορίζουμε T S αν Tx,x Sx,x για κάθε x H, αν δηλαδή T S B + (H).

47 Θετικοί τελεστές Η διάταξη στον B h (H) είναι συμβιβαστή με την γραμμική του δομή, δηλαδή A B, S T A + S B + T και λ µ 0 (λ,µ R) λa µb. Δεν είναι όμως αλήθεια ότι αν A 0 και B 0 τότε AB 0. Επίσης, αν T n 0 και T n T 0, τότε ο T είναι θετικός. Αν A = A τότε A I A A I άρα A = (A + A I ) A I (διαφορά δυο θετικών)

48 Προβολές M κλειστός υπόχωρος χώρου Hilbert H: H = M M : x = x M + x M Η ορθή προβολή επί του M: P M : H H : x x M γραμμική και ταυτοδύναμη (δηλ. P 2 = P) με P 1. Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert και P : H H γραμμική και ταυτοδύναμη απεικόνιση (δηλ. P 2 = P). Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: (α) Υπάρχει κλειστός υπόχωρος M του H ώστε P = P M. (β) (ker P) (im P). (γ) P 1.

49 Προβολές Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert και P B(H) ταυτοδύναμος μη μηδενικός τελεστής. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Ο P είναι η ορθή προβολή επί του imp. (δ) Ο P είναι θετικός. (ε) Ο P είναι αυτοσυζυγής. (ζ) Ο P είναι φυσιολογικός. Ενας φραγμένος τελεστής είναι ορθή προβολή αν και μόνον αν είναι ταυτοδύναμος και αυτοσυζυγής.

50 Προβολές Πρόταση Αν P, Q είναι ορθές προβολές, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) P Q (β) Px Qx για κάθε x H (γ) imp imq (δ) QP = P (ε) PQ = P. Πρόταση Αν M,N είναι κλειστοί υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H και P = P(M), Q = P(N) είναι οι αντίστοιχες προβολές, τότε (i) Ο τελεστής R = PQ είναι προβολή αν και μόνον αν PQ = QP. Τότε R = P(M N). (i ) Ειδικότερα, M N PQ = 0 QP = 0 P N = 0 Q M = 0. (ii) Ο τελεστής S = P + Q είναι προβολή αν και μόνον αν M N. Τότε S = P(M + N). (iii) Ο τελεστής D = P Q είναι προβολή αν και μόνον αν M N. Τότε D = P(M N ).

51 Προβολές Αν M,N είναι κλειστοί υπόχωροι του H, ο M N είναι ο μεγαλύτερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχεται και στον M και στον N. Ο M + N είναι ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχει και τον M και τον N. P Q := P(M N) = P(M + N) P Q := P(M N) = P(M N). Πρτρ: Εστω M, N κλειστοί υπόχωροι. (α) Αν M,N κλειστοί υπόχωροι και dimn <, τότε M + N κλειστός. (ασκ.) (β) Αν M N, τότε M + N κλειστός. (ασκ.) (γ) Αν M = {(x,0) : x l 2 } και N = {(y,d a y) : y l 2 } όπου a(n) = 1 n, τότε M + N όχι κλειστός.

52 Προβολές Πρόταση Αν {Q i } είναι αύξουσα ακολουθία προβολών, τότε συγκλίνει κατά σημείο στην προβολή Q = P(M), όπου M είναι η κλειστή γραμμική θήκη της ένωσης των imq i (i N). (Ανάλογο αποτέλεσμα για φθίνουσες.) Πρόταση Εστω {P n } ακολουθία προβολών σ έναν χώρο Hilbert H. (i) Αν οι P n είναι ανά δύο κάθετες, τότε η σειρά n P n x συγκλίνει για κάθε x H, και n P n x = P(M)x, όπου M είναι η κλειστή γραμμική θήκη της ένωσης των imp n (n N). Για κάθε x H ισχύει n P n x 2 = P(M)x 2. (ii) Αν n P n x 2 x 2 για κάθε x H, τότε οι P n είναι ανά δύο κάθετες (επομένως ισχύει το συμπέρασμα του (i).

53 Τελεστές Πεπερασμένης Τάξης Ορισμός Μια γραμμική απεικόνιση T : E F μεταξύ δύο γραμμικών χώρων E,F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = imt έχει διάσταση n. Γράφουμε rank(t ) = n. Αν οι E,F είναι χώροι με νόρμα, συμβολίζουμε με F (E,F ) το σύνολο των φραγμένων γραμμικών απεικονίσεων T : E F που έχουν πεπερασμένη τάξη (finite rank), δηλαδή F (E,F ) = {T B(E,F ) : rank(t ) < + }. Ειδικότερα, γράφουμε F (E) = F (E,E).

54 Τελεστές Πεπερασμένης Τάξης Αν H,K είναι χώροι Hilbert, x K και y H ορίζουμε τον τελεστή x y : H K από τον τύπο (x y )(z) = z,y x (z H). Ο τελεστής x y είναι φραγμένος, και x y = x. y. Κάθε T F (H,K) πρώτης τάξης (rank(t ) = 1) είναι αυτής της μορφής (με x,y μη μηδενικά). Κάθε A F (H,K) γράφεται A = n x k yk, και ισχύει k=1 A = n y k xk. k=1 Τοπολογική ιδιότητα: Αν A F (H,K), τότε το A(B H ) είναι (σχετικά) συμπαγές στον K.

55 Συμπαγείς Τελεστές K (E,F ) Ορισμός Εστω E, F χώροι Banach. Μια γραμμική απεικόνιση T : E F λέγεται συμπαγής (compact) αν απεικονίζει την κλειστή μοναδιαία μπάλα ˆB E = {x E : x 1} του E σε ένα -σχετικά συμπαγές υποσύνολο του F (αν δηλαδή το T (ˆB E ) είναι συμπαγές υποσύνολο του F ). Γράφουμε T K (E,F ). Κάθε συμπαγής τελεστής είναι φραγμένος, γιατί αν το σύνολο T (ˆB E ) είναι συμπαγές, είναι βέβαια φραγμένο. Οι φραγμένοι τελεστές πεπερασμένης τάξης είναι συμπαγείς.

56 Υπενθύμιση: Χαρακτηρισμός της συμπάγειας Θεώρημα Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και K X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1 Το K είναι συμπαγές (δηλ. ο (K,ρ K ) είναι συμπαγής χώρος). 2 Κάθε άπειρο υποσύνολο A του K έχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης στο K. 3 Το K είναι ακολουθιακά συμπαγές (δηλ. κάθε ακολουθία στο K έχει υπακολουθία που συγκλίνει μέσα στο K). 4 Ο (K,ρ K ) είναι ολικά φραγμένος (δηλ. για κάθε ε > 0 ο K καλύπτεται από πεπερασμένο πλήθος μπάλες ακτίνας ε > 0) και πλήρης.

57 Συμπαγείς Τελεστές Παρατήρηση. Το σύνολο τιμών ενός φραγμένου τελεστή (είναι γραμμ. χώρος, αλλά) δεν είναι πάντα κλειστό (πρδγ: D a B(l 2 ), όπου a n = 1 n ). Το σύνολο τιμών ενός φραγμένου τελεστή πεπερασμένης τάξης είναι κλειστό (γιατί;). Παρατήρηση. F (E,F ) K (E,F ) B(E,F ). Αν οι E και F είναι απειροδιάστατοι, δεν ισχύουν οι ισότητες. Παραδείγματα Ο ταυτοτικός τελεστής ή η προβολή σε έναν υπόχωρο άπειρης διάστασης δεν είναι συμπαγής. Ο D a B(l 2 ) όπου a n = 1 n είναι συμπαγής αλλά έχει άπειρη τάξη.

58 Συμπαγείς Τελεστές Θεώρημα Εστω E,F χώροι Banach, T : E F γραμμική απεικόνιση. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Ο T είναι συμπαγής. (ii) Για κάθε φραγμένο υποσύνολο A E, το T (A) είναι σχετικά συμπαγές. (iii) Για κάθε φραγμένη ακολουθία {x n } του E, η ακολουθία {Tx n } έχει -συγκλίνουσα υπακολουθία. (iv) Το σύνολο T (B E ) είναι ολικά φραγμένο.

59 Συμπαγείς Τελεστές Παρατήρηση: Λήμμα Ο F (E,F ) είναι γραμμικός χώρος. Αν E,F είναι χώροι Banach, T,S K (E,F ) και λ C, τότε T + λs K (E,F ). Παρατήρηση: Γινόμενο φραγμένου τελεστή με πεπερασμένης τάξης ή πεπερ. τάξης με φραγμένο είναι πεπερασμένης τάξης. Λήμμα Αν E,F,G είναι χώροι Banach, X K (E,F ) και Y B(F,G) YX K (E,G), και A B(E,F ) και B K (F,G) BA K (E,G).

60 Συμπαγείς Τελεστές Παρατήρηση: Ο υπόχωρος F (E,F ) δεν είναι κλειστός στον B(E, F ) (σε απειροδιάστατους χώρους). Πρόταση Αν E,F είναι χώροι Banach, ο K (E,F ) είναι κλειστός υπόχωρος του χώρου Banach B(E,F ), άρα χώρος Banach. Παρατήρηση: Άρα, αν A n A 0 και κάθε A n είναι συμπαγής, τότε ο A είναι συμπαγής. Ομως: Το κατά σημείο όριο ακολουθίας τελεστών πεπερασμένης τάξης δεν είναι πάντα συμπαγής.

61 Συμπαγείς Τελεστές Παράδειγμα: Κάθε ολοκληρωτικός τελεστής είναι συμπαγής. Απόδειξη. Αν (A k f )(x) = b a k(x,y)f (y)dy προσεγγίζουμε την k από γραμμ. συνδυασμούς χαρακτηριστικών συναρτήσεων ορθογωνίων, οι οποίες ορίζουν ολοκληρωτικούς τελεστές πεπερασμένης τάξης. (Δες και το αρχείο hscompn.pdf στην η-τάξη.) Πρόταση Αν H,K είναι χώροι Hilbert και T B(H,K) τότε T K (H,K) T T K (H) T K (K,H).

62 Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Θεώρημα Εστω E,F χώροι Banach, T : E F γραμμική απεικόνιση. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Ο T είναι συμπαγής. (ii) Για κάθε φραγμένο υποσύνολο A E, το T (A) είναι σχετικά συμπαγές. (iii) Για κάθε φραγμένη ακολουθία {x n } του E, η ακολουθία {Tx n } έχει -συγκλίνουσα υπακολουθία. (iv) Το σύνολο T (ˆB E ) είναι ολικά φραγμένο.

63 Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Ορισμός Μια ακολουθία {x n } σ έναν χώρο με νόρμα E συγκλίνει ασθενώς στο x E αν lim n y (x n ) = y (x) για κάθε y E. w Γράφουμε τότε x n x. Λήμμα Κάθε ασθενώς συγκλίνουσα ακολουθία {x n } σε χώρο με νόρμα είναι -φραγμένη. Λήμμα Κάθε -φραγμένη ακολουθία σ έναν χώρο Hilbert έχει μια ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία.

64 Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Λήμμα Κάθε -φραγμένη ακολουθία (y n ) σ έναν χώρο Hilbert έχει μια ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία. Ισχύει: x H : ( y n,x ) n φργ. (k n ) : ( y kn,x ) n συγκλ. Θέλω: (k n ) : x H : ( y kn,x ) n συγκλ. Σκιαγράφηση πρώτου βήματος: Εστω H διαχ. και {x 1,x 2,...} πυκνό. ( y n,x 1 ) n ( yn 1,x 1 )n συγκ. ( : υπακ.) ( yn 1,x 2 )n ( yn 2,x 2 )n συγκ. (και ( yn 2,x 1 )n συγκ.). ( yn k,x k+1 )n ( yn k+1,x k+1 )n συγκ. (και ( yn k+1,x m )n συγκ.). διαγώνια: (z n ) = (y 1 1,y2 2,y3 3,...) k,(z n ) n k (y k n ) n k, άρα ( z n,x k ) n συγκ. k.

65 Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Πρόταση Εστω E,F χώροι Banach και T : E F συμπαγής τελεστής. Αν x n w x στον E, τότε Txn Tx 0. Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert, F χώρος Banach και T : H F γραμμική απεικόνιση. Η T είναι συμπαγής αν και μόνον αν Tx n 0 για κάθε ασθενώς μηδενική ακολουθία {x n } στον H. Λήμμα Αν H χώρος Hilbert, F χώρος με νόρμα και T B(H,F ), τότε ο T απεικονίζει την κλειστή μοναδιαία μπάλα ˆB H του H σε κλειστό υποσύνολο του F.

66 Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Θεώρημα Αν H,K είναι χώροι Hilbert και T : H K γραμμική απεικόνιση, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Ο T είναι συμπαγής τελεστής. (ii) Για κάθε φραγμένο υποσύνολο A H, το T (A) είναι σχετικά συμπαγές. (iii) Για κάθε φραγμένη ακολουθία {x n } του H, η ακολουθία {Tx n } έχει -συγκλίνουσα υπακολουθία. (iv) Το σύνολο T (ˆB H ) είναι ολικά φραγμένο. (v) Το σύνολο T (ˆB H ) είναι συμπαγές. (vi) Αν x n w 0, τότε Txn 0.

67 Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Θεώρημα Αν H είναι χώρος Hilbert και T B(H), τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Ο T είναι συμπαγής. (ii) Για κάθε ορθοκανονική ακολουθία {x n } του H, ισχύει Tx n,x n 0. (iii) Υπάρχει μια ακολουθία {F n } από φραγμένους τελεστές πεπερασμένης τάξης ώστε T F n 0. Πόρισμα Εστω H,K χώροι Hilbert και A B(H,K). Ο A είναι συμπαγής αν και μόνον αν για κάθε ε > 0 υπάρχει B F (H,K) και C B(H,K) ώστε C < ε και A = B + C. Λέμε ότι «ο A είναι μικρή διαταραχή ενός τελεστή πεπερασμένης τάξης».

68 Συμπαγείς Τελεστές Πόρισμα Εστω H,K χώροι Hilbert και A B(H,K). Αν ο A είναι συμπαγής, τότε οι υπόχωροι ima και (ker A) είναι διαχωρίσιμοι.

69 Αναλλοίωτοι υπόχωροι Ενας υπόχωρος E H είναι αναλλοίωτος (invariant) από έναν φραγμένο τελεστή A B(H) αν A(E) E, δηλ. αν Ax E για κάθε x E. Τότε ο κλειστός υπόχωρος E είναι και αυτός A-αναλλοίωτος. Θα λέμε ότι ο υπόχωρος E ανάγει (reduces) τον A όταν και ο E και ο E είναι A-αναλλοίωτοι. Γράφοντας H = E E, ο A γράφεται [ ] A11 A A = 12. A 21 A 22 Επεται ότι A(E) E αν και μόνον αν A 21 = 0, και ότι ο A ανάγεται από τον E αν και μόνον αν A 12 = A 21 = 0. Λήμμα Ενας κλειστός υπόχωρος E είναι A-αναλλοίωτος αν και μόνον αν AP = PAP. Ο E ανάγει τον A αν και μόνον αν A(E) E και A (E) E, ισοδύναμα αν και μόνον αν AP = PA. Δες και το αρχείο invt.pdf στην η-τάξη.

70 Υπάρχουν αναλλοίωτοι υπόχωροι; Παρατήρηση Αν x H, ο υπόχωρος E x = span{x,ax,a 2 x,...} είναι A-αναλλοίωτος, διαχωρίσιμος. Αν ο χώρος H δεν είναι διαχωρίσιμος και x 0, ο E x είναι μη τετριμμένος. Επίσης, κάθε ιδιόχωρος του A είναι A-αναλλοίωτος. Αν ο H είναι μιγαδικός χώρος πεπερασμένης διάστασης, κάθε τελεστής έχει ιδιοτιμές. Μένει η περίπτωση απειροδιάστατου αλλά διαχωρίσιμου χώρου. Το πρόβλημα του αναλλοίωτου υπόχωρου: Είναι αλήθεια ότι κάθε φραγμένος τελεστής A σε έναν (διαχωρίσιμο, απειροδιάστατο) χώρο Hilbert H έχει μη τετριμμένο αναλλοίωτο υπόχωρο; ή μήπως υπάρχει τελεστής A που ικανοποιεί E x = H για κάθε x 0;

71 Υπάρχουν αναλλοίωτοι υπόχωροι; Απάντηση: όχι για γενικούς χώρους Banach, άγνωστο για αυτοπαθείς χώρους Banach. Το πρώτο παράδειγμα: P. Enflo, On the invariant subspace problem in Banach spaces, Acta Math., 158, Στον l 1 : C.J. Read, A solution to the invariant subspace problem on the space l 1, Bull. London Math. Soc. 17, Ενας χώρος όπου κάθε τελεστής έχει αναλλοίωτο υπόχωρο: S.A. Argyros and R.G. Haydon, A hereditarily indecomposable L -space that solves the scalar-plus-compact problem, Acta Mathematica 206, No. 1 (2011). Μια σύγχρονη παρουσίαση: I. Chalendar and J. R. Partington, Modern approaches to the invariant subspace problem, Cambridge University Press, 2011.

72 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ορισμός Εστω E γραμμικός χώρος, A : E E γραμμική απεικόνιση. Ενας (μιγαδικός) αριθμός λ λέγεται ιδιοτιμή (eigenvalue) της A αν υπάρχει μη μηδενικό x E ώστε Ax = λx. Το x λέγεται ιδιοδιάνυσμα (eigenvector) της A και το σύνολο M λ {x E : Ax = λx} = ker(a λi) (που είναι προφανώς γραμμικός χώρος) είναι ο ιδιόχωρος (eigenspace) της A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Το σύνολο των ιδιοτιμών της A συμβολίζουμε σ p (A).

73 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Παρατηρήσεις: (i) Κάθε ιδιόχωρος M λ της A είναι αναλλοίωτος από την A, δηλαδή A(M λ ) M λ, και A Mλ = λi Mλ. Μάλιστα ο M λ είναι αναλλοίωτος και από κάθε γραμμική απεικόνιση B που μετατίθεται με την A. (ii) Αν ο E είναι χώρος με νόρμα και η A είναι συνεχής, κάθε ιδιόχωρος M λ είναι κλειστός υπόχωρος του E, γιατί M λ = (A λi) 1 ({0}). (iii) Αν ο E είναι (μη μηδενικός) μιγαδικός χώρος και dime = n < +, κάθε γραμμική απεικόνιση A : E E έχει ιδιοτιμές. Αυτό φυσικά δεν αληθεύει πάντα σε πραγματικούς γραμμικούς χώρους. Σε απειροδιάστατους μιγαδικούς χώρους;

74 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα (α) Στον χώρο l 2 θεωρούμε τον τελεστή T όπου T (x 1,x 2,x 3,...) = (0,x 1, 1 2 x 2, 1 3 x 3,...) x = (x 1,x 2,...) l 2. Ο T είναι συμπαγής, δεν έχει όμως ιδιοτιμές. (β) Στον χώρο L 2 ([0,1]) θεωρούμε τον τελεστή A όπου (Af )(t) = tf (t), f L 2 ([0,1]). Ο A είναι αυτοσυζυγής, δεν έχει όμως ιδιοτιμές. Και τα δύο μαζί; Αυτοσυζυγής και συμπαγής;

75 Διαγωνοποιήσιμοι τελεστές Εστω H διαχωρίσιμος χώρος Hilbert. Ενας τελεστής A B(H) λέγεται διαγωνοποιήσιμος (diagonalizable) αν υπάρχει μια ορθοκανονική βάση {x n } του H και μια ακολουθία a = {a(n)} μιγαδικών αριθμών ώστε Ax n = a(n)x n για κάθε n N. Τότε a = {a(n)} φραγμένη και A = U 1 D a U : A u D a όπου U : H l 2 : x n e n είναι unitary. Άρα διαγωνοποιήσιμος φυσιολογικός. Οταν dimh < : Θεώρημα (Φασματικό θεώρημα σε χώρους πεπερασμένης διάστασης) Εστω A B(H) όπου H χώρος Hilbert πεπερασμένης διάστασης. Ο A είναι φυσιολογικός αν και μόνον αν είναι διαγωνοποιήσιμος.

76 Το (μινι) Φασματικό Θεώρημα Λήμμα Εστω T B(H ) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του T με ιδιοτιμή λ, τότε T x = λx. Επεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή (αν υπάρχουν) τον ανάγουν, και είναι κάθετοι μεταξύ τους. Θεώρημα Κάθε φυσιολογικός τελεστής T σ έναν (μιγαδικό) χώρο Hilbert H διάστασης n < είναι διαγωνοποιήσιμος, δηλαδή υπάρχει ορθοκανονική βάση {e k : k = 1,...,n} του H και a k C ώστε Te k = a k e k (k = 1,...,n). Ισοδύναμα, ο T είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος (unitarily equivalent) με έναν διαγώνιο τελεστή, δηλαδή υπάρχει ορθομοναδιαίος τελεστής U : H C n ώστε ο UTU 1 να είναι διαγώνιος.

77 Διαγωνοποιήσιμοι τελεστές Παράδειγμα Εστω f : R C συνεχής και 2π-περιοδική συνάρτηση. Ορίζουμε (K f g)(x) = 1 π f (x y)g(y)dy. 2π π Ο K f είναι ολοκληρωτικός τελεστής (με πυρήνα την συνεχή συνάρτηση k(x,y) = f (x y). Η {e n : n Z} (όπου e n (x) = expinx) είναι ορθοκανονική βάση του L 2 ([ π,π]). K f e n = ˆf (n)e n (n Z). Επομένως ο τελεστής K f διαγωνοποιείται από την ορθοκανονική βάση {e n }.

78 Το Φάσμα Ορισμός Το φάσμα ενός φραγμένου τελεστή A σ έναν χώρο Banach είναι το σύνολο σ(a) = {λ C : ο A λi δεν έχει (φραγμ.) αντίστροφο }. Πρόταση Το σ(a) φράσσεται από A : Αν λ > A, ο λi A είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφος του είναι το -όριο της σειράς (λi A) 1 = 1 ( ) A n. λ λ n=0 Ισχύει ότι Το φάσμα σ(a) είναι συμπαγές μη κενό υποσύνολο του C.

79 Το Φάσμα Εστω A B(X ) (όπου X χώρος Banach). Ενα λ C είναι ιδιοτιμή του A (συμβ. λ σ p (A)) αν και μόνον αν υπάρχει x H \ {0} ώστε (A λi)x = 0. Το λ είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή του A (συμβ. λ σ a (A)) αν και μόνον αν υπάρχει ακολουθία (x n ) H με x n = 1 ώστε (A λi)x n 0. Ισοδύναμα, λ / σ p (A) αν και μόνο αν υπάρχει δ > 0 ώστε (A λi)x δ x για κάθε x H.

80 Το Φάσμα Πρόταση Εστω A B(H ) φυσιολογικός τελεστής. Τότε σ(a) = σ a (A). Δηλαδή, αν το λ δεν είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή, τότε ο A λi έχει (φραγμ.) αντίστροφο. Πρόταση Εστω A = A B(H ). Τότε (α) σ(a) R και (β) A = sup{ λ : λ σ(a)}. Πρόταση Αν A K (H) είναι φυσιολογικός, τότε κάθε λ σ(a) \ {0} είναι ιδιοτιμή. (Ισχύει για κάθε συμπαγή: δες αργότερα.) Πόρισμα Αν A K (H) και A = A, τότε υπάρχει λ σ p (A) με λ = A.

81 Το Φασματικό Θεώρημα Παράδειγμα Αν A K (H) το 0 δεν είναι πάντα ιδιοτιμή: D a όπου a = ( 1 n ). (Πρτρ. Σε απειροδιάστατο χώρο αν A K (H) τότε 0 σ(a). ) Πρόταση Εστω A K (H). (i) Κάθε ιδιόχωρος του A που αντιστοιχεί σε μη μηδενική ιδιοτιμή έχει πεπερασμένη διάσταση. (ii) Αν {x n } είναι άπειρη ορθοκανονική ακολουθία και υπάρχουν λ n C ώστε Ax n = λ n x n για κάθε n N, τότε η {λ n } είναι μηδενική ακολουθία. (iii) Αν ο A είναι φυσιολογικός, το σύνολο σ p (A) των ιδιοτιμών του ή είναι πεπερασμένο, ή αποτελεί μηδενική ακολουθία.

82 Το Φασματικό Θεώρημα Θεώρημα Αν H είναι χώρος Hilbert, κάθε συμπαγής φυσιολογικός τελεστής A B(H) διαγωνοποιείται στον υπόχωρο (ker A). Υπάρχουν δηλαδή a(n) C και ορθοκανονική βάση {x n : n N} του (ker A) ώστε Ax n = a(n)x n για κάθε n N. Ισοδύναμα, αν U : (ker A) l 2 είναι ο unitary τελεστής που ικανοποιεί U(x n ) = e n για κάθε n N, τότε UAU 1 = D a (ο διαγώνιος τελεστής με διαγώνιο την ακολουθία a = (a n )).

83 Το Φασματικό Θεώρημα Λήμμα Εστω A B(H) και M H κλειστός A-αναλλοίωτος υπόχωρος. Εστω B B(M) ο περιορισμός B := A M. Τότε, B = A M αν και μόνον αν ο M είναι και A -αναλλοίωτος. Υπενθύμιση: Εστω {M n : n N} κάθετοι ανά δύο υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H και M := n M n το ευθύ τους άθροισμα, δηλ. ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος που περιέχει κάθε M n. Αν P n = P(M n ), η προβολή P = P(M) στον M ικανοποιεί Px = P n x και Px 2 = P n x 2 για κάθε x H. n n Επομένως αν κάθε M n έχει μια ορθοκανονική βάση {e i,n : i I }, η n{e i,n : i I } είναι ορθοκανονική βάση του M.

84 Το Φασματικό Θεώρημα Θεώρημα (Φασματικό θεώρημα για φυσιολογικούς συμπαγείς τελεστές - δεύτερη μορφή.) Αν A είναι συμπαγής τελεστής σ έναν χώρο Hilbert H, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Οι ιδιόχωροι M λ είναι κάθετοι ανά δύο, έχουν αριθμήσιμο πλήθος και παράγουν τον H. ( ii) Οι αντίστοιχες προβολές P λ είναι κάθετες ανά δύο, έχουν αριθμήσιμο πλήθος και για κάθε αρίθμηση {λ n : n N} του σ p (A), αν P n = P λn ισχύει n=1 P n x = x για κάθε x H και A = n=1 λ n P n όπου η δεύτερη σειρά συγκλίνει ως προς την νόρμα του B(H). (iii) Ο A είναι φυσιολογικός.

85 Το Φασματικό Θεώρημα Θεώρημα (Φασματικό θεώρημα: Τρίτη μορφή) Ενας τελεστής A σ έναν χώρο Hilbert H είναι φυσιολογικός και συμπαγής αν και μόνον αν υπάρχει μια (πεπερασμένη ή άπειρη) ορθοκανονική ακολουθία {x n } ιδιοδιανυσμάτων του A, με αντίστοιχες ιδιοτιμές {a n } ώστε N lim N A a n x n xn n=1 = 0. ( ) Τότε η ακολουθία {a n }, αν είναι άπειρη, είναι μηδενική. Υπενθύμιση: Αν x K,y H ο τελεστής x y : H K ορίζεται από τη σχέση (x )y (z) = z,y x, z H. Ειδικότερα αν y = 1 ο τελεστής y y είναι η προβολή στον υπόχωρο [y] του H.

86 Το Φασματικό Θεώρημα Πόρισμα Εστω A συμπαγής φυσιολογικός τελεστής σ έναν χώρο Hilbert H. Τότε (i) A = max{ λ : λ σ p (A)} (ii) A = max{ Ax,x : x H, x = 1}

87 Το Φασματικό Θεώρημα Θεώρημα (Γενική μορφή συμπαγούς τελεστή σε χώρο Hilbert) Αν A : H K είναι συμπαγής τελεστής μεταξύ χώρων Hilbert H και K, υπάρχουν ορθοκανονικές ακολουθίες {x n } στον K και {y n } στον H και (πεπερασμένη ή μηδενική) ακολουθία θετικών αριθμών {λ n } ώστε A = λ i x i yi i=1 όπου η σειρά συγκλίνει ως προς τη νόρμα του B(H,K).

88 Ο Συναρτησιακός Λογισμός: συμπαγείς τελεστές Πρόταση Εστω A = n=1 λ n P n η φασματική ανάλυση του συμπαγούς φυσιολογικού τελεστή A, όπου σ p (A) = {λ n : n N} και P n = P(M λn ). Αν f : σ(a) C είναι μια φραγμένη συνάρτηση, ορίζουμε A f (x) = n=1 f (λ n )P n x για κάθε x H, Η σειρά αυτή συγκλίνει (κατά σημείο) και ορίζει φραγμένο φυσιολογικό τελεστή A f B(H). Η απεικόνιση f A f είναι γραμμική, πολλαπλασιαστική (δηλ. A f A g = A fg ) και ικανοποιεί A f = A f (όπου f (λ) = f (λ)) και A f = sup{ f (λ) : λ σ p (A)}. Τέλος, αν X B(H), XA = AX XP n = P n X n XA f = A f X f φραγμένη στο σ(a). Η απεικόνιση αυτή ονομάζεται συναρτησιακός λογισμός (functional calculus). Οταν η f είναι πολυνώνυμο, τότε A f = f (A). Συνήθως γράφουμε f (A) αντί για A f.

89 Ο Συναρτησιακός Λογισμός: συμπαγείς τελεστές Πρόταση Αν A είναι συμπαγής φυσιολογικός τελεστής σε έναν χώρο Hilbert H και λ C \ {0}, τότε ή το λ είναι ιδιοτιμή του A ή ο A λi είναι αντιστρέψιμος. Στην πραγματικότητα, το συμπέρασμα της Πρότασης ισχύει για οποιονδήποτε συμπαγή τελεστή σε οποιονδήποτε χώρο Banach.

90 Εναλλακτικό Θεώρημα Fredholm (Fredholm alternative) Θεώρημα Αν K είναι συμπαγής τελεστής σε έναν χώρο Hilbert 4 H, ή η εξίσωση x Kx = y (2) έχει μοναδική λύση x H για κάθε y H, ή αλλιώς η αντίστοιχη ομογενής εξίσωση x Kx = 0 έχει γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις, μάλιστα πεπερασμένου πλήθους. 4 Το Θεώρημα αληθεύει και σε χώρους Banach.

91 Εναλλακτικό Θεώρημα Fredholm (Fredholm alternative) Λήμμα Αν T B(H) και T < 1, ο I T είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του είναι το -όριο της σειράς Λήμμα (I T ) 1 = n=0 T n. Εστω K B(H) συμπαγής τελεστής. Ο τελεστής I K έχει φραγμένο αντίστροφο αν και μόνον αν είναι 1-1.

92 Τέλος Προπτυχιακού Μαθήματος!

93 Το Φασματικό Θεώρημα Θεώρημα (Φασματικό Θεώρημα - Πρώτη μορφή) Ενας τελεστής T B(H) είναι φυσιολογικός αν και μόνον αν είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος με έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή, δηλαδή αν υπάρχουν: χώρος μέτρου (X, µ), ορθομοναδιαίος τελεστής U : H L 2 (X, µ) και συνάρτηση f L (X, µ) ώστε T = U 1 M f U:] H T H U L 2 (µ) M f U L 2 (µ) P.R. Halmos [1963]. What does the spectral theorem say? Amer. Math. Monthly 70.

94 Ο συναρτησιακός λογισμός για πολυώνυμα Σταθεροποιούμε A B(H ). p(λ) = Πολυώνυμα Τελεστές n k=0 c k λ k Φ 0 n p(a) = c k A k. k=0 Πρόταση (Θεώρημα Φασματικής Απεικόνισης Ι) Αν A B(H) και p είναι πολυώνυμο, τότε σ(p(a)) = {p(λ) : λ σ(a)}.

95 Ο συναρτησιακός λογισμός Υπενθύμιση Αν A B(H ) και A = A, τότε A = sup{ λ : λ σ(a)} (άρα σ(a) /0.) Θεώρημα Αν A B(H ) και A = A τότε p(a) = sup{ p(λ) : λ σ(a)} p σ(a). Άρα η απεικόνιση Φ o : (P(σ(A)), σ(a) ) (B(H ), ) : p p(a) είναι όχι μόνο *-μορφισμός *-αλγεβρών, αλλά και ισομετρία χώρων με νόρμα. Ο συναρτησιακός λογισμός για συνεχείς συναρτήσεις είναι η μοναδική συνεχής επέκταση Φ c : (C(σ(A)), σ(a) ) (B(H ), ) : f f (A) της απεικόνισης Φ o : p p(a). Είναι ισομετρικός *-μορφισμός.

96 Ο συναρτησιακός λογισμός Εστω A = A B(H ) και f : σ(a) C συνεχής. Παρατήρηση Ο f (A) μετατίθεται με κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A. Πρόταση Ο f (A) είναι αντιστρέψιμος (στον B(H )) αν και μόνον η f είναι αντιστρέψιμη στην C(σ(A)), δηλ. f (λ) 0 για κάθε λ σ(a) (οπότε (f (A)) 1 = g(a) όπου g = 1/f ). Θεώρημα (Φασματικής Απεικόνισης) Πόρισμα σ(f (A)) = {f (λ) : λ σ(a)}. Ο τελεστής f (A) είναι φυσιολογικός. Ο f (A) είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν η f παίρνει πραγματικές τιμές στο σ(a). Επίσης, f (A) 0 αν και μόνον αν f (σ(a)) R +.

97 Τετραγωνική ρίζα Πρόταση Αν σ(a) R + τότε υπάρχει μοναδικός αυτοσυζυγής B B(H ) με σ(b) R + ώστε B 2 = A. Γράφουμε B = A 1/2. Αποδειξη Η συνάρτηση f (t) = t είναι καλά ορισμένη (πραγματική) και συνεχής στο σ(a). Επομένως αν θέσουμε B = f (A), έχουμε B = B, σ(b) = f (σ(a)) R + και B 2 = A. Ο B μετατίθεται με κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A. Πράγματι, αν ένας T B(H) μετατίθεται με τον A τότε θα μετατίθεται και με κάθε πολυώνυμο του A, άρα και με την f (A) = B, που είναι όριο πολυωνύμων του A. Μοναδικότητα:

98 Μοναδικότητα της τετραγωνικής ρίζας Εστω C positive (δηλ. C = C και σ(c) R + ) τελεστής ώστε C 2 = A. Υπάρχουν positive τελεστές D και Z με D 2 = C και Z 2 = B. Σταθεροποιούμε ένα x H και θέτουμε y = (C B)x. Τότε Dy 2 + Zy 2 = D 2 y,y + Z 2 y,y = (B + C)y,y = (B + C)(B C)x,y ( ) = (B 2 C 2 )x,y = 0 (*) γιατί CB = BC αφου CA = AC άρα Cf (A) = f (A)C. Επομένως Dy = 0 και άρα Cy = D 2 y = 0. Ομοια, By = 0. Τότε όμως (C B)y = 0 και συνεπώς (C B)x 2 = (C B)x,(C B)x = y,(c B)x = (C B)y,x = 0. Αφού το x είναι αυθαίρετο, δείξαμε ότι B = C.

99 Θετικοί τελεστές Υπενθύμιση Ενας A B(H) λέγεται θετικός αν Ax,x 0 για κάθε x H. Λήμμα Ενας αυτοσυζυγής τελεστής A στον H είναι θετικός αν και μόνον αν σ(a) R +. (δηλ positive θετικός!) Αποδειξη Εστω ότι σ(a) R +. Τότε ορίζεται ο B = A 1/2. Για κάθε x H, άρα ο A είναι θετικός. Ax,x = B 2 x,x = Bx,Bx = Bx 2 0 Αντίστροφα έστω ότι ο A είναι θετικός. Αν λ σ(a), υπάρχει (x n ) στον H με x n = 1 και (A λi)x n 0 (γιατί A = A ). Τότε Ax n,x n λ = (A λi)x n,x n (A λi)x n. x n 0 άρα λ 0 (αφού λ R).

100 Θετικοί τελεστές Σημείωσε ότι η υπόθεση A = A δεν μπορεί να παραλειφθεί. Για παράδειγμα, ο A = ( ) έχει μη αρνητικό φάσμα (σ(a) = {0}) αλλά δεν είναι θετικός: Ax,x = 1 για x = ( 1,1). Συνοψίζουμε: Θεώρημα (Τετραγωνική ρίζα) Εστω T B(H ). Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Ο T είναι θετικός. (β) Υπάρχει B B(H ) θετικός ώστε T = B 2. (γ) Υπάρχει S B(H ) ώστε T = S S. (δ) T = T και σ(t ) R +.

101 Η πολική αναπαράσταση Ορισμός Εστω T B(H 1,H 2 ) τυχαίος τελεστής. Υπενθυμίζουμε ότι ο τελεστής T T : H 1 H 1 είναι θετικός. Η μοναδική θετική τετραγωνική του ρίζα συμβολίζεται T. Άσκηση Να βρεθούν δύο 2 2 πίνακες A,B ώστε να μην ισχύει η ανισότητα A + B A + B. Θεώρημα Εστω T B(H 1,H 2 ) τυχαίος τελεστής. Υπάρχει μερική ισομετρία V : H 1 H 2 με αρχικό χώρο T (H 1 ) και τελικό χώρο T (H 1 ) ώστε T = V T. «Μοναδικότητα»: Αν T = UX όπου X 0 και U μερική ισομετρία με αρχικό χώρο X (H 1 ) τότε U = V και X = T.

102 Υπενθύμιση: Ο συναρτησιακός λογισμός Ορισμός Εστω A B(H ) αυτοσυζυγής τελεστής. Ο συναρτησιακός λογισμός για συνεχείς συναρτήσεις είναι η μοναδική συνεχής επέκταση Φ c : (C(σ(A)), σ(a) ) (B(H ), ) : f f (A) της απεικόνισης Φ o : p p(a). Είναι ισομετρικός *-μορφισμός. Για κάθε f C(σ(A)), f (A) = Φ c (f ) = -limp n (A) όπου p n πολυώνυμα με p n f σ(a) 0.

103 Το Θεώρημα Αναπαράστασης του Riesz Αν µ θετικό μέτρο Borel σε συμπαγή (μετρικό) χώρο Σ τότε η απεικόνιση φ µ : C(Σ) C : f f (t)dµ(t) είναι (συνεχής) γραμμική μορφή, και είναι θετική, δηλ. f 0 φ µ (f ) 0. Θεώρημα Για κάθε θετική γραμμική φ : C(Σ) C υπάρχει (μοναδικό) θετικό κανονικό μέτρο Borel µ στο Σ ώστε φ = φ µ.

104 Το φασματικό θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές Λήμμα Για κάθε μη μηδενικό x H υπάρχει θετικό κανονικό (πεπερασμένο) μέτρο Borel µ x στο σ(a) και ισομετρία U x : L 2 (σ(a), µ x ) H ώστε U x M f = f (A)U x για κάθε f C(σ(A)) (και ειδικότερα AU x = U x M f1 όπου f 1 (λ) = λ). H f (A) H U x U x L 2 (µ x ) M f L 2 (µ x )

105 Το φασματικό θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές Λήμμα Για κάθε μη μηδενικό x H υπάρχει θετικό κανονικό (πεπερασμένο) μέτρο Borel µ x στο σ(a) και ισομετρία U x : L 2 (σ(a), µ x ) H ώστε U x M f = f (A)U x για κάθε f C(σ(A)) (και ειδικότερα AU x = U x M f1 όπου f 1 (λ) = λ). Αποδ. Σταθεροποιούμε ένα μη μηδενικό x H και θεωρούμε την γραμμική απεικόνιση φ x : C(σ(A)) C : f f (A)x,x. Παρατηρούμε ότι η φ x είναι θετική γραμμική μορφή, δηλαδή φ x (f ) 0 για κάθε f 0. Από το Θεώρημα Αναπαράστασης του Riesz υπάρχει (μοναδικό) θετικό πεπερασμένο κανονικό μέτρο Borel µ x στο σ(a) ώστε fdµ x = φ x (f ) = f (A)x,x για κάθε f C(σ(A)).

106 Το φασματικό θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές `Ομως C(σ(A)) L 2 (σ(a), µ x ). Ορίζουμε U ox : (C(σ(A)),. L 2 (µ x )) (H,. H ) : f f (A)x Ισχυρίζομαι ότι είναι ισομετρία. Πράγματι, για κάθε f C(σ(A)), f (A)x 2 H = f (A)x,f (A)x = f (A) f (A)x,x = ( f f )(A)x,x = f fdµ x = f 2 2 Άρα επεκτείνεται σε μια ισομετρία U x : L 2 (σ(a), µ x ) H που ικανοποιεί U x (f ) = f (A)x όταν η f είναι συνεχής. Τέλος, για κάθε g C(σ(A)) έχουμε (U x M f )(g) = U x (fg) = (fg)(a)x = f (A)(g(A)x) = (f (A)U x )(g).... άρα U x M f = f (A)U x.

107 Το φασματικό θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές Το σύνολο τιμών im(u x ) της ισομετρίας U x του Λήμματος είναι ακριβώς ο κυκλικός υπόχωρος του x για τον A. Ορισμός H x = [A n x : n = 0,1,...] = [x,ax,a 2 x,...] Ενα διάνυσμα x H λέγεται κυκλικό (cyclic) για τον τελεστή A B(H) αν ο κυκλικός υπόχωρος (cyclic subspace) που ορίζει είναι όλος ο H, ισοδύναμα αν ο γραμμικός χώρος [A n x : n = 0,1,...] είναι πυκνός στον H. Πρόταση Αν ένας αυτοσυζυγής τελεστής A B(H) έχει κυκλικό διάνυσμα, υπάρχει (πεπερασμένο) θετικό κανονικό μέτρο Borel µ στο σ(a) ώστε ο A να είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος με τον τελεστή M f1 του πολλαπλασιασμού επί την ανεξάρτητη μεταβλητή, (M f1 (g))(x) = xg(x), στον L 2 (σ(a), µ).

108 Το φασματικό θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές Παράδειγμα Εστω H = L 2 ([0,1]) L 2 ([0,1]) 5 και έστω A = M f M f όπου f (λ) = λ (λ [0,1]). Τότε ο A είναι αυτοσυζυγής τελεστής χωρίς κυκλικό διάνυσμα. Λήμμα Αν A B(H) είναι αυτοσυζυγής, υπάρχει μια οικογένεια {H i : i I } από κάθετους ανά δύο υποχώρους του H, ώστε (ι) κάθε H i να είναι A-αναλλοίωτος, δηλ. A(H i ) H i (ιι) κάθε H i να είναι A-κυκλικός, δηλ. να περιέχει ένα A-κυκλικό διάνυσμα (ιιι) το ευθύ άθροισμα i H i (δηλαδή ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχει κάθε H i ) να είναι όλος ο H. 5 με το εσωτερικό γινόμενο f 1 g 1,f 2 g 2 = f 1,f 2 + g 1,g 2

Καλώς ήρθατε στους Γραμμικούς Τελεστές! http://eclass.uoa.gr/courses/math122/ Εαρινό Εξάμηνο 2014-15 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Ορισμός Εστω E K-γραμμικός χώρος (K = R ή C). Ενα εσωτερικό γινόμενο (inner

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στη Θεωρία Γραμμικών Τελεστών! (712) http://eclass.uoa.gr/courses/math122/ Χειμερινό Εξάμηνο 2017-18: Εβδομάδες 1 ως 8 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγικά 2 Γραμμικοί χώροι 3 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στη Θεωρία Γραμμικών Τελεστών! (712) http://eclass.uoa.gr/courses/math122/ Χειμερινό Εξάμηνο 2017-18 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγικά 2 Γραμμικοί χώροι 3 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο 4 Χώροι Hilbert

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβο λος1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών telmasu, 11 Ιουνίου 2016

Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβο λος1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών telmasu, 11 Ιουνίου 2016 Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβολος 1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2014-15 1 telmasu, 11 Ιουνίου 2016 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα, χώροι Hilbert 1 1.1 Χώροι με νόρμα και τελεστές...................

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Συναρτησιακή Ανάλυση! http://eclass.uoa.gr/courses/math495/ Εαρινό Εξάμηνο 2015-16 Γραμμικοί χώροι K είναι το σώμα R ή C. Ορισμός Ενα X /0 λέγεται K-γραμμικός χώρος αν είναι εφοδιασμένο

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x) Τελεστές σε χώρους Hilbert Γεωργάτος Σπυρίδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Επιτροπή Επιβλέπων: Φελουζής Ευάγγελος - Αναπληρωτής Καθηγητής Μέλη : Τσολομύτης Αντώνιος - Καθηγητής Νικολόπουλος Χρήστος

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Χαράλαμπος Μαγιάτης Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 17/05/2019 1 / 56 Hilbert C

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1 Σημειώσεις για τους χώρους Hilbert και άλλα Αριστείδης Κατάβολος Από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών», εκδ. «Συμμετρία», 2008. Περιεχόμενα I Χώροι Hilbert 1 1 Εσωτερικά γινόμενα 1 1.0.1 Παραδείγματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim Άσκηση: Η προβολή στην τομή δύο υποχώρων Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σε έναν χώρο Hilbert H και R = P Q είναι η προβολή στην τομή im P im Q, δείξτε ότι, για κάθε x H, Rx = lim (P QP ) x = lim (P Q)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες

Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες 1 Εξάρτηση του φάσματος από την άλγεβρα Έστω A άλγεβρα Banach με μονάδα 1 και B Ď A κλειστή υπάλγεβρα που περιέχει την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ HILBERT ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Διπλωματική εργασία του Χασαπλαδάκη Μιλτιάδη Επιβλέπων:

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε Κεφάλαιο 3 Συµπαγείς τελεστές 3.1 Τελεστές πεπερασµένης τάξης Ορισµός 3.1.1 Μια γραµµική απεικόνιση T : E F µεταξύ δύο γραµµικών χώρων E, F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = im T έχει διάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 Αρµονική Ανάλυση (2017 2018) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 0. (α) Εστω f L (T). είξτε ότι σ n ( f ) f n N. (ϐ) Εστω f L (T). είξτε ότι (γ) είξτε ότι S n ( f ) f + n k=1 sin(kt) k n k= n [Υπόδειξη: Για το (γ) ϑεωρήστε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,

Διαβάστε περισσότερα

iωb = curl E. (Faraday s law) (2)

iωb = curl E. (Faraday s law) (2) Το φασματικό πρόβλημα σε μια διανισοτροπική κοιλότητα Ευτυχία Η. Αργυροπούλου, Ανδρέας Δ. Ιωαννίδης Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Linnaeus University, Σουηδία EME 2013, Καρδίτσα Ευτυχία

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 2: Πραγματική Ανάλυση Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x] σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο

Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο Ασκήσεις6 7 Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Βασικά σημεία Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και (ορισμοί και ιδιότητες) Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορθογώνιο συμπλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

A :H. S B(H) unilateral shift : Se n = e n+1, n Z + και U B(K) bilateral shift : Ue n = e n+1, n Z. X 0 0 S Y S. U m = B = D A.

A :H. S B(H) unilateral shift : Se n = e n+1, n Z + και U B(K) bilateral shift : Ue n = e n+1, n Z. X 0 0 S Y S. U m = B = D A. Διαστολές Τελεστών 1 Εισαγωγή Αν H είναι 1 κλειστός υπόχωρος χώρου Hilbert K, κάθε B B(K) ορίζει έναν A B(H) ως εξής: A :H B K P H x Bx P Bx όπου P B(K) η ορθή προβολή στον H. Δηλαδή A = P B H ή AP = P

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2010-11 Περιεχόμενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισμός και παραδείγματα........................... 3 1.2 Χώροι με

Διαβάστε περισσότερα

1 + t + s t. 1 + t + s

1 + t + s t. 1 + t + s Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach A. Kατάβολος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 1999 Μερική Αναθεώρηση, 2017 Περιεχόμενα 1 Πρώτοι ορισμοί 2 2 Παραδείγματα 3 2.1...................................

Διαβάστε περισσότερα

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός 2.1.1. Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Σ Γιάννης Σακελλαρίδης Τελευταία ενημέρωση 11 Ιουνίου (Το αρχείο θα ενημερώνεται κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.)

Σ Γιάννης Σακελλαρίδης Τελευταία ενημέρωση 11 Ιουνίου (Το αρχείο θα ενημερώνεται κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.) Σ Γιάννης Σακελλαρίδης Τελευταία ενημέρωση 11 Ιουνίου 2016. (Το αρχείο θα ενημερώνεται κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.) 1 Αντικείμενα: διανυσματικοί χώροι Ένας διανυσματικός χώρος (πάνω από το R, αλλά οι

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Περιεχόμενα Μέρος I Γνώσεις Θεωρίας Μέτρου 1 1 σ-άλγεβρες 3 1.1 σ-άλγεβρες 3 1.2 Παραγόμενη σ-άλγεβρα 5 1.3 Τα σύνολα Borel 6 Ασκήσεις 7 2 Μέτρα 9 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο

Διαβάστε περισσότερα

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 5: Κανονικοί Πίνακες Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα