Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Καλώς ήρθατε στη Θεωρία Γραμμικών Τελεστών! (712) Χειμερινό Εξάμηνο : Εβδομάδες 1 ως 8

2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγικά 2 Γραμμικοί χώροι 3 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο 4 Χώροι Hilbert 5 Συνεχείς γραμμικές μορφές. Θεώρημα Riesz 6 Ορθοκανονικές Βάσεις. Ισομορφισμοί 7 Η πλήρωση. Ο χώρος L 2 8 Φραγμένοι τελεστές 9 Ο συζυγής τελεστής 10 Κατηγορίες τελεστών 11 Θετικοί τελεστές 12 Προβολές 13 Συμπαγείς Τελεστές

3 Τελεστές Γουατ ιζ αν Οπερέιτωρ; Αλίκη Τελεστής/Channel Βασίλης

4 Τελεστές Γουατ ιζ αν Οπερέιτωρ; Παράδειγμα 1. T : f a 1 f + a 2 f + a 3 f : διαφορικός τελεστής (εδώ a i «καλές» συναρτήσεις). Πού ορίζεται; Στον χώρο C 2 (Ω). Ορίζεται η T (f ) όταν η f δεν παραγωγίζεται; Μήπως αρκεί να παραγωγίζεται με την «ασθενή έννοια»; Εστω f, g -παραγωγίσιμες, με συμπαγή φορέα. Τότε + fg = [fg] + f g = f g, οπότε f g = fg. Οπότε ορίζω ασθενή παράγωγο της f μια h = h f που ικανοποιεί hg = f g για κάθε g -παραγωγίσιμη. Τώρα ο T μπορεί να ορισθεί σε «μεγαλύτερο» χώρο. Παράδειγμα 2. T :. [a i,j ]. x 1 x n x 1 x n (x i C,[a i,j ] M n (C))

5 Τελεστές Παράδειγμα 3. T : f (Tf )(x) = 1 2π 2π 0 g(x y)f (y)dy: ολοκληρωτικός τελεστής (εδώ g «καλή» συνάρτηση, 2π-περιοδική) Παρατήρηση: Αν f n (x) = e inx βρίσκω Tf n = ĝ(n)f n (n Z), f 1... ĝ( 1) f 1 δηλαδή T : f ĝ(0) 0... f 0 f ĝ(1)... f Ο T διαγωνοποιήθηκε!... Ως προς την {f n : n Z}. Είναι γραμμ. ανεξάρτητα. Γιατί; Γιατί είναι ορθοκανονικά. Άρα είναι βάση του χώρου που παράγουν. Ο χώρος αυτός δεν είναι πλήρης, είναι όμως πυκνός στους χώρους που ενδιαφέρουν στην Ανάλυση...

6 Γραμμικοί χώροι K είναι το σώμα R ή C. Ορισμός Ενα X /0 λέγεται K-γραμμικός χώρος αν είναι εφοδιασμένο με δύο πράξεις + : X X X και : K X X ώστε (Ι) Αξιώματα της πρόσθεσης: x,y,z X, (i) x + y = y + x. (ii) x + (y + z) = (x + y) + z. (iii) 0 X ώστε x X, 0 + x = x. (iv) x X ( x) X ώστε x + ( x) = 0. (ΙΙ) Αξιώματα του πολλαπλασιασμού: x,y X και λ,µ K, (i) λ(µx) = (λ µ)x. (ii) 1x = x. (iii) λ(x + y) = λx + λy. (iv) (λ + µ)x = λx + µx.

7 Παραδείγματα Γραμμικών Χώρων Το C. Αν n N, ο C n που αποτελείται από όλες τις n-αδες μιγαδικών αριθμών, x = (x(1),x(2),...,x(n)) με πράξεις κατά συνεταταγμένη. Γράφουμε καμμιά φορά τα στοιχεία του C n ως διανύσματα-στήλες (column vectors). x(1). = [x(1),...,x(n)] T. x(n) (το σύμβολο T σημαίνει «ανάστροφος» (transpose).

8 Παραδείγματα Γραμμικών Χώρων ΙΙ Ο χώρος c 00 = c 00 (N) := {x = (x(n)) : x(n) C τ.ω. n x N με x(n) = 0 n > n x } με πράξεις κατά συνεταταγμένη. Εστω e m = (δ m (n)) όπου δ m (n) = 1 όταν n = m και δ m (n) = 0 αλλιώς. Η (άπειρη) οικογένεια {e m : m N} είναι γραμμικά ανεξάρτητη και παράγει τον c 00 : κάθε x = x(n)) c 00 γράφεται (μοναδικά) ως γραμμικός συνδυασμός x = n x x(m)e m. m=1 Δηλαδή η {e m : m N} είναι (αλγεβρική ή Hamel) βάση του c 00. Παρατηρούμε ότι ο c 00 είναι ο χώρος όλων των συναρτήσεων x : N C τω οποίων ο φορέας suppx := {n N : x(n) 0} είναι πεπερασμένο σύνολο (περιέχεται στο {1,2,...,n x }).

9 Παραδείγματα Γραμμικών Χώρων ΙΙΙ Το σύνολο S όλων των ακολουθιών πραγμ. ή μιγ. αριθμών γίνεται γραμμικός χώρος αν ορίσουμε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό κατά συντεταγμένη: x + y = (ξ (k) + η(k)), λx = (λξ(k)) για x = (ξ (k)), y = (η(k)) και λ K. Αν A /0 και K A είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : A K, τότε το K A γίνεται γραμμικός χώρος αν ορίσουμε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό κατά σημείο: αν f,g K A και λ K, ορίζουμε f + g, λf K A θέτοντας (f + g)(t) = f (t) + g(t), (λf )(t) = λf (t), t A. (Πρτρ: S = K N ).

10 Παραδείγματα Γραμμικών Χώρων IV Ο χώρος R[0, 1] των Riemann-ολοκληρώσιμων συναρτήσεων f : [0,1] C. Κάθε συνάρτηση f : [0,1] C γράφεται μοναδικά f = u + iv όπου u(t) := 1 2 (f (t) + f (t)), v(t) := 1 2i (f (t) f (t)) (παίρνουν πραγματικές τιμές). Η f λέγεται (Riemann)-ολοκληρώσιμη όταν οι u και v είναι Riemann-ολοκληρώσιμες, και τότε ορίζουμε f (t)dt := u(t)dt + i v(t)dt, Ο R[0,1] είναι γραμμ. χώρος (πράξεις κατά σημείο) λόγω της γραμικότητας του ολοκληρώματος. Ο χώρος l 2 = l 2 (N) αποτελείται από όλες τις ακολουθίες μιγ. αριθμών (= συναρτήσεις x : N C) που είναι τετραγωνικά αθροίσιμες, δηλ. n x(n) 2 <. Είναι γραμμ. χώρος (πράξεις κατά συντεταγμένη). Γιατί; Παρατήρηση - Άσκηση Κάθε γραμμικός χώρος «είναι» ένας χώρος συναρτήσεων σε κάποιο σύνολο.

11 Γραμμικοί χώροι Αν X γραμμικός χώρος και x X, A X, λέμε ότι το x ανήκει στην γραμμική θήκη του A (γράφουμε x span(a)) ή ότι είναι γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του A, αν υπάρχουν (πεπερ. πλήθος) x 1,...,x n A και λ 1,...λ n K ώστε x = λ 1 x 1 + λ 2 x λ n x n. Τα διανύσματα y 1,...,y m λέγονται γραμμικά εξαρτημένα αν κάποιο από αυτά είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Ισοδύναμα, αν το 0 είναι μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους, δηλ. αν υπάρχουν µ 1,... µ m K, όχι όλα 0, ώστε µ 1 y 1 + µ 2 y µ m y m = 0. Είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν δεν υπάρχουν τέτοια µ k, δηλ. αν λ 1 y λ m y m = 0 = λ 1 =... = λ m = 0.

12 Γραμμικοί χώροι Ενα μη κενό M X λέγεται γραμμικά εξαρτημένο αν περιέχει κάποια y 1,...,y m που είναι γραμμικά εξαρτημένα. Ισοδύναμα, αν υπάρχει κάποιο x M που είναι γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του M \ {x}, δηλ. ανήκει στην γραμμική θήκη του M \ {x}. Το M είναι γραμμικά ανεξάρτητο αν για κάθε πεπερ. πλήθος στοιχείων x 1,...,x n του M ισχύει η συνεπαγωγή λ 1 x λ m x m = 0 = λ 1 =... = λ m = 0. Ενας Y X λέγεται (γραμμικός) υπόχωρος του X αν span(y ) Y, δηλαδή αν x,y Y και λ K = x + λy Y.

13 Γραμμικές απεικονίσεις Ορισμός Εστω E, F (πραγματικοί ή μιγαδικοί γραμμικοί (:διανυσματικοί) χώροι. Μια απεικόνιση T : E F λέγεται γραμμική αν x,y E, λ K : T (x + λy) = T (x) + λt(y). Μια γραμμική απεικόνιση λέγεται (γραμμικός) ισομορφισμός αν επι πλέον είναι 1-1 και επί. Δυο γραμμικοί χώροι E, F λέγονται ισόμορφοι αν υπάρχει ισομορφισμός T : E F.

14 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Ορισμός Εστω E K-γραμμικός χώρος (K = R ή C). Ενα εσωτερικό γινόμενο (inner product ή scalar product) στον E είναι μια απεικόνιση, : E E K τέτοια ώστε (i) (ii) x 1 + λx 2,y = x 1,y + λ x 2,y x,y = y,x (iii) x,x 0 (iv) x,x = 0 x = 0 για κάθε x,x 1,x 2,y E και λ K. άρα (i) x,y 1 + λy 2 = x,y 1 + λ x,y 2.

15 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Πρόταση (Ανισότητα Cauchy-Schwarz) Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, (α) για κάθε x,y E ισχύει x,y x,x 1/2 y,y 1/2. (β) Ισότητα ισχύει αν και μόνον αν τα x,y είναι γραμμικά εξαρτημένα. Άσκηση Δείξτε την Cauchy-Schwarz (α) για ημι-εσωτερικό γινόμενο. Πρόταση Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, η απεικόνιση. : E R + όπου x = x,x 1/2 είναι νόρμα στον E, δηλαδή ικανοποιεί, για κάθε x,y E και λ K, (i) x + y x + y (ii) λx = λ x (iii) x = 0 x = 0.

16 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Πόρισμα Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, η απεικόνιση (E,. ) (E,. ) (K,. ) : (x,y) x,y είναι συνεχής. Πρόταση (α) (Κανόνας Παραλληλογράμμου) για κάθε x,y E, x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2. (β) (Πυθαγόρειο Θεώρημα) αν x,y E και x,y = 0, τότε x + y 2 = x 2 + y 2.

17 Καθετότητα Ορισμός Δύο στοιχεία x, y ενός χώρου E με εσωτερικό γινόμενο λέγονται κάθετα (συμβολικά x y) όταν x,y = 0. Μια οικογένεια {e i : i I } E λέγεται ορθοκανονική (orthonormal) αν e i,e j = δ ij για κάθε i,j I. ορθοκανονική γραμμικά ανεξάρτητη. Προς την αντίστροφη: Πρόταση (Διαδικασία Gram-Schmidt) Αν {x n : n N} είναι μια γραμμικά ανεξάρτητη ακολουθία σ έναν χώρο (E,.,. ) με εσωτερικό γινόμενο, τότε υπάρχει μια ορθοκανονική ακολουθία {e n : n N} στον E ώστε, για κάθε k N, να ισχύει 1 [e n : n = 1,2,...,k] = [x n : n = 1,2,...,k]. Κάθε υπόχωρος F E πεπερασμένης διάστασης έχει μια αλγεβρική βάση {e 1,...,e n } που είναι ορθοκανονική. Κάθε x F γράφεται μοναδικά x = n x,e k e k. k=1 1 με [A] ή spana θα συμβολίζουμε την γραμμική θήκη ενός A E.

18 Το πλησιέστερο διάνυσμα (βέλτιστη προσέγγιση) (Ι) Λήμμα Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο, x E και {e 1,e 2,...,e n } πεπερασμένη ορθοκανονική ακολουθία στον E. (α) Το διάνυσμα y x = n k=1 x,e k e k είναι το (μοναδικό) πλησιέστερο στο x στοιχείο του υποχώρου F = span{e 1,e 2,...,e n }. (β) Επιπλέον το x y x είναι κάθετο στον F και αντίστροφα, αν y F και x y F, τότε y = y x. Δηλαδή η απεικόνιση K n R + n : (λ 1,λ 2,...,λ n ) x k e k k=1λ έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο ( x,e 1, x,e 2,..., x,e n ).

19 Το πλησιέστερο διάνυσμα (Βέλτιστη προσέγγιση) (Ι) Απόδειξη Λήμματος (β) Κάθε y F γράφεται y = n k=1 y,e k e k. Τώρα: (x y) F x y,e k = 0 k, y,e k = x,e k k, y = y x. (α) Αν (λ 1,λ 2,...,λ n ) K n, ( )+( n n ) x λ k e k = x x,e k e k ( x,e k λ k )e k = z +y 1 n k=1 k=1 k=1 παρατηρούμε ότι z F (γιατί z,e k = 0 για k = 1,...n) και y 1 F, άρα y 1 z. Πυθαγόρειο: z +y 1 2 = z 2 + y 1 2 δηλαδή n 2 x λ k e k k=1 = = n 2 x x,e k e k + k=1 n 2 x x,e k e k + k=1 n k=1 n k=1 ( x,e k λ k )e k 2 x,e k λ k 2 (1)

20 Bessel κ.λπ. Παρατήρηση Εστω E χώρος με εσωτ. γιν. και {e 1,e 2,...} ορθοκανονική ακολουθία. n 2 x x,e k e k = x 2 k=1 n k=1 x,e k 2 x E,n N. (από την (1) με λ k = 0). Πρόταση (Ανισότητα Bessel) (ι) n k=1 x,e k 2 x 2 (ιι) Στην (ι) ισχύει ισότητα αν και μόνον αν x [e i : i = 1,...,n]. Πρόταση (Γενικευμένη ανισότητα Bessel) x,e n 2 x 2. n=1

21 Χώροι Hilbert Ορισμός Ενας χώρος (E,.,. ) με εσωτερικό γινόμενο λέγεται χώρος Hilbert αν είναι πλήρης ως προς την μετρική που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο. Παραδείγματα (a) Ο χώρος K n, με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, είναι βέβαια χώρος Hilbert. Είναι επίσης πλήρης ως προς την νόρμα., αλλά δεν είναι χώρος Hilbert ως προς αυτήν (γιατί δεν ικανοποιείται ο κανόνας του παραλληλογράμμου), μολονότι οι δυο νόρμες είναι ισοδύναμες. (b) Ο χώρος l 2, με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, είναι χώρος Hilbert, και ο χώρος c oo των ακολουθιών με πεπερασμένο φορέα είναι πυκνός υπόχωρος του. Επομένως ο χώρος (c oo,. 2 ) είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο αλλά όχι Hilbert, εφ όσον δεν είναι πλήρης. (c) Ο χώρος C([a,b]) δεν είναι πλήρης ως προς την νόρμα. 2 που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο.

22 Ορθογώνιες διασπάσεις Θεώρημα (Πλησιέστερο διάνυσμα (ΙΙ)) Εστω H χώρος Hilbert, E κλειστός γραμμικός υπόχωρος του H. Αν x H \ E, τότε υπάρχει μοναδικό y E πλησιέστερο προς το x, δηλαδή τέτοιο ώστε x y = d(x,e) inf{ x z : z E}. Το μοναδικό αυτό στοιχείο y του E ονομάζουμε (ορθή) προβολή του x στον E, και το συμβολίζουμε P E (x) ή P(E)x. Από την απόδειξη του Θεωρήματος: Παρατήρηση Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο, F κυρτό 2 και πλήρες υποσύνολο του E. Αν x E \ F, τότε υπάρχει μοναδικό y F πλησιέστερο προς το x, δηλαδή τέτοιο ώστε x y = d(x,f ) inf{ x z : z F }. 2 δηλ. αν x,y F, για κάθε λ [0,1] να ισχύει (1 λ)x + λy F

23 Ορθογώνιες διασπάσεις Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert, E κλειστός γραμμικός υπόχωρος του H. Αν x H \ E, τότε το διάνυσμα x P E (x) είναι κάθετο στον E. Αντίστροφα αν y 0 E και (x y 0 ) E τότε y 0 = P E (x). Πόρισμα ( Υπαρξη καθέτου διανύσματος) Αν H είναι χώρος Hilbert και M είναι γνήσιος κλειστός υπόχωρος του H τότε υπάρχει z H, z 0 ώστε z M. Η απόσταση του z από τον M είναι η μεγαλύτερη δυνατή : d(z,m) = z.

24 Ορθογώνιες διασπάσεις Πόρισμα Ενας γραμμικός υπόχωρος E ενός χώρου Hilbert H είναι πυκνός (dense) στον H αν και μόνον αν το μόνο διάνυσμα του H που είναι κάθετο στον E είναι το 0. Ορισμός (κάθετος υπόχωρος) Αν A είναι μη κενό υποσύνολο ενός χώρου E με εσωτερικό γινόμενο, θέτω A = {x E : x,y = 0 για κάθε y A}. Παρατηρήσεις (α) Ο A είναι πάντα κλειστός γραμμικός υπόχωρος του E. (β) Οταν ο E είναι χώρος Hilbert: A = {0} span(a) πυκνός στον E.

25 Ορθογώνιες διασπάσεις Θεώρημα (Ορθογώνια διάσπαση) Αν M είναι κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H, τότε Πόρισμα (Ορθή προβολή) M M = H. Εστω M κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H. Η απεικόνιση P M : H H : y P M (y) είναι γραμμική και συνεχής. Παράδειγμα Στον (c 00,, ) υπάρχει γνήσιος κλειστός υπόχωρος M, ώστε M = {0}. { M = x =(x(n)) c 00 : x(n) } n = 0.

26 Ορθογώνιες διασπάσεις: Μια άλλη προσέγγιση Εστω H χώρος με εσωτερικό γινόμενο, A H μη κενό. 1 A κλειστός υπόχωρος του H και A A {0}. 2 Αν H Hilbert: A = {0} spana = H. 3 A (A ). 4 A B B A. 5 A = A. 6 Αν H Hilbert και E κλειστός γραμμ. υπόχωρος, τότε E = E. 7 Αν H Hilbert και E,F κλειστοί γραμμ. υπόχωροι με E F, τότε E + F κλειστός.

27 Ο δυϊκός ενός χώρου Hilbert Λήμμα Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Αν x E, ονομάζουμε f x την απεικόνιση f x : E K : y y,x. Η f x είναι γραμμική και συνεχής. Θεώρημα (Riesz) Εστω H χώρος Hilbert. Για κάθε γραμμική και συνεχή f : H K υπάρχει μοναδικό x H ώστε f = f x, δηλ. f (y) = y,x για κάθε y H.

28 Ορθοκανονικές Βάσεις Υπενθύμιση Ενα υποσύνολο X ενός K-γραμμικού χώρου V είναι γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο {x 1,...,x n } X είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αν δηλαδή ισχύει η συνεπαγωγή (λ 1,λ 2,...,λ n ) K n \ {0} n k=1 λ kx k 0. Το X είναι (αλγεβρική) βάση του V αν η γραμμική του θήκη span(x ) ισούται με V, δηλαδή αν κάθε v V είναι γραμμικός συνδυασμός v = n k=1 λ kx k στοιχείων x k X. Ορισμός Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Μια οικογένεια {e i : i I } E λέγεται ορθοκανονική βάση του E αν (i) είναι ορθοκανονική και (ii) Η γραμμική θήκη της είναι πυκνός υπόχωρος του E, δηλ. span{e i : i I } = E. Παρατήρηση Σε απειροδιάστατους χώρους, μια ορθοκανονική βάση δεν είναι συνήθως αλγεβρική βάση (π.χ. στον l 2 ).

29 Ορθοκανονικές Βάσεις Παρατήρηση Εστω C = {e i : i I } ορθοκανονική οικογένεια σ έναν χώρο Hilbert H. Η C είναι βάση του H αν και μόνον αν είναι μεγιστική, αν δηλαδή δεν περιέχεται σε κανένα ορθοκανονικό υποσύνολο του H (εκτός από την C ), ισοδύναμα αν το μόνο στοιχείο του H που είναι κάθετο στην C είναι το 0.

30 Ορθοκανονικές Βάσεις Πρόταση Κάθε διαχωρίσιμος 3 χώρος E με εσωτερικό γινόμενο περιέχει μια ορθοκανονική βάση (και αντίστροφα). Μάλιστα, αν F E πυκνός υπόχωρος, μπορώ να βρω ορθοκανονική βάση του E μέσα στον F (π.χ. E = C([0,1]) και F = πολυώνυμα). Άσκηση Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο, {e n : n N} ορθοκανονική ακολουθία στον E. Τότε x 2 = x,e n 2 αν και μόνον αν x span{e n : n N}. Μάλιστα n=1 x 2 n=1 όπου K = span{e n : n N}. 3 Το ευθύ ισχύει και σε μη διαχωρίσιμους x,e n 2 = dist(x,k) 2

31 Ορθοκανονικές Βάσεις Μισή Απόδειξη Εστω x K και ε > 0. Υπάρχουν n N και λ 1,...λ n K ώστε n x λ k e k < ε. k=1 Ομως, πάντα n 2 n 2 x λ k e k x x,e k e k k=1 Αλλά ξέρουμε (Πυθαγόρειο) x 2 n k=1 k=1 x,e k 2 n 2 = x x,e k e k < ε 2. k=1

32 Ορθοκανονικές Βάσεις και συνεπώς Αν m n, έχουμε m 2 x x,e k e k = x 2 k=1 για κάθε m n. Επομένως lim m x m k=1 n k=1 m k=1 x,e k 2 m k=1 x,e k 2 x 2 x,e k 2 n k=1 x,e k 2 < ε 2 m x,e k e k = 0 και lim m x,e k 2 = x 2. k=1

33 Ορθοκανονικές Βάσεις Συνέπεια: Θεώρημα Εστω {e n : n N} ορθοκανονική βάση σ έναν χώρο E με εσωτερικό γινόμενο. Τότε, για κάθε x E, (ι) x = x,e n e n ( σύγκλιση ως προς τη νόρμα του E). n=1 (ιι) x 2 = x,e n 2. (Ισότητα Parseval) n=1 Πόρισμα Αν {e n : n N} είναι ορθοκανονική βάση σ έναν χώρο με εσωτερικό γινόμενο E, για κάθε x,y E έχουμε x,y = n=1 x,e n e n,y = n=1 x,e n y,e n.

34 Ισομορφισμοί Δείξαμε: Εστω {e n : n N} ορθοκανονική βάση σ έναν χώρο E με εσωτερικό γινόμενο. Τότε, για κάθε x E, x 2 = n=1 x,e n 2. Άρα η απεικόνιση (E, ) (l 2, 2 ):x ( x,e n ) n είναι (γραμμ.) ισομετρική εμφύτευση. Η εικόνα της είναι πυκνή στον l 2. (Άρα, ο E έχει μια πλήρωση που είναι χώρος Hilbert.) Θεώρημα Κάθε απειροδιάστατος διαχωρίσιμος 4 χώρος Hilbert H είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον l 2. Ακριβέστερα, αν επιλέξουμε μια ορθοκανονική βάση {x n } του H, η απεικόνιση U : H l 2 : x ( x,x n ) n απεικονίζει τον H (γραμμικά και) ισομετρικά επί του l 2. 4 Ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει και για μη διαχωρίσιμους χώρους.

35 Η πλήρωση Πρόταση Αν (E,.,. ) είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, υπάρχει χώρος Hilbert (H,.,. ) και γραμμική και ισομετρική εμφύτευση φ : E H με πυκνή εικόνα. Ο H είναι «ουσιαστικά μοναδικός», με την έννοια ότι αν (K,.,. ) είναι χώρος Hilbert και ψ : E K γραμμική ισομετρία με πυκνή εικόνα, τότε υπάρχει γραμμική ισομετρία T από τον H επί του K ώστε T (φ(x)) = ψ(x) για κάθε x E. Ο χώρος Hilbert (H,.,. ) λέγεται η πλήρωση του (E,.,. ). E φ φ(e) H = φ(e) id T E ψ ψ(e) K = ψ(e)

36 Ο L 2 ([a,b]), ο L 2 (R) Χωρίς Μέτρο Θεωρώ τον E = (C([a,b]),, ) όπου f,g = b a f (t)g(t)dt. Ονομάζω L 2 ([a,b]) την πλήρωση του E. Θεωρώ τον F = (C c (R),, ) όπου f C c (R) σημαίνει f : R C συνεχής και υπάρχει K f R συμπαγές ώστε f (t) = 0 όταν t / K f. Θέτω f,g = f (t)g(t)dt. K f Ονομάζω L 2 (R) την πλήρωση του F. Για τις ανάγκες του προπτυχιακού μαθήματος, αυτοί θα είναι οι ορισμοί των χώρων Hilbert L 2 ([a,b]) και L 2 (R). Ενημερωτικά παρατίθενται στις επόμενες δυο διαφάνειες οι ορισμοί από τη Θεωρία Μέτρου.

37 Ο L 2 ([a,b]), ο L 2 (R) Με Μέτρο (Μέτρον Άριστον!) Εστω (X,S, µ) χώρος μέτρου (π.χ. ([a,b],b,λ)). Ορισμός Ο χώρος L 2 (X,S, µ) = L 2 (µ) αποτελείται από όλες τις συναρτήσεις f : X R {± } (ή f : X C) που είναι μετρήσιμες και ικανοποιούν f 2 dµ < +. Ο αριθμός X ( 1/2 f dµ) 2 συμβολίζεται f 2. X Θέτω N = {f L 2 (µ) : f 2 = 0}. Αν f,g L 2 (µ), έχω f = g µ-σ.π. f g N. Επίσης, ο N είναι γραμμικός υπόχωρος του L 2. Θέτω f + N 2 := f 2. Είναι καλά ορισμένη νόρμα στον χώρο πηλίκο L 2 (µ) := L 2 (µ)/n. Επεται ότι ο L 2 (µ) αποτελείται από τις κλάσεις ισοδυναμίας συναρτήσεων του L 2 (µ) modulo ισότητα µ-σ.π.

38 Ο L 2 ([a,b]), ο L 2 (R) Θεώρημα (Riesz Fisher) Ο L 2 (µ) είναι πλήρης (άρα είναι χώρος Hilbert αφού η 2 προέρχεται από το εσωτ. γινόμενο f + N,g + N = f (t)g(t)dµ(t)). X Θεώρημα (πόρισμα π.χ. του Luzin) Ο C([a, b]) είναι πυκνός στον L 2 ([a,b],b,λ) ως προς τη νόρμα 2, βεβαίως. Ο C c (R) είναι πυκνός στον L 2 (R,B,λ) ως προς τη νόρμα 2.

39 Χώροι Hilbert Τρία πράγματα: (1) Υπαρξη πλησιέστερου διανύσματος, άρα και κάθετου διανύσματος. (2) Συνεχείς γραμμικές μορφές είναι τα εσωτερικά γινομενα. (3) Υπαρξη ορθοκανονικής βάσης {x i : i I }. (Άρα ισομορφισμός με l 2 (I ))

40 Φραγμένοι τελεστές Υπενθύμιση: E,F γραμμικοί χώροι, T : E F γραμμική: T (x + λy) = T (x) + λt(y) x,y E,λ K. Παραδείγματα; Θεώρημα Αν (E,. E ) και (F,. F ) είναι χώροι με νόρμα και T : E F είναι γραμμική απεικόνιση, τα εξής είναι ισοδύναμα: (α) Η T είναι συνεχής. (β) Η T είναι συνεχής στο 0 E. (γ) Η T είναι συνεχής σε κάποιο σημείο του E. (δ) Υπάρχει M < ώστε Tx F M x E για κάθε x E. (ε) Ο περιορισμός της T στην μοναδιαία μπάλα του E είναι φραγμένη συνάρτηση, δηλαδή το σύνολο { Tx F : x E 1} είναι φραγμένο. (στ) Η T είναι ομοιόμορφα συνεχής.

41 Φραγμένοι τελεστές Παρατήρηση. Καμμιά γραμμική συνάρτηση (εκτός απ την 0) δεν είναι φραγμένη με τη συνήθη έννοια σε όλον το χώρο. Ορισμός Μία γραμμική απεικόνιση T : (E,. E ) (F,. F ) λέγεται φραγμένη ή φραγμένος τελεστής (bounded operator) αν η T απεικονίζει φραγμένα υποσύνολα του E σε φραγμένα υποσύνολα του F. Ισοδύναμα, αν ο περιορισμός της T στην μοναδιαία μπάλα του E είναι φραγμένη συνάρτηση. Αν T : E F είναι γραμμική απεικόνιση, θέτουμε T = sup{ Tx F : x E, x E 1} [0,+ ]. Η Τ είναι φραγμένη αν και μόνον αν T < +.

42 Φραγμένοι τελεστές Πρόταση T = sup{ Tx F : x E, x E 1}. Αν (E, E ),(F, F ) είναι χώροι με νόρμα και T : E F φραγμένος τελεστής, τότε T = sup{ Tx F : x E, x E = 1} { } Tx F = sup : x E,x 0 x E = inf{k > 0 : Tx F k x E για κάθε x E}. Επιπλέον, ισχύει για κάθε x E. Tx F T. x E

43 Φραγμένοι τελεστές Πρόταση Εστω (E,. E ) χώρος με νόρμα, (F,. F ) χώρος Banach, D πυκνός υπόχωρος του E και γραμμική απεικόνιση. Η T δέχεται συνεχή επέκταση T : D F T 1 : E F δηλ. T 1 D = T αν και μόνον αν είναι συνεχής. Η επέκταση T 1 είναι μοναδική (αν υπάρχει) και T 1 = T.

44 Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Αν (E,, ),(F,, ) είναι χώροι με εσωτερικό γινόμενο πεπερασμένης διάστασης, κάθε γραμμική απεικόνιση T : E F είναι συνεχής. Αν επιλέξω ορθοκανονικές βάσεις {e 1,...,e m } του E και {f 1,...,f n } του F, ορίζεται ένας n m πίνακας [a nm ] M nm (K) από την σχέση a ik = Te k,f i,i = 1,...n, k = 1,...m. Αντίστροφα, κάθε [a ij ] M nm (K) ορίζει μια μοναδική απεικόνιση T : E F που ικανοποιεί τη σχέση αυτή. Γενικότερα, κάθε φραγμένος τελεστής T : l 2 l 2 ορίζει έναν πίνακα [ Te k,e i ], όπου {e n : n N} η συνηθισμένη ορθοκανονική βάση του l 2. Δεν ισχύει όμως το αντίστροφο. Παράδειγμα;

45 Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Διαγώνιοι τελεστές Αν a = (a n ), a n C, είναι τυχούσα ακολουθία, η απεικόνιση (x(n)) (a n x(n)) στέλνει τον l 2 στον l 2 ανν (a n ) l και τότε ορίζει φραγμένο τελεστή D a με νόρμα D a = a. Εχουμε D a e k,e i = a k δ ik (διαγώνιος πίνακας). Τελεστές Hilbert-Schmidt Μία ικανή (αλλά όχι αναγκαία) συνθήκη ώστε ένας πίνακας [a ik ] να ορίζει φραγμένο τελεστή T : l 2 l 2 ώστε a ik = Te k,e i για κάθε i,k N είναι η i=1 k=1 a ik 2 < (σύγκρινε με τους διαγώνιους). Εχουμε (Tx)(i) = Tx,e i = a ik x(k). k

46 Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Ολοκληρωτικοί τελεστές στον L 2 ([a,b]) Αν k C([a,b] [a,b]), ορίζουμε b (Kf )(x) = k(x,y)f (y)dy, f C([a,b]). a Ορίζει γραμμικό τελεστή K : (C([a,b]), 2 ) (C([a,b]), 2 ) φραγμένο, με K 2 K(x,y) 2 dxdy. Άρα επεκτείνεται σε K : L 2 ([a,b]) L 2 ([a,b]). Πολλαπλασιαστικοί τελεστές στον L 2 ([a,b]) Αν f C([a,b]), ορίζουμε M o f : C([a,b]) C([a,b]) : g fg (κατά σημείο γινόμενο). Επειδή fg 2 f g 2, ο M o f επεκτείνεται σε M f : L 2 ([a,b]) L 2 ([a,b]) με M f f (μάλιστα, ισότητα). (Αλλιώς: με μέτρο) Πάρε f L (µ) και όρισε M f : L 2 (µ) L 2 (µ) : g fg. Είναι καλά ορισμένος και M f f (ισότητα για σ-πεπερασμένο µ).

47 Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Τελεστές μετατόπισης (shift operators) στον l 2 (Z): Ορίζω U: x = (...,x( 1),x(0),x(1),x(2),...) Ux = (...,x( 2),x( 1),x(0),x(1),...) δηλαδή (Ux)(n) = x(n 1) για κάθε n Z. Προφανώς U : l 2 (Z) l 2 (Z), γραμμικός, ισομετρία και επί. Ορίζω U : x = (...,x( 1),x(0),x(1),x(2),...) U x = (...,x(0),x(1),x(2),x(3),...)

48 Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Τελεστές μετατόπισης (shift operators) (α) Στον l 2 (Z): Ue n = e n+1 (μετατόπιση δεξιά) και U e n = e n 1 (μετατόπιση αριστερά) (n Z) Επεκτείνω γραμμικά στον c 00 (Z), παρατηρώ ότι είναι 2 -ισομετρίες, άρα επεκτείνονται σε ισομετρίες l 2 (Z) l 2 (Z). (β) Στον l 2 (Z + ): Se n = e n+1 (μετατόπιση δεξιά) (n Z + ) { και S en 1 όταν n 1 e n = (μετατόπιση αριστερά) 0 όταν n = 0 Επεκτείνω γραμμικά στον c 00 (Z + ), παρατηρώ ότι είναι 2 -συστολές (δηλ. Sx 2 x 2 για κάθε x c 00 (Z + )), άρα επεκτείνονται σε συστολές l 2 (Z + ) l 2 (Z + )). (Μάλιστα ο S είναι ισομετρία. Ο S ;)

49 Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα (γ) Στον L 2 (R) (translation operators): Εστω t R. Αν f C c (R), ορίζω f t : s f t (s) = f (s t). Τότε f t C c (R) και η απεικόνιση λ t : (C c (R), 2 ) C c (R), 2 ) : f f t είναι (γραμμική) ισομετρία επί (γιατί;). Άρα επεκτείνεται σε γραμμική ισομετρία L 2 (R) L 2 (R), επί.

50 Μη Φραγμένοι τελεστές: Ενα παράδειγμα Στον χώρο C c (R) των απεριόριστα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με συμπαγή φορέα 5 ορίζουμε Df = f. Είναι γραμμική απεικόνιση, καλά ορισμένη στον πυκνό υπόχωρο C c (R) του L 2 (R), αλλά δεν επεκτείνεται σε φραγμένο τελεστή L 2 (R) L 2 (R), γιατί δεν είναι συνεχής ως προς τη νόρμα του L 2 (R): δεν υπάρχει σταθερά M < ώστε Df 2 M f 2 για κάθε f C c (R). 5 π.χ. f (x) = exp( 1 1 x 2 ) όταν x 1 και f (x) = 0 όταν x > 1

51 Ο Χώρος των Τελεστών Ορισμός Αν (E,. ),(F,. ) είναι χώροι με νόρμα, ονομάζουμε B(E,F ) το σύνολο όλων των φραγμένων γραμμικών απεικονίσεων T : (E,. ) (F,. ). Οταν E = F, γράφουμε B(E) αντί για B(E,E). Με γραμμ. πράξεις κατά σημείο, δηλ. (T + λs)(x) = Tx + λ(sx) (x E) το σύνολο B(E,F ) γίνεται γραμμικός χώρος. Πρόταση Η απεικόνιση T T είναι νόρμα στον χώρο B(E,F ). Αν επί πλέον ο F είναι πλήρης, ο B(E,F ) είναι χώρος Banach. Οταν E = F, ο B(E) γίνεται (μη μεταθετική, αν dime > 1) άλγεβρα ως προς τη σύνθεση: (TS)(x) = T (S(x)) (x E). Μάλιστα TS T S.

52 Ο συζυγής τελεστής Να δείξουμε Θεώρημα Αν H 1,H 2 είναι δύο χώροι Hilbert και T : H 1 H 2 ένας φραγμένος τελεστής, τότε υπάρχει ένας μοναδικός τελεστής T : H 2 H 1 που ικανοποιεί τη σχέση Tx,y H2 = x,t y H1 για κάθε x H 1, y H 2. Ο T : H 2 H 1 ονομάζεται ο συζυγής (adjoint) του T. Είναι φραγμένος τελεστής και T = T. Παραδείγματα (α) Αν H 1 = H 2 = l 2 (n) και ο T έχει πίνακα [a ij ], ο T είναι ο τελετής που έχει πίνακα [b ij ] όπου b ij = a ji. (β) Αν H 1 = H 2 = l 2 και a l, ο συζυγής του τελεστή D a είναι ο D b, όπου b = a (δηλαδή b(n) = a(n) για κάθε n). (γ) Αν H 1 = H 2 = L 2 ([0,1]) και f C([0,1]), ο συζυγής του τελεστή M f είναι ο τελεστής M g όπου g = f. Δηλαδή M f = M f.

53 Sesquilinear μορφές Ορισμός Μια απεικόνιση φ : H 1 H 2 C λέγεται sesquilinear μορφή αν έχει τις ιδιότητες (i) είναι γραμμική ως προς την πρώτη μεταβλητή, δηλαδή για κάθε y H 2 η απεικόνιση x φ(x,y) : H 1 C είναι γραμμική. (ii) είναι αντιγραμμική ως προς την δεύτερη μεταβλητή, δηλαδή για κάθε x H 1 η απεικόνιση y φ(x,y) : H 2 C είναι γραμμική. Μια sesquilinear μορφή λέγεται φραγμένη, αν επιπλέον έχει την ιδιότητα (iii) sup{ φ(x,y) : x H1 1, y H2 1} := φ < +. Παράδειγμα φ(x,y) = Tx,y όπου T B(H 1,H 2 ). Μάλιστα T = φ, δηλαδή T = sup{ Tx,y : x H1 1, y H2 1}.

54 Sesquilinear μορφές Ταυτότητα πολικότητας (polarization) Αν φ : H H C sesquilinear και φ(x) = φ(x,x) η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή, ( ) ( ) ( ) ( ) x + y x y x + iy x iy φ(x,y) = φ φ + i φ i φ Πρόταση Εστω H μιγαδικός χώρος Hilbert. Μια sesquilinear μορφή φ είναι φραγμένη ανν η ˆφ είναι φραγμένη στη μπάλα του H. Μάλιστα sup{ ˆφ(x) : x B H } φ 2sup{ ˆφ(x) : x B H }. Αν φ(x,x) R για κάθε x H, τότε ισχύει ισότητα.... αλλά όχι εν γένει.

55 Sesquilinear μορφές και τελεστές Πόρισμα Εστω H μιγαδικός χώρος Hilbert. Μια γραμμική απεικόνιση T :H H είναι φραγμένη αν και μόνον αν sup{ Tx,x : x H, x 1} < +. Τότε sup{ Tx,x : x B H } T 2sup{ Tx,x : x B H }. Επίσης, αν T,S B(H), τότε T = S αν και μόνον αν Tx,x = Sx,x για κάθε x H. Πόρισμα Εστω H μιγαδικός χώρος Hilbert και T :H H φραγμένη γραμμική απεικόνιση. Αν Tx,x R για κάθε x H, τότε T = sup{ Tx,x : x B H }.

56 Sesquilinear μορφές Θεώρημα Εστω H 1,H 2 χώροι Hilbert. Κάθε φραγμένη sesquilinear μορφή φ : H 1 H 2 C ορίζει έναν μοναδικό φραγμένο τελεστή T B(H 1,H 2 ) από την σχέση Επεται το Θεώρημα φ(x,y) = Tx,y για κάθε x H 1,y H 2. Αν H 1,H 2 είναι δύο χώροι Hilbert και T : H 1 H 2 ένας φραγμένος τελεστής, τότε υπάρχει ένας μοναδικός τελεστής T : H 2 H 1 που ικανοποιεί τη σχέση Tx,y H2 = x,t y H1 για κάθε x H 1, y H 2. Ο T είναι φραγμένος και T = T. Αποδ. Η φ(y,x) := y,tx H2 είναι sesquilinear και φραγμένη.

57 Ο συζυγής τελεστής Προειδοποίηση Ο συζυγής ενός μη φραγμένου τελεστή δεν ορίζεται με τον ίδιο τρόπο. Πρόταση Η απεικόνιση T T : B(H 1,H 2 ) B(H 2,H 1 ) έχει τις εξής ιδιότητες: (α) είναι αντιγραμμική, δηλαδή (T + λs) = T + λs. (β) T = T. (γ) T = T. (δ) Αν H 1 S H2 T H3 φραγμένοι τελεστές, (TS) = S T. (ε) T T = T 2. Ειδικότερα (αν H 1 = H 2 = H), η T T : B(H) B(H) είναι μια ενέλιξη (involution) που ικανοποιεί την λεγόμενη ιδιότητα C, δηλ. την (ε).

58 Κατηγορίες τελεστών Ορισμός Εστω H 1,H 2 χώροι Hilbert. (i) Ενας T B(H 1 ) λέγεται φυσιολογικός (normal) αν T T = TT.(σαν τις συναρτήσεις) (ii) Ενας T B(H 1 ) λέγεται αυτοσυζυγής (self-adjoint) αν T = T. (σαν τις πραγματικές συναρτήσεις) (iii) Ενας T B(H 1,H 2 ) λέγεται ορθομοναδιαίος (unitary) αν T T = I H1 και TT = I H2. (σαν τις συναρτήσεις που f (t) = 1) Παραδείγματα: Ο shift S δεν είναι φυσιολογικός. Κάθε M f είναι φυσιολογικός. Ενας M f είναι αυτοσυζυγής ανν f (t) R για κάθε t. Ο μετασχηματισμός Fourier F : L 2 ([0,2π]) l 2 (Z) είναι ορθομοναδιαίος.

59 Κατηγορίες τελεστών Πρόταση Εστω T B(H), όπου H μιγαδικός χώρος Hilbert. Ο T είναι φυσιολογικός αν και μόνον αν Tx = T x για κάθε x H. Πρόταση Εστω T B(H), όπου H μιγαδικός χώρος Hilbert. Ο T είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν Tx,x R για κάθε x H. Γράφω B h (H) = {T B(H),T = T }. Πρόταση Εστω T B(H), όπου H μιγαδικός χώρος Hilbert. Αν ο T είναι αυτοσυζυγής, τότε T = sup{ Tx,x : x H, x 1}.

60 Κατηγορίες τελεστών Πρόταση Εστω T B(H 1,H 2 ), όπου H i μιγαδικοί χώροι Hilbert. Τότε (i) Ο T είναι ισομετρία αν και μόνον αν T T = I H1, ισοδύναμα αν και μόνον αν Tx,Ty = x,y για κάθε x,y H 1. (ii) Ο T είναι ορθομοναδιαίος αν και μόνον αν είναι ισομετρία και επί. Παραδείγματα Αν H 1 = H 2 = H με dimh <, κάθε ισομετρία είναι βεβαίως επί. Στον l 2, ο S : e n e n+1 είναι ισομετρία, όχι επί αφού e 0 / S(l 2 ) (στο ξενοδοχείο Hilbert πάντα βρίσκουμε θέση, ακόμα κι αν σε κάθε e n υπάρχει ένοικος). Ο τελεστής M : H 2 H 2 όπου (Mf )(z) = zf (z), f H 2 είναι ισομετρία, όχι επί (άσκηση).

61 Αυτοσυζυγείς και θετικοί τελεστές Κάθε T B(H) γράφεται μοναδικά στην μορφή Ορισμός A = A 1 + ia 2, όπου A i = A i (i = 1,2). (i) Ενας τελεστής T B(H) λέγεται θετικός (positive) αν Tx,x 0 για κάθε x H. Το σύνολο των θετικών τελεστών συμβολίζουμε B + (H). (ii) Αν T,S B h (H), ορίζουμε T S αν Tx,x Sx,x για κάθε x H, αν δηλαδή T S B + (H). Παρατήρηση: B + (H) B h (H).

62 Ο κώνος των θετικών τελεστών Ο (B h (H), ) είναι R-χώρος Banach. Ο B + (H) B h (H) είναι κώνος: A 0, t 0 ta 0. κυρτός: A,B 0, λ [0,1] λa + (1 λ)b 0 γνήσιος: A 0 και A 0 A = 0. παράγει τον B h (H) (full cone): T B h A,B 0 : T = A B. -κλειστός.

63 Η διάταξη στον B h (H) Με άλλα λόγια: Η διάταξη στον B h (H) είναι συμβιβαστή με την γραμμική του δομή, δηλαδή (αν A,B,S,T B h και λ,µ R) και A B, S T A + S B + T λ µ 0 λa µb. Δεν είναι όμως αλήθεια ότι αν A 0 και B 0 τότε AB 0. Επίσης, αν T n 0 και T n T 0, τότε ο T είναι θετικός. Αν A = A τότε A I A A I άρα A = (A + A I ) A I (διαφορά δυο θετικών)

64 Η διάταξη στον B h (H) Λήμμα (Γενικευμένη ανισότητα Cauchy - Schwarz) Εστω B B(H) θετικός τελεστής. Τότε για κάθε x,y H, Bx,y 2 Bx,x By,y και Bx 2 B Bx,x. Πρόταση Εστω (B n ) αύξουσα και φραγμένη ακολουθία αυτοσυζυγών τελεστών. Τότε η (B n ) συγκλίνει κατά σημείο: Υπάρχει μοναδικός αυτοσυζυγής τελεστής Y ώστε Yx = lim n B n x για κάθε x H. Επιπλέον B n Y για κάθε n N και αν C είναι αυτοσυζυγής τελεστής ώστε B n C για κάθε n N τότε Y C. Παρατήρηση Προφανώς το αντίστοιχο αποτέλεσμα ισχύει για φθίνουσες φραγμένες ακολουθίες τελεστών.

65 Υπαρξη τετραγωνικής ρίζας Πρόταση Για κάθε θετικό τελεστή A B(H) υπάρχει μοναδικός θετικός τελεστής X B(H) ώστε X 2 = A. Ο τελεστής αυτός λέγεται τετραγωνική ρίζα του A και συμβολίζεται A 1/2. Ο A 1/2 μετατίθεται με κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A. Πόρισμα Αν A,B B(H) είναι θετικοί τελεστές, τότε ο AB είναι θετικός αν και μόνον αν AB = BA.

66 Πολική αναπαράσταση τελεστή Ορισμός Εστω T B(H 1,H 2 ). Η μοναδική θετική τετραγωνική ρίζα του θετικού τελεστή T T B(H 1 ) συμβολίζεται T. Ορισμός Ενας τελεστής V B(H 1,H 2 ) λέγεται μερική ισομετρία (partial isometry) αν ο περιορισμός της V στον υπόχωρο M = (ker V ) είναι ισομετρία. Ο υπόχωρος M λέγεται αρχικός χώρος και ο υπόχωρος V (M) (ο οποίος είναι κλειστός - γιατί;) λέγεται τελικός χώρος της V. (Δες και το αρχείο merisom.pdf.)

67 Πολική αναπαράσταση τελεστή Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός z έχει μοναδική πολική αναπαράσταση z = u z, όπου z > 0 και u = 1. Πρόταση (πολική αναπαράσταση: polar decomposition) Εστω T B(H 1,H 2 ) αυθαίρετος τελεστής. Υπάρχει μια μερική ισομετρία V με αρχικό χώρο T (H 1 ) H 1 και τελικό χώρο T (H 1 ) H 2 ώστε T = V T. T H 1 H 2 T H 1 V Ιδέα της απόδειξης Παρατηρείς ότι Tx = T x για κάθε x H 1, οπότε μπορείς να ορίσεις V 0 : T x Tx και να επεκτείνεις...

68 Προβολές Εστω M κλειστός υπόχωρος χώρου Hilbert H: H = M M : x = x M + x M Η ορθή προβολή επί του M: P M : H H : x x M γραμμική και ταυτοδύναμη (δηλ. P 2 = P) με P 1. Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert και P : H H γραμμική και ταυτοδύναμη απεικόνιση (δηλ. P 2 = P). Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: (α) Υπάρχει κλειστός υπόχωρος M του H ώστε P = P M. (β) (ker P) (im P). (γ) P 1.

69 Προβολές Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert και P B(H) ταυτοδύναμος μη μηδενικός τελεστής. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Ο P είναι η ορθή προβολή επί του imp. (δ) Ο P είναι θετικός. (ε) Ο P είναι αυτοσυζυγής. (ζ) Ο P είναι φυσιολογικός. Ενας φραγμένος τελεστής είναι ορθή προβολή αν και μόνον αν είναι ταυτοδύναμος και αυτοσυζυγής. (Αποδείξεις των δυο προτάσεων υπάρχουν στο αρχείο probnewn.pdf.)

70 Προβολές Χρήσιμες Παρατηρήσεις (α) Αν P B(H), τότε: P ορθή προβολή P = P = P 2. (β) Αν P = P 2, τότε x imp x = Px και x ker P x im(i P). (γ) Αν P ορθή προβολή, τότε Px,x = Px 2 για κάθε x H και Py = y Py = y.

71 Προβολές Πρόταση (Η απεικόνιση P imp διατηρεί τη διάταξη) Αν P, Q είναι ορθές προβολές, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) P Q (β) Px Qx για κάθε x H (γ) imp imq (δ) QP = P (ε) PQ = P. Πρόταση Αν M,N είναι κλειστοί υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H και P = P(M), Q = P(N) είναι οι αντίστοιχες προβολές, τότε (i) Ο τελεστής R = PQ είναι προβολή αν και μόνον αν PQ = QP. Τότε R = P(M N). (i ) Ειδικότερα, M N PQ = 0 QP = 0 P N = 0 Q M = 0. (ii) Ο τελεστής S = P + Q είναι προβολή αν και μόνον αν M N. Τότε S = P(M + N). (iii) Ο τελεστής D = P Q είναι προβολή αν και μόνον αν M N. Τότε D = P(M N ).

72 Προβολές Αν M,N είναι κλειστοί υπόχωροι του H, ο M N είναι ο μεγαλύτερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχεται και στον M και στον N. Ο M + N είναι ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχει και τον M και τον N. Συμβολισμοί: P Q := P(M N) = P(M + N) P Q := P(M N) = P(M N). Πρτρ: Εστω M, N κλειστοί υπόχωροι. (α) Αν M,N κλειστοί υπόχωροι και dimn <, τότε M + N κλειστός. (ασκ.) (β) Αν M N, τότε M + N κλειστός (γνωστό: από το Πυθαγόρειο...). (γ) Αν M = {(x,0) : x l 2 } και N = {(y,d a y) : y l 2 } όπου a(n) = 1 n, τότε (M,N κλειστοί αλλά) M + N όχι κλειστός. (ασκ.)

73 Προβολές Πρόταση Αν (Q i ) είναι αύξουσα ακολουθία προβολών, τότε συγκλίνει κατά σημείο 6 στην προβολή Q = P(M), όπου M είναι η κλειστή γραμμική θήκη της ένωσης των imq i (i N). (Ανάλογο αποτέλεσμα για φθίνουσες.) Πρόταση Εστω (P n ) ακολουθία προβολών σ έναν χώρο Hilbert H. (i) Αν οι P n είναι ανά δύο κάθετες, τότε η σειρά n P n x συγκλίνει για κάθε x H, και n P n x = P(M)x, όπου M είναι η κλειστή γραμμική θήκη της ένωσης των imp n (n N). Για κάθε x H ισχύει n P n x 2 = P(M)x 2. (ii) Αν n P n x 2 x 2 για κάθε x H, τότε οι P n είναι ανά δύο κάθετες (επομένως ισχύει το συμπέρασμα του (i). 6 όχι όμως στη νόρμα τελεστή, αν {Q i } άπειρη

74 Τελεστές Πεπερασμένης Τάξης Ορισμός Μια γραμμική απεικόνιση T : E F μεταξύ δύο γραμμικών χώρων E,F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = imt έχει διάσταση n. Γράφουμε rank(t ) = n. Αν οι E,F είναι χώροι με νόρμα, συμβολίζουμε με F (E,F ) το σύνολο των φραγμένων γραμμικών απεικονίσεων T : E F που έχουν πεπερασμένη τάξη (finite rank), δηλαδή F (E,F ) = {T B(E,F ) : rank(t ) < + }. Ειδικότερα, γράφουμε F (E) = F (E,E).

75 Τελεστές Πεπερασμένης Τάξης Αν H,K είναι χώροι Hilbert, x K και y H ορίζουμε τον τελεστή x y : H K από τον τύπο (x y )(z) = z,y x (z H). Άλλοι συμβολισμοί: x y = xy = θ x,y = x y. Ο τελεστής x y είναι φραγμένος, και x y = x. y. Κάθε T F (H,K) πρώτης τάξης (rank(t ) = 1) είναι αυτής της μορφής (με x,y μη μηδενικά). Κάθε A F (H,K) γράφεται A = n x k yk k=1 και ισχύει A = n y k xk. k=1 Τοπολογική ιδιότητα: Αν A F (H,K), τότε το A(B H ) είναι (σχετικά) συμπαγές στον K.

76 Συμπαγείς Τελεστές K (E,F ) Ορισμός Εστω E, F χώροι Banach. Μια γραμμική απεικόνιση T : E F λέγεται συμπαγής (compact) αν απεικονίζει την κλειστή μοναδιαία μπάλα ˆB E = {x E : x 1} του E σε ένα -σχετικά συμπαγές υποσύνολο του F (αν δηλαδή το T ( ˆB E ) είναι συμπαγές υποσύνολο του F ). Γράφουμε T K (E,F ). Κάθε συμπαγής τελεστής είναι φραγμένος, γιατί αν το σύνολο T ( ˆB E ) είναι συμπαγές, είναι βέβαια φραγμένο. Οι φραγμένοι τελεστές πεπερασμένης τάξης είναι συμπαγείς. Παράδειγμα Αν a = (a n ) c 0, ο τελεστής D a = diag(a n ) B(l 2 ) είναι συμπαγής.

Καλώς ήρθατε στους Γραμμικούς Τελεστές! http://eclass.uoa.gr/courses/math122/ Εαρινό Εξάμηνο 2014-15 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Ορισμός Εστω E K-γραμμικός χώρος (K = R ή C). Ενα εσωτερικό γινόμενο (inner

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στη Θεωρία Γραμμικών Τελεστών! (712) http://eclass.uoa.gr/courses/math122/ Χειμερινό Εξάμηνο 2017-18 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγικά 2 Γραμμικοί χώροι 3 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο 4 Χώροι Hilbert

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στη Θεωρία Γραμμικών Τελεστών! (712 & ΘΕΜ.13) http://eclass.uoa.gr/courses/math492/ Εαρινό Εξάμηνο 2015-16 Τελεστές Γουατ ιζ αν Οπερέιτωρ; Παράδειγμα 1. T : f a 1 f + a 2 f + a 3 f : διαφορικός

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Συναρτησιακή Ανάλυση! http://eclass.uoa.gr/courses/math495/ Εαρινό Εξάμηνο 2015-16 Γραμμικοί χώροι K είναι το σώμα R ή C. Ορισμός Ενα X /0 λέγεται K-γραμμικός χώρος αν είναι εφοδιασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1 Σημειώσεις για τους χώρους Hilbert και άλλα Αριστείδης Κατάβολος Από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών», εκδ. «Συμμετρία», 2008. Περιεχόμενα I Χώροι Hilbert 1 1 Εσωτερικά γινόμενα 1 1.0.1 Παραδείγματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x) Τελεστές σε χώρους Hilbert Γεωργάτος Σπυρίδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Επιτροπή Επιβλέπων: Φελουζής Ευάγγελος - Αναπληρωτής Καθηγητής Μέλη : Τσολομύτης Αντώνιος - Καθηγητής Νικολόπουλος Χρήστος

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Χαράλαμπος Μαγιάτης Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 17/05/2019 1 / 56 Hilbert C

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβο λος1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών telmasu, 11 Ιουνίου 2016

Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβο λος1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών telmasu, 11 Ιουνίου 2016 Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβολος 1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2014-15 1 telmasu, 11 Ιουνίου 2016 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα, χώροι Hilbert 1 1.1 Χώροι με νόρμα και τελεστές...................

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim Άσκηση: Η προβολή στην τομή δύο υποχώρων Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σε έναν χώρο Hilbert H και R = P Q είναι η προβολή στην τομή im P im Q, δείξτε ότι, για κάθε x H, Rx = lim (P QP ) x = lim (P Q)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 Αρµονική Ανάλυση (2017 2018) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 0. (α) Εστω f L (T). είξτε ότι σ n ( f ) f n N. (ϐ) Εστω f L (T). είξτε ότι (γ) είξτε ότι S n ( f ) f + n k=1 sin(kt) k n k= n [Υπόδειξη: Για το (γ) ϑεωρήστε

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

1 + t + s t. 1 + t + s

1 + t + s t. 1 + t + s Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x

Διαβάστε περισσότερα

a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n

a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 28/4/2014 ΧΚουρουνιώτης (ΠανΚρήτης) Διάλεξη 13 28/4/2014 1 / 14 Πίνακες πάνω από σώμα K Πίνακες πάνω από σώμα K Το σύνολο των m n

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ HILBERT ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Διπλωματική εργασία του Χασαπλαδάκη Μιλτιάδη Επιβλέπων:

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε Κεφάλαιο 3 Συµπαγείς τελεστές 3.1 Τελεστές πεπερασµένης τάξης Ορισµός 3.1.1 Μια γραµµική απεικόνιση T : E F µεταξύ δύο γραµµικών χώρων E, F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = im T έχει διάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Ολοκλήρωση συναρτήσεων με τιμές σε χώρους Baach Αν (Ω, S, µ είναι χώρος μέτρου και (X, είναι χώρος Baach, μια συνάρτηση F : Ω X θα λέγεται ασθενώς μετρήσιμη (αντίστοιχα, ασθενώς ολοκληρώσιμη αν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών 8 Ιουλίου 2015 1 τοπολογικές οµάδες 2 3 4 τοπολογικές οµάδες Ορισµός Μια οµάδα G λέγεται τοπολογική οµάδα αν είναι εφοδιασµένη µε µια τοπολογία τ.ω. οι (x, y) xy και x x 1 να είναι συνεχείς. Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2010-11 Περιεχόμενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισμός και παραδείγματα........................... 3 1.2 Χώροι με

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Σ Γιάννης Σακελλαρίδης Τελευταία ενημέρωση 11 Ιουνίου (Το αρχείο θα ενημερώνεται κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.)

Σ Γιάννης Σακελλαρίδης Τελευταία ενημέρωση 11 Ιουνίου (Το αρχείο θα ενημερώνεται κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.) Σ Γιάννης Σακελλαρίδης Τελευταία ενημέρωση 11 Ιουνίου 2016. (Το αρχείο θα ενημερώνεται κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.) 1 Αντικείμενα: διανυσματικοί χώροι Ένας διανυσματικός χώρος (πάνω από το R, αλλά οι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L.

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 9 Γραμμικοί Ισομορφισμοί Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 9 19/3/2014 1 / 12 Γραμμικές απεικονίσεις και υπόχωροι Εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός 2.1.1. Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα