ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Ι. Γραμμικά τετραγωνικά στοιχεία Q4 Έστω πλέγμα ΝxΜ Έστω πλέγμα με ΝxM στοιχεία:

Transcript

1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Ι. Γραμμικά τετραγωνικά στοιχεία Q Έστω πλέγμα ΝxΜ Έστω πλέγμα με ΝxM στοιχεία: Τοπικό σύστημα σε κάθε στοιχείο J Ο πίνακας συνεκτικότητας θα πρέπει για κάθε στοιχείο να δίνει την global αρίθμηση των κορυφών του στοιχείου. Διάσταση πίνακα συνεκτικότητας: conn( NxM,) Πρέπει να επιλέξουμε την κατεύθυνση προς την οποία θα γίνει η αρίθμηση των κόμβων. Επιλέγουμε πάντα την κατεύθυνση στην οποία χρειάζονται τα λιγότερα στοιχεία (αν υπάρχει) ώστε να μειωθεί το εύρος ζώνης του πίνακα που προκύπτει.

2 Έστω ότι επιλέγουμε να πάμε πρώτα στην κατεύθυνση y, δηλαδή η αρίθμηση να γίνει από κάτω προς τα πάνω και μετά από αριστερά προς τα δεξιά. Για τυχαίο στοιχείο iel πρέπει να ξέρουμε σε ποια θέση βρίσκεται στην x-κατεύθυνση και σε ποια θέση στην y. Έστω ότι στην χ-κατεύθυνση Έστω ότι στην y-κατεύθυνση, J, J M conn( iel,)( I )( M) J conn( iel,)( I M) J conn( iel,)( conn,) iel ( )( I ) M J conn( iel,)( conn,) iel ( ) I M J

3 IΙ. Τετραγωνικά στοιχεία Q9 Έστω πλέγμα ΝxΜ Τοπικό σύστημα σε κάθε στοιχείο J Συνολικά στοιχεία: ΝxM, Συνολικοί κόμβοι: (Ν+)x(M+) Ο πίνακας συνεκτικότητας θα πρέπει για κάθε στοιχείο να δίνει την global αρίθμηση των 9 κόμβων του στοιχείου. Διάσταση πίνακα συνεκτικότητας: conn( NxM,9) Έστω ότι επιλέγουμε να πάμε πρώτα στην κατεύθυνση y, δηλαδή η αρίθμηση να γίνει από κάτω προς τα πάνω και μετά από αριστερά προς τα δεξιά.

4 Έστω ότι στην χ-κατεύθυνση Έστω ότι στην y-κατεύθυνση, J, J M conn( iel,) ( I )(M ) J conn( iel,) ( I M ) J conn( iel,)( conn,) iel ( )(I ) M J conn( iel,)( conn,) iel ( ) I M J conn( iel,)( conn,) iel ( )( I ) M J conn( iel,)( conn,) iel ( )(I ) M J conn( iel,7)( conn,) iel ( )( I ) M J conn( iel,8)( conn,) iel ( ) I M J conn( iel,9)( conn,7) iel ( )( I ) M J

5 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ (ΣΥΝΘΕΣΗ) ΣΥΝΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Έστω ότι επιλέγουμε για την κατασκευή του πλέγματος στοιχεία Q στην x-κατεύθυνση και στοιχεία Q στην y-κατεύθυνση. Πλέγμα: x Αρίθμηση κόμβων: Συνολικά στοιχεία: x= Συνολικοί κόμβοι: x= Το τελικό σύστημα AX=B προς επίλυση είναι ένα σύστημα x. H αρχική Μ.Δ.Ε. είναι ης τάξης: u u u u a a a a au f 0 x x y y x y Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων η παραπάνω εξίσωση γράφεται σε κάθε στοιχείο με την αλγεβρική μορφή: a a a a a dxdy u fdxdy q ds i j j i j j i j j i i n e e j x x y y x y

6 Η τελευταία εξίσωση είναι της μορφής: j u F Q e e e e ij j i i Άρα σε κάθε στοιχείο γράφεται ένα σύστημα της μορφής: u F e e e όπου ο πίνακας Κ είναι x: e e e e e e e e e e e e e e e e e Ο πίνακας συνεκτικότητας δίνει τη θέση του global πίνακα στην οποία θα τοποθετηθεί κάθε στοιχείο του τοπικού πίνακα. Ο πίνακας συνεκτικότητας για το συγκεκριμένο πλέγμα είναι: conn ο στοιχείο ο στοιχείο ο στοιχείο ο στοιχείο ο στοιχείο ο στοιχείο Για να βρω που τοποθετείται το στοιχείο κοιτάω στην e γραμμή. H i στήλη δείχνει την γραμμή του global πίνακα και η j στήλη δείχνει την στήλη του global πίνακα. Π.χ. το e ij 7 η γραμμή, 8 η στήλη

7 GLOBAL ΠΙΝΑΚΑΣ x

8 Για το συγκεκριμένο πλέγμα x ο πίνακας που προκύπτει έχει εύρος ζώνης iband=9. Γενικά, για πλέγμα ΝxM με Q στοιχεία το εύρος ζώνης είναι: iband iband ( M ) ( N ) για αρίθμηση πρώτα στην y-κατεύθυνση για αρίθμηση πρώτα στην x-κατεύθυνση Αν σε κάθε κόμβο έχουμε περισσότερους από έναν αγνώστους τότε το εύρος ζώνης προσαρμόζεται αναλόγως.

9 Έστω ότι επιλέγουμε για την κατασκευή του πλέγματος στοιχεία Q9 στην x-κατεύθυνση και στοιχεία Q9 στην y-κατεύθυνση. Πλέγμα: x Αρίθμηση κόμβων: Συνολικά στοιχεία: x= Συνολικοί κόμβοι: x7= Το τελικό σύστημα AX=B προς επίλυση είναι ένα σύστημα x. Πίνακας συνεκτικότητας: conn ο στοιχείο ο στοιχείο ο στοιχείο ο στοιχείο ο στοιχείο ο στοιχείο Π.χ. το η γραμμή, η στήλη

10 Για το συγκεκριμένο πλέγμα x ο πίνακας που προκύπτει έχει εύρος ζώνης iband=. Γενικά, για πλέγμα ΝxM με Q9 στοιχεία το εύρος ζώνης είναι: iband iband (M ) (N ) για αρίθμηση πρώτα στην y-κατεύθυνση για αρίθμηση πρώτα στην x-κατεύθυνση Αν σε κάθε κόμβο έχουμε περισσότερους από έναν αγνώστους τότε το εύρος ζώνης προσαρμόζεται αναλόγως.

11 ΕΠΙΒΟΛΗ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Στα όρια y=0 και x=0 έχουμε essential οριακές συνθήκες. Επομένως, στους κόμβους,,,,7,0 δεν θα γραφεί η εξίσωση των Πεπερασμένων Στοιχείων αλλά θα επιβληθεί η τιμή της μεταβλητής. Μηδενίζω όλη την γραμμή του πίνακα Α και την αντίστοιχη του πίνακα στήλη Β. Στον πίνακα Α βάζω μονάδα στην στήλη που αντιστοιχεί στον συγκεκριμένο άγνωστο και στον πίνακα στήλη Β βάζω την γνωστή τιμή της μεταβλητής. A(,) B() u A(, ) B() u A(,) και B() u A(, ) B() u A(7, 7) B(7) u A(0,0) B(0) u

12 Στα όρια y=ymax και x=xmax έχουμε natural οριακές συνθήκες. Επομένως, στις αντίστοιχες εξισώσεις θα πρέπει να ενσωματώσουμε και το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα: q ds i n u u Για q au a ex a e y x y n nxex ny e y Στο πάνω όριο y=ymax: n e y u q an an x u qn a ac y n x y Άρα στις εξισώσεις,9, στις ήδη υπάρχουσες εξισώσεις προσθέτουμε στον πίνακα στήλη Β τον όρο: xmax 0 i acdx Από τις τέσσερις συναρτήσεις βάσης Q στο πάνω άκρο (n=) επιβιώνουν μόνο η και η, οι οποίες ταυτίζονται με τις D γραμμικές συναρτήσεις. ()() 0,()() 0 ()()(),()()() u y

13 Στο δεξί όριο x=xmax: u n ex qn a 0 x Άρα στην εξίσωση στις ήδη υπάρχουσα εξίσωση δεν προσθέτουμε στον πίνακα στήλη Β τον επικαμπύλιο όρο. Με τον τρόπο αυτό επιβάλλουμε την μηδενική παράγωγο.

14 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ: ΔΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω ότι χρησιμοποιούμε Q στοιχεία, τότε ο τοπικός πίνακας των Πεπερασμένων Στοιχείων θα είναι x: e e e e e e e e e e e e e e e e e όπου: y x j i j i j j ij a y x a a a ai j dxdy x x y y x y j i j i j j a a a a ai j J dd x x y y x y G(,) dd ij G(,) Αν χρησιμοποιήσουμε m σημεία gauss στην κάθε κατεύθυνση έχουμε: m m m w()( k G,)()()( d,) w k w k G ij k k k k k k m w()()( k w k,) G ij k k k k m

15 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΠΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Ορίζουμε τοπικό πίνακα FEM x: local(,) και διανύσματα διάστασης m που περιέχουν τα m gauss σημεία και τα αντίστοιχα βάρη: gauss(m), weight(m) Μηδενίζουμε τον τοπικό πίνακα local=0 Για k=,m (loop για gauss points στην ξ) Για k=,m (loop για gauss points στην η) άλεσε υπορουτίνα συναρτήσεων βάσης (gauss(k), gauss(k) φ(), dφdx(), dφdy(), ) Για i=, Για j=, G(,)... k k local( i,)( j,)()()( local,) i j w k w k G Τέλος για j Τέλος για i Τέλος για k Τέλος για k k k