HY Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς

Transcript

1 HY Ιατική Αεικόνιση ιδάσκων: Kώστας Μαιάς

2 8. Ανακατασκευή αό οβολές Μαηµατική εώηση

3 Η ανάγκη αεικόνισης στις 3- ιαστάσεις Στις 3- ιαστάσεις : C 1 µ 2 - µ 1 /µ /0.11 Στην είτωση της ακτινογαφίας όµως είναι ανάλογο της διαφοάς των εντάσεων Ι1 και Ι2 όου το Ι2 οφείλεται στην αυξηµένη αοόφηση µέσα στον κύβο 1cm: I I 0 e µ d C 2 Ι1 Ι2 / Ι1 e -1 -e- 1.1 /e

4 οβολή του αεικονιζόµενου αντικειµένου υό γωνία det ector I ln µ I o source d Το όβληµα της ανακατασκευής µοεί να τεεί ως η οσάεια υολογισµού της συνάτησης µ αό οβολές

5 f δ d f Ανακατασκευή αό οβολές f δ d f µ δ d µ det ector I ln µ I o source d µ δ dd µ d

6 Συνεχής ειστοφή του συστήµατος ηγής-ανιχνευτή για την όσκτηση οβολών αό διαφοετικές γωνίες. µετασχηµατισµός adon του µ. cos + sin µ δ cos + sin dd

7 Αν χησιµοοιήσουµε Μ οβολές για την ανακατασκευή η γωνιακή οσαύξηση είναι ίση µε /Μ. Για την ανακατασκευή του αντικειµένου αό τις Μ αυτές οβολές χησιµοοιούµε το εώηµα της κεντικής τοµής «O 1- µετασχηµατισµός Fourier της οβολής ισούται µε τον 2- µετασχηµατισµό Fourier του µ υολογισµένο για τη γωνία» µ δ cos + sin dd

8 Fourier transform FT and Inverse FT. F s j2s j2s f e d f F s e ds µ δ cos + sin dd G I 1 D[ ] e j2 p d

9 ddd e G p j D + I δ µ 2 1 sin cos ] [ sin cos 2 2 sin cos δ p j p j e d e + + upcos vpsin ] [ ] [ sin cos µ µ M M u v dd e G p v p u D v u j D I I +

10 ΕΥΚΟΛΟ!!!

11 Aν µε κάοιο τόο υολογίζαµε ολλές διαµετικές τοµές στο εδίο συχνοτήτων Μ για ολλές γωνίες α µοούσαµε να ανακατασκευάσουµε το µ µε αντίστοφο µετασχηµατισµό Fourier 2-! Όµως η αγµατικότητα είναι ιο ολύλοκη και στο εόµενο εδάφιο αναλύεται το όβληµα της ανακατασκευής αό τοµές.

12 Μέοδος αλής εαναοβολής simple backprojection H µέοδος της αλής εαναοβολής στηίζεται στην αλή άοιση της ειοής κάε σηµείου της ανακατασκευαζόµενης εικόνας αό όλες τις οβολές. Για µία οβολή η ανακατασκευή είναι: ˆ µ δ cos + sin d Για την ανακατασκευή της εικόνας έει σε κάε σηµείο να αοίσουµε την µεική ανακατασκευή αό κάε οβολή 0-: ˆ µ 0 ˆ µ d 0 δ cos + sin dd

13 Μέοδος αλής εαναοβολής simple backprojection ˆ µ δ cos + sin d ˆ µ

14 δ µ µ d d d sin cos ˆ ˆ Μέοδος αλής εαναοβολής simple backprojection ˆ µ

15 Μέοδος αλής εαναοβολής simple backprojection Μοεί να αοδειχεί ότι η αλή εαναοβολή ισούται µε τη συνέλιξη της αγµατικής συνάτησης µ µε τη συνάτηση 1/: ˆ µ µ {1/}

16 Μέοδος αλής εαναοβολής simple backprojection ˆ µ µ {1/}

17 Ανακατασκευή µε χήση φίλτων Για να ανακατασκευάσουµε λήως την αχική εικόνα αό τις Μ οβολές είναι να υολογίσουµε τον αντίστοφο µετασχηµατισµό Fourier 2- του Μ σε ολικές συντεταγµένες: λόγω της συµµετίας του µετασχηµατισµού Fourier έχουµε: µ 2 0 M e j2p cos + sin dd λόγω της συµµετίας του µετασχηµατισµού Fourier έχουµε: µ 0 M e j 2p cos + sin p dd Αό αυτή την τελευταία εξίσωση οκύτουν και τα δύο σενάια για την ανακατασκευή µε χήση φίλτου

18 H αχική συνάτηση µοεί να ανακατασκευαστεί µε εαναοβολή της συνάτησης. Με άλλα λόγια κάε οβολή έει να φιλτάεται µε τη συνάτηση c ιν την εαναοβολή της. Ανακατασκευή µε χήση φίλτων µ d p d e M p j + 0 sin cos 2 { } ' 1 1 sin cos 2 c M d e M D p j I + µ d ' 0

19 Ανακατασκευή µε χήση φίλτων 0 µ ' d Χησιµοοιώντας το εώηµα κεντικής τοµής: G I1 D [ ] M Η ίδια είου διαδικασία µοεί να ειτευχεί αν αντί της συνάτησης φιλτάουµε τη G στο εδίο συχνοτήτων. { } 1 ' c I1D G

20 Ανακατασκευή µε χήση φίλτων Το φίλτο c 1 I 1D { } δεν µοεί να φτιαχτεί άειη ενίσχυση οότε οσεγγίζεται µε διάφοα άλλα φίλτα στο εδίο συχνοτήτων : C C C Συνατήσεις φίλτων. a Αχική συνάτηση. b φίλτο am-lak. c φίλτο Shepp-Loan.