ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόο ανάτυξης σε σειρά Fourir ενός εριοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourir ενός µη εριοδικού αναλογικού σήµατος, ο οοίος αρέχει τη δυνατότητα µετάβασης αό το εδίο του χρόνου στο εδίο της συχνότητας. ώσουµετηφυσικήσηµασίατουανατύγµατοςσεσειρά Fourir και του µετασχηµατισµού Fourir.

2 Εφαρµόσουµε το αραάνω ανάτυγµα/µετασχηµατισµό στις εριτώσεις α) του εριοδικού τετραγωνικού σήµατος, β) του τετραγωνικού αλµού και γ) του αιτιατού εκθετικού σήµατος. Θα αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourir. Υολογίσουµε το µετασχηµατισµό Fourir µερικών βασικών συναρτήσεων. Εεκτείνουµε τις έννοιες της ενέργειας και της ισχύος τόσο στο εδίο του χρόνου όσο και στο εδίο των συχνοτήτων. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-

3 Στο χώρο των n-διαστάσεων κάθε διάνυσµα αριστάνεται ως n i i i Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ορίζεται αότησχέση, b b b n i Για µια ορθοκανονική βάση διανυσµάτων οι συντεταγµένες (α, α,, α n ), ενός διανύσµατος, είναι οι ροβολές του σε κάθε ένα αό τα διανύσµατα βάσης και ροσδιορίζονται αό τη σχέση i, i i,,, n Το µέτρο (norm) ή µήκος ενός διανύσµατος, ορίζεται αό τη σχέση, i i n i i Ένα σύνολο διανυσµάτων (,,, n ) καλείται ορθοκανονικό όταν ( ), m δ m,, m m x ( ) n x n ψ ( ) x x ( ), ψ ( ) x ( ) ψ ( ) d n n b n n ψ ( ), ψ ( ) δ ( m) m x ( ) d b * ( ), y( ) x ( ) y x ( ) Σεραφείµ Καραµογιάς x ( ), x ( ) b x( ) Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-3 d

4 Περιγραφή σήµατος στο εδίο του χρόνου και της συχνότητας Υάρχουν δύο τρόοι εριγραφής ενός αιτιοκρατικού σήµατος. Ο ρώτος τρόος εριγραφής ραγµατοοιείται στο εδίο του χρόνου, ενώ ο δεύτερος στο εδίο της συχνότητας. Ο ρώτος τρόος είναι άµεσα αντιλητός και η χρονική µεταβολή του σήµατος δίδεται είτε µέσω αναλυτικής σχέσης (µαθηµατικός τύος) είτε µε γραφική αράσταση. x() συν f A + 4 x() A A A Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-4

5 Η εριγραφή των σηµάτων στο εδίο της συχνότητας εριλαµβάνει, κατά ερίτωση, τη χρήση της σειρά ή του µετασχηµατισµού Fourir µέσω των οοίων ένα σήµα εριγράφεται αό το φασµατικότουεριεχόµενο. Πλάτος A ( f +φ) x ( ) Aσυν f Συχνότητα Φάση φ f Συχνότητα Το φάσµα του σήµατος x() Η συνάρτηση η οοία εριέχει τη φασµατική εριγραφή ενός σήµατος ονοµάζεται φάσµα του σήµατος. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-5

6 Πλάτος x ( ) sin( f) f Συχνότητα Χρόνος Πλάτος x ( ) 3 sin( 3 f ) f Συχνότητα Χρόνος Πλάτος 3 x ( ) x( ) + x ( ) f 3 f Συχνότητα Χρόνος Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-6

7 Το εσωτερικό γινόµενο δύο σηµάτων x() και y() είναι Θα ροσδιορίσουµε το εσωτερικό γινόµενο των σηµάτων x ( ), y( ) ύο µη µηδενικά σήµατα x() και y() λέγονται ορθογώνια αν και µόνο αν το εσωτερικό τους γινόµενο ισούται µε µηδέν x ( ), y( ). jω και Σεραφείµ Καραµογιάς b jmω * x ( ) y ( ) d j ω j m, ω m j m d j ω ω j ( m) ω d, m j ω j m, ω j ( m) ω d m j ( ) ω j ( m) ω j ( m) ω j ( m) ω j ( m) + j j ( m) cos( ( m) ) j sin( ( m) ) Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-7

8 Το εσωτερικό γινόµενο δύο σηµάτων x() και y() είναι Θα ροσδιορίσουµε το εσωτερικό γινόµενο των σηµάτων x ( ), y( ) jω και Σεραφείµ Καραµογιάς ύο µη µηδενικά σήµατα x() και y() λέγονται ορθογώνια αν και µόνο αν το εσωτερικό τους γινόµενοισούταιµεµηδέν. * x ( ) y ( ) d jmω j ω j m, ω j m d j ω ω j ( m) ω d, m δ ( m), m m j ω j m, ω j ω d d Παρατηρούµε ότι το εσωτερικό γινόµενο των σηµάτων και είναι ίσο µε µηδέν για m, εοµένως τα σήµατα είναι ορθογώνια και σχηµατίζουν ένα σύνολο ορθογώνιων σηµάτων. jω jmω Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-8

9 Το σύνολο των ορθογωνίων αναλογικών εκθετικών εριοδικών σηµάτων Γιαταεκθετικάσήµατα jω,, ±, ±,..., αρατηρούµε j ω j m, ω j m d δ ( m) j ω ω Τα εκθετικά σήµατα j ω,, ±, ±,..., σε οοιοδήοτε εερασµένο χρονικά διάστηµα [, + ], διάρκειας /ω, καλούνται αρµονικά συσχετιζόµενα εκθετικά σήµατα και σχηµατίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο σηµάτων. Εοµένως κάθε σήµα x() στο χρονικό αυτό διάστηµα εκφράζεται j ( ) ω x Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-9

10 Έστω τώραένασήµα x() στο διάστηµα [, + ], καιαςυοθέσουµεότιείναιδυνατόννα ανατυχθεί σε άθροισµα εκθετικών στοιχειωδών σηµάτων, x () j ω Θαυολογίσουµετουςσυντελεστές Πολλαλασιάσουµε και τα δύο µέλη µε j nω x () j nω j ω j nω καιολοκληρώνουµεαό έως +, + x () j n ω d + j ω j nω d + j ω j, ω j n ω j nω Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3- d

11 j ω j n, ω j ω j nω d, n, n δ ( n n) + x () j nω ω j n ω d j, n n n+ j ( n ) ω, j n +, n j nω n ω j n ω + n+ j ( n ) ω, + j nω + x () j nω d n n + x () j nω d Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-

12 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER Εκθετική σειρά Fourir j ( ) ω x Εξίσωση σύνθεσης n + x () j nω d Εξίσωση ανάλυσης Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-

13 j ( ) ω x Η σειρά αοτελεί την εκθετική σειρά Fourir ή το ανάτυγµα Fourir του σήµατος Οιµιγαδικοίσυντελεστές καλούνταισυντελεστές Fourirήφασµατικέςγραµµές του και ορίζουντοφάσµατουσήµατος Κάθεσυντελεστής δηλώνειτο φασµατικό εριεχόµενο του σήµατος x() στη συχνότητα ω καιονοµάζεται στη αρµονικήσυνιστώσα. Ησταθερά είναιησυνεχήςήησταθεράσυνιστώσατουφάσµατος. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-3

14 Να υολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς Fourir για το εριοδικό ορθογώνιο σήµα x(), <, x( ) < < sin ω Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-4

15 sin ω sin sin 4 4 sin ω 3 sin ω sin sin Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-5

16 sin ω sin sin 4 4 sin ω 3 sin ω sin 3 3 sin Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-6

17 Το σύνολο των ορθογωνίων αναλογικών τριγωνοµετρικών εριοδικών σηµάτων. Γιατασήµατα, sin(ω )και cos(ω ),αρατηρούµεότι Σεραφείµ Καραµογιάς sin ( ω m ),sin ( ω ) δ( m) cos ( ω m ), cos ( ω ) δ( m) sin ( ω ), cos ( mω), γιακάθε και m Τασήµατα, sin(ω )και cos(ω ), < <, σεοοιοδήοτεεερασµένοχρονικάδιάστηµα [, +], διάρκειας /ω καλούνται αρµονικά συσχετιζόµενα σήµατακαισχηµατίζουνέναορθογώνιοσύνολο. Εοµένως κάθε σήµα x() στο χρονικό αυτό διάστηµα εκφράζεται x () + b cos ω + c sin ω Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-7

18 Τριγωνοµετρική σειρά Fourir Σεραφείµ Καραµογιάς x () + b cos ω + c sin ω + x () d ΗΜέσηΤιµήτουσήµατος b c + () + d,,... x cos( ω ) () d,,... x sin( ω ) Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-8

19 Αν χρησιµοοιήσουµε τη γνωστή τριγωνοµετρική ταυτότητα b cos( ϕ ) + c sin( ϕ ) A cos ( ϕ+ θ ) x() + b x () όου cos ω A b + c και + c sin ω + cos( ω ) + c ( ω ) + cos( ω ) + c sin( ω ) b sin b θ n + c b () x + A ( ω + ) + A cos( ω + θ ) cos θ + A + b c A + b c Γενικά θ n c b x () A θ n + A cos ω + θ c b A A + b c και n θ c b Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-9

20 j ( ) ω x Σειρές Fourir n + x () j nω d x () A + A cos ω + θ A x () + b cos ω + c sin ω b j c Παρατηρούµε ότιταλάτητου τριγωνοµετρικού ανατύγµατος A είναιίσαµε τοδιλάσιοτωναντιστοίχωνσυντελεστώντουεκθετικούανατύγµατος. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-

21 Παράδειγµα Ναυολογιστούνοισυντελεστέςτηςεκθετικήςσειράς Fourir γιατασήµατα: x ( ) A cos ( ω ) x ( ) A sin( ω ) j ( ) ω x j ω jω x () j ω + j ω j 3ω 3 Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών Σηµάτων 3-