ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

Transcript

1 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση εριοδικών συναρτήσεων. Το ρόβληµα αυτό αντιµετωίζεται µε την διαδικασία ανάτυξης συναρτήσεων σε σειρές Fourier κατά την οοία οι υό µελέτη συναρτήσεις ροσεγγίζονται αό αεικονίσεις της µορφής k φ ( x) ( a cos( x) + β si( x)), k όου οι συντελεστές a, β είναι ραγµατικοί αριθµοί ενώ ο φυσικός k (βαθµός της φ k (x)) καθορίζει την ερίοδο των ροσεγγιστικών συναρτήσεων φ k (x). Οι τελευταίες ονοµάζονται τριγωνοµετρικά ολυώνυµα. Στη συνέχεια δίνουµε µια συνοτική εριγραφή της µεθόδου βάσει της οοίας γίνεται η ροσέγγιση αυτή: Αρχικά αρατηρούµε ότι µέσω κατάλληλου µετασχηµατισµού οοιαδήοτε συνάρτηση f(t) ορισµένη στο διάστηµα [α,β] µορεί να θεωρηθεί ότι έχει ως εδίο ορισµού το [,] (συγκεκριµένα ( t a) ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται αό την σχέση x ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, β α θα εριορίσουµε την µελέτη µας σε συναρτήσεις ου είναι ορισµένες στο διάστηµα [,]. Αό την άλλη µεριά, χρειαζόµαστε ένα κριτήριο ροσέγγισης ολικού χαρακτήρα, ένα κριτήριο δηλαδή το οοίο θα λαµβάνει υόψη του την συµεριφορά της συνάρτησης σε όλο το εδίο ορισµού της και όχι µόνο στην εριοχή ενός σηµείου του, όως συµβαίνει µε το κριτήριο των αραγώγων στην ροσέγγιση Taylor. Υιοθετήθηκε λοιόν η χρήση των ορισµένων ολοκληρωµάτων σε όλο το εδίο ορισµού [,] των υό µελέτη συναρτήσεων. Έτσι ααιτούµε: φ ( xdx ) f( xdx ), φ ( x) cos( kx) dx f ( x) cos( kx) dx, k,,...,, φ ( x) si( kx) dx f ( x) si( kx) dx, k,,...,. Οι ροηγούµενες σχέσεις, αν θεωρήσουµε ότι ο βαθµός του ροσεγγιστικού τριγωνοµετρικού ολυωνύµου τείνει στο άειρο, οδηγούν στο ανάτυγµα Fourier της συνάρτησης f(x):

2 f ( x) ( a cos( x) + β si( x)), όου a f( x) dx, a f( x) cos( x) dx,, N β f ( x) si( x) dx,. N Σηµειώστε είσης ότι, χρησιµοοιώντας ανάλογο µετασχηµατισµό, µορούµε να υοθέτουµε ότι η συνάρτηση ου µελετάµε έχει εδίο ορισµού το διάστηµα [-,]. Προκύτουν τότε ακριβώς οι αραάνω τύοι µε όρια ολοκλήρωσης αό έως. Οι τύοι αυτοί αλοοιούνται σηµαντικά στην ερίτωση άρτιων ή εριττών συναρτήσεων. Συγκεκριµένα: Αν η συνάρτηση f(x), x [-,], είναι άρτια (ισχύει δηλαδή ότι f(-x)f(x), για κάθε x [-,]) τότε το ανάτυγµά της σε σειρά Fourier διαµορφώνεται ως εξής: f ( x) a cos( x), όου α f ( x) cos( x) dx, N. Αν η συνάρτηση f(x), x [-,], είναι εριττή (ισχύει δηλαδή ότι f(-x)-f(x), για κάθε x [-,]) τότε το ανάτυγµά της σε σειρά Fourier γίνεται: f ( x) β si( x), όου β f ( x) si( x) dx, N. Παραδείγµατα.. Να ανατυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση f ( x) x, x <. όου οι Η ζητούµενη σειρά Fourier δίνεται αό την αράσταση ( a cos( x) + β si( x) ) συντελεστές υολογίζονται ως εξής: 3 3 ( ) x , a f x d x d

3 ( ) ( ) ( ) a f ( x) cos( x) dx x cos( x) dx x si x x cos x si x + ( ) ( ) ( ) si cos si + ( ) ( ) ( ) x cos x xsi x cos x β f ( x) si( x) dx x si( x) dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos si cos cos Αρα, το ανάτυγµα Fourier της f(x)x έχει ως εξής: x a x + x ( cos( ) βsi( )) + x 3 cos( ) si( x) Σηµειώνουµε ότι η υό µελέτη συνάρτηση f(x)x δεν είναι άρτια στο διάστηµα [,] γι αυτό και δεν µορούν να χρησιµοοιηθούν οι σχετικοί (αλούστεροι) τύοι. Κάτι τέτοιο θα µορούσε να γίνει αν το εδίο ορισµού της ήταν το [-,].. (α) Να ανατυχθεί η συνάρτηση, < x < f( x), < x < µε f(), σε σειρά Fourier στο διάστηµα [-, ]. (β) Να υολογισθεί το άθροισµα ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων; ( ). Πόσους όρους ρέει να κρατήσετε για να ειτύχετε + (α) Η συνάρτηση είναι εριττή άρα θέλουµε µόνο τους συντελεστές β : β f ( x)si( x) dx si( x) dx [ cos( ) ] [ cos( ) ], αν k (k + ), αν k + + ( ( ) ) 3

4 Άρα f ( x) si[(k+ ) x]. (k + ) k (β) Για / ισχύει ότι f(x). Άρα: k (k + ) ( ).si[ ].si[ k + ] k (k+ ) k (k+ ) k (k+ ) k ( ) ( ). k k+ + Για να ετύχουµε ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων θα ρέει, σύµφωνα µε τα όσα ανατύχθηκαν και στην Παράγραφο. για τις εναλλάσσουσες σειρές και το σφάλµα ροσέγγισής τους, να ισχύει ότι a + <. Άρα a+ < 9 (όου a + 3 η ακολουθία ου αράγει την + εναλλάσσουσα σειρά). 3. Ανατύξτε σε σειρά Fourier στο διάστηµα [-, ] την εριοδική συνάρτηση µε γραφική αράσταση: και αοδείξτε ότι. 8 ( ) Αό το σχήµα γίνεται φανερό ότι η υό µελέτη συνάρτηση στο διάστηµα [-,] είναι σταθερά ίση µε µηδέν, ενώ στο [,] ο τύος της είναι f(x)x, ώστε η γραφική της αράσταση να είναι το ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο (,) και τέλος το (,). Άρα ο γενικός τύος της θα είναι:, - x < f( x) x, x< Εοµένως, έχουµε το ανάτυγµα Fourier της f(x) ως εξής: f ( x) ( a cos( x) + β si( x)), όου: x a f( x) d ( dx+ xdx) ( + ).

5 si( x) a f( x) cos( xdx ) ( cos( xdx ) xcos( xdx ) ) ( x( ) dx) + + si( x) si( x) si( ) ( x x dx) ( si( x) dx) cos( x) ( ) ( cos( ) cos()) (( ) ) Η τελευταία σχέση µορεί να αναλυθεί εραιτέρω αν λάβουµε υόψη µας ότι, αν k ( ), ως εξής: a, αν k+ Ανάλογα υολογίζουµε ότι:, αν k, k,,3,., αν k- (k ) cos( x) β f ( x) si( x) dx ( si( x) dx x si( x) dx) ( x ( ) dx) + + cos( x) cos( x) cos( ) ( x x dx) ( cos( x) dx) + + ( ) si( x) ( + + ( ) ( ) ) ( + ). Έτσι συµεραίνουµε ότι το ζητούµενο ανάτυγµα Fourier της f(x) είναι: + ( ) f ( x) ( cos((k ) x) + ( si( x)) (k ). k Εφαρµόζοντας τον τελευταίο τύο για έχουµε: + ( ) f () ( cos()) + ( si()). (k ) (k ) 8 (k ) k k k Ασκήσεις Ανατύξτε σε σειρές Fourier τις εόµενες συναρτήσεις:, - x< (i) f( x) (Αάντηση:, x < si((κ + ) x) f ( x ) ) (k + ) k x (ii) f( x ), x (, ) (Αάντηση: si( x) f ( x ) ) 5