1.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. 1. i) f(x) = 5 ii) f(x) = x 4 iii) f(x) = x 9

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. 1. i) f(x) = 5 ii) f(x) = x 4 iii) f(x) = x 9"

Κλειώ Φλέσσας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 5 8 A ΟΜΑ ΑΣ (Να βρείτε τις αραγώγους των συναρτήσεων στις ασκήσεις 8). f() 5 f() 4 i f() 9 f () ( 5) 0 f () ( 4 ) 4 i f () ( 9 ) f() f() i f() 5 f () f () ( ) 4 i f () ( 5 )

2 . f ( ) f () ( ) 5 f(), > 0 ( ) f ( ) f ( ) f() i 4 i f(), > 0 5

3 5. f() 4 f() 6 5 i f ( ) 5 (4 ) (6 5 ) 0 6 i ( ) f ( ) 6 4 f() 6, > ( )

4 4 7. f() 4 + f ( ) + 5+ i f() + f () ( 4 + ) ( 4 ) + ( ) f () ( ) i ( + 5+ ) ( ) + (5) + ( ) + 0 Για 0 : f () ( + ) ( ) () ( ) f() 8 ηµ + 5 f() 6συν 8( + ) f () (8 ηµ + 5) (8 ) (ηµ) + (5) 4 συν f () (6συν 8( +)) (6συν 8 8) (6συν) (8 ) (8) 6ηµ 6 8

5 5 9. f() ( + )( 4 + ) f() ηµ.( συνχ) Είναι f() ( + )( 4 + ) Άρα f () ( ) Είναι f() ηµ.( συν) ηµ ηµσυν Άρα f (χ) (ηµ ηµ συν) (ηµ) (ηµ συν) συν [(ηµ) συν + (συν) ηµ] συν (συνσυν ηµηµ) συν (συν ηµ ) συν συν 0. f() συν + ( + )( ) f() 4 ηµ συν Είναι f() συν + ( + )( ) συν + άρα f () (συν + ) (συν) + ( ) () () συν + (συν) + 6 συν ηµ + 6. f () (4 ηµ συν) (4 ηµ) ( συν) (4 ) ηµ + 4 (ηµ) ( ) συν (συν) 8ηµ + 4 συν 6συν + ηµ

6 6. f() + f() i ηµ +ηµ f() +συν ( ) ( + ) ( + ) (+ ) f () + + ( + ) ( + ) ( + ) ηµ ( ηµ ) ηµ συν f () ηµ ηµ ηµ i + ηµ ( +ηµ ) (+συν ) (+συν ) ( +ηµ ) f () συν + (+συν ) (+συν )(+συν ) +ηµ ( +ηµ ) (+συν ) + συν +συν + ηµ +ηµ (+συν ) + συν + ηµ (+συν ). f() f() + συν (+ ) (+συν ) ηµ f () ( ) +συν (+συν ) (+συν ) ( ) ( + ) 6( + ) f () 6 (+ ) ( + ) ( + ) ( + ) 4 4

7 7. f() ( ) 5 f() (+) 5 i f() ( ) 5 f () (( ) 5 ) 5( ) 4 ( ) 5( ) 4 f () [( + ) 5 ] 5( + ) 4 ( + ) 5( + ) 4 0( + ) 4 i f () [( ) 5 ] 5( ) 4 ( ) 5( ) 4 (4 ) 4. f() ηµ f(χ) ηµ i f() ηµ4 iv) f() εφ f () (ηµ ) ηµ (ηµ) ηµ συν f () (ηµ ) συν ( ) συν i f () (ηµ4) ηµ4 + (ηµ4) ηµ4 + συν4 (4) ηµ4 + 4συν4 iv) f () (εφ) ( ) συν συν 5. f() f() +ηµ ( ) 4 f () ( ) ( ) συν f () + ηµ (+ηµ ) +ηµ +ηµ

8 8 6. f() e f () (e ) e ( ) e f() e i α β f() e + iv) f() e e + e f () (e ) e ( ) e ( ) i f () (e ) e ( α +β ) α e α+ β α +β α +β e iv) f () e (e ) (e + e ) (e + e ) e e + e (e + e ) e (e + e ) (e e )e (e + e ) (e + e ) (e + e ) e e 7. f() ln f () ln i f() ln( α +β ) iv) f() ln f ( ) (ln ) () f () (ln ) 6 i f () (ln(α+ β)) ( α +β ) α α+ β α +β iv) f () (ln ) ( ) ( ) ( )

9 9 8. f ( ) ln f () ( ) f() e ln (ln ) ln ln ln e f () (e ln) (e ) ln + (ln) e e ln + 9. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφατοµένης της καµύλης της συνάρτησης f ( t ) t, στο σηµείο Α(, f()) t + ηµθ Οµοίως της καµύλης της συνάρτησης f ( θ ) στο σηµείο ηµθ+συνθ της Α, f ( ) Γνωρίζουµε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφατοµένης στο σηµείο ο είναι f (). Όµως Άρα f () t ( t ) ( t + ) ( t + ) t f (t) t + ( t + ) 4 + ( + ) 4 t ( t + ) t t t + t ( t + ) ( t + ) ηµθ ( ηµθ) ( ηµθ+συνθ) ( ηµθ+συνθ) ηµθ f ( θ ) ηµθ+συνθ ( ηµθ+συνθ) συνθ( ηµθ+συνθ) ( συνθ ηµθ) ηµθ ( ηµθ+συνθ) 7 5 συν θ+ηµ θ ( ηµθ+συνθ) ( ηµθ+συνθ) f ( ηµ +συν ) + ( + ) + + Άρα ( )

10 0 0. Το βάρος σε γραµµάρια ενός θηλυκού οντικιού ύστερα αό t εβδοµάδες δίνεται αό τον τύο Β(t) + (t+ ), όου t 8. Να βρείτε τον ρυθµό ανάτυξης του 4 οντικιού ύστερα αό t εβδοµάδες και ύστερα αό, και 8 εβδοµάδες Β ( t ) [ + ( t+ ) ] ( t+ ) ( t+ ) ( t+ ) 4 4 B () (+ ) Β () (+ ) Β (8) (8+ ) 5. Να βρείτε τον ρυθµό µεταβολής της αόστασης των σηµείων Α(0, ) και Β(, 0) ως ρος, όταν 0 y A(0, ) Είναι (ΑΒ) ( 0) + (0 ) + 9 Θεωρούµε τη συνάρτηση f() + 9 Οότε f () ( + 9) O B(, 0) Εοµένως ο ρυθµός µεταβολής της αόστασης όταν 0 είναι f (0) 09 0

11 . Να βρείτε την τιµή του α ώστε η εφατοµένη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f () α( ) στο σηµείο Ο(0, f(0)), να σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία 60 ο. f () α( ) f () α α Γνωρίζουµε ότι αν ω είναι η γωνία ου σχηµατίζει η εφατοµένη στην γραφική αράσταση στο σηµείο ( ο, f ( ο )), µε τον άξονα, τότε ισχύει εφω f ( ο ) Άρα θα ρέει εφ60 ο f (0) Όµως f () (α α ) α α, οότε f (0) α. Άρα θα ρέει εφ60 ο f (0) α. Β ΟΜΑ ΑΣ. Σε οια σηµεία της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f () + η εφατοµένη είναι αράλληλη ρος την ευθεία y + 5 ; Αν (, f()) είναι το σηµείο εαφής, για να είναι η εφατοµένη σ αυτό αράλληλη στην ευθεία y + 5, θα ρέει f (). Όµως ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) f ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Άρα ρέει ( + ) ( + ) + ή + 0 ή Οότε τα ζητούµενα σηµεία είναι τα Α(0, f(0)) και Β(, f( )). Α(0, 0) και Β(, 6)

12 . Να βρείτε τα σηµεία της καµύλης της συνάρτησης f() , στα οοία οι εφατόµενες είναι αράλληλες ρος τον άξονα. Αν (, f()) είναι τα σηµεία εαφής, για να είναι οι εφατοµένες σ αυτά αράλληλες στον, θα ρέει f () ή. Οότε τα ζητούµενα σηµεία είναι τα Α(, f()) και Β(, f()) Α(, 8) και Β(, 4). Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f () + στα οοία οι εφατοµένες είναι αράλληλες στη διχοτόµο της γωνίας Ô y. Η διχοτόµος της γωνίας Ο y είναι η ευθεία y, της οοίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ίσος µε. Aν (, f()) είναι τα ζητούµενα σηµεία τότε θα ρέει να ισχύει f () ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + ή + 0 ή Άρα τα ζητούµενα σηµεία είναι τα Α(0, f(0)) και Β(, f( )) Α(0, 0) και Β(, )

13 4. Ένα σώµα κινείται σ έναν άξονα έτσι ώστε η θέση του σε χρόνο t να δίνεται αό τον τύο (t) t t + t. Να βρείτε την ταχύτητα του κινητού σε χρόνο t και να ροσδιορίσετε ότε το σώµα είναι ακίνητο. Ποια είναι η ειτάχυνση του σώµατος στις χρονικές αυτές στιγµές ; Η ταχύτητα του σώµατος είναι υ(t ) (t) (t t + t) t 4t + Το σώµα είναι ακίνητο όταν υ(t) 0 t 4t + 0 t ή t Η ειτάχυνση είναι α(t) υ (t) (t 4t + ) 6t 4 Για t είναι α() 6 4 και για t είναι α( ) Αν f() Ασυνω + Βηµω, δείξτε ότι f () + ω f() 0 Έχουµε ότι f () (Ασυνω + Βηµω) Οότε Αηµω (ω) + Βσυνω (ω) Αω ηµω + Βω συνω f () ( Αω ηµω + Βω συνω) Αω συνω (ω) Βω ηµω (ω) Αω συνω Βω ηµω Εοµένως f () + ω f( ) Αω συνω Βω ηµω + ω (Ασυνω+βηµω) Αω συνω Βω ηµω + Αω συνω + Βω ηµω 0 6. Αν f() αe p + βe p, να δείξετε ότι f () p f() f () (αe p + βe p ) αpe p βpe p f () (αpe p βpe p ) αp e p + βp e p p (αe p + βe p ) p f()

14 4 7. Αν f()e µχ, να βρείτε το µ ώστε να ισχύει f () f () 4f() 0 f () (e µ ) µe µ f () (µe µ ) µ e µ Οότε f () f () 4f() 0 µ µ µ µ e µ e 4e 0 µ e ( µ µ 4) 0 µ µ 4 0 µ 4 ή µ 8. Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της καµύλης της συνάρτησης f() ηµσυν στο σηµείο Η ζητούµενη εφατοµένη θα είναι y f ( ) f ( )( ) () ( ) ηµ συν f f () (ηµσυν) (ηµ) συν + (συν) ηµ συν ηµ ( ) f συν ηµ Η () γίνεται y ( ) y + +

15 5 9. Ο ρυθµός της φωτοσύνθεσης Ρ ενός φυτού δίνεται αό τον τύο Ρ( Ι ) Ι, Ι 0, όου Ι η ένταση του φωτός και α, β σταθερές α+β Ι Να βρείτε την Ρ (Ι) ή όως αλλιώς λέγεται, τη φωτοχηµική ικανότητα του φυτού και την Ρ (0) Να δείξετε ότι Ρ (Ι) [ β Ρ( Ι)] α Ι ( α+β Ι) ( α+β Ι) Ι Ρ ( Ι ) Ι α+β Ι ( α+β Ι) α+β Ι β Ι α ( α+β Ι) ( α+β Ι) Ρ (0) α α ( α+β 0) α α [ β Ρ( Ι )] [ β Ι ] α α α+β Ι α+β Ι β Ι [ ] α α+β Ι [ α ] α α+β Ι α α Ρ (I) α [ α+β Ι] [ α+β Ι]

16 6 0. Η θέση ενός υλικού σηµείου ου κινείται σ έναν κατακόρυφο άξονα δίνεται αό τον τύο y(t) Αηµωt, όου t ο χρόνος και Α,ω σταθερές. Να βρείτε την ταχύτητα και την ειτάχυνση του σηµείου ως συνάρτηση του t Να δείξετε ότι η ειτάχυνση είναι ανάλογη της αοµάκρυνσης y i Να δείξετε ότι όταν η ειτάχυνση είναι 0, το µέτρο της ταχύτητας είναι µέγιστο Η ταχύτητα είναι υ(t) y (t) (Αηµωt) Ασυνωt.(ωt) Ασυνωt.ω Αω συνωt και η ειτάχυνση είναι α(t) υ (t) (Αωσυνωt) Αω ηµωt. (ωt) Αω ηµωt. ω Αω ηµωt Εειδή α(t) Αω ηµωt ω (Αηµωt) ω y(t) αυτό σηµαίνει ότι η ειτάχυνση είναι ανάλογη της αοµάκρυνσης y i Η ειτάχυνση α(t) Αω ηµωt είναι ίση µε το 0 όταν ηµωt 0, τότε όµως συνωt ή συνωt. Το µέτρο της ταχύτητας είναι υ(t) Aωσυνωt Aω συνωt Aω Αω ηλαδή το µέτρο της ταχύτητας γίνεται µέγιστο όταν συνωt συνω t± α(t)0.

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν