Καθ. Βλάσης Κουµούσης

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Κα. Βλάσης Κουµούσης

2 Μεµβρανική Παραµόρωση -Κυλινδρικά Κελύη, u z, w y, v C.C. w r - w d (r - w) d rd «Θεωρία Κελυών»

3 3 ε u = (4.1) v ε = r w r (4.) ε w ( ) r w d rd = = rd rd wd rd w = = rd r (4.3) d d d qd rd rd + ( rd ) d rd + ( rd ) d q y d rd q d rd d + ( d) d χ r rd rd r d d + ( d) d d z y Άροισµα των ροπών περί τον άξονα z: = (4.4) «Θεωρία Κελυών»

4 4 Άροισµα των δυνάµεων κατά : rd d + d d + q rd d = 0 (4.5) ή 1 + = q r (4.6) Άροισµα των δυνάµεων κατά y: dd + rdd + qyrdd = 0 (4.7) ή 1 + = q r y (4.8) Άροισµα των δυνάµεων κατά z d d/ qrdd d d sin = qr d/ d/ d d d d + d + d + qrdd= 0 d+ ( dd ) «Θεωρία Κελυών»

5 5 Συνολικά: 1, +, q r = (4.9) 1, +, q r = y (4.10) = qr (4.11) όπου ( ), και ( ), δηλώνουν παράγωγο ως προς και, αντίστοιχα «Θεωρία Κελυών»

6 6 Κωνικά Κελύη Μεµβρανική Θεωρία Το κωνικό κέλυος δηµιουργείται από την περιστροή ενός ευύγραµµου τµήµατος περί άξονα που βρίσκεται στο επίπεδό του και σχηµατίζουν γωνία α. α α w r = sinα r = tnα u u Προκύπτει έτσι: r = sin, r = tn (4.1) «Θεωρία Κελυών»

7 Αντικαιστώντας στις εξισώσεις ισορροπίας λαµβάνουµε: 7 ( ) 1 ( ) q = 0 sin q= 0 sin (4.13) (4.14) Οι σχέσεις παραµορώσεων µετακινήσεων γίνονται: + qtn = 0 (4.15) ε o u = (4.16) o ε γ 1 u = u sin wcos sin + + ο u 1 u = u sin sin (4.17) (4.18) Από την επίλυση των εξισώσεων ισορροπίας προκύπτει: = q tn (4.19) Aντικαιστώντας στην η εξίσωση παίρνουµε: 1 q + + q = 0 cos (4.0) η οποία ανήκει στην κατηγορία γραµµικών διαορικών εξισώσεων 1 ης τάξης: du ρ ( ) U g( ) 0 d + + = (4.1) «Θεωρία Κελυών»

8 8 η λύση της οποίας δίδεται: οπότε: ( ρ ) ep( ρ ) U = c qep d d d (4.) 1 1 dq = g 1 ( ) q d cosd (4.3) όπου g 1 () αυαίρετη συνάρτηση. Αντικαιστώντας στην 1 η εξίσωση ισορροπίας λαµβάνουµε: qtnα + q = 0 sin (4.4) Η οποία ανήκει στην ίδια κατηγορία διαορικών εξισώσεων. Η λύση της είναι: 1 ( ) 1 g = qtn q d + + sin (4.5) όπου g () αυαίρετη συνάρτηση. Αντικαιστώντας τις εκράσεις των εντατικών µεγεών στις γενικές εκράσεις των µετακινήσεων λαµβάνουµε: 1 u = ( v ) + αtto d+ g3 ( ) Eh (4.6) u 1 u d = g4 ( ) + G h sin (4.7) tn 1 u w= ( v) + ttotn utn Eh cos (4.8) «Θεωρία Κελυών»

9 9 όπως και στα κυλινδρικά κελύη οι συναρτήσεις g 1 g 4 µπορούν να καοριστούν σε πλευρές =c 1 και =c Εαρµογή 1: Κωνικό κέλυος µε εσωτερική πίεση και ηλαδή q = p, q = q = 0. οµοιόµορη αύξηση της ερµοκρασίας Τ ο Αν εωρήσουµε p, και To ανεξάρτητα του και καώς και συνοριακές συνήκες ανεξάρτητες του, προκύπτει ότι g 1, g, g 3 και g 4 σταερές. = p tn (4.9) g p = + tn (4.30) = 0 (4.31) όπου λόγω συµµετρίας g 1 = 0. Οι µετακινήσεις δίδονται: u = g 4 (4.3) 1 p u g log tn 1 = + v + T + g t o 3 Eh (4.33) tn g p w= ptn v tn g3 tn Eh + + tn p 1 + T ( ) tn g log + tn v o t t Eh (4.34) «Θεωρία Κελυών»

10 10 Εαρµογή : Κωνικό κέλυος κλειστό στο = 0 u = u = 0 στο = L Ισχύει ότι g = 0, προκειµένου έτσι να αποµακρυνούν οι εκράσεις log και -1 Επίσης: g 4 = 0 (4.35) pl 1 g3 = LT tn v Eh t o (4.36) Με βάση τα προηγούµενα, οι εκράσεις των εντατικών µεγεών γίνονται: = p tn (4.37) p = tn (4.38) = 0 (4.39) u = 0 (4.40) ( ) ( ) ptn 1 u = v L + tto L Eh ( ) ( ) p tn v p L tn 1 w= 1 v E + + E h + T tn L + o t t (4.41) (4.4) «Θεωρία Κελυών»

11 11 Μεµβρανική Θεωρία Κελυών Εκ Περιστροής µε Καµπύλες Γενέτειρες Η 3 η εξίσωση δίδεται ως: r = qr (4.43) r η οποία χρησιµοποιείται για να απαλειεί από τις δύο πρώτες: ( r ) ( ) + ρ + rcos+ rr( qsin + qcos) = 0 r q + ρcos r + rr qsin = 0 (4.44) (4.45) οι οποίες γενικά δεν επιλύονται: Κατηγορία 1 η : Φόρτιση ανεξάρτητη του Κατηγορία η : Φορτίσεις τυχαίες συναρτήσει του προς ) (Λύση µε σειρές Fourier ως Κατηγορία 1 η : Γενική Λύση Η η εξίσωση γίνεται ( r ) + r cos+ rrqsin= 0 (4.46) η οποία µπορεί να επιλυεί ως προς, αού καοριστεί το ορτίο q ως συνάρτηση του. «Θεωρία Κελυών»

12 1 Η 1 η εξίσωση γίνεται ( ) d r d ( ) + r cos+ r r q sin+ qcos = 0 (4.47) για την περίπτωση q = 0, προκύπτει = 0. Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω εξίσωση µε sin και ολοκληρώνοντας ως προς λαµβάνουµε: 1 = c1 + rr( qcos+ qsin ) d r sin (4.48) ο όπου c 1 =σταερά στη πλευρά = ο = c r sin (4.49) 1 ( ) ο Πολλαπλασιάζοντας µε το µήκος της περιέρειας πr λαµβάνουµε: ( ) ( ) 1 πr sin = πc (4.50) ο ο ο Οι µετακινήσεις δίδονται ως: όπου: u ( ) F d = sin c + (4.51) ο sin F ( ) = ( r + rr) ( r + rr) + To( tr tr) (4.5) Eh Eh ( ) r F d w= ( r) + rtto cos c + E (4.53) h ο sin «Θεωρία Κελυών»

13 Σαιρικό κέλυος από το ίδιο βάρος του Ίδιο βάρος: 13 q= Pcos, q = Psin, q = 0.? q P r = r = R? α PR = (4.54) 1 + cos 1 = PR cos 1+ cos (4.55) c 1 = 0, χωρίς ερµοκρασιακές µεταβολές F ( ) PR 1+ r 1+ r 1 = cos + h E( 1+ cos) E 1+ cos (4.56) «Θεωρία Κελυών»

14 14 Με βάση την οποία οι µετακινήσεις γίνονται u PR 1+ v 1+ v 1 sin = sin log h E E 1 cos 1 cos + + PR + ( 1+ v ) log( sin) + c sin he (4.57) PR 1+ v 1+ v 1 sin w = cos log h + + E E 1 cos 1 cos + + PR ( 1+ v ) log( sin) ccos+ (4.58) he PR 1+ r + cos he 1+ cos Για q = 0 στο = α, λαµβάνουµε: c PR 1+ v 1+ v 1 sin 1 = + + log h E E 1 cos 1 cos + + E ( + v ) ( ) log sin (4.59) «Θεωρία Κελυών»

15 Περιορισµοί Μεµβρανικής Θεωρίας 15 u = Μ = 0 α α V Q Ν Α Ι Ο Χ Ι Σαιρικό Κέλυος Μεµβρανική Θεωρία Αξονοσυµµετρική Φόρτιση ( ), ( ), ( ) q= q q = q q = q (4.60) 0 π Σ.Σ. δεν µεταβάλλονται µε Έτσι ( ) = 0 και άρα ( ) d ( ) = d, οπότε οι γενικές εξισώσεις γίνονται d ( )cot αq d + = (4.61) «Θεωρία Κελυών»

16 16 d d + cot= αq (4.6) + = αq (4.63) Η (4.6) είναι ανεξάρτητη εξίσωση στρέψης. ορτίο Στην κορυή = = (4.64) ( ) ( ) q( 0) = 0 = 0 Επίσης αν q = 0, τότε δεν υπάρχει η διατµητική = 0, άρα δεν υπάρχει στρέψη. Επιλύοντας την 3η εξίσωση ως προς και αντικαιστώντας στην 1η παίρνουµε: d d ( ) + cot= qcot + q (4.65) η οποία είναι δ.ε. τύπου Bernoulli. Πολλαπλασιάζοντας µε sin (intergrting fctor) προκύπτει: d sin + sincos= ( qsincos+ qsin ) (4.66) d Το πρώτο µέλος είναι το ( sin ) d d ( sin cos q sin ) = q +. «Θεωρία Κελυών»

17 17 = c 1 ( qsincos qsin ) d + sin (4.67) οµοίως η διατµητική εξίσωση = c q d sin sin (4.68) και = q (4.69) Φόρτιση: ίδιο βάρος q = pcos, q = psin, q = 0 ( 3 = c 1 p sincos sin ) d + sin (4.70) Άρα: = [ c1 pcos] sin (4.71) = ( c1 + pcos) pcos sin (4.7) α) Ανοικτή κορυή ο «Θεωρία Κελυών»

18 Από = ο 0 και = 0 προκύπτει ότι c 1 = pcosο και γενικά: 18 p = ( cos cos ) ο (4.73) sin Για = 0 : p = ( cos 1) (4.74) sin Για 0 έχουµε απροσδιόριστη µορή 0 / 0 και οπότε: sin p = = (4.75) lim lim p 0 0 sin cos = p p = = (4.76) ( ) p ( ) = 0 = 0 ο ο α ( ) = pcos / π ο α ( ) / π Βάρος R = R π «Θεωρία Κελυών»

19 19 ο e R e cos e e ( ) e ( ) e e cos e R 1 = Βάρος π e Για να αναληεί η R χρειάζεται περιµετρικός δακτύλιος. «Θεωρία Κελυών»

20 0 Εαρµογή: ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΕΞΑΜΕΝΗ Παραδοχές: Α) αµελούµε το ίδιο βάρος Β) πλήρης υγρού ειδ. βάρους γ ( 1 cos ) q= γ d = γ (4.77) 1 d ο Περιοχή 1: 0 ο Περιοχή : ο π εδοµένου ότι q = q = 0 «Θεωρία Κελυών»

21 1 = c 1 + γα sin cos ( 1 cos) d sin (4.78) 3 cos cos = c 1 + γα + sin 3 (4.79) Περιοχή 1: 3 cos cos = c 11 + γα + sin 3 (4.80) Περιοχή : 3 cos cos = c 1 + γα + sin 3 (4.81) Για = 0 ισχύει ότι, εκτός αν c 1 1 γα + γα + = 0 c = (4.8) Για = π ισχύει ότι, εκτός αν c γα = 0 c = γα (4.83) Άρα: 1 γα = cos cos sin (4.84) γα = cos cos sin (4.85) «Θεωρία Κελυών»

22 ( ) ( ) 1 ο γα = (4.86) ο 3 sin Ελάχιστη τιµή εµανίζεται για ο = π/. Επίσης, ( ) ο 0. 1 Απαιτείται δακτύλιος: Η V ( 1 + ) ο «Θεωρία Κελυών»

23 3 Τάσεις Σαιρικού οχείου ο = 10 ο + + 3/ γα + + Ν Ν κίνδυνος λυγισµού «Θεωρία Κελυών»

24 Υπερβολοειδή Κελύη Συµµετρική Φόρτιση 4 z t t Κορυή α Τ R o Λαιµός Ο H R R S s s Βάση Εκ περιστροής υπερβολή Καµπυλότητες αντίετες καµπυλότητα Guss αρνητική Εξίσωση γεννήτριας καµπύλης: R o z = 1 (4.87) b όπου b χαρακτηριστική διάσταση του κελύους «Θεωρία Κελυών»

25 5 T S b = = t s (4.88) κ = 1+ b (4.89) Aντικαιστώντας, η εξίσωση της καµπύλης γίνεται Προκύπτει ότι: ( κ 1) o R z = (4.90) R Ro = = sin κ 1 κ sin 1 1 (4.91) και R = κ 1 κ sin 1 3 (4.9) Φόρτιση: Ίδιο Βάρος q = qsin, qu = qcos (4.93) q q q u «Θεωρία Κελυών»

26 6 Ολοκληρώνοντας τις εξισώσεις ισορροπίας και εαρµόζοντας τις συνοριακές συνήκες στη έση = t λαµβάνουµε: ( ) ( ) 1 1 t κ κ sin sin 1 sin 1 = t 1 sin κ sin 1 sin κ 1 t ( κ ) 1sin ( qcos qsin ) d κ sin 1 t (4.94) Θεωρώντας στην κορυή ότι Ν( t ) = 0 και οµοιόµορο q η παραπάνω σχέση γράεται: q κ sin 1 sin κ 1 1 ( ) = ζ ( ) ζ ( ) 1 1 t (4.95) όπου ζ ( ) cos 1 κ 1 κcos = + ln κ sin 1 4κ κ 1 κ 1+ κcos 1 (4.96) Επίσης: ( ) 3 1 ( ) κ sin 1 κ = qcos + κ sin 1 κ 1 (4.97) «Θεωρία Κελυών»