2.3 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.3 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σ' αυτήν την παράγραφο χρησιµοποιούµε τους µετασχηµατισµούς ple για να αναλύσουµε διάφορα απλά κυκλώµατα και για να λύσουµε επίσης γραµµικές διαφορικές εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές Κατά την διάρκεια αυτής της ανάπτυξης, εισάγουµε µία σειρά εννοιών οι οποίες έχουν θεµελιώδη σηµασία στην θεωρία συστηµάτων όπως: γραµµικότητα, υπέρθεση, κρουστική απόκριση, απόκριση συχνότητας, σύνθετη αντίσταση ple και συνάρτηση συστήµατος Όλες αυτές οι έννοιες αναπτύσσονται συστηµατικότερα σε ακόλουθα κεφάλαια Στο υπόλοιπο αυτού του κεφαλαίου, υποθέτουµε ότι όλες οι εξισώσεις ισχύουν για και υπολογίζουµε την έξοδο y() του κάθε κυκλώµατος για διάφορες µορφές της εισόδου x() Έχει δοθεί έµφαση στις ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις: Κρουστική απόκριση : Η απόκριση µηδενικής κατάστασης y()h() όταν x()δ() j Απόκριση συχνότητας : Η απόκριση y() σε µία εκθετική x () e ω ή σε µία ηµιτονοειδή κυµατοµορφή x () o( ù + ö) και η ασυµπτωτική µορφή της y() καθώς Όπως έχουµε ήδη δει, η ανάλυση κυκλωµάτων χρησιµοποιεί την επίλυση διαφορικών εξισώσεων Ξεκινούµε, λοιπόν µε µία περιληπτική µελέτη των εξισώσεων αυτών Ονοµατολογία Μία γραµµική διαφορική εξίσωση n-τάξης µε σταθερούς συντελεστές, είναι µία εξίσωση της µορφής α y ( ) + α y ( ) + + α y( ) x( ) (74) (74) n ( n) ( n) n όπου x() είναι η γνωστή συνάρτηση και α,, α n είναι δοσµένες σταθερές Μία λύση αυτής της εξίσωσης είναι οποιαδήποτε συνάρτηση y() που ικανοποιεί την (74) Όπως θα δούµε η (74) έχει πολλές λύσεις Όµως, έχει µία µοναδική λύση εάν καθορίσουµε τις αρχικές τιµές της y() και οι πρώτες (n-) παράγωγοι : ( y y y y y n ) ( ), ( ),, ( ) yn (75) Οι αριθµοί αυτοί ονοµάζονται αρχικές συνθήκες Μία µερική λύση είναι µία λύση y(), της οποίας οι αρχικές συνθήκες έχουν καθορισµένες τιµές Εάν οι αρχικές τιµές δεν είναι καθορισµένες, τότε y() είναι η γενική λύση η γενική λύση είναι µία οικογένεια λύσεων εξαρτηµένη από τις n παραµέτρους y,, y n Σε µία διαφορική εξίσωση µπορεί να δοθεί µία ερµηνεία (inerpreion) συστήµατος Με αυτή την ερµηνεία η διαφορική εξίσωση καθορίζει ένα σύστηµα µε είσοδο x() και έξοδο (απόκριση) y() Η έξοδος αυτού του συστήµατος είναι η µοναδική λύση της (74) κάτω από τις υπάρχουσες αρχικές συνθήκες Η αρχική κατάσταση ενός συστήµατος είναι το σύνολο (75) των αρχικών καταστάσεων Η απόκριση µηδενικής κατάστασης του συστήµατος είναι η λύση y () y () της (74) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες: ( n ) y ( ) y ( ) y ( ) (76) Η απόκριση µηδενικής εισόδου y () y (), είναι η λύση της (74) για x() Άρα η απόκριση µηδενικής εισόδου y () είναι η λύση της οµογενούς εξίσωσης - 4-4//5

2 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α y ( ) + α y ( ) + + α y( ) (77) (77) n ( n) ( n) n ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Εάν x() είναι µία συνηθισµένη συνάρτηση, τότε η y() και οι πρώτες (n-) παράγωγοι είναι συνεχείς και οι αρχικές συνθήκες έχουν την ίδια τιµή στο και + Αυτό, όµως, δε συµβαίνει, αν η x() περιέχει κρουστικές αποκρίσεις ή άλλες ιδιοµορφίες Στην περίπτωση αυτή µεταφέρουµε τις αρχικές τιµές στην (75) και στην (76) όπως τις τιµές της y() και των παραγώγων της στο Για να είµαστε συνεπής µε την ερµηνεία των αρχικών τιµών του θεωρήµατος των παραγώγων (58) και τον ορισµό του µετασχηµατισµού ple όταν το ολοκλήρωµα του fe () είναι από - Ýùò Θα λύσουµε τη διαφορική εξίσωση (74) χρησιµοποιώντας µετασχηµατισµούς ple Αυτό επιβάλλει τα τρία επόµενα βήµατα: ) Πολλαπλασιάζουµε και τις δύο πλευρές µε e και ολοκληρώνουµε από έως Εφ' όσον η (74) ισχύει και κάθε, η εξίσωση προκύπτει ( n ) - - αny + + αy e x e () () d () d (78) Το δεξιό µέρος της εξίσωσης ισούται µε το µετασχηµατισµό X() της γνωστής συνάρτησης x(), και το αριστερό µέλος µπορεί να εκφραστεί σε όρους του µετασχηµατισµού Y() της y() και τις αρχικές συνθήκες (75) [βλέπε (58)] ) Λύνουµε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει για Y() ) Προσδιορίζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό y() της Y() χρησιµοποιώντας απλά κλάσµατα ή διάφορες άλλες µεθόδους αντιστροφής Τα παραπάνω θα γίνουν εµφανή σε αρκετά παραδείγµατα κυρίως σε πρώτου και δευτέρου βαθµού εξισώσεις Πρώτου βαθµού Επιθυµούµε να λύσουµε τη διαφορική εξίσωση y () + y () x () (79) µε αρχική συνθήκη y( ) y Για τον σκοπό αυτό µετασχηµατίζουµε και τις δύο πλευρές, όπως στην (78) Εφ' όσον ο µετασχηµατισµός της y'() ισούται µε Y()-y(), τα παραπάνω παράγουν: Y [ ] Y() y + Y() X() X() y ( ) + (8) + + (8) Έτσι, Y() Y () + Y () όπου Y () X() + είναι η απόκριση µηδενικής κατάστασης και (8) 4//5-5 -

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Y () y (8) y + + είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου Η αντιστροφή της είναι η συνάρτηση µε εκθετικούς όρους y () y e β όπου - είναι ρίζα της εξίσωσης + Παράδειγµα 8 Βρείτε την εξίσωση y() για την οποία y'()+y()8 y()5 8 Σ' αυτήν την περίπτωση y 5, x()8, X() και η (8) δίνει 8/ Y() y()4-+7e Θα αναπτύξουµε τώρα ένα αριθµό βασικών εννοιών, χρησιµοποιώντας όπως φαίνεται στο Σχ5 ένα κύκλωµα - σε σειρά Αυτές οι έννοιες µπορούν εύκολα να επεκταθούν σε άλλα κυκλώµατα Η είσοδος στο παραπάνω κύκλωµα είναι η πηγή τάσης e() και το παραγόµενο ρεύµα i() ικανοποιεί την εξίσωση i () + i () e() i ( ) i παίρνοντας τους µετασχηµατισµούς και στις δύο πλευρές λαµβάνουµε [ ] I() i + I() E () I() E () i (8) + I () + I () + + Áðüêñéóç ìçäåíéêþò åéóüäïõ i () e() + ~ - i() () i ï e() - 6-4//5

4 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Áðüêñéóç ìçäåíéêþò êáôüóôáóçò i o() Åßóïäïò e() i ()r() () U(- ) o r (- ) o o o (ã) Å Å Å Å Ô Ô (ä) Ô Ô ä() h() (å) ä() T h() T T (æ) ä() 4-6 å e i o () k -å o o +å o (ç) -å o o 4//5-7 -

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE i() i () - (è) i () Ó ÇÌÁ 5 Υπέρθεση η Μορφή: Από την (8) έχουµε ότι το ρεύµα i() µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα i () i () + i () όπου το i ()οφείλεται στην πηγή e() και το i ()οφείλεται στην αρχική κατάσταση i( ) i Αυτό δείχνει πως για να προσδιορίσουµε το i() αρκεί να λάβουµε υπ' όψη ξεχωριστά την πηγή και τις συνθήκες αρχικής κατάστασης ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΜΗ ΕΝΙΚΗΣ ΕΙΣΟ ΟΥ: Η απόκριση µηδενικής εισόδου i iβ ( ) + µία ρητή συνάρτηση του και η αντίστροφή της i () i e β είναι µία εκθετική ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΜΗ ΕΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ : Θα µελετήσουµε τώρα την απόκριση της µηδενικής κατάστασης E () I () + για διάφορες µορφές της e() Ξεκινούµε µε τις ακόλουθες παρατηρήσεις (84) Υπέρθεση η Μορφή: Εάν e () e() + e(), ôüôå E() E() + E () Όπως [βλέπε (84)], I () i () + i() όπου E () E () I (), I () + + είναι οι αποκρίσεις οι οφειλόµενες στις e() êáé e(), αντίστοιχα Αυτό δείχνει ότι η απόκριση µηδενικής κατάστασης i ()λόγω του αθροίσµατος e() και e( ) των δύο πηγών ισούται µε το άθροισµα i() i () + i () (85) της απόκρισης µηδενικής κατάστασης λόγω της κάθε πηγής Χρονική Αµεταβλητότητα: Υποθέτουµε ότι η πηγή e() αντικαθίσταται από την πηγή - 8-4//5

6 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ e () e( ) U( ) η οποία λαµβάνεται από την µετατόπιση προς τα δεξιά της e() Εφ' όσον ο µετασχηµατισµός της e () ισούται µε Ee () [βλέπε (69)], συµπεραίνουµε από την (84) ότι ο µετασχηµατισµός I( ) του προκύπτοντος ρεύµατος i ()δίνεται από τη σχέση Πράγµατι, Ee () I() + I () e i ( ) i ( ) U( ) (86) Βλέπουµε λοιπόν πως η καθυστέρηση εισόδου έχει σαν αποτέλεσµα µία ίση καθυστέρηση της εξόδου µηδενικής κατάστασης Σύνθετη Αντίσταση ple Ο παρονοµαστής Z ( ) + του I () είναι η σύνθετη αντίσταση ple του κυκλώµατος Η έννοια αυτή είναι ήδη γνωστή Η τιµή Z(jω)+jω της Z() για jω είναι η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος όπως βρέθηκε από τη θεωρία κυκλωµάτων εναλλασσόµενου ρεύµατος (AC) Θα πρέπει όµως να τονίσουµε ότι η Z() έχει θεµελιακά διαφορετική σηµασία Είναι ο λόγος του µετασχηµατισµού ple της τάσης e() και του προκύπτοντος ρεύµατος µηδενικής κατάστασης i ()και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εύρεση του iá ()για κάθε e() και όχι µόνο για ηµιτονοειδείς κυµατοµορφές Βηµατική απόκριση: Εάν e()u() είναι µία µοναδιαία βηµατική συνάρτηση εφαρµοσµένη για, τότε η απόκριση µηδενικής κατάστασης ονοµάζεται βηµατική απόκριση και συµβολίζεται µε r() Εφ' όσον U (), από την (84) έπεται ότι : Πράγµατι, / / I () ( + ) + / i () () ( r e ) U() Εισάγουµε τον παράγοντα U() για να τονίσει το γεγονός ότι r() για < (87) Από τα παραπάνω και τη σχέση (86) έπεται ότι εάν µία συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος e () U ( ) εφαρµοστεί για (Σχ 5γ) τότε το αποτέλεσµα της απόκρισης µηδενικής κατάστασης ισούται µε r ( ) Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να εκφράσει την απόκριση ενός κυκλώµατος µε είσοδο κλιµακωτών όρων r() Αυτό φαίνεται στο παράδειγµα που ακολουθεί Παράδειγµα 9 Στο κύκλωµα του Σχ5, e() είναι η κλιµακωτή συνάρτηση (Σχ 5δ) και Ohm, mh, E Vol και T µ Θα βρούµε το εξαγόµενο ρεύµα µηδενικής κατάστασης i () Όπως βλέπουµε από το σχήµα, Έτσι (υπέρθεση) e()eu()+eu(-t)-eu(-t) i () Er () + Er ( T) Er ( T) 4//5-9 -

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE όπου 5 r ( ) ( e ) U ( ) ( e ) U ( ) mho Σηµειώνουµε ότι αν <<T, τότε r(-t)r(-t) Συνεπώς Εάν T<<T, τότε r(-t) οπότε Εάν >T, τότε 5 e i ()( ) mp 5 ( T ) i ()-(e + ) e mp 5 ( T ) i ()-(e + e ) e mp Κρουστική απόκριση: Εάν e()δ() είναι ένας κρουστικός παλµός εφαρµοσµένος για, τότε η απόκριση µηδενικής κατάστασης ονοµάζεται κρουστική απόκριση Η κρουστική αυτή απόκριση συµβολίζεται µε h() Ο µετασχηµατισµός ple της h() είναι η H() η οποία ονοµάζεται συνάρτηση συστήµατος Εφ' όσον ä(), από την (84) έπεται ότι H( ), h( ) e U( ) (88) + (88) Στο Κεφάλαιο 4 δείχνουµε ότι η απόκριση µηδενικής κατάστασης ενός κυκλώµατος σε οποιαδήποτε είσοδο, µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της κρουστικής απόκρισης h() και της τάσης εισόδου e() Σηµειώνουµε εδώ ότι η h() µπορεί να χρησιµοποιηθεί για προσέγγιση της απόκρισης σε εισόδους µικρής διάρκειας Για να δείξουµε αυτή την παραδοχή, θα υπολογίσουµε το ρεύµα i () που οφείλεται σε ένα παλµό εµβαδού ίσο µε τη µονάδα (σχ 5ζ): e () pt () [ U() U( T)] T και θα εξετάσουµε το όριο της τιµής του i () καθώς το T Όπως έχουµε δει, η απόκριση για U() και U(-T) ισούται µε r() και r(-t), αντίστοιχα, όπου r() είναι η βηµατική απόκριση του κυκλώµατος Άρα η (υπέρθεση), Για <<T το παραπάνω ισούται µε i () [ r () r ( T) ] T r () T και για >T δίνεται από τη [βλέπε (87)]: T ( T ) ε i () ε ε ε T T T Είναι ξεκάθαρο ότι: T e T Τ - - 4//5

8 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ i () e > Ô Άρα το παραπάνω όριο ισούται µε την κρουστική συνάρτηση h() του κυκλώµατος [βλέπε (88)] Αυτό είναι όπως θα έπρεπε να είναι διότι ο παλµός pt () τείνει στο δ() καθώς T T Σηµειώνουµε ότι εάν, τότε για τον προσδιορισµό της απόκρισης του κυκλώµατος µπορούµε να προσεγγίσουµε το pt (), ή στην πραγµατικότητα, οποιαδήποτε άλλη είσοδο διάρκειας T από ένα παλµό Όπως δείχνουν τα παραδείγµατα παρακάτω, αυτό συχνά απλοποιεί την ανάλυση Παράδειγµα Στο κύκλωµα του Σχ5, Ohm και mh Η είσοδος e() είναι ένας 4 παλµός έκτασης k ε Vol-e µε κέντρο το σηµείο 5m Θα βρούµε προσεγγιστικά την απόκριση µηδενικής κατάστασης i () ε Εφ' όσον εµβαδού Κ στο (σχ 5η), µπορούµε να προσεγγίσουµε την e() µε µία κρουστική συνάρτηση Από αυτά έπεται [βλέπε (88)] e () Kδ ( ) 5( ) ι ( ) Kh( ) e U( ) mp ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο µετασχηµατισµός F() της f() ισούται µε το ολοκλήρωµα του χρόνου της f() πολλαπλασιασµένη µε το χρόνο Αυτό οδηγεί στο ακόλουθο συµπέρασµα ίνεται η V() σε vol-e, η I() σε mp-e, ο λόγος H()V()/I() (σύνθετη αντίσταση) σε ohm, η αντιστροφή της h() (κρουστική απόκριση) σε ohm/e και το ολοκλήρωµα r() της h() (βηµατική απόκριση) σε ohm Παρόµοια ο λόγος H()I()/V() (σύνθετη αγωγιµότητα) δίνεται σε mho, η αντιστροφή h() σε mho/e και το ολοκλήρωµα r() του h() σε mho Απόκριση συχνότητας: Θα προσδιορίσουµε, τελικά, την απόκριση ηµιτονοειδούς κύµατος συνάρτησης Όπως έχουµε σηµειώσει προηγουµένως είναι ευκολότερο να υπολογίσουµε την απόκριση µίας εκθετικής συνάρτησης: e e jù () jù Από το ζεύγος e /( - jù ) και έπεται από την (84) ότι I () ( - jù )( + ) + jù jù + - jω ( ) ι () jω e + e (89) Σηµειώνουµε e καθώς Έτσι, 4//5 - -

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ι e e jω j( ωθ) ( ) (9) + jω + ω (9) όπου + jù + ù e είναι η AC σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος ù nè jè Αυτή είναι µία συνήθης απόκριση µόνιµης κατάστασης στην εκθετική είσοδο e e jù () και δείχνει ότι µετά από αρκετά µεγάλο χρόνο η έξοδος είναι εκθετικά πολλαπλασιασµένη µε την τιµή H( jù ) της συνάρτησης του συστήµατος H() για jù [βλέπε επίσης + jù παράγραφο (5)] Υποθέτουµε τώρα ότι e () où Για να βρούµε το ρεύµα της εξόδου i (), χρησιµοποιούµε την ταυτότητα jù où e + e jù Όπως έχουµε δει, η απόκριση για e jù ισούται µε το ρεύµα ι () στην σχέση (89) Αλλάζοντας το ù µε το -ù, συµπεραίνουµε ότι η απόκριση για την e jù είναι το συζυγές ι * á () του ι () Άρα (αρχή υπέρθεσης), η απόκριση ι () του o ù ισούται µε το άθροισµα Από το οποίο έπεται ότι, [βλέπε (89)] Σηµειώνουµε ότι * i () i () + i () e i () o( ω θ) oθe i ( ) i () + ω o( ω θ ) + ω (9) Αυτή είναι η απόκριση µόνιµης κατάστασης που οφείλεται στο o ù και ισούται µε το πραγµατικό µέρος της απόκρισης σε µία εκθετική Παρακάτω υπολογίζουµε απ' ευθείας την () Εφ' όσον ι συµπεραίνουµε από την (84) ότι Είναι προφανές ότι o ù + ù IC ( ) ( + ω )( + ) jω + + jω + + (9) - - 4//5

10 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ( + ù ) + ù Για να βρούµε την αντιστροφή των δύο πρώτων όρων της (9) χρησιµοποιούµε τη µέθοδο που εισάγουµε στην παράγραφο () Για τη δική µας περίπτωση, [βλέπε (46)], á, ù και η (49) δίδει: Αυτό συµφωνεί µε την (9) Ã () jù ( + ) ù Ã( jù ) j + jù + ù + ù où + ù inù i ù ù e () + + Παράδειγµα Στο κύκλωµα του σχ 5 i mp, Ohm, mh, e()o, Vol Θα προσδιορίσουµε το προκύπτον ρεύµα i() Η απόκριση µηδενικής εισόδου δίνεται από: i () i e e mp Για να βρούµε την απόκριση µηδενικής κατάστασης i () παρατηρούµε ότι + jù + j e j 45 ohm διότι ù r / Εφ' όσον η (9) είναι η απόκριση στην o ù, για να βρούµε την απόκριση σε είσοδο oùθα πρέπει να πολλαπλασιάσουµε µε Αυτό παράγει i ( ) o( ù 45 ) + e mp Τελειώνουµε την περίπτωση πρώτης τάξης µε τον καθορισµό του ρεύµατος i() του σειριακού -C κυκλώµατος του σχ6 Όπως γνωρίζουµε [βλέπε (4)], i() είναι η λύση της ολοκληρωτικής εξίσωσης i () + iôdô ( ) + v e () (9) 4//5 - -

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE i()h() e()ä() ôc + e() ~ - i() C e()u() ô - C i()r() e-ôc ô Ó ÇÌÁ 6 Η ολοκληροδιαφορική εξίσωση αυτή µπορεί να απλοποιηθεί σε διαφορική εξίσωση [βλέπε v (5)] Μπορούµε, όµως να τη λύσουµε και απ' ευθείας Εφ' όσον v και id () I () και παίρνοντας τους µετασχηµατισµούς των δύο πλευρών της (9) συµπεραίνουµε ότι I( ) v I ( ) + + E ( ) C E () v I () I () I () + C + + (94) C Η αντιστροφή v i C e () - C της I ( )είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου Ο όρος µηδενικής κατάστασης E ( ) I ( ) + C είναι ένα κλάσµα του οποίου ο παρονοµαστής Z( ) + είναι η σύνθετη αντίσταση C ple του κυκλώµατος Εάν e()δ(), τότε E() Στην περίπτωση αυτή C I H C () () Z () C + + C - 4-4//5

12 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ είναι η συνάρτηση του συστήµατος Η αντίστροφή της h ä C e / C () () U () είναι η κρουστική απόκριση [Σχ 6] ευτέρου βαθµού Λαµβάνουµε υπ' όψη µας τώρα την εξίσωση y () + y () + y () x () (95) µε αρχικές συνθήκες y( ) y, y ()y Εφ' όσον y () Y() y y, από την (95) συµπεραίνουµε ότι [ ] [ ] Y() y y + Y() y + Y() X() Άρα X () y + y + y (96) Y () Ο όρος y + y + y Y () + + (97) είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου και η αντίστροφή της ικανοποιεί την οµογενή εξίσωση y () + y () + y () Η φύση της y () εξαρτάται από τις ρίζες, της εξίσωσης + + Εάν > 4, τότε οι ρίζες είναι πραγµατικές και διαφορετικές Εάν 4,τότε / και Εάν Y () + y () e + e d d Y () + ( ) () ( d d ) e y + < 4, τότε οι ρίζες είναι µιγαδικές ± j και Õ ( ) à ( + ) Ã, ( + ) + r i [ r i ] y () e à o à in Οι σταθερές,, d êáé d προσδιορίστηκαν ως συνήθως Οι σταθερές Ãr êáé Ãi µπορούν να βρεθούν είτε γράφοντας τον αριθµητή της Y () µε την παραπάνω µορφή είτε µε τη µέθοδο της παραγράφου () [βλέπε (49)] Παράδειγµα Θα λύσουµε τις ακόλουθες οµογενείς διαφορικές εξισώσεις: 4//5-5 -

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE α) y () + 7y () + y() y() 7, y () -6 Στην περίπτωση αυτή + 7 +,, 5 και από την (97) παράγεται: Y() y() e β) y () + 6y () + 9y() y(), y () Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες Y() + ( + ) + ( + ) γ) y () + 4y () + y() y() 4, y () 4 5 e y() ( + 6) e - Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο µιγαδικές ρίζες: - ± j και εφ' όσον e και καταλήγουµε λοιπόν στην 4 + 4( + ) + Y() ( + ) + + o ( + ) + e in ( + ) + y () e ( 4o+ 4in ) 4 e o( 45 ) Το κύκλωµα --C σε σειρά: Θα αναλύσουµε παρακάτω ένα κύκλωµα --C σε σειρά τροφοδοτούµενο από πηγή τάσης e(), όπως φαίνεται στο σχήµα 7 Για τη µελέτη του κυκλώµατος χρησιµοποιούνται οι παρακάτω παράµετροι Κρίσιµη αντίσταση : C Απόσβεση á Συχνότητα συντονισµού : ù r C Φυσική συχνότητα : ù r Συντελεστής -Q Q ù r Λόγος απόσβεσης : æ ùr Θα προσδιορίσουµε το ρεύµα i() και τη τάση v() του πυκνωτή για διάφορες τιµές των παραµέτρων αυτών Όπως γνωρίζουµε [βλέπε (6)] - 6-4//5

14 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ e() V e() ~ C + v() Áðïêñßóåéò ìçäåíéêþò-êáôüóôáóçò i() - v() 5 x 4 [m] i() [V] v() æ5-6 x 4-8 x 4 4 [m] 4 4 i() v() æ -á x 8 x i() v() -á æ i() v() -á 5 æ 4-5 Ó ÇÌÁ 7 4 i di () () + + iôdô ( ) + v e ( ) i i d ( ) (98) 4//5-7 -

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE όπου v( ) v Μετασχηµατίζοντας και τις δύο πλευρές λαµβάνουµε: I( ) v I ( ) + I ( ) i + + E ( ) C E ( ) i v I( ) + (99) (99) + + C + + C Άρα I() είναι το άθροισµα των ρευµάτων E () i v I á() I Â() + + C + + C () Ο όρος Iá ( ) είναι η απόκριση µηδενικής κατάστασης και ο όρος IÂ ( )είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου Σηµειώνουµε ότι, όπως και στα προηγούµενα παραδείγµατα, το Iá ( ) ισούται µε το µετασχηµατισµό Ε() της πηγής τάσης διαιρεµένης µε τη σύνθετη αντίσταση ple Z( ) + + C του κυκλώµατος Η τάση v() µπορεί να εκφραστεί σε όρους του ρεύµατος i() Εφ' όσον i () Cv (), συµπεραίνουµε ότι I () CV [ () v ] Το τµήµα µηδενικής κατάστασης V α () της V() δίνεται από την I () E () () Vá () C C + C + Θα προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις µηδενικής κατάστασης i () και v () για είσοδο DC όπου e()eσταθερή Βηµατική απόκριση: Εάν e()e, τότε Ε()E/ E / E / I á () + + C + + ùr () I () Eùr Vá () C ( + + ù ) Για να προσδιορίσουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό των συναρτήσεων αυτών, θα πρέπει να εξετάσουµε τους πόλους τους, ± ùr ± C Θεωρούµε τρεις περιπτώσεις : Εάν >,, τότε οι ρίζες είναι πραγµατικές και r - 8-4//5

16 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ E i () e e ( ) ( ) Eùr v E e e () + ( ) Εάν, ôüôå ù êáé E i e () v () E E( + ù ) e Εάν <, τότε οι ρίζες είναι µιγαδικές,, ± j και r r () (4) E i () e inβ β v ( ) E Ee o + inβ β (5) Τα αποτελέσµατα µπορούν εύκολα να επιβεβαιωθούν Αφήνουµε τις λεπτοµέρειες για άσκηση Σηµειώνουµε ότι, εάν <<, ôüôå << ù r, και από την (5) παράγονται : C i() E e inωr v () E Ee oω r (6) Παράδειγµα Το κύκλωµα του σχήµατος (7) είναι στη µηδενική κατάσταση και mh, CµF και e()vol Στην περίπτωση αυτή ùr 4 rd/ e ohm C C Θα προσδιορίσουµε το ρεύµα i() για διάφορες τιµές του æ ù ) ζ5 ohm 5 4 e e 8 e και από την () παράγονται i () ( e e ) mp 5 v () + 7 ( e 685 e ) vol β) ζ και από την (4) έχουµε ohm 4 e r 4//5-9 -

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE γ) ζ6 και από την (5) παράγονται i () e mp - v ( ) - ( + ù e ) vol ohm 6 e 8 e r i () -á e in 8 mp δ) ζ και από την (6) έχουµε -á v () - e ( o + / 4 in ) vol ohm e e 4 i () e inù r mp - v ( ) -e o ù vol Στο σχήµα (7) βλέπουµε τις αποκρίσεις των i() και v() και τη θέση των πόλων êáé µιγαδικό επίπεδο, για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις Γενική Περίπτωση Συµπεριλαµβάνουµε µία σύντοµη αναφορά για τη λύση της γενικής εξίσωσης α n r ( n y ) () + + α y() x() (7) Μετασχηµατίζοντας και από τις δύο πλευρές και χρησιµοποιώντας το θεώρηµα της παραγώγισης (58), συµπεραίνουµε ότι ο µετασχηµατισµός Y() της λύσης της y() της (7) είναι το άθροισµα: Y D X N() (8) () () + () D () όπου ο παρονοµαστής D() είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της δοθείσης εξίσωσης Ο όρος n n D () α + α + + α n N() YB () D () είναι ο µετασχηµατισµός της λύσης y B ()της αντίστοιχης οµογενούς διαφορικής εξίσωσης (77) (απόκριση µηδενικής κατάστασης) Ο αριθµητής N() είναι ένα πολυώνυµο του, βαθµού n-, του οποίου οι συντελεστές εξαρτώνται από τις αρχικές καταστάσεις (75) Η απόκριση µηδενικής εισόδου yb () είναι ένα άθροισµα των εκθετικών όρων των οποίων οι βάσεις i είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης D() Οι συντελεστές αυτών των εκθετικών όρων είναι σταθεροί εάν οι ρίζες είναι απλές ή πολυώνυµα του εάν οι ρίζες είναι πολλαπλές Ο πρώτος όρος στην (8) είναι ένα γινόµενο - 4-4//5

18 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Y D X HX á () () () () (9) () όπου X() είναι ο µετασχηµατισµός της γνωστής συνάρτησης x() και H( ) D ( ) Εάν x()δ() είναι µία κρουστική συνάρτηση τότε X() και από την (9) παράγεται ότι Yá () H() Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός h() της H() είναι λοιπόν η λύση µηδενικής κατάστασης της (7) όταν x() είναι κρουστική συνάρτηση Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι καθορισµένη από την (7) Η απόκριση µηδενικής εισόδου y () και η κρουστική απόκριση h() είναι αθροίσµατα εκθετικών όρων µε διαφορετικούς συντελεστές αλλά µε τους ίδιους εκθέτες Αυτό είναι έτσι διότι οι µετασχηµατισµοί Y () êáé H() είναι ρητοί µε τον ίδιο παρονοµαστή D() Για να υπολογίσουµε τα y () και h() είναι αρκετό να αναπτύξουµε τα Y () êáé H() σε απλά κλάσµατα Εάν X() είναι µία κλασµατική συνάρτηση τότε η Yá () είναι επίσης κλασµατική και η αντίστροφη της yá () µπορεί να βρεθεί παροµοίως ιαφορετικά, θα πρέπει να χρησιµοποιηθούν άλλες µέθοδοι Στο κεφάλαιο 4 δείχνουµε ότι η απόκριση µηδενικής κατάστασης yá () µπορεί να γραφεί ως ολοκλήρωµα (συνέλιξη) το οποίο περιλαµβάνει την δοσµένη είσοδο x() και την κρουστική απόκριση h() Υπέρθεση Αυτή τη σηµαντική έννοια την συναντήσαµε προηγουµένως Την επανεξετάζουµε εδώ από τα συµφραζόµενα της (7) η ΜΟΡΦΗ Όπως έχουµε δει από την (8) Y() Yá() + YÂ() Άρα η λύση y() της (7) µε τις δοσµένες αρχικές συνθήκες (75) είναι το άθροισµα y () y () + y () () Αυτό δείχνει ότι για να προσδιορίσουµε την y() είναι αρκετό να βρούµε ξεχωριστά την απόκριση µηδενικής κατάστασης yá () και την απόκριση µηδενικής εισόδου y () Â η ΜΟΡΦΗ Εάν x() x() + x (), ôüôå X() X () + X () Με Y () H() X (), Y () H() X () έπεται από την (9) ότι Yá () Y () + Y () Θέτοντας µε y() êáé y() τους αντίστροφους µετασχηµατισµούς των Y () και Y (), αντίστοιχα, συµπεραίνουµε ότι: yá () y() + y () () Έτσι, για να προσδιορίσουµε την απόκριση µηδενικής κατάστασης yá () την οφειλόµενη στα x() + x(), είναι επαρκές να βρούµε ξεχωριστά την απόκριση µηδενικής κατάστασης y () ëüãù ôçò x () και την απόκριση µηδενικής κατάστασης y () λόγω της x () Το αποτέλεσµα δεν ισχύει εάν οι αρχικές συνθήκες δεν είναι µηδέν Πράγµατι, οι πλήρεις λύσεις της (7) µε εισόδους x(), x() και x() + x() ισούνται µε y() + y (), y() + y () êáé y() + y() + y (), αντίστοιχα Το τελευταίο προφανώς δεν είναι άθροισµα των δύο πρώτων 4//5-4 -

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Χρονική αµεταβλητότητα Θα συγκρίνουµε την λύση µηδενικής κατάστασης yá () της (7) λόγω της x() µε την αντίστοιχη λύση y( ) λόγω του σήµατος x () x( ) U( ) η οποία έχει ληφθεί µε µετατόπιση της x() προς τα δεξιά Όπως γνωρίζουµε [βλέπε (69)], ο µετασχηµατισµός της x () ισούται µε X() e Y () H() X () H() X() e Y () e Χρησιµοποιώντας ξανά το θεώρηµα της µετατόπισης (69) συµπεραίνουµε ότι y () y ( ) U( ) Έτσι, µία καθυστέρηση στην είσοδο έχει σαν αποτέλεσµα µία ισοδύναµη καθυστέρηση της απόκρισης µηδενικής κατάστασης Αυτό το αποτέλεσµα δεν ισχύει εάν οι αρχικές συνθήκες δεν είναι µηδέν Όντως, η ολοκληρωµένη λύση της (7) µε εισόδους x() και x ()ισούται µε yá() + y () êáé y () + y (), αντίστοιχα Είναι προφανές ότι το δεύτερο δεν είναι καθυστέρηση του πρώτου ΣΗΜΕΙΩΣΗ Θα πρέπει να τονίσουµε ότι οι διαφορικές εξισώσεις λύνονται µε µετασχηµατισµούς ple µόνο όταν οι εξισώσεις είναι γραµµικές και µε σταθερούς συντελεστές Μη-γραµµικές εξισώσεις ή εξισώσεις µε χρονικά-µεταβαλλόµενους συντελεστές δεν µπορούν να λυθούν διότι οι αντίστοιχες εξισώσεις στο πεδίο των µετασχηµατισµών δεν είναι απλές [βλέπε πρόβληµα ] Συστήµατα εξισώσεων Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων µπορούν να λυθούν παροµοίως Παρουσιάζουµε την µέθοδο µε ένα παράδειγµα από την θεωρία των κυκλωµάτων, περιορίζοντας την αναφορά στον προσδιορισµό της απόκρισης µηδενικής κατάστασης µόνο Θα αναλύσουµε το κύκλωµα του σχήµατος 8, χρησιµοποιώντας αρχικά ως άγνωστους τις τάσεις των πυκνωτών v() êáé v () και το ρεύµα αυτεπαγωγής i() Αυτοί οι άγνωστοι είναι οι µεταβλητές κατάστασης και οι παραγόµενες εξισώσεις είναι οι εξισώσεις κατάστασης Είναι εύκολο να δούµε ότι: Gv () + Cv () + i () i g () Gv () + Cv () i () v () v () i () Μετασχηµατίζοντας και τις δύο πλευρές, λαµβάνουµε GV() + CV() + I () I g () GV() + CV() I () V () V () I() () () Έχουµε απλοποιήσει το σύστηµα () των διαφορικών εξισώσεων στο σύστηµα () των αλγεβρικών εξισώσεων Η λύση της () παράγει τους µετασχηµατισµούς V (), V () και I() των µεταβλητών κατάστασης Ειδικά, η έξοδος V () του κυκλώµατος δίνεται από την σχέση: - 4-4//5

20 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ I g () (4) V () C + CG + ( G + C ) + G Ειδική Περίπτωση Υποθέτουµε τώρα, ότι ohm, mh και CµF Εισάγοντας G την σταθερά ù rd 4 συµπεραίνουµε από την (4) ότι C C e V () 5I g () (5) ( / ù ) ( / ù ) ( / ù ) Θα προσδιορίσουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό v () της V () για διάφορες τιµές του ig () G v () i() v () i () g C C G -ù -á i () g Ù mh CìF v ()h() 5 [m] i () g 5 v ()r() 5 [m] 5 Ç(jù) ù Ó ÇÌÁ 8 ù 4//5-4 -

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Κρουστική απόκριση: Υποθέτουµε ότι ig ()δ() Σ' αυτή την περίπτωση I g () και η (5) παράγει : V () H() ( /ù ) ( /ù ) ( /ù ) N () (6) D () Ο παρονοµαστής D() της H() µπορεί εύκολα να παραγοντοποιηθεί D () ù ( + ù+ ù )( + ù) Αυτό έχει δύο µιγαδικές ρίζες και µία πραγµατική (Σχ 8) ± j ù ù, ù Με διάσπαση σε απλά κλάσµατα, λαµβάνουµε Από τα παραπάνω H ( ) + + H( )( + ù ) 5ù ù (7) Για να βρούµε την αντιστροφή των δύο πρώτων όρων σχηµατίζουµε την συνάρτηση [βλέπε (46)] 5ù j à () à ( ) 5ù + j( + ù ) Άρα [βλέπε (49)] ο αντίστροφος µετασχηµατισµός h() του H() είναι το άθροισµα 5 ù e (8) h ( ) 5 e e o + in U ( ) ohm e Αυτή είναι η κρουστική απόκριση του συστήµατος και προσεγγιστικά ισούται µε την απόκριση λόγω ενός ρεύµατος µικρής διάρκειας και εµβαδού (δίχως διάσταση) Εάν για παράδειγµα ig () είναι ένας τετραγωνικός παλµός διάρκειας Τµ και ύψους I mp, τότε η τελική τάση εξόδου y () ισούται περίπου µε ITh () h() Vol-e Σηµειώνουµε ότι [θεώρηµα των αρχικών τιµών (65)] Άρα κοντά στην αρχή, h() 5ù h( ) h ( ) h () lim H( ) 5ù Βηµατική απόκριση: Εάν i () g είναι ρεύµα mp εφαρµοζόµενο για, τότε I ( ) g και η (6) παράγει //5

22 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5ù V () ( + ù + ù )( + ù ) Έχουµε τώρα 4 πόλους: 4 V () V ()( + ù ) 5 V () 5 ù 4 Ã ( ) 5ù j j( + ù ) ù v e e () in ù Κοντά στην αρχή, v (), διότι [βλέπε (65)] 6 vol 4 v( ) v ( ) v ( ) v ( ) lim v ( ) 5ù (9) Συµπεραίνουµε µε µία σύντοµη αναφορά ότι η απόκριση της µόνιµης κατάστασης του κυκλώµατος στην εκθετική είσοδο είναι jù ig () e I g () jù Εισάγοντας την στην (4) λαµβάνουµε H() N() V () jù ( jù) D( ) Η συνάρτηση αυτή έχει 4 πόλους: τους τρεις λόγω της D() και ένα jù Με διάσπαση σε απλά κλάσµατα, παίρνουµε d d d d V () jù jù v () de + de + de + de () Οι ρίζες êáé είναι µιγαδικές µε αρνητικό πραγµατικό µέρος και η ρίζα είναι αρνητική [βλέπε (7)] Έτσι οι τελευταίοι τρεις όροι στην () τείνουν στο µηδέν καθώς Αυτό οδηγεί στο συµπέρασµα ότι v d e jù () êáèþò Αλλά d V ( )( jù) H ( jù) jù v H jù e jù () ( ) () 4//5-45 -

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Είναι αξιοσηµείωτο να σηµειώσουµε ότι H( jù) 5ù 6 6 ù + ù () Αυτό έπεται από την (6) αλλά οι λεπτοµέρειες παραλείπονται Στο σχήµα (8) σχεδιάζουµε το H( jù) για διάφορες τιµές του ω Η παραγόµενη καµπύλη είναι µία χαµηλοπερατή απόκριση Buerworh βαθµού n Το πραγµατικό µέρος της () ισούται µε την απόκριση µόνιµης κατάστασης του κυκλώµατος όταν η είσοδος είναι ηµιτονοειδής συνάρτηση: i ( g ) o ù //5

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0.

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα ηλεκτρικά στοιχεία είναι εξιδανικευµένα µοντέλα των φυσικών διατάξεων, παθητικών ή ενεργών, που καθορίζονται µέσω των αντίστοιχων

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό aplace στοιχειωδών σηµάτων. αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού aplace. Σεραφείµ Καραµπογιάς 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΣΗΜΑΤΑ. (Σχ. 1.7). Η σταθερή Τ είναι το διάστηµα δειγµατοληψίας.

1.2 ΣΗΜΑΤΑ. (Σχ. 1.7). Η σταθερή Τ είναι το διάστηµα δειγµατοληψίας. ΣΗΜΑΤΑ.2 ΣΗΜΑΤΑ Ένα σήµα (sigal ) είναι µια συνάρτηση που παριστάνει ένα φυσικό µέγεθος. Ένα σήµα συνεχούς χρόνου (coiuous-ime sigal ) είναι µια συνάρτηση x() της οποίας το πεδίο ορισµού αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑ RC ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΚΥΚΛΩΜΑ RC ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑ ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΙΕΓΕΡΣΗ Εννοούμε την απόκριση ενός γραμμικού, χρονικά αμετάβλητου κυκλώματος σε μια μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() εφαρμοζόμενη στον χρόνο = 0 (απόκριση μηδενικής κατάστασης). Η

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα : Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εξισώσεις Διαφορών Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών με Γραμμικούς Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ7-1

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ7-1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 19Κ7-1 ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Είσοδος ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Έξοδος 1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού (απλά ηλεκτρικά στοιχεία). Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης 3. Έξοδος: απόκριση i.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Συµπλήρωµα στα παραδείγµατα που υπάρχουν στο Εγχειρίδιο του Μαθήµατος ρ. Α. Μαγουλάς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 0 Ηλεκτρικά κυκλώµατα Ηλεκτρικό κύκλωµα ονοµάζουµε ένα σύνολο στοιχείων που συνδέονται κατάλληλα έτσι ώστε να επιτελέσουν ένα συγκεκριµένο σκοπό. Για παράδειγµα το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 0. ) Γενικά για την Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση ( Η.Μ.Κ.) Η µελέτη ενός ηλεκτρικού δικτύου γίνεται πρώτιστα στο στο πεδίο του χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές) Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier 3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στα προηγούμενα κεφάλαια παρουσιάσαμε την έννοια της συνάρτησης συστήματος για αναλογικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5)

e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5) Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς-Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων 7/5/ Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

( s ) Παραγώγιση στο χρόνο. Ολοκλήρωση στο χρόνο. Θεώρηµα αρχικής και τελικής τιµής Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Σεραφείµ Καραµπογιάς

( s ) Παραγώγιση στο χρόνο. Ολοκλήρωση στο χρόνο. Θεώρηµα αρχικής και τελικής τιµής Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Παραγώγιση στο χρόνο d x( ) sx ( s ) x ( ) [ x ) ] X X x( ) e ( s Μετασχηµατισµός aplace παραγώγου dx ( ) sx Ολοκλήρωση στο χρόνο Μετασχηµατισµός aplace ολοκληρώµατος

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός Laplace Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αιτιατότητα Μη-Αιτιατότητα. Ευστάθεια. Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1 Εισαγωγή 1.1 1.2 Συμβολισμοί και μονάδες 1.3 1.3 Φορτίο, τάση και ενέργεια 1.5 Φορτίο και ρεύμα 1.5 Τάση 1.6 Ισχύς και Ενέργεια 1.6 1.4 Γραμμικότητα 1.7 Πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθηµα: "ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΤΥΩΝ" ( ο εξάµηνο) Ακαδ. Έτος: - ο Τµήµα (Κ-Μ), ιδάσκων: Κ. Τζαφέστας Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση - (I-

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα ευτέρας 20 / 11 / 17

Μάθηµα ευτέρας 20 / 11 / 17 90 Μάθηµα ευτέρας 20 / / 7 5) ιανυσµατικά διαγράµµατα στην Η.Μ.Κ. Κατά την µελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Η.Μ.Κ. χρησιµοποιούνται πολύ συχνά τα λεγόµενα διανυσµατικά διαγράµµατα. Οι στρεφόµενοι µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSEL-THOMSON

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSEL-THOMSON ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSELTHOMSON 4. ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΦΑΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ Η χρονική καθυστέρηση συµβαίνει κατά την µετάδοση σε διάφορα φυσικά µέσα και αποτελεί ένα βασικό στοιχείο στην επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier µιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 8: Μετασχηματισμός Ζ Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Z Μετασχηματισμός Ζ (Ζ-Transform) Χρήσιμα Ζεύγη ΖT και Περιοχές Σύγκλισης (ROC) Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) =

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) = Α. Δροσόπουλος 3 Ιανουαρίου 29 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace 2 Αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία 2 3 Διέγερση βαθμίδας σε L κυκλώματα 5 3. Φόρτιση.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 5: Θεωρήματα κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC.

εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC. εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC. 1. Πρώτη µέθοδος περιγραφής του συστήµατος, µέσω ολοκληρωτικοδιαφορικών εξισώσεων. Έστω ένα κύκλωµα L,C,R εν σειρά µε πηγή τάσης. Το κύκλωµα αυτό το θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΜΑΘΗΜΑ 5 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Κλασµατικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες:. Κλασµατικές Εξισώσεις (Μέρος Β). Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΟΡΙΣΜΟΙ Κλασµατική εξίσωση λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ -ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ 2017-18 ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1. ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Ενα κύκλωµα, το οποίο κάνει µια συγκεκριµένη λειτουργία εκφραζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ

Διαβάστε περισσότερα