Pengantar Proses Stokastik
|
|
- Αναστάσιος Αλεξόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Bab 3: Diskrit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
2 Ilustrasi 1 Perilaku bunuh diri kini kian menjadi-jadi. Hesti (nama sebenarnya) adalah sebuah contoh. Dia pernah melakukan percobaan bunuh diri, namun gagal. Menurut pakar, kalau pada suatu waktu seseorang melakukan percobaan bunuh diri maka besar kemungkinan dia akan melakukannya lagi di masa mendatang. Jika seseorang belum pernah melakukan percobaan bunuh diri, di masa mendatang orang tersebut akan mungkin melakukan percobaan bunuh diri. Deskripsikan fenomena diatas sebagai model peluang (probability model).
3 Ilustrasi 2 Loyalitas konsumen terhadap suatu merek barang. Wilkie (1994) mendefinisikan brand loyalty as a favorable attitude toward and consistent purchase of a particular brand. Lyong (1998): brand loyalty is a function of a brands relative frequency of purchase in both time-independent and time-dependent situations. Seorang konsumen pembeli merek barang A diharapkan akan terus membeli barang A. Mungkinkah ini terjadi? Apakah model statistika yang dapat dengan tepat (atau mendekati tepat) merinci peluang terjadinya hal ini? Apakah model ini membantu dalam strategi pemasaran suatu barang?
4 Misalkan sebuah proses stokastik {X t } dengan t = 0, 1, 2,.... Nilai yang mungkin dari X t adalah hingga atau terhitung Memiliki peluang transisi atau peluang berpindahnya keadaan i (pada waktu t) ke keadaan j (pada waktu t + 1) adalah P ij yaitu P(X t+1 = j X t = i, X t 1 = i t 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ij Distribusi bersyarat X t+1 diberikan keadaan-keadaan lampau X 0, X 1,..., X t 1 dan keadaan sekarang X t, hanya bergantung pada keadaan sekarang (Sifat Markov) Maka proses stokastik demikian dikenal dengan nama Rantai Markov.
5 P ij adalah peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i P ij 0, i, j 0; P ij = 1, i = 0, 1,... j=0 Perhatikan P(X t+1 = j X t = i, X t 1 = i t 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P(X t+1 = j X t = i) = P ij disebut peluang transisi satu langkah.
6 Misalkan P menyatakan matriks peluang transisi satu langkah P ij, maka P 00 P 01 P P 10 P 11 P P =... P i0 P i1 P i
7 Atau dapat pula digambarkan sebagai berikut
8 Contoh 1 Jika hari ini hujan, peluang besok hujan adalah α. Jika hari ini tidak hujan, peluang besok hujan adalah β. Misal: 0 : hujan 1 : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah ( ) α 1 α P = β 1 β
9 Contoh 2 Dalam suatu hari, Gary bisa ceria (C), biasa saja (B), atau murung (M). Jika hari ini ceria, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.5, 0.4, 0.1. Jika dia merasa biasa saja hari ini, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.3, 0.4, 0.3. Jika dia merasa murung hari ini, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.2, 0.3, 0.5.
10 Misalkan keadaan 0 = C, keadaan 1 = B, dan keadaan 2 = M, maka matriks peluang transisinya adalah P =
11 Contoh 3 Keadaan pada suatu hari: Jika dua hari terakhir hujan, peluang besok hujan 0.7 Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan, peluang besok hujan 0.5 Jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan, peluang besok hujan 0.4 Jika hari ini dan kemarin tidak hujan, peluang besok hujan 0.2
12 Misal: 0 : hujan 1 : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah P =
13 Contoh 4 Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui efek pemberian zat X untuk menangani penyebaran virus A pada tubuh manusia. Penelitian tersebut diujicobakan pada seekor mencit yang diberi suntikan virus A kemudian setelah 6 jam pertama mencit tersebut diberi suntikan zat X. Selanjutnya mencit tersebut akan diamati perubahan kondisinya setiap 6 jam selama 1 minggu. Berdasarkan pengamatan diperoleh data sebagai berikut:
14 Keterangan: S menyatakan kondisi sehat, L menyatakan kondisi lemas, dan P menyatakan kondisi pingsan.
15 Matriks peluang transisinya adalah P =
16 Perhatikan matriks-matriks berikut: P = , P =
17 Matriks-matriks tersebut memiliki sifat-sifat berikut: Memiliki jumlah baris dan kolom sama, atau matriks bujursangkar Jumlah unsur-unsur di setiap baris adalah satu Tidak selalu memiliki jumlah unsur-unsur di setiap kolom sama dengan satu Nilai setiap unsurnya diantara nol dan satu Matriks dengan sifat-sifat tersebut dikatakan sebagai matriks stokastik.
18 Contoh 5 Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 mempunyai matriks peluang transisi P = dan P(X 0 = 0) = 0.3, P(X 0 = 1) = 0.4, P(X 0 = 2) = 0.3. Hitung P(X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2).
19 Penyelesaian: P(X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2) = P(X 2 = 2 X 1 = 1, X 0 = 0)P(X 1 = 1, X 0 = 0) = P(X 2 = 2 X 1 = 1, X 0 = 0)P(X 1 = 1 X 0 = 0)P(X 0 = 0) = P(X 2 = 2 X 1 = 1)P(X 1 = 1 X 0 = 0)P(X 0 = 0) = 0(0.2)(0.3) = 0
20 Contoh 6 Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, P = Hitung P(X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0) dan P(X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0).
21 Penyelesaian: a. P(X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0) = P(X 3 = 1 X 2 = 1)P(X 2 = 1 X 1 = 0) = 0.6(0.2) = 0.12 b. P(X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0) = P(X 2 = 1 X 1 = 1)P(X 1 = 1 X 0 = 0) = 0.6(0.2) = 0.12
22 Contoh 7 Suatu matriks stokastik dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 Hitung E(X 2 X 1 = 2) P =
23 Penyelesaian: 2 E(X 2 X 1 = 2) = x 2 P(X 2 = x 2 X 1 = 2) x 2 =0 = 0 + (1) P(X 2 = 1 X 1 = 2) + (2) P(X 2 = 2 X 1 = 2) = 0
24 n-langkah Pandang matriks stokastik satu-langkah: ( ) P = Selanjutnya, kita dapat menentukan matriks stokastik dua-langkah yaitu matriks yang didefinisikan pada ruang keadaan yang sama namun ruang waktu dua-langkah atau {t, t + 2}.
25 Ingat kembali matriks stokastik satu-langkah P ij = P(X t+1 = j X t = i) Kita dapat menentukan matriks stokastik dua-langkah yaitu Pij 2 = P(X t+2 = j X t = i) Dalam kasus ini ( P 2 P 2 = 00 P01 2 ) P10 2 P11 2
26 Kita bisa menggunakan law of total probability yaitu P00 2 = P(X t+2 = 0 X t = 0) = P(X t+2 = 0, X t+1 = 0 X t = 0) + P(X t+2 = 0, X t+1 = 1 X t = 0) = P(X t+2 = 0 X t+1 = 0, X t = 0)P(X t+1 = 0 X t = 0) + P(X t+2 = 0 X t+1 = 1, X t = 0)P(X t+1 = 1 X t = 0) = P(X t+2 = 0 X t+1 = 0)P(X t+1 = 0 X t = 0) + P(X t+2 = 0 X t+1 = 1)P(X t+1 = 1 X t = 0) = P 00 P 00 + P 10 P 01 = P 00 P 00 + P 01 P 10
27 Penyelesaian tersebut berlaku pula untuk P 2 01, P2 10 dan P2 11. Atau sama saja dengan mengalikan dua matriks P yaitu P 2 = P.P ( ) ( ) P00 P = 01 P00 P. 01 P 10 P 11 P 10 P 11 ( ) P00 P = 00 + P 01 P 10 P 00 P 01 + P 01 P 11 P 10 P 00 + P 11 P 10 P 10 P 01 + P 11 P 11
28 Jadi, untuk contoh di atas P 2 00 = P 00 P 00 + P 01 P 10 = 0.3(0.3) + 0.7(0.5) = 0.44 atau, matriks stokastik dua-langkahnya adalah ( ) ( ) P = ( ) =
29 Misalkan P n ij menyatakan peluang bahwa proses pada keadaan i akan berada pada keadaan j setelah n-transisi, P n ij = P (X t+n = j X t = i), n 0, i, j 0
30 Persamaan Chapman-Kolmogorov memberikan metode untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah, yaitu P n+m ij = k=0 P n ik Pm kj untuk semua n, m 0, semua i, j P n ik Pm kj menyatakan peluang bahwa proses bermula pada keadaan i akan berpindah ke keadaan j dalam n + m transisi melalui keadaan k pada transisi ke-n.
31 P n+m ij = P(X n+m = j X 0 = i) = P(X n+m = j, X n = k X 0 = i) = = k=0 P(X n+m = j X n = k, X 0 = i)p(x n = k X 0 = i) k=0 Pkj m Pn ik = k=0 k=0 P n ik Pm kj
32 Contoh 8 Misalkan pada Contoh 1 diketahui α = 0.7 dan β = 0.4, maka tentukan peluang bahwa akan hujan pada empat hari dari hari ini diberikan bahwa hari ini hujan!
33 [ ] [ ] [ ] P 2 = = [ ] [ ] [ ] P 4 = = Jadi, P00 4 =
34 Contoh 9 Perhatikan Contoh 3, diberikan pada hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa pada hari Kamis akan hujan?
35 P 2 = = Senin Selasa Rabu Kamis atau 1 0
36 Peluang bahwa Kamis hujan adalah: P P P P = P P = = 0.61
37 Peluang transisi P n ij yang sudah kita hitung di atas merupakan peluang bersyarat. Jika kita ingin menghitung peluang transisi tak bersyaratnya yaitu P(X n = j), maka kita bisa menggunakan law of total probability yaitu P(X n = j) = = P(X n = j X 0 = i) P(X 0 = i) i=0 Pij n α i i=0 dengan α i = P(X 0 = i), i 0 adalah peluang tak bersyarat pada keadaan awal atau t = 0, dan α i = 1 i=0
38 Sebagai contoh, berdasarkan Contoh 8, jika α 0 = 0.4, α 1 = 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa akan hujan empat hari setelah kita mempunyai data perubahan cuaca adalah P(X 4 = 0) = P(X 4 = 0 X 0 = 0)P(X 0 = 0) + P(X 4 = 0 X 0 = 1)P(X 0 = 1) = P 4 00 α 0 + P 4 10 α 1 = 0.4P P 4 10 = (0.4)(0.5749) + (0.6)(0.5668) = 0.57
39 Kebebasan dalam Misalkan P = ( 0.4 ) Maka, P(X t = 0 X t 1 = 0) = P(X t = 0 X t 1 = 1) = 0.4 Kemudian, dengan law of total probability P(X t = 0) = P(X t = 0 X t 1 = 0)P(X t 1 = 0) + P(X t = 0 X t 1 = 1)P(X t 1 = 1) α = 0.4 α (1 α) Jadi, α = 0.4
40 Dengan kata lain P(X t = 0 X t 1 = 0) = 0.4 = P(X t = 0) Ini berarti bahwa peubah acak X t saling bebas.
41 Contoh-contoh Lain 1. Jika pada waktu t, Vanes mengajukan klaim asuransi, maka Vanes akan mengajukan klaim pada waktu t + 1 dengan peluang α; jika Vanes tidak mengajukan klaim asuransi saat ini maka di masa depan Vanes akan mengajukan klaim asuransi dengan peluang β. Matriks peluang transisinya adalah Keadaan: 0 : tidak mengajukan klaim 1 : mengajukan klaim ( ) 1 β β P = 1 α α
42 2. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES, maka peluang GAGAL pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang GAGAL adalah 0.4.
43 Keadaan-keadaan: 0 (SS) : kemarin S, sekarang S 1 (SG) : kemarin S, sekarang G 2 (GS) : kemarin G, sekarang S 3 (GG) : kemarin G, sekarang G P =
44 3. Tim sepakbola IKS UII akan memainkan tujuh rangkaian pertandingan. Hasil setiap pertandingan saling bebas. Setiap pertandingan akan dimenangkan oleh tim A dengan peluang α dan oleh tim B dengan peluang 1 α. Misalkan keadaan suatu sistem direpresentasikan oleh pasangan (a, b) di mana a menyatakan banyak pertandingan yang dimenangkan oleh A dan b adalah banyak pertandingan yang dimenangkan B. Bentuklah untuk masalah tersebut. Catatan: a + b 7 dan rangkaian pertandingan akan berakhir jika a = 4 atau b = 4.
45
46 Kelas Keadaan Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Keadaan j dikatakan dapat diakses dari keadaan i jika P n ij > 0 untuk suatu n 0. i j Perhatikan bahwa hal ini mengakibatkan keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika, dimulai pada keadaan i, proses akan pernah masuk ke keadaan j. Dua keadaan i dan j yang dapat diakses satu sama lain dikatakan dapat berkomunikasi. i j
47 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Contoh: P = ( ) Apakah keadaan 1 bisa berkomunikasi dengan dirinya sendiri? Solusi: Jadi, 1 1 P 11 = 0 P 2 11 = P 10 P 01 + P 11 P 11 = 1(0.3) + 0 = 0.3 > 0
48 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Jenis keadaan: 1 Keadaan i berkomunikasi dengan keadaan i untuk semua i 0 2 Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j, maka keadaan j berkomunikasi dengan keadaan i 3 Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j dan keadaan j berkomunikasi dengan keadaan k, maka keadaan i berkomunikasi dengan keadaan k. Dua keadaan yang saling berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas yang sama. dikatakan tidak dapat direduksi jika hanya terdapat satu kelas keadaan, yaitu jika semua keadaan saling berkomunikasi satu sama lain. Sebuah keadaan yang tidak bisa berpindah ke keadaan yang lain dikatakan sebagai keadaan absorbing.
49 Contoh 10 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Tentukan kelas keadaan dari dengan peluang transisi P =
50 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi a. 0 1 P 01 = 0 P01 2 = P 00 P 01 + P 01 P 11 + P 02 P 21 = (0.4) = 0.12 > P 10 = 0.5 > Jadi, 0 1
51 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi b. 1 2 P 12 = 0.5 > 0 P 21 = 0.4 > 0 Jadi, 1 2 c. 2 3 Jadi, 2 3 P 23 = 0.6 > 0 P 32 = 0 P 2 32 = P 30 P 02 + P 31 P 12 + P 32 P 22 + P 33 P 32 = (0.5) = 0.1 > 0
52 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Karena 0 1, 1 2, dan 2 3, maka masing-masing keadaan saling berkomunikasi sehingga kelas keadaannya adalah {0, 1, 2, 3} dan tersebut tidak dapat direduksi.
53 Contoh 11 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Tentukan kelas keadaan dari matriks peluang transisi berikut P = 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2
54 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Solusi: Kelas keadaannya: {0} dan {1, 2}. Keadaan {0} bersifat absorbing.
55 Keadaan Recurrent dan Transient Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Untuk setiap keadaan i, misalkan f i peluang bahwa dimulai dari keadaan i proses akan pernah kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan recurrent jika f i = 1 dan dikatakan transient jika f i < 1. Jika keadaan i recurrent, maka proses akan terus kembali ke keadaan i dengan peluang satu. Dengan definisi Rantai Markov, proses akan dimulai lagi ketika kembali ke keadaan i, dan seterusnya, sehingga keadaan i akan dikunjungi lagi. Jika keadaan i recurrent maka dimulai dari keadaan i maka proses akan kembali ke keadaan i terus dan terus sebanyak tak hingga kali.
56 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Misalkan keadaan i transient. Setiap kali proses kembali ke keadaan i terdapat kemungkinan (peluang yang positif) sebesar 1 f i bahwa proses tidak pernah kembali ke keadaan i. Dengan demikian, dimulai dari keadaan i, peluang bahwa proses berada di i sebanyak tepat n periode/kali adalah (1 f i ), n 1. Jika keadaan i transient maka, dimulai dari keadaan i, banyak periode/kali bahwa proses akan berada di keadaan i adalah peubah acak geometri dengan parameter 1 f i f n 1 i
57 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Keadaan i recurrent jika dan hanya jika, dimulai dari keadaan i, maka banyak periode/kali yang diharapkan (expected number of time periods) bahwa proses akan berada di keadaan i adalah tak hingga.
58 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Misalkan I n = { 1, X n = i 0, X n i Misalkan I n menyatakan banyak periode/kali bahwa proses n=0 berada dalam keadaan i, dan [ ] E I n X 0 = i = n=0 = = E[I n X 0 = i] n=0 P(X n = i X 0 = i) n=0 n=0 P n ii
59 Proposisi Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Keadaan i adalah Recurrent jika Pii n = n=1 Transient jika Pii n < n=1
60 Contoh 12 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Misalkan yang terdiri atas keadaan-keadaan 0, 1, 2, 3 mempunyai matriks peluang transisi 0 0 1/2 1/2 P = Tentukan keadaan mana yang transient dan mana yang recurrent.
61 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Solusi: Semua keadaan saling berkomunikasi dan semua keadaan bersifat recurrent
62 Contoh 13 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Matriks peluang transisi 1/2 1/ /2 1/ P = 0 0 1/2 1/ /2 1/2 0 1/4 1/ /2 Tentukan kelas keadaan dan sifat-sifatnya
63 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Solusi: tersebut terdiri atas tiga kelas yaitu {0, 1}, {2, 3}, dan {4}. Sifat-sifatnya: Kelas {0, 1} dan {2, 3} bersifat recurrent Kelas {4} bersifat transient
64 Limit Peluang Transisi Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Misalkan matriks peluang transisi pada adalah ( ) P = Maka matriks peluang transisi 4 dan 8 langkahnya adalah ( ) P = P 8 = ( )
65 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Perhatikan bahwa matriks P 8 hampir identik dengan matriks P 4. Selain itu, setiap baris dari P 8 memiliki unsur yang identik. Pada kenyataannya, sepertinya P n ij konvergen ke suatu nilai, untuk n, yang sama untuk semua i. Dengan kata lain, terdapat limit peluang bahwa proses akan berada di keadaan j setelah sekian langkah (transisi). Nilai limit ini saling bebas dengan nilai pada keadaan awal.
66 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Jika waktu kembali yang pertama dari keadaan i hanya dapat berupa kelipatan dari integer d > 1, keadaan tersebut disebut periodik. Keadaan yang memiliki periode 1 disebut aperiodik.
67 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Jika keadaan i recurrent, maka keadaan tersebut akan dikatakan positive recurrent jika, dimulai dari keadaan i, waktu harapan hingga proses kembali ke i adalah hingga. Pada yang memiliki keadaan hingga, semua keadaan recurrent adalah positive recurrent. Suatu keadaan yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik.
68 Teorema Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Untuk yang ergodik dan tidak dapat direduksi, lim n Pn ij ada dan saling bebas dari i. Misalkan π j = lim n Pn ij, j 0, maka π j adalah solusi nonnegatif tunggal dari dengan π j = 1. j=0 π j = π i Pij n, j 0, i=0
69 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Catatan: Perhatikan bahwa P(X n+1 = j) = = P(X n+1 = j X n = i) P(X n = i) i=0 P ij P(X n = i) i=0 Misalkan n dan asumsikan kita bisa menambahkan limit di dalam persamaan, maka π j = P ij π i i=0
70 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Limit peluang π j adalah peluang jangka panjang (long-run proportion of time) bahwa suatu proses akan berada di keadaan j. Jika tidak dapat direduksi, maka terdapat solusi untuk π j = lim n Pn ij, j 0,, dengan π j = 1, jika dan j hanya jika bersifat positive recurrent. Jika solusinya ada, maka solusi tersebut tunggal dan π j adalah proporsi jangka panjang bahwa berada dalam keadaan j. Jika aperiodik, maka π j adalah limit peluang bahwa rantai akan berada di keadaan j.
71 Contoh 14 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Jika hari ini hujan, peluang besok hujan adalah α. Jika hari ini tidak hujan, peluang besok hujan adalah β. Misal: 0 : hujan 1 : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah ( ) α 1 α P = β 1 β dan kita mempunyai persamaan-persamaan π 0 = απ 0 + βπ 1 π 1 = (1 α)π 0 + (1 β)π 1 π 0 + π 1 = 1
72 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Maka diperoleh peluang hujan dan tidak hujan dalam jangka panjang adalah β π 0 = 1 + β α dan π 1 = 1 α 1 + β α
73 Contoh 15 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Misalkan keadaan mood Gary disajikan dalam matriks peluang transisi P = Berapa peluang jangka panjang untuk masing-masing keadaan?
74 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Kita mempunyai persamaan: π 0 + π 1 + π 2 = 1 dan diperoleh solusinya yaitu π 0 = 0.5π π π 2 π 1 = 0.4π π π 2 π 2 = 0.1π π π 2 π 0 = 21 62, π 1 = 23 62, π 2 = 18 62
75 Contoh 16 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Pandang suatu populasi yang besar dari sekumpulan individu, setiap individu memiliki sepasang gen tertentu, di mana gen setiap individu diklasifikasikan menjadi tipe A atau tipe a. Asumsikan bahwa proporsi individu yang pasangan gennya adalah AA, aa, atau Aa berturut-turut adalah p 0, q 0, dan r 0 (dengan p 0 + q 0 + r 0 = 1). Ketika dua individu dikawinkan, masing-masing berkontribusi satu dari gen mereka, terpilih secara acak, kepada keturunan yang dihasilkan. Asumsikan bahwa perkawinan terjadi secara acak, di mana setiap individu punya kesempatan yang sama untuk dikawinkan dengan individu yang lain, tentukan proporsi individu pada generasi selanjutnya yang gennya adalah AA, aa, atau Aa (sebut sebagai p, q, dan r).
76 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Untuk memulainya, perhatikan bahwa pemilihan secara acak sepasang orang tua dan kemudian pemilihan secara acak satu dari gen mereka sama saja dengan memilih secara acak sebuah gen dari total populasi gen. Maka sebuah gen akan terpilih secara acak merupakan tipe A dengan peluang P(A) = P(A AA)P(AA) + P(A aa)p(aa) + P(A Aa)P(Aa) = P(A AA)p 0 + P(A aa)q 0 + P(A Aa)r 0 = p r 0 dan tipe a dengan peluang P(a) = q r 0
77 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Maka, berdasarkan perkawinan acak, sebuah anggota yang terpilih secara acak dari generasi selanjutnya akan mempunyai tipe Tipe AA dengan peluang p = P(A)P(A) = ( p ) 2 2 r 0 Tipe aa dengan peluang q = P(a)P(a) = ( q ) 2 2 r 0 Tipe Aa dengan peluang r = 2P(A)P(a) = 2 ( p ) ( 2 r 0 q ) 2 r 0
78 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi
79 Dyran adalah mahasiswa semester 6 di Statistika UII. Dia tinggal tidak jauh dari kampus, cukup berjalan kaki saja dari tempat kos ke kampus dan sebaliknya. Akhir-akhir ini hujan datang hampir setiap hari. Mau tidak mau, Dyran menggunakan payung dalam perjalanan kos-kampus atau kampus-kos. Jika hari hujan dan payung ada di tempat Dyran berada, maka Dyran akan menggunakan payung tersebut. Jika hari tidak hujan, Dyran selalu lupa untuk membawa payung. Misalkan θ adalah peluang hujan setiap kali Dyran akan menuju kampus atau kos. Jika Dyran memiliki 3 buah payung, bentuklah suatu rantai Markov dari proses di atas!
80 3 2. Tiga bola putih dan tiga bola hitam diletakkan ke dalam dua kotak sedemikian rupa sehingga masing-masing kotak terdiri atas tiga bola. Kita katakan bahwa sistem berada pada keadaan i, i = 0, 1, 2, 3, jika kotak pertama terdiri atas i bola putih. Pada masing-masing langkah, kita ambil sebuah bola dari masing-masing kotak dan meletakkan bola dari kotak kedua ke kotak pertama dan sebaliknya. Buatlah matriks peluang transisi dari kejadian tersebut!
81 3 3. Menurut George, Christ, dan John, tanah Australia diberkahi dengan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan hari bercuaca baik, maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan peluang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka besok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat perubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari yang dibentuk dari keadaan-keadaan di atas.
82 3 4. Sebuah {X n, n 0} dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 mempunyai matriks peluang transisi sebagai berikut: P = Jika P(X 0 = 0) = P(X 0 = 1) = 1 4, tentukan E(X 2).
83 3 5. Seorang SPG berjuang untuk menjual suatu produk sebanyak i = 0, 1, 2 buah. Proses jumlah produk yang terjual {X n } membentuk dengan matriks peluang transisi sebagai berikut: 0 1/2 1/2 P = 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 a. Hitung P(X n = 0 X 0 = 0) untuk n = 0, 1, 2 b. Hitung P(X 3 = 1 X 1 = 0)
84 3 6. Tentukan kelas keadaan dan sifat-sifat dari matriks-matriks peluang transisi berikut a P = b P = 1/9 4/9 4/ /9 4/9 1/
85 3 7. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES, maka peluang SUKSES pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang SUKSES adalah 0.5. Hitung peluang percobaan sukses untuk jangka panjang.
86 Ross, Sheldon M Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J Queueing Theory/ Probability Theory.
Pengantar Proses Stokastik
Bab 3: Diskrit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Matriks Peluang Transisi Matriks Stokastik Chapman-Komogorov Equations Peluang Transisi Tak Bersyarat Perilaku bunuh diri kini kian
Διαβάστε περισσότεραPengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai rantai markov waktu kontinu yang
Διαβάστε περισσότεραPengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai rantai markov waktu kontinu yang
Διαβάστε περισσότεραA. Distribusi Gabungan
HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua Jika S merupakan
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Multivariabel I
Limit dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Operasi Aljabar pada Pembahasan pada limit untuk fungsi dua peubah adalah memberikan pengertian mengenai lim f (x, y) = L (x,y) (a,b) Masalahnya adalah
Διαβάστε περισσότεραSebaran Peluang Gabungan
Sebaran Peluang Gabungan Peubah acak dan sebaran peluangnya terbatas pada ruang sampel berdimensi satu. Dengan kata lain, hasil percobaan berasal dari peubah acak yan tunggal. Tetapi, pada banyak keadaan,
Διαβάστε περισσότεραKalkulus 1. Sistem Bilangan Real. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Kalkulus 1 Sistem Bilangan Real Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa
Διαβάστε περισσότεραMA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan Eks
MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan SMART AND STOCHASTIC MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan SMART AND STOCHASTIC Ilustrasi Fungsi Peluang Bersama Peluang Bersama - Diskrit
Διαβάστε περισσότεραKonvergen dalam Peluang dan Distribusi
limiting distribution Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika July 5, 2014 Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back Outline 1 Review 2 Motivasi
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Multivariabel I
Fungsi Dua Peubah atau Lebih dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 dengan Dua Peubah Real dengan Dua Peubah Real Pada fungsi satu peubah f : D R R D adalah daerah asal (domain) suatu fungsi
Διαβάστε περισσότεραSistem Koordinat dan Fungsi. Matematika Dasar. untuk Fakultas Pertanian. Uha Isnaini. Uhaisnaini.com. Matematika Dasar
untuk Fakultas Pertanian Uhaisnaini.com Contents 1 Sistem Koordinat dan Fungsi Sistem Koordinat dan Fungsi Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam
Διαβάστε περισσότεραMatematika
Sistem Bilangan Real D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa D3 Analis Kimia angkatan
Διαβάστε περισσότεραKalkulus 1. Sistem Koordinat. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia. Sistem Koordinat
Kalkulus 1 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam sistem koordinat, yaitu:
Διαβάστε περισσότεραPumping Lemma. Semester Ganjil 2013 Jum at, Dosen pengasuh: Kurnia Saputra ST, M.Sc
Semester Ganjil 2013 Jum at, 08.11.2013 Dosen pengasuh: Kurnia Saputra ST, M.Sc Email: kurnia.saputra@gmail.com Jurusan Informatika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Syiah Kuala
Διαβάστε περισσότεραPERSAMAAN KUADRAT. 06. EBT-SMP Hasil dari
PERSAMAAN KUADRAT 0. EBT-SMP-00-8 Pada pola bilangan segi tiga Pascal, jumlah bilangan pada garis ke- a. 8 b. 6 c. d. 6 0. EBT-SMP-0-6 (a + b) = a + pa b + qa b + ra b + sab + b Nilai p q = 0 6 70 0. MA-77-
Διαβάστε περισσότεραS T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA email : zeamays_hibrida@yahoo.com FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2009 II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan
Διαβάστε περισσότεραS T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2010 SEBARAN PELUANG II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan.
Διαβάστε περισσότεραS T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011 SEBARAN PELUANG II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan.
Διαβάστε περισσότεραSebaran Kontinu HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND LOGO
Sebaran Kontinu HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND Kompetensi menguraikan ciri-ciri suatu kurva normal menentukan luas daerah dibawah kurva normal menerapkan sebaran normal dalam
Διαβάστε περισσότεραMA5283 STATISTIKA Bab 2 Peluang
MA5283 STATISTIKA Bab 2 Peluang Orang Cerdas Belajar Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peluang bersyarat, Teorema Bayes. Tujuan Silabus dan Tujuan 1 Mendefinisikan
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Elementer. Nanda Arista Rizki, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman 2018
Kalkulus Elementer Nanda Arista Rizki, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman 2018 Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 1/83 Referensi: 1 Dale Varberg, Edwin
Διαβάστε περισσότεραTINJAUAN PUSTAKA. Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur. bilangan riil (Purcell dan Varberg, 1987).
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol dinamakan bilangan
Διαβάστε περισσότεραPENGEMBANGAN INSTRUMEN
PENGEMBANGAN INSTRUMEN OLEH : IRFAN (A1CI 08 007) PEND. MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALUOLEO KENDARI 2012 A. Definisi Konseptual Keterampilan sosial merupakan kemampuan
Διαβάστε περισσότεραTEORI PELUANG* TKS 6112 Keandalan Struktur. Pendahuluan
TKS 6112 Keandalan Struktur TEORI PELUANG* * www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Pendahuluan Sebuah bangunan dirancang melalui serangkaian perhitungan yang cermat terhadap beban-beban rencana dan bangunan tersebut
Διαβάστε περισσότεραHendra Gunawan. 16 April 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 16 April 014 Kuliah yang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13. Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi
Διαβάστε περισσότεραartinya vektor nilai rata-rata dari kelompok ternak pertama sama dengan kelompok ternak kedua artinya kedua vektor nilai-rata berbeda
LAMPIRAN 48 Lampiran 1. Perhitungan Manual Statistik T 2 -Hotelling pada Garut Jantan dan Ekor Tipis Jantan Hipotesis: H 0 : U 1 = U 2 H 1 : U 1 U 2 Rumus T 2 -Hotelling: artinya vektor nilai rata-rata
Διαβάστε περισσότεραLABORATORIUM STATISTIK DAN OPTIMASI INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAWA TIMUR
TNR 1 space 1.15 LABORATORIUM STATISTIK DAN OPTIMASI INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAWA TIMUR LAPORAN RESMI MODUL III TNR 1 Space.0 STATISTIK
Διαβάστε περισσότεραPersamaan Diferensial Parsial
Persamaan Diferensial Parsial Turunan Parsial f (, ) Jika berubah ubah sedangkan tetap, adalah fungsi dari dan turunanna terhadap adalah f (, ) f (, ) f (, ) lim 0 disebut turunan parsialpertama dari f
Διαβάστε περισσότεραTransformasi Koordinat 2 Dimensi
Transformasi Koordinat 2 Dimensi RG141227 - Sistem Koordinat dan Transformasi Semester Gasal 2016/2017 Ira M Anjasmara PhD Jurusan Teknik Geomatika Sistem Koordinat 2 Dimensi Digunakan untuk mempresentasikan
Διαβάστε περισσότεραJika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.
BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN Sesi 1 Taburan Binomial A. Pembolehubah rawak diskret Contoh Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua
Διαβάστε περισσότεραJika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.
BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN Sesi 1 Taburan Binomial A. Pembolehubah rawak diskret Contoh Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua
Διαβάστε περισσότεραBilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat. March 5, 2016
Bilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo 30115301 Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat March 5, 2016 Asal Usul Bilangan Euler e 1 1. Bilangan Euler 2 3 4 Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284...
Διαβάστε περισσότεραANALISIS LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM
ANALSS LTA ELEKTK ANALSS LTA ELEKTK OBJEKTF AM Unit Memahami konsep-konsep asas Litar Sesiri, Litar Selari, Litar Gabungan dan Hukum Kirchoff. OBJEKTF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Menerangkan
Διαβάστε περισσότεραTH3813 Realiti Maya. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun
TH383 Realiti Maa Transformasi 3D menggunakan multiplikasi matriks untuk hasilkan kompaun transformasi menggunakan kompaun transformasi - hasilkan sebarang transformasi dan ungkapkan sebagai satu transformasi
Διαβάστε περισσότεραKALKULUS LANJUT. Integral Lipat. Resmawan. 7 November Universitas Negeri Gorontalo. Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November / 57
KALKULUS LANJUT Integral Lipat Resmawan Universitas Negeri Gorontalo 7 November 218 Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 1 / 57 13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.5
Διαβάστε περισσότεραINVESTIGASI EMPIRIS KEKUATAN UJI KPSS. Oleh MUHAMMAD FAJAR
INVESTIGASI EMPIRIS KEKUATAN UJI KPSS Oleh MUHAMMAD FAJAR 2016 ABSTRAK Judul Penelitian : Investigasi Empirik Kekuatan Uji KPSS Kata Kunci : Uji KPSS, Data Generating Process, Persentase Keputusan Salah
Διαβάστε περισσότεραPeta Konsep. 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI
Bab 5 FUNGSI TRIGONOMETRI Peta Konsep 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 5. 6 Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI 5. Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 5.4 Identiti Asas 5.5
Διαβάστε περισσότερα2 m. Air. 5 m. Rajah S1
FAKULI KEJURUERAAN AL 1. Jika pintu A adalah segi empat tepat dan berukuran 2 m lebar (normal terhadap kertas), tentukan nilai daya hidrostatik yang bertindak pada pusat tekanan jika pintu ini tenggelam
Διαβάστε περισσότεραBab 1 Mekanik Struktur
Bab 1 Mekanik Struktur P E N S Y A R A H : D R. Y E E M E I H E O N G M O H D. N O R H A F I D Z B I N M O H D. J I M A S ( D B 1 4 0 0 1 1 ) R E X Y N I R O AK P E T E R ( D B 1 4 0 2 5 9 ) J O H A N
Διαβάστε περισσότερα(a) Nyatakan julat hubungan itu (b) Dengan menggunakan tatatanda fungsi, tulis satu hubungan antara set A dan set B. [2 markah] Jawapan:
MODUL 3 [Kertas 1]: MATEMATIK TAMBAHAN JPNK 015 Muka Surat: 1 Jawab SEMUA soalan. 1 Rajah 1 menunjukkan hubungan antara set A dan set B. 6 1 Set A Rajah 1 4 5 Set B (a) Nyatakan julat hubungan itu (b)
Διαβάστε περισσότερα( 2 ( 1 2 )2 3 3 ) MODEL PT3 MATEMATIK A PUSAT TUISYEN IHSAN JAYA = + ( 3) ( 4 9 ) 2 (4 3 4 ) 3 ( 8 3 ) ( 3.25 )
(1) Tentukan nilai bagi P, Q, dan R MODEL PT MATEMATIK A PUSAT TUISYEN IHSAN JAYA 1 P 0 Q 1 R 2 (4) Lengkapkan operasi di bawah dengan mengisi petak petak kosong berikut dengan nombor yang sesuai. ( 1
Διαβάστε περισσότεραModel Mangsa Pemangsa dengan Pengaruh Musim
Model Mangsa Pemangsa dengan Pengaruh Musim Yudi Arpa #1, Muhammad Subhan #, Riry Sriningsih # #Jurusan Matematika, Universitas Negeri Padang Jl. Prof. Dr. Hamka Air Tawar Padang, 25131, Telp. (0751) 444648,
Διαβάστε περισσότεραBAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a)
Διαβάστε περισσότεραBAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a)
Διαβάστε περισσότεραLOGIKA MATEMATIKA. MODUL 1 Himpunan. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2012 年 04 月 08 日 ( 日 )
LOGIKA MATEMATIKA MODUL 1 Himpunan Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2012 年 04 月 08 日 ( 日 ) Himpunan I. Definisi dan Notasi Himpunan adalah kumpulan sesuatu yang didefinisikan
Διαβάστε περισσότεραSMK SERI MUARA, BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM. MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JUMLAH
72/1 NAMA :. TINGKATAN : MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 1 September 201 2 Jam SMK SERI MUARA, 6100 BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JANGAN BUKA KERTAS
Διαβάστε περισσότεραUkur Kejuruteraan DDPQ 1162 Ukur Tekimetri. Sakdiah Basiron
Ukur Kejuruteraan DDPQ 1162 Ukur Tekimetri Sakdiah Basiron TEKIMETRI PENGENALAN TAKIMETRI ADALAH SATU KAEDAH PENGUKURAN JARAK SECARA TIDAK LANGSUNG BAGI MENGHASILKAN JARAK UFUK DAN JARAK TEGAK KEGUNAAN
Διαβάστε περισσότεραRUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN
Jurnal Teknologi, 38(C) Jun 003: 5 8 Universiti Teknologi Malaysia RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN 5 RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN YEOH WENG KANG & JAMALUDIN MD. ALI Abstrak. Rumus untuk
Διαβάστε περισσότεραKONSEP ASAS & PENGUJIAN HIPOTESIS
KONSEP ASAS & PENGUJIAN HIPOTESIS HIPOTESIS Hipotesis = Tekaan atau jangkaan terhadap penyelesaian atau jawapan kepada masalah kajian Contoh: Mengapakah suhu bilik kuliah panas? Tekaan atau Hipotesis???
Διαβάστε περισσότεραPerubahan dalam kuantiti diminta bagi barang itu bergerak disepanjang keluk permintaan itu.
BAB 3 : ISI RUMAH SEBAGAI PENGGUNA SPM2004/A/S3 (a) Rajah tersebut menunjukkan keluk permintaan yang mencerun ke bawah dari kiri ke kanan. Ia menunjukkan hubungan negatif antara harga dengan kuantiti diminta.
Διαβάστε περισσότεραSMJ minyak seperti yang dilakarkan dalam Rajah S2. Minyak tersebut mempunyai. bahagian hujung cakera. Dengan data dan anggapan yang dibuat:
SOALAN 1 Cakera dengan garis pusat d berputar pada halaju sudut ω di dalam bekas mengandungi minyak seperti yang dilakarkan dalam Rajah S2. Minyak tersebut mempunyai kelikatan µ. Anggap bahawa susuk halaju
Διαβάστε περισσότεραTeorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik
Matematika, 1999, Jilid 15, bil. 2, hlm. 135 141 c Jabatan Matematik, UTM. Teorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik Mashadi Jurusan Matematika Universitas Riau Kampus Bina Widya Panam
Διαβάστε περισσότεραTegangan Permukaan. Kerja
Tegangan Permukaan Kerja Cecair lebih cenderung menyesuaikan bentuknya ke arah yang luas permukaan yang minimum. Titisan cecair berbentuk sfera kerana nisbah luas permukaan terhadap isipadu adalah kecil.
Διαβάστε περισσότεραKemahiran Hidup Bersepadu Kemahiran Teknikal 76
LOGO SEKOLAH Nama Sekolah UJIAN BERTULIS 2 Jam Kemahiran Hidup Bersepadu Kemahiran Teknikal 76 NAMA :..... ANGKA GILIRAN : TERHAD 2 BAHAGIAN A [60 markah] Jawab semua soalan pada bahagian ini di ruang
Διαβάστε περισσότεραKlasifikasi bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua
Matematika, 1999, Jilid 15, bil. 1, hlm. 37 43 c Jabatan Matematik, UTM. Klasifikasi bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua Nor Haniza Sarmin Jabatan Matematik, Fakulti
Διαβάστε περισσότεραRajah S1 menunjukkan talisawat dari jenis rata dengan dua sistem pacuan, digunakan untuk
SOALAN 1 Rajah S1 menunjukkan talisawat dari jenis rata dengan dua sistem pacuan, digunakan untuk menyambungkan dua takal yang terpasang kepada dua aci selari. Garispusat takal pemacu, pada motor adalah
Διαβάστε περισσότεραPERENCANAAN JALAN ALTERNATIF & PERKERASAN LENTUR TANJUNG SERDANG KOTABARU,KALIMANTAN SELATAN KM KM 7+000
PERENCANAAN JALAN ALTERNATIF & PERKERASAN LENTUR TANJUNG SERDANG KOTABARU,KALIMANTAN SELATAN KM 4+000 KM 7+000 LATAR BELAKANG TUJUAN DAN BATASAN MASALAH METODOLOGI PERENCANAAN HASIL Semakin meningkatnya
Διαβάστε περισσότεραANALISIS KORELASI DEBIT BANJIR RENCANA UNTUK BERBAGAI KONDISI KETERSEDIAAN DATA DI DAERAH KHUSUS IBUKOTA JAKARTA ABSTRAK
ANALISIS KORELASI DEBIT BANJIR RENCANA UNTUK BERBAGAI KONDISI KETERSEDIAAN DATA DI DAERAH KHUSUS IBUKOTA JAKARTA Agung M Alamsyah NRP : 9521037 NIRM : 41077011950298 Pembimbing : Dr. Ir. Agung Bagiawan
Διαβάστε περισσότεραPEPERIKSAAN PERCUBAAN SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2005
3472/2 Matematik Tambahan Kertas 2 September 2005 2½ jam MAKTAB RENDAH SAINS MARA 3472/2 PEPERIKSAAN PERCUBAAN SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2005 MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 Dua jam tiga puluh minit 3 4 7 2
Διαβάστε περισσότεραMODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini)
MODUL 3 [Kertas 2]: MATEMATIK TAMBAHAN JPNK 2015 Muka Surat: 1 1. Selesaikan persamaan serentak yang berikut: MODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini) 2x y = 1,
Διαβάστε περισσότεραSEE 3533 PRINSIP PERHUBUNGAN Bab III Pemodulatan Sudut. Universiti Teknologi Malaysia
SEE 3533 PRINSIP PERHUBUNGAN Bab III Universiti Teknologi Malaysia 1 Pengenalan Selain daripada teknik pemodulatan amplitud, terdapat juga teknik lain yang menggunakan isyarat memodulat untuk mengubah
Διαβάστε περισσότερα-9, P, -1, Q, 7, 11, R
Tunjukkan langkah-langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. Jawab semua soalan 1 (a) Rajah 1(a) menunjukkan
Διαβάστε περισσότεραDiagnostic Statistical Manual of Mental Disorder (DSM IV,1994)
Autistic Spectrum Disorder 1. Autistic Disorder (Autism) 2. Non-Autistic : -Pervasive Developmental Disorder -Asperger syndrome -Ratt s Syndrome -Fragile x Syndrome -Childhood Disintegrative Disorder Diagnostic
Διαβάστε περισσότεραEMT361 Keboleharapan & Analisis Kegagalan. Dr Zuraidah Mohd Zain Julai, 2005
EMT361 Keboleharapan & Analisis Kegagalan Dr Zuraidah Mohd Zain zuraidah@kukum.edu.my Julai, 2005 Overview untuk minggu 1-3 Minggu 1 Overview terma, takrifan kadar kegagalan, MTBF, bathtub curve; taburan
Διαβάστε περισσότεραSTRUKTUR BAJA 2 TKS 1514 / 3 SKS PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS JEMBER
STRUKTUR BAJA 2 TKS 1514 / 3 SKS PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS JEMBER Winda Tri Wahyuningtyas Gati Annisa Hayu Plate Girder Plate girder adalah balok besar yang dibuat dari susunan yang disatukan
Διαβάστε περισσότεραKEKUATAN KELULI KARBON SEDERHANA
Makmal Mekanik Pepejal KEKUATAN KELULI KARBON SEDERHANA 1.0 PENGENALAN Dalam rekabentuk sesuatu anggota struktur yang akan mengalami tegasan, pertimbangan utama ialah supaya anggota tersebut selamat dari
Διαβάστε περισσότεραJawab semua soalan. P -1 Q 0 1 R 2
Tunjukkan langkah langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. 1. (a) Tentukan nilai P, Q dan R Jawab semua
Διαβάστε περισσότεραEEU104 - Teknologi Elektrik - Tutorial 11; Sessi 2000/2001 Litar magnet
UNIVERSITI SAINS MALAYSIA PUSAT PENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK EEU104 - Teknologi Elektrik - Tutorial 11; Sessi 2000/2001 Litar magnet 1. Satu litar magnet mempunyai keengganan S = 4 x
Διαβάστε περισσότεραKeterusan dan Keabadian Jisim
Pelajaran 8 Keterusan dan Keabadian Jisim OBJEKTIF Setelah selesai mempelajari Pelajaran ini anda sepatutnya dapat Mentakrifkan konsep kadar aliran jisim Mentakrifkan konsep kadar aliran Menerangkan konsep
Διαβάστε περισσότεραADLN Perpustakaan Universitas Airlangga. Misalkan terdapat N buah besaran A µ dalam sistem koordinat {x µ } dan N
Lampiran 1 Tensor dan Operasinya Skalar,Vektor dan Tensor Misalkan terdapat N buah besaran A µ dalam sistem koordinat {x µ } dan N buah besaran A µ dalam sistem koordinat lain {x µ } dengan µ = 1, 2, 3...,
Διαβάστε περισσότεραKuasa Dua Tensor Yang Tak Abelan bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua
Matematika, 1999, Jilid 15, bil., hlm. 143 156 c Jabatan Matematik, UTM. Kuasa Dua Tensor Yang Tak Abelan bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua Nor Haniza Sarmin Jabatan
Διαβάστε περισσότεραCiri-ciri Taburan Normal
1 Taburan Normal Ciri-ciri Taburan Normal Ia adalah taburan selanjar Ia adalah taburan simetri Ia adalah asimtot kepada paksi Ia adalah uni-modal Ia adalah keluarga kepada keluk Keluasan di bawah keluk
Διαβάστε περισσότεραHMT 504 Morfologi dan Sintaksis Lanjutan
UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Kedua Sidang Akademik 2002/2003 Februari/Mac 2003 HMT 504 Morfologi dan Sintaksis Lanjutan Masa : 3 jam Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi
Διαβάστε περισσότεραSULIT 3472/2 SMK SERI MUARA, BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 2. Dua jam tiga puluh minit
MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 September 2013 2½ Jam SMK SERI MUARA, 36100 BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 2 Dua jam tiga puluh minit JANGAN BUKA KERTAS
Διαβάστε περισσότεραSOALMANDIRITINGKATSMA/MA/Sederajat ASAHTERAMPILMATEMATIKA(ASTRAMATIKA)XX I
SOALMANDIRITINGKATSMA/MA/Sederajat ASAHTERAMPILMATEMATIKA(ASTRAMATIKA)XX I 1-cos(x-a) 1.Hasildari lim =. x a (x-a)sin3(x-a) 2.Jumlahnsukupertamaderetaritmetikaadalah Sn =5 n 2-7n. Jikaasukupertamadanbbedaderettersebut,maka13a+3b=.
Διαβάστε περισσότεραLatihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam. 1 a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [1 markah]
Latihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [ markah] ii) Berikut adalah tiga kad nombor. 30 20 24 Lakukan operasi darab dan bahagi antara nombor-nombor tersebut
Διαβάστε περισσότεραDETERMINATION OF CFRP PLATE SHEAR MODULUS BY ARCAN TEST METHOD SHUKUR HJ. ABU HASSAN
DETERMINATION OF CFRP PLATE SHEAR MODULUS BY ARCAN TEST METHOD SHUKUR HJ. ABU HASSAN OBJEKTIF KAJIAN Mendapatkan dan membandingkan nilai tegasan ricih, τ, dan modulus ricih, G, bagi plat CFRP yang berorientasi
Διαβάστε περισσότεραTransformasi Koordinat 3 Dimensi
Transformasi Koordinat 3 Dimensi RG141227 - Sistem Koordinat dan Transformasi Semester Gasal 2016/2017 Ira M Anjasmara PhD Jurusan Teknik Geomatika Sistem Koordinat Tiga Dimensi (3D) Digunakan untuk mendeskripsikan
Διαβάστε περισσότεραKertas soalan ini mengandungi 20 halaman bercetak.
3472/1 NAMA :. TINGKATAN : MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 1 September 2013 2 Jam SMK SERI MUARA, 36100 BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JANGAN BUKA
Διαβάστε περισσότεραSIJIL VOKASIONAL MALAYSIA A03101 PENILAIAN AKHIR SEMESTER 1 SESI 1/2015 Matematik Bahagian A Mei
A00 LEMBAGA PEPERIKSAAN KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA SIJIL VOKASIONAL MALAYSIA A00 PENILAIAN AKHIR SEMESTER SESI /205 Matematik Bahagian A Mei 2 jam Satu jam tiga puluh minit JANGAN BUKA KERTAS SOALAN
Διαβάστε περισσότεραBAB 3 PERENCANAAN TANGGA
BAB 3 PERENCANAAN TANGGA 3.1. Uraian Umum Semakin sedikit tersedianya luas lahan yang digunakan untuk membangun suatu bangunan menjadikan perencana lebih inovatif dalam perencanaan, maka pembangunan tidak
Διαβάστε περισσότεραBAB 4 PERENCANAAN TANGGA
BAB 4 PERENCANAAN TANGGA 4. Uraian Umum Tangga merupakan bagian dari struktur bangunan bertingkat yang penting sebagai penunjang antara struktur bangunan lantai dasar dengan struktur bangunan tingkat atasnya.
Διαβάστε περισσότεραBAB 4 PERENCANAAN TANGGA
BAB 4 PERENCANAAN TANGGA 4.1. Uraian Umum Tangga merupakan bagian dari struktur bangunan bertingkat yang penting sebagai penunjang antara struktur bangunan lantai dasar dengan struktur bangunan tingkat
Διαβάστε περισσότεραLITAR ELEKTRIK 1 EET101/4. Pn. Samila Mat Zali
LITAR ELEKTRIK 1 EET101/4 Pn. Samila Mat Zali STRUKTUR KURSUS Peperiksaan Akhir : 50% Ujian teori : 10% Mini projek : 10% Amali/praktikal : 30% 100% OBJEKTIF KURSUS Mempelajari komponen-komponen utama
Διαβάστε περισσότεραUnit PENGENALAN KEPADA LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM OBJEKTIF KHUSUS
PENGENALAN KEPADA LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM Memahami konsep-konsep asas litar elektrik, arus, voltan, rintangan, kuasa dan tenaga elektrik. Unit OBJEKTIF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Mentakrifkan
Διαβάστε περισσότεραUNTUK EDARAN DI DALAM JABATAN FARMASI SAHAJA
UNTUK EDARAN DI DALAM JABATAN FARMASI SAHAJA KEPUTUSAN MESYUARAT KALI KE 63 JAWATANKUASA FARMASI DAN TERAPEUTIK HOSPITAL USM PADA 24 SEPTEMBER 2007 (BAHAGIAN 1) DAN 30 OKTOBER 2007 (BAHAGIAN 2) A. Ubat
Διαβάστε περισσότεραTOPIK 1 : KUANTITI DAN UNIT ASAS
1.1 KUANTITI DAN UNIT ASAS Fizik adalah berdasarkan kuantiti-kuantiti yang disebut kuantiti fizik. Secara am suatu kuantiti fizik ialah kuantiti yang boleh diukur. Untuk mengukur kuantiti fizik, suatu
Διαβάστε περισσότεραSESI: MAC 2018 DSM 1021: SAINS 1. Kelas: DCV 2
SESI: MAC 2018 DSM 1021: SAINS 1 TOPIK 4.0: KERJA, TENAGA DAN KUASA Kelas: DCV 2 PENSYARAH: EN. MUHAMMAD AMIRUL BIN ABDULLAH COURSE LEARNING OUTCOMES (CLO): Di akhir LA ini, pelajar akan boleh: 1. Menerangkan
Διαβάστε περισσότεραDAFTAR LAMPIRAN. Lampiran 2. Penetapan derajat infeksi mikoriza arbuskular
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Data analisis awal tanah Jenis Analisis Satuan Nilai Kriteria ph H 2 O - 4,56 Masam C-Organik % 1,75 Rendah N-Total % 0,22 Sedang C/N Ratio - 7,95 Rendah P-tersedia (ppm) ppm
Διαβάστε περισσότεραMENGENALI FOTON DAN PENGQUANTUMAN TENAGA
MENGENALI FOTON DAN PENGQUANTUMAN TENAGA Oleh Mohd Hafizudin Kamal Sebelum wujudnya teori gelombang membujur oleh Huygens pada tahun 1678, cahaya dianggap sebagai satu aliran zarah-zarah atau disebut juga
Διαβάστε περισσότεραSTQS1124 STATISTIK II PERBANDINGAN KUALITI SOLAT DALAM KALANGAN PELAJAR KOLEJ IBRAHIM YAAKOB(KIY) DAN KOLEJ TUN HUSSEIN ONN(KTHO).
STQS114 STATISTIK II PERBANDINGAN KUALITI SOLAT DALAM KALANGAN PELAJAR KOLEJ IBRAHIM YAAKOB(KIY) DAN KOLEJ TUN HUSSEIN ONN(KTHO). DISEDIAKAN OLEH: AINUR JALALIA BINTI ABDUL RAHIM NUR DINAH BINTI ABDUL
Διαβάστε περισσότεραLampiran 1. Deskripsi varietas kedelai. Varietas Anjasmoro
Lampiran 1. Deskripsi varietas kedelai Varietas Anjasmoro Nama varietas Kategori SK : Anjasmoro : Varietas ungggul nasional (released variety) : 537/Kpts/TP.240/10/2001 tanggal 22 Oktober tahun 2001 Tahun
Διαβάστε περισσότεραTabel 1 Kombinasi perlakuan kompos, unsur kelumit, dan waktu penyemprotan
Rumus kandungan gula : Bks + K - Bk ------------------ x % Bs Keterangan : Bks = kertas saring. K = Kristal. Bk = kosong. Bs = sampel. Tabel Kombinasi perlakuan kompos, unsur kelumit, dan waktu penyemprotan
Διαβάστε περισσότεραPembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid
Matematika, 003, Jilid 19, bil., hlm. 11 138 c Jabatan Matematik, UTM. Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid Liau Lin Yun & Tahir Ahmad Jabatan Matematik, Fakulti Sains Universiti Teknologi Malasia
Διαβάστε περισσότεραNama Mahasiswa: Retno Palupi Dosen Pembimbing: Prof. Dr. Ir. I Gusti Putu Raka, DEA Ir. Heppy Kristijanto, MS
Nama Mahasiswa: Retno Palupi 3110100130 Dosen Pembimbing: Prof. Dr. Ir. I Gusti Putu Raka, DEA Ir. Heppy Kristijanto, MS Pendahuluan Metodologi Preliminary Desain Perencanaan Struktur Sekunder Perencanaan
Διαβάστε περισσότεραKURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH DUNIA MUZIK
KEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA KURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH DUNIA MUZIK TAHUN TIGA DOKUMEN STANDARD KURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH (KSSR) MODUL TERAS TEMA DUNIA MUZIK TAHUN TIGA BAHAGIAN PEMBANGUNAN
Διαβάστε περισσότεραACCEPTANCE SAMPLING BAB 5
ACCEPTANCE SAMPLING BAB 5 PENGENALAN Merupakan salah satu daripada SQC (statistical quality control) dimana sampel diambil secara rawak daripada lot dan keputusan samada untuk menerima atau menolak lot
Διαβάστε περισσότεραELEKTRIK KEMAHIRAN TEKNIKAL : BAB 1
MAKTAB RENDAH Add SAINS your company MARA BENTONG slogan Bab 1 ELEKTRIK KEMAHIRAN TEKNIKAL : BAB 1 LOGO Kandungan 1 Jenis Litar Elektrik 2 Meter Pelbagai 3 Unit Kawalan Utama 4 Kuasa Elektrik 1 1.1 Jenis
Διαβάστε περισσότερα1 Bahan manakah yang TIDAK merupakan makromolekul (molekul raksasa)? 2 Bahan berikut merupakan oligomer bagi hasil pempolimeran etilena (etena).
ahagian 1 ahan manakah yang TIK merupakan makromolekul (molekul raksasa)? selulosa kanji getah asli garam biasa 2 ahan berikut merupakan oligomer bagi hasil pempolimeran etilena (etena). dekana sikloheksena
Διαβάστε περισσότεραLampiran 1. Perhitungan Dasar Penentuan Kandungan Pupuk Organik Granul
LAMPIRAN Lampiran 1. Perhitungan Dasar Penentuan Kandungan Pupuk Organik Granul Asumsi: a. Pengaplikasian POG pada budidaya tebu lahan kering dengan sistem tanam Double Row b. Luas lahan = 1 ha = 10000
Διαβάστε περισσότερα