Pengantar Proses Stokastik
|
|
- Ήράκλειτος Παπαϊωάννου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
2 Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai rantai markov waktu kontinu yang analog dengan rantai markov diskrit yang telah dibahas sebelumnya. Rantai markov waktu kontinu juga memiliki sifat Markov, yaitu diberikan keadaan sekarang, maka keadaan pada masa yang akan datang saling bebas dengan keadaan pada masa lampau.
3 Peluang Kesetimbangan Salah satu contoh dari rantai markov waktu kontinu adalah proses Poisson. Misalkan banyaknya kedatangan sampai waktu t (yaitu N t ) adalah keadaan dari suatu proses pada waktu t, maka proses Poisson merupakan rantai Markov waktu kontinu dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2,... di mana keadaan selalu bertambah dari keadaan n ke keadaan n + 1, n 0. Proses demikian dikenal dengan istilah proses kelahiran murni karena ketika sebuah transisi terjadi, maka keadaan akan selalu bertambah satu.
4 Peluang Kesetimbangan Lebih jauh lagi, model Eksponensial yang dapat berpindah hanya dari keadaan n baik ke keadaan n 1 maupun ke keadaan n + 1 dalam satu kali transisi dinamakan model kelahiran-kematian. Untuk model tersebut, transisi dari keadaan n ke keadaan n + 1 dianggap sebagai proses kelahiran, sedangkan transisi dari keadaan n ke keadaan n 1 dianggap sebagai proses kematian.
5 Peluang Kesetimbangan Model kelahiran dan kematian secara luas banyak diaplikasikan pada studi tentang sistem biologi dan studi tentang sistem antrian di mana keadaan yang ada merepresentasikan banyaknya nasabah dalam sistem.
6 Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Misalkan suatu proses stokastik waktu kontinu {X t, t 0} bernilai bilangan bulat tak negatif. Sesuai analogi dengan definisi rantai Markov waktu diskrit, suatu proses {X t, t 0} adalah rantai Markov waktu kontinu (RMWK) jika untuk semua s, t 0 dan bilangan bulat tak negatif i, j, x u, 0 u < s P(X t+s = j X s = i, X u = x u, 0 u < s) = P(X t+s = j X s = i)
7 Peluang Kesetimbangan Dengan kata lain, sebuah RMWK adalah suatu proses stokastik yang memiliki sifat Markov yaitu peluang bersyarat dari keadaan X t+s diberikan keadaan sekarang X s dan keadaan pada masa lampau X u, 0 u < s, hanya bergantung pada keadaan pada masa sekarang dan saling bebas dengan keadaan pada masa lampau.
8 Peluang Kesetimbangan Sebagai tambahan, jika P(X t+s = j X s = i) saling bebas dari s, maka RMWK dikatakan memiliki peluang transisi homogen atau stasioner. Semua rantai Markov pada materi ini akan diasumsikan memiliki peluang transisi stasioner.
9 Peluang Kesetimbangan Misalkan sebuah RMWK masuk ke keadaan i pada suatu waktu, misalkan, waktu 0, dan misalkan proses tersebut tidak meninggalkan keadaan i (tidak terjadi transisi) selama 10 menit ke depan. Berapa peluang bahwa proses tidak akan meninggalkan keadaan i selama 5 menit selanjutnya? Karena proses berada di keadaan i pada waktu 10, maka berdasarkan sifat Markov, peluang bahwa proses akan tetap berada di keadaan i selama interval [10, 15] merupakan peluang (tak bersyarat) bahwa proses tetap berada di keadaan i selama minimal 5 menit.
10 Peluang Kesetimbangan Misalkan T i menyatakan lamanya waktu proses berada di keadaan i sebelum berpindah ke keadaan lain, maka atau secara umum, P(T i > 15 T i > 10) = P(T i > 5) P(T i > s + t T i > s) = P(T i > t) untuk semua s, t 0. Dengan demikian, peubah acak T i bersifat memoryless dan berdistribusi eksponensial.
11 Peluang Kesetimbangan Perhatikan proses Markov (stasioner) dengan ruang parameter kontinu (parameternya biasanya adalah waktu). Transisi dari satu keadaan ke keadaan lain dapat terjadi dalam waktu yang singkat. RMWK merupakan sebuah proses stokastik yang memiliki sifat bahwa setiap waktu proses masuk ke keadaan i lamanya waktu yang dihabiskan proses tersebut sebelum melakukan transisi ke keadaan lain berdistribusi eksponensial dengan mean 1 λ i, dan ketika proses meninggalkan keadaan i, proses selanjutnya akan masuk ke keadaan j dengan peluang P ij.
12 Peluang Kesetimbangan Sebuah proses Markov X t ditentukan oleh matriks generator atau matriks laju transisi. q i,j = lim t 0 P(X t+ t = j X t = i), i j t Peluang per satuan waktu bahwa sistem melakukan transisi dari keadaan i ke keadaan j laju transisi atau intensitas transisi Total laju transisi keadaan i adalah q i = j i q i,j, umur suatu keadaan Eksp(q i ) Berikut ini adalah laju di mana peluang keadaan i berkurang. Definisikan q i,i = q i
13 Peluang Kesetimbangan Matriks laju transisi dituliskan sebagai berikut q 0,0 q 0,1 q 0 q 0,1 Q = q 1,0 q 1,1 = q 1,0 q Jumlah tiap baris adalah nol.
14 Laju Transisi dan Peluang Transisi Peluang Kesetimbangan Kaitan antara laju transisi dengan peluang transisi adalah sebagai berikut p i,j = lim P(X t+ t = j X t+ t i, X t = i) t 0 P(X t+ t = j, X t+ t i X t = i) = lim t 0 P(X t+ t i X t = i) i,j q i,j i j = jq 0 i = j
15 Peluang Kesetimbangan Jika dituliskan dalam bentuk matriks peluang transisi, maka 0 q 0,1 q 0,2 q i,j q i,j j i j i q P = 1,0 q q i,j 0 1,2 q i,j j i j i Total jumlah per baris adalah satu.
16 Peluang Keadaan Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Vektor peluang keadaan π i (t) = P(X t = i) sekarang adalah fungsi yang bergantung waktu, yaitu d π(t) = π(t) Q dt dengan π(t) = (π 0 (t) π 1 (t) π 2 (t) ) Berdasarkan sistem persamaan diferensial, misalkan π(t) = Ce Qt, maka d dt π(t) = d dt (CeQt ) = QCe Qt = Qπ(t)
17 Peluang Kesetimbangan Misalkan nilai awal C = π(0), maka solusi formal untuk vektor peluang keadaan yang bergantung waktu adalah π(t) = π(0)e Qt
18 Global Balance Conditions Peluang Kesetimbangan Solusi stasioner π = lim t π(t) tidak tergantung waktu, dengan demikian π Q = 0 Kondisi kesetimbangan tersebut memperlihatkan kesetimbangan antara peluang kejadian masuk dan kejadian keluar dari i.
19 Peluang Kesetimbangan q 0 q 0,1 q 0,2 π Q = (π 0 π 1 π 2 ) q 1,0 q 1 q 1,2 = q 0 π 0 + q 1,0 π 1 + q 2,0 π = 0 q 0,1 π 0 q 1 π 1 + q 2,1 π = 0. Jika bagian yang negatif dipindah ruas ke kanan, maka q 1,0 π 1 + q 2,0 π = q 0 π 0 q 0,1 π 0 + q 2,1 π = q 1 π 1.
20 Peluang Kesetimbangan Secara umum, kita peroleh persamaan kesetimbangan tersebut yaitu Untuk baris ke-j q j π j = i j q j,i π j = i j i j π i q i,j π i q i,j atau dengan kata lain i j π j q j,i = i j π i q i,j
21 Peluang Kesetimbangan Perhatikan sebuah sistem di mana keadaan di setiap waktu direpresentasikan oleh banyaknya orang yang berada dalam sistem tersebut. Misalkan setiap kali ada i orang dalam sistem, maka kedatangan baru masuk ke dalam sistem dengan laju eksponensial sebesar λ i orang meninggalkan sistem dengan laju eksponensial sebesar µ i
22 Peluang Kesetimbangan Dengan kata lain, setiap kali ada i orang di dalam sistem, maka waktu sampai kedatangan berikutnya berdistribusi eksponensial dengan mean 1 λ i dan saling bebas dengan waktu sampai keberangkatan berikutnya di mana keberangkatan tersebut berdistribusi eksponensial dengan mean 1 µ i. Sistem seperti ini disebut proses kelahiran-kematian. Parameter {λ i } i=0 dan {µ i} i=1 secara berturut-turut adalah laju kedatangan (kelahiran) dan laju keberangkatan (kematian).
23 Peluang Kesetimbangan Dengan demikian, sebuah proses kelahiran-kematian merupakan RMWK dengan keadaan {0, 1,...} di mana transisi dari keadaan i hanya bisa berpindah ke keadaan j = i + 1 atau j = i 1. λ i jika j = i + 1 q i,j = µ i jika j = i 1 0 lainnya Atau jika digambarkan
24 Peluang Kesetimbangan Matriks untuk Q adalah λ 0 λ µ 1 (λ 1 + µ 1 ) λ Q = 0 µ 2 (λ 2 + µ 2 ) λ µ 3 (λ 3 + µ 3 )
25 Peluang Kesetimbangan Dengan menggunakan hubungan di atas, maka diperoleh matriks P sebagai berikut µ 1 λ λ 1 +µ λ 1 +µ µ P = 0 2 λ λ 2 +µ λ 2 +µ 2... µ λ 3 +µ
26 Peluang Kesetimbangan Dengan demikian, diperoleh hubungan antara laju transisi dengan peluang transisinya secara umum adalah: P 01 = 1 λ i P i,i+1 =, i > 0 λ i + µ i P i,i 1 = µ i, i > 0 λ i + µ i
27 Peluang Kesetimbangan Peluang Kesetimbangan Untuk menyelesaikan kasus di atas, kita akan menggunakan global balance condition pada keadaan-keadaan 0, 1,..., k. Berdasarkan kesetimbangan proses masuk dan keluar, maka λ k π k = µ k+1 π k+1, k = 0, 1, 2,... Selanjutnya kita peroleh bentuk rekursif π k+1 = λ k µ k+1 π k Berdasarkan persamaan rekursif di atas, kita bisa menuliskan semua peluang keadaan dalam bentuk π 0 yaitu π k = λ k 1 k 1 λ k 2... λ 0 λ i π 0 = π 0 µ k µ k 1... µ 1 µ i+1 i=0
28 Peluang Kesetimbangan Ingat! Peluang keadaan memiliki sifat π k = 1. Dengan menggunakan sifat tersebut, kita peroleh k=0 k=0 π k = π 0 + k=1 1 = π 0 [1 + 1 π 0 = 1 + k=1 Π k 1 i=0 k=1 Π k 1 i=0 λ i µ i+1 π 0 Π k 1 i=0 λ i µ i+1 λ i µ i+1 Setelah memperoleh nilai π 0, maka kita juga bisa mendapatkan nilai dari π k. ]
29 Cara Alternatif Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Selain menggunakan matriks laju transisi, terdapat cara lain untuk mendapatkan peluang keadaan k, yaitu dengan memperhatikan proses masuk dan proses keluar pada proses kelahiran kematian.
30 Peluang Kesetimbangan Keadaan Laju Saat Proses Laju Saat Proses Meninggalkan Sistem = Masuk ke dalam Sistem 0 λ 0 π 0 = µ 1 π 1 k, k 1 (λ k + µ k )π k = λ k 1 π k 1 + µ k+1 π k+1
31 Peluang Kesetimbangan Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, maka dapat dilakukan langkah-langkah berikut: ( ) λ0 π 1 = π 0 µ 1 π k+1 = (λ k + µ k ) µ k+1 π k λ k 1 = λ k µ k+1 π k + π k 1 µ [ k+1 µk π k λ k 1 π k 1 µ k+1 µ k+1 ], k 1
32 Peluang Kesetimbangan Selanjutnya, lakukan proses rekursif sehingga diperoleh ( ) λ0 π 1 = π 0 µ 1 π 2 = λ [ 1 µ1 π 1 + π 1 λ ] 0 π 0 µ 2 µ 2 µ 2 [ ] λ1 λ 0 + λ 0 µ 1 λ 0 µ 1 = π 0 µ 2 µ 1 = λ 1λ 0 µ 2 µ 1 π 0
33 Peluang Kesetimbangan π 3 = λ [ 2 µ2 π 2 + π 2 λ ] 1 π 1 µ 3 µ 3 µ 3 [ ] λ2 λ 1 λ 0 + λ 1 λ 0 µ 2 λ 1 λ 0 µ 2 = π 0 µ 3 µ 2 µ 1. = λ 2λ 1 λ 0 µ 3 µ 2 µ 1 π 0 π k = λ k 1λ k 2... λ 0 µ k µ k 1... µ 1 π 0 = k 1 i=0 λ i µ i+1 π 0 Untuk penyelesaiannya sama dengan cara sebelumnya.
34 Solusi Bergantung-Waktu untuk Proses Kelahiran-Kematian Peluang Kesetimbangan Pada bagian sebelumnya kita telah menentukan solusi π dari proses kelahiran-kematian. Kita dapat pula menentukan bagaimana peluang keadaan yang bergantung dengan waktu, di mana lim π(t) = π. Kita bisa mendapatkan solusi π(t) dengan t menyelesaikan persamaan kesetimbangan berikut: d π(t) = π(t) Q dt dengan Q adalah matriks laju transisi.
35 Peluang Kesetimbangan Maka kita mempunyai sistem persamaan sebagai berikut:
36 Peluang Kesetimbangan Contoh 1: Proses Poisson (Kelahiran Murni) Pandang suatu proses kelahiran dan kematian di mana µ i = 0, i 0 λ i = λ, i 0 Ini merupakan proses di mana keberangkatan/kepergian tidak pernah terjadi dan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial dengan mean 1 λ. Proses seperti ini disebut sebagai proses Poisson (disebut juga sebagai proses kelahiran murni).
37 Peluang Kesetimbangan Contoh 2: Proses Kelahiran dengan Laju Kelahiran Linier Pandang sebuah populasi di mana anggota populasi tersebut dapat melahirkan anggota baru tapi tidak bisa mati. Jika perilaku setiap anggota saling bebas dengan anggota lain dan lamanya waktu melahirkan berdistribusi eksponensial dengan mean 1 λ. Jika X (t) adalah ukuran populasi pada waktu t, maka {X (t), t 0} adalah proses kelahiran murni dengan λ i = iλ, i 0. Ini menunjukkan bahwa jika populasi terdiri atas i orang dan masing-masing melahirkan dengan laju λ, maka laju total di mana proses kelahiran terjadi adalah iλ. Proses kelahiran ini dikenal dengan proses Yule (Yule process).
38 Contoh 3: Sistem Antrian Server Tunggal Peluang Kesetimbangan Misalkan pelanggan datang pada suatu stasiun layanan dengan server tunggal berdasarkan proses Poisson dengan laju λ. Waktu layanan server tersebut berdistribusi eksponensial dengan laju µ. Sistem seperti ini dinamakan dengan sistem antrian server tunggal atau biasa dinotasikan dengan sistem antrian M/M/1.
39 Peluang Kesetimbangan Keadaan Laju Saat Proses Laju Saat Proses Meninggalkan Sistem = Masuk ke dalam Sistem 0 λπ 0 = µπ 1 k, k 1 (λ + µ)π k = λπ k 1 + µπ k+1
40 Peluang Kesetimbangan Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, maka kita dapat menuliskannya sebagai π 1 = λ µ π 0 π k+1 = λ µ π k + [ π k λ ] µ π k 1, k 1
41 Peluang Kesetimbangan Kemudian substitusikan dalam bentuk π 0, maka diperoleh π 1 = λ µ π 0 π 2 = λ [ µ π 1 + π 1 λ ] µ π 0 = λ ( ) λ 2 µ π 1 = π 0 µ π 3 = λ [ µ π 2 + π 2 λ ] µ π 1 = λ ( ) λ 3 µ π 2 = π 0 µ. π k+1 = λ µ π k + [ π k λ ] µ π k 1 = λ µ π k = ( ) λ k+1 π 0 µ
42 Peluang Kesetimbangan Untuk menentukan π 0 kita gunakan fakta bahwa penjumlahan seluruh π k bernilai 1, maka 1 = π k = k=0 k=0 ( ) λ k+1 π 0 = π 0 µ 1 λ µ π 0 = 1 λ µ ( ) λ k ( π k = 1 λ ), k 1 µ µ
43 Contoh 4 Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Misalkan suatu proses kelahiran dan kematian memiliki laju kelahiran konstan λ = 2 dan laju kematian konstan µ = 3. Tentukan nilai π 0 dan π k pada model tersebut dengan menggunakan analisis persamaan kesetimbangan!
44 Peluang Kesetimbangan Solusi: Perhatikan proses berikut
45 Peluang Kesetimbangan Dengan menggunakan persamaan kesetimbangan diperoleh 2π 0 = 3π 1 π 1 = 2 3 π 0 2π 1 = 3π 2 π 2 = 2 3 π 1 =. 2π k 1 = 3π k π k = ( ) 2 k π 0 3 ( ) 2 2 π 0 3
46 Peluang Kesetimbangan Selanjutnya, gunakan sifat π k = 1 π k = k=0 k=0 k=0 ( ) 2 k π 0 3 ( ) 2 k 3 k=1 ( ) ] 2 k 3 1 = π 0 + π 0 1 = π 0 [1 + π 0 = k=1 k=1 ( 2 ) = 1 k = 1 3 3
47 Peluang Kesetimbangan Substitusikan nilai π 0 ke dalam persamaan π k sehingga diperoleh π k = ( ) 2 k π 0 = ( ) 2 k 3
48 Contoh 5 Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Misalkan di sebuah Bank terdapat tiga orang teller dan dua buah kursi tunggu. Misalkan setiap nasabah datang dengan laju λ dan waktu layanan di setiap teller adalah sebesar µ. Hitunglah peluang bahwa tidak ada nasabah yang datang ke Bank jika diketahui λ = 1 dan µ = 2! Tentukan pula peluang terdapat 4 nasabah di dalam Bank!
49 Peluang Kesetimbangan Solusi: Perhatikan ilustrasi berikut:
50 Peluang Kesetimbangan Jadi, prosesnya dapat digambarkan dalam diagram:
51 Peluang Kesetimbangan Maka λπ 0 = µπ 1 π 1 = λ µ π 0 λπ 1 = 2µπ 2 λπ 2 = 3µπ 3 λπ 3 = 3µπ 4 λπ 4 = 3µπ 5 π 2 = λ 2µ π 1 = 1 2 π 3 = λ 3µ π 2 = 1 6 π 4 = λ 3µ π 3 = 1 18 π 5 = λ 3µ π 4 = 1 54 ( ) λ 2 π 0 µ ( ) λ 3 π 0 µ ( ) λ 4 π 0 µ ( ) λ 5 π 0 µ
52 Peluang Kesetimbangan Dengan menggunakan sifat jumlah total peluang maka diperoleh [ π λ µ + 1 ( ) λ ( ) λ ( ) λ ( ) ] λ 5 = 1 2 µ 6 µ 18 µ 54 µ Diketahui λ = 1 dan µ = 2, maka peluang tidak ada nasabah datang ke Bank adalah [ π ] = π 0 = 1 π 0 = 0.606
53 Peluang Kesetimbangan Selanjutnya, peluang terdapat empat nasabah di Bank adalah: π 4 = 1 54 ( ) λ 5 π 0 µ = =
54 Peluang Kesetimbangan Contoh 6: Model Perbaikan Sebuah Mesin Di dalam sebuah toko terdapat M mesin dan seorang tukang. Misalkan lamanya waktu untuk masing-masing mesin bekerja sebelum akhirnya rusak berdistribusi Eksponensial dengan rate λ dan lamanya waktu mesin tersebut diperbaiki oleh tukang berdistribusi Eksponensial dengan rate µ. Berapa peluang bahwa sebanyak n mesin akan tidak digunakan? Berapa rata-rata banyaknya mesin yang tidak digunakan? (Petunjuk: Gunakan persamaan kesetimbangan untuk menyelesaikan masalah tersebut, keadaannya menyatakan banyaknya mesin yang rusak).
55 Peluang Kesetimbangan Solusi: Misalkan sistem berada di keadaan n jika sebanyak n mesin tidak digunakan, maka proses tersebut merupakan proses birth and death dengan parameter: µ n = µ n 1 { (M n)λ n M λ n = 0 n > M
56 Peluang Kesetimbangan Proses tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:
57 Peluang Kesetimbangan Dengan menggunakan persamaan kesetimbangan maka, Mλπ 0 = µπ 1 π 1 = Mλ µ π 0 (M 1)λπ 1 = µπ 2 π 2 = (M 2)λπ 2 = µπ 3 π 3 = (M n)λπ n = µπ n+1. (M 1)λ (M 1)Mλ2 π 1 = µ µ 2 π 0 (M 2)λ (M 2)(M 1)Mλ3 π 2 = µ µ 3 π 0
58 Peluang Kesetimbangan Secara umum diperoleh π n yaitu (M n + 1)(M n + 2)... (M 1)Mλn π n = µ n π 0 ( ) M! λ n = π 0 (M n)! µ
59 Peluang Kesetimbangan Selanjutnya gunakan sifat M π n = 1 sehingga diperoleh: M π n = n=0 M n=0 n=0 M! (M n)! 1 = π 0 + π 0 M 1 = π 0 [1 + π 0 = 1 + M n=1 n=1 M n=1 1 ( ) λ n π 0 µ M! (M n)! M! (M n)! ( ) n M! λ (M n)! µ ( ) λ n µ ( ) ] λ n µ
60 Peluang Kesetimbangan Substitusikan nilai π 0 ke dalam persamaan π n dan diperoleh peluang bahwa sebanyak n mesin tidak digunakan yaitu π n = M! (M n)! ( ) λ n π 0 = µ ( ) n M! λ (M n)! µ 1 + M n=1 M! (M n)! ( λ µ ) n
61 Peluang Kesetimbangan Selanjutnya, rata-rata banyaknya mesin yang tidak digunakan adalah M ( ) n M n M! λ (M n)! µ n=0 nπ n = n=0 1 + M ( ) n M! λ (M n)! µ n=1
62 Contoh 7 Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Di sebuah salon terdapat dua orang tukang cukur (Andi dan Bob) dan sebuah bangku tunggu untuk pelanggan. Jika seorang pelanggan datang ketika ada 3 pelanggan di dalam salon, maka pelanggan tersebut akan pergi.
63 Peluang Kesetimbangan Para pelanggan datang berdasarkan proses Poisson dengan waktu antar kedatangan 30 menit. Andi melayani pelanggan dengan laju 2 orang/jam, sedangkan Bob melayani pelanggan dengan laju 1 orang/jam. Karena Andi lebih cepat daripada Bob, maka jika hanya terdapat seorang pelanggan di dalam salon, Andilah yang akan melayani pelanggan tersebut.
64 Peluang Kesetimbangan Asumsikan bahwa waktu antar kedatangan dan waktu layanan adalah peubah acak-peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi Eksponensial. a. Gambarkan diagram dari keadaan-keadaan yang mungkin terjadi! b. Berapa peluang bahwa salon tersebut kosong? c. Misalkan X menyatakan banyaknya pelanggan yang berada di dalam salon. Berapa peluang dari X untuk masing-masing k, k = 0, 1, 2, 3? d. Berapa peluang bahwa seorang pelanggan yang datang akan meninggalkan salon?
65 Peluang Kesetimbangan Solusi: a. Diketahui: λ i = 2 µ 1 = µ A = 2 µ 2 = µ 3 = 3 Karena untuk i = 2, 3 maka waktu layanannya adalah D = min(t A, T B ), sehingga D Ekps(1 + 2 = 3).
66 Peluang Kesetimbangan b. Peluang bahwa salon tersebut kosong adalah π 0, maka dengan menggunakan persamaan kesetimbangan diperoleh 2π 0 = 2π 1 π 1 = π 0 2π 1 = 3π 2 π 2 = 2 3 π 1 = 2 3 π 0 Gunakan fakta bahwa 2π 2 = 3π 3 π 3 = 2 3 π 2 = 4 9 π 0 3 i=0 π i = 1 maka π 0 + π 1 + π 2 + π 3 = 1 π 0 + π π π 0 = π 0 = 1 π 0 = 9 28
67 Peluang Kesetimbangan c. Misalkan X menyatakan banyaknya pelanggan yang berada di dalam salon, maka peluang dari X untuk masing-masing k, k = 0, 1, 2, 3 adalah k π k = P(X = k) 0 π 0 = π 1 = π 0 = π 2 = 2 3 π 0 = π 3 = 4 9 π 0 =
68 Peluang Kesetimbangan d. Peluang bahwa seorang pelanggan yang datang akan meninggalkan salon, artinya sudah terdapat 3 pelanggan yang berada di dalam salon, maka π 3 = P(X = 3) = 4 28 = 1 7
69 Contoh 8: Kelahiran Murni Peluang Kesetimbangan
70 Ross, Sheldon M Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J Queueing Theory/ Probability Theory.
Pengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai rantai markov waktu kontinu yang
Διαβάστε περισσότεραKalkulus 1. Sistem Bilangan Real. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Kalkulus 1 Sistem Bilangan Real Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa
Διαβάστε περισσότεραA. Distribusi Gabungan
HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua Jika S merupakan
Διαβάστε περισσότεραSebaran Peluang Gabungan
Sebaran Peluang Gabungan Peubah acak dan sebaran peluangnya terbatas pada ruang sampel berdimensi satu. Dengan kata lain, hasil percobaan berasal dari peubah acak yan tunggal. Tetapi, pada banyak keadaan,
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Multivariabel I
Fungsi Dua Peubah atau Lebih dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 dengan Dua Peubah Real dengan Dua Peubah Real Pada fungsi satu peubah f : D R R D adalah daerah asal (domain) suatu fungsi
Διαβάστε περισσότεραMatematika
Sistem Bilangan Real D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa D3 Analis Kimia angkatan
Διαβάστε περισσότεραPengantar Proses Stokastik
Bab 3: Diskrit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Perilaku bunuh diri kini kian menjadi-jadi. Hesti (nama sebenarnya) adalah sebuah contoh. Dia pernah melakukan percobaan bunuh diri,
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Multivariabel I
Limit dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Operasi Aljabar pada Pembahasan pada limit untuk fungsi dua peubah adalah memberikan pengertian mengenai lim f (x, y) = L (x,y) (a,b) Masalahnya adalah
Διαβάστε περισσότεραPengantar Proses Stokastik
Bab 3: Diskrit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Matriks Peluang Transisi Matriks Stokastik Chapman-Komogorov Equations Peluang Transisi Tak Bersyarat Perilaku bunuh diri kini kian
Διαβάστε περισσότεραSistem Koordinat dan Fungsi. Matematika Dasar. untuk Fakultas Pertanian. Uha Isnaini. Uhaisnaini.com. Matematika Dasar
untuk Fakultas Pertanian Uhaisnaini.com Contents 1 Sistem Koordinat dan Fungsi Sistem Koordinat dan Fungsi Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam
Διαβάστε περισσότεραKonvergen dalam Peluang dan Distribusi
limiting distribution Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika July 5, 2014 Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back Outline 1 Review 2 Motivasi
Διαβάστε περισσότεραKalkulus 1. Sistem Koordinat. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia. Sistem Koordinat
Kalkulus 1 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam sistem koordinat, yaitu:
Διαβάστε περισσότεραS T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA email : zeamays_hibrida@yahoo.com FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2009 II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan
Διαβάστε περισσότεραMA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan Eks
MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan SMART AND STOCHASTIC MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan SMART AND STOCHASTIC Ilustrasi Fungsi Peluang Bersama Peluang Bersama - Diskrit
Διαβάστε περισσότεραS T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2010 SEBARAN PELUANG II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan.
Διαβάστε περισσότεραS T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011 SEBARAN PELUANG II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan.
Διαβάστε περισσότεραSebaran Kontinu HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND LOGO
Sebaran Kontinu HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND Kompetensi menguraikan ciri-ciri suatu kurva normal menentukan luas daerah dibawah kurva normal menerapkan sebaran normal dalam
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Elementer. Nanda Arista Rizki, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman 2018
Kalkulus Elementer Nanda Arista Rizki, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman 2018 Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 1/83 Referensi: 1 Dale Varberg, Edwin
Διαβάστε περισσότεραPERSAMAAN KUADRAT. 06. EBT-SMP Hasil dari
PERSAMAAN KUADRAT 0. EBT-SMP-00-8 Pada pola bilangan segi tiga Pascal, jumlah bilangan pada garis ke- a. 8 b. 6 c. d. 6 0. EBT-SMP-0-6 (a + b) = a + pa b + qa b + ra b + sab + b Nilai p q = 0 6 70 0. MA-77-
Διαβάστε περισσότεραPersamaan Diferensial Parsial
Persamaan Diferensial Parsial Turunan Parsial f (, ) Jika berubah ubah sedangkan tetap, adalah fungsi dari dan turunanna terhadap adalah f (, ) f (, ) f (, ) lim 0 disebut turunan parsialpertama dari f
Διαβάστε περισσότεραTEORI PELUANG* TKS 6112 Keandalan Struktur. Pendahuluan
TKS 6112 Keandalan Struktur TEORI PELUANG* * www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Pendahuluan Sebuah bangunan dirancang melalui serangkaian perhitungan yang cermat terhadap beban-beban rencana dan bangunan tersebut
Διαβάστε περισσότεραTINJAUAN PUSTAKA. Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur. bilangan riil (Purcell dan Varberg, 1987).
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol dinamakan bilangan
Διαβάστε περισσότεραPumping Lemma. Semester Ganjil 2013 Jum at, Dosen pengasuh: Kurnia Saputra ST, M.Sc
Semester Ganjil 2013 Jum at, 08.11.2013 Dosen pengasuh: Kurnia Saputra ST, M.Sc Email: kurnia.saputra@gmail.com Jurusan Informatika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Syiah Kuala
Διαβάστε περισσότεραPENGEMBANGAN INSTRUMEN
PENGEMBANGAN INSTRUMEN OLEH : IRFAN (A1CI 08 007) PEND. MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALUOLEO KENDARI 2012 A. Definisi Konseptual Keterampilan sosial merupakan kemampuan
Διαβάστε περισσότεραANALISIS LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM
ANALSS LTA ELEKTK ANALSS LTA ELEKTK OBJEKTF AM Unit Memahami konsep-konsep asas Litar Sesiri, Litar Selari, Litar Gabungan dan Hukum Kirchoff. OBJEKTF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Menerangkan
Διαβάστε περισσότεραTH3813 Realiti Maya. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun
TH383 Realiti Maa Transformasi 3D menggunakan multiplikasi matriks untuk hasilkan kompaun transformasi menggunakan kompaun transformasi - hasilkan sebarang transformasi dan ungkapkan sebagai satu transformasi
Διαβάστε περισσότεραartinya vektor nilai rata-rata dari kelompok ternak pertama sama dengan kelompok ternak kedua artinya kedua vektor nilai-rata berbeda
LAMPIRAN 48 Lampiran 1. Perhitungan Manual Statistik T 2 -Hotelling pada Garut Jantan dan Ekor Tipis Jantan Hipotesis: H 0 : U 1 = U 2 H 1 : U 1 U 2 Rumus T 2 -Hotelling: artinya vektor nilai rata-rata
Διαβάστε περισσότεραLOGIKA MATEMATIKA. MODUL 1 Himpunan. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2012 年 04 月 08 日 ( 日 )
LOGIKA MATEMATIKA MODUL 1 Himpunan Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2012 年 04 月 08 日 ( 日 ) Himpunan I. Definisi dan Notasi Himpunan adalah kumpulan sesuatu yang didefinisikan
Διαβάστε περισσότεραLABORATORIUM STATISTIK DAN OPTIMASI INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAWA TIMUR
TNR 1 space 1.15 LABORATORIUM STATISTIK DAN OPTIMASI INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAWA TIMUR LAPORAN RESMI MODUL III TNR 1 Space.0 STATISTIK
Διαβάστε περισσότεραBilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat. March 5, 2016
Bilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo 30115301 Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat March 5, 2016 Asal Usul Bilangan Euler e 1 1. Bilangan Euler 2 3 4 Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284...
Διαβάστε περισσότεραMA5283 STATISTIKA Bab 2 Peluang
MA5283 STATISTIKA Bab 2 Peluang Orang Cerdas Belajar Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peluang bersyarat, Teorema Bayes. Tujuan Silabus dan Tujuan 1 Mendefinisikan
Διαβάστε περισσότεραINVESTIGASI EMPIRIS KEKUATAN UJI KPSS. Oleh MUHAMMAD FAJAR
INVESTIGASI EMPIRIS KEKUATAN UJI KPSS Oleh MUHAMMAD FAJAR 2016 ABSTRAK Judul Penelitian : Investigasi Empirik Kekuatan Uji KPSS Kata Kunci : Uji KPSS, Data Generating Process, Persentase Keputusan Salah
Διαβάστε περισσότεραTransformasi Koordinat 2 Dimensi
Transformasi Koordinat 2 Dimensi RG141227 - Sistem Koordinat dan Transformasi Semester Gasal 2016/2017 Ira M Anjasmara PhD Jurusan Teknik Geomatika Sistem Koordinat 2 Dimensi Digunakan untuk mempresentasikan
Διαβάστε περισσότερα2 m. Air. 5 m. Rajah S1
FAKULI KEJURUERAAN AL 1. Jika pintu A adalah segi empat tepat dan berukuran 2 m lebar (normal terhadap kertas), tentukan nilai daya hidrostatik yang bertindak pada pusat tekanan jika pintu ini tenggelam
Διαβάστε περισσότεραHendra Gunawan. 16 April 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 16 April 014 Kuliah yang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13. Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi
Διαβάστε περισσότερα(a) Nyatakan julat hubungan itu (b) Dengan menggunakan tatatanda fungsi, tulis satu hubungan antara set A dan set B. [2 markah] Jawapan:
MODUL 3 [Kertas 1]: MATEMATIK TAMBAHAN JPNK 015 Muka Surat: 1 Jawab SEMUA soalan. 1 Rajah 1 menunjukkan hubungan antara set A dan set B. 6 1 Set A Rajah 1 4 5 Set B (a) Nyatakan julat hubungan itu (b)
Διαβάστε περισσότεραPeta Konsep. 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI
Bab 5 FUNGSI TRIGONOMETRI Peta Konsep 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 5. 6 Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI 5. Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 5.4 Identiti Asas 5.5
Διαβάστε περισσότεραJika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.
BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN Sesi 1 Taburan Binomial A. Pembolehubah rawak diskret Contoh Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua
Διαβάστε περισσότεραJika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.
BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN Sesi 1 Taburan Binomial A. Pembolehubah rawak diskret Contoh Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua
Διαβάστε περισσότεραKALKULUS LANJUT. Integral Lipat. Resmawan. 7 November Universitas Negeri Gorontalo. Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November / 57
KALKULUS LANJUT Integral Lipat Resmawan Universitas Negeri Gorontalo 7 November 218 Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 1 / 57 13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.5
Διαβάστε περισσότεραModel Mangsa Pemangsa dengan Pengaruh Musim
Model Mangsa Pemangsa dengan Pengaruh Musim Yudi Arpa #1, Muhammad Subhan #, Riry Sriningsih # #Jurusan Matematika, Universitas Negeri Padang Jl. Prof. Dr. Hamka Air Tawar Padang, 25131, Telp. (0751) 444648,
Διαβάστε περισσότεραKONSEP ASAS & PENGUJIAN HIPOTESIS
KONSEP ASAS & PENGUJIAN HIPOTESIS HIPOTESIS Hipotesis = Tekaan atau jangkaan terhadap penyelesaian atau jawapan kepada masalah kajian Contoh: Mengapakah suhu bilik kuliah panas? Tekaan atau Hipotesis???
Διαβάστε περισσότεραDiagnostic Statistical Manual of Mental Disorder (DSM IV,1994)
Autistic Spectrum Disorder 1. Autistic Disorder (Autism) 2. Non-Autistic : -Pervasive Developmental Disorder -Asperger syndrome -Ratt s Syndrome -Fragile x Syndrome -Childhood Disintegrative Disorder Diagnostic
Διαβάστε περισσότεραRUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN
Jurnal Teknologi, 38(C) Jun 003: 5 8 Universiti Teknologi Malaysia RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN 5 RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN YEOH WENG KANG & JAMALUDIN MD. ALI Abstrak. Rumus untuk
Διαβάστε περισσότεραKeterusan dan Keabadian Jisim
Pelajaran 8 Keterusan dan Keabadian Jisim OBJEKTIF Setelah selesai mempelajari Pelajaran ini anda sepatutnya dapat Mentakrifkan konsep kadar aliran jisim Mentakrifkan konsep kadar aliran Menerangkan konsep
Διαβάστε περισσότερα( 2 ( 1 2 )2 3 3 ) MODEL PT3 MATEMATIK A PUSAT TUISYEN IHSAN JAYA = + ( 3) ( 4 9 ) 2 (4 3 4 ) 3 ( 8 3 ) ( 3.25 )
(1) Tentukan nilai bagi P, Q, dan R MODEL PT MATEMATIK A PUSAT TUISYEN IHSAN JAYA 1 P 0 Q 1 R 2 (4) Lengkapkan operasi di bawah dengan mengisi petak petak kosong berikut dengan nombor yang sesuai. ( 1
Διαβάστε περισσότεραSEE 3533 PRINSIP PERHUBUNGAN Bab III Pemodulatan Sudut. Universiti Teknologi Malaysia
SEE 3533 PRINSIP PERHUBUNGAN Bab III Universiti Teknologi Malaysia 1 Pengenalan Selain daripada teknik pemodulatan amplitud, terdapat juga teknik lain yang menggunakan isyarat memodulat untuk mengubah
Διαβάστε περισσότεραTransformasi Koordinat 3 Dimensi
Transformasi Koordinat 3 Dimensi RG141227 - Sistem Koordinat dan Transformasi Semester Gasal 2016/2017 Ira M Anjasmara PhD Jurusan Teknik Geomatika Sistem Koordinat Tiga Dimensi (3D) Digunakan untuk mendeskripsikan
Διαβάστε περισσότεραTegangan Permukaan. Kerja
Tegangan Permukaan Kerja Cecair lebih cenderung menyesuaikan bentuknya ke arah yang luas permukaan yang minimum. Titisan cecair berbentuk sfera kerana nisbah luas permukaan terhadap isipadu adalah kecil.
Διαβάστε περισσότεραSMJ minyak seperti yang dilakarkan dalam Rajah S2. Minyak tersebut mempunyai. bahagian hujung cakera. Dengan data dan anggapan yang dibuat:
SOALAN 1 Cakera dengan garis pusat d berputar pada halaju sudut ω di dalam bekas mengandungi minyak seperti yang dilakarkan dalam Rajah S2. Minyak tersebut mempunyai kelikatan µ. Anggap bahawa susuk halaju
Διαβάστε περισσότεραBAB 4 PERENCANAAN TANGGA
BAB 4 PERENCANAAN TANGGA 4. Uraian Umum Tangga merupakan bagian dari struktur bangunan bertingkat yang penting sebagai penunjang antara struktur bangunan lantai dasar dengan struktur bangunan tingkat atasnya.
Διαβάστε περισσότεραBAB 3 PERENCANAAN TANGGA
BAB 3 PERENCANAAN TANGGA 3.1. Uraian Umum Semakin sedikit tersedianya luas lahan yang digunakan untuk membangun suatu bangunan menjadikan perencana lebih inovatif dalam perencanaan, maka pembangunan tidak
Διαβάστε περισσότεραBAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a)
Διαβάστε περισσότεραRajah S1 menunjukkan talisawat dari jenis rata dengan dua sistem pacuan, digunakan untuk
SOALAN 1 Rajah S1 menunjukkan talisawat dari jenis rata dengan dua sistem pacuan, digunakan untuk menyambungkan dua takal yang terpasang kepada dua aci selari. Garispusat takal pemacu, pada motor adalah
Διαβάστε περισσότεραBAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a)
Διαβάστε περισσότεραBab 1 Mekanik Struktur
Bab 1 Mekanik Struktur P E N S Y A R A H : D R. Y E E M E I H E O N G M O H D. N O R H A F I D Z B I N M O H D. J I M A S ( D B 1 4 0 0 1 1 ) R E X Y N I R O AK P E T E R ( D B 1 4 0 2 5 9 ) J O H A N
Διαβάστε περισσότεραUNTUK EDARAN DI DALAM JABATAN FARMASI SAHAJA
UNTUK EDARAN DI DALAM JABATAN FARMASI SAHAJA KEPUTUSAN MESYUARAT KALI KE 63 JAWATANKUASA FARMASI DAN TERAPEUTIK HOSPITAL USM PADA 24 SEPTEMBER 2007 (BAHAGIAN 1) DAN 30 OKTOBER 2007 (BAHAGIAN 2) A. Ubat
Διαβάστε περισσότεραBAB 4 PERENCANAAN TANGGA
BAB 4 PERENCANAAN TANGGA 4.1. Uraian Umum Tangga merupakan bagian dari struktur bangunan bertingkat yang penting sebagai penunjang antara struktur bangunan lantai dasar dengan struktur bangunan tingkat
Διαβάστε περισσότεραPerubahan dalam kuantiti diminta bagi barang itu bergerak disepanjang keluk permintaan itu.
BAB 3 : ISI RUMAH SEBAGAI PENGGUNA SPM2004/A/S3 (a) Rajah tersebut menunjukkan keluk permintaan yang mencerun ke bawah dari kiri ke kanan. Ia menunjukkan hubungan negatif antara harga dengan kuantiti diminta.
Διαβάστε περισσότεραADLN Perpustakaan Universitas Airlangga. Misalkan terdapat N buah besaran A µ dalam sistem koordinat {x µ } dan N
Lampiran 1 Tensor dan Operasinya Skalar,Vektor dan Tensor Misalkan terdapat N buah besaran A µ dalam sistem koordinat {x µ } dan N buah besaran A µ dalam sistem koordinat lain {x µ } dengan µ = 1, 2, 3...,
Διαβάστε περισσότεραDETERMINATION OF CFRP PLATE SHEAR MODULUS BY ARCAN TEST METHOD SHUKUR HJ. ABU HASSAN
DETERMINATION OF CFRP PLATE SHEAR MODULUS BY ARCAN TEST METHOD SHUKUR HJ. ABU HASSAN OBJEKTIF KAJIAN Mendapatkan dan membandingkan nilai tegasan ricih, τ, dan modulus ricih, G, bagi plat CFRP yang berorientasi
Διαβάστε περισσότεραUnit PENGENALAN KEPADA LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM OBJEKTIF KHUSUS
PENGENALAN KEPADA LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM Memahami konsep-konsep asas litar elektrik, arus, voltan, rintangan, kuasa dan tenaga elektrik. Unit OBJEKTIF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Mentakrifkan
Διαβάστε περισσότεραUkur Kejuruteraan DDPQ 1162 Ukur Tekimetri. Sakdiah Basiron
Ukur Kejuruteraan DDPQ 1162 Ukur Tekimetri Sakdiah Basiron TEKIMETRI PENGENALAN TAKIMETRI ADALAH SATU KAEDAH PENGUKURAN JARAK SECARA TIDAK LANGSUNG BAGI MENGHASILKAN JARAK UFUK DAN JARAK TEGAK KEGUNAAN
Διαβάστε περισσότεραKEKUATAN KELULI KARBON SEDERHANA
Makmal Mekanik Pepejal KEKUATAN KELULI KARBON SEDERHANA 1.0 PENGENALAN Dalam rekabentuk sesuatu anggota struktur yang akan mengalami tegasan, pertimbangan utama ialah supaya anggota tersebut selamat dari
Διαβάστε περισσότεραEEU104 - Teknologi Elektrik - Tutorial 11; Sessi 2000/2001 Litar magnet
UNIVERSITI SAINS MALAYSIA PUSAT PENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK EEU104 - Teknologi Elektrik - Tutorial 11; Sessi 2000/2001 Litar magnet 1. Satu litar magnet mempunyai keengganan S = 4 x
Διαβάστε περισσότεραMODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini)
MODUL 3 [Kertas 2]: MATEMATIK TAMBAHAN JPNK 2015 Muka Surat: 1 1. Selesaikan persamaan serentak yang berikut: MODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini) 2x y = 1,
Διαβάστε περισσότεραANALISIS KORELASI DEBIT BANJIR RENCANA UNTUK BERBAGAI KONDISI KETERSEDIAAN DATA DI DAERAH KHUSUS IBUKOTA JAKARTA ABSTRAK
ANALISIS KORELASI DEBIT BANJIR RENCANA UNTUK BERBAGAI KONDISI KETERSEDIAAN DATA DI DAERAH KHUSUS IBUKOTA JAKARTA Agung M Alamsyah NRP : 9521037 NIRM : 41077011950298 Pembimbing : Dr. Ir. Agung Bagiawan
Διαβάστε περισσότεραCiri-ciri Taburan Normal
1 Taburan Normal Ciri-ciri Taburan Normal Ia adalah taburan selanjar Ia adalah taburan simetri Ia adalah asimtot kepada paksi Ia adalah uni-modal Ia adalah keluarga kepada keluk Keluasan di bawah keluk
Διαβάστε περισσότεραLITAR ELEKTRIK 1 EET101/4. Pn. Samila Mat Zali
LITAR ELEKTRIK 1 EET101/4 Pn. Samila Mat Zali STRUKTUR KURSUS Peperiksaan Akhir : 50% Ujian teori : 10% Mini projek : 10% Amali/praktikal : 30% 100% OBJEKTIF KURSUS Mempelajari komponen-komponen utama
Διαβάστε περισσότεραSTRUKTUR BAJA 2 TKS 1514 / 3 SKS PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS JEMBER
STRUKTUR BAJA 2 TKS 1514 / 3 SKS PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS JEMBER Winda Tri Wahyuningtyas Gati Annisa Hayu Plate Girder Plate girder adalah balok besar yang dibuat dari susunan yang disatukan
Διαβάστε περισσότεραTOPIK 1 : KUANTITI DAN UNIT ASAS
1.1 KUANTITI DAN UNIT ASAS Fizik adalah berdasarkan kuantiti-kuantiti yang disebut kuantiti fizik. Secara am suatu kuantiti fizik ialah kuantiti yang boleh diukur. Untuk mengukur kuantiti fizik, suatu
Διαβάστε περισσότεραMENGENALI FOTON DAN PENGQUANTUMAN TENAGA
MENGENALI FOTON DAN PENGQUANTUMAN TENAGA Oleh Mohd Hafizudin Kamal Sebelum wujudnya teori gelombang membujur oleh Huygens pada tahun 1678, cahaya dianggap sebagai satu aliran zarah-zarah atau disebut juga
Διαβάστε περισσότεραEMT361 Keboleharapan & Analisis Kegagalan. Dr Zuraidah Mohd Zain Julai, 2005
EMT361 Keboleharapan & Analisis Kegagalan Dr Zuraidah Mohd Zain zuraidah@kukum.edu.my Julai, 2005 Overview untuk minggu 1-3 Minggu 1 Overview terma, takrifan kadar kegagalan, MTBF, bathtub curve; taburan
Διαβάστε περισσότεραKlasifikasi bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua
Matematika, 1999, Jilid 15, bil. 1, hlm. 37 43 c Jabatan Matematik, UTM. Klasifikasi bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua Nor Haniza Sarmin Jabatan Matematik, Fakulti
Διαβάστε περισσότεραPembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid
Matematika, 003, Jilid 19, bil., hlm. 11 138 c Jabatan Matematik, UTM. Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid Liau Lin Yun & Tahir Ahmad Jabatan Matematik, Fakulti Sains Universiti Teknologi Malasia
Διαβάστε περισσότεραKemahiran Hidup Bersepadu Kemahiran Teknikal 76
LOGO SEKOLAH Nama Sekolah UJIAN BERTULIS 2 Jam Kemahiran Hidup Bersepadu Kemahiran Teknikal 76 NAMA :..... ANGKA GILIRAN : TERHAD 2 BAHAGIAN A [60 markah] Jawab semua soalan pada bahagian ini di ruang
Διαβάστε περισσότεραJawab semua soalan. P -1 Q 0 1 R 2
Tunjukkan langkah langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. 1. (a) Tentukan nilai P, Q dan R Jawab semua
Διαβάστε περισσότεραKURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH DUNIA MUZIK
KEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA KURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH DUNIA MUZIK TAHUN TIGA DOKUMEN STANDARD KURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH (KSSR) MODUL TERAS TEMA DUNIA MUZIK TAHUN TIGA BAHAGIAN PEMBANGUNAN
Διαβάστε περισσότεραBAB III METODOLOGI PERENCANAAN. Bagan alir (flow chart) adalah urutan proses penyelesaian masalah.
BAB III METODOLOGI PERENCANAAN 3.1 Bagan Alir Perencanaan Ulang Bagan alir (flow chart) adalah urutan proses penyelesaian masalah. MULAI Data struktur atas perencanaan awal, As Plan Drawing Penentuan beban
Διαβάστε περισσότεραSOALMANDIRITINGKATSMA/MA/Sederajat ASAHTERAMPILMATEMATIKA(ASTRAMATIKA)XX I
SOALMANDIRITINGKATSMA/MA/Sederajat ASAHTERAMPILMATEMATIKA(ASTRAMATIKA)XX I 1-cos(x-a) 1.Hasildari lim =. x a (x-a)sin3(x-a) 2.Jumlahnsukupertamaderetaritmetikaadalah Sn =5 n 2-7n. Jikaasukupertamadanbbedaderettersebut,maka13a+3b=.
Διαβάστε περισσότεραPEPERIKSAAN PERCUBAAN SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2005
3472/2 Matematik Tambahan Kertas 2 September 2005 2½ jam MAKTAB RENDAH SAINS MARA 3472/2 PEPERIKSAAN PERCUBAAN SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2005 MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 Dua jam tiga puluh minit 3 4 7 2
Διαβάστε περισσότεραLITAR ARUS ULANG ALIK (AU)
TA AUS UANG AK (AU) TA AUS UANG AK (AU) OBJEKTF AM Memahami litar asas arus Ulang alik dan litar sesiri yang mengandungi, dan. Unit OBJEKTF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Menjelaskan bahawa dalam
Διαβάστε περισσότεραKuliah 4 Rekabentuk untuk kekuatan statik
4-1 Kuliah 4 Rekabentuk untuk kekuatan statik 4.1 KEKUATAN STATIK Beban statik merupakan beban pegun atau momen pegun yang bertindak ke atas sesuatu objek. Sesuatu beban itu dikatakan beban statik sekiranya
Διαβάστε περισσότερα-9, P, -1, Q, 7, 11, R
Tunjukkan langkah-langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. Jawab semua soalan 1 (a) Rajah 1(a) menunjukkan
Διαβάστε περισσότεραPERENCANAAN JALAN ALTERNATIF & PERKERASAN LENTUR TANJUNG SERDANG KOTABARU,KALIMANTAN SELATAN KM KM 7+000
PERENCANAAN JALAN ALTERNATIF & PERKERASAN LENTUR TANJUNG SERDANG KOTABARU,KALIMANTAN SELATAN KM 4+000 KM 7+000 LATAR BELAKANG TUJUAN DAN BATASAN MASALAH METODOLOGI PERENCANAAN HASIL Semakin meningkatnya
Διαβάστε περισσότεραTabel 1 Kombinasi perlakuan kompos, unsur kelumit, dan waktu penyemprotan
Rumus kandungan gula : Bks + K - Bk ------------------ x % Bs Keterangan : Bks = kertas saring. K = Kristal. Bk = kosong. Bs = sampel. Tabel Kombinasi perlakuan kompos, unsur kelumit, dan waktu penyemprotan
Διαβάστε περισσότεραELEKTRIK KEMAHIRAN TEKNIKAL : BAB 1
MAKTAB RENDAH Add SAINS your company MARA BENTONG slogan Bab 1 ELEKTRIK KEMAHIRAN TEKNIKAL : BAB 1 LOGO Kandungan 1 Jenis Litar Elektrik 2 Meter Pelbagai 3 Unit Kawalan Utama 4 Kuasa Elektrik 1 1.1 Jenis
Διαβάστε περισσότεραBAB III PERENCANAAN DAN GAMBAR
digilib.uns.ac.id 7 BAB III PERENCANAAN DAN GAMBAR 3.1. Skema dan Prinsip Kerja Alat Gambar 3.1. Meja kerja portabel. Prinsip kerja dari meja kerja portabel ini adalah meja kerja yang mempunyai massa yang
Διαβάστε περισσότεραNama Mahasiswa: Retno Palupi Dosen Pembimbing: Prof. Dr. Ir. I Gusti Putu Raka, DEA Ir. Heppy Kristijanto, MS
Nama Mahasiswa: Retno Palupi 3110100130 Dosen Pembimbing: Prof. Dr. Ir. I Gusti Putu Raka, DEA Ir. Heppy Kristijanto, MS Pendahuluan Metodologi Preliminary Desain Perencanaan Struktur Sekunder Perencanaan
Διαβάστε περισσότεραHMT 504 Morfologi dan Sintaksis Lanjutan
UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Kedua Sidang Akademik 2002/2003 Februari/Mac 2003 HMT 504 Morfologi dan Sintaksis Lanjutan Masa : 3 jam Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi
Διαβάστε περισσότεραBAB V DESAIN TULANGAN STRUKTUR
BAB V DESAIN TULANGAN STRUKTUR 5.1 Output Penulangan Kolom Dari Program Etabs ( gedung A ) Setelah syarat syarat dalam pemodelan struktur sudah memenuhi syarat yang di tentukan dalam peraturan SNI, maka
Διαβάστε περισσότεραLATIHAN. PENYUSUN: MOHD. ZUBIL BAHAK Sign. : FAKULTI KEJURUTERAAN MEKANIKAL UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA SKUDAI JOHOR
1. a) Nyatakan dengan jelas Prinsip Archimedes tentang keapungan. b) Nyatakan tiga (3) syarat keseimbangan STABIL jasad terapung. c) Sebuah silinder bergaris pusat 15 cm dan tinggi 50 cm diperbuat daripada
Διαβάστε περισσότεραALGORITMA DEUTSCH-JOZSA PADA KUANTUM KOMPUTER SISTEM NMR (Nuclear Magnetic Resonance) 4 QUBIT
TUGAS AKHIR - SF 141501 ALGORITMA DEUTSCH-JOZSA PADA KUANTUM KOMPUTER SISTEM NMR (Nuclear Magnetic Resonance) 4 QUBIT Bayu Dwi Hatmoko NRP 111 100 060 Dosen Pembimbing Agus Purwanto, D.Sc Jurusan Fisika
Διαβάστε περισσότεραLatihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam. 1 a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [1 markah]
Latihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [ markah] ii) Berikut adalah tiga kad nombor. 30 20 24 Lakukan operasi darab dan bahagi antara nombor-nombor tersebut
Διαβάστε περισσότεραLampiran 1. Perhitungan Dasar Penentuan Kandungan Pupuk Organik Granul
LAMPIRAN Lampiran 1. Perhitungan Dasar Penentuan Kandungan Pupuk Organik Granul Asumsi: a. Pengaplikasian POG pada budidaya tebu lahan kering dengan sistem tanam Double Row b. Luas lahan = 1 ha = 10000
Διαβάστε περισσότεραBAB III PERHITUNGAN TANGGA DAN PELAT. Gedung Kampus di Kota Palembang yang terdiri dari 11 lantai tanpa basement
BAB III PERHITUNGAN TANGGA DAN PELAT 3.1. Analisis Beban Gravitasi Beban gravitasi adalah beban ang bekerja pada portal dan berupa beban mati serta beban hidup. Bangunan ang akan dianalisis pada penulisan
Διαβάστε περισσότεραHMT 221 FONETIK DAN FONOLOGI BAHASA MALAYSIA
UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Kedua Sidang Akademik 2006/2007 April 2007 HMT 221 FONETIK DAN FONOLOGI BAHASA MALAYSIA Masa : 3 jam Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi
Διαβάστε περισσότεραPemerihalan Data. Pemerihalan Data. Sukatan kecenderungan memusat. Pengenalan. Min. Min 1/14/2011
Pemerihalan Data Pemerihalan Data PM DR KMISH OSMN Sukatan kecenderungan memusat Sukatan kedudukan Sukatan serakan Sukatan serakan relatif Ukuran korelasi G603 1 G603 Pengenalan Mengeluarkan maklumat daripada
Διαβάστε περισσότεραBAB 2 PEMODULATAN AMPLITUD
BAB MODULATAN LITUD enghantaran iyarat yang engandungi akluat elalui atu aluran perhubungan eerlukan anjakan frekueni iyarat akluat kepada julat frekueni yang euai untuk penghantaran - roe ini diapai elalui
Διαβάστε περισσότεραPERHITUNGAN WAKTU SOLAT MENGGUNAKAN ALMANAK FALAK SYARIE. Stesen rujukan = Kg. Gedangsa (Zon 1, Selangor)
PERHITUNGAN WAKTU SOLAT MENGGUNAKAN ALMANAK FALAK SYARIE Data Contoh Hitungan Stesen rujukan = Kg. Gedangsa (Zon 1, Selangor) Latitud, φ L = 3 44' Utara Longitud, λ L = 101 23' Timur = 6 jam 45m 32s Longitud
Διαβάστε περισσότερα