INVESTIGASI EMPIRIS KEKUATAN UJI KPSS. Oleh MUHAMMAD FAJAR

Transcript

1 INVESTIGASI EMPIRIS KEKUATAN UJI KPSS Oleh MUHAMMAD FAJAR 2016

2 ABSTRAK Judul Penelitian : Investigasi Empirik Kekuatan Uji KPSS Kata Kunci : Uji KPSS, Data Generating Process, Persentase Keputusan Salah Tujuan dari penelitian ini untuk menghasilkan nilai kritis pada uji KPSS dan mengetahui kekuatan uji KPSS yang diindikasikan dari persentase keputusan salah yang dihasilkan uji tersebut. Simulasi monte carlo digunakan untuk mendapatkan kuantil distribusi KPSS sehingga diperoleh nilai kritis KPSS pada berbagai level signifikansi alpha dan menyelidiki kekuatan uji KPSS pada proses non stasioner, meliputi random walk murni dan random walk with drift, serta proses stasioner meliputi autoregressive ordo 1 (AR(1)), dan deterministic trend with noise. Hasil yang diperoleh dalam penelitian menyimpulkan bahwa: (1) Kecenderungan nilainilai kritis KPSS1 dan KPSS2 tersebut konvergen pada suatu nilai tertentu walaupun jumlah observasi berbeda-beda. Sehingga atas dasar tersebut, nilai kritis KPSS1 dan KPSS2 bisa diwakilkan oleh suatu nilai tanpa memperhatikan jumlah observasi yang digunakan, (2) Persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi), (3) Penentuan truncated lag mempengaruhi persentase keputusan salah pada pengujian KPSS. Untuk kasus random walk Murni, random walk with drift, dan deterministic trend with noise, uji KPSS menggunakan truncated lag l4 lebih meminimalisir persentase keputusan salah dibandingkan dengan menggunakan truncated lag l12. Sedangkan pada kasus AR(1), uji KPSS menggunakan truncated lag l12 lebih meminimalisir persentase keputusan salah dibandingkan dengan menggunakan truncated lag l4, dan (4) Kekuatan (power) uji KPSS (yang diindikasikan dengan persentase keputusan salah) sangat bervariatif tergantung jenis proses data yang diujikan. Power uji KPSS sangat kuat untuk proses data deterministic trend with noise dan random walk with drift dengan menggunakan truncated lag l4.

3 DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK DAFTAR ISI... ii iii BAB I. PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Batasan Masalah... 2 BAB II. TINJAUAN PUSTAKA Uji KPSS Penentuan Truncated Lag (Lag Optimum) Data Generating Process (DGP)... 6 BAB III. METODOLOGI PENELITIAN Simulasi Distribusi Sampling KPSS Algoritma R Untuk Uji KPSS Algoritma R Untuk Investigasi Kekuatan Uji KPSS pada DGP... 9 BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Nilai Kritis Pada Uji KPSS Hasil Simulasi Kasus Random Walk Murni Kasus Random Walk With Drift... 19

4 Kasus AR(1) Kasus Deterministic Trend With Noise BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 34

5 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Stasioneritas merupakan salah satu prasyarat penting dalam analisis time series untuk data runtut waktu (time series). Data stasioner adalah data yang memiliki mean, varians dan autovarians (pada variasi lag) tetap sama pada waktu kapan saja data itu dibentuk atau dipakai, artinya dengan data yang stasioner model time series dapat dikatakan lebih stabil. Apabila data yang digunakan dalam model ada yang tidak stasioner, maka data tersebut mengandung unit root karena hasil regresi yang berasal dari data yang tidak stasioner akan menyebabkan spurious regression. Spurious regression adalah regresi yang memiliki R 2 yang tinggi, namun tidak ada hubungan yang berarti dari keduanya. Unit root sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya dapat dikatakan sebagai fitur dari proses yang berkembang melalui waktu yang dapat menyebabkan masalah dalam inferensi statistik yang melibatkan model deret waktu. Ada dua macam stasioner pada data deret waktu, yaitu difference stationary dan trend stationary. Difference stationary maksudnya adalah data yang non stasioner dapat ditransformasi dengan differencing agar menjadi stasioner, sedangkan trend stationary maksudnya adalah data yang stasioner disekitar trend deterministiknya, sehingga data yang non stasioner dapat ditransformasi dengan detrended agar menjadi stasioner. Pengujian mengenai stasioneritas data deret waktu pertama kali diperkenalkan David Dickey dan Wayne Fuller tahun 1979, dimana dalam pengujian tersebut (ADF test) hipotesis null pengecekan keberadaan unit root yang berimplikasi bahwa jika unit root terdapat pada data deret waktu maka data tersebut tidak stasioner, dan sebaliknya, jika data tidak mengandung unit root, maka data tersebut stasioner. Pada tahun 1992, Kwiatskoki, et al memperkenal suatu uji dengan hipotesis null data time series difference stasioner atau trend stasioner bukan dari unit root seperti ADF test, sehingga penulis tertarik untuk menyelidiki power dari uji KPSS tesebut (KPSS test) tetapi sebelum itu perlu diperoleh nilai kritis dari distribusi sampling pada statistic uji KPSS. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan, maka masalah yang dirumuskan dalam penelitian ini, yaitu: a. Bagaimana nilai kritis pada pengujian KPSS dari variasi jumlah observasi pada berbagai level signifikansi (alpha)? b. Bagaimana pengaruh jumlah observasi terhadap kekuatan uji KPSS (diindikasikan dari persentase keputusan salah uji KPSS)?

6 c. Apakah penentuan truncated lag ala Schwert (1989) mempengaruhi kekuatan uji KPSS (diindikasikan dari persentase keputusan salah uji KPSS)? d. Bagaimana power dari uji KPSS yang diindkasikan oleh persentase keputusan salah dari uji KPSS jika diterapkan pada berbagai data generating process? 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian adalah: a. Memperoleh nilai kritis pada pengujian KPSS dari variasi jumlah observasi pada berbagai level signifikansi alpha. b. Mengetahui pengaruh jumlah observasi terhadap kekuatan uji KPSS (diindikasikan dari persentase keputusan salah uji KPSS)? c. Mengetahui pengaruh penentuan truncated lag ala Schwert (1989) mempengaruhi kekuatan uji KPSS (diindikasikan dari persentase keputusan salah uji KPSS) d. Dapat melihat kekuatan dari uji KPSS pada berbagai proses data generating. 1.4 Manfaat Penelitian Adapun manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut: a. Menambah kajian dalam pengujian stsioneritas dalam ranah ekonometrika. b. Menambah wawasan peneliti dalam investigasi kekuatan suatu alat uji statistik. 1.5 Batasan Masalah Dalam penelitian ini, jumlah sampel yang digunakan adalah 10 observasi sampai dengan 1000 observasi yang dibangkitkan dari proses random walk murni, random walk with drift, autoregressive ordo 1 (AR(1)), dan deterministic trend with noise. Distribusi White Noise yang dimaksud digunakan dalam model adalah distribusi normal.

7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 UJI KPSS Uji ADF dan PP intinya menguji keberadaan unit root pada data deret waktu, yang kemudian berimplikasi ketika data tidak mengandung unit root berarti data telah stasioner. Kwiatkowski, Phillips, Scmidt and Shin (1992) mengajukan sebuah pengujian LM (Lagrange Multiplier) untuk menguji trend data atau stasioneritas pada data level (KPPS). Dalam pengujian dengan hipotesis null adalah y t stasioner pada level (y t ~ I(0)) yang diformulasikan sebagai H 0 : σ u 2 = 0, yang berimplikasi bahwa r t adalah sebuah konstanta melawan hipotesis alternatif H 0 : σ u 2 0. Kwiatkowski et al. memulai dengan model: y t = ξt + r t + ε t (1) r t = r t 1 + u t (2) dimana data deret waktu y t, t = 1,2,, n, r t adalah random walk dan ε t adalah eror diasumsikan stasioner pada level dan u t White Noise (mean = 0, varians = σ u 2 ). Mari kita selidiki random walk r t r t = r t 1 + u t = r t 2 + u t 1 + u t = r t 3 + u t 2 + u t 1 + u t t r t = r 0 + u i i=1 E(r t ) = r 0 Nilai inisial r 0 fixed (dalam algoritma simulasi distribusi KPSS, r 0 =0) dan merupakan intersep. ξt merupakan komponen trend deterministik, jika ξ = 0, maka persamaan (1) menjadi sebuah konstanta sebagai regressor deterministic. u t telah stasioner pada level (I(0)). Dibawah H 0 ε t stasioner dan oleh karena itu, y t juga terjadi trend stationary atau jika ξ = 0, maka y t juga difference stationary. Statistik uji dikonstruksi sebagai berikut: pertama regresikan y t terhadap

8 konstan atau konstan dan trend. Kedua hitunglah jmlah residual ε t dari regresi pada langkah sebelumnya: t S t = ε i, t = 1,2,, n (3) i=1 Lalu statistik LM (Lagrange Multiplier) atau KPSS adalah: T KPSS = n 2 2 S t λ 2 (4) t=1 Dimana λ 2 adalah penaksir konsisten dari long run variance dari ε t yang menggunakan penaksirnya ε t. Para peneliti menyarankan menggunakan Bartlett window w(s, l) = 1 s/(l + 1) sebagai penimbang optimal untuk mengestimasi λ 2,yaitu: n λ 2 = s 2 (l) = n 1 ε t 2 + 2n 1 1 l + 1 t=1 l s=1 s n t=s+1 ε tε t 1 (5) l adalah parameter lag truncation (lag maksimal (optimum)). Kita pertama menganggap terjadi kasus stasioneritas pada level, maka ξ diset harus nol sehingga residual ε t berasal dari regresi y atas hanya intersep saja, ε t = y t y. S t adalah jumlah residual ε t sebagaimana persamaan (3). Dibawah hipotesis null bahwa y t stasioner pada level (I(0)), Kwiatkowski, et al menunjukkan bahwa KPSS menuju konvergensi pada fungsi dari gerak Brownian standar, yaitu: 1 KPSS d V 1 (b) db 0 (6) dimana V 1 (b) = W(b) bw(1) dan W(b) adalah gerak Brownian standar untuk b [0,1]. Jika ξ 0, maka residual ε t berasal dari regresi y atas trend deterministik, maka seperti sebelumnya, 1 KPSS d V 2 (b) db 0 (7) dimana V 2 (b) = W(b) + b(2 3b)W(1) + 6b(b 2 1 1) W(p)dp 0. Nilai kritis dari distribusi asimtotis pada (6) dan (7) ditentukan oleh metode simulasi yang akan dilakukan dalam penelitian ini. Uji stasioneritas KPSS ini merupakan pengujian satu sisi (right tailed) jadi penolakan hipotesis null pada level α terjadi jika KPSS lebih besar dari (1- α) kuantil dari aproksimasi distribusi asimtotis pada persamaan (6) atau (7). 2.2 Penentuan truncated lag (lag optimum)

9 Penentuan truncated lag l pada pengujian stasioneritas pada data deret waktu sangat krusial sekali. Jika l terlalu pendek maka korelasi serial signifikan terjadi pada eror sehingga akan terjadi bias pada uji. Jika l terlalu panjang maka power dari uji akan melemah. Salah aturan yang disarankan oleh Schwert (1989) dalam penentuan lag optimum (truncated lag) adalah: l 4 = 4 ( n 100 ) 1/4 l 12 = 12 ( n 100 ) 1/4 (8) (9) Ketika dalam simulasi pemeriksaan kekuatan uji, kita gunakan l 4 dan l 12 sehingga dapat diketahui rumusan mana yang mempengaruhi power of KPSS test. 2.3 Data Generating Process (DGP) Data Generating Process adalah suatu cara membangkitkan sejumlah data melalui sebuah model tertentu. Dalam penelitian ini data dibangkitkan melalui proses: a. Random Walk Murni Model untuk membangkitkan data dari proses random walk yang juga merupakan proses non stasioner, adalah sebagai berikut: y t = y t 1 + v t (10) Dimana {v t } mengikuti i.i.d proses dalam hal ini white noise. E(v t ) = 0, E(v t 2 ) = σ 2, dan E(v t v s ) = 0, t s Jika kita lakukan iterative backward y t = y t 1 + v t = y t 2 + v t 1 + v t = y t 3 + v t 2 + v t 1 + v t y t = y 0 + v i t i=1, t = 1,, n (11) b. Random Walk with Drift Model untuk membangkitkan data dari proses random walk with drift yang juga merupakan proses non stasioner, adalah sebagai berikut: y t = b 0 + y t 1 + ε t (12) Dimana {ε t } mengikuti i.i.d proses dalam hal ini white noise. E(ε t ) = 0, E(ε 2 t ) = σ 2, dan E(ε t ε s ) = 0, t s Jika kita lakukan iterative backward y t = b 0 + y t 1 + ε t

10 = 2b 0 + y t 2 + ε t 1 + ε t = 3b 0 + y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t y t = y 0 + b 0 t + ε i t i=1, b 0 0, t = 1,, n (13) c. AR(1) Model untuk membangkitkan data dari AR(1) yang juga merupakan proses stasioner, adalah sebagai berikut: y t = ρy t 1 + ω t, ρ < 1 (14) Dimana {ω t } mengikuti i.i.d proses dalam hal ini white noise. E(ω t ) = 0, E(ω 2 t ) = σ 2, dan E(ω t ω s ) = 0, t s d. Deterministic Trend with Noise Model untuk membangkitkan data dari proses Deterministic Trend with Noise yang juga merupakan proses trend-stasioner, adalah sebagai berikut: y t = c + ηt + φ t, η 0, t = 1,, n (15) Dimana {φ t } mengikuti i.i.d proses dalam hal ini white noise. E(φ t ) = 0, E(φ 2 t ) = σ 2, dan E(φ t φ s ) = 0, t s

11 BAB III METODOLOGI 3.1 Simulasi Distribusi Sampling KPSS Untuk mendapatkan nilai kritis dari uji KPSS dari berbagai jumlah observasi, kita akan lakukan replikasi sebanyak kali, Model pada pengujian KPSS, yaitu y t = ξt + r t + ε t r t = r t 1 + u t Asumsikan bahwa ε t dan u t mengikuti N(0,1). Kemudian kita namakan statistic KPSS: 1 KPSS1 d V 1 (b) db ; untuk hipotesis null data stasioner pada level 0 1 KPSS2 d V 2 (b) db ; untuk hipotesis null data trend stasioner pada level 0 Nilai kritis diperoleh dari kuantil distribusi KPSS1 dan KPSS2 yang dibentuk melalui simulasi atas dasar jumlah observasi yang telah ditentukan. Jumlah observasi yang ditentukan dalam penelitian ini adalah 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, 130, 140, 150, 170, 190, 200, 250, 300, 350, 400, 500, 600, 700, 750, 800, 850, 900, 950, dan Algoritma R untuk mensimulasi distribusi sampling KPSS set.seed(123) wiener2 = function(nobs) { e = rnorm(nobs) # create detrended errors e1 = e - mean(e) Merujuk pada persamaan (1) dengan ξ = 0, dan E(r t ) = r 0 = 0 e2 = residuals(lm(e~seq(1,nobs))) # compute simulated Brownian Bridges y1 = cumsum(e1) y2 = cumsum(e2) intw2.1 = nobs^(-2) * sum(y1^2) Merujuk pada persamaan (4) intw2.2 = nobs^(-2) * sum(y2^2) Merujuk pada persamaan (4) ans = list(intw2.1=intw2.1,intw2.2=intw2.2) ans } # simulate KPSS distributions nobs = 10 Jumlah observasi, misal n = 10 nsim = Jumlah replikasi sebanyak kali KPSS1 = rep(0,nsim)

12 KPSS2 = rep(0,nsim) for (i in 1:nsim) { BN.moments = wiener2(nobs) KPSS1[i] = BN.moments$intW2.1 Menghasilkan barisan KPSS1 sebanyak jumlah replikasi KPSS2[i] = BN.moments$intW2.2 Menghasilkan barisan KPSS2 sebanyak jumlah replikasi } # compute quantiles of distribution # quantile(kpss1, probs=c(0.90,0.925,0.95,0.975,0.99)) ##Notrend quantile(kpss2, probs=c(0.90,0.925,0.95,0.975,0.99)) ##WithTrend 3.2 Algoritma R untuk Uji KPSS H 0 : Data stasioner (atau trend stasioner) H 1 : Data tidak stasioner Statistik uji KPSS = n 2 2 S t λ 2 Keputusan: Tolak H 0, jika KPSS titik kritis pada level signifikansi α Berikut algoritma R untuk pengujian KPSS uji.kpss<-function (y, type = c("notrend", "withtrend"), lags = c("l4", "l12", "nil"), use.lag = NULL) { y <- na.omit(as.vector(y)) n <- length(y) type <- match.arg(type) lags <- match.arg(lags) if (!(is.null(use.lag))) { lmax <- as.integer(use.lag) if (lmax < 0) { warning("\nuse.lag has to be positive and integer; lags='l4' used.") lmax <- trunc(4 * (n/100)^0.25) } } else if (lags == "l4") { lmax <- trunc(4 * (n/100)^0.25) ##Lag Maximum merujuk persamaan(8) } else if (lags == "l12") { lmax <- trunc(12 * (n/100)^0.25) ##Lag Maximum merujuk persamaan(9) } else if (lags == "nil") { lmax <- 0 } if (type == "notrend") { res <- y - mean(y) } else if (type == "withtrend") { trend <- 1:n res <- residuals(lm(y ~ trend)) } S <- cumsum(res) ##Merujuk pada persamaan(3) nominator <- sum(s^2)/n^2 ##Jumlah S kuadrat s2 <- sum(res^2)/n if (lmax == 0) { denominator <- s2 ##Long Run Variance } else { T t=1

13 index <- 1:lmax x.cov <- sapply(index, function(x) t(res[-c(1:x)]) %*% res[-c((n - x + 1):n)]) bartlett <- 1 - index/(lmax + 1) denominator <- s2 + 2/n * t(bartlett) %*% x.cov ##Long Run Variance Residuals pada persamaan(5) } LMstat <- nominator/denominator ##merujuk pada persamaan (4) } 3.3 Algoritma R Untuk Investigasi Kekuatan Power Uji KPSS pada Data Generating Process a. Random Walk Murni Kita gunakan model untuk membangkitkan random walk (proses non stasioner) sebagai berikut: y t = y 0 + v i t i=1, t = 1,, n Kita asumsikan bahwa {v t } mengikuti i.i.d N(0,1) dan y 0 = 0 sehingga: t y t = v i i=1, t = 1,, n (16) Algoritma untuk kasus random walk, sebagai berikut: 1. kita akan bangkitkan series data sebanyak n dari proses non stasioner yaitu random walk (dari distribusi N(0,1)) berdasarkan persamaan(16). 2. Dari poin (1), kita lakukan pengujian KPSS 3. Pada poin(1) dan (2) ulangi sebanyak kali 4. Dari poin (3) berapa persentase H 0 diterima, artinya kita dapat melihat bahwa berapa persen keputusan salah dari uji KPSS (terima H 0 pada padahal kondisi populasi pada H 0 salah). 5. Persentase keputusan benar = 100% - persentase keputusan salah pada poin(4) Algoritma R untuk langkah penyelidikan power dari uji KPSS kasus random walk adalah: set.seed(123) rnorm(n) ##menghasilkan bilangan acak sebanyak n yang berasal dari N(0,1) cumsum(rnorm(n)) ##menghasilkan bilangan sebanyak n yang merupakan jumlah kumulatif dari rnorm(n) n=10 ## misal jumlah observasi n=10 rw1=replicate(100000, cumsum(rnorm(n))) ##merujuk pada poin (3) t.rw1=apply(rw1,2,function(x) uji.kpss(x,"notrend","l4"))##merujuk pada poin (4) #the percentages of wrong decisions in case of non stationary process (in this case, the decision is wrong if you accept the null hypothesis) (sum(t.rw1<a)/100000*100) ##Level alpha 1%; merujuk pada poin (4) (sum(t.rw1<b)/100000*100) ##Level alpha 2.5%; merujuk pada poin (4) (sum(t.rw1<c)/100000*100) ##Level alpha 5%; merujuk pada poin (4) (sum(t.rw1<d)/100000*100) ##Level alpha 10; merujuk pada poin (4)

14 uji.kpss(x,"notrend","l4")) maksudnya uji KPSS menggunakan notrend karena pada random walk tidak mengandung unsur trend deterministic dan menggunakan lag truncation l4 atau bisa juga menggunakan l12. A, B, C, dan D adalah nilai kritis pada uji KPSS (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS1) sesuai dengan jumlah observasi data yang diuji dan level signifikansi α yang digunakan. Algoritma di atas dimaksudkan untuk mengetahui persentase keputusan salah pada uji KPSS dengan berbagai jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian. Data yang dibangkitkan berasal dari proses non stasioner yaitu Random Walk murni, artinya sebuah set data dibangkitkan dari proses tersebut kemudian diuji KPSS sehingga diperoleh persentase menerima hipotesis null bahwa data adalah stasioner pada tingkat level (persentase keputusan salah) dengan mereplikasi percobaan tersebut sebanyak kali. b. Random Walk with Drift Model untuk membangkitkan data dari proses random walk with drift yang juga merupakan proses non stasioner, adalah sebagai berikut: y t = b 0 + y t 1 + ε t (12) Dimana {ε t } mengikuti i.i.d N(0,1). E(ε t ) = 0, E(ε 2 t ) = σ 2, dan E(ε t ε s ) = 0, t s Jika kita lakukan iterative backward y t = y 0 + b 0 t + ε i t i=1 y t = b 0 + y t 1 + ε t = 2b 0 + y t 2 + ε t 1 + ε t = 3b 0 + y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t, b 0 0, t = 1,, n (13) Dalam simulasi untuk investigasi kekuatan uji KPSS, pada persamaan (13), y 0 = 0, b 0 = 0.5, dan b 0 = 5 Algoritma: 1. kita akan bangkitkan series data sebanyak n dari proses non stasioner yaitu random walk with drift berdasarkan persamaan (13) dengan y 0 = 0, a 0 = 0.5, dan a 0 = Dari poin (1), kita lakukan pengujian KPSS 3. Pada poin (1) dan (2) ulangi sebanyak kali 4. Dari poin (3) berapa persentase H 0 diterima, artinya kita dapat melihat bahwa berapa persen keputusan salah dari uji KPSS (terima H 0 pada padahal kondisi populasi pada H 0 salah). 5. Persentase keputusan benar = 100% - persentase keputusan salah pada poin(4)

15 Algoritma R untuk langkah penyelidikan power dari uji KPSS kasus random walk with drift set.seed(123) ##Random Walk With Drift n=10 ## misal jumlah observasi n=10 e=rnorm(n) trend=1 : n rwd1=replicate(100000, 5*trend+cumsum(e)) ##merujuk poin(3) s.rwd1=apply(rwd1,2,function(x) uji.kpss(x, "withtrend","l4")) ##merujuk poin (4) #the percentages of wrong decisions in case of nonstationary process (in this case, the decision is wrong if you accept the null hypothesis) (sum(s.rwd1<e)/100000*100) ##Level alpha 1%; merujuk pada poin (4) (sum(s.rwd1<f)/100000*100) ##Level alpha 2.5%; merujuk pada poin 4) (sum(s.rwd1<g)/100000*100) ##Level alpha 5%; merujuk pada poin (4) (sum(s.rwd1<h)/100000*100) ##Level alpha 10%; merujuk pada poin (4) uji.kpss(x,"withtrend","l4")) maksudnya uji KPSS menggunakan withtrend karena pada random walk with drift mengandung unsur trend deterministic dan menggunakan lag truncation l4 atau bisa juga menggunakan l12. E, F, G, dan H adalah nilai kritis pada uji KPSS (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS2) sesuai dengan jumlah observasi data yang diuji dan level signifikansi α yang digunakan. Algoritma di atas dimaksudkan untuk mengetahui persentase keputusan salah pada uji KPSS dengan berbagai jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian. Data yang dibangkitkan berasal dari proses non stasioner yaitu Random Walk with Drift, artinya sebuah set data dibangkitkan dari proses tersebut kemudian diuji KPSS sehingga diperoleh persentase menerima hipotesis null bahwa data adalah stasioner pada tingkat level (persentase keputusan salah) dengan mereplikasi percobaan tersebut sebanyak kali. c. Autoregressive (1) (AR(1)) Model untuk membangkitkan data dari AR(1) yang juga merupakan proses stasioner, adalah sebagai berikut: y t = ρy t 1 + ω t, ρ < 1 (14) Dimana {ω t } mengikuti i.i.d i.i.d N(0,1). E(ω t ) = 0, E(ω 2 t ) = σ 2, dan E(ω t ω s ) = 0, t s Pada simulasi pengujian power, dalam persamaan (14) kita gunakan ρ = {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9} Algoritma: 1. kita akan bangkitkan series data sebanyak n dari proses stasioner yaitu AR(1) berdasarkan persamaan (14), kita gunakan ρ = {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}

16 2. Dari poin (1), kita lakukan pengujian KPSS 3. Pada poin(1) dan (2) ulangi sebanyak kali 4. Dari poin (3) berapa persentase H 0 ditolak, artinya kita dapat melihat bahwa berapa persen keputusan salah dari uji KPSS (tolak H 0 pada padahal kondisi populasi pada H 0 benar). 5. Persentase keputusan benar = 100% - persentase keputusan salah pada poin(4) Algoritma R untuk langkah penyelidikan power dari uji KPSS kasus AR(1): set.seed(123) ar1=replicate(100000, arima.sim(n=10,list(ar=0.5),innov=rnorm(10)))## merujuk poin(3) s.ar1=apply(ar1,2,function(x) uji.kpss(x, "notrend","l4"))##merujuk pada poin(4) #the percentages of wrong decisions in case of stationary process (in this case, the decision is wrong if you reject the null hypothesis) (sum(s.ar1h)/100000*100) ##Level alpha 1%; merujuk pada poin(4) (sum(s.ar1i)/100000*100) ##Level alpha 2.5%; merujuk pada poin(4) (sum(s.ar1j)/100000*100) ##Level alpha 5%; merujuk pada poin(4) (sum(s.ar1k)/100000*100) ##Level alpha 10%; merujuk pada poin(4) ar1=replicate(100000, arima.sim(n=10,list(ar=0.5),innov=rnorm(10)));maksudnya membangki tkan data sebanyak 10 observasi dari proses AR(1) uji.kpss(x,"notrend","l4")) maksudnya uji KPSS menggunakan notrend karena pada AR(1) tidak mengandung unsur trend deterministic dan menggunakan lag truncation l4 atau bisa juga menggunakan l12. H,I, J, dan K adalah nilai kritis pada uji KPSS (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS1) sesuai dengan jumlah observasi data yang diuji dan level signifikansi α yang digunakan. Algoritma di atas dimaksudkan untuk mengetahui persentase keputusan salah pada uji KPSS dengan berbagai jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian. Data yang dibangkitkan berasal dari proses stasioner yaitu AR(1), artinya sebuah set data dibangkitkan dari proses tersebut kemudian diuji KPSS sehingga diperoleh persentase menolak hipotesis null bahwa data adalah stasioner pada tingkat level (persentase keputusan salah) dengan mereplikasi percobaan tersebut sebanyak kali. d. Deterministic Trend with Noise Model untuk membangkitkan data dari proses deterministic trend with noise yang juga merupakan proses trend stasionary, adalah sebagai berikut: y t = c + ηt + φ t, η 0, t = 1,, n (15) Dimana {φ t } mengikuti i.i.d N(0,1). E(φ t ) = 0, E(φ 2 t ) = σ 2, dan E(φ t φ s ) = 0, t s Dalam simulasi untuk investigasi kekuatan uji KPSS, pada persamaan (15), = 0, η = { 0.5, 5 }

17 Algoritma: 1. kita akan bangkitkan series data sebanyak n dari proses trend stasionary yaitu deterministic trend with noise berdasarkan persamaan (15) c = 0, η = { 0.5, 5 } 2. Dari poin (1), kita lakukan pengujian KPSS 3. Pada poin(1) dan (2) ulangi sebanyak kali 4. Dari poin (3) berapa persentase H 0 ditolak, artinya kita dapat melihat bahwa berapa persen keputusan salah dari uji KPSS (tolak H 0 pada padahal kondisi populasi pada H 0 benar). 5. Persentase keputusan benar = 100% - persentase keputusan salah pada poin(4) Algoritma R untuk langkah penyelidikan power dari uji KPSS kasus deterministic trend with noise adalah: set.seed(123) ##Deterministic Trend With Noise n1=10 ## misal jumlah observasi n=10 e1=rnorm(n1) trend1=1 : n1 rwd1=replicate(100000, 0.5*trend1+(e1)) ## c = 0 dan η = 0.5 dan merujuk poin(3) s.rwd1=apply(rwd1,2,function(x) uji.kpss(x, "withtrend","l4")) ##merujuk pada poin(4) #the percentages of wrong decisions in case of stationary process (in this case, the decision is wrong if you reject the null hypothesis) (sum(s.rwd1m)/100000*100) ##Level alpha 1%; merujuk pada poin(4) (sum(s.rwd1n)/100000*100) ##Level alpha 2.5%; merujuk pada poin(4) (sum(s.rwd1o)/100000*100) ##Level alpha 5%; merujuk pada poin(4) (sum(s.rwd1p)/100000*100) ##Level alpha 10%; merujuk pada poin(4) uji.kpss(x,"withtrend","l4")) maksudnya uji KPSS menggunakan withtrend karena pada random walk with drift mengandung unsur trend deterministic dan menggunakan lag truncation l4 atau bisa juga menggunakan l12. M, N, O, dan P adalah nilai kritis pada uji KPSS (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS2) sesuai dengan jumlah observasi data yang diuji dan level signifikansi α yang digunakan. Algoritma di atas dimaksudkan untuk mengetahui persentase keputusan salah pada uji KPSS dengan berbagai jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian. Data yang dibangkitkan berasal dari proses trend-stasioner yaitu deterministic trend with noise, artinya sebuah set data dibangkitkan dari proses tersebut kemudian diuji KPSS sehingga diperoleh persentase menolak hipotesis null bahwa data adalah stasioner pada tingkat level (persentase keputusan salah) dengan mereplikasi percobaan tersebut sebanyak kali. 4.1 Nilai Kritis Pada Uji KPSS BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

18 Berdasarkan algoritma R untuk mensimulasi distribusi sampling KPSS sehingga diperoleh nilai kritis berdasarkan kuantil distribusi sampling tersebut, yaitu: Tabel 1. Nilai Kritis KPSS1 Pada Berbagai Jumlah Observasi dan Level Signifikansi KPSS1 d V 1 (b) db n Level Signifikansi 10% 7.50% 5% 2.50% 1% Tabel 2. Nilai Kritis KPSS2 Pada Berbagai Jumlah Observasi dan Level Signifikansi KPSS2 d V 2 (b) db

19 n Level Signifikansi 10% 7.50% 5% 2.50% 1% Kita perhatikan nilai kritis pada tabel 1 dan 2, untuk berbagai jumlah observasi dan level signifikansi (alpha), nampak kecenderungan nilai-nilai kritis tersebut konvergen pada suatu nilai tertentu walaupun jumlah observasi berbeda-beda. Sehingga atas dasar tersebut, nilai kritis KPSS1 dan KPSS2 bisa diwakilkan oleh suatu nilai tanpa memperhatikan jumlah observasi yang digunakan. Jika kita anggap bahwa tabel 1 dan 2 merupakan sebuah distribusi frekuensi dari nilai kritis, maka kita dapat memperoleh rata-rata dari nilai kritis tersebut dengan alasan bahwa kecenderungan

20 nilai-nilai kritis tersebut konvergen pada suatu nilai tertentu walaupun jumlah observasi berbeda-beda sehingga titik konvergen dapat diperkirakan dari rata-rata nilai kritis. Tabel 3. Nilai Kritis KPSS1 Untuk Berbagai Level Signifikansi KPSS1 d 1 V 1 (b) db 0 Level Signifikansi 10% 7.50% 5% 2.50% 1% Tabel 4. Nilai Kritis KPSS2 Untuk Berbagai Level Signifikansi KPSS2 d 1 V 2 (b) db 0 Level Signifikansi 10% 7.50% 5% 2.50% 1% Dalam penelitian ini digunakan tabel 1 dan 2 untuk melihat seberapa persen keputusan salah dari uji KPSS pada berbagai jumlah observasi. Sedangkan tabel 3 dan 4, umumnya digunakan beberapa buku ekonometrika sebagai nilai kritis KPSS. 4.2 Hasil Simulasi Kasus Random Walk Murni Setelah diperoleh nilai kritis KPSS1 dan KPSS2 pada berbagai level signifikansi (alpha) dan Jumlah Observasi, maka nilai kritis tersebut digunakan pada algoritma R untuk melihat persentase keputusan salah dari uji KPSS, sebagai berikut: Algoritma R set.seed(123) n=10 ## misal jumlah observasi n=10 rw1=replicate(100000, cumsum(rnorm(n))) t.rw1=apply(rw1,2,function(x) uji.kpss(x,"notrend","l4")) #the percentages of wrong decisions in case of non stationary process (in this case, the decision is wrong if you accept the null hypothesis) (sum(t.rw1< )/100000*100) ##Level alpha 1% (sum(t.rw1< )/100000*100) ##Level alpha 2.5% (sum(t.rw1< )/100000*100) ##Level alpha 5% (sum(t.rw1< )/100000*100) ##Level alpha , , , dan adalah nilai kritis pada uji KPSS pada tabel 1, (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS1) untuk jumlah observasi sebanyak 10 observasi. Berikut persentase keputusan salah pada uji KPSS pada berbagai jumlah observasi dan level signifikansi (lihat tabel 5 dan 6), yaitu:

21 Tabel 5. Persentase Keputusan Salah Dari Uji KPSS dengan l4 pada persamaan (8) kasus Random Walk Murni l4 n Level Signifikansi 10% 5% 2.50% 1% Berdasarkan tabel 5, persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi). Pada level alpha sebesar 10 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 120 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 8 persen (persentase keputusan benar stabil diatas 90 persen) dengan menggunakan truncated lag l4. Pada level alpha sebesar 5 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 150 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 9 persen dengan menggunakan truncated lag l4. Pada level alpha sebesar 2.5 persen ketika jumlah observasi yang digunakan

22 dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 190 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 10 persen dengan menggunakan truncated lag l4. Pada level alpha sebesar 1 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 300 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 10 persen dengan menggunakan truncated lag l4 Tabel 6. Persentase Keputusan Salah Dari Uji KPSS dengan l12 pada persamaan (9) kasus Random Walk Murni l12 n Level Signifikansi 10% 5% 2.50% 1% Berdasarkan tabel 6, persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi). Pada level alpha sebesar 10 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 350 titik

23 data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 10 persen dengan menggunakan truncated lag l12. Pada level alpha sebesar 5 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 600 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 10 persen dengan menggunakan truncated lag l12. Pada level alpha sebesar 2.5 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 750 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 10 persen dengan menggunakan truncated lag l12. Pada level alpha sebesar 1 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 600 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 20 persen dengan menggunakan truncated lag l12. Dari kasus random walk murni ternyata penentuan truncated lag mempengaruhi persentase keputusan salah pada pengujian KPSS, jika uji KPSS menggunakan truncated lag l4 lebih meminimalisir persentase keputusan salah dibandingkan dengan menggunakan truncated lag l Kasus Random Walk With Drift Setelah diperoleh nilai kritis KPSS1 dan KPSS2 pada berbagai level signifikansi (alpha) dan Jumlah Observasi, maka nilai kritis tersebut digunakan pada algoritma R untuk melihat persentase keputusan salah dari uji KPSS, sebagai berikut: Algoritma R set.seed(123) ##Random Walk With Drift n=10 ## misal jumlah observasi n=10 e=rnorm(n) trend=1 : n rwd1=replicate(100000, 5*trend+cumsum(e)) s.rwd1=apply(rwd1,2,function(x) uji.kpss(x, "withtrend","l4")) #the percentages of wrong decisions in case of nonstationary process (in this case, the decision is wrong if you accept the null hypothesis) (sum(s.rwd1< )/100000*100) ##Level alpha 1% (sum(s.rwd1< )/100000*100) ##Level alpha 2.5% (sum(s.rwd1< )/100000*100) ##Level alpha 5% (sum(s.rwd1< )/100000*100) ##Level alpha 10% Algoritma di atas dimaksudkan untuk mengetahui persentase keputusan salah pada uji KPSS dengan berbagai jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian. Data yang dibangkitkan berasal dari proses non stasioner yaitu random walk with drift, artinya sebuah set data dibangkitkan dari proses tersebut kemudian diuji KPSS sehingga diperoleh persentase menerima hipotesis null bahwa data adalah stasioner pada tingkat level (persentase keputusan salah) , , , dan adalah nilai kritis pada uji KPSS pada tabel 2, (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS2) untuk jumlah observasi sebanyak 10 observasi.

24 Tabel 7. Persentase Keputusan Salah Dari Uji KPSS dengan l4 pada persamaan (8) Kasus Random Walk With Drift level alpha 1% level alpha 2.5% level alpha 5% level alpha 10% n dengan l4 dengan l4 dengan l4 dengan l4 a 0 : a 0 : a 0 : a 0 : Berdasarkan tabel 7, di atas dapat memberikan penjelasan bahwa: Berapapun nilai koefisien pada trend asalkan tidak nol, memberikan persentase keputusan salah pada uji KPSS yang sama. Persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi). Pada level alpha sebesar 1 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 250 titik data.

25 Pada level alpha sebesar 2.5 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 80 titik data dengan menggunakan truncated lag l4. Pada level alpha sebesar 5 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 80 titik data dengan menggunakan truncated lag l4. Pada level alpha sebesar 10 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 50 titik data dengan menggunakan truncated lag l4. Tabel 8. Persentase Keputusan Salah Dari Uji KPSS dengan l12 pada persamaan (9) Kasus Random Walk With Drift level alpha 1% level alpha 2.5% level alpha 5% level alpha 10% n dengan l12 dengan l12 dengan l12 dengan l12 a 0 : a 0 : a 0 : a 0 :

26 Berdasarkan tabel 8, di atas dapat memberikan penjelasan bahwa: Berapapun nilai koefisien trend asalkan tidak nol, memberikan persentase keputusan salah pada uji KPSS yang sama. Persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi). Pada level alpha sebesar 1 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 350 titik data dengan menggunakan truncated lag l12, kecuali pada a 0 = 5 dan jumlah observasi adalah 750 terlihat persentase keputusan salah mencapai 100 persen (karena penetapan set.seed123 dan proses iterasi) Pada level alpha sebesar 2.5 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 350 titik data dengan menggunakan truncated lag l12. Pada level alpha sebesar 5 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 350 titik data dengan menggunakan truncated lag l12. Pada level alpha sebesar 10 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 250 titik data dengan menggunakan truncated lag l12. Dari kasus Random Walk with Drift, ternyata penentuan truncated lag mempengaruhi persentase keputusan salah pada pengujian KPSS, jika uji KPSS menggunakan truncated lag l4 lebih meminimalisir persentase keputusan dibandingkan dengan menggunakan truncated lag l Kasus AR(1) Setelah diperoleh nilai kritis KPSS1 dan KPSS2 pada berbagai level signifikansi (alpha) dan Jumlah Observasi, maka nilai kritis tersebut digunakan pada algoritma R untuk melihat persentase keputusan salah dari uji KPSS, sebagai berikut: Algoritma R set.seed(123) ar1=replicate(100000, arima.sim(n=10,list(ar=0.5),innov=rnorm(10))) s.ar1=apply(ar1,2,function(x) uji.kpss(x, "notrend","l4")) #the percentages of wrong decisions in case of stationary process (in this case, the decision is wrong if you reject the null hypothesis) (sum(s.ar )/100000*100) ##Level alpha 1% (sum(s.ar )/100000*100) ##Level alpha 2.5% (sum(s.ar )/100000*100) ##Level alpha 5% (sum(s.ar )/100000*100) ##Level alpha 10%

27 , , , dan adalah nilai kritis pada uji KPSS pada tabel 1, (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS1) untuk jumlah observasi sebanyak 10 observasi. Berikut tabel persentase keputusan salah pada uji KPSS dari hasil simulasi, yaitu: Tabel 9. Persentase Keputusan Salah Dari Uji KPSS dengan l4 pada persamaan (8) Kasus AR(1) dengan berbagai nilai koefisien otoregresif level alpha 1% level alpha 2.5% n dengan l4 dengan l4 ρ: ρ: Lanjutan Tabel 9.

28 level alpha 5% level alpha 10% n dengan l4 dengan l4 ρ: ρ: Berdasarkan tabel 9 di atas, memberikan penjelasan bahwa: Persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi). Nilai koefisien autoregresif yang semakin mendekati nilai 1 (atau minus 1) dan meningkatnya level signifikansi (alpha) membuat persentase keputusan salah meningkat pada berbagai jumlah observasi dengan menggunakan truncated lag l4. Pada koefisien autoregressive sama dengan 0.1 pada AR(1), range persentase keputusan salah persen pada berbagai level signifikansi dengan mengabaikan jumlah observasi.