Pengantar Proses Stokastik

Transcript

1 Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai rantai markov waktu kontinu yang analog dengan rantai markov diskrit yang telah dibahas sebelumnya. Rantai markov waktu kontinu juga memiliki sifat Markov, yaitu diberikan keadaan sekarang, maka keadaan pada masa yang akan datang saling bebas dengan keadaan pada masa lampau.

3 Peluang Kesetimbangan Salah satu contoh dari rantai markov waktu kontinu adalah proses Poisson. Misalkan banyaknya kedatangan sampai waktu t (yaitu N t ) adalah keadaan dari suatu proses pada waktu t, maka proses Poisson merupakan rantai Markov waktu kontinu dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2,... di mana keadaan selalu bertambah dari keadaan n ke keadaan n + 1, n 0. Proses demikian dikenal dengan istilah proses kelahiran murni karena ketika sebuah transisi terjadi, maka keadaan akan selalu bertambah satu.

4 Peluang Kesetimbangan Lebih jauh lagi, model Eksponensial yang dapat berpindah hanya dari keadaan n baik ke keadaan n 1 maupun ke keadaan n + 1 dalam satu kali transisi dinamakan model kelahiran-kematian. Untuk model tersebut, transisi dari keadaan n ke keadaan n + 1 dianggap sebagai proses kelahiran, sedangkan transisi dari keadaan n ke keadaan n 1 dianggap sebagai proses kematian.

5 Peluang Kesetimbangan Model kelahiran dan kematian secara luas banyak diaplikasikan pada studi tentang sistem biologi dan studi tentang sistem antrian di mana keadaan yang ada merepresentasikan banyaknya nasabah dalam sistem.

6 Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Misalkan suatu proses stokastik waktu kontinu {X t, t 0} bernilai bilangan bulat tak negatif. Sesuai analogi dengan definisi rantai Markov waktu diskrit, suatu proses {X t, t 0} adalah rantai Markov waktu kontinu (RMWK) jika untuk semua s, t 0 dan bilangan bulat tak negatif i, j, x u, 0 u < s P(X t+s = j X s = i, X u = x u, 0 u < s) = P(X t+s = j X s = i)

7 Peluang Kesetimbangan Dengan kata lain, sebuah RMWK adalah suatu proses stokastik yang memiliki sifat Markov yaitu peluang bersyarat dari keadaan X t+s diberikan keadaan sekarang X s dan keadaan pada masa lampau X u, 0 u < s, hanya bergantung pada keadaan pada masa sekarang dan saling bebas dengan keadaan pada masa lampau.

8 Peluang Kesetimbangan Sebagai tambahan, jika P(X t+s = j X s = i) saling bebas dari s, maka RMWK dikatakan memiliki peluang transisi homogen atau stasioner. Semua rantai Markov pada materi ini akan diasumsikan memiliki peluang transisi stasioner.

9 Peluang Kesetimbangan Misalkan sebuah RMWK masuk ke keadaan i pada suatu waktu, misalkan, waktu 0, dan misalkan proses tersebut tidak meninggalkan keadaan i (tidak terjadi transisi) selama 10 menit ke depan. Berapa peluang bahwa proses tidak akan meninggalkan keadaan i selama 5 menit selanjutnya? Karena proses berada di keadaan i pada waktu 10, maka berdasarkan sifat Markov, peluang bahwa proses akan tetap berada di keadaan i selama interval [10, 15] merupakan peluang (tak bersyarat) bahwa proses tetap berada di keadaan i selama minimal 5 menit.

10 Peluang Kesetimbangan Misalkan T i menyatakan lamanya waktu proses berada di keadaan i sebelum berpindah ke keadaan lain, maka atau secara umum, P(T i > 15 T i > 10) = P(T i > 5) P(T i > s + t T i > s) = P(T i > t) untuk semua s, t 0. Dengan demikian, peubah acak T i bersifat memoryless dan berdistribusi eksponensial.

11 Peluang Kesetimbangan Perhatikan proses Markov (stasioner) dengan ruang parameter kontinu (parameternya biasanya adalah waktu). Transisi dari satu keadaan ke keadaan lain dapat terjadi dalam waktu yang singkat. RMWK merupakan sebuah proses stokastik yang memiliki sifat bahwa setiap waktu proses masuk ke keadaan i lamanya waktu yang dihabiskan proses tersebut sebelum melakukan transisi ke keadaan lain berdistribusi eksponensial dengan mean 1 λ i, dan ketika proses meninggalkan keadaan i, proses selanjutnya akan masuk ke keadaan j dengan peluang P ij.

12 Peluang Kesetimbangan Sebuah proses Markov X t ditentukan oleh matriks generator atau matriks laju transisi. q i,j = lim t 0 P(X t+ t = j X t = i), i j t Peluang per satuan waktu bahwa sistem melakukan transisi dari keadaan i ke keadaan j laju transisi atau intensitas transisi Total laju transisi keadaan i adalah q i = j i q i,j, umur suatu keadaan Eksp(q i ) Berikut ini adalah laju di mana peluang keadaan i berkurang. Definisikan q i,i = q i

13 Peluang Kesetimbangan Matriks laju transisi dituliskan sebagai berikut q 0,0 q 0,1 q 0 q 0,1 Q = q 1,0 q 1,1 = q 1,0 q Jumlah tiap baris adalah nol.

14 Laju Transisi dan Peluang Transisi Peluang Kesetimbangan Kaitan antara laju transisi dengan peluang transisi adalah sebagai berikut p i,j = lim P(X t+ t = j X t+ t i, X t = i) t 0 P(X t+ t = j, X t+ t i X t = i) = lim t 0 P(X t+ t i X t = i) i,j q i,j i j = jq 0 i = j

15 Peluang Kesetimbangan Jika dituliskan dalam bentuk matriks peluang transisi, maka 0 q 0,1 q 0,2 q i,j q i,j j i j i q P = 1,0 q q i,j 0 1,2 q i,j j i j i Total jumlah per baris adalah satu.

16 Peluang Keadaan Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Vektor peluang keadaan π i (t) = P(X t = i) sekarang adalah fungsi yang bergantung waktu, yaitu d π(t) = π(t) Q dt dengan π(t) = (π 0 (t) π 1 (t) π 2 (t) )

17 Global Balance Conditions Peluang Kesetimbangan Solusi stasioner π = lim t π(t) tidak tergantung waktu, dengan demikian π Q = 0 Kondisi kesetimbangan tersebut memperlihatkan kesetimbangan antara peluang kejadian masuk dan kejadian keluar dari i.

18 Peluang Kesetimbangan q 0 q 0,1 q 0,2 π Q = (π 0 π 1 π 2 ) q 1,0 q 1 q 1,2 = q 0 π 0 + q 1,0 π 1 + q 2,0 π = 0 q 0,1 π 0 q 1 π 1 + q 2,1 π = 0. Jika bagian yang negatif dipindah ruas ke kanan, maka q 1,0 π 1 + q 2,0 π = q 0 π 0 q 0,1 π 0 + q 2,1 π = q 1 π 1.

19 Peluang Kesetimbangan Secara umum, kita peroleh persamaan kesetimbangan tersebut yaitu Untuk baris ke-j q j π j = i j q j,i π j = i j i j π i q i,j π i q i,j atau dengan kata lain i j π j q j,i = i j π i q i,j

20 Peluang Kesetimbangan Perhatikan sebuah sistem di mana keadaan di setiap waktu direpresentasikan oleh banyaknya orang yang berada dalam sistem tersebut. Misalkan setiap kali ada i orang dalam sistem, maka kedatangan baru masuk ke dalam sistem dengan laju eksponensial sebesar λ i orang meninggalkan sistem dengan laju eksponensial sebesar µ i

21 Peluang Kesetimbangan Dengan kata lain, setiap kali ada i orang di dalam sistem, maka waktu sampai kedatangan berikutnya berdistribusi eksponensial dengan mean 1 λ i dan saling bebas dengan waktu sampai keberangkatan berikutnya di mana keberangkatan tersebut berdistribusi eksponensial dengan mean 1 µ i. Sistem seperti ini disebut proses kelahiran-kematian. Parameter {λ i } i=0 dan {µ i} i=1 secara berturut-turut adalah laju kedatangan (kelahiran) dan laju keberangkatan (kematian).

22 Peluang Kesetimbangan Dengan demikian, sebuah proses kelahiran-kematian merupakan RMWK dengan keadaan {0, 1,...} di mana transisi dari keadaan i hanya bisa berpindah ke keadaan j = i + 1 atau j = i 1. λ i jika j = i + 1 q i,j = µ i jika j = i 1 0 lainnya Atau jika digambarkan

23 Peluang Kesetimbangan Matriks untuk Q adalah λ 0 λ µ 1 (λ 1 + µ 1 ) λ Q = 0 µ 2 (λ 2 + µ 2 ) λ µ 3 (λ 3 + µ 3 )

24 Peluang Kesetimbangan Dengan menggunakan hubungan di atas, maka diperoleh matriks P sebagai berikut µ 1 λ λ 1 +µ λ 1 +µ µ P = 0 2 λ λ 2 +µ λ 2 +µ 2... µ λ 3 +µ

25 Peluang Kesetimbangan Dengan demikian, diperoleh hubungan antara laju transisi dengan peluang transisinya secara umum adalah: P 01 = 1 λ i P i,i+1 =, i > 0 λ i + µ i P i,i 1 = µ i, i > 0 λ i + µ i

26 Peluang Kesetimbangan Peluang Kesetimbangan Untuk menyelesaikan kasus di atas, kita akan menggunakan global balance condition pada keadaan-keadaan 0, 1,..., k. Berdasarkan kesetimbangan proses masuk dan keluar, maka λ k π k = µ k+1 π k+1, k = 0, 1, 2,... Selanjutnya kita peroleh bentuk rekursif π k+1 = λ k µ k+1 π k Berdasarkan persamaan rekursif di atas, kita bisa menuliskan semua peluang keadaan dalam bentuk π 0 yaitu π k = λ k 1 k 1 λ k 2... λ 0 λ i π 0 = π 0 µ k µ k 1... µ 1 µ i+1 i=0

27 Peluang Kesetimbangan Ingat! Peluang keadaan memiliki sifat π k = 1. Dengan menggunakan sifat tersebut, kita peroleh k=0 k=0 π k = π 0 + k=1 1 = π 0 [1 + 1 π 0 = 1 + k=1 Π k 1 i=0 k=1 Π k 1 i=0 λ i µ i+1 π 0 Π k 1 i=0 λ i µ i+1 λ i µ i+1 Setelah memperoleh nilai π 0, maka kita juga bisa mendapatkan nilai dari π k. ]

28 Cara Alternatif Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Selain menggunakan matriks laju transisi, terdapat cara lain untuk mendapatkan peluang keadaan k, yaitu dengan memperhatikan proses masuk dan proses keluar pada proses kelahiran kematian.

29 Peluang Kesetimbangan Keadaan Laju Saat Proses Laju Saat Proses Meninggalkan Sistem = Masuk ke dalam Sistem 0 λ 0 π 0 = µ 1 π 1 k, k 1 (λ k + µ k )π k = λ k 1 π k 1 + µ k+1 π k+1

30 Peluang Kesetimbangan Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, maka dapat dilakukan langkah-langkah berikut: ( ) λ0 π 1 = π 0 µ 1 π k+1 = (λ k + µ k ) µ k+1 π k λ k 1 = λ k µ k+1 π k + π k 1 µ [ k+1 µk π k λ k 1 π k 1 µ k+1 µ k+1 ], k 1

31 Peluang Kesetimbangan Selanjutnya, lakukan proses rekursif sehingga diperoleh ( ) λ0 π 1 = π 0 µ 1 π 2 = λ [ 1 µ1 π 1 + π 1 λ ] 0 π 0 µ 2 µ 2 µ 2 [ ] λ1 λ 0 + λ 0 µ 1 λ 0 µ 1 = π 0 µ 2 µ 1 = λ 1λ 0 µ 2 µ 1 π 0

32 Peluang Kesetimbangan π 3 = λ [ 2 µ2 π 2 + π 2 λ ] 1 π 1 µ 3 µ 3 µ 3 [ ] λ2 λ 1 λ 0 + λ 1 λ 0 µ 2 λ 1 λ 0 µ 2 = π 0 µ 3 µ 2 µ 1. = λ 2λ 1 λ 0 µ 3 µ 2 µ 1 π 0 π k = λ k 1λ k 2... λ 0 µ k µ k 1... µ 1 π 0 = k 1 i=0 λ i µ i+1 π 0 Untuk penyelesaiannya sama dengan cara sebelumnya.

33 Peluang Kesetimbangan Contoh 1: Proses Poisson (Kelahiran Murni) Pandang suatu proses kelahiran dan kematian di mana µ i = 0, i 0 λ i = λ, i 0 Ini merupakan proses di mana keberangkatan/kepergian tidak pernah terjadi dan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial dengan mean 1 λ. Proses seperti ini disebut sebagai proses Poisson (disebut juga sebagai proses kelahiran murni).

34 Peluang Kesetimbangan Contoh 2: Proses Kelahiran dengan Laju Kelahiran Linier Pandang sebuah populasi di mana anggota populasi tersebut dapat melahirkan anggota baru tapi tidak bisa mati. Jika perilaku setiap anggota saling bebas dengan anggota lain dan lamanya waktu melahirkan berdistribusi eksponensial dengan mean 1 λ. Jika X (t) adalah ukuran populasi pada waktu t, maka {X (t), t 0} adalah proses kelahiran murni dengan λ i = iλ, i 0. Ini menunjukkan bahwa jika populasi terdiri atas i orang dan masing-masing melahirkan dengan laju λ, maka laju total di mana proses kelahiran terjadi adalah iλ. Proses kelahiran ini dikenal dengan proses Yule (Yule process).

35 Contoh 3: Sistem Antrian Server Tunggal Peluang Kesetimbangan Misalkan pelanggan datang pada suatu stasiun layanan dengan server tunggal berdasarkan proses Poisson dengan laju λ. Waktu layanan server tersebut berdistribusi eksponensial dengan laju µ. Sistem seperti ini dinamakan dengan sistem antrian server tunggal atau biasa dinotasikan dengan sistem antrian M/M/1.

36 Peluang Kesetimbangan Keadaan Laju Saat Proses Laju Saat Proses Meninggalkan Sistem = Masuk ke dalam Sistem 0 λπ 0 = µπ 1 k, k 1 (λ + µ)π k = λπ k 1 + µπ k+1

37 Peluang Kesetimbangan Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, maka kita dapat menuliskannya sebagai π 1 = λ µ π 0 π k+1 = λ µ π k + [ π k λ ] µ π k 1, k 1

38 Peluang Kesetimbangan Kemudian substitusikan dalam bentuk π 0, maka diperoleh π 1 = λ µ π 0 π 2 = λ [ µ π 1 + π 1 λ ] µ π 0 = λ ( ) λ 2 µ π 1 = π 0 µ π 3 = λ [ µ π 2 + π 2 λ ] µ π 1 = λ ( ) λ 3 µ π 2 = π 0 µ. π k+1 = λ µ π k + [ π k λ ] µ π k 1 = λ µ π k = ( ) λ k+1 π 0 µ

39 Peluang Kesetimbangan Untuk menentukan π 0 kita gunakan fakta bahwa penjumlahan seluruh π k bernilai 1, maka 1 = π k = k=0 k=0 ( ) λ k+1 π 0 = π 0 µ 1 λ µ π 0 = 1 λ µ ( ) λ k ( π k = 1 λ ), k 1 µ µ

40 Contoh 4 Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Misalkan suatu proses kelahiran dan kematian memiliki laju kelahiran konstan λ = 2 dan laju kematian konstan µ = 3. Tentukan nilai π 0 dan π k pada model tersebut dengan menggunakan analisis persamaan kesetimbangan!

41 Peluang Kesetimbangan Solusi: Perhatikan proses berikut

42 Peluang Kesetimbangan Dengan menggunakan persamaan kesetimbangan diperoleh 2π 0 = 3π 1 π 1 = 2 3 π 0 2π 1 = 3π 2 π 2 = 2 3 π 1 =. 2π k 1 = 3π k π k = ( ) 2 k π 0 3 ( ) 2 2 π 0 3

43 Peluang Kesetimbangan Selanjutnya, gunakan sifat π k = 1 π k = k=0 k=0 k=0 ( ) 2 k π 0 3 ( ) 2 k 3 k=1 ( ) ] 2 k 3 1 = π 0 + π 0 1 = π 0 [1 + π 0 = k=1 k=1 ( 2 ) = 1 k = 1 3 3

44 Peluang Kesetimbangan Substitusikan nilai π 0 ke dalam persamaan π k sehingga diperoleh π k = ( ) 2 k π 0 = ( ) 2 k 3

45 Contoh 5 Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Misalkan di sebuah Bank terdapat tiga orang teller dan dua buah kursi tunggu. Misalkan setiap nasabah datang dengan laju λ dan waktu layanan di setiap teller adalah sebesar µ. Hitunglah peluang bahwa tidak ada nasabah yang datang ke Bank jika diketahui λ = 1 dan µ = 2! Tentukan pula peluang terdapat 4 nasabah di dalam Bank!

46 Peluang Kesetimbangan Solusi: Perhatikan ilustrasi berikut:

47 Peluang Kesetimbangan Jadi, prosesnya dapat digambarkan dalam diagram:

48 Peluang Kesetimbangan Maka λπ 0 = µπ 1 π 1 = λ µ π 0 λπ 1 = 2µπ 2 λπ 2 = 3µπ 3 λπ 3 = 3µπ 4 λπ 4 = 3µπ 5 π 2 = λ 2µ π 1 = 1 2 π 3 = λ 3µ π 2 = 1 6 π 4 = λ 3µ π 3 = 1 18 π 5 = λ 3µ π 4 = 1 54 ( ) λ 2 π 0 µ ( ) λ 3 π 0 µ ( ) λ 4 π 0 µ ( ) λ 5 π 0 µ

49 Peluang Kesetimbangan Dengan menggunakan sifat jumlah total peluang maka diperoleh [ π λ µ + 1 ( ) λ ( ) λ ( ) λ ( ) ] λ 5 = 1 2 µ 6 µ 18 µ 54 µ Diketahui λ = 1 dan µ = 2, maka peluang tidak ada nasabah datang ke Bank adalah [ π ] = π 0 = 1 π 0 = 0.606

50 Peluang Kesetimbangan Selanjutnya, peluang terdapat empat nasabah di Bank adalah: π 4 = 1 54 ( ) λ 5 π 0 µ = =

51 Peluang Kesetimbangan Contoh 6: Model Perbaikan Sebuah Mesin Di dalam sebuah toko terdapat M mesin dan seorang tukang. Misalkan lamanya waktu untuk masing-masing mesin bekerja sebelum akhirnya rusak berdistribusi Eksponensial dengan rate λ dan lamanya waktu mesin tersebut diperbaiki oleh tukang berdistribusi Eksponensial dengan rate µ. Berapa peluang bahwa sebanyak n mesin akan tidak digunakan? Berapa rata-rata banyaknya mesin yang tidak digunakan? (Petunjuk: Gunakan persamaan kesetimbangan untuk menyelesaikan masalah tersebut, keadaannya menyatakan banyaknya mesin yang rusak).

52 Peluang Kesetimbangan Solusi: Misalkan sistem berada di keadaan n jika sebanyak n mesin tidak digunakan, maka proses tersebut merupakan proses birth and death dengan parameter: µ n = µ n 1 { (M n)λ n M λ n = 0 n > M

53 Peluang Kesetimbangan Proses tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

54 Peluang Kesetimbangan Dengan menggunakan persamaan kesetimbangan maka, Mλπ 0 = µπ 1 π 1 = Mλ µ π 0 (M 1)λπ 1 = µπ 2 π 2 = (M 2)λπ 2 = µπ 3 π 3 = (M n)λπ n = µπ n+1. (M 1)λ (M 1)Mλ2 π 1 = µ µ 2 π 0 (M 2)λ (M 2)(M 1)Mλ3 π 2 = µ µ 3 π 0

55 Peluang Kesetimbangan Secara umum diperoleh π n yaitu (M n + 1)(M n + 2)... (M 1)Mλn π n = µ n π 0 ( ) M! λ n = π 0 (M n)! µ

56 Peluang Kesetimbangan Selanjutnya gunakan sifat M π n = 1 sehingga diperoleh: M π n = n=0 M n=0 n=0 M! (M n)! 1 = π 0 + π 0 M 1 = π 0 [1 + π 0 = 1 + M n=1 n=1 M n=1 1 ( ) λ n π 0 µ M! (M n)! M! (M n)! ( ) n M! λ (M n)! µ ( ) λ n µ ( ) ] λ n µ

57 Peluang Kesetimbangan Substitusikan nilai π 0 ke dalam persamaan π n dan diperoleh peluang bahwa sebanyak n mesin tidak digunakan yaitu π n = M! (M n)! ( ) λ n π 0 = µ ( ) n M! λ (M n)! µ 1 + M n=1 M! (M n)! ( λ µ ) n

58 Peluang Kesetimbangan Selanjutnya, rata-rata banyaknya mesin yang tidak digunakan adalah M ( ) n M n M! λ (M n)! µ n=0 nπ n = n=0 1 + M ( ) n M! λ (M n)! µ n=1

59 Contoh 7 Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Di sebuah salon terdapat dua orang tukang cukur (Andi dan Bob) dan sebuah bangku tunggu untuk pelanggan. Jika seorang pelanggan datang ketika ada 3 pelanggan di dalam salon, maka pelanggan tersebut akan pergi.

60 Peluang Kesetimbangan Para pelanggan datang berdasarkan proses Poisson dengan waktu antar kedatangan 30 menit. Andi melayani pelanggan dengan laju 2 orang/jam, sedangkan Bob melayani pelanggan dengan laju 1 orang/jam. Karena Andi lebih cepat daripada Bob, maka jika hanya terdapat seorang pelanggan di dalam salon, Andilah yang akan melayani pelanggan tersebut.

61 Peluang Kesetimbangan Asumsikan bahwa waktu antar kedatangan dan waktu layanan adalah peubah acak-peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi Eksponensial. a. Gambarkan diagram dari keadaan-keadaan yang mungkin terjadi! b. Berapa peluang bahwa salon tersebut kosong? c. Misalkan X menyatakan banyaknya pelanggan yang berada di dalam salon. Berapa peluang dari X untuk masing-masing k, k = 0, 1, 2, 3? d. Berapa peluang bahwa seorang pelanggan yang datang akan meninggalkan salon?

62 Peluang Kesetimbangan Solusi: a. Diketahui: λ i = 2 µ 1 = µ A = 2 µ 2 = µ 3 = 3 Karena untuk i = 2, 3 maka waktu layanannya adalah D = min(t A, T B ), sehingga D Ekps(1 + 2 = 3).

63 Peluang Kesetimbangan b. Peluang bahwa salon tersebut kosong adalah π 0, maka dengan menggunakan persamaan kesetimbangan diperoleh 2π 0 = 2π 1 π 1 = π 0 2π 1 = 3π 2 π 2 = 2 3 π 1 = 2 3 π 0 Gunakan fakta bahwa 2π 2 = 3π 3 π 3 = 2 3 π 2 = 4 9 π 0 3 i=0 π i = 1 maka π 0 + π 1 + π 2 + π 3 = 1 π 0 + π π π 0 = π 0 = 1 π 0 = 9 28

64 Peluang Kesetimbangan c. Misalkan X menyatakan banyaknya pelanggan yang berada di dalam salon, maka peluang dari X untuk masing-masing k, k = 0, 1, 2, 3 adalah k π k = P(X = k) 0 π 0 = π 1 = π 0 = π 2 = 2 3 π 0 = π 3 = 4 9 π 0 =

65 Peluang Kesetimbangan d. Peluang bahwa seorang pelanggan yang datang akan meninggalkan salon, artinya sudah terdapat 3 pelanggan yang berada di dalam salon, maka π 3 = P(X = 3) = 4 28 = 1 7

66 Solusi Bergantung-Waktu untuk Proses Kelahiran-Kematian Peluang Kesetimbangan Pada bagian sebelumnya kita telah menentukan solusi π dari proses kelahiran-kematian. Kita dapat pula menentukan bagaimana peluang keadaan yang bergantung dengan waktu, di mana lim π(t) = π. Kita bisa mendapatkan solusi π(t) dengan t menyelesaikan persamaan kesetimbangan berikut: d π(t) = π(t) Q dt dengan Q adalah matriks laju transisi.

67 Peluang Kesetimbangan Maka kita mempunyai sistem persamaan sebagai berikut:

68 Contoh 8: Kelahiran Murni Peluang Kesetimbangan

69 Contoh 9: Kematian Murni Peluang Kesetimbangan

70 Ross, Sheldon M Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J Queueing Theory/ Probability Theory.