( ) = ( ) Μάθημα 2 ο ΒΑΘΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ. Θεωρία : Γραμμική Άλγεβρα : εδάφιο 4, σελ. 63, Πρόταση 4.9, σελ. 90. Βασικές ιδιότητες

Transcript

1 Ανάλυση Πινάκων και Εφαρμογές Σελίδα 1 από 6 Μάθημα 2 ο ΒΑΘΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραμμική Άλγεβρα : εδάφιο 4, σελ. 63, Πρόταση 4.9, σελ. 90. Βασικές ιδιότητες Έστω A είναι μ ν πίνακας. Τότε 1. ranka= ranka T = rank ( A) 2. A ( A) rank + dim ker = ν 3. rank A+ B ranka+ rankb A rank A B rank A + rank B ; rank rank A + rank B B 4. [ ] 5. rank PA = rank AQ = ranka, όπου P και Q είναι πίνακες αντιστρέψιμοι. 6. rank min{ rank, rank } AB A B. 7. rank AB rank A + rank B ν, όπου ν είναι η κοινή διάσταση των πινάκων A και B. T T 8. rank AΑ = rank A Α = rank A. Πρόταση 2.1 Αν A και B είναι πίνακες τύπου μ ν και ν k αντίστοιχα, τότε = ( ) rank AB rank B dim ker A Im B.

2 Ανάλυση Πινάκων και Εφαρμογές Σελίδα 2 από 6 Απόδειξη : Έστω τα διανύσματα x1, x2,, x τ είναι βάση του υπόχωρου ker A Im B και rank B =σ. Επειδή ker A Im B Im B, θεωρούμε τα διανύσματα x1, x2,, xτ, y1, y2,, y ως μία βάση του Im B. Έτσι, αρκεί να αποδείξουμε ότι τα διανύσματα Ay1, Ay 2,, Ay είναι βάση του υπόχωρου και διότι Im( AB ). ( Im AB). Για κάθε ω Im B είναι ω Bυ τ ABυ = Aω = A x + λ y = λ Ay i= 1 i= 1 i= 1 ki i i i i( i), k =, για υ, xi ker A. Συνεπώς Ay i,i= 1,2,,, είναι γεννήτορες του Επιπλέον, τα διανύσματα Ay1, Ay 2,, Ay είναι γραμμικά ανεξάρτητα, 0 A c διότι από την ισότητα c = i yi = A iyi i= 1 i= 1 συμπεραίνουμε, ότι το διάνυσμα ci yi του Im B ανήκει επιπλέον και στον ker A. Τότε i= 1 c y x x i i = μ 1 1+μ μτxτ. i= 1 Επειδή τα διανύσματα {,,,,,,, } x1 x2 xt y1 y2 y είναι βάση του Im B, προφανώς c = 0, i= 1,2,,. i Σημειώστε ότι γενικά έχουμε rank ( AB) rank πίνακες BΑ. Παράδειγμα, για τους έχουμε AB B rank AB 1 και A = 0 0, B = 0 0 = = BA O ( BA) = rank = 0.

3 Ανάλυση Πινάκων και Εφαρμογές Σελίδα 3 από 6 Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση 2.1 Για τους τετραγωνικούς πίνακες AB, τάξεως ν, αν AB = O, αποδείξατε ότι rank A+ rank B ν. Λύση : Από την ιδιότητα 7, συμπεραίνουμε άμεσα τη σχέση. Άσκηση 2.2 Αν για τους πίνακες A K μ ρ και B K ρ ν είναι AB = O και rank A =σ, τότε rank B ρ σ. Λύση : Από την ιδιότητα 7, έχουμε 0 = rank AB σ+ rank B ρ rank B ρ σ. Άσκηση 2.3 Αν για τους ν ν πίνακες ABΓ,, είναι ABΓ = O, αποδείξατε ότι Λύση : Από την ιδιότητα 7, έχουμε rank A+ rank B+ rank Γ 2ν. 0 = rank ABΓ rank A+ rank BΓ ν rank A+ rank B+ rank Γ 2ν. Άσκηση 2.4 Αν για τους ν ν πίνακες AB, είναι A+ B= I ν, αποδείξατε ότι Λύση : Επειδή A+ B= I ν rank A+ rank B ν., από την ιδιότητα 3, συμπεραίνουμε ν= rank A+ B rank A+ rank B. Άσκηση 2.5 Αν για τους μ ν πίνακες και είναι rank A B k, αποδείξατε ότι rank A rank B k. A B

4 Ανάλυση Πινάκων και Εφαρμογές Σελίδα 4 από 6 Λύση : Από την ιδιότητα 3, έχουμε και rank A= rank A B+ B rank A B + rank B k+ rank B rank B= rank B A+ A rank B A + rank A= rank A B + rank A k+ rank A. Συνεπώς, k rank A rank B k. Άσκηση 2.6 Για τους μ ν πίνακες A και B, αν είναι rank A =ρ και rank B =σ ρ, αποδείξατε ότι ( B) ρ σ rank A+ ρ+σ. Λύση : Από την ιδιότητα 3, προφανώς rank ( A B) + ρ+σ. Επιπλέον, έχουμε rank ( A B). ρ= rank A = rank A+ B B rank A+ B + rank B = rank A+ B + σ ρ σ + Aν ν B Άσκηση 2.7 Αποδείξατε, rank = rank A ακριβώς όταν μ μ B=, Γ = Y A και Δ = YAX, όπου XY, κατάλληλοι πίνακες. AX ν μ μ ν Λύση : Από την ισότητα συμπεραίνουμε ότι κάθε B A στήλη του υποπίνακα είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του, Δ Γ όπως και κάθε γραμμή του A B rank = rank A [ ] είναι γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του [ A B ]. Συνεπώς, υπάρχουν πίνακες X ν μ και Y μ ν ώστε B A AX X Δ = = Γ ΓX, [ ] = YA [ B] = [ YA YB] B = AX, Γ = YA και Δ= ΓX = YAX. (*)

5 Ανάλυση Πινάκων και Εφαρμογές Σελίδα 5 από 6 Αντίστροφα, από τις ισότητες (*) συμπεραίνουμε και επιπλέον A B rank = rank A A B A AX Iν AI = = YA YAX Y ν, διότι rank rank[ I X] [ X] I = ν =ν Y. ν Άσκηση 2.8 Αν ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιμος, δείξατε ότι rank ( adja) 1. Λύση : Επειδή ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιμος rank A ν 1. Αν rank A <ν 1, όλα τα αλγεβρικά συμπληρώματα A των στοιχείων του Αν A είναι μηδέν, καθόσον είναι ορίζουσες τύπου ( ν 1) ( ν 1). Συνεπώς rank 1, από την ισότητα adja= O rank adja = 0. A =ν ( adj ) ( det ) A A = A I ν = O, έχουμε ( A A) A ( A) ( A) 0 = rank adj rank + rank adj ν=ν 1+ rank adj ν ( A) rank adj 1. Επειδή A ( A) rank =ν 1 rank adj 0 rank adja = 1. ij Άσκηση 2.9 Για τους ν ν πίνακες A και B, αν AB = O και 2 rank A = rank A, αποδείξατε ότι rank A+ B = rank A+ rank B. Λύση : Σύμφωνα με την Πρόταση 2.1, έχουμε 2 rank A rank A rank A dim ker A Im και κατά συνέπεια ker A Im A { 0 } ν y = Bz, όπου z R και = = A =. Επιπλέον, για κάθε y Im B, έχουμε

6 Ανάλυση Πινάκων και Εφαρμογές Σελίδα 6 από 6 Τότε, { } Ay = ABz = 0 y ker A Im B ker A Im B Im A = 0. rank A+ B = dim Im A+ B = dim Im A + dim Im B dim Im A Im B = rank A + rank B. Άσκηση 2.10 Για τους πίνακες AB, και Γ αποδείξατε ότι ( ABΓ) B ( AB) ( BΓ) rank + rank rank + rank. Λύση : Αρκεί να αποδείξουμε τη σχέση Από την Πρόταση 2.1, έχουμε rank ABΓ rank BΓ rank AB rank B ( ABΓ) ( BΓ) = A ( BΓ) rank rank dim ker Im και Επειδή και προφανώς ( AB) B ( A B) rank rank = dim ker Im. Im BΓ Im B ker A Im BΓ ker A Im B, ( A ( BΓ) ) ( A B) dim ker Im dim ker Im.