Μάθηµα 8 ο Ι ΙΑΖΟΥΣΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ. Λυµένες Ασκήσεις

Transcript

1 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από Μάθηµα 8 ο Ι ΙΑΖΟΥΣΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5 σελ 9 Ασκήσεις : σελ 98 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 8 Να βρείτε τη ιδιάζουσα παραγοτοποίηση και τη πολική παραγοτοποίηση τω πιάκω A = 0 0 B = 0 Γ = [ ] Λύση : Για το πίακα A έχουµε AA Στη ιδιάζουσα τιµή = σ ( AA) = { 4 0} σ = 4 = µοαδιαίο ιδιοδιάυσµα [ ] σ = (ή στη ιδιοτιµή λ = 4) ατιστοιχού το x = του πίακα AA και το µοαδιαίο ιδιοδιάυσµα y = Ax = [ 0 σ ] του πίακα AA Επιπλέο το οµογεές σύστηµα A Ax= 0 επαληθεύεται από το µοαδιαίο διάυσµα x = [ ] και το οµογεές σύστηµα διαύσµατα AA y = 0 από τα

2 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από Τα διαύσµατα y [ 0 y [ ] [ ] = c 0 + c 0 0 = ] και y [ ] βάση του ker ( AA ) Έτσι για 0 V = U = έχουµε τη ιδιάζουσα παραγοτοποίηση A = USAV 3 = 0 0 είαι ορθοκαοκή S A = 0 0 Για τη πολική παραγοτοποίηση του A θεωρούµε τους διαµερισµέους πίακες U και S σύµφωα µε τη µικρότερη διάσταση του A και συεπώς 0 0 = 0 0 = 0 0 V A V V V Ο πίακας 0 P= V V = 0 0 είαι θετικά ηµιορισµέος οι στήλες του 0 πίακα Q V 0 = = είαι ορθοµοαδιαία διαύσµατα και A= QP είαι η πολική παραγοτοποίηση του A Για το πίακα B έχουµε BB = [ 9] και σ = 9 = 3 Τότε στη ιδιάζουσα παραγοτοποίηση θα είαι S = [ 3 0 0] και U = [ ] διότι [ ] B y = είαι µοαδιαίο ιδιοδιάυσµα του BB ατίστοιχο της σ = 3 δηλαδή της ιδιοτιµής λ = 9

3 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 3 από Επιπλέο εξίσωσης x = B y = BBx= 9x Το οµογεές σύστηµα B Bx 0 x = = 4 4 επαληθεύεται για x = c [ 0] + c [ 0 ] είαι µοαδιαίο ιδιοδιάυσµα της Επειδή τα διαύσµατα [ ] 0 και [ ] 0 δε είαι κάθετα µε τη µέθοδο ορθογωοποίησης Gram-Schmdt βρίσκουµε τη ορθοκαοική βάση x 0 5 του ker ( BB ) Έτσι έχουµε και για τη πολική παραγοτοποίηση όπου [ ][ 3][ ] [ 3] 0 = [ ] x = [ 4 5] B = [][ 3 0 0] [][ 3][] B = = PQ P = = > και Q = [] 3 3 = Σηµειώστε ότι [ ] QQ = Για το πίακα Γ έχουµε και κατά συέπεια 0 = σ ( ) = { 3} σ = σ = ΓΓ ΓΓ S 0 0 = Γ

4 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 4 από Τα ορθοµοαδιαία ιδιοδιαύσµατα του y [ ] = 0 και [ ] 0 Τα διαύσµατα y = Επειδή ker ( ) = { 0} x = y = 0 ΓΓ ατίστοιχα τω σ και σ είαι U= y y = I ΓΓ έχουµε [ ] 3 3 Γ [ ] x = Γ y = [ ] είαι ορθοµοαδιαία ιδιοδιαύσµατα του ορθοµοαδιαία βάση του ker ( ) Γ Γ και x 3 [ = ] 6 Γ Γ Συεπώς για V [ x x x3] = έχουµε είαι και επιπλέο Γ = I Γ = = PQ είαι πολική παραγοτοποίηση του Γ όπου QQ = I Άσκηση 8 Α τα διαύσµατα ηξ δε είαι κάθετα α βρείτε τη ιδιάζουσα και τη πολική παραγοτοποίηση του πίακα A Λύση : Ο πίακας = ηξ A έχει µια ιδιάζουσα τιµή διότι rank A = Επειδή = = σ = AAξ ξη ηξ ξ η ξ ξ η ξ Συεπώς στη ιδιάζουσα παραγοτοποίηση A = USV θα έχουµε όπου ξ S = dag ( η ξ 0 0) και V = x x ξ x x είαι ορθοκαοική βάση του ker ( AA) = span{ ξ }

5 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 5 από Το διάυσµα ξ y = A = Aξ = ξ η = σ ξ η ξ η ξ η η είαι µοαδιαίο ιδιοδιάυσµα του AA και θα είαι η U = y y η όπου y είαι ορθοκαοική βάση του ker ( AA ) span{ } y Για τη πολική παραγοτοποίηση έχουµε ή ( )( ) A = USV = USU UV = PQ ( )( ) A = USV = UV VSV = QP = η Άσκηση 83 Να βρείτε τις συµµετρικές λύσεις της εξίσωσης AX = XA όπου 4 A = Λύση : Εργαζόµεοι όπως στις προηγούµεες ασκήσεις έχουµε A = USV όπου και U = S = dag ( 6 6 9) V = Ατικαθιστώτας στη εξίσωση AX = XA έχουµε ( ) ( ) USV X XVSU S V XU U XV S SY Y S = = = όπου Y = V XU Έτσι µε κατάλληλη υποδιαίρεση του Y συµπεραίουµε

6 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 6 από 6I 0 Y Y Y 6 Y I Y Y = Y 0 9 Y και κατά συέπεια Y ( ) = Y X= Vdag Y Y U Y Y και Y = όπου Y Y είαι οποιοιδήποτε συµµετρικοί πίακες και ατίστοιχα = O Άσκηση 84 Για κάθε ατιστρέψιµο πίακα A αποδείξατε ότι Λύση : Επειδή rank ( AA ) και θα έχουµε καθόσο σ =λ ( AA ) det A = σσ σ = rank A = ο πίακας AA είαι ατιστρέψιµος ( ) = σσ σ det AA Επιπλέο ( ) ( )( ) ( )( ) det AA = det A det A = det A det A = det A και συεπώς det A =σσ σ Άσκηση 85 Α τετραγωικού πίακα A = PQ = QP αποδείξατε ότι A είαι οι πολικές παραγοτοποιήσεις του Q = Q Λύση : Από τη ιδιάζουσα παραγοτοποίηση του A = USV και Είαι προφαές Q = Q = UV ( )( ) A = USV = USU UV = PQ ( )( ) A = USV = UV VSV = QP έχουµε

7 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 7 από Άσκηση 86 Έστω σ σ σ είαι οι ιδιάζουσες τιµές του πίακα A αποδείξατε ότι tr A σ+σ+ +σ Λύση : Α πίακας Q= A = USV V U Σηµειώοτας µε είαι η ιδιάζουσα παραγοτοποίηση του πίακα τότε ο είαι ορθογώιος ως γιόµεο ορθογωίω πιάκω και qj ( ) ( ) A = V V US V = V QS V τα στοιχεία του Q έχουµε ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) qj και επιπλέο tr tr tr tr q q q A= V QS V = QS V V = QS = σ + σ + + σ σ q +σ q + +σ q σ +σ + +σ Άσκηση 87 Έστω σ σ σ είαι ιδιάζουσες τιµές του A Αποδείξατε Ι σ σ σ είαι ιδιάζουσες τιµές του A ΙΙ σ =σ = =σ = ακριβώς ότα A είαι ορθοµοαδιαίος Λύση : Ι Από τη ισότητα συµπεραίουµε ότι οι ιδιοτιµές ( ( A )( A ) = ( A )( A ) = ( A A) µ του ( )( ) A A είαι µ =λ όπου λ σ AA ) Συεπώς το σύολο σ τω ιδιαζουσώ τιµώ του A είαι A σ = µ = = σ A λ όπου σ είαι οι ιδιάζουσες τιµές του A { } { } ΙΙ Έστω σ =σ = =σ = A = UV διότι S = I A ορθοµοαδιαίος ως γιόµεο ορθοµοαδιαίω πιάκω

8 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 8 από Ατίστροφα έστω A είαι ορθοµοαδιαίος πίακας τότε AA = A A = I σ = = = Άσκηση 88 Να αποδείξετε ότι ο πίακας A είαι καοικός ακριβώς ότα ισχύει µία από τις συθήκες Ι η ιδιάζουσα παραγοτοποίηση του = dag ( λ λ λ ) A V V ΙΙ στη πολική παραγοτοποίηση A= PQ οι πίακες PQ είαι ατιµεταθετικοί Λύση : Ι Έστω ο πίακας A είαι καοικός και λ x είαι ιδιοποσά του A τότε Ax =λx και Ax=λ x Επιπλέο έχουµε =λ = λ και AA x Ax x = λ = λ AAx Ax x Συεπώς στη ιδιάζουσα παραγοτοποίηση του ( ) S = dag λ λ λ Ατίστροφα από τη ισότητα = dag ( λ λ λ ) A είαι U= V και A V V είαι προφαές ( ) AA = V dag λ λ λ V = A A ΙΙ Έστω A= PQ όπου P είαι θετικά ηµιορισµέος πίακας και QQ = I Α A είαι καοικός από τη ισότητα ( ) AA A A P Q P Q P P Q PQ QP PQ = = = = = Ατίστροφα α QP = PQ PQ = Q P και ο πίακας A είαι καοικός διότι AA PQQ P P = = A A ( Q P) ( PQ) PQ QP P = = =

9 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 9 από Άσκηση 89 Για τους πίακες AB µ αποδείξατε Ι έχου τις ίδιες ιδιάζουσες τιµές ακριβώς ότα A= MBN όπου M και είαι ορθογώιοι πίακες ΙΙ AA = BB A = B όπου είαι ορθογώιος πίακας N Λύση : Ι Έστω A= MBN όπου M και N είαι ορθογώιοι πίακες Τότε οι πίακες AA και BB είαι ορθογώια όµοιοι διότι ( ) AA = M BB M και συεπώς οι ιδιάζουσες τιµές τω AA και BB ταυτίζοται Ατίστροφα α A US V και B U S V είαι οι ιδιάζουσες µ = µ = παραγοτοποιήσεις τω A B και S = S τότε ( ) ( ) A = U U B V V = MBN όπου M και N είαι ορθογώιοι πίακες ως γιόµεο ορθογωίω πιάκω ΙΙ Από τη ισότητα AA = BB συµπεραίουµε ότι οι πίακες A και B έχου τις ίδιες ιδιάζουσες τιµές και τα ίδια ατίστοιχα ιδιοδιαύσµατα ιδιάζουσες παραγοτοποιήσεις τω ( ) AB A = USV έχουµε B = USV και απ αυτές A = B V V = B όπου = V V Ατίστροφα α A = B όπου ορθογώιος θα είαι AA = B B = BB y Έτσι στις Άσκηση 80 Α A και το γραµµικό σύστηµα Az = b είαι συµβιβαστό µ αποδείξατε ότι το διάυσµα είαι µερική λύση του όπου k z = k = ( Ab ) σ x x = ranka σ είαι οι ιδιάζουσες τιµές του A και x είαι ατίστοιχα ιδιοδιαύσµατα του AA

10 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 0 από Λύση : Έστω A USV y y y S [ x x x ] παραγοτοποίηση του = = µ είαι ιδιάζουσα A όπου Ατικαθιστώτας στη εξίσωση Ax ( σ σ σ ) dag k O S = O O = b έχουµε το ισοδύαµο σύστηµα Sω = γ όπου ω = V z γ = Ub Ααλυτικότερα ( σ σ σ ) dag k O ω γ = ω γ O Προφαώς θα πρέπει α είαι γ = 0 διότι για γ 0 το σύστηµα δε είαι συµβιβαστό Σηµειώοτας O επειδή έχουµε ω = dag γ γ = γ γ k σ σ σk σ σ σk ( Ax ) ( Ab ) γ yb b σy b σ σ σ σ σ = = = = ( Ab ) x k k ω γ x z = Vω = V x 0 = = x = σ = σ Άσκηση 8 Έστω σmax ( ) και σmn ( ) ιδιάζουσα τιµή πίακα Αποδείξατε : Ι για κάθε διάυσµα ΙΙ σ ( A+ B) σ ( A) +σ ( B) max max max x ( ) ( ) είαι η µέγιστη και η ελάχιστη σ mn A x Ax σ max A x

11 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από Λύση : Ι Έστω A = USV είαι ιδιάζουσα παραγοτοποίηση του A και ( ) S = dag s s s 0 0 k Τότε Επειδή και V ( ) k = = = = σ = Ax x A Ax x VSU USV x S V x V x είαι ορθοµοαδιαίος πίακας ( ) ( ) σ max =σ max Ax A V x A x ( ) ( ) mn mn Ax σ A V x =σ A x ΙΙ Επειδή A =σ ( A) ( ) max B =σ B έχουµε max ( A B) A B A B ( A) ( B) σ + = + + =σ +σ max max max Άσκηση 8 Α σ σ σk είαι οι ιδιάζουσες τιµές του πίακα A µ όπου µ k = ranka βρείτε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιαύσµατα του ( µ+ ) ( µ+) πίακα O A B = A O Λύση : Έστω A = USV είαι η ιδιάζουσα παραγοτοποίηση του A τότε AA O B = O A A Συεπώς ( B ) ( AA σ =σ ) σ ( A A) = { σ σ σk0} Α AAx και =σx AA y y χαρακτηριστικές εξισώσεις ( B) { k0} σ = ±σ ±σ ±σ = σ από τις ( 75 σελ 9 ) και τις y Ax σ y y B = = =σ x A y σ x x

12 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από y Ax σy y B = = = σ x A y σ x x συµπεραίουµε τα ατίστοιχα ιδιοποσά σ y x και σ y x του πίακα B για = k Στη ιδιοτιµή λ = 0 του B ατιστοιχού ( µ+) rank B= ( µ+) rank A=µ+ k ( µ ) ιδιοδιαύµατα Α ω ( AA)( A) = και z ker ( AA )( ker A ) ker ker ιδιοτιµή λ= 0 του B τα ατίστοιχα ιδιοδιαύσµατα είαι = στη διότι 0 ω ( = k) και 0 Aω ω = 0 = B 0 z j 0 ( j= µ k) z 0 = = j B 0 0 Az j