Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică
|
|
- Ίησους Πανταζής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
2 Outline 1 Prezentarea generală a paradigmei 2 Studii de caz Distanţa între şiruri D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
3 Prezentarea generală a paradigmei Plan 1 Prezentarea generală a paradigmei 2 Studii de caz Distanţa între şiruri D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
4 Prezentarea generală a paradigmei Clasa de probleme Clasa de probleme la care se aplică include probleme de optim. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
5 Prezentarea generală a paradigmei Modelul matematic 1 Definirea noţiunii de stare, care este de fapt o generalizare a problemei iniţiale şi asocierea funcţiei obiectiv pentru stare. Problemei trebuie sa devină un caz particular (o stare). 2 Definirea unei relaţii de tranziţie între stări. O relaţie s s, unde s şi s sunt stări, va fi numită decizie. O politică este o secvenţă de decizii consecutive, adică o secvenţă de forma s 0 s 1 s n. 3 Unei stări s îi asociem o valoare z şi definim f (z) astfel încât, dacă starea s corespunde problemei iniţiale, atunci f (z) = optim R(x 0,..., x m 1 ) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
6 Prezentarea generală a paradigmei Modelul matematic 4 Aplicarea Principiului de Optim pentru obţine o relaţie de recurenţă. Principiul de optim (PO) afirmă că o subpolitică a unei politici optimale este la rândul ei optimală. Deoarece este posibil ca PO să nu aibă loc, rezultă că trebuie verificată validitatea relaţiei de recurenţă. 5 Principiul de optim conduce la obţinerea unei ecuaţii funcţionale de forma: f (z) = optim y [H(z, y, f (T (z, y)))] (1) unde: s şi s sunt două stări astfel încât una se obţine din cealaltă aplicând decizia d, z este valoarea asociată stării s, T (z, y) calculează valoarea stării s, iar H exprimă algoritmul de calcul al valorii f (z) dat de decizia d. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
7 Prezentarea generală a paradigmei Modelul matematic 6 Relaţia de mai sus poate fi interpretată astfel: dintre toate deciziile care se pot lua în starea s (sau care conduc la starea s), se alege una care dă valoarea optimă în condiţiile în care politica aplicată în continuare (sau până atunci) este este şi ea optimă. 7 Relaţia (1) poate fi dovedită utilizând inducţia şi reducerea la absurd. Deoarece este posibil ca formulările pentru T () şi sau H() să fie neadecvate, ducând la cazul în care principiul de optim nu are loc, este necesară verificarea acestuia pentru problema supusă rezolvării. 8 Rezolvarea ecuaţiilor recurente (1) conduce la determinarea unui şir de decizii ce în final constituie politica optimă prin care se determină valoarea funcţiei obiectiv. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
8 Prezentarea generală a paradigmei Modelul matematic 9 Calculul recurenţei rezolvând problemele de la mic la mare şi memorând valorile obţinute într-un tablou. Nu se recomandă scrierea unui program recursiv care să calculeze valorile optime. Dacă în secvenţa de decizii luate, o anumită problemă apare de mai multe ori, ea va fi calculată de algoritmul recursiv de câte ori apare. Exemplu cu numerele Fibonacci: pe tabla 10 Extragerea soluţiei optime din tablou utilizând proprietatea de substructură optimă a soluţiei, care afirmă că soluţia optimă a problemei include soluţiile optime ale subproblemelor sale. De remarcat că proprietatea de substructură optimă este echivalentă cu principiul de optim. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
9 Plan 1 Prezentarea generală a paradigmei 2 Studii de caz Distanţa între şiruri D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
10 Plan 1 Prezentarea generală a paradigmei 2 Studii de caz Distanţa între şiruri D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
11 Problema Se consideră n obiecte 1,..., n de dimensiuni (greutăţi) w 1,..., w n Z +, respectiv, şi un rucsac de capacitate M Z +. Un obiect i sau este introdus în totalitate în rucsac, x i = 1, sau nu este introdus de loc, x i = 0, astfel că o umplere a rucsacului constă dintr-o secvenţă x 1,..., x n cu x i {0, 1} şi i x i w i M. Ca şi în cazul continuu, introducerea obiectului i în rucsac aduce profitul p i Z iar profitul total este n i=1 x ip i. Problema constă în a determina o alegere (x 1,..., x n ) care să aducă un profit maxim. Deci, singura deosebire faţă de varianta continuă studiată la metoda greedy constă în condiţia x i {0, 1} în loc de x i [0, 1]. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
12 Formularea matematică funcţia obiectiv: restricţii: max n x i p i i=1 n x i w i M i=1 x i {0, 1}, i = 1,..., n w i Z +, p i Z, i = 1,..., n M Z D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
13 Definirea noţiunii de stare Rucsac(j, X ) reprezintă următoarea problemă, care este o generalizare a celei iniţiale: funcţia obiectiv: restricţii: max j x i p i i=1 j x i w i X i=1 x i {0, 1}, i = 1,..., j w i Z +, p i Z, i = 1,..., j X Z Cu f j (X ) notăm valoarea optimă pentru instanţa Rucsac(j, X ). Dacă j = 0 şi X 0, atunci f j (X ) = 0. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
14 Definirea noţiunilor de decizie şi relaţia de tranziţie Presupunem j > 0. Considerăm decizia optimă prin care starea Rucsac(j, X ) este transformată în Rucsac(j 1,?). Notăm cu (x 1,..., x j ) alegerea care dă valoarea optimă f j (X ). D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
15 Aplicarea principiului de optim Dacă x j = 0 (obiectul j nu este pus în rucsac) atunci, conform principiului de optim, f j (X ) este valoarea optimă pentru starea Rucsac(X, j 1) şi de aici f j (X ) = f j 1 (X ). Dacă x j = 1 (obiectul j este pus în rucsac) atunci, din nou conform principiului de optim, f j (X ) este valoarea optimă pentru starea Rucsac(j 1, X w j ) la care se adaugă profitul p i şi de aici f j (X ) = f j 1 (X w j ) + p j. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
16 Obţinerea recurenţei Combinând relaţiile de mai sus obţinem:, dacă X < 0 f j (X ) = 0, dacă j = 0 şi X 0 max{f j 1 (X ), f j 1 (X w j ) + p j }, dacă j > 0 şi X 0 (2) Am considerat f j (X ) = dacă X < 0. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
17 (2) ca instanţă a relaţiei (1) Reamintim (1): f (z) = optim y [H(z, y, f (T (z, y)))] valoarea z asociată stării s este (j, X ) valoarea T (y, z) asociată stării s este (j 1, X y w j ) algoritmul H este f j 1 (X y w j ) + y p j, unde y {0, 1} optim y este max y {0,1} care duce la scrierea mai concisă pentru cazul j > 0 şi X 0: f j (X ) = max y {0,1} f j 1(X y w j ) + y p j D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
18 Rezolvarea problemelor de la mic la mare şi memorarea rezultatelor în tabel Fie M = 10, n = 3 şi greutăţile şi profiturile date de următorul tabel: i w i p i Valorile optime pentru subprobleme sunt calculate cu ajutorul relaţiilor 2 şi pot fi memorate într-un tablou bidimensional astfel: X f f f f Tabloul de mai sus este calculat linie cu linie: pentru a calcula valorile de pe o linie sunt consultate numai valorile de pe linia precedentă. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
19 Analiza Tabloul de mai sus are dimensiunea n m (au fost ignorate prima linie şi prima coloană). Dacă m = O(2 n ) rezultă că atât complexitatea spaţiu cât şi cea timp sunt exponenţiale. Privind tabloul de mai sus observăm că există multe valori care se repetă. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
20 Rafinare În continuare ne punem problema memorării mai compacte a acestui tablou. Construim graficele funcţiilor f 0, f 1, f 2 şi f 3 pentru exemplul de mai sus. Avem: {, X < 0 f 0 (X ) = 0, X 0 Notăm cu g 0 funcţia dată de: g 0 (X ) = f 0 (X w 1 ) + p 1 = {, X < 3 10, 3 X D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
21 Rafinare Graficele funcţiilor f 0 şi g 0 : 10 3 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
22 Rafinare Funcţia f 1 se calculează prin:, X < 0 f 1 (X ) = max{f 0 (X ), g 0 (X )} = 0, 0 X < 3 10, 3 X Notăm cu g 1 funcţia dată prin:, X < 5 g 1 (X ) = f 1 (X w 2 ) + p 2 = 30, 5 X < 8 40, 8 X D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
23 Rafinare Graficele funcţiilor f 1 şi g 1 : D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
24 Rafinare Funcţia f 2 se calculează prin:, X < 0 0, 0 X < 3 f 2 (X ) = max{f 1 (X ), g 1 (X )} = 10, 3 X < 5 30, 5 X < 8 40, 8 X În continuare, notăm cu g 2 funcţia dată prin:, X < 6 20, 6 X < 9 g 2 (X ) = f 2 (X w 3 ) + p 3 = 30, 9 X < 11 50, 11 X < 14 60, 14 X D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
25 Rafinare Graficele funcţiilor f 2 şi g 2 : D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
26 Rafinare Funcţia f 3 se calculează prin:, X < 0 0, 0 X < 3 10, 3 X < 5 f 3 (X ) = max{f 2 (X ), g 2 (X )} = 30, 5 X < 8 40, 8 < X 11 50, 11 X < 14 60, 14 X D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
27 Rafinare Graficul funcţiei f 3 : D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
28 Rafinare Se remarcă faptul că funcţiile f i şi g i sunt funcţii în scară. Graficele acestor funcţii pot fi reprezentate prin mulţimi finite din puncte din plan. De exemplu, graficul funcţiei f 2 este reprezentat prin mulţimea {(0, 0), (3, 10), (5, 30), (8, 40)}. X f f f f O mulţime care reprezintă o funcţie în scară conţine acele puncte în care funcţia face salturi. Graficul funcţiei g i se obţine din graficul funcţiei f i printr-o translaţie iar graficul funcţiei f i+1 se obţine prin interclasarea graficelor funcţiilor f i şi g i. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
29 Rafinare În general, fiecare f i este complet specificat de o mulţime S i = {(X j, Y j ) j = 0,..., r} unde Y j = f i (X j ). Presupunem X 1 < < X r. Analog, funcţiile g i sunt reprezentate prin mulţimile T i = {(X + w i, Y + p i ) (X, Y ) S i }. Notăm T i = τ(s i ) şi S i+1 = µ(s i, T i ). Mulţimea S i+1 se obţine din S i şi T i prin interclasare. Algoritmul pentru µ: Se consideră o variabilă L care ia valoarea 1 dacă graficul lui f i+1 coincide cu cel al lui f i şi cu 2 dacă el coincide cu cel al lui g i. Deoarece (0, 0) aparţine graficului rezultat, considerăm L = 1, j = 1 şi k = 1. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
30 Rafinare Presupunând că la un pas al interclasării se compară (X j, Y j ) S i cu (X k, Y k ) T i atunci: dacă L = 1: dacă X j < X k atunci adaugă (X j, Y j ) în S i+1 şi se incrementează j; dacă X j = X k : dacă Y j > Y k atunci adaugă (X j, Y j ) în S i+1 şi se incrementează j şi k; dacă Y j < Y k atunci adaugă (X k, Y k ) în S i+1, L = 2 şi se incrementează j şi k; dacă X j > X k atunci, dacă Y k > Y j adaugă (X k, Y k ) în S i+1, L = 2 şi se incrementează k; dacă L = 2: dacă X j < X k atunci, dacă Y j > Y k adaugă (X j, Y j ) în S i+1, L = 1 şi se incrementează j; dacă X j = X k : dacă Y j < Y k atunci adaugă (X k, Y k ) în S i+1 şi se incrementează j şi k; dacă Y j > Y k atunci adaugă (X j, Y j ) în S i+1, L = 1 şi se incrementează j şi k; dacă X j > X k atunci adaugă (X k, Y k ) în S i+1 şi se incrementează k; D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
31 Rafinare Rămâne de extras soluţia optimă din S n. Considerăm mai întâi cazul din exemplul de mai sus. Se caută în S n = S 3 perechea (X j, Y j ) cu cel mai mare X j pentru care X j M. Obţinem (X j, Y j ) = (8, 40). Deoarece (8, 40) S 3 şi (8, 40) S 2 rezultă f optim (M) = f optim (8) = f 3 (8) = f 2 (8) şi deci x 3 = 0. Perechea (X j, Y j ) rămâne neschimbată. Pentru că (X j, Y j ) = (8, 40) este în S 2 şi nu este în S 1, rezultă că f optim (8) = f 1 (8 w 2 ) + p 2 şi deci x 2 = 1. În continuare se ia (X j, Y j ) = (X j w 2, Y j p 2 ) = (8 5, 40 30) = (3, 10). Pentru că (X j, Y j ) = (3, 10) este în S 1 şi nu este în S 0, rezultă că f optim (3) = f 1 (3 w 1 ) + p 1 şi deci x 1 = 1. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
32 Rafinare Metoda poate fi descrisă pentru cazul general: Iniţial se determină perechea (X j, Y j ) S n cu cel mai mare X j pentru care X j M. Valoarea Y j constituie încărcarea optimă a rucsacului, i.e. valoarea funcţiei obiectiv din problema iniţială. Pentru i = n 1,..., 0: dacă (X j, Y j ) este în S i, atunci f i+1 (X j ) = f i (X j ) = Y j şi se face x i+1 = 0 (obiectul i + 1 nu este ales); dacă (X j, Y j ) nu este în S i, atunci f i+1 (X j ) = f i (X j w i+1 ) + p i+1 = Y j şi se face x i+1 = 1 (obiectul i + 1 este ales), X j = X j w i+1 şi Y j = Y j p i+1. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
33 Algoritmul rafinat rucsacvd(n, w, p, valopt, x) { S 0 = {(0, 0)}; T 0 = {(w 1, p 1 )}; for (i = 1; i < n; ++i) { S i (X) = µ(s i 1, T i 1 ) T i = {(X + w i, Y + p i ) (X, Y) S i } } determină (X j, Y j ) cu X j = max{x i (X i, Y i ) S n, X i M} for (i = n-1; i 1; --i) if ((X j, Y j ) S i ) then x i+1 = 0 else { x i+1 = 1 X j = X j w i+1 Y j = Y j p i+1 } } D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
34 Analiza algoritmului rafinat Notăm m = n i=0 S i. Deoarece T i = S i rezultă că S i+1 2 S i şi de aici i S i i 2i = 2 n 1. Calculul lui S i din S i 1 necesită timpul Θ( S i 1 ) şi de aici calculul lui S n necesită timpul i Θ( S i ) = O(2 n ). Deoarece profiturile p i sunt numere întregi, pentru orice (X, Y ) S i, Y este întreg şi Y j i p j. Analog, pentru că dimensiunile w i sunt numere întregi, pentru (X, Y ) S i, X este întreg şi X j i w j. Deoarece perechile (X, Y ) cu X > M nu interesează, ele pot să nu fie incluse în mulţimile S i. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
35 Analiza algoritmului rafinat De aici rezultă că numărul maxim de perechi (X, Y ) distincte din S i satisface relaţiile: S i 1 + i j=1 w j S i M care implică i S i 1 + min w j, M Relaţia de mai sus permite o estimare mai precisă a spaţiului necesar pentru memorarea mulţimilor S i în cazul unor probleme concrete. În ceea ce priveşte timpul, făcând calculele rezultă că algoritmul are complexitatea timp O(min(2 n, n n i=1 p i, nm)). j=1 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
36 Distanţa între şiruri Plan 1 Prezentarea generală a paradigmei 2 Studii de caz Distanţa între şiruri D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
37 Distanţa între şiruri Problema Se consideră două şiruri α = a 1 a n şi β = b 1 b n formate cu litere dintr-un alfabet A. Asupra şirului α se pot face următoarele operaţii: Ştergere: S(i) şterge litera de pe poziţia i; Inserare: I (i, c) inserează litera c pe poziţia i; Modificare: M(i, c) înlocuieşte litera de pe poziţia i cu c. Problema constă în determinarea unei secvenţe de operaţii de lungime minimă care transformă pe α în β. Exemplu: Fie α = carnet, β = paleta. O secvenţă de transformări este carnet par net palnet palet paleta. Transformările efectuate sunt M(1, p), M(3, l), S(4) şi I (6, a). Există o altă secvenţă mai scurtă? sfex D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
38 Distanţa între şiruri Analiza domeniului problemei Lemă Fie s = (... T (i, ), T (j, )...) o secvenţă optimă (de lungime minimă) care transformă pe α în β. Atunci există k, l astfel încât secvenţa s = (... T (k, ), T (l, )...), obţinută din s prin interschimbarea celor două operaţii T şi T şi în rest rămânând neschimbată, este de asemenea o secvenţă optimă care transformă pe α în β. Corolar Există o secvenţă optimă care dacă efectuează transformările: α = α 0 α 1 α t = β atunci pentru orice i, α i β, unde prin am notat lungimea şirului. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
39 Distanţa între şiruri Analiza domeniului problemei Lemă Are loc: (i) d(α, α) = 0; (ii) d(α, β) = d(β, α); (iii) d(α, γ) d(α, β) + d(β, γ). Observaţie: Lema de mai sus arată că d(α, β) este o metrică. De aici şi numele problemei. sfobs D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
40 Distanţa între şiruri Noţiunea de stare DS(α i, β j ) corespunzătoare transformării subşirului α i = a 1... a i în β j = b 1... b j şi prin d[i, j] valoarea optimă d(α i, β j ). Dacă i = 0, α 0 este şirul vid şi β j se obţine prin j inserări: deci d[0, j] = j. Dacă j = 0, atunci β j se obţine prin i ştergeri şi avem d[i, 0] = i. În continuare presupunem i, j > 0. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
41 Distanţa între şiruri Decziile şi Principiul de optim Considerăm decizia optimă prin care starea DS(a 1... a i, b 1... b j ) este transformată într-o stare DS(a 1... a i, b 1... b j ) cu (i < i şi j j) sau (i i şi j < j). Distingem următoarele situaţii: 1 Dacă a i = b j atunci i = i 1, j = j 1 şi, aplicând principiul de optim, obţinem d[i, j] = d[i 1, j 1]. 2 DS(a 1,..., a i, b 1,..., b j ) se obţine prin ştergere. Rezultă i = i 1, j = j şi, aplicând principiul de optim, obţinem d[i, j] = d[i 1, j] DS(a 1,..., a i, b 1,..., b j ) se obţine prin inserare. Avem i = i, j = j 1 şi, aplicând principiul de optim, obţinem d[i, j] = d[i, j 1] + 1. Din corolarul lemei precedente rezultă că această operaţie poate fi realizată numai dacă i < j. 4 DS(a 1,..., a i, b 1,..., b j ) se obţine prin modificare. Avem i = i 1, j = j 1 şi, aplicând principiul de optim, obţinem d[i, j] = d[i 1, j 1] + 1. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
42 Distanţa între şiruri Relaţia de recurenţă Deoarece d[i, j] trebuie să fie minimă, rezultă: d[i, j] = min{d[i 1, j] + 1, d[i 1, j 1] + δ(i, j), d[i, j 1] + 1} (3) unde δ(i, j) = { 0, dacă a i = b j 1, dacă a i b j D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
43 Distanţa între şiruri (3) ca instanţă a relaţiei (1) Reamintim (1): f (z) = optim y [H(z, y, f (T (z, y)))] valoarea z asociată stării s este [i, j] valoarea T (y, z) asociată stării s este [i y i, j y j ], unde y i, y j {0, 1}, y i + y j > 0 algoritmul H este d[i y i, j y j ] + δ(i, j, y i, y j ), unde { 0, dacă a i = b j y i + y j = 2 δ(i, j, y i, y j ) = 1, dacă (a i b j y i + y j = 2) y i + y j = 1 optim este min y y i,y j {0,1},y i +y j >0 care duce la scrierea mai concisă pentru cazul i, j > 0: d[i, j] = min d[i y i, j y j ] + δ(i, j, y i, y j ) y i,y j {0,1},y i +y j >0 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
44 Distanţa între şiruri Calculul lui d[i,j]: exemplu c a m a r a a r m a t a 6 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
45 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime Notăm cu L lista care înregistrează transformările soluţiei optime. Se procedează în modul următor: iniţial se consideră i = n; j = n; şi L = ( ) (lista vidă); următorul proces se repetă până când i şi j devin 0: dacă d[i, j] = d[i 1, j 1] atunci L rămâne neschimbată şi se face i = i-1; j = j-1; altfel, dacă d[i, j] = d[i 1, j 1] + 1 atunci se face L = (M(i, b j ), L) şi i = i-1; j = j-1; altfel, dacă d[i, j] = d[i 1, j] + 1 atunci se face L = (S(i), L) şi i = i-1; altfel, dacă d[i, j] = d[i, j 1] + 1 atunci se face L = (I (i, b j ), L) şi j = j-1. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
46 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
47 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
48 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
49 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
50 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
51 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
52 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ), S(2) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
53 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ), S(2) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
54 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ), S(2), I (1, c ) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
55 Distanţa între şiruri Algoritmul distsir(a, b, n) { for (j = 1; j n; ++j) d[0,j] = j; for (i = 1; i n; ++i) d[i,0] = i; for (i = 1; i n; ++i) for (j = 1; j n; ++j) { δ = (a[i] == b[j])? 0 : 1; d[i, j] = min{d[i 1, j] + 1, d[i 1, j 1] + δ, d[i, j 1] + 1} } L = listavida(); i = n; j = n; repeat if (d[i,j] == d[i-1,j-1]) { i = i-1; j = j-1; } else if (d[i,j] == d[i-1,j-1]+1) { L.pushFront( M, i, b[j])); i = i-1; j = j-1; } else if (d[i,j] == d[i-1,j]+1) { L.pushFront( S, i)); i = i-1 } else { L.pushFront( I, i, b[j]); j = j-1; } until ((i = 0) && (j = 0)) } D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
56 Distanţa între şiruri Analiza Teoremă Determinarea distanţei optime şi a secvenţei optime care transformă un şir α într-un şir β, α = β = n, se poate face în timpul O(n 2 ). D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
57 Distanţa între şiruri Variaţii alte operaţii: transpoziţia: schimbă ordinea a două caractere adiacente distanţa Levenshtein (de editare) sunt admise numai inserari, stergeri si inlocuiri toate operaţiile au costul 1 distanţa Hamming sunt admise numai înlocuirile costul operaţiei este 1 este finita ori de cate ori a = b distanta episodica (episode distance) sunt admise numai inserări costul operaţiei este 1 distanţa este sau b a sau D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
58 Distanţa între şiruri Variaţii distanţa data de cea mai lungă subsecvenţă sunt admise numai inserări şi ştergeri toate operaţiile au costul 1 Exemplu: α = amxbtycsnma şi β = bancxstymcxn α = amxbtycsnma bamxbtycsnma baxbtycsnma banxbtycsnma bancxbtycsnma bancxtycsnma bancxstycsnma bancxstymcsnma bancxstymcnma bancxstymcxnma bancxstymcxna bancxstymcxn = β (a,x,t,y,c,n) este subsecventa comună este cea mai lungă? D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
59 Distanţa între şiruri Variaţii matching aproximativ peste şiruri (aproximate string matching) problema: dat un text s de lungime n, un patern p de lungime m, o distanţa d() între şiruri şi un număr k, să se determine poziţiile j din textul s astfel încât să existe i cu d(p, s[i..j]) k distanţa Levenshtein: string matching with k differences distanţa Hamming: string matching with k missmatches distanţa episodica: episode matching (modeleaza cazul cand se cauta o secventa de evenimente intr-o perioada scurta de timp) cea mai lungă subsecvenţă comună: exact ce spune numele D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
60 Distanţa între şiruri Variaţii procesul de cautare pentru matching aproximativ: α = p, β = s trebuie să modificăm algoritmul a.î. orice poziţie j din text este startul potenţial al unei potriviri; asta se realizează prin setarea d[0, j] = 0 calculul matricei se face pe coloane iniţial: d[i, 0] = i pentru i = 0,..., m se procesează textul caracter cu caracter presupunem că la pasul curent se procesează s j coloana j este actualizată: d[i, j] = (p i == s j )? d[i 1, j 1] : 1 + min(d[i 1, j], d[i, j 1], d[i 1, j 1]) pozitiile j pentru care d[m, j] k sunt raportate de remarcat că numai ultimele două coloane sunt necesare D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραProiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραProgramarea dinamica I
Programarea dinamica I Principiile programării dinamice Programarea dinamică, ca și metoda divide et impera, rezolvă problemele combinând soluţiile subproblemelor. După cum am văzut, algoritmii de divide
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri
Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: Programare dinamică - I - Algoritmica - Curs 11 1
CURS 11: Programare dinamică - I - Algoritmica - Curs 11 1 Structura Ce este programarea dinamică? Etapele principale în aplicarea programării dinamice Relații de recurență: dezvoltare ascendentă vs.dezvoltare
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραAparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραTeme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener
Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότερα