Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică"

Transcript

1 Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

2 Outline 1 Prezentarea generală a paradigmei 2 Studii de caz Distanţa între şiruri D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

3 Prezentarea generală a paradigmei Plan 1 Prezentarea generală a paradigmei 2 Studii de caz Distanţa între şiruri D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

4 Prezentarea generală a paradigmei Clasa de probleme Clasa de probleme la care se aplică include probleme de optim. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

5 Prezentarea generală a paradigmei Modelul matematic 1 Definirea noţiunii de stare, care este de fapt o generalizare a problemei iniţiale şi asocierea funcţiei obiectiv pentru stare. Problemei trebuie sa devină un caz particular (o stare). 2 Definirea unei relaţii de tranziţie între stări. O relaţie s s, unde s şi s sunt stări, va fi numită decizie. O politică este o secvenţă de decizii consecutive, adică o secvenţă de forma s 0 s 1 s n. 3 Unei stări s îi asociem o valoare z şi definim f (z) astfel încât, dacă starea s corespunde problemei iniţiale, atunci f (z) = optim R(x 0,..., x m 1 ) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

6 Prezentarea generală a paradigmei Modelul matematic 4 Aplicarea Principiului de Optim pentru obţine o relaţie de recurenţă. Principiul de optim (PO) afirmă că o subpolitică a unei politici optimale este la rândul ei optimală. Deoarece este posibil ca PO să nu aibă loc, rezultă că trebuie verificată validitatea relaţiei de recurenţă. 5 Principiul de optim conduce la obţinerea unei ecuaţii funcţionale de forma: f (z) = optim y [H(z, y, f (T (z, y)))] (1) unde: s şi s sunt două stări astfel încât una se obţine din cealaltă aplicând decizia d, z este valoarea asociată stării s, T (z, y) calculează valoarea stării s, iar H exprimă algoritmul de calcul al valorii f (z) dat de decizia d. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

7 Prezentarea generală a paradigmei Modelul matematic 6 Relaţia de mai sus poate fi interpretată astfel: dintre toate deciziile care se pot lua în starea s (sau care conduc la starea s), se alege una care dă valoarea optimă în condiţiile în care politica aplicată în continuare (sau până atunci) este este şi ea optimă. 7 Relaţia (1) poate fi dovedită utilizând inducţia şi reducerea la absurd. Deoarece este posibil ca formulările pentru T () şi sau H() să fie neadecvate, ducând la cazul în care principiul de optim nu are loc, este necesară verificarea acestuia pentru problema supusă rezolvării. 8 Rezolvarea ecuaţiilor recurente (1) conduce la determinarea unui şir de decizii ce în final constituie politica optimă prin care se determină valoarea funcţiei obiectiv. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

8 Prezentarea generală a paradigmei Modelul matematic 9 Calculul recurenţei rezolvând problemele de la mic la mare şi memorând valorile obţinute într-un tablou. Nu se recomandă scrierea unui program recursiv care să calculeze valorile optime. Dacă în secvenţa de decizii luate, o anumită problemă apare de mai multe ori, ea va fi calculată de algoritmul recursiv de câte ori apare. Exemplu cu numerele Fibonacci: pe tabla 10 Extragerea soluţiei optime din tablou utilizând proprietatea de substructură optimă a soluţiei, care afirmă că soluţia optimă a problemei include soluţiile optime ale subproblemelor sale. De remarcat că proprietatea de substructură optimă este echivalentă cu principiul de optim. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

9 Plan 1 Prezentarea generală a paradigmei 2 Studii de caz Distanţa între şiruri D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

10 Plan 1 Prezentarea generală a paradigmei 2 Studii de caz Distanţa între şiruri D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

11 Problema Se consideră n obiecte 1,..., n de dimensiuni (greutăţi) w 1,..., w n Z +, respectiv, şi un rucsac de capacitate M Z +. Un obiect i sau este introdus în totalitate în rucsac, x i = 1, sau nu este introdus de loc, x i = 0, astfel că o umplere a rucsacului constă dintr-o secvenţă x 1,..., x n cu x i {0, 1} şi i x i w i M. Ca şi în cazul continuu, introducerea obiectului i în rucsac aduce profitul p i Z iar profitul total este n i=1 x ip i. Problema constă în a determina o alegere (x 1,..., x n ) care să aducă un profit maxim. Deci, singura deosebire faţă de varianta continuă studiată la metoda greedy constă în condiţia x i {0, 1} în loc de x i [0, 1]. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

12 Formularea matematică funcţia obiectiv: restricţii: max n x i p i i=1 n x i w i M i=1 x i {0, 1}, i = 1,..., n w i Z +, p i Z, i = 1,..., n M Z D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

13 Definirea noţiunii de stare Rucsac(j, X ) reprezintă următoarea problemă, care este o generalizare a celei iniţiale: funcţia obiectiv: restricţii: max j x i p i i=1 j x i w i X i=1 x i {0, 1}, i = 1,..., j w i Z +, p i Z, i = 1,..., j X Z Cu f j (X ) notăm valoarea optimă pentru instanţa Rucsac(j, X ). Dacă j = 0 şi X 0, atunci f j (X ) = 0. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

14 Definirea noţiunilor de decizie şi relaţia de tranziţie Presupunem j > 0. Considerăm decizia optimă prin care starea Rucsac(j, X ) este transformată în Rucsac(j 1,?). Notăm cu (x 1,..., x j ) alegerea care dă valoarea optimă f j (X ). D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

15 Aplicarea principiului de optim Dacă x j = 0 (obiectul j nu este pus în rucsac) atunci, conform principiului de optim, f j (X ) este valoarea optimă pentru starea Rucsac(X, j 1) şi de aici f j (X ) = f j 1 (X ). Dacă x j = 1 (obiectul j este pus în rucsac) atunci, din nou conform principiului de optim, f j (X ) este valoarea optimă pentru starea Rucsac(j 1, X w j ) la care se adaugă profitul p i şi de aici f j (X ) = f j 1 (X w j ) + p j. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

16 Obţinerea recurenţei Combinând relaţiile de mai sus obţinem:, dacă X < 0 f j (X ) = 0, dacă j = 0 şi X 0 max{f j 1 (X ), f j 1 (X w j ) + p j }, dacă j > 0 şi X 0 (2) Am considerat f j (X ) = dacă X < 0. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

17 (2) ca instanţă a relaţiei (1) Reamintim (1): f (z) = optim y [H(z, y, f (T (z, y)))] valoarea z asociată stării s este (j, X ) valoarea T (y, z) asociată stării s este (j 1, X y w j ) algoritmul H este f j 1 (X y w j ) + y p j, unde y {0, 1} optim y este max y {0,1} care duce la scrierea mai concisă pentru cazul j > 0 şi X 0: f j (X ) = max y {0,1} f j 1(X y w j ) + y p j D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

18 Rezolvarea problemelor de la mic la mare şi memorarea rezultatelor în tabel Fie M = 10, n = 3 şi greutăţile şi profiturile date de următorul tabel: i w i p i Valorile optime pentru subprobleme sunt calculate cu ajutorul relaţiilor 2 şi pot fi memorate într-un tablou bidimensional astfel: X f f f f Tabloul de mai sus este calculat linie cu linie: pentru a calcula valorile de pe o linie sunt consultate numai valorile de pe linia precedentă. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

19 Analiza Tabloul de mai sus are dimensiunea n m (au fost ignorate prima linie şi prima coloană). Dacă m = O(2 n ) rezultă că atât complexitatea spaţiu cât şi cea timp sunt exponenţiale. Privind tabloul de mai sus observăm că există multe valori care se repetă. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

20 Rafinare În continuare ne punem problema memorării mai compacte a acestui tablou. Construim graficele funcţiilor f 0, f 1, f 2 şi f 3 pentru exemplul de mai sus. Avem: {, X < 0 f 0 (X ) = 0, X 0 Notăm cu g 0 funcţia dată de: g 0 (X ) = f 0 (X w 1 ) + p 1 = {, X < 3 10, 3 X D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

21 Rafinare Graficele funcţiilor f 0 şi g 0 : 10 3 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

22 Rafinare Funcţia f 1 se calculează prin:, X < 0 f 1 (X ) = max{f 0 (X ), g 0 (X )} = 0, 0 X < 3 10, 3 X Notăm cu g 1 funcţia dată prin:, X < 5 g 1 (X ) = f 1 (X w 2 ) + p 2 = 30, 5 X < 8 40, 8 X D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

23 Rafinare Graficele funcţiilor f 1 şi g 1 : D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

24 Rafinare Funcţia f 2 se calculează prin:, X < 0 0, 0 X < 3 f 2 (X ) = max{f 1 (X ), g 1 (X )} = 10, 3 X < 5 30, 5 X < 8 40, 8 X În continuare, notăm cu g 2 funcţia dată prin:, X < 6 20, 6 X < 9 g 2 (X ) = f 2 (X w 3 ) + p 3 = 30, 9 X < 11 50, 11 X < 14 60, 14 X D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

25 Rafinare Graficele funcţiilor f 2 şi g 2 : D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

26 Rafinare Funcţia f 3 se calculează prin:, X < 0 0, 0 X < 3 10, 3 X < 5 f 3 (X ) = max{f 2 (X ), g 2 (X )} = 30, 5 X < 8 40, 8 < X 11 50, 11 X < 14 60, 14 X D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

27 Rafinare Graficul funcţiei f 3 : D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

28 Rafinare Se remarcă faptul că funcţiile f i şi g i sunt funcţii în scară. Graficele acestor funcţii pot fi reprezentate prin mulţimi finite din puncte din plan. De exemplu, graficul funcţiei f 2 este reprezentat prin mulţimea {(0, 0), (3, 10), (5, 30), (8, 40)}. X f f f f O mulţime care reprezintă o funcţie în scară conţine acele puncte în care funcţia face salturi. Graficul funcţiei g i se obţine din graficul funcţiei f i printr-o translaţie iar graficul funcţiei f i+1 se obţine prin interclasarea graficelor funcţiilor f i şi g i. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

29 Rafinare În general, fiecare f i este complet specificat de o mulţime S i = {(X j, Y j ) j = 0,..., r} unde Y j = f i (X j ). Presupunem X 1 < < X r. Analog, funcţiile g i sunt reprezentate prin mulţimile T i = {(X + w i, Y + p i ) (X, Y ) S i }. Notăm T i = τ(s i ) şi S i+1 = µ(s i, T i ). Mulţimea S i+1 se obţine din S i şi T i prin interclasare. Algoritmul pentru µ: Se consideră o variabilă L care ia valoarea 1 dacă graficul lui f i+1 coincide cu cel al lui f i şi cu 2 dacă el coincide cu cel al lui g i. Deoarece (0, 0) aparţine graficului rezultat, considerăm L = 1, j = 1 şi k = 1. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

30 Rafinare Presupunând că la un pas al interclasării se compară (X j, Y j ) S i cu (X k, Y k ) T i atunci: dacă L = 1: dacă X j < X k atunci adaugă (X j, Y j ) în S i+1 şi se incrementează j; dacă X j = X k : dacă Y j > Y k atunci adaugă (X j, Y j ) în S i+1 şi se incrementează j şi k; dacă Y j < Y k atunci adaugă (X k, Y k ) în S i+1, L = 2 şi se incrementează j şi k; dacă X j > X k atunci, dacă Y k > Y j adaugă (X k, Y k ) în S i+1, L = 2 şi se incrementează k; dacă L = 2: dacă X j < X k atunci, dacă Y j > Y k adaugă (X j, Y j ) în S i+1, L = 1 şi se incrementează j; dacă X j = X k : dacă Y j < Y k atunci adaugă (X k, Y k ) în S i+1 şi se incrementează j şi k; dacă Y j > Y k atunci adaugă (X j, Y j ) în S i+1, L = 1 şi se incrementează j şi k; dacă X j > X k atunci adaugă (X k, Y k ) în S i+1 şi se incrementează k; D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

31 Rafinare Rămâne de extras soluţia optimă din S n. Considerăm mai întâi cazul din exemplul de mai sus. Se caută în S n = S 3 perechea (X j, Y j ) cu cel mai mare X j pentru care X j M. Obţinem (X j, Y j ) = (8, 40). Deoarece (8, 40) S 3 şi (8, 40) S 2 rezultă f optim (M) = f optim (8) = f 3 (8) = f 2 (8) şi deci x 3 = 0. Perechea (X j, Y j ) rămâne neschimbată. Pentru că (X j, Y j ) = (8, 40) este în S 2 şi nu este în S 1, rezultă că f optim (8) = f 1 (8 w 2 ) + p 2 şi deci x 2 = 1. În continuare se ia (X j, Y j ) = (X j w 2, Y j p 2 ) = (8 5, 40 30) = (3, 10). Pentru că (X j, Y j ) = (3, 10) este în S 1 şi nu este în S 0, rezultă că f optim (3) = f 1 (3 w 1 ) + p 1 şi deci x 1 = 1. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

32 Rafinare Metoda poate fi descrisă pentru cazul general: Iniţial se determină perechea (X j, Y j ) S n cu cel mai mare X j pentru care X j M. Valoarea Y j constituie încărcarea optimă a rucsacului, i.e. valoarea funcţiei obiectiv din problema iniţială. Pentru i = n 1,..., 0: dacă (X j, Y j ) este în S i, atunci f i+1 (X j ) = f i (X j ) = Y j şi se face x i+1 = 0 (obiectul i + 1 nu este ales); dacă (X j, Y j ) nu este în S i, atunci f i+1 (X j ) = f i (X j w i+1 ) + p i+1 = Y j şi se face x i+1 = 1 (obiectul i + 1 este ales), X j = X j w i+1 şi Y j = Y j p i+1. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

33 Algoritmul rafinat rucsacvd(n, w, p, valopt, x) { S 0 = {(0, 0)}; T 0 = {(w 1, p 1 )}; for (i = 1; i < n; ++i) { S i (X) = µ(s i 1, T i 1 ) T i = {(X + w i, Y + p i ) (X, Y) S i } } determină (X j, Y j ) cu X j = max{x i (X i, Y i ) S n, X i M} for (i = n-1; i 1; --i) if ((X j, Y j ) S i ) then x i+1 = 0 else { x i+1 = 1 X j = X j w i+1 Y j = Y j p i+1 } } D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

34 Analiza algoritmului rafinat Notăm m = n i=0 S i. Deoarece T i = S i rezultă că S i+1 2 S i şi de aici i S i i 2i = 2 n 1. Calculul lui S i din S i 1 necesită timpul Θ( S i 1 ) şi de aici calculul lui S n necesită timpul i Θ( S i ) = O(2 n ). Deoarece profiturile p i sunt numere întregi, pentru orice (X, Y ) S i, Y este întreg şi Y j i p j. Analog, pentru că dimensiunile w i sunt numere întregi, pentru (X, Y ) S i, X este întreg şi X j i w j. Deoarece perechile (X, Y ) cu X > M nu interesează, ele pot să nu fie incluse în mulţimile S i. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

35 Analiza algoritmului rafinat De aici rezultă că numărul maxim de perechi (X, Y ) distincte din S i satisface relaţiile: S i 1 + i j=1 w j S i M care implică i S i 1 + min w j, M Relaţia de mai sus permite o estimare mai precisă a spaţiului necesar pentru memorarea mulţimilor S i în cazul unor probleme concrete. În ceea ce priveşte timpul, făcând calculele rezultă că algoritmul are complexitatea timp O(min(2 n, n n i=1 p i, nm)). j=1 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

36 Distanţa între şiruri Plan 1 Prezentarea generală a paradigmei 2 Studii de caz Distanţa între şiruri D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

37 Distanţa între şiruri Problema Se consideră două şiruri α = a 1 a n şi β = b 1 b n formate cu litere dintr-un alfabet A. Asupra şirului α se pot face următoarele operaţii: Ştergere: S(i) şterge litera de pe poziţia i; Inserare: I (i, c) inserează litera c pe poziţia i; Modificare: M(i, c) înlocuieşte litera de pe poziţia i cu c. Problema constă în determinarea unei secvenţe de operaţii de lungime minimă care transformă pe α în β. Exemplu: Fie α = carnet, β = paleta. O secvenţă de transformări este carnet par net palnet palet paleta. Transformările efectuate sunt M(1, p), M(3, l), S(4) şi I (6, a). Există o altă secvenţă mai scurtă? sfex D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

38 Distanţa între şiruri Analiza domeniului problemei Lemă Fie s = (... T (i, ), T (j, )...) o secvenţă optimă (de lungime minimă) care transformă pe α în β. Atunci există k, l astfel încât secvenţa s = (... T (k, ), T (l, )...), obţinută din s prin interschimbarea celor două operaţii T şi T şi în rest rămânând neschimbată, este de asemenea o secvenţă optimă care transformă pe α în β. Corolar Există o secvenţă optimă care dacă efectuează transformările: α = α 0 α 1 α t = β atunci pentru orice i, α i β, unde prin am notat lungimea şirului. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

39 Distanţa între şiruri Analiza domeniului problemei Lemă Are loc: (i) d(α, α) = 0; (ii) d(α, β) = d(β, α); (iii) d(α, γ) d(α, β) + d(β, γ). Observaţie: Lema de mai sus arată că d(α, β) este o metrică. De aici şi numele problemei. sfobs D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

40 Distanţa între şiruri Noţiunea de stare DS(α i, β j ) corespunzătoare transformării subşirului α i = a 1... a i în β j = b 1... b j şi prin d[i, j] valoarea optimă d(α i, β j ). Dacă i = 0, α 0 este şirul vid şi β j se obţine prin j inserări: deci d[0, j] = j. Dacă j = 0, atunci β j se obţine prin i ştergeri şi avem d[i, 0] = i. În continuare presupunem i, j > 0. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

41 Distanţa între şiruri Decziile şi Principiul de optim Considerăm decizia optimă prin care starea DS(a 1... a i, b 1... b j ) este transformată într-o stare DS(a 1... a i, b 1... b j ) cu (i < i şi j j) sau (i i şi j < j). Distingem următoarele situaţii: 1 Dacă a i = b j atunci i = i 1, j = j 1 şi, aplicând principiul de optim, obţinem d[i, j] = d[i 1, j 1]. 2 DS(a 1,..., a i, b 1,..., b j ) se obţine prin ştergere. Rezultă i = i 1, j = j şi, aplicând principiul de optim, obţinem d[i, j] = d[i 1, j] DS(a 1,..., a i, b 1,..., b j ) se obţine prin inserare. Avem i = i, j = j 1 şi, aplicând principiul de optim, obţinem d[i, j] = d[i, j 1] + 1. Din corolarul lemei precedente rezultă că această operaţie poate fi realizată numai dacă i < j. 4 DS(a 1,..., a i, b 1,..., b j ) se obţine prin modificare. Avem i = i 1, j = j 1 şi, aplicând principiul de optim, obţinem d[i, j] = d[i 1, j 1] + 1. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

42 Distanţa între şiruri Relaţia de recurenţă Deoarece d[i, j] trebuie să fie minimă, rezultă: d[i, j] = min{d[i 1, j] + 1, d[i 1, j 1] + δ(i, j), d[i, j 1] + 1} (3) unde δ(i, j) = { 0, dacă a i = b j 1, dacă a i b j D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

43 Distanţa între şiruri (3) ca instanţă a relaţiei (1) Reamintim (1): f (z) = optim y [H(z, y, f (T (z, y)))] valoarea z asociată stării s este [i, j] valoarea T (y, z) asociată stării s este [i y i, j y j ], unde y i, y j {0, 1}, y i + y j > 0 algoritmul H este d[i y i, j y j ] + δ(i, j, y i, y j ), unde { 0, dacă a i = b j y i + y j = 2 δ(i, j, y i, y j ) = 1, dacă (a i b j y i + y j = 2) y i + y j = 1 optim este min y y i,y j {0,1},y i +y j >0 care duce la scrierea mai concisă pentru cazul i, j > 0: d[i, j] = min d[i y i, j y j ] + δ(i, j, y i, y j ) y i,y j {0,1},y i +y j >0 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

44 Distanţa între şiruri Calculul lui d[i,j]: exemplu c a m a r a a r m a t a 6 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

45 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime Notăm cu L lista care înregistrează transformările soluţiei optime. Se procedează în modul următor: iniţial se consideră i = n; j = n; şi L = ( ) (lista vidă); următorul proces se repetă până când i şi j devin 0: dacă d[i, j] = d[i 1, j 1] atunci L rămâne neschimbată şi se face i = i-1; j = j-1; altfel, dacă d[i, j] = d[i 1, j 1] + 1 atunci se face L = (M(i, b j ), L) şi i = i-1; j = j-1; altfel, dacă d[i, j] = d[i 1, j] + 1 atunci se face L = (S(i), L) şi i = i-1; altfel, dacă d[i, j] = d[i, j 1] + 1 atunci se face L = (I (i, b j ), L) şi j = j-1. D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

46 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

47 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

48 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

49 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

50 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

51 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

52 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ), S(2) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

53 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ), S(2) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

54 Distanţa între şiruri Determinarea secvenţei optime: exemplu c a m a r a a r m a t a M(5, r ), S(2), I (1, c ) D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

55 Distanţa între şiruri Algoritmul distsir(a, b, n) { for (j = 1; j n; ++j) d[0,j] = j; for (i = 1; i n; ++i) d[i,0] = i; for (i = 1; i n; ++i) for (j = 1; j n; ++j) { δ = (a[i] == b[j])? 0 : 1; d[i, j] = min{d[i 1, j] + 1, d[i 1, j 1] + δ, d[i, j 1] + 1} } L = listavida(); i = n; j = n; repeat if (d[i,j] == d[i-1,j-1]) { i = i-1; j = j-1; } else if (d[i,j] == d[i-1,j-1]+1) { L.pushFront( M, i, b[j])); i = i-1; j = j-1; } else if (d[i,j] == d[i-1,j]+1) { L.pushFront( S, i)); i = i-1 } else { L.pushFront( I, i, b[j]); j = j-1; } until ((i = 0) && (j = 0)) } D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

56 Distanţa între şiruri Analiza Teoremă Determinarea distanţei optime şi a secvenţei optime care transformă un şir α într-un şir β, α = β = n, se poate face în timpul O(n 2 ). D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

57 Distanţa între şiruri Variaţii alte operaţii: transpoziţia: schimbă ordinea a două caractere adiacente distanţa Levenshtein (de editare) sunt admise numai inserari, stergeri si inlocuiri toate operaţiile au costul 1 distanţa Hamming sunt admise numai înlocuirile costul operaţiei este 1 este finita ori de cate ori a = b distanta episodica (episode distance) sunt admise numai inserări costul operaţiei este 1 distanţa este sau b a sau D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

58 Distanţa între şiruri Variaţii distanţa data de cea mai lungă subsecvenţă sunt admise numai inserări şi ştergeri toate operaţiile au costul 1 Exemplu: α = amxbtycsnma şi β = bancxstymcxn α = amxbtycsnma bamxbtycsnma baxbtycsnma banxbtycsnma bancxbtycsnma bancxtycsnma bancxstycsnma bancxstymcsnma bancxstymcnma bancxstymcxnma bancxstymcxna bancxstymcxn = β (a,x,t,y,c,n) este subsecventa comună este cea mai lungă? D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

59 Distanţa între şiruri Variaţii matching aproximativ peste şiruri (aproximate string matching) problema: dat un text s de lungime n, un patern p de lungime m, o distanţa d() între şiruri şi un număr k, să se determine poziţiile j din textul s astfel încât să existe i cu d(p, s[i..j]) k distanţa Levenshtein: string matching with k differences distanţa Hamming: string matching with k missmatches distanţa episodica: episode matching (modeleaza cazul cand se cauta o secventa de evenimente intr-o perioada scurta de timp) cea mai lungă subsecvenţă comună: exact ce spune numele D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

60 Distanţa între şiruri Variaţii procesul de cautare pentru matching aproximativ: α = p, β = s trebuie să modificăm algoritmul a.î. orice poziţie j din text este startul potenţial al unei potriviri; asta se realizează prin setarea d[0, j] = 0 calculul matricei se face pe coloane iniţial: d[i, 0] = i pentru i = 0,..., m se procesează textul caracter cu caracter presupunem că la pasul curent se procesează s j coloana j este actualizată: d[i, j] = (p i == s j )? d[i 1, j 1] : 1 + min(d[i 1, j], d[i, j 1], d[i 1, j 1]) pozitiile j pentru care d[m, j] k sunt raportate de remarcat că numai ultimele două coloane sunt necesare D. Lucanu (FII - UAIC) Programare dinamică PA 2014/ / 52

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica

Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica Bibliografie Cormen Introducere în Algoritmi cap.

Διαβάστε περισσότερα

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Logică 24. Echivalenta starilor STARILE ECHIVALENTE DIN CIRCUITELE SECVENTIALE Realizarea unui circuit secvenţial

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare.

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. Metode de sortare Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. 1. Sortare prin selecţie directă Sortarea prin selecţia minimului

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Transformări de frecvenţă

Transformări de frecvenţă Lucrarea 22 Tranformări de frecvenţă Scopul lucrării: prezentarea metodei de inteză bazate pe utilizarea tranformărilor de frecvenţă şi exemplificarea aceteia cu ajutorul unui filtru trece-jo de tip Sallen-Key.

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective: TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

Cap. 9. REZOLVAREA NUMERICĂ A PROBLEMELOR DE OPTIMIZARE

Cap. 9. REZOLVAREA NUMERICĂ A PROBLEMELOR DE OPTIMIZARE Cap. 9. REZOLVAREA NUMERICĂ A PROBLEMELOR DE OPTIMIZARE 9.1. Definirea unei probleme de optimizare În sens larg, optimizare înseamnă [D5], [I1] acţiunea de stabilire, pe baza unui criteriu prestabilit,

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

Măsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor

Măsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor 4. Măsurarea impedanţelor 4.2. Măsurarea rezistenţelor în curent continuu Metoda comparaţiei ceastă metodă: se utilizează pentru măsurarea rezistenţelor ~ 0 montaj serie sau paralel. Montajul serie (metoda

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmi genetici. 1.1 Generalităţi

Algoritmi genetici. 1.1 Generalităţi 1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluţionist şi sunt inspiraţi de teoria lui Darwin asupra evoluţiei. Idea calculului evoluţionist a fost introdusă în

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Folosirea formelor normale conduce la eliminarea multora din problemele de redondanţe şi anomalii enunţate anterior. Fie o schemă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 12. RPA (2017) Curs 12 1 / 65

Curs 12. RPA (2017) Curs 12 1 / 65 Reţele Petri şi aplicaţii Curs 12 RPA (2017) Curs 12 1 / 65 Cuprins 1 Modelare utilizând HCPN 2 Reţele Petri colorate cu durate de timp 3 Reţele Petri imbricate RPA (2017) Curs 12 2 / 65 Modelare utilizând

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

Subiectul III (30 de puncte) - Varianta 001

Subiectul III (30 de puncte) - Varianta 001 (30 de puncte) - Varianta 001 1. Utilizând metoda backtracking se generează în ordine lexicografică cuvintele de câte patru litere din mulţimea A={a,b,c,d,e}, cuvinte care nu conţin două vocale alăturate.

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

Laborator/Seminar 2. Probleme de optimizare convexa

Laborator/Seminar 2. Probleme de optimizare convexa Laborator/Seminar 2 Probleme de optimizare convexa 1 Introducere Problemele de optimizare, min f(x) x R n s.l. g i (x) 0, i = 1,..., m, (1) Ax b = 0, in care functia obiectiv f si functiile ce definesc

Διαβάστε περισσότερα