Programarea dinamica I
|
|
- Ἰούλιος Μιχαηλίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Programarea dinamica I Principiile programării dinamice Programarea dinamică, ca și metoda divide et impera, rezolvă problemele combinând soluţiile subproblemelor. După cum am văzut, algoritmii de divide et impera, partiţionează problemele în subprobleme independente, rezolvă subproblemele în mod recursiv, iar apoi combină soluţiile lor pentru a rezolva problema iniţială. Dacă subproblemele conţin subprobleme comune, în acest caz, este mai bine să folosim tehnica programării dinamice. Să analizăm pentru început ce se întâmplă cu un algoritm de divide et impera în această situaţie. Descompunerea recursivă a cazurilor în subcazuri ale aceleiași probleme, care sunt apoi rezolvate în mod independent, poate duce la calcularea de mai multe ori a aceluiași subcaz, și deci la o eficienţă scăzută a algoritmului. Să ne amintim de exemplu algoritmul lui Fibonacci expus în primul curs. Sau să calculăm coeficientul binomial = < < 1 În mod direct aceasta se realizează astfel: (, ) 1. = 0 = 1 2. ( 1, 1)+ ( 1, ) Multe din valorile (, ), <, < sunt calculate în mod repetat. Deoarece rezultatul final este obţinut prin adunarea a de 1, rezultă că timpul de execuţie pentru un apel (, ) este în Ω( ). Dacă memorăm aceste valori într-un tablou de forma celui din figura de mai jos, obţinem un algoritm mai eficient. 1
2 Figura 1. Coeficienţii binomiali Acesta este triunghiul lui Pascal. Este suficient să memorăm un vector de lungime, reprezentând linia curentă din triunghiul lui Pascal din figură. Dacă am completa o matrice de (, ) putem spune că este vorba de elementele de sub diagonala principală. Noul algoritm necesită un timp de ( ). Primul principiu de bază al programării dinamice este evitarea calculării de mai multe ori a aceluiași subcaz, prin memorarea rezultatelor intermediare. Putem spune că metoda divide et impera operează de sus în jos, descompunând un caz în subcazuri din ce în ce mai mici pe care le rezolvă separat. Al doilea principiu fundamental al programării dinamice este faptul că operează de jos în sus. Se pornește de obicei de la cele mai mici cazuri. Combinând soluţiile lor se obţin soluţii pentru subcazuri din ce în ce mai mari, până se ajunge în final la soluţia cazului iniţial. Programarea dinamică este folosită de obicei în probleme de optimizare. În acest context, conform celui de-al treilea principiu fundamental, programarea dinamică este utilizată pentru a optimiza o problemă care satisface principiul optimalităţii: într-o secvenţă optimă de decizii sau alegeri, fiecare subsecvenţă trebuie să fie de asemenea, optimă. Cu toate că pare evident, acest principiu nu este întotdeauna valabil și aceasta se întâmplă atunci când subsecvenţele nu sunt independente, adică atunci când optimizarea unei secvenţe distruge optimizarea altei secvenţe. 2
3 Ca și în cazul algoritmilor greedy, soluţia optimă nu este în mod necesar unică. Dezvoltarea unui algoritm de programare dinamică poate fi descrisă de următoarea succesiune de pași: Se caracterizează structura unei soluţii optime Se definește recursiv valoarea unei soluţii optime Se calculează de jos în sus valoarea unei soluţii optime Dacă pe lângă valoarea unei soluţii optime se dorește și soluţia propriu-zisă atunci se mai efectuează și acest pas: Din informaţiile calculate se construiește de sus în jos o soluţie optimă. O competi ie Din acest prim exemplu de programare dinamică reiese structura de control și ordinea rezolvării cazurilor. Problema considerată nu este una de optimizare. Să ne imaginăm o competiţie în care doi jucători, joacă o serie de cel mult 2 1 partide, câștigător fiind jucătorul care acumulează primul victorii. Presupunem că nu există partide egale, și că rezultatele sunt independente între ele și că pentru orice partidă există o probabilitate ca jucătorul să câștige, și o probabilitate 1 ca jucătorul să câștige. Ne propunem să calculăm (, ), probabilitatea ca jucătorul să câștige competiţia, dat fiind că mai are nevoie de victorii, iar jucătorul mai are nevoie de victorii pentru a câștiga. La început evident, probabilitatea este (, ) pentru că fiecare jucător mai are nevoie de victorii. Pentru 1 avem (0, ) =1 implică (,0) =0. Probabilitatea (0,0) este nedefinită. Pentru, 1 se poate calcula (, ) după formula: (, )= ( 1, )+ (, 1) Algoritmul pentru a calcula această probabilitate este: (, ) 1. = = ( 1, )+ (, 1) Fie ( ) timpul necesar, în cazul cel mai nefavorabil pentru a calcula probabilitatea (, ) unde = +. 3
4 Avem : (1) ( ) 2 ( 1)+, >1 unde, sunt două constante. Prin metoda iteraţiei, obţinem (2 ), iar dacă = = atunci (4 ). Dacă urmărim modul în care sunt generate apelurile recursive, în figura 2, vom observa că algoritmul este la fel de ineficient ca cel al calcului coeficienţilor binomiali: ( +, )= ( 1)+, + ( +( 1), 1) Pentru a calcula numărul total de apeluri recursive necesare pentru a obţine (, ), notăm cu (, ) numărul de apeluri recursive necesare pentru a-l calcula pe (, ). Folosim inducţia și anume: Dacă este 0, proprietatea ca (, ) =2 2 este adevărată. Presupunem proprietatea adevărată pentru 1 și demonstrăm pentru. Fie 0< < atunci avem recurenţa De aici rezultă că (, ) = ( 1, 1)+ # ( 1, ) + #2 (, ) = =2 2 În cazul în care este 0 sau atunci (, ) =0 și =1, deci proprietatea este adevărată. Revenind la problema de mai sus, rezultă că numărul total de apeluri recursive este Timpul de execuţie pentru un apel în (, ) este deci în Ω( 2 ) ceea ce înseamnă că este ineficient. Pentru a îmbunătăţi algoritmul procedăm ca în cazul triunghiului lui Pascal. Se va completa un tablou bidimensional însă nu linie cu linie ci pe diagonală. Probabilitatea (, ) poate fi calculată prin apelul (, ) al algoritmului de mai jos. 4
5 (, ) 1. [0..,0.. ] [0, ] 1; [,0] [, ] [ 1, ]+ [, 1] [ +, ] [ + 1, ]+ [ +, 1] 10. [, ] Deoarece în esenţă se completează un tablou de elemente, timpul de execuţie pentru un apel (, ) este în Θ( ). Ca și în cazul coeficienţilor binomiali nu este nevoie de memorarea întregului tablou, ci doar diagonala curentă din. Multiplicarea matricelor în lan Un alt exemplu concret de programare dinamică este un algoritm care rezolvă problema multiplicării unor matrice. Se dă o listă, o secvenţă de matrice,,, de matrice, ce trebuie multiplicate și dorim să calculăm produsul. Putem evalua această expresie folosind un algoritm clasic de multiplicarea a matricelor, ca o subrutină, odată ce am pus parantezele, pentru a elimina ambiguitatea modului în care matricile sunt multiplicate. Un produs de matrice este complet parantezat dacă fie este o matrice, fie este produsul a două produse de matrice complet parantezate, evident înconjurate de paranteze. Multiplicarea matricelor este asociativă, așa că în orice mod am pune parantezele am obţine același produs. De exemplu dacă lanţul de matrice ce trebuie înmulţite ar fi:,,, atunci el poate fi efectuat astfel ( ) sau ( ) sau ( )( ) sau ( ) 5
6 Modul în care efectuăm această ordonare a parantezelor poate avea un impact dramatic asupra eficienţei multiplicării totale. Să luăm de exemplu costul multiplicării a două matrice. Algoritmul standard este dat de pseudocodul de mai jos. Atributele rows și columns sunt numărul de linii și coloane dintr-o matrice. (, ) 1. [ ] [ ] [ ] 4. 1 [ ] 5. [, ] [ ] 7. [, ] [, ]+ [, ] [, ] 8. Putem înmulţi două matrice și doar dacă numărul de coloane din este același cu numărul de rânduri ale lui. De exemplu dacă este o matrice de și este o matrice de, rezultatul este o matrice de. Acest algoritm are un ordin în ( ). Pentru a ilustra diversele costuri ce apar prin plasarea diferită a parantezelor să considerăm produsul a trei matrice. Să presupunem că matricele au dimensiunile , și Dacă luăm în considerarea parantezele ( ) vom avea nevoie de un număr de operaţii de multiplicare de = 5000 pentru a obţine produsul. Apoi mai avem nevoie de = 2500 de înmulţiri a elementelor matricelor ( ) cu. În total avem nevoie de 7500 de produse scalare. Dacă luăm în considerare al doilea caz și anume ( ) mai întâi calculăm produsul ( ), pentru care avem nevoie de = de operaţii de înmulţire. Apoi vom avea nevoie de alte = pentru a calcula produsul dintre și ( ). În total obţinem de multiplicări adică de 10 ori mai mult decât cazul anterior. Problema multiplicării matricelor în lanţ se formulează astfel: 6
7 Se dă un lanţ de matrice,,, unde pentru un =1,2,, o matrice are dimensiunea. Să se parantezeze complet produsul astfel ca numărul de multiplicări să fie minim. Calculul complexită ii algoritmului brute-force Înainte de a rezolva problema prin programare dinamică, va trebui să ne convigem că o căutare exhaustivă este ineficientă. Fie numărul de parantezări alternative a unei secvenţe de matrice notat cu ( ). Din moment ce putem separa secvenţa de matrice între primele matrice și cele de la +1 până la, pentru orice =1,2,, 1atunci parantezând recursiv obţinem 1 ă = 1 ( ) = ( ) ( ) ă 2 Problema se reduce la rezolvarea acestei recurenţe folosind numere Catalane: ( ) = ( 1) unde ( ) = 2 = Ω( / ) Astfel se poate observa că metoda brute-force are o complexitate exponenţială ceea ce o face ineficientă. Structura unei parantezări optime Primul pas din paradigma programării dinamice este de a caracteriza structura unei soluţii optime. Pentru o multiplicare a unor matrici putem proceda după cum urmează. Să adoptăm notaţia.. pentru matricea ce rezultă din evaluarea produsului. O aranjare optimă a parantezelor a produsului împarte produsul între și pentru un întreg din intervalul [1, ). Adică pentru o valoare a lui, mai întâi calculăm matricele.. și.. și apoi le multiplicăm pentru a produce produsul final... Costul parantezării optime este costul calcului matricei.. plus costul calcului matricei.., plus costul multiplicării finale a celor două matrici. Observaţia cheie este că parantezarea sublanţului format din în cadrul parantezării optime a lui trebuie să fie la rândul ei optimă. De ce? Dacă ar fi un al mod mai bun de a paranteza, aceasta în cadrul lanţului, va duce la o altă parantezare mai bună a în locul celei presupuse a fi optime. De aici apare contradicţia ce confirmă ipoteza. Asemenea vom spune că este parantezarea optimă în cadrul lanţului mare. 7
8 O solutie recursivă Al doilea pas din paradigma programării dinamice este să definim valoarea unei soluţii optime recursiv în raport cu soluţiile optime ale subproblemelor. Pentru problema multiplicării în lanţ alegem ca subprobleme determinarea costului minim în a paranteza pentru 1. Fie [, ] numărul minim de multiplicări necesare pentru a calcula matricea... Cu aceste considerente costul cel mai mic pentru a calcula.. trebuie să fie [1, ]. Putem defini [, ]recursiv după cum urmează. Dacă =, lanţul constă dintr-o singură matrice.. = astfel că nici o multiplicare între elementele acestei matrice nu este necesară. De aceea [, ]= 0 = 1,2,,. Pentru a calcula [, ] când <, vom profita de structura stabilită la pasul 1. Adică presupunem că parantezarea optimă împarte produsul între și unde <. Astfel, [, ] este egal cu minimul atunci când calculăm subprodusele.. și.., plus costul multiplicării matricelor finale. Din moment ce calculul produsului.... ia multiplicări, vom obţine: [, ]= [, ]+ [ +1, ]+ Această ecuaţie pornește de la premisa că știm valoarea lui, ceea ce nu este adevărat. Totuși, există valori posibile pe care le poate lua și anume =, +1,.., 1. Din moment ce parantezarea optimă este una corespunzătoare uneia din aceste valori ale lui, le putem verifica pe toate și descoperi pe cea mai bună. De acea definiţia recursivă a parantezării optime a produsului devine: 0 ă = [, ]= min [, ]+ [ +1, ]+ ă < (1) Valorile [, ] dau costul minim pentru o subproblemă (i,j). Pentru a ţine evidenţa construirii soluţiei optime, fie [, ] ce reprezintă valoarea lui pentru care putem împărţi produsul astfel ca parantezarea să fie optimă. Cu alte cuvinte [, ] este acel pentru care [, ]= [, ]+ [ +1, ]+. 8
9 Calculul costului optim La acest moment, se poate scrie algoritmul recursiv bazat pe recurenţa (1), algoritm ce calculează costul minim [1, ] necesar multiplicării lanţului de matrice,,,. Se poate intui timpul exponenţial al unui astfel de algoritm. Cea mai importantă observaţie că avem puţine subprobleme: una pentru fiecare alegere a lui și ce să fie în intervalul [1, ]. În total obţinem ( ) pentru aceste alegeri. Un algoritm recursiv ar putea întâlni fiecare subproblemă de mai multe ori. Această proprietate de a suprapune probleme ce pot apare redundant este marca programării dinamice. Așa că, în loc să calculăm soluţia recurenţei (1), vom efectua un al treilea pas și anume vom considera problema de sus în jos. Următorul pseudocod presupune că matricea are dimensiunile pentru =1,2,,. Secvenţa de intrare este,,, unde h[ ] = +1. Procedura folosește o tabelă auxiliară [1..,1.. ] pentru a stoca, costurile [, ] și tabela auxiliară [1..,1.. ] ce ţine indecșii lui ce au fost obţinuţi în calculul lui [, ]. ( ) 1. h[ ] [, ] i [, ] 8. k 1 9. [, ]+ [ +1, ]+ 10. < [, ] 11. [, ] 12. [, ] 13. Algoritmul va umple tabela în așa fel încât să rezolve problema parantezării optime. Ecuaţia (1) arată că, costul [, ] pentru a calcula produsul a +1 matrice, depinde doar de costul optim al 9
10 calculului a unui produs de mai puţin de +1 matrice. De aceea pentru =, +1,, 1, matricea.. este produsul dintre +1< +1 matrice, și de asemenea, matricea.. este produsul a < +1 matrice. Algoritmul va calcula prima dată (liniile 2-3) [, ] =0 pentru =1,2,, adică, costul minim de a calcula produsul dintre și același. Apoi, pe liniile 4-12 algoritmul folosește formula (1) pentru a calcula [, +1] pentru =1,2,, 1, adică tocmai costul minim pentru lanţuri de lungime 2. Aceasta se întâmplă la primul pas din for-ul cu variabila. A doua oară când se trece prin for, se vor calcula minimele pentru lanţuri de trei elemente: [, +2]pentru =1,2,, 2, și tot așa. La fiecare pas, costul [, ] (liniile 9-12) depinde doar de intrările [, ] și [ +1, ] ce au fost deja calculate la niște pași anteriori. Figura 2. Ilustrează procedura pentru un lanţ de =6 matrice. Din moment ce am definit [, ] doar pentru, se va folosi doar porţiunea de deasupra diagonalei pentru a calcula costurile minime. Figura 2. Maticele m și s calculate pentru n=6, rotite cu 45 Problema iniţială este aceasta: Se dau matricile de dimensiunile: matricea Dimensiunea
11 Matricele sunt rotite astfel ca diagonala principală să fie pe orizontală. Cum doar elementele de peste diagonala principală sunt folosite în matricea rezultă aceste două triunghiuri. Numărul minim de multiplicări este [1,6] = Pentru elementul [2,5] calculele ce se fac pentru aflarea minimului sunt: [2,2] + [3,5] + = = [2,5] = [2,3] + [4,5] + = = 7125 [2,4] + [5,5] + = = Așa că [2,5] = 7125 fapt marcat și în matricea din imagine. În imaginea 2, fiecare rând orizontal conţine elementele din lanţul de matrice de aceeași lungime. Funcţia calculează rândurile de la baza triunghiului la vârf, adică de sus în jos. Orice [, ] este calculat folosind produsele pentru =, +1,, 1 și toate elementele din sud-estul și sud-vestul lui [, ]. O simplă analiză a acestui algoritm va da timpul total de ( ) din cauza celor trei for-uri imbricate. Cea mai lungă subsecventă Următoarea problemă, denumită și găsirea celei mai lungi subsecvenţe comune poate fi formulată după cum urmează. O subsecvenţă dintr-o secvenţă dată este o bucată din acea secvenţă în care unele elemente au fost eventual îndepărtate. Dat fiind o secvenţă =,,,, o altă secvenţă =,,, este o subsecvenţă a lui dacă există o secvenţă,,, de indici ai lui astfel ca pentru toate = 1,2,, să avem =. De exemplu, =,,, este subsecvenţa lui =,,,,,, corespunzător indicilor 2,3,5,7. Dat fiind două secvenţe și, spunem că o secvenţă este o subsecvenţă comună a lui și dacă este o subsecvenţă atât a lui cât și a lui. De exemplu, dacă =,,,,,, și =,,,,,, secvenţa,, are trei elemente și nu este cea mai lungă subsecvenţă (LCS) a lui și, deoarece există o altă subsecvenţă comună cu 4 elemente și anume,,,. Deoarece nu există nici o altă secvenţă comună cu 5 elemente spunem că,,, este si cea mai lungă. Putem formula problema celei mai lungi subsecvenţe comune astfel: se dau secvenţele =,,, și =,,, și se dorește aflarea celei mai lungi subsecvenţe a lui și. 11
12 Caracterizarea celei mai lungi subsecvente O abordare brute-force a acestei probleme este de a enumera toate subsecvenţele ale lui și de a verifica fiecare subsecvenţă pentru a vedea dacă este de asemenea și în. Fiecare subsecvenţă corespunde unui subset de indici {1,2,, } ai lui. Există 2 subsecvenţe a lui, deci această abordare este total ineficientă. Rezolvarea problemei derivă de la o proprietate. După cum vom vedea, clasa naturală de subprobleme corespunde unor perechi de prefixe, ale celor două secvenţe de intrare. Mai exact, dat fiind o secvenţă =,,, definim al -lea prefix pentru =0,1,, ca fiind =,,,. De exemplu dacă =,,,,,, atunci =,,, și este secvenţa vidă. Teorema 1. Fie =,,, și =,,, secvenţele și fie =,,, orice LCS a lui și. 1. Dacă = atunci = = și este o LCS a lui și. 2. Dacă atunci implică faptul că este o LCS a lui și 3. Dacă atunci implică faptul că este o LCS a lui și Demonstraţia 1) Dacă atunci putem atașa = lui pentru a obţine LCS a lui, de lungime +1. Contrazicem astfel presupunerea că este cea mai lungă subsecvenţă a lui și. De aceea trebuie să avem = =. Acum prefixul este de lungime ( 1) și este LCS pentru,. 2) Dacă atunci este subsecvenţa comună lui și. Dacă ar fi o subsecvenţă comună a lui și cu o lungime mai mare decât, atunci ar fi de asemenea o subsecvenţă comună pentru și, cotrazicând presupunerea. 3) Demonstraţia este simetrică lui 2). 12
13 O solutie recursivă Teorema 1, implică faptul că fie există una sau două subprobleme de examinat când căutăm LCS a lui =,,, și =,,,. Dacă = atunci trebuie să găsim LCS al lui și. Dacă adăugăm = la această soluţie de LCS găsită, atunci avem chiar LCS al lui și. Al doilea caz este când și atunci trebuie să găsim fie LCS a lui și, fie LCS a lui și. Ca și problema înlănţuirii înmulţirii matricelor, soluţia recursivă la problema LCS implică stabilirea unei recurenţe de cost optim. Să definim [, ] lungimea unei LCS între secvenţa și. Dacă ori =0 ori =0, una din secvenţe are lungimea 0 deci LCS este de lungime 0. Structura optimă a problemei LCS este dată de formula: 0 ă = 0 ș = 0 [, ]= [ 1, 1]+ 1 ă, > 0 ș = (2) max( [, 1], [ 1, ]) ă, > 0 ș Calculul lungimii unui LCS Pe baza ecuaţiei (2) putem ușor scrie un algoritm recursiv cu un ordin de timp exponenţial pentru a calcula lungimea LCS a celor două secvenţe. deoarece sunt doar ( ) subprobleme distincte, putem rezolva prin aplicarea programării dinamică. Procedura LCS_LENGTH va lua două secvenţe =,,, și =,,, ca intrare. Va stoca în matricea [0..,0.. ] valorile [, ] corespunzătoare secvenţelor. Primul rând din este umplut de la stânga la dreapta, apoi al doilea rând este umplut de la stânga la dreapta și așa mai departe. În matricea [1..,1.. ] se menţin indicaţii pentru a reconstrui ușor soluţia finală. Practic [, ] indică subproblema optimă corespunzătoare calcului [, ]. Procedura va returna ambele matrice: [, ] conţine lungimea LCS a secvenţelor,. Procedura are un ordin de timp ( ) deoarece calculul fiecărui element din matrice este în (1). 13
14 _ (, ) 1) h[ ] 2) h[ ] 3) 1 4) [,0] 0 5) 0 6) [0, ] 0 7) 1 8) 1 9) = 10) [, ] [ 1, 1]+1 11) [, ] " " 12) 13) [ 1, ] [, 1] 14) [, ] [ 1, ] 15) [, ] " " 16) 17) [, ] [, 1] 18) [, ] " " 19) ș Figura 3. Matricile c și b calculate pentru =,,,,,, și =,,,,,. 14
15 Cum construim o LCS Tabelul returnat de procedura LCS_LENGTH poate fi folosit ușor pentru a construi o secvenţă optimă. Începem cu [, ] și urmărim drumul din matrice indicat de săgeţi. Atunci când întâlnim un în locaţia [, ] înseamnă că = adică am găsit un element al lui LCS. Elementele sunt descoperite în ordinea inversă a lor. În figura de mai sus, intrarea 4 din [7,6] este lungimea unei secvenţe,,, a lui,. Pentru, >0 [, ]depinde doar de egalitatea dintre și și de valorile [ 1, ] și [, 1] și [ 1, 1] care sunt calculate înainte de [, ]. Soluţia recursivă de mai jos afișează LCS a lui și în ordinea corectă. Primul apel va fi _ (,, h[ ], h[ ]). _ (,,, ) 1) = 0 = 0 2) [, ]= " " 3) _ (,, 1, 1) 4) 5) [, ]=" " 6) _ (,, 1, ) 7) _ (,,, 1) Pentru din figura 3 această procedură afișează. Procedura are un ordin de timp ( + ) deoarece la fiecare pas al recursivităţii, fie, fie este decrementat. 15
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραProiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραEficienta algoritmilor
Eficienta algoritmilor În cursul de introducere am menţionat că, oricât de rapid ar deveni un calculator, sau oricât de mult s-ar ieftini memoria, eficienţa va fi un factor decisiv în alegerea unui algoritm.
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri
Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραProiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica Bibliografie Cormen Introducere în Algoritmi cap.
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραTeme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: Programare dinamică - I - Algoritmica - Curs 11 1
CURS 11: Programare dinamică - I - Algoritmica - Curs 11 1 Structura Ce este programarea dinamică? Etapele principale în aplicarea programării dinamice Relații de recurență: dezvoltare ascendentă vs.dezvoltare
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραProiectarea algoritmilor: Programare dinamică
Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραMetode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare.
Metode de sortare Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. 1. Sortare prin selecţie directă Sortarea prin selecţia minimului
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότερα3. Vectori şi valori proprii
Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραRădăcini primitive modulo n
Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραFLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότερα