AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON"

Transcript

1 AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

2 Gredni nosač može biti spoljnim silama napregnut na razne načine, pa tako postoji aksijalno naprezanje, čisto savijanje, savijanje silama, torzija, kao i razni slučajevi složenog naprezanja. Za sve slučajeve naprezanja grednog nosača treba doći do opštih izraza za napone i deformacije da bi se pripremili podaci za analizu grednog nosača, tj. njegovo dimenzionisanje, kontrolu stanja napona, stabilnosti i sl. Ako su poznata rešenja za četri osnovna slučaja naprezanja, primenom principa superpozicije (kada taj princip može da se primeni), mogu se dobiti rešenja za različita kombinovana naprezanja.

3 AKSIJALNO NAPREZANJE NORMALNI NAPON I DILATACIJA Najosnovniji pojmovi u Otpornosti materijala su napon i dilatacija. Ovi pojmovi se se mogu objasniti u njihovom najelementarnijem obliku analiziranjem prizmatičnog štapa koji je opterećen aksijalnom silom Aksijalna sila duž ose štapa izaziva zatezanje ili pritisak u štapu. Poluga je zategnut prizmatični element

4 Aksijalno naprezanje (zatezanje ili pritisak) je naprezanje pri kome se u poprečnim presecima pravog štapa javljaju samo aksijalne unutrašnje sile. Sve druge unutrašnje sile jednake su nuli (transverzalne sile, momenti savijanja, momenti uvijanja), to jest ne postoje. Takvo naprezanje javlja se ne samo u slučaju kada su spoljašnje sile kolinearne sa osom štapa i deluju duž ose štapa, već i u slučaju kada seku osu štapa pod nekim uglom ali se pri tome pravac njihove rezultante poklapa sa osom štapa.

5 Elementi rešetke telekomunikacionog tornja su prizmatični štapovi napregnuti na zatezanje ili pritisak

6 Cilindričan štap prikazan na slici zategnut je na krajevima silama F, koje deluju u težištima osnova štapa. Koordinatni sistem x, y, z postavljen je tako da se osa z poklapa sa podužnom osom grede, dok ose x i y leže u ravni poprečnog preseka grede. Površina poprečnog preseka je A. UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI Štap pre nanošenja opterećenja je dužine l, dok je posle nanošenja opterećenja dužina štapa uvećana za δ (delta) l. poprečni presek

7 Unutrašnje sile u štapu će se pojaviti ukoliko se štap preseče na dva dela zamišljenom ravni upravnom na osu štapa. Svaki od ovih delova pod uticajem spoljašnje sile i unutrašnjih sila koje se prenose preko presečne površine mora da bude u ravnoteži. Prema tome, redukciona rezultanta svih unutrašnjih sila na težište poprečnog preseka mora biti jedna sila u pravcu ose štapa suprotnog smera od spoljašnje sile koja deluje na taj deo štapa. Z = 0 F F = 0 F = F Iz ovog statičkog uslova ravnoteže (Osnovna hipoteza otpornosti materijala) još uvek nije moguće odrediti raspored i veličinu unutrašnjih sila po površini A. A A

8 UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI Ako veličinu normalnog napona u tački M,čije su koordinate (x,y) obeležimo sa σ z ( x, y) normalni napon u tački M za presečnu ravan sa normalom z, je rezultanta unutrašnjih sila koje se prenose preko elementa površine da oko te tečke σ z ( x, y) da σ a preko celog porečnog preseka z ( ) A x, y da Uslov ravnoteže levog dela glasi: Z = 0 σ ( x, y) da F 0 A z =

9 UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI Unutrašnja sila predstavlja rezultantu svih elementarnih unutrašnjih sila koje deluju na svaku elementarnu površinu poprečnog preseka. F = F A = σ A z ( x, y) da

10 Ni iz ovog uslova se još ne može odrediti veličina napona σ z ( x, y) Pretpostavljajući dalje da je u slučaju cilindrinog štapa σ z x, y = const. normalan napon u svim tačkama poprečnog preseka jednak, ( ) Z σ A F = 0 σ = z = 0 ( x, y) da F 0 Zbog toga se kratko govori o naponu ili naprezanju u štapu pričemu se misli na napon u pojedinim tačkama štapa za presečne ravni upravne na osu štapa. A σ z = z F A

11 Prema tome, u slučaju aksijalno napregnutog štapa napon je u svim tačkama, dovoljno udaljenim od krajeva, za presečne ravni koje su upravne na njegovu osu, jednak i dat izrazom σ = F A

12 Bernulijeva pretpostavka o ravnim presecima Štap ostaje prav i posle nanošenja opterećenja, a takođe poprečni presek ostaje ravan i upravan na osu nosača iako u toku vremena štap menja oblik i zapreminu. Zamišljeni ravni preseci upravni na osu nosača, ostaju i posle deformisanja ravni i upravni na osu nosača. Poprečni presek pri deformisanju štapa ostaje ravan ali se pomera paralelno (translatorno) duž ose štapa. Pri eksperimentalom ispitivanju primećeno je da linije nanešene na površinu neopterećenog štapa u ravnima poprečnih preseka ostaju ravne i kad se štap optereti zategne ili pritisne. Pretpostavlja se da se sličan proces dešava i sa odgovarajućim zamišljenim linijama unutar štapa.

13 Zbog toga se može pretpostaviti da se sve tačke proizvoljnog poprečnog preseka pomeraju paralelno sa osom štapa za istu veličinu i da i dalje leže u zajedničkoj ravni. Ovo nije slučaj kod tankozidnih štapova. Na osnovu Bernulijeve pretpostavke može se smatrati da je normalni napon u svakoj tački poprečnog preseka konstantan. F F = F A = σ A z = FA = σ σ = A F A ( x, y) da da = σa

14 San Venanov princip Eksperimenti i teorijska ispitivanja su pokazala da je u tačkama tela dovoljno udaljenim od krajeva štapa (područja nanošenja opterećenja na telo) je pravac unutrašnjih sila paralelan sa osom štapa, tj. da u bilo kojoj tački poprečnog preseka postoji samo normalna komponenta napona, a da je tangencijalna komponenta napona jednaka nuli. Greda je od homogenog i izotropnog materijala poznatih mehaničkih svojstava. Pretpostavlja se da je materijal linearno elastičan ukoliko nije posebno naznačeno. Homogen materijal ima iste fizička i mehanička svojstva u svim tačkama, a izotropan materijal ima iste osobine u svim pravcima.

15 Ako štap nije cilindričan ili ako na nekom mestu ima zarez tada prethodne pretpostavke ne važe. Naponi u tačkama poprečnog preseka koji prolazi kroz sredinu zareza, a koje se nalaze bliže krajevima, mogu biti dva i tri puta veći nego u težištu preseka. Ova pojava se naziva koncentracija napona. Diskontinuitet poprečnih preseka može da izazove veliku koncentraciju napona

16 DEFORMACIJE Pod uticajem aksijalne sile štap se deformiše menja svoje dimenzije i podužne i poprečne. Razlika krajnje dimenzije (posle deformisanja) i odgovarajuće prvobitne dimenzije (pre deformisanja) je apsolutna deformacija - izduženje ili skraćenje. Odnos apsolutne deformacije i odgovarajuće prvobitne dimenzije štapa je relativna deformacija ili dilatacija.

17 DEFORMACIJE Dilatacija u pravcu ose štapa ili u pravcu dejstva sile je podužna dilatacija. Dilatacije u poprečnom pravcu su poprečne dilatacije. Dilatacije su bezdimenzionalne veličine Često se izražavaju u procentima.

18 ZATEZANJE apsolutna deformacija l = l l 1 a = a1 a b = b b 1 podužna DEFORMACIJE poprečna relativna deformacija ε = ε = p ε = p l l a a b b podužna poprečna

19 PRITISAK apsolutna deformacija 1 DEFORMACIJE l = l l podužna a = a1 a b = b b 1 poprečna relativna deformacija ε = ε = p ε = p l l a a b b podužna poprečna

20 Kako je dilatacija odnos dve dužine, to je bezdimenzionalna veličina, nema jedinicu. Dilatacija se izražava brojem, nezavisno od bilo kog sistema jedinica. Numerička vrednost dilatacije je obično veoma mala, jer su štapovi obično od materijala koji imaju male promene dužine pod dejstvom opterećenja. Na primer, dilatacija čeličnog štap dužine 2 m koji se pod dejstvom opterećenja izduži za 1,4 mm ima dilataciju: δ l 1, 4 ε = = = = 0, l l Dilatacije se često izražavaju u procentima, posebno kad su velike. U ovom primeru dilatacija je 0,007%.

21 Štap se pod dejstvom sile zatezanja izdužuje. Što je veća sila, veća su i izduženja. Pod dejstvom sile pritiska aksijalno napregnut štap se skraćije. Što je veća sila, veća su i skraćenja. Dilatacija direktno zavisi od veličine aksijalnih sila. Zavisnost između spoljašnjih sila aksijalnog naprezanja i odgovarajućih deformacija se određuje ekperimentalno u laboratorijama uz korišćenje odgovarajuće opreme.

22 MEHANIČKE KARAKTERISTIKE MATERIJALA KONSTITUTIVNE JEDNAČINE VEZE IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE HUKOV ZAKON Jednačine koje opisuju ponašanje svakog materijala pod dejstvom spoljašnjeg opterećenja, tj. na izvestan način opisuju njegov sastav (konstituciju), nazivaju se konstitutivne jednačine. One uspostavljaju vezu između veličina koje određuju stanje napona sa odgovarajućim veličinama koje određuju stanje deformacija u proizvoljnoj tački tela.

23 Zbog svoje različite strukture različiti materijali se različito ponašaju pod dejstvom spoljašnjeg opterećenja. Ali i jedan isti materijal se u različitim uslovima različito ponaša na primer, pod promenljivim opterećenjem, pod povišenom temperaturom itd, a i pod različitim intenzitetom opterećenja. Za opterećenje ispod određene granice, na primer čelik se ponaša (deformiše) elastično povratno, pa se za taj opseg opterećenja i deformacija formulišu jedne konstitutivne jednačine. Međutim, kada opterećenje pređe određenu granicu, materijal počinje da se deformiše plastično nepovratno, pa u tom opsegu napona i deformacija važi drugi skup jednačina koje povezuju napon i deformaciju. Formulisanje konstitutivnih jednačina koje tačno opisuju ponašanje različitih materijala u različitim uslovima je veoma složen problem. Teorijska analiza koja polazi od osnovnih zakona fizike uključujući molekularnu fiziku, fiziku čvrstih stanja i metalurgiju, nisu do sada dala rešenje ovog problema. Zbog toga se u formulaciji konstitutivnih relacija koriste u velikoj meri rezultati eksperimenata.

24 Projektovanje konstrukcija tako da one budu trajne i adekvatno funkcionišu zahteva poznavanje ponašanja materijala od koga su napravljene. Jedini način da se odredi kako se materijal ponaša pod dejstvom opterećenja je izvođenje eksperimenta u laboratoriji. Uobičajen postupak je da se mali element od nekog materijala postavi u odgovarajuću mašinu, nanese opterećenje i mere deformacije, kao što je na primer promena dužine i promena prečnika. Najznačajnije je ispitivanje na zatezanje ili pritisak. Mada se mnoge važne mehaničke karakteristike materijala mogu odrediti iz ovakvog ispitivanja, ono se prvenstveno koristi za određivanje veze između normalnog napona i dilatacije kod mnogih materijala kao što su metali, keramika, polimeri i kompoziti.

25 TEST ISTEZANJA ŠTAPA Eksperiment koji daje osnovne podatke o ponašanju materijala je test istezanja štapa, tj. epruvete specijalnog oblika koja se isteže u mašini za istezanje (kidalici)

26 Mašina za test zatezanja sa automatskim beleženjem izmerenih podataka

27 Mašina za ispitivanje čelične epruvete na zatezanje

28 Eksperiment zatezanja čelične epruvete

29 Tipična čelična epruveta sa ekstenzometrom koji meri izduženje

30 Epruveta od kamena za test na pritisak za dobijanje čvrstoće na pritisak, modula elastičnosti i Puasonovog koeficijenta

31 KONSTITUTIVNE JEDNAČINE Dijagram sila izduženje (deformacija) za meki čelik

32 KONSTITUTIVNE JEDNAČINE Dijagrami sila izduženje (deformacija) za razne materijale

33

34 Neka je l početno rastojanje između dve označene tačke M i N u srednjem delu epruvete, a A početna površina poprečnog preseka u trenutku t 0. Neka je u trenutku t dužina M N = z, a u trenutku t+dt, dužina je z+dz. Tada je priraštaj stvarne deformacije: dε = dz z Stvarna deformacija - dilatacija je t 1 1 dz ε = dε = = z t 0 a stvarni napon je l l ln l l 1 σ = F A Epruveta u trenutku t 0, t, t+dt, t 1 gde je A stvarna (trenutna) površina poprečnog preseka.

35 Umesto veličina ε i σ mogu se uzeti tzv. nominalna (inženjerska) deformacija - dilatacija: i nominalni (inženjerski) napon: l ε = 1 l = l l l σ = 0 F A gde je A početna površina poprečnog preseka.

36 VEZE IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE radni dijagram materijala

37 Dok napon u štapu ne dostigne granicu proporcionalnosti veza napona i deformacije je linearna. Ovakve deformacije se nazivaju elastične deformacije. Na delu OE su elastične deformacije, koje su povratne, tj. ako se epruveta rastereti, ona se vraća u prvobitni oblik. Tačke P i E vrlo bliske, obično se usvaja da se one poklapaju, tj. za granicu elastičnosti se usvaja tačka E gde se završava elastično područje krive. Napon koji odgovara tački E naziva se napon na granici elastičnosti σ E Osobina tela da se po prestanku opterećenja vraća u potpunosti u prvobitni oblik naziva se elastičnost.

38 Iza granice elastičnosti počinju plastične deformacije. Kod čelika i nekih legura dolazi do naglog pada napona posle tačke T 1 (T G ), a zatim do povećanja deformacija bez povećanja napona (deo T 2 T 3 ) kada telo prestaje da pruža bilo kakav otpor, kao da materijal teče. Tačka T 1 (T G ) naziva se gornja granica plastičnog tečenja, tačka T 2 (T D ) donja granica tečenja ili kratko granica tečenja (σ T ). U slučaju zatezanja granica tečenja se naziva još i granica razvlačenja ili granica velikih izduženja, a u slučaju pritiska granica gnječenja. Od tačke T 3 pa nadalje sve do tačke M, dilatacija nastavlja da raste sa porastom napona. Ova osobina, koju poseduju uglavnom svi metali u normalnim uslovima, zove se ojačanje ili očvršćenje materijala. Ova pojava je posledica unutrašnjih promena u strukturi materijala u toku plastične deformacije. Napon koji odgovara tački M naziva se jačina materijala - σ M.

39 Zbog daljeg sužavanja (kontrakcije) epruvete, dalja deformacija se može odvijati uz izvesno smanjenje napona (deo MS) do loma. Napon koji odgovara tački S naziva se napon pri lomu σ S.

40 A Ako se epruveta rastereti u konfiguraciji koja odgovara tački A, što važi za sve iza tačke E, ona se ne vraća u prvobitno stanje, već rasterećenje ide po krivoj AB. Od ukupne deformacije jedan deo se vraća elastična deformacija ε e, dok drugi deo ε p ostaje. Ova trajna ili zaostala deformacija naziva se plastična deformacija. Osobina materijala da se može trajno deformisati naziva se plastičnost. Pri ponovnom opterećenju epruvete deformacija bi se odvijala po krivoj BK, a zatim bi se nastavila po krivoj KS.

41 Umesto stvarne krive obično se usvaja uprošćena kriva kod koje se smatra da je veza između napona i deformacije u elastičnom području linearna (σ=e ε) i da se AB i B K poklapaju, prave su i paralelne sa OE. Ovo znači da se pretpostavlja da plastična deformacija koja se dogodila do tačke A ne menja znatno elastične osobine materijala, tako da se smatra da je rasterećenje sa istim nagibom tgϕ=e, kao i na početku eksperimenta.

42 Neki materijali, na primer aluminijum ili beton nemaju izraženu gornju i donju granicu tečenja. Kod tih materijala, napon tečenja σ T se definiše kao napon kome odgovara trajna (plastična) deformacija veličine 0,002 (2% o ). Pri razmatranju veze između napona i deformacija dolazi se do još jedne klasifikacije materijala žilavi i krti materijali. Mnogi metali (čelik, aluminijum) imaju u normalnim okolnostima izraženo plastično deformisanje - žilavi materijali. Krti materijali (beton, kamen, staklo, opeka) lome se naglo, bez izražene prethodne plastične deformacije

43 Žilavi materijali Nekaljeni čelici, bakar, aluminijum itd. slabo podnose tangentni napon pa se kidaju po kosoj ravni, približno pod uglom 45 0 u odnosu na osu štapa. Krti materijali Sivi liv, kaljeni čelik, kamen, keramika itd. slabo podnose normalni zatežući napon pa se štap kida po poprečnom preseku, gde je ovaj napon najveći.

44 Krt materijal Žilav materijal

45

46 HOOKE-OV ZAKON IDEALNO ELASTIČNO (HOOKE-OVO) TELO VEZA IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE PRI LINEARNOM STANJU NAPONA Posmatrajući ponašanje čeličnih opruga pod opterećenjem Hooke je došao do zakona koji se odnosi na vezu između napona i deformacije pri linearnom stanju napona. Ovaj zakon se može izraziti kao: ε = σ E Robert Hooke ( ) proučava elastična svojstva materijala. Na osnovu eksperimenata na oprugama, žicama i drvenim konzolama postavlja zakon o linearnoj vezi između opterećenja i deformacija pri zatezanju, na čemu se zasniva Teorija elastičnosti.

47 Tomas Young ( ) E predstavlja koeficijent proporcionalnosti između napona i dilatacije i naziva se modul elastičnosti ili Yuong-ov modul. Ima dimenziju napona (na pr. 1MPa=1 N/mm 2, N/cm 2, 10 MPa=1 kn/cm 2 ) i u dijagramu napona i dilatacije predstavlja tangens ugla između početnog dela linije dijagrama i ose ε.

48 U poređenju sa naponom, E je obično vrlo veliki broj, na pr. za čelik je E=2, N/cm 2 =2, kn/cm 2 =2, MPa. Ovo znači da bi za izduženje čelične šipke poprečnog preseka 1 cm 2 i dužine 100 cm bila potrebna sila od N za izduženje od 1mm.

49 l l l = δ = ε A N A F = = σ ε = σ E E A N E A N E E A N l l l l l l = = = ε = σ = Dilatacija pri aksijalnom naprezanju normalni napon pri aksijalnom naprezanju U području elastičnog ponašanja materijala i primene Hukovog zakona Pa je izduženje aksijalno napregnutog štapa: VEZA IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE PRI AKSIJALNOM NAPREZANJU HUKOV ZAKON

50 Proizvod Young-ovog modula i površine poprečnog preseka štapa EA naziva se aksijalna krutost štapa. l = N l E A Izduženje štapa je proporcionalno sa normalnom silom N i dužinom grede l, a obrnuto proporcionalno sa veličinom EA - aksijalnom krutošću štapa. Ovo važi samo ako su površina poprečnog preseka A i normalna sila N konstantni po celoj dužini štapa.

51 U slučaju da postoji promena normalne sile u štapu ili je štap različitog poprečnog preseka na pojedinim delovima tada je izduženje štapa: l = l i= 1 l i = l i= 1 N i l E A i i

52 Primer 1 Odrediti napone i ukupno izduženje grede, ako je cela od istog materijala i istog poprečnog preseka. Normalna aksijalna sila u delovima grede: N = F + F + F N = F + F N = F 3 3 Normalni naponi u delovima grede: Izduženje grede 1. način: N1 F + F + F σ 1 = = A A N2 F2 + F3 σ 2 = = A A N3 F3 σ 3 = = A A N l N l N l l l l l EA EA EA ( F1 + F2 + F3 ) a ( F2 + F3 ) b F3 c lab = + + EA EA EA 1 I 2 II AB = I + II + III = III

53 Izduženje grede: 2. način primena principa superpozicije: ( F ) ( F ) ( F ) a F ( a + b) F ( a + b + c) l = l + l + l AB F EA EA EA lab = + +

54 Primer 2 Odrediti napone u štapovima ako su od istog materijala i poprečnih preseka površina A 1 i A 2. S 1 Sile u štapovima se određuju iz uslova ravnoteže čvora C: Normalni naponi u štapovima: X = 0 S2 S1 cos α = 0 F F S 1 =, S2 = Y = 0 S sin tg 1 sin α F = 0 α α S 1 σ 1 = = A1 1 S 2 σ 2 = = A2 2 F A sin α F A tg α (zatezanje) (pritisak)

55 . POASONOV KOEFICIJENT Eksperimenti pokazuju da je za izotropan materijal poprečna dilatacija do granice elastičnosti linearno proporcionalna podužnoj dilataciji: ε p = ν ε Koeficijent proporcionalnosti ν naziva se Poasonov koeficijent ili koeficijent bočne kontrakcije. Siméon Poisson ( )

56

57 HUKOV ZAKON PRI JEDNOOSNOM NAPREZANJU σ ε = E ε p = ν ε Veličine E i ν u ovom jednačinama nazivaju se konstante elastičnosti i karakteristične su za pojedine vrste materijala u određenim uslovima.

58 Modul elastičnosti ima dimenziju napona i u dijagramu (σ, ε) predstavlja tangens ugla između linije σ-ε i ose ε Ako se u jednačini ε = E=tg α σ E uzme ε=1, tj. l=l, tada je σ=e, pa se E može interpretirati kao napon koji udvostručuje početnu dužinu epruvete. Na primer, za čelik je E=210 GPa, dok je napon na granici tečenja σ T =240 MPa. Poasonov koeficijent je bezdimenzionalni broj i za većinu metala je ν 1/3, dok je za beton ν 1/6. Inače je uvek E 0, a 0 ν 1/2.

59 POASONOV KOEFICIJENT I MODUO ELASTIČNOSTI MATERIJAL ν E [MPa] Čelik 0,3 2, Aluminijum 0,34 0, Bakar 0,33 1, Mesing 0,37 1, Sivi liv 0,25 1, Beton 1/6 0,3 10 5

60 UTICAJ PROMENE TEMPERATURE Pod uticajem promene temperature štap menja dužinu. Promena dužine proporcionalna je dužini štapa i promeni temperature: l t = αl t α - koeficijent linearnog širenja jednak je promeni dužine štapa od 1m pri promeni temperature za 1 0 C α - određuje se eksperimentalno i zavisi od vrste materijala m Jedinica ili 0 C -1 0 m C

61 UTICAJ PROMENE TEMPERATURE NA DEFORMACIJE I NAPONE U granicama temperaturnih promena kakve se obično dešavaju u građevinarstvu može se usvojiti da je dilatacija usled temperature proporcionalna promeni temperature, tj: ε t = α t α - koeficijent linearnog širenja - dilatacije (linearne termičke ekspanzije). t = t t t - promena temperature 2 1 MATERIJAL α 0 C -1 Čelik Aluminijum Bakar Mesing Sivi liv

62 UTICAJ PROMENE TEMPERATURE NA DEFORMACIJE I NAPONE Pri zagrevanju se štap izdužuje t 0 lt 0 ε t 0 Pri hlađenju se štap skraćuje t 0 lt 0 ε t 0 Štap oslonjen na jednom kraju, a potpuno slobodan na drugom kraju nesmetano se izdužuje ili skraćuje i pri promeni temperature u tom slučaju ne javljaju se unutrašnje sile i naponi. U statički određenim sistemima nema napona

63 Porast temperature t 0 l t = αl t l = l + l 1 ε = α t t Pad temperature t 0 ε = α t t l t = αl t l = l l 1

64 Dilatacije nastale usled temperature obično se superponiraju sa dilatacijama nastalim usled dejstva spoljašnjeg opterećenja (za male elastične deformacije važi princip superpozicije) Ako je štap konstantnog poprečnog preseka i ako je normalna sila konstantna po celoj dužini štapa ukupna promena dužine štapa je: l ε = = σ E N EA + α t l + α t l

65 UTICAJ PROMENE TEMPERATURE NA DEFORMACIJE I NAPONE Ako je štap učvršćen na oba kraja, promena njegove dužine je onemogućena pa promena temperature utiče na pojavu aksijalne sile i napona. Neravnomeran raspored temperatura u telu, ili promena temperature u telu u kome je deformacija sprečena nekim spoljašnjim vezama, može da izazove nova, dodatna naprezanja u telu, takozvane termičke napone. Termički napon se javlja samo u statički neodređenim štapovima ili sistemima.

66 Zagrevanjem štap teži da se izduži i pri tome vrši pritisak na oslonce A i B i izaziva reakcije F A i F B Z = 0 FA FB = 0 FA = FB Zadatak je statički neodređen. Potrebno je postaviti novu (dopunsku) jednačinu uslov deformacija. l = 0

67 Dok se kod statički određenog sistema normalne sile u svim štapovima mogu odrediti samo iz uslova ravnoteže, dotle se kod statički neodređenog sistema moraju koristiti i uslovi kompatibilnosti deformacija. Ovi dodatni uslovi obezbeđuju da prilikom deformacije sistema ne dođe do raskidanja veza između pojedinih delova sistema i nazivaju se geometrijski uslovi ili jednačine pomeranja. Potreban broj ovih jednačina odgovara stepenu statičke neodređenosti sistema, tj. razlici između broja nepoznatih normalnih sila u štapovima i broja uslova ravnoteže.

68 AKSIJALNO NAPREZANJE NAPONI U KOSOM PRESEKU Uz pretpostavku da je poprečna dimenzija štapa znatno manja od podužne, u tehničkim primenama se može usvojiti da je napon u poprečnom preseku raspoređen ravnomerno, pa je: σ = z N A S obzirom da je od svih komponenti napona samo σz 0 stanje napona pri aksijalnom naprezanju je jednoosno linijsko.

69 NAPONI U KOSOM PRESEKU AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Poprečni presek Kosi presek σ = z N A napon u poprečnom preseku napon u kosom preseku? U kosom preseku pod proizvoljnim uglom ϕ javlja se totalni napon koji deluje u pravcu ose štapa i koji se može razložiti na komponente u pravcu normale ρ n σ n n u pravcu tagente t ρ n Kao što je napon σ ravnomerno raspoređen po poprečnom preseku, tako je i napon sa svojim komponentama ravnomerno raspoređen po kosom preseku. σ n i τn i τn

70 NAPONI U KOSOM PRESEKU AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Komponentalni naponi u proizvoljnom kosom preseku štapa sa normalom koja zaklapa ugao ϕ sa osom z biće: n N = 0 σ da σ da cos ϕ cos ϕ = 0 n T = 0 τ da σ da cos ϕ sin ϕ = 0 n z z 1+ cos 2ϕ cos 2 ϕ =, 2 σ 2 σz τ n = σz cos ϕsin ϕ = sin 2ϕ 2 ( ) 2 z σ n = σz cos ϕ = 1+ cos 2ϕ sin 2ϕ = 2sin ϕcos ϕ Naponi u kosom preseku normale pod uglom ϕ n

71 EKSTREMNE VREDNOSTI NAPONA U KOSOM PRESEKU AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA σ 2 ( ) σ τ = σ cos ϕsin ϕ = sin 2ϕ 2 2 z z σ n = σz cos ϕ = 1+ cos 2ϕ n z Ekstremne vrednosti normalnog napona u kosom preseku: dσ n dϕ 2ϕ = ϕ = dτ n dϕ 0 = σ 0 = σ z 2ϕ = ± 90 z sin 2ϕ = 2ϕ = 180 ϕ = cos 2ϕ = ϕ = ± 45 0 σ σ z z 0 0 sin 2ϕ = 0 Ekstremne vrednosti smičućeg napona u kosom preseku: cos 2ϕ = 0 τ σ σ σ max min max,min ϕ=± 45 0 = σ = σ = τ = ϕ= 0 0 ϕ= 90 σ 2 z 0 ϕ=± 45 = σ 0 0 = = 0 z σ 2 z

72 U poprečnim i podužnim presecima u kojima deluju ekstremni normalni naponi, tangencijalnih napona nema. τ ϕ= = 0 = τ 0 = 0 ϕ 90 0 Ekstremni tangencijalni naponi međusobno su jednaki po veličini i jednaki su polovini normalnog napona u poprečnom preseku. Deluju u presecima pod uglom odnosno u odnosu na osu štapa.

73 Ovi naponi i odgovarajuća klizanja imaju presudnu ulogu u nastajanju prslina na spoljašnjoj površini zategnutog štapa pri prekoračenju granice tečenja. U ravnima u kojima deluju maksimalni smičući naponi, normalni naponi nisu jednaki nuli σ 2 z σ ϕ= ± =

74 Prsline se obrazuju približno pod uglom ±45 0 u odnosu na osu štapa i na epruveti sečesto mogu videti golim okom. Ravni kidanja zategnutog štapa približno se podudaraju sa ravnima u kojima deluju ekstremni normalni, odnosno tangencijalni naponi. Kidanje zategnutog štapa pri plastičnom lomu Kidanje zategnutog štapa pri krtom lomu

75 MOROV KRUG NAPONA ZA JEDNOOSNO NAPREZANJE AKSIJALNO NAPREGNUT ŠTAP σ 2 σz τ n = σz cos ϕsin ϕ = sin 2ϕ 2 ( ) 2 z σ n = σz cos ϕ = 1+ cos 2ϕ

76 DIMENZIONISANJE PRI JEDNOOSNOM NAPREZANJU U slučaju jednoosnog stanja napona može se veličina kritičnog napona σ K kada nastupa lom, odrediti iz testa istezanja. Napon σ K je jednak naponu na granici tečenja σ T kod žilavih materijala, odnosno jačini materijala σ M kod krtih materijala. Dimenzije štapa određuju se tako da stvarni napon u štapu bude znatno manji od σ K, tj: σ σ d gde je σ stvarni napon, a σ d dozvoljeni napon koji se dobija kada se kritičan napon (σ T ili σ M ) podeli sa koeficijentom sigurnosti k s 1

77 za žilave materijale za krte materijale σ d σ d = = σ k M s σ k T s Koeficijent sigurnosti se uvodi zbog toga što se ne poznaju dovoljno tačno mehaničke karakteristike materijala, niti priroda i veličina opterećenja. Osim toga, pri proračunu se uvode određene pretpostavke kojima se uprošćavaju računski modeli, što dovodi do izvesnog odstupanja računskih napona od stvarnih napona u konstrukciji. Ova odstupanja rezultata se takođe uzimaju u obzir preko koeficijenta sigurnosti. Koeficijemtom sigurnosti su obuhvaćene takođe i greške i odstupanja do kojih dolazi u toku izvođenja konstrukcija. Veličina koeficijenta sigurnosti zavisi od svih navedenih faktora, a određuje se na bazi iskustva. Za različite uslove i vrste materijala koeficijent sigurnosti je propisan zvaničnim tehničkim propisima i obično se kreće od 1 do 10.

78 Dozvoljeni napon je napon koji je za pojedine vrste materijala, vrste opterećenja i vrste nosača određen tehničkim propisima. U slučaju aksijalno napregnute grede dimenzije poprečnog preseka se određuju tako da je u svim poprečnim presecima grede zadovoljen uslov: σ σ d Kako je normalni napon u aksijalno napregnutom štapu: σ = N A sledi da potrebna površina poprečnog preseka A N σ d σ d

79 OSNOVNI ZADACI KOD AKSIJALNOG NAPREZANJA 1. Poznato je opterećenje i poprečni presek treba odrediti veličinu napona. σ = F A 2. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal treba odrediti dimenzije poprečnog preseka. A F σ d 3. Poznati su poprečni presek i dozvoljeni napon treba odrediti vrednost maksimalne sile F = σd A

80 DEFINISANJE VELIČINE NAPONA AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Odrediti aksijalnu silu u štapu Izračunati površinu poprečnog preseka štapa Izračunati napon Uporediti vrednost napona sa dozvoljenim naponom σ = F A σ d

81 DIMENZIONISANJE VELIČINE NAPONA AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Odrediti aksijalnu silu u štapu Odrediti dozvoljeni napon za odabrani materijal Izračunati potrebnu površinu poprečnog preseka A F σ d

82 ZA DIMENZIONISAN ŠTAP ODREDITI VREDNOST AKSIJALNE SILE Odrediti površinu poprečnog preseka Odrediti dozvoljeni napon za materijal i definisan koeficijent sigurnosti Izračunati maksimalnu aksijalnu silu F = σ d A

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 Napomene: Pitanja služe kao priprema za izradu testova iz Otpornosti Materijala I, koji se polažu parcijalno i integralno. Testovi su koncipirani kao

Διαβάστε περισσότερα

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja Osnovni pojmovi Kruto telo Rastojanje ma koje tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - "T" PRESEK Na skici dole su prikazane sve potrene geometrijske veličine, dijagrami dilatacija i napona,

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak.

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. * Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials,, Cengage g Learning, Seventh Edition, 2009. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials,

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

Totalni napon u tački preseka. Normalni i tangencijalni napon.

Totalni napon u tački preseka. Normalni i tangencijalni napon. Totalni napon u tački preseka. Normalni i tangencijalni napon. Zamislimo da je opterećeno elastično telo nekom proizvoljnom ravni presečeno na dva dela. Odbačeni desni deo tela, na posmatrani levi, na

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca . Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

12/1/2015 ELEMENTI TEORIJE NAPONA RAVNO STANJE NAPONA SAVIJANJE SILAMA NAPON U PRESEČNOJ RAVNI. ρ = σ + τ + τ ρ = σ 2 + τ

12/1/2015 ELEMENTI TEORIJE NAPONA RAVNO STANJE NAPONA SAVIJANJE SILAMA NAPON U PRESEČNOJ RAVNI. ρ = σ + τ + τ ρ = σ 2 + τ //05 ELEMENTI TEORIJE NAPONA RAVNO STANJE NAPONA SAVIJANJE SILAMA OTPORNOST MATERIJALA I Pojam napona vean je a određenu tačku i ravan kojoj pripada ta tačka. Nekom drugom preseku kro tačku M tela odgovaraće

Διαβάστε περισσότερα

unutrašnja opterećenja

unutrašnja opterećenja * Ravnoteža u deformabilnom tijelu Koncentrisana sila (idealizacija) Površinska sila Spoljašnja opterećenja: površinske i zapreminske sile Reakcije oslonaca Jednačine ravnoteže Linearna raspodjela opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI 3/7/013 CETRIČO PRITISUTI ELEMETI 1 Primeri primene 1 3/7/013 Oblici poprečnih presea 3 Specifičnosti pritisnutih elemenata ivijanje Konrola napona u poprečnom preseu nije dovoljan uslov a dimenionisanje;

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d Proračun štapova na zatezanje i pritisak Osnova za proračun je zadovojenje nejednačine, max d gde je max maksimum apsoutne vrednosti normanog napona štapa a d je dozvojeni normani napon Ovakva nejednakost

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila) Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A Odsek za konstrukcije 25.01.2012. grupa A 1. 1.1 Za nosač prikazan na skici 1 odrediti dijagrame presečnih sila. Sopstvena težina je uključena u stalno opterećenje (g), a povremeno opterećenje (P1 i P2)

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Elastičnost. Elastičnost. Elastičnost. Elastičnost

Elastičnost. Elastičnost. Elastičnost. Elastičnost Eastične osobine materijaa i Hukov zakon (AP78-79) Vrste eastičnih deformacija (AP79-8) udari (AP8-85): Eastični. Neeeastični Eastične osobine materijaa. Pojam krutog tea: ne deformiše se pri dejstvu sia,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit ODSEK ZA KONSTRUKCIJE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA. grupa A. p=60 kn/m. 7.

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit ODSEK ZA KONSTRUKCIJE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA. grupa A. p=60 kn/m. 7. ODSEK ZA KONSTRUKCIJE 28.01.2015. grupa A g=50 kn/m p=60 kn/m 60 45 15 75 MB 35, RA 400/500 7.5 m 5 m 25 1.1 Odrediti potrebnu površinu armature u karakterističnim presecima (preseci na mestima maksimalnih

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 25.12.2012. grupa A 1. 1.1 Dimenzionisati prema momentima savijanja (Mu) karakteristične preseke nosača prikazanog na skici 1. Prilikom dimenzionisanja obezbediti graničnu

Διαβάστε περισσότερα

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1

Betonske konstrukcije 1 Betonske konstrukcije 1 Prof.dr Snežana Marinković Doc.dr Ivan Ignjatović GF Beograd Betonske konstrukcije 1 1 Sadržaj Uvod Osnove proračuna Osobine materijala ULS-Savijanje ULS-Smicanje ULS-Stabilnost

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA industrijsko inženjerstvo. Dimenzionisanje lakih vratila opterećenih na uvijanje. Sizing light shafts loaded in twist

OTPORNOST MATERIJALA industrijsko inženjerstvo. Dimenzionisanje lakih vratila opterećenih na uvijanje. Sizing light shafts loaded in twist OTPORNOST MATERIJALA industrijsko inženjerstvo decembar, 2012. Dimenzionisanje lakih vratila opterećenih na uvijanje Sizing light shafts loaded in twist Milan Georgiev, student Visoke tehničke škole strukovnih

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJALI I MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić

MATERIJALI I MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić MATERIJALI I MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA Statički vlačni pokus Prof. dr. sc. Ivica Kladarić 1 UVOD Metalni materijali najviše se upotrebljavaju u tehničkoj praksi zbog povoljnih mehaničkih, tehnoloških,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: TORZIJA GREDE

OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: TORZIJA GREDE O1 V10 V11 me i prezime: nde br: 1 9.1.015. 9. TORZJA GREDE 9.1 TORZJE GREDE KRUŽNOG PRSTENASTOG POPREČNOG PRESEKA orzije grede kružnog poprečnog preseka Slika 9.4 r (9.8) 0 0 r R 0 0 1 R (9.11) π (9.1)

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα