AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON"

Transcript

1 AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

2 Gredni nosač može biti spoljnim silama napregnut na razne načine, pa tako postoji aksijalno naprezanje, čisto savijanje, savijanje silama, torzija, kao i razni slučajevi složenog naprezanja. Za sve slučajeve naprezanja grednog nosača treba doći do opštih izraza za napone i deformacije da bi se pripremili podaci za analizu grednog nosača, tj. njegovo dimenzionisanje, kontrolu stanja napona, stabilnosti i sl. Ako su poznata rešenja za četri osnovna slučaja naprezanja, primenom principa superpozicije (kada taj princip može da se primeni), mogu se dobiti rešenja za različita kombinovana naprezanja.

3 AKSIJALNO NAPREZANJE NORMALNI NAPON I DILATACIJA Najosnovniji pojmovi u Otpornosti materijala su napon i dilatacija. Ovi pojmovi se se mogu objasniti u njihovom najelementarnijem obliku analiziranjem prizmatičnog štapa koji je opterećen aksijalnom silom Aksijalna sila duž ose štapa izaziva zatezanje ili pritisak u štapu. Poluga je zategnut prizmatični element

4 Aksijalno naprezanje (zatezanje ili pritisak) je naprezanje pri kome se u poprečnim presecima pravog štapa javljaju samo aksijalne unutrašnje sile. Sve druge unutrašnje sile jednake su nuli (transverzalne sile, momenti savijanja, momenti uvijanja), to jest ne postoje. Takvo naprezanje javlja se ne samo u slučaju kada su spoljašnje sile kolinearne sa osom štapa i deluju duž ose štapa, već i u slučaju kada seku osu štapa pod nekim uglom ali se pri tome pravac njihove rezultante poklapa sa osom štapa.

5 Elementi rešetke telekomunikacionog tornja su prizmatični štapovi napregnuti na zatezanje ili pritisak

6 Cilindričan štap prikazan na slici zategnut je na krajevima silama F, koje deluju u težištima osnova štapa. Koordinatni sistem x, y, z postavljen je tako da se osa z poklapa sa podužnom osom grede, dok ose x i y leže u ravni poprečnog preseka grede. Površina poprečnog preseka je A. UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI Štap pre nanošenja opterećenja je dužine l, dok je posle nanošenja opterećenja dužina štapa uvećana za δ (delta) l. poprečni presek

7 Unutrašnje sile u štapu će se pojaviti ukoliko se štap preseče na dva dela zamišljenom ravni upravnom na osu štapa. Svaki od ovih delova pod uticajem spoljašnje sile i unutrašnjih sila koje se prenose preko presečne površine mora da bude u ravnoteži. Prema tome, redukciona rezultanta svih unutrašnjih sila na težište poprečnog preseka mora biti jedna sila u pravcu ose štapa suprotnog smera od spoljašnje sile koja deluje na taj deo štapa. Z = 0 F F = 0 F = F Iz ovog statičkog uslova ravnoteže (Osnovna hipoteza otpornosti materijala) još uvek nije moguće odrediti raspored i veličinu unutrašnjih sila po površini A. A A

8 UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI Ako veličinu normalnog napona u tački M,čije su koordinate (x,y) obeležimo sa σ z ( x, y) normalni napon u tački M za presečnu ravan sa normalom z, je rezultanta unutrašnjih sila koje se prenose preko elementa površine da oko te tečke σ z ( x, y) da σ a preko celog porečnog preseka z ( ) A x, y da Uslov ravnoteže levog dela glasi: Z = 0 σ ( x, y) da F 0 A z =

9 UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI Unutrašnja sila predstavlja rezultantu svih elementarnih unutrašnjih sila koje deluju na svaku elementarnu površinu poprečnog preseka. F = F A = σ A z ( x, y) da

10 Ni iz ovog uslova se još ne može odrediti veličina napona σ z ( x, y) Pretpostavljajući dalje da je u slučaju cilindrinog štapa σ z x, y = const. normalan napon u svim tačkama poprečnog preseka jednak, ( ) Z σ A F = 0 σ = z = 0 ( x, y) da F 0 Zbog toga se kratko govori o naponu ili naprezanju u štapu pričemu se misli na napon u pojedinim tačkama štapa za presečne ravni upravne na osu štapa. A σ z = z F A

11 Prema tome, u slučaju aksijalno napregnutog štapa napon je u svim tačkama, dovoljno udaljenim od krajeva, za presečne ravni koje su upravne na njegovu osu, jednak i dat izrazom σ = F A

12 Bernulijeva pretpostavka o ravnim presecima Štap ostaje prav i posle nanošenja opterećenja, a takođe poprečni presek ostaje ravan i upravan na osu nosača iako u toku vremena štap menja oblik i zapreminu. Zamišljeni ravni preseci upravni na osu nosača, ostaju i posle deformisanja ravni i upravni na osu nosača. Poprečni presek pri deformisanju štapa ostaje ravan ali se pomera paralelno (translatorno) duž ose štapa. Pri eksperimentalom ispitivanju primećeno je da linije nanešene na površinu neopterećenog štapa u ravnima poprečnih preseka ostaju ravne i kad se štap optereti zategne ili pritisne. Pretpostavlja se da se sličan proces dešava i sa odgovarajućim zamišljenim linijama unutar štapa.

13 Zbog toga se može pretpostaviti da se sve tačke proizvoljnog poprečnog preseka pomeraju paralelno sa osom štapa za istu veličinu i da i dalje leže u zajedničkoj ravni. Ovo nije slučaj kod tankozidnih štapova. Na osnovu Bernulijeve pretpostavke može se smatrati da je normalni napon u svakoj tački poprečnog preseka konstantan. F F = F A = σ A z = FA = σ σ = A F A ( x, y) da da = σa

14 San Venanov princip Eksperimenti i teorijska ispitivanja su pokazala da je u tačkama tela dovoljno udaljenim od krajeva štapa (područja nanošenja opterećenja na telo) je pravac unutrašnjih sila paralelan sa osom štapa, tj. da u bilo kojoj tački poprečnog preseka postoji samo normalna komponenta napona, a da je tangencijalna komponenta napona jednaka nuli. Greda je od homogenog i izotropnog materijala poznatih mehaničkih svojstava. Pretpostavlja se da je materijal linearno elastičan ukoliko nije posebno naznačeno. Homogen materijal ima iste fizička i mehanička svojstva u svim tačkama, a izotropan materijal ima iste osobine u svim pravcima.

15 Ako štap nije cilindričan ili ako na nekom mestu ima zarez tada prethodne pretpostavke ne važe. Naponi u tačkama poprečnog preseka koji prolazi kroz sredinu zareza, a koje se nalaze bliže krajevima, mogu biti dva i tri puta veći nego u težištu preseka. Ova pojava se naziva koncentracija napona. Diskontinuitet poprečnih preseka može da izazove veliku koncentraciju napona

16 DEFORMACIJE Pod uticajem aksijalne sile štap se deformiše menja svoje dimenzije i podužne i poprečne. Razlika krajnje dimenzije (posle deformisanja) i odgovarajuće prvobitne dimenzije (pre deformisanja) je apsolutna deformacija - izduženje ili skraćenje. Odnos apsolutne deformacije i odgovarajuće prvobitne dimenzije štapa je relativna deformacija ili dilatacija.

17 DEFORMACIJE Dilatacija u pravcu ose štapa ili u pravcu dejstva sile je podužna dilatacija. Dilatacije u poprečnom pravcu su poprečne dilatacije. Dilatacije su bezdimenzionalne veličine Često se izražavaju u procentima.

18 ZATEZANJE apsolutna deformacija l = l l 1 a = a1 a b = b b 1 podužna DEFORMACIJE poprečna relativna deformacija ε = ε = p ε = p l l a a b b podužna poprečna

19 PRITISAK apsolutna deformacija 1 DEFORMACIJE l = l l podužna a = a1 a b = b b 1 poprečna relativna deformacija ε = ε = p ε = p l l a a b b podužna poprečna

20 Kako je dilatacija odnos dve dužine, to je bezdimenzionalna veličina, nema jedinicu. Dilatacija se izražava brojem, nezavisno od bilo kog sistema jedinica. Numerička vrednost dilatacije je obično veoma mala, jer su štapovi obično od materijala koji imaju male promene dužine pod dejstvom opterećenja. Na primer, dilatacija čeličnog štap dužine 2 m koji se pod dejstvom opterećenja izduži za 1,4 mm ima dilataciju: δ l 1, 4 ε = = = = 0, l l Dilatacije se često izražavaju u procentima, posebno kad su velike. U ovom primeru dilatacija je 0,007%.

21 Štap se pod dejstvom sile zatezanja izdužuje. Što je veća sila, veća su i izduženja. Pod dejstvom sile pritiska aksijalno napregnut štap se skraćije. Što je veća sila, veća su i skraćenja. Dilatacija direktno zavisi od veličine aksijalnih sila. Zavisnost između spoljašnjih sila aksijalnog naprezanja i odgovarajućih deformacija se određuje ekperimentalno u laboratorijama uz korišćenje odgovarajuće opreme.

22 MEHANIČKE KARAKTERISTIKE MATERIJALA KONSTITUTIVNE JEDNAČINE VEZE IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE HUKOV ZAKON Jednačine koje opisuju ponašanje svakog materijala pod dejstvom spoljašnjeg opterećenja, tj. na izvestan način opisuju njegov sastav (konstituciju), nazivaju se konstitutivne jednačine. One uspostavljaju vezu između veličina koje određuju stanje napona sa odgovarajućim veličinama koje određuju stanje deformacija u proizvoljnoj tački tela.

23 Zbog svoje različite strukture različiti materijali se različito ponašaju pod dejstvom spoljašnjeg opterećenja. Ali i jedan isti materijal se u različitim uslovima različito ponaša na primer, pod promenljivim opterećenjem, pod povišenom temperaturom itd, a i pod različitim intenzitetom opterećenja. Za opterećenje ispod određene granice, na primer čelik se ponaša (deformiše) elastično povratno, pa se za taj opseg opterećenja i deformacija formulišu jedne konstitutivne jednačine. Međutim, kada opterećenje pređe određenu granicu, materijal počinje da se deformiše plastično nepovratno, pa u tom opsegu napona i deformacija važi drugi skup jednačina koje povezuju napon i deformaciju. Formulisanje konstitutivnih jednačina koje tačno opisuju ponašanje različitih materijala u različitim uslovima je veoma složen problem. Teorijska analiza koja polazi od osnovnih zakona fizike uključujući molekularnu fiziku, fiziku čvrstih stanja i metalurgiju, nisu do sada dala rešenje ovog problema. Zbog toga se u formulaciji konstitutivnih relacija koriste u velikoj meri rezultati eksperimenata.

24 Projektovanje konstrukcija tako da one budu trajne i adekvatno funkcionišu zahteva poznavanje ponašanja materijala od koga su napravljene. Jedini način da se odredi kako se materijal ponaša pod dejstvom opterećenja je izvođenje eksperimenta u laboratoriji. Uobičajen postupak je da se mali element od nekog materijala postavi u odgovarajuću mašinu, nanese opterećenje i mere deformacije, kao što je na primer promena dužine i promena prečnika. Najznačajnije je ispitivanje na zatezanje ili pritisak. Mada se mnoge važne mehaničke karakteristike materijala mogu odrediti iz ovakvog ispitivanja, ono se prvenstveno koristi za određivanje veze između normalnog napona i dilatacije kod mnogih materijala kao što su metali, keramika, polimeri i kompoziti.

25 TEST ISTEZANJA ŠTAPA Eksperiment koji daje osnovne podatke o ponašanju materijala je test istezanja štapa, tj. epruvete specijalnog oblika koja se isteže u mašini za istezanje (kidalici)

26 Mašina za test zatezanja sa automatskim beleženjem izmerenih podataka

27 Mašina za ispitivanje čelične epruvete na zatezanje

28 Eksperiment zatezanja čelične epruvete

29 Tipična čelična epruveta sa ekstenzometrom koji meri izduženje

30 Epruveta od kamena za test na pritisak za dobijanje čvrstoće na pritisak, modula elastičnosti i Puasonovog koeficijenta

31 KONSTITUTIVNE JEDNAČINE Dijagram sila izduženje (deformacija) za meki čelik

32 KONSTITUTIVNE JEDNAČINE Dijagrami sila izduženje (deformacija) za razne materijale

33

34 Neka je l početno rastojanje između dve označene tačke M i N u srednjem delu epruvete, a A početna površina poprečnog preseka u trenutku t 0. Neka je u trenutku t dužina M N = z, a u trenutku t+dt, dužina je z+dz. Tada je priraštaj stvarne deformacije: dε = dz z Stvarna deformacija - dilatacija je t 1 1 dz ε = dε = = z t 0 a stvarni napon je l l ln l l 1 σ = F A Epruveta u trenutku t 0, t, t+dt, t 1 gde je A stvarna (trenutna) površina poprečnog preseka.

35 Umesto veličina ε i σ mogu se uzeti tzv. nominalna (inženjerska) deformacija - dilatacija: i nominalni (inženjerski) napon: l ε = 1 l = l l l σ = 0 F A gde je A početna površina poprečnog preseka.

36 VEZE IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE radni dijagram materijala

37 Dok napon u štapu ne dostigne granicu proporcionalnosti veza napona i deformacije je linearna. Ovakve deformacije se nazivaju elastične deformacije. Na delu OE su elastične deformacije, koje su povratne, tj. ako se epruveta rastereti, ona se vraća u prvobitni oblik. Tačke P i E vrlo bliske, obično se usvaja da se one poklapaju, tj. za granicu elastičnosti se usvaja tačka E gde se završava elastično područje krive. Napon koji odgovara tački E naziva se napon na granici elastičnosti σ E Osobina tela da se po prestanku opterećenja vraća u potpunosti u prvobitni oblik naziva se elastičnost.

38 Iza granice elastičnosti počinju plastične deformacije. Kod čelika i nekih legura dolazi do naglog pada napona posle tačke T 1 (T G ), a zatim do povećanja deformacija bez povećanja napona (deo T 2 T 3 ) kada telo prestaje da pruža bilo kakav otpor, kao da materijal teče. Tačka T 1 (T G ) naziva se gornja granica plastičnog tečenja, tačka T 2 (T D ) donja granica tečenja ili kratko granica tečenja (σ T ). U slučaju zatezanja granica tečenja se naziva još i granica razvlačenja ili granica velikih izduženja, a u slučaju pritiska granica gnječenja. Od tačke T 3 pa nadalje sve do tačke M, dilatacija nastavlja da raste sa porastom napona. Ova osobina, koju poseduju uglavnom svi metali u normalnim uslovima, zove se ojačanje ili očvršćenje materijala. Ova pojava je posledica unutrašnjih promena u strukturi materijala u toku plastične deformacije. Napon koji odgovara tački M naziva se jačina materijala - σ M.

39 Zbog daljeg sužavanja (kontrakcije) epruvete, dalja deformacija se može odvijati uz izvesno smanjenje napona (deo MS) do loma. Napon koji odgovara tački S naziva se napon pri lomu σ S.

40 A Ako se epruveta rastereti u konfiguraciji koja odgovara tački A, što važi za sve iza tačke E, ona se ne vraća u prvobitno stanje, već rasterećenje ide po krivoj AB. Od ukupne deformacije jedan deo se vraća elastična deformacija ε e, dok drugi deo ε p ostaje. Ova trajna ili zaostala deformacija naziva se plastična deformacija. Osobina materijala da se može trajno deformisati naziva se plastičnost. Pri ponovnom opterećenju epruvete deformacija bi se odvijala po krivoj BK, a zatim bi se nastavila po krivoj KS.

41 Umesto stvarne krive obično se usvaja uprošćena kriva kod koje se smatra da je veza između napona i deformacije u elastičnom području linearna (σ=e ε) i da se AB i B K poklapaju, prave su i paralelne sa OE. Ovo znači da se pretpostavlja da plastična deformacija koja se dogodila do tačke A ne menja znatno elastične osobine materijala, tako da se smatra da je rasterećenje sa istim nagibom tgϕ=e, kao i na početku eksperimenta.

42 Neki materijali, na primer aluminijum ili beton nemaju izraženu gornju i donju granicu tečenja. Kod tih materijala, napon tečenja σ T se definiše kao napon kome odgovara trajna (plastična) deformacija veličine 0,002 (2% o ). Pri razmatranju veze između napona i deformacija dolazi se do još jedne klasifikacije materijala žilavi i krti materijali. Mnogi metali (čelik, aluminijum) imaju u normalnim okolnostima izraženo plastično deformisanje - žilavi materijali. Krti materijali (beton, kamen, staklo, opeka) lome se naglo, bez izražene prethodne plastične deformacije

43 Žilavi materijali Nekaljeni čelici, bakar, aluminijum itd. slabo podnose tangentni napon pa se kidaju po kosoj ravni, približno pod uglom 45 0 u odnosu na osu štapa. Krti materijali Sivi liv, kaljeni čelik, kamen, keramika itd. slabo podnose normalni zatežući napon pa se štap kida po poprečnom preseku, gde je ovaj napon najveći.

44 Krt materijal Žilav materijal

45

46 HOOKE-OV ZAKON IDEALNO ELASTIČNO (HOOKE-OVO) TELO VEZA IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE PRI LINEARNOM STANJU NAPONA Posmatrajući ponašanje čeličnih opruga pod opterećenjem Hooke je došao do zakona koji se odnosi na vezu između napona i deformacije pri linearnom stanju napona. Ovaj zakon se može izraziti kao: ε = σ E Robert Hooke ( ) proučava elastična svojstva materijala. Na osnovu eksperimenata na oprugama, žicama i drvenim konzolama postavlja zakon o linearnoj vezi između opterećenja i deformacija pri zatezanju, na čemu se zasniva Teorija elastičnosti.

47 Tomas Young ( ) E predstavlja koeficijent proporcionalnosti između napona i dilatacije i naziva se modul elastičnosti ili Yuong-ov modul. Ima dimenziju napona (na pr. 1MPa=1 N/mm 2, N/cm 2, 10 MPa=1 kn/cm 2 ) i u dijagramu napona i dilatacije predstavlja tangens ugla između početnog dela linije dijagrama i ose ε.

48 U poređenju sa naponom, E je obično vrlo veliki broj, na pr. za čelik je E=2, N/cm 2 =2, kn/cm 2 =2, MPa. Ovo znači da bi za izduženje čelične šipke poprečnog preseka 1 cm 2 i dužine 100 cm bila potrebna sila od N za izduženje od 1mm.

49 l l l = δ = ε A N A F = = σ ε = σ E E A N E A N E E A N l l l l l l = = = ε = σ = Dilatacija pri aksijalnom naprezanju normalni napon pri aksijalnom naprezanju U području elastičnog ponašanja materijala i primene Hukovog zakona Pa je izduženje aksijalno napregnutog štapa: VEZA IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE PRI AKSIJALNOM NAPREZANJU HUKOV ZAKON

50 Proizvod Young-ovog modula i površine poprečnog preseka štapa EA naziva se aksijalna krutost štapa. l = N l E A Izduženje štapa je proporcionalno sa normalnom silom N i dužinom grede l, a obrnuto proporcionalno sa veličinom EA - aksijalnom krutošću štapa. Ovo važi samo ako su površina poprečnog preseka A i normalna sila N konstantni po celoj dužini štapa.

51 U slučaju da postoji promena normalne sile u štapu ili je štap različitog poprečnog preseka na pojedinim delovima tada je izduženje štapa: l = l i= 1 l i = l i= 1 N i l E A i i

52 Primer 1 Odrediti napone i ukupno izduženje grede, ako je cela od istog materijala i istog poprečnog preseka. Normalna aksijalna sila u delovima grede: N = F + F + F N = F + F N = F 3 3 Normalni naponi u delovima grede: Izduženje grede 1. način: N1 F + F + F σ 1 = = A A N2 F2 + F3 σ 2 = = A A N3 F3 σ 3 = = A A N l N l N l l l l l EA EA EA ( F1 + F2 + F3 ) a ( F2 + F3 ) b F3 c lab = + + EA EA EA 1 I 2 II AB = I + II + III = III

53 Izduženje grede: 2. način primena principa superpozicije: ( F ) ( F ) ( F ) a F ( a + b) F ( a + b + c) l = l + l + l AB F EA EA EA lab = + +

54 Primer 2 Odrediti napone u štapovima ako su od istog materijala i poprečnih preseka površina A 1 i A 2. S 1 Sile u štapovima se određuju iz uslova ravnoteže čvora C: Normalni naponi u štapovima: X = 0 S2 S1 cos α = 0 F F S 1 =, S2 = Y = 0 S sin tg 1 sin α F = 0 α α S 1 σ 1 = = A1 1 S 2 σ 2 = = A2 2 F A sin α F A tg α (zatezanje) (pritisak)

55 . POASONOV KOEFICIJENT Eksperimenti pokazuju da je za izotropan materijal poprečna dilatacija do granice elastičnosti linearno proporcionalna podužnoj dilataciji: ε p = ν ε Koeficijent proporcionalnosti ν naziva se Poasonov koeficijent ili koeficijent bočne kontrakcije. Siméon Poisson ( )

56

57 HUKOV ZAKON PRI JEDNOOSNOM NAPREZANJU σ ε = E ε p = ν ε Veličine E i ν u ovom jednačinama nazivaju se konstante elastičnosti i karakteristične su za pojedine vrste materijala u određenim uslovima.

58 Modul elastičnosti ima dimenziju napona i u dijagramu (σ, ε) predstavlja tangens ugla između linije σ-ε i ose ε Ako se u jednačini ε = E=tg α σ E uzme ε=1, tj. l=l, tada je σ=e, pa se E može interpretirati kao napon koji udvostručuje početnu dužinu epruvete. Na primer, za čelik je E=210 GPa, dok je napon na granici tečenja σ T =240 MPa. Poasonov koeficijent je bezdimenzionalni broj i za većinu metala je ν 1/3, dok je za beton ν 1/6. Inače je uvek E 0, a 0 ν 1/2.

59 POASONOV KOEFICIJENT I MODUO ELASTIČNOSTI MATERIJAL ν E [MPa] Čelik 0,3 2, Aluminijum 0,34 0, Bakar 0,33 1, Mesing 0,37 1, Sivi liv 0,25 1, Beton 1/6 0,3 10 5

60 UTICAJ PROMENE TEMPERATURE Pod uticajem promene temperature štap menja dužinu. Promena dužine proporcionalna je dužini štapa i promeni temperature: l t = αl t α - koeficijent linearnog širenja jednak je promeni dužine štapa od 1m pri promeni temperature za 1 0 C α - određuje se eksperimentalno i zavisi od vrste materijala m Jedinica ili 0 C -1 0 m C

61 UTICAJ PROMENE TEMPERATURE NA DEFORMACIJE I NAPONE U granicama temperaturnih promena kakve se obično dešavaju u građevinarstvu može se usvojiti da je dilatacija usled temperature proporcionalna promeni temperature, tj: ε t = α t α - koeficijent linearnog širenja - dilatacije (linearne termičke ekspanzije). t = t t t - promena temperature 2 1 MATERIJAL α 0 C -1 Čelik Aluminijum Bakar Mesing Sivi liv

62 UTICAJ PROMENE TEMPERATURE NA DEFORMACIJE I NAPONE Pri zagrevanju se štap izdužuje t 0 lt 0 ε t 0 Pri hlađenju se štap skraćuje t 0 lt 0 ε t 0 Štap oslonjen na jednom kraju, a potpuno slobodan na drugom kraju nesmetano se izdužuje ili skraćuje i pri promeni temperature u tom slučaju ne javljaju se unutrašnje sile i naponi. U statički određenim sistemima nema napona

63 Porast temperature t 0 l t = αl t l = l + l 1 ε = α t t Pad temperature t 0 ε = α t t l t = αl t l = l l 1

64 Dilatacije nastale usled temperature obično se superponiraju sa dilatacijama nastalim usled dejstva spoljašnjeg opterećenja (za male elastične deformacije važi princip superpozicije) Ako je štap konstantnog poprečnog preseka i ako je normalna sila konstantna po celoj dužini štapa ukupna promena dužine štapa je: l ε = = σ E N EA + α t l + α t l

65 UTICAJ PROMENE TEMPERATURE NA DEFORMACIJE I NAPONE Ako je štap učvršćen na oba kraja, promena njegove dužine je onemogućena pa promena temperature utiče na pojavu aksijalne sile i napona. Neravnomeran raspored temperatura u telu, ili promena temperature u telu u kome je deformacija sprečena nekim spoljašnjim vezama, može da izazove nova, dodatna naprezanja u telu, takozvane termičke napone. Termički napon se javlja samo u statički neodređenim štapovima ili sistemima.

66 Zagrevanjem štap teži da se izduži i pri tome vrši pritisak na oslonce A i B i izaziva reakcije F A i F B Z = 0 FA FB = 0 FA = FB Zadatak je statički neodređen. Potrebno je postaviti novu (dopunsku) jednačinu uslov deformacija. l = 0

67 Dok se kod statički određenog sistema normalne sile u svim štapovima mogu odrediti samo iz uslova ravnoteže, dotle se kod statički neodređenog sistema moraju koristiti i uslovi kompatibilnosti deformacija. Ovi dodatni uslovi obezbeđuju da prilikom deformacije sistema ne dođe do raskidanja veza između pojedinih delova sistema i nazivaju se geometrijski uslovi ili jednačine pomeranja. Potreban broj ovih jednačina odgovara stepenu statičke neodređenosti sistema, tj. razlici između broja nepoznatih normalnih sila u štapovima i broja uslova ravnoteže.

68 AKSIJALNO NAPREZANJE NAPONI U KOSOM PRESEKU Uz pretpostavku da je poprečna dimenzija štapa znatno manja od podužne, u tehničkim primenama se može usvojiti da je napon u poprečnom preseku raspoređen ravnomerno, pa je: σ = z N A S obzirom da je od svih komponenti napona samo σz 0 stanje napona pri aksijalnom naprezanju je jednoosno linijsko.

69 NAPONI U KOSOM PRESEKU AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Poprečni presek Kosi presek σ = z N A napon u poprečnom preseku napon u kosom preseku? U kosom preseku pod proizvoljnim uglom ϕ javlja se totalni napon koji deluje u pravcu ose štapa i koji se može razložiti na komponente u pravcu normale ρ n σ n n u pravcu tagente t ρ n Kao što je napon σ ravnomerno raspoređen po poprečnom preseku, tako je i napon sa svojim komponentama ravnomerno raspoređen po kosom preseku. σ n i τn i τn

70 NAPONI U KOSOM PRESEKU AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Komponentalni naponi u proizvoljnom kosom preseku štapa sa normalom koja zaklapa ugao ϕ sa osom z biće: n N = 0 σ da σ da cos ϕ cos ϕ = 0 n T = 0 τ da σ da cos ϕ sin ϕ = 0 n z z 1+ cos 2ϕ cos 2 ϕ =, 2 σ 2 σz τ n = σz cos ϕsin ϕ = sin 2ϕ 2 ( ) 2 z σ n = σz cos ϕ = 1+ cos 2ϕ sin 2ϕ = 2sin ϕcos ϕ Naponi u kosom preseku normale pod uglom ϕ n

71 EKSTREMNE VREDNOSTI NAPONA U KOSOM PRESEKU AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA σ 2 ( ) σ τ = σ cos ϕsin ϕ = sin 2ϕ 2 2 z z σ n = σz cos ϕ = 1+ cos 2ϕ n z Ekstremne vrednosti normalnog napona u kosom preseku: dσ n dϕ 2ϕ = ϕ = dτ n dϕ 0 = σ 0 = σ z 2ϕ = ± 90 z sin 2ϕ = 2ϕ = 180 ϕ = cos 2ϕ = ϕ = ± 45 0 σ σ z z 0 0 sin 2ϕ = 0 Ekstremne vrednosti smičućeg napona u kosom preseku: cos 2ϕ = 0 τ σ σ σ max min max,min ϕ=± 45 0 = σ = σ = τ = ϕ= 0 0 ϕ= 90 σ 2 z 0 ϕ=± 45 = σ 0 0 = = 0 z σ 2 z

72 U poprečnim i podužnim presecima u kojima deluju ekstremni normalni naponi, tangencijalnih napona nema. τ ϕ= = 0 = τ 0 = 0 ϕ 90 0 Ekstremni tangencijalni naponi međusobno su jednaki po veličini i jednaki su polovini normalnog napona u poprečnom preseku. Deluju u presecima pod uglom odnosno u odnosu na osu štapa.

73 Ovi naponi i odgovarajuća klizanja imaju presudnu ulogu u nastajanju prslina na spoljašnjoj površini zategnutog štapa pri prekoračenju granice tečenja. U ravnima u kojima deluju maksimalni smičući naponi, normalni naponi nisu jednaki nuli σ 2 z σ ϕ= ± =

74 Prsline se obrazuju približno pod uglom ±45 0 u odnosu na osu štapa i na epruveti sečesto mogu videti golim okom. Ravni kidanja zategnutog štapa približno se podudaraju sa ravnima u kojima deluju ekstremni normalni, odnosno tangencijalni naponi. Kidanje zategnutog štapa pri plastičnom lomu Kidanje zategnutog štapa pri krtom lomu

75 MOROV KRUG NAPONA ZA JEDNOOSNO NAPREZANJE AKSIJALNO NAPREGNUT ŠTAP σ 2 σz τ n = σz cos ϕsin ϕ = sin 2ϕ 2 ( ) 2 z σ n = σz cos ϕ = 1+ cos 2ϕ

76 DIMENZIONISANJE PRI JEDNOOSNOM NAPREZANJU U slučaju jednoosnog stanja napona može se veličina kritičnog napona σ K kada nastupa lom, odrediti iz testa istezanja. Napon σ K je jednak naponu na granici tečenja σ T kod žilavih materijala, odnosno jačini materijala σ M kod krtih materijala. Dimenzije štapa određuju se tako da stvarni napon u štapu bude znatno manji od σ K, tj: σ σ d gde je σ stvarni napon, a σ d dozvoljeni napon koji se dobija kada se kritičan napon (σ T ili σ M ) podeli sa koeficijentom sigurnosti k s 1

77 za žilave materijale za krte materijale σ d σ d = = σ k M s σ k T s Koeficijent sigurnosti se uvodi zbog toga što se ne poznaju dovoljno tačno mehaničke karakteristike materijala, niti priroda i veličina opterećenja. Osim toga, pri proračunu se uvode određene pretpostavke kojima se uprošćavaju računski modeli, što dovodi do izvesnog odstupanja računskih napona od stvarnih napona u konstrukciji. Ova odstupanja rezultata se takođe uzimaju u obzir preko koeficijenta sigurnosti. Koeficijemtom sigurnosti su obuhvaćene takođe i greške i odstupanja do kojih dolazi u toku izvođenja konstrukcija. Veličina koeficijenta sigurnosti zavisi od svih navedenih faktora, a određuje se na bazi iskustva. Za različite uslove i vrste materijala koeficijent sigurnosti je propisan zvaničnim tehničkim propisima i obično se kreće od 1 do 10.

78 Dozvoljeni napon je napon koji je za pojedine vrste materijala, vrste opterećenja i vrste nosača određen tehničkim propisima. U slučaju aksijalno napregnute grede dimenzije poprečnog preseka se određuju tako da je u svim poprečnim presecima grede zadovoljen uslov: σ σ d Kako je normalni napon u aksijalno napregnutom štapu: σ = N A sledi da potrebna površina poprečnog preseka A N σ d σ d

79 OSNOVNI ZADACI KOD AKSIJALNOG NAPREZANJA 1. Poznato je opterećenje i poprečni presek treba odrediti veličinu napona. σ = F A 2. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal treba odrediti dimenzije poprečnog preseka. A F σ d 3. Poznati su poprečni presek i dozvoljeni napon treba odrediti vrednost maksimalne sile F = σd A

80 DEFINISANJE VELIČINE NAPONA AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Odrediti aksijalnu silu u štapu Izračunati površinu poprečnog preseka štapa Izračunati napon Uporediti vrednost napona sa dozvoljenim naponom σ = F A σ d

81 DIMENZIONISANJE VELIČINE NAPONA AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Odrediti aksijalnu silu u štapu Odrediti dozvoljeni napon za odabrani materijal Izračunati potrebnu površinu poprečnog preseka A F σ d

82 ZA DIMENZIONISAN ŠTAP ODREDITI VREDNOST AKSIJALNE SILE Odrediti površinu poprečnog preseka Odrediti dozvoljeni napon za materijal i definisan koeficijent sigurnosti Izračunati maksimalnu aksijalnu silu F = σ d A

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja Osnovni pojmovi Kruto telo Rastojanje ma koje tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

unutrašnja opterećenja

unutrašnja opterećenja * Ravnoteža u deformabilnom tijelu Koncentrisana sila (idealizacija) Površinska sila Spoljašnja opterećenja: površinske i zapreminske sile Reakcije oslonaca Jednačine ravnoteže Linearna raspodjela opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine ašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ ašinski elementi 1/ Predavanje.1 OSOVINE I VRATILA.1.1. Uvod Vratila i osovine, kao osnovni elementi obrtnog kretanja, moraju uvek biti preko kliznih i kotrljajnih

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE U SPLITU SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA Predavanja za stručni studij BRODOGRADNJE za šk. god. 2006/2007. Split, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

2. TERMODINAMIKA 2.1. Prvi zakon termodinamike

2. TERMODINAMIKA 2.1. Prvi zakon termodinamike . ERMODINAMIKA.. rvi zakon termodinamike ermodinamika je naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama materije koja učestvuje

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici

3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici 3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici 3.3.1. Gravitaciona sila Prema Opštem zakonu gravitacije, dvije čestice masa m 1 i m 2 se međusobno privlače silom koja je proporcionalna proizvodu masa dvije čestice

Διαβάστε περισσότερα

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA: MERENJE SILE, NAPREZANJA I MOMENTA

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA: MERENJE SILE, NAPREZANJA I MOMENTA : MERENJE SILE, NAPREZANJA I MOMENTA UVOD Merenje sile je zastupljeno u robotici, građevinarstvu, električnim mašinama, automobilskoj industriji, medici, petrohemijskoj industriji. Merenje sile može biti

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Matematički modeli sistema

Matematički modeli sistema Matematički modeli sistema U analizi i sintezi SAU se koriste kvantitativni matematički modeli koji opisuju fiziku sistema. Generalno, dinamika sistema je opisana običnim diferencijalnim jednačinama. lasa

Διαβάστε περισσότερα

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03 POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

Otvorene mreže. Zadatak 1

Otvorene mreže. Zadatak 1 Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva

Διαβάστε περισσότερα

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa a. zadatak Sračuna i konstruisa montažni nastavak nosača izrađenog od vruce valjanog profila prema zadam presečnim silama:ved = 300 kn MEd = 1000 knm. Za nosač usvoji odgovarajući HEB valjani profil. Nastavak

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika, kinematika i elastičnost

Mehanika, kinematika i elastičnost Mehanika, kinematika i elastičnost Marko Petković Sreda, 9. Mart 006. god. 1 Osnovne relacije 1. Drugi Njutnov zakon: m v t = F ; m a = F + mω R + m( v ω). Priraštaj impulsa sistema: p p 1 = F t (ako je

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija, snaga. Glava Rad

Rad, energija, snaga. Glava Rad Glava 4 Rad, energija, snaga Pojam energije je jedan od najvažnijih u nauci i tehnici ali se koristi i u svakodnevnom životu. U našoj svakodnevnici taj pojam se obično odnosi na gorivo za pokretanje automobila

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

FUNDIRANJE (TEMELJENJE)

FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1/11/013 FUNDIRANJE 1 FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1. Projektovanje temelja se vrši prema graničnom stanju konstrukcije i tla ispod ojekta sa osvrtom na ekonomski faktor u pogledu utroška materijala, oima radova

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 11 Predavanje br TRANSPORT I LOGISTIKA 006/007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA Dimenzionisanje čeličnih konstrukcija se izvodi na bazi poznavanja rasporeda spoljašnjih

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama -odnos stanja naprezanja u nosivim elementima -linijski nosivi elementi (prosta greda; kontinualna

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Analiza vremena Pert metodom

2.2. Analiza vremena Pert metodom 2.2. Analiza vremena Pert metodom Dok je kod CPM metode poznato samo jedno vreme trajanja aktivnosti t, kod Pert metode dane su tri procjene: a - optimistično vreme (najkraće moguće vreme u kojemu se može

Διαβάστε περισσότερα

Modeli analogni sistemi

Modeli analogni sistemi Modeli analogni sistemi Sistemsko modeliranje Sistemsko modeliranje je prilično težak zadatak jer zahteva iskustvo, praksu i intuiciju da bi neko bio dobar modeler. Osnova za gradnju matematičkih modela

Διαβάστε περισσότερα

OSOVINE I VRATILA. Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I" Ak. godina 2011./12.

OSOVINE I VRATILA. Pomoćni nastavni materijali uz kolegij Konstrukcijski elementi I Ak. godina 2011./12. OSOVINE I VRATILA Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I" Ak. godina 2011./12. Nositelj kolegija: Prof. dr. sc. Božidar Križan - 1 - OSOVINE I VRATILA Funkcija, opterećenja,

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1.1 PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON I OPŠTE ODREDBE 1 Ovim pravilnikom propisuju se uslovi i zahtevi koji moraju biti ispunjeni pri projektovanju,

Διαβάστε περισσότερα

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA: MERENJE BRZINE I UBRZANJA

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA: MERENJE BRZINE I UBRZANJA : MERENJE BRZINE I UBRZANJA UVOD Iako brzina predstavlja prvi, a ubrzanje drugi izvod, ne preporučuje se njihovo određivanje preko izvoda, jer usled šuma greška može biti velika. Može se koristi sledeća

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema.

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema. TERMODINAMIKA U svakodnevnom govoru, često dolazi greškom do koriščenja termina temperatura i toplota u istom značenju. U fizici, ova dva termina imaju potpuno različito značenje. Razmatračemo kako se

Διαβάστε περισσότερα