Απόδειξη. Θέτουµε τώρα δ= Απόδειξη. 1 συν. 4α + 4β. 3. Απόδειξη Σύµφωνα µε την 2 έχουµε. οπότε προκύπτει. και τελικά

Transcript

1 1., β R ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ a ισχύει ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ 1 συν ηµα ηµβ 1- συνα συνβ +ηµα ηµβ συν(α-β) 1 ηµα ηµβ 1- συν (α+β) + γ + δ. α, β, γ, δ (0, π ) ισχύει: ηµα ηµβ ηµγ ηµ δ ηµ Σύµφωνα µε την 1 έχουµε: ηµα ηµβ ηµ γ +δ ηµγ ηµδ ηµ ηµ ηµ ηµ δεδοµένου ότι ηµα,ηµβ,ηµγ,ηµδ >0 µε πολλαπλασιασµό κατά µέλη έχουµε το ζητούµενο. α β, γ γ +δ., (0,π) ισχύει ηµα ηµβ ηµγ ηµ + Σύµφωνα µε την έχουµε α, β, γ, δ (0, π ) α β + γ ισχύει: ηµα ηµβ ηµγ ηµ δ ηµ + γ Θέτουµε τώα δ= ηµα ηµβ ηµγ ηµ + γ οπότε ποκύπτει + γ ηµ 1 + γ ισχύει ηµα ηµβ ηµγ ηµ. και τελικά + γ + δ + γ + δ. Σε κάθε τίγωνο ΑΒΓ ισχύει ηµα ηµβ ηµγ Σύµφωνα µε την, δεδοµένου ότι Α+Β+Γ=π, ποκύπτει το ζητούµενο. 1

2 Αν Ε είναι το εµβαδόν του τιγώνου ΑΒΓ τότε η ανισότητα ηµα ηµβ ηµγ και τον τύπο εµβαδού Ε= α β γ ηµ Α ηµ Β ηµ Γ µε βάση τον νόµο των ηµιτόνων = = = R αβγ R,όπου R η ακτίνα του πειγεγαµµένου κύκλου του τιγώνου, παίνει την εξής ισοδύναµη γεωµετική µοφή της: Ε R Το δεύτεο µέλος της πααπάνω ανίσωσης εκφάζει το εµβαδόν του ισόπλευου τιγώνου εγγεγαµµένου σε κύκλο ακτίνας R. Άα η ανίσωση ηµα ηµβ ηµγ είναι ισοδύναµη µε την γεωµετική πόταση ότι απ όλα τα τίγωνα τα εγγεγαµµένα σε κύκλο, το ισόπλευο τίγωνo έχει το µεγαλύτεο εµβαδόν. Ιδού µια απλή γεωµετική απόδειξη Ας είναι ΑΒΓ ένα εγγεγαµµένο σε κύκλο τίγωνο και ας υποθέσουµε ότι η πλευά ΑΒ είναι σταθεή. Τότε το τίγωνο αποκτά µέγιστο εµβαδόν, όταν η κουφή Γ ταυτιστεί µε το µέσο του (µείζονος) τόξου ΑΒ (Οπότε το τίγωνο αποκτά µέγιστο ύψος). Με τον ίδιο τόπο ίσκουµε ότι και το Β πέπει να είναι το µέσο του τόξου ΑΓ οπότε το τίγωνο είναι ισόπλευο.

3 Πόταση 1 Για κάθε µη ισόπλευο τίγωνο εγγεγαµµένο σε κύκλο ακτίνας, υπάχει ένα ισοσκελές µε µεγαλύτεο εµβαδόν από το εµβαδόν του αχικού τιγώνου. Αν ΑΒΓ είναι το αχικό µη ισόπλευο τίγωνο τότε Αν Α 1 είναι το µέσο του µείζονος τόξου ΒΓ το τίγωνο Α 1 ΒΓ είναι ισοσκελές και έχει µεγαλύτεο εµβαδόν από το ΑΒΓ (αφού το αντίστοιχο ύψος πος την ΒΓ είναι µεγαλύτεο). Αν ΑΒ=ΑΓ τότε µποούµε να πάουµε Α 1 το µέσο του µείζονος τόξου ΑΒ οπότε (ΑΒΓ)<(Α 1 ΑΒ) σχ.1 Πόταση Το εµβαδόν κάθε τιγώνου εγγεγαµµένου σε κύκλο ακτίνας είναι µικότεο ή ίσο από το εµβαδόν του ισόπλευου τιγώνου που εγγάφεται στον κύκλο. Αν η πλευά ΒΓ ισούται µε την πλευά ισοπλεύου τιγώνου εγγεγαµµένου στον κύκλο, τότε το Α 1 ΒΓ είναι ισόπλευο άα το εµβαδόν του ΑΒΓ σύµφωνα µε την πόταση 1 είναι µικότεο (ή ίσο αν η κουφή Α ταυτίζεται µε το Α 1 ) από το εµβαδόν του ισοπλεύου τιγώνου Όταν η πλευά ΒΓ δεν ισούται µε την πλευά του ισόπλευου τιγώνου που εγγάφεται στον κύκλο,τότε το Α 1 ΒΓ είναι ισοσκελές τίγωνο όπου για την γωνία Α 1 έχουµε Α και (ΑΒΓ) (Α 1 ΒΓ). Θεωώντας το µέσο Α του µείζονος τόξου Α 1 Γ το τίγωνο Α Α 1 Γ είναι επίσης ισοσκελές και έχει µεγαλύτεο εµβαδόν από το Α 1 ΒΓ (σχ.)

4 Σχ. Αν θέσουµε θ 1 το µέτο της γωνίας Α 1 και θ το µέτο της γωνίας Α, τότε ισχύει θ =Α =Β=90 0 θ1 - δηλαδή θ =90 0 θ1 - Η πααπάνω διαδικασία µποεί να επαναληφθεί στο τίγωνο Α Α 1 Γ δίνοντας ένα νέο ισοσκελές Α Α Γ µεγαλύτεου εµβαδού και να ξανά εφαµοστεί στο Α Α Γ δίνοντας το ισοσκελές Α Α Γ µε (Α Α Γ)>( Α Α Γ) κ.ο.κ. (σχ.) Σχ. Αν θ ν συµβολίζει την γωνία της κουφής και Εν το εµβαδόν του ισοσκελούς τιγώνου Α ν Α ν-1 Γ της δηµιουγηµένης ακολουθίας των ισοσκελών τιγώνων που δίνει η πααπάνω µέθοδος, τότε ισχύουν ποφανώς οι εξής σχέσεις : θ ν+1 = θ ν και (ΑΒΓ) Ε 1 <Ε < < Ε ν Θα αποδείξουµε τώα ότι η ακολουθία των ισοσκελών τιγώνων που δηµιουγείται συγκλίνει οιακά σε ισόπλευο τίγωνο δηλαδή ότι lim θ ν =60 0 όταν ν. Αυτό µε την

5 σειά του µας δείχνει λόγω της πααπάνω ανισότητας ότι (ΑΒΓ)< δηλαδή ότι το ισόπλευο τίγωνο έχει το µεγαλύτεο εµβαδόν απ όλα τα τίγωνα που εγγάφονται στον κύκλο ακτίνας. Θέτουµε α ν =θ ν Τότε α ν+1 =θ ν =90 0 θν =0 0 θ ν a - =- ν ηλαδή η α ν είναι γεωµετική πόοδος µε λόγο -1/ πάγµα που σηµαίνει αν0 άα θ ν Ο.Ε.. 5

6 Άλλη µια απόδειξη µε την βοήθεια των µετικών σχέσεων στα εµβαδά. Στα παακάτω R συµβολίζει την ακτίνα του πειγεγαµµένου κύκλου του τιγώνου, ενώ, α, β, γ συµβολίζουν τις ακτίνες του εγγεγαµµένου και των παεγγεγαµµένων κύκλων του τιγώνου. 1.Σε κάθε τίγωνο ΑΒΓ να δειχτεί ότι R όπου το ίσο ισχύει αν και µόνο αν το τίγωνο είναι ισόπλευο. Έχουµε: R αβγ/ε Ε/τ αβγτ Ε αβγτ τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ) αβγ (τ-α)(τ-β)(τ-γ) (1) θέτουµε τ-α=χ, τ-β=ψ, τ-γ=ζ τότε χ,ψ,ζ,>0 και χ+ψ+ζ=τ-τ=τ επίσης έχουµε α=ψ+ζ,β=ζ+χ, γ=χ+ψ οπότε η (1) είναι ισοδύναµη µε την (χ+ψ)(ψ+ζ)(ζ+χ) χψζ () που ισχύει αφού χ+ψ χψ ψ+ζ ψζ ζ+χ ζχ οπότε πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη ποκύπτει η () µε το ίσο να ισχύει όταν χ=ψ=ζα=β=γ δηλαδή όταν το ΑΒΓ είναι ισόπλευο..σε κάθε τίγωνο ΑΒΓ ισχύει: + γ = R+ Η δοθείσα σχέση είναι ισοδύναµη µε την Ε Ε Ε αβγ Ε + + = + τ α τ γ Ε τ αβγ Ε( + + ) = τ α τ γ τ Ε Ε ( τ α + τ τ + γ αβγ + ) = ( τ α)( ) ( τ γ ) τ Ε (τ α β ) τ ( τ γ ) + γ ( τ α)( ) αβγ Ε = ( τ α)( )( τ γ ) τ Ε 1 Ε Ε [γτ(τ-γ)+γ(τ-α)(τ-β)]= αβγ Ε γ(τ -τγ+τ -ατ-βτ+αβ)=αβγ γ[τ -(α+β+γ)τ+αβ]=αβγ γ(τ -ττ+αβ)=αβγ αβγ=αβγ που ισχύει. 6

7 . Σε κάθε τίγωνο ΑΒΓ ισχύει: 1) Ε= αβγ α + β + γ ) α β γ ( ) =( ) Ε R R+ ) 1) Ε= αβγ Ε = α β γ <=> Ε E Ε Ε Ε = Ε Ε = τ τ α τ γ Ε που ισχύει. ) Από την ανισότητα Cauchy έχουµε α + β + γ (αυτό µποεί να αποδειχτεί και µε την βοήθεια α β γ της ανισοταυτότητας Euler α +β +γ αβγ όταν α+β+γ 0) α + β + γ ( ) α β γ οπότε αφού + γ =R+ ποκύπτει το ζητούµενο. E ) Ε= αβγ = α β γ ( Ε ( R+ ) R R+ R ( ) R Έτσι Ε 7 R => Ε 16 τίγωνο είναι ισόπλευο. R+ ) άα ( αφού R ) όπου το ίσον ισχύει όταν και µόνο όταν το Η τελευταία ανίσωση δείχνει ότι από όλα τα τίγωνα που είναι εγγεγαµµένα σε κύκλο ακτίνας R, το ισόπλευο έχει το µέγιστο εµβαδόν. 7

8 Και άλλη µια απόδειξη από την σκοπιά της θεωίας συνατήσεων πολλών µεταβλητών θεώηµα Έστω U R n,v R m και η διαφοίσιµη συνάτηση F : UxVR. Έστω οι συνεχώς διαφοίσιµες συνατήσεις Φ i : UxVR µε Φ ι (P,Q)=0 µε P=(x 1,x, x n ),Q=(y 1,y,,y m ) i=1,, m D( ϕ1, ϕ,..., ϕm) Αν το (P 0,Q 0 ) είναι τοπικό ακότατο της F για το οποίο ( P, Q ) 0 και D( y, y,..., y ) κάτω από τις συνθήκες Φ ι (P 0,Q 0 )=0,ι=1,, m υπάχουν λ 1,λ, λ m Έτσι ώστε F P0 Q0 λi i P0 Q0 m (, ) + Φ (, ) = 0 i= 1 Παατηήσεις: Σύµφωνα µε το πααπάνω θεώηµα τα πιθανά ακότατα της συνάτησης F υπο τις συνθήκες Φ i =0 i=1,, m αναζητούνται ανάµεσα στις ίζες του συστήµατος εξισώσεων F+ λ i Φ= 0, ενώ η φύση των ακοτάτων καθοίζεται από την µελέτη της Εσσιανής µήτας Η(F)+ H(Φ i ). Να βεθούν τα ακότατα της συνάτησης F(A,B,Γ)=ηµΑηµΒηµΓ µε 0<Α,Β,Γ<π υπο την συνθήκη Φ=Α+Β+Γ-π=0 Λύση Τα πιθανά ακότατα είναι µεταξύ των ιζών της εξίσωσης f= F+ λ Φ= 0 µε λ Έτσι ποκύπτει το σύστηµα συναηµβηµγ+λ=0 ηµασυνβηµγ+λ=0 ηµαηµβσυνγ+λ=0 Από τις δυο πώτες εξισώσεις ποκύπτει ηµγ(ηµασυνβ-συναηµβ)=0 άα ηµ(α-β)=0 δηλαδή Α=Β. π Οµοίως από τις δυο τελευταίες ποκύπτει Β=Γ κι έτσι Α=Β=Γ= f f f = συναηµ Βηµ Γ+ λ, = ηµ ΑσυνΒηµ Γ+ λ, = ηµ Αηµ ΒσυνΓ+ λ A B Γ f f f = ηµ Αηµ Βηµ Γ, = συνασυνβηµ Γ, = συναηµ ΒσυνΓ A A B A Γ f f f = συνασυνβηµ Γ, = ηµ Αηµ Βηµ Γ, = ηµ ΑσυνΒσυνΓ B A B B Γ f f f = συναηµ ΒσυνΓ, = ηµ ΑσυνΒσυνΓ, = ηµ Αηµ Βηµ Γ Γ Α Γ Β Γ Έτσι η Εσσιανή µήτα στη θέση (Α,Β,Γ)=(π/,π/,π/) είναι 1 m R 0 0

9 H= ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ η ακολουθία των ελασσόνων του πίνακα είναι D 1 =- <0, D 7 = 6 6 = 6 >0 και D =deth= 10 <0 δηλαδή ο πίνακας είναι ανητικά οισµένος πάγµα που σηµαίνει ότι έχουµε µέγιστο και η µέγιστη τιµή είναι F(π/,π/,π/)= ( ) = δηλαδή τελικά ηµαηµβηµγ. 9