Εργαστηριακές Ασκήσεις Φσσικής

Transcript

1 Εθνικό Μετσόβιο Πολστετνείο Σομέας Φσσικής τολή Ευαρμοσμένων Μαθηματικών και Φσσικών Επιστημών Εργαστηριακές Ασκήσεις Φσσικής Σόμος Ι Αθήνα 01 1

2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 5 Α. Γενικέρ οδηγίερ για ηη διεξαγυγή ηυν επγαζηηπιακών αζκήζευν... 5 Β. Κανόνερ αζθαλείαρ Γ. Ανάλςζη και παποςζίαζη πειπαμαηικών αποηελεζμάηυν Άσκηση 1. Μέηπηζη ηηρ επιηάσςνζηρ ηηρ βαπύηηηαρ με ηη μέθοδο ηηρ πηώζηρ ηυν ζυμάηυν.. 18 Άσκηση. Μέηπηζη ηηρ επιηάσςνζηρ ηηρ βαπύηηηαρ με ηη μέθοδο ηος θςζικού εκκπεμούρ... Άσκηση 3. Μέηπηζη ηηρ ζηαθεπάρ ηηρ παγκόζμιαρ έλξηρ... 7 Άσκηση 4. Πποζδιοπιζμόρ ηος μέηπος ζηπέτηρ ςλικού με ηη μέθοδο ηος ζηποθικού εκκπεμούρ Άσκηση 5. Μέηπηζη ηος ζςνηελεζηή εζυηεπικήρ ηπιβήρ (ιξώδοςρ) ςγπού με ηη μέθοδο ηηρ πηώζηρ μικπών ζθαιπών Άσκηση 6. Πποζδιοπιζμόρ ηος ζςνηελεζηή αποκαηάζηαζηρ και ηος σπόνος κπούζηρ δύο ζθαιπών Άσκηση 7. Μελέηη ηυν νόμυν ηηρ κίνηζηρ με σπήζη αεποηποσιάρ Άσκηση 8. Εξάπηηζη ηηρ ανηίζηαζηρ αγυγού από ηη θεπμοκπαζία Άσκηση 9. Χαπηογπάθηζη ηλεκηπικού πεδίος Άσκηση 10. Μελέηη ηηρ συπηηικόηηηαρ πςκνυηή και μέηπηζη ηηρ διηλεκηπικήρ ζηαθεπάρ ςλικών Άσκηση 11. Μέηπηζη ηος μαγνηηικού πεδίος ενόρ ζυληνοειδούρ Άσκηση 1. Μέηπηζη ηος λόγος cp/cv ηυν αεπίυν Άσκηση 13. Ανάκλαζη, διάθλαζη και πόλυζη ηος θυηόρ Άσκηση 14. Μέηπηζη ηος λόγος e/m ηος ηλεκηπονίος Άσκηση 15. Παλμογπάθορ Άσκηση 16. Ροπή αδπάνειαρ ζηεπεών ζυμάηυν Άσκηση 17. Φαινόμενα διάθλαζηρ. Ιδιόηηηερ και ζθάλμαηα θακών Άσκηση 18. Οπηικό μικποζκόπιο

4 Άσκηση 19. Μέηπηζη ηος μαγνηηικού πεδίος ηηρ γηρ και ηηρ μαγνηηικήρ διαπεπαηόηηηαρ ηος κενού Άσκηση 0. Φυηοηλεκηπικό θαινόμενο Παράρτημα Ι. Φςζικέρ ζηαθεπέρ. 17 Παράρτημα ΙΙ. Μονάδερ μέηπηζηρ θςζικών μεγεθών

5 ΔΙΑΓΩΓΗ Α. Γενικέρ οδηγίερ για ηη διεξαγωγή ηων Δπγαζηηπιακών Αζκήζεων A.1 Πποεηοιμαζία ηων αζκήζεων Σηελ αξρή θάζε εμακήλνπ αλαθνηλώλνληαη νη κέξεο θαη νη ώξεο δηεμαγσγήο ησλ αζθήζεσλ γηα θάζε Σρνιή, θαζώο θαη ε θαηαλνκή ησλ Αζθήζεσλ γηα θάζε θνηηεηή γηα όιν ην εμάκελν. Σε θάζε θνηηεηή αληηζηνηρεί έλαο αξηζκόο θαηαιόγνπ (Α/Α), πνπ αλαγξάθεηαη πξηλ από ην όλνκά ηνπ ζηελ θαηαλνκή. Δπίζεο ζηελ θαηαλνκή αλαθέξεηαη θαη ε ζέζε (αίζνπζα θαη όξνθνο) θαζώο θαη ην όλνκα ηνπ Υπεύζπλνπ γηα θάζε άζθεζε θαη γηα θάζε Σρνιή. Οι καηανομές και οι ζτεηικές ανακοινώζεις σπάρτοσν ζηο ιζόγειο ηοσ κηιρίοσ Φσζικής και ζηην ιζηοζελίδα ηοσ Τομέα Φσζικής Οη θνηηεηέο πξέπεη λα έρνπλ πξνεηνηκαζηεί γηα ηελ Άζθεζε πνπ πξόθεηηαη λα εθηειέζνπλ, έρνληαο δηαβάζεη πξνζεθηηθά ην αληίζηνηρν θείκελν, για να μποπέζοςν να δοςλέτοςν ζηο επγαζηήπιο με ικανοποιηηικό ηπόπο και συπίρ δςζκολίερ και για να είναι ζε θέζη να απανηήζοςν ζηιρ επυηήζειρ ηος επιβλέπονηα καηά ηην διεξαγυγή ηηρ άζκηζηρ, οι οποίερ θα ληθθούν ύπ ότη ζηην ηελική βαθμολογία ηος Επγαζηηπίος Α. Γιεξαγωγή ηων αζκήζεων Πξηλ γίλεη νπνηαδήπνηε ζύλδεζε ζα πξέπεη νη θνηηεηέο λα αλαγλσξίζνπλ όιεο ηηο ζπζθεπέο θαη λα θαηαιάβνπλ ηνλ ηξόπν ιεηηνπξγίαο ηνπο. Η ζπλδεζκνινγία γίλεηαη ζύκθσλα κε ηηο νδεγίεο πνπ δίλνληαη ζηελ εθηέιεζε ηνπ πεηξάκαηνο θαη κε ηνπο θαλόλεο αζθαιείαο πνπ αλαθέξνληαη πην θάησ. Πξηλ από ηε ζύλδεζε κε ηα 0 V ην θύθισκα πξέπεη λα ειεγρζεί από ηνλ Υπεύζπλν ηεο άζθεζεο. Πάξηε ηηο απαξαίηεηεο κεηξήζεηο αθνινπζώληαο ηα ζηάδηα κε ηε ζεηξά ηνπο θαη θαηαρσξήζηε ηα απνηειέζκαηά ζαο ζπζηεκαηηθά θαη ηαθηηθά ζηνπο αληίζηνηρνπο Πίλαθεο. Γηα ηνλ ηξόπν θαηαρώξεζεο ησλ απνηειεζκάησλ, θαζώο θαη ησλ αληίζηνηρσλ ζθαικάησλ ζπκβνπιεπηείηε ην Γ Κεθάιαην «Αλάιπζε θαη Παξνπζίαζε ησλ Πεηξακαηηθώλ Απνηειεζκάησλ». Γηα νπνηαδήπνηε απνξία λα απεπζύλεζηε ζηνλ Υπεύζπλν. Όηαλ ηειεηώζεηε ηηο κεηξήζεηο θαη πξηλ απνζπλδέζεηε ηα θπθιώκαηα, ζπκβνπιεπηείηε ηνλ Υπεύζπλν γηα λα εμαθξηβώζεηε αλ νη πεηξακαηηθέο ζαο ηηκέο βξίζθνληαη κέζα ζηα ινγηθά όξηα θαη όηη δελ έρεηε θάπνην ιάζνο ζηηο κεηξήζεηο. Οη ζειίδεο κε ηα απνηειέζκαηα ησλ κεηξήζεσλ πξέπεη λα ππνγξάθνληαη από ηνλ Υπεύζπλν ηεο Άζθεζεο θαη λα ζπλππνβάιινληαη κε ηελ εξγαζηεξηαθή ζαο Έθζεζε. Πξηλ ζβύζεηε ηηο ζπζθεπέο θαη απνζπλδέζεηε ην θύθισκα, ηνπνζεηήζηε ηα θαιώδηα θαη όια ηα εμαξηήκαηα ζηηο ζέζεηο ηνπο. Πξηλ θύγεηε, βεβαησζείηε όηη έρεηε θαηαιάβεη θαιά ηελ δηαδηθαζία πνπ πξέπεη λα αθνινπζήζεηε ζηελ Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ. 5

6 Α.3 ύνηαξη, παπάδοζη και διόπθωζη ηηρ Έκθεζηρ Oη εξγαζηεξηαθέο εθζέζεηο ζα πξέπεη λα γξάθνληαη ζε δηπιέο θόιιεο, εθηόο από ηελ πεξίπησζε πνπ παξαδίλνληαη ηππσκέλεο από ειεθηξνληθό ππνινγηζηή. Σηελ θνξπθή ηεο πξώηεο ζειίδαο ζα πξέπεη νπσζδήπνηε λα αλαγξάθνληαη: Ο αξηζκόο θαη ν ηίηινο ηεο Άζθεζεο. Ο αξηζκόο θαηαιόγνπ ηνπ θνηηεηή. Τν νλνκαηεπώλπκν ηνπ θνηηεηή, ε Σρνιή θαη ην Τκήκα ηνπ. Τν όλνκα ηνπ ή ησλ ζπλεξγαηώλ ηνπ ζηελ άζθεζε. Τν όλνκα ηνπ ππεύζπλνπ ηεο άζθεζεο. Η εκεξνκελία δηεμαγσγήο ηεο άζθεζεο. Θα αθνινπζνύλ δέθα πεξίπνπ γξακκέο, ζηηο νπνίεο ζα πεξηγξάθεηαη ζπλνπηηθά ν ζθνπόο ηεο άζθεζεο θαη ε δηαδηθαζία πνπ αθνινπζήζεθε. Γε ρξεηάδεηαη λα αληηγξάθεηαη ε ζεσξία ή νπνηνδήπνηε άιιν θείκελν από ην βηβιίν. Πξνρσξήζηε ζηελ αλάιπζε ησλ απνηειεζκάησλ αθνινπζώληαο δηαδνρηθά ηα ζηάδηα πνπ αλαθέξνληαη ζηελ «επεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ» θαη κε ηελ βνήζεηα ηνπ Κεθαιαίνπ «Αλάιπζε θαη παξνπζίαζε ησλ πεηξακαηηθώλ απνηειεζκάησλ». Πξνζπαζήζηε λα απαληήζεηε ζηηο εξσηήζεηο ζύκθσλα κε ηε δηθή ζαο θξίζε. Οη εξγαζηεξηαθέο ζαο εθζέζεηο ζα παξαδίλνληαη ζπκπιεξσκέλεο ζηνλ αληίζηνηρν Υπεύζπλν ηεο άζθεζεο, ζηελ ακέζσο επόκελε άζθεζε ηνπ ίδηνπ ηκήκαηνο. Θα δηνξζώλνληαη από ηνλ Υπεύζπλν θαη ζα επηζηξέθνληαη βαζκνινγεκέλεο ζηνπο θνηηεηέο ηελ επόκελε θνξά. Σε πεξίπησζε πνπ αληί γηα βαζκό αλαγξάθεηαη ε ιέμε «Γηόξζσζε», ε άζθεζε ζα πξέπεη λα δηνξζσζεί ζύκθσλα κε ηηο νδεγίεο πνπ αλαθέξνληαη θαη λα παξαδνζεί ηελ επόκελε θνξά, ώζηε λα βαζκνινγεζεί. Β. Κανόνερ Αζθαλείαρ Γηα ιόγνπο αζθαιείαο, δηθήο ζαο, ησλ ζπλαδέιθσλ ζαο θαη ησλ ζπζθεπώλ ηνπ εξγαζηεξίνπ, αθνινπζείηε πάληα ηνπο παξαθάησ θαλόλεο Με βάδεηε πνηέ αληηθείκελα, κεηαιιηθά ή κνλσηηθά, κέζα ζηηο ειεθηξηθέο ππνδνρέο ηνπ πίλαθα θαη ησλ ζπζθεπώλ. Με βξαρπθπθιώλεηε πνηέ κπαηαξίεο, πεγέο ζπλερώλ ηάζεσλ ή γελλήηξηεο. Σπλδέζηε πξώηα όια ηα όξγαλα ηνπ θπθιώκαηνο κεηαμύ ηνπο θαη κεηά ηελ ειεθηξηθή πεγή. Η ζύλδεζε κε ηα 0 V γίλεηαη πάληα ηειεπηαία θαη αθνύ ην θύθισκα ειεγρζεί από ηνλ επηβιέπνληα. Αλαθέξεηε νπνηαδήπνηε βιάβε ή αλσκαιία ζηε ιεηηνπξγία ησλ νξγάλσλ, κόιηο ηελ παξαηεξήζεηε. Πνηέ κελ απνζπλδέεηε ή ηξνπνπνηείηε έλα θύθισκα κε ηελ ειεθηξηθή πεγή αλακκέλε. Σπλεζίζηε λα πηάλεηε ηα θαιώδηα από ην κνλσκέλν βύζκα θαη πνηέ από ην κεηαιιηθό άθξν. Πξηλ ζβύζεηε κία πεγή θαηεβάδεηε πξώηα βαζκηαία ηελ ηάζε εμόδνπ ηεο ζην κεδέλ. Όηαλ βγάδεηε ηηο πξίδεο ή θαιώδηα λα ηα ηξαβάηε από ηελ ίδηα ηελ πξίδα ή ην βύζκα θαη πνηέ από ην θαιώδην. Κηλδπλεύεη λα ζαο κείλεη ζην ρέξη. 6

7 Γ. Ανάλςζη και παποςζίαζη πειπαμαηικών αποηελεζμάηων Γ.1 ΔΙΑΓΩΓΗ Η κέηξεζε ζπλίζηαηαη ζηνλ θαζνξηζκό ηνπ κεγέζνπο ή κέηξνπ κηαο θπζηθήο πνζόηεηαο ζε ζρέζε κε κηα νξηζκέλε κεηξηθή κνλάδα. Τν απνηέιεζκα επνκέλσο ηεο κέηξεζεο κηαο θπζηθήο πνζόηεηαο εθθξάδεηαη κε έλαλ αξηζκό (πνπ δίλεη ηε ζρέζε κεηαμύ ηνπ κεγέζνπο πνπ κεηξήζεθε θαη εθείλνπ πνπ ιακβάλεηαη σο κνλάδα) θαη κε ηελ αληίζηνηρε κνλάδα. Δπηπιένλ, ζηελ πεξίπησζε δηαλπζκαηηθνύ κεγέζνπο (π.ρ. ηαρύηεηα, δύλακε, έληαζε πεδίνπ), ε κέηξεζε νξίδεη θαη ηε δηεύζπλζε θαη θνξά ηνπ κεηξνύκελνπ κεγέζνπο. Τν απνηέιεζκα ηεο κέηξεζεο δελ αλακέλεηαη, ελ γέλεη, λα ζπκπέζεη κε ηελ πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ κεγέζνπο, ε νπνία είλαη άγλσζηε. Δμάιινπ, ε επαλάιεςε ηεο κέηξεζεο νδεγεί γεληθά ζε δηαθνξεηηθά κεηαμύ ηνπο απνηειέζκαηα. Δίλαη επνκέλσο εμίζνπ ζεκαληηθό λα βξεζεί θαη λα δνζεί έλα κέηξν αμηνπηζηίαο ηνπ απνηειέζκαηνο. Η δηαθνξά κεηαμύ ηνπ απνηειέζκαηνο κηαο κέηξεζεο θαη ηεο πξαγκαηηθήο ηηκήο ηνπ κεηξνύκελνπ κεγέζνπο νλνκάδεηαη ζθάικα ηεο κέηξεζεο. Η ζεσξία ησλ ζθαικάησλ δίλεη ηνπο θαλόλεο ππνινγηζκνύ ηνπ ζθάικαηνο κηαο κέηξεζεο, ηόζν γηα άκεζα κεηξνύκελα κεγέζε όζν θαη γηα κεγέζε πνπ ππνινγίδνληαη έκκεζα από ηα απνηειέζκαηα κεηξήζεσλ άιισλ κεγεζώλ. Δίλαη, ηέινο, πνιύ ζεκαληηθή ε παξνπζίαζε ησλ απνηειεζκάησλ ησλ κεηξήζεσλ κε ηξόπν πνπ λα πεξηέρεη θαη λα κεηαδίδεη όιεο ηηο πιεξνθνξίεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηηο κεηξήζεηο. Οη βαζηθέο αξρέο ηεο αλάιπζεο θαη παξνπζίαζεο πεηξακαηηθώλ απνηειεζκάησλ δίλνληαη ακέζσο πην θάησ. Γ. ΦΑΛΜΑΣΑ Τα ζθάικαηα ησλ κεηξήζεσλ δηαθξίλνληαη, αλάινγα κε ηελ πξνέιεπζε ηνπο, ζε δύν θαηεγνξίεο: ηα ζπζηεκαηηθά θαη ηα ηπραία ζθάικαηα. Γ..1 ςζηημαηικά ζθάλμαηα Σπζηεκαηηθά είλαη ηα ζθάικαηα πνπ παξακέλνπλ ακεηάβιεηα ζε δηαδνρηθέο κεηξήζεηο ή πνπ κεηαβάιινληαη κε θάπνην ζπζηεκαηηθό ηξόπν κε ην ρξόλν ή θάπνηαλ άιιε παξάκεηξν. Μπνξεί λα νθείινληαη ζε αηέιεηεο ηνπ νξγάλνπ, ζηε κέζνδν πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε ή θαη ζηνλ ίδην ηνλ παξαηεξεηή. Μεξηθά παξαδείγκαηα είλαη ηα αθόινπζα: -Τν «ζθάικα κεδελόο» είλαη έλα πνιύ θνηλό ζπζηεκαηηθό ζθάικα. Αλ, γηα παξάδεηγκα, ν δείθηεο ελόο νξγάλνπ έρεη κεηαηνπηζηεί ζε ζρέζε κε ηελ θιίκαθα ηνπ, ηόηε νη ελδείμεηο ηνπ ζα δηαθέξνπλ από ηηο ζσζηέο θαηά κηα ζηαζεξή πνζόηεηα. -Αλ κεηξάκε κήθε κε έλα «ράξαθα ηνπ ελόο κέηξνπ» πνπ έρεη πξαγκαηηθό κήθνο 99,9 cm, ηα απνηειέζκαηα πνπ ζα πξνθύπηνπλ ζα είλαη ζπζηεκαηηθά κεγαιύηεξα ησλ πξαγκαηηθώλ θαηά 0,1%. -Έλα όξγαλν πνπ ρξεηάδεηαη έλα νξηζκέλν ρξνληθό δηάζηεκα γηα λα θηάζεη ζε κία θαηάζηαζε ηζνξξνπίαο (π.ρ. ζεξκηθήο), ελδέρεηαη λα δίλεη ζπζηεκαηηθά ιαλζαζκέλεο ελδείμεηο ζηε δηάξθεηα ηεο κεηαβαηηθήο πεξηόδνπ. -Οη ζπλήζεηεο ησλ δηαθόξσλ παξαηεξεηώλ δηαθέξνπλ θαη έρεη ηεθκεξησζεί επαξθώο, θπξίσο από αζηξνλνκηθέο παξαηεξήζεηο, όηη θάπνηα ζπζηεκαηηθά ζθάικαηα είλαη ραξαθηεξηζηηθά ηνπ παξαηεξεηή. -Αλ ζηελ επεμεξγαζία ησλ απνηειεζκάησλ ρξεζηκνπνηεζεί κηα ιαλζαζκέλε ζηαζεξά ή θαη κηα πξνζεγγηζηηθή ζεσξεηηθή ζρέζε κεηαμύ δύν ή πεξηζζνηέξσλ κεγεζώλ, ηόηε ζα πξνθύςνπλ ζπζηεκαηηθά ζθάικαηα ζηα εμαγόκελα απνηειέζκαηα. 7

8 Τα ζπζηεκαηηθά ζθάικαηα είλαη δύζθνιν λα αληρλεπηνύλ θαη ζπρλά είλαη ηα ζεκαληηθόηεξα ζθάικαηα. Η πείξα ηνπ παξαηεξεηή είλαη ν θπξηόηεξνο παξάγνληαο γηα ηελ απνθπγή θαη ηε δηόξζσζε ηνπο. Ο πην θνηλόο ηξόπνο αλίρλεπζεο ησλ ζπζηεκαηηθώλ ζθαικάησλ είλαη ε ζύγθξηζε ησλ νξγάλσλ ή θαη νιόθιεξνπ ηνπ ζπζηήκαηνο κέηξεζεο κε άιια πνπ έρνπλ κεγαιύηεξε αθξίβεηα θαη πνπ είλαη δηαπηζησκέλν όηη έρνπλ ακειεηέα ζπζηεκαηηθά ζθάικαηα. Γ... Σςσαία ζθάλμαηα Τπραία είλαη ηα ζθάικαηα πνπ νθείινληαη ζε πνιινύο απξόβιεπηνπο παξάγνληεο, κεηαβάιινληαη κε ην ρξόλν θαηά αθαλόληζην ηξόπν θαη είλαη εμίζνπ πηζαλό λα είλαη ζεηηθά ή αξλεηηθά. Κιαζηθό παξάδεηγκα είλαη απηό ησλ ζθαικάησλ πνπ νθείινληαη ζην ζεξκηθό ζόξπβν ειεθηξνληθώλ νξγάλσλ. Ο ζόξπβνο απηόο πξνέξρεηαη από ηελ ηπραία ζεξκηθή θίλεζε ειεθηξνλίσλ κέζα ζε αληηζηάζεηο θαη άιια ζηνηρεία ηνπ νξγάλνπ, πνπ νδεγεί ζηελ εκθάληζε κηθξώλ δηαθνξώλ δπλακηθνύ ζηα άθξα ηνπο. Τα ζήκαηα απηά, αθνύ ππνζηνύλ ηελ επεμεξγαζία ζηελ νπνία ηα ππνβάιιεη ην ίδην ην όξγαλν, εκθαλίδνληαη ζηελ έμνδό ηνπ σο ηπραίεο απμνκεηώζεηο ζηελ έλδεημε ηνπ νξγάλνπ. Υπάξρνπλ βεβαίσο ηξόπνη ειαρηζηνπνίεζεο ηνπ ζεξκηθνύ ζνξύβνπ, είλαη όκσο πξαθηηθά θαη ζεσξεηηθά αδύλαην λα κεδεληζηεί ν ζόξπβνο απηόο. Η βαζηθή ηδηόηεηα ησλ ηπραίσλ ζθαικάησλ λα είλαη κε ίζεο πηζαλόηεηεο ζεηηθά ή αξλεηηθά, θαζώο θαη ην γεγνλόο όηη κηθξέο απνθιίζεηο από ηελ πξαγκαηηθή ηηκή είλαη πην πηζαλέο από ηηο κεγάιεο, θάλνπλ δπλαηό ηνλ πεξηνξηζκό ηεο αβεβαηόηεηαο ζηνλ πξνζδηνξηζκό ελόο κεγέζνπο κε ηελ επαλάιεςε ηεο κέηξεζεο πνιιέο θνξέο, ώζηε θαηά κέζνλ όξν ηα ηπραία ζθάικαηα λα αιιειναλαηξνύληαη ζε θάπνην βαζκό. Σηελ πξάμε είλαη δύζθνιν λα γίλεη δηαρσξηζκόο ησλ ζπζηεκαηηθώλ ζθαικάησλ από ηα ηπραία. Δμάιινπ πνιιά ζθάικαηα είλαη ζπλδπαζκόο θαη ησλ δύν ηύπσλ. Η ζύληνκε πεξίιεςε ηεο ζεσξίαο ησλ ζθαικάησλ πνπ ζα αθνινπζήζεη ζα αλαθέξεηαη κόλν ζε ηπραία ζθάικαηα. Γελ πξέπεη όκσο λα μερλάκε όηη νη κεηξήζεηο ελδερνκέλσο λα πεξηέρνπλ ζπζηεκαηηθά ζθάικαηα πνιύ κεγαιύηεξα ησλ ηπραίσλ θαη επνκέλσο θαζνξηζηηθά γηα ηελ αμηνπηζηία ηνπ απνηειέζκαηνο. Γ.3. Η ΘΔΩΡΙΑ ΣΩΝ ΦΑΛΜΑΣΩΝ Έζησ όηη ζέινπκε λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ ηηκή ελόο θπζηθνύ κεγέζνπο x, ηνπ νπνίνπ ε πξαγκαηηθή ηηκή x 0 καο είλαη άγλσζηε. Μηα κέηξεζε ηνπ κεγέζνπο απηνύ ζα δώζεη απνηέιεζκα x 1 πνπ, ιόγσ ησλ ηπραίσλ ζθαικάησλ, ζα δηαθέξεη γεληθά από ηελ x 0, έζησ θαηά πνζόηεηα e 1 = x 1 - x 0 πνπ νλνκάδεηαη ζθάικα κέηξεζεο [Σρ. Γ.1(α) θαη (β)]. Δπεηδή ην x 0 κάο είλαη άγλσζην, ην e 1 κάο είλαη επίζεο άγλσζην. Μηα δεύηεξε κέηξεζε, θάησ από όζν ην δπλαηόλ ίδηεο ζπλζήθεο, δίλεη απνηέιεζκα x [Σρ. Γ.1(γ)] κε ζθάικα e = x - x 0 πνπ γεληθά δηαθέξεη από ην e 1, κηα ηξίηε κέηξεζε δίλεη απνηέιεζκα x 3 [Σρ. Γ.1(δ)] θ.ν.θ. Αλ εθηειέζνπκε ηε κέηξεζε ζπλνιηθά n θνξέο, ζα έρνπκε n απνηειέζκαηα όπσο ζην Σρ. Γ.1(ε) 8

9 σήμα Γ.1. Η δηαζπνξά ησλ απνηειεζκάησλ n κεηξήζεσλ γύξσ από ηελ πξαγκαηηθή ηηκή x 0 Όπσο βιέπνπκε, ππάξρεη κηα δηαζπνξά ησλ απνηειεζκάησλ γύξσ από ηελ πξαγκαηηθή ηηκή x 0. Απηή αλαδεηθλύεηαη θαιύηεξα αλ θαηαζθεπάζνπκε έλα ηζηόγξακκα ησλ κεηξήζεσλ καο κε ηνλ αθόινπζν ηξόπν. Φσξίδνπκε ηνλ άμνλα ησλ x ζηελ πεξηνρή ησλ απνηειεζκάησλ καο ζε ίζα δηαζηήκαηα θάπνηνπ Γx [Σρ. Γ.(α)], κεηξάκε ηνλ αξηζκό ησλ κεηξήζεσλ n i, ζην θάζε δηάζηεκα, θαη πςώλνπκε ζε θάζε δηάζηεκα ζηήιε κε ύςνο αλάινγν ηνπ n i [Σρ. Γ.(β)]. Με βάζε ην ηζηόγξακκα ησλ κεηξήζεσλ ζα νξίζνπκε κεξηθά ραξαθηεξηζηηθά κεγέζε. σήμα Γ.. Τν ηζηόγξακκα ησλ απνηειεζκάησλ n κεηξήζεσλ ηνπ κεγέζνπο x, πνπ έρεη πξαγκαηηθή ηηκή x 0. 9

10 Γ.3.1 Μέζη ηιμή ηων μεηπήζεων Έρνληαο θάλεη n κεηξήζεηο κε απνηειέζκαηα x i (i =1,,..., n) κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηε κέζε ηηκή, x, κηαο ζεηξάο κεηξήζεσλ, Δπεηδή x i = x 0 + e i, έρνπκε Γεδνκέλνπ όηη ηα ζθάικαηα ησλ κεηξήζεσλ, e i, είλαη εμίζνπ πηζαλό λα είλαη ζεηηθά ή αξλεηηθά, πεξηκέλνπκε όηη, γηα απμαλόκελν n, ην άζξνηζκα ησλ ζθαικάησλ δηαηξνύκελν δηα ηνπ n ζα ηείλεη ζην κεδέλ θαη ε κέζε ηηκή ζα πιεζηάδεη ηελ πξαγκαηηθή, x 0. Βιέπνπκε ινηπόλ πνηνηηθά θάηη πνπ κπνξεί λα απνδεηρηεί θαη κε κεγαιύηεξε απζηεξόηεηα, όηη δειαδή ε x είλαη ε θαιύηεξε εθηίκεζε πνπ κπνξνύκε λα έρνπκε γηα ηελ πξαγκαηηθή ηηκή x 0 κεηά από n κεηξήζεηο. Γ.3.. Σςπική απόκλιζη ηων μεηπήζεων Γηα θάζε κέηξεζε, x i, νξίδνπκε ηελ απόθιηζε από ηε κέζε ηηκή σο d i = x i - x. Σε αληίζεζε κε ηα e i, ηα d i είλαη γλσζηά. Ωο κέηξν ηεο δηαζπνξάο ησλ ηηκώλ x i γύξσ από ηελ x νξίδνπκε ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο κέζεο ηηκήο ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ απνθιίζεσλ ηελ νπνία νλνκάδνπκε ηςπική απόκλιζη κηαο ζεηξάο κεηξήζεσλ. Γ.3.3. Η κανονική καηανομή Αλ ζεσξήζνπκε όηη ν αξηζκόο ησλ κεηξήζεσλ, n, γίλεηαη νινέλα θαη κεγαιύηεξνο, είκαζηε ζε ζέζε λα πξνζδηνξίζνπκε κε κεγαιύηεξε αθξίβεηα ην ηζηόγξακκα (ή ηελ θαηαλνκή) ησλ κεηξήζεώλ καο. Μπνξνύκε λα θάλνπκε νινέλα θαη πην κηθξό ην δηάζηεκα Γx ηνπ Σρ. Γ.(β), όπσο θαίλεηαη ζην Σρ. Γ.(γ), θξνληίδνληαο ην νιηθό εκβαδόλ ηνπ ηζηνγξάκκαηνο λα παξακέλεη ζηαζεξό θαη ίζν κε ηε κνλάδα, κε θαηάιιειε επηινγή ηεο θιίκαθαο ησλ n i. Απηό έρεη σο ζπλέπεηα ην εκβαδόλ θάησ από ην ηζηόγξακκα κεηαμύ δύν ηηκώλ x 1 θαη x λα καο δίλεη ηελ πηζαλόηεηα ην απνηέιεζκα κηαο κέηξεζεο λα βξίζθεηαη αλάκεζα ζε απηέο ηηο δύν ηηκέο. Από ηνλ νξηζκό ηνπ s [Δμ. (Γ.3)], βιέπνπκε όηη, γηα θάζε επηπξόζζεηε κέηξεζε πνπ θάλνπκε, ην άζξνηζκα ζηνλ αξηζκεηή απμάλεη θαηά έλαλ όξν d i αιιά θαη ν παξνλνκαζηήο, n, απμάλεη θαηά κία κνλάδα. Βεβαίσο ην d i έρεη ζηαηηζηηθέο δηαθπκάλζεηο, αιιά ζην όξην, γηα πνιύ κεγάια n, ε ηαπηόρξνλε αύμεζε αξηζκεηή θαη παξνλνκαζηή έρεη σο απνηέιεζκα ε ηηκή ηνπ s λα ηείλεη λα ζηαζεξνπνηεζεί ζε κηα ηηκή, ζ 0, πνπ νξίδνπκε σο 10

11 θαη πνπ νλνκάδεηαη ηςπική απόκλιζη ηηρ καηανομήρ. Βεβαίσο, όπσο θαη ε x 0, έηζη θαη ε ζ 0 κάο είλαη άγλσζηε θαη κόλνλ εθηηκήζεηο κπνξνύκε λα θάλνπκε γηα ηελ ηηκή ηεο, όηαλ έρνπκε ηνλ πεπεξαζκέλν αξηζκό ησλ n κεηξήζεσλ. Καζώο Γx 0 θαη n, η μέζη ηιμή x x 0, και ηο ιζηόγπαμμα ηυν μεηπήζευν γίνεηαι μια ζςνεσήρ καμπύλη f(x) όπσο θαίλεηαη ζην Σρ. Γ.(δ). Η ζπλάξηεζε f(x) νλνκάδεηαη ζςνάπηηζη καηανομήρ. Δίλαη κανονικοποιημένη, ην νιηθό εκβαδόλ δειαδή θάησ από ηελ θακπύιε είλαη ίζν κε ηε κνλάδα. Δίλαη δπλαηόλ λα πξνβιεθζεί ζεσξεηηθά ε κνξθή ηεο θακπύιεο f(x) θάησ από νξηζκέλεο ππνζέζεηο. Απηό έγηλε από ηνλ De Moivre ην 1733 θαη αξγόηεξα από ηνπο Laplace θαη Gauss. Υπνζέηνληαο όηη ην ηειηθό ζθάικα ζε κηα κέηξεζε είλαη απνηέιεζκα ελόο κεγάινπ αξηζκνύ πνιύ κηθξώλ απνθιίζεσλ, πνπ νθείινληαη ζε αλεμάξηεηα αίηηα θαη νη νπνίεο είλαη εμίζνπ πηζαλόλ λα είλαη ζεηηθέο ή αξλεηηθέο, ν Laplace ην 1783 έδεημε όηη ε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ησλ κεηξήζεσλ δίλεηαη από ηελ Ο Gauss βξήθε ηελ ίδηα θαηαλνκή βαζηδόκελνο ζηελ ππόζεζε όηη ε πην πηζαλή ηηκή ελόο κεηξνύκελνπ κεγέζνπο είλαη ε κέζε ηηκή ελόο αξηζκνύ εμίζνπ αμηόπηζησλ κεηξήζεσλ. Η θαηαλνκή είλαη γλσζηή σο θαηαλνκή Gauss ή γθανπζηαλή. Δπίζεο νλνκάδεηαη θαη θαλνληθή, παξ' όινλ όηη δελ έρεη θαζνιηθή ηζρύ. Αθόκε όκσο θαη ζηηο πεξηπηώζεηο όπνπ παξαηεξνύληαη απνθιίζεηο από ηελ θαλνληθή θαηαλνκή, ην γεγνλόο όηη είλαη καζεκαηηθώο πνιύ εύρξεζηε, θαη είλαη κηα πνιύ θαιή πξνζέγγηζε ζηηο πεξηζζόηεξεο πεξηπηώζεηο, έρεη νδεγήζεη ζηελ πηνζέηεζή ηεο ζηε ζεσξία ησλ ζθαικάησλ. Η κνξθή ηεο γθανπζηαλήο θαηαλνκήο θαίλεηαη ζην Σρ. Γ.3(α). Έρεη κέγηζην γηα x = x 0, πξάγκα πνπ ζεκαίλεη όηη ηηκέο θνληά ζην x 0 είλαη πην πηζαλέο, ελώ κεηξήζεηο κε κεγάιεο απνθιίζεηο από ην x 0 είλαη πην ζπάληεο. Η θακπύιε είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο x = x 0, θαη απηό πξνθύπηεη από ηελ ππόζεζε όηη νη ζεηηθέο θαη νη αξλεηηθέο απνθιίζεηο από ην x 0 είλαη εμίζνπ πηζαλέο. Η θακπύιε ηείλεη αζπκπησηηθά ζην κεδέλ γηα x = ±. Τν πιάηνο ηεο θαζνξίδεηαη από ηελ παξάκεηξν ζ 0 (Σρ. Γ.3 (α)). Τα ζεκεία x = x 0 ± ζ 0 είλαη ζεκεία θακπήο. Η γθανπζηαλή θαηαλνκή (Γ.5) είλαη θαλνληθνπνηεκέλε, ην νινθιήξσκα ηεο δειαδή κεηαμύ x = - θαη x = + είλαη ίζν κε ηε κνλάδα. Έηζη, ε πηζαλόηεηα κηα κέηξεζε ηνπ x λα δώζεη απνηέιεζκα κεηαμύ x θαη x + dx είλαη f(x)dx. Δπίζεο, ην εκβαδόλ θάησ από ηελ θακπύιε κεηαμύ ησλ ηηκώλ x 1 θαη x δίλεη ηελ πηζαλόηεηα κηα κέηξεζε ηνπ x λα δώζεη απνηέιεζκα κεηαμύ x 1 θαη x [Σρ. Γ.3 (β)]. σήμα Γ.3. Η γθανπζηαλή ζπλάξηεζε θαηαλνκήο. 11

12 Υπνινγίδνληαο ηα εκβαδά, βξίζθνπκε όηη ε πηζαλόηεηα λα βξίζθεηαη κηα κέηξεζε Γειαδή, κόλν κία κέηξεζε πεξίπνπ ζηηο 3 ζα δηαθέξεη από ηελ πξαγκαηηθή ηηκή θαηά πεξηζζόηεξν από 1ζ 0 (κηα ηππηθή απόθιηζε) ελώ κόλν κία ζηηο 400 κεηξήζεηο ζα δηαθέξεη πεξηζζόηεξν από 3ζ 0. Η ηππηθή απόθιηζε δίλεη ινηπόλ έλα κέηξν ηεο δηαζπνξάο ησλ κεηξήζεσλ. Μεγάιν ζ 0 ζεκαίλεη κεγάιε δηαζπνξά [Σρ. Γ.3 (α)]. Δίλαη επνκέλσο έλα κέηξν ηεο αθξίβεηαο ηεο κεζόδνπ κέηξεζεο πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε. Γ.3.4. Σςπική απόκλιζη μίαρ μέηπηζηρ Από κηα ζεηξά κεηξήζεσλ έρνπκε κόλν έλαλ πεπεξαζκέλν αξηζκό ηηκώλ ηνπ κεηξνύκελνπ κεγέζνπο. Γη' απηό ην ιόγν κόλνλ εθηηκήζεηο κπνξνύκε λα θάλνπκε γηα ηηο πην πηζαλέο ηηκέο ησλ x 0 θαη ζ 0. Έρνπκε ήδε εμεγήζεη γηαηί ε θαιύηεξε εθηίκεζε γηα ην x 0 είλαη ε κέζε ηηκή x ησλ n κεηξήζεσλ. Μπνξεί λα απνδεηρηεί όηη ε πην πηζαλή ηηκή γηα ην ζ 0 είλαη ε όπνπ s είλαη ε ηππηθή απόθιηζε ησλ n κεηξήζεσλ [Δμ. (Γ.3)]. Η ηηκή νλνκάδεηαη ηςπική απόκλιζη ηηρ μίαρ μέηπηζηρ θαη είλαη ε θαιύηεξε εθηίκεζε πνπ κπνξνύκε λα θάλνπκε γηα ηελ (άγλσζηε) ζ 0. Γ.3.5. Σςπική απόκλιζη ηηρ μέζηρ ηιμήρ - θάλμαηα Η ηππηθή απόθιηζε ηεο κίαο κέηξεζεο καο δίλεη έλα κέηξν ηεο δηαζπνξάο ησλ κεηξήζεσλ γύξσ από ηελ πξαγκαηηθή ηηκή x 0. Δίλαη βέβαηα έλα ρξήζηκν κέγεζνο γηα λα αμηνινγεζεί ε αθξίβεηα ηεο κεζόδνπ κέηξεζεο πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε. Πεξηζζόηεξν καο ελδηαθέξεη λα έρνπκε κηα εθηίκεζε ηεο απόθιηζεο ηεο κέζεο ηηκήο, x, από ηελ πξαγκαηηθή, x 0. Αλ ππνζέζνπκε όηη ε ζεηξά ησλ n κεηξήζεσλ επαλαιακβάλεηαη πνιιέο θνξέο, ζα έρνπκε γηα θάζε ζεηξά κεηξήζεσλ κηα δηαθνξεηηθή κέζε ηηκή, x k. Η κέζε ηηκή απηώλ ησλ x k ζα ηείλεη πξνο ην x 0 γηα ηνπο ίδνπο ιόγνπο πνπ αλαθέξακε όηαλ εμεηάδακε ηελ x. Θα ππάξρεη όκσο κηα δηαζπνξά ησλ x k γύξσ από ηελ x 0, ε νπνία ζα ραξαθηεξίδεηαη από κηα ηππηθή απόθιηζε ζ κ, πνπ νλνκάδνπκε ηςπική απόκλιζη ηηρ μέζηρ ηιμήρ. Απνδεηθλύεηαη όηη ζ κ = ζ/ n, δειαδή 1

13 Αο εμεηάζνπκε ηε θπζηθή ζεκαζία απηήο ηεο παξακέηξνπ. Αλ ππνζέζνπκε όηη νη κέζεο ηηκέο, x k, είλαη θαηαλεκεκέλεο γύξσ από ηελ πξαγκαηηθή ηηκή, x 0, ζύκθσλα κε κηα γθανπζηαλή θαηαλνκή πνπ έρεη ηππηθή απόθιηζε ζ κ, ηόηε κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηελ πηζαλόηεηα ε κέζε ηηκή x κηαο ζεηξάο n κεηξήζεσλ λα δηαθέξεη από ηελ πξαγκαηηθή, x 0, θαηά κηα νξηζκέλε πνζόηεηα. Σύκθσλα κε όζα εηπώζεθαλ ζην εδάθην Γ.3.3, ππάξρεη πηζαλόηεηα 68,3% ε x λα δηαθέξεη από ηελ x 0 θαηά κηα πνζόηεηα κηθξόηεξε από ζ κ. Η θπζηθή ζεκαζία ηεο ζ κ είλαη όηη δίλεη έλα κέηξν ηνπ πηζαλνύ ζθάικαηνο πνπ θάλνπκε ππνζέηνληαο όηη ε x είλαη ε ηηκή ηνπ κεγέζνπο πνπ έρεη πξαγκαηηθή ηηκή x 0. Γεδνκέλνπ όηη ην s θαη επνκέλσο θαη ην ζ είλαη, όπσο έρνπκε εμεγήζεη, νπζηαζηηθά αλεμάξηεηα από ηνλ αξηζκό ησλ κεηξήζεσλ, n, γηα κεγάια n, βιέπνπκε όηη ην ζ κ κεηώλεηαη κε απμαλόκελν n. Καιή γλώζε ηνπ x 0 ζεκαίλεη ινηπόλ κηθξή ηηκή ηνπ ζ κ θαη επνκέλσο όζν ην δπλαηόλ κεγαιύηεξν αξηζκό κεηξήζεσλ. Δπεηδή όκσο, όπσο θαίλεηαη από ηε ζρέζε ζ κ = ζ/ n, γηα λα βειηησζεί ε αθξίβεηα (δειαδή λα κεησζεί ε ζ κ ) θαηά έλαλ παξάγνληα πεξίπνπ 3, πξέπεη λα δεθαπιαζηάζνπκε ηνλ αξηζκό ησλ κεηξήζεσλ, είλαη ζπλήζσο επθνιόηεξν λα πξνζπαζήζνπκε λα κεηώζνπκε ηε δηαζπνξά ησλ κεηξήζεσλ, λα κεηώζνπκε δειαδή ηελ ζ, πξάγκα πνπ κπνξεί λα επηηεπρζεί κε βειηίσζε ηεο κεζόδνπ κέηξεζεο. Η ηππηθή απόθιηζε ηεο κέζεο ηηκήο ζ κ, ζπκβνιίδεηαη θαη κε ζ x όηαλ αλαθέξεηαη ζηελ ηηκή x, θ.ν.θ. Ολνκάδεηαη θαη ηςπικό ζθάλμα ή απιώο ζθάλμα ηεο κέηξεζεο ηνπ κεγέζνπο x θαη ην ζπκβνιίδνπκε κε δx. Δπνκέλσο Δμαηηίαο ηεο ζπνπδαηόηεηαο ηνπ ζθάικαηνο δx, ην απνηέιεζκα κηαο ζεηξάο κεηξήζεσλ δίλεηαη πάληνηε κε ηε κνξθή: Μεξηθέο θνξέο είλαη ρξήζηκν λα αλαθεξζεί θαη ν αξηζκόο ησλ κεηξήζεσλ, n. Έλα παξάδεηγκα ππνινγηζκνύ ησλ x θαη δx γηα n = 7 ππνζεηηθέο κεηξήζεηο κήθνπο δίλεηαη ζηνλ Πίλαθα I. Τν ηειηθό απνηέιεζκα δίλεηαη σο: x = (969,69 ± 0,67) mm (7 κεηξήζεηο). Δθηόο από ην ηππηθό ζθάικα ή ζθάικα ή απόιπην ζθάικα δx = ζ x ηεο κέζεο ηηκήο x, νξίδεηαη θαη ε ζρεηηθή ηππηθή απόθιηζε ηεο κέζεο ηηκήο ή ην ζρεηηθό ζθάικα ηεο x, σο πνπ κπνξεί λα εθθξαζηεί θαη σο πνζνζηό επί ηνηο εθαηό, Γηα ην παξάδεηγκα ηνπ Πίλαθα I, 13

14 Απνηέιεζκα: x = (969,69 ± 0,67) mm (7 κεηξήζεηο). (Βιέπε παξάγξαθν Γ.4.1 γηα ηνλ αξηζκό ησλ ζεκαληηθώλ ςεθίσλ πνπ δηαηεξνύληαη ζην απνηέιεζκα). Σθάλμα ανάγνωζης Όηαλ κεηξάκε έλα κέγεζνο κε ηε βνήζεηα ελόο νξγάλνπ, ππάξρνπλ όξηα ζηελ αθξίβεηα κε ηελ νπνία κπνξνύκε λα δηαβάζνπκε ηελ έλδεημε ηνπ νξγάλνπ, ή κε ηελ νπνία ην όξγαλν κπνξεί λα δώζεη ηελ έλδεημε. Τελ αβεβαηόηεηα κε ηελ νπνία δηαβάδνπκε ηελ έλδεημε ελόο νξγάλνπ, νλνκάδνπκε ζθάλμα ανάγνωζηρ. Γηα έλα όξγαλν κε ςεθηαθή έλδεημε, ην ηειεπηαίν ςεθίν πξέπεη λα ζεσξείηαη αβέβαην. Δπεηδή ζπλήζσο δελ γλσξίδνπκε αλ ην όξγαλν απηό ζηξνγγπιεύεη ην απνηέιεζκα ζην ηειεπηαίν ςεθίν, ή αλ απιώο αγλνεί ηα ππόινηπα ςεθία, ζα πξέπεη λα παίξλνπκε σο ζθάικα αλάγλσζεο κία κνλάδα ζην ηειεπηαίν ςεθίν ηεο έλδεημεο. Γηα παξάδεηγκα ε έλδεημε 3,43 πξέπεη λα ζεσξείηαη όηη έρεη ζθάικα αλάγλσζεο ±0,01. Πξνθαλώο ην ζθάικα απηό είλαη πνιύ πηζαλόλ λα είλαη θάπσο κεγαιύηεξν ηνπ πξαγκαηηθνύ. Δίλαη όκσο πάληνηε πξνηηκόηεξν λα ππεξεθηηκνύκε έλα ζθάικα παξά αληηζηξόθσο. Γηα αλαινγηθά όξγαλα, έλαο παξάγνληαο ππνθεηκεληθόηεηαο ππεηζέξρεηαη ζηελ εθηίκεζε ηνπ ζθάικαηνο αλάγλσζεο. Ωο γεληθόο θαλόλαο κπνξεί λα ζεσξεζεί όηη ην ζθάικα αλάγλσζεο είλαη ίζν κε απηό πνπ αληηζηνηρεί ζε κηζή ππνδηαίξεζε ηεο θιίκαθαο. Σε έλα ράξαθα κε ππνδηαηξέζεηο 1 mm ην ζθάικα αλάγλσζεο ζα ήηαλ ± 0,5 mm. Αλ ζπιινγηζηεί όκσο θαλείο όηη ε κέηξεζε κήθνπο πξνϋπνζέηεη αλάγλσζε θαη ζηα δύν άθξα ηνπ κεηξνύκελνπ αληηθεηκέλνπ, έλα ζθάικα αλάγλσζεο +1 mm ζα ήηαλ νξζόηεξν. Σε έλα ρξνλόκεηξν κε 14

15 ππνδηαηξέζεηο 1/5 ηνπ δεπηεξνιέπηνπ απηό ζα είλαη ην ζθάικα αλάγλσζεο, όπσο είλαη πξνθαλέο αλ ιεθζεί ππ' όςε όηη ν δείθηεο δελ κεηαθηλείηαη ζπλερώο, αιιά κε πεδήκαηα ηνπ 1/5 sec. Σε κεξηθά όξγαλα, νη ππνδηαηξέζεηο πνπ είλαη ραξαγκέλεο είλαη ηόζν αξαηέο κεηαμύ ηνπο πνπ κηα εθηίκεζε κε ην κάηη κπνξεί λα δώζεη θαιύηεξε αθξίβεηα ζηελ αλάγλσζε. Σε απηέο ηηο πεξηπηώζεηο ην ζθάικα κεηώλεηαη αλαιόγσο, ρσξίο βεβαίσο λα ππεξεθηηκνύκε ηηο δπλαηόηεηεο καο. Τν ζθάικα αλάγλσζεο πξέπεη λα ζεσξείηαη σο ην θαηώηαην όξην ζην ζθάικα κέηξεζεο ελόο κεγέζνπο. Δπαλάιεςε ηεο κέηξεζεο πνιιέο θνξέο δελ ζα νδεγήζεη ζε γλώζε ηνπ κεγέζνπο κε ζθάικα κηθξόηεξν ηνπ ζθάικαηνο αλάγλσζεο. Σε έλα θαιά ζρεδηαζκέλν πείξακα, ζα πξέπεη ην ζθάικα αλάγλσζεο λα είλαη κηθξόηεξν από ηηο δηαθπκάλζεηο πνπ παξαηεξνύληαη ζε δηαδνρηθέο κεηξήζεηο ελόο κεγέζνπο. Μηα εηδηθή πεξίπησζε πνπ πξέπεη λα πξνζερζεί αλαθνξηθά κε ηνλ ππνινγηζκό ηνπ ζθάικαηνο είλαη απηή ζηελ νπνία όιεο νη κεηξήζεηο έρνπλ δώζεη ην ίδην απνηέιεζκα. Δίλαη ιάζνο λα ζεσξεζεί όηη ε ηππηθή απόθιηζε είλαη ίζε κε κεδέλ. Π.ρ. ε κέηξεζε ελόο κήθνπο κπνξεί λα δώζεη: mm. Δίλαη ιάζνο λα πνύκε όηη = 156 ± 0 mm. Απηό πνπ ζπκβαίλεη εδώ είλαη όηη δελ δηαιέμακε ην θαηάιιειν επαίζζεην όξγαλν γηα ηε κέηξεζε, ώζηε λα γίλνπλ θαλεξέο νη δηαθπκάλζεηο ή νη δηαθνξέο ζηηο εθηηκήζεηο από κέηξεζε ζε κέηξεζε. Σην ζπγθεθξηκέλν παξάδεηγκα κπνξεί λα ρξεζηκνπνηνύκε έλα ράξαθα κε ππνδηαηξέζεηο 1 mm απνθεύγνληαο (πνιύ ζσζηά!) λα θάλνπκε εθηίκεζε ηνπ θιάζκαηνο ηνπ mm ζην κήθνο. Σηηο πεξηπηώζεηο απηέο σο ζθάικα ηεο κέζεο ηηκήο πξέπεη λα παίξλνπκε ηε δηαθξηηηθή ηθαλόηεηα ηνπ κεηξεηηθνύ νξγάλνπ ή ην ζθάικα αλάγλσζεο. Σην παξάδεηγκά καο ε αθξίβεηα αλάγλσζεο ηνπ κήθνπο είλαη 1 mm θαη επνκέλσο ην ηειηθό απνηέιεζκα πξέπεη λα δνζεί σο = 156 ± 1 mm. Γ.3.6. Γιάδοζη ζθαλμάηων Πνιύ ζπρλά ην κέγεζνο πνπ καο ελδηαθέξεη δελ κεηξάηαη απεπζείαο, αιιά ππνινγίδεηαη έκκεζα από ηηο κεηξήζεηο άιισλ κεγεζώλ ησλ νπνίσλ είλαη ζπλάξηεζε. Γηα παξάδεηγκα, ην εκβαδόλ ελόο θύθινπ δελ κεηξάηαη άκεζα αιιά ππνινγίδεηαη από κεηξήζεηο ηεο αθηίλαο ηνπ r, από ηε ζρέζε S = πr. Η ειεθηξηθή αληίζηαζε, R, ππνινγίδεηαη σο ν ιόγνο R = V/I δύν κεηξνύκελσλ κεγεζώλ, ηεο δηαθνξάο δπλακηθνύ, V, θαη ηεο έληαζεο ηνπ ξεύκαηνο, I. Γηα ηε ζρέζε S = πr, κε παξαγώγηζε έρνπκε ds = πrdr πνπ κπνξεί λα εξκελεπζεί σο ε ζρέζε πνπ δίλεη ηελ (απεηξνζηή) κεηαβνιή, ds, ηνπ εκβαδνύ ηνπ θύθινπ γηα κεηαβνιή, dr, ηεο αθηίλαο ηνπ. Γηα κηθξή κεηαβνιή dr ζε ζρέζε κε ην r, δειαδή γηα δr/r << l, κπνξνύκε λα έρνπκε, πξνζεγγηζηηθά, δs πrδr. Απηή ε ζρέζε κπνξεί λα ζεσξεζεί όηη δίλεη ην ζθάικα δs ζηνλ ππνινγηζκό ηνπ S γηα έλα κηθξό ζθάικα, δr, ζηελ αθηίλα. Δπνκέλσο δs (ds/dr)δr. Σηνλ ππνινγηζκό ηεο (ds/dr) ρξεζηκνπνηνύκε ηελ θαιύηεξε εθηίκεζε πνπ έρνπκε γηα ηελ ηηκή ηεο r, δειαδή ηε κέζε ηηκή, r, ησλ κεηξήζεσλ ηεο αθηίλαο. Γηα ζπλαξηήζεηο ƒ(u,ς,υ,...) πεξηζζόηεξσλ ηεο κηαο αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ u, ς, υ, θιπ. ηζρύεη πξνθαλώο όπνπ dƒ ζεσξείηαη ε κεηαβνιή ηνπ ƒ γηα κεηαβνιέο du, dς, dυ, θιπ. ησλ κεηαβιεηώλ. Η ƒ/ u είλαη ε κεξηθή παξάγσγνο ηεο ƒ σο πξνο u, αλ ζεσξήζνπκε ηηο ππόινηπεο κεηαβιεηέο ζηαζεξέο, θ.ν.θ. Η ζρέζε απηή είλαη κηα θαιή πξνζέγγηζε γηα ην ζθάικα δƒ ζηνλ ππνινγηζκό ηεο ƒ γηα κηθξά ζθάικαηα δu, δς, δυ, θιπ., κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη νη πνζνζηηαίεο ηηκέο δu/u, δς/ς, δυ/υ, θιπ. είλαη πνιύ κηθξόηεξεο ηεο κνλάδαο. Έζησ ηώξα όηη γλσξίδνπκε ηα κεγέζε 15

16 από κεηξήζεηο πνπ θάλακε θαη ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ην παξάγσγν κέγεζνο ƒ = f ± δƒ. Από ηε ζεσξία ησλ ζθαικάησλ πξνθύπηεη όηη ε πην πηζαλή ηηκή ηεο f ππνινγίδεηαη, αλ ρξεζηκνπνηεζνύλ ζηε ζρέζε γηα ην ƒ (u, ς, υ,...) νη πην πηζαλέο ηηκέο ησλ u, ς, υ..., δειαδή πνπ είλαη ε ηηκή ηεο ƒ πνπ πξνθύπηεη αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο κέζεο ηηκέο, u,,,... ησλ κεηαβιεηώλ. Πνην είλαη ηώξα ην ζθάικα ή ε ηππηθή απόθιηζε ηεο κέζεο ηηκήο f, δειαδή ην δƒ; Αλ γλσξίδακε ηόζν ην κέγεζνο όζν θαη ην πξόζεκν ησλ ζθαικάησλ δu, δς, δυ,... ζηα u,,,... ζα είρακε γηα ην ζθάικα δƒ ζην f. Απηό όκσο καο είλαη αδύλαην, γηαηί γλσξίδνπκε κόλν ηα ηππηθά ζθάικαηα δu = ζ u, δπ = ζ θιπ., πνπ κόλν ζηαηηζηηθέο πξνβιέςεηο καο επηηξέπνπλ λα θάλνπκε. Υπνζέηνληαο γθανπζηαλέο θαηαλνκέο γηα ηα ζθάικαηα, κε ηππηθέο απνθιίζεηο ζ u = δu, ζ = δς θιπ., θαη όηη ηα ζθάικαηα ζηα u, ς, υ,... είλαη αλεμάξηεηα κεηαμύ ηνπο, πξνθύπηεη όηη ε θαιύηεξε εθηίκεζε γηα ηελ ηππηθή απόθιηζε ηεο κέζεο ηηκήο f είλαη Καη πάιη ζηνλ ππνινγηζκό ησλ ηηκώλ ησλ κεξηθώλ παξαγώγσλ ρξεζηκνπνηνύληαη νη κέζεο ηηκέο ησλ κεηαβιεηώλ u,,,... Σηνλ Πίλαθα II παξαζέηνπκε κεξηθά ρξήζηκα απνηειέζκαηα πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ εθαξκνγή ηνπ θαλόλα απηνύ, θπξίσο γηα ζπλαξηήζεηο κίαο ή δύν κεηαβιεηώλ. 16

17 Τα παξαδείγκαηα πνπ αθνινπζνύλ δείρλνπλ ηε ρξήζε ησλ απνηειεζκάησλ ζε αξηζκεηηθνύο ππνινγηζκνύο. 17

18 Παπαδείγμαηα ημείυζη. ηα παξαδείγκαηα πνπ αθνινπζνύλ, ηα ηειηθά απνηειέζκαηα δίλνληαη κε ηόζα ζεκαληηθά ςεθία όζα πξνθύπηνπλ από ηνπο θαλόλεο πνπ παξαηίζεληαη ζηελ παξάγξαθν Γ Μηα ζεηξά κεηξήζεσλ ηεο αθηίλαο ελόο θύθινπ έδσζε r = 9,80 ± 0,010 m. Σν κήθνο ηεο πεξηθέξεηαο δίλεηαη από ηε ζρέζε = πr θαη επνκέλσο = π r = π 9,80 = 61,701 m θαη δ = πδr = π 0,010 = 0,063 m. Δπνκέλσο = (61,701 ±0,063) m. Σν εκβαδόλ ηνπ θύθινπ S = πr ππνινγίδεηαη σο S = π (9,80) = 30,95 m. Σν ζθάικα ζην S είλαη δs = ( S/ r)δr = π r δr. Δπνκέλσο δs = π 9,80 0,010 = 0,6 m. Σειηθά, S = (30,95 ±0,6) m.. Σν ξεύκα κέζα από κηα αληίζηαζε είλαη I = 81,3 ± 0,51 ma θαη ε δηαθνξά δπλακηθνύ ζηα άθξα ηεο είλαη V = 3,60 ± 0,3 Volt. Δπνκέλσο θαη Δπνκέλσο R = 44,3 ±,6 Ω. 3. Έζησ όηη ε ζρέζε δίλεη ηελ εμάξηεζε ηνπ κεγέζνπο ƒ από ηε ζηαζεξά k θαη ηηο κεηαβιεηέο u, π θαη w, ησλ νπνίσλ νη ηηκέο κεηξήζεθαλ σο u ± δu, ± δπ θαη w ± δw αληίζηνηρα. Σόηε, Αληηθαζηζηώληαο ζηελ Δμ. (Γ. 17), βξίζθνπκε ην ζθάικα ζην ƒ: Σν ζρεηηθό ζθάικα ζην ƒ είλαη επνκέλσο ε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ αζξνίζκαηνο ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ ζρεηηθώλ ζθαικάησλ ησλ u, π 5 θαη w 3. b

19 Γ.4 ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΩΝ ΑΠΟΣΔΛΔΜΑΣΩΝ Θα δώζνπκε κεξηθέο ρξήζηκεο πιεξνθνξίεο γηα ηελ παξνπζίαζε απνηειεζκάησλ ζε αξηζκεηηθή κνξθή θαη κε ηε κνξθή γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ. Γ.4.1. Παποςζίαζη απιθμηηικών αποηελεζμάηυν Σν απνηέιεζκα κηαο ζεηξάο κεηξήζεσλ παξνπζηάδεηαη πάληνηε ζηε κνξθή: (Φπζηθό κέγεζνο) = (Μέζε ηηκή ± Σππηθή απόθιηζε ηεο κέζεο ηηκήο) Μνλάδεο Μεξηθέο θνξέο δίλεηαη θαη ν αξηζκόο ησλ κεηξήζεσλ πνπ έγηλαλ. Γειαδή Υξεηάδεηαη πξνζνρή ζηνλ αξηζκό ζεκαληηθώλ ςεθίσλ πνπ δίλνληαη ζηα αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα θαη ην ζέκα απηό ζα ζπδεηεζεί παξαθάησ. Γ ημανηικά τηθία. ηπογγύλεμα απιθμών εκαληηθά ςεθία ελόο αξηζκνύ ιέγνληαη όια ηνπ ηα ςεθία εθηόο από ηα ζπλερόκελα κεδεληθά πνπ ελδερνκέλσο λα ππάξρνπλ ζηελ αξρή ηνπ αξηζκνύ, αλ απηόο είλαη δεθαδηθόο. Ζ ζέζε ηεο ππνδηαζηνιήο ή έλαο εθζέηεο ηνπ 10 σο πνιιαπιαζηαζηηθόο παξάγνληαο δελ επεξεάδεη ηνλ αξηζκό ησλ ζεκαληηθώλ ςεθίσλ. Μεξηθά παξαδείγκαηα δίλνληαη ζηνλ Πίλαθα III. Αλ ζέινπκε λα κεηώζνπκε θαηά έλαλ ηνλ αξηζκό ησλ ζεκαληηθώλ ςεθίσλ ελόο δεθαδηθνύ αξηζκνύ, ηνλ «ζηξνγγπιεύνπκε» σο εμήο: Αλ ην δεμηόηεξν (ιηγόηεξν ζεκαληηθό) ςεθίν είλαη 0, 1,, 3 ή 4, απιώο παξαιείπεηαη. Αλ είλαη 5, 6, 7, 8 ή 9, παξαιείπεηαη, θαη ην ακέζσο πξνεγνύκελν ςεθίν απμάλεηαη θαηά κνλάδα. Παξαδείγκαηα: 1,4 ~1,4 θαη 1,46 ~ 1,5. Γηα λα ζηξνγγπιεύζνπκε αθέξαηνπο, ηνπο κεηαηξέπνπκε πξώηα ζε δεθαδηθνύο κε κηα δύλακε ηνπ 10 σο πνιιαπιάζην θαη ζηξνγγπιεύνπκε ηνλ δεθαδηθό. Παξαδείγκαηα: 143 = 1, ~ 1, θαη 1506 ~ 1, Θα ήηαλ ιάζνο λα πνύκε όηη 143 ~ 1430 θιπ., γηαηί ζε απηή ηελ πεξίπησζε ην ηειεπηαίν κεδεληθό ζα εζεσξείην ζεκαληηθό ςεθίν, πξάγκα πνπ δελ είλαη αιεζέο. c

20 Τπάξρνπλ κεξηθέο πξνβιεκαηηθέο πεξηπηώζεηο όζνλ αθνξά ηνλ αξηζκό ησλ ζεκαληηθώλ ςεθίσλ. Αλ γηα παξάδεηγκα ζέινπκε λα δώζνπκε ηνλ αξηζκό 100 m κε δύν κόλν ζεκαληηθά ςεθία, κπνξνύκε λα γξάςνπκε 1, 10 3 m ή 1, km. Όκσο είλαη θάπσο αζπλήζηζην λα δώζνπκε ην 40 κε έλα ζεκαληηθό ςεθίν σο ε απηέο ηηο πεξηπηώζεηο κπνξεί, αλ ρξεηάδεηαη, λα αλαθεξζεί ξεηά πνηνο είλαη ν αξηζκόο ησλ ζεκαληηθώλ ςεθίσλ γηα λα κελ ππάξρεη αβεβαηόηεηα. Γ Αβεβαιόηηηα ζηην ηιμή ηος ζθάλμαηορ Ζ ηππηθή απόθιηζε ηεο κέζεο ηηκήο, σο απνηέιεζκα ελόο πεπεξαζκέλνπ αξηζκνύ κεηξήζεσλ, δελ είλαη γλσζηή κε απόιπηε αθξίβεηα. Πξνθύπηεη από ηε ζεσξία όηη ην ηππηθό ζθάικα ζηελ ηηκή ηεο ηππηθήο απόθιηζεο ηεο κέζεο ηηκήο ζ κ (δειαδή ην ζθάικα ηνπ ζθάικαηνο) είλαη Δίλαη ινηπόλ ζαθέο όηη, γηα ηνλ ζπλήζε αξηζκό κεηξήζεσλ πνπ ζπλαληά θαλείο ζε έλα εθπαηδεπηηθό εξγαζηήξην, ε αβεβαηόηεηα ζηελ ηηκή ηεο ζ κ δελ δηθαηνινγεί λα δίλνληαη ηειηθέο ηηκέο ζθαικάησλ κε πεξηζζόηεξα ηνπ ελόο ζεκαληηθά ςεθία. ηελ επηζηεκνληθή έξεπλα όκσο, ν αξηζκόο ησλ κεηξήζεσλ είλαη ζπλήζσο αξθεηά κεγάινο ώζηε λα δηθαηνινγεί κεγαιύηεξε αθξίβεηα ζην ζ κ. Γηα ην ιόγν απηό είλαη επηζπκεηό λα ζπλεζίζεη θαλείο ζην λα δίλεη ηηο ηηκέο ησλ ζθαικάησλ κε δύν ζεκαληηθά ςεθία. Γ Παποςζίαζη απιθμηηικών αποηελεζμάηυν ύκθσλα κε όζα είπακε πην πάλσ, ζα εμεηάζνπκε ηώξα ηελ αθξίβεηα κε ηελ νπνία παξνπζηάδνληαη ηα αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα. Έλα θνηλό ιάζνο πνπ γίλεηαη είλαη ε παξνπζίαζε απνηειεζκάησλ κε αδηθαηνιόγεηα κεγάιν αξηζκό ζεκαληηθώλ ςεθίσλ. Γηα παξάδεηγκα, αλ ε δηάκεηξνο ελόο δίζθνπ βξέζεθε λα είλαη D =,3 cm (αγλννύκε ην ζθάικα πξνο ην παξόλ), είλαη ιάζνο λα δώζνπκε ην εκβαδόλ ηεο επηθάλεηαο ηνπ σο S= (π/4) D = 4, cm επεηδή έηζη εκθαλίζηεθε ην απνηέιεζκα ζηελ νζόλε ηνπ ππνινγηζηή. Σέηνηα αθξίβεηα ζην S είλαη αδηθαηνιόγεηε δεδνκέλνπ όηη ην D είλαη γλσζηό κε δύν ζεκαληηθά ςεθία, ην ηειεπηαίν από ηα νπνία κπνξεί λα είλαη θαη αβέβαην. Αλ γηα παξάδεηγκα είρακε D =,9 cm ηόηε ζα ήηαλ S = 4,1 cm, ελώ γηα D =,31cm ζα είρακε S=4,19 cm. Βιέπνπκε ινηπόλ όηη δπν ζεκαληηθά ςεθία ζην S είλαη ηα κόλα γηα ηα νπνία κπνξνύκε λα είκαζηε ζίγνπξνη. Πξνθαλώο ην ζθάικα ζε έλα απνηέιεζκα παίδεη απνηειεζκαηηθό ξόιν ζηνλ αξηζκό ζεκαληηθώλ ςεθίσλ κε ηα νπνία δίλεηαη. Οη θαλόλεο γηα ηελ παξνπζίαζε ελόο ηειηθνύ αξηζκεηηθνύ απνηειέζκαηνο είλαη νη εμήο: 1. Σν ηειηθό ζθάικα ζην κεηξνύκελν κέγεζνο δίλεηαη κε δύν ζεκαληηθά ςεθία.. Από ηε ζηηγκή πνπ έρνπκε απνθαζίζεη γηα ηελ ηηκή ηνπ ζθάικαηνο, ε κέζε ηηκή δίλεηαη κε ηελ ίδηα αθξίβεηα κε ηελ νπνία δόζεθε ην ζθάικα. Παξαδείγκαηα: 3,10 ± 0,0 18,0 ± 3,0 (4,19 ± 0,38) ,0 ± 0,14 13,3 ±,4 (8,1 ± 0,35) 10 5 Πξέπεη όκσο λα ζεκεησζεί όηη, γηα λα απνθεπρζεί ε ζπζζώξεπζε ζθαικάησλ από ην ζηξνγγύιεπκα πνιιώλ αξηζκώλ, ζηνλ ππνινγηζκό ελδηακέζσλ απνηειεζκάησλ (δειαδή όισλ εθηόο ηνπ ηειηθνύ) ηα ζθάικαηα θαηαρσξνύληαη κε ηξία ζεκαληηθά ςεθία θαη νη κέζεο ηηκέο κε ηελ ίδηα αθξίβεηα. d

21 Γ.4.. Γπαθικέρ παπαζηάζειρ Ζ απεηθόληζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηε κνξθή γξαθηθήο παξάζηαζεο κπνξεί λα ππαγνξεύεηαη από ηνπιάρηζηνλ έλαλ από ηνπο αθόινπζνπο ιόγνπο: (α) Γηα λα δνζεί κε επνπηηθό ηξόπν ε ζρέζε κεηαμύ δύν κεγεζώλ, αλαδεηθλύνληαο ραξαθηεξηζηηθά πνπ δελ ζα γίλνληαλ εκθαλή ζε έλαλ πίλαθα αξηζκεηηθώλ ηηκώλ (β) Γηα λα ρξεζηκνπνηεζεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο θιίζεο ή ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ελόο άμνλα, θπξίσο ζηελ πεξίπησζε όπνπ ε ζρέζε κεηαμύ ησλ δύν κεγεζώλ είλαη γξακκηθή (γ) Γηα λα δηεξεπλεζεί ε κνξθή ηεο ζρέζεο κεηαμύ δύν κεγεζώλ (γξακκηθή, εθζεηηθή θιπ.) πνπ κπνξεί αθνινύζσο λα δηαηππσζεί ζε καζεκαηηθή κνξθή γηα κεγαιύηεξε αθξίβεηα (δ) Γηα ηελ επαιήζεπζε κηαο ζεσξεηηθήο ζρέζεο κεηαμύ δύν κεγεζώλ κε ηε ζύγθξηζε ηεο ζεσξεηηθήο θακπύιεο κε ηα πεηξακαηηθά ζεκεία (ε) Γηα λα ρξεζηκνπνηεζεί σο θακπύιε βαζκνλόκεζεο ελόο νξγάλνπ ή γεληθά γηα λα είλαη δπλαηή ε εύξεζε ηεο ηηκήο ηεο κηαο κεηαβιεηήο πνπ αληηζηνηρεί ζε θάπνηα ηηκή ηεο άιιεο γηα ηελ νπνία δελ ππάξρνπλ πεηξακαηηθέο κεηξήζεηο. Οη θπξηόηεξνη θαλόλεο γηα ηελ θαιύηεξε παξνπζίαζε πεηξακαηηθώλ απνηειεζκάησλ ζε γξαθηθή κνξθή ζα δνζνύλ παξαθάησ. Γ Η επιλογή ηυν αξόνυν Σν κέγεζνο πνπ ζεσξείηαη σο αλεμάξηεηε κεηαβιεηή ζρεδηάδεηαη σο ηεηκεκέλε (άμνλαο ησλ x), ελώ ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή σο ηεηαγκέλε (άμνλαο ησλ y). Ζ δηάθξηζε δελ είλαη πάληνηε δπλαηή. Γεληθά, αλ ζην πείξακα εκείο θαζνξίδνπκε ηηο ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο (π.ρ. ηελ ηάζε ζηα άθξα κηαο αληίζηαζεο), ηόηε απηή ζεσξείηαη ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή, ελώ ην απνηέιεζκα (π.ρ. ην ξεύκα κέζα από ηελ αληίζηαζε) είλαη ε εμαξηεκέλε. Απηό όκσο δελ πξέπεη λα ζεσξείηαη σο απαξάβαηνο θαλόλαο. Ζ θξάζε «θαηαγξάςεηε ην κέγεζνο V σο ζπλάξηεζε ηνπ t» δειώλεη όηη ε t είλαη ε αλεμάξηεηε θαη ε V ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή. Αθνύ ραξαρηνύλ νη άμνλεο, αλαγξάθνληαη δίπια ηνπο ηα κεγέζε πνπ αληηπξνζσπεύνπλ θαη κέζα ζε παξέλζεζε νη κνλάδεο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη, π.ρ. t (s) ή h (cm), ρ. Γ.4(α). Δπηιέγεηαη ε θιίκαθα ηνπ θάζε άμνλα θαη ραξάζζνληαη πάλσ ζε απηόλ νη αξηζκεηηθέο ηηκέο ηεο θιίκαθαο. Γηα επθνιία, θάζε ππνδηαίξεζε ηνπ ραξηηνύ αληηζηνηρεί ζε 1, ή 5 κνλάδεο ή ζηα αληίζηνηρα πνιιαπιάζηα κηαο δύλακεο ηνπ 10, αλάινγα κε ηελ πεξηνρή ηηκώλ πνπ ζα θαιπθζεί. Απηό γίλεηαη γηα λα είλαη εύθνιε ηόζν ε θαηαγξαθή όζν θαη ε αλάγλσζε ησλ αξηζκεηηθώλ ηηκώλ (ζε έλα ραξηί κηιηκεηξέ κε ππνδηαηξέζεηο ζε cm θαη mm ζα ήηαλ θάπσο άβνιν λα αληηζηνηρήζνπκε έλα cm ηεο θιίκαθαο ζε 70 κνλάδεο ηεο κεηαβιεηήο, γηα παξάδεηγκα). ηνλ άμνλα αλαγξάθνληαη νη αξηζκεηηθέο ηηκέο ζε έλα ινγηθό αξηζκό ζεκείσλ ώζηε ε εύξεζε ελδηάκεζσλ ηηκώλ λα είλαη εύθνιε, ρσξίο όκσο λα παξαθνξηώλεηαη ε θιίκαθα κε αξηζκνύο πνπ ζα κπνξνύζαλ λα πξνθαιέζνπλ ζύγρπζε ελώ δελ πξνζθέξνπλ ηίπνηε. ηνπο άμνλεο κπνξεί λα ππάξρνπλ θαη ππνδηαηξέζεηο γηα ηηο νπνίεο δελ δίλνληαη νη αληίζηνηρεο αξηζκεηηθέο ηηκέο, αλ απηέο κπνξνύλ εύθνια λα βξεζνύλ από ηηο ηηκέο πνπ αλαγξάθνληαη, ρ. Γ.4 (β). Γελ είλαη απαξαίηεην νη θιίκαθεο λα αξρίδνπλ από ην 0 αιιά κπνξνύλ λα θαιύπηνπλ κόλν ηελ πεξηνρή γηα ηελ νπνία ππάξρνπλ πεηξακαηηθά απνηειέζκαηα (ρ. Γ.4(γ)) εθηόο αλ ην 0 απνηειεί ζεκαληηθό ή ρξήζηκν ζεκείν ηεο θακπύιεο. e

22 σήμα Γ.4. Γξαθηθέο παξαζηάζεηο. Δπηινγή θαη ζρεδίαζε ησλ αμόλσλ. Οη θιίκαθεο δελ είλαη απαξαίηεην λα είλαη γξακκηθέο σο πξνο ηα κεγέζε πνπ κεηξήζεθαλ. Αλ αλακέλεηαη, γηα παξάδεηγκα, όηη ε ζρέζε πνπ ζπλδέεη ην h θαη ην t ζην ρ. Γ.4(α) είλαη h = (l/)gt ηόηε, αλ θαηαγξαθεί ε h σο ζπλάξηεζε ηνπ t όπσο ζην ρ. Γ.4(δ), ηα ζεκεία ζα πξέπεη λα βξίζθνληαη θνληά ζηελ επζεία πνπ πεξλά από ην (0, 0) θαη έρεη θιίζε g/. Ζ επζεία απηή είλαη εύθνιν λα ζρεδηαζηεί, αιιά θαη ε γξακκηθή ζρέζε πην εύθνιν λα δηαπηζησζεί αληί ηεο παξαβνιηθήο ηνπ ρ. Γ.4(α). Άιια παξαδείγκαηα επηινγήο κεηαβιεηώλ ώζηε λα πξνθύςεη γξακκηθή ζρέζε δίλνληαη ζηνλ Πίλαθα IV. f

23 Γ.4... Απεικόνιζη ηυν πειπαμαηικών ζημείυν ε θάζε δεύγνο ηηκώλ ηεο αλεμάξηεηεο θαη ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο αληηζηνηρεί έλα ζεκείν ζηε γξαθηθή ηνπο παξάζηαζε. Σν ζεκείν πξέπεη λα είλαη επδηάθξηην θαη γη' απηό ή ζρεδηάδνπκε κηα αξθεηά κεγάιε θνπθίδα ή έλα ζεκείν κε έλα κηθξό θύθιν γύξσ ηνπ, ρ. Γ.5(α). Σα ζεκεία πξέπεη λα είλαη αξθεηά κεγάια ώζηε λα κελ θαιύπηνληαη από ηελ θακπύιε πνπ ζα ζρεδηαζηεί γηα απηά θαη λα κε ζπγρένληαη κε ηπραία ζεκάδηα ζην ραξηί. Δπίζεο, αλ γηα λα ζρεδηαζηεί κηα θακπύιε πνπ πξνβιέπεηαη από ηε ζεσξία ρξεηαζηεί λα ζεκεησζνύλ ζην ραξηί θάπνηα ζεκεία από ηνπο ππνινγηζκνύο, απηά πξέπεη κεηά λα ζβήλνληαη γηα λα κελ εθιακβάλνληαη σο πεηξακαηηθά ζεκεία σήμα Γ.5. Ζ απεηθόληζε πεηξακαηηθώλ ζεκείσλ ζε γξαθηθέο παξαζηάζεηο. Αλ, γηα ηελ ηηκή x ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο, ε αληίζηνηρε ηηκή ηεο εμαξηεκέλεο είλαη y±δy, αλ δειαδή είλαη γλσζηό θαη ην ζθάικα ζηελ y, ηόηε εθηόο από ηελ ηειεία ζην ζεκείν (x, y) ζεκεηώλεηαη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε θαη ην ζθάικα όπσο θαίλεηαη ζην ρ. Γ.5 (β), κε g

24 ηε ζρεδίαζε από ην ζεκείν (x, y) επζεηώλ κήθνπο δy ζηηο θαηεπζύλζεηο ± y. ηηο πεξηπηώζεηο πνπ θαη ε κεηαβιεηή x είλαη γλσζηή κε ην ζθάικα ηεο, δx, ην ίδην γίλεηαη θαη κε απηό, όπσο θαίλεηαη ζην ρ. 5 (γ). ε πεξηπηώζεηο όπνπ ρξεηάδεηαη λα ζρεδηαζηνύλ δύν ή πεξηζζόηεξεο ζεηξέο κεηξήζεσλ ζην ίδην δηάγξακκα, ρξεζηκνπνηνύληαη δηαθνξεηηθά ζύκβνια γηα ηα ζεκεία ηεο θάζε ζεηξάο (π.ρ. θύθινη, ζηαπξνί, ηξίγσλα θιπ.) γηα λα μερσξίδνπλ. εκεηώλεηαη δε ζην ζρήκα ζε ηη αληηζηνηρνύλ νη δηάθνξεο ζεηξέο κεηξήζεσλ. Σέινο, αο ζεκεησζεί όηη ζηνπο άμνλεο δελ πξέπεη λα ζεκεηώλνληαη νη ηηκέο ησλ πεηξακαηηθώλ ζεκείσλ, αιιά κόλνλ νη αξηζκνί πνπ αλαθέξνληαη ζηε βαζκνινγία ησλ αμόλσλ όπσο έρεη ήδε πεξηγξαθεί. Γ Υάπαξη ηηρ καμπύληρ Αθνύ ζεκεησζνύλ ζην δηάγξακκα όια ηα ζεκεία καδί κε ηα ζθάικαηά ηνπο (αλ ππάξρνπλ), ραξάζζεηαη ε θαιύηεξε θακπύιε πνπ αληηζηνηρεί ζε απηά. Ο όξνο «θαιύηεξε θακπύιε» έρεη δηαθνξεηηθό λόεκα αλάινγα κε ηελ πεξίπησζε πνπ εμεηάδεηαη. Καη' αξρήλ πξέπεη λα ηνληζηεί όηη ε θακπύιε δελ πξέπεη θαη' αλάγθε λα πεξλά από όια ηα πεηξακαηηθά ζεκεία, ρ. 6(α), (β). Κάηη ηέηνην, ζηηο ζπάληεο πεξηπηώζεηο πνπ κπνξεί λα ζπκβεί, πξέπεη λα είλαη πνιύ θαιά ηεθκεξησκέλν. Αλ ε κνξθή ηεο θακπύιεο είλαη γλσζηή από ηε ζεσξία, ηόηε θαη απηή ιακβάλεηαη σο δεδνκέλε. Γηα παξάδεηγκα, κπνξεί λα είλαη γλσζηό όηη ε ζρέζε είλαη γξακκηθή ή όηη ε επζεία ή ε θακπύιε πξέπεη λα πεξλά από ην κεδέλ ή από θάπνην άιιν ζεκείν. σήμα Γ.6. Λαλζαζκέλε ράξαμε θακπύιεο. Ζ θακπύιε πξέπεη λα είλαη ε νκαιόηεξε θακπύιε πνπ πεξλά αλάκεζα ζηα ζεκεία. Απόθιηζε από ηελ νκαιή θακπύιε (ή θαη ηελ επζεία) δηθαηνινγείηαη κόλν αλ ππάξρνπλ αξθεηά αμηόπηζηα πεηξακαηηθά ζεκεία ζηελ πεξηνρή. ηε ράξαμε ηεο θακπύιεο, ζεκαληηθόηαην ξόιν παίδνπλ θαη ηα ζθάικαηα πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα πεηξακαηηθά ζεκεία. Όπνπ είλαη δπλαηόλ, ε θακπύιε πξέπεη λα επηδηώθεηαη λα πεξλά κέζα από ηα όξηα ησλ ζθαικάησλ. Γελ πξέπεη όκσο λα μερλάκε όηη ζεκεία πνπ απέρνπλ από ηελ θακπύιε θαηά πεξηζζόηεξν από κία ηππηθή απόθιηζε δελ απνθιείνληαη από ηε ζεσξία. Αλ βεβαίσο έλα ζεκείν απέρεη πνιύ από ηελ θακπύιε, πξέπεη λα επαλεμεηάδεηαη θαη λα απνξξίπηεηαη, αλ δελ βξεζνύλ ζνβαξνί ιόγνη γηα λα γίλεη δεθηό σο ζσζηό πεηξακαηηθό απνηέιεζκα. Έρνληαο ππόςε όζα εηπώζεθαλ, κπνξνύκε λα δνύκε όηη ηα ζεκεία ηνπ ρ. 7 (α) δελ δηθαηνινγνύλ ηε ράξαμε άιιεο θακπύιεο από ηελ επζεία πνπ θαίλεηαη ζην ζρήκα. Αλ όκσο, παξά ηα κεγάια ζθάικαηα, ηα πεηξακαηηθά ζεκεία παξνπζηάδνπλ κηα ζπζηεκαηηθή ζπκπεξηθνξά όπσο ζην ρ. 7 (β), ηόηε ε ράξαμε κηαο θακπύιεο, αληί ηεο επζείαο, δηθαηνινγείηαη. h

25 σήμα Γ.7. Ζ ζρεδίαζε ηεο θαιύηεξεο θακπύιεο γίλεηαη ιακβάλνληαο ππ όςε θαη ηα ζθάικαηα ησλ πεηξακαηηθώλ ζεκείσλ θαη ηε ζπζηεκαηηθή ζπκπεξηθνξά ηνπο. Ζ ζπζηεκαηηθή ζπκπεξηθνξά ελόο ηόζν κεγάινπ αξηζκνύ ζεκείσλ, καο θάλεη λα ζπκπεξάλνπκε όηη γηα θάπνην ιόγν ηα ζθάικαηα έρνπλ ππεξεθηηκεζεί. ηελ πεξίπησζε ηνπ ρ. 8 είλαη πξνθαλέο όηη ε ζρέζε δελ είλαη επζύγξακκε. Ζ ζέζε ησλ ζεκείσλ θαη ην κέγεζνο ησλ ζθαικάησλ ππαγνξεύνπλ ηε ράξαμε κηαο θακπύιεο όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Βεβαίσο ε αθξηβήο ζέζε θαη ε κνξθή ηεο θακπύιεο δελ είλαη κνλνζήκαληα θαζνξηζκέλεο. Δπίζεο είλαη πξνθαλέο όηη ην ζεκείν Α ζην ρ. 8 πξέπεη λα αγλνεζεί, εθηόο αλ επηπξόζζεηεο κεηξήζεηο ζε απηήλ ηελ πεξηνρή δείμνπλ όηη ππάξρεη πξάγκαηη κηα απόθιηζε από ηελ θακπύιε πνπ ραξάρηεθε. ηα δύν παξαξηήκαηα πνπ αθνινπζνύλ πεξηγξάθεηαη ν ηξόπνο ππνινγηζκνύ ηεο θιίζεο κηαο επζείαο ή κηαο θακπύιεο ζε θάπνην ζεκείν θαη ε κέζνδνο ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ γηα ηελ εύξεζε ηεο θαιύηεξεο επζείαο πνπ πεξλά αλάκεζα από θάπνηα δεδνκέλα πεηξακαηηθά ζεκεία. i

26 Γ.5. ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΚΛΙΗ ΔΤΘΔΙΑ Ή ΚΑΜΠΤΛΗ Πνιύ ζπρλά, έρνληαο ραξάμεη κηα επζεία όπσο απηή πξνθύπηεη από ηα πεηξακαηηθά ζεκεία (ρ. 9(α)), ρξεηαδόκαζηε λα βξνύκε ηελ θιίζε ηεο. ηε ζρέζε y = α + βx, πνπ ππνζέηνπκε όηη ζπλδέεη ηελ αλεμάξηεηε κεηαβιεηή x κε ηελ εμαξηεκέλε y, δεηείηαη ην β. Πξνθαλώο ηζρύεη όηη dy/dx = β. Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο θιίζεο β, παίξλνπκε δύν ζεκεία Α θαη Β πάλσ ζηελ επζεία, κε ζπληεηαγκέλεο (x Α, y Α ) θαη (x Β, y Β ) ζηηο θαηάιιειεο κνλάδεο ησλ x θαη y. Ζ θιίζε δίλεηαη από ην ιόγν Οη κνλάδεο ηνπ β βξίζθνληαη από ηε ζρέζε: [κνλάδεο ηεο θιίζεο] = [κνλάδεο ηνπ y]/[κνλάδεο ηνπ x]. Γηα αθξηβέζηεξν απνηέιεζκα, ηα ζεκεία Α θαη Β πξέπεη λα απέρνπλ όζν ην δπλαηόλ πεξηζζόηεξν κεηαμύ ηνπο. Έλα ιάζνο πνπ γίλεηαη ζπρλά είλαη λα ρξεζηκνπνηνύληαη σο ζεκεία Α θαη Β δύν πεηξακαηηθά ζεκεία. Απηό έρεη σο απνηέιεζκα λα αγλννύληαη όια ηα πεηξακαηηθά ζεκεία εθηόο ησλ δύν πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ. Δπίζεο ιαλζαζκέλε είλαη ε άπνςε όηη θιίζε ηεο επζείαο είλαη ε εθζ όπνπ ζ είλαη είλαη ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία κε ηνλ άμνλα ησλ x. Απηό ηζρύεη κόλν ζηελ πεξίπησζε πνπ νη άμνλεο x θαη y έρνπλ ηηο ίδηεο κνλάδεο θαη ηηο ίδηεο θιίκαθεο θαη ζε θακκηά άιιε πεξίπησζε. Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο θιίζεο κηαο θακπύιεο ζε έλα ηεο ζεκείν (έζησ Ρ ζην ρ. 9(β)), ε δηαδηθαζία πνπ αθνινπζείηαη είλαη ε εμήο: Αθνύ ζρεδηαζηεί ε θακπύιε, ζρεδηάδνπκε κηα επζεία ΑΒ εθαπηνκέλε ηεο θακπύιεο ζην ζεκείν Ρ ζην νπνίν ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ηελ θιίζε. Ζ δεηνύκελε θιίζε (dy/dx) P είλαη ε θιίζε ηεο επζείαο ΑΒ πνπ ππνινγίδεηαη όπσο πεξηγξάςακε πην πάλσ. j

27 Γ.6. Η ΜΔΘΟΓΟ ΣΩΝ ΔΛΑΥΙΣΩΝ ΣΔΣΡΑΓΩΝΩΝ Γηα ηελ αθξηβέζηεξε εύξεζε ηεο επζείαο ή θακπύιεο πνπ αληηζηνηρεί ζε θάπνηα πεηξακαηηθά ζεκεία ρξεζηκνπνηείηαη ε κέζνδνο ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ. Θα πεξηγξάςνπκε ηε κέζνδν γηα ηελ πεξίπησζε πνπ ππνζέηνπκε κηα γξακκηθή ζρέζε κεηαμύ ησλ κεηαβιεηώλ x θαη y. Έζησ όηη ηα n πεηξακαηηθά ζεκεία (x i,y i ) έρνπλ ζρεδηαζηεί όπσο ζην ρ. Γ. 10. Τπνζέηνπκε όηη ε ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηα x θαη y είλαη ε Εεηείηαη ν πξνζδηνξηζκόο ηνπ ζεκείνπ (0, α) ζην νπνίν ε επζεία ηέκλεη ηνλ άμνλα ησλ y θαη ηεο θιίζεο β ηεο επζείαο. ηε κέζνδν πνπ ζα πεξηγξάςνπκε, ππνζέηνπκε όηη νη ηηκέο x i, είλαη γλσζηέο κε ακειεηέα ζθάικαηα θαη όηη νη απνθιίζεηο ησλ πεηξακαηηθώλ ζεκείσλ από ηελ επζεία (Δμίζσζε Γ.19) νθείινληαη ζηηο απνθιίζεηο ησλ ηηκώλ y i, από ηηο πξαγκαηηθέο. Γηα ηελ ηηκή x i ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο, ε ηηκή ηνπ y πνπ αλακέλεηαη από ηελ Δμίζσζε (Γ.19) είλαη α + βx i. Αληί απηήο, ε παξαηεξνύκελε ηηκή είλαη y i. Ζ απόθιηζε ηνπ ζεκείνπ (x i, y i ) από ηελ επζεία είλαη επνκέλσο όπσο θαίλεηαη ζην ρ. Γ.10. Απνδεηθλύεηαη ζεσξεηηθά όηη ε πηζαλόηεξε επζεία πνπ αληηζηνηρεί ζηα πεηξακαηηθά ζεκεία είλαη απηή πνπ δίλεηαη από εθείλεο ηηο ηηκέο ηνπ α θαη β πνπ ειαρηζηνπνηνύλ ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ d i γηα όια ηα πεηξακαηηθά ζεκεία. Δίλαη δειαδή k

28 Tα ζθάικαηα δα θαη δβ ησλ α θαη β κπνξνύλ επίζεο λα πξνζδηνξηζηνύλ. Έρνληαο βξεη ηηο ηηκέο ησλ α θαη β ππνινγίδνπκε ηηο απνθιίζεηο d i = y i α βx i γηα θάζε πεηξακαηηθό ζεκείν ην άζξνηζκα [d ]. Tόηε: θαη έρνπκε ηηο ηειηθέο ηηκέο α±δα θαη β±δβ. ηελ πξάμε, πξηλ εθαξκνζηεί ε κέζνδνο ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ, πξέπεη λα ζρεδηαζηνύλ ηα ζεκεία ώζηε λα δηαπηζησζεί όηη κηα γξακκηθή ζρέζε ζα ήηαλ πξάγκαηη δεθηή θαη γηα λα απνξξηθζνύλ ζεκεία πνπ ηπρόλ απνθιίλνπλ πνιύ από ηελ αλακελόκελε γξακκηθή ζρέζε. Έλα αξηζκεηηθό παξάδεηγκα ηεο εθαξκνγήο ηεο κεζόδνπ ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ δίλεηαη ζηνλ Πίλαθα V, γηα ηελ πεξίπησζε ηεο ζρέζεο y = α + βx. l

29 m

30 Γ.7. ΓΡΑΦΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟ ΤΠΟΛΟΓΙΜΟΤ ΣΩΝ ΠΑΡΑΜΔΣΡΩΝ ΜΙΑ ΔΤΘΔΙΑ ΚΑΙ ΣΩΝ ΦΑΛΜΑΣΩΝ ΣΟΤ Παξνπζηάδεηαη εδώ κηα γξαθηθή κέζνδνο, απινύζηεξε από ηε κέζνδν ησλ ειάρηζησλ ηεηξαγώλσλ, γηα ηνλ ππνινγηζκό ησλ παξακέηξσλ α θαη β ηεο επζείαο y=α + βx θαη ησλ ζθαικάησλ ηνπο, δα θαη δβ. Παξ' όιν πνπ ζηε κέζνδν απηή ππεηζέξρνληαη αξθεηέο ππνθεηκεληθέο θξίζεηο, ηα απνηειέζκαηά ηεο είλαη ηθαλνπνηεηηθά ζηηο πεξηζζόηεξεο ησλ πεξηπηώζεσλ. Θα πξέπεη όκσο λα έρνπκε ππόςε όηη νη ηηκέο ησλ ζθαικάησλ πνπ πξνθύπηνπλ κε ηε κέζνδν απηή έρνπλ αβεβαηόηεηεο ηεο ηάμεο ηνπ 50% ή θαη πεξηζζόηεξν. Έρνληαο ζρεδηάζεη ηελ θαιύηεξε επζεία γηα ηα δεδνκέλα ζεκεία, πξνζδηνξίδνπκε γξαθηθά ηελ ηηκή ηεο παξακέηξνπ α, από ηελ θιίζε ηεο επζείαο, θαη ηελ ηηκή ηεο παξακέηξνπ β, από ην ζεκείν ηνκήο ηεο επζείαο κε ηνλ άμνλα ησλ y. ηε ζπλέρεηα αθνινπζνύκε ηελ εμήο δηαδηθαζία γηα ηελ εύξεζε ησλ ζθαικάησλ απηώλ ησλ παξακέηξσλ δα θαη δβ (βι. ρ. Γ.11): 1. ρεδηάδνπκε ηελ θαιύηεξε επζεία πνπ πεξλά αλάκεζα ζε εθείλα ηα ζεκεία πνπ βξίζθνληαη πάλσ από ηελ θύξηα επζεία ζην αξηζηεξό ηεο ηκήκα θαη θάησ από απηήλ ζην δεμηό ηεο ηκήκα. Ζ επζεία πνπ ζρεδηάδνπκε έηζη έρεη εμίζσζε y= α 1 + β 1 x θαη από ηελ θιίζε ηεο θαη από ην ζεκείν ζην νπνίν απηή ηέκλεη ηνλ άμνλα ησλ y πξνζδηνξίδνπκε ηηο ηηκέο β 1 θαη α 1, αληίζηνηρα.. ρεδηάδνπκε ηελ θαιύηεξε επζεία πνπ πεξλά αλάκεζα ζε εθείλα ηα ζεκεία πνπ βξίζθνληαη θάησ από ηελ θύξηα επζεία ζην αξηζηεξό ηεο ηκήκα θαη πάλσ από απηήλ ζην δεμηό ηεο ηκήκα. Ζ επζεία πνπ ζρεδηάδνπκε έηζη έρεη εμίζσζε y= α + β x θαη, από ηελ θιίζε ηεο θαη ην ζεκείν ζην νπνίν απηή ηέκλεη ηνλ άμνλα ησλ y, πξνζδηνξίδνπκε ηηο ηηκέο β θαη α, αληίζηνηρα. Ηθαλνπνηεηηθέο εθηηκήζεηο γηα ηα ζθάικαηα ζηα α θαη β είλαη νη ηηκέο Παπάδειγμα Να βξεζνύλ νη ηηκέο ησλ παξακέηξσλ α θαη β θαη ησλ ζθαικάησλ ηνπο δα θαη δβ γηα ηελ επζεία y=α + βx ηνπ ρ. Γ.11. ην ρ. Γ.1 μαλαζρεδηάδνπκε ην ρ. Γ.11 κε αξηζκεηηθέο θιίκαθεο. ρεδηάδνπκε θαη' εθηίκεζε ηελ θαιύηεξε επζεία πνπ αληηζηνηρεί ζηα πεηξακαηηθά ζεκεία (θύξηα επζεία, β n

31 γξακκή ζην ζρήκα). ρεδηάδνπκε θαη ηηο δύν αθξαίεο επζείεο, 1 θαη ζην ζρήκα, ζύκθσλα κε ηε κέζνδν πνπ πεξηγξάςακε πην πάλσ. Δπηιέγνπκε λα βξνύκε ηηο ηεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ ησλ ηξηώλ επζεηώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο ηηκέο x= 0 θαη x = 13. Οη ηηκέο απηέο πξνζδηνξίδνληαη γξαθηθά θαη είλαη: Κύξηα επζεία: (x = 0, y=l,75) (x=13, y= 10,5) Δπζεία 1: (x=0, 7=,5) (x =13, 7=9,55) Δπζεία : (x=0, 7= 1,0) (x= 13, 7= 10,85) Θεσξνύκε όηη ηα κεγέζε απηά είλαη αδηάζηαηα θαη έηζη δελ ρξεηάδεηαη λα δώζνπκε κνλάδεο. Σα ζεκεία ηνκήο ηνπ άμνλα ησλ y είλαη επνκέλσο: α = 1,75, α 1 =,5, α =1,0 θαη νη θιίζεηο ησλ επζεηώλ: ύκθσλα κε ηηο Δμηζώζεηο (Γ.30) ηα ζθάικαηα είλαη Δπνκέλσο, ηειηθά. α=1,8±0,5 β= 0.65±0,09 o

32 p

33 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. J. Topping. Errors of Observation and their treatment. (Institute of Physics, London).. G.L. Squires. Practical Physics. (McGraw-Hill, U.K.). 3. P.R. Bevington. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences. (McGraw-Hill, N.Y.). 4. H. Young. Statistical Treatment of Experimental Data. (McGraw -Hill, N.Y.). 5. N.C. Barford. Experimental Measurements: Precision, Error and Truth. (Addison - Wesley, Reading, Mass.). 6. S.L. Meyer. Data Analysis for Scientists and Engineers. (J. Wiley and sons, N.Y.). q

34 Άζθεζε 1 Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηεο πηώζεο ζσκάησλ. 1.1 θνπόο ην πείξακα απηφ ζα πξνζδηνξίζεηε ηελ επηηάρπλζεο ηεο βαξχηεηαο κε ηε κέζνδν ηεο ειεχζεξεο πηψζεο ησλ ζσκάησλ. 1. Θεσξία Όηαλ έλα ζψκα αθεζεί ειεχζεξν λα πέζεη απφ θάπνην χςνο h γηα ρξφλν t, πέθηεη κε ζηαζεξή επηηάρπλζε g, θαη ηζρχεη ε ζρέζε Απφ ηε κέηξεζε ηνπ h θαη ηνπ t, θαη ηε ρξήζε ηεο Δμ. (1.1) είλαη δπλαηφο ν ππνινγηζκφο ηνπ g. (1.1) 1.3 Μέζνδνο Μηα απιή πεηξακαηηθή δηάηαμε γηα ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηνπ g κε ηε κέζνδν ηεο πηψζεο ησλ ζσκάησλ θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα. Ζ ζθαίξα,, ζπγθξαηείηαη απφ ηελ ειεθηξνκαγλήηε, Ζ. Όηαλ ειεπζεξσζεί, πέθηεη θαη δηαλχεη χςνο h. Ο ρξφλνο πηψζεο κεηξηέηαη κε ην ειεθηξνληθφ ρξνλφκεηξν. Με ηελ βνήζεηα κηαο ηέηνηαο δηάηαμεο, αλ ην χςνο, h, θαη ν ρξφλνο, t, κεηξεζνχλ κε έλα ζρεηηθφ ζθάικα πνπ δελ μεπεξλά ην 0.1%, ζα πεξίκελε θαλέλαο εθαξκφδνληαο ηελ Δμ. (1.1) λα βξεη ην g κε ηελ αληίζηνηρε αθξίβεηα. Τπάξρνπλ φκσο ζηνηρεία πνπ πξέπεη λα καο θάλνπλ πξνζεθηηθνχο θαη απηά είλαη: 1) Σν πείξακα δελ γίλεηαη ζην θελφ θαη πηζαλφλ ε αληίζηαζε ηνπ αέξα λα κελ είλαη ακειεηέα. ) Με ηνλ δηαθφπηε D 1 δηαθφπηνπκε ην ξεχκα απφ ηνλ ειεθηξνκαγλήηε πνπλ εμαηηίαο ηνπ ππξήλα ηνπλ παξνπζηάδεη κεγάιε απηεπαγσγή θαη ζπλεπψο ην ξεχκα ζηνλ ειεθηξνκαγλήηε δελ κεδελίδεηαη αθαξηαία, κε απνηέιεζκα λα ζπγθξαηείηαη ε ζθαίξα γηα θάπνην ρξνληθφ δηάζηεκα πνπ δελ είλαη γλσζηφ. 3) Γελ γλσξίδνπκε ηη αθξηβψο γίλεηαη ζηνλ δηαθφπηε D, πνπ αλνίγεη κε ηελ πξφζθξνπζε ηεο ζθαίξαο φηαλ πέθηεη απφ δηαθνξεηηθά χςε. 18

35 Γηα λα μεπεξαζηνχλ ηα πξνβιήκαηα πνπ αλαθέξζεθαλ παξαπάλσ, αθνινπζείηαη ε εμήο δηαδηθαζία: α) Παίξλνληαη αξθεηά δεχγε ηηκψλ h θαη t. β) Υξεζηκνπνηείηαη, αληί ηεο Δμ. (1.1), ε ηζνδχλακε (1.) γ) Με ηε βνήζεηα ησλ κεηξήζεσλ ( h,t) ραξάζζεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο h σο ζπλάξηεζε ηνπ t. Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε είλαη επζεία θαη πεξλάεη απφ ην ζεκείν (0,0) δελ ππάξρεη θαλέλα απφ ηα πξνεγνχκελα πξνβιήκαηα (1,,3). Δθηφο απφ ηε γξαθηθή κέζνδν, πνπ είλαη πνιχ επνπηηθή, κπνξεί θαλείο λα βξεη θαη ινγηζηηθά, κε ηε κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ, ηελ επζεία y = α + βx πνπ ζπλδέεη ηηο κεηαβιεηέο x = t θαη y = h 1.4 Πεηξακαηηθή Γηάηαμε Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε πεξηιακβάλεη ειεθηξνκαγλήηε, Ζ, κηα ζηδεξέληα ζθαίξα,, δηαθφπηεο start, D 1 θαη D, θαη ην ειεθηξηθφ ρξνλφκεηξν (timer), φπσο θαίλεηαη ζηελ παξαθάησ εηθφλα. Βηβιηνγξαθία 1. Μαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley. Σφκνο Η: Μεραληθή. (Αζήλα, 1978). Κεθ. 5.. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα, 010) 1.5 Δθηέιεζε 1. Σνπνζεηήζηε ηελ ζηδεξέληα ζθαίξα θάησ απφ ηνλ ειεθηξνκαγλήηε.. Μεηξήζηε ην χςνο, h, ζην νπνίν βξίζθεηαη ε ζθαίξα απφ ηελ επηθάλεηα ηνπ δηαθφπηε D. εκεηψζηε ην ζθάικα ζηε κέηξεζε ηνπ χςνπο. 19

36 3. Πηέζηε ηνλ δηαθφπηε start, νπφηε αλνίγεη ην θχθισκα ηνπ ειεθηξνκαγλήηε D 1, κε απνηέιεζκα ε ζθαίξα λα παχεη λα ζπγθξαηείηαη θαη λα πέθηεη. Σαπηφρξνλα, αλνίγεη ην θχθισκα πνπ ζέηεη ζε ιεηηνπξγία ην ρξνλφκεηξν. Μφιηο πέζεη ε ζθαίξα ζηνλ δηαθφπηε D, αλνίγεη ην θχθισκα πνπ δηαθφπηεη ηε ιεηηνπξγία ηνπ ρξνλνκέηξνπ. Ζ έλδεημε ηνπ ρξνλνκέηξνπ καο δίλεη ηνλ ρξφλν, t, πνπ δηήξθεζε ε πηψζε ηεο ζθαίξαο, ζε δεπηεξφιεπηα. 4. Καηαρσξήζηε ην απνηέιεζκα ζηνλ Πίλαθα. πκπιεξψζηε ηνλ Πίλαθα κε πέληε κεηξήζεηο ρξφλνπ γηα νθηψ δηαθνξεηηθά χςε κεηαμχ 10 θαη 100 cm. h (cm) t (s) (cm 1/ ) (s) h 1 = t 11 = 1 t 1 t 13 t 14 t 15 h = t 1 =... t h 8 = t 81 = 8... t 85 = 1.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. Υξεζηκνπνηήζηε ην κεγαιχηεξν χςνο θαη εθαξκφζηε ηελ Δμ. (1.1) γηα λα ππνινγίζεηε ην g ± δg.. Υαξάμαηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ h σο ζπλάξηεζε ηνπ t. 3. Τπνινγίζηε ηελ θιίζε ηεο επζείαο θαη απφ απηή ηελ ηηκή ηνπ g. 4. Τπνινγίζηε, κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ, ηελ επζεία y = α + βx, πνπ πεξηγξάθεη ηελ ζρέζε κεηαμχ θαη y = h. Απφ ηελ ηηκή ηεο θιίζεο, β ± δβ, λα βξεζεί ην g ± δg. Παξαηεξήζηε φηη απφ ηελ Δμ. (1.1) ηζρχεη. 0

37 Άξα ε θιίζε, β, δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν β = g. 5. Πνην ζπζηεκαηηθφ ζθάικα ππεηζέξρεηαη ζηηο κεηξήζεηο ζαο; Πψο πξνθχπηεη απφ ηελ επζεία πνπ ζρεδηάζηεθε; Πψο εμνπδεηεξψζεθε; 6. πγθξίλεηε ηηο ηηκέο πνπ βξήθαηε κε ηηο ηξεηο κεζφδνπο. 1

38 Άζθεζε Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο.1 θνπόο θνπφο ηεο άζθεζεο είλαη ν πξνζδηνξηζκφο ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξχηεηαο απφ κεηξήζεηο ηεο πεξηφδνπ ησλ ηαιαληψζεσλ ελφο θπζηθνχ εθθξεκνχο σο ζπλάξηεζεο ηεο ζέζεο ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ.. Θεσξία ρήκα.1: Α. Σν θπζηθφ εθθξεκέο. Β. Μεηαβνιή ηεο πεξηφδνπ ηνπ θπζηθνχ εθθξεκνχο ζαλ ζπλάξηεζε ηεο απφζηαζεο L ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο απφ ην θέληξν κάδαο C θαηά κήθνο κηαο επζείαο ΑΒ (βιέπε ρήκα.1α). Σν L ζεσξείηαη ζεηηθφ πξνο κηα θαηεχζπλζε πάλσ ζηελ επζεία θαη αξλεηηθφ πξνο ηελ αληίζεηε θαηεχζπλζε. Φπζηθφ εθθξεκέο είλαη θάζε ζηεξεφ ζψκα πνπ είλαη ειεχζεξν λα πεξηζηξέθεηαη θαη λα ηαιαληψλεηαη γχξσ απφ έλαλ νξηδφληην άμνλα, κε ηνλ νπνίν ην ζψκα είλαη ζηαζεξά ζπλδεδεκέλν (ρ..1α). Αλ Μ είλαη ε κάδα ηνπ ζψκαηνο, C ην θέληξν κάδαο ηνπ πνπ βξίζθεηαη ζε απφζηαζε L απφ ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο Ρ θαη ε επζεία PC ζρεκαηίδεη γσλία ζ κε ηελ θαηαθφξπθε, ηφηε ε ξνπή ηνπ βάξνπο Mg γχξσ απφ ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο είλαη (.1) φπνπ ην αξλεηηθφ πξφζεκν δείρλεη φηη ε ξνπή, N, είλαη αληίζεηε απφ ηε γσληαθή κεηαηφπηζε, ζ. Αλ I p είλαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζψκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα P ηφηε, εάλ αγλνήζνπκε ηηο δπλάκεηο ηξηβήο, ε εμίζσζε θίλεζεο ηνπ ζψκαηνο δίλεηαη απφ ηελ (.) ε νπνία είλαη κηα κε γξακκηθή δηθνξηθή εμίζσζε. Γηα κηθξέο ηηκέο ηεο ζ, έρνπκε sinζ = ζ, νπφηε ε Δμ. (.) γίλεηαη γξακκηθή δηαθνξηθή εμίζσζε, θαη ε ιχζε ηεο είλαη

39 (.3) κε πεξίνδν (.4) Απφ ην ζεψξεκα ησλ παξάιιεισλ αμφλσλ, αλ I c είλαη ε ξνπή αδξάλεηαο σο πξνο άμνλα παξάιιειν ηνπ P πνπ δηέξρεηαη απφ ην θέληξν κάδαο, ηφηε νπφηε ε Δμ. (.4) γίλεηαη (.5) φπνπ ην κήθνο (.6) είλαη ε αθηίλα αδξάλεηαο ηνπ ζψκαηνο σο πξνο άμνλα πνπ πεξλά απφ ην θέληξν κάδαο ηνπ θαη είλαη παξάιιεινο πξνο ηνλ Ρ. Αλ ζεσξήζνπκε (.7) (.8) σο ην κήθνο ηζνδχλακνπ απινχ εθθξεκνχο πνπ ζα είρε πεξίνδν ίζε κε απηή ηνπ θπζηθνχ εθθξεκνχο, ηφηε ε Δμ. (.6) γίλεηαη (.9).3 Μέζνδνο Γηα δηάθνξεο ζέζεηο ηνπ άμνλα Ρ πάλσ ζε κηα δεδνκέλε σο πξνο ην ζψκα επζεία ΑΒ, ε νπνία πεξλά απφ ηφ θέληξν κάδαο ηνπ (ρ..1 Α), ε πεξίνδνο ησλ ηαιαληψζεσλ κεηαβάιιεηαη κε ηελ απφζηαζε, L, ζχκθσλα κε ηελ Δμ. (.6) φπσο θαίλεηαη ζην ρ..1 Β. Ζ θακπχιε T(L) απνηειείηαη απφ δχν θιάδνπο ζπκκεηξηθνχο σο πξνο ην θέληξν κάδαο, γηα ην νπνίν L = 0 θαη Σ =. Έλαο θιάδνο πξνθχπηεη γηα ζεηηθέο ηηκέο ηνπ L (ζεκείν Ρ κεηαμχ C θαη Α ζην ρ..1 Α) θαη ν άιινο γηα αξλεηηθέο (ζεκείν Ρ κεηαμχ C θαη Β ζην ρ..1 Α). Αο ζεκεησζεί φηη γηα αξλεηηθέο ηηκέο ηνπ L πξέπεη λα ρξεζηκνπνηεζεί ε απφιπηε ηηκή ζηελ Δμ. (.6) γηαηί, γηα λα ππάξμνπλ ηαιαληψζεηο, πξέπεη ην θέληξν κάδαο λα είλαη ρακειφηεξα απφ ηνλ άμνλα Ρ. Γηα θάζε έλαλ απφ ηνπο δχν θιάδνπο ηεο θακπχιεο T(L) ππάξρεη έλα ειάρηζην ζηελ Σ (ζηηο απνζηάζεηο L = ± K c ). Γηα κηα νξηζκέλε πεξίνδν (π.ρ. T 0 ζην ρ..1b) αληηζηνηρνχλ ηέζζεξηο ηηκέο ηεο L (ζέζεηο ηνπ άμνλα). Γηα ηελ Σ 0 ηνπ ρ..1b απηά ηα κήθε είλαη ηα ΕΔ, ΕΓ, ΕΔ' θαη ΕΑ' ηα νπνία είλαη ξίδεο ηεο Δμ. (.6). Απφ ηηο ηδηφηεηεο ησλ ξηδψλ ηεο δεπηεξνβάζκηαο εμίζσζεο πξνθχπηεη φηη 3

40 L 0 = (ΕΔ) + (ΕΓ) = (ΕΔ ) + (ΕΓ ) = (Γ Δ) = (Δ Γ) (.10) Κ c= (ZE) (ΕΓ) = (ΕΔ ) (ΕΓ ) (.11) Ζ κέηξεζε ηεο πεξηφδνπ, Σ, γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ L, κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηνλ ππνινγηζκφ, απφ κηα θακπχιε φπσο απηή ηνπ ρ..1β, ησλ ηζνδχλακσλ κεθψλ L 0 απινχ εθθξεκνχο γηα θάζε πεξίνδν, Σ 0, απφ ηα νπνία πξνζδηνξίδεηαη ε ηηκή ηνπ g κέζσ ηεο Δμ. (.9). ηελ πξάμε, ε γξαθηθή απηή κέζνδνο δελ είλαη αξθεηά αθξηβήο θαη γη' απηφ ζα ρξεζηκνπνηεζεί κηα ηξνπνπνηεκέλε κέζνδνο αλάιπζεο ησλ κεηξήζεσλ T(L) γηα ηελ εχξεζε ηνπ g. Γηα ηνλ αθξηβέζηεξν πξνζδηνξηζκφ ηνπ g απφ ηελ Δμ. (.6) ε ζρέζε ησλ L θαη Σ ζα γξακκηθνπνηεζεί σο εμήο πνπ είλαη ηεο κνξθήο y = α + β x, φπνπ (.1) (.13) Αλ ζρεδηαζηεί ε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο y, φπσο πξνθχπηεη απφ ηηο κεηξήζεηο, ζπλαξηήζεη ηνπ x, ζα βξεζεί κηα επζεία κε θιίζε 1/g, ε νπνία ηέκλεη ηνλ άμνλα ησλ y ζην ζεκείν y = α απφ ην νπνίν, ζε ζπλδπαζκφ κε ηελ ηηκή ηνπ g πνπ πξνθχπηεη απφ ηελ θιίζε, κπνξεί λα πξνζδηνξηζηεί ε K c. Ζ κέζνδνο απηή πξνζθέξεηαη γηα εχθνιε αλάιπζε, κέ ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ..4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Σν θπζηθφ εθθξεκέο πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί είλαη κηα θπιηλδξηθή ξάβδνο απφ νξείραιθν. Μηα ραξαγή ζην κέζν ηεο ξάβδνπ ζεκεηψλεη ηε ζέζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ηεο. Ζ απφζηαζε ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο απφ ην θέληξν κάδαο ηνπ εθθξεκνχο ζα κεηξηέηαη απφ απηή ηε ραξαγή. Έλαο κεηαιιηθφο δαθηχιηνο, πνπ κπνξεί λα κεηαθηλεζεί θαη λα ζηεξεσζεί ζε νπνηνδήπνηε ζεκείν ηεο ξάβδνπ κε ην ζθίμηκν κηαο βίδαο, έρεη ζην θάησ κέξνο ηνπ κηα αθκή πνπ απνηειεί θαη ηνλ άμνλα ζηήξημεο ηεο ξάβδνπ ζε αθίλεηε βάζε. Ζ επζεία επαθήο ηεο βάζεο κε ηελ αθκή είλαη ν άμνλαο πεξηζηξνθήο ηνπ εθθξεκνχο. Ζ απφζηαζε ηνπ άμνλα απηνχ απφ ην θέληξν κάδαο ηεο ξάβδνπ είλαη ε απφζηαζε, L. Γηα ηε κέηξεζε ησλ απνζηάζεσλ, L, ρξεηάδεηαη έλα ππνδεθάκεηξν θαη γηα ηε κέηξεζε ησλ πεξηφδσλ ηαιάλησζεο έλα ρξνλφκεηξν. Βηβιηνγξαθία 1. Mαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley. Tφκνο Η: Μεραληθή. (Αζήλα, 1978). Κεθ. 7,8.. Μ. Αlonso θαη E.J.Finn. Θεκειηψδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή. Σφκνο Η: Μεραληθή θαη Θεξκνδπλακηθή (Αζήλα, 1981). Κεθ. 10,1. 3. R.A. Serway. Physics for Scientists and Engineers. Tφκνο Η: Μεραληθή. (Αζήλα, 1900). Κεθ Ζ.D. Young. Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή. Σφκνο A: Μεραληθή Θεξκνδπλακηθή. (Αζήλα, 1994). Κεθ Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα, 010) 4

41 .5 Πεηξακαηηθή Γηαδηθαζία.5.1. Παξαηεξήζεηο (α) Δθηφο απφ ην ζηάδην, γηα κεγαιχηεξε αθξίβεηα ζηε κέηξεζε ησλ πεξηφδσλ ηαιάλησζεο, ζα κεηξάηαη ν νιηθφο ρξφλνο γηα ηνπιάρηζηνλ 10 πιήξεηο ηαιαληψζεηο θαη ζα δηαηξείηαη δηα ηνπ αξηζκνχ ησλ ηαιαληψζεσλ. Ωο αξρή ηεο ηαιάλησζεο ζα ζεσξείηαη ε ζηηγκή κηαο κέγηζηεο απφθιηζεο θαη φρη φηαλ αθήλεηαη ειεχζεξν ην εθθξεκέο. Υξεηάδεηαη κεγάιε πξνζνρή ζηελ αθξηβή θαηακέηξεζε ηνπ αξηζκνχ ησλ ηαιαληψζεσλ, γηαηί απηή είλαη ε πην πηζαλή πεγή κεγάινπ ζθάικαηνο. (β) Γηα ηελ εθηίκεζε ηνπ πιάηνπο ηαιάλησζεο αλαθέξεηαη ελδεηθηηθά φηη κηα ξάβδνο κήθνπο 1 m ζρεκαηίδεη γσλία 5 κε ηελ θαηαθφξπθε, φηαλ ην έλα ηεο άθξν απέρεη απφζηαζε πεξίπνπ 9 cm απφ ηελ θαηαθφξπθε επζεία πνπ πεξλά απφ ην άιιν ηεο άθξν. Γηα 10 ε απφζηαζε απηή είλαη 17 cm, γηα 0 είλαη 34 cm θαη γηα 30 είλαη 50 cm..5.. Δθηέιεζε 1. Μεηξήζηε ην κήθνο, Ζ, θαη ηελ αθηίλα, a, ηεο ξάβδνπ θαη εθηηκήζηε ην ζθάικα αλάγλσζεο.. ηεξεψζηε ην δαθηχιην ζε απφζηαζε απφ ην θέληξν ηεο ξάβδνπ ίζε κε ην 1/0 πεξίπνπ ηνπ νιηθνχ κήθνπο ηεο ξάβδνπ. Σνπνζεηήζηε ηε ξάβδν ζηε βάζε ηεο, ψζηε λα κπνξεί λα εθηειεί ηαιαληψζεηο. Μεηξήζηε ηελ πεξίνδν κεηξψληαο ην ρξφλν κεηαμχ δχν δηαδνρηθψλ κεγίζησλ (κηα πιήξε ηαιάλησζε κφλν). Σν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο λα κελ ππεξβαίλεη ηηο 5. Δπαλαιάβεηε ηε κέηξεζε 10 ζπλνιηθά θνξέο. εκεηψζηε θαη ην ζθάικα αλάγλσζεο ηνπ ρξνλνκέηξνπ. 3. Με ηνλ άμνλα ηνπ εθθξεκνχο ζην ίδην ζεκείν φπσο ζην βήκα, κεηξήζηε ηελ πεξίνδν ηαιαληψζεσλ γηα αξρηθφ πιάηνο 5 θαη αθνινχζσο γηα αξρηθφ πιάηνο 0. Καη ζηηο δχν πεξηπηψζεηο λα κεηξεζεί ν ζπλνιηθφο ρξφλνο γηα 0 ηαιαληψζεηο γηα ηελ εχξεζε ησλ πεξηφδσλ. 4. Μεηξήζηε ηηο πεξηφδνπο ηαιάλησζεο ηνπ εθθξεκνχο γηα πιάηε κηθξφηεξα ησλ 5 θαη γηα 10 δηαθνξεηηθέο ζέζεηο ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο, αξρίδνληαο απφ έλα ζεκείν πεξίπνπ 4 cm απφ ην θέληξν κάδαο θαη ηειεηψλνληαο ζην έλα άθξν ηεο ξάβδνπ. Καηαρσξίζηε ηα απνηειέζκαηα ζε έλαλ Πίλαθα φπσο θαίλεηαη παξαθάησ. Α/Α L(m) Ν t (s) Σ (s) x=l (m ) (m s ) Οη ζηήιεο είλαη: A/A: ν αχμσλ αξηζκφο ηεο κέηξεζεο, L: ε απφζηαζε ηνπ άμνλα απφ ην θέληξν κάδαο ηεο ξάβδνπ, Ν: ν νιηθφο αξηζκφο ηαιαληψζεσλ, t: ν νιηθφο ρξφλνο γηα ηηο Ν ηαιαληψζεηο, Σ = t/n: ε πεξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο..5 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. Τπνινγίζηε ηελ ηππηθή απφθιηζε ηεο κηαο κέηξεζεο γηα ηηο 10 ηηκέο ηεο πεξηφδνπ πνπ βξέζεθαλ ζην βήκα ηεο πξνεγνχκελεο παξαγξάθνπ. Απηή ε ηηκή ζα ζεσξεζεί σο ην ηππηθφ ζθάικα δt ζηε κέηξεζε ηνπ ρξφλνπ t γηα Ν ηαιαληψζεηο θαη δίλεη, σο ζθάικα ζηελ πεξίνδν Σ, ηελ ηηκή δσ = δt/ν. 5

42 . Τπνινγίζηε ηελ πεξίνδν ηαιάλησζεο γηα πιάηνο 5 θαη γηα 0. Τπάξρεη δηαθνξά πνπ λα είλαη κεγαιχηεξε απφ ηα ζθάικαηα δσ ζηηο πεξηφδνπο; Αλ λαη, είλαη φζν πξνβιέπεηαη ζεσξεηηθά; ε πνηνπο ιφγνπο κπνξεί λα νθείιεηαη ε αζπκθσλία (αλ ππάξρεη) κεηαμχ ηεο δηαθνξάο πνπ κεηξήζεθε θαη ηεο πξνβιεπφκελεο; 3. Απφ ηηο ηηκέο ηνπ πίλαθα, ζρεδηάζηε ηε κεηαβνιή ηεο πεξηφδνπ, T, ζπλαξηήζεη ηνπ L. Απφ ηηο Δμ. (.10) ππνινγίζηε γηα 3 δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηεο πεξηφδνπ, T, ηα αληίζηνηρα κήθε ηνπ απινχ εθθξεκνχο, L 0, θαη απφ ηελ Δμ. (.9) ηελ επηηάρπλζε ηεο βαξχηεηαο, g, γηα θάζε ηηκή ηνπ Σ. Βξείηε ηε κέζε ηηκή θαη ην ζθάικα ζε απηή ηελ ηηκή ηνπ g. Τπνινγίζηε επίζεο ηελ αθηίλα αδξάλεηαο, K c, απφ ηε Δμ. (.11). 4. Απφ ηηο κεηξήζεηο ηεο πεξηφδνπ, Σ, σο ζπλάξηεζεο ηνπ L, ππνινγίζηε ηα κεγέζε x θαη y ζηνλ Πίλαθα. ρεδηάζηε ηελ θακπχιε ηνπ y σο ζπλάξηεζε ηνπ x. Δίλαη ε ζρέζε γξακκηθή φπσο πξνβιέπεη ε Δμ. (.1); Διέγμηε αλ θάπνην ζεκείν απνθιίλεη πνιχ απφ ηελ επζεία y(x) θαη αλ γη' απηφ πξέπεη λα απνξξηθζεί. Δθαξκφζηε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ζηα ζεκεία (x,y) πνπ είλαη απνδεθηά θαη πξνζδηνξίζηε ηηο ηηκέο ησλ α ± δα θαη β ± δβ. Απφ απηέο θαη ηηο Δμ. (.13) πξνζδηνξίζηε ηα κεγέζε g ± δg θαη K c ± δk c. 5. πγθξίλεηε ηηο ηηκέο ησλ g θαη K c απφ ην βήκα 3 κε απηέο ηνπ βήκαηνο 4. Πνηεο είλαη πην αμηφπηζηεο; πγθξίλεηε ηελ ηηκή g ± δg ηνπ βήκαηνο 4 κε ηελ ηηκή ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξχηεηαο ζηελ Αζήλα, g = 9,800 m/s, ε νπνία έρεη ζθάικα κηθξφηεξν απφ 0,001 m/s. πκθσλνχλ νη δχν ηηκέο κέζα ζηα φξηα ηνπ ζθάικαηνο δg; Πνηεο είλαη νη θπξηφηεξεο πεγέο ζθάικαηνο ζην απνηέιεζκά ζαο γηα ηελ επηηάρπλζε ηεο βαξχηεηαο; 6. Γηα θχιηλδξν κήθνπο Ζ θαη αθηίλαο α, βξίζθεηαη ζεσξεηηθά φηη 7. πκθσλεί ην απνηέιεζκα ζαο κε απηή ηελ ηηκή, φπσο ηελ ππνινγίδεηε απφ ηηο δηαζηάζεηο ηεο ξάβδνπ; 6

43 Άζθεζε 3 Μέηξεζε ηεο ζηαζεξάο ηεο παγθόζκηαο έιμεο, G, κε ηελ κέζνδν ηνπ Cavendish 3.1 θνπόο θνπφο ηνπ πεηξάκαηνο είλαη ε κέηξεζε ηεο παγθφζκηαο ζηαζεξάο ηεο βαξχηεηαο (παγθφζκηαο έιμεο), G, κε ηελ κέζνδν ηνπ Cavendish. Υξεζηκνπνηψληαο ηηο γλσζηέο ηηκέο γηα ηε κέζε αθηίλα ηεο Γεο, R, θαη ηελ επηηάρπλζε ηεο βαξχηεηαο, g, ζηελ επηθάλεηά ηεο, ζα ππνινγηζηεί ε κάδα θαη ε κέζε ππθλφηεηα ηεο Γεο. 3. Θεσξία χκθσλα κε ηνλ λφκν ηνπ Νεχησλα γηα ηελ παγθφζκηα έιμε, ε δχλακε, F, κεηαμχ δχν ζεκεηαθψλ καδψλ, m 1, m, πνπ βξίζθνληαη ζε απφζηαζε r, είλαη ειθηηθή, αζθείηαη θαηά κήθνο ηεο επζείαο πνπ ηηο ελψλεη θαη έρεη ηηκή ίζε κε φπνπ G είλαη ε ζηαζεξά ηεο παγθφζκηαο έιμεο. Αλ ε Γε ζεσξεζεί ζθαίξα κε αθηίλα R θαη κάδα M, ηφηε ε δχλακε πνπ αζθεί ζε ζεκεηαθή κάδα, m, θνληά ζηελ επηθάλεηά ηεο είλαη (3.1) φπνπ g είλαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξχηεηαο ζηελ επηθάλεηα ηεο Γεο. Άξα (3.) Αλ ηα G, g, R είλαη γλσζηά, ηφηε ε κάδα ηεο Γεο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν (3.3) ελψ ε κέζε ππθλφηεηα ηεο Γεο εάλ ζεσξεζεί ζαλ ζθαίξα κε φγθν (3.4) είλαη, (3.5). Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζε απηφ ην πείξακα είλαη παξφκνηα κε απηή ζηελ εξγαζία γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο κέζεο ππθλφηεηαο ηεο Γεο απφ ηνλ Cavendish ην 1798 ε νπνία ηηηινθνξήζεθε απφ ηνλ ίδην ζαλ δπγίδνληαο ηελ Γε. Δίλαη αμηνζεκείσην φηη ε ζηαζεξά ηεο παγθφζκηαο έιμεο είλαη γλσζηή κε ηελ κηθξφηεξε αθξίβεηα ζπγθξηηηθά κε άιιεο ζηαζεξέο εμαηηίαο ηεο δπζθνιίαο κέηξεζεο ησλ πνιχ αζζελψλ βαξπηηθψλ δπλάκεσλ. 7

44 ηνλ παξαθάησ Πίλαθα θαίλνληαη νη δηεζλψο απνδεθηέο ηηκέο απφ ην 1986 γηα ηα G, M, ξ. Πίλαθαο Ι ηαζεξά ηεο βαξχηεηαο G = (6,6759 0,00085) Ν m /Kg Μάδα ηεο Γεο Μ = (5, ,00075) 10 4 Kg. Μέζε ππθλφηεηα ηεο Γεο ξ = (5,515 0,001) g/cm Πεηξακαηηθή Γηάηαμε ρήκα 3.1. ρεκαηηθή αλαπαξάζηαζε ηεο ζπζθεπήο Cavendish θαη αξρή ιεηηνπξγίαο Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε απνηειείηαη απφ δπγφ ζηξέςεο κε δχν κηθξέο κνιχβδηλεο ζθαίξεο κε κάδα m ζηα άθξα ιεπηήο ξάβδνπ κήθνπο d. Σν ζχζηεκα ξάβδνπ θαη κηθξψλ ζθαηξψλ θξέκεηαη απφ ζηαζεξφ ζεκείν κε πνιχ ιεπηφ λήκα ζην νπνίν είλαη ζηεξεσκέλνο θαζξέθηεο, K, ν νπνίνο πεξηζηξέθεηαη καδί κε ην λήκα. Τπάξρνπλ επίζεο δχν κεγάιεο ζθαίξεο κε κάδα m 1 ζε βάζε πνπ κπνξεί λα πεξηζηξέθεηαη γχξσ απφ ηνλ άμνλα ηνπ δπγνχ ζηξέςεο, πεγή δέζκεο ιέηδεξ ε νπνία αλαθιψκελε ζηνλ θαζξέθηε ζρεκαηίδεη θσηεηλή θειίδα ζηελ θιίκαθα πνπ βξίζθεηαη ζε απφζηαζε L, θαη ηέινο ςεθηαθφ ρξνλφκεηξν φπσο θαίλεηαη ζην ρ

45 3.4 Μέζνδνο Όηαλ ζην ζχζηεκα ηνπ δπγνχ ζηξέςεο ησλ καδψλ m δελ αζθείηαη ξνπή, απηφ ηζνξξνπεί πάλσ ζηελ επζεία PP κε ηελ θειίδα ηνπ ιέηδεξ ζηε ζέζε O (ρ. 3.). Όηαλ νη κεγάιεο κάδεο m 1 είλαη ζηηο ζέζεηο Α, ε δχλακε ηεο παγθφζκηαο έιμεο, F g, αζθεί ξνπή ζην ζχζηεκα ηνπ δπγνχ ζηξέςεο κε ηηο κηθξέο ζθαίξεο, m 1, ην νπνίν εθηειεί απνζβελνχκελε ζηξνθηθή ηαιάλησζε ζαλ ζηξνθηθφ εθθξεκέο θαη ηζνξξνπεί ζηηο ζέζεηο Α κε ηελ θειίδα ζηε ζέζε Υ 1. Με ηηο κεγάιεο κάδεο, m 1, ζηηο ζπκκεηξηθέο ζέζεηο B, νη λέεο ζέζεηο ηζνξξνπίαο ηνπ δπγνχ ζηξέςεο θαη ησλ κηθξψλ καδψλ m είλαη νη B θαη ηεο θειίδαο ε X. Ζ γεσκεηξία ησλ δχν απηψλ ζπκκεηξηθψλ απηψλ θαηαζηάζεσλ ησλ κηθξψλ θαη κεγάισλ ζθαηξψλ ζε ηζνξξνπία θαίλεηαη ζην ρ. 3. πνπ παξνπζηάδεη ηελ θάηνςε ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο. ρήκα 3.. Κάηνςε ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο ηελ θαηάζηαζε ηζνξξνπίαο ε ζπληζηακέλε δχλακε ιφγσ ηεο βαξπηηθήο έιμεο πνπ αζθείηαη ζηηο κηθξέο ζθαίξεο, m, απφ ηηο κεγάιεο, m 1, (δηαλχζκαηα κε αξρή ην ζεκείν Α ζην ρ.3.) απνδεηθλχεηαη φηη ηζνχηαη κε (3.6) φπνπ b είλαη ε απφζηαζε ησλ θέληξσλ ησλ κηθξψλ θαη κεγάισλ ζθαηξψλ, d είλαη ε απφζηαζε ησλ καδψλ απφ ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ δπγνχ ζηξέςεο φπσο θαίλεηαη ζην ρ. 3. θαη κε β ζπκβνιίδνπκε γηα ζπληνκία ηελ έθθξαζε ζηελ παξέλζεζε. Ζ ξνπή ιφγσ ησλ δπλάκεσλ F g ηζνχηαη κε 9

46 (3.7). Λφγσ ηεο πεξηζηξνθή ηνπ ιεπηνχ λήκαηνο αζθείηαη ζην ζχζηεκα θαη ξνπή επαλαθνξάο πνπ είλαη αλάινγε ηεο γσλίαο θαηά ηελ νπνία έρεη ζηξαθεί ην ζχζηεκα απφ ηελ αξρηθή ζέζε PP θαη ηζνχηαη κε (3.8) φπνπ D είλαη ν ζπληειεζηήο ζηξέςεο ηνπ λήκαηνο (ζηαζεξφο γηα κηθξέο γσλίεο) θαη α ε γσλία θαηά ηελ νπνία έρεη ζηξαθεί ην λήκα θαη ν θαζξέθηεο άξα θαη ε ξάβδνο κε ηηο κηθξέο ζθαίξεο κεηαμχ ησλ δχν ζέζεσλ ηζνξξνπίαο Α θαη Β. H πεξηζηξνθή ηνπ θαζξέθηε θαηά γσλία α πξνθαιεί πεξηζηξνθή ηεο αλαθιψκελεο δέζκεο θαηά α, θαη ε γσλία απηή κπνξεί λα ππνινγηζηεί απφ ηε γεσκεηξία φπσο θαίλεηαη ζην ρ. 3.. Έηζη γηα κηθξέο γσλίεο ηζρχεη φηη (3.9) φπνπ S = X 1 - X είλαη ε απφζηαζε κεηαμχ ησλ ζεκείσλ Υ 1 θαη Υ πάλσ ζηελ θιίκαθα, ζηα νπνία ηζνξξνπεί ε θειίδα γηα ηηο δχν ζέζεηο ησλ κεγάισλ καδψλ, θαη L ε απφζηαζε ηεο θιίκαθαο απφ ηνλ άμνλα ηνπ δπγνχ ζηξέςεο. ε θαηάζηαζε ηζνξξνπίαο ηζρχεη φηη (3.10) Αληηθαζηζηψληαο ζηελ Δμ ηηο Δμ. (3.6), (3.7), (3.8), (3.9) θαη ιχλνληαο σο πξνο G βξίζθνπκε ηε βαζηθή ζρέζε πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε γηα ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηνπ G (3.11) Ζ ηηκή ηεο ζηαζεξάο D εμαξηάηαη απφ πνιινχο παξάγνληεο θαη ππνινγίδεηαη απφ ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ ζηξνθηθνχ εθθξεκνχο, δειαδή απφ ηελ πεξίνδν θαη ηε ξνπή αδξάλεηάο ηνπ. Ζ θίλεζε πνπ εθηειεί ν δπγφο ζηξέςεο ππφ ηελ επίδξαζε ηεο δχλακεο παγθφζκηαο έιμεο απφ ηηο κεγάιεο κάδεο είλαη ζηξνθηθή ηαιάλησζε θαη πεξηγξάθεηαη απφ ηε δηαθνξηθή εμίζσζε (3.1) φπνπ ζ είλαη ε γσλία ζηξνθήο, Η = m d είλαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δπγνχ (εάλ ζεσξήζνπκε ακειεηέα ηε κάδα ηεο ξάβδνπ πνπ ελψλεη ηηο δχν ζθαίξεο m ) θαη K είλαη ε ζηαζεξά απφζβεζεο ππεχζπλε γηα ηελ κείσζε ηνπ πιάηνπο ηεο θζίλνπζαο ηαιάλησζεο. Ζ πεξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο πνπ πεξηγξάθεηαη απφ ηελ Δμ. (3.1) δελ δηαθέξεη ζεκαληηθά απφ ηελ πεξίνδν ηεο ειεχζεξεο ηαιάλησζεο ζηξνθηθνχ εθθξεκνχο (δειαδή ρσξίο ηξηβή θαη ζηαζεξή ξνπή), ε νπνία (φπσο πξνθχπηεη απφ ηε ιχζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο) δίλεηαη απφ ηε ζρέζε Απφ ηελ Δμ. (3.13) θαη κε ρξήζε ηεο Η = m d, βξίζθνπκε (3.13) (3.14) 30

47 Απφ ηηο Δμ. (3.11) θαη (3.14) πξνθχπηεη (3.15) φπνπ (3.16) θαη (3.17) θαη s 0 είλαη ε απφζηαζε ησλ θέληξσλ ησλ ζθαηξψλ m 1 απφ ηελ επζεία PP, φπσο θαίλεηαη ζην ρ. 3.. Απφ ηελ Δμ. (3.14) γηα β 1 θαη κε αληηθαηάζηαζε ηνπ b απφ ηελ Δμ παίξλνπκε (3.18) ηελ ηειηθή απηή έθθξαζε γηα ην G ηα κεγέζε m 1, d, s 0 είλαη γλσζηά ραξαθηεξηζηηθά ηνπ δπγνχ ελψ ηα S, T θαη L πξνζδηνξίδνληαη κέζσ ηεο πεηξακαηηθήο δηαδηθαζίαο. Βηβιηνγξαθία 1. Mαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley. Tφκνο Η: Μεραληθή, Κεθ. 9 (Αζήλα, 1978).. R.A. Serway. Physics for Scientists and Engineers. Tφκνο Η: Μεραληθή, Κεθ. 14 (Αζήλα, 1900).. 3. Μ. Αlonso θαη E.J.Finn. Θεκειηώδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή. Σφκνο Η: Μεραληθή θαη Θεξκνδπλακηθή, Κεθ. 13 (Αζήλα, 1981). 4. R.P. Feymman, R.B. Leighton and M. Sands. The Feymman Lectures on Physics. Vol. 1: Ch. 7, Addison-Wesley (Reading Mass., 1965). 5. Ζ.D. Young. Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή. Σφκνο A: Μεραληθή - Θεξκνδπλακηθή, Κεθ. 1. (Αζήλα, 1994). 6. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα, 010) 3.5 Δθηέιεζε Παξαηήξεζε- Πξνζνρή Ο δπγόο ζηξέςεο είλαη πνιύ επαίζζεηε δηάηαμε θαη γηαπηό δελ πξέπεη λα ηνλ αγγίδεηε. Ζ κεηαηόπηζε ησλ κεγάισλ καδώλ πξέπεη λα γίλεηαη αξγά κε πνιύ πξνζνρή. Κάζε ρηύπεκα εθηόο από ηελ δεκηά πνπ κπνξεί λα πξνθαιέζεη δηαηαξάζζεη ηελ ηζνξξνπία ε νπνία ρξεηάδεηαη πνιύ ρξόλν λα απνθαηαζηαζεί. Αθνχ αλαγλσξίζεηε ηε δηάηαμε πνπ πεξηγξάθεηαη ζην ρ. 3.1 ζπλερίζηε ζηηο αθφινπζεο παξαηεξήζεηο 1. Σξνθνδνηήζηε ην ιέηδεξ κε ηάζε θαη βεβαησζείηε φηη ε θσηεηλή θειίδα αλαθιάηαη απφ ηνλ θαζξέθηε ζην δπγφ ζηξέςεο θαη βξίζθεηαη πάλσ ζηελ θιίκαθα. Απνθαζίζηε πνην ραξαθηεξηζηηθφ ζεκείν ηεο θειίδαο ζα ζεσξήζεηε φηη θαζνξίδεη ηελ ζέζε ηεο, X, πάλσ ζηελ θιίκαθα. Δθηηκήζηε πνην είλαη ην ζθάικα αλάγλσζεο ηεο ζέζεο ηεο θειίδαο. 31

48 . Πεξηζηξέςηε ην ζχζηεκα ησλ κεγάισλ καδψλ (κε ηελ βνήζεηα ηνπ επηβιέπνληα) ψζηε λα ηηο ηνπνζεηήζεηε ζηε ζέζε Α, ζέζηε ζε ιεηηνπξγία ην ρξνλφκεηξν θαη αξρίζηε λα θαηαγξάθεηε ηελ ζέζε ηεο θειίδαο θάζε έλα ιεπηφ ρσξίο λα ζηακαηάηε ην ρξνλφκεηξν. Παξαηεξήζηε φηη ε θειίδα θάλεη ηαιάλησζε φπσο πεξηκέλνπκε ζεσξεηηθά. πλερίζηε ηηο κεηξήζεηο έσο φηνπ λα έρεηε 4 αθξφηαηα (κέγηζηα θαη ειάρηζηα) απηφ δηαξθεί πεξίπνπ 5 ιεπηά. Με ζηακαηάηε ην ρξνλφκεηξν. 3. Μεηαηνπίζηε ηηο κεγάιεο κάδεο ζηηο ζέζεηο Β, πεξηζηξέθνληαο (κε ηε βνήζεηα ηνπ επηβιέπνληα) θαη επαλαιάβεηε ηελ θαηαγξαθή ηεο ζέζεο ηεο θειίδαο ζηελ θιίκαθα κέρξη νη κεηξήζεηο λα πεξηέρνπλ ηέζζεξα αθξφηαηα. 4. Καηαγξάςηε ηελ απφζηαζε L ± δl κεηαμχ ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ δπγνχ θαη ηνπ θεληξηθνχ ζεκείνπ ζηε θιίκαθα. (Ζ απφζηαζε απηή αλαγξάθεηαη ζε θάζε πεηξακαηηθή δηάηαμε καδί κε ην ζθάικα ηεο δl). 3.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. ρεδηάζηε (ζε κηιηκεηξέ ραξηί Α4) ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζέζεο ηεο θειίδαο Υ(t) ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ ρξφλνπ (αλακέλεηε δχν θζίλνπζεο ηαιαληψζεηο φπσο θαίλεηαη ζην ρ. 3.3). ρήκα 3.3 Γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζέζεο ηεο θειίδαο θαη έλζεηε κέζνδνο πξνζδηνξηζκνχ ηεο ζέζεο ηζνξξνπίαο ηεο θειίδαο. Δθηηκήζηε ηηο ζέζεηο ηζνξξνπίαο, Υ 1 θαη Υ, θαζψο θαη ηα ζθάικαηά ηνπο, φπσο θαίλεηαη ζηελ έλζεηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ρ Πην ζπγθεθξηκέλα, αλ H θαη H είλαη δχν δηαδνρηθά κέγηζηα ηεο X(t) θαη h ην κεηαμχ ηνπο ειάρηζην, ηφηε ε X 1 πξνζδηνξίδεηαη απφ ην εκηάζξνηζκα ησλ κέζσλ ηηκψλ Y θαη Y κε ην ζθάικα ηεο λα πξνζδηνξίδεηαη απφ ηελ εκηδηαθνξά ηνπο. Δπνκέλσο γηα ηελ πηζαλή ζέζε ηζνξξνπίαο έρνπκε 3. εκεηψλνπκε φηη ηα ζθάικαηα ησλ Υ 1, Υ δελ κπνξεί λα είλαη κηθξφηεξα απφ ην ζθάικα αλάγλσζεο ηεο θιίκαθαο. 4. Τπνινγίζηε ηελ δηαθνξά S = X 1 X ± δs. 3

49 5. Σξαβήμεηε ζην ζρήκα ζαο επζείεο πνπ λα αληηζηνηρνχλ ζηηο ηηκέο ησλ Υ 1 θαη Υ θαη πξνζδηνξίζηε ηε πεξίνδν ηαιάλησζεο, Σ, παίξλνληαο ηνπιάρηζηνλ 5 ηηκέο απφ ην ζρήκα. Ζ κέζε ηηκή ηνπο θαη ην ζθάικα ηνπο καο δίλνπλ ηελ πεξίνδν ηεο ηαιάλησζεο, T. 6. Με αληηθαηάζηαζε ζηελ Δμ. (3.18), ππνινγίζηε ηελ ηηκή ηνπ G θαη ην ζθάικα ηνπ, δg. Γίλνληαη σο γλσζηά ηα κεγέζε m 1 = 1,500 ± 0,001 Kg, d = 50,0 ± 0, mm, s 0 = 46.5±0. mm m = 15.0 ± 0.1 g, ελψ ηα ππφινηπα ηα έρεηε κεηξήζεη. εκαληηθή Παξαηήξεζε: ηνλ ππνινγηζκό ηνπ δg, απνθαζίζηε πνηα είλαη ηα ηξία κεγέζε πνπ ζπλεηζθέξνπλ πεξηζζόηεξν ζην ηειηθό ζθάικα (ππνινγίζηε ην ζρεηηθό ζθάικα ησλ κεγεζώλ πνπ ρξεζηκνπνηήζαηε ζηνλ ππνινγηζκό ηνπ G θαη απηά κε ην κεγαιύηεξν ζρεηηθό ζθάικα ζπλεηζθέξνπλ πεξηζζόηεξν ζην ζθάικα ηνπ G) θαη ζεσξήζηε όηη ηα ππόινηπα είλαη γλσζηά κε ακειεηέα ζθάικαηα. 7. Έρνληαο ηελ ηηκή ηνπ G θαη κε δεδνκέλεο ηηο ηηκέο γηα ηελ αθηίλα ηεο Γήο, R = 6370 Km θαη ηελ επηηάρπλζε ηεο βαξχηεηαο ζηελ επηθάλεηα ηεο Γεο, g = 9,81 m/s, κε ακειεηέα ζθάικαηα ζε ζχγθξηζε κε απηφ ηνπ G, ππνινγίζηε ηελ κάδα ηεο Γεο M ± δμ (Δμ. 3.4) θαη ηε κέζε ππθλφηεηά ηεο, ξ ± δξ (Δμ. 3.5). 8. πγθξίλεηε ηα απνηειέζκαηα ζαο κε απηά ηνπ Πίλαθα 3.1. Τπάξρνπλ κεγάιεο δηαθνξέο; ρνιηάζηε. Πνηεο είλαη θαηά ηελ γλψκε ζαο νη πηζαλέο πεγέο ζθάικαηνο ζηηο κεηξήζεηο ζαο. 9. Τπνινγίζηε ηελ δχλακε πνπ αζθείηαη κεηαμχ ησλ καδψλ m 1 θαη m ζε απφζηαζε s 0. Σν θιάζκα απηήο ηεο δχλακεο ζα αζθνχζε πάλσ ζηηο κάδεο m, άλζξσπνο κε κάδα Μ = 75 Kg, ζεσξνχκελε σο ζεκεηαθή, ζε απφζηαζε 0,5 m απφ ηηο m ; Απφ ην απνηέιεζκα, ηη ζπκπεξαίλεηε γηα ηελ επίδξαζε πνπ είρε ζηα απνηειέζκαηα ε παξνπζία ζαο θνληά ζηε ζπζθεπή θαηά ηε δηάξθεηα ηεο Άζθεζεο; 10. Τπνινγίζηε ηελ ηηκή ηνπ G απφ ηηο Δμ. (3.15), (3.16), (3.17) (δειαδή ρσξίο λα αγλνήζεηε ηελ επίδξαζε ηεο δεχηεξεο κεγάιεο κπάιαο ζε θάζε κία κηθξή). Έρεηε θαιχηεξε πξνζέγγηζε ηεο ηηκήο ηνπ G; 33

50 Άζθεζε 4 Πξνζδηνξηζκόο ηνπ κέηξνπ ζηξέςεο πιηθνύ κε ηε κέζνδν ηνπ ζηξνθηθνύ εθθξεκνύο 4.1 θνπόο θνπφο ηεο άζθεζεο είλαη ν πξνζδηνξηζκφο ηνπ κέηξνπ ζηξέςεο πιηθνχ κε ηε κέζνδν ηεο κειέηεο ησλ ζηξνθηθψλ ηαιαληψζεσλ ελφο ζηξνθηθνχ εθθξεκνχο. 4. Θεσξία Σα κέηξα ειαζηηθόηεηαο ηωλ ζηεξεώλ Έλα ζψκα ππφ ηελ επίδξαζε εμσηεξηθψλ δπλάκεσλ παξακνξθψλεηαη. Οη παξακνξθψζεηο απηέο, εθ φζνλ δελ ππεξβαίλνπλ νξηζκέλα φξηα, παχνπλ λα ππάξρνπλ ακέζσο κφιηο πάςνπλ λα επηδξνχλ νη δπλάκεηο, νπφηε ην ζψκα επαλέξρεηαη ζηελ αξρηθή ηνπ θαηάζηαζε. Σέηνηνπ είδνπο παξακνξθψζεηο νλνκάδνληαη ειαζηηθέο. Ζ ειαζηηθφηεηα ελφο ζψκαηνο εθδειψλεηαη: α) θαηά ηνλ εθειθπζκφ θαη ζιίςε, β) θαηά ηελ δηάηκεζε θαη ζηξέςε, γ) θαηά ηελ νκνηφκνξθε ζπκπίεζε απφ φιεο ηηο δηεπζχλζεηο. Κάζε είδνο παξακφξθσζεο ραξαθηεξίδεηαη απφ έλα κέγεζνο πνπ εμαξηάηαη απφ ην πιηθφ. Ζ ειαζηηθφηεηα ελφο ζψκαηνο δηέπεηαη απφ ην ζεκειηψδε λφκν ηνπ Hooke. Καηά ην λφκν απηφλ νη ειαζηηθέο παξακνξθψζεηο πνπ αλαπηχζζνληαη ζε έλα ζψκα είλαη αλάινγεο ησλ εμσηεξηθψλ δπλάκεσλ πνπ ηηο πξνθαινχλ, εθ φζνλ απηέο είλαη κηθξέο. ηε ζπλέρεηα ζα κειεηεζνχλ ρσξηζηά ηα ηξία είδε παξακνξθψζεσλ. α) Έζησ κηα ξάβδνο κε κήθνο l θαη δηάκεηξν r << l, ην αξηζηεξφ άθξν ηεο νπνίαο είλαη ζηεξεσκέλν, φπσο θαίλεηαη ζην ρ Ζ ξάβδνο δέρεηαη ηελ επίδξαζε κηαο δχλακεο F θαηά κήθνο ηνπ άμνλά ηεο. Καηά ηνλ εθειθπζκφ, ν λφκνο ηνπ Hooke έρεη ηελ αθφινπζε κνξθή: l F (4.1) l S ρήκα 4.1. φπνπ Γl είλαη ε επηκήθπλζε ηεο ξάβδνπ θαη S ην εκβαδφλ ηεο δηαηνκήο ηεο. Ζ Δμ. (4.1) δειψλεη φηη ε ζρεηηθή επηκήθπλζε είλαη αλάινγε πξνο ηελ ηάζε F/S πνπ ηελ πξνθαιεί. Ο ζπληειεζηήο α νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο εθειθπζκνύ ηνπ πιηθνύ ηεο ξάβδνπ. Σν κέγεζνο Δ = 1/α είλαη γλσζηφ σο κέηξν ειαζηηθόηεηαο ή κέηξν ηνπ Young. β) Καηά ηε δηάηκεζε (ρ. 4.), ζχκθσλα κε ην λφκν ηνπ Hooke, έρνπκε 34

51 ρήκα 4.. F (4.) S δειαδή ε γσλία δηάηκεζεο, θ, είλαη αλάινγε πξνο ηε δηαηκεηηθή ηάζε, F/S. Δδψ β είλαη ν ζπληειεζηήο δηάηκεζεο ή ζηξέςεο ηνπ πιηθνχ, ελψ ην αληίζηξνθφ ηνπ G = l/β, είλαη γλσζηφ σο κέηξν δηάηκεζεο ή ζηξέςεο. γ) Καηά ηελ νκνηφκνξθε ζπκπίεζε ηνπ ζψκαηνο απφ φιεο ηηο δηεπζχλζεηο, ν λφκνο ηνπ Hooke έρεη ηελ αθφινπζε κνξθή: V p (4.3) V φπνπ V είλαη ν φγθνο ηνπ ζψκαηνο, ΓV ε κεηαβνιή ηνπ φγθνπ, πνπ νθείιεηαη ζηε κεηαβνιή Γp ζηελ πίεζε, θαη θ ν ζπληειεζηήο ειαζηηθόηεηαο όγθνπ. Σν κέγεζνο Β = 1/θ ιέγεηαη κέηξν ειαζηηθόηεηαο όγθνπ. Γηα ξάβδν κε ζρεηηθά κεγάιε δηάκεηξν, κπνξεί θαλείο λα παξαηεξήζεη ηε κεηαβνιή ηεο εγθάξζηαο δηαηνκήο ηεο, Γd, πνπ ζπλνδεχεη ηελ επηκήθπλζή ηεο θαηά Γl, (ρ. 4.3). ρήκα 4.3. Γηα κηθξέο παξακνξθψζεηο ε ζρεηηθή κεηαβνιή ηεο εγθάξζηαο δηαηνκήο είλαη αλάινγε πξνο ηε ζρεηηθή επηκήθπλζε, δειαδή: d l (4.4) d l 35

52 Ο ιφγνο dd (4.5) ll είλαη γλσζηφο σο ιόγνο ηνπ Poisson. Ο ζπληειεζηήο εθειθπζκνχ, α, ν ζπληειεζηήο δηάηκεζεο, β, θαη ν ιφγνο ηνπ Poisson, κ, ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο κε ηε ζρέζε: β = α (1+ κ) (4.6) Δπνκέλσο γηα ηα ηζφηξνπα ζψκαηα αξθεί λα γλσξίδνπκε ηνπο δχν απφ ηνπο ηξεηο απηνχο ζπληειεζηέο Η θαηεπζύλνπζα ξνπή ζύξκαηνο Έζησ έλα ζχξκα κήθνπο l θαη αθηίλαο r, ην έλα άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη παθησκέλν ελψ ζην άιιν ηνπ άθξν αζθείηαη ξνπή ζηξέςεο, Μ. Ζ γσλία ζηξέςεο, θ, ηνπ ειεχζεξνπ άθξνπ είλαη αλάινγε ηεο ξνπήο ζηξέςεο θαη ηζρχεη ε ζρέζε Μ = Dθ (4.7) φπνπ ν ζπληειεζηήο D είλαη γλσζηφο σο θαηεπζχλνπζα ξνπή ηνπ ζχξκαηνο, απφ ην πιηθφ θαη ηηο δηαζηάζεηο ηνπ νπνίνπ θαη εμαξηάηαη. Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ D, ζπλαξηήζεη ησλ δηαζηάζεσλ ηνπ ζχξκαηνο θαη ηνπ κέηξνπ ζηξέςεο, G, ηνπ πιηθνχ, ην ζχξκα ζεσξείηαη φηη απνηειείηαη απφ πνιινχο πνιχ ιεπηνχο θπιηλδξηθνχο ρηηψλεο. Αο ζεσξήζνπκε έλαλ ηέηνην ρηηψλα κε αθηίλα x θαη πάρνο dx (ρ. 4.4). ρήκα

53 Αλ ζην ειεχζεξν άθξν ηνπ αζθεζεί δεχγνο δπλάκεσλ df πνπ ηζνδπλακεί κε ξνπή ζηξέςεο dm = x df, ηφηε απηφ ην άθξν ζα ζηξαθεί θαηά γσλία θ πνπ ηζνδπλακεί κε ζηξνθή ηεο γελέηεηξαο ΓΑ θαηά ηε γσλία γ. χκθσλα κε ην λφκν ηνπ Hooke (Δμ. 4.), ε γσλία γ δίλεηαη απφ ηε ζρέζε df dm dm ds xds x dx (4.8) Γηα κηθξέο γσλίεο, γ, ην ηφμν ΑΒ είλαη θαη επνκέλσο Αληηθαζηζηψληαο ηελ Δμ. (4.10) ζηελ (4.8), παίξλνπκε AB y l x (4.9) x (4.10) l dm 3 x dx (4.11) l Γηα φινπο ηνπο ρηηψλεο κε αθηίλεο κεηαμχ x = 0 θαη x = r, ε γσλία ζηξέςεο, θ, έρεη ηελ ίδηα ηηκή θαη επνκέλσο ε νιηθή ξνπή πνπ απαηηείηαη γηα ηε ζηξέςε ηνπ ζχξκαηνο είλαη M 4 r r 3 (4.1) M dm x dx 0 l 0 l Ζ θαηεπζχλνπζα ξνπή ηνπ ζχξκαηνο, D = M/θ, είλαη ή ηειηθά 4 r D l (4.13) 4 r (4.14) φπνπ G ην κέηξν ζηξέςεο ηνπ πιηθνχ ηνπ ζχξκαηνο. 4.3 Μέζνδνο Απφ ηελ Δμ. (4.14) πξνθχπηεη φηη, αλ πξνζδηνξηζηεί πεηξακαηηθά ε θαηεπζχλνπζα ξνπή ελφο ζχξκαηνο κε γλσζηέο δηαζηάζεηο, εχθνια ππνινγίδεηαη ην κέηξν ζηξέςεο ηνπ πιηθνχ ηνπ ζχξκαηνο. 37

54 ρήκα 4.5. Έηζη, αλ ην ζχζηεκα ηνπ ρ. 4.5, ζην νπνίν έλα αμνληθά ζπκκεηξηθφ ζηεξεφ ζψκα είλαη ζπλδεδεκέλν κε ην ζχξκα πνπ κειεηάηαη έηζη ψζηε ν άμνλάο ηνπ λα ζπκπίπηεη κε ην ζχξκα, ζηξαθεί θαηά γσλία θ απφ ηε ζέζε ηζνξξνπίαο, ε ξνπή επαλαθνξάο πνπ αζθεί ην ζχξκα είλαη M D (4.15) φπνπ ην αξλεηηθφ πξφζεκν δείρλεη φηη ε θνξά ηεο Μ είλαη αληίζεηε ηεο γσλίαο ζηξέςεο, θ. Αλ ην ζψκα αθεζεί λα εθηειέζεη ειεχζεξεο ζηξνθηθέο ηαιαληψζεηο, ε δηαθνξηθή εμίζσζε πνπ δηέπεη απηέο ηηο ηαιαληψζεηο είλαη d I M (4.16) dt πνπ ζεκαίλεη φηη ην γηλφκελν ηεο ξνπήο αδξαλείαο, Η, ηνπ ζψκαηνο επί ηε γσληαθή ηνπ επηηάρπλζε d θ/dt είλαη ίζν κε ηε ξνπή, Μ, πνπ αζθεί ην ζχξκα πάλσ ζην ζψκα. Δπνκέλσο απφ ηηο Δμ. (4.15) θαη (4.16), πξνθχπηεη φηη d I D 0 (4.17) dt ή d 0 (4.18) dt 38

55 φπνπ D (4.19) I είλαη ε γσληαθή ζπρλφηεηα ησλ απιψλ αξκνληθψλ ζηξνθηθψλ ηαιαληψζεσλ. Ζ ιχζε ηεο Δμ. (4.18) έρεη ηε κνξθή cos( t ) (4.0) 0 φπνπ θ 0 ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο θαη ζ κηα ζηαζεξά, γλσζηή σο ζηαζεξά θάζεο. Σα θ 0 θαη ζ εμαξηψληαη απφ ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο ηνπ ζπζηήκαηνο. Ο ρξφλνο γηα κηα πιήξε ηαιάλησζε, δειαδή ε πεξίνδνο, Σ, είλαη T I (4.1) D απφ ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο νπνίαο θαη ηε γλσζηή ηηκή ηεο ξνπήο αδξαλείαο, Η, ππνινγίδεηαη ε D θαη επνκέλσο θαη ε G. ηελ πξάμε, επεηδή ην ζχζηεκα αλάξηεζεο ηνπ ζψκαηνο έρεη πεξίπινθν γεσκεηξηθφ ζρήκα θαη ν ππνινγηζκφο ηεο νιηθήο ξνπήο αδξαλείαο, Η, είλαη πνιχ δχζθνινο, ζα ρξεζηκνπνηεζεί κηα κέζνδνο εχξεζεο ηνπ D ε νπνία δελ απαηηεί γλψζε ηνπ Η. Σν πεξηζηξεθφκελν ζψκα απνηειείηαη απφ κηα νξηδφληηα ξάβδν θαη ην ζχζηεκα αλάξηεζήο ηεο ζηα ζχξκαηα (ρ. 4.5). Γχν φζν ην δπλαηφ παλνκνηφηππεο κάδεο Μ 1 θαη Μ ηνπνζεηνχληαη πάλσ ζηε ξάβδν, ζπκκεηξηθά σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο θαη ζε απφζηαζε R απφ απηφλ. Αλ Η 0 είλαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζψκαηνο (ρσξίο ηηο κάδεο Μ 1 θαη Μ ), σο πξνο ηνλ άμνλα ηνπ ζχξκαηνο, Η 1 θαη Η είλαη νη ξνπέο αδξαλείαο ησλ Μ 1 θαη Μ αληίζηνηρα, σο πξνο άμνλεο παξάιιεινπο πξνο ην ζχξκα πνπ πεξλάλε απφ ηα θέληξα κάδαο ηνπο, ηφηε ε νιηθή ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ζχκθσλα κε ην ζεψξεκα ησλ παξαιιήισλ αμφλσλ (Steiner), I I I I M R M R (4.) Αλ Μ 1 = Μ θαη Μ 1 + Μ = Μ ελψ Η 0 + Η 1 + Η = Η, ηφηε απφ ηελ Δμ. (4.1), πνπ κπνξεί λα γξαθεί θαη σο πξνθχπηεη ηειηθά φηη T 4 I D (4.3) T I M R 4 D D (4.4) θαη επνκέλσο ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ κεγέζνπο y = T /4π σο ζπλάξηεζεο ηνπ x = R είλαη επζεία, κε θιίζε Μ/D, πνπ ηέκλεη ηνλ άμνλα ησλ y ζην ζεκείν y = Η /D. Ζ κέηξεζε ηεο πεξηφδνπ ησλ ζηξνθηθψλ ηαιαληψζεσλ γηα δηάθνξεο ηηκέο ηεο απφζηαζεο, R, θάλεη δπλαηφ ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηνπ D θαη επνκέλσο θαη ηνπ G. 4.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε 39

56 Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε απνηειείηαη απφ δχν φκνηα ζχξκαηα, ησλ νπνίσλ ην G ζέινπκε λα πξνζδηνξίζνπκε, θαη κηα νξηδφληηα ξάβδν (νδεγφ) ζηεξεσκέλε ζπκκεηξηθά σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο, φπσο θαίλεηαη ζην ρ Γχν, φζν ην δπλαηφλ φκνηεο, κάδεο Μ 1 θαη Μ κπνξνχλ λα ζηεξεσζνχλ πάλσ ζηε ξάβδν ζε δηάθνξεο απνζηάζεηο απφ ην ζχξκα. Οη πεξίνδνη ησλ ζηξνθηθψλ ηαιαληψζεσλ κεηξνχληαη κε ηε βνήζεηα ρξνλνκέηξνπ. Οη κάδεο Μ 1 θαη Μ κπνξνχλ λα αθαηξεζνχλ απφ ηνπο νδεγνχο γηα λα δπγηζηνχλ. Βηβιηνγξαθία 1. Κ. Γ. Αιεμφπνπινο. Γεληθή Φπζηθή. Σφκνο 1: Μεραληθή Αθνπζηηθή. (Αζήλα, 1953). Κεθ. 1, 10.. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα, 010). 4.5 Δθηέιεζε 1. Μεηξήζηε ηα κήθε l 1 θαη l ησλ δχν ζπξκάησλ ηεο ζπζθεπήο θαζψο θαη ηε δηάκεηξφ ηνπο r.. Αθαηξέζηε ηηο δχν κάδεο απφ ηνπο νδεγνχο ηνπο θαη δπγίζηε ηηο μερσξηζηά θαη βξείηε ηελ νιηθή ηνπο κάδα Μ. 3. Ξαλαηνπνζεηήζηε ηηο κάδεο ζηνπο νδεγνχο ηνπο ζε ίζεο απνζηάζεηο R απφ ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο θαη, πξνθαιψληαο ζηξνθηθέο ηαιαληψζεηο ζην ζχζηεκα, κεηξήζηε ην ρξφλν γηα 10 πιήξεηο ηαιαληψζεηο, πξνζδηνξίδνληαο έηζη ηελ πεξίνδν, Σ, ηεο ηαιάλησζεο. 4. Δπαλαιάβεηε ηε δηαδηθαζία γηα 10 ζπλνιηθά δηαθνξεηηθέο απνζηάζεηο R, θαηαγξάθνληαο ηηο κεηξήζεηο ζαο ζηνλ πίλαθα: A/A 1 3 R (m) 10T (s) T (s) x = R (m ) y = T /4π (s ) 4.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. ρεδηάζηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ y=t /4π σο ζπλάξηεζε ηνπ x = R.. Απνθαζίζηε αλ θάπνην πεηξακαηηθφ ζεκείν απέρεη πνιχ απφ ηελ αλακελφκελε επζεία, ψζηε λα πξέπεη λα αγλνεζεί ζηελ επεμεξγαζία πνπ ζα αθνινπζήζεη. 3. Υξεζηκνπνηήζηε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα λα βξείηε ηελ θαιχηεξε επζεία y = a + bx πνπ αληηζηνηρεί ζηα πεηξακαηηθά ζεκεία. 4. Απφ ηελ θιίζε ηεο επζείαο θαη ην ζθάικα ηεο, b ± δb, φπσο πξνθχπηνπλ απφ ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ, θαη απφ ηε ζπλνιηθή κάδα, Μ, ππνινγίζηε ηελ θαηεπζχλνπζα ξνπή ηνπ ζχξκαηνο D ± δd, δεδνκέλνπ φηη D = M/b. 5. Απφ ηελ Δμ. (4.14) θαη ηα γλσζηά D, r θαη l ππνινγίζηε ην κέηξν ζηξέςεο G ± δg ηνπ πιηθνχ ηνπ ζχξκαηνο. Λάβεηε ππφςε φηη ε ρ. (4.14) αλαθέξεηαη ζε έλα ζχξκα ηνπ νπνίνπ ην έλα άθξν είλαη παθησκέλν θαη ην άιιν ειεχζεξν, ελψ ζηε ζπζθεπή πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε ππήξραλ δχν ηέηνηα ζχξκαηα, θαη ζπλεπψο ε πεηξακαηηθά κεηξνχκελε θαηεπζχλνπζα ξνπή, D, είλαη ην άζξνηζκα ησλ θαηεπζπλνπζψλ ξνπψλ ησλ ζπξκάησλ. 40

57 Άζθεζε 5 Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή εζσηεξηθήο ηξηβήο (ημώδνπο) πγξνύ κε ηε κέζνδν ηεο πηώζεο κηθξώλ ζθαηξώλ 5.1 θνπόο θνπφο ηεο άζθεζεο είλαη ε κέηξεζε ηνπ ημψδνπο ελφο πγξνχ (ζπληειεζηήο εζσηεξηθήο ηξηβήο πγξψλ), κε ηε κέζνδν ηεο κέηξεζεο ηεο νξηθήο ηαρχηεηαο πνπ απνθηνχλ κηθξέο ζθαίξεο θαζψο πέθηνπλ κέζα ζε έλα πγξφ πνπ εξεκεί. 5. Θεσξία Καηά ηε κειέηε καθξνζθνπηθψλ ζπζηεκάησλ πνπ δελ βξίζθνληαη ζε θαηάζηαζε ηζνξξνπίαο κεγάιν θπζηθφ ελδηαθέξνλ παξνπζηάδνπλ ηα θαηλόκελα κεηαθνξάο. Ο γεληθφο απηφο φξνο αλαθέξεηαη ζε έλα πιήζνο θαηλνκέλσλ ηα νπνία ραξαθηεξίδνληαη απφ θαζαξή κεηαθνξά, είηε χιεο, είηε ελέξγεηαο, είηε νξκήο ζε καθξνζθνπηθέο πνζφηεηεο. ε απηά πεξηιακβάλνληαη ε κνξηαθή δηάρπζε, ε ζεξκηθή αγσγηκφηεηα θαη ε εζσηεξηθή ηξηβή ή ημψδεο. Ζ εζσηεξηθή ηξηβή ή ημψδεο είλαη έλα θαηλφκελν πνπ εκθαλίδεηαη ζε φια ηα άκνξθα πιηθά (αλεμάξηεηα απφ ηε θπζηθή ηνπο θαηάζηαζε) θαη θαζνξίδεη ζε κεγάιν βαζκφ ηηο κεραληθέο ηδηφηεηεο ησλ πιηθψλ. ρήκα 5.1 Θα εμεηαζηεί παξαθάησ ην θαηλφκελν ηεο εζσηεξηθήο ηξηβήο πνπ παξαηεξείηαη ζηα ξεπζηά (πγξά ή αέξηα), φηαλ κία επίπεδε πιάθα θηλείηαη πάλσ ζηελ επηθάλεηα πγξνχ κε ζηαζεξή ηαρχηεηα V, ζε χςνο h απφ ηνλ ππζκέλα (ρ. 5.1). Θεσξνχκε φηη πάλσ ζηελ πιάθα απηή αζθείηαη κηα ζηαζεξή εμσηεξηθή δχλακε, F εμ. Αθνχ ε ηαρχηεηα ηεο πιάθαο παξακέλεη ζηαζεξή, ζα πξέπεη λα αζθείηαη ζε απηήλ απφ ην πγξφ κηα δχλακε, F, ίζε θαη αληίζεηε κε ηελ F εμ. Απηή είλαη ε δύλακε εζσηεξηθήο ηξηβήο, ε πξνέιεπζε ηεο νπνίαο εμεγείηαη ακέζσο πην θάησ. 41

58 Σα ζηξψκαηα ηνπ πγξνχ πνπ γεηηνλεχνπλ άκεζα κε ηελ πιάθα θαη ηνλ ππζκέλα ηνπ δνρείνπ πνπ πεξηέρεη ην πγξφ απνθηνχλ, κε θαιή πξνζέγγηζε, ηηο αληίζηνηρεο ηαρχηεηεο ξνήο U x = V θαη U x = 0. Σα ελδηάκεζα ζηξψκαηα ηνπ πγξνχ έρνπλ ελδηάκεζεο ηαρχηεηεο ξνήο κεηαμχ V θαη 0. Δθηφο φκσο απφ ηε κεηαθνξηθή θίλεζε θαηά ηελ θαηεχζπλζε x ππάξρεη θαη ε ζεξκηθή θίλεζε ησλ κνξίσλ ηνπ πγξνχ πνπ, επνκέλσο, δελ θηλνχληαη απνθιεηζηηθά παξάιιεια πξνο ηνλ ππζκέλα. Θεσξνχκε έλα επίπεδν P θάζεην ζηνλ άμνλα y. Λφγσ ηεο ζεξκηθήο θίλεζεο κφξηα ζα δηαζρίδνπλ ζπλερψο ην επίπεδν απηφ, άιια απφ πάλσ πξνο ηα θάησ θαη άιια αληηζηξφθσο θαη θάζε κφξην έρεη επηπιένλ θαη ηελ παξάιιειε πξνο ηνλ ππζκέλα ζπληζηψζα ηεο νξκήο. Δίλαη θαλεξφ φηη ηα κφξηα πνπ δηαζρίδνπλ ην επίπεδν P απφ πάλσ πξνο ηα θάησ κεηαθέξνπλ κεγαιχηεξε νξκή απφ εθείλα πνπ θηλνχληαη αληίζεηα. Ζ νιηθή κεηαθεξφκελε νξκή είλαη βέβαηα παξάιιειε πξνο ηελ ηαρχηεηα ξνήο, δειαδή ηνλ άμνλα x, ε κεηαθνξά ηεο φκσο γίλεηαη θάζεηα πξνο απηήλ, δειαδή παξάιιεια ζηνλ άμνλα y. Έλα κφξην πνπ θηλείηαη πξνο ηα πάλσ θεξδίδεη νξκή, ελψ έλα κφξην πνπ θηλείηαη πξνο ηα θάησ ράλεη. Ζ αληαιιαγή απηή ηεο νξκήο ηζνδπλακεί κε κηα επηβξαδπληηθή δχλακε πνπ αζθνχλ ηα ρακειά ζηξψκαηα ζηα αλψηεξα θαη κε κηα επηηαρπληηθή πνπ αζθνχλ ηα αλψηεξα ζηα ρακειφηεξα. Ζ επηβξαδπληηθή δχλακε πνπ δέρνληαη ηα επηθαλεηαθά κφξηα, άξα θαη ε ίδηα ε πιάθα, είλαη ε εθαπηνκεληθή δχλακε, F, πνπ ηείλεη λα απνθαηαζηήζεη ηελ ηζνξξνπία θαη ιέγεηαη δύλακε εζσηεξηθήο ηξηβήο ή ημώδνπο. Οξίδεηαη σο ππθλόηεηα ξεύκαηνο νξκήο, J p, ε πνζφηεηα ηεο νξκήο πνπ δηαζρίδεη ζηε κνλάδα ηνπ ρξφλνπ ηε κνλάδα ηεο επηθάλεηαο πνπ είλαη παξάιιειε πξνο ηελ ηαρχηεηα ξνήο ηνπ πγξνχ, δειαδή, ζηελ πεξίπησζή καο, πξνο ηνλ άμνλα x. Πεηξακαηηθά απνδεηθλχεηαη φηη ζηελ πεξίπησζε πνπ ε βαζκίδα ηεο ηαρχηεηαο δελ είλαη κεγάιε ηζρχεη ε ζρέζε dux Jp (5.1) dy φπνπ είλαη ν ζπληειεζηήο ημώδνπο. Σν αξλεηηθφ πξφζεκν νθείιεηαη ζην φηη ε κεηαθνξά ηεο νξκήο γίλεηαη πξνο ηελ θαηεχζπλζε θαηά ηελ νπνία ε ηαρχηεηα ηνπ ξεπζηνχ ειαηηψλεηαη. Ο ζπληειεζηήο ημψδνπο ζην ζχζηεκα S.I. εθθξάδεηαη ζε kg/m.s. ηελ πξάμε ρξεζηκνπνηείηαη ην 1/10 απηήο ηεο κνλάδαο θαη ιέγεηαη Poise. Απνδεηθλχεηαη φηη ν ζπληειεζηήο εμαξηάηαη απφ ηε ζεξκνθξαζία θαη ζηα πγξά ειαηηψλεηαη φζν απμάλεη ε ζεξκνθξαζία, ελψ ζηα αέξηα απμάλεηαη. ηνλ Πίλαθα Η δίλεηαη ην ημψδεο ξεπζηψλ ζε δηαθνξεηηθέο ζεξκνθξαζίεο, ζε Poise. χκθσλα κε ηνλ δεχηεξν λφκν ηνπ Νεχησλα ν ξπζκφο κεηαβνιήο ηεο νξκήο ηζνχηαη κε ηε δχλακε πνπ ηελ πξνθαιεί θαη επεηδή, εμ νξηζκνχ, ην J p εθθξάδεη κεηαβνιή ηεο νξκήο αλά κνλάδα ρξφλνπ θαη επηθαλείαο, ζπκπεξαίλεηαη φηη ην J p είλαη ίζν κε ηε δχλακε πνπ πξνθαιεί ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο αλά κνλάδα επηθαλείαο. Έηζη ε δχλακε ηεο εζσηεξηθήο ηξηβήο δίλεηαη απφ ηε ζρέζε: dux F S (5.) dy φπνπ S ζηελ πεξίπησζή καο είλαη ην εκβαδφλ ηεο επηθάλεηαο επαθήο ηεο πιάθαο κε ην πγξφ. 4

59 Πίλαθαο Ι πληειεζηέο ημώδνπο,, ζε Poise Σ ( o C) λεξφ θαζηνξέιαην αέξαο 0 1,79 x ,71 x ,005 x 10-9,86 1,81 x ,656 x 10 -,31 1,90 x ,469 x 10-0,80,00 x ,84 x 10-0,17,18 x 10-4 Σνλίδεηαη φηη ε F είλαη αλάινγε, φρη πξνο ηελ U x αιιά πξνο ηελ du x /dy πνπ εθθξάδεη ηε κεηαβνιή ηεο U x αλά κνλάδα κήθνπο θάζεηα ζηελ θίλεζε. ηελ απινπζηεπκέλε πεξίπησζε φπνπ ε κεηαβνιή ηεο U x είλαη γξακκηθή, du x /dy y = V/h, νπφηε (ρ. 5.1) V VS Jp θαη F h h Δίλαη θαλεξφ φηη γηα λα θηλεζεί ε πιάθα κε ζηαζεξή ηαρχηεηα, V, απαηηείηαη ε θαηαλάισζε ηζρχνο 5.3 Μέζνδνο V S P FV (5.3) h Ζ ίδηα γεληθά εηθφλα κε απηήλ πνπ πεξηγξάθεθε πην πάλσ ηζρχεη θαη θαηά ηελ θίλεζε ζψκαηνο, φηαλ έλα καθξνζθνπηθφ αληηθείκελν θηλείηαη κέζα ζε ξεπζηφ πνπ εξεκεί. Πάλσ ζην αληηθείκελν αζθείηαη κία επηβξαδπληηθή δχλακε F, ε νπνία γηα κηθξέο ηαρχηεηεο ηνπ αληηθεηκέλνπ, είλαη κε θαιή πξνζέγγηζε αλάινγε απηήο ηεο ηαρχηεηαο θαη δίλεηαη απφ ηε ζρέζε F K. Ο ζπληειεζηή K εμαξηάηαη απφ ην ζρήκα ηνπ ζψκαηνο. Γηα ζθαίξα κηθξήο αθηίλαο r απνδεηθλχεηαη φηη K 6 r, νπφηε F 6 r (5.4) Ζ Δμ. (5.4) είλαη γλσζηή σο λφκνο ηνπ Stokes θαη ηζρχεη ζηελ πεξίπησζε φπνπ ζθαίξα κηθξήο αθηίλαο r θηλείηαη κε κηθξή ηαρχηεηα κέζα ζε πγξφ πνπ βξίζθεηαη ζε δνρείν απείξσλ δηαζηάζεσλ. Όηαλ κηα ζθαίξα πέθηεη κέζα ζην πγξφ ππφθεηηαη ζε ηξεηο δπλάκεηο: ην βάξνο ηεο B gv,, φπσο θαίλεηαη ζην ρ. 5.. Δδψ ηελ άλσζε A gv θαη ηε δχλακε ηεο ηξηβήο F 6 r θαη είλαη νη ππθλφηεηεο ηεο ζθαίξαο θαη ηνπ πγξνχ αληίζηνηρα, V ν φγθνο ηεο ζθαίξαο θαη g ε επηηάρπλζε ηεο βαξχηεηαο. 43

60 ρήκα 5. Ζ εμίζσζε θίλεζεο ηεο ζθαίξαο είλαη: d m Vg Vg 6 r (5.5) dx Καη επεηδή m V θαη V 4 3 ( ) r, έρνπκε: 3 d 6 r g (5.6) dt V d 9 (5.7) ή g dt r Δίλαη θαλεξφ φηη αξρηθά ε ζθαίξα επηηαρχλεηαη. Καζψο φκσο απμάλεηαη ε ηαρχηεηα απμάλεηαη θαη ε αληίζηαζε ηνπ πγξνχ θαη ζα θζάζεη θάπνηα ζηηγκή πνπ νη αζθνχκελεο ζηε ζθαίξα δπλάκεηο ζα έρνπλ κεδεληθή ζπληζηακέλε, νπφηε d dt 0 θαη ην ζψκα ζα θηλείηαη κε ζηαζεξή νξηθή ηαρχηεηα Ζ Δμ. (5.7) γξάθεηαη Όπνπ rg (5.8) 9 d dt (5.9) r 9 (5.9α) Ζ ιχζε ηεο (5.9) είλαη t / (1 e ) (5.10) 44

61 Ζ ηαρχηεηα () t θαίλεηαη ζην ρ ρήκα 5.3 Ο εθζεηηθφο φξνο κεηψλεηαη θαη θάπνηε γίλεηαη ακειεηένο. Έηζη ε ηαρχηεηα ζηαζεξνπνηείηαη ζε κία ηηκή, χζηεξα απφ ρξφλν ίζν κε κεξηθέο θνξέο ην ρξόλν απνθαηάζηαζεο, β. Δίλαη πξνθαλέο φηη αλ κεηξεζεί ε νξηθή ηαρχηεηα ηεο ζθαίξαο πνπ πέθηεη ζην πγξφ, είλαη δπλαηφλ απφ ηελ Δμ. (5.8) πνπ γξάθεηαη κε ηε κνξθή r ( ) g (5.11) 9 λα ππνινγηζηεί ην. ηηο κεηξήζεηο πνπ ζα γίλνπλ ζα ππνηεζεί φηη πιεξνχληαη νη πξνυπνζέζεηο πνπ απαηηνχληαη γηα λα ηζρχεη ε (5.11). πλήζσο ε δχλακε ηξηβήο F εμαξηάηαη πην πνιχπινθα απφ ηελ ηαρχηεηα γηα κεγάιεο ηαρχηεηεο, φηαλ ε ξνή ξεπζηνχ παχεη λα είλαη ζηξσηή θαη γίλεηαη ηπξβψδεο. Ζ αληίζηαζε ηελ νπνία ζπλαληά ε ζθαίξα θαηά ηελ πηψζε ηεο εμαξηάηαη απφ ηελ κνξθή ηεο ξνήο, πνπ εμαξηάηαη απφ ηελ ηηκή ηνπ αξηζκνχ Reynolds (Re), ν νπνίνο είλαη θαζαξφο αξηζκφο θαη ε ηηκή ηνπ είλαη ζηαζεξή γηα φιεο ηηο κεραληθά φκνηεο ξνέο. Ο αξηζκφο Reynolds (Re) δίλεηαη απφ ηελ Δμ. (5.1) φπνπ ε ηαρχηεηα ηεο ζθαίξαο, ε δηάκεηξφο ηεο, ε ππθλφηεηα ηνπ πγξνχ θαη ν ζπληειεζηήο εζσηεξηθήο ηξηβήο. 45

62 5.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε πεξηιακβάλεη: Έλα γπάιηλν ζσιήλα δηακέηξνπ 4 cm πνπ πεξηέρεη ην κειεηνχκελν πγξφ. Ο ζσιήλαο έρεη ηξεηο ραξαγέο x 1, x, x 3 (ρ. 5.4). Ππθλφκεηξν θαη ζεξκφκεηξν γηα ηε κέηξεζε ηεο ππθλφηεηαο θαη ηεο ζεξκνθξαζίαο αληίζηνηρα ηνπ πγξνχ. Υξνλφκεηξν. Τπνδεθάκεηξν. Μηθξέο ζθαίξεο. Μηθξφκεηξν. Μαγλήηε. Βηβιηνγξαθία ρήκα M. Alonso θαη E.J. Finn. Θεκειηώδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή. Σφκνο 1: Μεραληθή θαη Θεξκνδπλακηθή, Παξάγξ. 7.8, 7.9, 15.1, 15.4, 15.7 (Αζήλα 1981).. Μαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley. Σφκνο 5: ηαηηζηηθή Φπζηθή, Παξάγξ. 8.1, 8.. (Αζήλα 1978). 3. Α. Παπατσάλλνπ, Μεραληθή ησλ ξεπζηώλ, Σφκνο Η, Δθδφζεηο Γθεικπέζεο. 4. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα, 010). 5.5 Δθηέιεζε 1. Μεηξήζηε ηηο απνζηάζεηο: S 1 κεηαμχ ησλ ραξαγψλ x 1 θαη x, S κεηαμχ ησλ ραξαγψλ x θαη x 3 θαη S κεηαμχ ησλ ραξαγψλ x 1 θαη x 3. εκεηψζηε ηα ζθάικαηα αλάγλσζεο ζηηο ηηκέο απηέο. Ρίμηε κηα ζθαίξα ζην πγξφ φζν γίλεηαη πην θνληά ζην θέληξν ηνπ ζσιήλα. Μεηξήζηε ην ρξφλν πνπ θάλεη ε ζθαίξα λα δηαλχζεη ηηο απνζηάζεηο S 1 θαη S (θξνληίζηε λα απνθχγεηε ην ζθάικα παξάιιαμεο) θαη ππνινγίζηε ηηο δχν κέζεο ηαρχηεηεο γηα ηα δχν απηά δηαζηήκαηα. Διέγμηε αλ είλαη πεξίπνπ ίδηεο. Δάλ λαί, ηφηε ζε φιν δηαζηεκα S ε ζθαίξα θηλείηαη κε ζηαζεξή ηαρχηεηα, πνπ είλαη ε «Οξηαθή». 46

63 . Μεηξήζηε ηελ ππθλφηεηα θαη ηε ζεξκνθξαζία ηνπ πγξνχ. 3. Επγίζηε καδί 10 ζθαίξεο θαη δψζηε ην απνηέιεζκα ηεο δχγηζεο ζηε κνξθή m m ( m είλαη ην ζθάικα αλάγλσζεο ηνπ δπγνχ). 4. Μεηξήζηε ηελ αθηίλα r 1 κηαο ζθαίξαο ( r 1 r 1 ), ξίμηε ηε ζθαίξα ζην πγξφ θαη κεηξήζηε ην ρξφλν t 1 πνπ ρξεηάδεηαη λα δηαλχζεη ηελ απφζηαζε S κεηαμχ ησλ x 1 θαη x Δπαλαιάβεηε ην βήκα 4, θαη γηα ηηο ππφινηπεο 9 ζθαίξεο. Καηαρσξήζηε ηα απνηειέζκαηα ζε έλαλ πίλαθα. Πίλαθαο ΙΙ i 1 r i (cm) t i (s) π i (cm/s) Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Ζ αλάιπζε πνπ αθνινπζεί βαζίδεηαη ζην γεγνλφο φηη νη δηαθνξέο ζηηο αθηίλεο ησλ 10 ζθαηξψλ είλαη ζρεηηθά κηθξέο, δειαδή ηεο ηάμεο ηνπ 1%. 3. Γηα θάζε ζθαίξα, ππνινγίζηε ηελ νξηθή ηαρχηεηα i s/ ti θαη ζεκεηψζηε ηα απνηειέζκαηα ζηνλ Πίλαθα IΗ. 4. Τπνινγίζηε ηηο κέζεο ηηκέο θαη ηα ζθάικαηα ησλ αθνινχζσλ κεγεζψλ: α) ηεο αθηίλαο ησλ ζθαηξψλ, r r β) ηεο νξηθήο ηαρχηεηαο 5. Τπνινγίζηε ηελ ππθλφηεηα ησλ ζθαηξψλ απφ ηε ζρέζε m V 3 φπνπ γηα 10 ζθαίξεο είλαη V 10*(4 3) ( r). Γψζηε ην απνηέιεζκα ζηε κνξθή. (Αγλνήζηε ην ζθάικα, δr, ηεο αθηίλαο ησλ ζθαηξψλ). 6. εκεηψζηε ζε έλαλ Πίλαθα (Πίλαθαο IΗΗ) ηα ζρεηηθά ζθάικαηα (ζε %) γηα ηα αθφινπζα κεγέζε: α) αθηίλα ζθαηξψλ r, β) ππθλφηεηα πγξνχ, γ) ππθλφηεηα ζθαηξψλ, δ) νξηθή ηαρχηεηα ζθαηξψλ. 7. Τπνινγίζηε απφ ηελ Δμ. (5.11) ην ζπληειεζηή ημψδνπο,, ηνπ πγξνχ, θαη ην ζθάικα ηνπ,. ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ ιάβεηε ππφςε κφλνλ εθείλν ή εθείλα ηα κεγέζε ηα νπνία, ζχκθσλα κε ηνλ Πίλαθα IΗΗ, ζα ζπλεηζθέξνπλ ζεκαληηθά ζην ζθάικα ηεο ηειηθήο ηηκήο. Θεσξήζηε φηη g = 980 cm/s κε απφιπηε αθξίβεηα. 47

64 Άζθεζε 6 Πξνζδηνξηζκόο ηνπ ζπληειεζηή απνθαηάζηαζεο θαη ηνπ ρξόλνπ θξνύζεο δύν ζθαηξώλ 6.1 θνπόο θνπφο ηεο Άζθεζεο απηήο είλαη ε κειέηε ηεο θξνχζεο δχν ζθαηξψλ, ν πξνζδηνξηζκφο ηεο ελέξγεηαο πνπ ράλεηαη ζε απηήλ, ηνπ ζπληειεζηή απνθαηάζηαζεο ηνπ πιηθνχ ησλ ζθαηξψλ, ηεο ρξνληθήο δηάξθεηαο ηεο θξνχζεο φπσο θαη ησλ δπλάκεσλ πνπ αλαπηχζζνληαη κεηαμχ ησλ δχν φκνησλ κεηαιιηθψλ ζθαηξψλ. 6. Θεσξία Θα νξίζνπκε ηελ θξνχζε ζαλ κία εμ επαθήο θαη ρξνληθά ζχληνκε ( κs) αιιειεπίδξαζε δχν ζσκάησλ, θαηά ηελ νπνία νη ηαρχηεηεο ησλ ζσκάησλ κεηαβάιινληαη. Αλ ζηα ζπγθξνπφκελα ζψκαηα δελ αζθνχληαη εμσηεξηθέο δπλάκεηο, ηφηε ε ελέξγεηα θαη νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο δηαηεξνχληαη. ηελ παξνχζα αλάιπζε πεξηζζφηεξν ζα ζηεξηρζνχκε ζην λφκν δηαηήξεζεο ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο, ζχκθσλα κε ηνλ νπνίν ην άζξνηζκα: θηλεηηθή ελέξγεηα ζπλ δπλακηθή, δηαηεξείηαη. Ζ δηαθνξά ησλ θηλεηηθψλ ελεξγεηψλ ησλ δχν ζσκάησλ πξηλ θαη κεηά ηελ θξνχζε, θαζνξίδεη ην κέξνο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο πνπ ράλεηαη θαη κεηαηξέπεηαη ζε ζεξκφηεηα. Ζ θξνχζε ιέγεηαη ειαζηηθή φηαλ ε απψιεηα ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο είλαη κεδέλ θαη ζηηο θπζηθέο δηεξγαζίεο πξαγκαηνπνηείηαη κφλν θαηά πξνζέγγηζε. Ο ιφγνο ησλ ζρεηηθώλ ηαρπηήησλ ησλ δχν ζσκάησλ κεηά θαη πξηλ ηελ θξνχζε νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο απνθαηάζηαζεο k: u u 1 k, (6.1) 1 φπνπ u θαη π είλαη νη ηαρχηεηεο ησλ ζσκάησλ κεηά θαη πξηλ ηε θξνχζε. 6.3 Μέζνδνο Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή απνθαηάζηαζεο ην πείξακα κηα κεηαιιηθή ζθαίξα Β ζπγθξνχεηαη κε κηα φκνηα αθίλεηε ζθαίξα Α (ρ. 6.1). Έζησ φηη αγλννχληαη νη απψιεηεο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο πνπ νθείινληαη ζηελ επίδξαζε ηνπ αέξα θαη ηηο ηξηβέο ζην ζχζηεκα αλάξηεζεο ησλ δχν ζθαηξψλ. Αλ ε θξνχζε είλαη ειαζηηθή νη ζθαίξεο ζα αληαιιάμνπλ ηηο ηαρχηεηέο ηνπο, δειαδή ε ζθαίξα Β ζα αθηλεηνπνηεζεί. ε πεξίπησζε κε ειαζηηθήο θξνχζεο ε ζθαίξα Β δε ζηακαηά ηειείσο. Πξάγκαηη αλ νη ηαρχηεηεο ησλ ζθαηξψλ ιίγν πξηλ ηελ θξνχζε είλαη π Α = 0 θαη π Β = V 0 (βι. ρ. 6.1), ηφηε κεηά ηελ θξνχζε νη ζθαίξεο ζα θηλνχληαη πξνο ηα αξηζηεξά κε ηαρχηεηεο u A θαη u B, αληίζηνηρα. Απφ ην λφκν δηαηήξεζεο ηεο νξκήο θαη ηελ Δμ. (6.1) έρνπκε: u A + u B = V 0 (6.) u A u B = kv 0 (6.3) Λχλνληαο ηηο Δμ. (6.) θαη (6.3) σο πξνο u A θαη u B έρνπκε: u A V 0 (1 k ) (6.4) 48

65 u V 0 (1 k A ) (6.5) Μεηξψληαο ηηο ηαρχηεηεο u B θαη V 0 κπνξνχκε απφ ηελ Δμ. (6.5) λα ππνινγίζνπκε ην ζπληειεζηή απνθαηάζηαζεο, k. Γηα ζθαίξεο πνπ ζπγθξνχνληαη κε κηθξέο απψιεηεο (k 1), ε ηαρχηεηα u B είλαη πνιχ κηθξή θαη ζπλεπψο δχζθνια κεηξήζηκε κε ηθαλνπνηεηηθή αθξίβεηα. Ζ θαηάζηαζε βειηηψλεηαη αλ νη ζθαίξεο αθεζνχλ λα ζπγθξνπζηνχλ n θνξέο ζε κία πεηξακαηηθή δηάηαμε φπσο απηή πνπ βιέπνπκε ζην ρ Α B εκεηψλνπκε φηη ν αξηζκφο, n, πξέπεη λα είλαη δπγφο, δηφηη έηζη κεδελίδεηαη ε επίδξαζε ηεο κηθξνδηαθνξάο ζηηο κάδεο ησλ ζθαηξψλ πνπ ελδερνκέλσο λα ππάξρεη. Μεηά απφ n θξνχζεηο ε ηαρχηεηα u A (n) ηεο ζθαίξαο Α ζα είλαη πεξίπνπ n θνξέο κεγαιχηεξε απφ ηελ ηαρχηεηα, u B, ηεο ζθαίξαο Β. Μεηά ηελ πξψηε θξνχζε νη ηαρχηεηεο ησλ ζθαηξψλ είλαη u A (1) θαη u B (1) (βι. Δμ. 6.4 θαη 6.5) θαη θαηεπζχλνληαη πξνο ηα αξηζηεξά. Μεηά απφ κία εκηπεξίνδν ηεο ηαιάλησζήο ηνπο νη ζθαίξεο ζα βξεζνχλ ζηηο ζέζεηο ηζνξξνπίαο ηνπο ζρεδφλ ηαπηφρξνλα θαη ζα ζπγθξνπζηνχλ κε αξρηθέο ηαρχηεηεο u A (1) θαη u B (1). Μεηά ηε δεχηεξε θξνχζε νη ζθαίξεο ζα θηλνχληαη πξνο ηα δεμηά κε ηαρχηεηεο u A () θαη u B (). Απφ ην λφκν δηαηήξεζεο ηεο νξκήο θαη ηελ Δμ. (6.1) έρνπκε: Απφ ηηο Δμ. (6.6), (6.7) θαη (6.4), (6.5) έρνπκε: u Β () + u Α () = u A + u B (6.6) u Β () u Α () = k(u A u B ) (6.7) u A u B V () 0 (1 k ) (6.8) V () 0 (1 k ) (6.9) Δπαλαιακβάλνληαο ηελ παξαπάλσ δηαδηθαζία n θνξέο ζα έρνπκε γηα ηε n-νζηε θξνχζε: u u ρήκα 6.1 V n) (1 k ) (6.10) 0 n A( V n) (1 k ), (6.11) 0 n B( φπνπ u A (n) θαη u B (n) είλαη νη ηαρχηεηεο ησλ ζθαηξψλ Α θαη Β κεηά απφ ηελ n-νζηε θξνχζε. 49

66 Μεηξψληαο ηελ ηαρχηεηα u A (n) θαη ηελ αξρηθή ηαρχηεηα V 0 ηεο ζθαίξαο Β, απφ ηελ Δμ. (6.10) κπνξνχκε λα βξνχκε ην ζπληειεζηή απνθαηάζηαζεο, k: Μέηξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηεο ζθαίξαο k 1/ n u A( n) 1 (6.1) ην πείξακα νη ζθαίξεο ζπγθξνχνληαη φηαλ απηέο βξίζθνληαη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο, θαζψο ζηε ζέζε απηή ε ηαρχηεηα ηεο ζθαίξαο κπνξεί λα ππνινγηζηεί εχθνια απφ ηελ αξρηθή εθηξνπή s (βι. ρ. 6.). V 0 l ρήκα 6. ην ρ. 6. θαίλνληαη ε αλψηαηε θαη ε θαηψηαηε ζέζε ηεο ζθαίξαο Β φηαλ απηή ηαιαληψλεηαη ζαλ έλα εθθξεκέο. Ζ ηαρχηεηα ηεο ζθαίξαο ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο, δειαδή ιίγν πξηλ απηή ζπγθξνπζηεί κε ηε ζθαίξα Α, βξίζθεηαη απφ ην λφκν δηαηήξεζεο ηεο ελέξγεηαο θαη είλαη: Απφ ηε γεσκεηξία έρνπκε Δπνκέλσο h s υ gh (6.13) l s ( l h) lh h s h s h (6.14) l l l εκεηψλνπκε φηη ε παξαπάλσ πξνζέγγηζε δεκηνπξγεί ζθάικα κηθξφηεξν απφ 1 %, φηαλ ν δεχηεξνο φξνο ηεο Δμ. (6.14) είλαη 100 θνξέο κηθξφηεξνο ηνπ πξψηνπ: h l s 0,01 l ή h l 4 s 8l 3 s 0,01 l Απφ ηελ ηειεπηαία ζρέζε πξνθχπηεη ε αληζφηεηα: s 0,1 l ην βαζκφ πνπ ην κήθνο αλάξηεζεο l είλαη πεξίπνπ 60 cm, γηα λα ηζρχεη ε Δμ. (6.14) κε ζθάικα κηθξφηεξν απφ 1 %, ε εθηξνπή ηεο ζθαίξαο απφ ηε ζέζε ηζνξξνπίαο δελ πξέπεη λα ππεξβαίλεη ηελ ηηκή: 50

67 s 3 cm. (6.15) Με ηε ρξήζε ηεο Δμ. (6.14), ε Δμ. (6.13) απινπνηείηαη θαη παίξλεη ηε κνξθή g s (6.16) l ή s (6.17) T φπνπ Σ είλαη ε πεξίνδνο ηαιάλησζεο ηεο ζθαίξαο Β, φηαλ απηή εθηειεί ηαιαληψζεηο κηθξνύ πιάηνπο Μέηξεζε ηνπ ρξόλνπ θξνύζεο δύν ζθαηξώλ Γηα ηε κέηξεζε ηνπ ρξφλνπ θξνχζεο δχν κεηαιιηθψλ ζθαηξψλ ρξεζηκνπνηείηαη ην θχθισκα πνπ θαίλεηαη ζην ρ Ζ πεγή ηάζεο U 0 θνξηίδεη έλαλ ππθλσηή ρσξεηηθφηεηαο C (1 κf) κέζσ κηαο αληίζηαζεο R (10 kω) θαη ηνπ δηαθφπηε Γ 1, ν νπνίνο είλαη θιεηζηφο κφλν φηαλ νη ζθαίξεο είλαη ζε επαθή. Α Β U 0 Δ 1 R V ρήκα 6.3 Παξάιιεια κε ηνλ ππθλσηή είλαη ζπλδεδεκέλν έλα ςεθηαθφ βνιηφκεηξν πνπ έρεη πνιχ κεγάιε αληίζηαζε εηζφδνπ (> 10 9 Ω). Σνλ δηαθφπηε Γ ηνλ θιείλνπκε κφλν φηαλ ζέινπκε λα εθθνξηίζνπκε ηνλ ππθλσηή, δηαζθαιίδνληαο έηζη κεδεληθέο αξρηθέο ζπλζήθεο. Έζησ φηη ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 0 θιείλεη ν δηαθφπηεο Γ 1. Σφηε ε ηάζε ζηνλ ππθλσηή ζα αξρίζεη λα απμάλεη ζχκθσλα κε ην λφκν: U c 1 t / RC 0 U e. (6.18) Αλ ε θφξηηζε ηνπ ππθλσηή δηαθνπεί ηε ρξνληθή ζηηγκή t 0 θαη ν ιφγνο t 0 /RC είλαη κηθξφο (βι. ρ. 6.4), γηα παξάδεηγκα 10 -, ηφηε ε εθζεηηθή ζπλάξηεζε κπνξεί λα αληηθαηαζηαζεί κε ηνπο δχν πξψηνπο φξνπο ηεο ζεηξάο Taylor: Uc U0 (6.19) 1 t / RC t0 t0 1 e U RC! RC Έηζη ε Δμ απινπνηείηαη θαη παίξλεη ηε κνξθή t U0, (6.0) RC U c 0 θαζψο ν ηξίηνο φξνο ηεο ζεηξάο Taylor είλαη κηθξφηεξνο απφ 10-4 θαη κπνξεί λα αγλνεζεί. 51

68 U c Φφξηηζε κέζσ R = 10 kω Δθθφξηηζε κέζσ R νξγάλνπ t 0 t ρήκα 6.4 Απφ ηελ Δμ. (6.0) πξνθχπηεη φηη ζην αξρηθφ ζηάδην ηεο θφξηηζεο ε ηάζε ζηνλ ππθλσηή απμάλεη γξακκηθά, ελψ ν ρξφλνο θξνχζεο ησλ δχν κεηαιιηθψλ ζθαηξψλ είλαη U t C 0 RC U. (6.1) Σε ρξνληθή ζηηγκή t 0 πνπ ν δηαθφπηεο Γ 1 αλνίγεη, ε ηάζε ζηνλ ππθλσηή παχεη λα κεηαβάιιεηαη θαη ε έλδεημε ηνπ βνιηφκεηξνπ παγψλεη ζηελ ηηκή U c, πνπ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν (6.0). Ζ πεξαηηέξσ ρξνληθή εμέιημε ηεο ηάζεο U c εμαξηάηαη απφ ηε ζηαζεξά ρξφλνπ εθθφξηηζεο ηνπ ππθλσηή. Ζ ζηαζεξά απηή ζηε δηάηαμε ηεο Άζθεζεο είλαη αξθεηά κεγάιε (άλσ ησλ 100 s) ψζηε ε αλάγλσζε ηεο U c λα γίλεηαη άλεηα κε κηθξφ ζθάικα. 6.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε απνηειείηαη απφ δχν επηρξπζσκέλεο κεηαιιηθέο ζθαίξεο Α θαη Β (βι. ρ. 6.1 θαη 6.3). Δίλαη αλαξηεκέλεο κε 4 λήκαηα ε θαζεκηά γηα ηελ απνθπγή ηεο πεξηζηξνθήο ηνπο γχξσ απφ ηνλ θαηαθφξπθν άμνλα θαη γηα λα δηαηεξείηαη ζηαζεξφ ην επίπεδν ηαιάλησζεο. Ζ κεηαηφπηζε ησλ ζθαηξψλ απφ ηε ζέζε ηζνξξνπίαο κπνξεί λα κεηξεζεί κε ηε βνήζεηα ελφο θαλφλα, ν νπνίνο βξίζθεηαη θάησ απφ ηηο ζθαίξεο. Σελ ίδηα απνζηνιή έρεη θαη έλαο κεηαθηλνχκελνο θαηαθφξπθνο βξαρίνλαο, ν νπνίνο βνεζά ηελ αλάγλσζε ηεο κεηαηφπηζεο ηεο ζθαίξαο Β φηαλ απηή αθήλεηαη λα ζπγθξνπζηεί κε ηε ζθαίξα Α. ηα πεηξάκαηα ε ζθαίξα Α είλαη αθίλεηε, ελψ ε ζθαίξα Β εθηξέπεηαη απφ ηε ζέζε ηζνξξνπίαο θαη ζηε ζπλέρεηα αθήλεηαη λα ζπγθξνπζηεί κε ηε ζθαίξα Α. Οη ζθαίξεο Α θαη Β, φπσο θαη νη δχν ιεπηνί αγσγνί πνπ είλαη ειεθηξηθά ζπλδεδεκέλνη κε ηηο ζθαίξεο (ρ. 6.3), ζρεκαηίδνπλ έλα είδνο δηαθφπηε, ν νπνίνο θιείλεη φηαλ νη ζθαίξεο έξρνληαη ζε επαθή. Δπεηδή νη ζθαίξεο είλαη φκνηεο, ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο, φηαλ νη ζθαίξεο κφιηο εθάπηνληαη, ε απφζηαζε ησλ θέληξσλ ηνπο είλαη ίζε κε δχν αθηίλεο. Δπηπιένλ νη δχν ζθαίξεο θξέκνληαη απφ λήκαηα πνπ έρνπλ ίδην κήθνο. 0 Βηβιηνγξαθία 5

69 1. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα, 010). 6.5 Δθηέιεζε Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή απνθαηάζηαζεο 1. Απνκαθξχλεηε ηε ζθαίξα Β θαη πξνθαιέζηε ηαιαληψζεηο κηθξνύ πιάηνπο ζηε ζθαίξα А. Μεηξήζηε ην ρξφλν 0 πιήξσλ ηαιαληψζεσλ θαη βξείηε ηελ πεξίνδν, Σ, απηψλ ησλ ηαιαληψζεσλ.. Μεηαηνπίζηε ηε ζθαίξα Β ζε θάπνηα ζπγθεθξηκέλε απφζηαζε s Β (πεξίπνπ 10 cm) θαη αθήζηε ηε λα ζπγθξνπζηεί κε ηελ αθίλεηε ζθαίξα Α. 3. Μεηά ηελ εηθνζηή θξνχζε ζπγθξαηήζηε ηε ζθαίξα Β καθξπά απφ ηελ Α γηα λα ζηακαηήζνπλ νη ζπγθξνχζεηο. 4. Ζ ζθαίξα Α ζα ηαιαληψλεηαη. Μεηξήζηε ην πιάηνο s Α απηψλ ησλ ηαιαληψζεσλ. 5. Δπαλαιάβαηε ην βήκα ηξεηο θνξέο Μέηξεζε ηνπ ρξόλνπ θξνύζεο ηωλ ζθαηξώλ. 1. πλαξκνινγήζηε ην θχθισκα πνπ θαίλεηαη ζην ρ Μεηαηνπίζηε ηε ζθαίξα Β ζε απνζηάζεηο s Β απφ έσο 0 cm (6-8 κεηξήζεηο ιακβάλνληαο ππ φςε ζαο ηελ αθξίβεηα ηνπ ράξαθα). 3. Λίγν πξηλ ειεπζεξψζεηε ηε ζθαίξα Β, κεδελίζηε ηελ έλδεημε ηνπ ςεθηαθνχ βνιηνκέηξνπ, εθθνξηίδνληαο ηνλ ππθλσηή C κε ηε βνήζεηα ηνπ δηαθφπηε Γ. 4. Διεπζεξψζηε ηε ζθαίξα Β θαη κεηά ηελ θξνχζε ζπγθξαηήζηε ηε ζθαίξα Α γηα λα κε μαλαζπγθξνπζηνχλ νη ζθαίξεο. Ακέζσο παηήζηε ην θνπκπί DATA-H θαη ζηε ζπλέρεηα ζεκεηψζηε ηελ ηηκή ηεο ηάζεο ζηνλ ππθλσηή. 5. Με ην πάηεκα απηνχ ηνπ θνπκπηνχ ην βνιηφκεηξν παγψλεη ηελ ηηκή ηεο ηάζεο πνπ είρε εθείλε ηε ζηηγκή ν ππθλσηήο. 6. Δπαλαιάβαηε ην βήκα 4 ηξεηο θνξέο γηα θάζε s Β 7. Με ηε βνήζεηα ηνπ ςεθηαθνχ πνιπκέηξνπ κεηξήζηε ηηο ηηκέο U 0 θαη R ηνπ θπθιψκαηνο πνπ θαίλεηαη ζην ρ Ζ ηηκή ηεο ρσξεηηθφηεηαο ηνπ ππθλσηή, C, δίλεηαη πάλσ ζηελ θάζε ζπζθεπή. 6.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή απνθαηάζηαζεο 1. Απφ ηε ζρέζε T l g θαη απφ ηελ πεξίνδν ηαιαληψζεσλ ηεο ζθαίξαο Α, ππνινγίζηε ην ηζνδχλακν κήθνο l ηνπ καζεκαηηθνχ εθθξεκνχο.. Απφ ηελ Δμ. (6.17) βξείηε ηηο ηαρχηεηεο V 0 ηεο ζθαίξαο Β θαη u A (0) ηεο ζθαίξαο Α. 3. Τπνινγίζηε ηνλ ζπληειεζηή απνθαηάζηαζεο k. 53

70 4. Τπνινγίζηε ην πνζνζηφ ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο πνπ ράλεηαη ζε κία θξνχζε ζπλαξηήζεη ηνπ k. Γηα ηελ ηηκή ηνπ k πνπ βξήθαηε ππνινγίζηε ην πνζνζηφ απηφ Μέηξεζε ηνπ ρξόλνπ θξνύζεο ηωλ ζθαηξώλ 1. Τπνινγίζηε ηηο ηαρχηεηεο ηεο ζθαίξαο Β ( V 0 ) ηελ ψξα ηεο θξνχζεο, γηα ηα αληίζηνηρα s Β.. Απφ ηελ Δμ. (6.1) ππνινγίζηε ην ρξφλν θξνχζεο t 0 ησλ ζθαηξψλ γηα θάζε s Β. 3. ρεδηάζηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ t 0 ζπλαξηήζεη ηεο ηαρχηεηαο V Απφ ηε ζρέζε ( m ) F, t βξείηε ηε κέζε δχλακε πνπ πξνθαιεί ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηεο ζθαίξαο ζε ρξφλν Γt = t 0. Ζ κάδα ηεο θάζε ζθαίξαο ζεσξείηαη γλσζηή θαη είλαη 0,68 kg. 5. Βξείηε ηε κέζε δχλακε ζχγθξνπζεο γηα ηα δηάθνξα s Β πνπ έρεηε κεηξήζεη. 6. πκπιεξψζηε ηνλ παξαθάησ Πίλαθα: s Β (cm) U c (mv) Uc (mv) V 0 =u Β (m/s) t 0 (κs) F (N) 54

71 Άζθεζε 7 Μειέηε ησλ λόκσλ ηεο θίλεζεο κε ηε ρξήζε αεξνηξνρηάο 7.1 θνπόο ηελ παξνχζα άζθεζε ζα κειεηεζνχλ θαη ζα επηβεβαησζνχλ πεηξακαηηθά ν δεχηεξνο λφκνο ηνπ Νεχησλα θαη ε αξρή δηαηήξεζεο ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο. 7. Θεσξία - Μέζνδνο ην πξώην πείξακα ζα επηβεβαησζεί ν δεχηεξνο λφκνο ηνπ Νεχησλα, κειεηψληαο ηελ θίλεζε ελφο ζψκαηνο κε κάδα m ζε νξηδφληην επίπεδν ππφ ηελ επίδξαζε κηαο ζηαζεξήο δχλακεο F, φπσο θαίλεηαη ζην αθφινπζν ζρήκα. Ζ εμσηεξηθή δχλακε πνπ αζθείηαη ζην ζχζηεκα είλαη ην βάξνο ηεο κάδαο m a νπφηε, κέζσ ηνπ T F m T 1 T m m α a λήκαηνο, ζηε κάδα m αζθείηαη δχλακε F. Με βάζε ην δεχηεξν λφκν ηνπ Νεχησλα γηα ηελ θίλεζε ησλ καδψλ m θαη m a, δειαδή F = mγ θαη B a T = m a γ, αληίζηνηρα, θαη ιακβάλνληαο ππφςε ηελ πεξηζηξνθή ηεο ηξνραιίαο, θαηαιήγνπκε ζηελ αθφινπζε ζρέζε γηα ηελ επηηάρπλζε γ ηνπ ζπζηήκαηνο: 1 Ba (7.1) m ( m m ) T φπνπ m T είλαη ε κάδα ηεο ηξνραιίαο. Γηα δηάθνξεο ηηκέο ηεο δχλακεο B a ζα κεηξεζεί ε επηηάρπλζε γ, φηαλ ε πνζφηεηα m m a δηαηεξεζεί ζηαζεξή, θαη ηα απνηειέζκαηα ζα ζπγθξηζνχλ κε ηελ αλακελφκελε ηηκή πνπ δίλεη ε Δμ Ζ επηηάρπλζε ζα ππνινγηζηεί απφ ηε κέζε ηαρχηεηα v 1 θαη v πνπ έρεη ην ζψκα κάδαο m ζε δχν ηπραία ζεκεία Α θαη Β ηεο ηξνρηάο ηνπ, θαζψο θαη απφ ηνλ ρξφλν θίλεζήο ηνπ t 3 κεηαμχ απηψλ ησλ δχν ζεκείσλ. ην δεύηεξν πείξακα ζα επηβεβαησζεί ε αξρή δηαηήξεζεο ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο γηα έλα ζψκα πνπ θηλείηαη ζε θεθιηκέλν επίπεδν. Θα κεηξεζεί ε κέζε ηαρχηεηα v 1 θαη v ελφο ζψκαηνο κάδαο m ζε δχν ζεκεία ηεο ηξνρηάο ηνπ πνπ έρνπλ γλσζηή δηαθνξά χςνπο Γh, ψζηε λα ζπγθξηζεί ε αχμεζε ηεο θηλεηηθήο ηνπ ελέξγεηαο κε ηελ αληίζηνηρε κείσζε ηεο δπλακηθήο ηνπ ελέξγεηαο a 1 1 E k mv mv1 (7.) U mgh (7.3) 55

72 χκθσλα κε ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο ελέξγεηαο αλακέλνπκε φηη ζα ηζρχεη E k U (7.4) Παξφηη νη λφκνη πνπ ζα εμεηαζηνχλ απνηεινχλ δχν απφ ηνπο ζεκαληηθφηεξνπο λφκνπο ηεο θπζηθήο, ε πεηξακαηηθή επηβεβαίσζή ηνπο δελ είλαη απιή ππφζεζε. Ζ χπαξμε ηξηβψλ δπζρεξαίλεη ηε κειέηε ηεο θίλεζεο ησλ ζσκάησλ, θαζψο απηέο πξνθαινχλ απψιεηεο ζηελ ελέξγεηά ηνπο πνπ δελ κπνξνχλ λα ππνινγηζηνχλ εχθνια, ζπλεπψο ε πεηξακαηηθή δηάηαμε πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί πξέπεη λα πεξηνξίδεη ηηο ηξηβέο ζην ειάρηζην. 7.3 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε ηεο άζθεζεο απνηειείηαη απφ κία αεξνηξνρηά, ηα δηάθνξα εμαξηήκαηά ηεο (PASCO SF-914) θαη δχν θσηνπχιεο γηα ηελ απηφκαηε κέηξεζε ηνπ ρξφλνπ, ε κία απφ ηηο νπνίεο δηαζέηεη ρξνλφκεηξν θαη κλήκε (PASCO ME-906A θαη 915A). Ζ αεξνηξνρηά είλαη έλαο επζχο αινπκηλέληνο ζσιήλαο κήθνπο m κε νξζνγψληα δηαηνκή θαη κε πνιιέο κηθξέο ηξχπεο ζηηο δχν πάλσ πιεπξέο ηνπ ψζηε κέζα απφ απηέο λα δηέξρεηαη έλα ζηαζεξφ ξεχκα αέξα πξνεξρφκελν απφ εηδηθή δηάηαμε πνπ ηξνθνδνηεί ην έλα άθξν ηεο. Με ηελ θαηάιιειε παξνρή αέξα, εηδηθά βαγφληα κπνξνχλ λα θηλνχληαη πάλσ ζηελ 56

73 αεξνηξνρία κε ειάρηζηε ηξηβή. Σα βαγφληα είλαη θαηαζθεπαζκέλα απφ καχξν αλνδησκέλν αινπκίλην ψζηε λα είλαη δχζθακπηα θαη ζε θαζέλα απφ απηά αλαγξάθεηαη ε κάδα ηνπ. Ζ δηάηαμε είλαη θαηαζθεπαζκέλε έηζη ψζηε κεηά απφ 5 min ηξνθνδνζίαο ε αεξνηξνρηά λα είλαη επζεία κε αθξίβεηα ± 0,04 mm. ηηο δχν πάλσ πιεπξέο ηεο αεξνηξνρηάο ππάξρεη θνιιεκέλε κεηξεηηθή ηαηλία γηα λα πξνζδηνξίδεηαη ε ζέζε ησλ βαγνληψλ. Υξεηάδεηαη ηδηαίηεξε πξνζνρή ώζηε λα κελ ρηππεζνύλ θαη ραξαρζνύλ νη πάλω πιεπξέο ηεο αεξνηξνρηάο ή ηα βαγόληα, γηαηί θάζε ηέηνηα παξακόξθωζε παξεκπνδίδεη ηελ ειεύζεξε θίλεζε ηωλ βαγνληώλ. Δπηπιένλ, ε παξνρή αέξα πξέπεη λα είλαη ηέηνηα ώζηε έλα βαγόλη κόιηο λα αηωξείηαη πάλω ζηελ αεξνηξνρηά θαη λα κελ κεηαθηλείηαη ρωξίο ηελ επίδξαζε θάπνηαο δύλακεο. Ζ κέηξεζε δηάθνξσλ ρξφλσλ ζα πξαγκαηνπνηεζεί κε ηε βνήζεηα δχν θσηνππιψλ, ε αξρή ιεηηνπξγίαο ησλ νπνίσλ θαίλεηαη ζην αθφινπζν ζρήκα: Μία πεγή ππέξπζξνπ θσηφο (LED) ζηνλ έλαλ θαηαθφξπθν βξαρίνλα ηεο θσηνπχιεο εθπέκπεη ιεπηή ππέξπζξε δέζκε πνπ αληρλεχεηαη απφ αληρλεπηή ζηνλ απέλαληη βξαρίνλα, ν νπνίνο κε ηε ζεηξά ηνπ πιεξνθνξεί ηε «κνλάδα ρξνλνκέηξεζεο» φηη ε δέζκε δελ παξεκπνδίδεηαη. Όηαλ θάπνην αληηθείκελν παξεκβιεζεί ζηελ πνξεία ηεο δέζκεο, αθελφο ελεξγνπνηείηαη κία δεχηεξε LED πνπ βξίζθεηαη ζηνλ νξηδφληην βξαρίνλα ηεο θσηνπχιεο, αθεηέξνπ ν αληρλεπηήο δελ ζηέιλεη ην πξνεγνχκελν ζήκα. Ζ επεμεξγαζία ησλ ζεκάησλ ρξνλνκέηξεζεο κπνξεί λα γίλεη κε δηάθνξνπο ηξφπνπο πνπ επηιέγνληαη κε έλαλ δηαθφπηε πνπ βξίζθεηαη ζηε βάζε ηεο κίαο θσηνπχιεο. ηελ παξνχζα άζθεζε ζα ρξεζηκνπνηεζνχλ δχν απφ απηνχο θαη ζηα επφκελα ζρήκαηα θαίλεηαη ν ηξφπνο κε ηνλ νπνίν θαηαγξάθνληαη ηα ρξνληθά δηαζηήκαηα. Έλα πςειφ ζήκα ππνδεηθλχεη φηη ε ππέξπζξε δέζκε θζάλεη ζηνλ αληρλεπηή, ελψ έλα ρακειφ ζήκα αληηζηνηρεί ζηελ παξεκβνιή θάπνηνπ αληηθεηκέλνπ. Θέζε GATE: Μεηξείηαη ην ρξνληθφ δηάζηεκα θαηά ην νπνίν δηαθφπηεηαη ε ππέξπζξε δέζκε κηαο θσηνπχιεο. Έηζη, φηαλ έλα βαγφλη κε κήθνο L πεξάζεη απφ ηε θσηνπχιε θαη δηαθφςεη ηε δέζκε γηα ρξνληθφ δηάζηεκα t, κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηε κέζε ηαρχηεηά ηνπ ζηε ζέζε πνπ βξίζθεηαη ε θσηνπχιε ( v L t ). 57

74 Θέζε PULSE: Μεηξείηαη ην ρξνληθφ δηάζηεκα κεηαμχ δχν δηαδνρηθψλ δηαθνπψλ ηεο δέζκεο κηαο θσηνπχιεο, δειαδή ν ρξφλνο μεθηλά κφιηο δηαθνπεί αξρηθά ε δέζκε, ζπλερίδεη φηαλ ε δέζκε απειεπζεξσζεί θαη ζηακαηά φηαλ δηαθνπεί μαλά ε δέζκε ηεο ίδηαο (ή δεχηεξεο) θσηνπχιεο. Δπνκέλσο, κε απηή ηε ιεηηνπξγία κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ην ρξνληθφ δηάζηεκα πνπ απαηηείηαη γηα λα θηλεζεί έλα βαγφλη κεηαμχ δχν ζεκείσλ ηεο αεξνηξνρηάο φπνπ έρνπκε ηνπνζεηήζεη ηηο δχν θσηνπχιεο. ηε βάζε ηεο θσηνπχιεο κε κλήκε ππάξρεη επίζεο έλαο δηαθφπηεο επηινγήο ηεο δηαθξηηηθήο ηθαλφηεηαο ζην ρξφλν κε αθξίβεηα 1 ms ή 0,1 ms, σζηφζν θαη ζηηο δχν επηινγέο ην ζθάικα ηνπ νξγάλνπ είλαη 1%. Δπίζεο, κε ην δηαθφπηε ηεο κλήκεο MEMORY ζηε ζέζε ON κπνξνχλ λα γίλνπλ δηαδνρηθέο κεηξήζεηο δχν ρξνληθψλ δηαζηεκάησλ ζε νπνηαδήπνηε απφ ηηο δχν ιεηηνπξγίεο. Ο πξψηνο ρξφλνο (t 1 ) θαίλεηαη ακέζσο ζηελ νζφλε ηεο θσηνπχιεο. Ο δεχηεξνο ρξφλνο (t ) κεηξείηαη απηφκαηα σζηφζν δελ θαίλεηαη άκεζα. Αθνύ ζεκεησζεί ν t 1, πηέδνπκε ην δηαθφπηε ηεο κλήκεο ζηε ζέζε READ, νπφηε ζηελ νζφλε ζα εκθαληζηεί ην ζπλνιηθό δηάζηεκα t 1 + t. Με κηα απιή αθαίξεζε βξίζθνπκε ην t. Σέινο, επεηδή ε πεγή θαη ν αληρλεπηήο ηεο θσηνπχιεο έρνπλ θάπνην εχξνο, ελδέρεηαη ην πξαγκαηηθφ κήθνο ελφο βαγνληνχ λα κελ ηαπηίδεηαη κε ην ελεξγφ κήθνο πνπ αληηιακβάλεηαη ε θσηνπχιε. Γη απηφ ην ιφγν θξνληίδνπκε ην βαγφλη λα πεξλά φζν ην δπλαηφλ θνληχηεξα ζηνλ αληρλεπηή ηεο θσηνπχιεο θαη ε ηξνρηά ηνπ λα είλαη θάζεηε ζηελ ππέξπζξε δέζκε, φπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα. Διέγρνπκε επηπιένλ αλ ππάξρεη δηαθνξά κεηαμχ πξαγκαηηθνχ θαη ελεξγνχ κήθνπο. Σν ηειεπηαίν πξνζδηνξίδεηαη αλ έλα βαγφλη θηλεζεί αξγά κέζα απφ κηα θσηνπχιε (ζέζε GATE) θαη κε ηε βνήζεηα ηεο κεηξεηηθήο ηαηλίαο ηεο αεξνηξνρηάο κεηξεζεί ε απφζηαζε πνπ δηαλχεη απφ ην ζεκείν πνπ ελεξγνπνηεί ηε LED κέρξη ην ζεκείν φπνπ ζβήλεη. Αλ ην ελεξγφ κήθνο πξνθχςεη κεγαιχηεξν απφ ην πξαγκαηηθφ πξέπεη λα ρξεζηκνπνηεζεί απηφ ζηνπο ππνινγηζκνχο πνπ ζα γίλνπλ κε ηα πεηξακαηηθά δεδνκέλα. Βηβιηνγξαθία 1. Mαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley, Tφκνο Η: Μεραληθή, Κεθ. 3, ζ , 58-71, Κεθ.5 (Αζήλα, 1976).. Μ. Αlonso θαη E.J.Finn, Θεκειηώδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή. Σφκνο Η: Μεραληθή, Παξάγξ. 7.4, 7.6, 8.8, 9.7, 10.4 (Αζήλα, 1981). 3. H. Ohanian, Φπζηθή, Σφκνο Α : Μεραληθή-Θεξκνδπλακηθή, Παξάγξ. 5., 7.4, 10.1 (Αζήλα, 199). 4. Ζ.D. Young, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σφκνο A: Μεραληθή-Θεξκνδπλακηθή, Κεθ. 4 θαη 8 (Αζήλα, 1994). 5. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα, 010). 58

75 7.4 Δθηέιεζε ησλ πεηξακάησλ Ο δεύηεξνο λόκνο ηνπ Νεύηωλα 1. Δπηιέμηε κηα ηθαλνπνηεηηθή παξνρή αέξα απφ ηνλ επηινγέα ηνπ ηξνθνδνηηθνχ (ζπλήζσο αξθεί έλδεημε πεξίπνπ γηα δχν δηαηάμεηο).. Οξηδνληηψζεηε πνιχ πξνζεθηηθά (θαη κε ηε βνήζεηα ηνπ επηβιέπνληα) ηελ αεξνηξνρηά κε ηνπο δχν θνριίεο πνπ ππάξρνπλ ζην δηπιφ ππνζηήξηγκα. Ζ θπζαιίδα πνπ ππάξρεη ππνδεηθλχεη ηε ζπκκεηξηθή ζέζε ησλ πιεπξψλ ηεο αεξνηξνρηάο σο πξνο ηελ θαηαθφξπθν. Ζ αθξηβήο νξηδνληίσζε πξέπεη λα γίλεη κε ηελ ηνπνζέηεζε ελφο βαγνληνχ ζην κέζν ηεο αεξνηξνρηάο, ην νπνίν είηε ζα παξακείλεη αθίλεην είηε ζα θάλεη κηθξέο κεηαθηλήζεηο, πφηε πξνο ηε κία θαη πφηε πξνο ηελ άιιε θαηεχζπλζε, αιιά ζε θακία πεξίπησζε δελ ζα πξέπεη λα επηηαρχλεηαη ζηαζεξά πξνο θάπνηα θαηεχζπλζε. 3. πλδέζηε ηνλ αθξνδέθηε πξφζδεζεο ηνπ λήκαηνο κε έλα βαγφλη θαη αθήζηε ην βαγφλη πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά. (Ζ κάδα ηνπ αθξνδέθηε είλαη,5 ± 0,1 g θαη ε ίδηα αθξίβεηα ηζρχεη γηα φιεο ηηο κάδεο πνπ δίλνληαη.) 4. Σνπνζεηήζηε ηηο θσηνπχιεο θάζεηα ζηελ αεξνηξνρηά φπσο θαίλεηαη ζην αθφινπζν ζρήκα 5. Σεληψζηε ην λήκα θαη ξπζκίζηε ηελ απφζηαζε ησλ θσηνππιψλ έηζη ψζηε: α) ην βαγφλη λα βξίζθεηαη πξηλ ηελ 1 ε θσηνπχιε φηαλ ην άγθηζηξν εμάξηεζεο καδψλ θξέκεηαη πνιχ θνληά ζηελ ηξνραιία, β) ην άγθηζηξν λα κελ έρεη αθνπκπήζεη ζην έδαθνο πξηλ ην βαγφλη πεξάζεη εληειψο κέζα απφ ηε ε θσηνπχιε. 6. Διέγμηε αλ ην ελεξγφ κήθνο ηνπ βαγνληνχ είλαη κεγαιχηεξν απφ ην πξαγκαηηθφ θαη ζεκεηψζηε ηε κεγαιχηεξε ηηκή, L. 7. Πξνζζέζηε 40 g πάλσ ζην βαγφλη. Σα κηθξά βάξε έρνπλ κάδα 5 g θαη ηα ακέζσο κεγαιχηεξα 10 g. Σα βάξε ηνπνζεηνύληαη ζην βαγόλη ζπκκεηξηθά, δειαδή ζε θάζε πιεπξά πξέπεη λα ππάξρεη ν ίδηνο αξηζκόο βαξώλ. εκεηψζηε ζηνλ Πίλαθα 1 ηε ζπλνιηθή κάδα m. 8. Δάλ ππάξρεη ε δπλαηφηεηα, κπνξείηε λα πξνζζέζεηε κηα κάδα 5-10 g ζην άγθηζηξν εμάξηεζεο βαξψλ. εκεηψζηε ζηνλ Πίλαθα I ηε ζπλνιηθή κάδα, m a (Ζ κάδα ηνπ άγθηζηξνπ είλαη,0 g). Πίλαθαο Ι m (g) m a (g) t 1 (s) t t ) ( 1 s 59

76 9. Δπηιέμηε έλα ζεκείν εθθίλεζεο, x o, απφ ην νπνίν ζα αθήλεηε θάζε θνξά ειεχζεξν ην βαγφλη. 10. Δπηιέμηε ηνλ ηξφπν ιεηηνπξγίαο GATE γηα ηηο θσηνπχιεο, κε ηνλ δηαθφπηε ηεο κλήκεο ζηε ζέζε ON, θαη πηέζηε ην θνπκπί RESET. 11. Αθήζηε ειεχζεξν ην βαγφλη απφ ηε ζέζε x o. εκεηψζηε ζηνλ Πίλαθα Η ηνπο ρξφλνπο t 1 θαη t 1 + t, φπνπ t 1 θαη t νη ρξφλνη πνπ ρξεηάζηεθε ην βαγφλη γηα λα πεξάζεη απφ ηελ 1 ε θαη ηε ε θσηνπχιε αληίζηνηρα. Δπαλαιάβεηε απηέο ηηο κεηξήζεηο άιιε κία θνξά. 1. Δπηιέμηε ηνλ ηξφπν ιεηηνπξγίαο PULSE γηα ηηο θσηνπχιεο θαη πηέζηε ην θνπκπί RESET. 13. Αθήζηε μαλά ην βαγφλη απφ ηε ζέζε x o θαη κεηξήζηε (δχν θνξέο) ηνλ ρξφλν t 3 πνπ ρξεηάζηεθε ην βαγφλη γηα λα κεηαθηλεζεί απφ ηε κία θσηνπχιε ζηελ άιιε. 14. Μεηαθηλψληαο κάδεο απφ ην βαγφλη ζην άγθηζηξν (θξαηψληαο δειαδή ζηαζεξή ηε ζπλνιηθή θηλνχκελε κάδα), επαλαιάβεηε άιιεο ηέζζεξηο θνξέο ηηο πξνεγνχκελεο κεηξήζεηο Γηαηήξεζε ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο 1. Βεβαησζείηε φηη ε αεξνηξνρηά είλαη νξηδφληηα.. Μεηξήζηε ηελ απφζηαζε κεηαμχ ησλ ππνζηεξηγκάησλ ηεο αεξνηξνρηάο d. 3. Μεηξήζηε ην χςνο ηνπ εηδηθνχ ππνζηεξίγκαηνο h θαη ηνπνζεηήζηε ην θάησ απφ ην κνλφ ππνζηήξηγκα ηεο αεξνηξνρηάο ψζηε λα έρνπκε έλα θεθιηκέλν επίπεδν. Σνπνζεηήζηε ηηο δχν θσηνπχιεο φπσο ζην αθφινπζν ζρήκα. 4. Μεηξήζηε ηελ απφζηαζε D κεηαμχ ησλ θσηνππιψλ, δειαδή ην κήθνο θαηά ην νπνίν ην βαγφλη θηλείηαη πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά απφ ηε ζέζε φπνπ ελεξγνπνηεί ηελ 1ε θσηνπχιε κέρξη ηε ζέζε φπνπ ελεξγνπνηεί ηε ε θσηνπχιε. Παξάιιεια ειέγμηε αλ ππάξρεη δηαθνξά κεηαμχ πξαγκαηηθνχ θαη ελεξγνχ κήθνπο. 5. Αθήζηε ειεχζεξν ην βαγφλη απφ θάπνην ζεκείν ζην πάλσ άθξν ηεο αεξνηξνρηάο, επηιέγνληαο ηνλ ηξφπν ιεηηνπξγίαο GATE κε κλήκε γηα ηηο θσηνπχιεο, θαη κεηξήζηε δχν θνξέο ηνπο ρξφλνπο t 1 θαη t 1 +t, φπνπ t 1 θαη t νη ρξφλνη πνπ ρξεηάζηεθε ην βαγφλη γηα λα πεξάζεη απφ ηελ 1 ε θαη ηε ε θσηνπχιε αληίζηνηρα. 6. Πξνζζέηνληαο ζπκκεηξηθά κάδεο ζην βαγφλη, επαλαιάβεηε ηηο ίδηεο κεηξήζεηο γηα άιιεο ηέζζεξηο ηηκέο ηεο ζπλνιηθήο θηλνχκελεο κάδαο, θαηαγξάθνληαο ηηο κεηξήζεηο ζαο ζηνλ Πίλαθα ΗΗ. Πίλαθαο ΙΙ m (g) t 1 (s) t t ) ( 1 s 7. Σνπνζεηήζηε φια ηα εμαξηήκαηα ζηε ζέζε ηνπο θαη βεβαησζείηε φηη αθήλεηε ηελ πεηξακαηηθή δηάηαμε ζε θαιχηεξε θαηάζηαζε απφ εθείλε πνπ ηελ βξήθαηε. 60

77 7.5 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Ο δεύηεξνο λόκνο ηνπ Νεύηωλα 1. Με ηηο κεηξήζεηο πνπ πήξαηε ζπκπιεξψζηε ηνλ Πίλαθα ΗΗΗ, φπνπ t 1, t, t 3 νη κέζεο ηηκέο απηψλ ησλ ρξφλσλ, v 1 θαη v νη κέζεο ηαρχηεηεο ηνπ βαγνληνχ θαζψο πεξλνχζε απφ ηηο δχν θσηνπχιεο, αληίζηνηρα, θαη B a ην βάξνο ηεο ζπλνιηθήο αλαξηεκέλεο κάδαο, m a. Γηα ηελ επηηάρπλζε, γ, ηνπ βαγνληνχ λα ρξεζηκνπνηεζεί ε ζρέζε v v t t t 1 t ε νπνία πξνθχπηεη απφ ηελ έθθξαζε ( v v1 ) / t3, φηαλ νη κέζεο ηαρχηεηεο v i γξαθνχλ σο v i L voiti 1 ti, i = 1, t t i i φπνπ v oi ε αιεζηλή ζηηγκηαία ηαρχηεηα ηνπ βαγνληνχ ηε ζηηγκή πνπ εηζέξρεηαη ζηε θσηνπχιε i θαη t i ν ρξφλνο δηαθνπήο ηεο αληίζηνηρεο θσηνπχιεο. Πίλαθαο ΙΙΙ m (kg) m a (kg) t 1 (s) t (s) t 3 (s) v 1 (m/s) v (m/s) γ (m/s ) Β α (Ν) 3 1. ρεδηάζηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε γ = f (Β α ). 3. Πξνθχπηεη γξακκηθή ζρέζε; Τπνινγίζηε ηελ θιίζε, β, ηεο επζείαο. 4. πγθξίλεηε ηελ ηηκή ηεο θιίζεο κε απηήλ πνπ αλακέλνπκε απφ ηε ζεσξία (Δμ. 7.1) θαη ζρνιηάζηε. Ζ κάδα ηνπ δίζθνπ ηεο ηξνραιίαο είλαη 9 g. Μπνξνχκε λα ηελ αγλνήζνπκε; Γηαηήξεζε ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο 1. Τπνινγίζηε ην χςνο Γh θαηά ην νπνίν θαηέβεθε ην βαγφλη κεηαμχ ησλ δχν θσηνππιψλ.. πκπιεξψζηε ηνλ Πίλαθα IV, φπνπ t 1, t νη κέζεο ηηκέο ησλ ρξφλσλ, v 1 θαη v νη κέζεο ηαρχηεηεο ηνπ βαγνληνχ θαζψο πεξλνχζε απφ ηηο δχν θσηνπχιεο, Δ θ1 θαη Δ θ νη αληίζηνηρεο θηλεηηθέο ελέξγεηεο, ΓΔ θ θαη ΓU ε κεηαβνιή ηεο θηλεηηθήο θαη ηεο δπλακηθήο ελέξγεηαο, αληίζηνηρα. m (kg) Πίλαθαο IV t 1 (s) t (s) v 1 (m/s) v (m/s) Δ θ1 (J) Δ θ (J) ΓΔ θ (J) ΓU (J) 3. ρεδηάζηε ηε κεηαβνιή, ΓΔ θ, ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο σο ζπλάξηεζε ηεο ΓU. Γηαηεξήζεθε ε κεραληθή ελέξγεηα; 4. Τπάξρεη ελδερνκέλσο θάπνην ζπζηεκαηηθφ ζθάικα πνπ κπνξεί λα επεξέαζε θάπνην (ή θαη ηα δχν) απφ ηα πεηξάκαηα; 61

78 Άζθεζε 8 Δμάξηεζε ηεο αληίζηαζεο αγσγνύ από ηε ζεξκνθξαζία 8.1 θνπόο ηελ άζθεζε απηή πξνζδηνξίδεηαη ε θακπχιε ηεο εμάξηεζεο ηεο αληίζηαζεο ηνπ βνιθξακίνπ απφ ηε ζεξκνθξαζία θαη ππνινγίδεηαη ν ζεξκηθφο ζπληειεζηήο αληίζηαζεο ηνπ βνιθξακίνπ ζηηο πςειέο ζεξκνθξαζίεο. Παξάιιεια δίλεηαη ε δπλαηφηεηα ζηνλ ζπνπδαζηή λα κειεηήζεη πνηνηηθά ην θαηλφκελν ηεο ηζρχνο πνπ αθηηλνβνιείηαη απφ έλα ζηεξεφ ζε ζπλάξηεζε κε ηε ζεξκνθξαζία ηνπ. 8. Θεσξία Μεηαβνιή ηεο αληίζηαζεο κε ηε ζεξκνθξαζία Δίλαη γλσζηφ φηη ε αληίζηαζε ελφο αγσγνχ εμαξηάηαη απφ ηα γεσκεηξηθά ηνπ ζηνηρεία θαη δίλεηαη απφ ηε ζρέζε R = ξ L/S, φπνπ L είλαη ην κήθνο ηνπ αγσγνχ, S ε επηθάλεηα ηεο δηαηνκήο ηνπ θαη ξ ε εηδηθή αληίζηαζε πνπ εμαξηάηαη απφ ηε θχζε ηνπ πιηθνχ θαη ηε ζεξκνθξαζία. Ζ ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηελ αληίζηαζε ελφο αγσγνχ κε ηε ζεξκνθξαζία έρεη ηε κνξθή: R ζ = R 0 (1 + αζ) (8.1) φπνπ α είλαη ν ζεξκηθφο ζπληειεζηήο αληίζηαζεο, ζ ε ζεξκνθξαζία θαη R 0 ε ηηκή ηεο αληίζηαζεο γηα ζ = 0 0 C. Ο ζεξκηθφο ζπληειεζηήο αληίζηαζεο είλαη ζεηηθφο γηα ηα κέηαιια θαη αξλεηηθφο γηα ηνλ άλζξαθα θαη ηνπο εκηαγσγνχο. Γηα ην βνιθξάκην, απφ ην νπνίν είλαη θαηαζθεπαζκέλν ην λήκα ζηηο ιπρλίεο ππξαθηψζεσο, ν ζεξκηθφο ζπληειεζηήο αληίζηαζεο γηα ηελ πεξηνρή C έρεη ηελ ηηκή 3,9 x C -1. Μπνξνχκε λα πξνζδηνξίζνπκε εχθνια ηελ αληίζηαζε ελφο αγσγνχ απφ ηνλ λφκν ηνπ Ohm V=RI, κεηξψληαο ηελ ηάζε ζηα άθξα ηνπ θαη ην ξεχκα πνπ ηνλ δηαξξέεη. Δπεηδή ε αληίζηαζε κεηαβάιιεηαη κε ηε ζεξκνθξαζία, ε θακπχιε ηνπ V ζπλαξηήζεη ηνπ Η δελ είλαη επζεία, αιιά θακπχιε κε ηα θνίια πξνο ηα πάλσ ή θάησ, αλάινγα κε ηνλ αλ ε αληίζηαζε απμάλεηαη ή ειαηηψλεηαη κε ηε ζεξκνθξαζία, αληηζηνίρσο. ηελ πξαγκαηηθφηεηα, ε ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηελ αληίζηαζε κε ηε ζεξκνθξαζία, ζηηο πςειέο ζεξκνθξαζίεο δελ είλαη γξακκηθή αιιά έρεη ηε κνξθή: R ζ = R 0 (1 + αζ + βζ + γζ 3 + ) (8.) ε πνιιά πξαθηηθά πξνβιήκαηα φκσο, φπσο θαη ζηελ άζθεζε απηή, ρξεζηκνπνηνχκε πξνζεγγηζηηθά ηελ Δμ. (8.1) ζεσξψληαο φηη ν ζπληειεζηήο α δελ είλαη κία ζηαζεξά αιιά εμαξηάηαη απφ ηε ζεξκνθξαζία. Σν βνιθξάκην είλαη ην πην ππξίκαρν κέηαιιν (ζεξκνθξαζία ηήμεο 3380 o C, θαη γηα ην ιφγν απηφ βξίζθεη επξεία εθαξκνγή ζηελ επηζηεκνληθή έξεπλα θαη ζε δηάθνξεο ζπζθεπέο ηεο Τςειήο Σερλνινγίαο. ε ζεξκνθξαζία δσκαηίνπ ν ζεξκηθφο ζπληειεζηήο αληίζηαζεο, α, είλαη πεξίπνπ 4, K -1. Δπίζεο, ππφ θαλνληθέο ζπλζήθεο, είλαη αλνμείδσην, θαζψο ε νμείδσζή ηνπ αξρίδεη ζε ζεξκνθξαζίεο άλσ ησλ C. Αιιά έρεη θαη έλα «αδχλαην ζεκείν»: ε αληίζηαζή ηνπ έληνλα εμαξηάηαη απφ ηε ζεξκνθξαζία (ππάξρνπλ εθαξκνγέο φπνπ ην «αδχλαην ζεκείν» είλαη «δπλαηφ»). Πξάγκαηη, ζην ζεξκνθξαζηαθφ δηάζηεκα Κ, ε αληίζηαζε ηνπ βνιθξακίνπ κεηαβάιιεηαη πεξίπνπ 15 θνξέο! Απηφ εμεγεί γηαηί, κεξηθέο θνξέο 6

79 αδπλαηνχκε λα ζέζνπκε ζε ιεηηνπξγία κηα ιάκπα ππξαθηψζεσο κεγάιεο ηζρχνο, γηα παξάδεηγκα 880 W, πνπ φηαλ είλαη ζεξκή ( 500 Κ) δηαξξέεηαη απφ ξεχκα 4 Α (0V 4A = 880W). ηελ αξρή, φηαλ ε ιάκπα είλαη ςπρξή, ε αληίζηαζε ηνπ λήκαηφο ηεο είλαη 15 θνξέο κηθξφηεξε θαη επνκέλσο, φηαλ αλνίγνπκε ην δηαθφπηε, ην αξρηθφ ξεχκα ζηε ιάκπα είλαη 15 θνξέο κεγαιχηεξν ή 60 Α! ηνλ ειεθηξνινγηθφ πίλαθα ην ξεχκα απηφ ακέζσο ζα «ξίμεη θάησ» ην ξειέ αζθαιείαο πνπ ζπλήζσο είλαη ησλ 16 Α Αθηηλνβνιία κέιαλνο ζώκαηνο ηηο πςειέο ζεξκνθξαζίεο ηα ζψκαηα εθηφο απφ ηηο κεηαβνιέο ησλ ηδηνηήησλ πνπ πθίζηαληαη ζπγρξφλσο αθηηλνβνινχλ, φπσο γηα παξάδεηγκα ην ζχξκα βνιθξακίνπ ζηηο ιπρλίεο ππξαθηψζεσο. Οη λφκνη ηεο αθηηλνβνιίαο εκπεξηέρνληαη ζηε ζρέζε πνπ έδσζε ν Planck γηα ην κέιαλ ζψκα πνπ έρεη ηε κνξθή: hc 5 1 hc exp 1 kt (8.3) φπνπ c ε ηαρχηεηα ηνπ θσηφο, k ε ζηαζεξά ηνπ Boltzmann, h ε ζηαζεξά ηνπ Planck, ι ην κήθνο θχκαηνο θαη Δ ι ε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο αθεηηθήο ηθαλφηεηαο, δειαδή ε αθηηλνβνινχκελε ηζρχο αλά κνλάδα επηθάλεηαο θαη αλά κνλάδα κήθνπο θχκαηνο ζηελ πεξηνρή κήθνπο θχκαηνο ι. Δπεηδή ε Δμ. (8.3) δελ είλαη εχθνια θαηαλνεηή, δίλεηαη ε γξαθηθή ηεο απεηθφληζε ζην ρ Δίλαη θαλεξφ φηη ην γηλφκελν Δ ι dι εθθξάδεη ηελ ηζρχ πνπ αθηηλνβνιείηαη αλά κνλάδα επηθάλεηαο ζηα κήθε θχκαηνο κεηαμχ ι θαη ι + dι ζε θάζε ζεξκνθξαζία θαη ηζνχηαη κε ην εκβαδφλ πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηελ αληίζηνηρε θακπχιε ηνπ ρ. 8.1 θαη ηνλ άμνλα ησλ ι ζηελ πεξηνρή κεηαμχ ι θαη ι + dι. 63

80 8.3 Μέζνδνο Ζ ζεξκνθξαζία ηνπ ζχξκαηνο βνιθξακίνπ κπνξεί λα ξπζκηζηεί κε ηε κεηαβνιή ηνπ ξεχκαηνο πνπ δηαξξέεη ην ζχξκα. Γηα ην βνιθξάκην ππάξρεη εκπεηξηθή ζρέζε πνπ δίλεη ηε ζεξκνθξαζία ηνπ λήκαηνο σο ζπλάξηεζε ηνπ ξεχκαηνο θαη ηεο δηακέηξνπ ηνπ ζχξκαηνο. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε απηήο ηεο ζρέζεο θαίλεηαη ζην ρ Ζ αληίζηαζε ηνπ ζχξκαηνο ζηηο δηάθνξεο ζεξκνθξαζίεο πξνζδηνξίδεηαη απφ ην λφκν ηνπ Οhm (R = V/I). Δηζη, αλ ρξεζηκνπνηεζεί κία ιπρλία βνιθξακίνπ, είλαη εχθνιν πεηξακαηηθά λα πξνζδηνξηζηεί ε αληίζηαζε ηνπ λήκαηφο ηεο γηα ζεξκνθξαζίεο απφ εθείλελ ηνπ πεξηβάιινληνο σο ηνπο C. 8.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Γηα ηελ εθηέιεζε ηνπ πεηξάκαηνο απαηηνχληαη: Μία πεγή ελαιιαζζφκελεο ηάζεο 1 V, κία ιπρλία κε λήκα απφ ζχξκα βνιθξακίνπ, κία ξπζκηδφκελε αληίζηαζε, R, έλα βνιηφκεηξν, V, θαη έλα ακπεξφκεηξν, Α (ρ.8.). Βηβιηνγξαθία 1. Μαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley, Σφκνο ΗΗ: Ζιεθηξηζκόο-Μαγλεηηζκόο, Κεθ.4 (Αζήλα, 1978).. Κ. Αιεμφπνπινο, Γεληθή Φπζηθή. Θεξκόηεο. Παξάγξ. 186, Κ. Αιεμφπνπινο, Γεληθή Φπζηθή. Ζιεθηξηζκόο. Παξάγξ Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα, 010). 8.5 Δθηέιεζε 1. Να αλαγλσξηζηεί ην θχθισκα φπσο θαίλεηαη ζην ρ.8... Μεηαβάιινληαο ηελ ηηκή ηεο ξπζκηδφκελεο αληίζηαζεο R, κεηαβάιιεηε ην ξεχκα, Η, πνπ δηαξξέεη ηε ιπρλία βνιθξακίνπ θαη ηαπηφρξνλα κεηξήζηε ηε δηαθνξά δπλακηθνχ, V, ζηα άθξα ηεο. Δπαλαιάβεηε απηή ηε κέηξεζε γηα δέθα ηνπιάρηζηνλ ηηκέο ηνπ Η κεηαμχ 0 θαη 4Α. Καηαρσξήζηε ηηο κεηξήζεηο ζαο ζηνλ Πίλαθα Η. 64

81 Πίλαθαο Ι V (Volt) I (A) R (Ω) T (Κ) ζ ( 0 C) 3. Ρπζκίζηε ηελ αληίζηαζε, ψζηε λα πεξάζεη απφ ηε ιπρλία ην ξεχκα πνπ ζα αλεβάζεη ηε ζεξκνθξαζία ηνπ λήκαηνο ζηνπο 1500 Κ, φπσο απηφ πξνθχπηεη απφ ην δηάγξακκα T = f(i) ηνπ ρ Καηαρσξήζηε ηελ ηηκή ηνπ ξεχκαηνο θαη ηεο ηάζεο ζηα άθξα ηεο ιπρλίαο ζηνλ Πίλαθα ΗΗ. 5. Δπαλαιάβεηε ηε δηαδηθαζία γηα Σ = 000 Κ θαη Σ = 500 Κ. Πίλαθαο ΙΙ Σ (K) V (Volt) I (A) W (Watt) Παξαηεξήζηε πψο κεηαβάιιεηαη ε ηζρχο πνπ αθηηλνβνιείηαη ζην πεξηβάιινλ απφ ην λήκα ηεο ιπρλίαο ζηηο παξαπάλσ ζεξκνθξαζίεο θαη θαηαγξάςηε ηηο παξαηεξήζεηο ζαο. 65

82 8.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. Γηα θάζε δεχγνο ηηκψλ V θαη Η πνπ κεηξήζαηε, ππνινγίζηε ηελ αληίζηαζε, R, ηεο ιπρλίαο θαη θαηαρσξήζηε ηα απνηειέζκαηα ζηνλ πίλαθα Η.. ρεδηάζηε ηελ θακπχιε ηεο δηαθνξάο δπλακηθνχ, V, σο ζπλάξηεζε ηνπ ξεχκαηνο Η. 3. Γηα ηηο ηηκέο ηνπ ξεχκαηνο, Η, ηεο ιπρλίαο θαη απφ ηελ θακπχιε ηνπ ρ. 8.3, πνπ δίλεη ηε ζεξκνθξαζία ηνπ λήκαηνο ζπλαξηήζεη ηνπ ξεχκαηνο, βξείηε ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ηεο ζεξκνθξαζίαο, Σ, (ζε βαζκνχο Kelvin K) θαη ζ (ζε 0 C), (ζ = Σ 73). Καηαρσξήζηε ηηο ηηκέο απηέο ζηνλ Πίλαθα Η. 4. ρεδηάζηε ηελ θακπχιε ηεο αληίζηαζεο, R, ηεο ιπρλίαο, σο ζπλάξηεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ λήκαηνο, ζ. 5. Απφ ηελ θιίζε ηεο θακπχιεο R(ζ) βξείηε ηνλ ζεξκηθφ ζπληειεζηή αληίζηαζεο, α, ηνπ βνιθξακίνπ ζε νπνηαδήπνηε ζεξκνθξαζία κεηαμχ C θαη C. Γηα ηε ιπρλία πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε, δίλεηαη φηη R 0 =0.5 Ω. πγθξίλεηε ηα απνηειέζκαηά ζαο κε ηελ ηηκή ηνπ α κεηαμχ 0 0 C θαη C, πνπ είλαη 3, C Aπφ ηηο κεηξήζεηο V θαη Η πνπ έρεηε θαηαρσξήζεη ζηνλ Πίλαθα ΗΗ βξείηε ηελ πξνζθεξφκελε ζηε ιπρλία ειεθηξηθή ηζρχ, ε νπνία θαη αθηηλνβνιείηαη ζην πεξηβάιινλ. 7. πγθξίλαηε πνηνηηθά ηηο πεηξακαηηθέο ηηκέο ηεο αθηηλνβνινχκελεο ηζρχνο, φπσο πξνθχπηνπλ απφ ηνλ Πίλαθα ΗΗ, κε ηελ ηζρχ πνπ πξνβιέπεηαη λα αθηηλνβνιεί ην λήκα ηεο ιπρλίαο ζηηο αληίζηνηρεο ζεξκνθξαζίεο, ζχκθσλα κε ην ρ πκθσλνχλ ηα απνηειέζκαηά ζαο κε ηηο παξαηεξήζεηο πνπ θάλαηε ζηελ εξψηεζε 3 ηεο Παξαγξ. 8.5 ζρεηηθά κε ηελ κεηαβνιή ηεο αθηηλνβνινχκελεο ηζρχνο ηνπ λήκαηνο ζπλαξηήζεη ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ; 66

83 Άζθεζε 9 Υαξηνγξάθεζε ειεθηξηθνύ πεδίνπ 9.1 θνπόο ηελ άζθεζε απηή, κε ηε κέζνδν ηεο ειεθηξνιπηηθήο ιεθάλεο, πξνζδηνξίδεηαη ην ειεθηξηθφ πεδίν κεηαμχ δχν ειεθηξνδίσλ ζην θελφ, κε ηε ράξαμε ησλ ηζνδπλακηθψλ επηθαλεηψλ θαη δπλακηθψλ γξακκψλ ηνπ πεδίνπ απηνχ. 9. Θεσξία Ζ ζχγρξνλε ηερλνινγηθή πξφνδνο άκεζα ζπλδέεηαη κε ηελ εμέιημε θαη πξφνδν ηεο Ζιεθηξνληθήο γεληθά θαη ηεο Ζιεθηξνληθήο Οπηηθήο, εηδηθφηεξα. ηηο εθαξκνγέο επξεία ρξήζε βξίζθνπλ νη δηαηάμεηο θαη ζπζθεπέο ζηηο νπνίεο αμηνπνηείηαη ε θίλεζε ησλ ειεθηξνλίσλ ζε ρψξν πςεινχ θελνχ. Αξθεί λα αλαθέξνπκε ηε ιπρλία αθηηλψλ Υ, ην ηειεβφιν ειεθηξνλίσλ ζην ειεθηξνληθφ κηθξνζθφπην, ηνλ θαζνδηθφ ζσιήλα ηνπ παικνγξάθνπ, ηα ξαληάξ, ηελ νζφλε ηεο ηειεφξαζεο θ.ιπ. ηηο ειεθηξνληθέο ζπζθεπέο απηνχ ηνπ είδνπο ε θίλεζε ησλ ειεθηξνλίσλ εμαξηάηαη απφ ηε ρσξηθή θαηαλνκή θαη έληαζε ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ, ε καζεκαηηθή αλάιπζε ηνπ νπνίνπ δελ είλαη πάληα εθηθηή. Γλσξίδνπκε, γηα παξάδεηγκα, ηε ρσξηθή θαηαλνκή ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ κεηαμχ δχν νκφθεληξσλ κεηαιιηθψλ ζθαηξψλ, νκφθεληξσλ θπιίλδξσλ θαη δχν επίπεδσλ επηθαλεηψλ, αιιά ήδε ε αλάιπζε ηνπ πεδίνπ κεηαμχ δχν έθθεληξσλ ζθαηξψλ ζπληζηά δχζθνιν καζεκαηηθφ πξφβιεκα. Αθφκε δπζθνιφηεξε είλαη ε αλάιπζε ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ φηαλ ηα ειεθηξφδηα έρνπλ ζρήκα πην ζχλζεην απφ απηφ ηεο ζθαίξαο ή ηνπ θπιίλδξνπ. ηηο πεξηπηψζεηο απηέο νη εξεπλεηέο θαηαθεχγνπλ ζηελ πεηξακαηηθή κειέηε ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ, ραξηνγξαθψληαο ηηο ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο θαη ηηο δπλακηθέο γξακκέο ηνπ πεδίνπ κεηαμχ ησλ εμεηαδφκελσλ αγσγψλ. Γηα ην ζθνπφ απηφ νη εξεπλεηέο αλέπηπμαλ δηάθνξεο πεηξακαηηθέο ηερληθέο, αιιά ε πην πεηπρεκέλε θαη αθξηβήο ήηαλ ε κέζνδνο ηεο ειεθηξνιπηηθήο ιεθάλεο. 9.3 Μέζνδνο ηεο ειεθηξνιπηηθήο ιεθάλεο Ζ αξρή ηεο κεζφδνπ ζηεξίδεηαη ζηελ δηαπίζησζε φηη ην ειεθηξηθφ πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη απφ κία δηάηαμε αγσγψλ ζην θελφ, είλαη ίδην κε απηφ πνπ δεκηνπξγείηαη κέζα ζε έλαλ ειεθηξνιύηε, αξθεί λα είλαη ίδηεο νη νξηαθέο ζπλζήθεο. πλήζσο ε κέζνδνο ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε ραξηνγξάθεζε δπζδηάζηαηνπ πεδίνπ, δειαδή πεδίνπ πνπ κεηαβάιιεηαη κφλν ζην επίπεδν x,y, ελψ ζε νπνηνδήπνηε ζεκείν ηνπ άμνλα z ην πεδίν έρεη ηελ ίδηα ηηκή. Ωο παξάδεηγκα κπνξνχκε λα αλαθέξνπκε ην ειεθηξηθφ πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη ζην θάζεην επίπεδν κεηαμχ δχν έθθεληξσλ θπιίλδξσλ ην κήθνο ησλ νπνίσλ είλαη άπεηξν. Γηα ηε ραξηνγξάθεζε ηνπνζεηνχλ ηα δχν ειεθηξφδηα ζε κία πιαζηηθή ιεθάλε πνπ πεξηέρεη ειεθηξνιχηε. Μεηαμχ ησλ δχν ειεθηξνδίσλ εθαξκφδνπλ ηάζε, γηα παξάδεηγκα 1,0 V, θαη κε έλα βνιηφκεηξν κεηξάλε ην ειεθηξηθφ δπλακηθφ ζε δηάθνξα ζεκεία ηνπ πγξνχ. Αζθαιψο, ζηελ πξάμε νη δχν αγσγνί έρνπλ πεπεξαζκέλν κήθνο. Ο φξνο άπεηξν κήθνο θαηά ηε δηεχζπλζε z δηαζθαιίδεηαη φηαλ ηα ειεθηξφδηα εμέρνπλ θάζεηα απφ ην πγξφ, ε επηθάλεηα ηνπ νπνίνπ νξίδεηαη σο ην x,y, επίπεδν ηνπ πεδίνπ. εκεηψλνπκε φηη ηα ειεθηξφδηα πξέπεη λα είλαη θάζεηα θαη πξνο ηνλ ππζκέλα ηεο ιεθάλεο. Δπνκέλσο γηα λα είλαη ε θαηαγξαθή ζσζηή, νη δχν επηθάλεηεο ηνπ ειεθηξνιχηε πξέπεη λα είλαη θάζεηεο πξνο ηηο δχν παξάιιειεο επηθάλεηεο ησλ αγσγψλ. Όζν γηα ην χςνο ηνπ πγξνχ, κεξηθά εθαηνζηά είλαη αξθεηά. Ο ειεθηξνιχηεο ρξεζηκνπνηείηαη γηα δχν ιφγνπο: 67

84 Α) Σν ειεθηξηθφ πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη κέζα ζηνλ ειεθηξνιχηε είλαη ζσξαθηζκέλν, δειαδή δελ επεξεάδεηαη απφ ηελ παξνπζία άιισλ αγσγψλ (ηα ρέξηα ηνπ πεηξακαηηζηή, δηάθνξα κεηαιιηθά αληηθείκελα, ηα θαιψδηα ηνπ βνιηφκεηξνπ θ.ιπ.) πνπ είλαη θνληά, αιιά έμσ απφ ην πγξφ, αθφκε θαη φηαλ ηα αληηθείκελα απηά βξίζθνληαη ππφ πςειφ ειεθηξηθφ δπλακηθφ. Μάιηζηα φζν πην αγψγηκνο είλαη ν ειεθηξνιχηεο, ηφζν πην απνηειεζκαηηθή είλαη ε ζσξάθηζε. ην θελφ, έλα θνληηλφ αγψγηκν αληηθείκελν ζα επεξέαδε ην πεδίν κεηαμχ ησλ δχν αγσγψλ. Σν αληηθείκελν απηφ κπνξεί λα είλαη θαη ην θαιψδην ηνπ κεηξεηή ηάζεο, αθφκε θαη φηαλ ν κεηξεηήο είλαη ηδαληθφο. Β) πλήζσο γηα ηε κέηξεζε ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ ρξεζηκνπνηνχληαη βνιηφκεηξα πνπ θαηαλαιώλνπλ ξεύκα. Όζν κηθξφηεξν ξεχκα θαηαλαιψλνπλ, ηφζν ιηγφηεξν ην ξεχκα απηφ αιινηψλεη ηελ ηηκή ηεο ηάζεο ζην ζεκείν πνπ γίλεηαη ε κέηξεζε. Ηδαληθφο γηα ην ζθνπφ απηφ είλαη ν κεηξεηήο ηάζεο κε κεδεληθή θαηαλάισζε ξεχκαηνο (άπεηξε αληίζηαζε εηζφδνπ). Σα φξγαλα απηά ππάξρνπλ, αιιά έρνπλ κηθξή επαηζζεζία θαη ηα ρξεζηκνπνηνχλ κφλν σο κεηξεηέο πςειήο ηάζεο (θηινβνιηφκεηξα). Όηαλ ρξεζηκνπνηνχληαη θνηλνί κεηξεηέο ηάζεο γηα παξάδεηγκα κε αληίζηαζε εηζφδνπ 10 ΜΩ (θαηαλάισζε 1 κα, ζηα 10 V), νη εξεπλεηέο θαηαθεχγνπλ ζε κεζφδνπο πνπ κεδελίδνπλ ην ξεχκα θαηαλάισζεο από ην ζεκείν κέηξεζεο. Θεσξεηηθό ππόβαζξν ηεο κεζόδνπ Σν γεληθό ειεθηξνζηαηηθό πξόβιεκα Σν ειεθηξνζηαηηθφ πεδίν ζην ρψξν κπνξεί λα πεξηγξάθεη κε ηε ρξεζηκνπνίεζε είηε ηεο (βαζκσηήο) ζπλάξηεζεο ειεθηξηθνχ δπλακηθνχ U(x,y,z) είηε ηεο (δηαλπζκαηηθήο) ζπλάξηεζεο ηεο έληαζεο ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ E(x,y,z). Οη δχν πεξηγξαθέο είλαη ηζνδχλακεο: ην δπλακηθφ U θαη ην ειεθηξηθφ πεδίν E ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε U U U Δ ( x, y, z) U ( x, y, z) x y z, (9.1) x y z φπνπ U( x, y, z) ή grad U ιέγεηαη βαζκίδα ηνπ U. Ζ ζπλάξηεζε δπλακηθνχ U(x,y,z) θαη ε ππθλφηεηα ειεθηξηθνχ θνξηίνπ ξ(x,y,z) ζηνλ θελφ ρψξν ζπλδένληαη κε ηελ εμίζσζε Poisson: U ( x, y, z) divgradu, (9.) φπνπ ε 0 είλαη ε δηειεθηξηθή ζηαζεξά ηνπ θελνχ. Σν ιέγεηαη ηειεζηήο Laplace ε Λαπιαζηαλή. ε θαξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο ηζρχνπλ νη ζρέζεηο: 0 E E x y Ez dive (9.3) x y z U U U Καη U (9.4) x y z ε πεξηνρέο ηνπ ρψξνπ φπνπ ξ(x,y,z) = 0, ε εμίζσζε Poisson γξάθεηαη U ( x, y, z) 0 (9.5) Απηή είλαη ε γλσζηή εμίζσζε Laplace, ηελ νπνία ζπλαληάκε ζε πνιιέο πεξηνρέο ηεο Φπζηθήο. Οη ζπλαξηήζεηο πνπ ηθαλνπνηνχλ ηελ εμίζσζε Laplace νλνκάδνληαη αξκνληθέο ζπλαξηήζεηο. Ζ ζπκπεξηθνξά ελφο αγσγνχ κέζα ζε ειεθηξνζηαηηθφ πεδίν ραξαθηεξίδεηαη απφ δχν ζεκαληηθέο θαη αιιειέλδεηεο κεηαμχ ηνπο ηδηφηεηεο πνπ ρξεζηκνπνηνχκε ζηελ άζθεζή καο: 68

85 Ζ επηθάλεηα ηνπ αγσγνχ είλαη ηζνδπλακηθή επηθάλεηα, ελψ ην ειεθηξηθφ πεδίν είλαη θάζεην ζηελ επηθάλεηα ζε θάζε ηεο ζεκείν. Όηαλ δνζεί κία δηάηαμε ησλ αγσγψλ ζην ρψξν, ην γεληθφ ειεθηξνζηαηηθφ πξφβιεκα ζπλίζηαηαη ζην λα βξνχκε κία ιχζε ηεο εμίζσζεο Laplace πνπ ηθαλνπνηεί ηαπηφρξνλα θαη ηηο νξηαθέο ζπλζήθεο γηα ηε δεδνκέλε δηάηαμε αγσγψλ. Ζ ιχζε ηεο εμίζσζεο Laplace κε δεδνκέλεο νξηαθέο ζπλζήθεο είλαη έλα δχζθνιν καζεκαηηθφ πξφβιεκα. Τπάξρνπλ ιίγεο κφλν δηαηάμεηο αγσγψλ ζην ρψξν, γηα ηηο νπνίεο κπνξεί λα δνζεί αθξηβήο ιχζε ζε αλαιπηηθή κνξθή. Γηα ηνπο ιφγνπο απηνχο ε κέηξεζε ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ γηα κία δεδνκέλε δηάηαμε αγσγψλ έρεη θαη πξαθηηθή αμία (π.ρ. ζην ζρεδηαζκφ ειεθηξνζηαηηθψλ θαθψλ ειεθηξνλίσλ θαη ειεθηξνληθψλ ιπρληψλ) Ηιεθηξηθά πεδία κέζα ζε αγωγνύο Όηαλ έρνπκε ειεθηξηθά ξεχκαηα ζε αγσγνχο ε εμίζσζε ζπλέρεηαο (δηαηήξεζε θνξηίνπ) divj 0 (9.6) t ζπλδέεη ηελ ππθλφηεηα ξεχκαηνο J κε ηελ ππθλφηεηα θνξηίνπ ξ ζε θάζε ζεκείν ηνπ αγσγνχ. Γηα ζηαηηθά (αλεμάξηεηα ηνπ ρξφλνπ) ξεχκαηα αλάγεηαη ζηελ J div J 0. (9.7) Ζ Δμ. (9.7) ηζρχεη πξνζεγγηζηηθά θαη γηα πνιχ αξγά κεηαβαιιφκελα ξεχκαηα. Με απηφλ ηνλ φξν ελλννχκε ξεχκαηα ησλ νπνίσλ ε πεξίνδνο είλαη κεγάιε ζπγθξηηηθά κε ην ρξφλν πνπ ρξεηάδεηαη γηα λα δηαδνζεί ε κεηαβνιή απφ έλα ζεκείν ηνπ αγσγνχ ζε έλα άιιν. Ζ ηνπηθή κνξθή ηνπ λφκνπ ηνπ Ohm δίλεη ηε ζρέζε κεηαμχ J θαη έληαζεο ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ Δ: J E (9.8) φπνπ ζ είλαη ε αγσγηκφηεηα ηνπ αγσγνχ ζε θάζε ζεκείν. Δπνκέλσο Αλ ην ζ είλαη αλεμάξηεην ηεο ζέζεο (νκνγελήο αγσγφο): ( E) div E 0 (9.9) div E 0 (9.10) Ηζρχεη εμάιινπ θαη ε Δμ. (9.1) ε νπνία ζε ζπλδπαζκφ κε ηελ (9.10) δίλεη div gradu U 0 (9.11) απφ ηελ νπνία πξνθχπηεη φηη ε εμίζσζε Laplace ηθαλνπνηείηαη απφ ην δπλακηθφ κέζα ζε έλαλ αγσγφ κε ζηαηηθά ξεχκαηα. Δπεηδή ινηπφλ ε δηαθνξηθή εμίζσζε ηελ νπνία ηθαλνπνηεί ην δπλακηθφ U ζην γεληθφ ειεθηξνζηαηηθφ πξφβιεκα είλαη ε ίδηα κε απηήλ πνπ ηζρχεη ζε αγσγνχο κε ζηαηηθά ξεχκαηα (εμίζσζε Laplace), νη ιχζεηο U(x,y,z) ζα είλαη νη ίδηεο αλ νη νξηαθέο ζπλζήθεο είλαη νη ίδηεο. Ωο νξηαθέο ζπλζήθεο δίλνληαη ζπλήζσο ηα δπλακηθά ησλ αγσγψλ, ζην ζπγθεθξηκέλν πξφβιεκα γηα ηελ ειεθηξνζηαηηθή πεξίπησζε, ή νη επηθάλεηεο ησλ αγσγψλ (ειεθηξνδίσλ πνπ έρνπλ αγσγηκφηεηα πνιχ κεγαιχηεξε απφ απηή ηνπ ειεθηξνιχηε) ζηελ πεξίπησζε πνπ έρνπκε ξνή ξεχκαηνο. Όηαλ έρνπκε ξνή ξεχκαηνο ζε έλα ζχζηεκα κεηαιιηθψλ αγσγψλ κέζα ζε πγξφ αγσγφ (ειεθηξνιχηε), επεηδή ε αγσγηκφηεηα ηνπ κεηάιινπ είλαη πνιχ κεγαιχηεξε απφ απηήλ ηνπ πγξνχ, ηα ειεθηξηθά πεδία κέζα ζηνπο κεηαιιηθνχο αγσγνχο είλαη πνιχ κηθξά θαη ε πηψζε δπλακηθνχ κέζα ζηνπο κεηαιιηθνχο αγσγνχο είλαη ζρεηηθά κηθξή. Γη απηφ νη επηθάλεηεο ησλ κεηαιιηθψλ αγσγψλ κπνξνχλ λα ζεσξεζνχλ ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο. Έηζη ην πξφβιεκα ηνπ πξνζδηνξηζκνχ ηνπ δπλακηθνχ κέζα ζε αγσγνχο (ειεθηξνιχηεο) πνπ δηαξξένληαη απφ ειεθηξηθά ξεχκαηα, είλαη ην ίδην κε ηελ εχξεζε ηνπ δπλακηθνχ ζην ρψξν αλάκεζα ζε αγσγνχο κε δεδνκέλα δπλακηθά ζηελ πεξίπησζε ηνπ ειεθηξνζηαηηθνχ πεδίνπ ζην θελφ. 69

86 9.3 Μέζνδνο Ζ αξρή ηεο κεζφδνπ ζηεξίδεηαη ζηε δηαπίζησζε φηη ην ειεθηξηθφ πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη απφ κία δηάηαμε ειεθηξνδίσλ (αγσγψλ) είλαη ην ίδην, είηε ε δηάηαμε βξίζθεηαη ζην θελφ (ή ζηνλ αέξα) είηε ζε έλαλ ειεθηξνιχηε. Ζ κέηξεζε ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ ζην θελφ είλαη εθηθηή, αιιά ζπληζηά δχζθνιν πξφβιεκα ηεο Πεηξακαηηθήο Φπζηθήο. Πνιχ επθνιφηεξε είλαη ε κέηξεζε ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ ζε αγψγηκνπο ρψξνπο φπνπ θπθινθνξνχλ ειεθηξηθά ξεχκαηα, κηθξφ κέξνο ησλ νπνίσλ κπνξεί λα αμηνπνηεζεί απφ ηνλ κεηξεηή ηάζεο. Δπνκέλσο είλαη πεηξακαηηθά εχθνιν λα βξνχκε ηηο ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο ελφο πεδίνπ ζε έλαλ ειεθηξνιχηε. Γηα ην ζθνπφ απηφ ρξεζηκνπνηνχκε κία πεηξακαηηθή δηάηαμε φπσο απηή πνπ εηθνλίδεηαη ζην ρ ην ρ. 9.1 Α θαη Β είλαη ηα ειεθηξφδηα πνπ ζρεκαηίδνπλ ηε δηάηαμε ην ειεθηξηθφ πεδίν ηεο νπνίαο ζέινπκε λα κειεηήζνπκε. Σα ειεθηξφδηα απηά είλαη βπζηζκέλα ζηνλ ειεθηξνιχηε (π.ρ. λεξφ) ηεο ιεθάλεο, φπνπ ην ειεθηξηθφ πεδίν δεκηνπξγείηαη κέζσ ζχλδεζεο ησλ ειεθηξνδίσλ κε κία πεγή ηάζεο 1 V. Μεγαιχηεξεο ηάζεηο απνθεχγνληαη πξνθεηκέλνπ λα απνηξαπεί ε ειεθηξφιπζε ηνπ λεξνχ. εκεηψλνπκε φηη ε δηάηαμε απηή είλαη δηάηαμε κεδεληθήο θαηαλάισζεο ξεύκαηνο απφ ην ζεκείν κέηξεζεο. Ο αληρλεπηήο ζπλδέεηαη κε ην δξνκέα ηνπ πνηελζηφκεηξνπ κέζσ ελφο επαίζζεηνπ γαιβαλφκεηξνπ, ε δηαθξηηηθή ηθαλφηεηα ηνπ νπνίνπ είλαη 0,1 κα. Ο κεδεληζκφο ηνπ ξεχκαηνο θαηαλάισζεο επηηπγράλεηαη κε κεηαθίλεζε ηνπ δξνκέα ζε κία νξηζκέλε ζέζε. Ζ ξχζκηζε ηεο ζέζεο ηνπ δξνκέα ζην πνηελζηφκεηξν ζεσξείηαη νινθιεξσκέλε, φηαλ ην γαιβαλφκεηξν δείρλεη κεδεληθή ηηκή, δειαδή ε δηαθνξά δπλακηθνχ ζην γαιβαλφκεηξν είλαη κεδέλ. Ο φξνο απηφο επηηπγράλεηαη φηαλ ηα δπλακηθά ζην δξνκέα θαη ζην λεξφ έρνπλ ηελ ίδηα ηηκή. Ο φξνο απηφο είλαη θαζνξηζηηθήο ζεκαζίαο, θαζψο ζηε δηάηαμε ην δπλακηθφ ηνπ λεξνχ κεηξηέηαη έκκεζα κέζσ κέηξεζεο ηνπ δπλακηθνχ ηνπ δξνκέα κε έλα θνηλφ βνιηφκεηξν, ην ξεχκα θαηαλάισζεο ηνπ νπνίνπ δελ αληιείηαη από ηνλ ειεθηξνιύηε. Αληίζεηα ζε κία άκεζε κέηξεζε ηνπ δπλακηθνχ κε έλα θνηλφ βνιηφκεηξν, απφ ην ζεκείν κέηξεζεο αλαγθαζηηθά ζα δηαθιαδσλφηαλ έλα ξεχκα πξνο ην κεηξεηή. Λφγσ κεγάιεο αληίζηαζεο ηνπ λεξνχ ην ξεχκα 70

87 ηνπ κεηξεηή δεκηνπξγεί κεγάιε πηψζεο ηάζεο ζην πγξφ, ε νπνία αιινηψλεη ζε κεγάιν βαζκφ ην δπλακηθφ ηνπ λεξνχ ζην ζεκείν κέηξεζεο. Οπζηαζηηθά πξφθεηηαη γηα ηε γλσζηή κέζνδν ηεο γέθπξαο Winston κε 4 σκηθέο αληηζηάζεηο, φπνπ ζηε κία δηαγψληα εθαξκφδεηαη ε ηάζε ηεο πεγήο, ελψ ζηελ άιιε δηαγψληα ζπλδέεηαη έλα επαίζζεην γαιβαλφκεηξν (ρ. 9.). Σηο αληηζηάζεηο R 1 θαη R ηηο δεκηνπξγνχλ ηα δχν κέξε ηνπ πνηελζηφκεηξνπ, ελψ νη αληηζηάζεηο R 3 θαη R 4 δεκηνπξγνχληαη απφ ηηο δχν ζηήιεο ηνπ λεξνχ. ην ζεκείν a ν αληρλεπηήο εθάπηεηαη ην λεξφ, ελψ ν δξνκέαο ηνπ πνηελζηφκεηξνπ βξίζθεηαη ζην ζεκείν b. Ζ γέθπξα ηζνξξνπεί (I G = 0) φηαλ ηα δπλακηθά ζηα ζεκεία a θαη b είλαη ίζα. Ο φξνο απηφο επηηπγράλεηαη φηαλ R 1 /R = R 3 /R 4, γηα νπνηαδήπνηε ηάζε ηεο πεγήο. ην πείξακα ε θαηαγξαθή ησλ ηζνδπλακηθψλ επηθαλεηψλ γίλεηαη κε ηνλ αθφινπζν ηξφπν: 1. Ρπζκίδνπκε ηε ζέζε ηνπ δξνκέα ζην πνηελζηφκεηξν πξνθεηκέλνπ ην βνιηφκεηξν λα δείρλεη κία νξηζκέλε ηηκή, γηα παξάδεηγκα 0,7 V.. Με ηνλ αληρλεπηή ζηελ επηθάλεηα ηνπ πγξνχ, εληνπίδνπκε 0 (ή πεξηζζφηεξα) ζεκεία φπνπ ην γαιβαλφκεηξν δείρλεη κεδεληθή ηηκή. Πξνθαλψο ηα ζεκεία απηά βξίζθνληαη πάλσ ζηελ ηζνδπλακηθή επηθάλεηα ηνπ 0,7 V. 3. Σν πνηελζηφκεηξν ξπζκίδεηαη ζε λέα ηηκή ηάζεο θαη ε δηαδηθαζία επαλαιακβάλεηαη. Όηαλ ζην επίπεδν x,y νη ηζνδπλακηθέο θακπχιεο έρνπλ ραξαρζεί, νη γξακκέο ηεο έληαζεο ηνπ πεδίνπ, Δ, ραξάδνληαη εχθνια, θαζψο είλαη θάζεηεο πξνο ηηο πξψηεο (ρ. 9.3). Μπνξνχκε φκσο λα βξνχκε θαη ην κέηξν ηεο έληαζεο, Δ, ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ ζε θάζε ζεκείν ηνπ πεδίνπ. Γηα ην ζθνπφ απηφ, κε ην πνηελζηφκεηξν επηιέγνπκε ζηαζεξά βήκαηα δπλακηθνχ. Σφηε, επεηδή ε έληαζε ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ ζε έλα ζεκείν είλαη Δ = ΓU/Γl, φπνπ ΓU είλαη ην βήκα δπλακηθνχ θαη Γl είλαη ε θάζεηε απφζηαζε ζηελ νπνία ιακβάλεη ρψξα ε κεηαβνιή ΓU, φζν ιηγφηεξν απέρνπλ νη ηζνδπλακηθέο γξακκέο, ηφζν κεγαιχηεξε είλαη ε έληαζε ηνπ πεδίνπ ζηελ πεξηνρή απηή. Πξνζεγγηζηηθά ζην κέζν ηνπ δηαζηήκαηνο Γl ε κέζε έληαζε ηνπ πεδίνπ, Δ, ππνινγίδεηαη απφ ηε ζρέζε Δ = ΓU/Γl, φπνπ ΓU είλαη ην βήκα 71

88 δπλακηθνχ, ελψ ην δηάζηεκα Γl ππνινγίδεηαη γξαθηθά απφ ηηο πεηξακαηηθέο ηζνδπλακηθέο θακπχιεο ζηελ πεξηνρή απηή (ρ. 9.3) Ηιεθηξηθή πόιωζε ηνπ αληρλεπηή Ζ κέζνδνο ηεο ειεθηξνιπηηθήο ιεθάλεο έρεη έλα αδχλαην ζεκείν: ε ειεθηξηθή πφισζε ηνπ κεηαιιηθνχ αληρλεπηή έλαληη ηνπ πγξνχ. Όηαλ έλα κέηαιιν εηζάγεηαη ζε πγξφ, ιφγσ αλαθαηαλνκήο ησλ ηφλησλ ηνπ ειεθηξνιχηε, κεηαμχ κεηάιινπ θαη πγξνχ δεκηνπξγείηαη κία δηαθνξά δπλακηθνχ, ε νπνία εμαξηάηαη απφ ηε ζπγθέληξσζε ησλ ηφλησλ θαη ηνπ είδνο ηνπ κεηάιινπ. Ζ ηάζε απηή δελ είλαη κηθξή θαη είλαη ηεο ηάμεο 0, 0,5 V. Δπνκέλσο αλ ην δπλακηθφ ηνπ πγξνχ είλαη π.ρ. 0,6 V, ηφηε κία ηάζε πφισζεο ηνπ αληρλεπηή θαηά 0,3 V ζα αιινηψζεη ην δπλακηθφ θαηά 50 % θαη νη κεηξήζεηο ζα είλαη επηβαξπκέλεο κε ην κεγάιν απηφ ζπζηεκαηηθφ ζθάικα. ηελ αληηκεηψπηζε ηνπ πξνβιήκαηνο ηεο πφισζεο βνεζά κία παξαηήξεζε: Ο ζρεκαηηζκφο ηεο δηαθνξάο δπλακηθνχ πφισζεο είλαη ζρεηηθά αξγή δηαδηθαζία. Μάιηζηα φζν κηθξφηεξε είλαη ε ζπγθέληξσζε ησλ ηφλησλ ζην πγξφ, ηφζν πην αξγή είλαη ε δηαδηθαζία απηή. Απηφο είλαη ν ιφγνο γηα ηνλ νπνίν ζηα ειεθηξφδηα ηεο δηάηαμεο εθαξκφδνπλ ελαιιαζζφκελε ηάζε θαη φρη ζπλερή. Όηαλ ε ηάζε είλαη ελαιιαζζφκελε, ζην ρξνληθφ δηάζηεκα ηεο κηζήο πεξηφδνπ ην δπλακηθφ πφισζεο δελ πξνιαβαίλεη λα ζρεκαηηζηεί, θαζψο ζην άιιν κηζφ ηεο πεξηφδνπ ην δπλακηθφ απηφ αιιάδεη πξφζεκν. Ζ ζπρλφηεηα 50 Hz είλαη αξθεηά πςειή θαη κεηψλεη ην δπλακηθφ πφισζεο ηνπ αληρλεπηή δεθάδεο θνξέο Παξακόξθωζε ηνπ ειεθηξηθνύ ζηα άθξα ηεο ιεθάλεο Καζψο ε ιεθάλε θαηαζθεπάδεηαη απφ κνλσηηθφ πιηθφ θαη νη δηαζηάζεηο ηεο είλαη πεπεξαζκέλεο, ην ειεθηξηθφ πεδίν παξακνξθψλεηαη ζηελ θνληηλή πεξηνρή ησλ ηνηρσκάησλ ηεο ιεθάλεο Ο ιφγνο είλαη πνιχ απιφο, θαζψο ε εζσηεξηθή πιεπξά ηνπ ηνηρψκαηνο αλαγθάδεη ην ξεχκα ζην πγξφ λα ξέεη παξάιιεια πξνο ηελ επηθάλεηα ηνπ ηνηρψκαηνο, αλεμάξηεηα απφ ην ζρήκα ησλ ειεθηξνδίσλ πνπ δεκηνπξγνχλ ην ειεθηξηθφ πεδίν. Δπνκέλσο ζηελ επηθάλεηα ησλ ηνηρσκάησλ ην δηάλπζκα Δ είλαη πάληα παξάιιειν πξνο ηα ηνηρψκαηα. Αιιά επεηδή νη θακπχιεο ηνπ U = ζηαζ. θαη Δ είλαη θάζεηεο κεηαμχ ηνπο, θνληά ζηα ηνηρψκαηα, ε θακπχιε U = ζηαζ. παξακνξθψλεηαη, ζην βαζκφ πνπ ε θακπχιε ηείλεη λα ηέκλεη ην ηνίρσκα θάζεηα (ρ. 9.4). 9.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε, φπσο θαίλεηαη ζην ρ. 9.5 πεξηιακβάλεη: Μία ζθάθε κε λεξφ φπνπ ηνπνζεηνχληαη ηα δχν ειεθηξφδηα. Σα δχν ειεθηξφδηα ηνπ πεδίνπ (Α,Β). 7

89 Σελ πεγή ελαιιαζζφκελεο ηάζεο, ην πνηελζηφκεηξν θαη ην γαιβαλφκεηξν ελζσκαησκέλα ζε κία ζπζθεπή. Σνλ αληρλεπηή (κεηξεηηθφ θαιψδην Μ). Ζ ιεθάλε είλαη θαηαζθεπαζκέλε απφ κνλσηηθφ πιηθφ. ηνλ ππζκέλα ηεο είλαη θνιιεκέλν έλα θχιιν κηιηκεηξέ. Έηζη κπνξνχκε λα δηαβάδνπκε ηηο ζπληεηαγκέλεο x,y θάζε ζεκείνπ ηεο ιεθάλεο. Μία απφ ηηο δηαηάμεηο πνπ κειεηνχκε ζπζηεκαηηθά είλαη ε δηάηαμε γσλία-επίπεδν πνπ θαίλεηαη ζην ρ Ζ πεγή ηάζεο δίλεη 10 ή 0 V (ελαιιαθηηθά 7,5 ή 15 V) ελαιιαζζφκελε ηάζε (ζπρλφηεηα 50 Hz). Ζ ηάζε πνπ εθαξκφδεηαη ζηα δχν ειεθηξφδηα ηεο ιεθάλεο ηαπηφρξνλα (εζσηεξηθά) εθαξκφδεηαη θαη ζην ελζσκαησκέλν πνηελζηφκεηξν ηεο ζπζθεπήο. ηελ πεηξακαηηθή δηάηαμε ην βνιηφκεηξν πνπ βιέπνπκε ζην ρ. 9. ιείπεη, αιιά ε ηάζε ζην δξνκέα ηνπ πνηελζηφκεηξνπ δηαβάδεηαη απφ ην κηθξνκεηξηθφ δείθηε ζέζεο, ν νπνίνο είλαη βαζκνλνκεκέλνο κε 500 ειάρηζηεο ππνδηαηξέζεηο (500 = 10x50). Γηα παξάδεηγκα, φηαλ ν δείθηεο ηνπ δξνκέα είλαη ζηε ζέζε 6,00 ζεκαίλεη φηη ε ηάζε ζην δξνκέα είλαη 60,0 % ηεο εθαξκνδφκελεο. Αλ π.ρ. ε εθαξκνδφκελε ηάζε είλαη 10 V, ζην δξνκέα ε ηάζε είλαη 6,00 ± 0,0 V, θ.ν.θ. (ζηελ παξάζηαζε 6,00 ± 0,0 V, ηα ± 0,0 V είλαη ε ηηκή ηεο ειάρηζηεο ππνδηαίξεζεο ηνπ δείθηε ηνπ δξνκέα). Έηζη, φηαλ ζην δξνκέα ε ηάζε είλαη 6,00 V, κε ηνλ αληρλεπηή ςάρλνπκε ζε πνην ζεκείν ηεο ιεθάλεο ην ξεχκα ζην γαιβαλφκεηξν είλαη κεδέλ. Όηαλ ην ζεκείν απηφ εληνπηζηεί, ην δπλακηθφ ηνπ ζεκείνπ απηνχ είλαη 6,00 V. Πξνθαλψο, ζηε ιεθάλε ηα ζεκεία απηά είλαη άπεηξα, αιιά γηα ιφγνπο πξαθηηθνχο εληνπίδνληαη ζπλήζσο 0 ή 30 ζεκεία ηεο ηζνδπλακηθήο. Βηβιηνγξαθία 1. Μαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley, Σφκνο ΗΗ: Ζιεθηξηζκόο-Μαγλεηηζκόο, Κεθ. 3, 4 (Αζήλα, 1978).. W. H. Westephal, Physikalisches Praktikum,Vieweg, Braunschweig, (Germany, 1966). 3. J. R. Reitz and F. J. Milford, Foundations of Electromagnetic Theory, Κεθ. 7, Addison- Wesley, (Reading, Mass., 1960). 4. J. R. Reitz, F. J. Milford and R. W. Christy. Foundations of Electromagnetic Theory, (Addison-Wesley, Reading Mass., 1980, 3 rd ed.). Κεθ

90 5. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα, 010). 9.5 Δθηέιεζε 1. Σνπνζεηήζηε ηα ειεθηξφδηα-αγσγνχο ζηε ιεθάλε.. ε έλα ραξηί κηιηκεηξέ Α3 ζρεδηάζηε ηα ειεθηξφδηα-αγσγνχο ζε θιίκαθα 1:1. 3. Γεκίζηε ηε ιεθάλε κε λεξφ πξνζέρνληαο ψζηε ηα ειεθηξφδηα λα πξνεμέρνπλ 1 cm πάλσ απφ ηελ επηθάλεηα ηνπ λεξνχ. 4. Σνπνζεηήζηε ηνπο αθξνδέθηεο ησλ ειεθηξνδίσλ-αγσγψλ ζηηο ππνδνρέο a θαη g θαη ηνλ αθξνδέθηε ηνπ αληρλεπηή ζηελ ππνδνρή Μ ηνπ ηξνθνδνηηθνχ (ρ. 9.5). 5. Θέζαηε ζε ιεηηνπξγία ην ηξνθνδνηηθφ θαη κέζσ ηνπ κεηαγσγνχ επηιέμηε ηελ ελαιιαζζφκελε ηάζε 10 V. 6. Με ην πνηελζηφκεηξν θαζνξίζηε ην δπλακηθφ ηεο ηζνδπλακηθήο ζην 1,00 V. 7. ην ρψξν αλάκεζα ζηα δχν ειεθηξφδηα-αγσγνχο εληνπίζηε 15 ζεκεία φπνπ ε έλδεημε ηνπ γαιβαλφκεηξνπ δείρλεη ηελ ειάρηζηε ηηκή. ηνλ άμνλα x ε απφζηαζε είλαη κφληκα cm, ελψ απηφ πνπ πξνζπαζνχκε λα εληνπίζνπκε είλαη ε ζέζε ηνπ y. Απφ ηα 15 ζεκεία ην έλα πξέπεη λα βξίζθεηαη ζηνλ άμνλα ζπκκεηξίαο ηνπ πεδίνπ. 8. Με ην πνηελζηφκεηξν θαζνξίζηε ην δπλακηθφ ηεο ηζνδπλακηθήο ζην,00 V θαη επαλαιάβαηε ην βήκα Δληνπίζηε 15 ζεκεία γηα ηηο ηζνδπλακηθέο θακπχιεο: 3, 4, 5, 6, 7, 8 θαη 9,00 V. 10. Πάλσ ζηνλ άμνλα ζπκκεηξίαο ηνπ πεδίνπ (x = 0) εληνπίζηε ηα ζεκεία φπνπ ην δπλακηθφ είλαη 0,5, 1, 1,5,,,5, 3..9,5 V (19 ζεκεία κε βήκα 0,5 V). 11. Δθηηκήζηε ην ζθάικα εληνπηζκνχ αθνινπζψληαο ηελ εμήο δηαδηθαζία: ηνλ άμνλα ζπκκεηξίαο εληνπίζηε αθφκε κία θνξά ην ζεκείν φπνπ ην δπλακηθφ είλαη 5,00 V. Μεηαθηλήζηε ηνλ αληρλεπηή θαηά Γy, πξνθαιψληαο κεηαθίλεζε ηεο βειφλαο ηνπ γαιβαλφκεηξνπ θαηά 1 ειάρηζηε ππνδηαίξεζε. Σφηε ην Γy κπνξνχκε λα νξίζνπκε σο ζθάικα εληνπηζκνχ ζηε δηεχζπλζε y. Καζψο ζηε δηεχζπλζε x ην βήκα είλαη ζηαζεξφ (0 mm) θαη ε ζέζε ηνπ αληρλεπηή επηιέγεηαη απφ εκάο, ζπλήζσο ε αθξίβεηα απηήο ηεο επηινγήο γίλεηαη κε ζθάικα πνπ δελ ππεξβαίλεη ην 1 mm. Δπνκέλσο: Γx = 1 mm. 9.6 Δπεμεξγαζία 1. Γηα ηε δηάηαμε ησλ ειεθηξνδίσλ πνπ κειεηήζαηε ζρεδηάζηε ζε ραξηί κηιηκεηξέ ηα ειεθηξφδηα, ηηο ηζνδπλακηθέο γξακκέο φπσο θαη ηηο δπλακηθέο γξακκέο ηνπ πεδίνπ, νη νπνίεο είλαη θάζεηεο ζηηο ηζνδπλακηθέο.. Υξεζηκνπνηψληαο ηα πεηξακαηηθά απνηειέζκαηα ηνπ βήκαηνο 10 ππνινγίζηε ηελ έληαζε ηνπ πεδίνπ Δ ζε φια ηα ζεκεία (19 ζπλνιηθά) θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ζπκκεηξίαο. 3. Απφ ην ζθάικα πνπ εθηηκήζαηε ζην βήκα 11 ππνινγίζηε ην ζθάικα ηνπ Δ, δδ, γηα έλα ηπρφλ ζεκείν απφ ηα παξαπάλσ ρεδηάζηε ζε ραξηί κηιηκεηξέ ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ Δ ζπλαξηήζεη απφζηαζεο r απφ ην επίπεδν ειεθηξφδην. 5. Ση ζπκκεηξίεο πξνβιέπεη ε ζεσξία γηα ην πεδίν πνπ κειεηήζαηε; Δπηβεβαηψλεηαη απφ ηηο κεηξήζεηο ζαο; 74

91 Άζθεζε 10 Μειέηε ηεο ρσξεηηθόηεηαο ππθλσηή θαη κέηξεζε ηεο δηειεθηξηθήο ζηαζεξάο πιηθώλ 10.1 θνπόο θνπφο ηεο άζθεζεο είλαη ν πξνζδηνξηζκφο ηεο ρσξεηηθφηεηαο ελφο ππθλσηή θαη ε κειέηε ηεο εμάξηεζήο ηεο απφ ηα γεσκεηξηθά ζηνηρεία ηνπ ππθλσηή θαη απφ ην πιηθφ πνπ παξεκβάιιεηαη κεηαμχ ησλ νπιηζκψλ ηνπ. 10. Θεσξία Ππθλσηήο είλαη ζχζηεκα δχν αγσγψλ ηθαλφ λα ζπζζσξεχεη ειεθηξηθφ θνξηίν. ηελ επηζηεκνληθή έξεπλα θαη Σερλνινγία ρξεζηκνπνηνχληαη πνιιψλ εηδψλ ππθλσηέο, φπσο ππθλσηέο θελνχ, ζπζζψξεπζεο κεγάινπ ειεθηξηθνχ θνξηίνπ, πςειήο ηάζεο θ.ι.π. πλήζσο, κεηαμχ ησλ δχν αγσγψλ παξεκβάιιεηαη κνλσηηθφ πιηθφ κε ζθνπφ ηελ αχμεζε ηεο ρσξεηηθφηεηαο ηνπ ππθλσηή. Αλ κεηαμχ δχν αξρηθά αθφξηηζησλ αγσγψλ εθαξκφζνπκε κηα ζπλερή δηαθνξά δπλακηθνχ ή ηάζε, V, ηφηε ζηηο επηθάλεηέο ηνπο ζα αλαπηπρζεί θαζαξφ (πιεφλαζκα) ζεηηθνχ θαη αξλεηηθνχ θνξηίνπ +Q θαη Q. To θνξηίν είλαη αλάινγν πξνο ηελ εθαξκνζκέλε ηάζε V. Ο ζπληειεζηήο αλαινγίαο C κεηαμχ Q θαη V ιέγεηαη ρσξεηηθόηεηα ππθλσηή: C = Q / V (10.1) H ρσξεηηθφηεηα είλαη κέγεζνο ραξαθηεξηζηηθφ ηνπ ππθλσηή, πνπ εθθξάδεη ηελ ηθαλφηεηά ηνπ λα απνζεθεχεη θνξηία ή ειεθηξηθή ελέξγεηα θαη εμαξηάηαη απφ ηα γεσκεηξηθά ζηνηρεία ηνπ θαη απφ ην πιηθφ πνπ βξίζθεηαη κεηαμχ ησλ αγσγψλ. ηελ πεξίπησζε πνπ ν ππθλσηήο είλαη επίπεδνο νη δχν δειαδή νπιηζκνί είλαη ιεπηέο, αγψγηκεο θαη παξάιιεια ηνπνζεηεκέλεο πιάθεο θαη ην πεδίν κεηαμχ ησλ νπιηζκψλ ηνπ κπνξεί λα ζεσξεζεί νκνγελέο (αγλννχκε ηη ζπκβαίλεη ζηα άθξα θαη ζην εμσηεξηθφ ηνπ) θαη δελ παξεκβάιιεηαη θάπνην πιηθφ κεηαμχ ησλ νπιηζκψλ ηνπ ε ρσξεηηθφηεηά ηνπ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν: C = ε 0 S / d (10.) φπνπ S ην εκβαδφλ ησλ κεηαιιηθψλ πιαθψλ, d ε απφζηαζε κεηαμχ ησλ δχν νπιηζκψλ θαη ε 0 κηα θπζηθή ζηαζεξά, ε δηειεθηξηθή ζηαζεξά ηνπ θελνύ. Σν ειεθηξηθφ πεδίν κεηαμχ ησλ νπιηζκψλ ηνπ ππθλσηή έρεη ηελ κνξθή ηνπ ρήκαηνο ην ζχζηεκα κνλάδσλ S.I. φπνπ κνλάδα θνξηίνπ είλαη ην C (= Coulomb) θαη ηάζεο ην V (= Volt), ε κνλάδα ρσξεηηθφηεηαο είλαη ην F ( = Farad), F = C / V. Ζ ηηκή ηεο ζηαζεξάο ε 0 είλαη 8, C / V m = 8,85 pf / m. 75

92 ρήκα ηελ πεξίπησζε πνπ ν ππθλσηήο έρεη νπιηζκνχο παξάιιειεο θπθιηθέο πιάθεο αθηίλαο R, ε δηφξζσζε απφ ηελ χπαξμε θαηλνκέλσλ ζηα άθξα εθθξάδεηαη κε έλαλ παξάγνληα f: C = ε 0 (S / d) f (10.3) πνπ εμαξηάηαη απφ ην ιφγν d/r. ηνλ παξαθάησ πίλαθα δίλνληαη θάπνηεο ηηκέο γηα ηνλ παξάγνληα f: d/r f 0, 1,86 0,1 1,167 0,05 1,094 0,0 1,04 0,01 1,03 Έλα αγψγηκν ή κνλσηηθφ πιηθφ κεηαμχ ησλ νπιηζκψλ ηνπ ππθλσηή απμάλεη ηελ ρσξεηηθφηεηά ηνπ. Αλ C 0 είλαη ε ρσξεηηθφηεηα ηνπ ππθλσηή ζην θελφ θαη C ε ρσξεηηθφηεηα κε κνλσηηθφ πιηθφ, ν ιφγνο ε r = C / C 0 (10.4) νλνκάδεηαη ζρεηηθή δηειεθηξηθή ζηαζεξά ηνπ πιηθνχ θαη ραξαθηεξίδεη ηε ζπκπεξηθνξά ηνπ πιηθνχ κέζα ζην ειεθηξηθφ πεδίν. Ζ ε r είλαη αδηάζηαην κέγεζνο θαη είλαη γηα ηνλ αέξα πεξίπνπ 1 θαη γηα ην λεξφ ζρεδφλ 80. Αλ ππάξρεη δηειεθηξηθφ πιηθφ κε ζρεηηθή δηειεθηξηθή ζηαζεξά ε r κεηαμχ ησλ νπιηζκψλ ηνπ ππθλσηή, ε Δμ. (10.) γίλεηαη: C = ε r ε 0 ( S / d) = ε ( S /d ) (10.5) φπνπ ην κέγεζνο ε = ε r ε 0 νλνκάδεηαη δηειεθηξηθή ζηαζεξά ηνπ πιηθνύ θαη έρεη ηηο δηαζηάζεηο ηνπ ε 0 ( F / m). Η πόιωζε ηωλ κε αγώγηκωλ πιηθώλ Σα κε αγψγηκα πιηθά, πνιψλνληαη φηαλ βξεζνχλ κέζα ζε ειεθηξηθφ πεδίν. Μέηξν ηεο Πόισζεο, Ρ, είλαη ε δηπνιηθή ξνπή πνπ αλαπηχζζεηαη αλά κνλάδα φγθνπ ηνπ πιηθνχ. ηα πεξηζζφηεξα δηειεθηξηθά πιηθά ε ζρέζε κεηαμχ ηεο πφισζεο, Ρ, θαη ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ πνπ επηθξαηεί ζην πιηθφ είλαη γξακκηθή, δειαδή: 76

93 P = ρ e Δ (10.6) φπνπ ρ e είλαη ε ειεθηξηθή επηδεθηηθόηεηα ηνπ πιηθνχ θαη εθθξάδεη ηελ αλά κνλάδα φγθνπ πνισζηκφηεηά ηνπ (ή ηε δηπνιηθή ξνπή πνπ αλαπηχζζεηαη ζηε κνλάδα ηνπ φγθνπ απφ ηε κνλάδα ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ). Σν πειίθν ρ e / ε 0 = ρ r νλνκάδεηαη ζρεηηθή ειεθηξηθή επηδεθηηθόηεηα θαη ηζρχεη: ε r 1 = ρ r (10.7) 10.3 Μέζνδνο Θα δηεμαρζνχλ ηα αθφινπζα πεηξάκαηα: Μειέηε ηεο κεηαβνιήο ηνπ θνξηίνπ ελφο ππθλσηή σο ζπλάξηεζε ηεο ηάζεο πνπ εθαξκφδεηαη ζηνπο νπιηζκνχο ηνπ. Μειέηε ηεο εμάξηεζεο ηεο ρσξεηηθφηεηαο ελφο ππθλσηή απφ ηελ απφζηαζε ησλ νπιηζκψλ ηνπ. Πξνζδηνξηζκφο ηεο ζρεηηθήο δηειεθηξηθήο ζηαζεξάο πιηθψλ. Κάζε κέηξεζε πεξηιακβάλεη δχν θάζεηο: α) Σε θφξηηζε ελφο ππθλσηή απφ κηα πεγή ηάζεο (ηξνθνδνηηθφ) κέζσ κηαο σκηθήο αληίζηαζεο. β) Σε κέηξεζε ηνπ θνξηίνπ ηνπ ππθλσηή κε «κεηξεηή» θνξηίνπ Πεηξακαηηθή δηάηαμε Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί θαίλεηαη ζην ρ Ζ δηάηαμε απνηειείηαη απφ: Ππθλσηή παξάιιεισλ νπιηζκψλ κε κεηαβιεηή απφζηαζε, κε θπθιηθέο πιάθεο δηακέηξνπ 0 cm ( C ) Σξνθνδνηηθφ ζπλερνχο ηάζεο ( Σ ) Βνιηφκεηξν ( V ) Όξγαλν κέηξεζεο θνξηίνπ ( Δ, G ) Πξνζηαηεπηηθή αληίζηαζε 100 MΩ ( R ) Μεηαγσγφ ( Μ ) Βηβιηνγξαθία ρήκα Μαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley, ηφκνο : Ζιεθηξηζκόο- Μαγλεηηζκόο. (Αζήλα, 1978), Κεθ. 3, 7.. M. Alonso θαη Finn, Θεκειηώδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, ηφκνο, κέξνο : Ζιεθηξνκαγλεηηζκόο. (Αζήλα, 1981), Κεθ Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα, 010). 77

94 10.5 Δθηέιεζε Μέηξεζε ηεο ρωξεηηθόηεηαο ηνπ ππθλωηή 1. Αλαγλσξίζηε ηα φξγαλα θαη ηελ ιεηηνπξγία ηνπο. πλδέζηε ηα αθνινπζψληαο ην ρ Ρπζκίζηε ηελ απφζηαζε ηνπ ππθλσηή π.ρ. ζηα mm. 3. Γπξίζηε ηνλ κεηαγσγφ ( Μ ) ζηε ζέζε θφξηηζεο (ζχλδεζε κε ηελ πεγή). 4. Δθαξκφζηε ηάζε (π.ρ. 50 V) ζηνλ ππθλσηή γηα κεξηθά δεπηεξφιεπηα θαη θαηαγξάςηε ηελ ηηκή ηεο πνπ δηαβάδεηε ζην βνιηφκεηξν ( V ) ζηνλ Πίλαθα Η. 5. Γπξίζηε ηνλ κεηαγσγφ (Μ) ζηε ζέζε εθθφξηηζεο θαη θαηαγξάςηε ζηνλ Πίλαθα Η ηελ κέγηζηε απφθιηζε Q. Aπνζπλδέζηε ηνλ ππθλσηή απφ ην θχθισκα θαη επαλαιάβεηε ηελ κέηξεζε ηνπ θνξηίνπ. Σν θνξηίν Q πνπ ζα κεηξήζεηε έηζη, ζα αληηζηνηρεί ζην παξαζηηηθφ θνξηίν ησλ θαισδίσλ ζπλδεζκνινγίαο. πκπιεξψζηε ηηο ηηκέο V, Q, θαη Q ζηνλ Πίλαθα Η. Ζ δηαθνξά Q - Q ζα καο δψζεη ην θνξηίν ηνπ ππθλσηή, Q π. 6. Δπαλαιάβεηε ηα βήκαηα 4 θαη 5 γηα έμη δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηεο ηάζεο, θαιχπηνληαο ηελ πεξηνρή 0 έσο 00 V. Καηαγξάςηε ηα απνηειέζκαηα ζηνλ Πίλαθα Η. Απνζπλδέζηε ηνλ ππθλσηή απφ ην θχθισκα θαη επαλαιάβεηε φιεο ηηο κεηξήζεηο ηνπ βήκαηνο, ψζηε λα κεηξήζεηε γηα φιεο ηηο ηηκέο ηεο ηάζεο, ην παξαζηηηθφ θνξηίν, Q. πκπιεξψζηε ηηο ηηκέο ησλ V, Q, Q, θαη Q π ζηνλ Πίλαθα Η. V (V) Q (C) Πίλαθαο I Q (C) Q π = Q Q (C) Δμάξηεζε ηεο ρωξεηηθόηεηαο ηνπ ππθλωηή από ηελ απόζηαζε ηωλ νπιηζκώλ Μεηαβάιιεηε ηελ απφζηαζε ησλ νπιηζκψλ απφ 0,5 σο 3 mm, απμάλνληάο ηελ θαηά 0,5 mm θάζε θνξά. Γηα θάζε απφζηαζε ησλ νπιηζκψλ, θνξηίδεηε ηνλ ππθλσηή εθαξκφδνληαο ηελ ίδηα πάληα ηάζε 00 V, θαη κεηξάηε ηα θνξηία, Q θαη Q, φπσο πξνεγνπκέλσο. Καηαγξάςηε ηα απνηειέζκαηα ζηνλ Πίλαθα ΗΗ. Πίλαθαο II d (mm) Q (C) Q (C) Q π = Q Q (C) C = Q π /V (pf) Μέηξεζε ηεο ζρεηηθήο δηειεθηξηθήο ζηαζεξάο πιηθώλ Γηα θάζε πιηθφ πνπ ζα κεηξεζεί επαλαιάβεηε ηα βήκαηα 4 θαη 5 (ηνπ κέξνπο ) ζχκθσλα κε ηελ αθφινπζε δηαδηθαζία: 1. Με ην δηειεθηξηθφ κεηαμχ ησλ νπιηζκψλ θαη γηα 5 δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηεο ηάζεο κεηαμχ 50 θαη 00 V θαηαγξάθνληαο ηα απνηειέζκαηα ζηνλ Πίλαθα ΗΗΗ (ζηήιεο V, Q δηει. ). 78

95 . Υσξίο ην δηειεθηξηθφ κεηαμχ ησλ νπιηζκψλ ηνπ ππθλσηή θαη κε απφζηαζε ίζε κε ην πάρνο ηνπ θχιινπ ηνπ δηειεθηξηθνχ θαη γηα ηηο ίδηεο ηηκέο ηεο ηάζεο κε ηελ πξνεγνχκελή ζαο κέηξεζε. Καηαγξάςηε ηα απνηειέζκαηα ζηνλ Πίλαθα ΗΗΗ (ζηήιε Q αεξ. ). Πίλαθαο III V (V) Q δηει. (C) Q αεξ. (C) C δηει. (pf) C αεξ. (pf) ε r 10.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Πξνζδηνξηζκόο ηεο ρωξεηηθόηεηαο ηνπ ππθλωηή 1. Απφ ηα δεχγε ησλ ηηκψλ Q π θαη V ηνπ Πίλαθα Η ραξάμηε ηελ θακπχιε Q π σο ζπλάξηεζε ηνπ V. Τπνινγίζηε ηελ θιίζε ηεο επζείαο κε ηελ γξαθηθή κέζνδν θαη απφ ηελ θιίζε ηεο επζείαο ππνινγίζηε ηελ κέζε ηηκή ηεο ρσξεηηθφηεηαο, C, θαζψο θαη ην ζθάικα ηεο δc. Καη γξάςηε ην απνηέιεζκα ζηε κνξθή C ± δc.. πγθξίλεηε ηελ ηηκή ηεο C πνπ βξήθαηε κε ηε ζεσξεηηθή (Δμ. 10.3). 3. ρνιηάζηε ηε δηαθνξά ησλ δχν ηηκψλ Δμάξηεζε ηεο ρωξεηηθόηεηαο ηνπ ππθλωηή από ηελ απόζηαζε ηωλ νπιηζκώλ 1. Τπνινγίζηε ηηο ηηκέο ηεο ρσξεηηθφηεηαο, C, γηα θάζε κία απφ ηηο απνζηάζεηο πνπ ρξεζηκνπνηήζαηε θαη θαηαρσξήζηε ηηο ζηνλ Πίλαθα ΗΗ.. ρεδηάζηε ην δηάγξακκα C ζπλαξηήζεη ηνπ 1/d θαη ειέγμηε ηελ γξακκηθφηεηα ηεο ζρέζεο. 3. ην παξαπάλσ δηάγξακκα ραξάμηε θαη ηε ζεσξεηηθή θακπχιε πνπ πξνθχπηεη απφ ηελ Δμ. (10.3). 4. ρνιηάζηε ηηο δηαθνξέο κεηαμχ ησλ δχν θακππιψλ Πξνζδηνξηζκόο ηεο ζρεηηθήο δηειεθηξηθήο ζηαζεξάο πιηθώλ 1. Απφ ηηο ηηκέο ηνπ Πίλαθα ΗΗΗ ππνινγίζηε ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ηεο ρσξεηηθφηεηαο ηνπ ππθλσηή, κε δηειεθηξηθφ (C δηει. ) θαη κε αέξα (C αεξ. ) κεηαμχ ησλ νπιηζκψλ, ρξεζηκνπνηψληαο ηελ Δμ. (10.1) θαη ζπκπιεξψζηε ηηο ηνλ Πίλαθα ΗΗΗ.. Γηα πέληε δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηεο ηάζεο ππνινγίζηε απφ ηελ Δμ. (10.4) ηηο ηηκέο ηεο ζρεηηθήο δηειεθηξηθήο ζηαζεξάο, ε r, θαη θαηαγξάςηε ηηο ζηνλ Πίλαθα ΗΗΗ 3. Τπνινγίζηε ηε κέζε ηηκή ηεο ε r θαη ην ζθάικα ηεο, ε r ± δε r. 4. Πνηεο αηηίεο κπνξεί λα έρνπλ αιινηψζεη ηελ ηηκή πνπ ππνινγίζαηε; 79

96 Άζθεζε 11 Μέηξεζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ελόο ζσιελνεηδνύο 11.1 θνπόο ηελ άζθεζε απηή ζα κεηξεζεί ην καγλεηηθφ πεδίν ελφο ζσιελνεηδνχο (θπιηλδξηθνχ πελίνπ). Θα ρξεζηκνπνηεζεί έλα δνθηκαζηηθφ πελίν, ε ρξήζε ηνπ νπνίνπ ζηεξίδεηαη ζηνλ λφκν ηεο ειεθηξνκαγλεηηθήο επαγσγήο, θαη έλα βαιιηζηηθφ γαιβαλφκεηξν. 11. Θεσξία Σν καγλεηηθό πεδίν Γηα ηελ πεξηγξαθή ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ ζην ρψξν ρξεζηκνπνηνχκε ην δηάλπζκα B(x,y,z) πνπ νλνκάδεηαη καγλεηηθό πεδίν ή καγλεηηθή επαγσγή. Ωο εμίζσζε νξηζκνχ ηεο καγλεηηθήο επαγσγήο κπνξνχκε λα ζεσξήζνπκε ηε ζρέζε πνπ πεξηγξάθεη ηε δχλακε Lorentz πνπ αζθείηαη πάλσ ζε έλα θηλνχκελν θνξηίν (11.1) φπνπ F ε δχλακε, q ην ειεθηξηθφ θνξηίν, Δ ην ειεθηξηθφ πεδίν θαη π ε ηαρχηεηα ηνπ θνξηίνπ. ην ζχζηεκα κνλάδσλ S.I. ε κνλάδα κέηξεζεο ηνπ Β είλαη ην Tesla πνπ είλαη ίζν κε 104 Gauss, φπνπ ην Gauss είλαη ε αληίζηνηρε κνλάδα ζην ζχζηεκα CGS Σν καγλεηηθό πεδίν ζωιελνεηδνύο Θεσξνχκε ζσιελνεηδέο κήθνπο L, αθηίλαο b, κε n πεξηειίμεηο αλά κνλάδα κήθνπο, πνπ δηαξξέεηαη απφ ξεχκα Η φπσο θαίλεηαη ζην ρήκα ρήκα 11.1 ρεκαηηθή δηάηαμε γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ Β ζην ζεκείν Α ζηνλ άμνλα ζσιελνεηδνύο Θεσξνχκε φηη νη πεξηειίμεηο είλαη αξθεηά ππθλέο, έηζη ψζηε ην ζσιελνεηδέο λα είλαη ηζνδχλακν κε κηα επαιιειία n X L δαθηπιίσλ ξεχκαηνο αθηίλαο b. Σφηε, ην καγλεηηθφ πεδίν Β πάλσ ζηνλ άμνλα ηνπ πελίνπ είλαη παξάιιειν πξνο ηνλ άμνλα θαη δίλεηαη, ζην ζεκείν Α ηνπ ζρήκαηνο, απφ ηε ζρέζε 80

97 (11.) φπνπ (11.3) θαη κ 0 = 4π x 1Ο -7 H /m ε καγλεηηθή δηαπεξαηφηεηα ηνπ θελνχ (καγλεηηθή ζηαζεξά). Ζ ηηκή ηνπ Β γίλεηαη κέγηζηε (Bmax) ζην κέζνλ ηνπ ζσιελνεηδνχο (x = L x) Αλ L>>b ηφηε (11.4) (11.5) ελψ ζην άθξν ηνπ πελίνπ, x = 0 (θαη πάληα πάλσ ζηνλ άμνλα ηνπ πελίνπ), έρνπκε (11.6) Γηα ζεκεία εθηφο ηνπ ζσιελνεηδνχο θαη πάλσ ζηελ πξνέθηαζε ηνπ άμνλα ηνπ νη εθθξάζεηο γηα ηα cosζ 1 θαη cosζ γίλνληαη (11.7) φπνπ x ε απφζηαζε ηνπ ζεκείνπ απφ ην άθξν O 1 ηνπ πελίνπ (x>0 πάληνηε) Μέηξεζε καγλεηηθνύ πεδίνλ κε δνθηκαζηηθό πελίν Ζ ρξήζε δνθηκαζηηθνχ πελίνπ γηα ηε κέηξεζε ελφο καγλεηηθνχ πεδίνπ Β ζηεξίδεηαη ζηνλ λόκν ηεο ειεθηξνκαγλεηηθήο επαγσγήο (λόκνο ηνπ Faraday). Αλ έλα δνθηκαζηηθφ (κεηξεηηθφ) πελίν δηαηνκήο Α, κε ζπλνιηθφ αξηζκφ πεξηειίμεσλ Ν βξίζθεηαη κέζα ζε έλα καγλεηηθφ πεδίν Β κε ηελ επηθάλεηα δηαηνκήο ηνπ θάζεηε ζηε δηεχζπλζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ, ε καγλεηηθή ξνή Φ πνπ δηέξρεηαη απφ θάζε ζπείξα είλαη (11.8) Ζ ηειεπηαία ηζφηεηα (φπσο θαη νη επφκελεο ζρέζεηο) ηζρχεη γηα καγλεηηθφ πεδίν πνπ είλαη νκνγελέο ζε φιε ηελ επηθάλεηα ηεο δηαηνκήο Α. Αλ ε καγλεηηθή απηή ξνή κεηαβάιιεηαη κε ην ρξφλν κε ξπζκφ dφ/dt, ηφηε ε ειεθηξεγεξηηθή δχλακε (ηάζε) ζηνπο αθξνδέθηεο ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ είλαη 81

98 (11.9) Αλ R είλαη ε ζπλνιηθή αληίζηαζε ζην θιεηζηφ θχθισκα ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ, ηφηε ε εμάξηεζε ηνπ ξεχκαηνο I ζην θχθισκα απηφ απφ ην ρξφλν δίλεηαη απφ ηε ζρέζε (11.10) Αλ ε κεηαβνιή ηεο ξνήο Φ απφ ηελ αξρηθή ηεο ηηκή ΒΑ ζηελ ηειηθή ηεο ηηκή 0 (π.ρ. αλ ην πελίν πεξηζηξαθεί θαηά γσλία π/, έηζη ψζηε ην καγλεηηθφ πεδίν Β λα είλαη ηειηθά παξάιιειν πξνο ηελ επηθάλεηα δηαηνκήο ηνπ, ή αλ απνκαθξχλνπκε ην πελίν ζε έλα ρψξν φπνπ Β = 0, ή ηέινο, αλ κεδελίδεηαη ην ξεχκα Η ηνπ ζσιελνεηδνχο, ρσξίο λα κεηαθηλεζεί ην δνθηκαζηηθφ πελίν) απαηηεί ρξφλν η, ηφηε ην ζπλνιηθφ θνξηίν Q ζην θιεηζηφ θχθισκα ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ είλαη (11.11) ρήκα 11. Ζ Δμ. (11.11) επηηξέπεη ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ, Β, ζηελ (αξρηθή) ζέζε ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ απφ ηε κέηξεζε ηνπ θνξηίνπ, Q,. Θα πξέπεη λα παξαηεξεζεί φηη ε ηηκή ηνπ θνξηίνπ δελ εμαξηάηαη απφ ηελ ηαρχηεηα κεηαβνιήο ηεο ξνήο, Φ, αιιά κφλνλ απφ ηελ αξρηθή θαη ηειηθή ηεο ηηκή, κηα ηδηφηεηα πνπ θαζηζηά ηε κέηξεζε ζρεηηθά άλεηε Ηιεθηξηθέο κεηξήζεηο κε γαιβαλόκεηξν Σν γαιβαλφκεηξν είλαη έλα επαίζζεην φξγαλν γηα ηε κέηξεζε κηθξψλ ξεπκάησλ, ηάζεσλ θαη ειεθηξηθψλ θνξηίσλ. Ζ αξρή ιεηηνπξγίαο ηνπ θαίλεηαη ζηα ρ. 11. θαη Έλα πελίν κε n πεξηειίμεηο βξίζθεηαη ζην δηάθελν κεηαμχ ησλ πφισλ Ν θαη S ελφο κφληκνπ καγλήηε θαη ηνπ θπιηλδξηθνχ ηνπ ππξήλα Π, ζρεκαηίδνληαο έλα πιαίζην, γχξσ απφ ηνλ ππξήλα (ρ. 11.). Αξρή ιεηηνπξγίαο ηνπ γαιβαλνκέηξνπ Σν πελίν είλαη αλεξηεκέλν απφ λήκα Γ (ρ. 11.3), έηζη ψζηε λα κπνξεί λα πεξηζηξέθεηαη γχξσ απφ ηνλ άμνλα ηνπ θπιηλδξηθνχ ππξήλα. Οη πξνζαγσγνί ξεχκαηνο Α θαη Κ είλαη ζπεηξνεηδή ειαηήξηα θαη εμαζθαιίδνπλ, καδί κε ηελ αλάξηεζε Γ, ηελ επηζηξνθή ηνπ πελίνπ 8

99 ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο φηαλ ην πελίν δε δηαξξέεηαη απφ ξεχκα. Σν καγλεηηθφ πεδίν Β ζην δηάθελν κεηαμχ ησλ πφισλ (Ν, S) θαη ηνπ ππξήλα Π είλαη πξαθηηθά αθηηληθφ (ρ. 11.). Σν πελίν ζην ρ. 11. έρεη κία κφλν νξζνγψληα πεξηέιημε πιάηνπο d θαη κήθνπο l. Γηα κηθξέο ζρεηηθά γσλίεο πεξηζηξνθήο θ (sinθ θ), νη θάζεηεο πιεπξέο κήθνπο l θηλνχληαη ζε έλα πξαθηηθά ζηαζεξφ ρσξηθά καγλεηηθφ πεδίν Β θαη ε καγλεηηθή ξνή Φ κέζα απφ ην πελίν είλαη (απφ ηελ Δμ. 11.8). (11.1) ρήκα Καηνπηξηθό γαιβαλόκεηξν. Π: πελίν, Α θαη Κ: πξνζαγωγνί ξεύκαηνο, Κ': θάηνπηξν, Γ: λήκα αλάξηεζεο. Όηαλ ην πελίν δηαξξέεηαη απφ ξεχκα Η (ην πξνο κέηξεζε ξεχκα), ε δχλακε Laplace, F, ζηηο θάζεηεο πιεπξέο κήθνπο l είλαη θαη ε ειεθηξνκαγλεηηθή ξνπή (11.13) (11.14) φπνπ Α = d l ε επηθάλεηα δηαηνκήο ηνπ πελίνπ. Σν κέγεζνο G = εβα είλαη κηα ζηαζεξά θαη νλνκάδεηαη δπλακηθή ζηαζεξά ηνπ γαιβαλνκέηξνπ. Όηαλ ην πελίν δηαξξέεηαη απφ ξεχκα Η, ζα ηζνξξνπήζεη ζε κηα γσλία πεξηζηξνθήο θ, ηέηνηα ψζηε ε κεραληθή ξνπή επαλαθνξάο ηνπ πελίνπ Νκερ = Dθ, φπνπ D ε θαηεπζχλνπζα ξνπή ηνπ λήκαηνο αλάξηεζεο ηνπ πελίνπ, λα εμηζνξξνπείηαη απφ ηελ ειεθηξνκαγλεηηθή ξνπή (11.15) Με ηε κέηξεζε, ινηπφλ, ηεο γσλίαο πεξηζηξνθήο θ είλαη δπλαηφλ λα βξεζεί ην ξεχκα I πνπ δηαξξέεη ην πελίν ηνπ γαιβαλνκέηξνπ, αθνχ D θαη G είλαη ζηαζεξέο ηνπ νξγάλνπ. Ζ κέηξεζε κηαο άγλσζηεο ηάζεο αλάγεηαη, κε βάζε ην λφκν ηνπ Ohm, ζηε κέηξεζε ελφο ξεχκαηνο: ε πξνο κέηξεζε ηάζε ζηνπο αθξνδέθηεο Α θαη Κ ηνπ πελίνπ ηνπ γαιβαλνκέηξνπ (ρ. 11.3) είλαη αλάινγε ηνπ ξεχκαηνο κέζα απφ ηελ εζσηεξηθή αληίζηαζε ηνπ πελίνπ. Γηα ηε κέηξεζε ειεθηξηθνχ θνξηίνπ ρξεζηκνπνηνχκε ην γαιβαλφκεηξν σο βαιιηζηηθφ γαιβαλφκεηξν (βι. Παξαγξ ). 83

100 Γηα πην άλεηε θαη αθξηβή κέηξεζε ηεο γσλίαο πεξηζηξνθήο ηνπ πελίνπ θ, ην γαιβαλφκεηξν είλαη ζπλήζσο εμνπιηζκέλν κε θάηνπηξν Κ', πνπ είλαη ζηεξεά ζπλδεδεκέλν κε ην λήκα αλάξηεζεο Γ (ρ. 11.3) θαη πεξηζηξέθεηαη καδί κε ην πελίν (θαηνπηξηθφ γαιβαλφκεηξν). Πεξηζηξνθή ηνπ πελίνπ θαηά γσλία θ πξνθαιεί, ινηπφλ, πεξηζηξνθή ηνπ θαηφπηξνπ θαηά ηελ ίδηα γσλία. Μηα πξνζπίπηνπζα δέζκε θσηφο αλαθιάηαη ηφηε θαηά γσλία β = θ (ρ. 11.4). Ζ αληίζηνηρε κεηαηφπηζε ηεο θσηεηλήο θειίδαο είλαη (11.16) ζε κηα θπθιηθή θιίκαθα αθηίλαο Γ, ζην θέληξν ηεο νπνίαο βξίζθεηαη ην θάηνπηξν ηνπ γαιβαλνκέηξνπ (1, ρ. 11.4). Σα β θαη θ ζηελ Δμ. (11.16) κεηξνχληαη ζε αθηίληα. Ζ κεηαηφπηζε ζε κηα επίπεδε θιίκαθα (, 11.4) είλαη (11.17) Γηα κηθξέο γσλίεο, θ, κπνξνχκε λα αληηθαηαζηήζνπκε ην α κε ην α', πνπ κεηξάηαη πην άλεηα. Σν ζρεηηθφ ζθάικα (~ 1% γηα β Π/18 = 10 ) απμάλεη κε ηε γσλία β. Αλάγλσζε ηεο πεξηζηξνθήο ηνπ βαιιηζηηθνχ γαιβαλνκέηξνπ. Σν λήκα ηνπ ιακπηήξα Λ απεηθνλίδεηαη κέζσ ηνπ θαθνχ Φ θαη ηνπ θαηφπηξνπ Κ' ζηελ θιίκαθα 1 ή Ζ θίλεζε ηνπ πελίνπ ηνπ γαιβαλνκέηξνπ απφ ηε ζέζε ηζνξξνπίαο, φηαλ ην πελίν δε δηαξξέεηαη απφ ξεχκα (θ = 0), ζηε λέα ζέζε ηζνξξνπίαο φηαλ απηφ δηαξξέεηαη απφ ξεχκα I (θ 0) είλαη αξθεηά ζχλζεηε θαη πεξηγξάθεηαη απφ ηε δηαθνξηθή εμίζσζε ηαιάλησζεο κε απφζβεζε. Ζ απφζβεζε είλαη κεραληθή (ιφγσ ησλ ηξηβψλ αλάξηεζεο θαη ηεο αληίζηαζεο ηνπ αέξα ζηελ θίλεζε ηνπ πελίνπ) θαη ειεθηξνδπλακηθή: ε πεξηζηξνθή ηνπ πελίνπ κέζα ζην εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν πξνθαιεί κεηαβνιή ηεο καγλεηηθήο ξνήο κέζα απφ ην πελίν θαη ηελ εκθάληζε, επνκέλσο, κηαο ειεθηξεγεξηηθήο δχλακεο εμ επαγσγήο ζηνπο αθξνδέθηεο ηνπ πελίνπ θαη ελφο ξεχκαηνο εμ επαγσγήο ζην θχθισκα ηνπ πελίνπ, πνπ «αληηηίζεηαη» ζηελ θίλεζε ηνπ πελίνπ {θαλόλαο Lenz). Δπηιέγνληαο θαηάιιεια ηελ αληίζηαζε ζην θχθισκα ηνπ γαιβαλνκέηξνπ, κπνξνχκε λα έρνπκε κία απφ ηηο εμήο ηξεηο πεξηπηψζεηο απφζβεζεο θαη θίλεζεο ηνπ πελίνπ: κηθξή απόζβεζε θαη απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε απφζβεζε γχξσ απφ ηε ζέζε ηζνξξνπίαο, ππεξαπόζβεζε θαη κε ηαιαλησηηθή θίλεζε πξνο ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο πνιχ αξγά θαη, ηέινο, θξίζηκε απόζβεζε θαη απνθαηάζηαζε ηεο ηζνξξνπίαο ζηνλ ειάρηζην δπλαηφ ρξφλν. Καηά θαλφλα έλα γαιβαλφκεηξν, φπσο θαη άιια φξγαλα κέηξεζεο, είλαη ξπζκηζκέλν ζηελ θξίζηκε απφζβεζε, ψζηε ν ρξφλνο πνπ απαηηείηαη γηα ηε κέηξεζε λα είλαη ν ειάρηζηνο δπλαηφο. 84

101 Σν βαιιηζηηθό γαιβαλόκεηξν Δθηφο απφ κεηξήζεηο ξεχκαηνο θαη ηάζεο, ην γαιβαλφκεηξν ρξεζηκνπνηείηαη θαη γηα κεηξήζεηο ειεθηξηθνχ θνξηίνπ Q = Idt (11.18) 0 κε ηελ πξνυπφζεζε φηη ν ρξφλνο δηέιεπζεο ηνπ ξεχκαηνο είλαη κηθξφο ζε ζρέζε κε ηελ πεξίνδν ηαιάλησζεο Σ ηνπ πελίνπ ηνπ γαιβαλνκέηξνπ. Ζ δηέιεπζε ηνπ ξεχκαηνο πξνθαιεί κηα αξρηθή ψζεζε ηνπ πελίνπ, πνπ αθήλεηαη κεηά λα εθηειέζεη, αλάινγα κε ηελ απφζβεζε πνπ έρεη, πεξηνδηθή ή κε θίλεζε. ε θάζε πεξίπησζε κπνξεί λα δεηρζεί φηη ε κέγηζηε γσλία πεξηζηξνθήο θκεγ ηνπ πελίνπ (θαη, επνκέλσο, ε κέγηζηε απφθιηζε α'κεγ ηεο θσηεηλήο θειίδαο ζηελ επίπεδε θιίκαθα), είλαη αλάινγε ηνπ ειεθηξηθνχ θνξηίνπ Q (ηεο αξρηθήο ψζεζεο, γεληθά), ζπλεπψο (11.19) Ζ ζηαζεξά αλαινγίαο Δβ είλαη ε βαιιηζηηθή επαηζζεζία ηνπ γαιβαλνκέηξνπ. Γηα ζηαζεξή απφζβεζε, δειαδή ζηαζεξή αληίζηαζε ζην ειεθηξηθφ θχθισκα ηνπ γαιβαλνκέηξνπ, ε Δβ είλαη κηα ζηαζεξά ηνπ γαιβαλνκέηξνπ Μέζνδνο Ζ κέζνδνο πνπ αθνινπζείηαη γηα ηε κέηξεζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ Β ζε κία ζέζε Α (ρ. 11.1) ζηεξίδεηαη ζην λφκν ηεο ειεθηξνκαγλεηηθήο επαγσγήο. Έλα κηθξφ δνθηκαζηηθφ (κεηξεηηθφ) πελίν βξίζθεηαη ζηε ζέζε Α κε ηελ επηθάλεηα δηαηνκήο ηνπ θάζεηα ζηε δηεχζπλζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ Β. Σν δνθηκαζηηθφ πελίν είλαη ειεθηξηθά ζπλδεδεκέλν κε έλα βαιιηζηηθφ γαιβαλφκεηξν. Σν ξεχκα ζην θχθισκα ηνπ ζσιελνεηδνχο κεδελίδεηαη (δηαθφπηεο) θαη καδί, βέβαηα, θαη ην καγλεηηθφ πεδίν. Σφηε ην ειεθηξηθφ θνξηίν πνπ επάγεηαη ζην θχθισκα δνθηκαζηηθνχ πελίνπ-γαιβαλνκέηξνπ δίδεηαη απφ ηελ Δμ. (11.11), (11.0) φπνπ Ν ν ζπλνιηθφο αξηζκφο πεξηειίμεσλ (ζπεηξψλ), Α ην εκβαδφλ ηεο δηαηνκήο ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ θαη R ε ειεθηξηθή αληίζηαζε ζην θχθισκα δνθηκαζηηθνχ πελίνπγαιβαλνκέηξνπ. Σν θνξηίν Q κεηξηέηαη κε ην βαιιηζηηθφ γαιβαλφκεηξν θαη δίλεηαη απφ ηελ Δμ. (11.19) (11.1) φπνπ Δβ είλαη κηα ζηαζεξά ηνπ γαιβαλνκέηξνπ γηα ζηαζεξή αληίζηαζε R=R π +R γ ζην θχθισκα δνθηκαζηηθνχ πελίνπ-γαιβαλνκέηξνπ ε νπνία δίλεηαη. Σν καγλεηηθφ πεδίν ζε θάζε ζέζε ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ πξνθχπηεη απφ ηε κέηξεζε ηεο απφθιηζεο α'κεγ θαη ηηο Δμ. (11.0) θαη (11.19). Σν καγλεηηθφ πεδίν πνπ ζα κεηξεζεί είλαη ην καγλεηηθφ πεδίν ζσιελνεηδνχο ζε δηάθνξεο ζέζεηο πάλσ ζηνλ άμνλα ηνπ ζσιελνεηδνχο θαη ζηελ πξνέθηαζε ηνπ άμνλα έμσ απφ ην ζσιελνεηδέο. Ζ ζεσξεηηθή ηηκή ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ δίλεηαη απφ ηηο Δμ. (11.), (11.3) θαη (11.7). Παξαηήξεζε 1: Ζ κέηξεζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ είλαη ηφζν πην «ζεκεηαθή», φζν κηθξφηεξν είλαη ην δνθηκαζηηθφ (κεηξεηηθφ) πελίν. Όκσο ε γσλία πεξηζηξνθήο θκεγ ηνπ πελίνπ ηνπ γαιβαλνκέηξνπ ή ην κέγεζνο α'κεγ πνπ ζα κεηξεζεί γηα ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ Β, κεηψλεηαη φζν κεηψλνληαη ν αξηζκφο ησλ πεξηειίμεσλ Ν θαη ε επηθάλεηα δηαηνκήο Α ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ (βι. Δμ. (11.8)-(11.9) θαη (11.19)). Ζ 85

102 εμάξηεζε απηή ζέηεη έλα θάησ φξην γηα ην γηλφκελν ΝΑ θαη επνκέλσο γηα ην κέγεζνο ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ, φξην πνπ εμαξηάηαη απφ ηελ επαηζζεζία ηνπ γαιβαλνκέηξνπ. Παξαηήξεζε : Ζ επηινγή πνπ έγηλε γηα ηε κεγηζηνπνίεζε ηνπ γηλνκέλνπ ΝΑ κε παξάιιειε ειαρηζηνπνίεζε ησλ δηαζηάζεσλ ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ, ηδηαίηεξα ηεο δηάζηαζεο ηεο παξάιιειεο πξνο ηνλ άμνλα ηνπ ζσιελνεηδνχο (επεηδή ζα κεηξεζεί ην καγλεηηθφ πεδίν ηνπ ζσιελνεηδνχο ζε δηάθνξεο ζέζεηο πάλσ ζηνλ άμνλα ηνπ ζσιελνεηδνχο), επέβαιε ηελ πεξηέιημε πεξηζζφηεξσλ απφ κίαο ζηξψζεσλ ζπεηξψλ ζην δνθηκαζηηθφ πελίν, ηε κία ζηξψζε πάλσ ζηελ άιιε. Σφηε φκσο ε καγλεηηθή ξνή Φ κέζα απφ ην δνθηκαζηηθφ πελίν, γηα νκνγελέο καγλεηηθφ πεδίν Β θάζεην ζηελ επηθάλεηα δηαηνκήο ηνπ, δε δίλεηαη απφ ηε ζρέζε φπνπ Α ε επηθάλεηα δηαηνκήο ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ, αιιά απφ ηε ζρέζε, (11.) (11.3) φπνπ N i ν αξηζκφο πεξηειίμεσλ ηεο ζηξψζεο i, A i ε επηθάλεηα δηαηνκήο γηα ηε ζηξψζε i θαη m ν ζπλνιηθφο αξηζκφο ησλ ζηξψζεσλ. Σν κέγεζνο είλαη κία ζηαζεξά ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ (έλα είδνο ελεξγνχ ηηκήο ηνπ γηλνκέλνπ ΝΑ). ηελ Δμ. (11.9) θαη ζε φιεο ηηο επφκελεο ην κέγεζνο NΑ πξέπεη λα αληηθαηαζηαζεί ζηνπο ππνινγηζκνχο κε ην παξαπάλσ άζξνηζκα (κε ηελ ελεξγφ ηηκή ηνπ γηλνκέλνπ ΝΑ) Πεηξακαηηθή δηάηαμε ρήκα ρεκαηηθή παξάζηαζε ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο. : ζσιελνεηδέο, Σ: ηξνθνδνηηθφ ηζρχνο, Γ : δηαθφπηεο, Α: ακπεξφκεηξν, Γ: δνθηκαζηηθφ πελίν, Γ: γαιβαλφκεηξν, Λ: ιακπηήξαο, Ο: νζφλε Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε πεξηιακβάλεη: Έλα ειεθηξηθφ θχθισκα γηα ηε δεκηνπξγία ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ πνπ ζα κεηξεζεί (Κχθισκα I, ρ. 11.5). Απνηειείηαη απφ -Σξνθνδνηηθφ ηζρχνο (Σ). -Ακπεξφκεηξν γηα ηε κέηξεζε ηεο έληαζεο ηνπ ξεχκαηνο I ζην θχθισκα (Α). 86

103 -Μεγάιν θπιηλδξηθφ πελίν (ζσιελνεηδέο ) γηα ηε δεκηνπξγία ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ πνπ ζα κεηξεζεί. Σν ζσιελνεηδέο έρεη κήθνο L = 0,30 m, αθηίλα δηαηνκήο b = 0,06 m θαη ζπλνιηθφ αξηζκφ ζπεηξψλ Ν ίζν κε Έλα ειεθηξηθφ θχθισκα γηα ηε κέηξεζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ (Κχθισκα II, ρ. 11.5). Απνηειείηαη απφ: Μηθξφ δνθηκαζηηθφ (κεηξεηηθφ) θπιηλδξηθφ πελίν (Γ) αλεξηεκέλν ζην επάλσ κέξνο ηνπ ζσιελνεηδνχο (βι. ρ. 11.5). Σν δνθηκαζηηθφ πελίν κπνξεί λα κεηαθηλεζεί θαηά κήθνο ηνπ ζσιελνεηδνχο κε ηνλ άμνλά ηνπ πάλσ ζηνλ άμνλα ηνπ ζσιελνεηδνχο. Έρεη εζσηεξηθή αθηίλα δηαηνκήο 0,75 cm. Ο ζπλνιηθφο αξηζκφο ζπεηξψλ είλαη Ν=1500. Ζ ελεξγφο ηηκή ηνπ γηλνκέλνπ ΝΑ ζηελ Δμ. (11.9) είλαη 0,65 m. Δπίζεο, ππάξρεη έλα βαιιηζηηθφ γαιβαλφκεηξν (Γ). -Μία δηάηαμε γηα ηελ αλάγλσζε ηεο κέγηζηεο απφθιηζεο α'κεγ ηεο θσηεηλήο θειίδαο ηνπ γαιβαλνκέηξνπ πνπ απνηειείηαη απφ έλα ιακπηήξα Α θαη κηα νζφλε Ο κε επίπεδε θιίκαθα (βι. ρ θαη ρ. 11.5). Βηβιηνγξαθία 1. Mαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley, Tφκνο ΗΗ: Ζιεθηξηζκόο - Μαγλεηηζκόο. ), Κεθ. 6 θαη 7 (Αζήλα, 1978).. Ζ.J. Pain, Φπζηθή ησλ ηαιαληώζεσλ θαη ησλ θπκάησλ. Κεθ. 1, Παξάγξ. 1.1 (Αζήλα, 1990). 3. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα 010) 11.5 Δθηέιεζε 1. πλδέζηε ζε ζεηξά ην ηξνθνδνηηθφ ηζρχνο, ην ακπεξφκεηξν θαη ην ζσιελνεηδέο (θχθισκα I, ρ. 11.5).. Σνπνζεηήζηε ην δνθηκαζηηθφ πελίν ζην κέζνλ ηνπ ζσιελνεηδνχο. Σξνθνδνηήζηε ην θχθισκα I κε ξεχκα γχξσ ζην 1 Α θαη κεηξήζηε ηελ απφθιηζε ακεγ ηεο θσηεηλήο θειίδαο φηαλ κεδελίζεηε ην ξεχκα ζην θχθισκα I αλνίγνληαο ην δηαθφπηε Γ' (ρ. 11.5). 3. Δπαλαιάβεηε ηε κέηξεζε κε ηελ ίδηα ζέζε ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ γηα 4 δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηνπ ξεχκαηνο Η. Καηαρσξήζηε ηα απνηειέζκαηα ζηνλ Πίλαθα I. Πίλαθαο I Η (Α) α' κεγ (cm) Q (C) Β (Σ) 4. Γηα ζηαζεξή ηηκή ηνπ ξεχκαηνο, Η, γχξσ ζηα 3Α, κεηξήζηε ηελ απφθιηζε, α' κεγ, ηεο θσηεηλήο θειίδαο γηα δηάθνξεο ζέζεηο ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ πάλσ ζηνλ άμνλα ηνπ ζσιελνεηδνχο, γηα 30cm απφ ην κέζνλ ηνπ ζσιελνεηδνχο κέρξη θαη έμσ απφ ην ζσιελνεηδέο, αλά 5 cm. Καηαρσξήζηε ηα απνηειέζκαηα ζαο ζηνλ Πίλαθα II. ηνλ Πίλαθα II, x είλαη ε απφζηαζε ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ απφ ην άθξν ηνπ ζσιελνεηδνχο. Πίλαθαο II x (cm) α' κεγ (cm) Q (C) Β (Σ) 5. Δθηηκήζηε ηελ αθξίβεηα κε ηελ νπνία κεηξνχληαη ηα κεγέζε πνπ ππεηζέξρνληαη ζηηο Δμ. 87

104 (11.11) θαη (11.19) γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ. Δθηηκήζηε επίζεο ηελ αθξίβεηα κέηξεζεο ηνπ ξεχκαηνο I ηνπ ζσιελνεηδνχο, θαζψο θαη ηεο ζέζεο ηνπ δνθηκαζηηθνχ πελίνπ Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. Βξείηε γηα ηηο κεηξήζεηο -4 ηελ εθάζηνηε ηηκή ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ θαη ζπκπιεξψζηε ηνπο Πίλαθεο I θαη II. Δθηηκήζηε ηελ αθξίβεηα κέηξεζεο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ.. Παξαζηήζηε γξαθηθά, ζεκεηψλνληαο θαη ηα ζθάικαηα, ηελ εμάξηεζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ Β απφ ηελ ηηκή ηνπ ξεχκαηνο I ζην ζσιελνεηδέο, Β=Β(Η) (Πίλαθαο I). Δπηβεβαηψλεηαη ε γξακκηθή εμάξηεζε; ρνιηάζηε. 3. Παξαζηήζηε γξαθηθά, ζεκεηψλνληαο θαη ηα ζθάικαηα, ηελ εμάξηεζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ Β απφ ηελ απφζηαζε, x, απφ ην άθξν ηνπ ζσιελνεηδνχο, Β = Β(x) (Πίλαθαο II). ρεδηάζηε ζην ίδην δηάγξακκα ηε ζεσξεηηθή θακπχιε απφ ηηο Δμ. (11.) θαη (11.3). πγθξίλεηε ηα πεηξακαηηθά ζεκεία κε ηε ζεσξεηηθή θακπχιε θαη ζρνιηάζηε Θεσξεηηθή άζθεζε Απνδείμηε ζεσξεηηθά ηελ Δμ. (11.). (Βξείηε πξψηα κε ην λφκν Biot Savart ην καγλεηηθφ πεδίν ζηνλ άμνλα αγψγηκνπ βξφρνπ θαη γεληθεχζηε γηα ζσιελνεηδέο πεπεξαζκέλνπ κήθνπο) 88

105 Άζθεζε 1 Μέηξεζε ηνπ ιόγνπ c p /c v ησλ αεξίσλ 1.1 θνπόο θνπφο ηεο άζθεζεο είλαη ε κέηξεζε ηνπ ιφγνπ c p /c v ησλ εηδηθψλ ζεξκνηήησλ ηνπ αηκνζθαηξηθνχ αέξα θαη άιισλ αεξίσλ θαη ε θαηάηαμή ηνπο ζε κηα απφ ηηο θαηεγνξίεο ησλ κνλαηνκηθψλ, δηαηνκηθψλ ή πνιπαηνκηθψλ αεξίσλ. 1. Θεσξία Καηαζηαηηθή εμίζωζε αεξίωλ Ζ καθξνζθνπηθή θαηάζηαζε ελφο αεξίνπ πεξηγξάθεηαη πιήξσο αλ δνζνχλ ν φγθνο V, ε ζεξκνθξαζία Σ θαη ε πίεζή ηνπ p. Σα κεγέζε απηά ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο, φηαλ ην αέξην βξίζθεηαη ζε ζεξκνδπλακηθή ηζνξξνπία, κέζσ κηαο ζρέζεο ε νπνία είλαη γλσζηή σο θαηαζηαηηθή εμίζσζε ηνπ αεξίνπ, f (p, V, T) = 0. (1.1) Ζ θαηαζηαηηθή εμίζσζε παίξλεη κηα πνιχ απιή κνξθή ζηελ πεξίπησζε ελφο ηδαληθνχ αεξίνπ. Ιδαληθό αέξην είλαη έλα αέξην ηνπ νπνίνπ ηα κφξηα έρνπλ ακειεηέεο δηαζηάζεηο, ζπκπεξηθέξνληαη σο ειαζηηθέο ζθαίξεο ζηηο ζπγθξνχζεηο θαη δελ αιιειεπηδξνχλ παξά κφλν ζηηγκηαία φηαλ ζπγθξνχνληαη. Ζ θαηαζηαηηθή εμίζσζε ησλ ηδαληθψλ αεξίσλ είλαη p V = n R T (1.) φπνπ n ν αξηζκφο ησλ γξακκνκνξίσλ ηνπ αεξίνπ ζηνλ φγθν V, ζε απφιπηε ζεξκνθξαζία Σ θαη πίεζε p θαη R είλαη κηα ζηαζεξά, γλσζηή σο παγθόζκηα ζηαζεξά ησλ ηδαληθώλ αεξίσλ, ε νπνία έρεη ηελ ηηκή 8,3149 J/mol K, γηα φια ηα ηδαληθά αέξηα. Αλ ε ζηαζεξά R δηαηξεζεί δηα ηνπ αξηζκνχ ησλ κνξίσλ αλά γξακκνκφξην (ζηαζεξά ηνπ Avogadro, Ν 0 =6, κφξηα/mol), πξνθχπηεη ε παγθφζκηα ζηαζεξά ησλ ηδαληθψλ αεξίσλ αλά κφξην, k= R/N 0 = J/K, γλσζηή σο ζηαζεξά ηνπ Boltzmann. Αλ γίλεηαη αλαθνξά ζε έλα γξακκνκφξην, ην νπνίν θαηαιακβάλεη φγθν ίζν κε v=v/n, ηφηε ε θαηαζηαηηθή εμίζσζε είλαη: p v = R T (1.3) Oη θακπχιεο ηεο πίεζεο, p, σο ζπλάξηεζεο ηνπ κνξηαθνχ φγθνπ, v, γηα δηάθνξεο ηηκέο ηεο ζεξκνθξαζίαο, Σ, είλαη ππεξβνιέο (ηζφζεξκεο), φπσο θαίλεηαη ζην ρ. 1.1(α). 89

106 ρήκα 1.1. (α) Ζ κεηαβνιή ηεο πίεζεο, p, σο ζπλάξηεζεο ηνπ κνξηαθνχ φγθνπ, v, ελφο ηδαληθνχ αεξίνπ, γηα δηάθνξεο ηηκέο ηεο απφιπηεο ζεξκνθξαζίαο, Σ. Οη ηζφζεξκεο θακπχιεο είλαη θαη θακπχιεο ζηαζεξήο εζσηεξηθήο ελέξγεηαο u γηα ην ηδαληθφ αέξην. (β) Γχν ηζφζεξκεο θακπχιεο ηδαληθνχ αεξίνπ πνπ αληηζηνηρνχλ ζε ζεξκνθξαζίεο Σ θαη Σ + dσ, θαη ζε ηηκέο u θαη u + du ηεο εζσηεξηθήο ελέξγεηαο. ην ζρήκα θαίλνληαη θαη ηξεηο δηαθνξεηηθέο κεηαβνιέο πνπ κπνξεί λα ππνζηεί ην αέξην: κηα ηζνβαξήο (ΑΒ), κηα ηζφρσξε (ΑΓ) θαη κηα γεληθή (ΓΔ). Γηα ηα πξαγκαηηθά αέξηα, ε θαηαζηαηηθή εμίζσζε είλαη πην ζχλζεηε, ιακβάλνληαο ππφςε ηφζν ην κέγεζνο ησλ κνξίσλ φζν θαη ηηο κεηαμχ ηνπο αιιειεπηδξάζεηο (εμίζσζε van der Waals). Γηαπηζηψλεηαη φκσο πεηξακαηηθά φηη, ζηηο ζπλήζεηο ζπλζήθεο πίεζεο θαη ζεξκνθξαζίαο, αέξηα φπσο ην πδξνγφλν, ην άδσην, ην νμπγφλν θ.ιπ. ζπκπεξηθέξνληαη σο ηδαληθά κε πνιχ θαιή πξνζέγγηζε. Σν άζξνηζκα φισλ ησλ ελεξγεηψλ ησλ κνξίσλ ελφο αεξίνπ νλνκάδεηαη εζσηεξηθή ελέξγεηα ηνπ αεξίνπ. Ζ εζσηεξηθή ελέξγεηα ελφο αεξίνπ απνηειείηαη απφ ηηο θηλεηηθέο ελέξγεηεο ησλ κνξίσλ ηνπ θαη ζε πεξηπηψζεηο κνξίσλ κε εζσηεξηθή δνκή, θαη ηηο εζσηεξηθέο ελέξγεηεο ησλ κνξίσλ ηνπ. Γηα έλα ηδαληθφ αέξην, ιφγσ ηεο απνπζίαο αιιειεπηδξάζεσλ κεηαμχ ησλ κνξίσλ ηνπ, ε εζσηεξηθή ελέξγεηα ζα είλαη αλεμάξηεηε ηνπ φγθνπ πνπ θαηαιακβάλεη ην αέξην θαη ηεο πίεζήο ηνπ. Ζ εζσηεξηθή ελέξγεηα ηνπ ηδαληθνχ αεξίνπ εμαξηάηαη κφλν απφ ηε ζεξκνθξαζία ηνπ. Οη ηζφζεξκεο θακπχιεο ηνπ ρ. 1.1(α) είλαη επνκέλσο θαη θακπχιεο ζηαζεξήο εζσηεξηθήο ελέξγεηαο u Δηδηθέο ζεξκόηεηεο c p θαη c v ηδαληθνύ αεξίνπ Έζησ φηη έλα mol ηδαληθνχ αεξίνπ, πνπ βξίζθεηαη αξρηθά ζε φγθν v, ζεξκνθξαζία Σ θαη ππφ πίεζε, p, απνξξνθά πνζφηεηα ζεξκφηεηαο dq. Ζ κεηαβνιή ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ αεξίνπ, dt, ζα εμαξηεζεί απφ ηηο ζπλζήθεο θάησ απφ ηηο νπνίεο απνξξνθήζεθε, δειαδή: ππφ ζηαζεξή πίεζε (ηζνβαξήο) ή ππφ ζηαζεξφ φγθν (ηζόρσξε). Αλ ε απνξξφθεζε ζεξκφηεηαο, dq, αλά mol απφ ην αέξην ππφ ζηαζεξή πίεζε νδεγήζεη ζε αχμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ θαηά dt, ηφηε ν ιφγνο c p dq dt p. (1.4) νλνκάδεηαη γξακκνκνξηαθή εηδηθή ζεξκόηεηα ηνπ αεξίνπ ππό ζηαζεξή πίεζε. Αλ ε απνξξφθεζε ζεξκφηεηαο dq αλά mol απφ ην αέξην ππφ ζηαζεξφ φγθν νδεγήζεη ζε αχμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ θαηά dt, ηφηε ν ιφγνο 90

107 c v dq dt v. (1.5) νλνκάδεηαη γξακκνκνξηαθή εηδηθή ζεξκόηεηα ηνπ αεξίνπ ππό ζηαζεξό όγθν. Ο ιφγνο ησλ δχν εηδηθψλ ζεξκνηήησλ δίλεη ηνλ αξηζκφ cp (1.6) c v ν νπνίνο είλαη κεγαιχηεξνο ηεο κνλάδαο γηα ιφγνπο πνπ ζα εμεγεζνχλ παξαθάησ. χκθσλα κε ην πξψην αμίσκα ηεο Θεξκνδπλακηθήο, ε απνξξφθεζε ζεξκφηεηαο dq απφ κηα πνζφηεηα ελφο mol ηδαληθνχ αεξίνπ ην νπνίν επίζεο παξάγεη έξγν dw, έρεη σο απνηέιεζκα ηελ αχμεζε ηεο εζσηεξηθήο ηνπ ελέξγεηαο θαηά du, φπνπ du = dq dw. (1.7) Έζησ φηη έρνπκε δχν κεηαβνιέο, κία ηζνβαξή θαη κία ηζφρσξε, πνπ έρνπλ θαη νη δχν σο ηειηθφ απνηέιεζκα ηελ αχμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ αεξίνπ απφ Σ ζε Σ + dσ θαη ηεο εζσηεξηθήο ελέξγεηαο απφ u ζε u + du (ΑΒ θαη ΑΓ ζην ρ. 1.1(β) αληίζηνηρα). ηελ ηζνβαξή κεηαβνιή, ε ζεξκφηεηα πνπ δίλεηαη ζην αέξην είλαη, ζχκθσλα κε ηελ Δμ. (1.4), ίζε κε Δπίζεο ην αέξην παξάγεη έξγν ίζν κε dq = c p dt (1.8) dw = p dv (1.9) φπνπ dv είλαη ε κεηαβνιή ζηνλ φγθν ηνπ. Όκσο, απφ ηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε ηνπ αεξίνπ (Δμ. 1.3), παξαγσγίδνληαο κε ζηαζεξή πίεζε, Απφ ηηο Δμ. (1.7)-(1.10) πξνθχπηεη φηη p dv = R dt. (1.10) du = c p dt R dt. (1.11) ηελ ηζφρσξε κεηαβνιή, ην αέξην δελ παξάγεη έξγν. Δπίζεο, απφ ηελ Δμ. (1.5), dq = c v dt. (1.1) Αληηθαζηζηψληαο ηελ Δμ. (1.1) θαη ζέηνληαο dw = 0 ζηελ Δμ. (1.7), παίξλνπκε du = c v dt. (1.13) Αο ζεκεησζεί φηη απφ ηηο ζρέζηεο (1.5) θαη (1.13) πξνθχπηεη φηη c v du dt v. (1.14) 91

108 ή ηειηθά, Δπεηδή ζηηο δχν κεηαβνιέο ηα du θαη dt είλαη ηα ίδηα, νη (1.11) θαη (1.13) δίλνπλ du = c p dt R dt = c v dt (1.15) c p c v = R. (1.16) Φαίλεηαη ακέζσο φηη c p >c v, φπσο αλακέλεηαη αλ ιεθζεί ππφςε φηη ζηελ ηζφρσξε κεηαβνιή δελ παξάγεηαη έξγν απφ ην αέξην θαη επνκέλσο, γηα ηελ ίδηα πξνζθεξφκελε ελέξγεηα, νη απμήζεηο ηεο εζσηεξηθήο ηνπ ελέξγεηαο θαη ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ είλαη κεγαιχηεξεο Βαζκνί ειεπζεξίαο θαη ζεώξεκα ηεο ηζνθαηαλνκήο ηεο ελέξγεηαο ηε ζπδήηεζε πνπ ζα αθνινπζήζεη γηα ηηο εηδηθέο ζεξκφηεηεο ησλ αεξίσλ, ζα ρξεζηκνπνηεζεί ην ζεψξεκα ηεο ηζνθαηαλνκήο ηεο ελέξγεηαο, ην νπνίν θαη ζα δηαηππσζεί εδψ ρσξίο απφδεημε. ηε ζεξκνδπλακηθή, θάζε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή πνπ πξέπεη λα δνζεί γηα λα θαζνξηζηεί ε νιηθή ελέξγεηα ελφο ζπζηήκαηνο νλνκάδεηαη βαζκόο ειεπζεξίαο ηνπ ζπζηήκαηνο. Έηζη, κηα ειεχζεξε ζεκεηαθή κάδα, ηεο νπνίαο ε ελέξγεηα θαζνξίδεηαη πιήξσο απφ ηξεηο ζπληζηψζεο ηεο ηαρχηεηάο ηεο, έρεη ηξεηο βαζκνχο ειεπζεξίαο. Αλ ε κάδα απηή βξίζθεηαη κέζα ζε έλα δηαηεξεηηθφ πεδίν δχλακεο κέζα ζην νπνίν έρεη θαη δπλακηθή ελέξγεηα, πνπ εμαξηάηαη απφ ηηο ηξεηο ζπληεηαγκέλεο ζέζεο ηεο κάδαο, νη βαζκνί ειεπζεξίαο ηεο είλαη έμη. Αλ ε κάδα δελ είλαη ζεκεηαθή αιιά έρεη θαη εζσηεξηθή δνκή, φπσο π.ρ. έλα κφξην, ηφηε γηα λα θαζνξηζηεί ε ελέξγεηά ηνπ ρξεηάδεηαη λα δνζνχλ θαη άιιεο ζπληεηαγκέλεο πνπ πεξηγξάθνπλ απηή ηελ εζσηεξηθή δνκή θαη ν αξηζκφο ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο είλαη κεγαιχηεξνο. Σν ζεψξεκα ηεο ηζνθαηαλνκήο ηεο ελέξγεηαο ζηελ θιαζηθή ζεξκνδπλακηθή δηαηππψλεηαη σο εμήο: ε θάζε κεηαβιεηή, ε νπνία ζπλεηζθέξεη έλαλ ηεηξαγσληθό όξν ζηελ ελέξγεηα ελόο ζπζηήκαηνο, αληηζηνηρεί, ζε ζεξκηθή ηζνξξνπία, κηα κέζε ελέξγεηα ίζε κε ½ k T. Έηζη, γηα ηελ ειεχζεξε ζεκεηαθή κάδα, ε ελέξγεηα ηεο νπνίαο είλαη ίζε κε ηελ θηλεηηθή ηεο K = ½ m (π x + π y + π z ), ε κέζε ηεο ελέξγεηα ζηε ζεξκνθξαζία, Σ, είλαη ίζε κε K m x y z kt kt kt kt. (1.17) Αλ ε κάδα είλαη ειαζηηθά ζπλδεδεκέλε ζε θάπνην ζεκείν, ψζηε λα έρεη θαη δπλακηθή ελέξγεηα ίζε κε P = ½ S x x + ½ S y y + ½ S z z κε θάπνηεο ζηαζεξέο S x, S y θαη S z,(νη νπνίεο κπνξεί λα είλαη θαη άγλσζηεο), ηφηε ζηε ζεξκνθξαζία Σ έρεη κέζε ελέξγεηα ίζε κε x y z x y z 1 1 E K P m s x s y s z 6 kt 3 kt. (1.18) 9

109 Γηα ζχζηεκα πνπ απνηειείηαη απφ Ν ηέηνηεο κάδεο, ε κέζε ελέξγεηα είλαη ίζε κε 3ΝkT. Με αλάινγν ηξφπν ππνινγίδνληαη νη κέζεο ελέξγεηεο θαη άιισλ ζπζηεκάησλ ζε ζεξκνδπλακηθή ηζνξξνπία Δηδηθέο ζεξκόηεηεο c p θαη c v ηωλ κνλναηνκηθώλ αεξίωλ χκθσλα κε ηελ θηλεηηθή ζεσξία ησλ αεξίσλ, ε εζσηεξηθή ελέξγεηα ελφο κνλναηνκηθνχ αεξίνπ είλαη ίζε κε ην άζξνηζκα ησλ θηλεηηθψλ ελεξγεηψλ ησλ κνξίσλ ηνπ. Απφ φζα εηπψζεθαλ ζηελ πξνεγνχκελε παξάγξαθν, ε κέζε ελέξγεηα θάζε αηφκνπ ηνπ αεξίνπ, ζε ηζνξξνπία ζηε ζεξκνθξαζία Σ, είλαη ίζε κε 3/ k T. Γηα έλα mol, ην φπνίν έρεη Ν 0 κφξηα (άηνκα εδψ), ε κέζε εζσηεξηθή ελέξγεηα είλαη: u = N 0 3/ k T = 3/ R T. (1.19) Απφ ηηο ζρέζεηο (1.14) θαη (1.16) πξνθχπηνπλ νη γξακκνκνξηαθέο εηδηθέο ζεξκφηεηεο ηνπ ηδαληθνχ κνλαηνκηθνχ αεξίνπ θαη ν ιφγνο ηνπο, c p = 5/ R c v = 3/ R γ = c p /c v = 5/3 (1.0) ζχκθσλα κε ηελ θιαζηθή ζεξκνδπλακηθή Δηδηθέο ζεξκόηεηεο c p θαη c v ηωλ δηαηνκηθώλ αεξίωλ Έλα δηαηνκηθφ αέξην έρεη πεξηζζφηεξνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο απφ έλα κνλαηνκηθφ, ιφγσ ηεο εζσηεξηθήο ηνπ δνκήο. Σν κφξην έρεη ξνπή αδξάλεηαο ε νπνία ζπλεηζθέξεη ζηελ νιηθή ελέξγεηά ηνπ ηξεηο ηεηξαγσληθνχο φξνπο ηεο κνξθήο ½ Η σ, έλαλ γηα θαζέλαλ απφ ηνπο θχξηνπο άμνλεο πεξηζηξνθήο ηνπ γχξσ απφ ην θέληξν κάδαο ηνπ (ρ. 1.). ρήκα 1.. Γηαηνκηθφ κφξην θαη νη άμνλεο πεξηζηξνθήο ηνπ. Σν δηαηνκηθφ κφξην έρεη ηξεηο βαζκνχο ειεπζεξίαο ιφγσ ηεο κεηαθνξηθήο ηνπ θίλεζεο θαη ηξεηο ιφγσ ηεο πεξηζηξνθηθήο ηνπ θίλεζεο. Αθφκε έλαο βαζκφο ειεπζεξίαο πξνθχπηεη 93

110 απφ ηε δπλαηφηεηα πνπ έρνπλ ηα άηνκα ηνπ κνξίνπ λα εθηεινχλ ηαιαληψζεηο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα πνπ ηα ελψλεη. Σα δχν άηνκα δελ ηαιαληψλνληαη αλεμάξηεηα ην έλα απφ ην άιιν, αιιά ζε ζπκθσλία, έηζη ψζηε νη νξκέο ηνπο ζην ζχζηεκα θέληξνπ κάδαο ηνπο λα είλαη ίζεο θαη αληίζεηεο. πλνιηθά ινηπφλ έλα δηαηνκηθφ άηνκν έρεη επηά βαζκνχο ειεπζεξίαο. Δπεηδή θαζέλαο απφ απηνχο ηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο ζπλεηζθέξεη έλαλ ηεηξαγσληθφ φξν ζηελ νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο, ε κέζε ελέξγεηα ηνπ κνξίνπ ζηε ζεξκνθξαζία, Σ, ζα έπξεπε λα είλαη, ζχκθσλα κε ηελ θιαζηθή ζεξκνδπλακηθή ίζε κε 7/ kt. ηελ πξάμε φκσο ηα δηαηνκηθά αέξηα ζπκπεξηθέξνληαη ζαλ λα είραλ ιηγφηεξνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο απφ ηνπο 7 πνπ αλαθέξζεθαλ, εθηφο αλ βξίζθνληαη ζε πνιχ πςειέο ζεξκνθξαζίεο. αλ παξάδεηγκα δίλεηαη ζην ρ. 1.3 ε κεηαβνιή κε ηε ζεξκνθξαζία ηεο γξακκνκνξηαθήο εηδηθήο ζεξκφηεηαο c v ηνπ πδξνγφλνπ ππφ ζηαζεξφ φγθν. ρήκα 1.3. Ζ κεηαβνιή κε ηε ζεξκνθξαζία ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο θαη ηνπ ιφγνπ c v /R, φπνπ c v ε γξακκνκνξηαθή εηδηθή ζεξκφηεηα ηνπ κνξηαθνχ πδξνγφλνπ ππφ ζηαζεξφ φγθν. Ζ θιίκαθα ηεο ζεξκνθξαζίαο είλαη ινγαξηζκηθή. Σν πδξνγφλν είλαη ην κφλν δηαηνκηθφ αέξην πνπ παξακέλεη αέξην ζε πνιχ ρακειέο ζεξκνθξαζίεο θαη καο δίλεη πιεξνθνξίεο γηα ηε ζπκπεξηθνξά ησλ αεξίσλ απηψλ. Φαίλεηαη ζην ζρήκα φηη ην πδξνγφλν ζπκπεξηθέξεηαη ζαλ λα έρεη κφλν 3 βαζκνχο ειεπζεξίαο ζε ζεξκνθξαζίεο θάησ ησλ 50 Κ πεξίπνπ, 5 βαζκνχο ζηε ζεξκνθξαζία ησλ 500Κ θαη λα ηείλεη ζηνπο 7 βαζκνχο ζε κεγάιεο ζεξκνθξαζίεο ζηηο νπνίεο φκσο ην κφξην δηίζηαηαη. Αληίζεηα κε ηηο θιαζηθέο πξνβιέςεηο, ε εηδηθή ζεξκφηεηα κεηαβάιιεηαη κε ηε ζεξκνθξαζία. Ζ εξκελεία απηψλ ησλ παξαηεξήζεσλ δε δίλεηαη απφ ηελ Κιαζηθή Φπζηθή αιιά απφ ηελ Κβαληνκεραληθή. χκθσλα κε ηελ Κβαληηθή Φπζηθή ε ελέξγεηα ελφο ζπζηήκαηνο ζηηο πεξηζηξνθηθέο ή ηαιαλησηηθέο ηνπ θηλήζεηο δε κεηαβάιιεηαη κε ζπλερή ηξφπν αιιά κπνξεί λα παίξλεη ηηκέο κφλν απφ έλα ζχλνιν δηαθξηηψλ (θβαλησκέλσλ) ηηκψλ. ηε ζεξκηθή ηζνξξνπία, ζε θάπνηα ζεξκνθξαζία, ην θιάζκα ησλ κνξίσλ πνπ βξίζθνληαη ζε κηα νξηζκέλε ελεξγεηαθή ζηάζκε εμαξηάηαη ηφζν απφ ηε ζεξκνθξαζία φζν θαη απφ ηελ ελέξγεηα ηνπ κνξίνπ ζηε ζηάζκε απηή. Έηζη, γηα παξάδεηγκα, ζε ρακειέο ζεξκνθξαζίεο, ε πηζαλφηεηα λα πεξηζηξέθεηαη έλα δηαηνκηθφ κφξην γχξσ απφ ηνλ άμνλα πνπ ελψλεη ηα δχν ηνπ άηνκα είλαη ακειεηέα θαη απηφο ν βαζκφο ειεπζεξίαο κπνξεί λα ζεσξεζεί πσο είλαη «παγσκέλνο» θαη δελ ζπλεηζθέξεη ζηελ νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο. Καζψο απμάλεηαη ε ζεξκνθξαζία, νη 94

111 δηάθνξνη βαζκνί ειεπζεξίαο δηεγείξνληαη ζε κεγαιχηεξν πνζνζηφ θαη ζπλεηζθέξνπλ ζηελ εηδηθή ζεξκφηεηα ηνπ αεξίνπ. Ζ εμάξηεζε ηεο εζσηεξηθήο ελέξγεηαο απφ ηε ζεξκνθξαζία είλαη επνκέλσο κηα πην πνιχπινθε ζπλάξηεζε απφ απηή ηεο θιαζηθήο ζεξκνδπλακηθήο. Ζ θιαζηθή πξφβιεςε επηηπγράλεηαη κφλν ζε πνιχ πςειέο ζεξκνθξαζίεο, εθφζνλ βέβαηα ηα κφξηα δελ δηαζπψληαη ζε κεκνλσκέλα άηνκα ζηηο ζεξκνθξαζίεο απηέο. Γηα ηνπο ιφγνπο πνπ αλαθέξζεθαλ, ηα δηαηνκηθά αέξηα έρνπλ ζηηο ζπλήζεηο ζεξκνθξαζίεο νπζηαζηηθά κφλν πέληε βαζκνχο ειεπζεξίαο, ηξεηο κεηαθνξηθήο θαη δχν πεξηζηξνθηθήο θίλεζεο. Δπνκέλσο, ε γξακκνκνξηαθή εζσηεξηθή ηνπο ελέξγεηα είλαη u = N 0 5/ k T = 5/ R T (1.1) θαη νη γξακκνκνξηαθέο εηδηθέο ζεξκφηεηεο c p, c v ηνπ ηδαληθνχ αεξίνπ θαη ν ιφγνο ηνπο είλαη, αληηζηνίρσο, c p = 7/ R c v = 5/ R γ = c p /c v = 7/5. (1.) Δηδηθέο ζεξκόηεηεο c p θαη c v ηωλ ηξηαηνκηθώλ θαη πνιπαηνκηθώλ αεξίωλ Σα ηξηαηνκηθά κφξηα, σο πην ζχλζεηα, έρνπλ πεξηζζφηεξνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο απφ ηα δηαηνκηθά. Σα άηνκα ηνπ κνξίνπ ζπλήζσο δελ βξίζθνληαη πάλσ ζε κηα επζεία φπσο ζην δηαηνκηθφ κφξην θαη εκθαλίδνπλ, επνκέλσο, κε ακειεηέα ξνπή αδξαλείαο γχξσ απφ ηξεηο άμνλεο. Τπάξρεη ινηπφλ αθφκε έλαο «ελεξγφο» βαζκφο ειεπζεξίαο ζηα ηξηαηνκηθά θαη ζηα πνιπαηνκηθά κφξηα. Γηα ηνπο ιφγνπο πνπ αλαπηχρζεθαλ ζηελ πξνεγνχκελε παξάγξαθν, ηα ηξηαηνκηθά θαη ηα πνιπαηνκηθά κφξηα εκθαλίδνληαη λα έρνπλ, ζε ζπλήζεηο ζεξκνθξαζίεο, έμε βαζκνχο ειεπζεξίαο. Δπνκέλσο, u = N 0 6/ k T = 3 R T (1.3) νπφηε νη γξακκνκνξηαθέο εηδηθέο ζεξκφηεηεο c p, c v ηνπ ηδαληθνχ ηξηαηνκηθνχ αεξίνπ θαη ν ιφγνο ηνπο είλαη, αληηζηνίρσο, c p = 4 R c v = 3 R γ = c p /c v = 4/3. (1.4) ύγθξηζε ζεωξεηηθώλ θαη πεηξακαηηθώλ ηηκώλ ηωλ εηδηθώλ ζεξκνηήηωλ ηνλ πίλαθα Η δίλνληαη νη ζεσξεηηθά πξνβιεπφκελεο θαη νη πεηξακαηηθέο ηηκέο ησλ εηδηθψλ ζεξκνηήησλ γηα δηάθνξα αέξηα, ζηε ζεξκνθξαζία ησλ 0 0 C θαη ζε αηκνζθαηξηθή πίεζε. Αμηνζεκείσηε ζπκθσλία παξαηεξείηαη κεηαμχ ησλ ζεσξεηηθψλ πξνβιέςεσλ θαη ησλ πεηξακαηηθψλ ηηκψλ γηα ηα κνλαηνκηθά αέξηα. Γηα ηα δηαηνκηθά αέξηα ε ζπκθσλία είλαη ηθαλνπνηεηηθή, ελψ ζεκαληηθέο δηαθνξέο παξαηεξνχληαη γηα ηα πνιπαηνκηθά κφξηα, γηα ηα νπνία νη ζεσξεηηθέο πξνβιέςεηο είλαη ιηγφηεξν αθξηβείο, γηα ηνπο ιφγνπο πνπ αλαθέξζεθαλ ήδε. 95

112 Πίλαθαο Ι Γξακκνκνξηαθέο εηδηθέο ζεξκόηεηεο ησλ αεξίσλ ε ζεξκνθξαζία 0 0 C θαη πίεζε 1 atm ηελ θνξπθή θάζε ζηήιεο δίλεηαη ε ζεσξεηηθή ηηκή Αέξην C p /R C v /R γ = C p /C v Μνλαηνκηθά 5/ =,5 3/ = 1,5 5/3 = 1,67 He Ar Γηαηνκηθά,5,5 7/ = 3,5 1,5 1,51 5/ =,5 1,66 1,67 7/5 = 1,4 H O N Αηκ. Αέξαο Cl Πνιπαηνκηθά 3,4 3,5 3,50 3,50 4,1 4,44,50,45,45 3,0 3 1,41 1,40 1,40 1,40 1,36 4/3 = 1,33 CO NH 3 CH 4 C 4 H 10 O 4,40 4,48 4,4 16,60 3,38 3,4 3,7 15,40 1,30 1,31 1,31 1, Αδηαβαηηθέο κεηαβνιέο ζε αέξηα Αο εμεηάζνπκε κία κεηαβνιή ζε έλα ηδαληθφ αέξην θαηά ηελ νπνία δελ δίλεηαη ε αθαηξείηαη ζεξκφηεηα απφ ην αέξην. Μηα ηέηνηα κεηαβνιή νλνκάδεηαη αδηαβαηηθή. ε κηα αδηαβαηηθή κεηαβνιή dq = 0 θαη ην πξψην ζεξκνδπλακηθφ αμίσκα (1.7) παίξλεη ηε κνξθή ε νπνία ζε ζπλδπαζκφ κε ηελ Δμ. (1.9) δίλεη du = -dw (1.5) du + p dv = 0. (1.6) Ζ εζσηεξηθή ελέξγεηα ελφο ηδαληθνχ αεξίνπ είλαη ζπλάξηεζε κφλν ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ θαη ε Δμ. (1.14) c v =(du/dt) v=ζηαζ. ηζρχεη γηα φιεο ηηο κεηαβνιέο θαη επνκέλσο, γεληθά, είλαη: du = c v dt. Ζ Δμ. (1.6) παίξλεη ηε κνξθή: c v dt + p dv = 0. (1.7) Απφ ηελ παξαγψγηζε ηεο θαηαζηαηηθήο εμίζσζεο (1.3), πξνθχπηεη φηη p dv + v dp = R dt = (c p c v ) dt (1.8) Απαιείθνληαο ην dt κεηαμχ ησλ (1.7) θαη (1.8) έρνπκε: cp dp dv vdp pdv 0 ή 0 (1.9) c p v ε νπνία κε νινθιήξσζε δίλεη ln p + γ ln v = ζηαζ. ή ηειηθά, v 96

113 p v γ = ζηαζ. (1.30) Αλ ε κεηαβνιή δελ είλαη απνιχησο αδηαβαηηθή αιιά ππάξρεη κεξηθή αληαιιαγή ζεξκφηεηαο κε ην πεξηβάιινλ, ηφηε ε Δμ. (1.30) ηξνπνπνηείηαη ζε p v α = ζηαζ. (1.30α) φπνπ 1 < α < γ. ην ρ. 1.4 δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ηζφζεξκεο (1) θαη κηαο αδηαβαηηθήο () κεηαβνιήο ηδαληθνχ αεξίνπ. Φαίλεηαη φηη ζηελ αδηαβαηηθή κεηαβνιή ε θιίζε (dp/dv) είλαη κεγαιχηεξε (θαηά έλα παξάγνληα γ) απφ φ,ηη ζηελ ηζφζεξκε κεηαβνιή. 1.4 Μέζνδνο ρήκα 1.4. Ηζφζεξκε (1) θαη αδηαβαηηθή () κεηαβνιή Ζ κέηξεζε ηνπ ιφγνπ γ = c p /c v ησλ αεξίσλ ζα γίλεη κε ηε κέζνδν ηνπ Torruchardt. ηε κέζνδν απηή ρξεζηκνπνηείηαη ε δηάηαμε ηνπ ζρήκαηνο 1.5. Μηα θνηιφηεηα πνπ έρεη φγθν V έρεη σο κνλαδηθή έμνδν έλαλ θαηαθφξπθν γπάιηλν ζσιήλα κέζα ζηνλ νπνίν κπνξεί λα θηλείηαη αεξνζηεγψο έλα έκβνιν. Αλ κέζα ζην ζσιήλα αθήζνπκε ειεχζεξν ην έκβνιν, ηφηε απηφ ζα θαηέβεη κέρξη έλα νξηζκέλν χςνο θαη ζηε ζπλέρεηα ζα εθηειέζεη ηαιαληψζεηο γχξσ απφ θάπνηα ζέζε ηζνξξνπίαο, θαζψο ην αέξην πνπ πεξηέρεηαη ζηελ θνηιφηεηα ζπκπηέδεηαη θαη δηαζηέιιεηαη. Αλ ε κάδα ηνπ εκβφινπ είλαη m θαη ην εκβαδφλ ηεο δηαηνκήο ηνπ ζσιήλα είλαη S, ηφηε ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ εκβφινπ ζα ηζρχεη ε ζρέζε: mg p p0 (1.31) S φπνπ p είλαη ε πίεζε ηνπ αέξα κέζα ζηελ θνηιφηεηα θαη p 0 ε αηκνζθαηξηθή πίεζε. 97

114 ρήκα 1.5. Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε γηα ηελ κέηξεζε ηνπ ιφγνπ γ = c p /c v ησλ αεξίσλ κε ηε κέζνδν Torruchardt Όηαλ ην έκβνιν βξίζθεηαη ζε απφζηαζε z απφ ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ (ζεηηθή πξνο ηα πάλσ), πξνθχπηεη κηα δηαθνξά πίεζεο Γp κεηαμχ ηνπ εζσηεξηθνχ θαη ηνπ εμσηεξηθνχ ηεο θνηιφηεηαο. Ζ εμίζσζε θίλεζεο ηνπ εκβφινπ είλαη: d z m dt S p (1.3) (ην βάξνο ηνπ εκβφινπ δελ εκθαλίδεηαη ζηελ εμίζσζε γηαηί ε κεηαηφπηζε z κεηξηέηαη απφ ην ζεκείν ηζνξξνπίαο ηνπ). Αλ ε κεηαβνιή ζεσξεζεί αδηαβαηηθή (ιφγσ ηεο κηθξήο ρξνληθήο δηάξθεηαο ηνπ θαηλνκέλνπ), ηφηε ζα ηζρχεη ε ζρέζε p V γ = ζηαζ. (1.33) φπνπ V είλαη ν νιηθφο φγθνο ηεο θνηιφηεηαο θαη ε κέζε πίεζε ζηελ θνηιφηεηα, p, δίλεηαη απφ ηε Δμ. (1.31). Με παξαγψγηζε, ε (1.33) δίλεη ή, θαηά πξνζέγγηζε, γηα κηθξέο κεηαβνιέο ΓV θαη Γp, Δπεηδή ΓV = S z, ε (1.35) δίλεη p dp dv (1.34) V p p V (1.35) V 98

115 ps p z (1.36) V Ζ Δμ. (1.3) ζε ζπλδπαζκφ κε ηελ (1.36) δίλεη ηελ εμίζσζε θίλεζεο ε νπνία είλαη ηεο κνξθήο d z ps 0 z dt (1.37) mv d z z 0 dt (1.38) κε ps (1.39) mv Ζ δηαθνξηθή εμίζσζε (1.38) είλαη ε εμίζσζε θίλεζεο ελφο απινχ αξκνληθνχ ηαιαλησηή, ηεο νπνίαο ε γεληθή ιχζε είλαη Z(t) = A cos(σt + θ) (1.40) θαη πεξηγξάθεη κηα απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε γσληαθή ζπρλφηεηα σ. Δπεηδή φια ηα κεγέζε ζηελ (1.39) κπνξνχλ λα κεηξεζνχλ, ν πξνζδηνξηζκφο ηνπ γ είλαη δπλαηφο, αλ είλαη γλσζηή ε γσληαθή ζπρλφηεηα σ = π/σ απφ κεηξήζεηο ηεο πεξηφδνπ, Σ, ηεο ηαιάλησζεο ηνπ εκβφινπ. Έηζη, απφ ηηο (1.39) θαη (1.31), πξνθχπηεη 4 mv (1.41) Sp mg S ε νπνία, κε ρξήζε ηεο ζρέζεο p 0 V 0 = pv θαη ηεο (1.31), γίλεηαη 0 4 mp0v0 Sp0 mg (1.4) ε νπνία είλαη ε ζρέζε πνπ δίλεη ην ιφγν γ = c p /c v. 1.5 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε (ρ. 1.5), απνηειείηαη απφ έλαλ θχβν θαηαζθεπαζκέλν απφ πιεμηγθιάο, ν νπνίνο επηθνηλσλεί κε ηνλ εμσηεξηθφ ρψξν κέζσ ελφο θαηαθφξπθνπ γπάιηλνπ ζσιήλα πνπ βξίζθεηαη ζηελ επάλσ ηνπ πιεπξά. Ο ζπλνιηθφο εζσηεξηθφο φγθνο ηνπ θχβνπ θαη ηνπ ζσιήλα είλαη 1140 cm 3. ηε δηάηαμε παξέρεηαη ε δπλαηφηεηα γηα ηελ εχθνιε εμαγσγή ηνπ εκβφινπ απφ ηνλ θχβν. Ζ πξφζβαζε ζην εζσηεξηθφ ηνπ θχβνπ επηηπγράλεηαη κε ην μεβίδσκα ηνπ πψκαηνο πνπ βξίζθεηαη ζηε κηα ηνπ πιεπξά. 99

116 Υξεζηκνπνηνχληαη επίζεο: έλαο δπγφο, έλα κηθξφκεηξν, έλα ρξνλφκεηξν θαη έλα βαξφκεηξν γηα ηε κέηξεζε ηεο αηκνζθαηξηθήο πίεζεο. Βηβιηνγξαθία 1. Κ.Γ. Αιεμφπνπινο. Γεληθή Φπζηθή. Σφκνο 4: Θεξκφηεο. (Αζήλα, 1957). Κεθ. 6.. F.W. Sears. Thermodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics. nd ed. (Addison Wesley, Reading Mass., 1963). Κεθ. 1 θαη Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα 010) 1.6 Δθηέιεζε ΠΡΟΟΥΗ: Ζ θαιή ιεηηνπξγία ηεο δηάηαμεο βαζίδεηαη ζηελ φζν ην δπλαηφλ θαιχηεξε εθαξκνγή ηνπ εκβφινπ ζην γπάιηλν ζσιήλα. Γηα ην ιφγν απηφ ζα πξέπεη λα απνθεπρζεί θάζε παξακφξθσζε ηνπ ζρήκαηνο ηνπ εκβφινπ. Θα πξέπεη επνκέλσο ζηε δηάξθεηα ηεο άζθεζεο λα ρεηξίδεζηε ην έκβνιν κε κεγάιε πξνζνρή θαη λα ην ηνπνζεηείηε, φηαλ δε ρξεζηκνπνηείηαη, πάλσ ζην πξνζηαηεπηηθφ παλί πνπ παξέρεηαη. 1. Με κεγάιε πξνζνρή δπγίζηε ην έκβνιν. εκεηψζηε ηελ αθξίβεηα ηεο δχγηζεο. Καηά ηε δχγηζε θαη εθηέιεζε ηνπ πεηξάκαηνο, θξνληίζηε ην έκβνιν λα ηνπνζεηείηαη πάλσ ζε έλα θαζαξφ παλί.. Με ηε βνήζεηα ελφο κηθξνκέηξνπ, κεηξήζηε ηε δηάκεηξν ηνπ εκβφινπ. εκεηψζηε ηελ αθξίβεηα αλάγλσζεο ηνπ κηθξνκέηξνπ, ηελ νπνία ζα ζεσξήζεηε σο πηζαλφ ζθάικα ζηελ ηηκή ηεο δηακέηξνπ. Ο νιηθφο φγθνο ηνπ θχβνπ θαη ηνπ ζσιήλα είλαη V=1140± cm 3. ΠΑΡΑΣΖΡΖΖ: Οη κεηξήζεηο πνπ ζα πεξηγξαθνύλ παξαθάησ ζα γίλνπλ αξρηθά κε ηνλ αηκνζθαηξηθό αέξα σο αέξην ζην ζάιακν. Οη ίδηεο κεηξήζεηο ζα επαλαιεθζνύλ θαη κε άιια αέξηα αλ απηά είλαη δηαζέζηκα. 3. Βεβαησζείηε φηη ην πψκα ηνπ θχβνπ είλαη ζηε ζέζε ηνπ θαη βηδσκέλν αεξνζηεγψο, γηα λα απνθεπρζνχλ βιάβεο ζην έκβνιν ζηηο κεηξήζεηο πνπ ζα αθνινπζήζνπλ. 4. Δηζάγνληαο κε πξνζνρή ην έκβνιν ζην γπάιηλν ζσιήλα, αθήζηε ην λα πέζεη ειεχζεξα θαη ακέζσο κεηξήζηε ηνλ νιηθφ ρξφλν γηα 5 πιήξεηο ηαιαληψζεηο ηνπ. 5. Μεηά απφ ηελ απφζβεζε ησλ ηαιαληψζεσλ, ην έκβνιν ζα ζπλερίζεη λα πέθηεη αξγά θαη ηειηθά ζα πέζεη κέζα ζηνλ θχβν 6. Ξεβηδψζηε ην πψκα θαη βγάιηε ην έκβνιν απφ ηνλ θχβν. Δπαλαηνπνζεηήζηε ην πψκα ζηε ζέζε ηνπ θαη βηδψζηε ην ψζηε ε ηξχπα λα θιείζεη αεξνζηεγψο. 7. Δπαλαιάβεηε ηα βήκαηα 3, 4 θαη 5 άιιεο 9 θνξέο, ψζηε λα έρεηε ζπλνιηθά 10 κεηξήζεηο, απφ ηηο νπνίεο ζα βξεζνχλ 10 ηηκέο ηεο πεξηφδνπ ηαιάλησζεο Σ ηνπ εκβφινπ. 8. Με ηε βνήζεηα ελφο βαξνκέηξνπ πδξαξγχξνπ, κεηξήζηε θαη θαηαγξάςηε ηελ αηκνζθαηξηθή πίεζε. εκεηψζηε ηηο κνλάδεο θαη ηελ αθξίβεηα αλάγλσζεο. 1.7 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. Απφ ην ρξφλν ησλ 5 ηαιαληψζεσλ ηνπ εκβφινπ, βξείηε ηελ πεξίνδν, Σ, ηεο ηαιάλησζεο γηα θάζε κηα απφ ηηο 10 ζεηξέο κεηξήζεσλ.. Γηα ηηο 10 ηηκέο ηεο πεξηφδνπ πνπ βξήθαηε, ππνινγίζηε ηε κέζε ηηκή θαη ηελ ηππηθή απφθιηζε ηεο πεξηφδνπ. Δθθξάζηε ην απνηέιεζκα σο Σ ± δσ. 3. Απφ ηε Δμ. (1.4), ππνινγίζηε ηνλ ιφγν γ = c p /c v θαη ην ζθάικα ηνπ. ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ ζθάικαηνο λα εθηηκήζεηε πνηα απφ ηα κεγέζε ζηελ (1.4) έρνπλ ακειεηέα ζθάικαηα ζε 100

117 ζχγθξηζε κε ηα άιια θαη λα αγλνήζεηε ηα ζθάικαηα απηά. Δθθξάζηε ην απνηέιεζκα σο γ ± δγ. 4. Με βάζε ηελ ηηκή ηνπ γ πνπ πξνζδηνξίζαηε, θαηαηάμηε ην αέξην ζε κηα απφ ηηο ηξεηο θαηεγνξίεο ησλ κνλναηνκηθψλ, δηαηνκηθψλ ή πνιπαηνκηθψλ αεξίσλ. 5. Αλ έρεηε ρξεζηκνπνηήζεη άιια αέξηα εθηφο ηνπ αηκνζθαηξηθνχ αέξα, επαλαιάβεηε ηελ επεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ γηα ην θαζέλα απφ απηά. 101

118 Άζθεζε 13 Αλάθιαζε - Γηάζιαζε - Πόισζε ηνπ θσηόο 13.1 θνπόο θνπφο ηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο είλαη ε κειέηε ησλ λφκσλ ηεο ιεγφκελεο «γεσκεηξηθήο νπηηθήο» θαζψο θαη ε κειέηε ηνπ γξακκηθά πνισκέλνπ θσηφο 13. Θεσξία Σν θσο είλαη έλα εγθάξζην ειεθηξνκαγλεηηθφ θχκα. Σν ειεθηξηθφ E θαη ην καγλεηηθφ B πεδίν απηνχ ηνπ θχκαηνο είλαη ζπκθαζηθά νδεχνληα θχκαηα, θάζεηα κεηαμχ ηνπο θαη θάζεηα ζηελ δηεχζπλζε δηάδνζεο k kˆ, (φπνπ ι: ην κήθνο θχκαηνο ηνπ θσηφο), έηζη ψζηε ηα ηξία απηά δηαλχζκαηα λα απνηεινχλ έλα ηξηζ-νξζνγψλην ζχζηεκα κε ηελ ζεηξά δηαδνρήο πνπ αλαθέξνληαη παξαπάλσ. Ζ δηεχζπλζε ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ ηνπ ειεθηξνκαγλεηηθνχ θχκαηνο αλαθέξεηαη, θαηά ζχκβαζε, σο ε δηεχζπλζε «πφισζεο» ηνπ θχκαηνο. Ζ ζχκβαζε απηή δελ είλαη απζαίξεηε, έρεη ζρέζε κε ην γεγνλφο φηη ε αιιειεπίδξαζε ηνπ ειεθηξνκαγλεηηθνχ θχκαηνο κε ηα νπηηθά κέζα γίλεηαη κέζσ ηεο ειεθηξηθήο κάιινλ παξά κέζσ ηεο καγλεηηθήο ηνπ ζπληζηψζαο. Σν ειεθηξνκαγλεηηθφ θχκα 8 ηαμηδεχεη ζην θελφ κε ηαρχηεηα c 3 10 m / s, αλεμάξηεηα απφ ηε ζπρλφηεηά ηνπ, ελψ ζηα δηάθνξα νπηηθά πιηθά ηαμηδεχεη κε κηθξφηεξε ηαρχηεηα, ε ηηκή ηεο νπνίαο εμαξηάηαη απφ ην πιηθφ αιιά θαη απφ ηε ζπρλφηεηα ηνπ θχκαηνο. Με βάζε ηα παξαπάλσ, νξίδνπκε σο δείθηε δηάζιαζεο ηνπ πιηθνχ, γηα θάζε ζπρλφηεηα, ην πειίθν ηεο ηαρχηεηαο δηάδνζεο ηνπ θσηφο ζην c0 θελφ c 0, πξνο ηελ ηαρχηεηα δηάδνζεο cm ζην ζπγθεθξηκέλν κέζν m, nm c. Δπεηδή ε ηαρχηεηα δηάδνζεο ζηνλ αέξα ησλ ειεθηξνκαγλεηηθψλ θπκάησλ πνπ αληηζηνηρνχλ ζην νξαηφ κέξνο ηνπ Ζιεθηξνκαγλεηηθνχ Φάζκαηνο (δειαδή, ζην θσο) δηαθέξεη ειάρηζηα απφ ηελ ηαρχηεηα δηάδνζεο ζην θελφ, ζεσξνχκε φηη ν δείθηεο δηάζιαζεο ηνπ αέξα γηα ην θσο είλαη, κε θαιή πξνζέγγηζε, πεξίπνπ ίζνο κε ηε κνλάδα n 1. Όηαλ κηα θσηεηλή δέζκε, πνπ νδεχεη ζε θάπνην νπηηθφ κέζν 1, ζπλαληά κηα δηαρσξηζηηθή επηθάλεηα πέξα απφ ηελ νπνία ππάξρεη έλα δηαθνξεηηθφ νπηηθφ κέζν, ηφηε έλα κέξνο ηνπ θχκαηνο αλαθιάηαη πάιη ζην αξρηθφ νπηηθφ κέζν 1 θαη έλα κέξνο δηέξρεηαη ζην νπηηθφ κέζν. Απνδεηθλχεηαη φηη ε πξνζπίπηνπζα, ε αλαθιψκελε θαη ε δηεξρφκελε αθηίλα, ή, αληίζηνηρα, ηα θπκαηαλχζκαηα πξφζπησζεο i m k, αλάθιαζεο k r θαη δηέιεπζεο t βξίζθνληαη ζην ίδην επίπεδν, ην νπνίν κπνξνχκε λα ιέκε «επίπεδν αλάθιαζεο» Απηή ε δηαδηθαζία αλάθιαζεο δηάζιαζεο δηέπεηαη απφ θάπνηεο ζρέζεηο πνπ αθνξνχλ, αθ ελφο ζηελ γεσκεηξία αλάθιαζεο δηάζιαζεο, αθ εηέξνπ ζηα πνζνζηά αλάθιαζεο θαη δηάζιαζεο. Σα γεσκεηξηθά ραξαθηεξηζηηθά δελ εμαξηψληαη απφ ηελ δηεχζπλζε πφισζεο ηνπ θσηφο, απνηειψληαο γεληθά θηλεκαηηθά ραξαθηεξηζηηθά πνπ ηζρχνπλ, κάιηζηα, γηα φια ηα θχκαηα (κεραληθά, ερεηηθά, ειεθηξνκαγλεηηθά), αλεμάξηεηα απφ ηελ θχζε ηνπ θχκαηνο. Αληίζεηα, ηα πνζνζηά αλάθιαζεο δηάζιαζεο εμαξηψληαη απφ ηελ θχζε ηνπ θχκαηνο, απφ ηε γεσκεηξία αλάθιαζεο, θαη (ζηελ πεξίπησζε ησλ εγθάξζησλ θπκάησλ) απφ ηνλ πξνζαλαηνιηζκφ ηεο δηεχζπλζεο πφισζεο σο πξνο ην επίπεδν αλάθιαζεο. ην πιαίζην απηήο ηεο άζθεζεο ζα κειεηήζνπκε ηελ αιιεινζπζρέηηζε ησλ γσληψλ πξφζπησζεο αλάθιαζεο δηάζιαζεο ηνπ θσηφο απφ κία θαη δχν επίπεδεο δηαρσξηζηηθέο k, 10

119 επηθάλεηεο. Ζ κειέηε ησλ πνζνζηψλ αλάθιαζεο δηέιεπζεο γίλεηαη ιεπηνκεξέζηεξα ζην κάζεκα ηεο Οπηηθήο θαη, ζε απηή εδψ ηελ εξγαζηεξηαθή άζθεζε, ζα καο απαζρνιήζεη κφλν ζε ζρέζε κε ην θαηλφκελν ηεο γσλίαο Brewster. Ζ άζθεζε ζα νινθιεξσζεί κε ηελ κειέηε ηνπ πνισκέλνπ θσηφο θαηά ηελ δηέιεπζή ηνπ απφ αληζφηξνπα νπηηθά πιηθά γλσζηά σο πνισηέο. ΝΌΜΟI ΑΝAΚΛΑΗ ΓΙΑΘΛΑΗ Αλάθιαζε - Γηάζιαζε από κηα επίπεδε δηαρσξηζηηθή επηθάλεηα (1) () αλάθιαζεο, θαη δηάζιαζεο r θ i Κ Κ θ t θ r ρ.13.1 Αλάθιαζε-πξφζπησζε-δηάζιαζε Ν ζηε δηαρσξηζηηθή επηθάλεηα δχν νπηηθψλ κέζσλ (1) θαη () t Θεσξνχκε κία αθηίλα θσηφο πνπ πξνζπίπηεη, ππφ γσλία, ζε επίπεδε δηαρσξηζηηθή επηθάλεηα πνπ απνηειεί ην ζχλνξν αλάκεζα ζε δχν δηαθνξεηηθά νπηηθά κέζα 1 θαη, κε δείθηεο δηάζιαζεο n 1 θαη n, αληίζηνηρα. Αλ είλαη Ν ην ζεκείν πξφζπησζεο, θέξλνπκε ηελ θάζεην ΚΝΚ, σο πξνο ηελ επίπεδε δηαρσξηζηηθή επηθάλεηα, ζην ζεκείν πξφζπησζεο, θαη νξίδνπκε σο γσλία πξφζπησζεο i, γσλία αλάθιαζεο r, θαη γσλία δηάζιαζεο t, ηηο γσλίεο πνπ ζρεκαηίδνπλ ε πξνζπίπηνπζα, ε αλαθιψκελε θαη ε δηεξρφκελε (ή, δηαζιψκελε) αθηίλα, αληίζηνηρα, κε ηελ θάζεην ζηελ δηαρσξηζηηθή επηθάλεηα θαη ηελ πξνέθηαζή ηεο., ηζρχνπλ νη λφκνη: (α) Νφκνο αλάθιαζεο: i r, (13.1) (β) Νφκνο ηνπ Snell: n1sin i nsint (13.) Γηα ηηο γσλίεο πξφζπησζεο i, Αλ ιάβνπκε ππφςε καο ηελ Δμ. (13.) θαη ην γεγνλφο φηη n αεξα 1, δηαπηζηψλνπκε φηη αλ είκαζηε ζε ζέζε λα κεηξήζνπκε ηηο γσλίεο πξφζπησζεο θαη δηάζιαζεο, ζηε δηαρσξηζηηθή επηθάλεηα ηνπ αέξα κε θάπνην άιιν νπηηθφ πιηθφ, ηφηε κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηνλ δείθηε δηάζιαζεο ηνπ πιηθνχ απηνχ. Μεηαμχ δχν πιηθψλ κε δείθηεο δηάζιαζεο, π.ρ., n n1, νλνκάδνπκε νπηηθψο ππθλφηεξν ην πιηθφ ζε ζρέζε κε ην πιηθφ 1. ε κία δηαδηθαζία αλάθιαζεο δηάζιαζεο, ζεσξνχκε ζπλήζσο φηη ην θσο δηαδίδεηαη απφ ηνλ αέξα πξνο θάπνην νπηηθψο ππθλφηεξν πιηθφ. ε κία ηέηνηα δηαδξνκή, φπσο πξνθχπηεη απφ ηε Δμ. (13.), ε γσλία δηάζιαζεο ζα είλαη πάληα κηθξφηεξε απφ ηε γσλία πξφζπησζεο. Απμάλνληαο ζηαδηαθά 0 ηελ γσλία πξφζπησζεο, φηαλ πιεζηάδνπκε ηελ ηηκή i 90, (νπφηε sini 1), απφ ην Νφκν n1 1 ηνπ Snell πξνθχπηεη φηη sint sini sint, ε αληίζηνηρε γσλία δηάζιαζεο n n νλνκάδεηαη νξηαθή γσλία, 1 arcsin n (13.3) 103

120 Αλ είρακε ηελ αληίζηξνθε πνξεία ηνπ θσηφο, απφ ην νπηηθψο ππθλφηεξν πξνο ην νπηηθψο αξαηφηεξν κέζν (π.ρ., απφ ην γπαιί πξνο ηνλ αέξα), ηφηε ε νξηαθή γσλία ζα ήηαλ εθείλε ε γσλία πξφζπησζεο γηα ηελ νπνία ην θσο πνπ εμέξρεηαη πξνο ην νπηηθψο αξαηφηεξν νπηηθφ κέζν ηαμηδεχεη ζρεδφλ παξάιιεια ζηελ δηαρσξηζηηθή επηθάλεηα ησλ δχν κέζσλ. ε κηα ηέηνηα πεξίπησζε, γηα γσλίεο πξφζπησζεο κηθξφηεξεο ηεο νξηαθήο γσλίαο έρνπκε θαη αλαθιψκελε (πξνο ην νπηηθψο ππθλφηεξν κέζν) θαη δηαζιψκελε δέζκε (πξνο ην νπηηθψο αξαηφηεξν κέζν), νπφηε ην άζξνηζκα ησλ εληάζεσλ ησλ δχν απηψλ δεζκψλ είλαη ίζν κε ηελ έληαζε ηεο πξνζπίπηνπζαο δέζκεο. Γηα ηελ ίδηα πεξίπησζε (απφ νπηηθψο ππθλφηεξν πξνο νπηηθψο αξαηφηεξν κέζν), φηαλ ε γσλία πξφζπησζεο γίλεη κεγαιχηεξε απφ ηελ νξηαθή γσλία, ηφηε ε δηαζιψκελε δέζκε παχεη λα ππάξρεη θαη ε αλαθιψκελε δέζκε παίξλεη φιε ηελ έληαζε ηεο πξνζπίπηνπζαο δέζκεο. Σφηε ιέκε φηη έρνπκε ην θαηλφκελν ηεο νιηθήο εζσηεξηθήο αλάθιαζεο, ην νπνίν απνηειεί θαη ηελ αξρή ζηελ νπνία βαζίδεηαη ε ρξήζε ησλ νπηηθψλ ηλψλ σο κέζσλ δηάδνζεο νπηηθψλ ζεκάησλ (ην ίδην θαηλφκελν, αλ πεξηγξαθεί κε φξνπο θπκαηηθήο, αλαθέξεηαη σο θπκαηνδήγεζε θαη νη αληίζηνηρεο νπηηθέο ίλεο αλαθέξνληαη σο θπκαηνδεγνί). Γηάζιαζε από δύν επίπεδεο δηαρσξηζηηθέο επηθάλεηεο ππό γσλία Πξίζκα Δίλαη ρξήζηκε ε αλάιπζε ηεο δηαδνρηθήο δηάζιαζεο απφ δχν επίπεδεο δηαρσξηζηηθέο επηθάλεηεο πνπ ζρεκαηίδνπλ κία δίεδξε γσλία. Σν αληίζηνηρν νπηηθφ ζηνηρείν, ην νπνίν απνηειείηαη απφ έλα δηειεθηξηθφ πιηθφ, π.ρ., γπαιί, πνπ θαηαιακβάλεη ην εζσηεξηθφ ηεο δίεδξεο γσλίαο, ιέγεηαη πξίζκα. Βάζε ηνπ πξίζκαηνο νλνκάδεηαη κία ηξίηε επίπεδε επηθάλεηα, παξάιιειε ζηε αθκή ηεο δίεδξεο γσλίαο, ελψ ην πξίζκα ηεξκαηίδεηαη κε δχν επίπεδεο πιεπξέο θάζεηεο ζηελ αθκή ηεο δίεδξεο γσλίαο. ηελ γεληθφηεξε πεξίπησζε, κία θσηεηλή δέζκε κπνξεί λα πξνζπίπηεη κε εληειψο ηπραία πξνζαλαηνιηζκφ ζε κία απφ ηηο δχν πιεπξέο ηεο δίεδξεο γσλίαο. Απηφ πνπ ελδηαθέξεη, ζηηο πεξηζζφηεξεο εθαξκνγέο ησλ πξηζκάησλ, είλαη ε κειέηε ηεο πνξείαο κίαο δέζκεο, ε νπνία βξίζθεηαη ζε έλα επίπεδν θάζεην ζηελ αθκή ηνπ πξίζκαηνο, πξνζπίπηνληαο ππφ γσλία ζηελ κία έδξα ηνπ. Μία ηέηνηα πεξίπησζε αλαιχεηαη ζην Α ρ. 13., ην νπνίν πεξηγξάθεη ηελ πνξεία ηεο δέζκεο ζε απηφ ην επίπεδν ην θάζεην ζηελ αθκή ηνπ πξίζκαηνο. Ζ Ολνκάδνπκε Α ηελ γσλία θνξπθήο ηνπ ε πξίζκαηνο (είλαη ε επίπεδε γσλία πνπ Β Γ θ θ πξνθχπηεη απφ ηελ ηνκή ηεο δίεδξεο 1 γσλίαο κε ην επίπεδν ην θάζεην ζηελ Δ φ φ 1 Ε αθκή ηνπ πξίζκαηνο) θαη ζεσξνχκε, επίζεο, φηη ν δείθηεο δηάζιαζεο n ηνπ πιηθνχ, απφ ην νπνίν απνηειείηαη ην ρ.13. πξίζκα, είλαη γλσζηφο. Έζησ φηη ε Γηαδνρηθέο δηαζιάζεηο ζηηο πιεπξέο πξίζκαηνο δέζκε πξνζπίπηεη ζην ζεκείν Β, θαηά κήθνο ηεο πνξείαο ΓΒ. Μεηά ηελ δηάζιαζή ηεο, ππφ γσλία 1, ε δέζκε ηαμηδεχεη ζην εζσηεξηθφ ηνπ πξίζκαηνο θαηά κήθνο ηεο πνξείαο ΒΓ. ην ζεκείν Γ, ε δέζκε πξνζπίπηεη ππφ γσλία θαη δηαζιάηαη ππφ γσλία 1, εμεξρφκελε θαηά κήθνο ηεο δηαδξνκήο ΓΔ. Αλ γλσξίδνπκε ηηο ηηκέο ησλ γσληψλ Α θαη 1, θαη ηελ ηηκή ηνπ δείθηε δηάζιαζεο n, κπνξνχκε, εθαξκφδνληαο δχν θνξέο ηνλ Νφκν ηνπ Snell ζηα ζεκεία πξφζπησζεο Β θαη Γ, θαη ιακβάλνληαο ππφςε καο φηη 90 o 90 o 180 o, λα ππνινγίζνπκε ηελ γσλία εθηξνπήο , αλάκεζα ζηελ αξρηθή πνξεία ΓΒ θαη ζηελ ηειηθή πνξεία ΓΔ ηεο δέζκεο. Δίλαη θαλεξφ φηη, γηα πξίζκα κε γλσζηά ζηνηρεία, n, ε γσλία εθηξνπήο είλαη ζπλάξηεζε ηεο αξρηθήο γσλίαο πξφζπησζεο 1. Απνδεηθλχεηαη φηη ε 104

121 γσλία εθηξνπήο ειαρηζηνπνηείηαη φηαλ ε πνξεία ΓΒΓΔ ηεο δέζκεο είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ηε δηρνηφκν ηεο γσλίαο Α θαη, ζε απηή ηελ πεξίπησζε, ε ηηκή ηεο ειάρηζηεο γσλίαο εθηξνπήο m ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε m nsin sin (13.4) Δπνκέλσο, αλ έρνπκε έλα πξίζκα κε γλσζηή γσλία θνξπθήο, Α, θαη, κε δηαδνρηθή κεηαβνιή ηεο γσλία πξφζπησζεο, πξνζδηνξίζνπκε ηελ θαηάζηαζε ειάρηζηεο εθηξνπήο θαη κεηξήζνπκε ηελ αληίζηνηρε γσλία m, κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηνλ δείθηε δηάζιαζεο n ηνπ πιηθνχ, απφ ην νπνίν είλαη θαηαζθεπαζκέλν ην πξίζκα, επηιχνληαο ηελ ηειεπηαία ζρέζε σο πξνο n. Δ θ ορ Β πξφζπησζεο 1, ηζρχεη ε ζρέζε Α Γ φορ ρ.13.3 Οξηαθέο γσλίεο ζε πξίζκα Ε Μπνξνχκε, επίζεο, ρξεζηκνπνηψληαο έλα πξίζκα θαη κεηαβάιινληαο ηελ αξρηθή γσλία πξφζπησζεο 1, λα επηηχρνπκε κηα ηέηνηα πνξεία ΒΓ ηεο δέζκεο ψζηε ε εζσηεξηθή γσλία πξφζπησζεο λα πάξεη ηελ ηηκή ηεο νξηαθήο γσλία πνπ δίλεηαη απφ ηελ Δμ. (13.3). ε απηή ηελ πεξίπησζε ε πνξεία ΓΔ ηεο εμεξρφκελεο δέζκεο γίλεηαη εθαπηνκεληθή ζηελ αληίζηνηρε πιεπξά ηνπ πξίζκαηνο θαη, γηα ειαθξψο κεγαιχηεξε γσλία, έρνπκε νιηθή εζσηεξηθή αλάθιαζε. Όηαλ έρνπκε αθξηβψο, αλαιχνληαο ηελ γεσκεηξία ηνπ ρήκαηνο 3, κπνξνχκε λα δείμνπκε φηη, γηα ηελ αληίζηνηρε νξηαθή γσλία αξρηθήο sin 1, nsin (13.5) πλδπάδνληαο ηελ ηειεπηαία ζρέζε κε ηελ Δμ. (13.3), arcsin 1/ n, κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηελ αλακελφκελε 1, (πξνο ζχγθξηζε κε ηελ αληίζηνηρε πεηξακαηηθή ηηκή πνπ είλαη άκεζα κεηξήζηκε), αλ έρνπκε ππνινγίζεη ην δείθηε δηάζιαζεο n ηνπ πξίζκαηνο, π.ρ., κε ηελ πξνεγνχκελε κέζνδν ηεο ειάρηζηεο εθηξνπήο. ΠΟΛΩΗ ΣΟΤ ΦΩΣΟ ΝΟΜΟ ΣΟΤ Malus ΓΩΝΙΑ Brewster Πόισζε ηνπ θσηόο Νόκνο ηνπ Malus Αλαθέξακε θαη ζηελ εηζαγσγή φηη ε δηεχζπλζε ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ ηνπ ειεθηξνκαγλεηηθνχ θχκαηνο αλαθέξεηαη, θαηά ζχκβαζε, σο ε δηεχζπλζε «πφισζεο» ηνπ θχκαηνο. Αλάινγα κε ην πψο κεηαβάιιεηαη κε ην ρξφλν (αιιά θαη ζην ρψξν) ε δηεχζπλζε πφισζεο κηαο δέζκεο θσηφο, απνδίδνπκε ζην θσο αληίζηνηρα ραξαθηεξηζηηθά πφισζεο. Όηαλ ε δηεχζπλζε πφισζεο έρεη ζηαζεξφ πξνζαλαηνιηζκφ (θαζψο πεξλάεη ν ρξφλνο ή θαζψο δηαδίδεηαη ε δέζκε ζην ρψξν), ηφηε ιέκε φηη ην θσο είλαη γξακκηθά πνισκέλν. Μία άιιε θαηεγνξία θσηφο, σο πξνο ηα ραξαθηεξηζηηθά πφισζεο, είλαη ην ιεγφκελν θπθιηθά πνισκέλν θσο, γηα ην νπνίν ην αληίζηνηρν ειεθηξηθφ πεδίν δηαηεξεί ην κέηξν ηνπ αιιά, ζε έλα ζηαζεξφ ζεκείν ηεο δέζκεο, πεξηζηξέθεηαη, ζπλαξηήζεη ηνπ ρξφλνπ, κε ηε ζπρλφηεηα ηνπ αληίζηνηρνπ ειεθηξνκαγλεηηθνχ θχκαηνο, δηαγξάθνληαο έλα θχθιν. Ζ απεηθφληζε ηνπ αληίζηνηρνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ ζην ρψξν, γηα κηα ζπγθεθξηκέλε ρξνληθή ζηηγκή, έρεη ηε κνξθή έιηθαο, κε θπθιηθή δηαηνκή, θαη κε βήκα φζν θαη ην κήθνο θχκαηνο ηνπ αληίζηνηρνπ ειεθηξνκαγλεηηθνχ θχκαηνο. Μία πην ζχλζεηε κνξθή πφισζεο ηνπ θσηφο είλαη ε ιεγφκελε 105

122 ειιεηπηηθή πφισζε, θαηά ηελ νπνία ην ειεθηξηθφ πεδίν πεξηζηξέθεηαη, αιιά κεηαβάιιεη θαη ην κέηξν ηνπ αλάκεζα ζε κηα κέγηζηε θαη ζε κηα ειάρηζηε ηηκή. Ζ κεηαβνιή απηή γίλεηαη κε ηελ ζπρλφηεηα ηνπ αληίζηνηρνπ ειεθηξνκαγλεηηθνχ θχκαηνο θαη ε απεηθφληζή ηνπ ζην ρψξν, θάπνηα ρξνληθή ζηηγκή, έρεη ηε κνξθή έιηθαο κε ειιεηπηηθή δηαηνκή θαη αληίζηνηρν, πάιη, κήθνο θχκαηνο. ηελ πεξίπησζε πνπ ε δηεχζπλζε πφισζεο κηαο δέζκεο θσηφο κεηαβάιιεηαη κε ηπραίν ηξφπν ζην ρψξν θαη ζην ρξφλν, ηφηε ιέκε φηη έρνπκε κε-πνισκέλν ή θπζηθφ θσο. ηελ ζπγθεθξηκέλε άζθεζε ζα πεξηνξηζηνχκε ζηε κειέηε ηνπ γξακκηθά πνισκέλνπ θσηφο. πγθεθξηκέλα ζα κειεηήζνπκε ηελ δηέιεπζε ηνπ γξακκηθά πνισκέλνπ θσηφο απφ θάπνηα πιηθά πνπ είλαη γλσζηά σο πνισηέο. Οη πνισηέο είλαη κε-ηζφηξνπα πιηθά ηα νπνία έρνπλ ηελ εμήο ηδηφηεηα: Όηαλ κία δέζκε πνισκέλνπ θσηφο, έληαζεο I 0, πεξάζεη κέζα απφ έλαλ πνισηή, ηφηε ε έληαζε I ηεο δέζκεο πνπ εμέξρεηαη ηειηθά απφ ηνλ πνισηή εμαξηάηαη απφ ηελ γσλία αλάκεζα ζηελ δηεχζπλζεο πφισζεο ηεο δέζκεο θαη ζε κία ραξαθηεξηζηηθή δηεχζπλζε πνπ νλνκάδεηαη δηεχζπλζε πφισζεο ηνπ πνισηή. Ζ εμάξηεζε ηεο δηεξρφκελεο έληαζεο απφ απηή ηε γσλία, γηα ηδαληθνχο πνισηέο, είλαη ζχκθσλε κε ηε ζρέζε I I 0 cos (13.6) πνπ είλαη γλσζηή σο Νφκνο ηνπ Malus. Όηαλ πξνζπέζεη θπζηθφ (κε-πνισκέλν) θσο ζε έλαλ ηδαληθφ πνισηή, ηφηε ε δέζκε πνπ εμέξρεηαη απφ ηνλ πνισηή έρεη έληαζε αλεμάξηεηε απφ ηνλ πξνζαλαηνιηζκφ ηνπ πνισηή θαη ίζε κε I / 0, ελψ απνθηά ηελ δηεχζπλζε πφισζεο ηνπ πνισηή. Απηφο είλαη έλαο απφ ηνπο ηξφπνπο ζρεκαηηζκνχ δέζκεο πνισκέλνπ θσηφο απφ θπζηθφ (κε-πνισκέλν) θσο. ρήκα Γηάηαμε γηα ηε κειέηε ηεο πφισζεο θσηφο πνπ αξρηθά είλαη θπζηθφ. Αλάθιαζε πνισκέλνπ θσηόο Γσλία Brewster Όηαλ κία δέζκε γξακκηθά πνισκέλνπ θσηφο πξνζπέζεη θάζεηα ζε επίπεδε επηθάλεηα πνπ δηαρσξίδεη δχν ηζφηξνπα νπηηθά κέζα, π.ρ. αέξα θαη γπαιί, ηφηε ηα πνζνζηά αλάθιαζεο θαη δηέιεπζεο δελ εμαξηψληαη απφ ηνλ πξνζαλαηνιηζκφ ηεο δηεχζπλζε πφισζεο (αθνχ, ιφγσ ηεο θάζεηεο πξφζπησζεο θαη ηνπ ηζφηξνπνπ ραξαθηήξα ησλ πιηθψλ, φιεο νη δηεπζχλζεηο είλαη ηζνδχλακεο). Όηαλ ε ίδηα δέζκε πξνζπέζεη ππφ γσλία ζηελ ίδηα δηαρσξηζηηθή επηθάλεηα, είλαη θαλεξφ φηη νη δηάθνξεο δηεπζχλζεηο πφισζεο (αθφκε θαη γηα ζηαζεξή γσλία πξφζπησζεο) δελ είλαη πιένλ ηζνδχλακεο (απφ γεσκεηξηθή θαη κφλν άπνςε). Αλ επαλαθέξνπκε ζηελ ζπδήηεζε ηνλ νξηζκφ ηνπ επηπέδνπ αλάθιαζεο σο ην επίπεδν πνπ πεξηέρεη ηηο αθηίλεο πξφζπησζεο, αλάθιαζεο θαη δηάζιαζεο, ηφηε κπνξνχκε λα πεξηνξηζηνχκε ζηελ κειέηε δχν πεξηπηψζεσλ πφισζεο, Ζ κία πεξίπησζε αθνξά πφισζε 106

123 θάζεηε ζην επίπεδν αλάθιαζεο δηάζιαζεο θαη ε άιιε πεξίπησζε αθνξά πφισζε παξάιιειε ζε απηφ ην επίπεδν. ηελ δεχηεξε πεξίπησζε (φηαλ, δει., ε πφισζε είλαη παξάιιειε ζην επίπεδν αλάθιαζεο δηάζιαζεο) απνδεηθλχεηαη φηη ππάξρεη κηα ζπγθεθξηκέλε γσλία πξφζπησζεο, πνπ είλαη γλσζηή σο γσλία Brewster B, γηα ηελ νπνία φιν ην θσο αθνινπζεί ηελ πνξεία ηεο δηαζιψκελεο δέζκεο θαη ε αλαθιψκελε δέζκε έρεη κεδεληθή έληαζε. Ζ θαηάζηαζε απηή αληηζηνηρεί ζε εθείλε ηελ γεσκεηξία θαηά ηελ νπνία ε αλαθιψκελε δέζκε αλακέλεηαη (ζχκθσλα κε ηνλ λφκν ηνπ Snell) ζε κία δηεχζπλζε θάζεηε ζηε δηαζιψκελε δέζκε. Απηή ε δηαπίζησζε (ε νπνία απνδεηθλχεηαη θαη ζεσξεηηθά, κε βάζε ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ζηε δηαρσξηζηηθή επηθάλεηα, αιιά έρεη θαη βαζχηεξε θπζηθή εξκελεία πνπ ζρεηίδεηαη κε ηνλ κεραληζκφ επαλεθπνκπήο ηεο ειεθηξνκαγλεηηθήο αθηηλνβνιίαο απφ ηα ζηνηρεηψδε ηαιαληνχκελα δίπνια ηνπ νπηηθνχ κέζνπ) κπνξεί λα ζπλδπαζηεί κε ηνλ λφκν ηνπ Snell θαη ην λφκν ηεο αλάθιαζεο, νπφηε θαηαιήγεη θαλείο ζην ζπκπέξαζκα φηη tan B n (13.7) φπνπ n ν δείθηεο δηάζιαζεο ηνπ γπαιηνχ. Δπνκέλσο, ν πξνζδηνξηζκφο ηεο γσλίαο πξφζπησζεο, γηα ηελ νπνία κεδελίδεηαη ε αλαθιψκελε έληαζε κίαο δέζκεο θσηφο πνισκέλεο παξάιιεια ζην επίπεδν αλάθιαζεο δηάζιαζεο, κπνξεί λα καο δψζεη κηα αλεμάξηεηε εθηίκεζε γηα ηνλ δείθηε δηάζιαζεο θάπνηνπ πιηθνχ Πεηξακαηηθή δηάηαμε Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε πεξηέρεη κία (ζχκθσλε) πεγή θσηφο laser He-Ne κε κήθνο θχκαηνο ι=63,8 nm θαη ηζρχ ηεο ηάμεο ηνπ mw. Πξνζνρή: παξόηη ε ηζρύο ηνπ laser είλαη αξθεηά αζζελήο ώζηε λα κελ πξνθαιεί θαςίκαηα ή εγθαύκαηα, ελ ηνύηνηο εμαθνινπζεί λα είλαη επηθίλδπλε γηα ηα κάηηα, ζε πεξίπησζε θαη επζείαλ ή εμ αλαθιάζεσο πξόζπησζεο, γη απηό θαη πξέπεη νη ρεηξηζκνί ηεο λα γίλνληαη κε εμαηξεηηθή πξνζνρή. Ζ δηάηαμε πεξηέρεη ηα παξαθάησ εμαξηήκαηα: Έλα θσηφκεηξν, γηα ηελ κέηξεζε ζρεηηθψλ εληάζεσλ θσηφο, εθνδηαζκέλν κε νπηηθή ίλα γηα ηελ θαζνδήγεζε ηνπ θσηφο πξνο ηνλ θσξαηή ηνπ θσηνκέηξνπ. Έλαλ επζχγξακκν θνξέα κε καγλεηηθή ηαηλία γηα ηελ ζηήξημε κεηαιιηθψλ εμαξηεκάησλ θαη ελδείμεηο απνζηάζεσλ. Έλα γσληαθφ κεηαθνξέα κε πεξηζηξεθφκελε ηξάπεδα θαη γσληφκεηξν, γηα ηελ ειεγρφκελε πεξηζηξνθή νπηηθψλ ζηνηρείσλ θαη ηελ κέηξεζε γσληψλ πεξηζηξνθήο. Μεηαιιηθά ζηεξίγκαηα γηα ηνπο πνισηέο, πνπ κπνξνχλ λα ζηεξίδνληαη ζην γξακκηθφ θνξέα. Έλα γπάιηλν πξίζκα κε ζρήκα νξζνγψληνπ ηζνζθεινχο ηξηγψλνπ. Σξεηο γξακκηθνί πνισηέο. Πξνζνρή: Μελ πηάλεηε ηα νπηηθά ζηνηρεία (πξίζκα, πνισηέο) από ηηο νπηηθέο επηθάλεηεο, αιιά από ηα πεξηκεηξηθά ηνπ ζεκεία. ε πεξίπησζε πνπ δηαπηζηώλεηε όηη ρξεηάδεηαη θαζαξηζκόο ησλ νπηηθώλ ζηνηρείσλ, ζπκβνπιεπηείηε ηνλ επηβιέπνληα Δθηέιεζε 1. Σνπνζεηήζηε ζην έλα άθξν ηνπ επζχγξακκνπ θνξέα ην laser.. Σνπνζεηήζηε ζην άιιν άθξν ηνπ επζχγξακκνπ θνξέα ην θσηφκεηξν. 3. Φξνληίζηε λα θαηεπζχλεηαη ε δέζκε ηνπ Laser ζηελ είζνδν ηνπ θσηφκεηξνπ. 107

124 Πόιωζε ηνπ θωηόο - Νόκνο ηνπ Malus 1. Σνπνζεηήζηε αλάκεζα ζην laser θαη ζην θσηφκεηξν ηξία κεηαιιηθά ζηεξίγκαηα.. ην πξψην θαη ζην ηξίην κεηαιιηθφ ζηήξηγκα ηνπνζεηήζηε απφ έλαλ πνισηή. 3. Πεξηζηξέςηε ηνλ έλαλ απφ ηνπο δχν πνισηέο έηζη ψζηε λα επηηχρεηε ηελ κεγηζηνπνίεζε ηεο έληαζεο πνπ θαηαγξάθεη ην θσηφκεηξν. 4. Καηαρσξήζηε ηελ έλδεημε ηνπ θσηφκεηξνπ, πνπ αληηζηνηρεί ζηελ κέγηζηε έληαζε, σο έληαζε, I εκεηψζηε ηηο γσληαθέο ζέζεηο ησλ δχν πνισηψλ σε ζέζεηο αλαθνξάο. 6. Πεξηζηξέςηε ηνλ έλα πνισηή, κε βήκα 15 ν θαη 1 δηαδνρηθά βήκαηα, σο πξνο ηελ αληίζηνηρε γσληαθή ζέζε αλαθνξάο θαη ζεκεηψζηε ηελ αληίζηνηρε έλδεημε ηεο έληαζεο ζηνλ παξαθάησ Πίλαθα Η: Πίλαθαο Ι Η 0 =. Α/Α ζ Η(ζ) δη(ζ) 7. Μεηά ηελ νινθιήξσζε ησλ κεηξήζεσλ ηνπ βήκαηνο (6) πεξηζηξέςηε ηνλ έλα πνισηή, έηζη ψζηε λα θαηαγξάθεηαη ε ειάρηζηε έληαζε ζην θσηφκεηξν. 8. Σνπνζεηήζηε ζην ελδηάκεζν κεηαιιηθφ ζηήξηγκα ηνλ ηξίην πνισηή. 9. Πεξηζηξέςηε ηνλ ελδηάκεζν πνισηή έηζη ψζηε λα θαηαγξάθεηαη ε κέγηζηε θαη ε ειάρηζηε έληαζε ζην θσηφκεηξν θαη ζεκεηψζηε ηηο δχν αληίζηνηρεο γσληαθέο ελδείμεηο ηνπ ελδηάκεζνπ πνισηή Γωλία ειάρηζηεο εθηξνπήο 1. Σνπνζεηήζηε ζηνλ επζχγξακκν θνξέα ηνλ γσληαθφ κεηαθνξέα θαη πεξηζηξέςηε ην γσληφκεηξφ ηνπ έηζη ψζηε ν άμνλαο λα ζπκπίπηεη κε ηελ πνξεία ηεο δέζκεο ηνπ laser.. Σνπνζεηήζηε ζηελ πεξηζηξεθφκελε ηξάπεδα ηνπ γσληαθνχ κεηαθνξέα ην πξίζκα, έηζη ψζηε ε κία θάζεηε πιεπξά ηνπ λα είλαη θάζεηε ζηε δέζκε ηνπ laser [Θέζε αλαθνξάο]. Πξνζπαζήζηε λα θαηαιάβεηε ηελ πνξεία φισλ ησλ αθηίλσλ (δηαζιψκελσλ αλαθιψκελσλ). Καηαγξάςηε ηα ζπκπεξάζκαηά ζαο ζρεηηθά κε ηελ εζσηεξηθή αλάθιαζε. 3. Πεξηζηξέςηε ηελ ηξάπεδα ηνπ γσληαθνχ κεηαθνξέα (καδί κε ην πξίζκα) έηζη ψζηε ε νξζή γσλία ηνπ πξίζκαηνο λα πιεζηάζεη ηελ πξνζπίπηνπζα δέζκε θαη παξαθνινπζήζηε ηελ πνξεία ηεο δέζκεο πνπ εμέξρεηαη απφ ηελ ππνηείλνπζα ηνπ πξίζκαηνο. 4. πλερίζηε λα πεξηζηξέθεηε κέρξη ε εμεξρφκελε απφ ηελ ππνηείλνπζα δέζκε λα αληηζηξέςεη ηελ πνξεία ηεο. 5. Πξνζδηνξίζηε, κε ηελ θαιχηεξε δπλαηή αθξίβεηα, ην ζεκείν αλαζηξνθήο ηεο πνξείαο θαη επηβεβαηψζηε φηη αληηζηνηρεί ζηελ θαηάζηαζε ειάρηζηεο εθηξνπήο. 6. Μεηξήζηε ηελ γσλία ειάρηζηεο εθηξνπήο θαη θαηαγξάςηε ηελ. 7. Πξνζδηνξίζηε ηελ αληίζηνηρε γσλία πξφζπησζεο θαη θαηαγξάςηε ηελ. 108

125 8. Καηαγξάςηε ηα ζθάικαηα κέηξεζεο ησλ γσληψλ ησλ βεκάησλ (6) θαη (7) Γωλία νιηθήο εζωηεξηθήο αλάθιαζεο 1. Δπαλέιζεηε ζηε [Θέζε αλαθνξάο] (βι. βήκα ηεο πξνεγνχκελεο κέηξεζεο).. Πεξηζηξέςηε ηελ ηξάπεδα ηνπ γσληαθνχ κεηαθνξέα (καδί κε ην πξίζκα) έηζη ψζηε ε νξζή γσλία ηνπ πξίζκαηνο λα πιεζηάζεη ηελ πξνζπίπηνπζα δέζκε θαη παξαθνινπζήζηε ηελ πνξεία ηεο δέζκεο πνπ εμέξρεηαη απφ ηελ ππνηείλνπζα ηνπ πξίζκαηνο. 3. Πξνζδηνξίζηε ηελ θαηάζηαζε νιηθήο εζσηεξηθήο αλάθιαζεο ζηελ ππνηείλνπζα ηνπ πξίζκαηνο θαη θαηαγξάςηε ηελ αληίζηνηρε νξηαθή γσλία ηεο αξρηθήο πξφζπησζεο Γωλία Brewster 1. Δπαλέιζεηε ζηε [Θέζε αλαθνξάο] (βι. βήκα 1 ηεο πξνεγνχκελεο κέηξεζεο).. Σνπνζεηήζηε έλα κεηαιιηθφ ζηήξηγκα αλάκεζα ζην laser θαη ζηνλ γσληαθφ κεηαθνξέα. 3. ην κεηαιιηθφ ζηήξηγκα ηνπνζεηήζηε έλαλ γξακκηθφ πνισηή κε νξηδφληην ηνλ άμνλά ηνπ Πεξηζηξέςηε ηελ ηξάπεδα ηνπ γσληαθνχ κεηαθνξέα κε ην πξίζκα, παξαθνινπζψληαο ηελ αλαθιψκελε δέζκε απφ κία πιεπξά ηνπ πξίζκαηνο. 5. Πξνζδηνξίζηε ηελ θαηάιιειε γσλία γηα ηελ νπνία ειαρηζηνπνηείηαη ε έληαζε ηεο αλαθιψκελεο δέζκεο θαη θαηαγξάςηε ηελ αληίζηνηρε γσλία πξφζπησζεο θαη ην ζθάικα ηεο Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. Τπνινγίζηε ηηο ζεσξεηηθά αλακελφκελεο ηηκέο I πνπ αληηζηνηρνχλ ζηηο ίδηεο γσλίεο (γηαηί;). πνπ έγηλαλ θαη νη κεηξήζεηο πφισζεο, ρξεζηκνπνηψληαο σο I 0 ην Καηαγξάςηε ηηο ζεσξεηηθέο θαη ηηο πεηξακαηηθέο ηηκέο ζε έλα δηάγξακκα I Imax.. Πεξηγξάςηε θαη εξκελεχζηε ηηο παξαηεξήζεηο πνπ αθνξνχλ ηελ ηνπνζέηεζε ηνπ ελδηάκεζνπ πνισηή θαη ηηο γσληαθέο ηνπ ζέζεηο πνπ αληηζηνηρνχλ ζε κέγηζηε θαη ειάρηζηε ηειηθά εμεξρφκελε έληαζε απφ ηελ δηάηαμε ησλ ηξηψλ πνισηψλ. 3. Τπνινγίζηε ηνλ δείθηε δηάζιαζε ηνπ πξίζκαηνο ρξεζηκνπνηψληαο ηελ κέηξεζε ηεο γσλίαο ειάρηζηεο εθπνκπήο θαζψο θαη ην αληίζηνηρν ζθάικα (*). 4. Τπνινγίζηε ηνλ δείθηε δηάζιαζε ηνπ πξίζκαηνο ρξεζηκνπνηψληαο ηελ κέηξεζε ηεο γσλίαο Brewster θαζψο θαη ην αληίζηνηρν ζθάικα (*). 5. Τπνινγίζηε ηελ εζσηεξηθή νξηαθή γσλία ρξεζηκνπνηψληαο ηνλ δείθηε δηάζιαζε ηνπ πξίζκαηνο πνπ ππνινγίζαηε ζην εξψηεκα (3), ηελ Δμ. (13.5) θαη ηελ αληίζηνηρε αξρηθή γσλία πξφζπησζεο 1,. 6. Τπνινγίζηε ηελ αξρηθή γσλία πξφζπησζεο 1, ρξεζηκνπνηψληαο ηνλ δείθηε δηάζιαζε ηνπ πξίζκαηνο πνπ ππνινγίζαηε ζην εξψηεκα (3), ηελ Δμ. (13.5) θαη ηελ Δμ. (13.3), arcsin 1/ n, θαη ζπγθξίλεηε κε ηελ ηηκή ηεο, 1,, πνπ κεηξήζαηε. (*) Καηά ηνλ ππνινγηζκφ ησλ ζθαικάησλ λα ιάβεηε ππφςε ζαο φηη ε θπζηθή κνλάδα κέηξεζεο ησλ γσληψλ είλαη ην αθηίλην. 109

126 Άζθεζε 14 Μέηξεζε ηνπ ιόγνπ e/m ηνπ ειεθηξνλίνπ 14.1 θνπόο ηελ Άζθεζε απηή κειεηάηαη ε θίλεζε δέζκεο ειεθηξνλίσλ κέζα ζε καγλεηηθφ θαη ειεθηξηθφ πεδίν θαη πξνζδηνξίδεηαη ν ιφγνο e/m (θνξηίν πξνο κάδα) ηνπ ειεθηξνλίνπ. 14. Θεσξία Έλαο απιφο ηξφπνο κέηξεζεο ηνπ ιφγνπ e/m βαζίδεηαη ζηελ θίλεζε ησλ ειεθηξνλίσλ ζε έλα θάζεην καγλεηηθφ πεδίν Β. ηελ πεξίπησζε απηή ηα ειεθηξφληα δηαγξάθνπλ κία θπθιηθή ηξνρηά, ε αθηίλα ηεο νπνίαο κπνξεί λα ππνινγηζηεί εμηζψλνληαο ηε δχλακε Lorentz κε ηε θεληξνκφιν, δειαδή απφ ηηο ζρέζεηο F L eb θαη m, (14.1α,β) r F C φπνπ π είλαη νη ηαρχηεηεο ησλ ειεθηξνλίσλ κε ηηο νπνίεο απηά εηζέξρνληαη ζην καγλεηηθφ πεδίν. Δπεηδή ν πεηξακαηηθφο πξνζδηνξηζκφο ησλ ηαρπηήησλ είλαη δχζθνινο, ζηελ πξάμε πξνηηκάηαη νη ηαρχηεηεο ησλ ειεθηξνλίσλ λα πξνζδηνξίδνληαη έκκεζα, απφ ηε δηαθνξά δπλακηθνχ U a πνπ ηα επηηάρπλε έσο ηελ ηαρχηεηα π, αμηνπνηψληαο ηε ζρέζε: m eua. (14.) Απφ ηηο παξαπάλσ ηξεηο ζρέζεηο ν ιφγνο e/m ππνινγίδεηαη εχθνια θαη είλαη e m U a. (14.3) r B Σν καγλεηηθφ πεδίν δεκηνπξγείηαη απφ έλα δεπγάξη πελίσλ Helmholtz, φπνπ ζηνλ θεληξηθφ ρψξν κεηαμχ ησλ πελίσλ δεκηνπξγείηαη έλα αξθεηά νκνγελέο καγλεηηθφ πεδίν, ε έληαζε ηνπ νπνίνπ ππνινγίδεηαη απφ ηε ζρέζε: 8 0 B N I, (14.4) 15 R φπνπ κ 0 = 4π 10-7 H/m είλαη ε καγλεηηθή δηαπεξαηφηεηα ηνπ θελνχ, Ν είλαη ν αξηζκφο ησλ ζπεηξψλ ζηα πελία, R είλαη ε αθηίλα ησλ πελίσλ θαη Η είλαη ε έληαζε ηνπ ξεχκαηνο πνπ δηαξξέεη ηα δχν πελία. Απφ ηηο ζρέζεηο (14.3) θαη (14.4), γηα ην ιφγν e/m πξνθχπηεη ε ζρέζε: 14.3 Μέζνδνο e m 0 Ua U a 50 R (14.5) r B 64 N r I Απφ ηελ Δμ. (14.5) ν ιφγνο e/m κπνξεί λα κεηξεζεί κέζσ κέηξεζεο ηεο ηάζεο επηηάρπλζεο ησλ ειεθηξνλίσλ U a, ηεο έληαζεο ηνπ ξεχκαηνο Η πνπ δηαξξέεη ηα πελία Helmholtz θαη ηεο αθηίλαο ηεο ηξνρηάο r πνπ δηαγξάθνπλ ηα ειεθηξφληα κέζα ζην θάζεην καγλεηηθφ πεδίν, αλ νη ηξνρηέο ηνπο κε θάπνηνλ ηξφπν γίλνπλ νξαηέο. 110

127 14.3 Πεηξακαηηθή δηάηαμε. Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε πεξηιακβάλεη κία βάζε κε ηελ θαζνδηθή ιπρλία θελνχ, ηξία ηξνθνδνηηθά ησλ 6,3, 15 θαη 300 V, φπσο επίζεο θαη έλα δεπγάξη πελίσλ Helmholtz. Σν ηξνθνδνηηθφ ησλ 6,3 V ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε ζέξκαλζε ηεο θαζφδνπ ηνπ ηειεβφινπ ειεθηξνλίσλ. Σν ηξνθνδνηηθφ ησλ 15 V ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ ηξνθνδνζία ησλ πελίσλ Helmholtz κε ξεχκαηα ηεο ηάμεο 1-1,5 Α. ην ηξνθνδνηηθφ απηφ ε παξαγφκελε ηάζε κπνξεί λα ξπζκίδεηαη απφ 0 έσο 15 V. Σν ηξνθνδνηηθφ ησλ 300 V ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ ηξνθνδνζία ηεο αλφδνπ ηνπ ηειεβφινπ ειεθηξνλίσλ, πξννξηζκφο ηνπ νπνίνπ είλαη ε δεκηνπξγία κίαο ιεπηήο δέζκεο ειεθηξνλίσλ θαζνξηζκέλεο ελέξγεηαο. ηε ιπρλία νη ηξνρηέο ησλ ειεθηξνλίσλ γίλνληαη νξαηέο κέζσ γφκσζεο ηεο ιπρλίαο κε Ήιην, ππφ πίεζε 10 mtorr. Μέξνο ησλ ειεθηξνλίσλ ζπγθξνχνληαη κε ηα άηνκα ηνπ Ζιίνπ ηα δηεγείξνπλ θαη θαζψο απηά ζηε ζπλέρεηα απνδηεγείξνληαη, εθπέκπνπλ νξαηφ θσο Σειεβόιν ειεθηξνλίωλ ηεο ιπρλίαο Σν ηειεβφιν ειεθηξνλίσλ ηεο ιπρλίαο (ρ.14.1) απνηειείηαη απφ 3 βαζηθά ειεθηξφδηα: Σελ θάζνδν έκκεζεο ζέξκαλζεο, δειαδή ηελ πεγή ησλ ειεθηξνλίσλ Σνλ θχιηλδξν Wehnelt, πνπ πεξηβάιεη ηελ θάζνδν θαη κε ην δπλακηθφ ηνπ παξαιιειίδεη ηε δέζκε Σελ άλνδν, δειαδή ην ζπιιέθηε ησλ ειεθηξνλίσλ, κε κία κηθξή νπή ζην θέληξν. Σν ζεξκαληηθφ ηεο θαζφδνπ ηξνθνδνηείηαη κε ελαιιαζζφκελε ηάζε 6,3 V θαη ξεχκα 0,3 Α, ελψ ε άλνδνο ηξνθνδνηείηαη απφ ηελ πεγή πςειήο ηάζεο. Μέξνο ηεο αλνδηθήο ηάζεο εθαξκφδεηαη ζηνλ θχιηλδξν Wehnelt. Πίζσ απφ ηελ άλνδν ππάξρνπλ δχν πιαθίδηα εθηξνπήο, ηα νπνία δελ αμηνπνηνχληαη ζηελ Άζθεζε απηή. ρήκα Σν ηειεβφιν ειεθηξνλίσλ Ζ θάζνδνο ηνπ ηειεβφινπ είλαη έκκεζεο ζέξκαλζεο θαη απνηειείηαη απφ έλαλ θχιηλδξν απφ ληθέιην πνπ ζεξκαίλεηαη εζσηεξηθά. ηε βάζε ηνπ θπιίλδξνπ βξίζθεηαη έλα ιεπηφ ζηξψκα νμεηδίνπ ηνπ βαξίνπ (BaO), ην νπνίν ζε ζεξκνθξα ζίεο Κ απνθηά ηδηφηεηεο εκηαγσγνχ θαη εθπέκπεη κεγάιν αξηζκφ ειεθηξνλίσλ ζην θελφ. Έηζη φηαλ ζηελ άλνδν εθαξκφδεηαη ζεηηθφ δπλακηθφ, γηα παξάδεηγκα +00 V (σο πξνο ηελ θάζνδν αζθαιψο), ηα ειεθηξφληα πνπ εθπέκπεη ε θάζνδνο επηηαρχλνληαη θαη ζπγθξνχνληαη κε ηελ άλνδν κε ελέξγεηεο 00 ev. Ζ δέζκε ζρεκαηίδεηαη απφ ηα ειεθηξφληα πνπ δηαπεξλάλε ηελ νπή. εκεηψλνπκε φηη ηα δπλακηθά ησλ ελδηάκεζσλ ειεθηξνδίσλ δειαδή ηνπ θπιίλδξνπ Wehnelt, δελ επεξεάδνπλ ηελ ηειηθή ελέξγεηα ησλ ειεθηξνλίσλ. Ζ απνζηνιή ηνπ θπιίλδξνπ Wehnelt είλαη λα εζηηάζεη ηε δέζκε πξνθεηκέλνπ απηή λα είλαη παξάιιειε, θαζψο ε νπή ζηελ άλνδν έρεη ηδηφηεηεο απνθιίλνληα θαθνχ (βι. Παξάξηεκα 1). 111

128 Ζ δηάηαμε πεξηιακβάλεη αθφκε έλα ςεθηαθφ ακπεξφκεηξν γηα ηε κέηξεζε ηνπ ξεχκαηνο πνπ δηαξξέεη ηα πελία Helmholtz. ην ηξνθνδνηηθφ ηνπ ηειεβφινπ ε πςειή ηάζε κπνξεί λα ξπζκίδεηαη απφ 0 έσο 350 V. Ζ ξχζκηζε ηεο ηάζεο γίλεηαη κε βήκαηα 50 V, ελψ νη ελδηάκεζεο ηηκέο ξπζκίδνληαη κε ην θνπκπί FINE CONTROL. ην ηξνθνδνηηθφ απηφ ππάξρεη θαη έλα ελζσκαησκέλν βνιηφκεηξν γηα ηελ έλδεημε ηεο παξαγφκελεο πςειήο ηάζεο. Ζ βάζε ηεο ιπρλίαο αμηνπνηείηαη σο ζηήξηγκα ησλ πελίσλ θαη σο θηβψηην ζπλδεζκνινγίαο, κέζσ ηνπ νπνίνπ ηξνθνδνηείηαη ε ιπρλία θαη ηα πελία Helmholtz. Σν θηβψηην ηεο βάζεο πεξηέρεη 5 δεπγάξηα αθξνδεθηψλ, κέζσ ησλ νπνίσλ ηξνθνδνηνχληαη ηα πελία Helmholtz, ηα πιαθίδηα εθηξνπήο θαη ηα βαζηθά ειεθηξφδηα ηνπ ηειεβφινπ ηεο ιπρλίαο. Έλα βαζκνλνκεκέλν θάηνπηξν ηνπνζεηεκέλν πίζσ απφ ηε ιπρλία ρξεζηκεχεη γηα ηε κέηξεζε ηεο δηακέηξνπ ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο ησλ ειεθηξνλίσλ. Βηβιηνγξαθία 1. Μαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley. Σφκνο 1: Μεραληθή. Κεθ. 3 (Αζήλα 1978).. Alonso-Finn. Θεκειηώδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή. Σφκνο ΗΗ: Πεδία θαη Κχκαηα. 3. Κ. Αιεμφπνπινο. Γεληθή Φπζηθή. Σφκνο 3: Αηνκηθή θαη Ππξεληθή Φπζηθή. Κεθ. Α. 4. F. Lobkowich and A. Melissinos. Physics for scientists and Engineers. Vol. II, Ch Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα 010) 14.4 Δθηέιεζε Πξνζνρή: ηελ Άζθεζε ρξεζηκνπνηείηαη επηθίλδπλε γηα ηε δσή ηάζε 300 V. Γηα ην ιόγν απηό ε ζπλαξκνιόγεζε ηνπ θπθιώκαηνο πξέπεη λα γίλεηαη απζηεξά κόλνλ όηαλ όιεο νη πεγέο ηάζεο είλαη θιεηζηέο. Σνλίδνπκε ηδηαίηεξα όηη ηα ηξνθνδνηηθά ηίζεληαη ζε ιεηηνπξγία κόλνλ από ηνλ επηβιέπνληα ηεο Άζθεζεο. ρήκα 14.. Σν θηβψηην-βάζε, ηα πελία θαη ε ηξνθνδνζία ηνπ ηειεβφινπ θαη ησλ πελίσλ 11

129 Α Πηνία 15 V ρήκα Αλαγλσξίζηε ηα θχξηα κέξε ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο πνπ βιέπεηε ζην ρήκα 14. θαη ζηε ζπλέρεηα ζπλαξκνινγήζηε ην θχθισκα ηξνθνδνζίαο ησλ πελίσλ Ζelmholtz, ζχκθσλα κε ηα ζρέδηα πνπ βιέπεηε ζηα ρήκαηα 14.. θαη ην θηβψηην-βάζε ν δηαθφπηεο e/m:deflect πξέπεη λα βξίζθεηαη ζηε ζέζε e/m. εκεηψλνπκε επίζεο φηη ζην θηβψηην-βάζε εθ δεμηψλ: A. Πάλσ απφ ην πξψην δεπγάξη αθξνδεθηψλ πνπ ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε ζέξκαλζε ηεο θαζφδνπ ηνπ ηειεβφινπ αλαγξάθεηαη ε ιέμε HETER. B. Πάλσ απφ ην δεχηεξν δεπγάξη πνπ ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ ηξνθνδνζία ησλ δχν βαζηθψλ ειεθηξνδίσλ ηνπ ηειεβφινπ αλαγξάθεηαη ε ιέμε ELECTRODES. C. Πάλσ απφ ην ηξίην δεπγάξη αλαγξάθεηαη ε ιέμε DEFLECT PLATES. Σν δεπγάξη απηφ ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε κέηξεζε ηεο ηάζεο πνπ εθαξκφδεηαη ζηα πιαθίδηα εθηξνπήο, φηαλ ν δηαθφπηεο e/m:deflect βξίζθεηαη ζηε ζέζε deflect θαη ε αθξίβεηα ηνπ ελζσκαησκέλνπ ζην ηξνθνδνηηθφ αλαινγηθνχ βνιηφκεηξνπ δελ είλαη επαξθήο. D. Πάλσ απφ ην ηέηαξην δεπγάξη αλαγξάθεηαη ε ιέμε VOLTMETER (300V). Σν δεπγάξη απηφ ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε κέηξεζε ηεο ηάζεο πνπ εθαξκφδεηαη ζηελ άλνδν ηνπ ηειεβφινπ κε φξγαλν κεγαιχηεξεο αθξίβεηαο, φηαλ ν δηαθφπηεο e/m:deflect βξίζθεηαη ζηε ζέζε e/m θαη ε αθξίβεηα ηνπ ελζσκαησκέλνπ ζην ηξνθνδνηηθφ αλαινγηθνχ βνιηφκεηξνπ δελ είλαη επαξθήο. E. Πάλσ απφ ην πέκπην δεπγάξη αλαγξάθεηαη ε ιέμε HELMHOLTZ COILS. Σν δεπγάξη απηφ ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ ηξνθνδνζία ησλ πελίσλ Ζelmhotz.. Θέζαηε ζε ιεηηνπξγία ην ηξνθνδνηηθφ πνπ ηξνθνδνηεί ηα πελία Helmholtz. εκείωζε: ην θηβώηην-βάζε, ην θνπκπί Current ADJ ρξεζηκεύεη γηα ηε κεηαβνιή ηνπ ξεύκαηνο ζηα πελία Helmholtz. Αιιά ιόγσ καθξνρξόληαο ρξήζεο, ε θζνξά ησλ επαθώλ ζην πνηελζηόκεηξν απηό δεκηνπξγεί αθαλόληζηεο κεηαβνιέο ζην ξεύκα ησλ πελίσλ. Γηα λα παξαθακθζεί ην πξόβιεκα απηό, ζηξίςηε ην θνπκπί ηέξκα δεμηά, ή ηέξκα αξηζηεξά όπνπ νη επαθέο είλαη θαιέο. Ζ ξύζκηζε απηή δε δεκηνπξγεί πξόβιεκα ζηελ ηξνθνδνζία ησλ πελίσλ, θαζώο ε σκηθή αληίζηαζε ησλ πελίσλ είλαη πεξίπνπ 5 Ω. Δπνκέλσο όηαλ ην πνηελζηόκεηξν ήηαλ ζε θαιή θαηάζηαζε ε αληίζηαζε ηνπ θπθιώκαηνο κεηαβαιιόηαλ από 5 έσο 10 Ω. Σν ηξνθνδνηηθό ηεο Άζθεζεο κπνξεί λα ηξνθνδνηήζεη άλεηα ηηο δύν ηηκέο αληίζηαζεο. Όηαλ ην πνηελζηφκεηξν είλαη απελεξγνπνηεκέλν ε κεηαβνιή ηνπ ξεχκαηνο ζην θχθισκα κπνξεί λα γίλεη κέζσ κεηαβνιήο ηεο ηάζεο πνπ παξάγεη ην ηξνθνδνηηθφ ησλ 15 βνιη. 3. πλαξκνινγήζηε ην θχθισκα ηξνθνδνζίαο ηνπ ηειεβφινπ ειεθηξνλίσλ ζχκθσλα κε ην ζρέδην πνπ βιέπεηε ζην ρ Καιέζηε ηνλ επηβιέπνληα ηεο Άζθεζεο πξνθεηκέλνπ λα ειέγμεη ην φιν θχθισκα. Αλ ε ζπλαξκνιφγεζε είλαη επηηπρήο, ν επηβιέπσλ ζα ζέζεη ζε ιεηηνπξγία ηα δχν ηξνθνδνηηθά θαη 5 Ω 113

130 ζα ζαο ελεκεξψζεη ζρεηηθψο γηα ηνλ έιεγρν θαη ρξήζε ηνπ ηξνθνδνηηθνχ αλνδηθήο ηάζεο. εκεηψλνπκε φηη ε δηάξθεηα δσήο ηεο θαζφδνπ κεηψλεηαη αηζζεηά φηαλ ε αλνδηθή ηάζε εθαξκφδεηαη ζε ςπρξή θάζνδν. Δπνκέλσο πξψηα ζεξκαίλνπκε ηελ θάζνδν ηνπ ηειεβφινπ (- 3 ιεπηά αξθνχλ) θαη κφλν κεηά εθαξκφδνπκε ζηελ άλνδν ηελ αλνδηθή ηάζε! Απηφο είλαη ν ιφγνο γηα ηνλ νπνίν ην ηξνθνδνηηθφ ηνπ ηειεβφινπ δηαζέηεη έλαλ πξφζζεην δηαθφπηε κε ελεξγνπνίεζε ηνπ νπνίνπ επηηπγράλεηαη ε εθαξκνγή ηεο αλνδηθήο ηάζεο ζηελ άλνδν ηνπ ηειεβφινπ. εκείωζε: ην θηβώηην-βάζε νη εζσηεξηθέο ζπλδέζεηο δεκηνπξγνύλ ηε ζπλδεζκνινγία πνπ βιέπνπκε ζην ρ Δδώ ε πςειή ηάζε εθαξκόδεηαη ζηελ άλνδν κε ηελ νπή, ελώ ε εζηίαζε ηεο δέζκεο επηηπγράλεηαη κέζσ ξύζκηζεο ηεο ηάζεο ζηνλ θύιηλδξν Wehnelt (Focus). Από ηηο ηηκέο ησλ αληηζηάζεσλ ηνπ δηαηξέηε ζπκπεξαίλνπκε όηη ε ηάζε απηή κπνξεί λα κεηαβάιιεηαη από 0 έσο U a /4. 5. Ρπζκίζηε ηελ αλνδηθή ηάζε ζηα 00 V θαη ζέζαηε ζε ιεηηνπξγία ηνλ πξφζζεην δηαθφπηε. Θα εκθαληζηεί κία νξηδφληηα επζχγξακκε δέζκε ειεθηξνλίσλ πνπ ζα ηεξκαηίδεη ζηελ εζσηεξηθή επηθάλεηα ηεο γπάιηλεο ζθαίξαο. ηε ζπλέρεηα απμάλνληαο ην ξεχκα ζηα πελία έσο πεξίπνπ 1,3 Α, ζα δηαπηζηψζεηε θακπχισζε ηεο δέζκεο θαη εκθάληζε ελφο θχθινπ κε δηάκεηξν πεξίπνπ 9 cm. 6. Ρπζκίζηε ην θνπκπί Focus πξνθεηκέλνπ λα ιεπηχλεηε ηε δέζκε. Απφ ην ζεκείν απηφ είζηε έηνηκνη λα θάλεηε ηα πεηξάκαηα. εκείωζε: Με ρξεζηκνπνηείηε ηάζεηο άλσ ησλ 50 V. Δπίζεο κελ αθήλεηε ηε ιπρλία ππό ηάζε γηα κεγάια ρξνληθά δηαζηήκαηα θαζώο ηα ζεηηθά ηόληα ηνπ Ζιίνπ πνπ δεκηνπξγνύληαη από ηα ειεθηξόληα ηεο δέζκεο βνκβαξδίδνπλ ηελ θάζνδν κε ελέξγεηεο ηεο ηάμεο 00 ev θαη έηζη πξνθαινύλ ηε θζνξά ηεο (θαηλόκελν spattering) Μέζνδνο βέιηηζηνπ θύθινπ ηελ πεηξακαηηθή δηάηαμε ε δέζκε ησλ ειεθηξνλίσλ ζρεκαηίδεη έλαλ θχθιν ε δηάκεηξνο ηνπ νπνίνπ πξέπεη λα κεηξεζεί κε φζν ην δπλαηφλ κεγαιχηεξε αθξίβεηα, θαζψο ε θχξηα ζπληζηψζα ηνπ ζθάικαηνο πξνέξρεηαη απφ ηελ ηηκή απηή. Ζ κέηξεζε ηεο δηακέηξνπ γίλεηαη κε κία θαηνπηξηθή θιίκαθα πνπ έρεη νξηδφληην πξνζαλαηνιηζκφ θαη βξίζθεηαη (δπζηπρψο) ζηελ νξηδόληηα δηάκεηξν ηεο γπάιηλεο ζθαίξαο (ζα έπξεπε λα βξίζθεηαη ζηελ θάζεηε δηάκεηξν) πίζσ ηεο, ζε απφζηαζε 10 cm απφ ην θέληξν ηεο ζθαίξαο (βι. ζρήκα). Σν γεγνλφο 114

131 απηφ δεκηνπξγεί κεγάιε παξάιιαμε θαηά ηε κέηξεζε ηεο δηακέηξνπ, ε νπνία κεηψλεηαη αηζζεηά αλ θαηαθχγνπκε ζην βέιηηζην θχθιν, ε δηάκεηξνο ηνπ νπνίνπ είλαη 9,0 cm. Σνλ θχθιν απηφλ ηνλ απνθαινχκε βέιηηζην γηα δχν ιφγνπο. Δίλαη κηθξφηεξνο απφ ηε δηάκεηξν ηεο γπάιηλεο ζθαίξαο (13 cm) θαη επνκέλσο ηα ειεθηξφληα δε ζπγθξνχνληαη κε απηή θαη δελ ηε θνξηίδνπλ κε ειεθηξηθφ θνξηίν, αιιά ηαπηφρξνλα, ν θχθινο απηφο είλαη αξθεηά κεγάινο θαη επνκέλσο ε δηάκεηξφο ηνπ κπνξεί λα κεηξεζεί κε κηθξφ ζρεηηθφ ζθάικα. Λφγσ ηνπ φηη ην ηειεβφιν βξίζθεηαη ζηελ θαηαθφξπθν θαη ρακειφηεξα θαηά 4,5 cm απφ ην θέληξν ηεο ζθαίξαο (βι. παξαπ ζρήκα), αιιά θαη ιφγσ αηπρνχο πξνζαλαηνιηζκνχ ηεο θαηνπηξηθήο θιίκαθαο γηα ηε κέηξεζε ηεο δηακέηξνπ ζηε δηάηαμε απηή, αληί λα κεηξηέηαη ε δηάκεηξνο ηνπ θχθινπ, νπζηαζηηθά κεηξηέηαη ε ρνξδή ηνπ. Δπεηδή κφλν ν θχθινο κε αθηίλα 4,5 cm είλαη νκφθεληξνο κε ηε ζθαίξα, κφλν ζε απηφλ ηνλ θχθιν ε θαηνπηξηθή θιίκαθα ηνπ κεηξεηή ζπκπίπηεη κε ηε δηάκεηξφ ηνπ. Δπνκέλσο, ιφγσ κεγάιεο παξάιιαμεο, ζην βέιηηζην θχθιν ηα ζθάικαηα κέηξεζεο ηεο δηακέηξνπ κεηψλνληαη ζεκαληηθά Πείξακα 1 1. Με ζηαζεξή αλνδηθή ηάζε 00 V ξπζκίζηε ην ξεχκα ησλ πελίσλ έσο φηνπ ν θχθινο απνθηήζεη δηάκεηξν 9,0 cm. εκεηψζηε ηε δηάκεηξν, ηελ ηηκή ηνπ ξεχκαηνο φπσο θαη ηα ζθάικαηα ζηε δηάκεηξν θαη ην ξεχκα.. Δπαλαιάβαηε ην πξνεγνχκελν βήκα άιιεο 6 θνξέο. Δπνκέλσο ζην πείξακα ν ιφγνο e/m ζα ππνινγηζηεί απφ ηελ ηηκή ηεο δηακέηξνπ (9 cm), ηεο κέζεο ηηκήο ηνπ ξεχκαηνο θαη ηεο ηάζεο 00 V. Σν ζθάικα ηεο ηάζεο ην αληιείηε απφ ην ζθάικα ηνπ νξγάλνπ, ελψ ην ζθάικα ηεο δηακέηξνπ ην εθηηκάηε αλάινγα κε ηε δπζθνιία κέηξεζεο ηεο δηακέηξνπ ηνπ βέιηηζηνπ θχθινπ. εκείωζε: Λόγσ δηαζπνξάο ζηηο ελέξγεηεο ησλ ειεθηξνλίσλ ηεο δέζκεο (βι. Παξάξηεκα 1), παξά ηηο ξπζκίζεηο κε ην θνπκπί FOCUS, ε γξακκή ηνπ θύθινπ δελ είλαη ιεπηή παληνύ. Ζ δέζκε παξακέλεη πιαηηά ζην πάλσ κέξνο ηνπ θύθινπ, ελώ ιεπηαίλεη κόλν ζηελ πεξηνρή ηνπ ηειεβόινπ (βι. πιατλό ζρήκα). Έηζη όηαλ κεηξάκε ηε δηάκεηξν ηνπ θύθινπ πνπ αληηζηνηρεί ζε αλνδηθή ηάζε 00 V, ηηο ελέξγεηεο 00 ev έρνπλ ηα ειεθηξόληα πνπ ζρεκαηίδνπλ ηελ εμσηεξηθή πιεπξά ηεο δέζκεο. Δπνκέλσο ζσζηό είλαη λα ζεκεηώλνπκε ηηο ζέζεηο ηεο εμσηεξηθήο γξακκήο ηνπ θύθινπ θαη όρη ηνπ θέληξνπ ηεο δέζκεο, όπσο ζπλεζίδεηαη Πείξακα Δδψ ν ιφγνο e/m ζα ππνινγηζηεί κε ηε κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ. ην πείξακα απηφ ηα κεηξνχκελα κεγέζε είλαη ε αλνδηθή ηάζε θαη ην ξεχκα ησλ πελίσλ, ελψ ε δηάκεηξνο ηνπ θχθινπ είλαη παξάκεηξνο ηνπ πεηξάκαηνο θαη θξνληίδνπκε λα είλαη πάληα 9,0 cm. Γηα ηελ εθηέιεζε: Βέιηηζηνο θχθινο Κάηνπηξν 4,5 cm Σειεβφιν 1. Δθαξκφζηε ζηελ άλνδν ηνπ ηειεβφινπ ηάζε 160 V θαη ξπζκίζηε ην ξεχκα ησλ πελίσλ έσο φηνπ ζηε ιπρλία ζρεκαηηζηεί θχθινο κε δηάκεηξν 9,0 cm. εκεηψζηε ηελ ηηκή απηνχ ηνπ ξεχκαηνο. 00 ev 180 ev 115

132 . Δπαλαιάβαηε ην παξαπάλσ βήκα γηα ηηο ηάζεηο 180, 00, 0, 40, 60 θαη 80 V. 3. Κιείζηε ηα φξγαλα κε ηελ εμήο ζεηξά: δηαθφπηεο πςειήο ηάζεο ΖΣ ζε ζέζε OFF, γεληθφο δηαθφπηεο ηνπ ηξνθνδνηηθνχ ζε ζέζε OFF. Δπίζεο θιείζηε θαη ηνπο γεληθνχο δηαθφπηεο ηνπ ηξνθνδνηηθνχ ησλ πελίσλ θαη ηνπ ςεθηαθνχ ακπεξφκεηξνπ Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Πείξακα 1 Τπνινγίζηε ην ιφγν e/m κε βάζε ηε ζρέζε e m U a 15 R U a, (14.5) r B 64 N r I 0 φπνπ R = 0,15 m, Ν = 130 θαη κ 0 = 4πx10-7 H/m. Ζ αθηίλα, r, είλαη 4,5 cm, ελψ ην Η είλαη ε κέζε ηηκή ηνπ ξεχκαηνο ζηα 7 πεηξάκαηα. Τπνινγίζηε ην ζθάικα ηνπ ιφγνπ ζπλαξηήζεη ησλ δu a, δr θαη δη. ην πείξακα απηφ, θαζψο ε δηαζπνξά ηνπ Η είλαη πνιχ κεγαιχηεξε απφ ην ζθάικα ηνπ ςεθηαθνχ νξγάλνπ, ην δη ην ππνινγίδεηε σο ηππηθή απφθιηζε ηεο κέζεο ηηκήο Πείξακα Με ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ππνινγίζηε ην ιφγν e/m φπσο θαη ην ζθάικα ηνπ απφ ηελ θιίζε ηεο επζείαο φπνπ y = I θαη x = U a. ηελ Δμ. (14.6), εκείωζε I bu a, (14.6) 0 m 50 R b. (14.7) e 64r N ε ζπλαξηήζεηο ηχπνπ y = bx, φπνπ ε δηαζπνξά ησλ ηηκψλ x είλαη κεδέλ (ζ x = 0), ε θιίζε ηεο βέιηηζηεο επζείαο ππνινγίδεηαη απφ ηε ζρέζε (Παξάξηεκα ): n xi y i b n x i 1, i i1 ελψ ην ζθάικα ηεο θιίζεο, δειαδή ην ζ b, ππνινγίδεηαη απφ ηνλ ηχπν φπνπ y b, n x i i1 n yi bxi y i1 ( n 1). 116

133 ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ δελ είλαη αδηάθνξν πνην απφ ηα δχν κεγέζε ζα νξηζηεί σο x θαη πνην σο y. ηε ζεσξία ηεο κεζφδνπ δηαζπαξκέλεο ζεσξνχληαη κφλν νη ηηκέο ηνπ y, ελψ ε δηαζπνξά ησλ x ζεσξείηαη κεδεληθή (ακειεηέα). Ο φξνο απηφο επηβάιιεη γηα x λα επηιέγεηαη ε κεηαβιεηή πνπ κεηξήζεθε κε πνιύ κεγαιύηεξε αθξίβεηα. ην πείξακα ηεο Άζθεζεο κε κεγαιχηεξε αθξίβεηα κεηξήζεθαλ νη ηηκέο U a. Παξφηη ν ςεθηαθφο κεηξεηήο ξεχκαηνο είλαη φξγαλν αθξηβείαο, ιφγσ δπζθνιίαο λα απνθαλζεί θαλείο πφηε (ζε πνηα ηηκή ηνπ ξεχκαηνο) ε δηάκεηξνο ηνπ θχθινπ είλαη 9 cm, νη ηηκέο I i εκθαλίδνληαη έληνλα δηαζπαξκέλεο. Απφ ηε ζθνπηά απηή ηα ζθάικαηα ησλ νξγάλσλ ζεσξνχληαη ακειεηέα. Ακειεηέα επίζεο ζεσξνχληαη θαη ηα ζθάικαηα ησλ κεγεζψλ R, r, N, θαη κ 0 (ε δηαζπνξά ηεο r εθδειψλεηαη σο δηαζπνξά ηνπ Η). Δπνκέλσο ζην δεχηεξν πείξακα ην ζθάικα ηνπ ιφγνπ ζα ππνινγηζηεί απφ ην ζθάικα ηεο θιίζεο b, ην νπνίν ζπλδέεηαη θαη πξνθαιείηαη απφ ηε κεγάιε δηαζπνξά ησλ ηηκψλ Η i Παξάξηεκα Ηιεθηξννπηηθέο ηδηόηεηεο ηεο νπήο Ζ δέζκε ειεθηξνλίσλ ζρεκαηίδεηαη απφ ηα ειεθηξφληα πνπ δηαπεξλνχλ ηελ νπή ηεο αλφδνπ θαη θηλνχληαη επζχγξακκα ιφγσ αδξάλεηαο κε ελέξγεηεο πεξίπνπ 00 ev, αξθεί ζην ρψξν δεμηφηεξα ηεο αλφδνπ λα κελ ππάξρνπλ ειεθηξηθά πεδία. Ο πξννξηζκφο ηνπ θπιίλδξνπ Wehnelt γίλεηαη θαηαλνεηφο αλ εμεηάζνπκε ηηο αδπλακίεο ηνπ απινχ ηειεβφινπ πνπ απνηειείηαη κόλν από δύν ειεθηξφδηα, δειαδή ηελ θάζνδν θαη ηελ άλνδν κε νπή. ην ζχζηεκα ησλ δχν ειεθηξνδίσλ πνπ ζα ην απνθαινχκε δίνδν, ε δέζκε ησλ ειεθηξνλίσλ είλαη πάληα απνθιίλνπζα, δειαδή ε νπή ηεο αλφδνπ έρεη ηδηφηεηεο ελφο απνθιίλνληνο νπηηθνχ θαθνχ (βι. ρ 14.5). Σα ζέκαηα απηά απνηεινχλ αληηθείκελν κειέηεο ηεο Ζιεθηξνληθήο Οπηηθήο, φπνπ γηα ηελ εζηηαθή απφζηαζε ηνπ απνθιίλνληνο ειεθηξνληθνχ θαθνχ νη ζρεηηθνί ππνινγηζκνί δίλνπλ F = 4l, φπνπ l είλαη ε απφζηαζε κεηαμχ ησλ δχν ειεθηξνδίσλ. +00 V F 4l k l a ρήκα ev Ζ ηδηφηεηα απηή πεγάδεη απφ ηελ παξνπζία εγθάξζηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ ζηελ επηθάλεηα ηεο νπήο. Ζ ζρεηηθή αλάιπζε δείρλεη φηη ζην θέληξν ηεο νπήο ην δπλακηθφ είλαη κηθξφηεξν θαηά έλα παξάγνληα πνπ εμαξηάηαη απφ ην ιφγν d/l, φπνπ d είλαη ε δηάκεηξνο ηεο νπήο: c 1 d a 1. l 117

134 Δπίζεο, ζην επίπεδν ηεο νπήο, ην εγθάξζην απηφ πεδίν έρεη θπθιηθή ζπκκεηξία θαη κε θαιή πξνζέγγηζε είλαη παξαβνιηθφ: ( r) c br, φπνπ ν ζπληειεζηήο b νξίδεηαη απφ ηελ νξηαθή ζπλζήθε Φ(d) = Φ a. ην παξαβνιηθφ πεδίν ε έληαζε ηνπ εγθάξζηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ είλαη Άνοδοσ 00 V 193 V 188 V ( r) E( r) br r δειαδή είλαη γξακκηθή ζπλάξηεζε αθηίλαο r. Απφ ηηο παξαπάλσ ζρέζεηο πξνθχπηεη φηη ζην επίπεδν ηεο νπήο, ζηα ειεθηξφληα αζθείηαη κία εγθάξζηα δχλακε πνπ είλαη αλάινγε ηνπ r, δειαδή ην πεδίν απηφ δξα κε ίδην ηξφπν πνπ έλαο νπηηθφο θαθφο επηδξά ζην θσο. Βιέπνπκε αθφκε φηη ε εγθάξζηα δχλακε πνπ δξα ζην ειεθηξφλην είλαη κεδέλ ζην θέληξν θαη κεγηζηνπνηείηαη ζηελ πεξηθέξεηα ηεο νπήο. Ζ νπή ζα απνθηήζεη ηδηφηεηεο ζπγθιίλνληνο θαθνχ αλ αλαζηξαθεί ην εγθάξζην πεδίν ηεο νπήο. Απηφ επηηπγράλεηαη φηαλ ζην θέληξν ηεο νπήο ην δπλακηθφ γίλεη πςειφηεξν απφ απηφ ηεο πεξηθέξεηαο. Πην θάησ ζα δνχκε έλα δπλαηφ ηξφπν πινπνίεζεο ηέηνηαο θαηάζηαζεο Γηαζπνξά ελεξγεηώλ ηωλ ειεθηξνλίωλ ηεο δέζκεο Απφ ηελ πξνεγνχκελε αλάιπζε πξνθχπηεη ην ζπκπέξαζκα φηη ηα ειεθηξφληα πνπ δηαπεξλάλε ηελ νπή ηεο αλφδνπ δελ έρνπλ ίδηεο θηλεηηθέο ελέξγεηεο. Γηα παξάδεηγκα απηά πνπ δηαπεξλάλε ην θέληξν ηεο νπήο έρνπλ ελέξγεηεο φζν είλαη ην δπλακηθφ εθεί δειαδή 00(1 d/πl), ελψ απηά πνπ θηλνχληαη θνληά ζηελ πεξηθέξεηα ηεο νπήο μπζηά, έρνπλ ελέξγεηεο ζρεδφλ 00 ev. Γηα παξάδεηγκα φηαλ ν ιφγνο d/l = 1/, ε δηαθνξά ζηα δπλακηθά θαη επνκέλσο ζηηο ελέξγεηεο είλαη ηεο ηάμεο 1/4π ή πεξίπνπ ~ 8 %, δειαδή ζην θέληξν ηεο νπήο ην δπλακηθφ είλαη 184 θαη φρη 00 V! Σνλίδνπκε φηη ε δηαζπνξά ζηηο ελέξγεηεο ηεο δέζκεο άκεζα επεξεάδεη ηελ αθξίβεηα ηνπ πεηξάκαηνο ζηελ Άζθεζε απηή, θαζψο ζην καγλεηηθφ πεδίν θχθιν άιιεο δηακέηξνπ ζα δηαγξάςνπλ ηα ειεθηξφληα κε ελέξγεηεο 184 ev, ελψ θχθιν άιιεο δηακέηξνπ (κεγαιχηεξεο) ζα δηαγξάςνπλ ηα ειεθηξφληα κε ελέξγεηεο 00 ev Αλαζηξνθή ηνπ εγθάξζηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ. Γηάθξαγκα Wehnelt Ζ απνζηνιή ηνπ δηαθξάγκαηνο απηνχ είλαη λα εμνπδεηεξψζεη ηηο απνθιίλνπζεο ηδηφηεηεο ηεο νπήο θαη κε ηνλ ηξφπν απηφ λα θάλεη ηε δέζκε ειεθηξνλίσλ V k Wehn. a 185 V παξάιιειε. Απηφ επηηπγράλεηαη κε έλα ηξίην ειεθηξφδην, ην δηάθξαγκα Wehnelt, πνπ ηνπνζεηείηαη αλάκεζα ζηελ θάζνδν θαη άλνδν κε ηελ νπή. Ζ νπή ηνπ δηαθξάγκαηνο πξέπεη λα είλαη κεγαιχηεξε απφ απηή ηεο αλφδνπ, γηα παξάδεηγκα 5 θνξέο. Ζ δξάζε ηνπ ελδηάκεζνπ δηαθξάγκαηνο εμαξηάηαη απφ ην δπλακηθφ πνπ απηφ θέξεη. Πξάγκαηη έζησ φηη ην δηάθξαγκα βξίζθεηαη ζην κέζν ηεο απφζηαζεο αλφδνπ-θαζφδνπ. Αλ εθαξκφζνπκε ζην δηάθξαγκα ην δπλακηθφ πνπ ζα είρε ε ηζνδπλακηθή επηθάλεηα ζην ζχζηεκα ησλ δχν ειεθηξνδίσλ, δειαδή 100 V, ηφηε ε παξνπζία ηνπ δηαθξάγκαηνο κε ηελ νπή δε ζα επηθέξεη θακία επίδξαζε ζηα θηλνχκελα ειεθηξφληα. 118

135 Ζ θαηάζηαζε δηαθνξνπνηείηαη φηαλ ζην δηάθξαγκα εθαξκφζνπκε ηάζε κηθξφηεξε απφ ηελ ηζνδπλακηθή ησλ δχν ειεθηξνδίσλ, γηα παξάδεηγκα 50 V. Καζψο ε νπή ηνπ δηαθξάγκαηνο είλαη κεγάιε, ζην θέληξν ηεο ην δπλακηθφ ιίγν ζα κεησζεί, αιιά ζα παξακείλεη ζηα επίπεδα ηνπ 100 V, ελψ ην δπλακηθφ ηεο επηθάλεηαο ηνπ δηαθξάγκαηνο ζα είλαη 50 V. Βιέπνπκε φηη εδψ έρνπκε κία θαηάζηαζε φπνπ ζην θέληξν ηεο νπήο ην δπλακηθφ είλαη πςειφηεξν απφ φ,ηη ζηελ πεξηθέξεηα ηνπ δηαθξάγκαηνο. Με άιια ιφγηα, ην εγθάξζην πεδίν ηνπ δηαθξάγκαηνο ηψξα έρεη αληίζεηε θνξά απφ απηφ ηεο αλφδνπ. Δπνκέλσο ην πεδίν ηνπ πηέδεη ηα ειεθηξφληα πξνο ηνλ άμνλα ζπκκεηξίαο ησλ δχν νπψλ. Με ηελ έλλνηα απηή ην δηάθξαγκα έρεη ηδηφηεηεο ελφο ζπγθιίλνληνο θαθνχ ε εζηηαθή απφζηαζε ηνπ νπνίνπ εμαξηάηαη απφ ην δπλακηθφ πνπ απηφ θέξεη. πκπεξαζκαηηθά κπνξνχκε λα πνχκε φηη: Όηαλ ην δπλακηθφ ηνπ δηαθξάγκαηνο είλαη πςειφηεξν απφ ηελ ηζνδπλακηθή ησλ δχν ειεθηξνδίσλ, π.ρ. είλαη 150 V, ζην θέληξν ηεο νπήο ην δπλακηθφ είλαη ρακειφηεξν (είλαη πεξίπνπ 100 V) ηεο πεξηθέξεηαο θαη ην δηάθξαγκα έρεη ηδηφηεηεο απνθιίλνληνο θαθνχ. πλεπψο ην φιν ζχζηεκα απνηειείηαη απφ δχν απνθιίλνληεο θαθνχο, Όηαλ ην δπλακηθφ ηνπ δηαθξάγκαηνο είλαη ρακειφηεξν απφ ηελ ηζνδπλακηθή ησλ δχν ειεθηξνδίσλ, π.ρ. είλαη 50 V, ζην θέληξν ηνπ δηαθξάγκαηνο ην δπλακηθφ αλακέλεηαη λα είλαη πεξίπνπ φζν ην δπλακηθφ ηεο ηζνδπλακηθήο, δειαδή πεξίπνπ 100 V, δειαδή πςειφηεξν απφ ην δπλακηθφ ηεο πεξηθέξεηαο. Δδψ ην δηάθξαγκα απνθηά ηδηφηεηεο ζπγθιίλνληνο θαθνχ θαη ην φιν ζχζηεκα απνηειείηαη απφ έλα ζπγθιίλνληα θαη έλαλ απνθιίλνληα θαθφ. Ρπζκίδνληαο ην δπλακηθφ ηνπ δηαθξάγκαηνο Wehnelt κπνξνχκε λα εμνπδεηεξψζνπκε ηελ εγθάξζηα δξάζε ηεο νπήο ηεο αλφδνπ θαη κε ηνλ ηξφπν απηφ λα θάλνπκε ηε δέζκε παξάιιειε. Οη ειεθηξνλννπηηθέο ηδηφηεηεο ησλ δηαθξαγκάησλ θαη νπψλ βξίζθνπλ επξεία εθαξκνγή ζηνπο θαζνδηθνχο ζσιήλεο ησλ παικνγξάθσλ, ησλ ηειενξάζεσλ, ησλ ππνινγηζηψλ, ζηελ ειεθηξνληθή κηθξνζθνπία, ζηηο πεγέο αθηίλσλ Υ θ.ιπ Παξάξηεκα Μέζνδνο ειαρίζηωλ ηεηξαγώλωλ ζε ζπλαξηήζεηο ηύπνπ Y = bx ε κεξηθέο πεξηπηψζεηο ε ζρεηηθή ζεσξεηηθή αλάιπζε ηεο πεηξακαηηθήο κεζφδνπ νδεγεί ζην ζπκπέξαζκα φηη ν ειεχζεξνο φξνο a είλαη κεδέλ ζηε ζρέζε y = a + bx. Δπνκέλσο ε πξαγκαηηθή ζρέζε κεηαμχ ησλ κεγεζψλ κεηαβιεηψλ είλαη ηχπνπ Τ = bx. (14.7.1) ηηο πεξηπηψζεηο απηέο ην πξφβιεκα δηαηππψλεηαη σο εμήο. Απφ ηα n πεηξακαηηθά δεχγε x i, y i, λα ππνινγηζηεί ε θιίζε b ηεο επζείαο y = bx, ε νπνία κε ηνλ θαιχηεξν ηξφπν πξνζνκνηψλεη ηα πεηξακαηηθά ζεκεία. Ζ εθαξκνγή ηεο κεζφδνπ νδεγεί ζηνλ φξν n i i1 S d φπνπ ε αλαγθαία ζπλζήθε γηα ειάρηζην S είλαη n ( y bx ) ειάρηζην, (14.7.) n i i i S 0 b ή ( y bx ) x 0. (14.7.3) Απφ ηελ ηειεπηαία ζρέζε έρνπκε: θαη επνκέλσο i1 i n i y x i i1 i i n i i1 b x, 119

136 10 n i i n i i i x y x b 1 1. (14.7.4) Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο δηαζπνξάο (ζ b ), ζα ιάβνπκε ππφςε ηηο ζπλζήθεο: y y y y y x n... 0, 3 1, (14.7.5) φπσο επίζεο θαη ηηο ζρέζεηο , ),,...,, ( 1 n y n y b n i i i i n y b y b x x y b y y y y b b. (14.7.6) Αληηθαζηζηψληαο γηα ηελ (ζ b ) πξνθχπηεη: n i i y n i i y n b x x x x x x , (14.7.7) φπνπ ην (ζ y ) ππνινγίδεηαη θαλνληθά απφ ηε ζρέζε γηα ηα (d i ), δειαδή: n i i i n i i y n bx y n d 1 1 1) ( 1) (. ( ) Ζ δηαίξεζε εδψ γίλεηαη δηα n 1 θαη φρη n, θαζφηη ζην πξφβιεκα απηφ ν ειάρηζηνο αξηζκφο ησλ πεηξακαηηθψλ δεπγψλ x i, y i δελ είλαη 3, αιιά. Έρνπκε ηειηθά: n i i n i i i x y x b 1 1, n i i y b x 1 θαη n i i i y n bx y 1 1) (. (14.7.9α,β,γ)

137 Άζθεζε 15 Παικνγξάθνο 15.1 θνπόο θνπφο ηεο άζθεζεο απηήο είλαη ε κειέηε ηεο βαζηθήο δνκήο θαη ιεηηνπξγίαο ελφο παικνγξάθνπ θαη ε εμάζθεζε ηνπ ζπνπδαζηή ζηε ρξήζε ηνπ παικνγξάθνπ ζε κέηξεζε ζπλερνχο θαη ελαιιαζζφκελεο ηάζεο, ζπρλφηεηαο θαη δηαθνξάο θάζεο κεηαμχ δχν εκηηνληθψλ θπκαηνκνξθψλ. Θα κειεηεζνχλ αθφκε ην θαηλφκελν ησλ δηαθξνηεκάησλ θαη νη θακπχιεο Ληζζαδνχ. 15. Θεσξία Ο παικνγξάθνο είλαη έλα απφ ηα πην ρξήζηκα ειεθηξνληθά φξγαλα κέηξεζεο ηάζεο θαη ρξεζηκνπνηείηαη επξχηαηα ζε πνιινχο ηνκείο ηεο έξεπλαο θαη ηερλνινγίαο. Σν φξγαλν απηφ παξέρεη νπηηθή απεηθφληζε θπκαηνκνξθψλ ηάζεο ζπλερνχο θαη ελαιιαζζφκελεο, φπσο επίζεο κηθξήο δηάξθεηαο ρξφλνπ θαη δηαθνξέο θάζεο κεηαμχ δχν εκηηνληθψλ ηάζεσλ. Σα πεξηζζφηεξα φξγαλα πνπ κεηξνχλ ηελ ηάζε ρξεζηκνπνηνχλ κεραληθά κέζα φπσο πελία, δείθηεο, θάηνπηξα θ.ιπ. Σα θηλνχκελα κεραληθά κέξε ηνπ κεηξεηή έρνπλ κεγάιε κεραληθή αδξάλεηα θαη ελψ είλαη αμηφπηζηα φηαλ κε ηα φξγαλα απηά κεηξνχλ κία ζηαζεξή ζην ρξφλν ηάζε, είλαη ηειείσο αλαμηφπηζηα φηαλ ιφγσ αδξάλεηαο ηνπ κεηξεηή ε ηάζε κεηαβάιιεηαη κε κεγάιε ζπρλφηεηα. ηνλ παικνγξάθν ην ξφιν ηνπ δείθηε ή ηεο βειφλαο ηνπ κεηξεηή παίδεη κία ιεπηή δέζκε ειεθηξνλίσλ, ε νπνία εθηξέπεηαη απφ ηε κεηξνχκελε ηάζε. Όπσο γλσξίδνπκε, ε δέζκε ειεθηξνλίσλ έρεη ακειεηέα αδξάλεηα θαη επνκέλσο κπνξεί λα αθνινπζήζεη πνιχ γξήγνξεο κεηαβνιέο ηάζεο πνπ αληηζηνηρνχλ ζε κεξηθέο εθαηνληάδεο MHz Ο Καζνδηθόο ζωιήλαο ηνπ παικνγξάθνπ Σν θπξηφηεξν εμάξηεκα θάζε παικνγξάθνπ είλαη ν θαζνδηθόο ζσιήλαο (ρ. 15.1). Απνηειείηαη απφ έλαλ αεξφθελν γπάιηλν ζσιήλα, έλα ηειεβφιν ειεθηξνλίσλ θαη δχν δεχγε πιαθηδίσλ εθηξνπήο, ησλ πιαθηδίσλ Υ θαη Τ. ην έλα άθξν ηνπ ζσιήλα βξίζθεηαη ην ηειεβφιν ειεθηξνλίσλ, ελψ ην άιιν δηεπξχλεηαη, ζρεκαηίδνληαο ρνάλε πνπ θαηαιήγεη ζε κία ζρεδφλ επίπεδε επηθάλεηα, ηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ. Ζ εζσηεξηθή πιεπξά ηεο νζφλεο είλαη θαιπκκέλε κε ZnS, πνπ θζνξίδεη έληνλα φηαλ βνκβαξδίδεηαη κε ειεθηξφληα. Μία ιεπηή δέζκε ειεθηξνλίσλ κε ελέξγεηεο 000 ev, πξνζθξνχεη ζηελ επηθάλεηα ηεο θζνξίδνπζαο νπζίαο θαη ζην ζεκείν πξφζθξνπζεο δεκηνπξγείηαη κία θσηεηλή θειίδα, ε δηάκεηξνο ηεο νπνίαο είλαη 0,5 mm. Ζ θειίδα απηή είλαη ν δείθηεο ηνπ νξγάλνπ. Ζ εθαξκνγή θάπνηαο ηάζεο ζηα πιαθίδηα Τ πξνθαιεί κεηαηφπηζε ηεο δέζκεο ειεθηξνλίσλ θαη επνκέλσο ηεο θσηεηλήο θειίδαο ζηνλ θαηαθφξπθν άμνλα ηεο νζφλεο. Ζ κεηαηόπηζε ηεο θειίδαο είλαη αλάινγε πξνο ηελ εθαξκνδόκελε ηάζε. Όηαλ ζην επάλσ πιαθίδην εθαξκφδεηαη ζεηηθφ δπλακηθφ, ελψ ζην θάησ αξλεηηθφ, ε θειίδα κεηαηνπίδεηαη πξνο ηηο ζεηηθέο ηηκέο ηνπ θαηαθφξπθνπ άμνλα ηεο νζφλεο θαη αληίζηξνθα. Σα πιαθίδηα Υ επηδξνχλ ζηε θσηεηλή θειίδα κε αλάινγν ηξφπν, αιιά εδψ ε κεηαηφπηζε γίλεηαη ζηνλ νξηδφληην άμνλα ηεο νζφλεο. Δπνκέλσο φηαλ γλσξίδνπκε ηελ επαηζζεζία ησλ πιαθηδίσλ (είλαη 1,0 V/cm) θαη ε νζφλε είλαη ραξαγκέλε θαη βαζκνλνκεκέλε ζε cm ή mm, ηφηε απφ ηε κεηαηφπηζε ηεο θειίδαο κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ηάζε πνπ ηελ πξνθάιεζε. Απηή είλαη ε βαζηθή ιεηηνπξγία ηνπ παικνγξάθνπ. 11

138 ρήκα Ο θαζνδηθφο ζσιήλαο ηνπ παικνγξάθνπ Eπεηδή ε εζσηεξηθή αληίζηαζε ησλ πιαθηδίσλ ελφο παικνγξάθνπ είλαη άπεηξε, φηαλ ν παικνγξάθνο ρξεζηκνπνηείηαη σο βνιηφκεηξν, ην βνιηφκεηξν απηφ είλαη ηδαληθφ Σειεβόιν ειεθηξνλίωλ ηνπ θαζνδηθνύ ζωιήλα Κάζνδνο Ζ απνζηνιή ηνπ ηειεβφινπ ειεθηξνλίσλ είλαη λα παξάγεη ιεπηή θαη θαιά εζηηαζκέλε δέζκε ειεθηξνλίσλ κε ζρεηηθά κηθξέο ελέξγεηεο, ψζηε ηα πιαθίδηα Υ θαη Τ λα ηελ εθηξέπνπλ εχθνια, ελψ απφ ηελ άιιε πιεπξά νη ελέξγεηέο ηνπο πξέπεη λα είλαη αξθεηά κεγάιεο πξνθεηκέλνπ λα δηαζθαιίδεηαη έληνλνο θζνξηζκφο ηεο θζνξίδνπζαο νπζίαο. Βξέζεθε πεηξακαηηθά φηη ε ελέξγεηεο 000 ev είλαη θνληά ζηε βέιηηζηε ηηκή. ην ηειεβφιν ηα ειεθηξφληα παξάγνληαη ζεξκηνληθά, δειαδή εθπέκπνληαη απφ κία ζεξκή επηθάλεηα πνπ έρεη κηθξφ έξγν εμαγσγήο ησλ ειεθηξνλίσλ (π.ρ.βαο). πλεζίδεηαη ε επηθάλεηα πνπ εθπέκπεη ηα ειεθηξφληα λα νλνκάδεηαη θάζνδνο, ελψ ην άιιν ειεθηξφδην, ζην νπνίν εθαξκφδεηαη ζεηηθφ δπλακηθφ θαη ζπιιέγεη ηα ειεθηξφληα λα νλνκάδεηαη άλνδνο Κύιηλδξνο Wehnelt ηνπ ηειεβόινπ θαη ην θνπκπί INTENSITY Ο θχιηλδξνο Wehnelt πεξηβάιεη ηελ θάζνδν θαη έρεη έλα άλνηγκα απέλαληη απφ ην θέληξν ηεο. Ωο πξνο ηελ θάζνδν, ην δπλακηθφ ηεο είλαη αξλεηηθφ θαηά 10-0 V θαη ρξεζηκεχεη γηα ξχζκηζε ηεο έληαζεο ηεο δέζκεο. ηνλ παικνγξάθν, ε έληαζε ηεο δέζκεο ξπζκίδεηαη κε εηδηθφ θνπκπί, ζην πιάη ηνπ νπνίνπ ππάξρεη ε αλαγξαθή INTENSITY. Λφγσ κηθξήο απφζηαζεο ηνπ θπιίλδξνπ Wehnelt απφ ηελ θάζνδν, κε εθαξκνγή 50 V ην ξεχκα ηεο δέζκεο κεδελίδεηαη (πιήξεο απνθνπή ηεο δέζκεο) Πξώηε άλνδνο ηνπ ηειεβόινπ θαη ην θνπκπί FOCUS Ζ ξχζκηζε ηνπ αξλεηηθνχ δπλακηθνχ ηνπ θπιίλδξνπ Wehnelt κεηαβάιιεη ειαθξψο ηε ζέζε ηεο πξψηεο εζηίαο. Απηφ πξνθαιεί κεηαηφπηζε ηεο ζέζεο θαη ηεο δεχηεξεο εζηίαο. Με άιια ιφγηα, ε δέζκε εζηηάδεηαη ζε έλα επίπεδν πνπ δε ζπκπίπηεη κε ηελ νζφλε θαη ε θειίδα θαίλεηαη κε εζηηαζκέλε. 1

139 Ζ ζέζε ηεο πξψηεο θαη επνκέλσο ηεο δεχηεξεο εζηίαο επαλέξρνληαη ζην ίδην ζεκείν ξπζκίδνληαο ηελ ηάζε ζηελ πξψηε άλνδν (Α 1 ), ε νπνία είλαη ζε κνξθή θνίινπ θπιίλδξνπ. Έηζη κεηά απφ θάζε ξχζκηζε ηεο έληαζεο, ε δέζκε εζηηάδεηαη εθ λένπ κε ην θνπκπί ζην πιάη ηνπ νπνίνπ αλαγξάθεηαη ε ιέμε FOCUS Γεύηεξε άλνδνο ηνπ ηειεβόινπ θαη ν ρώξνο ειεύζεξεο δηαδξνκήο. Ζ δεχηεξε άλνδνο (Α ) ηνπ ηειεβφινπ έρεη ηε κνξθή δίζθνπ κε κία κηθξή νπή ζην θέληξν θαη είλαη γεησκέλε. Ζ νπή απνθφπηεη εθείλα ηα ειεθηξφληα ηεο δέζκεο πνπ απνθιίλνπλ απφ ηελ πνξεία πνιχ θαη νη φπνηεο ξπζκίζεηο δελ κπνξνχλ λα ηα εζηηάζνπλ. ην ρψξν ηεο ειεχζεξεο δηαδξνκήο βξίζθνληαη ηα δχν δεχγε πιαθηδίσλ εθηξνπήο. Γηα λα κελ επεξεάδεηαη ε δέζκε απφ ηα αλαθιψκελα ειεθηξφληα θαη εμσηεξηθά ειεθηξηθά πεδία, ε εζσηεξηθή επηθάλεηα ηνπ ζσιήλα γίλεηαη ειεθηξηθά αγψγηκε, θαζψο επηθαιχπηεηαη κε ιεπηφ ζηξψκα γξαθίηε Πιαθίδηα εθηξνπήο Οη θπξηφηεξεο παξάκεηξνη ησλ πιαθηδίσλ εθηξνπήο είλαη ε επαηζζεζία ηνπο θαη νη κε γξακκηθέο παξακνξθψζεηο ηνπ ειεθηξηθνχ ζήκαηνο πνπ βιέπεη θαλείο ζηελ νζφλε. Γηα παξάδεηγκα ζηνλ παικνγξάθν ηεο Άζθεζεο ε επαηζζεζία ηνλ πιαθηδίσλ Τ είλαη 1 V/cm Γηαδξνκή ηνπ ζήκαηνο ζην θαλάιη Τ ηνλ παικνγξάθν ην ειεθηξηθφ ζήκα δελ εθαξκφδεηαη απεπζείαο ζηα πιαθίδηα Τ. πλήζσο ην ζήκα εθαξκφδεηαη ζηελ είζνδν ηχπνπ BNC πνπ δίπια ηεο αλαγξάθεηαη ην: CH1 φηαλ ν παικνγξάθνο είλαη θαλαιηψλ. ηνπο πεξηζζφηεξνπο παικνγξάθνπο αλαγξάθεηαη αθφκε ε αληίζηαζε θαη ε ρσξεηηθφηεηα εηζφδνπ ηνπ νξγάλνπ: 1 ΜΩ, 0 pf, πνπ κεξηθέο θνξέο πξέπεη λα ιακβάλνληαη ππφςε απφ ηνλ εξεπλεηή. ηελ είζνδν ηνπ νξγάλνπ ην εηζεξρφκελν ζήκα νδεγείηαη ζε έλαλ επηινγέα 3 ζέζεσλ AC, GND, θαη DC. 1. Θέζε AC. Σν AC ζε κεηάθξαζε ζεκαίλεη ελαιιαζζφκελν ξεχκα. ηε ζέζε απηή παξεκβάιεηαη έλαο ππθλσηήο θαη επηιέγεηαη φηαλ ν ρξήζηεο επηζπκεί λα απαιιαγεί απφ ηελ ζπλερή ζπληζηψζα κίαο κηθηήο ηάζεο.. Θέζε GND. To GND ζεκαίλεη ground, δειαδή Γε. Ζ ζέζε απηή επηιέγεηαη φηαλ ν ρξήζηεο επηζπκεί λα ξπζκίζεη ηε ζέζε ηνπ κεδελφο ζηελ νζφλε, 3. Θέζε DC. Σν DC ζε κεηάθξαζε ζεκαίλεη ζπλερέο ξεχκα. ηε ζέζε απηή ν παικνγξάθνο αληαπνθξίλεηαη ζε θάζε είδνπο ζήκαηα, AC, DC θαη κηθηά Οξηδόληηα ζάξσζε ηεο δέζκεο θαη ν άμνλαο ρξόλνπ ηνπ παικνγξάθνπ. Καλάιη Υ ηελ θαλνληθή ιεηηνπξγία ε θσηεηλή θειίδα ζαξψλεηαη ζηελ νζφλε απφ αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά, κε ζηαζεξή ηαρχηεηα πνπ επηιέγεηαη απφ ηνλ εξεπλεηή. Με ηνλ ηξφπν απηφ δεκηνπξγείηαη ν άμνλαο ρξφλνπ ζε κνλάδεο t/cm. Ζ ηαρχηεηα ζάξσζεο επηιέγεηαη κε ηνλ επηινγέα TIME/DIV θαη επηηξέπεη ζην ρξήζηε λα ζαξψλεη ηελ θειίδα κε ηαρχηεηεο 0,5-0,- 0,1 s/cm ή ms/cm ή ,5-0, κs/cm. ηνλ άμνλα ηνπ επηινγέα βξίζθεηαη έλα δεχηεξν θνπκπί πνπ κπνξεί λα πεξηζηξέθεηαη, ην VARIABLE. Οη αλαγξαθφκελεο ηηκέο ρξφλνπ ηζρχνπλ κφλν φηαλ ην θνπκπί απηφ είλαη θιεηδσκέλν, δειαδή είρε πεξηζηξαθεί δεμηφζηξνθα έσο φηνπ αθνπζηεί έλα ραξαθηεξηζηηθφ θιηθ. ε νπνηαδήπνηε άιιε ζέζε ε ηαρχηεηα ζάξσζεο είλαη απξνζδηόξηζηε. Ζ ζάξσζε ηεο δέζκεο ζηελ νζφλε επηηπγράλεηαη κέζσ εθαξκνγήο γξακκηθά απμαλφκελεο ηάζεο ζηα πιαθίδηα νξηδφληηαο εθηξνπήο Υ. Ζ ηάζε απηή παξάγεηαη ζην εζσηεξηθφ ηνπ παικνγξάθνπ, απφ κία εηδηθή γελλήηξηα πξηνλσηήο ηάζεο. Ολνκάδεηαη πξηνλσηή επεηδή φηαλ ηε βιέπεη θαλείο ζηελ νζφλε θάπνηνπ άιινπ παικνγξάθνπ, είλαη φπσο ζην ρ

140 Αο εμεηάζνπκε ηα θπξηφηεξα κέξε ηε κνλάδαο ζάξσζεο. Θα θηλεζνχκε αλάπνδα, απφ ηελ έμνδν πξνο ηελ είζνδν. Μνλάδα εμόδνπ ηνπ θαλαιηνύ Υ Ζ κνλάδα απηή είλαη φκνηα κε απηή ηνπ θαλαιηνχ Τ, αιιά ηξνθνδνηεί ηα πιαθίδηα νξηδφληηαο εθηξνπήο Υ. Ζ απνζηνιή ηεο είλαη λα παξάγεη δχν ζπκκεηξηθά θαη γξακκηθά απμαλφκελα ειεθηξηθά ζήκαηα απφ έλα αζχκκεηξν, πνπ παξάγεηαη απφ ηε γελλήηξηα πξηνλσηήο ηάζεο. ρήκα 15.. Ζ πξηνλσηή ηάζε πνπ ρξεζηκεχεη γηα ηε ζάξσζε ηεο δέζκεο ζηνλ άμνλα Υ Γελλήηξηα πξηνλωηήο ηάζεο Ζ γελλήηξηα απηή βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθφ ηνπ παικνγξάθνπ θαη παξάγεη ειεθηξηθφ ζήκα φπσο ζην ρ Ζ θιίζε ηεο πξηνλσηήο ηάζεο ξπζκίδεηαη απφ ηνλ εξεπλεηή κε ηνλ επηινγέα TIME/DIV. Μνλάδα ζπγρξνληζκνύ Ζ κνλάδα απηή είλαη ην πην ζεκαληηθφ ηκήκα ηνπ παικνγξάθνπ, απφ ην νπνίν ζε κεγάιν βαζκφ εμαξηάηαη ε πνηφηεηα ηεο εηθφλαο ζηελ νζφλε θαη ε επθνιία ρξήζεο ηνπ νξγάλνπ. Έζησ φηη επηζπκνχκε λα κειεηήζνπκε κία πεγή ελαιιαζζφκελεο ηάζεο ε νπνία παξάγεη εκηηνληθφ ζήκα φπσο ζην ρ Γηα λα είλαη ε εηθφλα ζηαζεξή θαη αθίλεηε ζηελ νζφλε ηνπ παικνγξάθνπ, νη δχν γελλήηξηεο, ηνπ ζήκαηνο θαη ηεο πξηνλσηήο ηάζεο ηνπ παικνγξάθνπ, πξέπεη λα έρνπλ ίζεο ζπρλφηεηεο αθξηβώο! Σνλίδνπκε ην αθξηβώο θαζψο ν φξνο απηφο δελ επηηπγράλεηαη ζηελ πξάμε. Μπνξνχκε βέβαηα λα ξπζκίζνπκε ηε ζπρλφηεηα ηεο πξηνλσηήο ηάζεο κε ηα θνπκπηά TIME/DIV θαη VARIABLE, αιιά ηελ ηζφηεηα δε ζα ηελ επηηχρνπκε πνηέ. Έηζη φηαλ ζηνλ παικνγξάθν είλαη απελεξγνπνηεκέλε ε κνλάδα ζπγρξνληζκνχ, ε εκηηνλνεηδήο εηθφλα ζηελ νζφλε ξνιάξεη, πξνο ηα αξηζηεξά ή πξνο ηα δεμηά, αλάινγα κε ην αλ ε ζπρλφηεηα ηεο πξηνλσηήο ηάζεο είλαη κηθξφηεξε ή κεγαιχηεξε απφ απηή ηεο πεγήο. 14

141 ρήκα Παξαγσγή ζπγρξνπαικψλ κε ηε κέζνδν ζχγθξηζεο δχν ηάζεσλ Δπηινγέαο πεγήο ζήκαηνο ζπγρξνληζκνύ. Ο επηινγέαο απηφο βξίζθεηαη ζηελ πξφζνςε ηνπ παικνγξάθνπ, αλαγξάθεηαη σο SOURCE θαη έρεη 4 ζέζεηο: EXT, LINE, CH θαη INT. 1. ηε ζέζε EX, ν ζπγρξνληζκφο γίλεηαη κε ζήκα πνπ εηζάγεηαη ζηνλ παικνγξάθν απφ κία εμσηεξηθή πεγή.. ηε ζέζε LINE ζην ζπγθξηηή νδεγείηαη ην ζήκα ηάζεο ηνπ δηθηχνπ ηεο ΓΔΖ (50 Hz). 3. ηε ζέζε CH ζην ζπγθξηηή νδεγείηαη ην ζήκα ηνπ θαλαιηνχ. 4. ηε ζέζε INT ζην ζπγθξηηή νδεγείηαη ην αιγεβξηθφ άζξνηζκα ησλ ζεκάησλ ησλ δχν θαλαιηψλ. Ο επηινγέαο COUPLING Γηα λα δηεπθνιπλζεί ν ζπγρξνληζκφο, ην ζήκα πνπ νδεγείηαη ζην ζπγθξηηή πξψηα επεμεξγάδεηαη. Ο επηινγέαο COUPLING έρεη 3 ζέζεηο: AC, HF REG θαη TV. 1. ηε ζέζε AC ην ζήκα δελ πθίζηαηαη θαλελφο είδνπο επεμεξγαζία θαη άκεζα νδεγείηαη ζην ζπγθξηηή (for normal operation). Δίλαη άκεζε ε δεχμε ηνπ πξνεληζρπηή Τ κε ην ζπγθξηηή.. ηε ζέζε HF REG, ην ζήκα πξψηα θηιηξάξεηαη, δειαδή απνθφπηνληαη νη πςειέο ζπρλφηεηεο θαη ζηε ζπλέρεηα νδεγείηαη ζην ζπγθξηηή. 3. Σν βίληεν ζήκα ηεο ηειεφξαζεο είλαη πνιχ ζχλζεην θαη δχζθνια ζπγρξνλίδεηαη. Έηζη ζηε ζέζε TV, ην βίληεν ζήκα δελ νδεγείηαη ζην ζπγθξηηή, αιιά ζε κία εηδηθή κνλάδα αλαγλψξηζεο θαη επηινγήο ησλ ζπγρξνπαικψλ, πνπ εθπέκπεη ν ηειενπηηθφο ζηαζκφο. ηε ζπλέρεηα νη ζπγρξνπαικνί ηνπ ζηαζκνχ νδεγνχληαη ζηελ είζνδν ηεο γελλήηξηαο πξηνλσηήο ηάζεο. Δπηινγέαο θαλαιηνύ Ο παικνγξάθνο ηεο Άζθεζεο είλαη θαλαιηψλ, νπφηε ζηε νζφλε ηνπ παικνγξάθνπ κπνξεί λα βιέπεη θαλείο θαη λα κειεηά δχν ειεθηξηθά ζήκαηα ηαπηφρξνλα. Αιιά έλαο εηδηθφο 15

142 επηινγέαο ηεζζάξσλ ζέζεσλ επηηξέπεη ζηνλ εξεπλεηή λα παξνπζηάδεη ζηελ νζφλε κφλν ην πξψην, κφλν ην δεχηεξν ή ηα δχν ζήκαηα καδί. 1. ηε ζέζε CH 1, ζηελ νζφλε ηνπ παικνγξάθνπ ππάξρεη κόλν ην ζήκα πνπ εηζάγεηαη ζην θαλάιη 1.. ηε ζέζε CH, ζηελ νζφλε ηνπ παικνγξάθνπ ππάξρεη κόλν ην ζήκα πνπ εηζάγεηαη ζην θαλάιη. 3. ηε ζέζε DUAL, ζηελ νζφλε βιέπνπκε ηα ζήκαηα ησλ δχν θαλαιηψλ. 4. ηε ζέζε ADD, ζηελ νζφλε βιέπνπκε ην αιγεβξηθφ άζξνηζκα ησλ δχν ζεκάησλ Μεηξήζεηο απιώλ ειεθηξηθώλ ζεκάησλ κε ηνλ παικνγξάθν ηελ Άζθεζε ζα κειεηεζνχλ ηέζζεξα είδε ειεθηξηθψλ ζεκάησλ: 1. ζπλερήο ηάζε πνπ παξάγεηαη απφ κία αιθαιηθή κπαηαξία.. εκηηνληθή ηάζε πνπ παξάγεηαη απφ κηα γελλήηξηα ζπρλνηήησλ 3. δηαθνξά θάζεο δχν εκηηνληθψλ ζεκάησλ 4. δηαθξφηεκα δχν εκηηνληθψλ ηάζεσλ 5. θακπχιεο Ληζζαδνχ (Lissajous). Σα πξψηα δχν ζήκαηα κεηξψληαη άκεζα κε ηνλ παικνγξάθν θαη επνκέλσο δε ζα ηα εμεηάζνπκε ηδηαηηέξσο Γηαθνξά θάζεο δύν εκηηνληθώλ ζεκάηωλ Δt Τ t ρήκα Μέηξεζε ηεο δηαθνξάο θάζεο δχν ζεκάησλ Αλ ζηα δχν θαλάιηα ηνπ παικνγξάθνπ εθαξκνζηνχλ δχν εκηηνληθά ζήκαηα ίδηαο ζπρλφηεηαο U 1 θαη U, φπνπ U1 V01 sin t θαη U V0 sin( t ), (15.1α,β) ηφηε ε εηθφλα πνπ ζα εκθαληζηεί ζηελ νζφλε ηνπ παικνγξάθνπ ζα είλαη φπσο ζην ρήκα Βιέπνπκε φηη ζηνλ άμνλα ηνπ ρξφλνπ, νη θπκαηνκνξθέο απηέο είλαη κεηαηνπηζκέλεο ε κία σο πξνο ηελ άιιε, θαηά Γt. Ζ ρξνληθή απηή κεηαηφπηζε καο επηηξέπεη λα ππνινγίζνπκε ηε δηαθνξά θάζεο θ κεηαμύ ησλ δύν ζεκάησλ: t 360 ή 360 f t (15.α,β) T 16

143 Γηαθξνηήκαηα Σα δηαθξνηήκαηα είλαη ηαιαληψζεηο κε πεξηνδηθά κεηαβαιιφκελν πιάηνο πνπ πξνέξρνληαη απφ ηελ επαιιειία δχν αξκνληθψλ ηαιαληψζεσλ, νη ζπρλφηεηεο ησλ νπνίσλ δηαθέξνπλ ιίγν (ρ.15.5) ρήκα Γηαθξνηήκαηα (γ) πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηελ επαιιειία δχν ηαιαληψζεσλ, (α) θαη (β), κε ζπρλφηεηεο πνπ δηαθέξνπλ ιίγν. Σν απνηέιεζκα ηεο επαιιειίαο ησλ δχν ηαιαληψζεσλ ίζνπ πιάηνπο κπνξεί λα γξαθηεί σο: Y V V Acos( t)cos( ), (15.3) 1 mod avt φπνπ 1 av ( 1 ) είλαη ε κέζε ζπρλφηεηα (15.4) θαη 1 mod 1 είλαη ε ζπρλφηεηα δηακφξθσζεο (15.5) Ο ρξφλνο πνπ κεζνιαβεί αλάκεζα ζε δχν δηαδνρηθνχο κεδεληζκνχο ηνπ πιάηνπο θαιείηαη πεξίνδνο Σ δ ηνπ δηαθξνηήκαηνο. Δπνκέλσο, ε γσληαθή ζπρλφηεηα ηνπ δηαθξνηήκαηνο (15.6) T ηζνχηαη πξνθαλψο κε σ 1 σ, είλαη δειαδή δηπιάζηα ηεο σ mod Κακπύιεο Ληζζαδνύ (Lissajous) Oη θακπχιεο Ληζζαδνχ είλαη θιεηζηέο ηξνρηέο πνπ δηαγξάθνληαη απφ έλα ζεκείν πνπ εθηειεί ηαπηφρξνλα δχν αξκνληθέο ηαιαληψζεηο x = A 1 cos(σ 1 t + θ 1 ) (15.7) Y = A cos(σ t + θ ) ζε δχν θάζεηεο κεηαμχ ηνπο δηεπζχλζεηο. Ζ κνξθή ησλ ζρεκάησλ Ληζζζαδνχ εμαξηάηαη απφ ηνπο ιφγνπο ησλ ζπρλνηήησλ σ 1, σ θαη ησλ πιαηψλ A 1, A θαζψο θαη απφ ηελ δηαθνξά ησλ θάζεσλ θ 1, θ. Αλ νη ζπρλφηεηεο σ 1, σ είλαη ηπραίεο, δεκηνπξγνχληαη πεξίπινθεο θακπχιεο, ζηελ πεξίπησζε φκσο πνπ νη 17

144 ζπρλφηεηεο έρνπλ ηνλ ίδην ιφγν ίζν κε ην ιφγν δχν αθέξαησλ αξηζκψλ, ηφηε παξάγνληαη ζηαζεξά απιά ζρήκαηα ηεο κνξθήο ηνπ ρ ρήκα 15.6 ρήκαηα Ληζζαδνχ πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηελ ζχλζεζε δχν θάζεησλ θπκαηνκνξθψλ κε ίζα πιάηε, ζπρλφηεηεο σ 1 θαη σ αληηζηνίρσο θαη δηαθνξά θάζεο, θ. Ο νξηδφληηνο άμνλαο αληηζηνηρεί ζε δηαθνξεηηθνχο ιφγνπο σ /σ 1 θαη ν θαηαθφξπθνο ζε δηάθνξεο θ. Αλ Ν 1 θαη Ν είλαη ν αξηζκφο ησλ ζεκείσλ επαθήο ηνπ δηαγξάκκαηνο Ληζζαδνχ κε ηελ νξηδφληηα θαη θαηαθφξπθε πιεπξά αληηζηνίρσο ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ, ηφηε ηζρχεη ε ζρέζε: σ 1 /σ = Ν /Ν 1 (15.8) Γηα έλα ζπγθεθξηκέλν ιφγν ζπρλνηήησλ, ηα ζρήκαηα Ληζζαδνχ εμαξηψληαη απφ ηε δηαθνξά θάζεο. Π.ρ. γηα σ 1 = σ είλαη ειιείςεηο πνπ εθθπιίδνληαη ζε επζείεο φηαλ ε δηαθνξά θάζεο είλαη 0 ή π θαη γίλνληαη θχθινη φηαλ ε δηαθνξά θάζεο είλαη π/ θαη ηα πιάηε ίζα Πεηξακαηηθή δηάηαμε Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε πεξηιακβάλεη: 1. έλαλ παικνγξάθν θαλαιηψλ. δχν γελλήηξηεο ελαιιαζζφκελεο ηάζεο 3. κία θνηλή αιθαιηθή κπαηαξία 4. κία βάζε κε ην θχθισκα RC. Βηβιηνγξαθία 1. Κ. Αιεμφπνπινπ. Γεληθή Γπζηθή: Σφκνο : Ζιεθηξηζκφο. 184, 185 θαη 105, Μαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley. Σφκνο : Ζιεθηξηζκόο-Μαγλεηηζκόο. (Αζήλα, 1978) Μαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley. Σφκνο 3: Κπκαηηθή (Αζήλα, 1978) Alonso-Finn. Θεκειηώδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή. Σφκνο ΗΗ: Πεδία θαη Κύκαηα. 14.4, ρ ,

145 5. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα 010) 15.7 Δθηέιεζε 1. Θέζαηε ζε ιεηηνπξγία ηνλ παικνγξάθν παηψληαο ην δηαθφπηε Power. ηελ νζφλε ζα εκθαληζηεί κία ή δχν νξηδφληηεο πξάζηλεο θσηεηλέο γξακκέο, δειαδή ην ίρλνο ζάξσζεο ηεο θειίδαο (θειίδσλ). Δάλ νη γξακκέο απηέο δελ εκθαλίδνληαη, δχν είλαη νη πηζαλφηεξεο αηηίεο. Αλ νη θσηεηλέο γξακκέο είλαη εθηφο ηεο θιίκαθαο ηεο νζφλεο, κε ηα θνπκπηά POSITION ηα επαλαθέξεηε ζηελ πεξηνρή ηνπ θέληξνπ. Μεξηθέο θνξέο νη δχν γξακκέο απνπζηάδνπλ ιφγσ ηνπ φηη ε γελλήηξηα πξηνλσηήο ηάζεο βξίζθεηαη ζε θαηάζηαζε αλακνλήο. Σφηε ηξαβώληαο (PULL) ην θνπκπί TRIG LEVEL, εκθαλίδεηε ζηελ νζφλε ηηο δχν θσηεηλέο γξακκέο.. Αλαγλσξίζηε όια ηα φξγαλα ειέγρνπ ηνπ παικνγξάθνπ θαη ειέγμηε ηελ αληίδξαζή ηνπ ζηηο αιιαγέο ησλ ξπζκίζεσλ. 3. Θέζαηε ζε ιεηηνπξγία κία γελλήηξηα θαη εθαξκφζηε ην ζήκα ηεο ζην θαλάιη 1 ηνπ παικνγξάθνπ. Κάλεηε κεξηθέο δνθηκαζηηθέο κεηξήζεηο πιάηνπο θαη ζπρλφηεηαο. Μειεηήζηε θαη παίμηε κε ηα δηάθνξα θνπκπηά θαη ζήκαηα πνπ κπνξεί λα παξάγεη ε γελλήηξηα: εκηηνληθά, νξζνγψληα, ηξηγσληθά θ.ιπ., έσο φηνπ εμνηθεησζείηε κε ηε ρξήζε ηνπ νξγάλνπ. 4. Μεηξήζηε ηελ ηάζε πνπ παξάγεη ε αιθαιηθή κπαηαξία. 5. Μεηξήζηε ηα θχξηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ ζήκαηνο πνπ παξάγεη ε γελλήηξηα, δειαδή ην πιάηνο θαη ηε ζπρλφηεηα ελφο εκηηνληθνχ ζήκαηνο. Σν ζήκα απηφ ξπζκίδεηαη απφ ηνλ επηβιέπνληα ηεο Άζθεζεο. 6. πλαξκνινγήζηε ην θχθισκα RC, ζχκθσλα κε ην ζρεδηάγξακκα πνπ δίλεηαη ζην ρ ρήκα Δθαξκφζηε ζηε γελλήηξηα ηε ζπρλφηεηα σ 0 θαη πιάηνο 1,0 V. εκεηψζηε ηηκή θαη ζθάικα. 8. Μεηξήζηε ηε δηαθνξά θάζεο κεηαμχ ηνπ ζήκαηνο πνπ παξάγεη ε γελλήηξηα θαη απηνχ πνπ δεκηνπξγείηαη ζηελ αληίζηαζε. 9. Θέζαηε ζε ιεηηνπξγία θαη ηε δεχηεξε γελλήηξηα, επηιέμαηε εκηηνληθφ ζήκα θαη ξπζκίζηε ηηο ζπρλφηεηεο ζηα 1000 θαη 1100 Hz. Οδεγήζηε ηα ζήκαηα απηά ζηα δχν θαλάιηα ηνπ παικνγξάθνπ. Φξνληίζηε ηα πιάηε ησλ δχν ζεκάησλ λα είλαη ίζα. Με θαηάιιειεο ξπζκίζεηο θξνληίζηε λα έρεηε κία ζηαζεξή εηθφλα ηνπ δηαθξνηήκαηνο ζηελ νζφλε ηνπ παικνγξάθνπ. Mεηξήζηε ηελ πεξίνδν ησλ δηαθξνηεκάησλ απφ ηελ απφζηαζε δχν κεδεληζκψλ θαη εθηηκήζηε ην ζθάικα αλάγλσζεο 19

146 10. Δηθφλεο Ληζζαδνχ. Φέξηε ηνλ κεηαγσγφ ζάξσζεο (ΣΗΜΔ/DIV) ζηε ζέζε Τ-Υ. Με απηφλ ηνλ ηξφπν ην ζήκα εμφδνπ ηεο δεχηεξεο γελλήηξηαο (CH) εθαξκφδεηαη ζηα πιαθίδηα Υ. Πξνζπαζήζηε λα δείηε ηηο ζπρλφηεηεο ησλ δχν γελλεηξηψλ θαη επηβεβαηψζηε ηελ Δμ. (15.8) 11. Παξαηεξήζηε φηη επεηδή νη ζπρλφηεηεο ησλ δχν γελλεηξηψλ δελ είλαη απνιχησο ζηαζεξέο, νη εηθφλεο κεηαβάιινληαη (κνηάδνπλ ζαλ λα πεξηζηξέθνληαη ζην ρψξν), γξάθνληαο ζπλερψο ηα δηάθνξα ζρέδηα ηνπ ρ γηα σ 1 /σ ζηαζεξφ. Γξάςηε ηηο παξαηεξήζεηο ζαο Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. Τπνινγίζηε ηελ ηηκή θαη ην ζθάικα ηεο ηάζεο ηεο αιθαιηθήο κπαηαξίαο.. Τπνινγίζηε ην πιάηνο θαη ηε ζπρλφηεηα ηνπ ελαιιαζζφκελνπ ζήκαηνο πνπ ξπζκίζηεθε απφ ηνλ επηβιέπνληα ηεο Άζθεζεο. Τπνινγίζηε θαη ηα ζθάικαηα απηψλ ησλ ηηκψλ. 3. Τπνινγίζηε ηε δηαθνξά θάζεο κεηαμχ ηνπ ζήκαηνο ηεο γελλήηξηαο θαη απηνχ πνπ παξάγεηαη ζηελ αληίζηαζε ηνπ θπθιψκαηνο RC. Τπνινγίζηε θαη ην ζθάικα Γθ. Τπνινγίζηε ζεσξεηηθά κε βάζε ηα ζηνηρεία ηνπ θπθιψκαηνο ηελ ηηκή ηεο δηαθνξάο θάζεο θαη ζπγθξίλεηε ηε ζεσξεηηθή κε ηελ πεηξακαηηθή ηηκή. ρνιηάζηε ηηο ηπρφλ δηαθνξέο. 4. Τπνινγίζηε ηε ζπρλφηεηα ησλ δηαθξνηεκάησλ πνπ παξαηεξήζαηε θαη βξείηε ην ζθάικα ηεο. Τπνινγίζηε επίζεο ηηο ζπρλφηεηεο θαζψο θαη ηα ζθάικαηά ηνπο ησλ δχν εκηηνληθψλ θπκαηνκνξθψλ, πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ γηα ηελ παξαηήξεζε ησλ δηαθξνηεκάησλ. Βξείηε ηε δηαθνξά ησλ δχν απηψλ ζπρλνηήησλ θαη ζπγθξίλεηέ ηελ κε ηελ ζπρλφηεηα ησλ δηαθξνηεκάησλ 5. Γξάςηε ηηο παξαηεξήζεηο ζαο γηα ηα ζρήκαηα Ληζζαδνχ. 6. Γείμηε φηη, αλ έλα ζχζηεκα κε δχν βαζκνχο ειεπζεξίαο x θαη y ηαιαληψλεηαη έηζη ψζηε x = Acosσt θαη y = Acos(σt-θ), ηφηε ε ζχλζεζε ησλ δχν δίλεη επζεία, αλ θ = 0, θαη θχθιν, αλ θ =

147 Άζθεζε 16 Ρνπή αδξάλεηαο ζηεξεώλ ζσκάησλ 16.1 θνπόο ηελ άζθεζε απηή εμεηάδεηαη ε έλλνηα ηεο ξνπήο αδξάλεηαο θαη κεηξνχληαη νη ξνπέο αδξάλεηαο ηεζζάξσλ ζηεξεψλ ζσκάησλ: ελφο δίζθνπ, κηαο ζθαίξαο, ελφο θπιηλδξηθνχ ζσιήλα θαη ελφο ζπκπαγνχο θπιίλδξνπ. 16. Θεσξία Κηλεηηθή ελέξγεηα πεξηζηξεθόκελνπ ζηεξενύ ζώκαηνο.- Ρνπή αδξάλεηαο. Αο εμεηάζνπκε έλα ζηεξεφ ζψκα (ρ. 16.1), ην νπνίν πεξηζηξέθεηαη γχξσ απφ έλα ζηαζεξφ άμνλα Α. Γελ είλαη απαξαίηεην ν άμνλαο λα δηαπεξλά ην ζψκα. Αλ θάπνηα ρξνληθή ζηηγκή ην ζψκα έρεη γσληαθή ηαρχηεηα ω, έλα κηθξφ ζηνηρείν κάδαο m i, πνπ απέρεη απφζηαζε r i απφ ηνλ άμνλα, ζα έρεη ζηηγκηαία ηαρχηεηα i ri. Ζ θηλεηηθή 1 ηνπ ελέξγεηα ζα είλαη επνκέλσο Ki m ( ) i ri. Αζξνίδνληαο γηα φια ηα ζηνηρεία κάδαο πνπ απνηεινχλ ην ζψκα, έρνπκε γηα ηελ θηλεηηθή ελέξγεηα ηνπ ζψκαηνο, ιφγσ ηεο πεξηζηξνθήο ηνπ: 1 1 K m r m r. (16.1) i i i Σν άζξνηζκα ζηελ Δμ. (16.1) εμαξηάηαη κφλν απφ ηε γεσκεηξηθή θαηαλνκή ηεο κάδαο ηνπ ζψκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο. Tν άζξνηζκα απηφ νλνκάδεηαη ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζώκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα Α, I A, θαη νξίδεηαη σο I i i i i m r A i i (16.) φπνπ ν δείθηεο Α ππνδειψλεη ηνλ άμνλα σο πξνο ηνλ νπνίνλ ππνινγίδεηαη ε ξνπή αδξάλεηαο. Δπνκέλσο ε θηλεηηθή ελέξγεηα ελφο ζηεξενχ ζψκαηνο, ιφγσ ηεο πεξηζηξνθήο ηνπ γχξσ απφ ηνλ άμνλα Α κε γσληαθή ηαρχηεηα σ, είλαη K I (16.3) 1 A 131

148 1 Ζ νκνηφηεηα ηεο Δμ. (16.3) κε ηε γλσζηή ζρέζε K m γηα ηε κεηαθνξηθή θίλεζε, δείρλεη φηη ζηελ πεξηζηξνθηθή θίλεζε, φπσο ε γσληαθή ηαρχηεηα παίδεη ην ξφιν πνπ παίδεη ε ηαρχηεηα ζηε κεηαθνξηθή θίλεζε, έηζη θαη ε ξνπή αδξάλεηαο παίδεη ην ξφιν πνπ παίδεη ε κάδα. Οη ξνπέο αδξάλεηαο πνιιψλ ζηεξεψλ ζσκάησλ σο πξνο θάπνηνπο ραξαθηεξηζηηθνχο άμνλεο ππνινγίδνληαη εχθνια (βι. Βηβιηνγξαθία, αλαθνξά ). ην φξην m i dm, ην άζξνηζκα ζηελ Δμ. (16.) κεηαηξέπεηαη ζην νινθιήξσκα I r dm. (16.4) ζψκα ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί δίλνληαη νη ξνπέο αδξάλεηαο κεξηθψλ ζηεξεψλ, σο πξνο δηάθνξνπο άμνλεο. ΠΙΝΑΚΑ Ι Ρνπέο αδξάλεηαο κεξηθώλ θνηλώλ ζηεξεώλ ζσκάησλ Οκνγελέο ζώκα κάδαο Μ Άμνλαο Ρνπή αδξάλεηαο Ράβδνο κήθνπο L Κάζεηνο ζηε ξάβδν, ζην θέληξν ηεο 1 ML 1 Κάζεηνο ζηε ξάβδν, ζην έλα ηεο άθξν 1 ML 3 Κπθιηθφο δαθηχιηνο αθηίλαο R Κάζεηνο ζηo επίπεδν ηνπ δαθηπιίνπ, ζην θέληξν ηνπ MR Μηα δηάκεηξνο ηνπ δαθηπιίνπ 1 MR Κπθιηθφο δίζθνο αθηίλαο R Κάζεηνο ζην επίπεδν ηνπ δίζθνπ, ζην θέληξν ηνπ 1 MR Μηα δηάκεηξνο ηνπ δίζθνπ 1 MR 4 πκπαγήο ζθαίξα αθηίλαο R Μηα δηάκεηξνο ηεο ζθαίξαο MR 5 πκπαγήο θχιηλδξνο αθηίλαο R Ο άμνλαο ηνπ θπιίλδξνπ 1 MR Λεπηφηνηρνο ζσιήλαο αθηίλαο R Ο άμνλαο ηνπ ζσιήλα MR Γπλακηθή ελέξγεηα ζπεηξνεηδνύο ειαηεξίνπ 13

149 Αλ ην έλα άθξν ελφο ζπεηξνεηδνχο ειαηεξίνπ δηαηεξείηαη αθίλεην, ελψ ζην άιιν αζθείηαη κηα δχλακε, ην δεχηεξν απηφ άθξν ζα πεξηζηξαθεί γχξσ απφ ηνλ άμνλα ηνπ ειαηεξίνπ. Έζησ φηη ην εμσηεξηθφ άθξν ηνπ ειαηεξίνπ δηαηεξείηαη αθίλεην, ελψ ζην άιιν ηνπ άθξν ζπλδέεηαη έλαο κνρινβξαρίνλαο (ξάβδνο), ν νπνίνο κπνξεί λα πεξηζηξαθεί γχξσ απφ άμνλα πνπ πεξλά απφ ην θέληξν ηνπ ειαηεξίνπ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδφ ηνπ (ρ. 16.). Αλ κηα δχλακε F, αζθεζεί θάζεηα ζην ειεχζεξν άθξν ηνπ κνρινβξαρίνλα, ην νπνίν απέρεη απφζηαζε L απφ ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο, ν κνρινβξαρίνλαο ζα πεξηζηξαθεί θαηά γσλία θ, αλάινγε ηεο δχλακεο. πγθεθξηκέλα, FL (16.5) D φπνπ D είλαη κηα ζηαζεξά ηνπ ειαηεξίνπ, γλσζηή σο θαηεπζύλνπζα ξνπή. Αθξηβέζηεξα, ιέκε φηη ε δχλακε F αζθεί ζην ειαηήξην ξνπή ε νπνία έρεη, σο πξνο ην θέληξν ηνπ ειαηεξίνπ, κέηξν ίζν κε N F FL (16.6) Σν άθξν ηνπ ειαηεξίνπ πεξηζηξέθεηαη θαηά γσλία θ, ηφζε ψζηε ην ειαηήξην λα αληηδξάζεη αζθψληαο ίζε θαη αληίζεηε ξνπή επαλαθνξάο N N, φπνπ F N D (16.7) Απηή ε ζρέζε είλαη ν λόκνο ηνπ Hooke γηα ην ζπεηξνεηδέο ειαηήξην. Ζ Δμ. (16.5) κπνξεί λα γξαθεί θαη κε ηε κνξθή D F (16.8) L Αλ ηψξα πεξηζηξέςνπκε ην άθξν ηνπ ειαηεξίνπ θαηά νιηθή γσλία θ 0, κπνξνχκε εχθνια λα απνδείμνπκε φηη ην έξγν πνπ παξάγνπκε είλαη ίζν κε W. (16.9) 1 D 0 Απηή είλαη θαη ε δπλακηθή ελέξγεηα πνπ απνζεθεχεηαη ζην ζπεηξνεηδέο ειαηήξην (ζπγθξίλεηε κε ηε δπλακηθή ελέξγεηα 1 kx ηνπ γξακκηθνχ ειαηεξίνπ) Μέζνδνο Έζησ φηη έλα ζηεξεφ ζψκα κπνξεί λα πεξηζηξαθεί γχξσ απφ έλαλ άμνλα. ηελ πεξηζηξνθή ηνπ ζψκαηνο αληηζηέθεηαη ζπεηξνεηδέο ειαηήξην, ην νπνίν αζθεί ξνπή επαλαθνξάο αλάινγε ηεο γσλίαο πεξηζηξνθήο ηνπ ζψκαηνο απφ ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ (βι. δηάηαμε ηνπ ρ. 16.3). Σν ζχζηεκα απηφ απνηειεί έλαλ ζηξνθηθό αξκνληθό ηαιαλησηή, ν νπνίνο αλ πεξηζηξαθεί θαηά κία γσλία θαη αθεζεί ειεχζεξνο, ζα εθηειέζεη ζηξνθηθέο ηαιαληψζεηο. χκθσλα κε φζα αλαπηχρζεθαλ πην πάλσ, αλ ην ζψκα έρεη πεξηζηξαθεί θαηά γσλία θ απφ ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαη έρεη γσληαθή ηαρχηεηα πεξηζηξνθήο γχξσ απφ ηνλ άμνλα ίζε κε 1, ζα έρεη δπλακηθή ελέξγεηα U D απνζεθεπκέλε ζην ειαηήξην θαη θηλεηηθή ελέξγεηα K κε 1 I ιφγσ ηεο πεξηζηξνθήο ηνπ ζψκαηνο. Ζ νιηθή ελέξγεηα ηνπ ηαιαλησηή ζα είλαη ίζε E. (16.10) 1 1 I D 133

150 Αλ νη ηξηβέο κπνξνχλ λα αγλνεζνχλ, ε Δ ζα παξακέλεη ζηαζεξή. Δπνκέλσο ν ξπζκφο κεηαβνιήο ηεο Δ σο πξνο ην ρξφλν ζα είλαη ίζνο κε κεδέλ: d 1 E 0 dt d ( dt d 1 d d I ) ( D ) 0 I D 0 (16.11) dt dt dt Όκσο ε γσλία θ θαη ε γσληαθή ηαρχηεηα σ ζπλδένληαη κέζσ ηεο ζρέζεο Δπνκέλσο ε Δμ. (16.11) γξάθεηαη σο ή αθφκε d (16.1) dt d d I D 0 ή I 0 D dt dt d 0 k dt φπνπ D k. (16.13) I Απηή είλαη ε γλσζηή εμίζσζε θίλεζεο ηνπ απινχ αξκνληθνχ ηαιαλησηή γηα ειεχζεξεο ηαιαληψζεηο, ε γεληθή ιχζε ηεο νπνίαο είλαη ( t ) 0 cos ( kt ) (16.14) φπνπ θ 0 είλαη ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο (ζε αθηίληα) θαη ζ κηα γσληαθή ζηαζεξά (επίζεο ζε αθηίληα), γλσζηή σο ζηαζεξά θάζεο. Ζ γσληαθή ζπρλφηεηα ησλ ηαιαληψζεσλ σ, είλαη πξνθαλψο ίζε κε k (ζε αθηίληα αλά δεπηεξφιεπην, rad/s). Οη ζηαζεξέο θ 0 θαη ζ θαζνξίδνληαη απφ ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο ή θάπνηεο άιιεο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Απφ ηελ Δμ. (16.13), ηελ σ = k θαη ηε γλσζηή ζρέζε Σ = π/σ, ε πεξίνδνο ησλ ζηξνθηθψλ ηαιαληψζεσλ βξίζθεηαη ίζε κε I T (16.15) D Δπνκέλσο ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζψκαηνο κπνξεί λα ππνινγηζηεί απφ ηελ πεξίνδν ησλ ηαιαληψζεψλ ηνπ σο T D I (16.16) 4 ζρέζε ε νπνία απνηειεί θαη ηε βάζε γηα ηνλ πξνζδηνξηζκφ ησλ ξνπψλ αδξάλεηαο ζηελ παξνχζα άζθεζε. 134

151 16. Πεηξακαηηθή δηάηαμε Υποδοχή Ελατήριο Ράβδοσ Δυναμόμετρο ρήκα ηξνθηθφο ηαιαλησηήο Όπσο είδακε ζηε πξνεγνχκελε παξάγξαθν, ζηελ πεξηζηξνθηθή θίλεζε ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζψκαηνο παίδεη ηνλ ίδην ξφιν πνπ παίδεη ε κάδα ηνπ ζψκαηνο ζηε κεηαθνξηθή θίλεζε. Έηζη ε γλψζε ηνπ κεγέζνπο απηνχ απνθηά ηδηαίηεξε ζεκαζία φηαλ ην ζψκα πεξηζηξέθεηαη ή εθηειεί ηαιαληψζεηο. ηα ζψκαηα πνπ έρνπλ απιή γεσκεηξία, ν ππνινγηζκφο ηεο ξνπήο αδξάλεηαο δελ παξνπζηάδεη θάπνηα ηδηαίηεξε δπζθνιία. Αληίζεηα ζηα ζψκαηα κε πεξίπινθν ζρήκα, είλαη πξνηηκφηεξν ε ξνπή αδξάλεηαο λα κεηξεζεί πεηξακαηηθά. Μία απφ ηηο ζπζθεπέο πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη επξχηαηα γηα ηε κέηξεζε ηεο ξνπήο αδξάλεηαο ησλ ζσκάησλ είλαη ν ζηξνθηθφο ηαιαλησηήο, ν νπνίνο εηθνλίδεηαη ζην ρ ηε ζπζθεπή απηή ην ζψκα εθηειεί ζηξνθηθέο ηαιαληψζεηο γχξσ απφ θαηαθφξπθν άμνλα. Ζ ξνπή επαλαθνξάο παξέρεηαη απφ έλα ζπεηξνεηδέο ειαηήξην. Ζ ζηαζεξά απηνχ ηνπ ειαηεξίνπ, ε θαηεπζχλνπζα ξνπή, D, κπνξεί λα κεηξεζεί κε έλα δπλακφκεηξν θαη έλα κνρινβξαρίνλα (ιεπηή ξάβδν), ην κήθνο ηνπ νπνίνπ (εγθνπή-άμνλαο πεξηζηξνθήο) είλαη ίζν κε 6,00 0,03 cm. Ζ ξάβδνο απηή ηνπνζεηείηαη θάζεηα ζηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ ζπζηήκαηνο θαη έηζη κεηαηξέπεηαη ζε έλα κνριφ πνπ κπνξεί λα αζθήζεη κεηξήζηκε ξνπή ζην ειαηήξην θαη λα ην πεξηζηξέςεη. Οη πεξίνδνη ησλ ζηξνθηθψλ ηαιαληψζεσλ ησλ ζσκάησλ κεηξνχληαη κε ηε βνήζεηα ελφο ςεθηαθνχ ρξνλνκέηξνπ ρεηξφο. ηε δηάηαμε πνπ ρξεζηκνπνηνχκε νη κάδεο θαη νη ραξαθηεξηζηηθέο δηαζηάζεηο ησλ ζσκάησλ αλαγξάθνληαη επάλσ ζηηο επηθάλεηέο ηνπο. Βηβιηνγξαθία 1. Κ.Γ. Αιεμφπνπινο, Γεληθή Φπζηθή, Σφκνο Α: Μεραληθή - Αθνπζηηθή (Αζήλα, 1953), Κεθ. 5, 7, 10.. Μαζήκαηα Φπζηθήο Berkeley, Σφκνο 1 (C. Kittel θ.ά.), Μεραληθή (Παλεπηζηεκηαθέο Δθδφζεηο Δ.Μ.Π., Αζήλα 1998). Κεθ Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα 010) 135

152 16.5 Δθηέιεζε Μέηξεζε ηεο ζηαζεξάο επαλαθνξάο 1. Δηζάγεηε ζηελ ππνδνρή ηε ιεπηή ξάβδν, πνπ ζα είλαη έηζη θάζεηε ζηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ ζπζηήκαηνο, θαη ζθίμηε ηε βίδα πνπ βξίζθεηαη ζην πιεπξφ ηεο ππνδνρήο.. Πάξηε ην δπλακφκεηξν θαη κε πξνζνρή θνξέζηε ηε ζειηά ηνπ ζηε ξάβδν ζην ζεκείν εγθνπήο. Σν δπλακφκεηξν θαη ε ξάβδνο πξέπεη ζε θάζε κέηξεζε λα ζρεκαηίδνπλ νξζή γσλία. 3. Σξαβήμηε ην δπλακφκεηξν θάζεηα πξνο ηε ξάβδν, έσο φηνπ ε ξάβδνο πεξηζηξαθεί θαηά γσλία θ, ίζε κε 45 κνίξεο. εκεηψζηε ηελ έλδεημε ηνπ δπλακφκεηξνπ (ζε Newton, Ν). 4. Δπαλαιάβεηε ην βήκα 3 γηα ηηο γσλίεο 90, 135, 180, 5, 70, 315 θαη 360 κνίξεο θαη ζπκπιεξψζηε ηνλ Πίλαθα ΗΗ. Πίλαθαο ΙΙ θ (κνίξεο) F (Ν) Μέηξεζε ηεο ξνπήο αδξάλεηαο 1. Αθαηξέζηε ηε ξάβδν απφ ηελ ππνδνρή θαη ζηε ζέζε ηεο ηνπνζεηήζηε ηνλ δίζθν. θίμηε ηε βίδα πνπ βξίζθεηαη ζην πιεπξφ ηεο ππνδνρήο.. ηξέςηε ηνλ δίζθν θαηά πεξίπνπ 45 κνίξεο θαη αθήζηε ηνλ λα εθηειέζεη ζηξνθηθέο ηαιαληψζεηο. Μεηξήζηε ην ζπλνιηθφ ρξφλν γηα 0 ηαιαληψζεηο, 6 θνξέο δηαδνρηθά. 3. Δπαλαιάβεηε ηε δηαδηθαζία απηή γηα ηνλ ζπκπαγή θχιηλδξν, ηνλ θπιηλδξηθφ ζσιήλα θαη ηε ζθαίξα, ζπκπιεξψλνληαο ηνλ Πίλαθα ΗΗΗ. 4. εκεηψζηε ηηο κάδεο θαη ηηο δηαζηάζεηο ησλ ζσκάησλ απηψλ. Πίλαθαο ΙΙΙ Α/Α Μέηξεζεο Γίζθνο πκπαγήο θχιηλδξνο Κπιηλδξηθφο ζσιήλαο Υξφλνο γηα 0 πιήξεηο ηαιαληψζεηο, Σ 0 (s) θαίξα Μέζε ηηκή T s 0 T s T s T s 0 T s 0 T s T s T s 0 136

153 16.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Έιεγρνο ηεο γξακκηθόηεηαο θαη βαζκνλόκεζε ηνπ ειαηεξίνπ 1. Απφ ηηο ηηκέο ηνπ Πίλαθα ΗΗ, ζρεδηάζηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο δχλακεο επαλαθνξάο F (ζε Ν), ζπλαξηήζεη ηεο γσλίαο πεξηζηξνθήο θ ηνπ ειαηεξίνπ (ζε αθηίληα, rad).. Γηαπηζηψζηε αλ ε ζρέζε F = f (θ) είλαη γξακκηθή [Δμ. (16.8)], πξνζδηνξίζηε γξαθηθά ηελ θιίζε ηεο επζείαο D/L, θαη ην ζθάικα ηεο (Παξάγξ. Γ.7) θαη απφ απηήλ ππνινγίζηε ηελ θαηεπζχλνπζα ξνπή D, θαη ην ζθάικα ηεο δd Τπνινγηζκόο ηεο ξνπήο αδξάλεηαο ηνλ ζωκάηωλ 1. Απφ ηηο ηηκέο ηεο κέζεο πεξηφδνπ T T 0 / 0, πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηνλ Πίλαθα ΗΗΗ, ηελ ηηκή D πνπ κεηξήζαηε θαη ηελ Δμ. (16.16), ππνινγίζηε ηελ πεηξακαηηθή ηηκή ηεο ξνπήο αδξάλεηαο Η, ηνπ δίζθνπ, ηνπ ζπκπαγνχο θπιίλδξνπ, ηνπ θπιηλδξηθνχ ζσιήλα θαη ηεο ζθαίξαο, θαζψο θαη ηα αληίζηνηρα ζθάικαηα δη, θαη ζπκπιεξψζηε ηελ πξψηε γξακκή ηνπ Πίλαθα ΗV.. Απφ ηηο ζρέζεηο πνπ δίλνληαη ζηνλ Πίλαθα Η, ππνινγίζηε ηηο ζεσξεηηθέο ηηκέο ησλ ξνπψλ αδξάλεηαο ησλ ζσκάησλ απηψλ κε βάζε ηηο κάδεο ηνπο θαη ηηο δηαζηάζεηο ηνπο θαη ζπκπιεξψζηε ηε δεχηεξε γξακκή ηνπ Πίλαθα ΗV. 3. Τπνινγίζηε ηηο δηαθνξέο δη, αλάκεζα ζηηο ζεσξεηηθέο θαη ηηο πεηξακαηηθέο ηηκέο ηεο ξνπήο αδξάλεηαο γηα ηηο δηάθνξεο πεξηπηψζεηο θαη θαηαγξάςηε ηηο ζηελ ηξίηε γξακκή ηνπ Πίλαθα ΗV. Δίλαη νη δηαθνξέο απηέο ζεκαληηθέο; Αλ λαη, ζε ηη θαηά ηε γλψκε ζαο κπνξεί λα νθείινληαη; Βξίζθνληαη κέζα ζηα φξηα ηνπ πεηξακαηηθνχ ζθάικαηνο; ΠΙΝΑΚΑ ΙV Γίζθνο πκπαγήο θχιηλδξνο Κπιηλδξηθφο ζσιήλαο θαίξα Η (πεηξακαηηθή) (kg/m ) Η (ζεσξεηηθή) (kg/m ) δη (kg/m ) 137

154 Άζθεζε 17 Φαηλόκελα δηάζιαζεο. Ιδηόηεηεο θαη ζθάικαηα θαθώλ 17.1 θνπόο Ο ζθνπφο απηήο ηεο άζθεζεο είλαη ε κειέηε ηνπ θαηλνκέλνπ ηεο δηάζιαζεο θαη ησλ ραξαθηεξηζηηθψλ ηδηνηήησλ ησλ ιεπηψλ θαθψλ, θαζψο θαη ε παξαηήξεζε ηνπ ζρεκαηηζκνχ εηδψισλ απφ θαθνχο θάησ απφ δηάθνξεο ζπλζήθεο. Αλαθέξνληαη επίζεο νξηζκέλα ζηνηρεία γηα ηα ζθάικαηα ησλ θαθψλ. 17. Θεσξία Όπσο απνδεηθλχεηαη, νη ηδηφηεηεο ησλ θαθψλ είλαη ην ηειηθφ απνηέιεζκα επηκέξνπο δηαζιάζεσλ ηνπ θσηφο θαηά ηε δηέιεπζή ηνπ κέζα απφ ηηο επηθάλεηεο πνπ νξίδνπλ ηνπο θαθνχο. Πξηλ αζρνιεζνχκε επνκέλσο κε ην πην ζχλζεην απηφ θαηλφκελν, αο αξρίζνπκε απφ ην απινχζηεξν θαηλφκελν ηεο δηάζιαζεο ηνπ θσηφο θαηά ηε δηέιεπζή ηνπ απφ επίπεδεο δηαρσξηζηηθέο επηθάλεηεο, αλάκεζα ζε δηαθνξεηηθά νπηηθά κέζα Γηάζιαζε Γλσξίδνπκε φηη κηα θσηεηλή αθηίλα (έλα ειεθηξνκαγλεηηθφ θπκαηνκέησπν), φηαλ δηαζρίδεη κηα επηθάλεηα πνπ δηαρσξίδεη δχν δηαθνξεηηθά κέζα, αιιάδεη γεληθά πνξεία. Ζ αιιαγή πνξείαο κηαο θσηεηλήο δέζκεο γίλεηαη ζχκθσλα κε ην λόκν ηνπ Snell: n 1 sinζ 1 = n sinζ (17.1) φπνπ νη γσλίεο ζ 1 θαη ζ είλαη νη γσλίεο πξφζπησζεο θαη δηάζιαζεο αληηζηνίρσο, φπσο θαίλνληαη ζην ρ.17.1(α). Σα n 1, n είλαη νη ιεγφκελνη δείθηεο δηάζιαζεο ησλ αληίζηνηρσλ νπηηθψλ κέζσλ θαη νξίδνληαη σο ην πειίθν c/c i ηεο ηαρχηεηαο ηνπ θσηφο ζην θελφ πξνο ηελ ηαρχηεηα ηνπ θσηφο ζην αληίζηνηρν νπηηθφ κέζν. (α) (β) (γ) ρήκα (α) Γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ λφκνπ ηεο δηάζιαζεο ηνπ Snell. (β) Δθηξνπή θσηφο δηεξρφκελνπ κέζα απφ πξίζκα. Ζ γσλία εθηξνπήο δ, νξίδεηαη σο ε γσλία κεηαμχ ηεο πξνέθηαζεο ηεο εηζεξρφκελεο ζην πξίζκα αθηίλαο θαη ηεο εμεξρφκελεο απφ απηφ. (γ) Έλαο ακθίθπξηνο θαθφο κπνξεί λα παξαζηαζεί σο κηα επαιιειία ελφο πνιχ κεγάινπ αξηζκνχ πξηζκάησλ κε κεηαβαιιφκελε γσλία θνξπθήο Α. Ο δείθηεο δηάζιαζεο ελφο πιηθνχ εμαξηάηαη γεληθά απφ ην κήθνο θχκαηνο ι (ρξψκα) ηνπ θσηφο. Όηαλ έλα νπηηθφ κέζνλ έρεη ηε κνξθή πξίζκαηνο, κηα δέζκε θσηφο πνπ δηέξρεηαη κέζα απφ απηφ πθίζηαηαη εθηξνπή φπσο ζην ρ. 17.1(β). Ζ γσλία εθηξνπήο δ, δειαδή ε γσλία κεηαμχ ηεο πξνέθηαζεο ηεο εηζεξρφκελεο ζην πξίζκα αθηίλαο θαη ηεο εμεξρφκελεο απφ απηφ, είλαη ηφζν κεγαιχηεξε φζν κεγαιχηεξε είλαη ε γσλία ηνπ πξίζκαηνο Α. 138

155 17... Φαθνί Φαθό νλνκάδνπκε γεληθά θάζε νπηηθφ κέζν κε ζπγθεθξηκέλν δείθηε δηάζιαζεο, ην νπνίν νξίδεηαη, σο πξνο θάπνην άιιν νπηηθφ κέζν κε δηαθνξεηηθφ δείθηε δηάζιαζεο, απφ δχν θακπχιεο επηθάλεηεο, απφ ηηο νπνίεο ε κία ηνπιάρηζηνλ έρεη κε κεδεληθή θακππιφηεηα (ε επίπεδε επηθάλεηα κπνξεί λα ζεσξεζεί σο ζθαηξηθή κε κεδεληθή θακππιφηεηα ή άπεηξε αθηίλα θακππιφηεηαο). Οη θαθνί θαηαζθεπάδνληαη ζπλήζσο απφ γπαιί, αιιά θαη απφ πιηθά φπσο ν ραιαδίαο, ν θζνξίηεο ή θαη πιαζηηθά. Απφ άπνςε ιεηηνπξγηθφηεηαο (θαη γεσκεηξηθψλ ραξαθηεξηζηηθψλ) νη θαθνί θαηαηάζζνληαη θαη' αξρήλ ζε δχν θαηεγνξίεο, ηνπο ζπγθιίλνληεο ή ζεηηθνχο, πνπ είλαη παρχηεξνη ζην θέληξν απφ φ,ηη ζηα άθξα θαη ζπγθεληξψλνπλ ην θσο, θαη ηνπο απνθιίλνληεο ή αξλεηηθνχο, πνπ είλαη παρχηεξνη ζηα άθξα απφ φ,ηη ζην θέληξν θαη έρνπλ ην αληίζεην νπηηθφ απνηέιεζκα. Οη ζπγθιίλνληεο θαθνί κπνξεί λα είλαη ακθίθπξηνη, επηπεδφθπξηνη ή ζεηηθνί κελίζθνη, θαη νη απνθιίλνληεο, αληίζηνηρα, ακθίθνηινη, επηπεδφθνηινη ή αξλεηηθνί κελίζθνη. ην ρ. 17. θαίλνληαη ραξαθηεξηζηηθά παξαδείγκαηα ησλ θαθψλ πνπ πξναλαθέξακε. ρήκα 17.. Υαξαθηεξηζηηθά παξαδείγκαηα θαθψλ: (α) πγθιίλνληεο (απφ αξηζηεξά): ακθίθπξηνο, επηπεδφθπξηνο, ζεηηθφο κελίζθνο. (β) Απνθιίλνληεο (απφ αξηζηεξά): ακθίθνηινο, επηπεδφθνηινο, αξλεηηθφο κελίζθνο. Ζ ζπγθιίλνπζα ή απνθιίλνπζα δξάζε ησλ θαθψλ πνπ αλαθέξακε απνηειεί ην ηειηθφ απνηέιεζκα επηκέξνπο δηαζιάζεσλ. Μπνξνχκε δειαδή λα δνχκε έλα θαθφ σο κηα επαιιειία ελφο πνιχ κεγάινπ αξηζκνχ πξηζκάησλ κε κεηαβαιιφκελε γσλία θνξπθήο Α, φπσο ζην ρ. 17.1(γ) γηα έλαλ ακθίθπξην θαθφ. Λφγσ κεηαβνιήο ηεο γσλίαο θνξπθήο Α, απφ πξίζκα ζε πξίζκα, ε γσλία εθηξνπήο είλαη κεγαιχηεξε γηα ηα αθξαία απφ φ,ηη γηα ηα θεληξηθά ηκήκαηα ηνπ θαθνχ. Έηζη, φηαλ κία παξάιιειε δέζκε θσηφο πεξάζεη κέζα απφ έλαλ ηέηνην θαθφ, ε εθηξνπή ησλ πεξηθεξεηαθψλ αθηίλσλ απηήο ηεο δέζκεο είλαη κεγαιχηεξε θαη κεηψλεηαη ζηαδηαθά πξνο ην κεδέλ γηα ηηο θεληξηθέο αθηίλεο. Σν απνηέιεζκα είλαη φηη φιεο νη αθηίλεο ηείλνπλ λα ζπγθεληξσζνχλ ζε κία κηθξή πεξηνρή, κεηά ην θαθφ, ε γεσκεηξία θαη νη δηαζηάζεηο ηεο νπνίαο εμαξηψληαη απφ ηε κνξθή ηνπ θαθνχ, φπσο θαίλεηαη ζην ρ. 17.3(α) γηα έλαλ ζπγθιίλνληα θαθφ. Γηα απνθιίλνληα θαθφ κηα παξάιιειε δέζκε θσηφο θαίλεηαη, κεηά ηε δηέιεπζή ηεο απφ ην θαθφ, λα απνηειείηαη απφ αθηίλεο πνπ απνθιίλνπλ, μεθηλψληαο απφ κηα πεξηνρή πξηλ απφ ην θαθφ [ρ (β)]. 139

156 (α) (β) ρήκα (α) Οη παξάιιειεο αθηίλεο ζπγθιίλνπλ κεηά ηε δηέιεπζή ηνπο απφ ζπγθιίλνληα θαθφ. (β) Οη παξάιιειεο αθηίλεο απνθιίλνπλ κεηά ηε δηέιεπζή ηνπο απφ απνθιίλνληα θαθφ Ιδηόηεηεο ηωλ θαθώλ Κάζε θαθφο παξνπζηάδεη αμνληθή ζπκκεηξία σο πξνο κηα επζεία πνπ πεξλάεη απφ ην γεσκεηξηθφ θέληξν ηνπ θαη είλαη θάζεηε ζηηο δχν επηθάλεηεο ηνπ θαθνχ ζηα ζεκεία δηέιεπζεο ηεο επζείαο. Ζ ραξαθηεξηζηηθή απηή επζεία ιέγεηαη άμνλαο ηνπ θαθνύ. Γηα ηνπο ζθαηξηθνχο θαθνχο (θαθνχο δειαδή πνπ νξίδνληαη απφ ζθαηξηθέο επηθάλεηεο), ν άμνλαο πεξλάεη απφ ηα θέληξα θακππιφηεηαο ησλ ζθαηξηθψλ επηθαλεηψλ πνπ νξίδνπλ ην θαθφ. Πάλσ ζηνλ άμνλα νξίδνπκε σο θπξία εζηία (F, ρ. 17.4) έλα ζεκείν πνπ έρεη ηελ αθφινπζε ηδηφηεηα: θάζε αθηίλα πνπ δηέξρεηαη απφ απηφ ηαμηδεχεη κεηά ηε δηάζιαζε, παξάιιεια ζηνλ άμνλα ηνπ θαθνχ. Αληίζηνηρα δεπηεξεύνπζα εζηία είλαη έλα ζεκείν πξνο ην νπνίν θαηεπζχλνληαη, κεηά ηε δηάζιαζε, νη αθηίλεο πνπ πξηλ ηαμίδεπαλ παξάιιεια ζηνλ άμνλα. ηελ πεξίπησζε ησλ ιεπηψλ ζθαηξηθψλ θαθψλ (δειαδή θαθψλ ην πάρνο ησλ νπνίσλ είλαη κηθξφ ζε ζρέζε κε ηε δηάκεηξφ ηνπο) νη απνζηάζεηο ηεο θχξηαο θαη ηεο δεπηεξεχνπζαο εζηίαο απφ ην θέληξν ηνπ θαθνχ είλαη ίζεο, αλεμάξηεηα απφ ην αλ ν θαθφο είλαη ζπκκεηξηθφο ή φρη. Ζ απφζηαζε απηή ιέγεηαη εζηηαθή απόζηαζε θαη ζπκβνιίδεηαη κε f. Ζ εζηηαθή απφζηαζε εμαξηάηαη απφ ην πιηθφ απφ ην νπνίν είλαη θηηαγκέλνο ν θαθφο θαη απφ ηε γεσκεηξία ησλ επηθαλεηψλ πνπ ηνλ νξίδνπλ. ηελ πεξίπησζε ησλ ζθαηξηθψλ θαθψλ ηζρχεη ε ιεγφκελε ζρέζε ησλ θαηαζθεπαζηώλ ησλ θαθώλ: 1 f 1 1 n 1 r1 r (17.) ηελ Δμ. (17.), n είλαη ν δείθηεο δηάζιαζεο ηνπ πιηθνχ, ν νπνίνο πξνζδηνξίδεηαη ζπλήζσο ζην θίηξηλν ρξψκα ησλ γξακκψλ D ηνπ λαηξίνπ (ι 1 = 588,995 nm, ι = 589,59 nm), θαη r 1, r νη αθηίλεο θακππιφηεηαο ησλ ζθαηξηθψλ επηθαλεηψλ πνπ νξίδνπλ ην θαθφ. Γηα ηηο αθηίλεο θακππιφηεηαο ηζρχεη ε ζχκβαζε φηη θαζψο νη θσηεηλέο αθηίλεο ηαμηδεχνπλ απφ ηα αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά κέζα απφ ην θαθφ, φιεο νη θπξηέο επηθάλεηεο έρνπλ ζεηηθή αθηίλα θακππιφηεηαο θαη φιεο νη θνίιεο αξλεηηθή. Γλσξίδνληαο ην δείθηε δηάζιαζεο (n) ηνπ πιηθνχ θαη ηε γεσκεηξία (r 1, r ) ελφο θαθνχ, κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηελ εζηηαθή ηνπ απφζηαζε. Απνδεηθλχεηαη φηη νη ζθαηξηθνί θαθνί ζπγθεληξψλνπλ, κε πνιχ θαιή πξνζέγγηζε, ηηο παξάιιειεο αθηίλεο πνπ δηέξρνληαη απφ απηνχο ζε έλα ζεκείν, δειαδή ζηελ εζηία ηνπ θαθνχ, κε ηελ πξνυπφζεζε φηη ε απφζηαζε ησλ αθηίλσλ απφ ην θέληξν ηνπ θαθνχ είλαη κηθξή ζε ζρέζε κε ηελ αληίζηνηρε εζηηαθή απφζηαζε (πξνζέγγηζε κηθξψλ γσληψλ). Έρνληαο ππφςε καο φια ηα παξαπάλσ, κπνξνχκε λα πξνζδηνξίζνπκε γξαθηθά ηελ εηθφλα ζηελ νπνία, ζεκείν πξνο ζεκείν (βι. ρ. 17.4): 140

157 νη αθηίλεο νη νπνίεο, πξηλ ηε δηέιεπζή ηνπο απφ ην θαθφ, είλαη παξάιιειεο πξνο ηνλ άμνλα (αθηίλα 1) πεξλνχλ, κεηά ηε δηέιεπζή ηνπο απφ ην θαθφ, απφ ηελ εζηία (F ) ηνπ θαθνχ νη αθηίλεο νη δηεξρφκελεο απφ ηελ θπξία εζηία (F) γίλνληαη, κεηά ηε δηέιεπζή ηνπο απφ ην θαθφ, παξάιιειεο πξνο ηνλ άμνλα (αθηίλα 3). ρήκα Καηαζθεπή ηνπ πξαγκαηηθνχ εηδψινπ, Α Β, ελφο αληηθεηκέλνπ, ΑΒ, ηνπνζεηεκέλνπ ζε απφζηαζε s, κεγαιχηεξε απφ ηελ εζηηαθή απφζηαζε, f, ελφο ζπγθιίλνληα θαθνχ. Μπνξνχκε κάιηζηα γηα ηνλ έιεγρν ηεο γξαθηθήο θαηαζθεπήο, λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θαη κία ηξίηε θαηεγνξία αθηίλσλ, απηψλ πνπ δηέξρνληαη απφ ην θέληξν (αθηίλα 3), νη νπνίεο κεηά αθνινπζνχλ ηελ ίδηα αθξηβψο θαηεχζπλζε. Μηα ηέηνηα θαηαζθεπή ηεο εηθφλαο, κε ηε ιεγφκελε κέζνδν ησλ παξάιιεισλ αθηίλσλ, θαίλεηαη ζην ρ Αλ s θαη s είλαη νη απνζηάζεηο ηνπ αληηθεηκέλνπ θαη ηνπ εηδψινπ, αληίζηνηρα, απφ ην θέληξν ηνπ θαθνχ, θαη y θαη y ηα αληίζηνηρα κεγέζε ηνπο, απνδεηθλχεηαη φηη ηζρχνπλ, γηα φιεο ηηο πεξηπηψζεηο, νη ιεγφκελεο ζεκειηώδεηο εμηζώζεηο ησλ θαθώλ: s s f (17.3α) y s y s (17.3β) Ζ ζχκβαζε πνπ ηζρχεη γηα ηα πξφζεκα ησλ κεγεζψλ έρεη ζπκθσλεζεί κε βάζε ηελ πνξεία ησλ αθηίλσλ απφ αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά. πγθεθξηκέλα: ην s είλαη ζεηηθφ φηαλ κεηξάηαη αξηζηεξά απφ ην θέληξν ηνπ θαθνχ, ελψ ην s είλαη ζεηηθφ φηαλ κεηξάηαη δεμηά απφ ην θέληξν ηνπ θαθνχ θαη νη δχν εζηηαθέο απνζηάζεηο είλαη ζεηηθέο γηα ηνπο ζπγθιίλνληεο θαη αξλεηηθέο γηα ηνπο απνθιίλνληεο θαθνχο νη δηαζηάζεηο αληηθεηκέλνπ θαη εηδψινπ είλαη ζεηηθέο φηαλ κεηξψληαη πξνο ηα πάλσ ζε ζρέζε κε ηνλ άμνλα ηνπ θαθνχ, θαη αξλεηηθέο ζηελ αληίζεηε πεξίπησζε. Όηαλ έλα αληηθείκελν ηνπνζεηεζεί κπξνζηά απφ έλα θαθφ, ηφηε νη αθηίλεο πνπ μεθηλάλε απφ θάζε ζεκείν ηνπ αληηθεηκέλνπ θαη δηέξρνληαη απφ ην θαθφ αθνινπζνχλ, αλάινγα κε ην είδνο ηνπ θαθνχ θαη ηελ απφζηαζε θαθνχ-αληηθεηκέλνπ, δηαθνξεηηθή πνξεία. Άιινηε ζπγθεληξψλνληαη ζ έλα ζεκείν, ην νπνίν θαη νλνκάδνπκε πξαγκαηηθό είδσιν (ηνπ αληίζηνηρνπ ζεκείνπ ηνπ αληηθεηκέλνπ), θαη άιινηε απνθιίλνπλ, δίλνληαο ηελ εληχπσζε φηη πξνέξρνληαη απφ θάπνην άιιν ζεκείν, ην νπνίν θαη νλνκάδνπκε θαληαζηηθό είδσιν ηνπ αληίζηνηρνπ ζεκείνπ ηνπ αληηθεηκέλνπ. 141

158 ρήκα (α) Καηαζθεπή θαληαζηηθνχ εηδψινπ Α Β ελφο αληηθεηκέλνπ ΑΒ, ηνπνζεηεκέλνπ ζε απφζηαζε, s, κηθξφηεξε απφ ηελ εζηηαθή απφζηαζε f, ελφο ζπγθιίλνληα θαθνχ. (β) Καηαζθεπή θαληαζηηθνχ εηδψινπ Α Β ελφο αληηθεηκέλνπ ΑΒ, ηνπνζεηεκέλνπ κπξνζηά απφ έλαλ απνθιίλνληα θαθφ. Πξαγκαηηθά είδσια παίξλνπκε απφ αληηθείκελα ηνπνζεηεκέλα κπξνζηά ζε ζπγθιίλνληεο θαθνχο, ζε απφζηαζε κεγαιχηεξε απφ ηελ εζηηαθή ηνπο απφζηαζε (ρ. 17.4). Φαληαζηηθά είδσια παίξλνπκε απφ αληηθείκελα ηνπνζεηεκέλα κπξνζηά απφ ζπγθιίλνληεο θαθνχο ζε απφζηαζε κηθξφηεξε ηεο εζηηαθήο (ρ. 17.5α) θαη απφ αληηθείκελα ηνπνζεηεκέλα ζε νπνηνδήπνηε ζεκείν κπξνζηά απφ απνθιίλνληεο θαθνχο (ρ. 17.5β). Οξίδνπκε σο νπηηθή ηζρύ P ελφο θαθνχ ην αληίζηξνθν ηεο εζηηαθήο ηνπ απφζηαζεο, P = 1/f. Ζ κνλάδα νπηηθήο ηζρχνο είλαη ε δηνπηξία D, θαη αληηζηνηρεί ζε εζηηαθή απφζηαζε ελφο κέηξνπ, 1 D = 1 m θάικαηα ηωλ θαθώλ Ζ ζπδήηεζε γηα ηνπο θαθνχο, σο απηφ ην ζεκείν, ππέζεηε ζησπεξά δχν ζπλζήθεο: ην θσο είλαη κνλνρξσκαηηθφ ν θαθφο έρεη κηθξφ άλνηγκα, θαη ην αληηθείκελν βξίζθεηαη θνληά ζηνλ άμνλα (πξνζέγγηζε κηθξψλ γσληψλ). Ζ πξψηε ζπλζήθε εμαζθαιίδεη ζηαζεξφηεηα ηνπ δείθηε δηάζιαζεο, n, γηα φιεο ηηο θσηεηλέο αθηίλεο πνπ έξρνληαη απφ ην αληηθείκελν, ελψ ε δεχηεξε εμαζθαιίδεη κηθξέο θιίζεηο ησλ αθηίλσλ θαη κηθξέο γσλίεο εηζφδνπ. Ζ παξαβίαζε ηεο πξψηεο ζπλζήθεο νδεγεί ζηα ιεγφκελα ρξσκαηηθά ζθάικαηα ησλ θαθώλ ελψ ε παξαβίαζε ηεο δεχηεξεο νδεγεί ζηα ιεγφκελα κνλνρξσκαηηθά ζθάικαηα. 14

159 Υξσκαηηθά ζθάικαηα Σα ρξσκαηηθά ζθάικαηα ησλ θαθψλ νθείινληαη ζηηο ηδηφηεηεο δηαζπνξάο ησλ νπηηθψλ πιηθψλ. Ζ εμάξηεζε ηεο ηαρχηεηαο δηάδνζεο ηνπ θσηφο ζε έλα νπηηθφ κέζν απφ ηε ζπρλφηεηά ηνπ, πνπ εθθξάδεηαη σο εμάξηεζε ηνπ δείθηε δηάζιαζεο απφ ην ρξψκα, θάλεη ακέζσο θαλεξή ηελ πεγή ησλ ρξσκαηηθψλ ζθαικάησλ. Μία πξψηε πνηνηηθή αληίιεςε απηήο ηεο ζπκπεξηθνξάο κπνξεί λα έρεη θαλείο κέζα απφ ηελ αληηκεηψπηζε ελφο θαθνχ σο επαιιειία πξηζκάησλ, φπσο ζην ρ (α) (β) ρήκα (α) Μηα πνιπρξσκαηηθή αθηίλα, δηεξρφκελε κέζα απφ πξίζκα, αλαιχεηαη ζηηο ρξσκαηηθέο ζπληζηψζεο ηεο. (β) Οη επηκέξνπο ρξσκαηηθέο ζπληζηψζεο παξάιιεισλ πνιπρξσκαηηθψλ αθηίλσλ ζπγθεληξψλνληαη ζε δηαθνξεηηθά εζηηαθά ζεκεία. ην ρ. 17.6(α) κία παξάιιειε πνιπρξσκαηηθή δέζκε, πνπ πέθηεη ζε έλα πξίζκα, αλαιχεηαη ζε φια ηα ρξψκαηα απφ ηα νπνία απνηειείηαη, απφ ην θφθθηλν (Κ) κέρξη ην ηψδεο (Η). Όηαλ έρνπκε ινηπφλ πνιπρξσκαηηθφ θσο ε ζπλδπαζκέλε δξάζε ηεο επαιιειίαο ησλ πξηζκάησλ πνπ ζπληζηνχλ ην θαθφ έρεη σο απνηέιεζκα ηε ζπγθέληξσζε ησλ επηκέξνπο ρξσκαηηθψλ ζπληζησζψλ ζε δηαθνξεηηθά εζηηαθά ζεκεία [ρ. 17.6(β)]. Απφ ηε ζρέζε ησλ θαηαζθεπαζηψλ ησλ θαθψλ (Δμ. 17.) βιέπνπκε φηη γηα ζηαζεξά γεσκεηξηθά ραξαθηεξηζηηθά ελφο θαθνχ, ε εζηηαθή απφζηαζε f, αιιάδεη κε ην κήθνο θχκαηνο ι ηεο αθηηλνβνιίαο, κε ηνλ ίδην ηξφπν πνπ αιιάδεη ν παξάγνληαο (n 1). Γηα λα δνζεί έλα κέηξν ηεο δηαζπνξάο ελφο πιηθνχ, ζπλήζσο δίλεηαη ν δείθηεο δηάζιαζεο ηνπ πιηθνχ γηα ηξεηο ραξαθηεξηζηηθέο γξακκέο εθπνκπήο, ηε γξακκή C ηνπ πδξνγφλνπ (ι = 656,8 nm) ζην θφθθηλν, ηε δηπιή γξακκή D ηνπ λαηξίνπ ζην θίηξηλν (ι = 589,59 nm, 588,99 nm), θαη ηελ θπαλή γξακκή F (ι = 486,13 nm) ηνπ πδξνγφλνπ. Οη ηξεηο παξαπάλσ γξακκέο θαιχπηνπλ ην 70% πεξίπνπ ηεο νξαηήο πεξηνρήο ηνπ θσηφο θαη είλαη δηαηεηαγκέλεο γχξσ απφ ην κέγηζην ηεο επαηζζεζίαο ηνπ αλζξψπηλνπ καηηνχ. Σν πειίθν nd 1 (17.4) n n F φπνπ n D, n F θαη n C είλαη νη δείθηεο δηάζιαζεο γηα ηηο γξακκέο D, F, θαη C αληίζηνηρα, απνηειεί έλα κέηξν ηεο δηαζπνξάο ηνπ πιηθνχ. Ωο παξάδεηγκα ηνπ κνλνρξσκαηηθνχ ζθάικαηνο αλαθέξνπκε φηη έλαο θαθφο απφ ηεγκέλν ραιαδία κε κέζε εζηηαθή απφζηαζε 1 m θαη δείθηεο δηάζιαζεο n C = 1,45640, n D = 1,45845, n F = 1,46318, έρεη κηα κεηαβνιή ηεο εζηηαθήο απφζηαζεο απφ ην θφθθηλν ζην κπιε ίζε κε 1,5 cm πεξίπνπ. C 143

160 Μνλνρξσκαηηθά ζθάικαηα ιεπηώλ θαθώλ Όηαλ ην θσο πνπ δηέξρεηαη απφ έλα θαθφ είλαη κνλνρξσκαηηθφ, ηφηε απηφο εμαθνινπζεί γεληθά λα παξνπζηάδεη θάπνηα ζθάικαηα, ιφγσ ηεο κε ηθαλνπνίεζεο ησλ ζπλζεθψλ κηθξνχ αλνίγκαηνο θαη παξαιιειίαο ησλ αθηίλσλ πξνο ηνλ άμνλα. Τπάξρνπλ πέληε είδε κνλνρξσκαηηθψλ ζθαικάησλ: (α) ζθαηξηθή εθηξνπή, (β) θφκε, (γ) αζηηγκαηηζκφο, (δ) θακππιφηεηα πεδίνπ θαη (ε) παξακφξθσζε (Βι. [4] Κεθ. 9). Θα επηρεηξήζνπκε λα πεξηγξάςνπκε ζπλνπηηθά ην πξψην απφ απηά, κε ην νπνίν θαη ζα αζρνιεζνχκε ζηα πιαίζηα ηεο άζθεζεο. Με ηνλ φξν ζθαηξηθή εθηξνπή πεξηγξάθνπκε ηελ εμάξηεζε ηεο εζηηαθήο απφζηαζεο ελφο ζθαηξηθνχ θαθνχ απφ ηελ απφζηαζε ησλ αθηίλσλ απφ ηνλ θχξην άμνλά ηνπ, φπσο θαίλεηαη ζην ρ Όζν πην απνκαθξπζκέλεο είλαη νη αθηίλεο απφ ηνλ θχξην άμνλα ηνπ θαθνχ, ηφζν πην θνληά ζηνλ θαθφ ζπλαληψληαη (κηθξφηεξε εζηηαθή απφζηαζε). ρήκα 17.7 Ζ εζηηαθή απφζηαζε ελφο θαθνχ κεηαβάιιεηαη αλάινγα κε ηελ απφζηαζε κηαο αθηίλαο απφ ηνλ θχξην άμνλα ηνπ θαθνχ. Ζ εμάξηεζε απηή είλαη ε αηηία ηνπ ζθάικαηνο ζθαηξηθήο εθηξνπήο ελφο θαθνχ. Ζ ζθαηξηθή απηή εθηξνπή είλαη θαη ην πην ζεκαληηθφ απφ ηα κνλνρξσκαηηθά ζθάικαηα, κπνξεί δε ε κεηαβνιή ηεο εζηηαθήο απφζηαζεο σο ζπλάξηεζε ηεο απφζηαζεο ησλ αθηίλσλ απφ ηνλ άμνλα ηνπ θαθνχ λα θηάζεη, ζε έλαλ παρχ θαθφ, κέρξη θαη 50%. Πξέπεη λα ζεκεησζεί φηη θαη ζηνπο ιεπηνχο θαθνχο, ε ζθαηξηθή εθηξνπή κπνξεί λα πάξεη κεγάιεο ηηκέο. πγθεθξηκέλα γηα ιεπηφ θαθφ ζηαζεξήο εζηηαθήο απφζηαζεο, ε ηηκή ηεο ζθαηξηθήο εθηξνπήο θπκαίλεηαη απφ 5% κέρξη θαη πάλσ απφ 50%, αλάινγα κε ην ζπλδπαζκφ ησλ αθηίλσλ r 1, r πνπ δίλνπλ ηε ζπγθεθξηκέλε εζηηαθή απφζηαζε. Διαρηζηνπνίεζε ησλ ζθαηξηθψλ ζθαικάησλ επηηπγράλεηαη κε ηε ρξήζε ελφο δηαθξάγκαηνο πξηλ απφ ην θαθφ, ψζηε λα ρξεζηκνπνηνχληαη κφλνλ νη θεληξηθέο πεξηνρέο ελφο θαθνχ (πξνζέγγηζε κηθξψλ γσληψλ) Βάζνο Πεδίνπ Σν βάζνο πεδίνπ είλαη ην εχξνο ησλ απνζηάζεσλ ηνπ αληηθεηκέλνπ απφ ην θαθφ γηα ην νπνίν ν βαζκφο εζηίαζεο ηνπ εηδψινπ παξακέλεη πξαθηηθά ακεηάβιεηνο δειαδή, κε άιια ιφγηα, ην είδσιν παξακέλεη πξαθηηθά επθξηλέο (Βι. Βηβιηνγξαθία, Παξαπνκπή, Παξ. 3..4). Σν βάζνο πεδίνπ εμαξηάηαη απφ ηελ εζηηαθή απφζηαζε θαη ην άλνηγκα ηνπ δηαθξάγκαηνο ηνπ θαθνχ. 144

161 17.3 Μέζνδνο Γηα ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηνπ δείθηε δηάζιαζεο ελφο πιηθνχ ζα παξαηεξήζνπκε ηα θαηλφκελα δηάζιαζεο, γηα δηαθνξεηηθέο γσλίεο πξφζπησζεο θαη ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ Δμ. (17.1), ππνζέηνληαο φηη ν δείθηεο δηάζιαζεο ηνπ αέξα είλαη, ζε θαιή πξνζέγγηζε, ίζνο κε ηε κνλάδα. ηε ζπλέρεηα ζα κειεηήζνπκε ηηο ηδηφηεηεο ελφο ζπγθιίλνληνο θαθνχ. Έλαο ηξφπνο ππνινγηζκνχ ηεο εζηηαθήο απφζηαζεο ελφο θαθνχ κπνξεί λα ζηεξηρζεί ζηνλ πξνζδηνξηζκφ ησλ απνζηάζεσλ, s θαη s, ελφο αληηθεηκέλνπ θαη ηνπ εηδψινπ ηνπ απφ ηνλ ππφ κειέηε θαθφ θαη ηε ρξήζε ηεο Δμ. (17.3α). Μία ηζνδχλακε κέηξεζε ηεο εζηηαθήο απφζηαζεο κπνξεί λα γίλεη κε ηε ρξήζε παξάιιειεο δέζκεο αθηίλσλ. Γλσξίδνληαο φηη ε εζηία ελφο θαθνχ είλαη ην ζεκείν ζην νπνίν ζπγθεληξψλνληαη νη αθηίλεο πνπ εηζέξρνληαη ζην θαθφ παξάιιεια ζηνλ άμνλά ηνπ, κπνξνχκε λα κεηξήζνπκε ηελ εζηηαθή απφζηαζε ελφο ιεπηνχ θαθνχ, πξνζδηνξίδνληαο ην ζεκείν απηφ. Όζνλ αθνξά ηελ παξαηήξεζε ησλ ζθαικάησλ, κπνξεί θαλείο λα ρξεζηκνπνηήζεη, γηα κελ ηα ρξσκαηηθά ζθάικαηα, θίιηξα δηαθνξεηηθψλ ρξσκάησλ, γηα δε ηε ζθαηξηθή εθηξνπή, δηάθξαγκα κεηαβιεηνχ αλνίγκαηνο πξηλ απφ ηνλ ππφ κειέηε θαθφ Πεηξακαηηθή Γηάηαμε Γηα ηε κέηξεζε ηνπ δείθηε δηάζιαζεο ζα ρξεζηκνπνηεζνχλ : Μηα πεγή ιεπθνχ θσηφο Μηα κεηαιιηθή ζρηζκή Έλα νπηηθφ κέζν εκηθπιηλδξηθνχ ζρήκαηνο, θαη Έλα γσληφκεηξν. Γηα ηε κέηξεζε ηεο εζηηαθήο απφζηαζεο θαη ησλ ρξσκαηηθψλ θαη ζθαηξηθψλ ζθαικάησλ ελφο θαθνχ ρξεηαδφκαζηε: Σνλ ππφ κειέηε θαθφ Μηα πεγή ιεπθνχ θσηφο Μηα δηαθάλεηα πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί σο αληηθείκελν Έλα δεπγάξη θαθψλ πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζνχλ γηα ηε δηεχξπλζε-παξαιιειία ηεο δέζκεο θσηφο Μηα ζεηξά δηαθξαγκάησλ γηα ηελ επηινγή αθηίλσλ ζε δηαθνξεηηθέο απνζηάζεηο απφ ηνλ άμνλα ηνπ θαθνχ Μηα ζεηξά ρξσκαηηθψλ θίιηξσλ γηα ηελ επηινγή δηαθνξεηηθψλ κεθψλ θχκαηνο ηεο δέζκεο. Μηα νζφλε γηα ηελ παξαηήξεζε πξαγκαηηθψλ εηδψισλ Μηα νπηηθή ηξάπεδα γηα ηελ ζηήξημε ησλ νπηηθψλ θαη ηε κέηξεζε ησλ απνζηάζεσλ. Βηβιηνγξαθία 1. E. Hecht, Οπηηθή, Schaum's Outline Series, Δθδφζεηο ΔΠΗ, Αζήλα M. Young, Οπηηθή θαη Λέηδεξ, Παλεπηζηεκηαθέο Δθδφζεηο Δ.Μ.Π., Αζήλα Η.Δ. ππξηδέιε, Θέκαηα Οπηηθήο, ηεχρνο α, (Θεζζαινλίθε 1976). 4. F.A. Jenkins θαη H.E. White, Fundamentals of Optics, McGraw-Hill, ΝΤ D.R. Khanna θαη H.R. Gulati, Fundamentals of Optics, ed. R. Chand & Co., New Delhi F.G. Smith - J.H. Thomson, Optics, John Wiley Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα 010). 145

162 17.5 Δθηέιεζε Πξνζδηνξηζκόο ηνπ δείθηε δηάζιαζεο πιηθνύ 1. Σνπνζεηήζηε ηελ πεγή ιεπθνχ θσηφο ζηελ νπηηθή ηξάπεδα θαη ην γσληφκεηξν ζην επηθιηλέο ζηήξηγκά ηνπ (πάλσ ζηελ νπηηθή ηξάπεδα), κε ηε δηεχζπλζε 0 ν -0 ν παξάιιεια ζηνλ άμνλα ηεο ηξάπεδαο.. πλδπάδνληαο, ζε έλα ζηήξηγκα ακέζσο κεηά ηελ πεγή ιεπθνχ θσηφο, ηα κεηαιιηθά δηαθξάγκαηα απιήο ζρηζκήο θαη πνιιαπιψλ ζρηζκψλ, θαηεπζχλεηε κία ιεπηή δέζκε θσηφο παξάιιεια ζηε δηεχζπλζε 0 ν -0 ν ηνπ γσληνκέηξνπ. 3. Σνπνζεηήζηε ηνλ εκηθπιηλδξηθφ θαθφ ζην γσληφκεηξν, κε ην θέληξν ηνπ ζηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ γσληνκέηξνπ θαη κε ηελ επίπεδε πιεπξά ηνπ πξνο ηελ πεγή, θαηά κήθνο ηεο επζείαο COMPONENT. 4. Γηα γσλίεο πξφζπησζεο απφ 5 ν έσο 85 ν θαη κε βήκα 5 ν 10 ν, ζεκεηψζηε ηηο αληίζηνηρεο γσλίεο δηάζιαζεο. Καηαρσξήζηε ηηο κεηξήζεηο ζαο ζηε ζηήιε (ζ ) Α ηνπ Πίλαθα Η. Πίλαθαο Ι ζ 1 (ζ ) Α sin(ζ ) Α (ζ ) Β sin(ζ ) B 0 ν 5 ν Δπαλαιάβεηε ηηο κεηξήζεηο ηνπ βήκαηνο 4, γηα δηεχζπλζε πξφζπησζεο ζπκκεηξηθή ηεο πξνεγνχκελεο, σο πξνο ηελ θάζεην ζηελ επίπεδε πιεπξά ηνπ εκηθπιηλδξηθνχ θαθνχ, θαη θαηαρσξήζηε ηα απνηειέζκαηά ζαο ζηε ζηήιε (ζ ) Β ηνπ Πίλαθα Η Πξνζδηνξηζκόο ηεο εζηηαθήο απόζηαζεο ζπγθιίλνληνο θαθνύ 1. Σνπνζεηήζηε ηελ πεγή ιεπθνχ θσηφο ζηελ αξρή ηεο νπηηθήο ηξάπεδαο.. Σνπνζεηήζηε ηε δηαθάλεηα-αληηθείκελν (δηαζηαπξσκέλα βέιε-θχθινο) ζε έλα ζηήξηγκα επί ηεο νπηηθήο ηξάπεδαο, ακέζσο κεηά ηελ πεγή ιεπθνχ θσηφο. 3. Σνπνζεηήζηε ηε ιεπθή νζφλε παξαηήξεζεο ζην ηέξκα ηεο νπηηθήο ηξάπεδαο. 4. Σνπνζεηήζηε ην θαθφ κε ηελ άγλσζηε εζηηαθή απφζηαζε θάπνπ αλάκεζα, έηζη ψζηε λα εζηηάζεηε ηε δηαθάλεηα-αληηθείκελν ζηελ νζφλε παξαηήξεζεο. 5. εκεηψζηε ηνλ πξνζαλαηνιηζκφ θαη ην κέγεζνο ηνπ εηδψινπ ζε ζρέζε κε απηά ηνπ αληηθεηκέλνπ. 6. Μεηξήζηε ζε απηή ηελ θαηάζηαζε ηηο απνζηάζεηο s θαη s. 7. Μεηαθηλψληαο ην θαθφ, κεηαβάιιεηε (απμάλνληαο) ηελ απφζηαζε s κε βήκαηα 1 cm, cm θαη ζηε ζπλέρεηα 3 cm, γηα ηηκέο ηνπ s απφ 9 cm έσο 39 cm, θαη κεηξήζηε ηηο αληίζηνηρεο απνζηάζεηο s. Καηαρσξήζηε ηηο κεηξήζεηο ζαο ζηνλ Πίλαθα ΗΗ. 146

163 Πίλαθαο ΙΙ s(cm) s (cm) 1/s + 1/s (cm -1 ) 1/f(cm -1 ) f(cm) Υξωκαηηθά ζθάικαηα απινύ θαθνύ 1. Με ηελ νζφλε παξαηήξεζεο ζηα 60 cm κεηαθηλήζηε ην θαθφ ψζηε λα εζηηάζεηε ην είδσιν ηνπ λήκαηνο ηεο ιάκπαο πάλσ ζηελ νζφλε.. Σνπνζεηήζηε ην δηάθξαγκα, κε έλα άλνηγκα κέρξη mm, ζε πεξηθεξεηαθέο πεξηνρέο ηνπ θαθνχ (πάλσ, θάησ, δεμηά, αξηζηεξά) θαη παξαηεξήζηε ηνλ ρξσκαηηθφ δηαρσξηζκφ ηνπ εηδψινπ. εκεηψζηε ηηο παξαηεξήζεηο ζαο. 3. Δπαλαηνπνζεηήζηε ην ζηήξηγκα κε ηε δηαθάλεηα-αληηθείκελν θνληά ζηελ πεγή ηνπ ιεπθνχ θσηφο, θαη ηελ νζφλε παξαηήξεζεο γχξσ ζηα 60 cm. 4. Σνπνζεηήζηε, ζην ζηήξηγκα κε ην θαθφ, ην θίιηξν κπιε (Μ) ρξψκαηνο θαη κεηαθηλήζηε ην θαθφ κέρξηο φηνπ ζρεκαηηζζεί επθξηλψο ην είδσιν ηνπ αληηθεηκέλνπ ζηελ νζφλε. Μεηξήζηε θαη θαηαγξάςηε ηηο ηηκέο ησλ απνζηάζεσλ s Μ = θαη s Μ = 5. Αληηθαηαζηήζηε ην θίιηξν κπιε ρξψκαηνο κε ην θίιηξν θφθθηλνπ (Κ) ρξψκαηνο θαη επαλαιάβεηε ηε δηαδηθαζία θαη ηηο κεηξήζεηο ηνπ πξνεγνπκέλνπ βήκαηνο, θαη θαηαγξάςηε ηηο ηηκέο ησλ απνζηάζεσλ s K =.. θαη s K = θαηξηθά ζθάικαηα απινύ θαθνύ 1. Αθαηξέζηε ην ζηήξηγκα κε ηε δηαθάλεηα-αληηθείκελν θαη ηνπνζεηήζηε ηελ νζφλε ζην άθξν ηεο νπηηθήο ηξάπεδαο.. Μεηαθηλήζηε ην ζηήξηγκα κε ην θαθφ κέρξηο φηνπ εζηηαζηεί ην εξπζξνππξσκέλν λήκα ηεο ιάκπαο πάλσ ζηελ νζφλε. 3. Σνπνζεηήζηε ζην ίδην ζηήξηγκα κε ην θαθφ, ην δηάθξαγκα κεηαβιεηνχ αλνίγκαηνο, κε άλνηγκα -3 mm, ζην θέληξν ηνπ θαθνχ. 4. Παξαηεξήζηε ηελ πνηφηεηα εζηίαζεο, κε θαη ρσξίο ην δηάθξαγκα κηθξνχ αλνίγκαηνο θαη θαηαγξάςηε ηηο παξαηεξήζεηο ζαο Βάζνο Πεδίνπ 1. Αθαηξέζηε ην ζηήξηγκα κε ηε δηαθάλεηα-αληηθείκελν θαη ηνπνζεηήζηε ηε ιεπθή νζφλε παξαηήξεζεο ζηε ζέζε 55 cm.. Μεηαθηλήζηε ην θαθφ θαηά κήθνο ηεο ηξάπεδαο, κέρξηο φηνπ παξαηεξήζεηε ζηελ νζφλε ην είδσιν ηνπ εξπζξνππξσκέλνπ ειηθνεηδνχο λήκαηνο ηεο ιάκπαο. 3. Πξνζδηνξίζηε ην βάζνο πεδίνπ κεηαθηλψληαο ηελ νζφλε παξαηήξεζεο κπξνο-πίζσ: D =

164 4. Σνπνζεηήζηε, ζην ίδην ζηήξηγκα κε ην θαθφ, ην δηάθξαγκα κε κηθξφ άλνηγκα. 5. Πξνζδηνξίζηε ην λέν βάζνο πεδίνπ D = Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Πξνζδηνξηζκόο ηνπ δείθηε δηάζιαζεο πιηθνύ. 1. Απφ ηηο κεηξήζεηο πνπ πήξαηε ζηελ Παξάγξ , ππνινγίζηε ηηο ηηκέο ησλ sin(ζ ) Α θαη sin(ζ ) Β γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηεο γσλίαο πξφζπησζεο ζ 1, θαη θαηαρσξήζηε ηηο ζηηο αληίζηνηρεο ζηήιεο ηνπ Πίλαθα Η.. ρεδηάζηε ζε ραξηί κηιιηκεηξέ ην γξάθεκα ηνπ sinζ σο ζπλάξηεζε ηνπ sinζ 1, γηα φιεο ηηο ηηκέο ηεο γσλίαο πξφζπησζεο, ζ 1. Πξνζνρή: Να γίλεη έλα κφλν δηάγξακκα, κε ηεηκεκέλε (άμνλα x) ην sinζ 1 θαη ηεηαγκέλε (άμνλα y) ην sinζ θαη γηα ηηο δχν πεξηπηψζεηο [(sinζ ) Α θαη (sinζ ) Β ] ζην ίδην δηάγξακκα. 3. Πξνζδηνξίζηε γξαθηθά ηελ θιίζε ησλ επζεηψλ πνπ ραξάμαηε γηα ηηο δχν πεξηπηψζεηο Α θαη Β, θαη απφ απηήλ ην δείθηε δηάζιαζεο n, γηα ηηο δχν πεξηπηψζεηο, θαη ηε κέζε ηηκή n (ησλ δχν πεξηπηψζεσλ) ηνπ δείθηε δηάζιαζεο ηνπ εκηθπιηλδξηθνχ θαθνχ, θαη εθηηκήζηε ην ζθάικα ηνπ, δn [βι. Παξάγξ. Γ.5. Δμ. (Γ.30)]. Δθθξάζηε ην απνηέιεζκα σο n δn Πξνζδηνξηζκόο ηεο εζηηαθήο απόζηαζεο ζπγθιίλνληνο θαθνύ. 1. Σν είδσιν πνπ παξαηεξήζαηε ζηελ νζφλε είλαη πξαγκαηηθφ ή θαληαζηηθφ; Πψο βγάδεηε ην ζπκπέξαζκα απηφ;. Σν είδσιν πνπ παξαηεξείηε είλαη επζχ ή αλάζηξνθν; Δμεγήζηε γξαθηθά γηαηί. 3. Όηαλ ην s απμάλεη, ηη ζπκβαίλεη ζην s θαη γηαηί; 4. Σν είδσιν κεγαιψλεη ή κηθξαίλεη, φηαλ ην s απμάλεη; Δμεγήζηε γηαηί, κε βάζε ηελ Δμ. (17.3β) θαη θάλνληαο έλα απιφ ζρήκα. 5. Με ηη ζα ηζνχηαη ην s φηαλ ην s γίλεη πάξα πνιχ κεγάιν; Αλαθέξεηε έλα ηέηνην παξάδεηγκα απφ ηνλ θπζηθφ θφζκν. 6. Με βάζε ηηο κεηξήζεηο πνπ θαηαρσξήζαηε ζηνλ Πίλαθα ΗΗ, ππνινγίζηε ηε κέζε εζηηαθή απφζηαζε f, ηνπ θαθνχ θαη ην ζθάικα ηεο δf [Παξ. Γ.3.5, Δμ. (Γ.10)]. Γξάςηε ην απνηέιεζκα κε ηε κνξθή f ± δf Υξωκαηηθά ζθάικαηα 1. Πεξηγξάςηε ην ρξσκαηηθφ δηαρσξηζκφ ηνπ εηδψινπ ηνπ λήκαηνο ηεο πεγήο, θαζψο ην δηάθξαγκα κεηαθηλείηαη καθξηά απφ ηνλ νπηηθφ άμνλα ηνπ θαθνχ. Γηαηί ην ρξσκαηηθφ ζθάικα γίλεηαη πην έληνλν, φηαλ ην δηάθξαγκα βξίζθεηαη αξθεηά καθξηά απφ ηνλ νπηηθφ άμνλα;. Απφ ηηο κεηξήζεηο ησλ s θαη s πνπ πήξαηε, ρξεζηκνπνηψληαο δχν θίιηξα κε δψλεο δηέιεπζεο ζην θφθθηλν (Κ) θαη ζην κπιε (Μ) αληίζηνηρα, πξνζδηνξίζηε ηελ εζηηαθή απφζηαζε ηνπ θαθνχ γηα ηα δχν δηαθνξεηηθά ρξψκαηα, θαζψο θαη ηα αληίζηνηρα ζθάικαηα, θαη εθθξάζηε ηα απνηειέζκαηά ζαο κε ηε κνξθή f Κ δf Κ θαη f Μ δf Μ θαηξηθά ζθάικαηα 1. Πψο επηδξά ζηελ πνηφηεηα ηνπ εηδψινπ ην κέγεζνο ηνπ δηαθξάγκαηνο ;. Πνην άλνηγκα ηνπ δηαθξάγκαηνο ζα έδηλε ηελ θαιχηεξε πνηφηεηα εηδψινπ; 148

165 Βάζνο Πεδίνπ 1. Πψο κεηαβάιιεηαη ην βάζνο πεδίνπ κε ην άλνηγκα ηνπ δηαθξάγκαηνο;. Γηαηί δελ είλαη εθηθηφ έλα βάζνο πεδίνπ απείξνπ κήθνπο; 149

166 Άζθεζε 18 Οπηηθό κηθξνζθόπην 18.1 θνπόο θνπφο ηεο άζθεζεο είλαη ε εμνηθείσζε ησλ ζπνπδαζηψλ κε ηελ νπηηθή κηθξνζθνπία θαη ε κειέηε κηθξνδνκψλ (κεγέζνπο κηθξνκέηξσλ) κε δηαθνξεηηθέο κεγεζχλζεηο, νη νπνίεο επηηπγράλνληαη κε ρξήζε θαθψλ δηαθνξεηηθήο εζηηαθήο απφζηαζεο. Θα κειεηεζνχλ παξαζθεπάζκαηα απφ ην βηφθνζκν θαζψο θαη δείγκαηα θξπζηάιισλ θαη νξπθηψλ. 18. Θεσξία Ζ νπηηθή κηθξνζθνπία απνηειεί ηελ απινχζηεξε κέζνδν κεγέζπλζεο κηθξψλ αληηθεηκέλσλ θαη κειέηεο ηνπ κηθξφθνζκνπ. Δίλαη έλα ρξήζηκν εξγαιείν παξαηήξεζεο θαη αλάιπζεο γηα ηε κειέηε ηνπ κηθξφθνζκνπ ζηε Βηνινγία, ηελ Ηαηξηθή, ηελ Οξπθηνινγία, ηε Μηθξνειεθηξνληθή θαη ηε Μεραληθή ησλ κηθξν-ζπζηεκάησλ. ηελ θιαζηθή κηθξνζθνπία θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο κειέηεο έκβησλ κηθξν-νξγαληζκψλ, γηα λα αλαδεηρζνχλ θαη λα θαλνχλ ηα πξνο κειέηε θχηηαξα ή νη ππνθπηηαξηθέο δνκέο ελφο δείγκαηνο, έρνπλ αλαπηπρζεί δηάθνξεο ηερληθέο ζηεξέσζεο θαη ρξψζεο, επηιεθηηθέο γηα νξηζκέλα θχηηαξα ή νξγαλίδηα θπηηάξσλ. Βέβαηα ε θαηάιιειε επεμεξγαζία ησλ δεηγκάησλ γηα παξαηήξεζε ζην νπηηθφ κηθξνζθφπην θαηαζηξέθεη ηειηθά ηε βησζηκφηεηα θαη ηε ιεηηνπξγηθφηεηα ησλ θπηηάξσλ ζην δείγκα θαη απηφ απνηειεί έλα πξφβιεκα, γηα ηελ επίιπζε ηνπ νπνίνπ αλαδεηήζεθαλ λέεο ηερληθέο κηθξνζθνπηθήο απεηθφληζεο, φπσο π.ρ. ε κηθξνζθνπία ζάξσζεο κε αθίδα. Παξ' φια απηά ην απιφ νπηηθφ κηθξνζθφπην παξακέλεη θαη ζήκεξα ην πιένλ δηαδεδνκέλν εξγαιείν ζηα εξγαζηήξηα κηθξναλαιχζεσλ. Σν νπηηθφ κηθξνζθφπην πεξηιακβάλεη έλα ζχζηεκα ζπγθιηλφλησλ θαθψλ: ηνλ πξνζνθζάικην θαθό Φ 1, θαη ηνλ αληηθεηκεληθό θαθό Φ. Ζ εζηηαθή απόζηαζε f 1 ηνπ πξνζνθζαικίνπ είλαη κεγαιχηεξε απφ εθείλελ ηνπ αληηθεηκεληθνχ f. Οη θαθνί απηνί είλαη θαηάιιεια επηιεγκέλνη γηα ηελ ειαρηζηνπνίεζε ησλ ζθαικάησλ, φπσο ε ρξσκαηηθή ή ε ζθαηξηθή εθηξνπή (βι. Άζθεζε 17). Σν πξνο παξαηήξεζε αληηθείκελν ΑΒ, ηνπνζεηείηαη πξηλ απφ ηελ θχξηα εζηία Δ 1, ηνπ αληηθεηκεληθνχ θαθνχ Φ 1 (ρ. 18.1). Αξρηθά ζρεκαηίδεηαη έλα πξαγκαηηθφ, κεγαιχηεξν ηνπ αληηθεηκέλνπ είδσιν Α'Β', πνπ απνηειεί ην αληηθείκελν γηα ην πξνζνθζάικην ζχζηεκα θαθψλ θαη βξίζθεηαη θνληά ζηελ εζηία Δ, ηνπ πξνζνθζάικηνπ θαθνχ Φ. Ο θαθφο Φ ιεηηνπξγεί σο κεγεζπληηθόο θαθόο θαη δίλεη θαληαζηηθό είδσιν αληεζηξακκέλν (βι. Άζθεζε 17). Σν ηειηθφ είδσιν Α''Β'' βξίζθεηαη ζηελ ειάρηζηε απόζηαζε επθξηλνύο νξάζεσο Γ (ζπκβαηηθά ζεσξνχκε Γ = 5 cm). Ζ απφζηαζε L, κεηαμχ ηεο δεπηεξεχνπζαο εζηίαο ηνπ αληηθεηκεληθνχ (F 1 ) θαη ηεο θπξίαο εζηίαο ηνπ πξνζνθζάικηνπ (F ) είλαη γλσζηή σο κήθνο ζσιήλα ή νπηηθό κήθνο ηνπ κηθξνζθνπίνπ. 150

167 ρήκα 18.1 ρεκαηηθή παξάζηαζε ηεο πνξείαο ησλ αθηίλσλ ζην νπηηθφ κηθξνζθφπην. Μεγέζπλζε, Μ, ελφο κηθξνζθνπίνπ θαιείηαη ν ιφγνο ηεο γσλίαο νξάζεσο, ζ, ππφ ηελ νπνίαλ βιέπνπκε ην θαληαζηηθφ είδσιν απφ ην κηθξνζθφπην, πξνο ηε γσλία νξάζεσο, ζ γν, ππφ ηελ νπνία βιέπνπκε ην αληηθείκελν ΑΒ δηα γπκλνχ νθζαικνχ, φηαλ ην αληηθείκελν βξίζθεηαη ζηελ ειάρηζηε απφζηαζε επθξηλνχο νξάζεσο (ρ. 18.). M (18.1) γν ρήκα 18. ρεκαηηθή παξάζηαζε ηεο γσλίαο επθξηλνχο νξάζεσο. Όηαλ απηέο νη γσλίεο είλαη κηθξέο ( tan ), ε κεγέζπλζε δίλεηαη απφ ηε ζρέζε: tan A B M (18.) tan AB Με ηε βνήζεηα ηεο γεσκεηξίαο ηνπ ρ θαη ηνπ γλσζηνχ ηχπνπ (βι. Άζθεζε 17): y s y s (18.3) κπνξνχκε λα δείμνπκε φηη ηειηθά ε κεγέζπλζε παίξλεη ηελ κνξθή: 151

168 M L mπl m m (18.4) π α f f f 1 φπνπ m π ε κεγέζπλζε ηνπ πξνζνθζαικίνπ θαη m α ε κεγέζπλζε ηνπ αληηθεηκεληθνχ. Σφζν ζηνπο αληηθεηκεληθνχο θαθνχο, φζν θαη ζηνπο πξνζνθζάικηνπο ησλ κηθξνζθνπίσλ, ε κεγέζπλζε αλαγξάθεηαη ζπκβνιηθά σο m, π.ρ. 40, κπνξνχκε ζπλεπψο λα βξνχκε ηελ κεγέζπλζε ελφο κηθξνζθνπίνπ κε απιφ πνιιαπιαζηαζκφ ησλ ηηκψλ πνπ αλαγξάθνληαη πάλσ ζηνπο δπν θαθνχο. Δπεηδή ν θσηηζκφο ηνπ δείγκαηνο θαηαλέκεηαη θαηά ηε κεγέζπλζή ηνπ ζε πνιχ κεγαιχηεξε επηθάλεηα, ε ηειηθή εηθφλα είλαη ακπδξή θαη απαηηείηαη επνκέλσο ηζρπξφο θσηηζκφο ηνπ αληηθεηκέλνπ. Ο ηζρπξφο απηφο θσηηζκφο επηηπγράλεηαη κε ηε βνήζεηα κηαο θσηεηλήο πεγήο θαη ελφο θαθνχ πνπ ζπγθεληξψλεη ην θσο πάλσ ζην αληηθείκελν. Ο θσηηζκφο πξέπεη λα πξνζαξκφδεηαη θαηάιιεια φηαλ κεηαβάιιεηαη ε κεγέζπλζε (αχμεζε ηεο κεγέζπλζεο - αχμεζε ηνπ θσηηζκνχ). Με ηε βνήζεηα ηνπ κηθξνζθνπίνπ κπνξνχκε ζεσξεηηθά λα επηηχρνπκε νπνηαδήπνηε κεγέζπλζε ζέινπκε κε θαηάιιειε επηινγή ησλ κεγεζψλ πνπ ππεηζέξρνληαη ζηελ Δμ. (18.4). Απηφ φκσο δελ έρεη θακία πξαθηηθή ζεκαζία αλ δελ κπνξνχκε λα δηαθξίλνπκε ιεπηνκέξεηεο ηνπ αληηθεηκέλνπ. Ζ ηθαλφηεηα κεγέζπλζεο κηθξνδνκψλ ζην νπηηθφ κηθξνζθφπην πεξηνξίδεηαη απφ ην δηαθξηηηθό ηνπ όξην. Ωο δηαθξηηηθφ φξην ηνπ κηθξνζθνπίνπ νξίδεηαη ε ειάρηζηε απφζηαζε δχν ζεκείσλ ηνπ δείγκαηνο, ηα νπνία δίλνπλ είδσια πνπ λα δηαθξίλνληαη σο μερσξηζηά ζεκεία. Σν δηαθξηηηθφ φξην ηνπ κηθξνζθνπίνπ, R, δίλεηαη απφ ηε ζρέζε (βι. Βηβιηνγξαθηθή παξαπνκπή 3, Παξάγξ ): R 0,61 (18.5) A φπνπ ι είλαη ην κήθνο θχκαηνο ηνπ ρξεζηκνπνηνχκελνπ θσηφο ζην θελφ θαη Α ην αξηζκεηηθό άλνηγκα ηνπ θαθνχ, ην νπνίν αλαγξάθεηαη επίζεο πάλσ ζηνλ θχιηλδξν ηνπ αληηθεηκεληθνχ θαθνχ. Ο πεξηνξηζκφο ζηελ ηηκή ηνπ δηαθξηηηθνχ νξίνπ ηνπ κηθξνζθνπίνπ νθείιεηαη ζην θαηλφκελν ηεο πεξίζιαζεο ηνπ θσηφο. Σν αληίζηξνθν ηνπ δηαθξηηηθνχ νξίνπ ηνπ κηθξνζθνπίνπ ιέγεηαη δηαθξηηηθή ηθαλόηεηα, δ. ην νπηηθό κηθξνζθόπην, ην κηθξνζθφπην δειαδή πνπ ιεηηνπξγεί κε νξαηφ θσο, ν πεξηνξηζκφο ζηε δηαθξηηηθή ηνπ ηθαλφηεηα είλαη ηεο ηάμεο ηνπ κήθνπο θχκαηνο, ι, ηνπ ρξεζηκνπνηνχκελνπ θσηφο. πγθεθξηκέλα, ην δηαθξηηηθφ φξην ηνπ κηθξνζθνπίνπ δελ κπνξεί λα ππεξβεί ην ήκηζπ ηνπ κήθνπο θχκαηνο ηνπ ρξεζηκνπνηνχκελνπ θσηφο (γηα ζπλεζηζκέλν αληηθεηκεληθφ θαθφ) θαη επνκέλσο, γηα ην θνηλφ νπηηθφ κηθξνζθφπην, ην δηαθξηηηθφ φξην δελ κπνξεί λα είλαη κηθξφηεξν απφ 0, κm. Τπελζπκίδνπκε, γηα ζχγθξηζε, φηη ην δηαθξηηηθφ φξην ηνπ νθζαικνχ, ζηελ ειάρηζηε απφζηαζε επθξηλνχο νξάζεσο ησλ 5 cm, είλαη πεξίπνπ 0,1 mm θαη δείρλεη ηελ ηθαλφηεηα ηνπ νθζαικνχ λα δηαθξίλεη σο ρσξηζηέο ηηο παξάιιειεο εθείλεο γξακκέο πνπ έρνπλ ηελ ειάρηζηε απηή απφζηαζε κεηαμχ ηνπο. Μπνξεί λα επηηχρεη θαλείο κηθξφηεξν δηαθξηηηθφ φξην αλ ρξεζηκνπνηήζεη θαηαδπηηθό θαθό, παξεκβάιινληαο κηα ζηαγφλα πγξνχ κε δείθηε δηάζιαζεο ίδην κε απηφλ ηνπ θαθνχ (ζπλήζσο θεδξέιαην πνπ έρεη δείθηε δηάζιαζεο 1,5) κεηαμχ ηνπ δείγκαηνο θαη ηνπ αληηθεηκεληθνχ θαθνχ. Με απηφλ ηνλ ηξφπν κεηαβάιιεηαη ην αξηζκεηηθφ άλνηγκα ηνπ αληηθεηκεληθνχ θαθνχ, θαζψο θαη ην γσληαθφ άλνηγκα Φ ησλ αθηίλσλ σο εμήο: Όηαλ βπζίδνπκε ην αληηθείκελν κέζα ζε δηαθαλέο πγξφ κε δείθηε δηάζιαζεο ίζν κε εθείλνλ ηνπ θαηαδπηηθνχ θαθνχ, νη αθηίλεο πνπ εμέξρνληαη απφ ην αληηθείκελν δελ δηαζιψληαη, εθφζνλ απνπζηάδεη ην ζηξψκα ηνπ αέξα θαη έηζη δηαδίδνληαη επζχγξακκα θαη κέζα ζηνλ θαθφ, νπφηε δηαζιψληαη γηα πξψηε θνξά φηαλ θζάζνπλ ζηελ πίζσ επηθάλεηα ηνπ θαθνχ. Σα δείγκαηα ζην νπηηθφ κηθξνζθφπην κπνξνχλ λα έρνπλ πάρνο 1 60 κm (ζπλήζσο 4 5 κm), ψζηε λα είλαη δπλαηφο ν θσηηζκφο ηνπο, δειαδή λα δηέξρεηαη κέζα απφ ην δείγκα ην 15

169 θσο ηεο θσηεηλήο πεγήο ηνπ κηθξνζθνπίνπ. Γηα παρχηεξα ή «αδηαθαλή» δείγκαηα ρξεζηκνπνηείηαη πιάγηνο θσηηζκφο ηνπ δείγκαηνο (κέζσ αλάθιαζεο) θαη φρη θσηηζκφο δηέιεπζεο. ηα ζχγρξνλα νπηηθά κηθξνζθφπηα, αληί ηνπ κνλνχ πξνζνθζάικηνπ, ππάξρεη δηνπηξηθφ ζχζηεκα γηα ηελ παξαηήξεζε θαη κε ηα δχν κάηηα, θαζψο θαη πνιιέο άιιεο βειηηψζεηο, φπσο ζχζηεκα θσηνγξάθεζεο, βηληενζθφπεζεο θ.ιπ Άιια είδε κηθξνζθνπίσλ Τπάξρνπλ πνιιέο παξαιιαγέο ηνπ νπηηθνχ κηθξνζθνπίνπ, φπσο ην κηθξνζθφπην ζθνηεηλνχ πεδίνπ, ην κηθξνζθφπην θζνξηζκνχ, ην κηθξνζθφπην αληηζέζεσο θάζεσλ, ην κηθξνζθφπην ζπκβνιήο, ην κηθξνζθφπην πφισζεο θαη ην ππεξκηθξνζθφπην γηα ηελ παξαηήξεζε θηλνχκελσλ αληηθεηκέλσλ. εκαληηθή εμέιημε ζηνλ ηνκέα ηεο κηθξνζθνπίαο έθεξε ε αλαθάιπςε ηνπ ειεθηξνληθνύ κηθξνζθνπίνπ, πνπ πνιιαπιαζίαζε ζεκαληηθά ηελ ηθαλφηεηα κεγέζπλζεο ηνπ κηθξφθνζκνπ κε ηαπηφρξνλε βειηίσζε ηεο δηαθξηηηθήο ηθαλφηεηαο. ην ειεθηξνληθφ κηθξνζθφπην αληί ηνπ θσηφο ρξεζηκνπνηνχληαη ειεθηξφληα, ην κήθνο θχκαηνο ησλ νπνίσλ είλαη πνιχ κηθξφηεξν απφ νπνηνδήπνηε κήθνο θχκαηνο θσηνλίσλ. Πξάγκαηη, φπσο είλαη γλσζηφ, ζε ειεθηξφλην (κε κάδα m e = 9, kg) πνπ θηλείηαη κε ηαρχηεηα π, αληηζηνηρεί κήθνο θχκαηνο, ι ει θαηά de Broglie, πνπ είλαη ίζν κε h ει (18.6) m e φπνπ h = ζηαζεξά ηνπ Planck = 6, J.s. Γηα παξάδεηγκα, αλ έλα ειεθηξφλην επηηαρχλεηαη κε κηα δηαθνξά δπλακηθνχ V = V, νπφηε ζα έρεη νξκή m e π = (em e V) 1/ = 6, kg.m.s -1 (κε e = 1, C ην θνξηίν θαη m e = 9, kg ηε κάδα ηνπ ειεθηξνλίνπ) ην κήθνο θχκαηνο ι ει, ηνπ ειεθηξνλίνπ βξίζθεηαη πεξίπνπ ίζν κε 0,01 nm, πεξίπνπ θνξέο κηθξφηεξν απφ ην ραξαθηεξηζηηθφ κήθνο θχκαηνο νξαηνχ θσηφο. Όιν ην ζχζηεκα ηνπ ειεθηξνληθνχ κηθξνζθνπίνπ πξέπεη λα βξίζθεηαη κέζα ζε πςειφ θελφ γηα λα απνθεπρζεί απνξξφθεζε ή ζθέδαζε ηεο δέζκεο ησλ ειεθηξνλίσλ απφ ηα κφξηα ηνπ αέξα. Απαηηνχληαη δείγκαηα πνιχ κηθξνχ πάρνπο (5 150 nm, ζπλήζσο nm). Ζ ηνκή ησλ δεηγκάησλ γίλεηαη κε ππεξκηθξνηφκνπο, θαη έπεηηα ηα δείγκαηα θαζίζηαληαη αγψγηκα (αλ είλαη ειεθηξηθά νπδέηεξα). Δίλαη θπζηθφ φηη, κε φιεο απηέο ηηο δηαδηθαζίεο, θαηαζηξέθνληαη νη δσηηθέο θαη ιεηηνπξγηθέο ηνπο ηδηφηεηεο. Παξαιιαγή ηνπ θνηλνχ ειεθηξνληθνχ κηθξνζθνπίνπ είλαη ην ειεθηξνληθό κηθξνζθόπην ζάξσζεο (Scanning Electron Microscopy, SEM). Μεηά ηελ αλαθάιπςε ηεο αθηηλνβνιίαο ιέηδεξ αλαπηχρζεθαλ λέεο ηερληθέο κηθξνζθνπίαο, θάησ απφ ηνλ γεληθφ ηίηιν κηθξνζθνπία ζάξσζεο κε αθίδα, νη νπνίεο άξρηζαλ λα εθαξκφδνληαη εξγαζηεξηαθά απφ ην Ζ κηθξνζθνπία ζάξσζεο κε αθίδα παξέρεη ηξηζδηάζηαηεο απεηθνλίζεηο επηθαλεηψλ, επεθηείλνληαο ζεακαηηθά ηα πεδία ηεο νπηηθήο θαη ηεο ειεθηξνληθήο κηθξνζθνπίαο. Γελ απαηηείηαη εηδηθή επεμεξγαζία θαη έηζη απνθεχγεηαη ε πηζαλή θαηαζηξνθή ηνπ δείγκαηνο. Γελ έρεη ζεκαζία αλ ην δείγκα είλαη ειεθηξηθά αγψγηκν, φπσο ζηελ ειεθηξνληθή κηθξνζθνπία. Μπνξνχλ λα γίλνπλ επίζεο κεηξήζεηο θάησ απφ ζπλζήθεο επαθήο ηνπ δείγκαηνο κε ηελ αθίδα, επηηξέπνληαο έηζη ηελ θαηαγξαθή ησλ θπζηθψλ ή θαη ρεκηθψλ ηδηνηήησλ ηνπ δείγκαηνο, εθηφο απφ ηελ ηνπνγξαθηθή απεηθφληζε ηεο επηθάλεηάο ηνπ. 153

170 18.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Σν νπηηθφ κηθξνζθφπην ζπλίζηαηαη απφ έλα νπηηθό ζύζηεκα θαη έλα κεραληθφ ζχζηεκα, ην ζώκα. Σν ζψκα ηνπ κηθξνζθνπίνπ απνηειείηαη απφ κία βάζε, κε ηελ νπνία ην κηθξνζθφπην αθνπκπά ζηνλ πάγθν εξγαζίαο θαη νλνκάδεηαη ηξάπεδα ηνπ δείγκαηνο, θαη έλαλ θαηαθφξπθν ζσιήλα, κήθνπο 16 cm πεξίπνπ, ζηηο άθξεο ηνπ νπνίνπ βξίζθεηαη ην νπηηθφ ζχζηεκα ηνπ δείγκαηνο. ην νπηηθφ ζχζηεκα κεγέζπλζεο πεξηιακβάλνληαη νη δχν ζπγθιίλνληεο θαθνί, ν πξνζνθζάικηνο θαθφο (επάλσ) θαη ν αληηθεηκεληθφο θαθφο (θάησ). Όπσο αλαθέξακε θαη πην πάλσ (Παξάγξ. 18.), ν αληηθεηκεληθφο θαθφο έρεη κηθξφηεξε εζηηαθή απφζηαζε f 1, απφ ηνλ πξνζνθζάικην f. Σν πξνο κεγέζπλζε αληηθείκελν ηνπνζεηείηαη θάησ απφ ηνλ αληηθεηκεληθφ θαθφ πάλσ ζηελ ηξάπεδα ηνπ δείγκαηνο. Ζ απφζηαζε αληηθεηκέλνπ θαη αληηθεηκεληθνχ θαθνχ ξπζκίδεηαη απφ ηνλ ρεηξηζηή. Κάησ απφ ηελ ηξάπεδα ηνπ δείγκαηνο βξίζθεηαη κηα άιιε βάζε, πνπ πεξηιακβάλεη ην ζχζηεκα θσηηζκνχ ηνπ αληηθεηκέλνπ, ην νπνίν απνηειείηαη απφ κηα ηερλεηή πεγή θσηφο, ην ζπκππθλσηή, ηελ ίξηδα θαη έλα θάηνπηξν. Ο ζπκππθλσηήο απνηειείηαη απφ έλα ζχζηεκα θαθψλ, πνπ ζπιιέγνπλ θαη εζηηάδνπλ ην θσο ζην πξνο κεγέζπλζε αληηθείκελν. Ζ ίξηο είλαη έλα κεηαβιεηφ δηάθξαγκα πνπ ξπζκίδεη ηε δηάκεηξν ηεο θσηεηλήο δέζκεο πνπ πξνζπίπηεη ζην αληηθείκελν Αλαιώζηκα πιηθά γηα ηε κηθξνζθόπεζε 1. Αληηθεηκελνθόξνο πιάθα: Δίλαη κία γπάιηλε νξζνγψληα πιάθα (ζπλήζσο δηαζηάζεσλ 7,6,6 cm). Πάλσ ζε απηήλ ηνπνζεηνχκε ην δείγκα-παξαζθεχαζκα. Ζ αληηθεηκελνθφξνο πιάθα θαηά ηε κηθξνζθφπεζε ηνπνζεηείηαη πάλσ ζηελ αληηθεηκελνθφξν ηξάπεδα.. Καιππηξίδα: Δίλαη κία κηθξή ηεηξάγσλε γπάιηλε ή, ζπλήζσο, πιαζηηθή πιάθα (δηαζηάζεσλ 1,8 1,8 cm). ήκεξα ππάξρνπλ επίζεο θαιππηξίδεο δηαθφξσλ δηαζηάζεσλ. Υξεζηκεχεη γηα ηελ θάιπςε ηνπ δείγκαηνο πάλσ ζηελ αληηθεηκελνθφξν πιάθα, ηδηαίηεξα αλ απηφ είλαη ζε πγξή κνξθή (π.ρ. βηνινγηθά δείγκαηα), θαζψο επίζεο θαη γηα ηε ζπγθξάηεζε θαη νκαινπνίεζε ηεο επηθάλεηαο άιισλ δεηγκάησλ (π.ρ. ιεπηέο κεκβξάλεο). 3. Κεδξέιαην: Σν θεδξέιαην είλαη έλα εηδηθφ ιάδη πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζηε κηθξνζθφπεζε φηαλ ρξεζηκνπνηνχκε ηνλ θαηαδπηηθφ θαθφ 100. Σν φλνκα άιισζηε ηνπ θαθνχ νθείιεηαη ζην φηη ν θαθφο ζα πξέπεη λα θαηαδπζεί κέζα ζε κία ζηαγφλα θεδξέιαηνπ (νη θαθνί απηνί ιέγνληαη επίζεο θαη ειαηνθαηαδπηηθνί). 4. Μηθξνκεηξηθή πιάθα: Δίλαη κία εηδηθή αληηθεηκελνθφξνο πιάθα, πνπ ρξεζηκεχεη γηα ηε κέηξεζε ηεο δηάζηαζεο ηνπ δείγκαηνο. Γηαθέξεη απφ ηηο ζπλεζηζκέλεο «ιείεο» αληηθεηκελνθφξεο πιάθεο απφ ην γεγνλφο φηη θέξεη ζηελ επηθάλεηα ηεο ραξαγκέλε κηθξνκεηξηθή θιίκαθα. 154

171 ρήκα Φσηνγξαθία νπηηθνχ κηθξνζθνπίνπ, φπνπ ππνδεηθλχνληαη ηα βαζηθά κέξε πνπ ην απνηεινχλ. Βηβιηνγξαθία 1. H. D. Young, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σφκνο Β', Ζιεθηξνκαγλεηηζκόο, Οπηηθή, ύγρξνλε Φπζηθή, Παξάγξ. 36.4, 36.5 θαη 41.4, Δθδφζεηο Παπαδήζε (1994).. M. Young, Οπηηθή θαη Λέηδεξ, Κεθάιαην 3, Παλεπηζηεκηαθέο Δθδφζεηο Δ.Μ.Π. (008). 3. H.C. Ohanian, Φπζηθή, Σφκνο Β', Ζιεθηξνκαγλεηηζκόο - Οπηηθή, 4. Κ. Γ. Αιεμφπνπινο. Γεληθή Φπζηθή, Σφκνο 5 νο, Οπηηθή (1966). 5. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα Δθηέιεζε Δζηίαζε ηνπ κηθξνζθνπίνπ. 1. Σνπνζεηήζηε ηνλ αληηθεηκεληθφ θαθφ κε ηε κηθξφηεξε ηζρχ ζηε ζέζε παξαηήξεζεο. Σνπνζεηήζηε ζηελ ηξάπεδα ηνπ δείγκαηνο έλα απφ ηα έηνηκα παξαζθεπάζκαηα 3. Θέζηε ην ζπκππθλσηή ζηε ζέζε θσηεηλνχ πεδίνπ 4. Παξαθνινπζψληαο πξνζεθηηθά απφ ην πιάη, πιεζηάζηε ηνλ αληηθεηκεληθφ θαθφ πξνο ην παξαζθεχαζκα φζν κπνξείηε. Πξνζνρή! Γελ πξέπεη λα αθνπκπήζεη ν θαθφο ζηελ θαιππηξίδα, γηαηί κπνξεί λα θαηαζηξαθεί ή λα θαηαζηξέςεη ην παξαζθεχαζκα. 5. Παξαηεξψληαο κέζα απφ ηνλ πξνζνθζάικην, εζηηάζηε κε θαηάιιειεο κηθξέο θηλήζεηο ηνπ θνπκπηνχ ηξαρείαο ξχζκηζεο, κέρξηο φηνπ θαλεί έλα είδσιν ηνπ αληηθεηκέλνπ. 6. Πξνζαξκφζηε ηελ ίξηδα θαη ηελ έληαζε ηνπ θσηφο θαη θάληε ηηο ηειηθέο ιεπηέο ξπζκίζεηο, εάλ ρξεηάδεηαη, ψζηε λα νινθιεξσζεί ε εζηίαζε. 155

172 Μέηξεζε ηεο νιηθήο κεγέζπλζεο ηνπ κηθξνζθνπίνπ Γηα λα βξείηε ηελ αθξηβή ηηκή ηεο κεγέζπλζεο πξέπεη λα εξγαζζείηε σο εμήο: Παξαηεξείηε κε ην έλα κάηη, κέζα απφ ην κηθξνζθφπην ηελ αληηθεηκελνθφξν πιάθα κε ηε κηθξνκεηξηθή θιίκαθα, ε νπνία θαη απνηειεί ην πξνο κειέηε «αληηθείκελν», ελψ κε ην άιιν κάηη παξαηεξείηε ηελ θιίκαθα ελφο ππνδεθάκεηξνπ, ε νπνία βξίζθεηαη ζην ίδην χςνο κε ηε βάζε ηνπ δείγκαηνο, ζηελ ειάρηζηε απφζηαζε επθξηλνχο νξάζεσο, ίζε κε ~5 cm. Με θάπνηα εμάζθεζε ζα κπνξείηε λα δηαθξίλεηε ηα δχν αληηθείκελα ζαλ λα έρνπλ ππνζηεί ππέξζεζε θαη λα ζπγθξίλεηε έηζη ηα κεγέζε ηνπο. Με ηε βνήζεηα ηνπ ππνδεθακέηξνπ κεηξάηε ην κέγεζνο ηνπ θαληαζηηθνχ εηδψινπ (Α Β ) πνπ αληηζηνηρεί ζε νξηζκέλν κήθνο (ΑΒ) ηνπ αληηθεηκέλνπ, δειαδή ζε νξηζκέλν αξηζκφ ππνδηαηξέζεσλ ηεο κηθξνκεηξηθήο θιίκαθαο, θαη ππνινγίδεηε έηζη ηε κεγέζπλζε απφ ην πειίθν Α Β /ΑΒ. 1. Δπηιέμηε ηνλ αληηθεηκεληθφ θαθφ κε ηε κηθξφηεξε ηζρχ θαη έλαλ πξνζνθζάικην θαθφ θαη θαηαγξάςηε ζηνλ Πίλαθα Η ην πξαγκαηηθφ κέγεζνο ηνπ αληηθεηκέλνπ θαη ην εηθνληθφ κέγεζνο ηνπ θαληαζηηθνχ εηδψινπ.. Τπνινγίζηε, ζχκθσλα κε ηελ παξαπάλσ κέζνδν, ηελ πεηξακαηηθή κεγέζπλζε Μ, γηα ηνλ ζπγθεθξηκέλν ζπλδπαζκφ θαθψλ. 3. Να επαλαιεθζεί ην ίδην γηα δηαθνξεηηθή επηινγή ηνπ κεγέζνπο ηνπ αληηθεηκέλνπ θαη λα ππνινγηζηεί ε κέζε ηηκή ηεο κεγέζπλζεο γηα ηνλ ζπγθεθξηκέλν ζπλδπαζκφ θαθψλ. 4. Να επαλαιεθζνχλ κε ηνλ ίδην ηξφπν νη κεηξήζεηο θαη γηα ηνπο ππφινηπνπο αληηθεηκεληθνχο θαθνχο θαη λα ζπκπιεξσζεί ν Πίλαθαο Η. 5. Απφ ηηο αλαγξαθφκελεο, πάλσ ζηνπο θαθνχο, ηηκέο ηεο κεγέζπλζεο ηνπ πξνζνθζαικίνπ m π θαη ηνπ αληηθεηκεληθνχ m α, ππνινγίζηε ηελ νλνκαζηηθή (ζεσξεηηθή) κεγέζπλζε ηνπ κηθξνζθνπίνπ (Μ ) γηα φινπο ηνπο ζπλδπαζκνχο θαθψλ θαη θαηαγξάςηε ηελ ηηκή ηεο ζηνλ Πίλαθα Η. Πίλαθαο Ι m α ΑΒ (mm) Α Β 6 (mm) Μ Μ M/M Απεηθόληζε βηνινγηθώλ παξαζθεπαζκάηωλ Σνπνζεηήζηε ζηελ ηξάπεδα ηνπ δείγκαηνο ηα βηνινγηθά παξαζθεπάζκαηα πνπ ζα ζαο δνζνχλ απφ ηνλ επηβιέπνληα. Παξαηεξήζηε ηε κνξθή θάζε δείγκαηνο θαη πξνζπαζήζηε λα δηαθξίλεηε θάπνηα βηνινγηθά νξγαλίδηα (π.ρ. θχηηαξα, ππξήλα, κεκβξάλεο). 156

173 Υξήζε θαηαδπηηθώλ θαθώλ 1. Σνπνζεηήζηε ζηελ ηξάπεδα ηνπ δείγκαηνο ηελ αληηθεηκελνθφξν πιάθα θαη εζηηάζηε κε ηε βνήζεηα ελφο αληηθεηκεληθνχ θαθνχ κέηξηαο κεγέζπλζεο.. Μεηαηνπίζηε ηνλ θαηαδπηηθφ αληηθεηκεληθφ θαθφ γχξσ απφ ηε ζέζε ηνπ θαη βάιηε κηα ζηαγφλα ειαίνπ πάλσ ζηελ πιάθα. 3. Σνπνζεηήζηε πξνζεθηηθά κέζα ζηε ζηαγφλα ηνλ θαηάιιειν αληηθεηκεληθφ θαθφ θαη παξαηεξήζηε ηελ εηθφλα. ρνιηάζηε ηηο παξαηεξήζεηο ζαο. ΠΡΟΟΥΗ! Ακέζσο κεηά ην πείξακα αθαηξέζηε πξνζεθηηθά ηελ επίζηξσζε ιαδηνύ από ηελ πξόζζηα επηθάλεηα ηνπ θαθνύ θαη από ηελ πιάθα, κε ην θαηάιιειν απνξξνθεηηθό ραξηί Απεηθόληζε νξπθηώλ παξαζθεπαζκάηωλ 1. Σνπνζεηήζηε ζηελ ηξάπεδα ηνπ δείγκαηνο ηα παξαζθεπάζκαηα ησλ νξπθηψλ πνπ ζα ζαο δνζνχλ απφ ηνλ επηβιέπνληα. Πξνζπαζήζηε λα αλαγλσξίζεηε ην είδνο ηνπ νξπθηνχ, κε ηε βνήζεηα ηνπ επηβιέπνληνο.. Παξαηεξήζηε ηα ίδηα δείγκαηα, θσηίδνληαο κφλνλ απφ ην πιάη ην δείγκα (κηθξνζθφπην αλάθιαζεο). ρνιηάζηε ηηο δηαθνξέο πνπ βιέπεηε Απεηθόληζε ειεθηξνληθώλ θπθιωκάηωλ 1. Σνπνζεηήζηε ζηελ ηξάπεδα ηνπ δείγκαηνο ηα ειεθηξνληθά θπθιψκαηα πνπ ζα ζαο δνζνχλ απφ ηνλ επηβιέπνληα θαη παξαηεξήζηε ηα δηάθνξα κέξε ηνπ θπθιψκαηνο.. Παξαηεξήζηε ηα ίδηα δείγκαηα θσηίδνληαο κφλν απφ ην πιάη ην δείγκα (κηθξνζθφπην αλάθιαζεο). ρνιηάζηε ηηο δηαθνξέο πνπ βιέπεηε Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ θαη εξσηήζεηο 1. Απφ ηελ πεηξακαηηθή ηηκή ηεο κεγέζπλζεο (Μ) θαη ηελ (ζεσξεηηθά αλακελφκελε) νλνκαζηηθή κεγέζπλζε (Μ ) ππνινγίζηε ην ιφγν Μ/Μ γηα θάζε ζπλδπαζκφ θαθψλ θαη θαηαγξάςηε ηελ ηηκή ηνπ ζηνλ Πίλαθα 1. ρνιηάζηε ηα απνηειέζκαηα.. Καηαγξάςηε ηα ζρφιηα ησλ παξαηεξήζεψλ ζαο γηα ηηο πεξηπηψζεηο , , θαη Έλα κηθξνζθφπην έρεη έλαλ πξνζνθζάικην θαθφ κε κεγέζπλζε 0 θαη έλαλ αληηθεηκεληθφ θαθφ εζηηαθήο απφζηαζεο 5 cm. Πνηα είλαη ε νιηθή κεγέζπλζε Μ, φηαλ ε απφζηαζε ησλ εζηηαθψλ επηπέδσλ ησλ δχν θαθψλ είλαη 16 cm; 4. Πνχ αθξηβψο ζρεκαηίδεηαη ην είδσιν ζε ζρέζε κε ηνλ πξνζνθζάικηνπ θαθφ κεγέζπλζεο 0; 5. Αλαιχζηε ηε ζεκαζία ηεο δηαθξηηηθήο ηθαλφηεηαο, ζε ζρέζε κε ηελ πνξεία ησλ αθηίλσλ πνπ εηζέξρνληαη ζην κηθξνζθφπην θαη ζε ζπλάξηεζε κε ην κέζνλ πνπ παξεκβάιιεηαη κεηαμχ δείγκαηνο-αληηθεηκέλνπ θαη θαθνχ. Τπνζέζηε φηη έλα αληηθείκελν είλαη βπζηζκέλν ζην λεξφ θαη φηη ππάξρεη κηα ζηαγφλα ιαδηνχ κεηαμχ αληηθεηκέλνπ θαη θαθνχ. Δκθαλίδνληαη έηζη ηξεηο ζπληειεζηέο δηάζιαζεο n λεξφ, n γπαιί, n ιάδη. Πνηνο ζπληειεζηήο δηάζιαζεο ζεσξείηε φηη ππεηζέξρεηαη ζηνλ νξηζκφ ηνπ αξηζκεηηθνχ αλνίγκαηνο; 6. Αλ, αληί γηα νξαηφ θσο (κέ κήθνο θχκαηνο 500 nm), κπνξνχζακε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θσο κήθνπο θχκαηνο 300 nm, πφζε ζα ήηαλ ε δηαθξηηηθή ηθαλφηεηα ηνπ νπηηθνχ κηθξνζθνπίνπ; 157

174 Άζθεζε 19 Μέηξεζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ηεο γεο θαη ηεο καγλεηηθήο δηαπεξαηόηεηαο ηνπ θελνύ 19.1 θνπόο ηελ άζθεζε απηή πξνζδηνξίδεηαη πεηξακαηηθά ε ηηκή ηεο καγλεηηθήο δηαπεξαηφηεηαο ηνπ θελνχ κ 0 θαη ε ηηκή ηεο νξηδφληηαο ζπληζηψζαο B x, ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ ηεο Γεο. 19. Θεσξία Ζ δχλακε πνπ αζθείηαη ζε έλα επζχγξακκν ηκήκα ελφο αγσγνχ φηαλ απηφο δηαξξέεηαη απφ ξεχκα I θαη βξίζθεηαη κέζα ζε καγλεηηθφ πεδίν καγλεηηθήο επαγσγήο, B, δίλεηαη απφ ηε ζρέζε F = I [l B] = Η ι (19.1) φπνπ l είλαη ην κήθνο ηνπ αγσγνχ θαη έρνπκε ζπκβνιίζεη κε ι ην εμσηεξηθφ γηλφκελν [l B]. ηηο πεξηπηψζεηο φπνπ ην καγλεηηθφ πεδίν παξάγεηαη απφ έλαλ δεχηεξν επζχγξακκν αγσγφ, ην κήθνο ηνπ νπνίνπ είλαη άπεηξν, γλσξίδνπκε φηη ε ηηκή ηεο έληαζεο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ ζην ζεκείν πνπ απέρεη απφζηαζε R απφ απηφλ δίλεηαη απφ ηε ζρέζε: I0 B (19.) R φπνπ κ 0 ε καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα ηνπ θελνύ. πλεπψο γηα δχν παξάιιεινπο αγσγνχο (ρ. 19.1), ε δχλακε πνπ αζθεί ν δεχηεξνο αγσγφο πάλσ ζηνλ πξψην κπνξεί λα ππνινγηζηεί απφ ηηο Δμ. (19.1) θαη (19.) θαη ε ηηκή ηεο είλαη : ρήκα Αλάκεζα ζε δχν παξάιιεινπο αγσγνχο πνπ δηαξξένληαη απφ ξεχκαηα, I 1 θαη I, αληηζηνίρσο, αζθείηαη κηα δχλακε F, ειθηηθή ή απσζηηθή, αλάινγα κε ηε θνξά ησλ ξεπκάησλ. l I1I F 0 (19.3) πr φπνπ I 1 θαη I είλαη νη ηηκέο ησλ ξεπκάησλ πνπ δηαξξένπλ ηνλ πξψην θαη ηνλ δεχηεξν αγσγφ αληίζηνηρα. ηελ πεξίπησζε φπνπ I 1 = I, ε Δμ. (19.3) γίλεηαη: 158

175 F l I πr 0 ki (19.4) 19.3 Μέζνδνο Ο πξνζδηνξηζκφο ηνπ κ 0 βαζίδεηαη ζηε κέηξεζε ηεο δχλακεο F, πνπ αζθείηαη πάλσ ζε έλαλ επζχγξακκν ξεπκαηνθφξν αγσγφ, φηαλ απηφο βξίζθεηαη κέζα ζην καγλεηηθφ πεδίν πνπ παξάγεηαη απφ έλαλ δεχηεξν ξεπκαηνθφξν αγσγφ. Ο δεχηεξνο αγσγφο είλαη παξάιιεινο ζηνλ πξψην θαη ην κήθνο ηνπ είλαη πνιχ κεγαιχηεξν ηνπ πξψηνπ (ρ. 19.1). Καη νη δχν αγσγνί δηαξξένληαη απφ ην ίδην ξεχκα Η. Βάζε ηεο κεζφδνπ απνηειεί ε Δμ. (19.4), ζχκθσλα κε ηελ νπνία ε δχλακε F είλαη γξακκηθή ζπλάξηεζε ηνπ ηεηξαγψλνπ ηνπ ξεχκαηνο Η, πνπ δηαξξέεη ηνπο δχν αγσγνχο θαη ν ζπληειεζηήο αλαινγίαο είλαη: l k 0 (19.5) πr Σελ ηηκή ηνπ ζπληειεζηή k κπνξεί λα ηελ κεηξήζεη θαλείο κεηξψληαο ηε δχλακε F γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ξεχκαηνο I θαη ζρεδηάδνληαο ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο F σο ζπλάξηεζε ηνπ I. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζρέζεο απηήο ζα είλαη πξνθαλψο επζεία, κε θιίζε ίζε κε k (Δμ. 19.4). Έηζη κεηξψληαο πεηξακαηηθά ηελ ηηκή ηνπ k, κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ηηκή ηνπ κ 0 απφ ηε ζρέζε: Rk 0 l (19.6) Όκνηα δηαδηθαζία αθνινπζείηαη θαη γηα ηε κέηξεζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ ηεο Γεο. ην πείξακα απηφ ν ξεπκαηνθφξνο αγσγφο πξνζαλαηνιίδεηαη έηζη ψζηε λα είλαη θάζεηνο πξνο ηελ νξηδφληηα ζπληζηψζα ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ ηεο Γεο. Δδψ αμηνπνηείηαη ε Δμ. (19.1), ζχκθσλα κε ηελ νπνία ε δχλακε F πνπ αζθείηαη ζηνλ αγσγφ είλαη αλάινγε ηνπ ξεχκαηνο πνπ ηνλ δηαξξέεη. Ο ζπληειεζηήο αλαινγίαο ι ηεο ζρέζεο είλαη [l B] θαη επεηδή ζηελ πεξίπησζή καο ν αγσγφο (l) είλαη θάζεηνο ζην Β, έρνπκε [l B] = lb = ι. Σελ ηηκή απηνχ ηνπ ζπληειεζηή κπνξεί λα ηε κεηξήζεη θαλείο κεηξψληαο ηελ δχλακε F γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ξεχκαηνο I θαη ζρεδηάδνληαο ηε γξαθηθή παξάζηαζε F = F(I). Καη εδψ ε πεηξακαηηθή θακπχιε F = F(I) αλακέλεηαη λα είλαη επζεία κε θιίζε ι = lb (Δμ.19.1). Απφ ηνλ γξαθηθφ πξνζδηνξηζκφ ηεο θιίζεο, ι, ηεο πεηξακαηηθήο επζείαο, κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ηηκή ηεο έληαζεο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ απφ ηε ζρέζε: B (19.7) l 19.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Οη καγλεηνζηαηηθέο δπλάκεηο αιιειεπίδξαζεο δχν ξεπκαηνθφξσλ αγσγψλ είλαη πνιχ αζζελείο. Γηα ηνλ ιφγν απηφ ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε κέηξεζή ηνπο έλαο επαίζζεηνο θαη θαηάιιεια πξνζαξκνζκέλνο δπγφο ζηξέςεο. ηνλ άμνλα ηνπ δπγνχ απηνχ ππάξρεη έλα ιεπηφ αηζάιηλν ζχξκα, ην νπνίν βξίζθεηαη ζην νξηδφληην επίπεδν (ρ. 19.). Ζ ξνπή επαλαθνξάο ηνπ δπγνχ (ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο) δεκηνπξγείηαη απφ ην αηζάιηλν ζχξκα, ην έλα άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη παθησκέλν, ελψ ην άιιν κπνξεί λα πεξηζηξαθεί γχξσ απφ ηνλ άμνλά ηνπ. Ζ κέηξεζε ηεο δχλακεο επαλαθνξάο επηηπγράλεηαη κε ηε κέηξεζε ηεο γσλίαο απηήο ηεο πεξηζηξνθήο. 159

176 ρήκα 19.. Πεηξακαηηθή δηάηαμε γηα ηε κέηξεζε ησλ καγλεηνζηαηηθψλ δπλάκεσλ. ην θέληξν ηνπ ζχξκαηνο ζπλδέεηαη έλα κεηαιιηθφ νξζνγψλην πιαίζην, ζην νπνίν δηνρεηεχεηαη ξεχκα δηακέζνπ δχν επαθψλ, ε κία απφ ηηο νπνίεο απνηειείηαη απφ πγξφ κέηαιιν (πδξάξγπξν ή γάιιην). Ζ ιεηηνπξγία ησλ επαθψλ απηψλ είλαη λα δηαζθαιίδνπλ κηα πεξηζηξνθηθή θίλεζε ηνπ πιαηζίνπ πξαθηηθά ρσξίο ηξηβέο. Ζ ξνπή πνπ δεκηνπξγείηαη απφ ην βάξνο ηνπ πιαηζίνπ αληηζηαζκίδεηαη απφ ην βάξνο ηνπ πηεξπγίνπ θαη ηνπ αληίβαξνπ, ε ζέζε ηνπ νπνίνπ ξπζκίδεηαη. Σν πηεξχγην έρεη δηπιφ πξννξηζκφ: ρξεζηκνπνηείηαη αθελφο σο δείθηεο ηζνξξνπίαο θαη αθεηέξνπ σο κνλάδα απφζβεζεο ησλ κεραληθψλ ηαιαληψζεσλ ηνπ πιαηζίνπ. Γηα ηνλ ζθνπφ απηφ ην πηεξχγην είλαη θαηαζθεπαζκέλν απφ αγψγηκν πιηθφ θαη θηλείηαη κέζα ζε καγλεηηθφ πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη απφ δχν κηθξνχο ζηαζεξνχο καγλήηεο. Κάζε κεηαβνιή ηεο ηζνξξνπίαο ηνπ δπγνχ κπνξεί λα αληηζηαζκηζζεί κε κηα θαηάιιειε πεξηζηξνθή ηνπ ελφο άθξνπ ηνπ ζχξκαηνο. Αλ ν δπγφο είλαη βαζκνλνκεκέλνο, είλαη δειαδή γλσζηή ε επαηζζεζία ηνπ, κε άιια ιφγηα ε ζρέζε «γσλία πεξηζηξνθήο δχλακε επαλαθνξάο», ηφηε ε δχλακε πνπ είρε δηαηαξάμεη ηελ ηζνξξνπία ηνπ δπγνχ κπνξεί λα 160