Υπολογισμός Επιυανειών Αριθμητική Ολοκλήρωση

Transcript

1 Υπολογισμός Επιυανειών Αριθμητική Ολοκλήρωση Υπάξρνπλ πνιιέο κέζνδνη γηα ηνλ αξηζκεηηθό ππνινγηζκό ηεο επηθάλεηαο πνπ βξίζθεηαη κεηαμύ ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο κηαο ζπλαξηήζεσο πνπ παίξλεη κε αξλεηηθέο ηηκέο ζε έλα δηάζηεκα [a, b] θαη ηνπ άμνλα x x. Η πην απιή κέζνδνο είλαη εθείλε ηνπ νξζνγσλίνπ, ε νπνία απαηηεί ιηγόηεξν ρξόλν γηα ππνινγηζκνύο αιιά δίλεη κεγαιύηεξν ζθάικα. Η κέζνδνο ηνπ ηξαπεδίνπ θαη ε κέζνδνο Simpso, δίλνπλ απνηειέζκαηα κε πνιύ κηθξόηεξν ζθάικα αιιά απαηηνύλ πεξηζζόηεξν ρξόλν επεμεξγαζίαο. - Ο Κανόνας τοσ Ορθογωνίοσ. - Ο κανόναρ ηος μέζος ζημείος (midpoit rule) Έζησ f(x) κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα [a, b] κε f(x). Φσξίδνπκε ην δηάζηεκα ζε ίζα ππνδηαζηήκαηα [x, x ] [x, x ],,[x λ-, x λ ], πιάηνπο h= b a. Σε θάζε ππνδηάζηεκα πξνζεγγίδνπκε ηε ζπλάξηεζε y=f(x) κε έλα νξηδόληην επζύγξακκν ηκήκα ζε ύςνο ίζν κε ηελ ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο ζην κέζν ηνπ ππνδηαζηήκαηνο. Γειαδή αλ έρνπκε ην ππνδηάζηεκα [x k-, x k ], κε f(m k ) όπνπ x k =a+kh θαη m k =a+ k h ην κέζν ηνπ δηαζηήκαηνο (βι. ην παξαθάησ ζρήκα). Τόηε b f (x)dx h a k f (m ) k Όζν απμάλεη ην ηόζν θαιιίηεξε πξνζέγγηζε παίξλνπκε γηα ην δεηνύκελν εκβαδόλ.

2 Παξάδεηγκα: Τν δηπιαλό ζρήκα δείρλεη ηελ εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ γηα ηξία νξζνγώληα θαη γηα ηελ ζπλάξηεζε f(x)=x + γηα ην δηάζηεκα [, 3]. Σην ζρήκα θαίλεηαη όηη ην κέξνο θάζε νξζνγσλίνπ πνπ είλαη πάλσ από ηελ θακπύιε είλαη πεξίπνπ ίζν κε ην κέξνο ηνπ νξζνγσλίνπ πνπ είλαη θάησ από ηελ θακπύιε. Τα δύν απηά ιάζε ζηνλ ππνινγηζκό ηνπ εκβαδνύ αιιεινεμνπδεηεξώλνληαη. Τα ηξία νξζνγώληα έρνπλ βάζε ίζε κε θαη ύςνο f(,5)=,5, f(,5)=3,5 θαη f(,5)=7,5. Δπνκέλσο ην εκβαδόλ θάησ από ηελ θακπύιε είλαη πεξίπνπ,75 ηεηξαγσληθέο κνλάδεο. Τν νινθιήξσκα x 3 dx =. Δπνκέλσο ην ιάζνο είλαη,5. Σην δηπιαλό ζρήκα έρνπκε 4 νξζνγώληα κε πιάηνο /. Η ζπλάξηεζε είλαη πάιη ε f(x)=x +. Τν εκβαδόλ ησλ νξζνγσλίσλ είλαη 4,65, ελώ x dx = 4 3 4,666. Η εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ γηα έλα νξζνγώλην.

3 Η εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ γηα κεγάιν πιήζνο νξζνγσλίσλ. Το ζθάλμα ηηρ μεθόδος: Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη δύν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην δηάζηεκα [a, b] ηόηε γηα ην ζθάικα Δ, θαηά ηελ πξνζέγγηζε κε ηελ κέζνδν ηνπ θαλόλα ηνπ κέζνπ, ζεκείνς ηζρύεη Δ b a 3 f ''( ) 4 γηα θάπνην μ(a, b). Αζκήζειρ: ) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)=x 3, x[, ]. Να ππνινγηζζεί ην f (x)dx : Α) Αθξηβώο. Β) Με ηελ κέζνδν ηνπ νξζνγσλίνπ κε δύν νξζνγώληα (θαλόλαο ηνπ κέζνπ ζεκείνπ). Γ) Με ηελ κέζνδν ηνπ νξζνγσλίνπ κε ηξία νξζνγώληα (θαλόλαο ηνπ κέζνπ ζεκείνπ). x ) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)= 8 Α) Αθξηβώο., x[, 8]. Να ππνινγηζζεί ην 8 f (x)dx : Β) Με ηελ κέζνδν ηνπ νξζνγσλίνπ κε ηξία νξζνγώληα (θαλόλαο ηνπ κέζνπ ζεκείνπ). - Πποζοσή: Σε κάθε άζκηζη να ςπολογιζθεί ηο ζθάλμα. 3

4 . - Ο κανόναρ ηος πάνω απιζηεπά ζημείος (top - left corer) Έζησ f(x) κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα [a, b] κε f(x). Φσξίδνπκε ην δηάζηεκα ζε ίζα ππνδηαζηήκαηα [x, x ] [x, x ],,[x λ-, x λ ], πιάηνπο h= b a. Σε θάζε ππνδηάζηεκα πξνζεγγίδνπκε ηε ζπλάξηεζε y=f(x) κε έλα νξηδόληην επζύγξακκν ηκήκα ζε ύςνο ίζν κε ηελ ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο ζην αξηζηεξό άθξν ηνπ ππνδηαζηήκαηνο. Τόηε b f (x)dx h a k f (x ) k Όζν απμάλεη ην ηόζν θαιιίηεξε πξνζέγγηζε παίξλνπκε γηα ην δεηνύκελν εκβαδόλ. Παπαδείγμαηα: Τν εκβαδόλ ηνπ νξζνγσλίνπ: hy, h ε βάζε ηνπ νξζνγσλίνπ Τν εκβαδόλ ησλ νξζνγσλίσλ: h(y +y ) h ε βάζε ησλ νξζνγσλίσλ Η κέζνδνο κε 4 νξζνγώληα 4

5 Η ζπλάξηεζε f(x)=πe -x si(7x) έρεη ηελ παξαθάησ γξαθηθή παξάζηαζε: Τν νινθιήξσκά ηεο ππνινγίδεηαη αλαιπηηθά θαη ηζνύηαη κε e cos4 si Με ηελ κέζνδν ηνπ νξζνγσλίνπ ην απνηέιεζκα κε 3 δηαζηήκαηα είλαη.4766 πνπ αληηζηνηρεί ζε ζθάικα -%. Τν παξαθάησ ζρήκα δείρλεη ηελ εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ γηα ηξία νξζνγώληα θαη γηα ηελ ζπλάξηεζε f(x)=x + γηα ην δηάζηεκα [, 3] (βι θαη ππνινγηζκό κε ηελ ε κέζνδν).. Η ζθηαγξαθεκέλε πεξηνρή ζην αξηζηεξά ζρήκα δείρλεη ην εκβαδόλ πνπ ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε. Δθαξκόδνπκε ηελ κέζνδν γηα 3 νξζνγώληα. Δπεηδή f()=, f()= θαη f()=5 5

6 ην εκβαδόλ ησλ νξζνγσλίσλ είλαη ζπλνιηθά 8, αξθεηά κηθξόηεξν ηνπ αθξηβνύο. Γηα θαιιίηεξα απνηειέζκαηα δηπιαζηάδνπκε ηνλ αξηζκό ησλ νξζνγσλίσλ. Σε απηή ηελ πεξίπησζε ην απνηέιεζκα είλαη = Πξόθεηηαη γηα κηα θαιιίηεξε πξνζέγγηζε, παξακέλεη όκσο κηα αθόκε ππνεθηίκεζε ηνπ αθξηβνύο εκβαδνύ. Αζκήζειρ: ) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ε ζπλάξηεζε f(x)=six, x[, π]. Να ππνινγηζζεί ην Α) Αθξηβώο. Β) Με ηελ κέζνδν ηνπ νξζνγσλίνπ (top left corer) κε 4 νξζνγώληα. Γ) Με ηελ κέζνδν ηνπ νξζνγσλίνπ (top left corer) κε 6 νξζνγώληα. Να γίλεη ρξήζε ηνπ κηθξνϋπνινγηζηή. f (x)dx : ) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)=x 3, x[, ]. Να ππνινγηζζεί ην f (x)dx : Α) Αθξηβώο. Β) Με ηελ κέζνδν ηνπ νξζνγσλίνπ (top left corer) κε νξζνγώληα. Γ) Με ηελ κέζνδν ηνπ νξζνγσλίνπ (top left corer) κε 4 νξζνγώληα. x 3) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)= 8, x[, 8]. Να ππνινγηζζεί ην 8 f (x)dx : Α) Αθξηβώο. Β) Με ηελ κέζνδν ηνπ νξζνγσλίνπ (top left corer) κε ηξία νξζνγώληα. 6

7 .3 - Ο κανόναρ ηος πάνω δεξιά ζημείος (top - right corer) Η δηαδηθαζία είλαη ε ίδηα όπσο θαη ζηελ πξνεγνύκελε παξάγξαθν (top left corer). Έζησ γηα παξάδεηγκα ε ζπλάξηεζε y=x +, κε x[,]. Tόηε x Τα απνηειέζκαηα ηεο κεζόδνπ γηα 4 νξζνγώληα θαίλνληαη παξαθάησ: dx = 4 3 4,666. Αζκήζειρ: ) Να ιπζνύλ νη αζθήζεηο ηεο πξνεγνύκελεο παξαγξάθνπ κε ηελ κέζνδν ηνπ πάλσ δεμηά ζεκείνπ (top - right corer). ) Με ηελ κέζνδν ηνπ πάλσ δεμηά ζεκείνπ (top - right corer), λα ππνινγηζηεί ην x dx σο εμήο: α) Να ρσξηζζεί ην δηάζηεκα [, ] ζε ίζα ππνδηαζηήκαηα ηεο κνξθήο [x i, x i- ], πιάηνπο όπνπ x i = i, i=,,,. β) Να δεηρζεί όηη f (x i)(xi x i) = i ρξεζηκνπνηήζεηε ηνλ ηύπν = Γηα ηελ απόδεημε λα γ) Με ηελ βνήζεηα ηνπ κηθξνϋπνινγηζηή Να βξεζεί ην εκβαδόλ γηα =,, ( ). 7

8 δ) Να ππνινγηζζεί ην lim 3. Σπγθξίλεηε ην όξην κε ηελ αθξηβή ηηκή ηνπ 6 x dx. - Ο Κανόνας τοσ Τραπεζίοσ Μηα πξνζεγγηζηηθή ηηκή ηνπ νινθιεξώκαηνο x x f (x)dx κπνξεί λα ππνινγηζηεί βξίζθνληαο ην εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ κε θνξπθέο (x, ), (x, ), (x, y ) θαη (x, y ), όπνπ y =f(x ) θαη y =f(x ). Τόηε ζα ηζρύεη x f (x)dx x x f (x ) f (x ). x Η επαλάιεςε ηεο πξνεγνύκελεο δηαδηθαζίαο ζε πνιιά δηαδνρηθά δηαζηήκαηα ζηα νπνία ρσξίδεηαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο δίλεη πξνζεγγηζηηθά ην δεηνύκελν εκβαδόλ. Έηζη αλ ρσξίζνπκε ην [a=x, b=x ] ζε ίζα δηαζηήκαηα [x i, x i+ ] κε x i =x +ih, i=,,, θαη h = b a έρνπκε: x f (x ) f (x ) f (x)dx h f (x ) f (x )... f (x ) (Ι) x Παξάδεηγκα κε δύν θαη ηέζζεξεηο δηακεξίζεηο x f (x)dx h(y +y +y ), h=(x -x )/ x x f (x)dx h(y +y +y +y 3 +y 4 ), x h=(x -x )/4, y 3 =f(x 3 ), y4=f(x 4 ) 8

9 Δθαξκνγή ηεο κεζόδνπ ζην παξάδεηγκα ηεο παξαγξάθνπ.. Με 3 δηαζηήκαηα έδσζε απνηέιεζκα.4454 πνπ αληηζηνηρεί ζε ζθάικα-.7%. Σθάλμα ηος ηύπος (Ι): Αλ γηα νπνηνδήπνηε ηπραίν μ i (x i, x i+ ) ηζρύεη f ''( i) M, ηόηε γηα ην ζθάικα Δ ηζρύεη E M 3 b a (ΙΙ). Παπάδειγμα: Να ππνινγηζζεί αξηζκεηηθά ην Ι= si xdx θαη λα ζπγθξηζεί κε ηελ αθξηβή ηνπ ηηκή. Έζησ + ηζαπέρνληα ζεκεία ζην [, π], x i =iπ/, i=,,,. si x si x Τόηε ΙΙ= i si x i Ιζρύεη ν παξαθάησ πίλαθαο: 9

10 Παξαηεξνύκε όηη ην ζθάικα Δ ηείλεη ζην θαζώο απμάλεη ην. Τν ειάρηζην γηα λα έρνπκε ζθάικα -4 πξνζδηνξίδεηαη σο εμήο: Ιζρύεη f ''(x) =,x[, π]. Δπνκέλσο ζηνλ ηύπν (ΙΙ) γηα Μ= έρνπκε: Αζκήζειρ: 3 E (όπνπ ρξεηάδεηαη λα ρξεζηκνπνηεζεί κηθξνϋπνινγηζηήο) si x ) Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα dx κε ηηο σο ηώξα γλσζηέο κεζόδνπο. Να x 5 πξνηηκεζεί δηακέξηζε ηνπ δηαζηήκαηνο [, ] ζε 4 ππνδηαζηήκαηα. Η ηηκή ηνπ νινθιεξώκαηνο είλαη.545, (l(7/6)) ) Να ππνινγηζζεί ην ειάρηζην έηζη ώζηε ηα νινθιεξώκαηα ζην δηάζηεκα [, 3] ησλ ζπλαξηήζεσλ: α) f(x)=x+, β) f(x)=x x γ) f(x)=l(x+) δ) f(x) = x λα ππνινγηζζνύλ κε ηελ κέζνδν ηνπ ηξαπεδίνπ, κε αθξίβεηα Κανόνας τοσ Simpso Η κέζνδνο απνδίδεηαη ζηνλ Simpso (7-76), είρε όκσο βξεζεί ρξόληα πξηλ από ηνλ Johaes Kepler. Δίρε επίζεο ρξεζηκνπνηεζεί από ηνλ καζεηή ηνπ Galileo ηνλ Boavetura Cavalieri ην 693. Έζησ ηα ζεκεία (x, y ), (x, y ) θαη (x,y ) ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f, όπνπ y =f(x ) θιπ. Δπίζεο ην x είλαη ην κέζνλ ηνπ δηαζηήκαηνο [x, x ]. Τν x f (x)dx πξνζεγγίδεηαη από ην εκβαδόλ πνπ βξίζθεηαη θάησ από ηελ παξαβνιή πνπ x δηέξρεηαη από ηα 3 πξνεγνύκελα ζεκεία.

11 Ιζρύεη: x h f (x)dx y 4y y 3 όπνπ h= x x x Αο ρσξίζνπκε ην δηάζηεκα [x, x 4 ] ζε δύν ίζα ππνδηαζηήκαηα θαη αο ζεσξήζνπκε ηηο παξαβνιέο πνπ δηέξρνληαη ε ε από ηα ζεκεία (x, y ), (x, y ) θαη (x, y ) θαη ε ε από ηα (x, y ), (x 3, y 3 ), (x 4, y 4 ), όπνπ ηα ζεκεία x, x 3 είλαη ηα κέζα ησλ δηαζηεκάησλ [x, x ] θαη [x, x 4 ] αληίζηνηρα. Τόηε ην δεηνύκελν εκβαδόλ πξνζεγγίδεηαη από ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ βξίζθεηαη θάησ από ηηο δύν παξαβνιέο. Απνδεηθλύεηαη όηη ηζρύεη: x4 h f (x)dx y 4y y 4y 3 y 4 3 όπνπ h= x x 4 4 x Αλ ρσξίζνπκε ην δηάζηεκα [a, b] ζε ίζα ππνδηαζηήκαηα όπνπ άξηηνο αξηζκόο ηόηε ν θαλόλαο ηνπ Simpso γηα ην νινθιήξσκα ηεο f ζην παξαπάλσ δηάζηεκα δίλεη: b a / h f (x)dx f (x ) f (x j) 4 f (x j) f (x ) 3 j j, Όπνπ x j =a+jh γηα j=,,,-, κε h=(b-a)/, x =a θαη x =b. Σθάλμα ζηον κανόνα ηος Simpso: b a Γηα ην ζθάικα Δ ζηνλ θαλόλα ηνπ Simpso ηζρύεη E 4 a,b 8 5 (4) max f ( ) Αζκήζειρ: Όπνπ ρξεηαζηεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ν κηθξνϋπνινγηζηήο. ) Να ππνινγηζηνύλ ηα παξαθάησ νινθιεξώκαηα κε ηνλ θαλόλα ηνπ Simpso:. α) dx (.39479) β) 5 x x x x e dx ( ) γ) cos dx ( )

12 Κάζε θνξά ην δηάζηεκα λα ρσξηζζεί ζε δύν ππνδηαζηήκαηα θαη λα δνζεί ην (απόιπην) ζθάικα επί ηνηο εθαηό ζηελ ηηκή πνπ δίλεηαη ζηελ παξέλζεζε. ) Να ππνινγηζζεί ην έηζη ώζηε ηα παξαθάησ νινθιεξώκαηα λα ππνινγηζζνύλ κε ηνλ θαλόλα ηνπ Simpso, κε αθξίβεηα -6 : α) x cos( x)si( )dx β) x dx γ) 4 e x dx